Bloque 4. Taquimetría. Tema 13. Método de Itinerario II.

Departamento de Ingeniería Gráfica.

Universidad de Sevilla.

León-Bonillo, M.J.

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Bloque 4. TAQUIMETRÍA.

- Tema 10. Fundamento. Método de radiación.

- Tema 11. Enlaces.

- Tema 12. Método de Itinerario I.

- Tema 13. Método de Itinerario II.

- Tema 14. Curvas de nivel. Confección de planos.

Tema 13. Método de Itinerario II.

- Pasos de gabinete y reparto de errores.

Cálculo de los desniveles.

Error de cierre altimétrico. Tolerancia y corrección.

Error de cierre angular. Tolerancia y corrección.

Cálculo de coordenadas relativas. Error de Cierre Lineal.

Tolerancia lineal. Corrección de Coordenadas Relativas y

cálculo de Coordenadas Absolutas.

Transporte Gráfico y Cálculo de Superficie por

Coordenadas.

- Ejemplo práctico Itinerario Cerrado.

- Ejemplo práctico Itinerario Encuadrado.

PASOS DE GABINETE Y REPARTO DE ERRORES.

En la lección anterior vimos los pasos de gabinete de un itinerario cerrado, pero

fue de forma ligera, en esta lección vamos a entrar de lleno en los cálculos de los

errores, (error angular de cierre, error lineal y error altimétrico), al tiempo que se

calculará sus tolerancias para saber si el levantamiento es admisible o no, de lo contrario

debemos repetir el trabajo en campo.

Como ya se comentó en caso de ser el error cometido admisible, habría

que repartir éste entre todas las estaciones.

Aunque en principio parece ser que sólo estamos estudiando los itinerarios

cerrados, para los abiertos y encuadrados, actuamos de la misma forma, siempre y

cuando proceda.

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Cálculo de los desniveles.

Como ya hemos visto, en cualquier levantamiento taquimétrico, una vez

obtengamos los datos de campo, el siguiente paso es traspasar éstos a los estadillos para

poder así, calcular las coordenadas de cada punto de una forma ordenada.

Pasemos pues los datos al estadillo altimétrico. Traspasamos las estaciones de

lecturas, los puntos observados o leídos, el ángulo vertical, la distancia inclinada, la

altura de instrumento y la altura de prisma.

Est. i Pto. Hz V D.I. D.R. Tangente ap Desnivel Cotas provis.

Corrección Cotas

corregidas

C C C C C C G G C G G G G

Es decir, todos los datos marcados con una “C”, serían los datos de campo a

traspasar, y los marcados con “G”, son los que calcularemos en gabinete.

Aclarar que en este estadillo no es necesario anotar la columna del ángulo

horizontal, Hz, ya que no influye en ningún cálculo, a menos que deseemos tener dicho

valor anotado junto al resto de datos de campo.

Cálculo de la D.R. DR = DI · sen V

Cálculo de la tangente. T = DR / tg V

Cálculo del desnivel. D = T + i – ap

Cálculo de la cota provisional. Zpto = Zestac D

Error de cierre altimétrico. Tolerancia y corrección.

Al haber establecido un plano de comparación en la primera estación, (de la cual

sabemos su cota), tan sólo tenemos que comparar la cota de esta estación con la

solución de la cota de estación de partida leída desde la última, para así poder

determinar el error altimétrico cometido.

al = Z inicio – Z inicio leída desde la última

Calculado el error altimétrico, debemos valorar si el trabajo es admisible o no,

para lo cual calculamos la tolerancia altimétrica.

Taltimétrica = k · perímetro en km

El perímetro es la suma de las distancias reducidas existente entre

estaciones, expresado en kilómetros, k es una constante propia del proyecto, la cual

vendrá definida.

El valor obtenido de la tolerancia altimétrica viene expresado en mm.

Si el al Tal quiere decir que el trabajo es admisible, de modo que podemos

corregir el error altimétrico cometido.

Tab

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.

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El error se reparte de forma proporcional al número de estaciones o ejes.

Factor corrección altimétrico= al ; siendo n el número de estaciones del itinerario.

n

Este factor puede ser positivo o negativo y se aplica proporcionalmente al

número de estaciones, siempre en dirección de ida, es decir:

Lecturas leídas desde la primera estación Z1 = Z1 1 · (al/n)

Lecturas leídas desde la segunda estación Z2 = Z2 2 · (al/n)

Lecturas leídas desde la tercera estación Z3 = Z3 3 · (al/n)

............

............

Lecturas leídas desde la última estación Zn = Zn n · (al/n)

Una vez corregidas todas las estaciones, calculamos los valores

altimétricos de los puntos en función a las estaciones corregidas, es

decir, obtenemos finalmente las cotas corregidas de todos los puntos

levantados.

Diferencias con el Itinerario Encuadrado.

Este tipo de Itinerario como hemos comentado anteriormente, es una

particularidad de un itinerario abierto, ya que desde el punto de vista de

campo es idéntico al abierto pero desde el punto de vista de gabinete, al

conocer las coordenadas de inicio y final del itinerario podemos calcular el

posible error cometido en campo.

Por lo tanto el error altimétrico es calculado por comparación entre la cota

provisional de la última estación o punto calculado y los datos que

tenemos como solución conocida de éste.

al = Z final teórica – Z final calculada

En caso de ser admisible, el factor de corrección es calculado como el

error dividido por el número de estaciones que realizan lecturas de

puntos. Es decir, si por ejemplo tenemos 7 bases o estaciones, pero en la

última no realizamos estacionamiento, el error lo dividimos entre 6.

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Con todos estos pasos, hemos resuelto al completo el estadillo altimétrico, a

continuación pasamos los datos necesarios al estadillo de coordenadas.

Si el itinerario es desorientado antes deberíamos calcular la desorientación y

pasar a este estadillo los valores de los ángulos horizontales ya orientados. (Ver comentarios en página 10).

En caso de haber anotado en campo rumbos, (habríamos trabajado respecto al

norte magnético), debemos calcular los acimutes en función al valor de la declinación,

es decir, declinación oriental sumamos, occidental restamos, de esta forma

obtenemos ángulos horizontales referidos al norte geográfico o verdadero, acimutes.

Cuando tengamos ya definitivamente los acimutes podemos calcular el error

angular en gabinete; (realizar este paso, aún si fue calculado previamente en campo).

Error de cierre angular. Tolerancia y corrección.

Como ya vimos en los pasos de campo, determinamos el error de cierre angular.

a = Hz1n – (Hzn

1 200

g) , determinado en campo o gabinete.

Acto seguido calculamos la tolerancia angular: Tangular = 3,4 · nº lados

El valor 3,4 es una constante en función al tipo de trabajo y “nº lados”

corresponde al número de lados de la poligonal formada entre estaciones.

La tolerancia angular viene expresada en minutos centesimales ( c ).

La tolerancia es el error máximo admisible en un trabajo topográfico y viene en

función al levantamiento, es decir, en función al proyecto o a los diferentes I.G.N., que

establecen sus tolerancias y constantes para las poligonales, por ejemplo:

ITALIA: Todos Tangular = 4 · nº lados

SUIZA: Poligonales principales Tangular = 4 · nº lados

Poligonales secundarias Tangular = 6 · nº lados

ESPAÑA: Itinerarios urbanos Tangular = 1 · nº lados

Habitualmente Tangular = 3,4 · nº lados

Si el trabajo es admisible, a Ta, entonces podemos atenuar los errores.

Est. Pto. Rumbo Declinación Acimut Acimut

corr. D.R. X parc. Y parc. X p.corr. Y p.corr.

Dato dado o Dato + - + - + - + -

C C C calculado C G G previo G G G G G G G G Tab

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La corrección o compensación del error angular se realizará proporcionalmente

al número de ejes o estaciones.

Factor corrección angular = a ; siendo n el número de estaciones.

n

Este factor puede ser positivo o negativo y se aplica proporcionalmente al

número de estaciones, siempre en dirección de ida.

Lecturas leídas desde la primera estación Hz1 = Hz1 1 · (a/n)

Lecturas leídas desde la segunda estación Hz2 = Hz2 2 · (a/n)

Lecturas leídas desde la tercera estación Hz3 = Hz3 3 · (a/n)

............

............

Lecturas leídas desde la última estación Hzn = Hzn n · (a/n)

Esta corrección debe ser también aplicada a todos los puntos leídos

desde cada estación con su factor correspondiente.

Realizado estos pasos, hemos resuelto la columna de los acimutes corregidos.

Es conveniente comprobar que las lecturas desde la primera estación a la última y la

última-primera son recíprocas, es decir de 200g.

El siguiente paso es traspasar los datos de la distancia reducida, ya que fue

calculada en el estadillo altimétrico, a la columna correspondiente.

Cálculo de coordenadas relativas. Error de Cierre Lineal.

Rellenados todos los datos anteriores calculamos las coordenadas relativas

mediante las fórmulas:

X = DR · sen Hz

Y = DR · cos Hz

Como se explicó en la lección anterior, el error de cierre lineal viene

determinado por un error transversal y uno longitudinal. B B’ = t2

+ l 2

Nosotros calcularemos este error a partir del error cometido en los ejes X e Y.

De manera que sumamos todos los resultados de coordenadas relativas leídas

entre estaciones, diferenciando cada sumatorio por su signo. De la diferencia de los

sumatorios positivos y negativos obtenemos el error en el eje de las X (simbolizado

como X) y el error en el eje de las Y (simbolizado como Y).

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De estos sumatorios calculamos los incrementos por ejes, obteniendo los X e Y.

Atención, sólo debemos de sumar los valores de las estaciones.

El error de cierre lineal vendrá dado por: l = X 2

+ Y 2

Tolerancia lineal. Corrección de Coordenadas Relativas y cálculo de

Coordenadas Absolutas.

La tolerancia lineal viene expresada mediante la fórmula:

Tlineal = 0,018 · perímetro + 0,001 · perímetro

Entendiendo por perímetro, NO el de la parcela medida, sino aquel

perímetro que se obtiene uniendo las estaciones entre sí, es decir, la longitud del

itinerario expresado en metros.

El valor de la tolerancia lineal viene expresado en metro (m).

Un trabajo es admisible y por lo tanto se pueden atenuar los errores siempre y

cuando el l Tl

Si el trabajo es admisible, calculamos los factores de corrección por ejes.

FX = X FY = Y

X Y

donde X e Y son los errores en cada

eje calculados anteriormente y X y

Y se obtiene de sumatorio en valor

absoluto de las coordenadas relativas

parciales en cada signo por eje.

X relativas parc. Y relativas parc.

+ - + -

+x -x +y -y

X Y

X Y Tab

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Este factor será aplicado para el cálculo de las coordenadas parciales

corregidas de las estaciones, y será aplicado en función a los valores

obtenidos en los sumatorios de las coordenadas parciales sin corregir, cuyo

valor determinará el signo a aplicar como se verá con mayor detalle en el

ejemplo práctico de esta lección.

Xp.corr. = X parc. X parc. · FX

Yp.corr. = Y parc. Y parc. · FY

Corregidas las estaciones y por lo tanto obtenidas sus coordenadas parciales

corregidas, es conveniente volver a realizar los sumatorios por columnas en función a

sus signos y comprobar que los sumatorios por cada eje son idénticos en valor absoluto,

es decir:

X parc. correg. Y parc. correg.

+ - + -

+x -x +y -y

X=0 Y=0

+x = | -x| ; +y = | -y|

Si los sumatorios antes mencionados no son iguales deberemos comprobar el

cálculo de los factores de corrección o el modo en el que hemos aplicado éstos.

Si la igualdad de sumatorios se cumple, podemos calcular las

coordenadas finales de las estaciones en primer lugar y luego los

puntos a partir de las coordenadas de las estaciones corregidas.

En ambos casos las fórmulas a emplear son: Xfinal = Xestac X

Yfinal = Yestac Y

Diferencias con el Itinerario Encuadrado.

En el estadillo de coordenadas, al no realizar lecturas de ángulos

horizontales entre la primera y la última estación no podemos conocer el

error angular.

Pero al conocer las coordenadas cartesianas de los puntos de inicio y final,

conocemos también los incrementos extremos en X e Y entre ellos. Es

decir, conocemos unos Xt e Yt, correspondiente a los incrementos

X parc. Y parc. X p.corr. Y p.corr.

+ - + - + - + -

Tab

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Tab

la 5

.

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teóricos entre las coordenadas del punto de inicio y el punto final, en cada

eje.

Por lo tanto cuando calculamos el sumatorio de las coordenadas relativas

parciales, la diferencia entre los valores positivos y negativos, (los X e

Y que calculábamos en los itinerarios cerrados, que ahora lo podríamos

llamar incrementos de campo Xc e Yc), deben ser idénticos a los que

sabíamos al inicio del trabajo, es decir, a los incrementos extremos

teóricos.

El error cometido en cada eje es la diferencia entre los incrementos

teóricos y los incrementos de campo.

eX = Xt - Xc

eY = Yt - Yc

Y al igual que se realizó anteriormente, a partir de estos errores calculamos

el error de cierre lineal.

l = eX 2

+ eY 2

A partir de aquí actuamos de igual modo que hicimos en los itinerarios

cerrados, razonando el signo a aplicar con los factores de corrección y

comprobando que la diferencia de los sumatorios de las coordenadas

relativas corregidas es idéntico a los incrementos extremos teóricos

que conocíamos al comienzo del trabajo.

Razonamiento gráfico:

El error lineal comentado anteriormente, es una forma de cálculo analítico, pero

también podríamos realizar el cálculo de una forma gráfica.

Línea fina negra = representación según datos de campo.

Línea gruesa azul = representación según datos corregidos en gabinete.

Representamos el

error lineal en

plano y graduamos

la línea de error en

tantas partes como

estaciones

tengamos, a

continuación

trasladamos

paralelas a cada

estación y

desfasamos cada

estación el número

de partes que le

corresponda.

Fig

ura

1.

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Transporte Gráfico y Cálculo de Superficie por Coordenadas.

¿Qué entendemos por transporte gráfico? Es la acción de representar la solución

de los puntos levantados en un plano horizontal, es decir, la representación sobre plano

de la situación real de terreno.

Como la solución obtenida la tenemos en coordenadas cartesianas, lo único que

tenemos que hacer, es calcular la escala adecuada de representación, y a partir de unos

ejes de coordenadas relativos que trazamos en papel, situar la posición de cada punto

levantado. Ayudados del croquis uniremos las líneas necesarias para una representación

precisa y objetiva del trabajo.

También debemos de tener en cuenta los accidentes naturales o artificiales, para

triangular y curvar con la realidad máxima permitida, (este último comentario lo

veremos con mayor detalle en la próxima lección).

Por último, si es necesario el cálculo de la superficie, en este tipo de

levantamientos, se suele utilizar la fórmula de Gauss, ya que al haber obtenido las

coordenadas cartesianas resulta más interesante calcularla por este método.

En primer lugar colocaríamos los datos como sigue: YA YB YC YA

XA XB XC XA

Y a continuación operaríamos en cruz multiplicando el numerador por el

denominador y sumando con el siguiente, y luego al contrario, como se muestra:

S1 = (YA * XB) + (YB * XC) + (YC * XA)

S = S1 – S2

S2 = (XA * YB) + (XB * YC) + (XC * YA) 2

Fig

ura

3.

Fig

ura

2.

Fig

ura

4.

Fig

ura

5.

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Comentario.

Antes de pasar al ejemplo práctico aclarar el método a seguir en todo trabajo

desorientado.

Para calcular la desorientación nos podemos ayudar de una tabla como la

mostrada a continuación.

Estación Punto Ángulos leídos Corrección de

la Orientación

Ángulos Orientados

Antecedentes Consecuentes Antecedentes Consecuentes

A B 0 g

A B

D E F = C - D C = B 200g G = E F

En la cual vamos calculando la desorientación para cada estación y luego

aplicaremos el valor de la desorientación con su signo para todos los puntos visados

desde cada estación desorientada.

Si algún valor resulta negativo, debemos de sumarle 400g y en caso de que la

cifra resultante sea superior a una vuelta completa le restamos 400g.

EJEMPLO PRÁCTICO ITINERARIO CERRADO.

El ejemplo práctico que se facilita a continuación corresponde a parte de la

evaluación realizada en la convocatoria extraordinaria de diciembre de 2007.

Observar que las estaciones bases, también pueden ser parte de la linde de la

finca.

Los estadillos solución han sido realizados con hojas de cálculo, por lo que

pueden diferir en decimales si es comprobado por el alumnado utilizando calculadora y

redondeando las soluciones parciales.

El plano expuesto en este ejemplo tan sólo contiene la representación de la linde

de la parcela y se ha completado con la triangulación que define el modelo digital del

terreno, sin llegar a realizar y representar el curvado de nivel, ya que se verá en la

próxima lección. Ni que decir tiene que la escala de la captura de la imagen del plano no

corresponde con la realidad del plano, debido al mejor ajuste posible para la edición de

estos apuntes.

Tener en cuenta que la superficie pedida no corresponde al total de la parcela.

Tab

la 6

.

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Se ha realizado el levantamiento topográfico de una finca, en una zona donde la declinación

magnética es δ= 3,00g

occidental.

Se ha usado una estación total con apreciación angular de segundos centesimales y mm. en

distancias.

El método empleado para realizar el trabajo ha sido itinerario con puntos radiados, formando

el itinerario los puntos 100, 200 y 300.

La linde de la finca esta definida por los puntos: 101, 100, 201, 202, 301, 300 y 302 en ese

orden.

EST.

P.O. Alt. Instru.

Rumbo A. Vertical Dis. Incli.

Alt. Prísma

100 300 1,50 27,6187 - - -

“ 101 “ 88,7870 98,8211 199,819 1,30

“ 200 “ 368,6924 98,0953 139,063 1,30

200 100 1,55 168,6924 - - -

“ 201 “ 269,1544 100,9946 128,655 1,70

“ 202 “ 364,7826 101,9644 123,495 1,30

“ 300 “ 81,0812 101,4083 148,737 1,30

300 200 1,48 281,0812 - - -

“ 301 “ 4,8197 100,0165 77,192 1,30

“ 302 “ 91,0139 98,8889 140,377 2,15

“ 100 “ 227,5834 100,5127 182,549 1,30 Sabiendo que las coordenadas del punto 100 son: (X= 1.000,00 Y= 1.000,00 Z= 100,00) 1.) Calcular las cotas de todos los puntos, determinando la tolerancia para una K= 55, y el error altimétrico, corrigiendo este en caso de ser admisible. 2.) Calcular las coordenadas de todos los puntos, determinando las tolerancias y los errores angular y lineal, corrigiendo los errores en caso de ser admisibles. 3.) Dibujar el plano de la finca delimitada por los puntos 101, 100, 201, 202, 301, 300 y 302, en formato A4, a escala E=1/1.600.

4.) Calcular la superficie de la subparcela 100-201-202-301-300, expresada en unidades típicamente agrarias.

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La superficie en unidades agrarias es igual a:

4 Ha 40 a 14,88 ca

EJEMPLO PRÁCTICO ITINERARIO ENCUADRADO.

El ejemplo práctico que se facilita a continuación corresponde a parte de la

evaluación realizada en el primer cuatrimestre del curso 2008/09.

Observar que existen un total de cuatro estaciones y que la última no sólo se ha

utilizado como lectura, es decir, no hemos estacionados sobre ella, por lo que los

factores de corrección serán calculados y repartidos entre tres estaciones.

Los comentarios realizados en el ejercicio práctico propuesto anteriormente son

válidos este nuevo ejemplo, ya que si observáis ambos enunciados, los datos de campo

son idénticos, salvo que en el primero teníamos un punto 302 y en este ejemplo este

punto se ha convertido a estación 400, por lo que la solución final es idéntica y por lo

tanto el plano, motivo por el cual no se repetirá la representación gráfica del mismo,

aunque se pida a una escala distinta.

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Se ha realizado el levantamiento topográfico de una finca, en una zona donde la

declinación magnética es δ= 3,00g

occidental.

Se ha usado una estación total con apreciación angular de segundos centesimales y mm.

en distancias.

El método empleado ha sido itinerario con puntos radiados.

El eje del itinerario viene definido por los puntos 100, 200, 300 y 400.

EST. P.O. Alt. Instru. Rumbo A. Vertical Dis. Incli. Alt. Prísma

100 101 1,50 88,7870 98,8211 199,819 1,30

“ 200 “ 368,6924 98,0953 139,063 1,30

200 100 1,55 168,6924 - - -

“ 201 “ 269,1544 100,9946 128,655 1,70

“ 202 “ 364,7826 101,9644 123,495 1,30

“ 300 “ 81,0812 101,4083 148,737 1,30

300 200 1,48 281,0812 - - -

“ 301 “ 4,8197 100,0165 77,192 1,30

“ 400 “ 91,0139 98,8889 140,377 2,15

Sabiendo que las coordenadas del punto 100 son: (X= 1.000,00 Y= 1.000,00 Z= 100,00) y que las coordenadas del punto 400 son: (X= 1.206,694 Y= 1.195,452 Z= 103,08) Se pide:

1.) Calcular las cotas de todos los puntos, determinando la tolerancia para una K= 55, y el error altimétrico, corrigiendo este en caso de ser admisible.

2.) Calcular las coordenadas de todos los puntos, determinando los errores, las tolerancias y corrigiendo en caso de ser admisible.

3.) Dibujar el plano de la finca delimitada por los puntos 101, 100, 201, 202, 301, 300 y 400,

en formato A4, a escala E=1/2000.

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BIBLIOGRAFÍA BÁSICA. DOMÍNGUEZ GARCÍA-TEJERO, F. Topografía General y Aplicada. MARTÍN MOREJÓN, L. Topografía y Replanteos. LÓPEZ-CUERVO, S. Topografía. MARTÍN SÁNCHEZ, S. Topografía para Carreras Técnicas. VALDÉS DOMÉNECH, F. Topografía.

Relación de figuras, tablas y sus fuentes. Figura 1: Representación gráfica del error de cierre. Elaboración propia, León-Bonillo, M.J.,

disponible en personal.us.es/leonbo Figura 2: Triangulación de Delaunay, Abellanas, M. & Hidalgo, I., disponible en

dma.fi.upm.es/mabellanas Figura 3: Proyección MDT en superficie 2D, disponible en gestionriego.com Figura 4: Modelo Digital del Terreno a partir de celdas. Figura 5: Curvas de nivel a partir de MDT.

Tabla 1: Cabecera de estadillos altimétricos. Elaboración propia, León-Bonillo, M.J., disponible

en personal.us.es/leonbo Tabla 2: Cabecera de estadillos de coordenadas. Elaboración propia, León-Bonillo, M.J.,

disponible en personal.us.es/leonbo Tabla 3: Datos necesarios para el cálculo de error lineal, así como para los factores de

corrección. Tabla 4: Paso de coordenadas parciales a coordenadas parciales corregidas. Tabla 5: Comprobación de sumatorios de coordenadas parciales corregidas. Tabla 6: Estadillo de desorientación.