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Departamento de Física Aplicada III Capítulo 3: Física cuántica

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Capítulo 3

FUNDAMENTOS DE LA

FÍSICA CUÁNTICA

1.- INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA CUÁNTICA.

Para entender la física cuántica conviene olvidarse casi por completo de la imagen

que la física clásica nos brinda del mundo que nos rodea. Es una forma radicalmente

distinta de hacer física. Es preferible partir de cero: dejar provisionalmente a un lado las

ecuaciones de Maxwell, la ley de fuerza de Lorentz y la Segunda ley de Newton; borrón

y cuenta nueva. (Risco R., Martínez J., Casado A. 1999).


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Clásicamente, cuando decimos que estamos estudiando un sistema físico entendemos

que lo que estamos estudiando es un conjunto de partículas y los campos

electromagnético y gravitatorio que existen entre ellas. Aunque esta definición de

sistema físico se ve modificada cuando uno profundiza dentro de la Física Cuántica, en

primera aproximación podemos mantenerla, o sea, que un sistema físico será para

nosotros lo mismo.

La diferencia fundamental entre la Física Clásica y la Física Cuántica está en lo que

se entiende por el estado de dicho sistema. Clásicamente, si queremos indicar en qué

estado se encuentra el sistema en cierto instante hemos de especificar cuatro cosas:

- La posición de cada una de las partículas que forma el sistema.

- La velocidad de cada una de las partículas que forma el sistema.

- El valor del campo eléctrico, magnético y gravitatorio en todos los puntos del

espacio.

- El valor de la derivada respecto al tiempo del campo eléctrico, magnético y

gravitatorio en todos los puntos del espacio (algo así como su velocidad, análogamente

a lo que ocurre con las partículas).

Dadas estas cantidades en cierto instante podemos poner en marcha el conjunto de

ecuaciones y sí predecir el estado del sistema en cualquier instante posterior y con ello

el resultado de cualquier medida que realicemos sobre el sistema, por ejemplo la

posición de cierta partícula, la energía cinética de otra, la cantidad de movimiento de su

centro de masa, etc.

Cuánticamente, dar el estado de un sistema es algo muy distinto; es dar su función de

onda. En ella está contenida toda la información del sistema en cierto instante de

tiempo. Pero, ¿qué es la función de onda del sistema? No es nada que se “palpe”

directamente, algo a lo que nuestros sentidos pudieran tener acceso directo como en el

caso de la velocidad o la fuerza, por poner un par de ejemplos. Para comprender el

significado de la función de onda conviene pensar en el sistema más simple que se nos


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pudiera ocurrir: una única partícula, o más simple aún, una única partícula que sólo se

pudiera mover en un dirección.

Claro que una única partícula sin más, no sumergida en ningún campo, es quizás

algo demasiado simple. Supondremos que la partícula está dentro de un campo

consecuencia del cual la partícula está sometida a una fuerza conservativa. Obviamente

el origen de este campo se encuentra en la existencia de otras partículas, pero para

facilitar nos olvidaremos de este hecho. También es cierto que el movimiento de la

partícula modificará el valor del campo que la está bañando, pero también para

simplificar supondremos que la influencia de la partícula sobre el campo es

despreciable. En realidad estamos haciendo las mismas hipótesis que se hacen cuando

se estudia un problema de Mecánica Clásica de una partícula, algo de lo que

seguramente ya os habréis percatado.

Lo primero que hay que decir es que así como en Física Clásica el valor de una

magnitud física de la partícula, por ejemplo su posición, su velocidad, su energía

cinética, su energí a potencial, su energía mecánica, etc... podían tomar en principio

cualquier valor, en Física Cuántica la partícula sólo tiene permitidos unos valores

concretos de estas cantidades. ¿Cuáles? Depende de la fuerza a la que esté sometida.

Podríamos ahora intentar comprender esto con un ejemplo, o sea, suponer que nuestra

partícula está sometida a una fuerza “sencillita” que derive de una energía potencial,

por ejemplo la fuerza que le ejercería un muelle, e intentar averiguar qué valores

posibles de la energía mecánica podría tener la partícula.

Nos encontraríamos con que los únicos valores posibles son, por ejemplo, 0.5,1.5 ,2.5

Julios, etc., pero que nunca puede tener 1 Julio de energía. Este hecho es algo inaudito

en la Física Clásica ya que, clásicamente, si quisiéramos que la partícula tuviera por

ejemplo 1 julio de energía, bastaría con darle unas condiciones iniciales adecuadas y

siempre sería posible. Sin embargo, dejaremos este ejemplo para más adelante y nos

centraremos ahora en cuestiones más importantes de índole general, aunque

forzosamente el lenguaje se volverá algo más abstracto.


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Intentemos comprender por qué sólo son posibles algunos valores concretos para las

magnitudes físicas.

Las magnitudes citadas anteriormente (posición, velocidad, energía cinética, energía

potencial, etc...) clásicamente se llaman variables dinámicas. Una variable dinámica es

cualquier función de la posición x y de la cantidad de movimiento px de la partícula. Por

ejemplo, la energía cinética es ½ mvx 2, pero teniendo en cuenta que px =mvx, la

energía cinética de la partícula también puede escribirse como px2/(2m),.

La energía potencial es, por definición, únicamente función de la posición de la

partícula, EP= EP (x), y así con todas las variables dinámicas. En general podemos decir

que si O es una variable dinámica, entonces O=O(x, px), en el caso monodimensional

que nos ocupa.

Obviamente, las variables dinámicas más simples son x y px..Todas las demás se

construyen a partir de ellas.

En Física Cuántica estas cantidades vienen representadas matemáticamente por un

operador que actúa sobre una función de x y t. Un operador es un objeto que actúa

sobre otro objeto matemático (una función, por ejemplo), y que lo transforma en un

objeto distinto (una función distinta). Por ejemplo, el signo “-“ es un operador, pues

actuando por ejemplo sobre la función cos x ,la transforma en otra distinta. Los

operadores los denotaremos con un acento circunflejo: O)

.

El operador que representa a la componente x de la posición de la partícula consiste

en multiplicar la función sobre la que está actuando por la variable x.

),(),(),( txfxtxgtxfx ⋅==)

Del mismo modo, el operador que representa a la componente x de la cantidad de

movimiento px consiste en derivar la función sobre la que está actuando respecto a x y


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el resultado multiplicarlo por la constante –iž, siendo i la unidad imaginaria y ž lo que

se llama la constante de Planck, h, dividida por 2ð.

x

txfitxgtxfp x ∂

∂−==

),(),(),( h

)

Con las definiciones anteriores es inmediato comprobar que el operador que

representa la energía cinética de una partícula de masa m es:

2

2

2ˆ

xmEC ∂

∂−=

h

Volvamos ahora a la cuestión que teníamos entre manos, o sea, cómo se determinan

los posibles valores de las distintas variables dinámicas. Para ello, hay que resolver lo

que se llama una ecuación de autovalores, que es un ecuación en la que aparece un

parámetro ( un número real) y que sólo tiene solución para ciertos valores de este

parámetro.

Una ecuación de autovalores tiene la forma:

)()( xfxfO ⋅= λ)

Aquí el operador es dato, f(x) es la incógnita de la ecuación (autofunción), y ë es el

parámetro de la ecuación, un número real como decimos, que en cierto modo también

es una incógnita; en otras palabras, en general la ecuación anterior sólo tendrá solución

para ciertos valores de ë. La ecuación anterior nos plantea el problema de encontrar

aquellas funciones f(x) tales que al hacer actuar el operador sobre ella nos dé ella misma

multiplicada por una constante. Los posibles valores de esta constante para los cuales la

ecuación tiene solución se llaman autovalores de dicho operador.


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Para cada valor posible de ë la ecuación anterior tendrá una solución distinta, una

autofunción. Para cada autovalor existe una autofunción. Pues bien, y esto es lo

importante, los posibles valores que puede tomar una variable dinámica ( una

magnitud física) son los autovalores del operador que representa a dicha variable

en cada problema concreto (por ejemplo, la expresión para el operador energía

potencial dependerá de la fuerza concreta a la que está sometida la particula), y f(x) es

la función de onda de la partícula para dicho valor.

2.- LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER.

La mecánica clásica es sólo aplicable a partículas macroscópicas, de forma que para

partículas microscópicas es necesario aplicar la mecánica cuántica. Por simplicidad, en

adelante trataremos con sistemas unidimensionales de una partícula.

En mecánica clásica el movimiento de una partícula está regido por la segunda ley de

Newton:

2

2

dtxd

mF =

siendo F la fuerza que actúa sobre la partícula, m su masa y t el tiempo.

El principio de incertidumbre de Hesissenberg demostró que no se podía determinar

simultáneamente la posición exacta y la velocidad de una partícula microscópica, de

forma que no podía obtenerse el conocimiento requerido por la mecánica clásica para

predecir el movimiento futuro de un sistema. En mecánica cuántica debemos

contentarnos con algo menos que la predicción completa del movimiento futuro exacto.


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Para describir el estado de un sistema en mecánica cuántica, postulamos la existencia

de una función de coordenadas, llamada función de onda ø (Levine I., 1986). Ya que en

general el estado cambia con el tiempo, ø es también función del tiempo. Para un

sistema monodimensional de una partícula tenemos que ø= ø(x,t), y tiene toda la

información posible acerca del sistema.

Para encontrar el estado futuro de un sistema mecano-cuántico conociendo el estado

presente, precisamos una ecuación que nos indique cómo cambia con el tiempo la

función de onda. Esta ecuación se postula que es:

),(),(),(

2),(

2

22

txtxVx

txmt

txi

ψψψ

+∂

∂−=

∂∂

−hh

donde se postula que E es la energía del sistema para una partícula de masa m que se

mueve en una dirección.

Esta ecuación recibe el nombre de ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo .

La función de onda ø contiene toda la información que posiblemente podemos

conocer del sistema que describe, pero no podemos esperar que nos dé una

especificación definitiva de la posición, como lo hace el estado de un sistema clásico,

sino más bien una probabilidad (Gillespie D. 1975).

Así, la mecánica cuántica es de naturaleza básicamente estadística: conociendo el

estado no podemos predecir con certeza el resultado de una medida de la posición; sólo

podemos predecir las probabilidades de los distintos resultados posibles.

Si el campo de fuerzas en el cual se mueve una partícula es estacionario, la función

V(x,t) no depende explícitamente del tiempo y tiene un sentido de energía potencial.


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En este caso, la solución de la ecuación de Schrödinger se descompone en dos factores,

uno de los cuales depende sólo de las coordenadas y el otro sólo del tiempo:

t

Ei

extx

−

⋅= h)(),( ψψ

De modo que si introducimos esta ecuación en la ecuación de Schrödinger dependiente

del tiempo, obtendremos la ecuación:

)()()()(

2 2

2

xExxVdx

xdm

ψψψ

=+−h

Esta ecuación se denomina ecuación de Schrödinger para estados estacionarios o

independiente del tiempo, y usualmente se escribe en la forma:

[ ] 0)()(8)(

2

2

2

2

=−+ xxVEh

mdx

xd ψπψ (3.1)

La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo es un espectáculo formidable.

Afortunadamente, para muchas aplicaciones de la mecánica cuántica no es necesario

emplear esta ecuación, en su lugar utilizaremos la ecuación de Schrödinger

independiente del tiempo, para el caso unidimensional de una partícula.

A continuación resolveremos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

para dos casos particulares, que como veremos más adelante serán muy importantes en

el desarrollo de este trabajo: La partícula en una caja unidimensional y el rotor rígido.


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3.-LA PARTÍCULA EN UNA CAJA UNIDIMENSIONAL.

Consideremos el caso de una partícula obligada a moverse en la región entre x= 0 y

x= a, tal como una molécula de gas en una caja unidimensional (figura 1) (Levine I.

1986). La molécula se mueve libremente hasta que choca con la pared, que la fuerza a

rebotar. Una situación similar existe para un electrón libre en un pedazo de metal, si

despreciamos las interacciones del electrón con los iones positivos y si la altura de la

barrera de potencial es más grande que la energía cinética del electrón. Es decir, el

electrón puede moverse libremente a través del metal pero no puede escapar de él.

Figura 1

Podemos representar cada una de estas situaciones físicas por el potencial rectangular

de la figura 1, que es una ilustración muy simplificada de las energías potenciales que

ocurren realmente en la naturaleza. Este diagrama simplificado de la energía potencial

se denomina caja de potencial. Tenemos Ep(x)=0 para 0<x<a, ya que la partícula se

mueve libremente en esa región. Pero la energía potencial aumenta rápidamente hasta el

infinito en x=0 y x=a. Esto significa que actúan fuerzas muy intensas sobre la partícula

en esos dos puntos, obligándola a invertir su movimiento. Entonces, cualquiera que sea


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el valor de la energía E, la partícula no puede estar a la izquierda de x=0 o a la derecha

de x=a. En consecuencia, en estas dos regiones (x<0, x>a), la función de onda es

idénticamente igual a cero; esto es, ø(x)=0.

En la región 0<x<a el problema es esencialmente el de una partícula libre. La

ecuación de onda de una partícula libre, donde Ep(x)=0, se obtiene de la ec.(3.1).

0

222

2

=+ ψψh

mEdxd

Pero para una partícula libre, E=p2/2m. Haciendo kp h= ,donde k es el número de

onda, tenemos que:

mkE

2

22h=

Y la ecuación se convierte en:

022

2

=+ xkdxd ψ

(3.2)

Esta ecuación es idéntica a la ecuación de la amplitud de ondas estacionarias (figura

2) con una longitud de onda ë= 2ð/k =h/p.

Como la partícula está oscilando entre x= 0 y x= a, la función de onda es la misma

que para el caso de ondas estacionarias, cuya solución general es del tipo:

ikxikx BeA ex −+=)(ψ


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Figura 2

Lo cual indica movimiento en ambas direcciones. Las condiciones de contorno

requieren que ø(x)= 0 en x = 0, y x = a.

De la primera de ellas:

)(2)()( kxiAseneeAx ikxikx =−= −ψ

donde C = 2iA.

La condición de contorno en x = a obliga a que C sen (ka) = 0. Como C no puede ser

cero, concluimos que sen ka =0, que implica que:

a

nk

π= ;

an

kph

hπ

==

Por tanto, la energía de la partícula correspondiente a los valores de k dados por la

ec es:


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2

2222

22 man

mp

Ehπ== ...3,2,1,0=n (3.3)

Concluimos entonces que la partícula no puede tener una energía arbitraria, sino solo

aquellos valores dados por la ec.(3.3),es decir, la energía de la partícula está

cuantizada. Así, si E1 es la energía para n=1, entonces: E= E1, 4E1 ,9E1,...

Por consiguiente, el formalismo matemático de la mecánica cuántica, como se

expresa en la ecuación de Schrödinger, incorpora de un modo natural la cuantización de

la energía y la existencia de un conjunto discreto de niveles de energía permitidos.

4.- EL ROTOR RÍGIDO DE DOS PARTÍCULAS.

El rotor rígido de dos partículas es un sistema de dos partículas separadas a una

distancia fija por una varilla fija sin masa, de longitud d, como en la figura 3.

Para abordar este problema, antes hemos de resolver dos problemas intermedios: el

problema de las fuerzas centrales y la reducción del problema de dos partículas a un

problema de una partícula.

En esta ocasión reduciremos las operaciones matemáticas en la medida de lo posible

con objeto que esta lectura no sea muy árida para el lector, puesto que también escapa

de la finalidad de este trabajo.

4.1: El problema de fuerzas centrales.

Una fuerza central es una fuerza que proviene de una función energía potencial de

simetría esférica, es decir, que es función únicamente de la distancia de la partícula al

origen: V = V(r).


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Vamos a considerar la mecánica cuántica de una partícula simple sometida a una

fuerza central.

El operador hamiltoniano es:

)(2

22

rVm

VTH +∇−=+= h)))

Puesto que V tiene simetría esférica, utilizaremos coordenadas polares esféricas; por

tanto, debemos expresar el operador laplaciano en estas coordenadas:

2

2

2222222 1cot112

ϕθθθ

θ ∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

senrrrrrr

Se puede demostrar que esta expresión puede expresarse en función del cuadrado de

la magnitud del momento angular orbital de una partícula simple, quedando:

2222

2 12L

rrrr

)

h−

∂∂

+∂∂

=∇

El Hamiltoniano se transforma en :

)(2

122

222

22

rVLmrrrrm

H ++

∂∂+

∂∂−=

)h)

Resolvemos entonces la ecuación de autovalores para hallar la función de onda, y se

demuestra que existen un conjunto de funciones propias comunes para ZLLH)))

,, , de forma

que:

ψψ EH =)


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ψψ 22 )1( h)

+= JJL ....3,2,1,0=J (3.4)

ψψ h)

mLZ = m=-l,-l+1,...,l

Obteniendo que:

( )ϕθψ ,)( 1mYrR= (3.5)

Hemos demostrado que para cualquier problema de una partícula, con una energía

potencial de simetría esférica V(r) , la función propia ø es un producto de un factor

radial por un armónico esférico, de forma que empleando alguna forma específica para

V(r) podemos resolverla para algún problema particular.

4.2.- Reducción del problema de dos partículas a una partícula.

Vamos a mostrar ahora cómo podemos frecuentemente reducir el problema de dos

partículas a un problema de una partícula (Levine I. 1986).

Consideremos el tratamiento en mecánica clásica de dos partículas de masas m1 y

m2. Especificaremos sus posiciones por medio de los radios vectores 1rr y 2r

r trazados

desde el origen de un sistema de coordenadas cartesianas, como en la figura 3. Las

partículas uno y dos tiene por coordenadas (x1, y1, z1) y (x2, y2, z2).

Figura 3

r1

r2

R

m1

m2

X

Y

Z

r


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Dibujemos el vector 12 rrrrrr −= que va desde la partícula uno a la dos y denotemos las

componentes de rr por:

x= x2 –x 1 ; y= y2 - y1 z= z2 -z1 (3.6)

Las coordenadas x, y , z reciben el nombre de coordenadas relativas (o internas).

Dibujemos el vector Rv

desde el origen al centro de masas, punto C, y denotemos las

coordenadas de C por X, Y, Z.

La definición del centro de masas de este sistema de dos partículas nos lleva a la

siguiente relación:

21

2211

mmrmrm

R++

=rrv

La energía cinética del sistema es la suma de las energías cinéticas de las dos

partículas:

221

211 2

121

rmrmT &r&r +=

Sea la masa M total del sistema, definimos la masa reducida ì para un sistema de

dos partículas de la siguiente forma:

21 mmM +=

21

21

mmmm

+⋅

=µ

De forma que la energía cinética del sistema se puede poner en función de ambas

como:


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22

21

21

rRMT &r&r µ+=

o, en función de los momentos lineales:

µ

µ

22

22p

m

pT M

rr

+=

Consideremos ahora la energía potencial. Hemos hecho la restricción de que V sea

función solamente de las coordenadas relativas x, y, z de las dos partículas:

),,( zyxVV =

Con esta restricción la función hamiltoniana es:

++= ),,(

22

22

zyxVp

Mp

H M

µµ

(3.7)

Supongamos ahora que tenemos un sistema compuesto por una partícula de masa M

no sometida a ninguna fuerza y una partícula de masa ì sujeta a una función energía

potencial V(x,y,z) y, además, supongamos que no hay interacción entre ellas.¿Cuál es el

hipotético hamiltoniano de este sistema? Está claro que es idéntico al ec.(3.6).

Ya que nuestro sistema hipotético no presenta interacción entre las dos partículas,

podríamos tratar el movimiento de cada una de ellas por separado. La partícula de masa

M, que no está sujeta a ninguna fuerza, simplemente sufriría un movimiento de


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traslación a velocidad constante y su contribución a la energía total del sistema es una

constante.

Por tanto, hemos reducido nuestro problema inicial de dos cuerpos a dos problemas

independientes de un cuerpo:

(1) El movimiento de traslación del sistema como un todo, que simplemente añade una

constante a la energía total.

(2) El movimiento interno , que puede tratarse considerando una partícula hipotética de

masa ì sujeta a una función energía potencial V(x,y,z).

En esta sección, hasta el momento, hemos trabajado con la mecánica clásica. Ahora

queremos demostrar que esta misma separación es válida en mecánica cuántica.

Con esta finalidad, haremos uso de un teorema importante: supongamos que nuestro

problema está compuesto por dos partículas que no interaccionan entre sí. Sean 1H)

y

2H)

los operadores hamiltoniano para las partículas 1 y 2 respectivamente. Puesto que

no hay interacción entre las partículas, el hamiltoniano para el sistema es:

21 HHH)))

+= (3.8)

El teorema demuestra que podemos reducir el problema de dos partículas a dos

problemas independientes de una partícula resolviendo:

)()( 211111 qGEqGH =)

)()( 222222 qGEqGH =)


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La energía total es entonces la suma de las energías individuales de cada partícula:

21 EEE +=

Con el resultado de este teorema, vamos a considerar el problema en Mecánica

cuántica de dos partículas de masas m1 , m2 que interaccionan de forma que la energía

potencial es función solamente de sus coordenadas relativas. Haciendo la

transformación de coordenadas expresada en las ec. podemos escribir el hamiltoniano

como la suma de hamiltonianos de dos partículas independientes hipotéticas, ec.(3.8).

Por tanto, la energía total del sistema será la suma de las energías de esas dos

partículas. Una partícula tendrá masa M y se moverá como una partícula libre ( V=0)

con alguna energía no negativa. La segunda partícula hipotética tendrá masa ì y su

operador hamiltoniano estará formado por dos términos:

),,(ˆ

2

2

zyxVp

H +=µµ

µ

))

4.3.- Solución al problema del rotor rígido de dos partículas

Definido antes, este problema consiste en un sistema de dos partículas separadas a

una distancia fija por una varilla sin masa, de longitud d. Entonces, para este problema

el vector rr de la figura 3 tiene la magnitud constante dr =v .Por tanto, la energía

cinética del movimiento interno es energía totalmente rotacional.

La energía del rotor es totalmente cinética y tenemos:


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0=V

La ecuación anterior es una caso especial de la ecuación V=V(r) y, por tanto,

podemos utilizar los resultados obtenidos en la última sección para separar el

movimiento de traslación del sistema como un todo. Estamos interesados solamente en

la energía rotacional .El hamiltoniano para la rotación está dado por ecuación.:

222

22∇−==

µµµ h) p

H

En lugar de coordenadas cartesianas relativas x,y,z, será más práctico utilizar

coordenadas polares esféricas relativas r, è, ö . La coordenada r es igual a la magnitud

del vector rv de la figura 4 y, puesto que ambas partículas están restringidas a

permanecer a una distancia fija, tenemos que r = d.

Así pues, el problema es equivalente a una partícula de masa ì obligada a moverse

sobre la superficie de una esfera de radio d. Puesto que la coordenada radial es

constante, la función de onda será solamente función de è y ö, de lo que se deduce que

los dos primeros términos de la ecuación de la laplaciana darán cero al operar y pueden

omitirse.

Como V=0 es un caso especial de V =V(r ), los resultados del apartado 4.1 nos dicen

que las funciones propias vienen dadas por ec. omitiendo el factor r :

),(1 ϕθψ mY=

El operador hamiltoniano es:

222

1L

dH

))

µ=

Pasamos ahora a resolver la ecuación de autovalores:, haciendo uso de la ec.(3.4):


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ψψ EH =)

),(),(2

1 22 ϕθϕθ

µm

Jm

J EYYLd

=)

),(),()1(2

1 22 ϕθϕθ

µm

Jm

J EYYJJd

=+ h

Y obtenemos como solución:

( )2

2

21

dJJ

Eµ

h+=

donde J se denominará número cuántico rotacional.

Entonces, para el caso más general de un sistema de n partículas con respecto a un

eje particular en el espacio, se define el momento de Inercia I:

∑=

=n

iiimI

1

2ρ

Donde mi es la masa de la partícula i y ñi es la distancia de cada partícula al eje.

En este caso general es fácil demostrar que los niveles de energía y momentos

angulares permitidos para el rotor son:

( )

IJJ

E2

1 2h+= ...3,2,1,0=J

)1( += JJL h ...3,2,1,0=J

Si definimos la constante rotacional B, de forma que


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IhB 28/ π=

Entonces también puede escribirse así:

)1( += JBJE ...3,2,1,0=J

¿Están degenerados los niveles de energía del rotor rígido? L energía depende

únicamente de J, pero la función de onda depende de J y de m. Para cada valor de J

tenemos (2J+1) valores de m, desde –J hasta J, por lo que los niveles estarán (2J+1)

veces degenerados. Físicamente esto corresponde a las diferentes orientaciones posibles

del vector momento angular del rotor con respecto al eje fijo en el espacio, ver figura 4.


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Figura 4

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