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FUNDAMENTOS DE CORRELACIÓN DE FOTONES
Prof. María L. Calvo
Clase del 26 y 27* de enero de 2011
(Primera hora)*
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Fuentes de fotones• Fuente natural de fotones: El Sol
Frecuencias de emisión:a) Visible (electrones que realizan las transiciones cuánticas
son los más externos al átomo)b) Rayos X (electrones que realizan las transiciones
próximos al núcleo atómico), energía/fotón superior a 100 eV.
• Reacciones de muy alta energía entre partículas elementales: Por ejemplo, colisión electrón-positrón, generación de energías del orden de 109 eV.
• Fuentes controladas de fotones:Por ejemplo, fenómeno inverso del efecto fotovoltáico: fuentes de luz basadas en semi-conductores (LED’s): Recombinación electrón-hueco genera un fotón (con energía de unos eV)
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La detección de fotones• Fundamentos: Absorción de fotones en materiales
adecuados.• Efecto fotoeléctrico: Los fotones absorbidos crean una
corriente de fotoelectrones medible. Se puede producir con luz UV o visible dependiendo de la naturaleza del cátodo.
• Fotomultiplicadores: Los electrones emitidos por el cátodo son acelerados mediante un campo externo.
• Otros detectores:• En visible, UV e IR: Cámaras CCD
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LÍMITE DE LA DESCRIPCIÓN CLÁSICA•La descripción clásica de la coherencia óptica está ligada a la naturaleza de las fuentes de radiación y de los instrumentos de medida.
•La naturaleza matemática de Γ12(t) es independiente del proceso de detección del campo.
•El primer tratamiento para la descripción cuántica de la coherenciaóptica se debe a Glauber (1962).
Se consideran paquetes de ondas de fotones con propiedadesparticulares:
1) El fotón posee momento.
2) El fotón tiene asociada una función de onda.
3) : El fotón tiene dos variables dinámicas de momento angular: a) orbital, b) interno o espín:
4) LosLos fotonesfotones puedenpueden correlacionarcorrelacionar. La correlación de fotones tieneasociado un volumen de coherencia.
R.J. Glauber, “The Quantum theory of optical coherence”, J. Opt. Soc. Am., 130(6), 2529 (1963)
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Propiedades particularesPropiedades particulares• 1) El fotón posee momento:
• 2) El fotón tiene asociada una función de ondavectorial:
• El vector: es la función de onda del fotón.
( )p p p px y z≡ , ,
( )( )
( )3
3 / 2, , exp2d kf r t f k t ikrπ
= ∫
( ),f k t
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Momento angularMomento angular
• 3) : El fotón tiene dos variables dinámicas(operadores) de momento angular: a) orbital (l)
b) interno o espín (polarización) (S):
S p k= ± =;
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Comparación entre el spin y el momentoangular orbital del fotón
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Correlación de fotones• Definimos el espacio de las fases: seis variables
de posición (tres) y momento (tres):
• Definimos una celda unidad que caracterizafotones « idénticos ».
( ), , ; , ,x y zx y z p p p
( )( )x y zx y z p p pγ∆ = ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
Estos fotones tienen el mismo estado spin.Se puede definir: ∆γ = h3
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Definición de volumen de coherenciaDefinición de volumen de coherencia• De forma aproximada para una fuente plana
emitiendo fotones, se define:
• Donde S es el área de la fuente plana.• Y:
• Que corresponde a una definición análoga al volumen de coherencia clásico.
2312z
x y zS
λ λλ
∆ ∆ ∆ =∆
php
λ ∆∆ =
c cx y z V l A∆ ∆ ∆ = = ∆
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Longitud de coherencia transversal d ~ λ/θLongitud de coherencia longitudinal l ~ c / ∆ωVolumen de coherencia d2 lParámetro de degeneración δ
δ = número de fotones en el volumen de coherenciaδ = número de fotones por modo (cavidad) Parámetro de degeneración:
1. Fuente térmica
2. Radiación de sincrotrón δ ≈ α N λ/ (cτ F) ≈ 104/F
4. Láser ~1 mJ emisión en el visible δ≈ 1015
ParParáámetrometro de de degeneracidegeneracióónn: : camposcampos queque puedenpueden ser ser tratadostratadosclcláásicamentesicamente ((δδ >>1)>>1)
3. Radiación de Wiggler δ ≈ 2 MW α N λ/ (cτ F) para KW > 1
F = número de modostransversales en en el área del haz
El Sol 1
exp 1B
hK T
δν
=
−
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EXPERIMENTOS DE CORRELACIÓN DE EXPERIMENTOS DE CORRELACIÓN DE FOTONESFOTONES
•La correlación de fotones tiene naturaleza estadística.
•La probabilidad de detección de una corriente de fotoelectrones es proporcional a la intensidad instantánea asociada al campo de radiación:
donde: η es un coeficiente que está ligado a la naturaleza del detector.
∆ t: tiempo de respuesta
Para un número de medidas N:
( ) ( )P t I t t≈ η ∆
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P t P t P t I t I t I t t t tN N N N1 2 1 2 1 2 1 2.... .... ... ...= η η η ∆ ∆ ∆
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El El experimentoexperimento de de HanburyHanbury--Brown y Brown y TwissTwissPilot stellar intensity interferometerJodrell Bank, England, (1955)- First measurement of the angular diameter of a main sequence star (Sirius).- Stellar Intensity Interferometer,Narrabi, Australia (1963)
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Datos: Cada espejo formado por 252 micro-espejos (mosaicos) hexagonales de 38 cm de ancho, con geométrica próxima a un espejo parabólico. Diámetro total: 6,5 m.
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EXPERIENCIA DE HANBURY BROWN Y TWISS
( ) ( ) ( )[ ]I t I t I I1 2 1 2 1221+ = +τ γ τ
DETECTOR 1
DET
ECTO
R 2
FILTRO DE BAJA
FILTRO
DE BAJA
τ RETARDO
xMULTIPLICADOR
INTEGRADOR
FUENTE
I2
I1
∆I2 ∆I1
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2)()(1 || 11 tirkitirki
PBBAA eeI φφ +⋅+⋅ +=
2)()(2 || 22 tirkitirki
PBBAA eeI φφ +⋅+⋅ +=
21 =PI 22 =PI
Como en el experimento clásico:
FundamentosFundamentos::
)](cos[24 2121 rrkII PP ∆−∆+=Si tomamos el producto antes de realizar el promedio temporal:
)( 221121 BABA rrrrrr −−−=∆−∆
Donde:
A
B
P2
P1
L >> (d & R)
d
R
rA1
rB1
rA2
rB2
(relacionado con la geometría de la fuente y el detector)
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RELACIÓN SEÑAL-RUIDO
( ) ( ) ( ) ( ) 20
2O O
dRMS
O
T TS c d A n fN N Tα γ= = ∆
Datos relativos al experimento de Narrabi (1956):
d : distancia entre detectores (base del interferómetro)
A: área del detector = 30 m2
α: eficiencia cuántica del detector = 0.20
λ: longitud de onda = 430 nm
∆f: anchura de banda de la señal analógica = 100 MHz
TO: tiempo de correlación = 1 h
La relación señal/ruido cuando se observa la radiación de una estrella en el zenit: n: número de fotones/m2sHz = 5.10-5 es:
c(d)/N = 127x 0,2 (en 1 hora), 0.2: coef. de pérdidas
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Correlación de segundo ordenCorrelación de segundo orden
( ) ( ) ( ) ( )2 2τ τΓ = Γ −Se cumple:
Para una onda electromagnética clásica:
( ) ( ) ( ) ( )2 2 0τΓ ≤ Γ
Este comportamiento no se cumple para estados cuánticos de luz.
Γ(2) (τ)
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Supondremos un campo óptico térmico como procesogaussiano. Para N=2, la correlación de intensidades:
Experimentalmente se obtiene la correlación de las fluctuaciones de la intensidad:
Para τ=0: el coeficiente de correlación es:
( ) ( ) ( )∆I t I t I t= −
( ) ( )C
I I
I I12
1 2
12
22
=∆ ∆
∆ ∆
( ) ( ) ( ) 21 21 2 12I t I t I Iτ γ τ∆ ∆ + =
( ) ( ) ( ) 21 21 2 121I t I t I Iτ γ τ + = +
R. Hanbury Brown, The intensity interferometer, Taylor & Francis Ltd., London, 1974
Correlación de segundo orden: Coeficiente Correlación de segundo orden: Coeficiente de correlaciónde correlación
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21
21
IIII
C = Coeficiente de correlación de segundoorden
Es importante notar que para el caso de fuentes coherentes(en este caso <I>=I)
2121 IIII =
Promedio temporal del producto de intensidades
Producto del promedio temporal de cada intensidad
Y por tanto:C=1
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Valores teóricos :
y experimentales del coeficiente de correlación C12 como función de la separación entre fotodetectores (experimento en laboratorio):
Separación entre detectores (mm)
C12
(d)/C
12(0
)
( )( )
( )12
12 0C senC
τ πτ νπτ ν
∆=
∆
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EJEMPLO DE CORRELACIÓN DE INTENSIDADES
Supondremos una fuente con densidad espectral lorentziana. De acuerdocon el T. de Wiener-Khinchin:
donde Z es una señal analítica compleja. Si:
La correlación de intensidades es:
( ) ( ) ( )Γzz I iτ ω τ α τ= −exp exp0
I I I1 2= =
( ) ( ) ( )[ ]I t I t I+ = + −τ α τ2 1 2exp
La desviación :
Para un láser ideal:
El campo óptico térmico puede tener un comportamiento caótico. Se puedenencontrar campos ópticos altamentefluctuantes
σ I I2 2=
Iσ →2 0
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ResumenResumen• La función de correlación contiene información de la
geometría de la fuente.
• La anchura de correlación se comporta como: 1/(anchura de la fuente)
• La correlación de intensidades de segunda orden obtenidaen el experimento de Hanbury-Brown y Twiss no essensible a las fases aleatorias que podrían destruir el patrón interferencial
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La teoría cuántica del experimento La teoría cuántica del experimento HanburyHanbury--BrownBrown y y TwissTwiss
Para bosones:
Para fermiones:
Experimentos actuales con HBT:
Roy J. Glauber