Fundamentos De Comunicaciones Digitales - En Español

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MODULACI ´ ON EN AMPLITUD. Marcos Mart´ ın Fern´ andez E. T. S. de Ingenieros de Telecomunicaci´ on Universidad de Valladolid.

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EN AMPLITUD. MODULACION

Marcos Mart n Fern andez E. T. S. de Ingenieros de Telecomunicaci on Universidad de Valladolid.

CONTENIDOS

INDICE . DE FIGURAS 1. 2. INTRODUCCION. EN AMPLITUD (AM). MODULACION2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. Generaci on de una Se nal AM. Modulaci on de un Tono Simple. Eciencia en Potencia. Esquemas Moduladores de AM. Esquemas Demoduladores de AM.

VII

1 3 3 6 8 10 14 17 17 18 21 27 29 29 33 34 37 41 49 51

3.

DOBLE BANDA LATERAL (DSB). MODULACION3.1. Generaci on de una Se nal DSB. 3.2. Moduladores de DSB. 3.3. Detecci on Coherente de DSB.

4. 5.

DE AMPLITUD EN CUADRATURA (QAM). MODULACION BANDA LATERAL UNICA MODULACION (SSB).5.1. 5.2. 5.3. 5.4. Generaci on de una Se nal SSB. Modulaci on de un Tono Simple. Esquemas Moduladores de SSB. Demodulaci on de SSB.

6. 7. 8.

BANDA LATERAL RESIDUAL (VSB). MODULACION EN FRECUENCIA. TRANSLACION EN FRECUENCIA (FDM). MULTIPLEXACION

v

INDICE DE FIGURAS

Cap tulo 1 Cap tulo 2 Se nal moduladora. Se nal modulada sin sobremodulaci on. Se nal modulada con sobremodulaci on. Espectro de la se nal moduladora. Espectro de la se nal modulada. Se nal moduladora sinusoidal junto con su espectro. Se nal portadora sinusoidal junto con su espectro. Se nal modulada junto con su espectro sin sobremodulaci on, para el caso de moduladora sinusoidal. 2.9. Tanto por ciento de potencia transmitida para la portadora y las bandas laterales como funci on del ndice de modulaci on cuando la moduladora es sinusoidal. 2.10. Esquema de un modulador en cuadratura. 2.11. Espectro de la se nal moduladora. 2.12. Espectro de la se nal a la salida del dispositivo no lineal. 2.13. Esquema de un modulador por conmutaci on. 2.14. Caracter stica entrada/salida ideal de un diodo. 2.15. Tren de pulsos peri odico gp (t). 2.16. Esquema de un detector de envolvente. 2.17. Se nal modulada AM. 2.18. Envolvente ideal de la se nal modulada. Cap tulo 3 3.1. Se nal modulada DSB para moduladora sinusoidal. 3.2. Espectro de la se nal moduladora. 3.3. Espectro de la se nal modulada DSB. 3.4. Esquema de un modulador balanceado. 3.5. Esquema de un modulador en estrella. 3.6. Diagrama esquem atico cuando la se nal c(t) es positiva. 3.7. Diagrama esquem atico cuando la se nal c(t) es negativa. 3.8. Se nal salida del modulador en estrella para cuando la moduladora es sinusoidal. 3.9. Espectro de la se nal a la salida del modulador en estrella. 3.10. Esquema de un detector coherente. 3.11. Espectro de la se nal a la salida del modulador producto. 3.12. Esquema del bucle de costas. 3.13. Esquema del bucle cuadr atico. 3.14. Respuesta en frecuencia del ltro empleado en el bucle cuadr atico. Cap tulo 4 17 18 18 19 19 20 20 20 21 22 22 24 24 25 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 3 4 4 5 5 6 6 7 10 11 12 12 13 13 14 15 16 16

vii

viii4.1. Esquema de un modulador QAM. 4.2. Esquema de un demodulador QAM. Cap tulo 5

EN AMPLITUD. MODULACION27 28

5.1. Espectro de una se nal moduladora limitada en banda. 5.2. Espectro de la se nal DSB. 5.3. Espectro de la se nal SSB empleando la banda lateral superior. 5.4. Espectro de la se nal SSB empleando la banda lateral inferior. 5.5. Espectro de la se nal modulada desplazado hacia la derecha. 5.6. Espectro de la se nal modulada desplazado hacia la izquierda. 5.7. Espectro de la componente en fase de la se nal modulada. 5.8. Espectro de la componente en cuadratura de la se nal modulada. 5.9. Esquema de un modulador de SSB usando discriminaci on en frecuencia. 5.10. Esquema de un modulador de SSB usando discriminaci on en frecuencia con dos etapas de modulaci on y ltrado. 5.11. Esquema de un modulador de SSB usando discriminaci on en fase. 5.12. Esquema de un modulador de SSB usando discriminaci on en fase empleando dos redes desfasadoras de banda ancha. 5.13. Esquema de un detector coherente para demodular SSB. 5.14. Espectro de la se nal a la salida del modulador producto del detector coherente. 5.15. Espectro de la se nal moduladora original. 5.16. Espectro de la se nal demodulada en el primer caso. 5.17. Espectro de la se nal demodulada en el segundo caso. Cap tulo 6 Espectro de una se nal moduladora limitada en banda. Espectro de la se nal VSB con banda residual superior. Esquema de un modulador VSB usando discriminaci on en frecuencia. Esquema de un detector coherente empleado como demodulador de VSB. Espectro de la se nal a la salida del modulador producto. Espectro de la se nal a la salida del ltro paso bajo. Un caso particular del m odulo del espectro del ltro H (f ) para banda residual inferior. Un caso particular del ltro Hs (f ) empleado para determinar la componente en cuadratura de la se nal modulada. 6.9. Esquema de un modulador VSB usando discriminaci on en fase. 6.10. Filtro H (f ) empleado para recepci on VSB de TV. Cap tulo 7 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. Espectro de una se nal DSB. Espectro de la se nal a la salida del modulador producto. Espectro de la se nal tras el ltro paso banda. Esquema de un mezclador. 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.8.

29 30 30 30 31 31 32 32 35 35 36 36 37 38 38 39 39

41 41 42 42 43 43 44 45 46 47

49 50 50 50

Cap tulo 8 8.1. Esquema de un sistema FDM. 52

1 INTRODUCCION.

Un sistema de comunicaci on transmite se nales con informaci on a trav es de un canal de comunicaciones que separa el transmisor del receptor. El t ermino banda base se utiliza para denominar la banda de frecuencias que representa la se nal original que lleva la informaci on. La utilizaci on eciente del canal de comunicaci on requiere desplazar las frecuencias banda base a otro rango de frecuencias m as adecuado para la transmisi on. En recepci on se realizar a el desplazamiento inverso en frecuencia al rango original banda base. El desplazamiento del rango de frecuencias se consigue mediante un proceso denominado modulaci on que se dene como el proceso por el que alguna de las caracter sticas de una portadora se modica de acuerdo con la se nal que tiene la informaci on. La se nal banda base se denomina se nal moduladora y la se nal resultante del proceso de modulaci on modulada. En el extremo receptor se requiere devolver a la se nal modulada su forma original. Este proceso se denomina demodulaci on y es el inverso de la modulaci on. Vamos a estudiar dos tipos de modulaci on de onda continua (CW: continuos wave):

Modulaci on en amplitud (AM: Amplitude Modulation). Modulaci on angular: modulaci on en frecuencia (FM: Frequency Modulation) y modulaci on en fase (PM: Phase Modulation).

En AM la amplitud de la se nal portadora sinusoidal var a de acuerdo con la se nal moduladora. En el caso de FM y PM la frecuencia y la fase de la se nal portadora var a de acuerdo con la se nal moduladora respectivamente.

1

2 EN AMPLITUD (AM). MODULACION

2.1

DE UNA SENAL GENERACION AM.

Considerar la portadora sinusoidal dada por la ecuaci on (2.1), donde Ac es la amplitud de la portadora y fc es la frecuencia de la portadora. Por conveniencia asumimos que la fase de la portadora es cero.

c(t) = Ac cos(2fc t)

(2.1)

Sea m(t) la se nal banda base que contiene la informaci on. La se nal c(t) es independiente de m(t). La modulaci on de amplitud (AM) se dene como el proceso en el cual la amplitud de la portadora c(t) var a en torno a un valor medio de forma lineal con la se nal banda base m(t) seg un la ecuaci on (2.2), donde ka es una constante denominada sensibilidad en amplitud del modulador.

s(t) = Ac [1 + ka m(t)] cos(2fc t)

(2.2)

Si suponemos que Ac es igual a la unidad y m(t) es la se nal de la gura 2.1, se pueden dar dos casos:

Si |ka m(t)| < 1 se tiene la se nal modulada de la gura 2.2. Si |ka m(t)| > 1 se tiene la se nal modulada de la gura 2.3.m(t)

t

Figura 2.1

Se nal moduladora.

3

4s(t)

Cap tulo 2

t

Figura 2.2

Se nal modulada sin sobremodulaci on.

s(t)

t

Figura 2.3

Se nal modulada con sobremodulaci on.

Se puede observar que para que la envolvente de la se nal siga la forma de la se nal banda base m(t) se deben satisfacer dos condiciones:

Que |ka m(t)| < 1. Esto asegura que 1 + ka m(t) es siempre positivo y podemos expresar la envolvente de la se nal s(t) como Ac [1 + ka m(t)]. Cuando |ka m(t)| > 1 debido a que la sensibilidad en amplitud ka es demasiado grande, la se nal AM se dice que est a sobremodulada, resultado que la fase de la se nal AM se invierte siempre que 1 + ka m(t) cambia de signo. Lo que va a dar lugar a una distorsi on en la envolvente. Es evidente ver que si no hay sobremodulaci on hay una relaci on un voca entre la envolvente de la se nal AM y la se nal moduladora. El valor absoluto m aximo de ka m(t) multiplicado por cien se denomina porcentaje de modulaci on. La frecuencia de la portadora fc sea mucho mayor que la componente frecuencial superior de m(t), seg un la ecuaci on (2.3), donde W es el ancho de banda de m(t). Si esto no se satisface, la envolvente no seguir a a la se nal moduladora. fc W (2.3)

Modulaci on en Amplitud (AM).M(f)

5

M(0)

f W W

Figura 2.4

Espectro de la se nal moduladora.

S(f)Banda Lateral Superior Banda Lateral Banda Lateral Superior

Ac 2

Banda Lateral Inferior

Ac ka M(0) 2

Inferior

Ac 2

fcW

fc

fc+W

f cW

fc

f c+W

f

Figura 2.5

Espectro de la se nal modulada.

Calculando ahora la transformada de Fourier de la se nal modulada de la ecuaci on (2.2) se tiene la ecuaci on (2.4). Ac ka Ac [ (f fc ) + (f + fc )] + [M (f fc ) + M (f fc )] 2 2

S (f ) =

(2.4)

Si suponemos que la transformada de Fourier de la se nal moduladora M (f ) tiene la forma de la gura 2.4, la transformada de Fourier de la se nal modulada S (f ) dada por la ecuaci on (2.4) se puede ver en la gura 2.5. De la gura 2.5 se puede destacar lo siguiente:

Para frecuencias positivas la parte del espectro por encima de fc y para frecuencias negativas la parte del espectro por debajo de fc se denomina banda lateral superior (USB: Upper SideBand) y para frecuencias positivas la parte del espectro por debajo de fc y para frecuencias negativas la parte del espectro por encima de fc se denomina banda lateral inferior (LSB: Lower SideBand). La condici on fc > W asegura que las bandas laterales inferiores (la positiva y la negativa) no se solapen. Para frecuencias positivas, la componente frecuencial superior es fc + W y la inferior fc W . La diferencia entre ambas dene el ancho de banda de transmisi on de la se nal AM que se representa mediante BT y viene dado por la ecuaci on (2.5).

6m(t) M(f) Am

Cap tulo 2

t

Am 2

Am 2

Am fm 1/fm fm

f

Figura 2.6c(t)

Se nal moduladora sinusoidal junto con su espectro.

C(f) Ac

t

Ac 2

Ac 2

Ac 1/fc fc fc

f

Figura 2.7

Se nal portadora sinusoidal junto con su espectro.

BT = 2W

(2.5)

2.2

DE UN TONO SIMPLE. MODULACION

Consideremos una se nal moduladora m(t) que sea un tono simple dada por la ecuaci on (2.6), donde Am es la amplitud de la moduladora y fm la frecuencia. Esta se nal junto con su espectro se puede ver en la gura 2.6. En la gura 2.7 vemos la se nal portadora junto con su espectro.

m(t) = Am cos(2fm t)

(2.6)

La se nal AM en este caso viene dada por la ecuaci on (2.7), donde = ka Am . La constante adimensional se denomina factor de modulaci on o porcentaje de modulaci on si se expresa en tanto por ciento. Para evitar distorsi on de envolvente debido a sobremodulaci on, el factor de modulaci on debe estar por debajo de la unidad. En la gura 2.8 vemos la se nal modulada junto con su espectro en el caso de no tener sobremodulaci on.

s(t) = Ac [1 + cos(2fm t)] cos(2fc t)

(2.7)

Modulaci on en Amplitud (AM).s(t) A max C(f)

7

A min t Ac 4

Ac 2 Ac 4 Ac 4

Ac 2 Ac 4

1/fc

fcfm

fc

fc+fm

f cfm

fc

f c+fm

f

Figura 2.8 sinusoidal.

Se nal modulada junto con su espectro sin sobremodulaci on, para el caso de moduladora

Sean Amax y Amin el valor m aximo y m nimo de la envolvente de la se nal modulada, como se ve en la gura 2.8. Entonces a partir de la ecuaci on (2.7) se tiene la ecuaci on (2.8). Simplicando esta ecuaci on y despejando el factor de modulaci on se tiene la ecuaci on (2.9). Amax Ac (1 + ) = Amin Ac (1 )

(2.8)

=

Amax Amin Amax + Amin

(2.9)

Para determinar la transformada de Fourier de la se nal modulada s(t) se puede usar la expresi on trigonom etrica dada por la ecuaci on (2.10) resultando entonces que la ecuaci on (2.7) se puede desarrollar obteni endose la ecuaci on (2.11). 1 1 cos(A + B ) + cos(A B ) 2 2

cos A cos B =

(2.10)

1 1 s(t) = Ac cos(2fc t) + Ac cos[2 (fc + fm )t] + Ac cos[2 (fc fm )t] 2 2

(2.11)

Ahora la transformada de Fourier de la ecuaci on (2.11) se puede calcular de forma sencilla utilizando transformadas inmediatas, resultando que la transformada de Fourier S (f ) de la se nal modulada s(t) viene dada por la ecuaci on (2.12). Esta transformada corresponde a componentes frecuenciales en fc , fc fm y fc fm , como se puede apreciar en la gura 2.8.

S (f ) =

Ac Ac Ac [ (f fc )+ (f +fc )]+ [ (f fc fm )+ (f +fc +fm )]+ [ (f fc +fm )+ (f +fc fm )] (2.12) 2 4 4

Podemos distinguir claramente tres componentes:

Frecuencia portadora fc .

8Frecuencia (banda) lateral superior fc + fm y fc fm . Frecuencia (banda) lateral inferior fc fm y fc + fm .

Cap tulo 2

2.3

EFICIENCIA EN POTENCIA.

Si x(t) es una se nal peri odica con periodo T0 y frecuencia fundamental f0 , su transformada de Fourier viene dada por la ecuaci on (2.13) y su densidad espectral de potencia por la ecuaci on (2.14), donde cn son los coecientes de la serie de Fourier. La potencia de la se nal x(t) viene dada por la ecuaci on (2.15).

X (f ) =n=

cn (f nf0 )

(2.13)

Sx (f ) =n=

|cn |2 (f nf0 )

(2.14)

Px =

Sx (f )df

(2.15)

Vamos a determinar ahora la potencia de cada una de las tres componentes de la se nal AM suponiendo que la moduladora sea sinusoidal a la frecuencia fm dada por la ecuaci on (2.6):

Portadora. La transformada de Fourier de la se nal portadora c(t) viene dada por la ecuaci on (2.16), su densidad espectral de potencia por la ecuaci on (2.17) y, nalmente, la potencia por la ecuaci on (2.18). C (f ) = 1 1 Ac (f fc ) + Ac (f + fc ) 2 2 (2.16)

Sc (f ) =

1 2 1 Ac (f fc ) + A2 (f + fc ) 4 4 c

(2.17)

Pc =

Sc (f )df =

1 2 1 2 A2 Ac + Ac = c 4 4 2

(2.18)

Banda lateral superior. La transformada de Fourier de la se nal banda lateral superior usb(t) viene dada por la ecuaci on (2.19), su densidad espectral de potencia por la ecuaci on (2.20) y, nalmente, la potencia por la ecuaci on (2.21). U SB (f ) = 1 1 Ac (f fc fm ) + Ac (f + fc + fm ) 4 4 (2.19)

Susb (f ) =

1 2 2 1 Ac (f fc fm ) + 2 A2 c (f + fc + fm ) 16 16

(2.20)

Modulaci on en Amplitud (AM).

91 2 2 1 1 2 2 Ac + 2 A2 c = Ac 16 16 8

Pusb =

Susb (f )df =

(2.21)

Banda lateral inferior. La transformada de Fourier de la se nal banda lateral inferior lsb(t) viene dada por la ecuaci on (2.22), su densidad espectral de potencia por la ecuaci on (2.23) y, nalmente, la potencia por la ecuaci on (2.24). LSB (f ) = 1 1 Ac (f fc + fm ) + Ac (f + fc fm ) 4 4 (2.22)

Slsb (f ) =

1 2 2 1 Ac (f fc + fm ) + 2 A2 c (f + fc fm ) 16 16

(2.23)

Plsb =

Slsb (f )df =

1 2 2 1 1 2 2 Ac + 2 A2 c = Ac 16 16 8

(2.24)

Se va a denir la eciencia en potencia como el cociente entre la potencia transmitida de informaci on y la potencia total transmitida PT . La potencia transmitida de informaci on es la potencia de las bandas laterales PSB . Se tiene entonces la ecuaci on (2.25). PSB PT

=

(2.25)

Teniendo en cuenta la potencia calculada para cada una de las tres componentes dada por las ecuaciones (2.18), (2.21) y (2.24), respectivamente, en el caso de moduladora sinusoidal la eciencia en potencia viene dada en este caso por la ecuaci on (2.26).1 2 2 1 2 2 8 Ac + 8 Ac 1 2 1 2 2 1 2 2 2 Ac + 8 Ac + 8 Ac 1 2 4 1 1 2 2 + 4

=

=

=

2 2 + 2

(2.26)

En el caso de que se utilice el 100 por ciento de modulaci on, = 1, la eciencia m axima en potencia en esta caso es la dada por la ecuaci on (2.27). Es decir, la potencia total de informaci on transmitida en las bandas laterales es s olo la tercera parte de la potencia total, en el caso mejor. Por ejemplo, para un 20 por ciento de modulaci on la potencia total de informaci on transmitida en las bandas laterales es menor del 2 por ciento de la potencia total. En la gura 2.9 podemos ver el tanto por ciento de potencia de portadora transmitida y de potencia de informaci on transmitida en las bandas laterales como funci on del ndice de modulaci on . 1 3

max =

(2.27)

Podemos concluir entonces que la eciencia m axima en potencia es un tercio de la transmitida y que el ancho de banda de la se nal transmitida es el doble que el ancho de banda de la se nal moduladora. Por lo tanto, la modulaci on AM no es eciente ni en potencia ni en ancho de banda.

10% Potencia Transmitida

Cap tulo 2

100

90

80

Portadora 66,66%

70

60

50

40

33,33%30 20

Bandas Laterales10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

(%)

Figura 2.9 Tanto por ciento de potencia transmitida para la portadora y las bandas laterales como funci on del ndice de modulaci on cuando la moduladora es sinusoidal.

2.4

ESQUEMAS MODULADORES DE AM.

Se van a describir dos dispositivos capaces de generar una se nal AM: el modulador en cuadratura y el modulador por conmutaci on. Ambos requieren el empleo de un elemento no lineal para su implementaci on. Estos dispositivos son adecuados para transmisi on con baja potencia.

2.4.1

Modulador en Cuadratura.

Este tipo de modulador requiere tres cosas:

Una forma de sumar la portadora y la se nal moduladora. Un elemento no lineal. Un ltro paso banda para extraer los productos de modulaci on adecuados.

En la gura 2.10 podemos ver un esquema este tipo de modulador. Los diodos y transistores semiconductores son los elementos que se utilizan normalmente como dispositivos no lineales para implementar moduladores en cuadratura. El ltro paso banda que se utiliza suele ser un circuito simple o doblemente sintonizado. Cuando un elemento no lineal como un diodo est a bien polarizado de forma que trabaje en una zona de su curva caracter stica y la se nal aplicada es relativamente d ebil, su funci on de transferencia puede ponerse seg un la ecuaci on (2.28), donde a1 y a2 son constantes que dependen del dispositivo, v1 (t) es la se nal de entrada y v2 (t) la se nal de salida.2 v2 (t) = a1 v1 (t) + a2 v1 (t)

(2.28)

Modulaci on en Amplitud (AM).

11

Elemento No Lineal

m(t) C c(t) v1(t) v2(t) RL

Figura 2.10

Esquema de un modulador en cuadratura.

La se nal de entrada al dispositivo no lineal v1 (t) es la suma de la se nal portadora y moduladora seg un la ecuaci on (2.29). Entonces se puede determinar la se nal de salida v2 (t) usando la ecuaci on (2.28), que simplicando se puede obtener nalmente la ecuaci on (2.30).

v1 (t) = Ac cos(2fc t) + m(t)

(2.29)

v2 (t) = a1 Ac 1 +

2a2 1 1 2 m(t) cos(2fc t) + a1 m(t) + a2 m2 (t) + a2 A2 c + a2 Ac cos(4fc t) a1 2 2

(2.30)

En la ecuaci on (2.30) u nicamente el primer t ermino es el deseado, es decir, la se nal AM. Dicha se nal AM tiene una sensibilidad en amplitud dada por la ecuaci on (2.31). El resto de t erminos son no deseados y se eliminan mediante ltrado. 2a2 a1

ka =

(2.31)

Vamos a suponer que la se nal moduladora m(t) est a limitada a la banda de frecuencias |f | W y cuya transformada de Fourier viene dada gr acamente por la gura 2.11. En la gura 2.12 podemos ver el espectro de la se nal v2 (t) a la salida del dispositivo no lineal. En dicha gura se han etiquetado las diferentes componentes de v2 (t) correspondientes a los siguientes t erminos temporales de la ecuaci on (2.30):

1.

1 2 2 a2 Ac .

2. a1 Ac cos(2fc t). 3. 2a2 Ac m(t) cos(2fc t).

4. a1 m(t).

12M(f)

Cap tulo 2

M(0)

f W W

Figura 2.11

Espectro de la se nal moduladora.V 2(f)

6

2 3

1 4 5

2 3

6

2fc

fc 2W

2W W

W

2W

fc 2W

2f c

f

Figura 2.12

Espectro de la se nal a la salida del dispositivo no lineal.

5. a2 m2 (t). 6.1 2 2 a2 Ac

cos(4fc t).

Como puede verse en la gura 2.12 se pueden eliminar f acilmente los t erminos no deseados (todos excepto el segundo y el tercero) mediante un ltro paso banda con frecuencia central la de la portadora fc y de ancho de banda 2W . Para que el quinto t ermino no se solape con el tercero es necesario que se cumpla que fc > 3W .

2.4.2

Modulador por Conmutaci on.

En la gura 2.13 se puede ver el esquema de este tipo de modulador. Vamos a suponer que la amplitud de la se nal portadora c(t) aplicada al diodo tiene una amplitud Ac grande, de modo que recorra una buena parte de la caracter stica del diodo. Se va a suponer tambi en que el diodo act ua como un conmutador ideal, es decir, que tiene impedancia cero cuando conduce en directa, para c(t) > 0, y que tiene impedancia innita (no conduce) cuando est a en inversa, para c(t) < 0, como puede verse en la gura 2.14. La se nal v1 (t) a la entrada del diodo viene dada por la suma de la se nal moduladora y de la se nal portadora seg un la ecuaci on (2.32), donde se supone que |m(t)| Ac .

v1 (t) = Ac cos(2fc t) + m(t)

(2.32)

Teniendo en cuenta la caracter stica entrada salida del diodo, como se observa en la gura 2.14, la se nal v2 (t) a la salida viene dada por la ecuaci on (2.33), es decir, la tensi on en la carga var a peri odicamente entre los valores v1 (t) y cero a una tasa igual a la frecuencia de la portadora fc .

Modulaci on en Amplitud (AM).c(t)

13

m(t)

v1(t)

v2(t)

RL

Figura 2.13

Esquema de un modulador por conmutaci on.

v2

pendiente unidad

v 1

Figura 2.14

Caracter stica entrada/salida ideal de un diodo.

v2 (t)

v1 (t) c(t) > 0 0 c(t) < 0

(2.33)

Si suponemos que la se nal moduladora es d ebil comparada con la se nal portadora, |m(t)| Ac , hemos reemplazado el comportamiento no lineal del diodo por un funcionamiento lineal variante con el tiempo. Esto se puede expresar matem aticamente mediante la ecuaci on (2.34), donde gp (t) es un tren de pulsos peri odico con medio periodo alto y medio bajo, con per odo T0 = 1/fc , como puede verse en la gura 2.15. La se nal gp (t) se puede representar en serie de Fourier seg un la ecuaci on (2.35).

v2 (t) [Ac cos(2fc t) + m(t)]gp (t)

(2.34)

gp (t) =

2 1 + 2

(1)n1 cos[2fc t(2n 1)] 2n 1 n=1

(2.35)

Sustituyendo la ecuaci on (2.35) en la ecuaci on (2.34) y operando se obtienen los siguientes t erminos:

Ac 2

1+

4 Ac m(t)

cos(2fc t) que es la se nal AM deseada con sensibilidad en amplitud ka =

4 Ac .

Componentes frecuenciales (deltas) a las frecuencias 0, 2fc , 4fc , etc.

14

Cap tulo 2

gp(t)

1

T0

T0 /2 T0 /4Figura 2.15

T0 /4

T0 /2

t T0

Tren de pulsos peri odico gp (t).

Se nal moduladora 1 2 m(t) con ancho de banda W . Componentes de se nal (bandas laterales) a las frecuencias 3fc , 5fc , etc., de ancho de banda 2W .

Si ahora empleamos un ltro paso banda de frecuencia central fc y ancho de banda 2W , siempre que fc > 2W habremos eliminado los t erminos no deseados, teniendo nalmente la se nal AM deseada.

2.5

ESQUEMAS DEMODULADORES DE AM.

El proceso de demodulaci on es aquel que permite obtener una se nal proporcional a la se nal moduladora original m(t) a partir de la se nal modulada s(t). De hecho, el proceso de demodulaci on es el proceso inverso del de modulaci on. Se van a describir dos dispositivos para demodular AM: el detector en cuadratura y el detector de envolvente.

2.5.1

Detector en Cuadratura.

Se obtiene empleando la misma t ecnica que para el modulador en cuadratura. Consideramos de nuevo la caracter stica entrada salida de un dispositivo no lineal seg un la ecuaci on (2.36). Cuando este dispositivo se emplea para demodular una se nal AM tendremos que la se nal de entrada v1 (t) viene dada por la ecuaci on (2.37).

2 v2 (t) = a1 v1 (t) + a2 v1 (t)

(2.36)

v1 (t) = Ac [1 + ka m(t)] cos(2fc t)

(2.37)

Sustituyendo la ecuaci on (2.37) en la ecuaci on (2.36) obtenemos para la se nal de salida v2 (t) la ecuaci on (2.38). 1 2 2 v2 (t) = a1 Ac [1 + ka m(t)] cos(2fc t) + a2 A2 c [1 + ka m (t) + 2ka m(t)][1 + cos(4fc t)] 2

(2.38)

Modulaci on en Amplitud (AM).

15

RS C s(t) RL

Figura 2.16

Esquema de un detector de envolvente.

2 En la ecuaci on (2.38) la se nal deseada es a2 A2 ermino a2 v1 (t), por eso el detector c ka m(t), que proviene del t de denomina cuadr atico. Esta componente puede ser extra da mediante ltrado, sin embargo hay otras dos 1 2 2 2 componentes que se solapan en la baja frecuencia 1 2 a2 Ac y 2 a2 Ac m (t). La primera de estas componentes no es m as que una componente continua que se puede eliminar f acilmente con un condensador de desacople. La segunda componente no se puede eliminar completamente mediante ltrado y constituye un t ermino 2 de distorsi on. La relaci on entre la se nal deseada y dicha distorsi on es ka m . Para lograr que ese cociente (t) sea lo mayor posible debemos elegir |ka m(t)| lo menor posible en todo instante de tiempo. Se puede decir entonces que la distorsi on ser a peque na siempre que el tanto por ciento de modulaci on sea peque no.

2.5.2

Detector de Envolvente.

Supongamos que la se nal AM es de banda estrecha, es decir, que la frecuencia de la portadora fc es mucho mayor que el ancho de banda de la se nal moduladora W y que no tenemos sobremodulaci on. La demodulaci on puede realizarse mediante un dispositivo muy sencillo pero efectivo denominado detector de envolvente. Idealmente un detector de envolvente produce una se nal a la salida que sigue a la envolvente de la se nal de entrada. Una versi on de este esquema es el que se utiliza normalmente en los receptores de AM comerciales. En la gura 2.16 puede verse dicho esquema de forma simplicada. En la gura 2.17 podemos ver una se nal modulada en AM y en la gura 2.18 la envolvente ideal de dicha se nal, que viene dada por la ecuaci on (2.39)

r(t) = Ac [1 + ka m(t)]

(2.39)

En el ciclo positivo de la se nal de entrada el diodo est a polarizado en directa por lo que el condensador se carga r apidamente hasta el valor de pico de la se nal de entrada. Cuando la se nal de entrada baja de su valor de pico, el diodo pasa a inversa y el condensador se descarga lentamente a trav es de la carga. Este procedo de descarga contin ua hasta el siguiente per odo positivo para el que la se nal a la entrada del diodo es mayor que la se nal a la salida, momento en el cual el diodo pasa a directa y el condensador se vuelve a cargar, y as sucesivamente. Se est a suponiendo que el diodo es ideal de forma que la impedancia en directa sea cero e innito en inversa. Si la impedancia de la fuente es RS se tiene que cumplir que el tiempo de carga del condensador sea peque no con respecto al periodo de la portadora, es decir, se tiene que cumplir la ecuaci on (2.40), de modo que el condensador se cargue r apidamente y siga a la se nal de entrada hasta su valor de pico.

16s(t)

Cap tulo 2

t

Figura 2.17Envolvente

Se nal modulada AM.

t

Figura 2.18

Envolvente ideal de la se nal modulada.

RS C

1 fc

(2.40)

Adem as el tiempo de descarga a trav es de la carga RL debe ser sucientemente largo para asegurar que el condensador se descargue lentamente entre dos picos de la se nal portadora, pero no demasiado lento para que se pueda descarga y seguir la envolvente de la se nal AM, es decir, se tiene que cumplir la ecuaci on (2.41). 1 fc 1 W

RL C

(2.41)

El resultado es que la se nal en la carga es muy similar a la envolvente de la se nal AM. La salida del detector de envolvente suele tener un peque no rizado (este rizado no se muestra en la gura 2.18) a la frecuencia de la portadora. Puesto que la se nal modulada es de banda estrecha, fc W , este rizado se puede eliminar f acilmente mediante un ltro paso bajo, resultando la envolvente ideal dada por la ecuaci on (2.39). Esta envolvente tiene adem as una componente continua que se puede eliminar f acilmente mediante un condensador de desacople. Se puede terminar diciendo que puesto que los receptores en AM son muy sencillos a la vez que la transmisi on de la portadora har a que la potencia del transmisor sea mayor, se emplear a este tipo de modulaci on cuando tengamos un transmisor y muchos receptores como en el caso de radiodifusi on.

3 DOBLE BANDA LATERAL MODULACION (DSB).

3.1

DE UNA SENAL GENERACION DSB.

La se nal portadora c(t) es completamente independiente de la informaci on de la se nal m(t), por lo tanto transmitir la portadora signica un desperdicio de potencia. S olo una parte de la potencia transmitida de una se nal AM lleva informaci on. Para solucionar esto, se puede suprimir la componente portadora de la se nal modulada, dando lugar a una modulaci on doble banda lateral con portadora suprimida (DSB: Double SideBand). Entonces, suprimiendo la portadora se tiene una se nal que ser a proporcional al producto de la portadora por la se nal banda base seg un la ecuaci on (3.1).

s(t) = c(t)m(t) = Ac cos(2fc t)m(t)

(3.1)

La se nal as modulada presenta un cambio de fase siempre que la se nal m(t) cruce por cero. Ahora a diferencia del caso AM, para DSB la envolvente de la se nal no sigue a la se nal moduladora m(t) como se puede ver en la gura 3.1. La transformada de Fourier de la se nal modulada viene dada por la ecuaci on (3.2). Si el espectro de la se nal moduladora es el que se observa en la gura 3.2, el espectro de la se nal modulada ser a el de la gura 3.3. En este caso el proceso de modulaci on simplemente traslada la se nal moduladora a las frecuencias fc . Tendremos las dos bandas laterales sin portadora. En este caso el ancho de banda de la se nal moduladora es BT = 2W y la eciencia en potencia = 1.s(t)

t

Figura 3.1

Se nal modulada DSB para moduladora sinusoidal.

17

18M(f)

Cap tulo 3

M(0)

f W W

Figura 3.2

Espectro de la se nal moduladora.

S(f)

2W

Ac M(0) 2

2W

fc

fc

f

Figura 3.3

Espectro de la se nal modulada DSB.

S (f ) =

1 Ac [M (f fc ) + M (f + fc )] 2

(3.2)

3.2

MODULADORES DE DSB.

Un modulador de DSB consiste en un dispositivo que realice el producto entre la se nal portadora y la se nal banda base. Un dispositivo con estas caracter sticas se denomina modulador producto. Se van a describir dos tipos de modulador: modulador balanceado y modulador en estrella.

3.2.1

Modulador Balanceado.

Una posible forma de generar una se nal DSB es utilizar dos moduladores de AM colocados en conguraci on balanceada para eliminar la portadora seg un se puede ver en la gura 3.4. Vamos a suponer que los dos moduladores AM son id enticos, excepto que la se nal moduladora en uno de ellos tiene el signo cambiado. La salida de cada modulador AM viene dada por la ecuaci on (3.3).

s1 (t) s2 (t)

= Ac [1 + ka m(t)] cos(2fc t) = Ac [1 ka m(t)] cos(2fc t) (3.3)

Modulaci on Doble Banda Lateral (DSB).s1(t)

19

m(t)

Modulador AM

A ccos(2 f ct)

+ Oscilador _

s(t)

m(t)

Modulador AM

s2(t)

Figura 3.4

Esquema de un modulador balanceado.

a

b

Seal Moduladora m(t)

Seal Modulada s(t)

c

d

c(t) Seal PortadoraFigura 3.5 Esquema de un modulador en estrella.

Restando las salidas de los moduladores AM se tiene nalmente la ecuaci on (3.4), que si no tenemos en cuenta el factor 2ka , corresponde al producto de la se nal moduladora con la portadora.

s(t) = s1 (t) s2 (t) = 2ka Ac m(t) cos(2fc t)

(3.4)

3.2.2

Modulador en Estrella o Doblemente Balanceado.

Uno de los moduladores m as adecuados para generar una se nal DSB es el modulador en estrella como el que se muestra en la gura 3.5. En dicho esquema los cuatro diodos forman una estrella en la cual todos ellos apuntan en la misma direcci on. Los diodos est an controlados por una se nal cuadrada c(t) a la frecuencia de la portadora fc que se aplica a trav es de dos transformadores. Vamos a suponer que los diodos son

20a b

Cap tulo 3

cFigura 3.6

d

Diagrama esquem atico cuando la se nal c(t) es positiva.

a

b

cFigura 3.7

d

Diagrama esquem atico cuando la se nal c(t) es negativa.

s(t)

t

Figura 3.8

Se nal salida del modulador en estrella para cuando la moduladora es sinusoidal.

ideales y que los transformadores est an totalmente balanceados. Cuando la se nal c(t) es positiva, los diodos exteriores est an en directa y presentan impedancia cero, mientras que los diodos internos est an en inversa y tienen impedancia innito como se muestra esquem aticamente en la gura 3.6. De este modo el modulador multiplica a la se nal m(t) por la unidad. Cuando la se nal c(t) es negativa, la situaci on es justamente la inversa como se muestra en la gura 3.7. En este caso el modulador multiplica a la se nal m(t) por 1. Por tanto, el modulador en estrella, de forma ideal, es un modulador producto que multiplica la se nal c(t) por m(t). La se nal c(t) se puede descomponer en serie de Fourier seg un la ecuaci on (3.5), entonces la se nal salida del modulador en estrella viene dada por la ecuaci on (3.6). Esta se nal se puede ver en el dominio del tiempo para cuando la moduladora es sinusoidal en la gura 3.8. (1)n1 cos[2fc t(2n 1)] 2n 1 n=1

c(t) =

4

(3.5)

Modulaci on Doble Banda Lateral (DSB).S(f) 2W 2W 2W 2W

21

f 3f c f c fc 3f c

Figura 3.9

Espectro de la se nal a la salida del modulador en estrella.

4 s(t) = c(t)m(t) =

(1)n1 cos[2fc t(2n 1)]m(t) 2n 1 n=1

(3.6)

Como puede deducirse de la ecuaci on (3.6) o de la gura 3.8 no tenemos componente portadora a la salida. Es decir, la salida del modulador en estrella consiste u nicamente en productos de intermodulaci on. El modulador en estrella se suele llamar tambi en doblemente balanceado debido a que est a balanceado con respecto a la se nal portadora as como con respecto a la se nal moduladora (en la salida se han eliminado tanto la se nal moduladora como la se nal portadora, ambas presentes a la entrada del modulador). Si la se nal moduladora m(t) est a limitada a la banda de frecuencias |f | W en la gura 3.9 podemos ver el espectro de la se nal a la salida del modulador en estrella. Este espectro consiste en bandas laterales en los arm onicos impares de la frecuencia de la portadora fc . La se nal deseada corresponde a primeras bandas laterales a las frecuencias fc que se puede extraer f acilmente mediante un ltro paso banda con frecuencia central la de la portadora fc y de ancho de banda 2W , siempre que se cumpla que fc > W .

3.3 3.3.1

COHERENTE DE DSB. DETECCION Caracter sticas Generales.

La se nal banda base m(t) se puede recuperar de forma u nica de una se nal DSB s(t) multiplicando dicha se nal por una se nal sinusoidal generada de forma local y despu es ltrando el resultado como puede verse en la gura 3.10, donde se supone que el oscilador local est a completamente sincronizado o es coherente tanto en frecuencia como en fase con la se nal portadora c(t). Este m etodo de detecci on se denomina coherente o s ncrono. Es u til derivar la detecci on coherente como un caso particular de un proceso de demodulaci on m as general que utiliza una se nal de un oscilador de la misma frecuencia pero de una fase diferente arbitraria , medida con respecto a la portadora c(t). Por lo tanto, denotando la se nal del oscilador local como Ac cos(2fc t + ), la salida del modulador producto de la gura 3.10 viene dada seg un el desarrollo de la ecuaci on (3.7).

v (t)

= Ac cos(2fc t + )s(t) = Ac Ac cos(2fc t) cos(2fc t + )m(t) = 1 1 Ac Ac cos(4fc t + )m(t) + Ac Ac cos()m(t) 2 2 (3.7)

22

Cap tulo 3

Seal DSB

Modulador Producto

v(t)

Filtro Paso Bajo

v0 (t)

s(t)

Ac cos(2 fct+ )Figura 3.10 Esquema de un detector coherente.

V(f)A c A c M(0)cos() 2

2W

A c A c M(0) 4

2W

2fc

W

W

2f c

f

Figura 3.11

Espectro de la se nal a la salida del modulador producto.

En la ecuaci on (3.7) el primer t ermino representa una se nal DSB con una frecuencia portadora 2fc , mientras que el segundo t ermino es proporcional a m(t). En la gura 3.11 puede verse gr acamente el espectro de esta se nal para el caso en el que la se nal moduladora m(t) est a limitada a la banda de frecuencias |f | < W . A partir del espectro de la gura 3.11 se deduce que se puede extraer una se nal proporcional a la se nal moduladora mediante un ltro paso bajo de ancho de banda W . La se nal a la salida de dicho ltro viene dada por la ecuaci on (3.8). 1 Ac Ac cos()m(t) 2

v0 (t) =

(3.8)

De esta forma la se nal v0 (t) es proporcional a m(t) cuando el error de fase sea constante. La amplitud de la se nal demodulada ser a m axima para = 0 y m nima para = nal a la salida 2 . Para = 2 la se es nula. Esto se conoce como efecto nulo en cuadratura del detector coherente. La se nal a la salida va a venir atenuada por un factor cos(). Mientras el error de fase sea constante, la salida del detector da lugar a una versi on no distorsionada de la se nal moduladora original. En la pr actica, el error de fase var a de forma aleatoria debido a variaciones aleatorias del canal de comunicaciones. El resultado es que a la salida del detector el factor cos() var a tambi en de forma aleatoria con el tiempo. Por todo ello, el detector debe proveer un mecanismo para que el oscilador local est e en perfecto sincronismo tanto en frecuencia como en fase con la se nal portadora. Esta mayor complejidad del detector es el coste asociado por no transmitir la portadora para ahorrar potencia transmitida.

Modulaci on Doble Banda Lateral (DSB).

23

3.3.2

Caso de Moduladora Sinusoidal.

Vamos a suponer que la se nal moduladora m(t) sinusoidal tiene una frecuencia fm y una amplitud Am seg un la ecuaci on (3.9). Entonces la se nal modulada viene dada por el desarrollo de la ecuaci on (3.10).

m(t) = Am cos(2fm t)

(3.9)

s(t)

= Ac Am cos(2fc t) cos(2fm t) = 1 1 Ac Am cos[2 (fc + fm )t] + Ac Am cos[2 (fc fm )t] 2 2 (3.10)

La transformada de Fourier de la se nal modulada dada por la ecuaci on (3.10) viene dada por la ecuaci on (3.11) que corresponde a deltas a las frecuencias f c fm y fc fm , es decir, las dos bandas laterales sin componente portadora. 1 Ac Am [ (f fc fm ) + (f + fc + fm ) + (f fc + fm ) + (f + fc fm )] 4

S (f ) =

(3.11)

Si usamos un detector coherente con la portadora perfectamente sincronizada en frecuencia y fase se puede llegar al desarrollo de la ecuaci on (3.12) para la se nal a la salida del modulador producto del detector coherente.

v (t)

= =

= Ac cos(2fc t)

1 1 Ac Am cos[2 (fc + fm )t] + Ac Am cos[2 (fc fm )t] 2 2

1 A Ac Am {cos[2 (2fc fm )t] + cos[2 (2fc + fm )t] + cos(2fm t) + cos(2fm t)} (3.12) 4 c

Los t erminos a las frecuencias 2fc fm son eliminados mediante el ltro paso bajo. Como puede verse los otros dos t erminos corresponden a la se nal buscada. Uno procede de la banda lateral superior y el otro de la banda lateral inferior. Por lo tanto, se puede concluir que s olo es necesaria una de las bandas laterales para recuperar la informaci on transmitida, usando un detector coherente y siempre que la portadora est e en perfecto sincronismo tanto en frecuencia como en fase.

3.3.3

Bucle de Costas.

Un m etodo para obtener un sistema receptor s ncrono adecuado para demodular DSB se denomina bucle de costas. Un esquema de dicho receptor se puede ver en la gura 3.12. El sistema est a formado por dos detectores coherentes que tienen como entrada la se nal modulada s(t) = Ac cos(2fc t)m(t), pero cuyas portadoras procedentes de un oscilador local est an en cuadratura. La frecuencia de dicho oscilador est a ajustada para que sea la misma que la de la frecuencia portadora fc . La fase en un principio no est a sincronizada, presentando un desfase . El sistema superior se denomina detector coherente en fase o canal I y el sistema inferior detector coherente en cuadratura o canal Q. Estos dos detectores se han acoplado para mantener el sistema realimentado de forma que el oscilador local logre el sincronismo en fase con la se nal portadora de la se nal modulada. Vamos a suponer que el desfase del oscilador local sea = 0. En este caso, seg un las se nales presentes en la gura 3.12 la salida del canal I es proporcional a la se nal moduladora m(t), mientras que la salida

24Modulador Producto Filtro Paso Bajo

Cap tulo 3Ac cos()m(t) 2

A ccos(2 f c t+ )

VCO

Discriminador de Fase

Seal DSB s(t)

Desfasador 90 0

A c sin(2 f c t+ )

Modulador Producto

Filtro Paso Bajo

Ac sin()m(t) 2

Figura 3.12

Esquema del bucle de costas.PLL

Seal DSB s(t)

Eleva al Cuadrado

y(t)

Filtro H(f)

Modulador Producto

Filtro Paso Bajo

e(t)

VCO

Divisor Frecuencia por 2

Seal a f c

Figura 3.13

Esquema del bucle cuadr atico.

del canal Q es cero, debido al efecto nulo en cuadratura en este caso. Si ahora el oscilador cambia su fase radianes, siendo un valor peque no, la salida del canal I se mantiene pr acticamente constante puesto que cos() 1, siempre que sea peque no. Sin embargo, en el canal Q aparece una se nal distinta de cero puesto que sin() , siempre que sea peque no. Adem as el canal Q tiene igual polaridad que el I cuando > 0 y polaridad inversa cuando < 0. Combinando ambos canales mediante un discriminador de fase que es un multiplicador seguido de un ltro paso bajo, aparece a la salida una componente continua que permite corregir el error de fase del oscilador local. Si la se nal moduladora fuese cero durante cierto periodo de tiempo el control de la fase se pierde temporalmente. En cuanto la se nal moduladora comience a ser de nuevo distinta de cero el enganche de fase vuelve a establecerse. Este problema no es demasiado importante en el caso de se nales de voz, puesto que el proceso de enganche de fase es sucientemente r apido como para que no se aprecie distorsi on en la se nal del canal I.

Modulaci on Doble Banda Lateral (DSB).|H(f)| f 1 f

25

2fc

2f c

f

Figura 3.14

Respuesta en frecuencia del ltro empleado en el bucle cuadr atico.

3.3.4

Bucle de Cuadr atico.

Otra forma de generar una se nal portadora de referencia en el receptor a partir de una se nal DSB es utilizar un bucle cuadr atico como el que se muestra esquem aticamente en la gura 3.13. A la entrada existe un dispositivo con ley cuadr atica dada por y (t) = s2 (t) por lo que si a la entrada tenemos la se nal modulada s(t) = Ac cos(2fc t)m(t) a la salida de dicho dispositivo tendr e para la se nal y (t) la expresi on de la ecuaci on (3.13). A2 c m2 (t)[1 + cos(4fc t)] 2

2 y (t) = A2 c cos(2fc t)m (t) =

(3.13)

Ahora esta se nal y (t) se aplica a la entrada de un ltro paso banda muy estrecho y de frecuencia central 2fc como el que se muestra en la gura 3.14. El ancho de banda de dicho ltro f es muy peque no. Entonces a se nal a la salida de dicho ltro es aproximadamente sinusoidal seg un la ecuaci on (3.14), donde E es la energ a de la se nal moduladora m(t). A2 c E f cos(4fc t) 2

v (t)

(3.14)

El resultado es una se nal sinusoidal a dos veces la frecuencia de la portadora que sirve de entrada a un bucle enganchado en fase (PLL: Phase Locked Loop). Este consiste en un multiplicador, un ltro paso bajo y un oscilador controlado por tensi on (VCO: Voltage Control Oscillator) conectado en conguraci on realimentada. A la salida del multiplicador tendremos dos t erminos uno que depende de la diferencia de frecuencias y fases de las se nales de entrada al multiplicador y otro que depende de su suma. El t ermino que depende de la suma de frecuencias y fases se elimina mediante el ltro paso bajo. La se nal error e(t), que depende de la diferencia de frecuencias y fases de las se nales a la entrada del multiplicador, se aplica a la entrada del VCO haciendo que la frecuencia del VCO a la salida coincida con la de la se nal v (t) a la entrada del PLL y que la fase est e en cuadratura con respecto a la de la se nal v (t) a la entrada del PLL de forma que la se nal error e(t) se anule. Adem as el VCO puede seguir los posibles cambios en frecuencia y fase de la se nal de entrada v (t) del PLL, debidos posiblemente a variaciones aleatorias del canal. Finalmente, la se nal a la salida del PLL, que es tambi en la se nal a la salida del VCO, se divide su frecuencia por dos para dar lugar a la se nal portadora deseada (estar a en cuadratura, por lo que ser a necesario desfasarla 900 ) adecuada para poderla utilizar en un detector coherente de DSB. Debido al divisor de frecuencia, tenemos una ambig uedad de fase de . Esto es debido a que un cambio de fase de 2 a la entrada del divisor de frecuencia produce un cambio de fase de a la salida. La salida puede ser por tanto cos(2fc t) o bien cos(2fc t). Si se utiliza la fase incorrecta se invierte la polaridad de la se nal de salida, pero en el caso de se nales de voz esto no da lugar a distorsi on.

26

Cap tulo 3

Ya que en la modulaci on DSB no se transmite la portadora, esto va a dar lugar a que el transmisor sea mucho m as barato que el caso de AM. Sin embargo el precio que es necesario pagar el la mayor complejidad y por tanto coste el receptor. Se emplear a modulaci on DSB cuando tengamos un transmisor y un receptor, por ejemplo, en enlaces punto a punto.

4 DE AMPLITUD EN MODULACION CUADRATURA (QAM).

La modulaci on o multiplexaci on de amplitud en cuadratura permite que dos se nales moduladas DSB de dos fuentes independientes, pero con caracter sticas de ancho de banda similares, ocupen el mismo ancho de banda de transmisi on y se puedan separar en el extremo receptor. Es, por tanto, un esquema que ahorra ancho de banda. En la gura 4.1 podemos ver un esquema del transmisor. Como se puede ver, se utilizan dos moduladores producto por separado, uno para cada se nal, cuyas portadoras est an desfasadas 900 . En este caso se dispone de dos se nales moduladoras m1 (t) y m2 (t) independientes, pero con el mismo ancho de banda W . Estas se nales son las que se van a transmitir de forma conjunta por un ancho de banda com un BT = 2W centrado en fc . La expresi on de la se nal transmitida o modulada viene dada por la ecuaci on (4.1).

s(t) = Ac m1 (t) cos(2fc t) + Ac m2 (t) sin(2fc t)

(4.1)

Puesto que la se nal modulada s(t) es una se nal paso banda, comparando la ecuaci on (4.1) con la forma can onica de una se nal paso banda se tiene que la componente en fase de la se nal s(t) viene dada por la ecuaci on (4.2) y la componente en cuadratura por la ecuaci on (4.3).

m1(t)

Modulador Producto

+ +

Seal QAM s(t)

A ccos(2 f ct)

Oscilador

Desfasador 900

A c sin(2 f ct)

m 2(t)

Modulador Producto

Figura 4.1

Esquema de un modulador QAM.

27

28Modulador Producto Filtro Paso Bajo A c A c m1 (t) 2

Cap tulo 4

Accos(2 f ct)

Oscilador

Seal QAM s(t)

Desfasador 900

Ac sin(2 f ct)

Modulador Producto

Filtro Paso Bajo

A c A c m2 (t) 2

Figura 4.2

Esquema de un demodulador QAM.

sc (t) = Ac m1 (t) ss (t) = Ac m2 (t)

(4.2) (4.3)

En la gura 4.2 se puede ver el esquema del receptor de QAM. La se nal modulada s(t) se aplica a dos moduladores producto cuyas portadoras est an desfasadas 900 . A la salida de dichos moduladores producto hay componentes a 2fc que se pueden eliminar f acilmente con un ltro paso bajo, obteni endose nalmente a la salida la se nal dada por la ecuaci on (4.4) para el canal en fase I y la dada por la ecuaci on (4.5) para el canal en cuadratura Q.

vc (t) vs (t)

= =

1 Ac Ac m1 (t) 2 1 Ac Ac m2 (t) 2

(4.4) (4.5)

Para que el sistema funcione correctamente es importante mantener la frecuencia y fase de la portadora generada localmente en el receptor en perfecto sincronismo con la portadora de la se nal modulada recibida. La t ecnica QAM se utiliza para difusi on de TV en color. Las dos se nales moduladoras corresponden a las se nales de luminancia y crominancia, respectivamente. Adem as se env an ciertos pulsos de sincronismo junto con la se nal QAM para mantener la portadora generada localmente en el receptor en perfecto sincronismo tanto en frecuencia como en fase.

5 BANDA LATERAL UNICA MODULACION (SSB).

5.1

DE UNA SENAL GENERACION SSB.

Las modulaciones AM y DSB desperdician ancho de banda debido a que requieren el doble ancho de banda que el ancho de banda de la se nal moduladora paso bajo a transmitir. Adem as la mitad del ancho de banda ocupado por la se nal modulada se utiliza para transmitir la banda lateral inferior y la otra mitad para la banda lateral superior. Sin embargo estas bandas laterales est an relacionadas de forma u nica debido a su simetr a con respecto a la frecuencia de la portadora. Es decir, conocidos el m odulo y fase de una de las bandas laterales se puede determinar la otra de forma u nica. En denitiva, cada banda lateral lleva la misma informaci on referente a la se nal moduladora original, por lo que s olo es necesario transmitir una de las dos bandas laterales. Si se transmite una u nica banda lateral sin portadora no se est a perdiendo informaci on referente a la se nal moduladora. En este caso ser a necesario el mismo ancho de banda de transmisi on que el ocupado por la se nal moduladora original, no el doble como en AM o DSB. Este tipo de modulaci on se denomina banda lateral u nica (SSB: Single SideBand). La descripci on precisa en el dominio de la frecuencia depende de cu al de las dos bandas laterales se elija para su transmisi on. Sea M (f ) la transformada de Fourier de la se nal moduladora m(t), con un ancho de banda W como puede verse en la gura 5.1. Para llegar a la se nal SSB se parte de una se nal DSB s(t) obtenida multiplicando la se nal moduladora m(t) por la portadora c(t) = Ac cos(2fc t). El espectro S (f ) de esta se nal DSB puede verse en la gura 5.2. En el caso de que la se nal SSB emplee la banda lateral superior el espectro de la se nal modulada SSB ser a en este caso el que se puede ver gr acamente en la gura 5.3. Si en lugar de la banda lateral superior se emplea la inferior resulta el espectro de la gura 5.4 para la se nal modulada SSB. La funci on esencial de un modulador SSB es trasladar el espectro de la se nal moduladora, con o sin inversi on, a una nueva posici on en el dominio de la frecuencia. Ahora en ancho de banda de transmisi on BT = W es la mitad que en caso AM o DSB. La eciencia en potencia en este caso es igual que en DSB

M(f)

M(0)

f W W

Figura 5.1

Espectro de una se nal moduladora limitada en banda.

29

30S(f)

Cap tulo 5

2W

Ac M(0) 2

2W

fc

fc

f

Figura 5.2

Espectro de la se nal DSB.

S(f)

Ac M(0) 2

fcW fc

fc

f c+W

f

Figura 5.3

Espectro de la se nal SSB empleando la banda lateral superior.

S(f)

Ac M(0) 2

fc fc+W

f cW f c

f

Figura 5.4

Espectro de la se nal SSB empleando la banda lateral inferior.

que era = 1. La ventaja de la modulaci on SSB es el ahorro de potencia transmitida y ancho de banda. El coste a pagar es la mayor complejidad del transmisor y del receptor. Para describir una se nal SSB en el dominio del tiempo usaremos la representaci on equivalente paso bajo para una se nal paso banda. De acuerdo con esta representaci on, podemos expresar la se nal SSB s(t) en el dominio del tiempo empleando la forma can onica seg un la ecuaci on (5.1), donde sc (t) es la componente en fase de la se nal SSB y ss (t) es la componente en cuadratura. La componente en fase sc (t), excepto por un factor de escala, puede deducirse directamente de s(t) multiplicando por cos(2fc t) y ltrando paso bajo. De forma similar, la componente en cuadratura ss (t) se puede obtener multiplicando s(t) por sin(2fc t) y ltrando paso bajo.

Modulaci on Banda Lateral Unica (SSB).S(ffc )

31

Ac M(0) 2

W

2f c 2f c+W

f

Figura 5.5

Espectro de la se nal modulada desplazado hacia la derecha.

S(f+fc )

Ac M(0) 2

2fc W 2f c

W

f

Figura 5.6

Espectro de la se nal modulada desplazado hacia la izquierda.

s(t) = sc (t) cos(2fc t) ss (t) sin(2fc t)

(5.1)

En el dominio de la frecuencia la relaci on entre la transformada de Fourier de la componente en fase, Sc (f ) y la transformada de Fourier de la se nal modulada, S (f ), viene dada por la ecuaci on (5.2). En el caso de la transformada de Fourier de la componente en cuadratura, Ss (f ), se tiene la ecuaci on (5.3). En ambos casos W es el ancho de banda de la se nal moduladora m(t). S (f fc ) + S (f + fc ) |f | < W 0 en otro caso

Sc (f ) =

(5.2)

Ss (f ) =

j [S (f fc ) S (f + fc )] |f | < W 0 en otro caso

(5.3)

Si consideramos el caso en el que s olo se transmite la banda lateral superior el espectro S (f ) de la se nal modulada se puede ver gr acamente en la gura 5.3. Esta se nal desplazada fc hacia la derecha, es decir, S (f fc ), se puede ver en la gura 5.5 y hacia la izquierda, S (f + fc ), en la gura 5.6. Aplicando ahora las ecuaciones (5.2) y (5.3) se pueden obtener los f acilmente los espectros de la componente en fase, Sc (f ) y de la componente en cuadratura, Ss (f ), dando como resultado el de la gura 5.7 y 5.8, respectivamente.

32S c(f) Ac M(0) 2

Cap tulo 5

f W W

Figura 5.7

Espectro de la componente en fase de la se nal modulada.

S s (f) j Ac M(0) 2

W j Ac M(0) 2

W

f

Figura 5.8

Espectro de la componente en cuadratura de la se nal modulada.

En el caso de la componente en fase y ayud andonos de la gura 5.7 se puede ver que esta componente viene dada simplemente por la ecuaci on (5.4) o haciendo la transformada inversa por la ecuaci on (5.5). 1 Ac M (f ) 2

Sc (f ) =

(5.4)

sc (t) =

1 Ac m(t) 2

(5.5)

En el caso de la componente en cuadratura y observando en este caso la gura 5.8 se puede poner para ella la ecuaci on (5.6), donde sgn(f ) vale 1 para frecuencias positivas, 0 en el origen y -1 para frecuencias negativas. Sin embargo, se sabe que la transformada de Fourier de la transformada de Hilbert de la se nal (f ) se puede poner seg moduladora, M un la ecuaci on (5.7). Finalmente, se tiene para la componente en cuadratura la ecuaci on (5.8) en el dominio de la frecuencia, o equivalentemente la ecuaci on (5.9) en el dominio del tiempo, donde m (t) es la transformada de Hilbert de la se nal moduladora m(t)

Modulaci on Banda Lateral Unica (SSB).

33

j 2 Ac M (f ) f > 0 0 f =0 Ss (f ) = j f 0 exp(j) f W para que las componentes de la ecuaci on (7.2) o equivalentemente de la gura 7.2 no se solapen en frecuencia. El dispositivo que lleva a cabo este proceso de translaci on en frecuencia se denomina mezclador (multiplicaci on y ltrado paso banda). En la gura 7.4 podemos ver un esquema de este dispositivo. El proceso de mezclado es una operaci on lineal, pues conserva la relaci on entre frecuencias en las bandas laterales con relaci on a la portadora.

8 EN FRECUENCIA (FDM). MULTIPLEXACION

La multiplexaci on es el proceso por el cual varias se nales independientes de caracter sticas similares se pueden combinar de alg un modo para transmitirlas de forma conjunta por el mismo canal de comunicaciones. Existen varios tipos de multiplexaci on. Los m as empleados son multiplexaci on en tiempo (TDM: Time Division Multiplexion) y multiplexaci on en frecuencia (FDM: Frequency Division Multiplexion). En el caso de modulaciones anal ogicas el u nico que se puede emplear el FDM. Se supone que queremos transmitir N se nales moduladoras con caracter sticas similares por el mismo canal de comunicaciones. En la gura 8.1 podemos ver un esquema de FDM. Cada una de las se nales moduladoras se pasa por un ltro paso bajo para asegurar que est an limitadas en banda en el intervalo |f | < W . En el caso de que las se nales moduladoras originales ya est en limitadas en banda se podr an suprimir estos ltros paso bajo. Una vez que tenemos las se nales moduladoras limitadas en banda se modulan cada una de dichas se nales moduladoras por separado usando el mismo esquema de modulaci on pero de forma que las se nales moduladas resultantes no se solapen en frecuencia. Para conseguir esto es necesario tener una portadora diferente para cada se nal moduladora. Estas portadoras se obtienen en un m odulo generador de portadoras. Las frecuencias de estas portadoras se deben elegir para que las se nales moduladas resultantes no se solapen en frecuencia como ya se ha dicho. Si el tipo de modulaci on empleado es DSB, la separaci on m nima entra las portadoras ser a de 2W . Si se emplea SSB, dicha separaci on ser a de W . Tras cada etapa de modulaci on se emplea un ltro paso banda para limitar la banda de las se nales moduladas a su rango espec co (para tener mayor seguridad de que no se solapan en frecuencia). En caso de que dichas se nales moduladas ya est en limitadas en banda, estos ltros paso banda se podr an eliminar. Las se nales as moduladas y ltradas se suman para transmitirlas de forma conjunta por el canal de comunicaciones. En recepci on se utilizan los mismos ltros paso banda que en transmisi on para separar cada una de las N se nales moduladas a partir de la se nal suma proveniente del canal de comunicaciones. Una vez que se han separado las se nales moduladas se demodulan empleando detecci on coherente usando las mismas portadoras y en el mismo orden que las empleadas en el transmisor obtenidas localmente en un generador de portadoras (salvo que se emplee modulaci on AM y detector de envolvente). Dichas portadoras deber an estar sincronizadas en frecuencia y fase con las del transmisor. Este tipo de esquema se emplea en radiodifusi on de AM. En este caso las frecuencias portadoras pueden estar en el rango de 535 KHz a 1605 KHz. El canal de transmisi on ser a a ereo. En enlaces punto a punto se tiene FDM para varias se nales procedentes de distintas comunicaciones empleando modulaci on DSB. En el caso varias conversaciones telef onicas se emplean canales FDM empleando modulaci on SSB para su transmisi on tanto radioel ectrica como por cable. Para radiodifusi on de TV se emplea la t ecnica FDM para transmitir varios canales de TV tanto en VHF como en UHF empleando modulaci on VSB para cada uno de ellos. Finalmente, en radiodifusi on de FM, se emplea FDM en el rango de frecuencias de 88 a 108 MHz. Si se emplea modulaci on SSB se puede ahorrar mucha potencia y ancho de banda para la se nal FDM, sin embargo, el sistema extremo a extremo se complica debido a la necesidad de sincronismo de portadora (para cada una de las N portadoras) para los detectores coherentes del receptor. Un m etodo utilizado habitualmente para conseguir este sincronismo consiste en transmitir una frecuencia piloto. La frecuencia piloto sufrir a los mismos desfases y cambios de frecuencia a lo largo del canal que la se nal FDM. Esta

51

52TRANSMISORSEAL 1 Filtro Paso Bajo Modulador Filtro Paso Banda Filtro Paso Banda

Cap tulo 8RECEPTORDemodulador Filtro Paso Bajo SEAL 1

SEAL 2

Filtro Paso Bajo

Modulador

Filtro Paso Banda Canal

Filtro Paso Banda

Demodulador

Filtro Paso Bajo

SEAL 2

SEAL N Filtro Paso Bajo Filtro Paso Banda Filtro Paso Banda Filtro Paso Bajo SEAL N

Modulador

Demodulador

Generador Portadoras

Generador Portadoras

Figura 8.1

Esquema de un sistema FDM.

frecuencia piloto sincronizada con la se nal FDM se utiliza para modular a un conjunto de N osciladores locales en el receptor y as obtener las N portadoras necesarias. Este m etodo cancela todos los desfases y cambios frecuenciales introducidos a lo largo del canal de comunicaciones, pero sigue dependiendo de los errores debidos a los N osciladores locales del receptor, que modulan la frecuencia piloto. Este error se suele mantener dentro de unos l mites aceptables para se nales de voz (conversaciones telef onicas) empleando osciladores de cristal sucientemente exactos.

MODULACIONES ANGULARES.

Marcos Mart n Fern andez E. T. S. de Ingenieros de Telecomunicaci on Universidad de Valladolid.

CONTENIDOS

INDICE . DE FIGURAS 1. 2. INTRODUCCION. DE FASE (PM) Y MODULACION DE MODULACION FRECUENCIA (FM). EN FRECUENCIA DE UN TONO SIMPLE. MODULACION3.1. Caracter sticas Generales. 3.2. FM de Banda Estrecha. 3.3. FM de Banda Ancha.

VII

1

3 7 7 8 10 17 21 25 25 27 31 37 39

3.

4. 5. 6.

SENAL FM MULTITONO. ANCHO DE BANDA DE SENALES FM. DE SENALES GENERACION FM.6.1. FM Indirecta. 6.2. FM Directa.

7. 8. 9.

DE FM. DEMODULACION RESPUESTA DE FILTROS LINEALES A SENALES FM. EFECTOS NO LINEALES EN SISTEMAS FM.

v

INDICE DE FIGURAS

Cap tulo 1 Cap tulo 2 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. Se nal modulada DSB. Se nal modulada PM. Se nal modulada FM. Esquema de un modulador de frecuencia utilizando PM. Esquema de un modulador de fase utilizando FM. 5 5 5 6 6

Cap tulo 3 3.1. Modulador FM de banda estrecha. 3.2. Diagrama fasorial para una se nal FM de banda estrecha. 3.3. Diagrama fasorial para una se nal AM. 3.4. Funci on de Bessel para varios valores de n como funci on de . 3.5. Espectro de la se nal FM en el primer caso para = 1. 3.6. Espectro de la se nal FM en el primer caso para = 2. 3.7. Espectro de la se nal FM en el primer caso para = 5. 3.8. Espectro de la se nal FM en el segundo caso para = 1. 3.9. Espectro de la se nal FM en el segundo caso para = 2. 3.10. Espectro de la se nal FM en el segundo caso para = 5. Cap tulo 4 4.1. Espectro de la se nal FM para el primer tono. 4.2. Espectro de la se nal FM para el segundo tono. 4.3. Espectro de la se nal FM para ambos tonos. Cap tulo 5 5.1. Gr aca universal para determinar el ancho de banda usando el criterio del uno por ciento. Cap tulo 6 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. Esquema Esquema Esquema Esquema Esquema de un modulador de FM mediante el m etodo indirecto. alternativo de un modulador de FM mediante el m etodo indirecto. de un modulador de FM mediante el m etodo directo. de un modulador de FM de banda ancha mediante el m etodo directo. para estabilizar la frecuencia en el m etodo de generaci on de FM directo. 25 26 27 29 29 22 19 19 19 9 10 10 12 15 15 15 16 16 16

Cap tulo 7 7.1. Funci on de transferencia del circuito pendiente. 7.2. Envolvente compleja de la funci on de transferencia del circuito pendiente. 7.3. Funci on de transferencia del circuito pendiente complementario. vii 31 32 34

viii

MODULACIONES ANGULARES.34 35 35

7.4. Esquema del discriminador de frecuencia balanceado. 7.5. Una implementaci on del discriminador de frecuencia balanceado. 7.6. Funci on de transferencia de los ltros paso banda que implementan los circuitos pendiente balanceados. Cap tulo 8 Cap tulo 9 9.1. Un caso particular para el espectro de la se nal a la salida.

40

1 INTRODUCCION.

En las modulaciones de amplitud, la amplitud de la se nal portadora segu a las variaciones de la se nal moduladora banda base. En el caso de las modulaciones angulares, es la fase de la se nal portadora la que sigue las variaciones de la se nal banda base de informaci on. En este tipo de modulaciones la amplitud de la portadora se mantiene constante. Las modulaciones angulares permiten discriminar de forma m as eciente el ruido y las interferencias que en el caso de las modulaciones de amplitud. Esta mejora trae consigo que el ancho de banda de la se nal modulada sea bastante mayor que en el caso de modulaciones de amplitud. Las modulaciones angulares proveen un mecanismo mediante el cu al se puede intercambiar ancho de banda y prestaciones frente al ruido. Hay dos tipos de modulaci on angular: modulaci on en frecuencia (FM: Frequency Modulation) y modulaci on en fase (PM: Phase Modulation). Los dos son muy similares y est an relacionados entre s . Sin embargo, FM posee caracter sticas m as adecuadas frente al ruido, por lo que nos centraremos en este tipo de modulaci on.

1

2 DE FASE (PM) Y MODULACION DE FRECUENCIA (FM). MODULACION

Si i (t) es el angulo de una portadora que lleva informaci on (modulada por tanto) en la fase, entonces se puede poner la ecuaci on (2.1), donde Ac es la amplitud de la portadora que en este caso es siempre constante. A i (t) tambi en se la puede denominar fase instant anea de la se nal modulada.

s(t) = Ac cos[i (t)]

(2.1)

Una oscilaci on completa ocurre siempre que i (t) cambia 2 radianes. Si i (t) crece de forma mon otona en el tiempo, la frecuencia promedio en Hz en el intervalo (t, t + t) viene dada por la ecuaci on (2.2). i (t + t) i (t) 2 t

ft (t) =

(2.2)

Se puede entonces denir la frecuencia instant anea de la se nal modulada angularmente seg un la ecuaci on (2.3). Despejando la fase de la ecuaci on (2.3) se tiene la ecuaci on (2.4). i (t + t) i (t) 1 di (t) = t0 2 t 2 dt

fi (t) = l m ft (t) = l mt0

(2.3)

i (t) = 2 fi (t)dt

(2.4)

La se nal s(t) se puede interpretar como un fasor que gira en el plano complejo de amplitud constante Ac y de fase instant anea i (t). La velocidad angular de dicho fasor es 2fi (t). En el caso de que la portadora est e sin modular su fase instant anea vendr a dada por la ecuaci on (2.5), que no es m as que un fasor que gira a una velocidad angular constante e igual a 2fc , siendo c la fase en el origen de tiempos. En este caso la frecuencia instant anea es constante e igual a fc , es decir, fi (t) = fc .

i (t) = 2fc t + c

(2.5)

Existen muchas formas de que la fase instant anea i (t) siga las variaciones de la se nal moduladora m(t), sin embargo s olo se han considerado en la pr actica dos m etodos:

3

4

Cap tulo 2

PM : en este caso la fase instant anea i (t) de la se nal modulada tiene una relaci on lineal con la se nal moduladora m(t) seg un la ecuaci on (2.6), donde 2fc t es el angulo de la portadora sin modular y la constante kp es la sensibilidad en fase del modulador. Vamos a suponer a partir de ahora que c es cero. i (t) = 2fc t + kp m(t) (2.6)

Utilizando la ecuaci on (2.3) se tiene que la frecuencia instant anea de la se nal PM viene dada por la ecuaci on (2.7). fi (t) = fc + kp dm(t) 2 dt (2.7)

Finalmente, la expresi on de la se nal modulada, teniendo en cuenta la ecuaci on (2.1), viene dada simplemente por la ecuaci on (2.8). s(t) = Ac cos[2fc t + kp m(t)] (2.8)

FM : en este caso la frecuencia instant anea fi (t) de la se nal modulada tiene una relaci on lineal con la se nal moduladora m(t) seg un la ecuaci on (2.9), donde fc es la frecuencia de la portadora sin modular y la constante kf es la sensibilidad en frecuencia del modulador. fi (t) = fc + kf m(t) (2.9)

Utilizando la ecuaci on (2.4) se tiene que la fase instant anea de la se nal FM viene dada por la ecuaci on (2.10). i (t) = 2fc t + 2kf m(t)dt (2.10)

Finalmente, la expresi on de la se nal modulada, teniendo en cuenta la ecuaci on (2.1), viene dada simplemente por la ecuaci on (2.11). s(t) = Ac cos[2fc t + 2kf m(t)dt] (2.11)

En las guras 2.1, 2.2 y 2.3 podemos ver tres se nales moduladas para los casos DSB, PM y FM, respectivamente. Una consecuencia de que i (t) dependa de m(t) es que las se nales PM y FM no tienen regularidad con respecto a los cruces por cero, a diferencia de las se nales moduladas en amplitud que siempre ten an los cruces por cero regulares e iguales a los de portadora sin modular. Otra diferencia importante es que la envolvente de las se nales PM y FM es constante e igual a la amplitud de la portadora, mientras que en el caso de modulaciones de amplitud la envolvente depend a de la se nal moduladora m(t). Como se puede ver una se nal con modulaci on lineal o de amplitud se distingue claramente de otra con modulaci on angular observando su envolvente y los cruces por cero. Sin embargo, dentro de las modulaciones angulares PM y FM, estas no se pueden distinguir entre s puesto que ambas tienen envolvente constante y cruces por cero variables. Solamente se puede distinguir PM de FM si se conoce cu al es la se nal moduladora m(t). Esto quiere decir que existe una gran relaci on entre una se nal PM y otra FM.

Modulaci on de Fase (PM) y Modulaci on de Frecuencia (FM).s(t) DSB

5

t

Figura 2.1s(t) PM

Se nal modulada DSB.

t

Figura 2.2s(t) FM

Se nal modulada PM.

t

Figura 2.3

Se nal modulada FM.

6

Cap tulo 2

s(t) m(t) Integrador PM Seal FM

Accos(2fct)Figura 2.4 Esquema de un modulador de frecuencia utilizando PM.

s(t) m(t) Diferenciador FM Seal PM

Accos(2fct)Figura 2.5 Esquema de un modulador de fase utilizando FM.

Comparando las ecuaciones (2.8) y (2.11) se puede ver que FM es equivalente a modular en fase en lugar de m(t) su integral, como puede verse en la gura 2.4. Equivalentemente, PM es equivalente a modular en frecuencia en lugar de m(t) su derivada, como puede verse en la gura 2.5.

3 EN FRECUENCIA DE UN MODULACION TONO SIMPLE.

3.1

CARACTER ISTICAS GENERALES.

La se nal s(t) es una funci on no lineal de la se nal moduladora m(t). La modulaci on en frecuencia es, por tanto, un proceso no lineal. A diferencia de lo que ocurr a con AM, el espectro FM no est a relacionado de forma sencilla con el de m(t). Adem as, como veremos m as adelante, el ancho de banda de la se nal FM es mucho mayor que en el caso AM. En el an alisis espectral de FM consideraremos en primer lugar el caso m as sencillo en el que la moduladora m(t) sea sinusoidal o, lo que es lo mismo, un tono simple, para posteriormente generalizar este caso para varios tonos. El objetivo de este an alisis es poder establecer una relaci on emp rica entre el ancho de banda de una se nal FM y el ancho de banda de la se nal moduladora m(t). Consideremos una se nal moduladora m(t) sinusoidal seg un la ecuaci on (3.1), donde Am y fm son la amplitud y la frecuencia, respectivamente, de la se nal moduladora m(t).

m(t) = Am cos(2fm t)

(3.1)

En este caso la frecuencia instant anea fi (t) viene dada por la ecuaci on (3.2), donde f dado por la ecuaci on (3.3) es la desviaci on m axima en frecuencia y representa la m axima separaci on de la frecuencia instant anea fi (t) con respecto a la de la portadora fc sin modular. Una caracter stica propia de la se nal FM es que la desviaci on m axima en frecuencia f no depende de la frecuencia de la portadora, sino que depende de la amplitud de la se nal moduladora m(t).

fi (t) = fc + kf Am cos(2fm t) = fc + f cos(2fm t)

(3.2)

f = kf Am

(3.3)

La fase instant anea i (t) viene dada por la ecuaci on (3.4). El cociente entre la desviaci on m axima en frecuencia f y la frecuencia de la se nal moduladora, fm , se denomina ndice de modulaci on y viene dado por la ecuaci on (3.5), por lo que nalmente se tiene la ecuaci on (3.6) para la fase instant anea i (t). f sin(2fm t) fm

i (t) = 2 fi (t)dt = 2fc t +

(3.4)

7

8f fm

Cap tulo 3

=

(3.5)

i (t) = 2fc t + sin(2fm t)

(3.6)

El ndice de modulaci on representa la m axima desviaci on de la fase instant anea i (t) con respecto a la fase de la portadora sin modular 2fc t. Finalmente, la se nal FM viene dada por la ecuaci on (3.7).

s(t) = Ac cos[2fc t + sin(2fm t)]

(3.7)

Dependiendo del valor del ndice de modulaci on se pueden distinguir dos casos de modulaci on en frecuencia:

FM de banda estrecha, para peque no. FM de banda ancha, para grande.

Como ya veremos en el primer caso el ancho de banda es aproximadamente el doble que el de la se nal moduladora, mientras que en el segundo caso excede este valor y puede llegar a ser mucho mayor.

3.2

FM DE BANDA ESTRECHA.

Si consideramos la expresi on de la se nal FM para un tono dada por la ecuaci on (3.7) y la expandimos obtenemos la ecuaci on (3.8).

s(t) = Ac cos(2fc t) cos[ sin(2fm t)] Ac sin(2fc t) sin[ sin(2fm t)]

(3.8)

Si suponemos que toma un valor peque no comparado con 1 radian, se pueden hacer las aproximaciones dadas por las ecuaciones (3.9) y (3.10), por lo que sustituyendo dichas expresiones en la ecuaci on (3.8) se puede obtener para la se nal FM de banda estrecha la aproximaci on dada por la ecuaci on (3.11).

cos[ sin(2fm t)] 1

(3.9)

sin[ sin(2fm t)] sin(2fm t)

(3.10)

s(t) Ac cos(2fc t) Ac sin(2fc t) sin(2fm t)

(3.11)

La ecuaci on (3.11) nos da la expresi on aproximada de una se nal FM de banda estrecha modulada por una se nal moduladora m(t) sinusoidal. De esta expresi on se puede obtener f acilmente el modulador en

Modulaci on en Frecuencia de un Tono Simple.

9

m(t)

Integrador

PM

+

s(t) Seal FM

900

Accos(2fct)

Figura 3.1

Modulador FM de banda estrecha.

frecuencia de banda estrecha como se puede ver esquem aticamente en la gura 3.1. Este modulador requiere que la se nal portadora siga dos caminos. Un camino directo y otro en el cual la portadora se desfasa 900 y modula, usando un modulador producto, una versi on integrada de la se nal moduladora m(t) dando lugar, por tanto, a una se nal DSB. La combinaci on de estas dos se nales, la portadora y la se nal DSB, dar a lugar a una se nal FM de banda estrecha con algo de distorsi on debido a la aproximaci on. Idealmente, una se nal FM deber a tener envolvente constante y, para el caso especial de se nal moduladora sinusoidal m(t) a la frecuencia fm , el angulo i (t) tambi en deber a ser sinusoidal a la misma frecuencia fm . El modulador de banda estrecha que acabamos de ver presenta dos diferencias con respecto al caso ideal (antes de hacer la aproximaci on):

La envolvente ya no es constante y tiene una modulaci on de amplitud residual por lo que la envolvente var a con el tiempo. La fase instant anea i (t) ya no es sinusoidal a la frecuencia fm , aunque s peri odica con frecuencia fundamental fm , pero con distorsi on arm onica debido a la presencia de arm onicos a partir de 3fm .

Para que ambos efectos de distorsi on est en dentro de unos m argenes aceptables, el ndice de modulaci on debe ser menor de 0,3 radianes. En este caso las aproximaciones dadas por las ecuaciones (3.9) y (3.10) son adecuadas o lo que es lo mismo, la distorsi on de envolvente y la distorsi on arm onica de la fase son despreciables. Si expandimos la ecuaci on (3.11), se puede obtener tambi en la ecuaci on (3.12) para la se nal FM de banda estrecha. Ac [cos[2 (fc + fm )t] cos[2 (fc fm )t]] 2

s(t) Ac cos(2fc t) +

(3.12)

La expresi on de la se nal FM de banda estrecha dada por la ecuaci on (3.12) se parece bastante a la expresi on de una se nal AM dada por la ecuaci on (3.13) usando tambi en moduladora sinusoidal, siendo el ndice de modulaci on de la se nal AM. Si comparamos ambas expresiones, la u nica diferencia es que el signo de la banda lateral inferior es el contrario. Por lo tanto, en el caso de FM de banda estrecha con moduladora sinusoidal, el ancho de banda es esencialmente el mismo que en AM, que es BT = 2fm , el doble que el de la se nal moduladora. Ac [cos[2 (fc + fm )t] + cos[2 (fc fm )t]] 2

sAM (t) = Ac cos(2fc t) +

(3.13)

10

Cap tulo 3

envolvente constante

re

ta sul

nteLSB

SBs

USB

portadoraFigura 3.2 Diagrama fasorial para una se nal FM de banda estrecha.

USB portadora LSB resultanteFigura 3.3 Diagrama fasorial para una se nal AM.

SBs

En la gura 3.2 podemos ver un diagrama fasorial para una se nal FM de banda estrecha y en la gura 3.3 para una se nal AM. En ambos casos se ha tomado la portadora sin modular como referencia. En el caso de FM de banda estrecha se puede ver que la resultante (se nal modulada) tiene una envolvente ligeramente mayor que la de la portadora (distorsi on de envolvente). En este caso la se nal suma de las dos bandas laterales siempre esta en cuadratura con la portadora. La resultante es un fasor con envolvente aproximadamente constante pero con fase diferente a la de la portadora. En el caso de la se nal AM sin embargo la suma de las bandas laterales siempre est a en fase con la portadora. De hecho la resultante (se nal modulada) tambi en est a siempre en fase con la se nal modulada. La fase de la se nal modulada es siempre la misma que la de la portadora. Sin embargo, en este caso la envolvente ya no es constante, sino que var a en el tiempo con respecto a la de la se nal portadora que es constante.

3.3

FM DE BANDA ANCHA.

Ahora estamos interesados en determinar el espectro de una se nal FM para moduladora sinusoidal (un tono simple), pero para un valor arbitrario de . En general una se nal FM generada a partir de una se nal moduladora sinusoidal no es peri odica a menos que la frecuencia de la portadora fc sea m ultiplo de la frecuencia de la moduladora fm . Sin embargo, se puede escribir para la se nal FM la ecuaci on (3.14), donde s (t) es la envolvente compleja de la se nal FM.

s(t) = [Ac exp(j 2fc t + j sin(2fm t))] =

[ s(t) exp(j 2fc t)]

(3.14)

A partir de la ecuaci on (3.14) se puede determinar de forma sencilla cu al es la envolvente compleja de la se nal FM, obteni endose la ecuaci on (3.15). Ahora resulta que la envolvente compleja s que es peri odica con frecuencia fundamental igual a la frecuencia de la se nal moduladora fm .

Modulaci on en Frecuencia de un Tono Simple.

11

s (t) = exp[j sin(2fm t)]

(3.15)

La envolvente compleja s (t) de la se nal FM ya que es peri odica se va a poder representar en serie de Fourier compleja seg un la ecuaci on (3.16).

s (t) =n=

cn exp(j 2nfm t)

(3.16)

Para los coecientes complejos cn de la serie se puede poner el desarrollo de la ecuaci on (3.17).

cn

= fm

1 2fm 1 2f m

s (t) exp(j 2nfm t)dt

= fm Ac

1 2fm 1 2f m

exp[j sin(2fm t) j 2nfm t]dt

(3.17)

Haciendo el cambio de variable x = 2fm t en la ecuaci on (3.17) se tiene la ecuaci on (3.18). Ac 2

cn =

exp[j ( sin(x) nx)]dx

(3.18)

La integral que aparece en la ecuaci on (3.18) no se puede evaluar directamente. El resultado de dicha integral como funci on del ndice de modulaci on y que depende del valor de n se conoce como funci on de Bessel de primera clase, de argumento y orden n. Se denota con Jn ( ) y viene dada por la ecuaci on (3.19). Entonces los coecientes cn se relacionan directamente con dicha funci on seg un la ecuaci on (3.20). 1 2

Jn ( ) =

exp[j ( sin(x) nx)]dx

(3.19)

cn = Ac Jn ( )

(3.20)

Sustituyendo el resultado de la ecuaci on (3.20) en la expresi on de la serie de Fourier para la envolvente compleja s (t) dada por la ecuaci on (3.16), se tiene la ecuaci on (3.21).

s (t) = Acn=

Jn ( ) exp(j 2nfm t)

(3.21)

Finalmente, juntando las ecuaciones (3.14) y (3.21) se tiene la ecuaci on (3.22). Esta es la representaci on en serie de Fourier de una se nal FM cuando la moduladora es un tono simple a frecuencia fm para un valor arbitrario del ndice de modulaci on .

121

Cap tulo 3

J0() J1()0.5

J2()

J3()

J4()

Jn()0

0.5

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Figura 3.4

Funci on de Bessel para varios valores de n como funci on de .

s(t) = Acn=

Jn ( ) cos[2 (fc + nfm )t]

(3.22)

El espectro de la se nal FM se puede obtener calculando la transformada de Fourier de la ecuaci on (3.22), obteni endose de forma directa la ecuaci on (3.23).

S (f ) =

Ac 2

Jn ( ) [ (f fc nfm ) + (f + fc + nfm )]n=

(3.23)

Para ver c omo es el espectro de la se nal FM vamos a analizar la funci on de Bessel. En la gura 3.4 podemos ver estas funciones para varios valores de n como funci on de . En la tabla 3.1 se tienen valores num ericos para varios valores de n y . Adem as se pueden utilizar las siguientes propiedades:

Para n par se tiene la ecuaci on (3.24) y para n impar la ecuaci on (3.25). Estas dos ecuaciones se pueden juntar en la ecuaci on (3.26). Jn ( ) = Jn ( ) (3.24)

Jn ( ) = Jn ( )

(3.25)

Jn ( ) = (1)n Jn ( )

(3.26)

Modulaci on en Frecuencia de un Tono Simple.n\ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0.5 0.9385 0.2423 0.0306 0.0026 0.0002 1 0.7652 0.4401 0.1149 0.0196 0.0025 0.0002 2 0.2239 0.5767 0.3528 0.1289 0.0340 0.0070 0.0012 0.0002 3 -0.2601 0.3391 0.4861 0.3091 0.1320 0.0430 0.0114 0.0025 0.0005 0.0001 4 -0.3971 -0.0660 0.3641 0.4302 0.2811 0.1321 0.0491 0.0152 0.0040 0.0009 0.0002 6 0.1506 -0.2767 -0.2429 0.1148 0.3576 0.3621 0.2458 0.1296 0.0565 0.0212 0.0070 0.0020 0.0005 0.0001 8 0.1717 0.2346 -0.1130 -0.2911 -0.1054 0.1858 0.3376 0.3206 0.2235 0.1263 0.0608 0.0256 0.0096 0.0033 0.0010 10 -0.2459 0.0435 0.2546 0.0584 -0.2196 -0.2341 -0.0145 0.2167 0.3179 0.2919 0.2075 0.1231 0.0634 0.0290 0.0120 12 0.0477 -0.2234 -0.0849 0.1951 0.1825 -0.0735 -0.2437 -0.1703 0.0451 0.2304 0.3005 0.2704 0.1953 0.1201 0.0650

13

Tabla 3.1

Funci on de Bessel para varios valores de y n.

Para valores peque nos de se pueden utilizar las aproximaciones dadas por las ecuaciones (3.27), (3.28) y (3.29).

J0 ( ) 0 2 n>1

(3.27)

J1 ( )

(3.28)

Jn ( ) 0 Se cumple para todo la ecuaci on (3.30).

(3.29)

2 Jn ( ) = 1 n=

(3.30)

Usando las propiedades y la gura 3.4 o la tabla 3.1 tendremos para el espectro de la se nal FM para cuando la moduladora es un tono simple, dado por la ecuaci on (3.23), lo siguiente:

El espectro FM consiste en una componente portadora fc y en un n umero innito de bandas laterales colocadas de forma sim etrica con respecto a fc a frecuencias fm , 2fm , 3fm y as sucesivamente. Este es una diferencia importante con respecto a AM donde s olo se ten a dos bandas laterales. Para el caso especial en el que sea peque no comparado con la unidad, s olo los coecientes J0 ( ) y J1 ( ) son signicativos, de modo que la se nal FM est a formada por una portadora a fc y u nicamente dos bandas laterales a fc fm . Este es el caso ya analizado de FM de banda estrecha. La amplitud de la portadora var a con de acuerdo con J0 ( ). Ahora a diferencia de AM, la amplitud de la portadora depende del ndice de modulaci on. La explicaci on de esta propiedad es debido a que la envolvente es constante por lo que la potencia de la portadora y de la se nal FM es la misma. La potencia de la portadora es sencillo ver que viene dada por la ecuaci on (3.31).

14A2 c 2

Cap tulo 3

Pc =

(3.31)

A partir de la ecuaci on (3.23) se puede determinar f acilmente la potencia de la se nal FM, que gracias a la propiedad de las funciones de Bessel dada por la ecuaci on (3.30) se tiene nalmente la ecuaci on (3.32). Ps = A2 c 2 2 Jn ( ) = n=

A2 c 2

(3.32)

Es debido a esta propiedad, que la potencia de la se nal FM es igual a la potencia de la portadora, que la potencia de las bandas laterales aparece debido u nicamente a expensas de quitar potencia a la componente portadora. Por esto mismo, como la potencia de las bandas laterales depende del ndice de modulaci on para que se conserve la potencia, la potencia y, equivalentemente, la amplitud de la portadora tiene obligatoriamente que depender tambi en del ndice de modulaci on. De hecho hay valores del ndice de modulaci on para los cu ales la componente a la frecuencia de la portadora fc de la se nal FM desaparece (tiene amplitud nula). Esto ocurrir a para cuando la funci on de Bessel J0 ( ) valga cero, cosa que s que puede ocurrir como se puede ver en la gura 3.4.

Vamos a representar el espectro de la se nal FM dado por la ecuaci on (3.23) en dos casos:

1.

Ponemos el valor de la frecuencia de la moduladora fm a un valor constante y vamos variando la amplitud de la se nal moduladora Am variando la desviaci on m axima de frecuencia f , para tres casos del ndice de modulaci on = f /fm . En la gura 3.5 podemos ver el m odulo del espectro para = 1. En este caso la desviaci on m axima de frecuencia es f = fm . En la gura 3.6 podemos ver el m odulo del espectro para = 2. En este caso la desviaci on m axima de frecuencia es f = 2fm . Finalmente, en la gura 3.7 podemos ver el m odulo del espectro para = 5. En este caso la desviaci on m axima de frecuencia es f = 5fm . En cualquier caso las deltas siempre est an separadas fm . No se ha tenido en cuenta el factor Ac /2 de la ecuaci on (3.23) y s olo se han dibujado las deltas correspondientes a frecuencias positivas, por lo que el espectro est a centrado con respecto a la frecuencia de la portadora fc . Como se puede deducir de las guras 3.5, 3.6 y 3.7 el valor 2f puede servir de una primera aproximaci on (no demasiado exacta) para el ancho de banda de la se nal FM. El efecto de aumentar la amplitud de la moduladora Am o lo que es lo mismo la desviaci on m axima en frecuencia f , manteniendo constante la frecuencia de la moduladora fm es aumentar el n umero de bandas laterales manteniendo constante la separaci on entre ellas, con lo que el ancho de banda va a aumentar. Ponemos el valor de la amplitud de la moduladora Am a un valor constante, manteniendo constante el valor de la desviaci on m axima en frecuencia f y vamos variando la frecuencia de la se nal moduladora fm , para tres casos del ndice de modulaci on = f /fm . En la gura 3.8 podemos ver el m odulo del espectro para = 1. En este caso la frecuencia de la moduladora es fm = f . En la gura 3.9 podemos ver el m odulo del espectro para = 2. En este caso la frecuencia de la moduladora es fm = f /2. Finalmente, en la gura 3.10 podemos ver el m odulo del espectro para = 5. En este caso la frecuencia de la moduladora es fm = f /5. En cualquier caso las deltas siempre est an separadas fm , que en este caso es variable. No se ha tenido en cuenta el factor Ac /2 de la ecuaci on (3.23) y s olo se han dibujado las deltas correspondientes a frecuencias positivas, por lo que el espectro est a centrado con respecto a la frecuencia de la portadora fc . Como se puede deducir de las guras 3.5, 3.6 y 3.7 el valor 2f puede servir de una primera aproximaci on (no demasiado exacta) para el ancho de banda de la se nal FM. El efecto de disminuir la frecuencia de la moduladora fm , manteniendo constante la amplitud de la moduladora Am y por tanto la desviaci on m axima en frecuencia f es aumentar el n umero de bandas laterales pero disminuyendo la separaci on entre las mismas, de forma que el ancho de banda se mantiene aproximadamente constante. De hecho incluso cuando el ndice de modulaci on se va haciendo cada vez mayor, o lo que es lo mismo la frecuencia de la moduladora fm cada vez menor, el ancho de banda sigue viniendo dado por 2f .

2.

Modulaci on en Frecuencia de un Tono Simple.

15

1

f=fm =1

2 f

f

Figura 3.5

Espectro de la se nal FM en el primer caso para = 1.

1

f=2fm =2

2 f

f

Figura 3.6

Espectro de la se nal FM en el primer caso para = 2.

1

f=5fm =5

2 f

f

Figura 3.7

Espectro de la se nal FM en el primer caso para = 5.

16

Cap tulo 3

1

fm =f =1