Fundamentos De Comunicaciones Digitales - En Español

MODULACION EN AMPLITUD.

Marcos Martın FernandezE. T. S. de Ingenieros de Telecomunicacion

Universidad de Valladolid.

CONTENIDOS

INDICE DE FIGURAS. VII

1. INTRODUCCION. 1

2. MODULACION EN AMPLITUD (AM). 32.1. Generacion de una Senal AM. 32.2. Modulacion de un Tono Simple. 62.3. Eficiencia en Potencia. 82.4. Esquemas Moduladores de AM. 102.5. Esquemas Demoduladores de AM. 14

3. MODULACION DOBLE BANDA LATERAL (DSB). 173.1. Generacion de una Senal DSB. 173.2. Moduladores de DSB. 183.3. Deteccion Coherente de DSB. 21

4. MODULACION DE AMPLITUD EN CUADRATURA (QAM). 27

5. MODULACION BANDA LATERAL UNICA (SSB). 295.1. Generacion de una Senal SSB. 295.2. Modulacion de un Tono Simple. 335.3. Esquemas Moduladores de SSB. 345.4. Demodulacion de SSB. 37

6. MODULACION BANDA LATERAL RESIDUAL (VSB). 41

7. TRANSLACION EN FRECUENCIA. 49

8. MULTIPLEXACION EN FRECUENCIA (FDM). 51

v

INDICE DE FIGURAS

Capıtulo 1

Capıtulo 2

2.1. Senal moduladora. 32.2. Senal modulada sin sobremodulacion. 42.3. Senal modulada con sobremodulacion. 42.4. Espectro de la senal moduladora. 52.5. Espectro de la senal modulada. 52.6. Senal moduladora sinusoidal junto con su espectro. 62.7. Senal portadora sinusoidal junto con su espectro. 62.8. Senal modulada junto con su espectro sin sobremodulacion, para el caso de moduladora

sinusoidal. 72.9. Tanto por ciento de potencia transmitida para la portadora y las bandas laterales como

funcion del ındice de modulacion µ cuando la moduladora es sinusoidal. 102.10. Esquema de un modulador en cuadratura. 112.11. Espectro de la senal moduladora. 122.12. Espectro de la senal a la salida del dispositivo no lineal. 122.13. Esquema de un modulador por conmutacion. 132.14. Caracterıstica entrada/salida ideal de un diodo. 132.15. Tren de pulsos periodico gp(t). 142.16. Esquema de un detector de envolvente. 152.17. Senal modulada AM. 162.18. Envolvente ideal de la senal modulada. 16

Capıtulo 3

3.1. Senal modulada DSB para moduladora sinusoidal. 173.2. Espectro de la senal moduladora. 183.3. Espectro de la senal modulada DSB. 183.4. Esquema de un modulador balanceado. 193.5. Esquema de un modulador en estrella. 193.6. Diagrama esquematico cuando la senal c(t) es positiva. 203.7. Diagrama esquematico cuando la senal c(t) es negativa. 203.8. Senal salida del modulador en estrella para cuando la moduladora es sinusoidal. 203.9. Espectro de la senal a la salida del modulador en estrella. 213.10. Esquema de un detector coherente. 223.11. Espectro de la senal a la salida del modulador producto. 223.12. Esquema del bucle de costas. 243.13. Esquema del bucle cuadratico. 243.14. Respuesta en frecuencia del filtro empleado en el bucle cuadratico. 25

Capıtulo 4

vii

viii MODULACION EN AMPLITUD.

4.1. Esquema de un modulador QAM. 274.2. Esquema de un demodulador QAM. 28

Capıtulo 5

5.1. Espectro de una senal moduladora limitada en banda. 295.2. Espectro de la senal DSB. 305.3. Espectro de la senal SSB empleando la banda lateral superior. 305.4. Espectro de la senal SSB empleando la banda lateral inferior. 305.5. Espectro de la senal modulada desplazado hacia la derecha. 315.6. Espectro de la senal modulada desplazado hacia la izquierda. 315.7. Espectro de la componente en fase de la senal modulada. 325.8. Espectro de la componente en cuadratura de la senal modulada. 325.9. Esquema de un modulador de SSB usando discriminacion en frecuencia. 355.10. Esquema de un modulador de SSB usando discriminacion en frecuencia con dos etapas de

modulacion y filtrado. 355.11. Esquema de un modulador de SSB usando discriminacion en fase. 365.12. Esquema de un modulador de SSB usando discriminacion en fase empleando dos redes

desfasadoras de banda ancha. 365.13. Esquema de un detector coherente para demodular SSB. 375.14. Espectro de la senal a la salida del modulador producto del detector coherente. 385.15. Espectro de la senal moduladora original. 385.16. Espectro de la senal demodulada en el primer caso. 395.17. Espectro de la senal demodulada en el segundo caso. 39

Capıtulo 6

6.1. Espectro de una senal moduladora limitada en banda. 416.2. Espectro de la senal VSB con banda residual superior. 416.3. Esquema de un modulador VSB usando discriminacion en frecuencia. 426.4. Esquema de un detector coherente empleado como demodulador de VSB. 426.5. Espectro de la senal a la salida del modulador producto. 436.6. Espectro de la senal a la salida del filtro paso bajo. 436.7. Un caso particular del modulo del espectro del filtro H(f) para banda residual inferior. 446.8. Un caso particular del filtro Hs(f) empleado para determinar la componente en cuadratura

de la senal modulada. 456.9. Esquema de un modulador VSB usando discriminacion en fase. 466.10. Filtro H(f) empleado para recepcion VSB de TV. 47

Capıtulo 7

7.1. Espectro de una senal DSB. 497.2. Espectro de la senal a la salida del modulador producto. 507.3. Espectro de la senal tras el filtro paso banda. 507.4. Esquema de un mezclador. 50

Capıtulo 8

8.1. Esquema de un sistema FDM. 52

1INTRODUCCION.

Un sistema de comunicacion transmite senales con informacion a traves de un canal de comunicacionesque separa el transmisor del receptor.

El termino banda base se utiliza para denominar la banda de frecuencias que representa la senaloriginal que lleva la informacion. La utilizacion eficiente del canal de comunicacion requiere desplazar lasfrecuencias banda base a otro rango de frecuencias mas adecuado para la transmision. En recepcion serealizara el desplazamiento inverso en frecuencia al rango original banda base.

El desplazamiento del rango de frecuencias se consigue mediante un proceso denominado modulacionque se define como el proceso por el que alguna de las caracterısticas de una portadora se modifica deacuerdo con la senal que tiene la informacion. La senal banda base se denomina senal moduladora y lasenal resultante del proceso de modulacion modulada.

En el extremo receptor se requiere devolver a la senal modulada su forma original. Este proceso sedenomina demodulacion y es el inverso de la modulacion.

Vamos a estudiar dos tipos de modulacion de onda continua (CW: continuos wave):

Modulacion en amplitud (AM: Amplitude Modulation).

Modulacion angular: modulacion en frecuencia (FM: Frequency Modulation) y modulacion en fase(PM: Phase Modulation).

En AM la amplitud de la senal portadora sinusoidal varıa de acuerdo con la senal moduladora. En elcaso de FM y PM la frecuencia y la fase de la senal portadora varıa de acuerdo con la senal moduladorarespectivamente.

1

2MODULACION EN AMPLITUD (AM).

2.1 GENERACION DE UNA SENAL AM.

Considerar la portadora sinusoidal dada por la ecuacion (2.1), donde Ac es la amplitud de la portadoray fc es la frecuencia de la portadora. Por conveniencia asumimos que la fase de la portadora es cero.

c(t) = Ac cos(2πfct) (2.1)

Sea m(t) la senal banda base que contiene la informacion. La senal c(t) es independiente de m(t). Lamodulacion de amplitud (AM) se define como el proceso en el cual la amplitud de la portadora c(t) varıaen torno a un valor medio de forma lineal con la senal banda base m(t) segun la ecuacion (2.2), donde ka

es una constante denominada sensibilidad en amplitud del modulador.

s(t) = Ac[1 + kam(t)] cos(2πfct) (2.2)

Si suponemos que Ac es igual a la unidad y m(t) es la senal de la figura 2.1, se pueden dar dos casos:

Si |kam(t)| < 1 se tiene la senal modulada de la figura 2.2.

Si |kam(t)| > 1 se tiene la senal modulada de la figura 2.3.

m(t)

t

Figura 2.1 Senal moduladora.

3

4 Capıtulo 2

s(t)

t

Figura 2.2 Senal modulada sin sobremodulacion.

s(t)

t

Figura 2.3 Senal modulada con sobremodulacion.

Se puede observar que para que la envolvente de la senal siga la forma de la senal banda base m(t) sedeben satisfacer dos condiciones:

Que |kam(t)| < 1. Esto asegura que 1 + kam(t) es siempre positivo y podemos expresar la envolventede la senal s(t) como Ac[1 + kam(t)].

Cuando |kam(t)| > 1 debido a que la sensibilidad en amplitud ka es demasiado grande, la senal AM sedice que esta sobremodulada, resultado que la fase de la senal AM se invierte siempre que 1+kam(t)cambia de signo. Lo que va a dar lugar a una distorsion en la envolvente. Es evidente ver que si no haysobremodulacion hay una relacion unıvoca entre la envolvente de la senal AM y la senal moduladora.El valor absoluto maximo de kam(t) multiplicado por cien se denomina porcentaje de modulacion.

La frecuencia de la portadora fc sea mucho mayor que la componente frecuencial superior de m(t),segun la ecuacion (2.3), donde W es el ancho de banda de m(t). Si esto no se satisface, la envolventeno seguira a la senal moduladora.

fc � W (2.3)

Modulacion en Amplitud (AM). 5

f−W W

M(0)

M(f)

Figura 2.4 Espectro de la senal moduladora.

Acka

2M(0)

Ac

2Ac

2

−fc−fc −fc f c

f cf c

Banda

Lateral

Superior

S(f)

f−W +W −W +W

Banda

Lateral

SuperiorInferior

Lateral

Banda

Inferior

Lateral

Banda

Figura 2.5 Espectro de la senal modulada.

Calculando ahora la transformada de Fourier de la senal modulada de la ecuacion (2.2) se tiene la ecuacion(2.4).

S(f) =Ac

2[δ(f − fc) + δ(f + fc)] +

kaAc

2[M(f − fc) + M(f − fc)] (2.4)

Si suponemos que la transformada de Fourier de la senal moduladora M(f) tiene la forma de la figura2.4, la transformada de Fourier de la senal modulada S(f) dada por la ecuacion (2.4) se puede ver en lafigura 2.5.

De la figura 2.5 se puede destacar lo siguiente:

Para frecuencias positivas la parte del espectro por encima de fc y para frecuencias negativas la partedel espectro por debajo de −fc se denomina banda lateral superior (USB: Upper SideBand) ypara frecuencias positivas la parte del espectro por debajo de fc y para frecuencias negativas la partedel espectro por encima de −fc se denomina banda lateral inferior (LSB: Lower SideBand). Lacondicion fc > W asegura que las bandas laterales inferiores (la positiva y la negativa) no se solapen.

Para frecuencias positivas, la componente frecuencial superior es fc + W y la inferior fc − W . Ladiferencia entre ambas define el ancho de banda de transmision de la senal AM que se representamediante BT y viene dado por la ecuacion (2.5).

6 Capıtulo 2

m(t)

m

m

m m

M(f)

1/f

t

−f f

A A

f

m

A

mm22

−A

Figura 2.6 Senal moduladora sinusoidal junto con su espectro.

cA

1/fc c−f cf

Ac2

A c2

c(t)

t

f

C(f)

c−A

Figura 2.7 Senal portadora sinusoidal junto con su espectro.

BT = 2W (2.5)

2.2 MODULACION DE UN TONO SIMPLE.

Consideremos una senal moduladora m(t) que sea un tono simple dada por la ecuacion (2.6), donde Am

es la amplitud de la moduladora y fm la frecuencia. Esta senal junto con su espectro se puede ver en lafigura 2.6. En la figura 2.7 vemos la senal portadora junto con su espectro.

m(t) = Am cos(2πfmt) (2.6)

La senal AM en este caso viene dada por la ecuacion (2.7), donde µ = kaAm. La constante adimensionalµ se denomina factor de modulacion o porcentaje de modulacion si se expresa en tanto por ciento.Para evitar distorsion de envolvente debido a sobremodulacion, el factor de modulacion µ debe estar pordebajo de la unidad. En la figura 2.8 vemos la senal modulada junto con su espectro en el caso de no tenersobremodulacion.

s(t) = Ac[1 + µ cos(2πfmt)] cos(2πfct) (2.7)


c−f cf

Ac2

A c2

minA

maxA

A µc4

A µc4

A µc4

A µc4

c−fm−f cf cfc−f m+f m+fm−f1/fc

t

C(f)s(t)

f

Figura 2.8 Senal modulada junto con su espectro sin sobremodulacion, para el caso de moduladorasinusoidal.

Sean Amax y Amin el valor maximo y mınimo de la envolvente de la senal modulada, como se ve en lafigura 2.8. Entonces a partir de la ecuacion (2.7) se tiene la ecuacion (2.8). Simplificando esta ecuacion ydespejando el factor de modulacion se tiene la ecuacion (2.9).

Amax

Amin=

Ac(1 + µ)Ac(1− µ)

(2.8)

µ =Amax −Amin

Amax + Amin(2.9)

Para determinar la transformada de Fourier de la senal modulada s(t) se puede usar la expresion tri-gonometrica dada por la ecuacion (2.10) resultando entonces que la ecuacion (2.7) se puede desarrollarobteniendose la ecuacion (2.11).

cos A cos B =12

cos(A + B) +12

cos(A−B) (2.10)

s(t) = Ac cos(2πfct) +12µAc cos[2π(fc + fm)t] +

12µAc cos[2π(fc − fm)t] (2.11)

Ahora la transformada de Fourier de la ecuacion (2.11) se puede calcular de forma sencilla utilizandotransformadas inmediatas, resultando que la transformada de Fourier S(f) de la senal modulada s(t) vienedada por la ecuacion (2.12). Esta transformada corresponde a componentes frecuenciales en ±fc, fc ± fm

y −fc ± fm, como se puede apreciar en la figura 2.8.

S(f) =Ac

2[δ(f−fc)+δ(f+fc)]+

Ac

4µ[δ(f−fc−fm)+δ(f+fc+fm)]+

Ac

4µ[δ(f−fc+fm)+δ(f+fc−fm)] (2.12)

Podemos distinguir claramente tres componentes:

Frecuencia portadora ±fc.

8 Capıtulo 2

Frecuencia (banda) lateral superior fc + fm y −fc − fm.

Frecuencia (banda) lateral inferior fc − fm y −fc + fm.

2.3 EFICIENCIA EN POTENCIA.

Si x(t) es una senal periodica con periodo T0 y frecuencia fundamental f0, su transformada de Fourierviene dada por la ecuacion (2.13) y su densidad espectral de potencia por la ecuacion (2.14), donde cn sonlos coeficientes de la serie de Fourier. La potencia de la senal x(t) viene dada por la ecuacion (2.15).

X(f) =∞∑

n=−∞cnδ(f − nf0) (2.13)

Sx(f) =∞∑

n=−∞|cn|2δ(f − nf0) (2.14)

Px =∫ ∞

−∞Sx(f)df (2.15)

Vamos a determinar ahora la potencia de cada una de las tres componentes de la senal AM suponiendoque la moduladora sea sinusoidal a la frecuencia fm dada por la ecuacion (2.6):

Portadora. La transformada de Fourier de la senal portadora c(t) viene dada por la ecuacion (2.16),su densidad espectral de potencia por la ecuacion (2.17) y, finalmente, la potencia por la ecuacion(2.18).

C(f) =12Acδ(f − fc) +

12Acδ(f + fc) (2.16)

Sc(f) =14A2

cδ(f − fc) +14A2

cδ(f + fc) (2.17)

Pc =∫ ∞

−∞Sc(f)df =

14A2

c +14A2

c =A2

c

2(2.18)

Banda lateral superior. La transformada de Fourier de la senal banda lateral superior usb(t) vienedada por la ecuacion (2.19), su densidad espectral de potencia por la ecuacion (2.20) y, finalmente, lapotencia por la ecuacion (2.21).

USB(f) =14µAcδ(f − fc − fm) +

14µAcδ(f + fc + fm) (2.19)

Susb(f) =116

µ2A2cδ(f − fc − fm) +

116

µ2A2cδ(f + fc + fm) (2.20)


Pusb =∫ ∞

−∞Susb(f)df =

116

µ2A2c +

116

µ2A2c =

18µ2A2

c (2.21)

Banda lateral inferior. La transformada de Fourier de la senal banda lateral inferior lsb(t) vienedada por la ecuacion (2.22), su densidad espectral de potencia por la ecuacion (2.23) y, finalmente, lapotencia por la ecuacion (2.24).

LSB(f) =14µAcδ(f − fc + fm) +

14µAcδ(f + fc − fm) (2.22)

Slsb(f) =116

µ2A2cδ(f − fc + fm) +

116

µ2A2cδ(f + fc − fm) (2.23)

Plsb =∫ ∞

−∞Slsb(f)df =

116

µ2A2c +

116

µ2A2c =

18µ2A2

c (2.24)

Se va a definir la eficiencia en potencia η como el cociente entre la potencia transmitida de informaciony la potencia total transmitida PT . La potencia transmitida de informacion es la potencia de las bandaslaterales PSB . Se tiene entonces la ecuacion (2.25).

η =PSB

PT(2.25)

Teniendo en cuenta la potencia calculada para cada una de las tres componentes dada por las ecuaciones(2.18), (2.21) y (2.24), respectivamente, en el caso de moduladora sinusoidal la eficiencia en potencia vienedada en este caso por la ecuacion (2.26).

η =18µ2A2

c + 18µ2A2

c12A2

c + 18µ2A2

c + 18µ2A2

c

=14µ2

12 + 1

4µ2=

µ2

2 + µ2(2.26)

En el caso de que se utilice el 100 por ciento de modulacion, µ = 1, la eficiencia maxima en potencia enesta caso es la dada por la ecuacion (2.27). Es decir, la potencia total de informacion transmitida en lasbandas laterales es solo la tercera parte de la potencia total, en el caso mejor. Por ejemplo, para un 20 porciento de modulacion la potencia total de informacion transmitida en las bandas laterales es menor del 2por ciento de la potencia total. En la figura 2.9 podemos ver el tanto por ciento de potencia de portadoratransmitida y de potencia de informacion transmitida en las bandas laterales como funcion del ındice demodulacion µ.

ηmax =13

(2.27)

Podemos concluir entonces que la eficiencia maxima en potencia es un tercio de la transmitida y que elancho de banda de la senal transmitida es el doble que el ancho de banda de la senal moduladora. Por lotanto, la modulacion AM no es eficiente ni en potencia ni en ancho de banda.

10 Capıtulo 2

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

µ (%)

% PotenciaTransmitida

Bandas Laterales

Portadora

66,66%

33,33%

Figura 2.9 Tanto por ciento de potencia transmitida para la portadora y las bandas laterales comofuncion del ındice de modulacion µ cuando la moduladora es sinusoidal.

2.4 ESQUEMAS MODULADORES DE AM.

Se van a describir dos dispositivos capaces de generar una senal AM: el modulador en cuadratura y elmodulador por conmutacion. Ambos requieren el empleo de un elemento no lineal para su implementacion.Estos dispositivos son adecuados para transmision con baja potencia.

2.4.1 Modulador en Cuadratura.

Este tipo de modulador requiere tres cosas:

Una forma de sumar la portadora y la senal moduladora.

Un elemento no lineal.

Un filtro paso banda para extraer los productos de modulacion adecuados.

En la figura 2.10 podemos ver un esquema este tipo de modulador. Los diodos y transistores semicon-ductores son los elementos que se utilizan normalmente como dispositivos no lineales para implementarmoduladores en cuadratura. El filtro paso banda que se utiliza suele ser un circuito simple o doblementesintonizado.

Cuando un elemento no lineal como un diodo esta bien polarizado de forma que trabaje en una zona desu curva caracterıstica y la senal aplicada es relativamente debil, su funcion de transferencia puede ponersesegun la ecuacion (2.28), donde a1 y a2 son constantes que dependen del dispositivo, v1(t) es la senal deentrada y v2(t) la senal de salida.

v2(t) = a1v1(t) + a2v21(t) (2.28)


Elemento

No Lineal

1(t)v 2(t)vC RL

m(t)

c(t)

Figura 2.10 Esquema de un modulador en cuadratura.

La senal de entrada al dispositivo no lineal v1(t) es la suma de la senal portadora y moduladora segunla ecuacion (2.29). Entonces se puede determinar la senal de salida v2(t) usando la ecuacion (2.28), quesimplificando se puede obtener finalmente la ecuacion (2.30).

v1(t) = Ac cos(2πfct) + m(t) (2.29)

v2(t) = a1Ac

[1 +

2a2

a1m(t)

]cos(2πfct) + a1m(t) + a2m

2(t) +12a2A

2c +

12a2A

2c cos(4πfct) (2.30)

En la ecuacion (2.30) unicamente el primer termino es el deseado, es decir, la senal AM. Dicha senal AMtiene una sensibilidad en amplitud dada por la ecuacion (2.31). El resto de terminos son no deseados y seeliminan mediante filtrado.

ka =2a2

a1(2.31)

Vamos a suponer que la senal moduladora m(t) esta limitada a la banda de frecuencias |f | ≤ W ycuya transformada de Fourier viene dada graficamente por la figura 2.11. En la figura 2.12 podemos ver elespectro de la senal v2(t) a la salida del dispositivo no lineal. En dicha figura se han etiquetado las diferentescomponentes de v2(t) correspondientes a los siguientes terminos temporales de la ecuacion (2.30):

1. 12a2A

2c .

2. a1Ac cos(2πfct).

3. 2a2Acm(t) cos(2πfct).

4. a1m(t).

12 Capıtulo 2

f−W W

M(0)

M(f)


cf

V2(f)

f−2W −W W 2W

2W 2W

6

3

2

5

4

1 6

3

2

2fc−f c−2fc

Figura 2.12 Espectro de la senal a la salida del dispositivo no lineal.

5. a2m2(t).

6. 12a2A

2c cos(4πfct).

Como puede verse en la figura 2.12 se pueden eliminar facilmente los terminos no deseados (todos exceptoel segundo y el tercero) mediante un filtro paso banda con frecuencia central la de la portadora fc y deancho de banda 2W . Para que el quinto termino no se solape con el tercero es necesario que se cumpla quefc > 3W .

2.4.2 Modulador por Conmutacion.

En la figura 2.13 se puede ver el esquema de este tipo de modulador. Vamos a suponer que la amplitudde la senal portadora c(t) aplicada al diodo tiene una amplitud Ac grande, de modo que recorra una buenaparte de la caracterıstica del diodo. Se va a suponer tambien que el diodo actua como un conmutadorideal, es decir, que tiene impedancia cero cuando conduce en directa, para c(t) > 0, y que tiene impedanciainfinita (no conduce) cuando esta en inversa, para c(t) < 0, como puede verse en la figura 2.14.

La senal v1(t) a la entrada del diodo viene dada por la suma de la senal moduladora y de la senalportadora segun la ecuacion (2.32), donde se supone que |m(t)| � Ac.

v1(t) = Ac cos(2πfct) + m(t) (2.32)

Teniendo en cuenta la caracterıstica entrada salida del diodo, como se observa en la figura 2.14, la senalv2(t) a la salida viene dada por la ecuacion (2.33), es decir, la tension en la carga varıa periodicamenteentre los valores v1(t) y cero a una tasa igual a la frecuencia de la portadora fc.


1(t)v2(t)v RL

c(t)

m(t)

Figura 2.13 Esquema de un modulador por conmutacion.

v

v2

1

pendienteunidad

Figura 2.14 Caracterıstica entrada/salida ideal de un diodo.

v2(t) ≈

v1(t) c(t) > 0

0 c(t) < 0(2.33)

Si suponemos que la senal moduladora es debil comparada con la senal portadora, |m(t)| � Ac, hemosreemplazado el comportamiento no lineal del diodo por un funcionamiento lineal variante con el tiempo.Esto se puede expresar matematicamente mediante la ecuacion (2.34), donde gp(t) es un tren de pulsosperiodico con medio periodo alto y medio bajo, con perıodo T0 = 1/fc, como puede verse en la figura 2.15.La senal gp(t) se puede representar en serie de Fourier segun la ecuacion (2.35).

v2(t) ≈ [Ac cos(2πfct) + m(t)]gp(t) (2.34)

gp(t) =12

+2π

∞∑n=1

(−1)n−1

2n− 1cos[2πfct(2n− 1)] (2.35)

Sustituyendo la ecuacion (2.35) en la ecuacion (2.34) y operando se obtienen los siguientes terminos:

Ac

2

[1 + 4

πAcm(t)

]cos(2πfct) que es la senal AM deseada con sensibilidad en amplitud ka = 4

πAc.

Componentes frecuenciales (deltas) a las frecuencias 0, ±2fc, ±4fc, etc.

14 Capıtulo 2

/40T /20T T00−T /20−T /40−T

1

gp(t)

t

Figura 2.15 Tren de pulsos periodico gp(t).

Senal moduladora 12m(t) con ancho de banda W .

Componentes de senal (bandas laterales) a las frecuencias ±3fc, ±5fc, etc., de ancho de banda 2W .

Si ahora empleamos un filtro paso banda de frecuencia central fc y ancho de banda 2W , siempre quefc > 2W habremos eliminado los terminos no deseados, teniendo finalmente la senal AM deseada.

2.5 ESQUEMAS DEMODULADORES DE AM.

El proceso de demodulacion es aquel que permite obtener una senal proporcional a la senal moduladoraoriginal m(t) a partir de la senal modulada s(t). De hecho, el proceso de demodulacion es el proceso inversodel de modulacion. Se van a describir dos dispositivos para demodular AM: el detector en cuadratura y eldetector de envolvente.

2.5.1 Detector en Cuadratura.

Se obtiene empleando la misma tecnica que para el modulador en cuadratura. Consideramos de nuevo lacaracterıstica entrada salida de un dispositivo no lineal segun la ecuacion (2.36). Cuando este dispositivo seemplea para demodular una senal AM tendremos que la senal de entrada v1(t) viene dada por la ecuacion(2.37).

v2(t) = a1v1(t) + a2v21(t) (2.36)

v1(t) = Ac[1 + kam(t)] cos(2πfct) (2.37)

Sustituyendo la ecuacion (2.37) en la ecuacion (2.36) obtenemos para la senal de salida v2(t) la ecuacion(2.38).

v2(t) = a1Ac[1 + kam(t)] cos(2πfct) +12a2A

2c [1 + k2

am2(t) + 2kam(t)][1 + cos(4πfct)] (2.38)


RL

RS

C

s(t)

Figura 2.16 Esquema de un detector de envolvente.

En la ecuacion (2.38) la senal deseada es a2A2ckam(t), que proviene del termino a2v

21(t), por eso el detector

de denomina cuadratico. Esta componente puede ser extraıda mediante filtrado, sin embargo hay otras doscomponentes que se solapan en la baja frecuencia 1

2a2A2c y 1

2a2A2cm

2(t). La primera de estas componentesno es mas que una componente continua que se puede eliminar facilmente con un condensador de desacople.La segunda componente no se puede eliminar completamente mediante filtrado y constituye un terminode distorsion. La relacion entre la senal deseada y dicha distorsion es 2

kam(t) . Para lograr que ese cocientesea lo mayor posible debemos elegir |kam(t)| lo menor posible en todo instante de tiempo. Se puede decirentonces que la distorsion sera pequena siempre que el tanto por ciento de modulacion sea pequeno.

2.5.2 Detector de Envolvente.

Supongamos que la senal AM es de banda estrecha, es decir, que la frecuencia de la portadora fc esmucho mayor que el ancho de banda de la senal moduladora W y que no tenemos sobremodulacion. Lademodulacion puede realizarse mediante un dispositivo muy sencillo pero efectivo denominado detector deenvolvente. Idealmente un detector de envolvente produce una senal a la salida que sigue a la envolvente dela senal de entrada. Una version de este esquema es el que se utiliza normalmente en los receptores de AMcomerciales. En la figura 2.16 puede verse dicho esquema de forma simplificada. En la figura 2.17 podemosver una senal modulada en AM y en la figura 2.18 la envolvente ideal de dicha senal, que viene dada porla ecuacion (2.39)

r(t) = Ac[1 + kam(t)] (2.39)

En el ciclo positivo de la senal de entrada el diodo esta polarizado en directa por lo que el condensadorse carga rapidamente hasta el valor de pico de la senal de entrada. Cuando la senal de entrada baja de suvalor de pico, el diodo pasa a inversa y el condensador se descarga lentamente a traves de la carga. Esteprocedo de descarga continua hasta el siguiente perıodo positivo para el que la senal a la entrada del diodoes mayor que la senal a la salida, momento en el cual el diodo pasa a directa y el condensador se vuelve acargar, y ası sucesivamente. Se esta suponiendo que el diodo es ideal de forma que la impedancia en directasea cero e infinito en inversa.

Si la impedancia de la fuente es RS se tiene que cumplir que el tiempo de carga del condensador seapequeno con respecto al periodo de la portadora, es decir, se tiene que cumplir la ecuacion (2.40), de modoque el condensador se cargue rapidamente y siga a la senal de entrada hasta su valor de pico.

16 Capıtulo 2

s(t)

t

Figura 2.17 Senal modulada AM.

t

Envolvente

Figura 2.18 Envolvente ideal de la senal modulada.

RSC � 1fc

(2.40)

Ademas el tiempo de descarga a traves de la carga RL debe ser suficientemente largo para asegurar queel condensador se descargue lentamente entre dos picos de la senal portadora, pero no demasiado lento paraque se pueda descarga y seguir la envolvente de la senal AM, es decir, se tiene que cumplir la ecuacion(2.41).

1fc� RLC � 1

W(2.41)

El resultado es que la senal en la carga es muy similar a la envolvente de la senal AM. La salida deldetector de envolvente suele tener un pequeno rizado (este rizado no se muestra en la figura 2.18) a lafrecuencia de la portadora. Puesto que la senal modulada es de banda estrecha, fc � W , este rizado sepuede eliminar facilmente mediante un filtro paso bajo, resultando la envolvente ideal dada por la ecuacion(2.39). Esta envolvente tiene ademas una componente continua que se puede eliminar facilmente medianteun condensador de desacople.

Se puede terminar diciendo que puesto que los receptores en AM son muy sencillos a la vez que latransmision de la portadora hara que la potencia del transmisor sea mayor, se empleara este tipo demodulacion cuando tengamos un transmisor y muchos receptores como en el caso de radiodifusion.

3MODULACION DOBLE BANDA LATERAL

(DSB).

3.1 GENERACION DE UNA SENAL DSB.

La senal portadora c(t) es completamente independiente de la informacion de la senal m(t), por lo tantotransmitir la portadora significa un desperdicio de potencia. Solo una parte de la potencia transmitida deuna senal AM lleva informacion. Para solucionar esto, se puede suprimir la componente portadora de lasenal modulada, dando lugar a una modulacion doble banda lateral con portadora suprimida (DSB: DoubleSideBand). Entonces, suprimiendo la portadora se tiene una senal que sera proporcional al producto de laportadora por la senal banda base segun la ecuacion (3.1).

s(t) = c(t)m(t) = Ac cos(2πfct)m(t) (3.1)

La senal ası modulada presenta un cambio de fase siempre que la senal m(t) cruce por cero. Ahora adiferencia del caso AM, para DSB la envolvente de la senal no sigue a la senal moduladora m(t) como sepuede ver en la figura 3.1.

La transformada de Fourier de la senal modulada viene dada por la ecuacion (3.2). Si el espectro de lasenal moduladora es el que se observa en la figura 3.2, el espectro de la senal modulada sera el de la figura3.3. En este caso el proceso de modulacion simplemente traslada la senal moduladora a las frecuencias ±fc.Tendremos las dos bandas laterales sin portadora. En este caso el ancho de banda de la senal moduladoraes BT = 2W y la eficiencia en potencia η = 1.

s(t)

t

Figura 3.1 Senal modulada DSB para moduladora sinusoidal.

17

18 Capıtulo 3

f−W W

M(0)

M(f)


S(f)

f−f fc c

2W 2W2cAM(0)

Figura 3.3 Espectro de la senal modulada DSB.

S(f) =12Ac[M(f − fc) + M(f + fc)] (3.2)

3.2 MODULADORES DE DSB.

Un modulador de DSB consiste en un dispositivo que realice el producto entre la senal portadora y lasenal banda base. Un dispositivo con estas caracterısticas se denomina modulador producto. Se van adescribir dos tipos de modulador: modulador balanceado y modulador en estrella.

3.2.1 Modulador Balanceado.

Una posible forma de generar una senal DSB es utilizar dos moduladores de AM colocados en configu-racion balanceada para eliminar la portadora segun se puede ver en la figura 3.4.

Vamos a suponer que los dos moduladores AM son identicos, excepto que la senal moduladora en unode ellos tiene el signo cambiado. La salida de cada modulador AM viene dada por la ecuacion (3.3).

s1(t) = Ac[1 + kam(t)] cos(2πfct)

s2(t) = Ac[1− kam(t)] cos(2πfct) (3.3)

Modulacion Doble Banda Lateral (DSB). 19

Accos(2π fct)

s1(t)

s2(t)

ModuladorAM

Oscilador

ModuladorAM

m(t)

− m(t)

s(t)

_

+

Figura 3.4 Esquema de un modulador balanceado.

c(t)

SeñalPortadora

m(t)

Moduladora

Señal

s(t)

Modulada

Señal

c

a b

d

Figura 3.5 Esquema de un modulador en estrella.

Restando las salidas de los moduladores AM se tiene finalmente la ecuacion (3.4), que si no tenemos encuenta el factor 2ka, corresponde al producto de la senal moduladora con la portadora.

s(t) = s1(t)− s2(t) = 2kaAcm(t) cos(2πfct) (3.4)

3.2.2 Modulador en Estrella o Doblemente Balanceado.

Uno de los moduladores mas adecuados para generar una senal DSB es el modulador en estrella como elque se muestra en la figura 3.5. En dicho esquema los cuatro diodos forman una estrella en la cual todos ellosapuntan en la misma direccion. Los diodos estan controlados por una senal cuadrada c(t) a la frecuenciade la portadora fc que se aplica a traves de dos transformadores. Vamos a suponer que los diodos son

20 Capıtulo 3

b

c

a

d

Figura 3.6 Diagrama esquematico cuando la senal c(t) es positiva.

b

c

a

d

Figura 3.7 Diagrama esquematico cuando la senal c(t) es negativa.

t

s(t)

Figura 3.8 Senal salida del modulador en estrella para cuando la moduladora es sinusoidal.

ideales y que los transformadores estan totalmente balanceados. Cuando la senal c(t) es positiva, los diodosexteriores estan en directa y presentan impedancia cero, mientras que los diodos internos estan en inversa ytienen impedancia infinito como se muestra esquematicamente en la figura 3.6. De este modo el moduladormultiplica a la senal m(t) por la unidad. Cuando la senal c(t) es negativa, la situacion es justamente lainversa como se muestra en la figura 3.7. En este caso el modulador multiplica a la senal m(t) por −1.

Por tanto, el modulador en estrella, de forma ideal, es un modulador producto que multiplica la senalc(t) por m(t). La senal c(t) se puede descomponer en serie de Fourier segun la ecuacion (3.5), entoncesla senal salida del modulador en estrella viene dada por la ecuacion (3.6). Esta senal se puede ver en eldominio del tiempo para cuando la moduladora es sinusoidal en la figura 3.8.

c(t) =4π

∞∑n=1

(−1)n−1

2n− 1cos[2πfct(2n− 1)] (3.5)


2W 2W

f

2W

c3f

S(f)

2W

−3fc −fc fc

Figura 3.9 Espectro de la senal a la salida del modulador en estrella.

s(t) = c(t)m(t) =4π

∞∑n=1

(−1)n−1

2n− 1cos[2πfct(2n− 1)]m(t) (3.6)

Como puede deducirse de la ecuacion (3.6) o de la figura 3.8 no tenemos componente portadora a lasalida. Es decir, la salida del modulador en estrella consiste unicamente en productos de intermodulacion.El modulador en estrella se suele llamar tambien doblemente balanceado debido a que esta balanceadocon respecto a la senal portadora ası como con respecto a la senal moduladora (en la salida se han eliminadotanto la senal moduladora como la senal portadora, ambas presentes a la entrada del modulador).

Si la senal moduladora m(t) esta limitada a la banda de frecuencias |f | ≤ W en la figura 3.9 podemos verel espectro de la senal a la salida del modulador en estrella. Este espectro consiste en bandas laterales enlos armonicos impares de la frecuencia de la portadora fc. La senal deseada corresponde a primeras bandaslaterales a las frecuencias ±fc que se puede extraer facilmente mediante un filtro paso banda con frecuenciacentral la de la portadora fc y de ancho de banda 2W , siempre que se cumpla que fc > W .

3.3 DETECCION COHERENTE DE DSB.

3.3.1 Caracterısticas Generales.

La senal banda base m(t) se puede recuperar de forma unica de una senal DSB s(t) multiplicando dichasenal por una senal sinusoidal generada de forma local y despues filtrando el resultado como puede verse enla figura 3.10, donde se supone que el oscilador local esta completamente sincronizado o es coherente tantoen frecuencia como en fase con la senal portadora c(t). Este metodo de deteccion se denomina coherenteo sıncrono.

Es util derivar la deteccion coherente como un caso particular de un proceso de demodulacion mas generalque utiliza una senal de un oscilador de la misma frecuencia pero de una fase diferente arbitraria φ, medidacon respecto a la portadora c(t). Por lo tanto, denotando la senal del oscilador local como A′c cos(2πfct+φ),la salida del modulador producto de la figura 3.10 viene dada segun el desarrollo de la ecuacion (3.7).

v(t) = A′c cos(2πfct + φ)s(t) = AcA′c cos(2πfct) cos(2πfct + φ)m(t)

=12AcA

′c cos(4πfct + φ)m(t) +

12AcA

′c cos(φ)m(t) (3.7)

22 Capıtulo 3

Modulador

Producto Paso Bajo

Filtro

A ccos(2πfct+

Señal DSB

s(t)

v(t) 0 (t)v

φ)

Figura 3.10 Esquema de un detector coherente.

A c

A c M(0)cos(Ac

2

fc−2f c2f−W W

V(f)

φ)

Ac M(0)4

2W 2W

Figura 3.11 Espectro de la senal a la salida del modulador producto.

En la ecuacion (3.7) el primer termino representa una senal DSB con una frecuencia portadora 2fc,mientras que el segundo termino es proporcional a m(t). En la figura 3.11 puede verse graficamente elespectro de esta senal para el caso en el que la senal moduladora m(t) esta limitada a la banda de frecuencias|f | < W .

A partir del espectro de la figura 3.11 se deduce que se puede extraer una senal proporcional a la senalmoduladora mediante un filtro paso bajo de ancho de banda W . La senal a la salida de dicho filtro vienedada por la ecuacion (3.8).

v0(t) =12AcA

′c cos(φ)m(t) (3.8)

De esta forma la senal v0(t) es proporcional a m(t) cuando el error de fase sea constante. La amplitudde la senal demodulada sera maxima para φ = 0 y mınima para φ = ±π

2 . Para φ = ±π2 la senal a la salida

es nula. Esto se conoce como efecto nulo en cuadratura del detector coherente. La senal a la salida va avenir atenuada por un factor cos(φ). Mientras el error de fase sea constante, la salida del detector da lugara una version no distorsionada de la senal moduladora original. En la practica, el error de fase varıa deforma aleatoria debido a variaciones aleatorias del canal de comunicaciones. El resultado es que a la salidadel detector el factor cos(φ) varıa tambien de forma aleatoria con el tiempo. Por todo ello, el detector debeproveer un mecanismo para que el oscilador local este en perfecto sincronismo tanto en frecuencia comoen fase con la senal portadora. Esta mayor complejidad del detector es el coste asociado por no transmitirla portadora para ahorrar potencia transmitida.


3.3.2 Caso de Moduladora Sinusoidal.

Vamos a suponer que la senal moduladora m(t) sinusoidal tiene una frecuencia fm y una amplitud Am

segun la ecuacion (3.9). Entonces la senal modulada viene dada por el desarrollo de la ecuacion (3.10).


s(t) = AcAm cos(2πfct) cos(2πfmt)

=12AcAm cos[2π(fc + fm)t] +

12AcAm cos[2π(fc − fm)t] (3.10)

La transformada de Fourier de la senal modulada dada por la ecuacion (3.10) viene dada por la ecuacion(3.11) que corresponde a deltas a las frecuencias −fc± fm y fc ± fm, es decir, las dos bandas laterales sincomponente portadora.

S(f) =14AcAm[δ(f − fc − fm) + δ(f + fc + fm) + δ(f − fc + fm) + δ(f + fc − fm)] (3.11)

Si usamos un detector coherente con la portadora perfectamente sincronizada en frecuencia y fase sepuede llegar al desarrollo de la ecuacion (3.12) para la senal a la salida del modulador producto del detectorcoherente.

v(t) = = A′c cos(2πfct){

12AcAm cos[2π(fc + fm)t] +

12AcAm cos[2π(fc − fm)t]

}=

14A′cAcAm {cos[2π(2fc − fm)t] + cos[2π(2fc + fm)t] + cos(2πfmt) + cos(2πfmt)} (3.12)

Los terminos a las frecuencias 2fc ± fm son eliminados mediante el filtro paso bajo. Como puede verselos otros dos terminos corresponden a la senal buscada. Uno procede de la banda lateral superior y el otrode la banda lateral inferior. Por lo tanto, se puede concluir que solo es necesaria una de las bandas lateralespara recuperar la informacion transmitida, usando un detector coherente y siempre que la portadora este enperfecto sincronismo tanto en frecuencia como en fase.

3.3.3 Bucle de Costas.

Un metodo para obtener un sistema receptor sıncrono adecuado para demodular DSB se denominabucle de costas. Un esquema de dicho receptor se puede ver en la figura 3.12. El sistema esta formadopor dos detectores coherentes que tienen como entrada la senal modulada s(t) = Ac cos(2πfct)m(t), perocuyas portadoras procedentes de un oscilador local estan en cuadratura. La frecuencia de dicho osciladoresta ajustada para que sea la misma que la de la frecuencia portadora fc. La fase en un principio noesta sincronizada, presentando un desfase φ. El sistema superior se denomina detector coherente en faseo canal I y el sistema inferior detector coherente en cuadratura o canal Q. Estos dos detectores se hanacoplado para mantener el sistema realimentado de forma que el oscilador local logre el sincronismo en fasecon la senal portadora de la senal modulada.

Vamos a suponer que el desfase del oscilador local sea φ = 0. En este caso, segun las senales presentesen la figura 3.12 la salida del canal I es proporcional a la senal moduladora m(t), mientras que la salida

24 Capıtulo 3

Acsin(2 π fc t+φ)

Accos(2π fc t+φ)

cA2

cos(φ)m(t)

cA2

sin(φ)m(t)

ModuladorProducto

ModuladorProducto

Desfasador900

VCO

Señal DSB

s(t)

de FaseDiscriminador

FiltroPaso Bajo

FiltroPaso Bajo

Figura 3.12 Esquema del bucle de costas.

Señal a f c

Eleva al Filtro

s(t)

Señal DSB y(t) Modulador Filtro

Paso BajoProductoH(f)Cuadrado

Divisor

Frecuencia por 2

VCO

PLL

e(t)

Figura 3.13 Esquema del bucle cuadratico.

del canal Q es cero, debido al efecto nulo en cuadratura en este caso. Si ahora el oscilador cambia su faseφ radianes, siendo φ un valor pequeno, la salida del canal I se mantiene practicamente constante puestoque cos(φ) ≈ 1, siempre que φ sea pequeno. Sin embargo, en el canal Q aparece una senal distinta de ceropuesto que sin(φ) ≈ φ, siempre que φ sea pequeno. Ademas el canal Q tiene igual polaridad que el I cuandoφ > 0 y polaridad inversa cuando φ < 0. Combinando ambos canales mediante un discriminador de faseque es un multiplicador seguido de un filtro paso bajo, aparece a la salida una componente continua quepermite corregir el error de fase del oscilador local.

Si la senal moduladora fuese cero durante cierto periodo de tiempo el control de la fase se pierde tem-poralmente. En cuanto la senal moduladora comience a ser de nuevo distinta de cero el enganche de fasevuelve a establecerse. Este problema no es demasiado importante en el caso de senales de voz, puesto queel proceso de enganche de fase es suficientemente rapido como para que no se aprecie distorsion en la senaldel canal I.


f∆ f∆

fc c−2f 2f

|H(f)|

1

Figura 3.14 Respuesta en frecuencia del filtro empleado en el bucle cuadratico.

3.3.4 Bucle de Cuadratico.

Otra forma de generar una senal portadora de referencia en el receptor a partir de una senal DSB esutilizar un bucle cuadratico como el que se muestra esquematicamente en la figura 3.13. A la entradaexiste un dispositivo con ley cuadratica dada por y(t) = s2(t) por lo que si a la entrada tenemos la senalmodulada s(t) = Ac cos(2πfct)m(t) a la salida de dicho dispositivo tendre para la senal y(t) la expresionde la ecuacion (3.13).

y(t) = A2c cos(2πfct)m2(t) =

A2c

2m2(t)[1 + cos(4πfct)] (3.13)

Ahora esta senal y(t) se aplica a la entrada de un filtro paso banda muy estrecho y de frecuencia central2fc como el que se muestra en la figura 3.14. El ancho de banda de dicho filtro ∆f es muy pequeno.Entonces a senal a la salida de dicho filtro es aproximadamente sinusoidal segun la ecuacion (3.14), dondeE es la energıa de la senal moduladora m(t).

v(t) ≈ A2c

2E∆f cos(4πfct) (3.14)

El resultado es una senal sinusoidal a dos veces la frecuencia de la portadora que sirve de entrada a unbucle enganchado en fase (PLL: Phase Locked Loop). Este consiste en un multiplicador, un filtro pasobajo y un oscilador controlado por tension (VCO: Voltage Control Oscillator) conectado en configuracionrealimentada. A la salida del multiplicador tendremos dos terminos uno que depende de la diferencia defrecuencias y fases de las senales de entrada al multiplicador y otro que depende de su suma. El terminoque depende de la suma de frecuencias y fases se elimina mediante el filtro paso bajo. La senal error e(t),que depende de la diferencia de frecuencias y fases de las senales a la entrada del multiplicador, se aplicaa la entrada del VCO haciendo que la frecuencia del VCO a la salida coincida con la de la senal v(t) a laentrada del PLL y que la fase este en cuadratura con respecto a la de la senal v(t) a la entrada del PLLde forma que la senal error e(t) se anule. Ademas el VCO puede seguir los posibles cambios en frecuenciay fase de la senal de entrada v(t) del PLL, debidos posiblemente a variaciones aleatorias del canal.

Finalmente, la senal a la salida del PLL, que es tambien la senal a la salida del VCO, se divide su frecuenciapor dos para dar lugar a la senal portadora deseada (estara en cuadratura, por lo que sera necesariodesfasarla 900) adecuada para poderla utilizar en un detector coherente de DSB. Debido al divisor defrecuencia, tenemos una ambiguedad de fase de π. Esto es debido a que un cambio de fase de 2π a laentrada del divisor de frecuencia produce un cambio de fase de π a la salida. La salida puede ser por tantocos(2πfct) o bien − cos(2πfct). Si se utiliza la fase incorrecta se invierte la polaridad de la senal de salida,pero en el caso de senales de voz esto no da lugar a distorsion.

26 Capıtulo 3

Ya que en la modulacion DSB no se transmite la portadora, esto va a dar lugar a que el transmisor seamucho mas barato que el caso de AM. Sin embargo el precio que es necesario pagar el la mayor complejidady por tanto coste el receptor. Se empleara modulacion DSB cuando tengamos un transmisor y un receptor,por ejemplo, en enlaces punto a punto.

4MODULACION DE AMPLITUD EN

CUADRATURA (QAM).

La modulacion o multiplexacion de amplitud en cuadratura permite que dos senales moduladas DSB dedos fuentes independientes, pero con caracterısticas de ancho de banda similares, ocupen el mismo anchode banda de transmision y se puedan separar en el extremo receptor. Es, por tanto, un esquema que ahorraancho de banda.

En la figura 4.1 podemos ver un esquema del transmisor. Como se puede ver, se utilizan dos moduladoresproducto por separado, uno para cada senal, cuyas portadoras estan desfasadas 900. En este caso se disponede dos senales moduladoras m1(t) y m2(t) independientes, pero con el mismo ancho de banda W . Estassenales son las que se van a transmitir de forma conjunta por un ancho de banda comun BT = 2W centradoen fc. La expresion de la senal transmitida o modulada viene dada por la ecuacion (4.1).

s(t) = Acm1(t) cos(2πfct) + Acm2(t) sin(2πfct) (4.1)

Puesto que la senal modulada s(t) es una senal paso banda, comparando la ecuacion (4.1) con la formacanonica de una senal paso banda se tiene que la componente en fase de la senal s(t) viene dada por laecuacion (4.2) y la componente en cuadratura por la ecuacion (4.3).

Accos(2π fct)

Acsin(2 π fct)

ModuladorProducto

ModuladorProducto

Desfasador90

Oscilador

+

+ s(t)

0

Señal QAM

m

m

(t)2

1(t)

Figura 4.1 Esquema de un modulador QAM.

27

28 Capıtulo 4

A ccos(2π fct)

A csin(2 π fct)

ModuladorProducto

ModuladorProducto

Desfasador90

Oscilador

0

Señal QAM

s(t)

FiltroPaso Bajo

AcAc

2m2

FiltroPaso Bajo

AcAc

2m1

(t)

(t)

Figura 4.2 Esquema de un demodulador QAM.

sc(t) = Acm1(t) (4.2)

ss(t) = −Acm2(t) (4.3)

En la figura 4.2 se puede ver el esquema del receptor de QAM. La senal modulada s(t) se aplica a dosmoduladores producto cuyas portadoras estan desfasadas 900. A la salida de dichos moduladores productohay componentes a 2fc que se pueden eliminar facilmente con un filtro paso bajo, obteniendose finalmentea la salida la senal dada por la ecuacion (4.4) para el canal en fase I y la dada por la ecuacion (4.5) parael canal en cuadratura Q.

vc(t) =12AcA

′cm1(t) (4.4)

vs(t) =12AcA

′cm2(t) (4.5)

Para que el sistema funcione correctamente es importante mantener la frecuencia y fase de la portadoragenerada localmente en el receptor en perfecto sincronismo con la portadora de la senal modulada recibida.

La tecnica QAM se utiliza para difusion de TV en color. Las dos senales moduladoras corresponden a lassenales de luminancia y crominancia, respectivamente. Ademas se envıan ciertos pulsos de sincronismo juntocon la senal QAM para mantener la portadora generada localmente en el receptor en perfecto sincronismotanto en frecuencia como en fase.

5MODULACION BANDA LATERAL UNICA

(SSB).

5.1 GENERACION DE UNA SENAL SSB.

Las modulaciones AM y DSB desperdician ancho de banda debido a que requieren el doble ancho debanda que el ancho de banda de la senal moduladora paso bajo a transmitir. Ademas la mitad del anchode banda ocupado por la senal modulada se utiliza para transmitir la banda lateral inferior y la otra mitadpara la banda lateral superior. Sin embargo estas bandas laterales estan relacionadas de forma unica debidoa su simetrıa con respecto a la frecuencia de la portadora. Es decir, conocidos el modulo y fase de una delas bandas laterales se puede determinar la otra de forma unica. En definitiva, cada banda lateral lleva lamisma informacion referente a la senal moduladora original, por lo que solo es necesario transmitir unade las dos bandas laterales. Si se transmite una unica banda lateral sin portadora no se esta perdiendoinformacion referente a la senal moduladora. En este caso serıa necesario el mismo ancho de banda detransmision que el ocupado por la senal moduladora original, no el doble como en AM o DSB. Este tipode modulacion se denomina banda lateral unica (SSB: Single SideBand).

La descripcion precisa en el dominio de la frecuencia depende de cual de las dos bandas laterales se elijapara su transmision. Sea M(f) la transformada de Fourier de la senal moduladora m(t), con un ancho debanda W como puede verse en la figura 5.1. Para llegar a la senal SSB se parte de una senal DSB s(t)obtenida multiplicando la senal moduladora m(t) por la portadora c(t) = Ac cos(2πfct). El espectro S(f)de esta senal DSB puede verse en la figura 5.2.

En el caso de que la senal SSB emplee la banda lateral superior el espectro de la senal modulada SSBsera en este caso el que se puede ver graficamente en la figura 5.3. Si en lugar de la banda lateral superiorse emplea la inferior resulta el espectro de la figura 5.4 para la senal modulada SSB.

La funcion esencial de un modulador SSB es trasladar el espectro de la senal moduladora, con o sininversion, a una nueva posicion en el dominio de la frecuencia. Ahora en ancho de banda de transmisionBT = W es la mitad que en caso AM o DSB. La eficiencia en potencia en este caso es igual que en DSB

f−W W

M(0)

M(f)

Figura 5.1 Espectro de una senal moduladora limitada en banda.

29

30 Capıtulo 5

S(f)

f−f fc c

2W 2W2cAM(0)

Figura 5.2 Espectro de la senal DSB.

−fc f cf c−fc

S(f)

f

2cAM(0)

−W +W

Figura 5.3 Espectro de la senal SSB empleando la banda lateral superior.

f cf c−fc −fc

S(f)

f

2cAM(0)

−W+W

Figura 5.4 Espectro de la senal SSB empleando la banda lateral inferior.

que era η = 1. La ventaja de la modulacion SSB es el ahorro de potencia transmitida y ancho de banda.El coste a pagar es la mayor complejidad del transmisor y del receptor.

Para describir una senal SSB en el dominio del tiempo usaremos la representacion equivalente paso bajopara una senal paso banda. De acuerdo con esta representacion, podemos expresar la senal SSB s(t) en eldominio del tiempo empleando la forma canonica segun la ecuacion (5.1), donde sc(t) es la componente enfase de la senal SSB y ss(t) es la componente en cuadratura. La componente en fase sc(t), excepto por unfactor de escala, puede deducirse directamente de s(t) multiplicando por cos(2πfct) y filtrando paso bajo.De forma similar, la componente en cuadratura ss(t) se puede obtener multiplicando s(t) por sin(2πfct) yfiltrando paso bajo.

Modulacion Banda Lateral Unica (SSB). 31

2cAM(0)

f−W

S(f−f

2f 2f

)c

c +Wc

Figura 5.5 Espectro de la senal modulada desplazado hacia la derecha.

2cAM(0)

S(f+f )c

fW−2fc −2fc−W

Figura 5.6 Espectro de la senal modulada desplazado hacia la izquierda.

s(t) = sc(t) cos(2πfct)− ss(t) sin(2πfct) (5.1)

En el dominio de la frecuencia la relacion entre la transformada de Fourier de la componente en fase,Sc(f) y la transformada de Fourier de la senal modulada, S(f), viene dada por la ecuacion (5.2). En elcaso de la transformada de Fourier de la componente en cuadratura, Ss(f), se tiene la ecuacion (5.3). Enambos casos W es el ancho de banda de la senal moduladora m(t).

Sc(f) =

S(f − fc) + S(f + fc) |f | < W

0 en otro caso(5.2)

Ss(f) =

j[S(f − fc)− S(f + fc)] |f | < W

0 en otro caso(5.3)

Si consideramos el caso en el que solo se transmite la banda lateral superior el espectro S(f) de la senalmodulada se puede ver graficamente en la figura 5.3. Esta senal desplazada fc hacia la derecha, es decir,S(f − fc), se puede ver en la figura 5.5 y hacia la izquierda, S(f + fc), en la figura 5.6. Aplicando ahoralas ecuaciones (5.2) y (5.3) se pueden obtener los facilmente los espectros de la componente en fase, Sc(f)y de la componente en cuadratura, Ss(f), dando como resultado el de la figura 5.7 y 5.8, respectivamente.

32 Capıtulo 5

f−W W

Sc(f)

Ac

2M(0)

Figura 5.7 Espectro de la componente en fase de la senal modulada.

j Ac

2M(0)

j Ac

2M(0)

f−W

Ss(f)

W

−

Figura 5.8 Espectro de la componente en cuadratura de la senal modulada.

En el caso de la componente en fase y ayudandonos de la figura 5.7 se puede ver que esta componenteviene dada simplemente por la ecuacion (5.4) o haciendo la transformada inversa por la ecuacion (5.5).

Sc(f) =12AcM(f) (5.4)

sc(t) =12Acm(t) (5.5)

En el caso de la componente en cuadratura y observando en este caso la figura 5.8 se puede poner paraella la ecuacion (5.6), donde sgn(f) vale 1 para frecuencias positivas, 0 en el origen y -1 para frecuenciasnegativas. Sin embargo, se sabe que la transformada de Fourier de la transformada de Hilbert de la senalmoduladora, M(f) se puede poner segun la ecuacion (5.7). Finalmente, se tiene para la componente encuadratura la ecuacion (5.8) en el dominio de la frecuencia, o equivalentemente la ecuacion (5.9) en eldominio del tiempo, donde m(t) es la transformada de Hilbert de la senal moduladora m(t)


Ss(f) =

− j

2AcM(f) f > 0

0 f = 0

j2AcM(f) f < 0

= − j

2Acsgn(f)M(f) (5.6)

M(f) = −jsgn(f)M(f) (5.7)

Ss(f) =12AcM(f) (5.8)

ss(t) =12Acm(t) (5.9)

Juntando las ecuaciones (5.1), (5.5) y (5.9) se tiene finalmente la ecuacion (5.10) para la forma canonicade la senal SSB cuando se emplea la banda lateral superior.

s(t) =12Acm(t) cos(2πfct)−

12Acm(t) sin(2πfct) (5.10)

Siguiendo un procedimiento similar al anterior partiendo en este caso de una senal SSB que empleebanda lateral inferior como la de la figura 5.4 y usando las ecuaciones (5.2) y (5.3), que por otro lado soncompletamente generales, se puede llegar facilmente a la forma canonica dada por la ecuacion (5.11). Comopuede apreciarse la componente en fase sc(t) es la misma que en el caso de banda lateral superior y lacomponente en cuadratura esta cambiada de signo.

s(t) =12Acm(t) cos(2πfct) +


5.2 MODULACION DE UN TONO SIMPLE.

Consideremos una senal moduladora m(t) sinusoidal de amplitud Am y frecuencia fm, es decir, vendrıadada por la ecuacion (5.12). La transformada de Hilbert de dicha senal, m(t) vendrıa dada por la ecuacion(5.13).


m(t) = Am sin(2πfmt) (5.13)

34 Capıtulo 5

Si la modulacion SSB utiliza la banda lateral superior, sustituyendo m(t) y m(t) en la ecuacion (5.10)se tiene el desarrollo de la ecuacion (5.14), que corresponde a las componentes frecuenciales fc + fm y−fc − fm, es decir, la banda lateral superior.

s(t) =12AcAm[cos(2πfct) cos(2πfmt)− sin(2πfct) sin(2πfmt)

=12AcAm cos[2π(fc + fm)t] (5.14)

Si ahora la modulacion SSB utiliza la banda lateral inferior, sustituyendo m(t) y m(t) en la ecuacion(5.11) se tiene el desarrollo de la ecuacion (5.15), que corresponde a las componentes frecuenciales fc − fm

y −fc + fm, es decir, la banda lateral inferior.

s(t) =12AcAm[cos(2πfct) cos(2πfmt) + sin(2πfct) sin(2πfmt)

=12AcAm cos[2π(fc − fm)t] (5.15)

5.3 ESQUEMAS MODULADORES DE SSB.

Vamos a describir dos metodos utilizados de forma general para generar senales SSB: discriminador enfrecuencia y discriminador en fase. El primero de estos metodos se basa en el dominio de la frecuencia,mientras que el segundo de ellos en el dominio del tiempo, respectivamente.

5.3.1 Metodo Discriminador en Frecuencia.

Este metodo se puede utilizar para generar una senal SSB cuando la senal banda base esta restringida enfrecuencia a una banda W1 < |f | < W2, o lo que es lo mismo, la senal banda base no tiene componentes pordebajo de una cierta frecuencia W1. Bajo estas condiciones la banda lateral deseada aparecera separada dela banda lateral no deseada y se podra obtener la senal SSB mediante filtrado. Un modulador de SSB basadoen el dominio de la frecuencia estara formado por un modulador producto (por ejemplo un modulador enestrella) que genere una senal DSB, seguido de un filtro paso banda que deje pasar la banda deseada yelimine la otra. En la figura 5.9 se puede ver el esquema de este tipo de modulador.

El requisito mas severo de este metodo proviene de la banda lateral no deseada: la componente enfrecuencia mas cercana de la banda no deseada a la deseada esta separada dos veces la menor componentede la senal moduladora, es decir 2W1. El filtro debe cumplir dos requisitos:

La banda de paso del filtro ocupa la misma banda de frecuencias que la banda lateral deseada.

El ancho de la banda de transicion del filtro, que separa la banda de paso de la banda de corte delfiltro, debe ser como mucho dos veces la menor componente frecuencial de la senal moduladora, 2W1.

En general, ya que la frecuencia portadora fc es muy grande comparada con 2W1, es muy difıcil disenarun filtro que deje pasar la banda deseada y rechace la no deseada. En este caso es necesario utilizar elesquema mostrado en la figura 5.10. Como se puede ver, se requieren dos etapas de modulacion. La salida


Modulador

Producto

Accos(2πfc t)

m(t) Señal SSB

s(t)

Filtro

Paso Banda

Figura 5.9 Esquema de un modulador de SSB usando discriminacion en frecuencia.

s1(t)v1(t) v2(t) s2(t)Modulador

Producto

m(t) Filtro

Paso Banda

Modulador

Producto

Filtro

Paso Banda

Accos(2πfc2t)Accos(2πfc t)

1

Figura 5.10 Esquema de un modulador de SSB usando discriminacion en frecuencia con dos etapas demodulacion y filtrado.

del primer filtro se utiliza como senal moduladora del segundo modulador, dando lugar a otra senal DSBcuyo espectro sera simetrico con respecto a fc2 . Ahora la separacion entre la banda lateral superior y lainferior es 2fc1 , permitiendo que la banda no deseada se pueda eliminar de forma sencilla mediante filtrado.

5.3.2 Metodo Discriminador en Fase.

En la figura 5.11 se puede ver esquematicamente el modulador SSB usando discriminacion en fase. Serequieren dos procesos de modulacion simultaneos separados y despues combinar adecuadamente sus salidas.El esquema de la figura 5.11 sigue directamente la ecuacion (5.16), que es la forma canonica de la senalSSB en el dominio del tiempo.

s(t) =12Acm(t) cos(2πfct)±


Los moduladores producto A y B utilizan senales portadoras en cuadratura. La senal moduladora m(t)se aplica al modulador producto A, dando lugar a una senal DSB que contiene las dos bandas lateralescolocadas de forma simetrica con respecto a fc con referencia de fase. La transformada de Hilbert de lasenal moduladora, m(t), se aplica al modulador producto B, dando lugar a una segunda senal DSB quecontiene las mismas bandas laterales con la misma amplitud que en el canal en fase, pero con una fase talque si se suman las dos senales DSB se cancela una de las bandas laterales y se refuerza la otra. En el casode que se sumen, tendrıamos una senal SSB con banda lateral inferior. Si se restan, la senal SSB serıa conbanda lateral superior. Este tipo de modulador se denomina modulador Hartley.

Para generar la senal m(t) en cuadratura con respecto a la senal moduladora original m(t) se necesitauna red que desfase 900 cada componente frecuencial de m(t), pero que deje su amplitud sin modificar. Enla practica, es difıcil disenar una red de este tipo para un margen de frecuencias de m(t) suficientemente

36 Capıtulo 5

Accos(2π fct)

Acsin(2 π fct)

ModuladorProducto A

ModuladorProducto B

Desfasador90

Oscilador

+

_+ s(t)

Señal SSBm(t)

m(t)

Desfasador

90 Banda Ancha0

0

Figura 5.11 Esquema de un modulador de SSB usando discriminacion en fase.

Accos(2π fct)

Acsin(2 π fct)

ModuladorProducto A

ModuladorProducto B

Desfasador90

Oscilador

+

_+ s(t)

Señal SSB

0

Redα

Redβ

m(t)

Figura 5.12 Esquema de un modulador de SSB usando discriminacion en fase empleando dos redesdesfasadoras de banda ancha.

amplio como para que sea util en aplicaciones reales. Sin embargo, si se incluye una red desfasadora enambos canales, se puede mantener un desfase constante de 900 entre ambos canales para cualquier rangode frecuencias con una cierta tolerancia. En este caso el diseno de la figura 5.11 pasarıa a ser el de lafigura 5.12. Las redes desfasadoras desfasan α y β, respectivamente. Los desfases α y β estan relacionadosmediante la ecuacion (5.17).

β − α =π

2(5.17)

Debido a que este tipo de diseno no requiere ninguna etapa de filtrado que requiera una zona de transicionmuy estrecha, como en el caso del metodo discriminador en frecuencia, es posible general la senal SSB con


Modulador

Producto Paso Bajo

Filtro

A ccos(2πfc t)

Señal SSB

s(t)

v(t) 0 (t)v

Figura 5.13 Esquema de un detector coherente para demodular SSB.

un unico cambio de frecuencia, independientemente de lo grande que sea la frecuencia fc final. Sin embargo,el grado en el que se suprime la banda lateral no deseada va a depender de varios factores:

La precision de los moduladores balanceados.

La precision en la cuadratura de las senales portadoras.

La precision de las redes desfasadoras α y β.

Es facil conseguir una supresion de 20 dB, razonable conseguir una de 30 dB y bastante difıcil lograr masalla de 40 dB utilizando este metodo.

5.4 DEMODULACION DE SSB.

Para recuperar la senal banda base m(t) a partir de la senal modulada SSB s(t) se necesita desplazarel espectro ±fc para llevar la banda lateral transmitida de nuevo al dominio banda base. Esto se puedelograr utilizando un detector coherente como el de la figura 5.13 que consiste en un modulador productoalimentado por senal sinusoidal generada de forma local sincronizada en frecuencia y fase con la portadoraseguido de un filtro paso bajo.

Si se transmitio una senal SSB que empleando la banda lateral superior segun la ecuacion (5.18), la salidadel modulador producto vendra dada por la ecuacion (5.19).



v(t) =12AcA

′c cos(2πfct)[m(t) cos(2πfct)− m(t) sin(2πfct)]

=14AcA

′cm(t) +

14AcA

′c[m(t) cos(4πfct)− m(t) sin(4πfct)] (5.19)

En la figura 5.14 se puede ver el espectro de la senal dada por la ecuacion (5.19). Los terminos nodeseados, a frecuencia 2fc, se pueden eliminar facilmente mediante un filtro paso bajo, dando lugar a lasenal banda base deseada.

38 Capıtulo 5

A c

f−W +Wc c−2f −2f c c2f 2f−W W

V(f)

Ac4 M(0)

Figura 5.14 Espectro de la senal a la salida del modulador producto del detector coherente.

M(f a)

−f −fab fa fb

M(f)

f

Figura 5.15 Espectro de la senal moduladora original.

Para que este metodo sea realizable, debe haber en el receptor una senal sinusoidal a la frecuenciaadecuada fc y con la fase correcta, para poder demodular correctamente la senal SSB. Esto se puedelograr transmitiendo una senal piloto a la frecuencia de la portadora junto con la senal SSB o utilizandoun oscilador local muy estable. Cualquier error en la frecuencia o fase del oscilador local del receptor conrespecto a la senal portadora original, dara lugar a una distorsion en la senal demodulada. Para evaluaresta distorsion vamos a suponer que la senal generada localmente en el receptor viene dada por la ecuacion(5.20). En este caso se puede comprobar facilmente que la salida del detector coherente viene dada por laecuacion (5.21), que corresponde a una senal SSB con frecuencia portadora ∆f .

A′c cos[2π(fc + ∆f)t] (5.20)

v0(t) =14AcA

′c[m(t) cos(2π∆ft) + m(t) sin(2π∆ft)] (5.21)

Supongamos que el espectro de la senal moduladora original m(t) es el que puede verse graficamente enle figura 5.15. La senal demodulada dada por la ecuacion (5.21) se puede interpretar de la siguiente forma:

Si la senal SSB s(t) es banda lateral superior y ∆f es negativo o si la senal SSB tiene banda lateralinferior y ∆f es positivo, las componentes de la senal a la salida del demodulador estan separadas |∆f |hacia las altas frecuencias con respecto a la senal moduladora original, segun se puede ver en la figura5.16.


M(f a)AcAc

4

−|∆f|a−f +|∆f|fa fb+|∆f|−|∆f|−fb

M(f)

f

Figura 5.16 Espectro de la senal demodulada en el primer caso.

M(f a)AcAc

4

+|∆f|a−f −|∆f|fa fb−|∆f|+|∆f|−fb

M(f)

f

Figura 5.17 Espectro de la senal demodulada en el segundo caso.

Si la senal SSB s(t) es banda lateral superior y ∆f es positivo o si la senal SSB tiene banda lateralinferior y ∆f es negativo, las componentes de la senal a la salida del demodulador estan separadas|∆f | hacia las bajas frecuencias con respecto a la senal moduladora original, segun se puede ver en lafigura 5.17.

Este tipo de error solo se da en el caso de modulacion SSB. Para reducir el efecto de distorsion debidoa un error en la frecuencia del oscilador local del receptor es necesario restringir ∆f al rango ±2 a ±5 Hz.Esto requiere osciladores muy estables y precisos en ambos extremos si la frecuencia fc es elevada.

Vamos a considerar ahora el efecto de un error en la fase φ en el oscilador local con respecto a la portadora.En este caso la senal sinusoidal generada localmente en el receptor viene dada por la ecuacion (5.22). Sepuede comprobar facilmente que la salida del detector coherente viene dada por la ecuacion (5.23).

A′c cos(2πfct + φ) (5.22)

v0(t) =14AcA

′c[m(t) cos(φ) + m(t) sin(φ)] (5.23)

Como se puede ver en la ecuacion (5.23) aparece una componente no deseada m(t) sin(φ) que no sepuede eliminar mediante filtrado. Vamos a ver que esta distorsion corresponde a una distorsion de fase. Latransformada de Fourier de la ecuacion (5.23) viene dada por la ecuacion (5.24). Teniendo en cuenta quese cumple la ecuacion (5.25) se tiene finalmente la ecuacion (5.26).

40 Capıtulo 5

V0(f) =14AcA

′c[M(f) cos(φ) + M(f) sin(φ)] (5.24)

M(f) = −jsgn(f)M(f) (5.25)

V0(f) =14AcA

′cM(f) ·

exp(−jφ) f > 0

exp(jφ) f < 0(5.26)

Un error de fase φ en el oscilador local da lugar a una distorsion de fase donde cada componente frecuencialde la senal m(t) sufre un desfase constante a la salida del demodulador. Este desfase no suele ser un problemaen el caso de senales de voz debido a que el oıdo suele ser relativamente insensible a la distorsion de fase.En el caso de senales musicales o senales de vıdeo, la distorsion de fase es un error no tolerable.

La modulacion SSB es la de menor potencia y ancho de banda. Se empleara para la transmision de formaconjunta de multiples senales de voz por cable a larga distancia. En este caso se puede separar muchoel receptor del transmisor de forma que quede compensado el mayor coste tanto del transmisor como delreceptor. Para evitar la atenuacion de la senal debido a la gran separacion entre el receptor y el transmisorse emplean repetidores que consisten basicamente en un amplificador de banda ancha que da ganancia deforma conjunta a todas las senales de voz transmitidas por el cable.

6MODULACION BANDA LATERAL RESIDUAL

(VSB).

La modulacion SSB es buena para el caso de voz en donde no tenemos componentes a baja frecuenciade forma que se puede demodular la senal de forma sencilla. Cuando la senal moduladora m(t) tienecomponentes a frecuencias extremadamente bajas (como en el caso de senales de TV), la banda lateralsuperior e inferior se juntan a la frecuencia de la portadora. Por ello, la modulacion SSB no es apropiadadebido a la dificultad de aislar una de las bandas laterales. Esto sugiere otro tipo de modulacion: la bandalateral residual (VSB: Vestige SideBand), que establece un compromiso entre SSB y DSB. En este tipode modulacion se transmite casi completamente una de las bandas laterales, mientras que la otra solo setransmite una parte muy pequena (la banda residual). Para el caso de una senal moduladora con ancho debanda W como la de la figura 6.1, el espectro de la senal VSB usando banda residual superior se muestraen la figura 6.2. La cantidad de banda lateral no deseada transmitida (superior) compensa a la cantidadde banda lateral deseada eliminada (inferior).

f−W W

M(0)

M(f)

Figura 6.1 Espectro de una senal moduladora limitada en banda.

S(f)

f

Wfν W fν

−fc fc

Figura 6.2 Espectro de la senal VSB con banda residual superior.

41

42 Capıtulo 6

Modulador

Producto H(f)

Accos(2πfc t)

m(t) Señal VSB

s(t)

Filtro

Figura 6.3 Esquema de un modulador VSB usando discriminacion en frecuencia.

Modulador

Producto Paso Bajo

Filtro

A ccos(2πfc t)

Señal VSB

s(t)

v(t) 0 (t)v

Figura 6.4 Esquema de un detector coherente empleado como demodulador de VSB.

El ancho de banda requerido para la transmision de la senal VSB viene dado por la ecuacion (6.1), dondeW es el ancho de banda de la senal moduladora m(t) y fν es el ancho de la banda residual.

BT = W + fν (6.1)

La modulacion VSB se puede generar usando el metodo de discriminacion en frecuencia pasando unasenal con modulacion DSB a traves de un filtro H(f) como se muestra en la figura 6.3.

El espectro de la senal VSB modulada s(t) viene dado entonces por la ecuacion (6.2).

S(f) =Ac

2[M(f − fc) + M(f + fc)]H(f) (6.2)

Es necesario especificar la funcion de transferencia del filtro H(f) de modo que S(f) sea la senal VSBdeseada. Para hacer esto, la senal modulada se debe poder demodular empleando un detector coherentecomo el de la figura 6.4. Es necesario, por tanto, determinar que condicion tiene que cumplir H(f) de formaque la senal de salida v0(t) sea proporcional a la senal moduladora original m(t).

La senal a la salida del modulador producto del detector de la figura 6.4 viene dada por la ecuacion (6.3)en el dominio del tiempo y por la ecuacion (6.4) en el de la frecuencia.

v(t) = A′c cos(2πfct)s(t) (6.3)

Modulacion Banda Lateral Residual (VSB). 43

−W

V(f)

f

Wfν W f

W

ν

−fc fc


f−W W

V0(f)

A cA c

4M(0)[H(−f )]c)+H(fc

Figura 6.6 Espectro de la senal a la salida del filtro paso bajo.

V (f) =A′c2

[S(f − fc) + S(f + fc)]

=AcA

′c

4M(f)[H(f − fc) + H(f + fc)] +

AcA′c

4[M(f − 2fc)H(f − fc) + M(f + 2fc)H(f + fc)] (6.4)

En la figura 6.5 se puede ver el espectro deseado de la senal a la salida del modulador producto segun laecuacion (6.4). El segundo termino de la ecuacion (6.4) representa una senal VSB a la frecuencia 2fc y sepuede eliminar facilmente mediante el filtro paso bajo presente en el detector coherente tras el moduladorproducto segun la figura 6.4. Por tanto el espectro de la senal a la salida de dicho filtro paso bajo vendra dadopor la ecuacion (6.5) y por la figura 6.6.

V (f) =AcA

′c

4M(f)[H(f − fc) + H(f + fc)] (6.5)

Como la senal a la salida del detector coherente debe ser proporcional a la senal moduladora m(t), paraque no haya distorsion el filtro H(f) debe satisfacer la ecuacion (6.6), siendo k una constante arbitraria.Como el espectro M(f) de la senal moduladora es cero fuera del intervalo |f | < W solo es necesario que larestriccion dada por la ecuacion (6.6) se cumpla en el intervalo frecuencial |f | < W .

H(f − fc) + H(f + fc) = 2H(fc) = k (6.6)

44 Capıtulo 6

1

0.5

|H(f)|

fc+W+fff

f −f c cfc νν

Figura 6.7 Un caso particular del modulo del espectro del filtro H(f) para banda residual inferior.

En la figura 6.7 podemos ver un caso particular del modulo del espectro de dicho filtro en el caso debanda residual inferior para frecuencias positivas. La magnitud de este filtro esta normalizada de modo quepara ±fc valga 0,5. El filtro debe tener simetrıa impar en el intervalo |f − fc| < fν en torno al valor 0,5de modo que cualquier par de frecuencias en torno a fc la suma de amplitudes de H(f) sea unidad. En elintervalo fν < f − fc < W la amplitud del filtro debe ser unidad y para frecuencias mayores que W daigual, puesto que la senal DSB a filtrar es cero. La fase de H(f) debe tener igualmente simetrıa impar conrespecto a ±fc. Para no tener distorsion la fase debe ser lineal en el intervalo |f − fc| < W y valer cero oun multiplo entero de 2π en ±fc. Ası no tendremos distorsion de fase, sino unicamente un retardo.

Vamos a analizar ahora la senal VSB en el dominio del tiempo, calculando las componentes en fase, sc(t),y cuadratura, ss(t), de la senal modulada s(t). Usando la ecuacion (6.7) se tiene la ecuacion (6.8) para elespectro de la componente en fase.

Sc(f) =

S(f − fc) + S(f + fc) |f | < W

0 en otro caso(6.7)

Sc(f) =Ac

2M(f)[H(f − fc) + H(f + fc)] (6.8)

Teniendo ahora en cuenta la restriccion para H(f) dada por la ecuacion (6.6) y si fijamos H(±fc) = 0,5se tiene finalmente la ecuacion (6.9) en el dominio de la frecuencia y la ecuacion (6.10) en el dominio deltiempo, respectivamente, para la componente en fase sc(t) de la senal modulada.

Sc(f) =Ac

2M(f) (6.9)

sc(t) =Ac

2m(t) (6.10)

Para determinar ahora la componente en cuadratura ss(t) de la senal modulada usando la ecuacion (6.11)se tiene la ecuacion (6.12) para su espectro.


1H

1

fν−f

j(f)s

f

−1

ν

Figura 6.8 Un caso particular del filtro Hs(f) empleado para determinar la componente en cuadraturade la senal modulada.

Ss(f) =

j[S(f − fc)− S(f + fc)] |f | < W

0 en otro caso(6.11)

Ss(f) =j

2AcM(f)[H(f − fc)−H(f + fc)] (6.12)

La ecuacion (6.12) nos sugiere que se puede generar la componente en cuadratura ss(t) de la senalmodulada, salvo por un factor de escala, pasando la senal moduladora m(t) por el filtro Hs(f) dado por laecuacion (6.13). Para el caso del filtro H(f) de la figura 6.7, este filtro Hs(f) puede verse en la figura 6.8.Como puede verse es impar en el intervalo |f | < fν . Fuera del intervalo |f | < W puede valer cualquier cosapuesto que M(f) es cero.

Hs(f) = j[H(f − fc)−H(f + fc)] (6.13)

Ahora empleando este filtro Hs(f) definido segun la ecuacion (6.13) se tiene finalmente la ecuacion(6.14) en el dominio de la frecuencia y la ecuacion (6.15) en el dominio del tiempo, respectivamente, parala componente en fase sc(t) de la senal modulada, siendo ms(t) y Ms(f) la senal moduladora a la salidadel filtro Hs(f) en el dominio del tiempo y de la frecuencia, respectivamente.

Ss(f) =Ac

2M(f)Hs(f) =

Ac

2Ms(f) (6.14)

ss(t) =Ac

2ms(t) (6.15)

Usando las ecuaciones (6.10) y (6.15) se puede poner la expresion de la senal modulada s(t) en formacanonica segun la ecuacion (6.16), para el caso de banda residual inferior.

46 Capıtulo 6

Accos(2π fct)

Acsin(2 π fct)

ModuladorProducto

ModuladorProducto

Desfasador90

Oscilador

s(t)m(t)

H

m

(f)

s(t)

+

_+

s

0

Figura 6.9 Esquema de un modulador VSB usando discriminacion en fase.


12Acms(t) sin(2πfct) (6.16)

La ecuacion (6.16) nos da lugar a proponer otro esquema de generacion de una senal VSB empleando eneste caso discriminacion en fase, segun la figura 6.9. Al igual que ocurrıa con SSB el canal el cuadratura yel canal en fase no son independientes. Ambos generan a su salida dos senales DSB, pero que sumadas orestadas permiten eliminar parte de la banda lateral deseada y en su mayor parte la banda residual dandolugar a la senal VSB. En cualquier caso tanto VSB como SSB se pueden demodular empleando deteccioncoherente.

Si empleamos la banda residual superior en lugar de la inferior para general la senal VSB es necesariocambiar el signo menos por mas en la ecuacion (6.16) dando lugar a la ecuacion (6.17) en este caso.

s(t) =12Acm(t) cos(2πfct) +

12Acms(t) sin(2πfct) (6.17)

Si la banda residual se aumenta podemos llegar a que ms(t) ≈ 0 por lo que la senal a la salida delesquema de la figura 6.9 es una senal DSB. Por otro lado, si se reduce la banda residual hasta cero, se tieneque ms(t) ≈ m(t) y la senal a la salida es una senal SSB.

La modulacion VSB casi mantiene el ancho de banda de SSB mientras que simultaneamente permitetransmitir senales con informacion hasta frecuencia cero como tambien permite DSB, pero no SSB. Esun estandar para la transmision de TV y para senales donde haya componentes a muy baja frecuenciaimportantes y donde el uso de DSB no sea rentable debido tener un ancho de banda elevado.

En la transmision de TV no se transmite una senal VSB directamente debido a que la region de transiciondel filtro H(f) no se controla de forma rıgida. En su lugar se inserta el filtro H(f) a la entrada del receptor.El comportamiento global es similar, salvo que se desperdicia algo de ancho de banda y potencia transmitida.En la figura 6.10 se puede ver el filtro H(f) empleado para TV en el receptor.

En el caso de senales de TV para evitar el uso de un detector coherente, que siempre es costoso debidoa la necesidad de sincronismo en frecuencia y fase de la portadora generada localmente en el receptor,


f(MHz)

audioimagen

1

0.5

4 MHz

4,5 MHz0,75MHz

portadora portadora

Figura 6.10 Filtro H(f) empleado para recepcion VSB de TV.

junto con la senal VSB se transmite la portadora para poder demodular la senal empleando un detectorde envolvente sencillo. En concreto, la expresion de la senal modulada s(t) puesta en forma canonica vienedada en este caso por la ecuacion (6.18).

s(t) = Ac

[1 +

12kam(t)

]cos(2πfct)−

12Ackams(t) sin(2πfct) (6.18)

La envolvente natural de la senal modulada dada por la ecuacion (6.18) viene dada por la ecuacion (6.19).

a(t) = Ac

√[1 +

12kam(t)

]2

+[12kams(t)

]2

= Ac

[1 +

12kam(t)

]√√√√1 +[ 1

2kams(t)1 + 1

2kam(t)

]2

(6.19)

Como se puede ver el termino encerrado bajo la raız en la ultima lınea de la ecuacion (6.19) es un terminode distorsion debido a la presencia de la senal ms(t). Esta distorsion se puede reducir:

Reduciendo ka y por tanto el factor de modulacion.

Incrementando el ancho de banda residual, y por tanto reduciendo ms(t).

En el caso de TV se fija el ancho de la banda residual en fν = 0,75 MHz, como puede verse en la figura6.10, para que la distorsion sea aceptable aunque el tanto por ciento de modulacion sea proximo a 100.

7TRANSLACION EN FRECUENCIA.

En algunos casos va a ser necesario trasladar una senal ya modulada de una banda frecuencial a otra.Esto se puede lograr usando un multiplicador o modulador producto seguido de un filtro paso banda. Vamosa considerar la senal DSB dada por la ecuacion (7.1), donde m(t) esta limitada en banda en el intervalo|f | < W . En la figura 7.1 podemos ver esquematicamente el espectro de la senal DSB.

s(t) = Acm(t) cos(2πfct) (7.1)

Vamos a suponer que deseamos modificar la frecuencia fc a otra nueva f0 de forma que f0 < fc. Paralograr esto multiplicamos la senal modulada s(t) por una senal sinusoidal a la frecuencia fl usando unmodulador producto obteniendose el desarrollo de la ecuacion (7.2). El espectro de esta senal a la salidadel modulador producto se puede ver esquematicamente en la figura 7.2.

v1(t) = A′c cos(2πflt)s(t)

= AcA′c cos(2πflt) cos(2πfct)m(t)

=AcA

′c

2cos[2π(fc − fl)t] +

AcA′c

2cos[2π(fc + fl)t] (7.2)

Si ahora hacemos que f0 = fc − fl, ya tenemos la senal deseada a la salida de un filtro paso banda defrecuencia central f0 y ancho de banda 2W segun la ecuacion (7.3) en el dominio del tiempo y la figura 7.3en el dominio de la frecuencia.

S(f)

f−f fc c

2W 2W

Figura 7.1 Espectro de una senal DSB.

49

50 Capıtulo 7

f c−f l f c+f l+f l−fc−f l−fc

V

f

1(f)

2W 2W 2W2W


f−f f0 0

2W 2W

V2(f)

Figura 7.3 Espectro de la senal tras el filtro paso banda.

Modulador

Producto Paso Banda

Filtros(t) v v1(t) 2(t)

A ccos(2πfl t)

Figura 7.4 Esquema de un mezclador.

v0(t) =AcA

′c

2m(t) cos[2π(fc − fl)t] =

AcA′c

2m(t) cos(2πf0t) (7.3)

La unica condicion necesaria para que este proceso funcione es que fl > W para que las componentes dela ecuacion (7.2) o equivalentemente de la figura 7.2 no se solapen en frecuencia.

El dispositivo que lleva a cabo este proceso de translacion en frecuencia se denomina mezclador (mul-tiplicacion y filtrado paso banda). En la figura 7.4 podemos ver un esquema de este dispositivo. El procesode mezclado es una operacion lineal, pues conserva la relacion entre frecuencias en las bandas laterales conrelacion a la portadora.

8MULTIPLEXACION EN FRECUENCIA (FDM).

La multiplexacion es el proceso por el cual varias senales independientes de caracterısticas similares sepueden combinar de algun modo para transmitirlas de forma conjunta por el mismo canal de comunica-ciones. Existen varios tipos de multiplexacion. Los mas empleados son multiplexacion en tiempo (TDM:Time Division Multiplexion) y multiplexacion en frecuencia (FDM: Frequency Division Multiplexion). Enel caso de modulaciones analogicas el unico que se puede emplear el FDM.

Se supone que queremos transmitir N senales moduladoras con caracterısticas similares por el mismocanal de comunicaciones. En la figura 8.1 podemos ver un esquema de FDM. Cada una de las senalesmoduladoras se pasa por un filtro paso bajo para asegurar que estan limitadas en banda en el intervalo|f | < W . En el caso de que las senales moduladoras originales ya esten limitadas en banda se podrıansuprimir estos filtros paso bajo. Una vez que tenemos las senales moduladoras limitadas en banda semodulan cada una de dichas senales moduladoras por separado usando el mismo esquema de modulacionpero de forma que las senales moduladas resultantes no se solapen en frecuencia. Para conseguir esto esnecesario tener una portadora diferente para cada senal moduladora. Estas portadoras se obtienen en unmodulo generador de portadoras. Las frecuencias de estas portadoras se deben elegir para que las senalesmoduladas resultantes no se solapen en frecuencia como ya se ha dicho. Si el tipo de modulacion empleadoes DSB, la separacion mınima entra las portadoras sera de 2W . Si se emplea SSB, dicha separacion sera deW . Tras cada etapa de modulacion se emplea un filtro paso banda para limitar la banda de las senalesmoduladas a su rango especıfico (para tener mayor seguridad de que no se solapan en frecuencia). Encaso de que dichas senales moduladas ya esten limitadas en banda, estos filtros paso banda se podrıaneliminar. Las senales ası moduladas y filtradas se suman para transmitirlas de forma conjunta por el canalde comunicaciones.

En recepcion se utilizan los mismos filtros paso banda que en transmision para separar cada una delas N senales moduladas a partir de la senal suma proveniente del canal de comunicaciones. Una vez quese han separado las senales moduladas se demodulan empleando deteccion coherente usando las mismasportadoras y en el mismo orden que las empleadas en el transmisor obtenidas localmente en un generadorde portadoras (salvo que se emplee modulacion AM y detector de envolvente). Dichas portadoras deberanestar sincronizadas en frecuencia y fase con las del transmisor.

Este tipo de esquema se emplea en radiodifusion de AM. En este caso las frecuencias portadoras puedenestar en el rango de 535 KHz a 1605 KHz. El canal de transmision serıa aereo. En enlaces punto a puntose tiene FDM para varias senales procedentes de distintas comunicaciones empleando modulacion DSB.En el caso varias conversaciones telefonicas se emplean canales FDM empleando modulacion SSB para sutransmision tanto radioelectrica como por cable. Para radiodifusion de TV se emplea la tecnica FDM paratransmitir varios canales de TV tanto en VHF como en UHF empleando modulacion VSB para cada unode ellos. Finalmente, en radiodifusion de FM, se emplea FDM en el rango de frecuencias de 88 a 108 MHz.

Si se emplea modulacion SSB se puede ahorrar mucha potencia y ancho de banda para la senal FDM,sin embargo, el sistema extremo a extremo se complica debido a la necesidad de sincronismo de portadora(para cada una de las N portadoras) para los detectores coherentes del receptor. Un metodo utilizadohabitualmente para conseguir este sincronismo consiste en transmitir una frecuencia piloto. La frecuenciapiloto sufrira los mismos desfases y cambios de frecuencia a lo largo del canal que la senal FDM. Esta

51

52 Capıtulo 8

ModuladorPaso Banda

FiltroPaso Bajo

Filtro

ModuladorPaso Banda

FiltroPaso Bajo

Filtro

ModuladorPaso Banda

FiltroPaso Bajo

Filtro

PortadorasGenerador

PortadorasGenerador

FiltroPaso Banda Demodulador

Paso BajoFiltro

Filtro

FiltroPaso Banda

Paso Banda Demodulador

DemoduladorPaso Bajo

Filtro

Paso BajoFiltro

Canal

···

TRANSMISOR RECEPTOR

SEÑAL 1

SEÑAL 2

SEÑAL N

SEÑAL 1

SEÑAL 2

SEÑAL N

Figura 8.1 Esquema de un sistema FDM.

frecuencia piloto sincronizada con la senal FDM se utiliza para modular a un conjunto de N osciladoreslocales en el receptor y ası obtener las N portadoras necesarias. Este metodo cancela todos los desfasesy cambios frecuenciales introducidos a lo largo del canal de comunicaciones, pero sigue dependiendo delos errores debidos a los N osciladores locales del receptor, que modulan la frecuencia piloto. Este error sesuele mantener dentro de unos lımites aceptables para senales de voz (conversaciones telefonicas) empleandoosciladores de cristal suficientemente exactos.

MODULACIONES ANGULARES.



CONTENIDOS


1. INTRODUCCION. 1

2. MODULACION DE FASE (PM) Y MODULACION DEFRECUENCIA (FM). 3

3. MODULACION EN FRECUENCIA DE UN TONO SIMPLE. 73.1. Caracterısticas Generales. 73.2. FM de Banda Estrecha. 83.3. FM de Banda Ancha. 10

4. SENAL FM MULTITONO. 17

5. ANCHO DE BANDA DE SENALES FM. 21

6. GENERACION DE SENALES FM. 256.1. FM Indirecta. 256.2. FM Directa. 27

7. DEMODULACION DE FM. 31

8. RESPUESTA DE FILTROS LINEALES A SENALES FM. 37

9. EFECTOS NO LINEALES EN SISTEMAS FM. 39

v

INDICE DE FIGURAS

Capıtulo 1

Capıtulo 2

2.1. Senal modulada DSB. 52.2. Senal modulada PM. 52.3. Senal modulada FM. 52.4. Esquema de un modulador de frecuencia utilizando PM. 62.5. Esquema de un modulador de fase utilizando FM. 6

Capıtulo 3

3.1. Modulador FM de banda estrecha. 93.2. Diagrama fasorial para una senal FM de banda estrecha. 103.3. Diagrama fasorial para una senal AM. 103.4. Funcion de Bessel para varios valores de n como funcion de β. 123.5. Espectro de la senal FM en el primer caso para β = 1. 153.6. Espectro de la senal FM en el primer caso para β = 2. 153.7. Espectro de la senal FM en el primer caso para β = 5. 153.8. Espectro de la senal FM en el segundo caso para β = 1. 163.9. Espectro de la senal FM en el segundo caso para β = 2. 163.10. Espectro de la senal FM en el segundo caso para β = 5. 16

Capıtulo 4

4.1. Espectro de la senal FM para el primer tono. 194.2. Espectro de la senal FM para el segundo tono. 194.3. Espectro de la senal FM para ambos tonos. 19

Capıtulo 5

5.1. Grafica universal para determinar el ancho de banda usando el criterio del uno por ciento. 22

Capıtulo 6

6.1. Esquema de un modulador de FM mediante el metodo indirecto. 256.2. Esquema alternativo de un modulador de FM mediante el metodo indirecto. 266.3. Esquema de un modulador de FM mediante el metodo directo. 276.4. Esquema de un modulador de FM de banda ancha mediante el metodo directo. 296.5. Esquema para estabilizar la frecuencia en el metodo de generacion de FM directo. 29

Capıtulo 7

7.1. Funcion de transferencia del circuito pendiente. 317.2. Envolvente compleja de la funcion de transferencia del circuito pendiente. 327.3. Funcion de transferencia del circuito pendiente complementario. 34

vii

viii MODULACIONES ANGULARES.

7.4. Esquema del discriminador de frecuencia balanceado. 347.5. Una implementacion del discriminador de frecuencia balanceado. 357.6. Funcion de transferencia de los filtros paso banda que implementan los circuitos pendiente

balanceados. 35

Capıtulo 8

Capıtulo 9

9.1. Un caso particular para el espectro de la senal a la salida. 40

1INTRODUCCION.

En las modulaciones de amplitud, la amplitud de la senal portadora seguıa las variaciones de la senalmoduladora banda base. En el caso de las modulaciones angulares, es la fase de la senal portadora la quesigue las variaciones de la senal banda base de informacion. En este tipo de modulaciones la amplitud de laportadora se mantiene constante. Las modulaciones angulares permiten discriminar de forma mas eficienteel ruido y las interferencias que en el caso de las modulaciones de amplitud. Esta mejora trae consigo queel ancho de banda de la senal modulada sea bastante mayor que en el caso de modulaciones de amplitud.Las modulaciones angulares proveen un mecanismo mediante el cual se puede intercambiar ancho de banday prestaciones frente al ruido.

Hay dos tipos de modulacion angular: modulacion en frecuencia (FM: Frequency Modulation) ymodulacion en fase (PM: Phase Modulation). Los dos son muy similares y estan relacionados entre sı.Sin embargo, FM posee caracterısticas mas adecuadas frente al ruido, por lo que nos centraremos en estetipo de modulacion.

1

2MODULACION DE FASE (PM) Y

MODULACION DE FRECUENCIA (FM).

Si θi(t) es el angulo de una portadora que lleva informacion (modulada por tanto) en la fase, entoncesse puede poner la ecuacion (2.1), donde Ac es la amplitud de la portadora que en este caso es siempreconstante. A θi(t) tambien se la puede denominar fase instantanea de la senal modulada.

s(t) = Ac cos[θi(t)] (2.1)

Una oscilacion completa ocurre siempre que θi(t) cambia 2π radianes. Si θi(t) crece de forma monotonaen el tiempo, la frecuencia promedio en Hz en el intervalo (t, t + ∆t) viene dada por la ecuacion (2.2).

f∆t(t) =θi(t + ∆t)− θi(t)

2π∆t(2.2)

Se puede entonces definir la frecuencia instantanea de la senal modulada angularmente segun laecuacion (2.3). Despejando la fase de la ecuacion (2.3) se tiene la ecuacion (2.4).

fi(t) = lım∆t→0

f∆t(t) = lım∆t→0

θi(t + ∆t)− θi(t)2π∆t

=12π

dθi(t)dt

(2.3)

θi(t) = 2π

∫fi(t)dt (2.4)

La senal s(t) se puede interpretar como un fasor que gira en el plano complejo de amplitud constante Ac

y de fase instantanea θi(t). La velocidad angular de dicho fasor es 2πfi(t). En el caso de que la portadoraeste sin modular su fase instantanea vendra dada por la ecuacion (2.5), que no es mas que un fasor quegira a una velocidad angular constante e igual a 2πfc, siendo φc la fase en el origen de tiempos. En estecaso la frecuencia instantanea es constante e igual a fc, es decir, fi(t) = fc.

θi(t) = 2πfct + φc (2.5)

Existen muchas formas de que la fase instantanea θi(t) siga las variaciones de la senal moduladora m(t),sin embargo solo se han considerado en la practica dos metodos:

3

4 Capıtulo 2

PM : en este caso la fase instantanea θi(t) de la senal modulada tiene una relacion lineal con la senalmoduladora m(t) segun la ecuacion (2.6), donde 2πfct es el angulo de la portadora sin modular y laconstante kp es la sensibilidad en fase del modulador. Vamos a suponer a partir de ahora que φc escero.

θi(t) = 2πfct + kpm(t) (2.6)

Utilizando la ecuacion (2.3) se tiene que la frecuencia instantanea de la senal PM viene dada por laecuacion (2.7).

fi(t) = fc +kp

2π

dm(t)dt

(2.7)

Finalmente, la expresion de la senal modulada, teniendo en cuenta la ecuacion (2.1), viene dada sim-plemente por la ecuacion (2.8).

s(t) = Ac cos[2πfct + kpm(t)] (2.8)

FM : en este caso la frecuencia instantanea fi(t) de la senal modulada tiene una relacion lineal con la senalmoduladora m(t) segun la ecuacion (2.9), donde fc es la frecuencia de la portadora sin modular y laconstante kf es la sensibilidad en frecuencia del modulador.

fi(t) = fc + kfm(t) (2.9)

Utilizando la ecuacion (2.4) se tiene que la fase instantanea de la senal FM viene dada por la ecuacion(2.10).

θi(t) = 2πfct + 2πkf

∫m(t)dt (2.10)

Finalmente, la expresion de la senal modulada, teniendo en cuenta la ecuacion (2.1), viene dada sim-plemente por la ecuacion (2.11).

s(t) = Ac cos[2πfct + 2πkf

∫m(t)dt] (2.11)

En las figuras 2.1, 2.2 y 2.3 podemos ver tres senales moduladas para los casos DSB, PM y FM, respec-tivamente.

Una consecuencia de que θi(t) dependa de m(t) es que las senales PM y FM no tienen regularidad conrespecto a los cruces por cero, a diferencia de las senales moduladas en amplitud que siempre tenıan loscruces por cero regulares e iguales a los de portadora sin modular. Otra diferencia importante es que laenvolvente de las senales PM y FM es constante e igual a la amplitud de la portadora, mientras que en elcaso de modulaciones de amplitud la envolvente dependıa de la senal moduladora m(t).

Como se puede ver una senal con modulacion lineal o de amplitud se distingue claramente de otra conmodulacion angular observando su envolvente y los cruces por cero. Sin embargo, dentro de las modulacionesangulares PM y FM, estas no se pueden distinguir entre sı puesto que ambas tienen envolvente constante ycruces por cero variables. Solamente se puede distinguir PM de FM si se conoce cual es la senal moduladoram(t). Esto quiere decir que existe una gran relacion entre una senal PM y otra FM.

Modulacion de Fase (PM) y Modulacion de Frecuencia (FM). 5

t

s(t)

DSB

Figura 2.1 Senal modulada DSB.

t

s(t)

PM

Figura 2.2 Senal modulada PM.

t

s(t)

FM

Figura 2.3 Senal modulada FM.

6 Capıtulo 2

c π cfA cos(2 t)

Integrador PMm(t)s(t)

Señal FM

Figura 2.4 Esquema de un modulador de frecuencia utilizando PM.

c π cfA cos(2 t)

m(t)Señal PM

s(t)FMDiferenciador

Figura 2.5 Esquema de un modulador de fase utilizando FM.

Comparando las ecuaciones (2.8) y (2.11) se puede ver que FM es equivalente a modular en fase en lugarde m(t) su integral, como puede verse en la figura 2.4. Equivalentemente, PM es equivalente a modular enfrecuencia en lugar de m(t) su derivada, como puede verse en la figura 2.5.

3MODULACION EN FRECUENCIA DE UN

TONO SIMPLE.

3.1 CARACTERISTICAS GENERALES.

La senal s(t) es una funcion no lineal de la senal moduladora m(t). La modulacion en frecuencia es, portanto, un proceso no lineal. A diferencia de lo que ocurrıa con AM, el espectro FM no esta relacionado deforma sencilla con el de m(t). Ademas, como veremos mas adelante, el ancho de banda de la senal FM esmucho mayor que en el caso AM.

En el analisis espectral de FM consideraremos en primer lugar el caso mas sencillo en el que la moduladoram(t) sea sinusoidal o, lo que es lo mismo, un tono simple, para posteriormente generalizar este caso paravarios tonos. El objetivo de este analisis es poder establecer una relacion empırica entre el ancho de bandade una senal FM y el ancho de banda de la senal moduladora m(t).

Consideremos una senal moduladora m(t) sinusoidal segun la ecuacion (3.1), donde Am y fm son laamplitud y la frecuencia, respectivamente, de la senal moduladora m(t).


En este caso la frecuencia instantanea fi(t) viene dada por la ecuacion (3.2), donde ∆f dado por laecuacion (3.3) es la desviacion maxima en frecuencia y representa la maxima separacion de la frecuenciainstantanea fi(t) con respecto a la de la portadora fc sin modular. Una caracterıstica propia de la senalFM es que la desviacion maxima en frecuencia ∆f no depende de la frecuencia de la portadora, sino quedepende de la amplitud de la senal moduladora m(t).

fi(t) = fc + kfAm cos(2πfmt) = fc + ∆f cos(2πfmt) (3.2)

∆f = kfAm (3.3)

La fase instantanea θi(t) viene dada por la ecuacion (3.4). El cociente entre la desviacion maxima enfrecuencia ∆f y la frecuencia de la senal moduladora, fm, se denomina ındice de modulacion β y vienedado por la ecuacion (3.5), por lo que finalmente se tiene la ecuacion (3.6) para la fase instantanea θi(t).

θi(t) = 2π

∫fi(t)dt = 2πfct +

∆f

fmsin(2πfmt) (3.4)

7

8 Capıtulo 3

β =∆f

fm(3.5)

θi(t) = 2πfct + β sin(2πfmt) (3.6)

El ındice de modulacion β representa la maxima desviacion de la fase instantanea θi(t) con respecto a lafase de la portadora sin modular 2πfct. Finalmente, la senal FM viene dada por la ecuacion (3.7).

s(t) = Ac cos[2πfct + β sin(2πfmt)] (3.7)

Dependiendo del valor del ındice de modulacion β se pueden distinguir dos casos de modulacion enfrecuencia:

FM de banda estrecha, para β pequeno.

FM de banda ancha, para β grande.

Como ya veremos en el primer caso el ancho de banda es aproximadamente el doble que el de la senalmoduladora, mientras que en el segundo caso excede este valor y puede llegar a ser mucho mayor.

3.2 FM DE BANDA ESTRECHA.

Si consideramos la expresion de la senal FM para un tono dada por la ecuacion (3.7) y la expandimosobtenemos la ecuacion (3.8).

s(t) = Ac cos(2πfct) cos[β sin(2πfmt)]−Ac sin(2πfct) sin[β sin(2πfmt)] (3.8)

Si suponemos que β toma un valor pequeno comparado con 1 radian, se pueden hacer las aproximacionesdadas por las ecuaciones (3.9) y (3.10), por lo que sustituyendo dichas expresiones en la ecuacion (3.8) sepuede obtener para la senal FM de banda estrecha la aproximacion dada por la ecuacion (3.11).

cos[β sin(2πfmt)] ≈ 1 (3.9)

sin[β sin(2πfmt)] ≈ β sin(2πfmt) (3.10)

s(t) ≈ Ac cos(2πfct)−Acβ sin(2πfct) sin(2πfmt) (3.11)

La ecuacion (3.11) nos da la expresion aproximada de una senal FM de banda estrecha modulada poruna senal moduladora m(t) sinusoidal. De esta expresion se puede obtener facilmente el modulador en

Modulacion en Frecuencia de un Tono Simple. 9

c π cfA cos(2 t)

−Integrador PMm(t)

s(t)

Señal FM

900

+

Figura 3.1 Modulador FM de banda estrecha.

frecuencia de banda estrecha como se puede ver esquematicamente en la figura 3.1. Este moduladorrequiere que la senal portadora siga dos caminos. Un camino directo y otro en el cual la portadora sedesfasa 900 y modula, usando un modulador producto, una version integrada de la senal moduladora m(t)dando lugar, por tanto, a una senal DSB. La combinacion de estas dos senales, la portadora y la senal DSB,dara lugar a una senal FM de banda estrecha con algo de distorsion debido a la aproximacion.

Idealmente, una senal FM deberıa tener envolvente constante y, para el caso especial de senal moduladorasinusoidal m(t) a la frecuencia fm, el angulo θi(t) tambien deberıa ser sinusoidal a la misma frecuencia fm.El modulador de banda estrecha que acabamos de ver presenta dos diferencias con respecto al caso ideal(antes de hacer la aproximacion):

La envolvente ya no es constante y tiene una modulacion de amplitud residual por lo que la envolventevarıa con el tiempo.

La fase instantanea θi(t) ya no es sinusoidal a la frecuencia fm, aunque sı periodica con frecuenciafundamental fm, pero con distorsion armonica debido a la presencia de armonicos a partir de 3fm.

Para que ambos efectos de distorsion esten dentro de unos margenes aceptables, el ındice de modulaciondebe ser menor de 0,3 radianes. En este caso las aproximaciones dadas por las ecuaciones (3.9) y (3.10)son adecuadas o lo que es lo mismo, la distorsion de envolvente y la distorsion armonica de la fase sondespreciables.

Si expandimos la ecuacion (3.11), se puede obtener tambien la ecuacion (3.12) para la senal FM de bandaestrecha.

s(t) ≈ Ac cos(2πfct) +Acβ

2[cos[2π(fc + fm)t]− cos[2π(fc − fm)t]] (3.12)

La expresion de la senal FM de banda estrecha dada por la ecuacion (3.12) se parece bastante a laexpresion de una senal AM dada por la ecuacion (3.13) usando tambien moduladora sinusoidal, siendo µel ındice de modulacion de la senal AM. Si comparamos ambas expresiones, la unica diferencia es que elsigno de la banda lateral inferior es el contrario. Por lo tanto, en el caso de FM de banda estrecha conmoduladora sinusoidal, el ancho de banda es esencialmente el mismo que en AM, que es BT = 2fm, el dobleque el de la senal moduladora.

sAM (t) = Ac cos(2πfct) +Acµ

2[cos[2π(fc + fm)t] + cos[2π(fc − fm)t]] (3.13)

10 Capıtulo 3

portadora

resultante

LSB USB

SBs

envolventeconstante

Figura 3.2 Diagrama fasorial para una senal FM de banda estrecha.

SBs

resultante

USB

LSB

portadora

Figura 3.3 Diagrama fasorial para una senal AM.

En la figura 3.2 podemos ver un diagrama fasorial para una senal FM de banda estrecha y en la figura3.3 para una senal AM. En ambos casos se ha tomado la portadora sin modular como referencia. Enel caso de FM de banda estrecha se puede ver que la resultante (senal modulada) tiene una envolventeligeramente mayor que la de la portadora (distorsion de envolvente). En este caso la senal suma de lasdos bandas laterales siempre esta en cuadratura con la portadora. La resultante es un fasor con envolventeaproximadamente constante pero con fase diferente a la de la portadora.

En el caso de la senal AM sin embargo la suma de las bandas laterales siempre esta en fase con laportadora. De hecho la resultante (senal modulada) tambien esta siempre en fase con la senal modulada.La fase de la senal modulada es siempre la misma que la de la portadora. Sin embargo, en este caso laenvolvente ya no es constante, sino que varıa en el tiempo con respecto a la de la senal portadora que esconstante.

3.3 FM DE BANDA ANCHA.

Ahora estamos interesados en determinar el espectro de una senal FM para moduladora sinusoidal (untono simple), pero para un valor arbitrario de β. En general una senal FM generada a partir de una senalmoduladora sinusoidal no es periodica a menos que la frecuencia de la portadora fc sea multiplo de lafrecuencia de la moduladora fm. Sin embargo, se puede escribir para la senal FM la ecuacion (3.14), dondes(t) es la envolvente compleja de la senal FM.

s(t) = <[Ac exp(j2πfct + jβ sin(2πfmt))] = <[s(t) exp(j2πfct)] (3.14)

A partir de la ecuacion (3.14) se puede determinar de forma sencilla cual es la envolvente compleja dela senal FM, obteniendose la ecuacion (3.15). Ahora resulta que la envolvente compleja sı que es periodicacon frecuencia fundamental igual a la frecuencia de la senal moduladora fm.


s(t) = exp[jβ sin(2πfmt)] (3.15)

La envolvente compleja s(t) de la senal FM ya que es periodica se va a poder representar en serie deFourier compleja segun la ecuacion (3.16).

s(t) =∞∑

n=−∞cn exp(j2πnfmt) (3.16)

Para los coeficientes complejos cn de la serie se puede poner el desarrollo de la ecuacion (3.17).

cn = fm

∫ 12fm

− 12fm

s(t) exp(−j2πnfmt)dt

= fmAc

∫ 12fm

− 12fm

exp[jβ sin(2πfmt)− j2πnfmt]dt (3.17)

Haciendo el cambio de variable x = 2πfmt en la ecuacion (3.17) se tiene la ecuacion (3.18).

cn =Ac

2π

∫ π

−π

exp[j(β sin(x)− nx)]dx (3.18)

La integral que aparece en la ecuacion (3.18) no se puede evaluar directamente. El resultado de dichaintegral como funcion del ındice de modulacion β y que depende del valor de n se conoce como funcionde Bessel de primera clase, de argumento β y orden n. Se denota con Jn(β) y viene dada por la ecuacion(3.19). Entonces los coeficientes cn se relacionan directamente con dicha funcion segun la ecuacion (3.20).

Jn(β) =12π

∫ π

−π

exp[j(β sin(x)− nx)]dx (3.19)

cn = AcJn(β) (3.20)

Sustituyendo el resultado de la ecuacion (3.20) en la expresion de la serie de Fourier para la envolventecompleja s(t) dada por la ecuacion (3.16), se tiene la ecuacion (3.21).

s(t) = Ac

∞∑n=−∞

Jn(β) exp(j2πnfmt) (3.21)

Finalmente, juntando las ecuaciones (3.14) y (3.21) se tiene la ecuacion (3.22). Esta es la representacionen serie de Fourier de una senal FM cuando la moduladora es un tono simple a frecuencia fm para un valorarbitrario del ındice de modulacion β.

12 Capıtulo 3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−0.5

0

0.5

1

Jn β)(

J0 β)(

J1 β)(J2 β)(

J3 β)(J4 β)(

β

Figura 3.4 Funcion de Bessel para varios valores de n como funcion de β.

s(t) = Ac

∞∑n=−∞

Jn(β) cos[2π(fc + nfm)t] (3.22)

El espectro de la senal FM se puede obtener calculando la transformada de Fourier de la ecuacion (3.22),obteniendose de forma directa la ecuacion (3.23).

S(f) =Ac

2

∞∑n=−∞

Jn(β) [δ(f − fc − nfm) + δ(f + fc + nfm)] (3.23)

Para ver como es el espectro de la senal FM vamos a analizar la funcion de Bessel. En la figura 3.4podemos ver estas funciones para varios valores de n como funcion de β. En la tabla 3.1 se tienen valoresnumericos para varios valores de n y β.

Ademas se pueden utilizar las siguientes propiedades:

Para n par se tiene la ecuacion (3.24) y para n impar la ecuacion (3.25). Estas dos ecuaciones se puedenjuntar en la ecuacion (3.26).

Jn(β) = J−n(β) (3.24)

Jn(β) = −J−n(β) (3.25)

Jn(β) = (−1)nJ−n(β) (3.26)


n\β 0.5 1 2 3 4 6 8 10 120 0.9385 0.7652 0.2239 -0.2601 -0.3971 0.1506 0.1717 -0.2459 0.04771 0.2423 0.4401 0.5767 0.3391 -0.0660 -0.2767 0.2346 0.0435 -0.22342 0.0306 0.1149 0.3528 0.4861 0.3641 -0.2429 -0.1130 0.2546 -0.08493 0.0026 0.0196 0.1289 0.3091 0.4302 0.1148 -0.2911 0.0584 0.19514 0.0002 0.0025 0.0340 0.1320 0.2811 0.3576 -0.1054 -0.2196 0.18255 0.0002 0.0070 0.0430 0.1321 0.3621 0.1858 -0.2341 -0.07356 0.0012 0.0114 0.0491 0.2458 0.3376 -0.0145 -0.24377 0.0002 0.0025 0.0152 0.1296 0.3206 0.2167 -0.17038 0.0005 0.0040 0.0565 0.2235 0.3179 0.04519 0.0001 0.0009 0.0212 0.1263 0.2919 0.2304

10 0.0002 0.0070 0.0608 0.2075 0.300511 0.0020 0.0256 0.1231 0.270412 0.0005 0.0096 0.0634 0.195313 0.0001 0.0033 0.0290 0.120114 0.0010 0.0120 0.0650

Tabla 3.1 Funcion de Bessel para varios valores de β y n.

Para valores pequenos de β se pueden utilizar las aproximaciones dadas por las ecuaciones (3.27),(3.28) y (3.29).

J0(β) ≈ 0 (3.27)

J1(β) ≈ β

2(3.28)

Jn(β) ≈ 0 n > 1 (3.29)

Se cumple para todo β la ecuacion (3.30).

∞∑n=−∞

J2n(β) = 1 (3.30)

Usando las propiedades y la figura 3.4 o la tabla 3.1 tendremos para el espectro de la senal FM paracuando la moduladora es un tono simple, dado por la ecuacion (3.23), lo siguiente:

El espectro FM consiste en una componente portadora fc y en un numero infinito de bandas lateralescolocadas de forma simetrica con respecto a fc a frecuencias fm, 2fm, 3fm y ası sucesivamente. Estees una diferencia importante con respecto a AM donde solo se tenıa dos bandas laterales.

Para el caso especial en el que β sea pequeno comparado con la unidad, solo los coeficientes J0(β) yJ1(β) son significativos, de modo que la senal FM esta formada por una portadora a fc y unicamentedos bandas laterales a fc ± fm. Este es el caso ya analizado de FM de banda estrecha.

La amplitud de la portadora varıa con β de acuerdo con J0(β). Ahora a diferencia de AM, la amplitudde la portadora depende del ındice de modulacion. La explicacion de esta propiedad es debido a quela envolvente es constante por lo que la potencia de la portadora y de la senal FM es la misma. Lapotencia de la portadora es sencillo ver que viene dada por la ecuacion (3.31).

14 Capıtulo 3

Pc =A2

c

2(3.31)

A partir de la ecuacion (3.23) se puede determinar facilmente la potencia de la senal FM, que graciasa la propiedad de las funciones de Bessel dada por la ecuacion (3.30) se tiene finalmente la ecuacion(3.32).

Ps =A2

c

2

∞∑n=−∞

J2n(β) =

A2c

2(3.32)

Es debido a esta propiedad, que la potencia de la senal FM es igual a la potencia de la portadora,que la potencia de las bandas laterales aparece debido unicamente a expensas de quitar potencia a lacomponente portadora. Por esto mismo, como la potencia de las bandas laterales depende del ındicede modulacion para que se conserve la potencia, la potencia y, equivalentemente, la amplitud de laportadora tiene obligatoriamente que depender tambien del ındice de modulacion. De hecho hay valoresdel ındice de modulacion β para los cuales la componente a la frecuencia de la portadora fc de la senalFM desaparece (tiene amplitud nula). Esto ocurrira para cuando la funcion de Bessel J0(β) valga cero,cosa que sı que puede ocurrir como se puede ver en la figura 3.4.

Vamos a representar el espectro de la senal FM dado por la ecuacion (3.23) en dos casos:

1. Ponemos el valor de la frecuencia de la moduladora fm a un valor constante y vamos variando laamplitud de la senal moduladora Am variando la desviacion maxima de frecuencia ∆f , para tres casosdel ındice de modulacion β = ∆f/fm. En la figura 3.5 podemos ver el modulo del espectro para β = 1.En este caso la desviacion maxima de frecuencia es ∆f = fm. En la figura 3.6 podemos ver el modulodel espectro para β = 2. En este caso la desviacion maxima de frecuencia es ∆f = 2fm. Finalmente,en la figura 3.7 podemos ver el modulo del espectro para β = 5. En este caso la desviacion maximade frecuencia es ∆f = 5fm. En cualquier caso las deltas siempre estan separadas fm. No se ha tenidoen cuenta el factor Ac/2 de la ecuacion (3.23) y solo se han dibujado las deltas correspondientes afrecuencias positivas, por lo que el espectro esta centrado con respecto a la frecuencia de la portadorafc. Como se puede deducir de las figuras 3.5, 3.6 y 3.7 el valor 2∆f puede servir de una primeraaproximacion (no demasiado exacta) para el ancho de banda de la senal FM. El efecto de aumentarla amplitud de la moduladora Am o lo que es lo mismo la desviacion maxima en frecuencia ∆f ,manteniendo constante la frecuencia de la moduladora fm es aumentar el numero de bandas lateralesmanteniendo constante la separacion entre ellas, con lo que el ancho de banda va a aumentar.

2. Ponemos el valor de la amplitud de la moduladora Am a un valor constante, manteniendo constante elvalor de la desviacion maxima en frecuencia ∆f y vamos variando la frecuencia de la senal moduladorafm, para tres casos del ındice de modulacion β = ∆f/fm. En la figura 3.8 podemos ver el modulo delespectro para β = 1. En este caso la frecuencia de la moduladora es fm = ∆f . En la figura 3.9 podemosver el modulo del espectro para β = 2. En este caso la frecuencia de la moduladora es fm = ∆f/2.Finalmente, en la figura 3.10 podemos ver el modulo del espectro para β = 5. En este caso la frecuenciade la moduladora es fm = ∆f/5. En cualquier caso las deltas siempre estan separadas fm, que en estecaso es variable. No se ha tenido en cuenta el factor Ac/2 de la ecuacion (3.23) y solo se han dibujadolas deltas correspondientes a frecuencias positivas, por lo que el espectro esta centrado con respectoa la frecuencia de la portadora fc. Como se puede deducir de las figuras 3.5, 3.6 y 3.7 el valor 2∆fpuede servir de una primera aproximacion (no demasiado exacta) para el ancho de banda de la senalFM. El efecto de disminuir la frecuencia de la moduladora fm, manteniendo constante la amplitudde la moduladora Am y por tanto la desviacion maxima en frecuencia ∆f es aumentar el numero debandas laterales pero disminuyendo la separacion entre las mismas, de forma que el ancho de bandase mantiene aproximadamente constante. De hecho incluso cuando el ındice de modulacion β se vahaciendo cada vez mayor, o lo que es lo mismo la frecuencia de la moduladora fm cada vez menor, elancho de banda sigue viniendo dado por 2∆f .


∆f=fm

2∆f

β =1

1

f

Figura 3.5 Espectro de la senal FM en el primer caso para β = 1.

2∆f

∆f=2fm

β =2

1

f


2∆f

∆f=5fm

β =5

1

f


16 Capıtulo 3

2∆f

β =1

fm=∆f

1

f

Figura 3.8 Espectro de la senal FM en el segundo caso para β = 1.

2∆f

β =2

fm= ∆f2

1

f


2∆f

β =5

fm= ∆f5

1

f


4SENAL FM MULTITONO.

En la practica, la senal m(t) no tiene solo un tono, sino que es una senal multitono, es decir, consistira enun grupo de frecuencias diferentes relacionadas de forma armonica o no. Si la senal portadora c(t) se modulamediante una senal moduladora m(t) formada por dos tonos con frecuencias f1 y f2 y con amplitudes A1 yA2, respectivamente, la senal modulada s(t) resultante vendra dada por la ecuacion (4.1), siendo β1 y β2 losındices de modulacion del primer y segundo tono dados por las ecuaciones (4.2) y (4.3), respectivamente,donde kf es la sensibilidad en frecuencia del modulador.

s(t) = Ac cos[2πfct + β1 sin(2πf1t) + β2 sin(2πf2t)] (4.1)

β1 =kfA1

f1(4.2)

β2 =kfA2

f2(4.3)

Siguiendo un procedimiento similar al hecho para el caso de un unico tono, se puede llegar a la ecuacion(4.4) para la senal modulada por dos tonos. La transformada de Fourier en este caso se puede determinartambien de forma sencilla obteniendose la ecuacion (4.5).

s(t) = Ac

∞∑m=−∞

∞∑n=−∞

Jm(β1)Jn(β2) cos[2π(fc + mf1 + nf2)t] (4.4)

S(f) =Ac

2

∞∑m=−∞

∞∑n=−∞

Jm(β1)Jn(β2)[δ(f − fc −mf1 − nf2) + δ(f + fc + mf1 + nf2)] (4.5)

En la ecuacion (4.5) se pueden distinguir los siguientes terminos (para frecuencias positivas):

Componente portadora de amplitud J0(β1)J0(β2) y frecuencia fc.

Un conjunto de bandas laterales correspondientes a la primera frecuencia moduladora f1 con amplitudesJm(β1)J0(β2) y frecuencias fc ±mf1, con m = 1, 2, 3, . . ..

Un conjunto de bandas laterales correspondientes a la segunda frecuencia moduladora f2 con ampli-tudes J0(β1)Jn(β2) y frecuencias fc ± nf2, con n = 1, 2, 3, . . ..

17

18 Capıtulo 4

Un conjunto de bandas laterales correspondientes a terminos de intermodulacion de ambas frecuenciasmoduladoras f1 y f2 con amplitudes Jm(β1)Jn(β2) y frecuencias fc ± mf1 ± nf2, con m = 1, 2, 3, . . .y n = 1, 2, 3, . . ..

Es interesante comparar esta situacion con la correspondiente modulacion en amplitud. En este casocuando una portadora se modula en amplitud por las frecuencias f1 y f2, el espectro de la senal AMconsiste en la frecuencia portadora fc y las frecuencias fc±f1 y fc±f2, exclusivamente. Es decir, se cumplela superposicion debido a que la modulacion de amplitud es lineal (solo aparecen los tres primeros terminosde los citados anteriormente y no los cuartos). En el caso de FM no se cumple la superposicion debido aque es un proceso no lineal y aparecen terminos de intermodulacion a frecuencias sumas y diferencias delas frecuencias moduladoras.

Vamos a analizar un ejemplo. Consideramos que f1 = 100 Hz y que f2 = 77 Hz, con ındices de modulacionβ1 = 1 y β2 = 1,3 y frecuencia de al portadora fc = 1000 Hz. Vamos a representar el modulo del espectrodado por la ecuacion (4.5) sin tener en cuenta el factor Ac/2 para las frecuencias positivas y solo para lasfrecuencias laterales superiores (solo las componentes mayores que la frecuencia de la portadora fc). En lafigura 4.1 se representan dichas componentes del modulo del espectro de la senal modulada para cuandola senal moduladora viene dada por el primer tono exclusivamente. Como puede verse, estas componentesestan separadas f1 = 100 Hz. En la figura 4.2 se representan dichas componentes del modulo del espectro dela senal modulada para cuando la senal moduladora viene dada por el segundo tono exclusivamente. Comopuede verse, estas componentes estan separadas f2 = 77 Hz. Finalmente, en la figura 4.3 se puede ver elmodulo del espectro de la senal modulada para cuando la senal moduladora viene dada por ambos tonos.Como puede verse, el espectro resultante de ambos tonos moduladores no es simplemente la suma de lassenales moduladas cuando dichos tonos se consideran por separado, sino que aparecen otras componentesno presentes en las senales moduladas con solo un tono, correspondientes a productos de intermodulacionen frecuencias sumas y diferencias de las frecuencias moduladoras f1 y f2. En las figuras 4.1, 4.2 y 4.3 solose han representado aquellas componentes frecuenciales con amplitud mayor de 0,05 en la senal moduladacon ambos tonos.

El caso en el que la senal moduladora m(t) sea arbitraria es muy complicado y no se va a analizar.

Senal FM Multitono. 19

1000 1050 1100 1150 1200 1250 1300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

f

Figura 4.1 Espectro de la senal FM para el primer tono.

1000 1050 1100 1150 1200 1250 1300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

f

Figura 4.2 Espectro de la senal FM para el segundo tono.

1000 1050 1100 1150 1200 1250 1300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

f

Figura 4.3 Espectro de la senal FM para ambos tonos.

5ANCHO DE BANDA DE SENALES FM.

En teorıa una senal FM tiene un numero infinito de bandas laterales, por eso su ancho de banda absolutoes infinito. En la practica, se suele considerar unicamente un numero finito de bandas laterales compatiblecon una cantidad tolerable de distorsion. Ası se va a poder determinar el ancho de banda efectivo detransmision. Si consideramos el caso de una senal FM modulada por un unico tono a la frecuencia fm,las bandas laterales estan separadas precisamente fm. Ademas como ya se ha visto, las bandas lateralesseparadas una cantidad mayor que la desviacion maxima en frecuencia ∆f con respecto a la frecuenciaportadora fc decrecen rapidamente a cero, de modo que el ancho de banda sera algo mayor que 2∆f , perolimitado. De hecho ya se ha dicho que para cuando el ındice de modulacion β tiende a infinito el ancho debanda tiende a 2∆f . Ademas para cuando el ındice de modulacion β tiende a cero, estamos en el caso deFM de banda estrecha para el que el ancho de banda es 2fm. Por todo ello, una regla para el calculo delancho de banda denominada regla de Carson es la que viene dada por la ecuacion (5.1). Como puedeverse la regla de Carson sigue manteniendo que BT ≈ 2∆f para ındices de modulacion muy grandes yBT ≈ 2fm para ındices de modulacion muy pequenos.

BT = 2∆f + 2fm = 2∆f

(1 +

1β

)= 2fm(1 + β) (5.1)

Un criterio algo mas preciso que el dado por la regla de Carson es aquel que basa su definicion en unancho de banda que retenga el maximo numero de frecuencias laterales cuya amplitud sea mayor que unvalor dado. Un valor conveniente para este valor es el 1 % de la amplitud de la portadora sin modular.

Se define el ancho de banda de una senal FM mediante el criterio del 1 % como el ancho del intervalofrecuencial de tamano mınimo que contenga todas las bandas laterales con amplitud mayor que el 1 % dela amplitud de la portadora sin modular o, lo que es equivalente, como el ancho del intervalo frecuencialde tamano mınimo fuera del cual todas las bandas laterales tienen una amplitud menor que el 1% de laamplitud de la portadora sin modular. Para definir dicho ancho de banda se consideran exclusivamente lasfrecuencias positivas.

El ancho de banda usando el criterio del 1% viene dado por la ecuacion (5.2), donde nmax es el maximovalor de n para el que se satisface la ecuacion (5.3).

BT = 2nmaxfm =2nmax∆f

β(5.2)

|Jn(β)| > 0,01 (5.3)

21

22 Capıtulo 5

β nmax

0,1 10,3 20,5 21,0 32,0 45,0 810,0 1420,0 2530,0 35

Tabla 5.1 nmax como funcion del ındice de modulacion β.

TB∆f

β

40

30

20

10

2

3

5

1

4

30201054321.00.50.30.20.1

Figura 5.1 Grafica universal para determinar el ancho de banda usando el criterio del uno por ciento.

El valor nmax solo depende del ındice de modulacion β y puede determinarse de forma sencilla a partir degraficas o tablas de las funciones de Bessel, como las vistas en el capıtulo 3. En la tabla 5.1 se ha calculadonmax para varios valores del ındice de modulacion β.

Una grafica que se suele emplear para determinar el ancho de banda siguiendo el criterio del 1% es la dela figura 5.1 en la que se representa el ancho de banda normalizado a la desviacion maxima en frecuencia,BT /∆f , con respecto al ındice de modulacion β. Esta grafica se puede construir a partir de la tabla 5.1poniendo la ecuacion (5.2) en la forma de la ecuacion (5.4). Esto es, cada punto de la grafica dada por lafigura 5.1 se ha determinado multiplicando la segunda columna de la tabla 5.1 por dos y dividiendola entrela primera columna y dibujando los valores resultantes como funcion de la primera columna (el ındice demodulacion β). Despues los valores intermedios se determinan mediante interpolacion.

BT

∆f=

2nmax

β(5.4)

Ancho de Banda de Senales FM. 23

A partir de la grafica de la figura 5.1 se puede determinar el ancho de banda eligiendo la ordenada dela curva para una abscisa igual al ındice de modulacion β empleado y multiplicando dicha ordenada por ladesviacion maxima en frecuencia ∆f . Como puede observarse, dicha grafica tiene una asıntota horizontalen 2, es decir, cuando el ındice de modulacion β tiende a infinito se tiene que BT /∆f tiende a 2 o lo quees lo mismo el ancho de banda BT tiende a 2∆f , como ya habıamos dicho.

Consideremos ahora una senal moduladora arbitraria m(t) con ancho de banda W . En este caso el anchode banda de la senal FM se puede determinar moviendo un tono de prueba a la frecuencia fm en el anchode banda W de m(t) y considerando el caso peor, que es para fm = W . Por lo tanto, en todas lo dicho hastaahora bastarıa con cambiar fm por W . En este caso, el cociente entre la desviacion maxima en frecuencia∆f y el ancho de banda W (antes fm) que deberıa dar lugar al ındice de modulacion β, ahora se denominade forma diferente. Se define la relacion de desviacion para una senal FM modulada por una senalmoduladora m(t) arbitraria con ancho de banda W por la ecuacion (5.5). Esta relacion de desviacion Djuega el mismo papel en el caso de moduladora m(t) arbitraria que el ındice de modulacion β para el casode moduladora sinusoidal.

D =∆f

W(5.5)

Reemplazando el ındice de modulacion β por la relacion de desviacion D y la frecuencia de la moduladorafm por el ancho de banda de la senal moduladora W en la regla de Carson y en la del 1 % podemosdeterminar ahora el ancho de banda BT de cualquier senal FM para moduladora m(t) arbitraria. La reglade Carson dada antes por la ecuacion (5.1) va a venir ahora dada por la ecuacion (5.6). La regla del 1 %dada antes por la ecuacion (5.2) va a venir ahora dada por la ecuacion (5.7).

BT = 2∆f + 2W = 2∆f

(1 +

1D

)= 2W (1 + D) (5.6)

BT = 2nmaxW =2nmax∆f

D(5.7)

En general, la regla de Carson da lugar a un valor menor del real en la estimacion del ancho de banda detransmision BT de la senal FM, mientras que la regla del 1% da lugar a un valor mayor del real. Por eso,el valor que se usa en la practica debe estar comprendido entre estos dos valores. Por ejemplo, la media deambos serıa una buena estimacion para el ancho de banda de transmision BT de la senal FM.

En radiodifusion de FM monofonica se trabaja con un ancho de banda de senal moduladora de W = 15KHz (tipo senal musical) y se fija una desviacion maxima en frecuencia de ∆f = 75 KHz. En este caso larelacion de desviacion es de D = 5. El ancho de banda de transmision BT segun la regla de Carson es de180 KHz y segun la regla del 1 % de 240 KHz. En este caso, un valor de BT = 210 KHz es adecuado.

6GENERACION DE SENALES FM.

Vamos a ver dos metodos para generar senales FM: el metodo indirecto y el directo. En el metodoindirecto se utiliza modulacion FM de banda estrecha y multiplicacion en frecuencia para incrementarel nivel de desviacion en frecuencia hasta el valor deseado. Por otro lado, en el metodo directo, se varıadirectamente la frecuencia de la portadora de acuerdo con la senal moduladora.

6.1 FM INDIRECTA.

En la figura 6.1 se puede ver un esquema de este tipo de modulador. La senal banda base m(t) se integray sirve de entrada a un modulador de fase que modula una portadora procedente de un oscilador de cristalcontrolado. Para minimizar la distorsion de fase inherente en el modulador de fase de banda estrecha, elvalor del ındice de modulacion β debe ser pequeno. Ası a la salida del modulador de fase tendremos una senalcon modulacion FM de banda estrecha. Esta senal se multiplica en frecuencia mediante un multiplicadoren frecuencia para dar lugar a una senal FM de banda ancha. El esquema del modulador de banda estrechaes el que se vio en el capıtulo 2.

La senal s1(t) a la salida del modulador de FM de banda estrecha viene dada por la ecuacion (6.1), dondef1 es la frecuencia del oscilador de cristal controlado y kf la sensibilidad en frecuencia del modulador.

s1(t) = A1 cos[2πf1t + 2πkf

∫m(t)dt

](6.1)

Si la senal moduladora m(t) es sinusoidal entonces la ecuacion (6.1) se puede poner segun la ecuacion(6.2), donde β1 es el ındice de modulacion del modulador de banda estrecha que debe mantenerse pordebajo de 0,3 radianes para que la distorsion de fase sea aceptable.

IntegradorModulador de

Banda Estrecha

Oscilador de

BandaSeñal

Base

Señal FMFase de

Frecuencia

Cristal Controlado

Multiplicador de

Figura 6.1 Esquema de un modulador de FM mediante el metodo indirecto.

25

26 Capıtulo 6

IntegradorBandaSeñal

Base

Modulador de

Banda Estrecha

Oscilador de

Fase deFrecuencia

Cristal Controlado

Multiplicador de

Oscilador de

Señal FM

Frecuencia

Cristal Controlado

Multiplicador deMecladorBanda Ancha

Figura 6.2 Esquema alternativo de un modulador de FM mediante el metodo indirecto.

s1(t) = A1 cos [2πf1t + β1 sin(2πfmt)] (6.2)

La salida del modulador de fase de banda estrecha pasa por un multiplicador de frecuencia que multiplicatanto la fase como la frecuencia de la senal de entrada por un factor n, dando lugar a la senal FM de bandaancha s(t) dada por la ecuacion (6.3), donde fc viene dado por la ecuacion (6.4).

s(t) = Ac cos[2πfct + 2πnkf

∫m(t)dt

](6.3)

fc = nf1 (6.4)

En el caso de que la senal moduladora m(t) sea sinusoidal la ecuacion (6.3) se puede poner segun laecuacion (6.5), donde β viene dado por la ecuacion (6.6). Eligiendo de forma apropiada el valor de n, sepuede obtener el ındice de modulacion deseado para la senal FM de banda ancha.

s(t) = Ac cos [2πfct + β sin(2πfmt)] (6.5)

β = nβ1 (6.6)

En la practica, dada una frecuencia portadora fc y un ındice de modulacion β de transmision, puesto quemuchas veces f1 y β1 vienen dados, no es posible encontrar un valor de n que satisfaga simultaneamente lasecuaciones (6.4) y (6.6). Por ello, normalmente se emplea el esquema de la figura 6.2 en lugar del esquemade la figura 6.1. Utilizando este esquema vamos a ver como sı que se puede ajustar, para un caso general,tanto la frecuencia de la portadora fc como la desviacion maxima en frecuencia ∆f de la senal a la salida.Vamos a suponer que en el esquema de la figura 6.2 la desviacion maxima en frecuencia de la senal FMde banda estrecha (a la salida del modulador de fase de banda estrecha) es ∆f1. Tambien supondremosque la frecuencia del primer oscilador de cristal controlado es f1 y la del segundo f2. Ademas, el primermultiplicador de frecuencia viene caracterizado por el factor n1 y el segundo por n2. Finalmente, vamos asuponer que el mezclador selecciona la banda correspondiente a la frecuencia diferencia y elimina la bandacorrespondiente a la frecuencia suma. En la tabla 6.1 se recogen los valores para las frecuencias portadoras ypara las desviaciones maximas en frecuencia a la salida del modulador de fase de banda estrecha, del primermultiplicador de frecuencia, del mezclador y del segundo multiplicador de frecuencia, respectivamente. Eneste caso, las ecuaciones (6.4) y (6.6) pasan a ser las ecuaciones (6.7) y (6.8). Ahora como tenemos dos

Generacion de Senales FM. 27

A la salida del A la salida del A la salida A la salida delmodulador de fase primer multiplicador del mezclador segundo multiplicador

FrecuenciaPortadora f1 n1f1 f2 − n1f1 n2f2 − n1n2f1

DesviacionMaxima en ∆f1 n1∆f1 n1∆f1 n1n2∆f1

Frecuencia

Tabla 6.1 Valores de la frecuencia portadora y de la desviacion maxima en frecuencia para el metodoindirecto de generacion de FM.

L2

L1

C(t)

Figura 6.3 Esquema de un modulador de FM mediante el metodo directo.

ecuaciones y dos incognitas, n1 y n2, se puede ajustar simultaneamente la frecuencia de la portadora fc yla desviacion maxima en frecuencia ∆f de la senal FM de banda ancha final.

fc = n2f2 − n1n2f1 (6.7)

∆f = n1n2∆f1 (6.8)

6.2 FM DIRECTA.

En este metodo, la frecuencia instantanea de la portadora se varıa de forma directa de acuerdo con lavariacion temporal de la senal banda base utilizando un dispositivo que se denomina oscilador controladopor tension (VCO: Voltage Controlled Oscillator).

Una forma de implementar este dispositivo consiste en utilizar un oscilador sinusoidal cuya frecuenciavenga determinada por una red reactiva con un elevador factor Q. En dicha red se va a controlar la frecuenciade oscilacion mediante una variacion simetrica de los componentes reactivos. Un ejemplo de este dispositivoes el oscilador Hartley cuyo esquema simplificado se muestra en la figura 6.3.

28 Capıtulo 6

Vamos a suponer que de la red que determina la frecuencia de oscilacion (bobinas y condensador), elcondensador tiene una capacidad fija y otra variable cuya capacidad depende de la tension aplicada. Lacapacidad resultante es C(t). Un condensador cuya capacidad depende de la tension aplicada se denominavaricap. Este dispositivo se puede hacer con un diodo en inversa donde la capacidad depende de la tensionaplicada: cuanto mayor sea la tension aplicada, menor sera la capacidad. La frecuencia instantanea fi(t)del oscilador Hartley dado por la figura 6.3, viene dada por la ecuacion (6.9), donde C(t) es la suma de lacapacidad fija y la variable y L1 y L2 son la inductancia de las bobinas de la red osciladora, respectivamente.

fi(t) =1

2π√

(L1 + L2)C(t)(6.9)

Si la senal aplicada al condensador variable es sinusoidal a la frecuencia fm la capacidad C(t) viene dadapor la ecuacion (6.10), donde C0 es la capacidad fija en ausencia de modulacion y ∆C es el valor maximode la variacion de la capacidad con respecto al valor fijo C0.

C(t) = C0 + ∆C cos(2πfmt) (6.10)

La frecuencia instantanea fi(t) se puede poner segun la ecuacion (6.11), donde f0 es la frecuencia deoscilacion en ausencia de modulacion y viene dada por la ecuacion (6.12).

fi(t) = f0

[1 +

∆C

C0cos(2πfmt)

]− 12

(6.11)

f0 =1

2π√

(L1 + L2)C0

(6.12)

Si ∆C es pequeno comparado con la capacidad sin modulacion C0, la frecuencia instantanea se puedeaproximar por la ecuacion (6.13).

fi(t) ≈ f0

[1− ∆C

2C0cos(2πfmt)

](6.13)

Si ahora se define la desviacion maxima de frecuencia ∆f de modo que se cumpla la ecuacion (6.14), seobtiene la ecuacion (6.15) para la frecuencia instantanea del oscilador Hartley, que es la expresion deseadade la frecuencia instantanea de la senal FM.

∆C

2C0= −∆f

f0(6.14)

fi(t) ≈ f0 + ∆f cos(2πfmt) (6.15)

Hemos supuesto que ∆C es pequeno comparado con C0. A partir de la ecuacion (6.14) se deduce que∆f es igualmente pequeno con respecto a f0 por lo que la senal FM obtenida es de banda estrecha. Paraconseguir la senal de banda ancha requerida se puede utilizar una tecnica similar a la vista en la seccion

Generacion de Senales FM. 29

FrecuenciaMultiplicador de

Oscilador de

Señal FM

Frecuencia

Cristal Controlado

Multiplicador deMecladorVCOBandaSeñal

Base Banda Ancha

Figura 6.4 Esquema de un modulador de FM de banda ancha mediante el metodo directo.

VCOBandaSeñal

Base

FrecuenciaDiscriminador de Meclador

Oscilador de

Cristal Controlado

Señal FM

Estabilizada

en Frecuencia

Paso BajoFiltro

Figura 6.5 Esquema para estabilizar la frecuencia en el metodo de generacion de FM directo.

6.1 para el metodo indirecto como se puede ver en la figura 6.4. En este esquema tras el VCO se tiene unaserie de multiplicadores de frecuencia y mezcladores para poder ajustar tanto la frecuencia de la portadoracomo la desviacion maxima en frecuencia de la senal FM de banda ancha final.

El metodo FM directo tiene un problema: la frecuencia portadora no se obtiene a partir de un osciladorde cristal estable, sino a partir del oscilador Hartley. En la practica, es necesario estabilizar la frecuenciaportadora para poder controlar las posibles variaciones de la frecuencia f0 del VCO. Un metodo para haceresto es el que se puede ver esquematicamente en la figura 6.5. La senal modulada en FM de banda estrechaa la salida del VCO se aplica a un mezclador junto con una senal sinusoidal pura procedente de un osciladorde cristal estable a la frecuencia f0. La salida del mezclador es una senal cuya frecuencia es la diferenciaentre las componentes frecuenciales de la senal FM y la del cristal. Esta senal se aplica a un discriminadorde frecuencia cuya senal de salida es proporcional a la frecuencia de la senal de entrada. Cuando la senalFM esta a la frecuencia f0, la senal a la salida del filtro paso bajo es cero. Si por alguna razon el VCOtiene una cierta deriva en frecuencia con respecto a f0, la salida del filtro paso bajo sera distinta de ceroy con la polaridad adecuada de forma que el VCO puede utilizarla como senal de control para modificarsu frecuencia hasta que se ajuste a f0 y vuelva a ser cero la senal a la salida del filtro paso bajo. Estefiltro elimina la componente moduladora presente a la salida del discriminador de frecuencia y deja pasarunicamente la senal paso bajo debida a la deriva en frecuencia del VCO con respecto a f0.

7DEMODULACION DE FM.

La demodulacion en frecuencia es el proceso que permite recuperar la senal moduladora a partir dela senal FM. La salida del demodulador va a ser proporcional a la frecuencia instantanea de la senala la entrada. El esquema mas sencillo para demodular una senal FM se denomina discriminador enfrecuencia. Un discriminador en frecuencia consiste en un circuito pendiente seguido de un detectorde envolvente. Un circuito pendiente es un sistema cuya funcion de transferencia H1(f) es imaginaria puray tiene una variacion lineal dentro del ancho de banda de transmision BT de la senal FM. En la figura7.1 podemos ver graficamente la funcion de transferencia de dicho circuito. La expresion analıtica de lafuncion de transferencia H1(f) viene dada por la ecuacion (7.1), donde a es una constante caracterısticadel demodulador.

H1(f) =

j2πa

(f − fc + BT

2

)fc − BT

2 < f < fc + BT

2

j2πa(f + fc − BT

2

)−fc − BT

2 < f < −fc + BT

2

0 en otro caso

(7.1)

Se quiere evaluar la salida s1(t) del circuito pendiente cuando la entrada es una senal FM s(t) centradaen la frecuencia de la portadora fc y de ancho de banda BT . Por lo tanto, vamos a suponer que el espectrode la senal s(t) es cero fuera del intervalo fc −BT /2 < |f | < fc + BT /2.

Para evaluar la senal s1(t) es conveniente utilizar la representacion paso bajo equivalente, determinandola envolvente compleja de la funcion de transferencia del circuito pendiente, H1(f). La ecuacion (7.2) nos dala relacion entre la funcion de transferencia H1(f) y su envolvente compleja H1(f). Graficamente consisteen poner a cero la parte correspondiente a frecuencias negativas y desplazar el espectro correspondiente

H1(f)j

Pte. 2πa

Pte. 2πa

f−2

BTc − f−

2BT

c +

f2

BTc +f

2BT

c −

f

Figura 7.1 Funcion de transferencia del circuito pendiente.

31

32 Capıtulo 7

H1(f)j

~

Pte. 2πa

2BT−

2BT

f

Figura 7.2 Envolvente compleja de la funcion de transferencia del circuito pendiente.

a frecuencias positivas fc hacia la izquierda hasta el origen de frecuencias. Si hacemos esto a partir de lafigura 7.1 obtenemos la figura 7.2 para H1(f).

H1(f − fc) =

H1(f) f > 0

0 en otro caso(7.2)

Usando las ecuaciones (7.1) y (7.2) se puede calcular la expresion analıtica para H1(f) obteniendose laecuacion (7.3).

H1(f) =

j2πa(f + BT

2

)−BT

2 < f < BT

2

0 en otro caso(7.3)

La senal FM s(t) de entrada al discriminador viene dada por la ecuacion (7.4). La envolvente complejade la senal FM viene dada por la ecuacion (7.5).

s(t) = Ac cos[2πfct + 2πkf

∫m(t)dt

](7.4)

s(t) = Ac exp[j2πkf

∫m(t)dt

](7.5)

Si s1(t) es la envolvente compleja de la senal a la salida del circuito pendiente, entonces su transformadade Fourier S1(f) viene dada por la ecuacion (7.6), donde S(f) es la transformada de Fourier de s(t). Puestoque el espectro de la senal s(t) es cero fuera del intervalo fc−BT /2 < |f | < fc +BT /2, se tiene la ecuacion(7.7).

S1(f) = H1(f)S(f) =

j2πa(f + BT

2

)S(f) −BT

2 < f < BT

2

0 en otro caso(7.6)

S1(f) = j2πa

(f +

BT

2

)S(f) (7.7)

Demodulacion de FM. 33

Recordando una propiedad de la transformada de Fourier por la cual multiplicar en frecuencia por j2πfes equivalente a derivar en el dominio del tiempo, la version temporal de la ecuacion (7.7) es la ecuacion(7.8).

s1(t) = a

[ds(t)dt

+ jπBT s(t)]

(7.8)

Teniendo en cuenta la ecuacion (7.5) la ecuacion (7.8) se puede poner segun la ecuacion (7.9).

s1(t) = jπBT aAc

[1 +

2kf

BTm(t)

]exp

[j2πkf

∫m(t)dt

](7.9)

La senal paso banda a la salida del circuito pendiente se puede determinar siguiendo la ecuacion (7.10).

s1(t) = < [s1(t) exp(j2πfct)]

= πBT aAc

[1 +

2kf

BTm(t)

]cos

[2πfct + 2πkf

∫m(t)dt +

π

2

](7.10)

La senal s1(t) a la salida del circuito pendiente es una senal con modulacion hıbrida, de modo que tantola amplitud como la frecuencia de la senal varıan siguiendo a la senal moduladora m(t). Si se compruebala ecuacion (7.11), la senal s1(t) no tendra sobremodulacion y se puede utilizar un detector de envolventepara recuperar la senal moduladora, salvo por un termino de continua. La ecuacion (7.11) se puede ponerde forma equivalente segun la ecuacion (7.12), que siempre es cierta observando la figura 5.1 del capıtulo 5que permitıa determinar el ancho de banda segun la regla del 1 %.

∣∣∣∣2kf

BTm(t)

∣∣∣∣ < 1 ∀t (7.11)

BT

∆f> 2 (7.12)

La senal a la salida de un detector de envolvente ideal colocado despues del circuito pendiente va a venirdada por la ecuacion (7.13).

|s1(t)| = πBT aAc

[1 +

2kf

BTm(t)

](7.13)

El termino de continua es proporcional a la pendiente a de la funcion de transferencia del circuitopendiente. Esto nos sugiere que se puede eliminar esta componente continua restando a la salida del detectorde envolvente |s1(t)| la salida de un segundo detector de envolvente precedido de un circuito pendientecomplementario con funcion de transferencia H2(f) segun la figura 7.3.

34 Capıtulo 7

H2(f)j

f−2

BTc − f−

2BT

c +

f2

BTc − f

2BT

c +

Pte.−2πa

Pte.−2πa

f

Figura 7.3 Funcion de transferencia del circuito pendiente complementario.

Señal FM

Detector de

Envolvente

Circuito

Pendiente 2H (f)

Σ_

+ Señal

Banda Base

Detector de

Envolvente

Circuito

Pendiente 1H (f)

Figura 7.4 Esquema del discriminador de frecuencia balanceado.

Procediendo de igual forma que antes para el circuito pendiente complementario H2(f) deberıamosdeterminar la transformada de Fourier de su envolvente compleja, H2(f), sin embargo ya que este circuitopendiente es complementario de H1(f) se puede ver que se cumple la ecuacion (7.14) para las transformadasde Fourier de las envolventes complejas de ambos circuitos pendiente.

H2(f) = H1(−f) (7.14)

Teniendo en cuenta la ecuacion (7.14) y el procedimiento llevado a cabo para determinar la envolventea la salida del primer circuito pendiente, se puede determinar la envolvente ideal para la senal a la salidadel segundo circuito pendiente, s2(t), obteniendose la ecuacion (7.15).

|s2(t)| = πBT aAc

[1− 2kf

BTm(t)

](7.15)

La senal s0(t) diferencia entre las envolventes de las senales s1(t) y s2(t) sera la salida del demoduladorcompleto y viene dada por la ecuacion (7.16). Como puede verse hemos eliminado la componente continua.

s0(t) = |s1(t)| − |s2(t)| = 4πkfaAcm(t) (7.16)

Demodulacion de FM. 35

FMSeñal Banda

Señal

Base

Figura 7.5 Una implementacion del discriminador de frecuencia balanceado.

2B

2B

f

3B

fc

filtro inferior

filtro superior

respuesta total

Figura 7.6 Funcion de transferencia de los filtros paso banda que implementan los circuitos pendientebalanceados.

En la figura 7.4 podemos el esquema completo del discriminador de frecuencia balanceado formado porlos circuitos pendiente complementarios, dos detectores de envolvente y un sumador. Ademas en la figura7.5 podemos observar una implementacion real de dicho discriminador balanceado. Los filtros paso bandaresonantes superior e inferior estan sintonizados a frecuencias ligeramente superior e inferior a la de laportadora sin modular, respectivamente. Estos filtros tienen un factor de calidad Q elevado.

En la figura 7.6 podemos ver la respuesta en frecuencia tıpica de los filtros paso banda de la figura 7.5que implementan los circuitos pendiente. La linealidad de la seccion util de la respuesta total centrada en fc

esta determinada por la separacion de las dos frecuencias resonantes. Una separacion de 3B da resultadossatisfactorios, siendo 2B el ancho de banda a 3 dB de cada filtro, como aparece reflejado en la figura 7.6.

36 Capıtulo 7

El esquema de la figura 7.5 junto con la funcion de transferencia de los filtros de la figura 7.6 se diferenciadel caso ideal debido a los siguientes terminos de distorsion:

El espectro de la senal de entrada s(t) no es exactamente cero para frecuencias fuera del rango fc −BT /2 < |f | < fc + BT /2, por lo que dichas componentes daran lugar a distorsion.

La salida de los filtros sintonizados no esta limitada en banda por lo que los filtros paso bajo RC traslos diodos introducen distorsion.

La caracterıstica de los filtros sintonizados no es ideal (la respuesta total no es lineal) en toda la bandade frecuencias de la senal FM s(t).

Sin embargo, con un diseno apropiado, es posible mantener la distorsion dentro de unos lımites aceptables.

8RESPUESTA DE FILTROS LINEALES A

SENALES FM.

Cuando se aplica una senal FM a un filtro lineal e invariante en el tiempo caracterizado por una distorsionde amplitud y fase, la senal de salida va a tener una modulacion de amplitud residual, ademas de unadistorsion de fase de las componentes angulares de la senal FM.

Mientras que la modulacion de amplitud residual se puede eliminar empleando unos dispositivos que sedenominan limitadores, la distorsion de fase no se puede eliminar y aparecera en la senal demodulada.Esta distorsion es debida a que las bandas laterales de la senal FM son atenuadas de forma diferente cadauna de ellas al pasar la senal FM por el filtro.

El calculo de la distorsion producida al pasar una senal FM a traves de un filtro lineal e invariante hasido uno de los problemas mas difıciles de resolver dentro de la teorıa de modulacion no lineal. Este calculose complica debido a la naturaleza no lineal propia de la senal FM.

Debido al desarrollo de los ordenadores, es posible analizar la respuesta de un filtro lineal e invariantecuya entrada sea una senal FM, analizando numericamente dicho proceso. La precision de los resultadosobtenidos depende de la capacidad del ordenador y del coste temporal de cada simulacion.

Para analizar numericamente este problema es conveniente:

Reemplazar la senal FM por sus componentes en fase y cuadratura.

Reemplazar el filtro lineal e invariante por su complejo paso bajo equivalente.

Evaluar la respuesta del filtro debido a la combinacion de las componentes en fase y cuadratura.

Determinar la senal paso banda a la salida a partir de las componentes en fase y cuadratura de la senalde salida del filtro.

Comparando la senal FM a la entrada con la senal paso banda a la salida calcular la distorsionproducida.

37

9EFECTOS NO LINEALES EN SISTEMAS FM.

En los sistemas reales se presentan no linealidades. Existen dos clases basicas de no linealidades:

Fuerte: si la no linealidad ha sido introducida de forma intencionada por parte del disenador del sistema.Podemos considerar ejemplos de este tipo de no linealidad: el limitador, el detector de envolvente y elmodulador en cuadratura.

Debil: cuando se desea que el sistema sea lineal y aparecen no linealidades no deseadas.

Vamos a examinar los efectos de no linealidades debiles en senales FM.

Vamos a suponer un canal de comunicacion cuya funcion de transferencia entrada salida viene dada porla ecuacion (9.1), donde vi(t) y v0(t) son la senal de entrada y la senal de la salida, respectivamente, y a1,a2 y a3 son constantes. Se supone ademas que el sistema no tiene memoria, es decir, v0(t) es una funcioninstantanea de vi(t).

v0(t) = a1vi(t) + a2v2i (t) + a3v

3i (t) (9.1)

Deseamos determinar el efecto de transmitir una senal FM vi(t) a traves de este canal. La senal FM vi(t)viene dada por la ecuacion (9.2), donde φ(t) es la fase de la envolvente compleja de la senal FM dada porla ecuacion (9.3).

vi(t) = Ac cos[2πfct + φ(t)] (9.2)

φ(t) = 2πkf

∫m(t)dt (9.3)

Introduciendo la senal FM vi(t) dada por la ecuacion (9.2) en la ecuacion (9.1), se puede poner la senala la salida v0(t) segun la ecuacion (9.4).

v0(t) = a1Ac cos[2πfct + φ(t)] + a2A2c cos2[2πfct + φ(t)] + a3A

3c cos3[2πfct + φ(t)] (9.4)

Expandiendo los terminos de la ecuacion (9.4) y sacando factor comun se puede obtener la ecuacion (9.5).

39

40 Capıtulo 9

fc fc fc fcfcfc−3 −−2 32

Figura 9.1 Un caso particular para el espectro de la senal a la salida.

v0(t) =12a2A

2c +

[a1Ac +

34a3A

3c

]cos[2πfct + φ(t)]

+12a2A

2c cos[4πfct + 2φ(t)] +

14a3A

3c cos[6πfct + 3φ(t)] (9.5)

En la figura 9.1 podemos ver el espectro en un caso particular para la senal v0(t). Si la senal FM deentrada vi(t) tiene frecuencia portadora fc y desviacion maxima en frecuencia ∆f , la senal de salida v0(t)tiene las siguientes componentes:

Componente continua.

Componente FM a frecuencia portadora fc con desviacion maxima de frecuencia ∆f .

Componente FM a frecuencia portadora 2fc con desviacion maxima de frecuencia 2∆f .

Componente FM a frecuencia portadora 3fc con desviacion maxima de frecuencia 3∆f .

La senal FM original se puede separar de la senal de salida v0(t) mediante un filtro paso banda centradoen la frecuencia fc y de ancho de banda el dado por la regla de Carson: si W es el ancho de banda de lasenal moduladora, el ancho de banda de la componente centrada en fc sera 2∆f + 2W . Para que esto seaposible la componente a 2fc debe estar separada frecuencialmente de la componente a fc. Segun la reglade Carson el ancho de banda de la componente a 2fc es 4∆f + 2W , puesto que esta componente tienedoble desviacion maxima de frecuencia. La condicion de que la componente a fc no se solape en frecuenciacon la componente a 2fc viene expresada analıticamente en la ecuacion (9.6). Simplificando se obtiene lacondicion dada por la ecuacion (9.7) para la frecuencia portadora fc para que se puede recuperar la senalFM original. Esta condicion en general se cumple puesto que la frecuencia de la portadora fc suele ser variosordenes de magnitud mayor que tanto el ancho de banda W de la senal moduladora como la desviacionmaxima de frecuencia ∆f .

2fc− (2∆f + W ) > fc + (∆f + W ) (9.6)

Efectos no Lineales en Sistemas FM. 41

fc > 3∆f + 2W (9.7)

Si y(t) es la senal a la salida del filtro paso banda, que como ya hemos dicho, tiene como frecuenciacentral fc y de ancho de banda 2∆f + 2W , vendra dada por la ecuacion (9.8). Como se puede observar elunico efecto de pasar una senal FM a traves de un canal o a traves de un sistema no lineal, siempre que secumpla la ecuacion (9.7) y filtremos adecuadamente la senal, es multiplicar su amplitud por una constante.A diferencia de lo que ocurre en las modulaciones de amplitud, una senal FM no se ve afectada por ladistorsion debida a no linealidades.

y(t) =[a1Ac +

34a3A

3c

]cos[2πfct + φ(t)] (9.8)

Esta es la razon por la que la modulacion en frecuencia se utiliza de forma amplia en enlaces de microondasy enlaces de satelite, debido a que permite el uso de amplificadores de potencia altamente no lineales, queson muy importantes desde el punto de vista de mayor potencia a esas frecuencias.

Sin embargo, un sistema FM es muy sensible a no linealidades de fase. Un tipo muy comun de estetipo de no linealidad es la conversion AM-PM. Esto es debido a que, en general, las caracterısticas de fasede los amplificadores y repetidores utilizados en los sistemas de comunicacion dependen de la amplitudinstantanea de la senal de entrada. En la practica, la conversion AM-PM se caracteriza por una constanteK medida en grados/dB, que debe interpretarse como el cambio de fase de pico (en grados) de la senal desalida por cada cambio de 1 dB en la envolvente de la senal de entrada.

Cuando una senal FM se transmite a traves de un enlace de radio recoge variaciones aleatorias en suenvolvente debido al ruido e interferencias presentes durante su propagacion. Si ahora esta senal se pasaa traves de un repetidor con conversion AM-PM, la salida tendra una modulacion no deseada de fase,debido a la variacion de la envolvente de la senal de entrada, que dara lugar a una distorsion en la senaldemodulada. Este efecto se puede cancelar en parte haciendo uso de limitadores. En un repetidor de FMes muy importante mantener la conversion AM-PM a un nivel por debajo de 20/dB para mantener ladistorsion de fase dentro de unos lımites aceptables.

ANALISIS DE LA CALIDAD EN

MODULACIONES ANALOGICAS.



CONTENIDOS


1. SNR Y FOM. 1

2. ANALISIS DEL RUIDO EN MODULACIONES DE AMPLITUD. 32.1. Receptores de AM y Modelo Funcional. 32.2. SNR y FOM para Deteccion Coherente de DSB. 62.3. SNR y FOM para Deteccion Coherente de SSB. 102.4. SNR y FOM para Deteccion de Envolvente en AM. 14

3. ANALISIS DEL RUIDO EN FM. 213.1. Receptores de FM y Modelo Funcional. 213.2. SNR y FOM en Receptores de FM para CNR elevado. 233.3. Caso Moduladora Sinusoidal para CNR Elevado. 293.4. Efecto Captura. 303.5. Efecto Umbral en FM. 303.6. Reduccion del Umbral. 363.7. Redes de Pre-enfasis y De-enfasis. 38

4. COMPARACION DE LA CALIDAD DE LOS SISTEMAS. 41

v

INDICE DE FIGURAS

Capıtulo 1

1.1. Modelo empleado para determinar la SNR del canal. 1

Capıtulo 2

2.1. Receptor de AM heterodino. 32.2. Modelo funcional de receptor de amplitud empleado para el analisis del ruido. 42.3. Respuesta en amplitud del filtro IF equivalente. 52.4. Densidad espectral del ruido a la entrada del demodulador. 52.5. Modelo funcional de receptor cuando el demodulador es un detector coherente. 62.6. Densidad espectral de potencia de la senal moduladora. 62.7. Densidad espectral de potencia de la senal modulada. 72.8. Densidad espectral de la componente en fase y cuadratura del ruido. 92.9. Densidad espectral del ruido a la entrada del demodulador para SSB. 122.10. Densidad espectral de la componente en fase y cuadratura del ruido para SSB. 122.11. Densidad espectral de n′c(t) y de n′s(t). 132.12. Modelo funcional de receptor cuando el demodulador es un detector de envolvente. 142.13. Diagrama fasorial de la senal a la entrada del detector de envolvente para CNR elevado. 162.14. Diagrama fasorial de la senal a la entrada del detector de envolvente para CNR pequeno. 18

Capıtulo 3

3.1. Receptor de FM heterodino. 213.2. Modelo funcional de receptor de FM empleado para el analisis del ruido. 223.3. Respuesta en amplitud del filtro IF equivalente. 223.4. Densidad espectral del ruido a la salida del filtro IF equivalente. 233.5. Diagrama fasorial para la senal a la salida del filtro IF equivalente. 253.6. Densidad espectral de la componente en fase y cuadratura del ruido. 273.7. Densidad espectral de la componente ruidosa nd(t) a la entrada del filtro de postdeteccion. 283.8. Densidad espectral de la componente ruidosa no(t) a la salida del filtro de postdeteccion. 283.9. Diagrama fasorial para la senal a la salida del filtro IF equivalente para la portadora sin

modular. 313.10. Un caso particular para la fase de la resultante donde se pueden apreciar saltos instantaneos

de fase. 323.11. Senal a la salida del discriminador de frecuencias con clicks. 323.12. Senal a la salida del receptor con clicks. 323.13. SNR a la salida en funcion del valor de CNR. 353.14. Efecto en la SNR a la salida en un receptor con extension o reduccion del umbral. 363.15. Diagrama de bloques de un demodulador empleando FMFB. 373.16. Densidad espectral de potencia de ruido a la salida de un receptor de FM. 383.17. Densidad espectral de potencia tıpica para la senal moduladora. 383.18. Redes de pre-enfasis y de-enfasis en FM. 393.19. Ejemplo de filtro de pre-enfasis muy utilizado en la practica. 40

vii

viii ANALISIS DE LA CALIDAD EN MODULACIONES ANALOGICAS.

3.20. Ejemplo de filtro de de-enfasis muy utilizado en la practica. 40

Capıtulo 4

4.1. Representacion de la SNR a la salida del receptor en funcion de la SNR del canal para losdiferentes tipos de modulacion. 42

1SNR Y FOM.

Una medida util de la calidad o fidelidad de un receptor es la relacion senal a ruido (SNR: Signal toNoise Ratio) a la salida definida segun la ecuacion (1.1), siendo W el ancho de banda de la senal moduladoram(t).

SNRO =Potencia media de senal demodulada a la salida del receptor

Potencia media de ruido a la salida del receptor en el ancho de banda W(1.1)

La definicion de la SNR a la salida no es ambigua siempre que la senal y ruido aparezcan sumados a lasalida del receptor. Este requerimiento se satisface de forma exacta en el caso de receptores lineales (comoes el caso del detector coherente) y de forma aproximada en el caso de receptores no lineales (como es elcaso del detector de envolvente), siempre que la potencia de ruido sea pequena comparada con la potenciade senal a al entrada, en este segundo caso.

El valor de SNR a la salida depende de varios factores como por ejemplo del tipo de modulacion empleadaen el transmisor y del tipo de demodulacion utilizada en el receptor. Serıa deseable poder comparar valoresde SNR para diferentes esquemas de modulacion y demodulacion. Vamos a poder hacer esta comparacionteniendo en cuenta que el sistema de lugar a la misma potencia de senal modulada y el mismo ruido en elancho de banda W en el canal. Se define por tanto la SNR del canal segun la ecuacion (1.2).

SNRC =Potencia media de senal modulada a la entrada del receptor

Potencia media de ruido a la entrada del receptor en el ancho de banda W(1.2)

La SNR dada por la ecuacion (1.2) se puede ver como la que resulta de transmitir la senal moduladoram(t) directamente por el canal sin modular, segun puede verse graficamente en la figura 1.1. Es decir, seesta suponiendo que:

La potencia de la senal de informacion m(t) a la entrada del filtro paso bajo es la misma que la potenciade la senal modulada.

w(t)

Filtro PasoBajo

Entrada Salida

Figura 1.1 Modelo empleado para determinar la SNR del canal.

1

2 Capıtulo 1

El filtro paso bajo deja pasar la senal de informacion m(t) sin modificarla y elimina todo el ruido fueradel ancho de banda W .

Para poder comparar las prestaciones frente al ruido de diferentes sistemas de modulacion y demodu-lacion, vamos a normalizar la SNR a la salida entre la SNR del canal, obteniendose ası el valor FOM(Figure of Merit) segun la ecuacion (1.3). Cuanto mayor sea el valor FOM mayor calidad frente al ruidotendra nuestro sistema de comunicaciones.

FOM =SNROSNRC

(1.3)

Finalmente, otra SNR de interes es la SNR a la entrada del receptor definida segun la ecuacion (1.4),donde BT es el ancho de banda de la senal modulada.

SNRI =Potencia media de senal modulada a la entrada del receptor

Potencia media de ruido a la entrada del receptor en el ancho de banda BT(1.4)

La relacion entre la SNR a la salida y la SNR a la entrada, segun la ecuacion (1.5), me va a dar laganancia en SNR del receptor empleado.

SNROSNRI

(1.5)

Como ya veremos, en el caso de receptores no lineales siempre va a ser necesario realizar una aproximacionpara poder separar a la salida del receptor la senal y el ruido. Para ello habra que suponer que la potenciade ruido es pequena con respecto a la de senal. Una medida que nos va a determinar esta relacion enpotencias que permita separar senal y ruido a la salida de un receptor no lineal es la relacion portadoraa ruido (CNR: Carrier to Noise Ratio) definida por la ecuacion (1.6).

ρ = CNR =Potencia media de portadora

Potencia media de ruido a la entrada del receptor en el ancho de banda BT(1.6)

2ANALISIS DEL RUIDO EN MODULACIONES

DE AMPLITUD.

El analisis de los efectos del ruido en el funcionamiento del receptor es uno de los temas de estudiomas comunes en sistemas de comunicacion, de forma que se puedan utilizar estos resultados para disenarel sistema mejor. Otro aspecto importante es poder comparar el funcionamiento frente al ruido de losdiferentes esquemas de modulacion y demodulacion existentes. Usando las definiciones de SNR y la CNRdefinidos en el capıtulo 1 se puede hacer esto de forma sencilla.

Se va a suponer que el ruido introducido en el canal de comunicaciones es blanco, estacionario, Gaussianoy con media cero. Esta suposicion ademas de ser analıticamente manejable, nos va a permitir entender deque modo afecta el ruido a nuestro sistema.

En primer lugar vamos a analizar como es un receptor real en el caso de modulaciones de amplitudpara proponer el modelo funcional simplificado que aplicaremos en nuestro caso. A continuacion vamos aanalizar las modulaciones DSB y SSB con deteccion coherente y AM con detector de envolvente.

2.1 RECEPTORES DE AM Y MODELO FUNCIONAL.

El receptor que vamos a utilizar recibe el nombre de heterodino que tiene dos etapas de cambio defrecuencia frente al homodino con una unica etapa. En la figura 2.1 podemos esquematicamente estetipo de receptor. Este receptor consiste en una seccion de radiofrecuencia (RF: Radio Frequency), unmezclador y un oscilador local que constituyen un conversor de frecuencia, una seccion de frecuenciaintermedia (IF: Intermediate Frequency) y el demodulador propiamente dicho.

Los parametros correspondientes a AM comercial son los siguientes:

Rango RF: 535 a 1605 KHz.

Frecuencia IF: 455 KHz.

Ancho de banda senal moduladora W : 10 KHz.

Señal AMcon Ruido RF

SeccionMezclador

LocalOscilador

SeccionIF

DemoduladorSeñal deSalida

Figura 2.1 Receptor de AM heterodino.

3

4 Capıtulo 2

Filtro IFEquivalente

x(t)s(t)

w(t)

Salida

Señal deDemodulador

Figura 2.2 Modelo funcional de receptor de amplitud empleado para el analisis del ruido.

La senal modulada en amplitud se capta mediante una antena. Esta senal se amplifica y filtra en la seccionRF, que esta sintonizada a la frecuencia de la portadora (filtro paso banda). Puesto que esta frecuenciaportadora es variable esta seccion tambien lo es.

El mezclador, junto con el oscilador local variable, convierte la frecuencia portadora de entrada RF devalor variable en una frecuencia portadora de salida IF de valor fijo menor que la de RF. Esta conversionse realiza sin modificar la senal modulada (portadora y bandas laterales). La relacion entre las frecuenciasportadoras y la del oscilador local viene dada por la ecuacion (2.1), donde fRF es la frecuencia portadora deRF, fIF es la frecuencia portadora de IF y fLO es la frecuencia del oscilador local (LO: Local Oscillator).

fIF = fRF − fLO (2.1)

En muchas ocasiones al conversor de frecuencias se le denomina primer detector y al demoduladorsegundo detector (para distinguir este receptor del homodino con una unica etapa de deteccion).

La seccion IF consiste en uno o mas amplificadores sintonizados (filtro paso banda) con un ancho de bandaBT segun corresponda al tipo de modulacion empleada. Como en la seccion IF la frecuencia portadora esfija, esta seccion es la que proporciona mayor ganancia y selectividad (es mucho mas sencillo hacer estoa una frecuencia fija que a una variable). La salida de esta seccion se aplica al demodulador que permiteobtener una senal proporcional a la moduladora m(t). En el caso de que se emplee un detector coherentese debe proporcionar a este detector una senal sinusoidal sincronizada en frecuencia y fase a la frecuenciaIF. La ultima etapa del receptor es un amplificador de la senal banda base demodulada.

La senal de salida del conversor de frecuencia es la senal de entrada al conversor desplazada ±fIF respectoa la frecuencia del oscilador local fLO cuando fLO > fIF o desplazada ±fLO respecto a la frecuencia fIFcuando fLO < fIF . Es decir, dos senales de entrada al conversor con frecuencias |fLO±fIF | daran lugar dossenales a la frecuencia fIF a la salida que no se podran separar en la seccion IF. Las senales correspondientesRF estaran separadas 2fIF cuando fLO > fIF o 2fLO cuando fLO < fIF . Por eso es necesario utilizar unaseccion RF mınimamente selectiva a la frecuencia fRF , para eliminar de las dos senales que pasan a travesdel mezclador y la seccion IF la denominada banda imagen de la banda de interes. Esta senal imagen sino se elimina adecuadamente en la seccion RF, dara lugar a distorsion de la senal demodulada. Cuanto masselectivo sea el filtro de RF, menor cantidad de senal imagen estara presente a la entrada del demodulador.

Para el analisis del ruido vamos a proponer un modelo funcional de receptor como el de la figura 2.2.Consiste en un filtro de IF equivalente seguido del demodulador. El filtro IF equivalente representa lacombinacion de la seccion de RF, el mezclador y la seccion IF colocadas en cascada. A la entrada de estefiltro tenemos la suma de la senal modulada s(t) trasladada en frecuencia a la banda IF y amplificada. Estasenal modulada viene perturbada por la presencia del ruido w(t) a la entrada del receptor. Este ruido seva a suponer, por consideraciones analıticas, que es aditivo, blanco, Gaussiano (AWGN: Additive WhiteGaussian Noise), con media cero y densidad espectral de potencia dada por la ecuacion (2.2). N0 representala potencia media de ruido por unidad de ancho de banda a la entrada del receptor.

Analisis del Ruido en Modulaciones de Amplitud. 5

B T

f− c

B T

fc

HIF(f)

f

1

Figura 2.3 Respuesta en amplitud del filtro IF equivalente.

B T

f− c

B T

fc

S N (f)

N0

2

f

Figura 2.4 Densidad espectral del ruido a la entrada del demodulador.

SW (f) =N0

2(2.2)

El filtro IF equivalente tiene como ancho de banda BT , es decir, el ancho de banda de la senal moduladas(t) para dejar pasar a esta sin distorsion y eliminar la mayor cantidad de ruido posible. Excepto para SSBla frecuencia central del filtro coincide con la de la portadora fc de la banda IF. Teoricamente este filtrodeberıa ser la combinacion de las respuestas de los filtros de RF e IF, pero por simplicidad se va a suponerque el filtro IF equivalente es ideal de forma que su respuesta en amplitud sea la que se puede ver en lafigura 2.3.

La senal x(t) a la salida del filtro IF equivalente viene dada por la ecuacion (2.3), donde n(t) es el ruidoa la salida del filtro IF equivalente cuando a la entrada tenemos el ruido blanco w(t). Podemos poner ladensidad espectral de potencia del ruido filtrado n(t) (expecto para SSB) segun la ecuacion (2.4) y la figura2.4. Este ruido se puede considerar de banda estrecha, puesto que el ancho de banda BT suele ser bastantemenor que la frecuencia de la portadora fc en la banda IF.

x(t) = s(t) + n(t) (2.3)

SN (f) =

N02 fc − BT

2 ≤ |f | ≤ fc + BT

2

0 En otro caso(2.4)

6 Capıtulo 2


x(t)s(t)

w(t)

ModuladorProducto

FiltroPaso Bajo

v(t)y(t)

OsciladorLocal

Figura 2.5 Modelo funcional de receptor cuando el demodulador es un detector coherente.

SM(f)

��

��

fW−W

Area P

Figura 2.6 Densidad espectral de potencia de la senal moduladora.

2.2 SNR Y FOM PARA DETECCION COHERENTE DEDSB.

La deteccion coherente consistıa en multiplicar la senal IF x(t) por una senal sinusoidal generada lo-calmente cos(2πfct) y pasar el resultado por un filtro paso bajo de ancho de banda W , el de la senalmoduladora m(t). Vamos a suponer que mediante algun procedimiento hemos conseguido que la senal si-nusoidal a frecuencia fc generada localmente guarde perfecto sincronismo de frecuencia y fase con la de lasenal modulada s(t). Puesto que no va a influir (afecta por igual a senal y a ruido) vamos a suponer que laamplitud de esta senal es unidad. El modelo funcional del receptor para este caso se puede ver en la figura2.5.

La componente de senal a la salida del receptor va a ser proporcional a la senal moduladora m(t). Ademasla componente de ruido a la salida siempre aparece sumada a la componente de senal y no afecta a estaultima, independientemente del nivel de CNR que tengamos en el canal. Esto es caracterıstico del detectorcoherente ya que es un detector lineal.

La expresion para la senal DSB es la dada por la ecuacion (2.5), con m(t) la senal moduladora yAc cos(2πfct) la portadora.

s(t) = Ac cos(2πfct)m(t) (2.5)

Vamos a suponer que m(t) es una funcion muestra de un proceso estacionario M(t) de media cero,ancho de banda W y densidad espectral de potencia SM (f) dada por la figura 2.6. La potencia de la senalmoduladora P viene dada por el area debajo de su densidad espectral segun la ecuacion (2.6).

P =∫ W

−WSM (f)df (2.6)


fc−−Wfc− +Wfc− fc−Wfc +Wfc

SS (f)Area Ac

2

4PArea Ac

2

4P

��

��

��

��

f

Figura 2.7 Densidad espectral de potencia de la senal modulada.

La senal portadora se puede considerar tambien una senal muestra de un proceso. En este caso laaleatoriedad viene dada por medio de la fase inicial de la portadora. La fase inicial se supone que es unavariable aleatoria uniforme distribuida en el intervalo [−π, π]. Ademas esta fase aleatoria es independientede la senal moduladora M(t). Entonces se puede comprobar que la densidad espectral de la senal moduladaSS(f) viene dada por la ecuacion (2.7). En la figura 2.7 podemos ver la densidad espectral de potencia dela senal modulada.

SS(f) =A2c

4[SM (f − fc) + SM (f + fc)] (2.7)

A partir de la figura 2.7 se puede determinar la potencia de la senal a la entrada PSIobteniendose la

ecuacion (2.8). Ademas, la potencia de ruido en el ancho de banda W de la senal moduladora m(t) (potenciade ruido del canal PNC

) viene dada por la ecuacion (2.9). Dividiendo ambas potencias obtenemos la SNRdel canal segun la ecuacion (2.10).

PSI=A2cP

2(2.8)

PNC= WN0 (2.9)

SNRC =PSI

PNC

=A2cP

2WN0(2.10)

El ancho de banda de la senal modulada s(t) viene dado por la ecuacion (2.11), por lo que la potenciade ruido en el ancho de banda BT de la senal modulada (potencia de ruido a la entrada PNI

) viene dadapor la ecuacion (2.12). Ahora podemos calcular la SNR a la entrada segun la ecuacion (2.13).

BT = 2W (2.11)

PNI= BTN0 = 2WN0 (2.12)

8 Capıtulo 2

SNRI =PSI

PNI

=A2cP

4WN0(2.13)

La potencia de portadora PC viene dada por la ecuacion (2.14). La CNR viene dada entonces por laecuacion (2.15).

PC =A2c

2(2.14)

ρ = CNR =PCPNI

=A2c

4WN0(2.15)

Ahora vamos a determinar la senal a la salida del receptor para poder calcular los parametros que nosfaltan. El ruido n(t) como es de banda estrecha se puede poner en forma canonica segun la ecuacion (2.16),donde nc(t) es la componente en fase y ns(t) es la componente en cuadratura. Ademas ya que en DSBla frecuencia portadora fc esta situada en la mitad del ancho de banda de transmision BT , la frecuenciacentral del ruido coincide con fc segun la ecuacion (2.16).

n(t) = nc(t) cos(2πfct)− ns(t) sin(2πfct) (2.16)

La senal x(t) a la entrada del detector coherente viene dada por la ecuacion (2.17). La senal v(t) a lasalida del modulador producto de la figura 2.5 viene dada por la ecuacion (2.18).

x(t) = s(t) + n(t) = Ac cos(2πfct)m(t) + nc(t) cos(2πfct)− ns(t) sin(2πfct) (2.17)

v(t) = x(t) cos(2πfct) =12Acm(t) +

12nc(t) +

12[Acm(t) + nc(t)] cos(4πfct)−

12ns(t) sin(4πfct) (2.18)

El filtro paso bajo del detector coherente elimina las componentes a alta frecuencia, por lo que la salidadel receptor viene dada por la ecuacion (2.19).

y(t) =12Acm(t) +

12nc(t) (2.19)

La ecuacion (2.19) indica que la senal moduladora m(t) y la componente en fase del ruido nc(t), aparecensumados a la salida del receptor. El detector coherente rechaza la componente en cuadratura del ruido ns(t).La potencia de la componente de senal a la salida PSO

viene dada por la ecuacion (2.20).

PSO=A2c

4P (2.20)


S (f)Nc= S (f)Ns

N0

f−W W

Figura 2.8 Densidad espectral de la componente en fase y cuadratura del ruido.

Para determinar la potencia de la componente de ruido a la salida es necesario determinar la densidadespectral de potencia de la componente en fase. La densidad espectral de potencia de la componente enfase es igual que la de la componente en cuadratura segun la ecuacion (2.21). Teniendo en cuenta que ladensidad espectral de potencia del ruido paso banda viene dada por la ecuacion (2.4) o por la figura 2.4, ladensidad espectral de la componente en fase y de la componente en cuadratura viene dada por la ecuacion(2.22) o por la figura 2.8

SNC(f) = SNS

(f) =

SN (f − fc) + SN (f + fc) |f | < BT

2

0 En otro caso(2.21)

SNC(f) = SNS

(f) =

N0 |f | ≤W


Ahora se puede determinar la potencia de la componente de ruido de la salida del receptor PNO, obte-

niendose la ecuacion (2.23). La SNR a la salida viene dada por la ecuacion (2.24).

PNO=

12WN0 (2.23)

SNRO =PSO

PNO

=A2cP

2WN0(2.24)

Finalmente, el valor FOM viene dado por la ecuacion (2.25) y la relacion entre la SNR a la salida y a laentrada por la ecuacion (2.26). Es decir, el sistema es equivalente al de la figura 1.1 o lo que es lo mismo atransmitir la senal sin modular. La modulacion DSB simplemente traslada la senal a una banda diferente.Ademas el receptor tiene doble SNR a la salida que a la entrada debido fundamentalmente a que el detectorcoherente es capaz de eliminar la componente en cuadratura del ruido, en este caso.

10 Capıtulo 2

FOM =SNROSNRC

= 1 (2.25)

SNROSNRI

= 2 (2.26)

2.3 SNR Y FOM PARA DETECCION COHERENTE DESSB.

En este caso vamos a emplear tambien un receptor coherente, por lo que el modelo funcional sigue siendoel dado por la figura 2.5. Vamos a suponer que se trasmite la banda lateral inferior (todo el proceso quesigue se puede repetir para banda lateral superior, obteniendose los mismos resultados). En este caso, laexpresion para la senal modulada viene dada por la ecuacion (2.27).

s(t) =Ac2m(t) cos(2πfct) +

Ac2m(t) sin(2πfct) (2.27)

Se pueden hacer las siguientes observaciones:

Las componentes m(t) y m(t) son ortogonales. Entonces, si m(t) tiene media cero, se sigue que m(t)y m(t) son incorreladas, de modo que sus densidades espectrales de potencia son aditivas.

La transformada de Hilbert de m(t) se calcula pasando la senal m(t) por un filtro cuya funcion detransferencia es −jsgn(f). La respuesta en amplitud de este sistema es unidad. Por lo tanto, la densidadespectral de potencia de m(t) y de m(t) es la misma.

El primer termino de la ecuacion (2.27) es una senal DSB cuya potencia es A2cP/8. Ademas, el segundo

termino de esta ecuacion tambien es una senal DSB y, segun lo dicho, su potencia es A2cP/8. Como estos

dos terminos son incorrelados las potencias son aditivas, por lo que la potencia de la senal modulada ala entrada PSI

viene dada por la ecuacion (2.28). Comparando esta potencia con la de DSB dada por laecuacion (2.8), resulta ser la mitad como era de esperar ya que SSB transmite una banda lateral de las dosque tiene DSB.

PSI=A2cP

4(2.28)

La potencia de ruido en el ancho de banda W de la senal moduladora m(t) (potencia de ruido del canalPNC

) viene dada por la ecuacion (2.29). Dividiendo ambas potencias obtenemos la SNR del canal segun laecuacion (2.30).

PNC= WN0 (2.29)

SNRC =PSI

PNC

=A2cP

4WN0(2.30)



) viene dadapor la ecuacion (2.32). Ahora podemos calcular la SNR a la entrada segun la ecuacion (2.33). En este casola SNR a la entrada coincide con la SNR del canal puesto que el ancho de banda de transmision es igual alde la senal moduladora.

BT = W (2.31)

PNI= BTN0 = WN0 (2.32)

SNRI =PSI

PNI

=A2cP

4WN0(2.33)


PC =A2c

2(2.34)

ρ = CNR =PCPNI

=A2c

2WN0(2.35)

En el caso de SSB, puesto que la frecuencia portadora fc no esta situada en la mitad del ancho de bandade transmision BT , la frecuencia mitad del ruido de banda estrecha ahora no es fc como en DSB, sinofc−W/2 (para banda lateral superior serıa fc+W/2). La forma canonica del ruido viene dada en este casopor la ecuacion (2.36).

n(t) = nc(t) cos[2π

(fc −

W

2

)t

]− ns(t) sin

[2π

(fc −

W

2

)t

](2.36)

Procediendo de forma similar a DSB se pueden determinar las senales x(t), v(t) e y(t) de la figura 2.5,obteniendose para la senal de salida y(t) la ecuacion (2.37). Como era de esperar el detector coherenteha eliminado la componente m(t). La componente de senal aparece sumada a las componentes ruidosasgracias a la linealidad del detector coherente. Ademas, en este caso el detector coherente no ha sido capazde eliminar la componente en cuadratura del ruido. Aparecen dos terminos ruidosos uno funcion de lacomponente en fase y otro de la componente en cuadratura del ruido a la entrada.

y(t) =14Acm(t) +

12nc(t) cos(πWt) +

12ns(t) sin(πWt) (2.37)

La potencia de la componente de senal a la salida PSOviene dada por la ecuacion (2.38).

12 Capıtulo 2

B T B T

S N (f)

N0

2

f− c f− c+W fc−Wfcf

Figura 2.9 Densidad espectral del ruido a la entrada del demodulador para SSB.

S (f)Nc= S (f)Ns

N0

W2

−W2

f

Figura 2.10 Densidad espectral de la componente en fase y cuadratura del ruido para SSB.

PSO=A2c

16P (2.38)

Para determinar la potencia de la componente de ruido a la salida es necesario determinar la densidadespectral de potencia de las componentes en fase y en cuadratura. La densidad espectral de potencia dela componente en fase es igual que la de la componente en cuadratura segun la ecuacion (2.21). Ahora, adiferencia de DSB, la densidad espectral de potencia del ruido paso banda viene dada por la ecuacion (2.39)o por la figura 2.9. La densidad espectral de la componente en fase y de la componente en cuadratura vienedada por la ecuacion (2.40) o por la figura 2.10.

SN (f) =

N02 fc −W ≤ |f | ≤ fc


SNC(f) = SNS

(f) =

N0 |f | ≤ W2


Si definimos las componentes ruidosas de las ecuaciones (2.41) y (2.42), suponiendo que los terminossinusoidales tengan una fase aleatoria uniforme en el intervalo [−π, π] se puede obtener la relacion entredensidades espectrales dada por la ecuacion (2.43).


4N0

SN ’c= SN ’s

(f) (f)

f−W W

Figura 2.11 Densidad espectral de n′c(t) y de n′

s(t).

n′c(t) = nc(t) cos(πWt) (2.41)

n′s(t) = ns(t) sin(πWt) (2.42)

SN ′c(f) = SN ′

S(f) =

14

[SNC

(f − W

2

)+ SNC

(f +

W

2

)]

=14

[SNS

(f − W

2

)+ SNS

(f +

W

2

)](2.43)

La densidad espectral de n′c(t) y de n′s(t) viene dada por la ecuacion (2.44) o por la figura 2.11.

SN ′c(f) = SN ′

S(f) =

N04 |f | ≤W


Finalmente, puesto que la potencia de n′c(t) y de n′s(t) es aditiva, la potencia de la componente ruidosaPN0 de la senal y(t) a la salida del receptor dada por la ecuacion (2.37) viene dada por la ecuacion (2.45).La SNR a la salida viene dada por la ecuacion (2.46).

PNO=

14WN0 (2.45)

SNRO =PSO

PNO

=A2cP

4WN0(2.46)

El valor FOM viene dado por la ecuacion (2.47) y la relacion entre la SNR a la salida y a la entrada porla ecuacion (2.48). Es decir, el sistema es equivalente al de la figura 1.1 o lo que es lo mismo a transmitir

14 Capıtulo 2


x(t)s(t)

w(t)

EnvolventeDetector de

y(t)

Figura 2.12 Modelo funcional de receptor cuando el demodulador es un detector de envolvente.

la senal sin modular. La modulacion SSB simplemente transada la senal a una banda diferente. Tambienva a ser equivalente a DSB. Para la misma potencia de senal modulada y para la misma cantidad de ruidodentro del ancho de banda de la senal moduladora, un receptor SSB tiene exactamente la misma SNR a lasalida que para DSB, utilizando en ambos casos deteccion coherente. Ademas, el receptor tiene la mismaSNR a la salida que a la entrada. Esto es debido a que en este caso la componente ruidosa a la salidadepende tanto de la componente en fase del ruido como de su componente en cuadratura.

FOM =SNROSNRC

= 1 (2.47)

SNROSNRI

= 1 (2.48)

2.4 SNR Y FOM PARA DETECCION DE ENVOLVENTEEN AM.

2.4.1 Para CNR Elevado: Caso Lineal.

En el caso de AM, la senal esta formada por las dos bandas laterales y la portadora. La senal moduladas(t) viene dada por la ecuacion (2.49), donde Ac cos(2πfct) es la portadora, ka es la sensibilidad en amplituddel modulador que determina el tanto por ciento de modulacion y m(t) la senal moduladora.

s(t) = Ac[1 + kam(t)] cos(2πfct) (2.49)

Vamos a analizar el funcionamiento frente al ruido del receptor pero en este caso empleando un detectorde envolvente en lugar de un detector coherente. Vamos a suponer que no tenemos sobremodulacion (eltanto por ciento de modulacion es menor que 100) y que el detector de envolvente es ideal. El modelofuncional del receptor en este caso viene dado por la figura 2.12.

Se puede determinar de forma sencilla la potencia de la senal a la entrada PSIque va a venir dada por

la ecuacion (2.50). Ademas, la potencia de ruido en el ancho de banda W de la senal moduladora m(t)(potencia de ruido del canal PNC

) viene dada por la ecuacion (2.51). Dividiendo ambas potencias obtenemosla SNR del canal segun la ecuacion (2.52).

PSI=A2c

2(1 + k2

aP ) (2.50)


PNC= WN0 (2.51)

SNRC =PSI

PNC

=A2c(1 + k2

aP )2WN0

(2.52)


) viene dadapor la ecuacion (2.54). Ahora podemos calcular la SNR a la entrada segun la ecuacion (2.55).

BT = 2W (2.53)

PNI= BTN0 = 2WN0 (2.54)

SNRI =PSI

PNI

=A2c(1 + k2

aP )4WN0

(2.55)


PC =A2c

2(2.56)

ρ = CNR =PCPNI

=A2c

4WN0(2.57)

Ahora vamos a determinar la senal a la salida del receptor para poder calcular los parametros que nosfaltan. El ruido n(t) como es de banda estrecha se puede poner en forma canonica segun la ecuacion (2.58),donde nc(t) es la componente en fase y ns(t) es la componente en cuadratura. Ademas ya que en AMla frecuencia portadora fc esta situada en la mitad del ancho de banda de transmision BT , la frecuenciacentral del ruido coincide con fc segun la ecuacion (2.58).


La senal x(t) a la entrada del detector de envolvente viene dada por la ecuacion (2.59).

x(t) = s(t) + n(t) = [Ac +Ackam(t) + nc(t)] cos(2πfct)− ns(t) sin(2πfct) (2.59)

En la figura 2.13 podemos ver un diagrama fasorial para la senal x(t) a la entrada del detector deenvolvente dada por la ecuacion (2.59). A partir de este diagrama fasorial se puede obtener la envolvente

16 Capıtulo 2

ψ(t)

n c(t)

ns(

t)

+A c A ckam(t)

Resultante r(t)

Cuadratura

Fase

Figura 2.13 Diagrama fasorial de la senal a la entrada del detector de envolvente para CNR elevado.

de senal y(t) que sera la salida del detector de envolvente ideal y del receptor. Viene dada por la ecuacion(2.60). La fase de x(t) no nos interesa puesto que un detector de envolvente ideal es totalmente insensiblea la fase.

y(t) =√

[Ac +Ackam(t) + nc(t)]2 + n2s(t) (2.60)

La expresion de la envolvente y(t) dada por la ecuacion (2.60) es compleja y no aparecen directamenteterminos de senal y de ruido sumados. Esto es debido a que el detector de envolvente es un detector nolineal a diferencia del detector coherente que era lineal. Sera necesario aproximarla para poder continuar. Sisuponemos que tenemos mucho mas senal que ruido (como ya aparece reflejado en el diagrama fasorial dela figura 2.13), el termino Ac[1 + kam(t)] es mucho mayor que nc(t) y que ns(t) la mayor parte del tiempoy la ecuacion (2.60) se puede aproximar por la ecuacion (2.61). El valor que se utiliza para poder haceresta aproximacion es el valor de CNR. Cuando la CNR toma un valor elevado la aproximacion dada porla ecuacion (2.61) es adecuada. Ya diremos mas adelante cual es el valor mınimo de CNR para que dichaaproximacion sea buena. Esto es equivalente a sustituir la resultante del diagrama fasorial de la figura 2.13por la suma de los fasores Ac+Ackam(t) y nc(t) resultando un fasor horizontal. Si el ruido es muy pequenocomparado con la senal, ns(t) sera tambien muy pequeno y el error cometido sera despreciable la mayorparte del tiempo.

y(t) ≈ Ac +Ackam(t) + nc(t) (2.61)

En la ecuacion (2.61) el primer termino es debido a la demodulacion de la portadora transmitida y noconstituye ni termino de senal (no tiene relacion con la senal moduladora m(t)) ni termino ruidoso (puestoque se puede eliminar facilmente con un condensador de desacople), por lo tanto, se puede ignorar. Lapotencia de la componente de senal a la salida PSO

viene dada por la ecuacion (2.62).

PSO= A2

ck2aP (2.62)

Si la aproximacion de la ecuacion (2.61) es valida (el valor de CNR es elevado), el detector de envolventeha eliminado la componente en cuadratura del ruido a la salida. El termino ruidoso de la ecuacion (2.61)solo depende de la componente en fase del ruido a la entrada.

Para determinar la potencia de la componente de ruido a la salida es necesario determinar la densidadespectral de potencia de la componente en fase. La densidad espectral de potencia de la componente en


fase es igual que la de la componente en cuadratura segun la ecuacion (2.21). Teniendo en cuenta que ladensidad espectral de potencia del ruido paso banda viene dada por la ecuacion (2.4) o por la figura 2.4, ladensidad espectral de la componente en fase y de la componente en cuadratura viene dada por la ecuacion(2.22) o por la figura 2.8. Entonces se puede determinar la potencia de la componente de ruido de la salidadel receptor PNO

, obteniendose la ecuacion (2.63). La SNR a la salida viene dada por la ecuacion (2.64).

PNO= 2WN0 (2.63)

SNRO =PSO

PNO

=A2ck

2aP

2WN0(2.64)

Ahora, el valor FOM viene dado por la ecuacion (2.65) y la relacion entre la SNR a la salida y a laentrada por la ecuacion (2.66). En este caso a diferencia de lo que ocurrıa para SSB o DSB, el valor deFOM es siempre menor que la unidad. Es decir, el sistema AM es siempre peor que el de la figura 1.1 o loque es lo mismo es peor que transmitir la senal sin modular. Tambien podemos decir que AM es siemprepeor de DSB y SSB. Esto es debido fundamentalmente al desperdicio de potencia debido a transmitir laportadora.

FOM =SNROSNRC

=k2aP

1 + k2aP

(2.65)

SNROSNRI

=2k2aP

1 + k2aP

(2.66)

2.4.2 Para CNR Elevado con Moduladora Sinusoidal.

Si la senal moduladora m(t) es sinusoidal segun la ecuacion (2.67), donde Am es la amplitud de lamoduladora y fm la frecuencia, la expresion para la senal modulada s(t) viene dada por la ecuacion (2.68),donde µ es el ındice de modulacion que viene dado por la ecuacion (2.69). Para no tener sobremodulacionel ındice de modulacion µ debe ser menor que la unidad.


s(t) = Ac[1 + µ cos(2πfmt)] cos(2πfct) (2.68)

µ = kaAm (2.69)

La potencia P de la senal moduladora m(t) viene dada en este caso por la ecuacion (2.70). Usando lasecuaciones (2.65), (2.69) y (2.70), se tiene la ecuacion (2.71) para el valor FOM.

18 Capıtulo 2

ψ(t)

ψ(t)+A c A ckam(t)

Fase

Resultanter(t)

Cuadratura

Figura 2.14 Diagrama fasorial de la senal a la entrada del detector de envolvente para CNR pequeno.

P =A2m

2(2.70)

FOM =µ2

2 + µ2(2.71)

El caso mas favorable es para µ = 1 para el que el valor FOM=1/3. Para tener la misma calidad quetransmitir la senal sin modular, que DSB o que SSB es necesario transmitir la senal con tres veces maspotencia en las mismas condiciones de ruido en el canal.

2.4.3 Para CNR Pequeno: Efecto Umbral en AM.

Cuando el valor de CNR es pequeno (ya diremos mas adelante cuanto de pequeno), el ruido es el terminoque predomina y el analisis y funcionamiento del detector cambia totalmente. En este caso, es mas conve-niente utilizar para el ruido paso banda n(t) su representacion como envolvente r(t) y fase ψ(t) (en lugarde en funcion de las componentes en fase nc(t) y cuadratura ns(t)). En este caso la senal x(t) a la entradadel detector de envolvente viene dada por la ecuacion (2.72).

x(t) = s(t) + n(t) = Ac[1 + kam(t)] cos(2πfct) + r(t) cos(2πfct+ ψ(t)) (2.72)

Si el valor de CNR es muy pequeno la envolvente del ruido r(t) es mucho mayor que el termino de senalAc[1 + kam(t)] la mayor parte del tiempo. En la figura 2.14 podemos ver un diagrama fasorial para lasenal a la entrada del detector de envolvente x(t). Como se puede ver en esta figura se ha utilizado comoreferencia el ruido n(t), puesto que es el termino que predomina. La salida y(t) del detector de envolventeideal viene dada por la resultante de sumar ambos fasores.

A partir de la figura 2.14 si el termino de senal es muy pequeno, la salida y(t) del detector de envolvente(la resultante) se puede aproximar por la suma de la envolvente del ruido mas la proyeccion del termino


de senal en la direccion del ruido, obteniendose la ecuacion (2.73). En definitiva estamos despreciando lacomponente en cuadratura de la senal con respecto al ruido.

y(t) ≈ r(t) +Ac cos[ψ(t)] +Ackam(t) cos[ψ(t)] (2.73)

La ecuacion (2.73) revela el hecho de que cuando el valor de CNR es pequeno, la senal detectada notiene ningun termino de senal. En el ultimo termino la senal moduladora m(t) viene multiplicada por eltermino ruidoso cos[ψ(t)]. Puesto que la fase del ruido ψ(t) esta uniformemente distribuida en el intervalo[−π, π] tenemos una perdida total de informacion. La perdida completa de senal a la salida del detector deenvolvente cuando el valor de CNR es pequeno se conoce como efecto umbral en AM. Por umbral seentiende el valor de CNR por debajo del cual el funcionamiento frente al ruido del detector de envolventese deteriora mucho mas rapidamente que de forma proporcional al valor de CNR.

Nos falta determinar el valor de CNR a partir del cual estamos por encima del umbral. El analisisdetallado es complicado, pero se puede hacer una aproximacion. Si R es la variable aleatoria obtenidaobservando la envolvente del ruido r(t) para un instante de tiempo fijo, un detector de envolvente se esperaque funcione dentro de la region umbral si la probabilidad de que R exceda la amplitud de la portadoraAc es de 0,5. Por otro lado, si esa probabilidad es de 0,01, el detector estara funcionando por encima delumbral.

La envolvente r(t) de un ruido Gaussiano de banda estrecha n(t) tiene distribucion de tipo Rayleigh, porlo que la funcion densidad de probabilidad de la variable aleatoria R viene dada por la ecuacion (2.74),donde σ2

N es la varianza del ruido n(t). Esta varianza, puesto que la media del ruido es cero, coincide conla potencia del ruido a la entrada PNI

por lo que se tiene la ecuacion (2.75).

fR(r) =r

σ2N

exp(− r

2σ2N

)u(r) (2.74)

σ2N = PNI

= BTN0 = 2WN0 (2.75)

La probabilidad de que R ≥ Ac viene dada por la ecuacion (2.76).

P (R ≥ Ac) =∫ ∞

Ac

fR(r)dr = exp(− A2

c

4WN0

)(2.76)

Teniendo en cuenta que la CNR ρ viene dada por la ecuacion (2.57), la probabilidad de que R ≥ Acse puede poner simplemente segun la ecuacion (2.77). Despejando el valor de CNR ρ se tiene la ecuacion(2.78).

P (R ≥ Ac) = exp(−ρ) (2.77)

ρ = ln1

P (R ≥ Ac)(2.78)

Para cuando estamos justo en el umbral la probabilidad de que R ≥ Ac es 0,5 por lo que se tiene laecuacion (2.79). Para un valor de CNR de −1,6 dB el detector de envolvente estara en funcionando en el

20 Capıtulo 2

umbral. Para cuando estamos fuera (por encima) del umbral la probabilidad de que R ≥ Ac es 0,01 porlo que se tiene la ecuacion (2.80). Para un valor de CNR de 6,6 dB el detector de envolvente estara enfuncionando por encima del umbral, por lo que seran aplicables las expresiones del apartado 2.4.1. Puestoque para tener inteligibilidad (calidad suficiente), se necesita un valor de CNR muy superior a 6,6 dB, elefecto umbral no es demasiado importante en AM con detector de envolvente ya que la zona de trabajosiempre esta muy por encima del umbral.

ρ = ln 2 = 0,69 (−1,6 dB) (2.79)

ρ = ln 100 = 4,6 (6,6 dB) (2.80)

3ANALISIS DEL RUIDO EN FM.

3.1 RECEPTORES DE FM Y MODELO FUNCIONAL.

Vamos a analizar ahora el efecto del ruido en los sistemas FM. Empezaremos estudiando los elementos deun receptor FM. Como ocurre con AM suelen ser heterodinos. La diferencia es que ahora el demoduladorde AM se sustituye por un limitador, un discriminador de frecuencia y un filtro paso bajo como podemosver en la figura 3.1.

Los parametros de FM comercial son los siguientes:

Rango RF: 88 a 108 MHz.

Frecuencia IF: 10,7 MHz.

Ancho de banda de transmision BT : 200 KHz.

En los sistemas FM, la informacion se transmite variando la frecuencia instantanea de una portadorasinusoidal, mientras que su amplitud se mantiene constante. Cualquier variacion de la amplitud de la porta-dora en el extremo del receptor se debe a ruido o interferencias introducidas en el canal de comunicaciones.El limitador de amplitud tras la seccion IF se utiliza para eliminar las variaciones de amplitud recortando lasenal modulada casi hasta el eje horizontal (para hacer esto se puede utilizar un transistor o un amplificadortrabajando en saturacion). La senal cuadrada resultante se redondea utilizando un filtro paso banda queelimina los armonicos de la frecuencia de la portadora. La salida tiene forma sinusoidal con la amplitudconstante e independiente de la amplitud de la senal de entrada, pero con la fase y frecuencia exactamenteiguales a los de la entrada. El limitador y el filtro paso banda forman un unico bloque.

El discriminador consta de:

Un circuito pendiente o derivador con funcion de transferencia imaginaria pura que varıa linealmentecon la frecuencia. Da lugar a una modulacion hıbrida en amplitud y frecuencia.

Un detector de envolvente que recupera la senal moduladora de las variaciones de la amplitud de lasenal de entrada.

Señal FMDiscriminador

con Ruido RFSeccion

Mezclador

LocalOscilador

SeccionIF

LimitadorSeñal deSalida

Filtro PasoBajo

Figura 3.1 Receptor de FM heterodino.

21

22 Capıtulo 3

DiscriminadorLimitadorFiltro Paso

BajoFiltro IF

Equivalente

x(t) v(t)y(t)s(t)

w(t)

Figura 3.2 Modelo funcional de receptor de FM empleado para el analisis del ruido.

B T

f− c

B T

fc

HIF(f)

f

1

Figura 3.3 Respuesta en amplitud del filtro IF equivalente.

El circuito pendiente y el detector de envolvente suelen ir en un unico bloque en modo balanceado.

El filtro paso bajo de salida se llama filtro de postdeteccion y tiene un ancho de banda W igual queel de la senal moduladora m(t). Este filtro elimina las componentes fuera de banda del ruido a la salida deldiscriminador y mantiene el nivel de ruido a la salida lo menor posible.

Para evaluar el ruido en un receptor de FM vamos a utilizar el modelo funcional de la figura 3.2. El ruidow(t) es AWGN, de media cero y densidad espectral de potencia dada por la ecuacion (3.1).

SW (f) =N0

2(3.1)

El filtro IF equivalente representa la combinacion de la seccion RF, del mezclador y de la seccion IF.Vamos a suponer que es un filtro paso banda ideal con una frecuencia central fc igual a la frecuencia IF ycon ancho de banda el de transmision BT de forma que deje pasar la senal modulada s(t) sin distorsion.En la figura 3.3 podemos ver la respuesta en amplitud de este filtro.

Se va a utilizar la representacion habitual del ruido filtrado n(t) en funcion de sus componentes en fasey cuadratura. El limitador elimina cualquier variacion de la amplitud de la senal a la salida del filtro IFequivalente. El discriminador de frecuencias se supone que es ideal de modo que la salida es proporcionala la desviacion de la frecuencia instantanea con respecto a la de la portadora fc. El filtro de postdeteccionse supone ideal con un ancho de banda W .

La senal x(t) a la salida del filtro IF equivalente viene dada por la ecuacion (3.2), donde n(t) es el ruidoa la salida del filtro IF equivalente cuando a la entrada tenemos el ruido blanco w(t). Podemos poner ladensidad espectral de potencia del ruido filtrado n(t) segun la ecuacion (3.3) y la figura 3.4. Este ruidose puede considerar de banda estrecha, puesto que el ancho de banda BT suele ser bastante menor que lafrecuencia de la portadora fc en la banda IF.

x(t) = s(t) + n(t) (3.2)

Analisis del Ruido en FM. 23

B T

f− c

B T

fc

S N (f)

N0

2

f

Figura 3.4 Densidad espectral del ruido a la salida del filtro IF equivalente.

SN (f) =

N02 fc − BT

2 ≤ |f | ≤ fc + BT

2

0 En otro caso(3.3)

3.2 SNR Y FOM EN RECEPTORES DE FM PARA CNRELEVADO.

La senal de modulada s(t) tras el filtro IF equivalente viene dada por la ecuacion (3.4), donde Ac es laamplitud de la portadora, fc la frecuencia de la portadora, kf la sensibilidad en frecuencia del moduladory m(t) la senal moduladora. Por conveniencia vamos a definir la fase de la senal modulada φ(t) segun laecuacion (3.5), por lo que podemos poner la senal modulada s(t) segun la ecuacion (3.6).

s(t) = Ac cos[2πfct+ 2πkf

∫m(t)dt

](3.4)

φ(t) = 2πkf∫m(t)dt (3.5)

s(t) = Ac cos[2πfct+ φ(t)] (3.6)

La potencia de la senal a la entrada PSIcoincide con la de la portadora PC y viene dada por la ecuacion

(3.7). Ademas, la potencia de ruido en el ancho de banda W de la senal moduladora m(t) (potencia deruido del canal PNC

) viene dada por la ecuacion (3.8). Dividiendo ambas potencias obtenemos la SNR delcanal segun la ecuacion (3.9).

PSI= PC =

A2c

2(3.7)

PNC= WN0 (3.8)

24 Capıtulo 3

SNRC =PSI

PNC

=A2c

2WN0(3.9)

Si BT es el ancho de banda de la senal modulada s(t) la potencia de ruido en este ancho de banda(potencia de ruido a la entrada PNI

) viene dada por la ecuacion (3.10). Ahora podemos calcular la SNR ala entrada segun la ecuacion (3.11). La potencia de portadora PC viene dada, como ya hemos dicho, por laecuacion (3.7), por lo que la CNR viene dada entonces por la ecuacion (3.11), es decir, la SNR a la entraday la CNR coinciden en FM debido a que la potencia de la senal a la entrada PSI

coincide con la potenciade la portadora PC .

PNI= BTN0 (3.10)

ρ = CNR = SNRI =PSI

PNI

=A2c

2BTN0(3.11)

El ruido de banda estrecha a la salida del filtro IF equivalente viene definido en su forma canonica enfuncion de sus componentes en fase nc(t) y en cuadratura ns(t) segun la ecuacion (3.12). El ancho de bandade este ruido es el del filtro de frecuencia IF equivalente BT que es el mismo que el ancho de banda de lasenal modulada s(t). Ademas como la frecuencia central de la banda IF coincide con la frecuencia de laportadora fc, lo mismo ocurre para el ruido n(t) segun se deduce de la ecuacion (3.12).


De forma equivalente se puede expresar el ruido de banda estrecha n(t) en terminos de su envolventenatural r(t) y su fase ψ(t) segun la ecuacion (3.13). La componente en fase nc(t), la componente en cua-dratura ns(t), la envolvente natural r(t) y la fase del ruido ψ(t) estan relacionados mediante las ecuaciones(3.14), (3.15), (3.16) y (3.17), respectivamente.

n(t) = r(t) cos(2πfct+ ψ(t)) (3.13)

r(t) =√n2c(t) + n2

s(t) (3.14)

ψ(t) = atan[ns(t)nc(t)

](3.15)

nc(t) = r(t) cos[ψ(t)] (3.16)

ns(t) = r(t) sin[ψ(t)] (3.17)

La envolvente natural del ruido r(t) tiene distribucion Rayleigh, mientras que la fase del ruido ψ(t)esta distribuida uniformemente en el intervalo [−π, π].


θ(t) φ(t)

φ(t)

A c

ψ(t)

r(t)

Resultante

Fase

Cuadratura

Figura 3.5 Diagrama fasorial para la senal a la salida del filtro IF equivalente.

La senal completa x(t) a la salida del filtro IF equivalente viene dada por la ecuacion (3.18). En la figura3.5 podemos ver un diagrama fasorial para la senal x(t). La fase θ(t) del fasor resultante se puede obtener deforma sencilla a partir del diagrama fasorial de la figura 3.5 obteniendose la ecuacion (3.19). La envolventede x(t) no nos interesa puesto que las posibles variaciones de esta son eliminadas por el limitador.

x(t) = s(t) + n(t) = Ac cos[2πfct+ φ(t)] + r(t) cos(2πfct+ ψ(t)) (3.18)

θ(t) = φ(t) + atan{

r(t) sin[ψ(t)− φ(t)]Ac + r(t) cos[ψ(t)− φ(t)]

}(3.19)

Si suponemos que el discriminador de frecuencia es ideal la senal v(t) a la salida de este vendra dada porla ecuacion (3.20). Debido a que la expresion de la fase θ(t) de la resultante dado por la ecuacion (3.19)tiene una expresion complicada, debemos hacer algun tipo de aproximacion para poder continuar.

v(t) =12π

dθ(t)dt

(3.20)

Vamos a suponer que el valor de CNR es elevado (ya veremos cuanto de elevado). Sea R la variablealeatoria obtenida observando la envolvente natural del ruido r(t) en un instante fijo del tiempo. Entonces,la mayor parte del tiempo la variable aleatoria R es pequena comparada con la amplitud de la portadoraAc, por lo que, la expresion para la fase θ(t) dada por la ecuacion (3.19) se puede simplificar, obteniendosela ecuacion (3.21).

θ(t) ≈ φ(t) +r(t)Ac

sin[ψ(t)− φ(t)] (3.21)

Usando ahora la ecuacion (3.5) para la fase φ(t) de la senal modulada s(t), la ecuacion (3.21) pasa a serla ecuacion (3.22).

θ(t) ≈ 2πkf∫m(t)dt+

r(t)Ac

sin[ψ(t)− φ(t)] (3.22)

26 Capıtulo 3

La salida del discriminador v(t) segun la ecuacion (3.20) viene dada entonces por la ecuacion (3.23),donde el termino ruidoso nd(t) viene dado por la ecuacion (3.24).

v(t) =12π

dθ(t)dt

≈ kfm(t) + nd(t) (3.23)

nd(t) =1

2πAcd

dt{r(t) sin[ψ(t)− φ(t)]} (3.24)

Ahora la senal v(t) se pasa por el filtro paso bajo de postdeteccion con ancho de banda W que esprecisamente el ancho de banda de la senal moduladora m(t), obteniendose la senal y(t) dada por laecuacion (3.25), donde no(t) es la version filtrada de la componente de ruido nd(t) a la salida del filtro depostdeteccion.

y(t) ≈ kfm(t) + no(t) (3.25)

Para un valor de CNR elevado, como se deduce de la ecuacion (3.25), a la salida tenemos sumados eltermino de senal y el termino de ruido, por lo que se va a poder calcular la potencia de cada uno de ellospor separado. Con respecto a la potencia de la componente de senal a la salida PSO

, viene dada por laecuacion (3.26), siendo P la potencia de la senal moduladora m(t).

PSO= k2

fP (3.26)

Con respecto a la potencia de la componente ruidosa a la salida no(t), es necesario simplificar la ecuacion(3.24) para poder continuar. En el diagrama fasorial de la figura 3.5 se puede ver que el efecto de lasvariaciones de la fase del ruido ψ(t) aparecen referidas al termino de fase de la senal φ(t). Se sabe que lafase del ruido ψ(t) esta uniformemente distribuida en el intervalo [−π, π]. Por lo tanto, se puede asumirque ψ(t) − φ(t) tambien esta uniformemente distribuido en el intervalo [−π, π]. Si esto es cierto, entoncesla componente ruidosa nd(t) a la salida del discriminador va a ser independiente de la senal moduladoray va a depender exclusivamente de la amplitud de la portadora Ac y del ruido de banda estrecha n(t).Esta condicion se puede comprobar que es justificable si el valor de CNR es elevado. Entonces, la ecuacion(3.24) se puede simplificar, obteniendose la ecuacion (3.27). Ademas teniendo en cuenta la ecuacion (3.17)se puede poner finalmente la ecuacion (3.28) para la componente ruidosa nd(t) a la salida del discriminadorde frecuencia. El ruido aditivo nd(t) que aparece a la salida del discriminador esta determinado por laamplitud de la portadora y por la componente en cuadratura del ruido paso banda ns(t).

nd(t) ≈1

2πAcd

dt{r(t) sin[ψ(t)]} (3.27)

nd(t) ≈1

2πAcdns(t)dt

(3.28)

Para determinar la potencia de la componente ruidosa tras el filtro paso bajo de postdeteccion, hay quetener en cuenta que la componente de ruido a la entrada de este filtro es proporcional a la derivada de


B2

T−B2

T

S (f)Nc= S (f)Ns

N0

f

Figura 3.6 Densidad espectral de la componente en fase y cuadratura del ruido.

la componente en cuadratura ns(t) del ruido paso banda. Derivar en el dominio del tiempo es equivalentea multiplicar por j2πf en el dominio de la frecuencia. De aquı se deduce que la senal ruidosa nd(t) sepuede determinar pasando la componente en cuadratura del ruido ns(t) por un sistema con funcion detransferencia H(f) dada por la ecuacion (3.29). Entonces, la relacion entre las densidades espectrales dend(t) y ns(t) viene dada por la ecuacion (3.30).

H(f) =j2πf2πAc

=jf

Ac(3.29)

SND(f) = SNS

(f)|H(f)|2 =f2

A2c

SNS(f) (3.30)

Lo primero que hay que hacer es calcular la densidad espectral de potencia de la componente en cuadra-tura del ruido ns(t). La densidad espectral de potencia de la componente en fase nc(t) es igual que la dela componente en cuadratura ns(t) segun la ecuacion (3.31). Teniendo en cuenta que la densidad espectralde potencia del ruido paso banda n(t) viene dada por la ecuacion (3.3) o por la figura 3.4, la densidadespectral de la componente en fase y de la componente en cuadratura viene dada por la ecuacion (3.32) opor la figura 3.6.

SNC(f) = SNS

(f) =

SN (f − fc) + SN (f + fc) |f | < BT

2


SNC(f) = SNS

(f) =

N0 |f | ≤ BT

2


La densidad espectral de la componente ruidosa nd(t) viene ahora dada por la ecuacion (3.33) o por lafigura 3.7.

SND(f) =

N0f

2

A2c

|f | ≤ BT

2


28 Capıtulo 3

−B2

T B2

T

SN D

(f)

f

Figura 3.7 Densidad espectral de la componente ruidosa nd(t) a la entrada del filtro de postdeteccion.

SN O

(f)

f−W W

Figura 3.8 Densidad espectral de la componente ruidosa no(t) a la salida del filtro de postdeteccion.

La componente ruidosa no(t) a la salida del filtro de postdeteccion tendra la misma densidad espectralque nd(t) pero con un ancho de banda W , puesto que las componentes frecuenciales entre W y BT /2 soneliminadas por el filtro paso bajo. La densidad espectral de potencia de la componente ruidosa a la salidano(t) viene dada por la ecuacion (3.34) o por la figura 3.8.

SNO(f) =

N0f

2

A2c

|f | ≤W


Ahora ya se puede calcular la potencia de ruido a la salida del receptor PNO, obteniendose la ecuacion

(3.35). La potencia de la portadora PC dada por la ecuacion (3.7) aparece en el denominador de la potenciade ruido a la salida del receptor PNO

, por lo que al aumentar la potencia de portadora disminuye la potenciade ruido a la salida. La SNR a la salida viene dada por la ecuacion (3.36).

PNO=

∫ ∞

−∞SNO

(f)df =N0

A2c

∫ W

−Wf2df =

2N0W3

2A2c

(3.35)


SNRO =PSO

PNO

=3A2

ck2fP

2W 3N0(3.36)

Finalmente, el valor FOM viene dado por la ecuacion (3.37) y la relacion entre la SNR a la salida y a laentrada por la ecuacion (3.38).

FOM =SNROSNRC

=3k2fP

W 2(3.37)

SNROSNRI

=3BT k2

fP

W 3(3.38)

La desviacion maxima en frecuencia ∆f es proporcional a la sensibilidad en frecuencia kf . La relacionde desviacion D es igual al cociente entre la desviacion maxima en frecuencia ∆f y el ancho de banda Wde la senal moduladora m(t). Ademas, en FM de banda ancha el ancho de banda de transmision BT esproporcional a la relacion de desviacion D, por lo que el valor de FOM es una funcion cuadratica del anchode banda de transmision BT segun la ecuacion (3.39). Cuando el valor de CNR es alto, un incremento enel ancho de banda de transmision BT va a dar lugar a un incremento cuadratico en la SNR a la salida oconsecuentemente en el valor FOM.

FOM ∝ B2T (3.39)

3.3 CASO MODULADORA SINUSOIDAL PARA CNRELEVADO.

Si la senal moduladora m(t) es sinusoidal segun la ecuacion (3.40), donde Am es la amplitud de lamoduladora y fm la frecuencia, la expresion para la senal modulada s(t) viene dada por la ecuacion (3.41),donde ∆f es la desviacion maxima de frecuencia que viene dada por la ecuacion (3.42).


s(t) = Ac cos[2πfct+

∆ffm

sin(2πfmt)]

(3.41)

∆f = kfAm (3.42)

Teniendo en cuenta la ecuacion (3.42) la potencia P de la senal moduladora m(t) viene dada por laecuacion (3.43). Usando las ecuaciones (3.36), (3.37), (3.42) y (3.43), se tiene la ecuacion (3.44) para laSNR a la salida y la ecuacion (3.45) para el valor FOM, donde β es el ındice de modulacion dado por

30 Capıtulo 3

la ecuacion (3.46) y teniendo en cuenta que en este caso W = fm. Como se puede ver el valor FOM escuadratico con el ındice de modulacion.

P =A2m

2=

(∆f)2

2k2f

(3.43)

SNRO =3A2

cβ2

4N0W(3.44)

FOM =32β2 (3.45)

β =∆ffm

(3.46)

El caso mas favorable en AM era para ındice de modulacion µ = 1 para el que el valor FOM=1/3. En FMsi el ındice de modulacion β toma un valor elevado se puede mejorar mucho el caso de AM. De hecho paraındice de modulacion β = 0,47, el valor FOM=1/3 y FM coincide con AM. Entonces, cuando el ındice demodulacion β es mayor que 0,47, FM tiene mejor calidad que AM. Puesto que para ındice de modulacionmenor que β = 0,47 estabamos en el caso de FM de banda estrecha, esto nos confirma el hecho de que FMde banda estrecha es equivalente a AM. Para FM de banda ancha la calidad es muy superior a AM.

Comparando con DSB o SSB para los que el valor FOM=1, para el ındice de modulacion β = 0,81, elvalor FOM=1. Por tanto, para ındices de modulacion β superiores a 0,81, FM tiene mejor calidad que DSBo SSB.

3.4 EFECTO CAPTURA.

Un sistema FM tiene la habilidad de minimizar los efectos de senales no deseadas como el ruido, peroesto tambien se puede aplicar a interferencias producidas por otras senales FM con frecuencia portadoracercana a la frecuencia portadora de interes. La eliminacion de la interferencia funciona siempre que estainterferencia sea mas debil que la senal deseada. Cuando la interferencia es mas potente, el sistema seengancha siempre a la frecuencia portadora correspondiente a la senal FM mas potente y elimina a la masdebil. Cuando a la entrada del receptor hay varias senales cercanas a la frecuencia portadora de interesigualmente potentes, el receptor fluctua entre ellas (demodulara aquella que en ese instante de tiempo seaalgo mas potente). Este fenomeno se conoce con el nombre de efecto captura.

3.5 EFECTO UMBRAL EN FM.

La SNR a la salida dada por la ecuacion (3.36) solo es valida para cuando el CNR toma un valor elevado,medido a la entrada salida del filtro IF equivalente. Se puede observar experimentalmente que segun se vaincrementando el ruido, o lo que es lo mismo, segun disminuye el valor de CNR, el receptor de FM deja defuncionar. Primero se oyen unos “clicks” y si la CNR decrece aun mas, los clicks se convierten en un algototalmente ruidoso. Cerca del punto donde el sistema empieza a fallar, la formula de la SNR a la salidadada por la ecuacion (3.36) da un valor mayor del real. Este fenomeno se conoce con el nombre de efectoumbral en FM. El umbral se define como el mınimo valor de CNR que da lugar a una SNR a la salidano demasiado diferente al valor obtenido mediante la ecuacion (3.36).


θ(t) ψ(t)

n c(t)

ns(

t)

A c

Resultante r(t)

Cuadratura

0

P

QFase

Figura 3.9 Diagrama fasorial para la senal a la salida del filtro IF equivalente para la portadora sinmodular.

Para una analisis cuantitativo del efecto umbral, vamos a considerar el caso para el que no hay modulacion,es decir, se transmite la portadora sin modular. En este caso la senal tras el filtro IF equivalente va a venirdada por la ecuacion (3.47), donde nc(t) y ns(t) son, respectivamente, las componentes en fase y cuadraturadel ruido de banda estrecha n(t), con respecto a la frecuencia portadora fc a la salida del filtro IF equivalentey Ac es la amplitud de la portadora.

x(t) = [Ac + nc(t)] cos(2πfct)− ns(t) sin(2πfct) (3.47)

En la figura 3.9 podemos ver un diagrama fasorial para la senal x(t) a la salida del filtro IF equivalentecuando se transmite la portadora sin modular. Como la componente en fase nc(t) y en cuadratura ns(t) delruido cambian con el tiempo de forma aleatoria, el punto P varıa de forma aleatoria en torno al punto Q enla figura 3.9. Cuando el valor de CNR es grande, nc(t) y ns(t) son mucho mas pequenos que la amplitud dela portadora Ac la mayor parte del tiempo y el punto P siempre va a estar en un entorno cercano al puntoQ. La fase de la resultante θ(t) viene dada aproximadamente por la ecuacion (3.48) dentro del intervalo[−π, π].

θ(t) ≈ ns(t)Ac

(3.48)

Segun disminuimos el valor de CNR, el punto P ocasionalmente pasara alrededor del origen haciendoque la fase de la resultante θ(t) se incremente de golpe en ±2π radianes. En la figura 3.10 podemos ver uncaso particular para la fase de la resultante θ(t) donde se pueden apreciar saltos de fase de ±2π radianes.

La senal a la salida del discriminador de frecuencias v(t) viene dada por la ecuacion (3.49).

v(t) =12π

dθ(t)dt

(3.49)

En la figura 3.11 se puede ver la senal v(t) a la salida del discriminador de frecuencias para la fase θ(t)de la figura 3.10. Los saltos de fase de la figura 3.10 han dado lugar a impulsos en la senal v(t) como sepuede ver en la figura 3.11. El area de estos impulsos es aproximadamente igual a ±2π y la altura puedevariar dependiendo de como de cerca pase el punto P del origen en la figura 3.9.

Ahora la senal v(t) pasa a traves del filtro de postdeteccion, que es un filtro paso bajo de ancho debanda W igual al de la senal moduladora m(t), obteniendose la senal a la salida del receptor y(t). En lafigura 3.12, podemos ver la senal y(t) a la salida del receptor para cuando la senal v(t) a la entrada del

32 Capıtulo 3

θ (t)

t

4π

2π

Figura 3.10 Un caso particular para la fase de la resultante donde se pueden apreciar saltos instantaneosde fase.

t

v(t)

Figura 3.11 Senal a la salida del discriminador de frecuencias con clicks.

t

y(t)

Figura 3.12 Senal a la salida del receptor con clicks.

filtro de postdeteccion es la de la figura 3.11. Como se puede ver, el ruido de fondo se ha eliminado, perolos impulsos de la figura 3.11 no se han eliminado, solo se han ensanchado. Estos impulsos a la salidadel receptor corresponden a los clicks que ya hemos mencionado. Se producira un click cada vez que elpunto P de la figura 3.9 pase por detras del origen, o lo que es lo mismo, cada vez que la fase θ(t) cambiebruscamente ±2π radianes.

Del diagrama fasorial de la figura 3.9 se pueden deducir las condiciones de click positivo, que sera cuandola envolvente natural del ruido r(t) y la fase del ruido ψ(t) satisfagan simultaneamente:


r(t) > Ac,

ψ(t) < π < ψ(t) + dψ(t) y

dψ(t)dt > 0.

Estas condiciones aseguran que la fase resultante θ(t) cambia 2π radianes en dt, mientras la fase del ruidoincrementa su valor dψ(t). Para click negativo, las condiciones son ahora:

r(t) > Ac,

ψ(t) > −π > ψ(t) + dψ(t) y

dψ(t)dt < 0.

Segun el valor de CNR va decreciendo, la probabilidad de que el punto P de la figura 3.9 pase por detrasdel origen va aumentando, por lo que el numero medio de clicks por unidad de tiempo va creciendo. Cuandoel numero de clicks es suficientemente significativo estamos en el umbral.

En el caso de que se transmita la portadora sin modular, el numero medio de clicks positivos por segundo,N+, sera el mismo que el numero medio de clicks negativos por segundo, N−. Se puede comprobar que secumple la ecuacion (3.50), donde ρ es el valor de CNR dado por la ecuacion (3.11) y la funcion erfc(x) es lafuncion error complementario dada por la ecuacion (3.51). La ecuacion (3.50) nos dice que el numero declicks es directamente proporcional al ancho de banda de transmision BT e inversamente proporcional a laCNR (la funcion erfc(x) es decreciente ya que el intervalo de integracion va disminuyendo segun aumentax).

N+ = N− =BT

4√

3erfc (

√ρ) (3.50)

erfc(x) =2√π

∫ ∞

x

exp(−z2)dz (3.51)

La SNR a la salida se calcula ahora como sigue:

Para determinar la potencia media de senal a la salida del receptor se considera que no tenemos ruidoa la entrada del receptor. Ademas se supone que la senal moduladora es sinusoidal con desviacionmaxima de frecuencia ∆f igual a la mitad del ancho de banda de transmision BT , es decir, se cumplela ecuacion (3.52), de forma que la frecuencia instantanea varıa hacia adelante y hacia atras en todoel ancho de banda BT .

∆f =BT2

(3.52)

La potencia media de ruido a la salida se calcula cuando se transmite la portadora sin modular, perosin restricciones en el valor de CNR.

Haciendo esto, el valor obtenido para la SNR a la salida viene dado por la ecuacion (3.53). Segun el valorde CNR va aumentando, el denominador de la ecuacion (3.53) tiende a la unidad por lo que esta ecuacion

34 Capıtulo 3

se puede aproximar por la ecuacion (3.54), para CNR elevado. Ya que se cumple la ecuacion (3.52), el ındicede modulacion en este caso viene dado por la ecuacion (3.55). Teniendo en cuenta la ecuacion (3.11) parael valor de CNR y la ecuacion (3.55) para el ındice de modulacion, se puede ver que la aproximacion dadapor la ecuacion (3.54) para la SNR a la salida es exactamente igual a la ecuacion (3.44) para la SNR a lasalida con moduladora sinusoidal y CNR elevado.

SNRO =3ρ

(BT

2W

)3

1 + 4√

3ρ(BT

2W

)2erfc(

√ρ)

(3.53)

SNRO ≈ 3ρ(BT2W

)3

(3.54)

β =∆fW

=BT2W

(3.55)

En la figura 3.13 podemos ver tres curvas de SNR a la salida en funcion del valor de CNR ambas enunidades logarıtmicas, para ındice de modulacion β = 5. La explicacion de cada una de las curvas es lasiguiente:

La curva I corresponde a la aproximacion dada por la ecuacion (3.44) o equivalentemente por laecuacion (3.54) bajo la suposicion de un valor de CNR elevado. Como podemos ver esta curva es linealen escala logarıtmica.

La curva II viene dada por la ecuacion (3.53). Esta curva se desvıa de la curva lineal I para valoresde CNR inferiores de 10 dB. Para valores mayores de CNR coincide exactamente con la curva I lineal.Esta curva esta calculada, como ya hemos dicho, bajo las suposiciones de que la potencia de senal ala salida del receptor este calculada para moduladora sinusoidal con desviacion maxima de frecuenciadada por la ecuacion (3.52) y la potencia del ruido para cuando se transmita la portadora sin modular.

La curva III ha sido calculada teoricamente cuando a la salida esta presente tanto el ruido como lasenal (usando siempre moduladora sinusoidal). La presencia del ruido tiende a reducir la potenciade senal una pequena cantidad, sin embargo esta reduccion es practicamente despreciable y se puedetomar como potencia de senal la misma que la usada para la curva II. Por otro lado, la potencia deruido depende de la presencia de la senal de una forma mucho mas marcada. De hecho la curva III sedesvıa acusadamente de la curva II debido fundamentalmente a este efecto. Segun el valor de CNR vadecreciendo, la SNR a la salida se desvıa apreciablemente de la curva I lineal y tambien de la curva IIa partir de unos 11 dB.

Cuando la senal esta siempre presente aumenta el numero de clicks por segundo. Experimentalmentese empiezan a oır clicks para valores de CNR en torno a 13 dB, que es un valor ligeramente superior aldeterminado teoricamente a partir de las curvas de la figura 3.13. Para las curvas II y III se desviaban dela curva I lineal en torno a 10 y 11 dB, respectivamente. Ademas como hemos visto para valores de CNRpor debajo de este valor, la curva III cae mas rapidamente que la II.

Se puede terminar diciendo que el efecto umbral en FM se evitara siempre que el valor de CNR este porencima de 13 dB, que en unidades naturales es 20. Puesto el valor de CNR viene dado por la ecuacion(3.11), si este tiene que ser mayor que 20, se puede poner la ecuacion (3.56), siendo PC = PSI

la potenciade la senal portadora que es igual a la potencia transmitida de senal modulada.

PC = PSI≥ 20BTN0 (3.56)


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2010

15

20

25

30

35

40

10lo

g10

SNR

O,

dB

10log 10ρ , dB

Curva II

Curva III

Curva I

Figura 3.13 SNR a la salida en funcion del valor de CNR.

Se puede deducir que:

Conociendo el ındice de modulacion β, o la relacion de desviacion D y el ancho de banda W de lasenal moduladora, se puede utilizar la regla de Carson o la del 1 % para calcular el ancho de banda detransmision BT .

36 Capıtulo 3

, dB

SNR

O

UmbralExtendido

Umbral CNR, dB

Figura 3.14 Efecto en la SNR a la salida en un receptor con extension o reduccion del umbral.

Para un valor dado de densidad espectral de potencia de ruido N0 en el canal (potencia de ruido porunidad de ancho de banda), la potencia mınima de senal transmitida necesaria PSI

para trabajar porencima del umbral, segun la ecuacion (3.56), es 20BTN0, o lo que es lo mismo 20 veces la potencia deruido en el ancho de banda BT de la senal modulada, (20 veces PNI

dada por la ecuacion (3.10)).

3.6 REDUCCION DEL UMBRAL.

En ciertas aplicaciones como en las comunicaciones vıa satelite, hay un interes particular por reducir elumbral de ruido en un receptor de FM de modo que funcione con el mınimo de potencia de senal transmitidaposible. La reduccion del umbral en los receptores de FM se puede lograr utilizando un demodulador deFM con realimentacion negativa (FMFB: FM Feedback) o utilizando un demodulador PLL (PhaseLocked Loop). Estos dispositivos se suelen denominar demoduladores con extension del umbral. Enla figura 3.14 podemos ver graficamente el efecto de extender o reducir el umbral con respecto al umbraldel receptor basado en el discriminador de frecuencia.

En la figura 3.15 podemos ver un esquema de FMFB. En este caso se ha reemplazado el osciladorconvencional que sirve de entrada al mezclador por un VCO cuya frecuencia instantanea a la salida vienecontrolada por la senal a su entrada. Para comprender el funcionamiento de este receptor, supongamos queeliminamos el VCO del circuito y la lınea de realimentacion la dejamos abierta.

Supongamos que una senal FM de banda ancha se aplica a la entrada del receptor y una segunda senalFM de la misma fuente pero con ındice de modulacion ligeramente inferior, se aplica como segunda entradaal mezclador (en lugar del oscilador convencional). La senal a la salida del mezclador viene dada por la dife-rencia frecuencial de las dos entradas, puesto que las componentes frecuenciales suma se eliminan medianteel filtro IF equivalente. La desviacion en frecuencia de la senal a la salida del mezclador sera pequena,aunque la desviacion en ambas entradas del mezclador sea grande, puesto que la diferencia entre ambases pequena. Es decir, los ındices de modulacion se restan y la senal FM resultante tendra un ındice demodulacion pequeno.


DiscriminadorLimitadorFiltro Paso

BajoFiltro IF

Equivalente

VCO

MezcladorSeñal

FM

Señal de

Salida

Figura 3.15 Diagrama de bloques de un demodulador empleando FMFB.

La senal FM con ındice de modulacion reducido se pasa a traves del filtro IF cuyo ancho de bandasera solo una fraccion del requerido para la senal FM de banda ancha y despues se demodula en frecuencia.La segunda senal FM de banda ancha que se aplica al mezclador se puede obtener realimentando la salidadel demodulador a traves del VCO.

Vamos a ver ahora como cuando el valor de CNR a la entrada es alto el receptor FMFB tiene el mismovalor de SNR a la salida que el receptor de FM convencional para el mismo valor de CNR o la misma SNRa la entrada.

Si no tenemos realimentacion y tenemos una portadora sin modular Ac cos(2πfct) y un ruido de bandaestrecha n(t) = nc(t) cos(2πfct) − ns(t) sin(2πfct), la fase de la senal suma x(t) a la entrada del demo-dulador (limitador y discriminador) es aproximadamente igual a ns(t)/Ac si el valor de CNR es elevado.La envolvente de la senal x(t) no nos interesa puesto que el limitador elimina cualquier variacion de esta.La senal a la entrada del discriminador es una senal modulada en fase por la componente en cuadraturadel ruido ns(t). Ademas puesto que el valor de CNR es elevado, ns(t) es pequena y por tanto el ındice demodulacion de fase sera pequeno. Cuando aplicamos la realimentacion, el VCO genera una senal que reduceel ındice de modulacion de fase aun mas. Cuando el valor de CNR es elevado demodula de la misma formatanto la senal de interes m(t) como la derivada de la componente en cuadratura del ruido ns(t), mientrasque elimina la componente en fase del ruido. Al aplicar la realimentacion la senal y el ruido se reducen dela misma forma, por lo que el valor de SNR a la salida permanece constante.

Sin embargo, el receptor de FMFB puede desplazar el umbral, puesto que a diferencia del receptor FMconvencional, utiliza informacion a priori: aunque la senal FM a la entrada tenga desviacion en frecuenciaelevada, la velocidad de cambio viene dada por la velocidad de la senal banda base al reducir el ancho debanda de transmision BT al ancho de banda de FM de banda estrecha que es 2W siendoW el ancho de bandade la senal moduladora m(t). Un demodulador FMFB es basicamente un filtro de seguimiento (TrackingFilter) que puede seguir unicamente las variaciones lentas de la senal FM de banda ancha de entrada, y deforma similar, responde unicamente al ruido de banda estrecha centrado en la frecuencia portadora (recordarque el numero de clicks por unidad de tiempo dado por la ecuacion (3.50) era directamente proporcional alancho de banda, por lo que reducir el ancho de banda a la entrada del demodulador va a reducir la posiciondel umbral). El ancho de banda de ruido al cual el receptor FMFB responde es precisamente la banda deruido que el VCO puede seguir. El resultado es que un receptor FMFB es capaz de reducir el umbral de5 a 7 dB, lo que significa una mejora considerable para sistemas disenados para trabajar con potencia detransmision mınima.

El demodulador PLL tiene propiedades de reduccion del umbral similares al sistema FMFB. Como elFMFB, el PLL tambien se puede considerar un filtro de seguimiento que deja pasar unicamente la banda delruido que precisamente el VCO es capaz de seguir. Los mecanismos por los que ambos detectores reducenel umbral son similares, sin embargo tienen detalles diferentes. En muchos casos el funcionamiento y lasprestaciones de ambos sistemas son muy similares, pero se decide emplear el PLL puesto que es mas sencillode construir.

38 Capıtulo 3

SN 0

(f)

f0 W−W

Figura 3.16 Densidad espectral de potencia de ruido a la salida de un receptor de FM.

SM(f)

0f

−W W

Figura 3.17 Densidad espectral de potencia tıpica para la senal moduladora.

3.7 REDES DE PRE-ENFASIS Y DE-ENFASIS.

El ruido a la salida de un detector FM, como ya hemos dicho, tiene dependencia cuadratica con respectoa la frecuencia (crece rapidamente con la frecuencia) segun podemos ver en la figura 3.16, mientras quela densidad espectral de potencia tıpica de una senal moduladora de audio o vıdeo, como puede verse enla figura 3.17, cae apreciablemente para alta frecuencia. Cerca de las frecuencias f = ±W la potencia deruido es elevada, mientras que la potencia de senal es baja. No se esta utilizando el ancho de banda W dela senal modulada de forma eficiente frente al ruido.

Una forma de mejorar las prestaciones del sistema es reducir el ancho de banda W del filtro de postdetec-cion para eliminar la mayor cantidad posible de ruido perdiendo a cambio una pequena cantidad de senal.Esta solucion no es satisfactoria porque la distorsion debido a la reduccion del ancho de banda aunque seapequena no es tolerable. Por ejemplo, en una senal musical, aunque las componentes frecuenciales elevadascontribuyen poco a la potencia total de la senal, contribuyen mucho desde el punto de vista estetico.

Una solucion mas satisfactoria es la utilizacion mas eficiente en potencia del ancho de banda W utilizandouna red de pre-enfasis a la entrada del transmisor y una red de de-enfasis a la salida del receptor, comopodemos ver en la figura 3.18. Este metodo enfatiza artificialmente (pre-enfasis) las componentes elevadasde la senal modulada antes de modularla y antes por tanto de que se haya introducido el ruido. El efecto esque la senal moduladora se ecualiza de forma que la potencia se reparta por igual en el ancho de banda W .En el extremo final del receptor se lleva a cabo el procedimiento inverso (de-enfasis) para volver a repartirla potencia de la senal moduladora como en la senal original. En este proceso la potencia del ruido a altafrecuencia a la salida del discriminador, al pasar por el proceso de de-enfasis, se reduce considerablemente,incrementando la SNR a la salida. Las redes de pre-enfasis y de-enfasis se utilizan de forma generalizadaen la transmision y recepcion de FM.


w(t)

Pre−enfasisFiltro de Filtro de

De−enfasisTransmisor Receptor

Señal

Entrada Salida

Señal

Figura 3.18 Redes de pre-enfasis y de-enfasis en FM.

Para que la senal a la salida sea una version sin distorsion de la senal moduladora m(t), los filtros de pre-enfasis y de-enfasis deben ser inversos en el ancho de bandaW segun la ecuacion (3.57). Esta restriccion haceque el sistema extremo a extremo, considerado con respecto a la senal moduladora m(t), sea independientedel proceso de pre-enfasis y de-enfasis.

Hde(f) =1

Hpe(f)|f | ≤W (3.57)

Teniendo en cuenta que la densidad espectral de potencia a la salida del filtro de postdeteccion vienedada por la ecuacion (3.34), la potencia media de ruido a la salida del filtro de de-enfasis PNde

se puededeterminar mediante la ecuacion (3.58).

PNde=N0

A2c

∫ W

−Wf2|Hde(f)|2df (3.58)

Puesto que el proceso de pre-enfasis y de-enfasis extremo a extremo no afecta a la potencia de la senalmoduladora a la salida, la mejora en SNR a la salida viene dada por la ecuacion (3.59), donde PNO

esla potencia media de ruido a la salida sin de-enfasis que venıa dada por la ecuacion (3.35). Usando lasecuaciones (3.35) y (3.58) se obtiene la ecuacion (3.60) para la mejora en SNR a la salida. En la ecuacion(3.60) se ha supuesto que el valor de CNR es elevado, puesto que la ecuacion (3.35) para la potencia delruido PNO

a la salida sin de-enfasis es valida unicamente para un valor de CNR elevado.

D =PNO

PNde

=Potencia media de ruido a la salida sin pre-enfasis y de-enfasisPotencia media de ruido a la salida con pre-enfasis y de-enfasis

(3.59)

D =2W 3

3∫W−W f2|Hde(f)|2df

(3.60)

Un filtro de pre-enfasis muy utilizado en la practica viene dado por la ecuacion (3.61). Esta funcion detrasnferencia se implenta directamente mediante una red RC activa (empleando un amplificador operacio-nal) como la que se muestra en la figura 3.19, suponiendo que R� r y que 2πfCr � 1 dentro de la bandade interes. El amplificador de la figura 3.19 compensa la atenuacion introducida por la red RC en las bajasfrecuencias. El parametro frecuencial f0 viene dado por la ecuacion (3.62).

Hpe(f) = 1 +jf

f0(3.61)

f0 =1

2πCr(3.62)

40 Capıtulo 3

C

Entrada Salidar R

Figura 3.19 Ejemplo de filtro de pre-enfasis muy utilizado en la practica.

C

r

SalidaEntrada

Figura 3.20 Ejemplo de filtro de de-enfasis muy utilizado en la practica.

El filtro de de-enfasis viene dado entonces, recordando la ecuacion (3.57), por la ecuacion (3.63) y puedeimplementarse de forma sencilla por la red RC de la figura 3.20.

Hde(f) =1

1 + jff0

(3.63)

La mejora a los filtros de pre-enfasis y de-enfasis dados por las ecuaciones (3.61) y (3.63), teniendo encuenta la ecuacion (3.60), viene dada por la ecuacion (3.64).

D =

(Wf0

)3

3[(

Wf0

)− atan

(Wf0

)] (3.64)

En FM comercial la frecuencia de sintonizacion de los filtros de pre-enfasis y de-enfasis es f0 = 2100 Hz,siendo el ancho de banda W = 15 KHz. Con estos valores la mejora en SNR a la salida segun la ecuacion(3.64) es D = 22 o lo que es lo mismo 13 dB. El valor tıpico de SNR a la salida sin pre-enfasis y de-enfasises de 40 a 50 dB. Con las redes de pre-enfasis y de-enfasis se consigue una mejora importante (siempre queestemos por encima de el umbral).

La utilizacion de filtros lineales de pre-enfasis y de-enfasis como los que hemos visto son un ejemplo decomo se pueden mejorar las prestaciones de un sistema FM utilizando las caracterısticas que diferenciana la senal y al ruido en el sistema. Estos filtros tambien se aplican a la grabacion en cinta magnetica.Ultimamente se han desarrollado tecnicas no lineales de pre-enfasis y de-enfasis y se han aplicado con exitoa la grabacion en cinta magnetica para senales de audio y musicales como son: Dolby-A, Dolby-B y DBX.Estas tecnicas utilizan compresion no lineal del rango dinamico y ecualizacion para reducir los efectos delruido para niveles bajos de senal y alta frecuencia, respectivamente.

4COMPARACION DE LA CALIDAD DE LOS

SISTEMAS.

Vamos a comparar ahora los resultados obtenidos para los diferentes tipos de modulacion analizados.Supongamos que la senal moduladora es sinusoidal. Supondremos ademas que todos los sistemas operancon el mismo valor de SNR del canal. Es importante tener en cuenta cual es el ancho de banda de transmisionBT para cada tipo de modulacion. Para ello vamos a definir el ancho de banda normalizado Bn segunla ecuacion (4.1), donde W es el ancho de banda de la senal moduladora.

Bn =BTW

(4.1)

En la figura 4.1 podemos ver la representacion, para los sistemas de modulacion analizados, de la SNR ala salida del receptor en funcion de la SNR del canal (lo que equivale a comparar valores de FOM) ambosen dB. La explicacion de las cuatro curvas es la siguiente:

Curva I: En AM con deteccion de envolvente la expresion para la SNR a la salida del receptor en funcionde la SNR del canal viene dada (para moduladora sinusoidal) por la ecuacion (4.2) para CNR elevado,donde µ es el ındice de modulacion. La curva I representada en la figura 4.1 corresponde a un ındicede modulacion µ = 1. En este caso se transmiten dos bandas laterales, por lo que el ancho de bandanormalizado Bn viene dado por la ecuacion (4.3). La curva I tiene en cuenta el efecto umbral noconsiderado en la ecuacion (4.2). Como el umbral aparece en una zona muy baja de la curva (la SNRa la salida es inferior a 10 dB), no es demasiado significativo, puesto que para tener inteligibilidad lazona de trabajo esta muy por encima del umbral (al menos SNR a la salida de 20 a 30 dB).

SNRO =µ2

2 + µ2SNRC (4.2)

Bn = 2 (4.3)

Curva II: En DSB y SSB con deteccion coherente la expresion para la SNR a la salida del receptor enfuncion de la SNR del canal viene dada por la ecuacion (4.4). Esta curva esta 4.8 dB por encima de lacurva I para AM. Puesto que el detector coherente es lineal ni DSB ni SSB tienen efecto umbral. Conrespecto al ancho de banda normalizado Bn, en DSB se transmiten las dos bandas laterales, por lo queviene dado por la ecuacion (4.3). En SSB solo se trasmite una banda lateral por lo que el ancho debanda normalizado viene dado por la ecuacion (4.5). SSB es la modulacion de amplitud mas eficientetanto en potencia transmitida, como en ancho de banda como en SNR.

SNRO = SNRC (4.4)

41

42 Capıtulo 4

0 10 20 30 40 50

10

20

30

40

50

60

70

Curva I

Curva II

Curva III

Curva IV

CNR, dB

SNR

O, d

B

Figura 4.1 Representacion de la SNR a la salida del receptor en funcion de la SNR del canal para losdiferentes tipos de modulacion.

Bn = 1 (4.5)

Curva III y IV: En FM con demodulacion basada en el discriminador de frecuencia la SNR a la salidadel receptor en funcion de la SNR del canal viene dada (para moduladora sinusoidal) por la ecuacion(4.6) para CNR elevado, donde β es el ındice de modulacion. Para la curva III el ındice de modulaciones β = 2 y para la curva IV el ındice de modulacion es β = 5. En ambos casos se incluye la mejorade 13 dB debida al empleo de las redes de pre-enfasis y de-enfasis. Utilizando la regla del 1 % paradeterminar el ancho de banda BT , para la curva III el ancho de banda normalizado Bn viene dado porla ecuacion (4.7) y para la curva IV por la ecuacion (4.8). Comparando FM con SSB (el caso mejor demodulacion de amplitud), para la curva III la mejora es de 20.8 dB, mientras que para la curva IV esde 28.8 dB. Como se puede apreciar la mejora con respecto a las modulaciones de amplitud es bastantesignificativa. El precio a pagar es la necesidad de un ancho de banda bastante superior. En ambas

Comparacion de la Calidad de los Sistemas. 43

curvas se incluye el efecto umbral no considerado en la ecuacion (4.6). A diferencia de lo que ocurrıaen AM con el efecto umbral, en FM el umbral aparece en una zona bastante elevada de la curva, porlo que va a ser muy importante. De hecho la calidad justo por encima del umbral (SNR a la salidade mas de 45 dB) es muy buena. Vamos a pasar entonces de una gran calidad (justo por encima delumbral) a perder la senal (en el umbral y la zona inmediatamente inferior) variando bastante poco elnivel de ruido del canal. La senal en lugar de deteriorarse paulatinamente pasa de recibirse con muchacalidad a perderse por completo. Este efecto es caracterıstico de FM.

SNRO =3β2

2SNRC (4.6)

Bn = 8 (4.7)

Bn = 16 (4.8)

MODULACION ANALOGICA Y

DIGITAL DE PULSOS.



CONTENIDOS


1. TEOREMA DE MUESTREO. 1

2. MUESTREO DE SENALES PASO BANDA. 9

3. ASPECTOS PRACTICOS DEL MUESTREO. 153.1. Muestreo de Duracion Finita. 153.2. Muestras planas o Flat-Top. 18

4. RECONSTRUCCION DE UNA SENAL ALEATORIAMUESTREADA 23

5. MULTIPLEXACION POR DIVISION EN EL TIEMPO (TDM). 27

6. MODULACION DE PULSOS EN AMPLITUD (PAM). 29

7. MODULACION DE PULSOS EN EL TIEMPO (PPM Y PDM). 33

8. MODULACION DIGITAL DE PULSOS (PCM). 398.1. Muestreo. 408.2. Cuantificacion. 408.3. Codificacion. 458.4. Regeneracion. 478.5. Decodificacion. 488.6. Filtrado. 488.7. Multiplexado. 488.8. Sincronizacion. 498.9. Ejemplo Sistema T1. 50

9. ANALISIS DE LA CALIDAD EN PCM. 519.1. Ruido de Transmision y Probabilidad de Error. 519.2. Ruido de Cuantificacion. 56

v

INDICE DE FIGURAS

Capıtulo 1

1.1. Senal arbitraria de energıa finita. 11.2. La senal de la figura 1.1 muestreada idealmente. 21.3. Espectro de la senal a muestrear limitado a la banda W . 31.4. Espectro de la senal a muestreada para el caso fs = 2W . 31.5. Filtro ideal de reconstruccion. 51.6. Esquema del proceso de recuperacion de la senal a partir de las muestras. 51.7. Espectro de la senal a muestreada para el caso fs < 2W . 7

Capıtulo 2

2.1. Espectro de una senal paso banda. 92.2. Espectro de una senal paso banda para la que se ha definido el nuevo ancho de banda y

frecuencia central. 122.3. Frecuencia de muestreo como funcion de la frecuencia maxima de la senal paso banda. 13

Capıtulo 3

3.1. Senal arbitraria. 153.2. Senal muestreadora formada por un tren de pulsos rectangulares. 163.3. Senal muestreada a la salida del conmutador. 163.4. Espectro de la senal de la figura 3.1 limitado a la banda W . 173.5. Espectro de la senal muestreada de la figura 3.3. 173.6. Senal muestreada empleando muestras de tipo Flat-Top. 183.7. Respuesta en amplitud y en fase del sistema con funcion de transferencia H(f). 193.8. Respuesta en amplitud maxima del ecualizador en funcion del tiempo de ocupacion de

muestra. 20

Capıtulo 4

Capıtulo 5

5.1. Esquema de un sistema TDM extremo a extremo. 27

Capıtulo 6

6.1. Senal moduladora. 296.2. Senal portadora utilizada en PAM. 296.3. Senal PAM. 306.4. Trama TDM-PAM con una marca de sincronismo por trama. 316.5. Caracterıstica entrada/salida del dispositivo umbral. 316.6. Senal de sincronismo recuperada. 31

Capıtulo 7

vii

viii MODULACION ANALOGICA Y DIGITAL DE PULSOS.

7.1. Senal moduladora. 337.2. Senal PDM con muestreo uniforme. 347.3. Senal PPM con muestreo uniforme. 357.4. Procedimiento para generar una senal PDM con muestreo natural. 367.5. Esquema para generar una senal PPM a partir de una PDM. 377.6. Sincronizacion de tramas TDM-PDM y TDM-PPM. 38

Capıtulo 8

8.1. Esquema del codificador/transmisor PCM. 398.2. Esquema del decodificador/receptor PCM. 398.3. Regeneracion de la senal a lo largo del canal de comunicaciones. 408.4. Caracterıstica entrada/salida para el cuantificador de tipo Mid-Thread. 418.5. Error de cuantificacion como funcion de la senal de entrada. 418.6. Senal sinusoidal cuantificada junto con el error de cuantificacion cometido. 428.7. Caracterıstica entrada/salida para el cuantificador de tipo Mid-Riser. 428.8. Tecnica de cuantificacion no uniforme usando compansion. 438.9. Caracterıstica entrada/salida del compresor con ley µ. 438.10. Caracterıstica entrada/salida del compresor con ley A. 448.11. Ejemplo de codificacion para los seis tipos de codigos de lınea. 478.12. Esquema de un repetidor/regenerador colocado a lo largo de la lınea de transmision. 488.13. Trama TDM-PCM del sistema T1. 49

Capıtulo 9

9.1. Esquema del detector empleado en PCM. 529.2. Funcion densidad de probabilidad cuando se transmitio ∅ y probabilidad de error. 539.3. Funcion densidad de probabilidad cuando se transmitio 1 y probabilidad de error. 549.4. Probabilidad de error medio como funcion de la SNR de pico. 55

1TEOREMA DE MUESTREO.

Una operacion que es basica para disenar todos los sistemas de modulacion de pulsos es el proceso demuestreo, donde una senal analogica se convierte en una secuencia de numeros que normalmente estanuniformemente espaciados en el tiempo. Para que dicho proceso tenga utilidad practica es necesario elegirla tasa de muestreo adecuadamente de modo que esa secuencia de numeros identifique de forma unica a lasenal analogica original. Esta es la esencia del teorema de muestreo.

Consideremos una senal arbitraria g(t) de energıa finita como la que se muestra en la figura 1.1. Supon-gamos que muestreamos la senal g(t) de forma instantanea a una tasa uniforme cada Ts segundos. Comoresultado de este proceso se obtiene una secuencia de numeros espaciados Ts y que podemos denotar me-diante {g(nTs)}, donde n puede tomar cualquier valor entero, Ts es el periodo de muestreo y fs = 1/Ts

es la frecuencia de muestreo. Esta forma ideal de muestreo recibe el nombre de muestreo instantaneo.

Sea gδ(t) la senal obtenida multiplicando la secuencia de numeros {g(nTs)} por un tren de deltas espa-ciados Ts, entonces se puede expresar segun la ecuacion (1.1).

gδ(t) =∞∑

n=−∞g(nTs)δ(t− nTs) (1.1)

A gδ(t) se la denomina senal muestreada ideal. En la figura 1.2 se puede ver el resultado de estetipo de muestreo aplicado a la senal de la figura 1.1. De forma equivalente se puede expresar gδ(t) como

t

g(t)

Figura 1.1 Senal arbitraria de energıa finita.

1

2 Capıtulo 1

gδ (t)

Ts

t

Figura 1.2 La senal de la figura 1.1 muestreada idealmente.

el producto de la senal original g(t) por la funcion de muestreo ideal δTs(t) con periodo Ts segun laecuacion (1.2).

gδ(t) = g(t)δTs(t) = g(t)∞∑

n=−∞δ(t− nTs) (1.2)

Se puede determinar la transformada de Fourier de la senal muestreada gδ(t) convolucionando la trans-formada de Fourier de g(t) con la transformada de Fourier de la funcion de muestreo ideal δTs

(t) que vienedada por la ecuacion (1.3). Entonces si G(f) es la transformada de Fourier de g(t), la transformada deFourier Gδ(f) de la senal muestreada gδ(t) viene dada por la ecuacion (1.4). Si intercambiamos el ordendel sumatorio y la convolucion se obtiene la ecuacion (1.5). La convolucion de una senal cualquiera con unadelta desplazada, desplaza la senal segun la ecuacion (1.6), por lo que se tiene finalmente la ecuacion (1.7).

δTs(t) =∞∑

n=−∞δ(t− nTs) ⇐⇒

1Ts

∞∑n=−∞

δ

(f − n

Ts

)(1.3)

Gδ(f) = G(f) ∗ 1Ts

∞∑n=−∞

δ

(f − n

Ts

)(1.4)

Gδ(f) =1Ts

∞∑n=−∞

G(f) ∗ δ

(f − n

Ts

)(1.5)

G(f) ∗ δ

(f − n

Ts

)= G

(f − n

Ts

)(1.6)

Gδ(f) =1Ts

∞∑n=−∞

G

(f − n

Ts

)(1.7)

TEOREMA DE MUESTREO. 3

f−W W

G(f)

G(0)

Figura 1.3 Espectro de la senal a muestrear limitado a la banda W .

Ts

1Ts

2Ts

3Ts

1−

Ts

2−

G δ (f)

Ts

3−

−W Wf

2WG(0)

Figura 1.4 Espectro de la senal a muestreada para el caso fs = 2W .

Gδ(f) representa un espectro continuo periodico con periodo fs = 1/Ts. Se puede decir entonces que elproceso de muestreo uniforme de una senal en el dominio del tiempo da lugar a un espectro periodico en eldominio de la frecuencia con periodo igual a la frecuencia de muestreo.

A partir de la ecuacion (1.1) tomando transformada de Fourier en ambos lados se obtiene la ecuacion(1.8). Esta ecuacion se puede ver como una representacion en serie compleja de Fourier de la senal periodicaen la frecuencia Gδ(f), siendo los coeficientes complejos de la expansion la secuencia de muestras {g(nTs)},por lo que se tiene la ecuacion (1.9), que es la ecuacion analisis de la expansion en serie compleja de Fourierde una senal. Hay que tener en cuenta que en las ecuaciones (1.8) y (1.9) se han intercambiado el papelhabitual del tiempo y de la frecuencia.

Gδ(f) =∞∑

n=−∞g(nTs) exp(−j2πnfTs) (1.8)

g(nTs) = Ts

∫ fs

0

Gδ(f) exp(j2πnfTs)df (1.9)

Todas las relaciones anteriores se pueden aplicar a cualquier senal continua g(t) de energıa finita y deduracion finita. Vamos a suponer ahora que la senal es estrictamente limitada a la banda W , es decir, latransformada de Fourier G(f) de la senal g(t) no tiene componentes frecuenciales fuera de |f | < W . Enla figura 1.3 podemos ver el espectro G(f) limitado a la banda W . La forma de este espectro se consideratriangular para simplificar las figuras, pero en la practica puede tener cualquier otra forma.

Vamos a suponer que se elige un periodo de muestreo Ts = 12W o lo que es lo mismo, una tasa de muestreo

fs = 2W . En este caso se puede ver el espectro de Gδ(f) en la figura 1.4. En este caso la ecuacion (1.8) sepuede volver a escribir segun la ecuacion (1.10).

4 Capıtulo 1

Gδ(f) =∞∑

n=−∞g

( n

2W

)exp

(−jπnf

W

)(1.10)

Comparando las figuras 1.3 y 1.4 se puede comprobar que se puede recuperar el espectro original G(f) apartir del espectro de la senal muestreada Gδ(f) segun la ecuacion (1.11). Juntando las ecuaciones (1.10)y (1.11) se tiene la ecuacion (1.12).

G(f) =1

2WGδ(f) −W ≤ f ≤ W (1.11)

G(f) =1

2W

∞∑n=−∞

g( n

2W

)exp

(−jπnf

W

)−W ≤ f ≤ W (1.12)

Si se conoce el valor de todas las muestras{g

(n

2W

)}de la senal g(t), entonces la transformada de

Fourier G(f) de la senal g(t) esta unıvocamente determinada por la representacion en serie de Fourier dela ecuacion (1.12). Ademas puesto que g(t) se puede determinar a partir de su espectro G(f) utilizandola transformada inversa de Fourier, la senal original g(t) esta tambien unıvocamente determinada por lasmuestras

{g

(n

2W

)}. En otras palabras, la secuencia

{g

(n

2W

)}contiene toda la informacion de la senal g(t).

Vamos a considerar ahora el problema de recuperar la senal g(t) a partir de las muestras{g

(n

2W

)}.

Usando la ecuacion (1.12) y la expresion de la transformada inversa de Fourier se puede escribir el desarrollode la ecuacion (1.13). Si intercambiamos el orden del sumatorio y la integral en la ecuacion anterior se puedeescribir la ecuacion (1.14). La integral de la derecha de esta ecuacion es inmediata y se puede calculardirectamente obteniendose finalmente la ecuacion (1.15).

g(t) =∫ ∞

−∞G(f) exp(j2πft)df =

∫ W

−W

12W

∞∑n=−∞

g( n

2W

)exp

(−jπnf

W

)exp(j2πft)df (1.13)

g(t) =∞∑

n=−∞g

( n

2W

) 12W

∫ W

−W

exp[j2πf

(f − n

2W

)]df (1.14)

g(t) =∞∑

n=−∞g

( n

2W

) sin(2πWt− nπ)2πWt− nπ

=∞∑

n=−∞g

( n

2W

)sinc(2Wt− n) (1.15)

La ecuacion (1.15) se conoce como formula de interpolacion para reconstruir la senal original g(t) apartir de las muestras

{g

(n

2W

)}, siendo la funcion sinc(2Wt) la funcion interpoladora. Cada muestra

se multiplica por una version retardada de la funcion interpoladora y el resultado se suma para obtener lasenal original g(t). Se puede ver que esta ecuacion representa la respuesta de un filtro paso bajo ideal deancho de banda W , con retardo cero y cuya entrada es la senal muestreada gδ(t). Esto se puede comprobarde forma intuitiva viendo los espectros Gδ(f) y G(f) en las figuras 1.3 y 1.4 o a partir de la ecuacion (1.11).En la figura 1.5 se puede ver la funcion de transferencia del filtro de reconstruccion. En la figura 1.6 sepuede ver esquematicamente el proceso de recuperacion de la senal original g(t) a partir de las secuenciade muestras

{g

(n

2W

)}.


2W1

−W Wf

|H(f)|

Figura 1.5 Filtro ideal de reconstruccion.

{g(nTs)}

Continua

Señal

g(t)Muestras

Secuencia de

Paso Bajo

Ideal

Filtro

Figura 1.6 Esquema del proceso de recuperacion de la senal a partir de las muestras.

Vamos a ver otra interpretacion de la formula de interpolacion dada por la ecuacion (1.15) utilizandola propiedad de que la funcion interpoladora desplazada sinc(2Wt − n) forma una familia de funcionesmutuamente ortogonales. Vamos a comenzar probando esta ultima afirmacion en primer lugar. Vamosa considerar una version generalizada del teorema de energıa de Rayleigh dada por la ecuacion (1.16),siendo g1(t) y g2(t) dos senales de energıa cualesquiera y G1(f) y G2(f) sus transformadas de Fourier,respectivamente. Vamos a aplicar este teorema a las senales que nos interesa segun las ecuaciones (1.17) y(1.18), siendo n y m dos enteros cualesquiera. Utilizando la transformada inmediata dada por la ecuacion(1.19) y la propiedad de la transformada de Fourier de desplazamiento temporal se puede llegar a lasecuaciones (1.20) y (1.21).

∫ ∞

−∞g1(t)g∗2(t)dt =

∫ ∞

−∞G1(f)G∗

2(f)df (1.16)

g1(t) = sinc(2Wt− n) = sinc[2W

(t− n

2W

)](1.17)

g2(t) = sinc(2Wt−m) = sinc[2W

(t− m

2W

)](1.18)

sinc(2Wt) ⇐⇒ 12W

Π(

f

2W

)(1.19)

G1(t) =1

2WΠ

(f

2W

)exp

(−jπnf

W

)(1.20)

6 Capıtulo 1

G2(t) =1

2WΠ

(f

2W

)exp

(−jπmf

W

)(1.21)

Usando ahora la relacion dada por la ecuacion (1.16) se obtiene la ecuacion (1.22). El resultado de estaecuacion es 1

2W para n = m y cero en el resto, es decir, se tiene finalmente la ecuacion (1.23), con lo quequeda demostrado que la familia de funciones sinc(2Wt− n) es ortogonal.

∫ ∞

−∞sinc(2Wt− n)sinc(2Wt−m)dt =

(1

2W

)2 ∫ W

−W

exp[−jπf

W(n−m)

]df

=sin[π(n−m)]2Wπ(n−m)

=1

2Wsinc(n−m) (1.22)

∫ ∞

−∞sinc(2Wt− n)sinc(2Wt−m)dt =

1

2W n = m

0 n 6= m(1.23)

La ecuacion (1.15) representa entonces la expansion de la senal g(t) como la suma infinita de funcionesortogonales cuyos coeficientes son las muestras de la senal

{g

(n

2W

)}. Utilizando la propiedad de ortogo-

nalidad de estas funciones dada por la ecuacion (1.23) se puede llegar a la expresion dada por la ecuacion(1.24) para las muestras de la senal. Los coeficientes de esta expansion

{g

(n

2W

)}se pueden ver como una

coordenada en un espacio de senal de dimension infinita cuyos ejes son ortogonales y corresponden a lasfunciones sinc(2Wt − n). Cada punto de este espacio corresponde a una senal g(t) y cada senal g(t) a unpunto.

g( n

2W

)= 2W

∫ ∞

−∞g(t)sinc(2Wt− n)dt (1.24)

Se puede enunciar el teorema de muestreo o teorema de Nyquist para senales limitadas en bandade energıa finita de dos modos:

Una senal limitada en banda de energıa que no tiene componentes a frecuencias mayores que W Hz sepuede representar de forma exacta especificando los valores de la senal en instantes de tiempo separadosTs = 1

2W segundos.

Una senal limitada en banda de energıa sin componentes frecuenciales superiores a W Hz se puederecuperar de forma exacta a partir de sus muestras tomadas a una tasa de fs = 2W muestras porsegundo.

La tasa de muestreo fs = 2W definida para una senal con ancho de banda W se denomina tasa deNyquist. El teorema de muestreo es la base de la equivalencia entre senales analogicas y digitales.

El teorema de muestreo se basa en la suposicion de que la senal g(t) sea estrictamente limitada en banda.Esto solo se satisface si g(t) tiene duracion infinita. Es decir, una senal estrictamente limitada en banda nopuede ser simultaneamente estrictamente limitada en tiempo y viceversa. Sin embargo, se va a poder aplicaren la practica el teorema de muestreo a senales limitadas temporalmente cuando estas sean esencialmentelimitadas en banda en el sentido de que fuera de la banda de interes el valor que toma el espectro no esrelevante. Esto justifica la aplicacion practica del teorema de muestreo.


Ts

1Ts

2Ts

3Ts

1−

Ts

2−

G δ (f)

Ts

3−

f−W W

2WG(0)

Figura 1.7 Espectro de la senal a muestreada para el caso fs < 2W .

Cuando la tasa de muestreo fs excede a la de Nyquist 2W , las replicas de g(f) requeridas para laconstruccion de Gδ(f) estan mas separadas por lo que no existe ningun problema a la hora de recuperar lasenal original g(t) a partir de la senal muestreada gδ(t) con el procedimiento descrito. Sin embargo, cuandola tasa de muestreo fs es menor que 2W , se puede ver que al construir la senal Gδ(f), las replicas de G(f)aparecen solapadas. En este caso el espectro Gδ(f) pasarıa a ser el de la figura 1.7. Las altas frecuenciasde G(f) se ven reflejadas hacia las bajas frecuencias en Gδ(f). Este fenomeno se denomina aliasing. Esevidente que comprobar que si la tasa de muestreo fs es menor que la de Nyquist 2W , la senal original g(t)no se puede recuperar de forma exacta a partir de las muestras y, por lo tanto, se pierde informacion en elproceso de muestreo.

Debido a que una senal, como ya hemos dicho, no puede ser estrictamente limitada en tiempo y frecuencia,si la senal es finita en el tiempo, siempre existira algo de aliasing y se perdera parte de la informacion enel proceso de muestreo. Sin embargo, este efecto suele ser en general despreciable. Para que ası sea:

Antes de muestrear la senal pasarla por un filtro paso bajo antialiasing para atenuar las compo-nentes a alta frecuencia de la senal (o del ruido) fuera de la banda de interes.

Muestrear la senal filtrada ligeramente por encima del lımite de Nyquist.

Es interesante resaltar que el uso de una tasa de muestreo superior a la de Nyquist tiene el efecto deseablede hacer mas sencillo el filtro paso bajo de reconstruccion para recuperar la senal. Ya no es necesario quesea un filtro ideal. Con una tasa de muestreo superior a la de Nyquist las repeticiones de G(f) en el espectrode la senal muestreada Gδ(f) a parecen separadas fs−2W Hz. En particular, se puede elegir un filtro pasobajo de reconstruccion con un ancho de banda B que satisfaga W < B < fs −W . Ademas el filtro pasobajo no es necesario que sea ideal y puede tener una zona de transicion mas suave que caiga en el intervalo(W, fs −W ).

2MUESTREO DE SENALES PASO BANDA.

Hasta ahora nos hemos centrado en senales paso bajo. Sin embargo, muchas senales en la practica tienennaturaleza paso banda. En este caso cuando el ancho de banda es pequeno comparado con la componentesuperior a alta frecuencia, es posible utilizar una frecuencia de muestreo menor de dos veces la mayorfrecuencia de la senal.

Para analizar esto con detalle. Vamos a considerar una senal g(t) paso banda con frecuencia portadorafc y ancho de banda 2W , de modo que el espectro ocupa el intervalo frecuencial fc −W ≤ |f | ≤ fc + W .En la figura 2.1 podemos ver el espectro de esta senal. La forma de este espectro se considera triangularpara simplificar las figuras, pero en la practica puede tener cualquier otra forma.

Puesto que la senal g(t) es paso banda se puede expresar en funcion de la componente en fase gc(t) y dela componente en cuadratura gs(t) utilizando la forma canonica segun la ecuacion (2.1).

g(t) = gc(t) cos(2πfct)− gs(t) sin(2πfct) (2.1)

Vamos a suponer inicialmente que la frecuencia superior fc + W es multiplo del ancho de banda 2W ,de modo que se cumple la ecuacion (2.2), donde k es un entero positivo. En los instantes de muestreot = nTs la ecuacion (2.1) se puede poner como la ecuacion (2.3), donde Ts es el periodo de muestreo yn = 0,±1,±2, . . .

fc + W = 2kW =⇒ fc = (2k − 1)W (2.2)

2W 2W

f−fc fc

G(f)

Figura 2.1 Espectro de una senal paso banda.

9

10 Capıtulo 2

g(nTs) = gc(nTs) cos(2πnfcTs)− gs(nTs) sin(2πnfcTs) (2.3)

Vamos a suponer que la frecuencia de muestreo fs es dos veces el ancho de banda, por lo que fs = 4W olo que es lo mismo Ts = 1

4W . Sustituyendo esto en la ecuacion (2.3) se obtiene la ecuacion (2.4). Si tenemosen cuenta la ecuacion (2.2) la ecuacion anterior se puede poner segun la ecuacion (2.5).

g( n

4W

)= gc

( n

4W

)cos

(πnfc

2W

)− gs

( n

4W

)sin

(πnfc

2W

)(2.4)

g( n

4W

)= gc

( n

4W

)cos

[nπ

2(2k − 1)

]− gs

( n

4W

)sin

[nπ

2(2k − 1)

](2.5)

Para n par se puede poner n = 2v. En este caso se cumplen para todo k las ecuaciones (2.6) y (2.7).Usando estas ecuaciones la ecuacion (2.5) se puede poner segun la ecuacion (2.8).

cos[nπ

2(2k − 1)

]= cos[vπ(2k − 1)] = (−1)v (2.6)

sin[nπ

2(2k − 1)

]= sin[vπ(2k − 1)] = 0 (2.7)

g( v

2W

)= (−1)vgc

( v

2W

)(2.8)

Para n impar se puede poner n = 2v − 1. En este caso se cumplen para todo k las ecuaciones (2.9) y(2.10). Usando estas ecuaciones la ecuacion (2.5) se puede poner segun la ecuacion (2.11).

cos[nπ

2(2k − 1)

]= cos

[π

2(2v − 1)(2k − 1)

]= 0 (2.9)

sin[nπ

2(2k − 1)

]= sin

[π

2(2v − 1)(2k − 1)

]= (−1)v+k (2.10)

g

(2v − 14W

)= (−1)v+k+1gs

(2v − 14W

)(2.11)

Las componentes gc(t) y gs(t) son paso bajo, ambas limitadas en banda a |f | < W . Entonces por elteorema de muestreo se sigue que tanto gc(t) como gs(t) se pueden determinar por sus muestras tomadasa una tasa uniforme de fs = 2W muestras por segundo. Se puede decir que:

1. Las muestras gc

(v

2W

)para v = 0,±1,±, . . . son suficientes segun el teorema de muestreo para deter-

minar la componente en fase gc(t) segun la ecuacion (2.12).

MUESTREO DE SENALES PASO BANDA. 11

gc(t) =∞∑

v=−∞gc

( v

2W

)sinc(2Wt− v) =

∞∑v=−∞

(−1)vg( v

2W

)sinc(2Wt− v) (2.12)

2. Las muestras gs

(2v−14W

)para v = 0,±1,±, . . . son suficientes segun el teorema de muestreo para deter-

minar la componente en cuadratura gs(t) segun la ecuacion (2.13). En esta ecuacion se ha tenido encuenta que las muestras de la senal g(t) utilizadas para reconstruir la componente en cuadratura gs(t)son las impares, por lo que estan retrasadas Ts = 1

4W con respecto a las muestras de g(t) utilizadaspara reconstruir la componente en fase gc(t) que son las pares.

gs(t) =∞∑

v=−∞gs

(2v − 14W

)sinc

(2Wt− v +

12

)=

∞∑v=−∞

(−1)v+k+1g

(2v − 14W

)sinc

(2Wt− v +

12

)(2.13)

Sustituyendo la ecuacion (2.12) para la componente en fase gc(t) y la ecuacion (2.13) para la componenteen cuadratura en la forma canonica dada por la ecuacion (2.1), se tiene la ecuacion (2.14), siendo k unentero positivo.

g(t) =∞∑

v=−∞(−1)vg

( v

2W

)sinc(2Wt− v) cos(2πfct)

+∞∑

v=−∞(−1)v+kg

(2v − 14W

)sinc

(2Wt− v +

12

)sin(2πfct) (2.14)

Teniendo en cuenta que Ts = 14W y que fc

W = 2k − 1 se puede comprobar facilmente que se cumplenlas ecuaciones (2.15) y (2.16), por lo que la ecuacion (2.14) se puede poner de forma mas compacta segunla ecuacion (2.17). Esta ecuacion nos da la expresion deseada para recuperar una senal paso banda g(t) apartir de sus muestras tomadas a una tasa mınima de muestreo fs = 4W para el caso especial en el que lafrecuencia superior de la senal g(t) es un multiplo entero del ancho de banda 2W .

(−1)v cos(2πfct) = cos[2πfc(t− 2vTs)] (2.15)

(−1)v+k sin(2πfct) = cos[2πfc(t− (2v − 1)Ts)] (2.16)

g(t) =∞∑

n=−∞g(nTs)sinc

(2Wt− n

2

)cos[2πfc(t− nTs)] (2.17)

Vamos a considerar ahora el caso general para el que solo es necesario asumir que fc > W ≥ 0. Es decir,la banda de frecuencias significativas de la senal g(t) ocupa una posicion arbitraria en el eje de frecuencias.Sea r el entero que satisface la ecuacion (2.18).

r ≤ fc + W

2W< r + 1 (2.18)

12 Capıtulo 2

f c−f cf

G(f)

2W´2W´

Figura 2.2 Espectro de una senal paso banda para la que se ha definido el nuevo ancho de banda yfrecuencia central.

Manteniendo la frecuencia superior fc + W constante vamos a incrementar el ancho de banda hacia lasbajas frecuencias hasta un nuevo valor 2W ′ de forma que se cumpla la ecuacion (2.19). Vamos a definirtambien una nueva frecuencia central f ′c a mitad del nuevo ancho de banda. Para esta nueva frecuencia secumple la ecuacion (2.20). En la figura 2.2 se puede ver graficamente el nuevo ancho de banda 2W ′ y lanueva frecuencia central f ′c.

fc + W

2W ′ = r (2.19)

f ′c =(

1− 12r

)(fc + W ) (2.20)

Como se puede ver claramente en la figura 2.2 el espectro sigue siendo el mismo que el de la senal originalg(t). Sin embargo, hemos conseguido que la frecuencia superior fc +W sea ahora multiplo del nuevo anchode banda 2W ′. La representacion de la senal es la ya explicada sustituyendo W por W ′, para el nuevoperiodo de muestreo T ′

s = 14W ′ y reemplazando fc por f ′c y k por r. En particular las expresiones para la

componente en fase gc(t) y en cuadratura gs(t) de la senal dadas por las ecuaciones (2.12) y (2.13) pasana ser ahora las ecuaciones (2.21) y (2.22), respectivamente.

gc(t) =∞∑

v=−∞(−1)vg

( v

2W ′

)sinc(2W ′t− v) (2.21)

gs(t) =∞∑

v=−∞(−1)v+r+1g

(2v − 14W ′

)sinc

(2W ′t− v +

12

)(2.22)

La ecuacion (2.17) se puede poner ahora segun la ecuacion (2.23) que muestra que g(t) se puede recuperarde forma exacta a partir de sus muestras tomadas a una tasa f ′s = 4W ′.

g(t) =∞∑

n=−∞g(nT ′

s)sinc(2W ′t− n

2

)cos[2πf ′c(t− nT ′

s)] (2.23)

MUESTREO DE SENALES PASO BANDA. 13

T ´s1

fc + W0 8W6W4W2W 10W 12W

8W

6W

4W

16/3 W5W

24/5 W r = 5

r = 1

r = 2

r = 3

r = 4

Figura 2.3 Frecuencia de muestreo como funcion de la frecuencia maxima de la senal paso banda.

La ecuacion (2.23) se puede poner de forma mas estandar convolucionando a ambos lados con la funcionφ1(t) dada por la ecuacion (2.24). La transformada de Fourier de esta funcion viene dada por la ecuacion(2.25), es decir, es un filtro paso banda ideal que ocupa la misma banda de frecuencias que la senal pasobanda g(t). Por tanto la convolucion de esta senal con g(t) la deja sin modificar. Entonces la ecuacion (2.23)se puede poner segun la ecuacion (2.26), donde la funcion φ2,n(t) viene dada por la ecuacion (2.27).

φ1(t) = 4W sinc(2Wt) cos(2πfct) (2.24)

Φ1(f) =

1 fc −W < |f | < fc + W

0 en el resto(2.25)

g(t) =∞∑

n=−∞g(nT ′

s)φ1(t) ∗ φ2,n(t) (2.26)

φ2,n(t) = sinc[2W ′(t− nT ′s)] cos[2πf ′c(t− nT ′

s)] (2.27)

Haciendolo en el dominio de la frecuencia se puede comprobar que la convolucion de las funciones φ1(t)y φ2,n(t) viene dada por la ecuacion (2.28). Teniendo en cuenta que T ′

s = 14W ′ , la ecuacion (2.26) se puede

poner finalmente segun la ecuacion (2.29).

14 Capıtulo 2

φ1(t) ∗ φ2,n(t) =W

W ′ sinc[2W (t− nT ′s)] cos[2πfc(t− nT ′

s)] (2.28)

g(t) = 4WT ′s

∞∑n=−∞

g(nT ′s)sinc[2W (t− nT ′

s)] cos[2πfc(t− nT ′s)] (2.29)

En el caso general, la frecuencia de muestreo mınima f ′s viene dada por la ecuacion (2.30), siendo rel entero dado por la ecuacion (2.18). Si dibujamos la frecuencia de muestreo mınima f ′s en funcion de lafrecuencia maxima fc+W de la senal paso banda g(t), obtenemos la grafica que puede verse en la figura 2.3.Como puede verse, independientemente de la posicion de la banda de frecuencias de la senal, la frecuenciamınima de muestreo esta siempre entre 4W y 8W . En la figura anterior los mınimos corresponden siemprea una frecuencia mınima de muestreo de 4W , mientras que los maximos a una frecuencia 4W r+1

r .

f ′s =2(fc + W )

r≥ 4W (2.30)

En general, se suele muestrear la senal paso banda a una tasa ligeramente superior a la dada por la figura2.3 o por la ecuacion (2.30) para tener en cuenta que la senal no es estrictamente limitada en banda ysimplificar el diseno del filtro paso banda de reconstruccion.

3ASPECTOS PRACTICOS DEL MUESTREO.

En la practica el muestreo de una senal analogica se logra mediante circuitos con transistores que con-mutan a alta velocidad. Ası se puede ver que la senal muestreada resultante no es exactamente la descritade forma ideal con muestras instantaneas debido a que la operacion de muestreo, aunque sea muy rapida,requiere un intervalo de tiempo distinto de cero. A menudo resulta que las muestras de una senal analogi-ca son alargadas en el tiempo intencionadamente para su transmision o para instrumentacion. Vamos aanalizar los efectos de las desviaciones del muestreo ideal.

3.1 MUESTREO DE DURACION FINITA.

Vamos a considerar una senal analogica arbitraria g(t), como la que se muestra en la figura 3.1, aplicadaa un circuito conmutador controlado por una funcion muestreadora c(t) que consiste en un tren de pulsosrectangulares de amplitud A, duracion T y periodo Ts como se muestra en la figura 3.2. La salida delcircuito conmutador s(t) se puede ver en la figura 3.3.

Se puede ver que la operacion de conmutacion extrae de la senal g(t) trozos de duracion T a unatasa fs = 1/Ts. La senal muestreada s(t) consiste en una secuencia de pulsos cuya expresion viene dadasimplemente por la ecuacion (3.1). La senal muestreadora c(t) es una senal periodica con periodo Ts por loque se puede representar en serie de Fourier. La expresion de la serie compleja de Fourier para esta senalse puede determinar de forma sencilla, obteniendose la ecuacion (3.2). Sustituyendo esta expresion en laecuacion (3.1), se obtiene la ecuacion. (3.3).

t

g(t)

Figura 3.1 Senal arbitraria.

15

16 Capıtulo 3

Tst

T

c(t)

A

Figura 3.2 Senal muestreadora formada por un tren de pulsos rectangulares.

Tst

s(t)

T

Figura 3.3 Senal muestreada a la salida del conmutador.

s(t) = c(t)g(t) (3.1)

c(t) =TA

Ts

∞∑n=−∞

sinc(

nT

Ts

)exp

(j2πnt

Ts

)(3.2)

s(t) =TA

Ts

∞∑n=−∞

sinc(

nT

Ts

)exp

(j2πnt

Ts

)g(t) (3.3)

Utilizando la propiedad de la transformada de Fourier de desplazamiento frecuencial se puede llegar sinproblema a la expresion para el espectro S(f) de la senal s(t) dada por la ecuacion (3.3), obteniendose laecuacion (3.4), donde G(f) es el espectro de la senal original g(t).

ASPECTOS PRACTICOS DEL MUESTREO. 17

f−W W

G(f)

Figura 3.4 Espectro de la senal de la figura 3.1 limitado a la banda W .

Ts

2−

Ts

1−

Ts

2Ts

1

Ts

nTsinc )(

−W Wf

S(f)

Figura 3.5 Espectro de la senal muestreada de la figura 3.3.

S(f) =TA

Ts

∞∑n=−∞

sinc(

nT

Ts

)G

(f − n

Ts

)(3.4)

Si suponemos que la senal g(t) no tiene componentes fuera de |f | < W segun la figura 3.4, el espectrode la senal s(t) viene dado graficamente por la figura 3.5. Hemos supuesto que la tasa de muestreo fs essuperior al lımite de Nyquist 2W para no tener aliasing. Como se puede apreciar el efecto de la duracionfinita de los pulsos es multiplicar el lobulo n por el factor TA sinc

(nTTs

). La senal original se va a poder

recuperar sin distorsion pasando la senal muestreada s(t) por un filtro paso bajo ideal con ancho de bandaB que satisfaga la condicion dada por la ecuacion (3.5) o por un filtro real cuya zona de transicion caigaen dicho intervalo.

W < B < fs −W (3.5)

Se puede decir que el uso de pulsos de muestreo de duracion finita no tiene efectos importantes en elproceso de muestreo. En el caso particular que los pulsos tengan area unidad, es decir, TA = 1, la ecuacion(3.4) y la ecuacion (3.6) que define el espectro para el muestreo ideal como ya vimos son iguales en el lımitecuando hacemos T → 0. O dicho de otro modo la senal s(t) tiende a la senal muestreada ideal gδ(t) segunla duracion de los pulsos T → 0, cuando mantenemos el area de los pulsos unidad, TA = 1.

S(f) =1Ts

∞∑n=−∞

G

(f − n

Ts

)(3.6)

18 Capıtulo 3

Ts

t

T

g(t)

s(t)

Figura 3.6 Senal muestreada empleando muestras de tipo Flat-Top.

3.2 MUESTRAS PLANAS O FLAT-TOP.

Vamos a considerar ahora la situacion en la que la senal analogica g(t) se muestrea de forma instantaneaa una tasa fs = 1/Ts y cada muestra se mantiene o alarga una duracion T tal y como se muestra en lafigura 3.6. Este tipo de muestreo se denomina muestreo Flat-Top.

Una razon para incrementar intencionadamente la longitud de las muestras es para evitar el uso deun ancho de banda de transmision excesivo, ya que el ancho de banda es inversamente proporcional a laduracion de los pulsos. Si denominamos s(t) a la senal muestreada empleando muestras Flat-Top, podemosescribir a ecuacion (3.7), donde h(t) es un pulso rectangular de amplitud unidad y duracion T definido porla ecuacion (3.8).

s(t) =∞∑

n=−∞g(nTs)h(t− nTs) (3.7)

h(t) =

1 0 < t < T

0 en el resto(3.8)

La expresion para la senal con muestreo instantaneo gδ(t) como ya vimos era la de la ecuacion (3.9).

gδ(t) =∞∑

n=−∞g(nTs)δ(t− nTs) (3.9)

Si convolucionamos la senal con muestreo instantaneo gδ(t) con h(t) se obtiene el desarrollo de la ecuacion(3.10). Utilizando la propiedad de desplazamiento temporal de δ(t) se obtiene la ecuacion (3.11), por lo quela senal muestreada Flat-Top s(t) es matematicamente equivalente a la convolucion de la senal muestreadaideal gδ(t) con la forma del pulso h(t).


T

f

f

pte. T−π

|H(f)|

1/T−2/T −1/T 2/T

H(f)

Figura 3.7 Respuesta en amplitud y en fase del sistema con funcion de transferencia H(f).

gδ(t) ∗ h(t) =∫ ∞

−∞gδ(τ)h(t− τ)dτ =

∫ ∞

−∞

∞∑n=−∞

g(nTs)δ(τ − nTs)h(t− τ)dτ

=∞∑

n=−∞g(nTs)

∫ ∞

−∞δ(τ − nTs)h(t− τ)dτ (3.10)

s(t) = gδ(t) ∗ h(t) =∞∑

n=−∞g(nTs)h(t− nTs) (3.11)

Tomando transformada de Fourier en la ecuacion (3.11) se tiene la ecuacion (3.12), siendo H(f) la trans-formada de Fourier de la forma del pulso h(t) y Gδ(f) el espectro de la senal muestreada ideal gδ(t).

S(f) = Gδ(f)H(f) =1Ts

∞∑n=−∞

G

(f − n

Ts

)H(f) (3.12)

Si suponemos que la senal g(t) esta limitada en banda y que la tasa de muestreo fs es mayor que la tasade Nyquist, si pasamos la senal s(t) a traves del filtro paso bajo de reconstruccion, el espectro de la senal a

20 Capıtulo 3

0 0.2 0.4 0.6 0.8

1

0.9

1.2

1.3

1.1

1.4

T/Ts

sinc T2Ts

)1

(

Condicion ideal

Figura 3.8 Respuesta en amplitud maxima del ecualizador en funcion del tiempo de ocupacion de mues-tra.

la salida sera G(f)H(f). Es decir, el proceso de muestreo y reconstruccion va a ser equivalente en este casoa pasar la senal original g(t) a traves de un filtro paso bajo de funcion de transferencia H(f) o respuestaal impulso h(t). La expresion para H(f) se puede determinar de forma sencilla, obteniendose la ecuacion(3.13). En la figura 3.7 se puede ver graficamente la respuesta en amplitud y en fase de este filtro (no seha tenido en cuenta en la representacion de la fase el signo de la funcion sinc).

H(f) = T sinc(fT ) exp(−jπfT ) (3.13)

Se puede decir que las muestras Flat-Top introducen distorsion de amplitud, ademas de un retardo deT/2. Este efecto es parecido a la variacion de la frecuencia debido al tamano finito de la apertura delescaneado en television y fax. Se suele denominar efecto apertura.

La distorsion de amplitud se suele corregir conectando un ecualizador en cascada con el filtro pasobajo de reconstruccion. Este ecualizador tiene el efecto de disminuir la perdida en la banda del filtrode reconstruccion segun la frecuencia crece de forma que se compense el efecto apertura. Idealmente larespuesta en amplitud del ecualizador viene dada por la ecuacion (3.14).

1|H(f)|

=1

T sinc(fT )=

πf

sin(πfT )(3.14)

En la practica la cantidad de ecualizacion necesaria es pequena. A la frecuencia superior f = 12Ts

, que esdonde hay mas distorsion, cuando la frecuencia de muestreo es la de Nyquist, se puede ver que la respuestaen amplitud del ecualizador normalizada a la frecuencia cero viene dada por la ecuacion (3.15), donde T/Ts

es el tiempo de ocupacion de muestra. En la figura 3.8 podemos ver esta respuesta maxima del ecualizadorcomo funcion del tiempo de ocupacion de muestra T/Ts.


(π/2)(T/Ts)sin[(π/2)(T/Ts))

(3.15)

Lo ideal serıa que el factor de compensacion maxima fuera unidad (no compensacion). Por ejemplopara un tiempo de ocupacion del 10%, el factor de compensacion es de 1,0041. Por eso, para tiempos deocupacion menores del 10 %, el efecto apertura se puede considerar despreciable y la ecualizacion puedeeliminarse.

4RECONSTRUCCION DE UNA SENAL

ALEATORIA A PARTIR DE SUS MUESTRAS.

El estudio del proceso de muestreo quedarıa incompleto sin considerar la reconstruccion de una senalaleatoria a partir de sus muestras. Vamos a ver que cuando un proceso estacionario en sentido amplio cuyadensidad espectral de potencia esta limitada en banda se puede reconstruir a partir de la secuencia demuestras tomadas a una tasa igual a dos veces la frecuencia superior de la senal. En este caso el proceso dereconstruccion da lugar a una senal que es igual a la original en sentido cuadratico medio en todo instantede tiempo.

Sea un proceso estocastico o senal aleatoria X(t) estacionario en sentido amplio con funcion de autoco-rrelacion RX(τ) y densidad espectral de potencia SX(f). La condicion de senal limitada en banda viene eneste caso dada por la ecuacion (4.1).

SX(f) = 0 para |f | > W (4.1)

Supongamos ahora que se dispone de una secuencia infinita de muestras tomadas del proceso a la tasade Nyquist fs = 2W , es decir, a dos veces la frecuencia superior de la senal. Si denotamos con X ′(t) a lasenal aleatoria reconstruida a partir de la secuencia infinita de muestras, podemos utilizar la formula deinterpolacion vista obteniendose la ecuacion (4.2), donde cada X

(n

2W

)es una variable aleatoria obtenida

muestreando el proceso X(t) en el instante de tiempo t = n2W .

X ′(t) =∞∑

n=−∞X

( n

2W

)sinc(2Wt− n) (4.2)

El valor cuadratico medio del error entre la senal original X(t) y el proceso reconstruido X ′(t) vienedado por la ecuacion (4.3).

E = E[(X(t)−X ′(t))2] = E[X2(t)]− 2E[X(t)X ′(t)] + E[(X ′(t))2] (4.3)

El primer termino de la ecuacion (4.3) es el valor cuadratico medio de la senal original se puede ponersegun la ecuacion (4.4).

E[X2(t)] = RX(0) (4.4)

Para el segundo termino de la ecuacion (4.3) se puede sustituir X ′(t) por su valor dado por la ecuacion(4.2), obteniendose la ecuacion (4.5). Si en esta ecuacion intercambiamos el orden del sumatorio y el valoresperado obtenemos la ecuacion (4.6).

23

24 Capıtulo 4

E[X(t)X ′(t)] = E

[X(t)

∞∑n=−∞

X( n

2W

)sinc(2Wt− n)

](4.5)

E[X(t)X ′(t)] =∞∑

n=−∞E

[X(t)X

( n

2W

)]sinc(2Wt− n) =

∞∑n=−∞

RX

(t− n

2W

)sinc(2Wt− n) (4.6)

Para procesos estacionarios E[X(t)X ′(t)] es independiente del tiempo t. Podemos poner t = 0 en laecuacion (4.6) y tener en cuenta que en el caso real la autocorrelacion es par, RX(−τ) = RX(τ), por lo queobtenemos la ecuacion (4.7).

E[X(t)X ′(t)] =∞∑

n=−∞RX

( n

2W

)sinc(−n) (4.7)

Los terminos RX

(n

2W

)representan muestras de la funcion de autocorrelacion RX(τ) tomadas a una

tasa fs = 2W . Ya que, como hemos dicho, la transformada de Fourier de la autocorrelacion RX(τ) es ladensidad espectral de potencia SX(f) que esta limitada en banda segun la ecuacion (4.1), se cumple elteorema de Nyquist y por tanto utilizando la formula de interpolacion se puede escribir la ecuacion (4.8)para recuperar la autocorrelacion RX(τ) a partir de sus muestras RX

(n

2W

).

RX(τ) =∞∑

n=−∞RX

( n

2W

)sinc(2Wτ − n) (4.8)

Comparando las ecuaciones (4.7) y (4.8), se puede fijar τ = 0 en la segunda para poder igualarlasobteniendose finalmente la ecuacion (4.9) para el segundo termino de la ecuacion (4.3).

E[X(t)X ′(t)] = RX(0) (4.9)

Para el tercer termino de la ecuacion (4.3) se puede sustituir X ′(t) por su valor dado por la ecuacion(4.2), obteniendose la ecuacion (4.10). Si en esta ecuacion intercambiamos el orden del sumatorio y el valoresperado obtenemos la ecuacion (4.11).

E[(X ′(t))2] = E

[ ∞∑n=−∞

X( n

2W

)sinc(2Wt− n)

∞∑k=−∞

X

(k

2W

)sinc(2Wt− k)

]

= E

[ ∞∑n=−∞

sinc(2Wt− n)∞∑

k=−∞

X( n

2W

)X

(k

2W

)sinc(2Wt− k)

](4.10)

E[(X ′(t))2] =∞∑

n=−∞sinc(2Wt− n)

∞∑k=−∞

E

[X

( n

2W

)X

(k

2W

)]sinc(2Wt− k)

=∞∑

n=−∞sinc(2Wt− n)

∞∑k=−∞

RX

(n− k

2W

)sinc(2Wt− k) (4.11)

RECONSTRUCCION DE UNA SENAL ALEATORIA MUESTREADA 25

Se puede comprobar facilmente teniendo en cuenta la ecuacion (4.8) que el segundo sumatorio de laecuacion (4.11) se puede poner segun la ecuacion (4.12). Sustituyendo esta ecuacion en la ecuacion (4.11)y teniendo en cuenta las ecuaciones (4.6) y (4.9) se obtiene finalmente la ecuacion (4.13) para el tercertermino de la ecuacion (4.3).

∞∑k=−∞

RX

(n− k

2W

)sinc(2Wt− k) =

∞∑k=−∞

RX

(k

2W

)sinc(2Wt− n− k) = RX

(t− n

2W

)(4.12)

E[(X ′(t))2] =∞∑

n=−∞RX

(t− n

2W

)sinc(2Wt− n) = RX(0) (4.13)

Sustituyendo las ecuaciones (4.4), (4.9) y (4.13) en la ecuacion (4.3) se tiene la ecuacion (4.14). Es decir,el valor cuadratico medio de la diferencia entre la senal original X(t) y la senal reconstruida X ′(t) utilizandolas muestras tomadas a la tasa de Nyquist fs = 2W es igual a cero.

E = E[(X(t)−X ′(t))2] = E[X2(t)]− 2E[X(t)X ′(t)] + E[(X ′(t))2] = 0 (4.14)

5MULTIPLEXACION POR DIVISION EN EL

TIEMPO (TDM).

El teorema de muestreo nos permite transmitir toda la informacion contenida en una senal limitada enbanda g(t) utilizando muestras tomadas uniformemente a una tasa ligeramente superior a la de Nyquist.Una caracterıstica importante en el proceso de muestreo es la conservacion del tiempo. Esto quiere decirque la transmision de una senal muestreada utiliza el canal de comunicacion solamente durante una fraccionmuy pequena del tiempo de muestreo de forma periodica y, de este modo, el resto del tiempo entre muestrasadyacentes no se utiliza. Este tiempo que no se utiliza se puede usar precisamente para transmitir muestrasprocedentes de otras fuentes de informacion independientes en un sistema en tiempo compartido. Ası ob-tenemos lo que se denomina senal TDM o multiplexacion por division en el tiempo que permite lautilizacion conjunta de un canal de comunicaciones comun por un conjunto de fuentes independientes sininterferencia mutua.

En la figura 5.1 se puede ver esquematicamente un sistema TDM extremo a extremo. El sistema tienecomo entrada N senales analogicas procedentes de N fuentes independientes. Cada una de estas senalesde entrada se limita en banda al ancho de banda adecuado mediante un filtro paso bajo antialiasing paraeliminar las componentes en frecuencia no esenciales para la representacion de la senal. Las N salidas delos filtros paso bajo se aplican a un conmutador que se implementa en la practica mediante circuiterıaelectronica de conmutacion. El proposito de este conmutador es:

Tomar una muestra estrecha de cada una de las N entradas a una tasa fs ligeramente superior a latasa de Nyquist 2W , siendo W la frecuencia de corte de los filtros paso bajo antialiasing.

Colocar cada una de las N muestras procedentes de las N senales de forma ordenada dentro de cadaperiodo Ts.

Pulsos

Canal de

Transmision

Modulador de Demodulador

de Pulsos

Filtro

Paso Bajo

Filtro

Paso Bajo

Filtro

Paso Bajo

Filtro

Paso Bajo

Filtro

Paso Bajo

Filtro

Paso Bajo

DeconmutadorConmutador

Sincronizacion

1

2

N

1

2

N

Pulsos deSincronismo

Pulsos deSincronismo

Figura 5.1 Esquema de un sistema TDM extremo a extremo.

27

28 Capıtulo 5

La segunda operacion del conmutador es de hecho lo esencial de la multiplexacion por division en eltiempo.

Tras el conmutador, la senal ya multiplexada se aplica a un modulador de pulsos, cuyo proposito esmodificar la senal multiplexada de la forma apropiada para su transmision por el canal de comunicaciones.

Se puede ver que el proceso de multiplexacion introduce una expansion en el ancho de banda de unfactor de N , puesto que el esquema TDM coloca N muestras procedentes de fuentes independientes en unintervalo temporal igual al periodo de muestreo. Es decir, la tasa real de muestras por segundo es de Nfs.

En el extremo receptor, la senal recibida se aplica a un demodulador de pulsos que realiza la operacioninversa al modulador de pulsos. Las muestras ordenadas en la senal TDM a la salida del demoduladorde pulsos se distribuyen en los N canales utilizando un deconmutador, como se puede ver en la figura5.1, que debe estar en perfecto sincronismo con el conmutador del transmisor. La sincronizacion entre elconmutador y deconmutador es esencial para el correcto funcionamiento el sistema TDM. El modo en el quese implementa esta sincronizacion, como veremos mas adelante, va a depender del metodo de modulacionde pulsos empleado para transmitir por el canal de comunicaciones la secuencia multiplexada. Finalmente,como se puede ver en la figura 5.1, cada una de las N senales se pasa por el filtro paso bajo de reconstruccioncorrespondiente para obtener las N senales analogicas.

El sistema TDM es muy sensible a la dispersion del canal de comunicaciones, esto es, es muy sensible avariaciones de la amplitud con la frecuencia o a perdidas de proporcionalidad de la fase con la frecuencia.En general, va a ser necesario realizar una ecualizacion de la senal para asegurar el correcto funcionamientodel sistema.

El sistema TDM es inmune a no linealidades en la amplitud del canal de comunicaciones como fuente dediafonıa (proceso por el cual se mezclan o interfieren senales procedentes de fuentes o canales diferentes),debido a que las diferentes senales no estan presentes en el canal de forma simultanea.

TDM y FDM constituyen los dos estandares basicos de multiplexacion mas utilizados en telefonıa. Conla coexistencia de los sistemas analogicos y digitales en la red telefonica, es necesario disponer de interfacesentre las secciones analogicas y las secciones digitales de la red. El elemento denominado transmultiplexores el interfaz disenado con este proposito: convierte una senal TDM en FDM y viceversa.

6MODULACION DE PULSOS EN AMPLITUD

(PAM).

En la modulacion de pulsos en amplitud o PAM, la amplitud de pulsos rectangulares equiespaciados esproporcional al valor instantaneo de las muestras de una senal continua. En la figura 6.1 podemos ver unejemplo de senal moduladora. En la figura 6.2 se puede ver la portadora utilizada para generar la senalPAM. Como puede verse no es mas que un tren periodico de pulsos. En la figura 6.3 podemos ver la senalPAM generada a partir de la senal moduladora de la figura 6.1 y la senal portadora de la figura 6.2.

La senal PAM se puede poner analıticamente segun la ecuacion (6.1), donde m(nTs) es la muestra n dela senal moduladora m(t), Ts es el periodo de muestreo, ka es la sensibilidad en amplitud y g(t) es la formade pulso. Al igual que ocurrıa en AM la constante ka se elige para no tener sobremodulacion, es decir, paramantener la polaridad de la portadora siempre positiva, segun la ecuacion (6.2). La tasa de muestreo debeser mayor que dos veces la frecuencia maxima de la senal moduladora m(t) de acuerdo con el teorema demuestreo.

t

m(t)


t

c(t)

Figura 6.2 Senal portadora utilizada en PAM.

29

30 Capıtulo 6

t

s(t)

Figura 6.3 Senal PAM.

s(t) =∞∑

n=−∞[1 + kam(nTs)]g(t− nTs) (6.1)

1 + kam(nTs) > 0 ∀ n (6.2)

La senal PAM s(t) se puede demodular de forma sencilla utilizando un filtro paso bajo con frecuencia decorte igual al ancho de banda de la senal moduladora m(t). La senal recuperada tendra una componentecontinua, debido a que la senal PAM contiene la senal portadora, que se puede eliminar de forma sencillamediante un condensador de desacople. Ademas la senal recuperada tiene una ligera distorsion en amplituddebido al efecto apertura causado por el alargamiento de las muestras que se puede corregir utilizando unecualizador como ya hemos visto.

La transmision de senales PAM impone restricciones muy severas en la respuesta en amplitud y fase delcanal de comunicaciones debido a la duracion relativamente corta de los pulsos transmitidos. Ademas deun excesivo ancho de banda de transmision, el funcionamiento frente al ruido de un sistema PAM nuncapuede ser mejor que la transmision de la senal en banda base. Se puede ver que para transmision a largadistancia el sistema PAM se puede utilizar como una parte del proceso TDM a partir del cual se utilizara unmodulador de pulsos que emplee alguna otra forma de modulacion de pulsos.

La mayor parte de los sistemas de modulacion de pulsos requieren sincronizacion del receptor y deltransmisor. Se suele mantener sincronismo a nivel de trama. Este metodo requiere transmitir informacionanadida, ademas de los pulsos de informacion, que sirva como marcas temporales dentro de cada trama deforma que ciertas puertas en la estructura del receptor se puedan abrir y cerrar en los instantes apropiadosdel tiempo. En algunos casos la marca temporal se fija transmitiendo un marcador por trama, mientrasque en otros casos se fija eliminando un pulso en su intervalo correspondiente. En el caso de transmitirmarcadores, estos deberan ser tales que se puedan distinguir de los pulsos de informacion. En un sistemaPAM, un marcador se identifica haciendo la amplitud del pulso mayor que todos los posibles valores de lospulsos de informacion. En la figura 6.4 se puede ver la trama TDM correspondiente a tres canales PAMy una marca de sincronismo por trama. Un marcador de este tipo se puede separar facilmente de la senalrecibida mediante un sistema umbral que deje pasar unicamente senales con amplitud mayor que el umbralde entrada. En la figura 6.5 se puede ver la caracterıstica entrada/salida de este dispositivo umbral. Cuandola senal TDM de la figura 6.4 esta por debajo del umbral la salida es cero. Para cuando la senal es mayor

MODULACION DE PULSOS EN AMPLITUD (PAM). 31

Umbral

1 2 3 S 1 2 3 S

Figura 6.4 Trama TDM-PAM con una marca de sincronismo por trama.

Entrada

Salida

Umbral

Figura 6.5 Caracterıstica entrada/salida del dispositivo umbral.

1 2 3 S 1 2 3 S

Figura 6.6 Senal de sincronismo recuperada.

que el umbral la salida es constante. Cuando la senal TDM de la figura 6.4 se pasa por el sistema umbralde la figura 6.5 se obtiene una senal de sincronismo como la que puede verse en la figura 6.6.

7MODULACION DE PULSOS EN EL TIEMPO

(PPM Y PDM).

En un sistema de modulacion de pulsos, se puede incrementar el ancho de banda gastado por los pulsospara obtener una mejora en su funcionamiento con ruido representando cada muestra de la senal mediantealguna propiedad del pulso distinta de su amplitud. En la modulacion por duracion del pulso o PDM,las muestras de la senal moduladora m(t) se utilizan para modificar la duracion de los pulsos individuales.La senal moduladora m(t) modifica el instante de tiempo del flanco de subida, del flanco de bajada o deambos. Para el caso en el que solo se modifique la posicion del flanco de bajada, la forma del pulso g(t)debe cumplir la ecuacion (7.1), entonces la senal modulada viene dada por la ecuacion (7.2), donde kd esla sensibilidad en duracion del modulador. Para no tener sobremodulacion (que los pulsos no se solapen)es necesario que se cumpla la ecuacion (7.3). En la figura 7.1 se puede ver una senal moduladora y en lafigura 7.2 la senal PDM.

g(t) 6= 0 solo para 0 ≤ t ≤ T (7.1)

s(t) =∞∑

n=−∞g

(2T [t− nTs]

Ts[1 + kdm(nTs)]

)(7.2)

1 + kdm(nTs) > 0 ∀ n (7.3)

En PDM los pulsos largos gastan una cantidad considerable de potencia durante el pulso mientras queno anaden informacion adicional. Si dicha potencia adicional se elimina de la senal PDM y se conserva

t

m(t)


33

34 Capıtulo 7

Ts 2Ts 3Tst

s(t)

Figura 7.2 Senal PDM con muestreo uniforme.

unicamente los instantes de las transiciones, se obtiene un tipo mas eficiente de modulacion de pulsosdenominado modulacion por posicion de pulsos o PPM. En PPM la posicion relativa del pulsorespecto a su posicion sin modular varıa de acuerdo con la senal moduladora m(t). La forma del pulso g(t)debe cumplir la ecuacion (7.4), entonces la senal modulada viene dada por la ecuacion (7.5), donde kp esla sensibilidad en posicion del modulador. Para no tener sobremodulacion (que los pulsos no se solapen)es necesario que se cumpla la ecuacion (7.6). En la figura 7.3 se puede ver la senal PPM para la senalmoduladora de la figura 7.1.

g(t) = 0 para |t| > T

2(7.4)

s(t) =∞∑

n=−∞g[t− nTs − kpm(nTs)] (7.5)

kp|m(nTs)| <Ts − T

2∀ n (7.6)

Un procedimiento para generar una senal PDM en la que varıe el flanco de bajada consiste en sumar ala senal moduladora m(t) una senal portadora con pulsos con forma de dientes de sierra y la senal sumaaplicarla a un sistema umbral. En la figura 7.4 se puede ver este procedimiento. La duracion del pulso esproporcional a la magnitud de la senal en el instante del flanco de bajada en lugar de por el flanco de subidaque es periodico en el tiempo. Por lo tanto, no se esta haciendo un muestreo uniforme de la senal. Estaforma de muestreo se denomina muestreo natural para diferenciarlo del uniforme. Si se desea emplearmuestreo uniforme en lugar de muestreo natural se puede generar en primer lugar una senal PAM cuyospulsos ocupen todo el periodo de muestra y sumar esta senal a la senal con forma de dientes de sierraen lugar de la moduladora directamente. De esta forma la duracion del pulso es proporcional a la senalmoduladora m(t) en el instante del flanco de subida que es periodico. Ahora el muestreo es uniforme. Unaconsecuencia del muestreo uniforme es que se introduce cierta distorsion en la senal reconstruida. Estadistorsion es aceptable para voz si la alta fidelidad no es esencial.

Se puede generar una senal PPM a partir de una senal PDM utilizando el esquema de la figura 7.5.Este sistema tiene un estado absoluto y otro casi absoluto que viene fijado por una senal de entrada. Sepuede seleccionar que el pulso de salida del multivibrador venga determinado por el flanco de bajada de la

MODULACION DE PULSOS EN EL TIEMPO (PPM y PDM). 35

Ts 2Ts 3Ts

t

s(t)

Figura 7.3 Senal PPM con muestreo uniforme.

senal de entrada. Puesto que la posicion del flanco de bajada de la senal de entrada varıa segun la senalmoduladora, en la salida la posicion del pulso va a variar segun la senal moduladora como se desea en unasenal PPM. La duracion de los pulsos de salida se puede ajustar eligiendo adecuadamente los valores parala resistencia y el condensador. Cuando la senal PDM a la entrada emplee muestreo natural, la senal PPMresultante tambien. En el caso de que la senal PDM tenga muestreo uniforme, la senal PPM tambien.

El analisis espectral de senales PDM y PPM es complicado. Vamos a ver una descripcion cualitativa enPDM con muestreo natural. Sea Ts el periodo de muestreo. Ts es tambien la separacion entre los flancosde subida de la senal PDM. La senal PDM se ha obtenido mediante muestreo natural en los flancos debajada. Vamos a suponer tambien que la senal moduladora m(t) es sinusoidal con frecuencia fm. Bajo estossupuestos la senal PDM tiene las siguientes componentes frecuenciales:

Componente continua a frecuencia cero igual al valor medio de la senal modulada.

Componentes a frecuencias multiplos enteros de la de muestreo fs = 1/Ts que corresponden a lıneasespectrales en ±nfs para n = 1, 2, 3, . . . Estas componentes ası como la componente continua sondebidas al tren de pulsos sin modular que se puede considerar como senal portadora.

Componente a la frecuencia fm en fase con la senal moduladora que da lugar a las lıneas espectrales±fm.

Componentes frecuenciales correspondientes a productos de modulacion cruzados entre la senal mo-duladora sinusoidal y la senal portadora. Dan lugar a las lıneas espectrales ±nfs ±mfm, para n, m =1, 2, 3, . . . Son pares de bandas laterales para cada componente de la senal portadora, excepto parafrecuencia cero.

La senal moduladora se puede recuperar pasando la senal PDM por un filtro paso bajo, sin embargoel proceso de reconstruccion viene acompanado por cierta cantidad de distorsion debido a los productosde modulacion que caen en la banda de la senal como fs − 2fm, fs − 3fm, etc. Para evitar que hayamucha distorsion en la senal reconstruida, es necesario restringir la maxima excursion del flanco de bajadade la senal PDM. Cuando se utiliza muestreo uniforme para generar la senal PDM, la salida del filtroreconstructor paso bajo no solo tiene la senal deseada, sino tambien sus armonicos ±mfm con m = 2, 3, . . ..Con muestreo natural esos armonicos no existen. En ambos casos siempre estan presentes los productosde modulacion antes indicados. En el muestreo uniforme se tiene un deterioro mayor de la senal que en elmuestreo natural.

36 Capıtulo 7

t

m(t)

2Ts 3TsTst

c(t)

t

Umbral

m(t) + c(t)

Ts 2Ts 3Ts

t

s(t)

Figura 7.4 Procedimiento para generar una senal PDM con muestreo natural.

MODULACION DE PULSOS EN EL TIEMPO (PPM y PDM). 37

Multivibrador

Monoestable

Señal

PDM PPM

Señal

R C

Figura 7.5 Esquema para generar una senal PPM a partir de una PDM.

En el caso de la senal PPM, se puede asumir que cada pulso tiene una duracion T muy pequena comparadacon el intervalo de muestreo Ts, ası que se puede considerar como un impulso. De aquı se puede deducir queel espectro de una senal PPM con muestreo natural y moduladora sinusoidal es muy similar al espectro dePDM, excepto que contiene una componente proporcional a la derivada de la senal moduladora en lugarde proporcional a la senal moduladora como tal y que la componente continua es mucho menor. Entoncesse puede recuperar la senal de informacion de la senal PPM pasandola por un filtro paso bajo e integrandoel resultado. Otra forma de recuperar la senal de informacion consiste en convertir la senal PPM en PDMprimero y luego demodular este ultima mediante un filtro paso bajo. De este modo se obtiene una mayoramplitud de senal y menos distorsion.

En un sistema con modulacion de pulsos en el tiempo como PDM o PPM, la informacion transmitidaesta contenida en las posiciones relativas de los pulsos modulados o sus flancos de subida o bajada. Lapresencia de ruido afecta al funcionamiento del sistema modificando el instante de tiempo en el cual elpulso comienza o acaba. Se puede conseguir inmunidad frente al ruido haciendo que la subida o bajadade los pulsos sea muy rapida de forma que el intervalo de tiempo durante el cual el ruido puede ejercerperturbaciones sea muy pequeno. De hecho, un ruido selectivo podrıa no afectar a los flancos de subida ybajada de los pulsos si los pulsos recibidos fueran perfectamente rectangulares, debido a que la presenciade ruido que solo introduzca perturbaciones en amplitud no afecta a la posicion de los flancos. La recepcionde pulsos perfectamente rectangulares implica un ancho de banda de transmision infinito.

En la practica con un ancho de banda de transmision finito, los pulsos recibidos tienen un tiempo finitode subida y bajada por lo que el funcionamiento del sistema se va a ver afectado por el ruido.

Como en un sistema FM la calidad frente al ruido en un sistema PPM o PDM es proporcional al cuadradodel ancho de banda normalizado. La calidad del sistema PPM, bajo las mismas condiciones, es siempre mejorque para el sistema PDM. La razon de ello es que el sistema PPM contiene la misma informacion que elsistema PDM, pero con un ahorro significativo de potencia transmitida con respecto a PDM. Por ello, PPMes mas eficiente en potencia que PDM. En cualquier caso ambos sistemas pueden mejorar significativamenteal sistema PAM simplemente intercambiando ancho de banda por calidad. Ademas si el ruido es elevado,el receptor puede detectar pulsos falsos o no detectar pulsos buenos aumentando mucho el ruido hastadesaparecer la senal por completo. Es decir, como los sistemas PPM y PDM no son lineales sufren unefecto umbral de forma similar a como ocurrıa con FM.

Al igual que ocurrıa con los sistemas PAM, los sistemas PDM y PPM se suelen emplear como base demodulacion para formar tramas TDM que requieren transmitir ciertas marcas de sincronismo. Al igual quevimos para los sistemas TDM-PAM, en TDM-PDM y en TDM-PPM se utiliza una marca de sincronismopor trama. En la figura 7.6 podemos ver un ejemplo de sincronismo a nivel de trama para ambos casos.

En PDM el marcador se identifica eliminando el pulso en el intervalo correspondiente al canal de sin-cronismo. Un metodo para identificar el marcador en recepcion es utilizar el tiempo de carga de una redresistencia-condensador para medir la duracion de los intervalos de tiempo entre cada dos pulsos consecu-tivos. La constante de tiempo se elije de modo que durante el intervalo del marcador (pulsos separados)

38 Capıtulo 7

1 2 3 S 1 2 3 S

1 2 3 S 1 2 3 S

MarcaMarca

Marca MarcaPPM

PDM

Figura 7.6 Sincronizacion de tramas TDM-PDM y TDM-PPM.

la tension en el condensador supere un valor suficientemente por encima de cuando se detecten los pulsosnormales de canales de informacion (pulsos juntos). La senal de tension en el condensador se puede aplicara un circuito umbral apropiado de forma que a su salida se obtenga la senal de sincronismo buscada.

En PPM por su parte el marcador se identifica transmitiendo un pulso varias veces mas ancho que elresto de pulsos utilizados para canales de informacion. En recepcion el marcador se puede extraer porun procedimiento similar al explicado para PDM. En este caso el condensador se debe cargar durante eltiempo que el pulso esta a nivel alto y descargar en los intervalos entre pulsos. La tension en el condensadorsuperara un umbral cuando hay marcador y entonces mediante un circuito umbral se puede obtener la senalde sincronismo a partir de la senal TDM-PPM recibida.

8MODULACION DIGITAL DE PULSOS (PCM).

En los sistemas PAM, PDM y PPM solo se expresa el tiempo de forma discreta, mientras que losparametros de modulacion: amplitud, duracion y posicion varıan de acuerdo con el mensaje. En estossistemas, la transmision de la informacion es analogica en instantes discretos. Por otro lado, en PCM (PulseCode Modulation), la senal es muestreada y cada muestra se redondea al mas cercano de un conjunto finitode posibles valores. Ası tanto la amplitud como el tiempo son discretos. De esta forma la informacion sepuede transmitir con impulsos codificados.

La utilizacion de senales digitales en lugar de analogicas tiene tres ventajas:

Robustez frente al ruido y las interferencias.

Regeneracion eficiente de la senal codificada a lo largo del camino de transmision.

Formato uniforme para diferentes tipos de senales banda base.

Como inconveniente se puede citar el incremento del ancho de banda, ası como el incremento de lacomplejidad. Con el incremento de disponibilidad de sistemas de banda ancha y la mejora de las tecnologıas,los sistemas digitales se han puesto en practica en muchos casos. En la figura 8.1 se puede ver el esquemadel codificador/transmisor de PCM. El muestreo, cuantificacion y codificacion se suelen realizar en un unicosistema denominado conversor A/D. El esquema del decodificador/receptor de PCM se puede ver en lafigura 8.2. Ademas en puntos intermedios a lo largo del canal de comunicaciones se puede regenerar lasenal segun como puede verse en la figura 8.3. Cuando se multiplexan varias senales PCM para generar unatrama TDM-PCM es necesario que el transmisor y el receptor esten sincronizados.

Muestreador Cuantificador CodificadorFiltro

Paso BajoBandaSeñal

Base PCM

Señal

Figura 8.1 Esquema del codificador/transmisor PCM.

Entrada

Señal

Destino

Señal

Reconstruccion

Filtro deDecodificador

Circuito

Regenerador

Figura 8.2 Esquema del decodificador/receptor PCM.

39

40 Capıtulo 8

Regenerador

Repetidor Señal

Regenerador

RepetidorSeñal

Regenerada

PCM PCM

con Distorsion

Figura 8.3 Regeneracion de la senal a lo largo del canal de comunicaciones.

8.1 MUESTREO.

La senal analogica de entrada se muestra con un tren de pulsos rectangulares estrechos que aproximen almuestreo instantaneo. Para asegurar la reconstruccion de la senal original en recepcion, la tasa de muestreodebe ser mayor que la de Nyquist, es decir, que el doble de la componente frecuencial mayor W de la senalbanda base de entrada. De hecho se suele utilizar un filtro paso bajo a la entrada de ancho de banda Wpara eliminar las componentes a mayor frecuencia antes del proceso de muestreo propiamente dicho. Elmuestreo permite la transformacion de una senal continua que varıa en el tiempo a un conjunto de valoresen instantes discretos del tiempo.

8.2 CUANTIFICACION.

La amplitud de cada muestra tiene un rango continuo de valores. Dentro del rango finito en amplituddonde varıan las muestras de la senal banda base, se puede encontrar un numero infinito de posibles nivelesde amplitud. En la practica, los sentidos solo pueden diferenciar un numero finito de niveles de amplitud.Esto significa que cada muestra se va a poder aproximar por una amplitud discreta de un conjunto finito deposibles valores, procurando reducir el error en la aproximacion tanto como sea posible. La existencia de unnumero finito de amplitudes es una caracterıstica diferencial de una senal PCM. Si se eligen estos nivelesde amplitud lo suficientemente cercanos entre sı, el error cometido entre la senal original y la cuantificadasera despreciable, por lo que en la practica, ambas senales seran indistinguibles.

La conversion de una muestra continua a formato digital, es decir, a una muestra con amplitud discreta,se denomina proceso de cuantificacion. La caracterıstica entrada/salida de un cuantificador tiene formade escalera. La diferencia entre dos valores adyacentes se denomina tamano del escalon δ. Un cuantificadorse disena para un rango de valores de entrada esperados (−Amax, Amax). Siempre que la senal de entradacaiga en este intervalo, se dice que el cuantificador esta funcionando es su zona lineal de trabajo. Si el valorde la senal de entrada cayera fuera de este intervalo, se dice que el cuantificador esta funcionando en zonade saturacion. En general el tamano del escalon se determina utilizando la ecuacion (8.1) donde L el elnumero de niveles de cuantificacion.

δ =2Amax

L(8.1)

En la figura 8.4 se puede ver la caracterıstica entrada/salida para L = 11 niveles de cuantificacion,tamano del escalon δ = 1 y rango de entrada dado por Amax = 5,5.

La amplitud de entrada se divide en intervalos (zonas horizontales de la escalera) y se asigna para todoslos valores dentro de ese intervalo el nivel de salida correspondiente al valor medio del intervalo (alturavertical de los escalones). Por ejemplo segun la figura 8.4 si el valor de entrada cae en el intervalo [2,5 3,5)se le asignara el valor cuantificado de salida 3.

Se denomina error de cuantificacion a la diferencia entre la senal de entrada y la senal de salida delcuantificador. En la figura 8.5 se ha representado el error de cuantificacion como funcion de la senal deentrada para el cuantificador de la figura 8.4. Como puede verse en la zona lineal de funcionamiento el errormaximo de cuantificacion viene dado por la mitad del tamano del escalon (0,5 en este caso), mientras que

MODULACION DIGITAL DE PULSOS (PCM). 41

Entrada

Salida

1

2

3

4

5

1/2−1

−2

−3

−4

−5

3/2 5/2 7/2 9/2

−9/2−3/2

−5/2−7/2

−1/2

Figura 8.4 Caracterıstica entrada/salida para el cuantificador de tipo Mid-Thread.

Entrada

Error

−3/2 −1/2−5/2−7/2−9/2

1/2 3/2 5/2 7/2 9/2−1/2

1/2

Figura 8.5 Error de cuantificacion como funcion de la senal de entrada.

en la zona de saturacion el error no esta acotado. El objetivo a la hora de disenar un cuantificador debe serevitar la zona de saturacion y minimizar el error de cuantificacion empleando para ello el menor numero deescalones posibles, pues como veremos mas adelante aumentar el numero de escalones significara un mayorancho de banda de transmision.

En la figura 8.6 se puede ver la senal cuantificada correspondiente a una senal sinusoidal, junto con elerror de cuantificacion cometido.

Si δ es el tamano del escalon, en un caso general cuando la senal de entrada cae en el intervalo [(Hi −1/2)δ, (Hi +1/2)δ) el valor cuantificado de salida es Hiδ para Hi = 0,±1,±2, . . .. Este tipo de cuantificadorque posee un numero de niveles L impar, se denomina de tipo Mid-Thread, ya que el origen coincide conuna zona horizontal de la escalera. El cuantificador de la figura 8.4 es de este tipo. Cuando el numero de

42 Capıtulo 8

Salida

t

Entrada

Error

t

Figura 8.6 Senal sinusoidal cuantificada junto con el error de cuantificacion cometido.

Salida

Entrada1/2

3/2

5/2

7/2

321−1/2

−3/2

−5/2

−7/2

−3 −2 −1

Figura 8.7 Caracterıstica entrada/salida para el cuantificador de tipo Mid-Riser.

niveles L es par, el cuantificador se denomina de tipo Mid-Riser, ya que el origen coincide con una zonavertical de la escalera. En este caso cuando la senal de entrada cae en el intervalo [(Hi−1)δ/2, (Hi+1)δ/2) elvalor cuantificado de salida es Hiδ/2 para Hi = ±1,±3,±5, . . .. En la figura 8.7 se puede ver la caracterısticaentrada/salida de tipo Mid-Riser para L = 8 niveles de cuantificacion, tamano del escalon δ = 1 y rangode entrada dado por Amax = 4.

El proceso de cuantificacion visto utiliza una separacion uniforme entre los valores de cuantificacion. Enalgunos casos es util usar separaciones variables entre los niveles de cuantificacion. En el caso de una senalde voz, entre una senal fuerte y una debil puede haber una relacion de amplitudes de 1000 a 1 . Usandoun cuantificador uniforme las senales debiles tendran un error relativo de cuantificacion mucho mayorque las senales fuertes ya que utilizan muchos menos niveles (escalones) de cuantificacion que las senalesfuertes. Utilizando un cuantificador no uniforme de forma que el tamano del escalon aumente segun nosalejamos del origen, se consigue que el error de cuantificacion se mantenga aproximadamente constante,es decir, el error de cuantificacion va a ser similar para senales debiles, que utilizan menos escalones peropequenos en tamano, que para senales fuertes, que utilizan todos los escalones pero los mas alejados detamano mayor. De esta forma se logra un porcentaje de precision uniforme independientemente del rangode amplitudes de la senal de entrada siempre que no estemos en saturacion. Se necesita un menor numerode escalones que si se utilizara un cuantificador uniforme para garantizar la calidad en senales debiles.


CompresorCuantificador

UniformeExpansor

Señal

DestinoEntrada

Señal

TRANSMISOR/CODIFICADOR RECEPTOR/DECODIFICADOR

Figura 8.8 Tecnica de cuantificacion no uniforme usando compansion.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

µ = 0

µ = 5

µ = 100

Entrada normalizada

Salid

a no

rmal

iaza

da

Figura 8.9 Caracterıstica entrada/salida del compresor con ley µ.

El uso de un cuanficador no uniforme es equivalente a pasar la senal banda base por un compresory utilizar un cuantificador uniforme. Para recuperar la senal en recepcion va a ser necesario utilizar unexpansor cuya caracterıstica entrada/salida es la complementaria al compresor. Idealmente el compresory el expansor deben ser inversos de modo que excepto por los errores de cuantificacion la senal a laentrada del compresor y a la salida del expansor sean exactamente iguales. La combinacion de compresory expansor se denomina tecnica de compansion. En la figura 8.8 se puede ver el esquema de esta tecnicade cuantificacion no uniforme.

Existen dos leyes de compansion. La primera de ellas se denomina ley µ. Si v1 y v2 son las amplitudesnormalizadas de entrada y salida del compresor, la caracterıstica entrada/salida viene dada por la ecuacion(8.2) y por la figura 8.9, donde µ es un parametro a ajustar de la ley. Para µ = 0 tenemos el caso uniforme,es decir, el compresor es lineal. Un valor tıpico utilizado en la practica es µ = 100. Como se puede ver laley µ no es ni estrictamente lineal ni estrictamente logarıtmica. Se puede decir que es aproximadamentelineal para µ|v1| � 1 y aproximadamente logarıtmica para µ|v1| � 1.

|v2| =ln(1 + µ|v1|)

ln(1 + µ)(8.2)

Para un valor dado de µ, con el inverso de la pendiente de la curva de compresion se puede obtener eltamano del escalon para cada valor v1 de entrada segun la ecuacion (8.3). Cerca del origen el tamano del

44 Capıtulo 8

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

A = 1

A = 5

A = 100

Salid

a no

rmal

izad

a

Entrada normalizada

Figura 8.10 Caracterıstica entrada/salida del compresor con ley A.

escalon ha disminuido por un factor µln(1+µ) . Este valor se denomina ganancia de compansion y para

µ = 100 vale 26,7 dB.

d|v1|d|v2|

=ln(1 + µ)

µ(1 + µ|v1|) (8.3)

La segunda de las leyes se denomina ley A. La caracterıstica entrada/salida viene dada por la ecuacion(8.4) y por la figura 8.10, donde A es un parametro a ajustar de la ley. Para A = 1 tenemos el caso uniforme,es decir, el compresor es lineal. Un valor tıpico utilizado en la practica es A = 100. La ley A esta formadapor un primer tramo estrictamente lineal seguido de un segundo tramo estrictamente logarıtmico.

|v2| =

A|v1|

1+ln(A) 0 ≤ |v1| ≤ 1A

1+ln(A|v1|)1+ln(A)

1A ≤ |v1| ≤ 1

(8.4)

Para un valor dado de A, el inverso de la pendiente de la curva, esto es, el tamano del escalon, para cadavalor v1 de entrada, viene dado por la ecuacion (8.5). Cerca del origen el tamano del escalon ha disminuidopor un factor A

1+ln(A) . Este valor se denomina ganancia de compansion y para A = 100 vale 25 dB.

d|v1|d|v2|

=

1+ln(A)

A 0 ≤ |v1| ≤ 1A

(1 + ln(A))|v1| 1A ≤ |v1| ≤ 1

(8.5)


En los sistemas PCM reales, los sistemas compansores no son una replica exacta de la caracterıstica dela ley µ o de la ley A, sino que son una aproximacion por intervalos lineales a la curva deseada. Utilizandoun numero elevado de segmentos lineales, la aproximacion llega a ser bastante buena.

8.3 CODIFICACION.

Combinando muestreo y cuantificacion hemos convertido la senal banda base continua en un conjunto devalores discretos de un conjunto finito de posibles valores. Sin embargo, esta representacion no es adecuadapara su transmision. Para aprovechar las ventajas de los sistemas digitales se requiere la codificacion paraobtener una senal con una forma mas apropiada para su transmision. Cualquier forma de representar cadauno de los valores discretos del conjunto finito se denomina codigo. Cada evento discreto del codigo sedenomina elemento del codigo o sımbolo. Por ejemplo, un sımbolo se puede representar por la presenciao ausencia de un pulso. Una ordenacion particular de los sımbolos utilizada en un codigo para representarun unico valor del conjunto discreto se denomina palabra codigo o caracter.

Un codigo binario tiene dos sımbolos que se denotan por ∅ y 1. En un codigo ternario hay 3 sımbolos,etc. En presencia de ruido el codigo binario es el que tiene un mejor comportamiento puesto que cada sımbolopuede soportar un nivel de ruido relativamente elevado y es mas facil de regenerar.

Supongamos que en el codigo binario cada palabra codigo tiene n bits (bit equivale a sımbolo binario).Con ese codigo se pueden representar 2n numeros distintos. Es por ello que se suele elegir el numero deniveles de cuantificacion como potencia de 2 de forma que se puede igualar L = 2n, o lo que es lo mismo, elnumero de bits necesarios para codificar muestras cuantificadas con L niveles es n = log2(L). n representa elnumero de bits por muestra. Por ejemplo, para L = 128 niveles tenemos n = 7 bits y para L = 256 tenemosn = 8 bits. Hay muchas formas de establecer la relacion uno a uno entre cada nivel de cuantificacion y cadapalabra codigo. Una forma sencilla de hacerlo es representar el numero de escalon (empezando a contardesde abajo) en base dos (representacion binaria). En la tabla 8.1 se puede ver un ejemplo de este tipo decodificacion para L = 8 y n = 3.

La senal que representa a cada 1 o ∅ se denomina codigo de lınea. Existen muchos codigos de lınea. Esdeseable que tenga una componente continua (dc) lo menor posible, que tenga el menor ancho de bandaposible y que permita recuperar el sincronismo a nivel de bit. Los mas utilizados son los siguientes:

NRZ (Nonreturn to zero) unipolar (on-off). El sımbolo 1 se representa transmitiendo un pulsode amplitud constante durante todo el intervalo de bit y el ∅ se representa mediante la ausencia depulso. En los periodos largos de varios unos o ceros consecutivos se puede perder el sincronismo de bit.Presenta siempre componente continua. Tiene un ancho de banda relativamente pequeno.

NRZ polar. El sımbolo 1 y el ∅ se representan mediante pulsos de igual amplitud positiva y nega-tiva respectivamente durante todo el intervalo de bit. En los periodos largos de varios unos o cerosconsecutivos se puede perder el sincronismo de bit. Cuando los bits son equiprobables desaparece lacomponente continua. Tiene un ancho de banda relativamente pequeno.

RZ (Return to zero) unipolar. El sımbolo 1 se representa transmitiendo un pulso de amplitudconstante durante la mitad del intervalo de bit y el ∅ se representa mediante la ausencia de pulso. Enperiodos largos de varios ceros consecutivos se puede perder el sincronismo de bit, no ası en periodoslargos de varios unos consecutivos debido al flanco de bajada a mitad de intervalo de bit. Tiene unancho de banda mayor debido a que la duracion de los pulsos es menor. Tiene componente continuaaunque esta es menor que para NRZ unipolar. Tiene un ancho de banda relativamente pequeno.

Bipolar. Se utilizan tres niveles de amplitud. Para representar el sımbolo 1 se utilizan alternativamentepulsos positivos y negativos de igual amplitud y de duracion igual a todo el intervalo de bit. El sımbolo∅ se representa mediante la ausencia de pulso. En periodos largos de varios ceros consecutivos sepuede perder el sincronismo de bit, no ası en periodos largos de varios unos consecutivos debido a laalternancia de pulsos positivos y negativos. Tiene componente continua cero. Tiene un ancho de bandarelativamente pequeno.

46 Capıtulo 8

Numero de escalon Palabra codigo

0 ∅∅∅

1 ∅∅1

2 ∅1∅

3 ∅11

4 1∅∅

5 1∅1

6 11∅

7 111

Tabla 8.1 Ejemplo de codigo usando la representacion en base dos del numero de escalon.

Codigo Manchester (Split-phase). El sımbolo 1 se representa mediante un flanco de bajada, esdecir un pulso de amplitud positiva de duracion la mitad del tiempo de bit seguido de otro pulso de lamisma amplitud pero negativa de la misma duracion. El sımbolo ∅ se representa mediante un flancode subida, es decir un pulso de amplitud negativa de duracion la mitad del tiempo de bit seguidode otro pulso de la misma amplitud pero positiva de la misma duracion. No tiene nunca componentecontinua y mantiene el sincronismo a nivel de bit independientemente de los bits transmitidos puestoque siempre presenta un flanco a mitad de tiempo de bit. Sin embargo, tiene un mayor ancho de bandadebido a que la duracion de los pulsos es menor (tiene mayor numero de transiciones por unidad detiempo).

Diferencial. En este caso la informacion se codifica en terminos de transiciones en la senal. El sımbolo∅ se codifica mediante una transicion en la senal, mientras que el sımbolo 1 se codifica mediante ausenciade transicion (se mantiene el valor de la senal). En ambos casos la senal se mantiene durante todola duracion del bit. Se permite pulso con amplitud constante y ausencia de pulso. La informacion serecupera comparando los pulsos adyacentes para determinar la presencia o ausencia de transiciones.Hay presencia de componente continua. Tiene un ancho de banda relativamente pequeno. Una inversionde la polaridad no va a afectar a la recuperacion de la informacion. Una secuencia larga de unos (notransicion) va a provocar la perdida de sincronismo a nivel de bit. Una secuencia larga de ceros (siempretransicion) no presenta problemas de sincronismo de bit.

En la figura 8.11 se puede ver un ejemplo para los 6 tipos de codigos de lınea vistos. En la practica, lospulsos que se transmiten no son rectangulares, es decir, estan conformados para mejorar sus prestacionesfrente al ruido y las interferencias. La conformacion o forma de los pulsos se vera en el tema siguiente.


0 1 1 101 0 0

NRZ

NRZ

Manchester

RZ

polar

unipolar

unipolar

Bipolar

Diferencial

Bit de referencia Tiempo

Figura 8.11 Ejemplo de codificacion para los seis tipos de codigos de lınea.

8.4 REGENERACION.

Una de las caracterısticas mas importantes de PCM es la posibilidad de controlar los efectos de ladistorsion y el ruido debidos a su transmision a traves de un canal de comunicaciones. Esta capacidad selogra mediante la insercion de repetidores/regeneradores a lo largo de la lınea de transmision colocadosa la distancia adecuada. En la figura 8.12 se puede ver esquematicamente un repetidor/regenerador.

El repetidor/regenerador conlleva tres procesos: ecualizacion, recuperacion del reloj y decision.El ecualizador conforma los pulsos recibidos para compensar los efectos de distorsion en amplitud y faseintroducidos por el canal. El circuito de reloj genera un tren de pulsos periodicos obtenido a partir de lasenal recibida ya ecualizada, para poder muestrear esta senal en el mejor instante de forma que la relacionsenal a ruido (SNR) sea maxima. El decisor es el encargado de muestrear la senal recibida ecualizada en losinstantes indicados por la senal de reloj y de decidir cual fue el sımbolo enviado para poder regenerarle ytransmitirle hasta el proximo repetidor o hasta el receptor. Por ejemplo, si el codigo de lınea es NRZ unipolarsi el valor muestreado es mayor que un cierto umbral se decide por 1 y se retransmite sin ruido ni distorsiony si el valor muestreado es menor que el umbral se decide por ∅ y se retransmite sin ruido ni distorsion. Deesta forma el repetidor/regenerador ha eliminado tanto el ruido como la distorsion completamente, siempreque el ruido y la distorsion de la senal recibida no sean tan elevados como para que el decisor cometaerrores. Entonces, excepto por un retardo, se puede decir que la senal a la salida del repetidor/regeneradores exactamente igual que la senal a la salida del transmisor.

En la practica, hay dos cosas a tener en cuenta que pueden hacer que la senal regenerada no sea igual ala transmitida:

La presencia de ruido y distorsion hace que el decisor se confunda ocasionalmente dando lugar a bitserroneos en la senal regenerada.

48 Capıtulo 8

Señal PCM

con DistorsionEcualizador

Amplificador Señal

Regenerada

PCMDecisor

Circuito de

Sincronismo

Figura 8.12 Esquema de un repetidor/regenerador colocado a lo largo de la lınea de transmision.

Si el espaciado entre los pulsos se modifica con respecto al de la senal transmitida se produce unfenomeno que recibe el nombre de jitter que va a afectar a la posicion de los pulsos regenerados dandolugar a la distorsion de la senal.

8.5 DECODIFICACION.

En el receptor la primera operacion es la regeneracion de la senal: conformar los pulsos y decidir cualfue el sımbolo transmitido generando una senal limpia. Esta senal binaria se debe agrupar de n en n bitspara formar palabras codigo. Ahora cada palabra codigo se mapea en el valor cuantificado correspondiente,dando lugar a una senal PAM cuantificada. Durante el proceso de cuantificacion la agrupacion de n bitspara obtener las palabras codigo requiere generar pulsos cuya amplitud es la suma lineal de los pulsoscorrespondientes a los n bits ponderados por potencias de dos: 20, 21, 22, etc.

8.6 FILTRADO.

La senal continua original se puede recuperar pasando la senal PAM cuantificada generada a la salida deldecodificador a traves de un filtro de reconstruccion paso bajo cuya frecuencia de corte sea igual al anchode banda W de la senal banda base original. Si suponemos que no tenemos un ruido excesivo en el canal eldecisor practicamente no cometera errores de bit y la distorsion de la senal recuperada sera muy pequenay debida unicamente al proceso de cuantificacion.

8.7 MULTIPLEXADO.

En las aplicaciones que utilizan PCM es natural multiplexar diferentes fuentes con tecnicas TDM-PCMconservando su individualidad en el camino entre el transmisor y el receptor. Esta individualidad tiene encuenta la facilidad de insertar y extraer la senal en un sistema TDM. Segun aumenta el numero de fuentesindependientes, el intervalo de tiempo de cada fuente se debe reducir de modo que todas ellas puedan caberdentro del tiempo equivalente al periodo de muestro, que sera igual a la duracion de una trama TDM-PCM. De esta forma la duracion de una palabra codigo se reduce considerablemente. Los pulsos utilizadospara transmitir cada sımbolo (o lo que es lo mismo para transmitir los bits) se reducen en duracion, siendoentonces mas complicada su generacion, transmision y deteccion. De hecho si estos pulsos fueran demasiadoestrechos la distorsion del canal dara lugar a que el sistema deje de funcionar correctamente produciendoseinterferencias entre los diferentes canales PCM multiplexados. En la practica siempre existe un lımite alnumero maximo de canales PCM independientes que se pueden multiplexar en una trama TDM-PCM.


µs = 193 bits125 µs = 193 bits125

µs = 193 x 6 bits6 x 125

µs = 8 bits8 x 0.647µs = 8 bits8 x 0.647

1 2 3 4 5 6

x 5sync242321 sync242321

193 193 193 193 193 193

8 18 8 8 8 8 8 8 1· · · · · ·

Informacion y señalizacionInformacion

Informacion

x 241234567

1 1 1 1 1 1 1 1

Informacion

x 24123456 07

1 1 1 1 1 1 1 1

Señalizacion

Figura 8.13 Trama TDM-PCM del sistema T1.

8.8 SINCRONIZACION.

Para que una trama TDM-PCM funcione correctamente es necesario que el reloj del receptor este sin-cronizado a nivel de bit y a nivel de trama con el del transmisor, teniendo en cuenta por su puesto eltiempo gastado en la transmision de la senal a traves del canal de comunicaciones y los retardos intro-ducidos tanto en el transmisor y el receptor como en las etapas regeneradoras a lo largo del canal. Unaforma de sincronizar el receptor con el transmisor a nivel de trama consiste en transmitir un bit especialde sincronismo al final de la trama TDM-PCM. El bit de sincronismo alterna ∅ con 1 a la tasa de trama(que coincide con la tasa de muestreo de cada canal PCM). El receptor busca esa senal alternando ∅ con 1a la tasa de trama y cuando la encuentra se logra el sincronismo de trama de forma que el sistema puedecomenzar a funcionar correctamente (en ese momento se puede saber que bits corresponden a cada canalPCM contando a partir del bit de sincronismo encontrado). El procedimiento consiste en examinar los bitsde la trama de uno en uno periodicamente a la tasa de trama hasta encontrar el pulso de sincronismo.Se examina siempre el mismo bit de la trama cada periodo de la trama. Cuando haya pasado un tiemposuficiente se puede establecer que dicho bit no es el de sincronismo ya que no alterna, pasandose a observarel siguiente bit. Este proceso se repite hasta que se encuentre el bit de sincronismo. El numero maximo debusquedas sera igual al numero de bits por trama como mucho, suponiendo que se este transmitiendo.

Cuando la transmision se interrumpe por alguna razon (o al principio de la misma), se pierde el sincro-nismo de trama y es necesario recuperarlo. El tiempo requerido para encontrarlo depende del instante detiempo en el que se haya reanudado la transmision y puede variar.

50 Capıtulo 8

8.9 EJEMPLO SISTEMA T1.

El sistema T1 es un sistema TDM-PCM que transmite 24 canales de voz telefonicos que se utiliza enEEUU, Canada y Japon. Cada canal telefonico se limita a la banda 300 a 3400 Hz. Para que el filtro dereconstruccion sea mas sencillo se fija una frecuencia de muestreo de 8000 Hz. Se utiliza un cuantificadorde 256 niveles con ley µ con µ = 255. El numero de bits por palabra codigo es de 8. El periodo de muestreoes 125 µs y sera igual a la duracion de la trama TDM-PCM. La trama esta formada entonces por las 24palabras codigo de 8 bits cada una correspondientes a los 24 canales PCM y por un bit de sincronismo,dando lugar a 193 bits por trama. Se transmiten 193 bits cada 125 µs por lo que cada bit dura 0.647 µs y latasa binaria total del sistema T1 es de 1544 Kbps. Ademas para cada canal cada 6 tramas de informacionel bit menos significativo de la sexta trama se utiliza para senalizacion telefonica (marcacion de numeros,descolgar, colgar, tarificacion, etc.). De esta forma cada canal tiene 7 + 5

6 bits de informacion y 16 bits de

senalizacion por trama. La tasa de cada canal es de 64 Kbps de los cuales 62,66 Kbps son de informacion y1,33 Kbps de senalizacion. Finalmente, los 1544 Kbps corresponden a 1504 Kbps de informacion conjunta,32 Kbps de senalizacion conjunta y 8 Kbps de sincronismo. En la figura 8.13 se puede ver como es la tramaTDM-PCM de este sistema.

9ANALISIS DE LA CALIDAD EN PCM.

Hay dos fuentes de ruido en los sistemas PCM:

Ruido de transmision: introducido en diferentes puntos entre el transmisor y el receptor.

Ruido de cuantificacion: introducido en la etapa de cuantificacion en el transmisor.

Aunque aparecen de forma conjunta en la senal recibida los vamos a analizar por separado.

9.1 RUIDO DE TRANSMISION Y PROBABILIDAD DEERROR.

El efecto del ruido de transmision en la senal recibida es debido a la introduccion de bits erroneos porparte de la etapa de decision en el receptor. En el caso binario un bit sera erroneo cuando debiendo ser 1 es∅ y viceversa. Cuanto mas frecuentemente ocurran estos errores, la senal a la salida del receptor tendra unamayor distorsion con respecto a la senal enviada. La fidelidad de la informacion transmitida en un sistemaPCM se mide en funcion de la probabilidad de error o tasa de error: la probabilidad de que un sımbolorecibido sea distinto del enviado.

Consideremos una senal PCM s(t) que consiste en una secuencia de dıgitos binarios de forma que elsımbolo ∅ se representa mediante un pulso de amplitud cero y el sımbolo 1 mediante un pulso rectangularde amplitud A. Es decir, estamos empleando un codigo de lınea de transmision del tipo NRZ unipolar.La senal recibida x(t) consiste en la senal s(t) junto con un ruido AWG w(t) con media cero y densidadespectral de potencia SW (f) = N0

2 segun la ecuacion (9.1).

x(t) = s(t) + w(t) (9.1)

En la figura 9.1 se puede ver el esquema empleado para detectar la senal PCM. Como se puede ver endicha figura la senal recibida x(t) se pasa a traves de un filtro paso bajo que tiene un ancho de banda B quesea suficientemente grande como para dejar pasar la senal PCM sin distorsion significativa y que eliminela mayor cantidad del ruido w(t) fuera de la banda de la senal. La senal y(t) a la salida del filtro vienedada entonces por la ecuacion (9.2) donde n(t) es la version filtrada del ruido w(t). Este ruido filtrado tienemedia cero y potencia σ2 = N0B.

y(t) = s(t) + n(t) (9.2)

51

52 Capıtulo 9

y > A/2k

y < A/2ken tk

yk

s(t)PCM +

+

w(t)

Filtro

Paso BajoDecisor

UmbralA/2

1 si

0 si

x(t) y(t)

Figura 9.1 Esquema del detector empleado en PCM.

Estamos interesados en determinar en cada intervalo de sımbolo si se transmitio ∅ o 1. Lo primero quese hace es muestrear la senal y(t) a mitad de intervalo de bit Tb periodicamente cada Tb segundos (unamuestra por bit), obteniendose la muestra yk en el instante de tiempo tk = kTb. Se supone que se disponede una senal de reloj sincronizada a nivel de bit con la senal recibida. Esta senal de reloj se puede extraerde la senal recibida de forma mas o menos sencilla teniendo en cuenta el codigo de lınea empleado. Ahoradeberemos decidir si cada muestra yk corresponde a un ∅ o a un 1. Puesto que se emplea codigo de lıneaNRZ unipolar con amplitud cero y A, y suponiendo que la posible atenuacion de la senal se ha compensadoen el receptor, se puede decidir facilmente cual fue el sımbolo transmitido comparando la amplitud yk conun umbral de amplitud A/2. Si yk es mayor que el umbral A/2 se decide en favor de 1, si es menor se decidepor ∅ y si es igual se decide aleatoriamente. Siempre que el ruido no sea demasiado elevado, yk sera mayorque el umbral A/2 cuando se transmita 1 y menor cuando se transmita ∅ por lo que no se cometera error.Solo en el caso de que el ruido sea elevado el decisor cometera errores. Vamos a analizar esto en mas detalle.

Vamos a suponer que los sımbolos 1 y ∅ tienen igual probabilidad de ocurrencia. Debido a la presenciade la componente de ruido n(t) en la banda de la senal, el decisor va a poder cometer dos tipos de errores:

Decidir por ∅ cuando se transmitio 1.

Decidir por 1 cuando se transmitio ∅.

Para determinar la probabilidad media de error vamos a considerar estos dos tipos de errores por separado.Vamos a suponer primero que se transmitio ∅. En este caso la muestra yk viene dada por la ecuacion (9.3).Vamos a denotar con Yk a la variable aleatoria correspondiente a la muestra yk. Si se ha transmitido ∅la variable aleatoria Yk sera Gaussiana con media cero y varianza σ2, por lo que su funcion densidad deprobabilidad vendra dada por la ecuacion (9.4).

yk = n(tk) (9.3)

fYk/∅(yk/∅) =1

σ√

2πexp

(− y2

k

2σ2

)(9.4)

En este caso se cometera error siempre que la variable sea mayor que el umbral A/2 ya que se decide por1. La probabilidad de error Pe∅ correspondera entonces a la zona rayada de la figura 9.2. Esta probabilidadde error viene dada por el desarrollo de la ecuacion (9.5), donde en la ultima integral se ha empleado elcambio de variable z = yk

σ√

2.

ANALISIS DE LA CALIDAD EN PCM. 53

yk

Yk /0(y /0)k

f

A/2

Figura 9.2 Funcion densidad de probabilidad cuando se transmitio ∅ y probabilidad de error.

Pe∅ = P

(yk >

A

2/∅

)=

∫ ∞

A2

fYk/∅(yk/∅)dyk =1

σ√

2π

∫ ∞

A2

exp(− y2

k

2σ2

)dyk

=1√π

∫ ∞

A

2σ√

2

exp(−z2)dz (9.5)

Teniendo en cuenta que la funcion de error complementario (erfc) viene dada por la ecuacion (9.6),la probabilidad de error cuando se transmitio ∅ viene dada finalmente por la ecuacion (9.7). La funcion deerror complementario se utiliza habitualmente para determinar probabilidades en el caso Gaussiano y sueleestar tabulada. Es una funcion monotona decreciente.

erfc(u) =2√π

∫ ∞

u

exp(−z2)dz (9.6)

Pe∅ =12erfc

(A

2σ√

2

)(9.7)

Vamos a suponer ahora que se transmitio 1. En este caso la muestra yk viene dada por la ecuacion (9.8).Si se ha transmitido 1 la variable aleatoria Yk sera Gaussiana con media A y varianza σ2, por lo que sufuncion densidad de probabilidad vendra dada por la ecuacion (9.9).

yk = A + n(tk) (9.8)

fYk/1(yk/1) =1

σ√

2πexp

(− (yk −A)2

2σ2

)(9.9)

En este caso se cometera error siempre que la variable sea menor que el umbral A/2 ya que se decide por∅. La probabilidad de error Pe1 correspondera entonces a la zona rayada de la figura 9.3. Esta probabilidadde error viene dada por el desarrollo de la ecuacion (9.10), donde se ha empleado el cambio de variablez = −yk−A

σ√

2y la funcion error complementario dada por la ecuacion (9.6).

54 Capıtulo 9

yk

Yk /1(y /1)k

f

A/2 A

Figura 9.3 Funcion densidad de probabilidad cuando se transmitio 1 y probabilidad de error.

Pe1 = P

(yk <

A

2/1

)=

∫ A2

−∞fYk/1(yk/1)dyk =

1σ√

2π

∫ A2

−∞exp

(− (yk −A)2

2σ2

)dyk

=1√π

∫ ∞

A

2σ√

2

exp(−z2)dz =12erfc

(A

2σ√

2

)(9.10)

Como puede verse a partir de las ecuaciones (9.7) y (9.10) se tiene que Pe∅ = Pe1 . Siempre que estoocurra se dice que el canal es simetrico. En este caso es debido a la simetrıa del umbral A/2 con respectoa las amplitudes 0 y A de los sımbolos transmitidos.

Si la probabilidad de transmitir 1 es p1 y la de ∅ es p∅ la probabilidad de error medio viene dada porla ecuacion (9.11). Puesto que se ha supuesto que los sımbolos transmitidos son equiprobables se tiene quep1 = p∅ = 1

2 , por lo que se tiene finalmente que la probabilidad de error medio viene dada por la ecuacion(9.12).

Pe = p∅Pe∅ + p1Pe1 (9.11)

Pe = Pe∅ = Pe1 =12erfc

(A

2σ√

2

)(9.12)

Para el caso NRZ unipolar, la senal alterna entre los niveles 0 y A, por lo que la potencia de pico desenal sera A2. Ya que σ2 es la potencia de ruido, la probabilidad de error medio se puede poner segun laecuacion (9.13), donde γ es la SNR de pico dada por la ecuacion (9.14). Se puede decir entonces que elvalor medio de la probabilidad de error en PCM solo depende de la SNR de pico a la entrada del receptor.

Pe =12erfc

(12

√γ

2

)(9.13)

γ =A2

σ2(9.14)


12 14 16 18 20 22 2410

−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

SNR de pico en dB

Pe

Figura 9.4 Probabilidad de error medio como funcion de la SNR de pico.

SNR de pico γ [dB] probabilidad media de error Pe tiempo medio entre errores para 105 bps

13.3 10−2 10−3 segundos

17.4 10−4 10−1 segundos

19.6 10−6 10 segundos

21.0 10−8 20 minutos

22.0 10−10 1 dıa

23.0 10−12 3 meses

Tabla 9.1 Algunos valores de SNR de pico, probabilidad de error y tiempo medio entre bits erroneospara una tasa de 105 bps.

En la figura 9.4 se puede ver graficamente la probabilidad de error medio como funcion de la SNR depico en dB. Esta probabilidad decrece muy rapidamente con un incremento pequeno de la SNR de pico.Un pequeno incremento en la SNR de pico da lugar a una gran disminucion en el numero de errores quecomete el decisor. En la tabla 9.1 se recogen algunos valores de SNR de pico y probabilidad media de errorası como el tiempo medio esperado para cometer un error en un bit para una tasa binaria de 105 bps.

Hay un umbral de error en torno a unos 20 dB de SNR de pico por debajo del cual tenemos un numero deerrores relevante y por encima del cual el efecto del ruido de transmision se puede considerar despreciable. Se

56 Capıtulo 9

puede decir entonces que si γ > 20 dB el ruido de transmision no tiene efectos apreciables en las prestacionesdel sistema. Esta es una caracterıstica fundamental de los sistemas PCM. Si γ < 20 dB habra errores enla etapa de decision, lo que dara lugar a generar palabras codigo diferente y por tanto la senal recuperadasera bastante diferente de la original.

Comparando los 20 dB del sistema PCM con los 60 a 70 dB para AM con buena calidad, se puede verque PCM requiere mucha menor potencia, incluso teniendo en cuenta el incremento del ancho de banda deruido por el factor n, siendo n el numero de bits necesarios por sımbolo transmitido.

En la mayorıa de los sistemas de transmision, el efecto del ruido y la distorsion de los enlaces individualesse van acumulando. Dada una calidad extremo a extremo, cuanta mayor distancia tengamos, mas severosseran los requisitos de cada enlace. En PCM sin embargo, ya que se puede regenerar la senal tantas vecescomo sea necesario, los efectos de distorsion de amplitud, fase y no lineal en un enlace no tienen efectosen el siguiente (siempre que estos efectos se mantengan dentro de unos margenes). Ademas si estamos porencima del umbral, el ruido tampoco tendra ningun efecto en la calidad final del sistema. Para propositospracticos los requerimientos de un enlace PCM son independientes de la longitud total, dada una calidadextremo a extremo.

Otra caracterıstica de un sistema PCM es la robustez frente a interferencias. Hemos visto que si laamplitud del ruido no es mayor que el umbral del decisor (fijado a medio camino entre las amplitudes 0y A para el caso NRZ unipolar), el ruido no afecta a la calidad final del sistema. Si la suma del ruido yla interferencia no superan dicho umbral, en este caso la calidad tampoco se ve afectada. El efecto de lapresencia de interferencias es la de subir el umbral de error en la SNR de pico a un valor mayor de 20dB, dependiendo de la potencia de la interferencia. Si ahora nos aseguramos que nuestro sistema funcionapor encima de este nuevo umbral de SNR de pico, el sistema no se vera afectado ni por el ruido ni por lainterferencia. Esta es la razon por la que decimos que el sistema PCM es robusto frente a interferencias.

9.2 RUIDO DE CUANTIFICACION.

Es debido al redondeo de las muestras de la senal continua al nivel permitido mas cercano. Supongamosque δ es el tamano del escalon. Para el caso de cuantificador uniforme de tipo Mid-Thread los nivelesde salida son 0,±δ,±2δ,±3δ, . . . Si una muestra de entrada cae en el intervalo (kδ − δ/2, kδ + δ/2), conk = 0,±1,±2,±3, . . ., el nivel de salida cuantificado es kδ. Tenemos una region de incertidumbre de anchoδ y centrada en kδ. Sea qe el valor del error debido al proceso de cuantificacion. La amplitud de la muestraa la entrada es kδ + qe y a la salida es kδ. Si la amplitud de la muestra a la entrada es aleatoria pero dentrodel margen dinamico del cuantificador (no esta en saturacion), qe esta restringida al intervalo (−δ/2, δ/2).

Cuando la cuantificacion es suficientemente fina (el numero de niveles o escalones es mayor de 64), ladistorsion producida por el ruido de cuantificacion es equivalente a una fuente de ruido independiente,aditiva, de media cero y valor cuadratico medio determinado por el valor del tamano del escalon δ. Larazon de esto es que la densidad espectral de potencia del ruido de cuantificacion a la salida del receptor espracticamente independiente de la senal banda base para un rango bastante amplio de amplitudes de senal.Para una senal banda base con valor RMS (raız cuadrada del valor cuadratico medio) grande comparadocon el tamano del escalon δ, se puede ver que la densidad espectral de potencia del ruido de cuantificaciontiene un ancho de banda grande comparado con el de la senal. El ruido de cuantificacion esta uniformementedistribuido en el ancho de banda de la senal y el efecto es similar al de un ruido termico.

Sea Qe la variable aleatoria que denota el ruido de cuantificacion. Supongamos que Qe este uniformementedistribuido en el intervalo (−δ/2, δ/2) segun la ecuacion (9.15). Para que esto sea cierto la senal de entradano debe saturar al cuantificador. La media de esta distribucion es cero mientras que la varianza viene dadapor la ecuacion (9.16).

fQe(qe) =

1δ |qe| ≤ δ

2

0 en el resto(9.15)


E[Q2e] =

∫ ∞

−∞q2efQe(qe)dqe =

1δ

∫ δ/2

−δ/2

q2edqe =

δ2

12(9.16)

Vamos a denotar con ARMS al valor RMS de la senal a cuantificar m(t). En ese caso la potencia mediade la senal m(t) sera A2

RMS. Cuando la senal banda base se reconstruye a la salida del receptor se obtienela senal mas el ruido de cuantificacion. Entonces la SNR a la salida va a venir dada por la ecuacion (9.17).

SNRO =A2

RMS

δ2/12(9.17)

Si m(t) se modela como una senal con distribucion Gaussiana con media cero y la zona lineal de funcio-namiento del cuantificador va de −4ARMS a 4ARMS, la probabilidad de que la senal m(t) entre en zona desaturacion es de 10−4, por lo que se puede utilizar la distribucion uniforme para el ruido de cuantificacion.El numero de niveles del cuantificador es L = 2n siendo n el numero de bits necesarios por muestra cuanti-ficada en la etapa de codificacion. Entonces el tamano del escalon viene dada por la ecuacion (9.18), por loque sustituyendo esta expresion en la ecuacion (9.17) se puede obtener la ecuacion (9.19) para la SNR dela senal reconstruida (a la salida del receptor/decodificador). Esta ecuacion suele venir dada normalmenteen dB segun la ecuacion (9.20).

δ =8ARMS

2n(9.18)

SNRO =316

22n (9.19)

10 log10 (SNRO) = 6n− 7,3 [dB] (9.20)

Segun la ecuacion (9.20) cada bit adicional contribuye con 6 dB a la SNRO. Esto da una idea delcomportamiento de un sistema PCM frente al ruido de cuantificacion siempre que:

El ruido de transmision sea despreciable. Para ello se tenıa que cumplir que la SNR de pico del canalfuera mayor que 20 dB en ausencia de interferencia o del nivel correspondiente superior en presenciade esta.

El error de cuantificacion qe se pueda considerar uniformemente distribuido segun la ecuacion (9.15).

La cuantificacion sea suficientemente fina (n > 6) para evitar patrones de senal correlados en el ruidode cuantificacion.

El rango del cuantificador sea de −4ARMS a 4ARMS.

Las condiciones primera y tercera se cumplen siempre que la calidad del sistema sea suficientementeelevada. Si la calidad no es un requisito tan severo, se puede tener n ≤ 6. En este caso la calidad noesta reflejada unicamente en el valor de SNRO, sino en la presencia no deseada de patrones de senal en laforma de onda del error de cuantificacion dependientes de la senal.

58 Capıtulo 9

numero de niveles L numero de bits n SNRO [dB] caso sinusoidal SNRO [dB] caso Gaussiano

32 5 31.8 22.8

64 6 37.8 28.8

128 7 43.8 34.8

256 8 49.8 40.8

Tabla 9.2 Numero de niveles, numero de bits y SNRO en dB para el caso sinusoidal y Gaussiano.

Vamos a analizar ahora el caso en el que la senal a cuantificar sea una senal sinusoidal de la formam(t) = Am cos(2πfmt) que recorra completamente todo el rango completo del cuantificador, es decir, elrango es ahora de −Am a Am (caso sinusoidal con carga total o completa). La potencia de esta senalsinusoidal es A2

m/2. El tamano del escalon viene dado por la ecuacion (9.21) y la varianza del ruido por laecuacion (9.22).

δ =2Am

L= Am21−n (9.21)

E[Q2e] =

δ2

12=

13A2

m2−2n (9.22)

La SNR a la salida viene dada por la ecuacion (9.23) o en dB por la ecuacion (9.24).

SNRO =3222n (9.23)

10 log10 (SNRO) = 6n + 1,8 [dB] (9.24)

En la tabla 9.2 se recogen para varios valores del numero de bits por sımbolo n los valores correspon-dientes para el numero de niveles L y los valores de SNRO en dB para el caso sinusoidal y Gaussiano,respectivamente. A partir de la tabla 9.2 y dada una calidad se puede determinar el numero de bits ny correspondientemente el numero de niveles L del cuantificador para el caso sinusoidal o para el casoGaussiano.

Si la senal m(t) tiene un ancho de banda W , la tasa de Nyquist es de 2W . Si se utiliza un cuantificador den bits, la duracion de cada bit viene dado por la ecuacion (9.25). En general, el ancho de banda requeridopara transmitir esta senal binaria como veremos en el tema siguiente viene dado por la ecuacion (9.26),siendo k una constante que depende de la forma de los pulsos transmitidos que suele moverse en el rango1 ≤ k ≤ 2. Si utilizamos la expresion para la SNRO cuando la senal m(t) es sinusoidal con carga completadada por la ecuacion (9.23) y sustituyendo n a partir de la ecuacion (9.26) se obtiene la ecuacion (9.27).A partir de esta ecuacion se deduce que la SNRO tiene una relacion exponencial o potencial con respectoal ancho de banda normalizado Bn = BT /W . En FM esta relacion era cuadratica: doblando el ancho debanda, siempre que estemos por encima del umbral la mejora es de 6 dB. Sin embargo en un sistema PCMdoblando el ancho de banda, se puede utilizar un cuantificador con el doble numero de bits n por lo que


la mejora es de 6n dB. Podemos concluir diciendo que PCM es mucho mas eficiente que FM en lo que serefiere a intercambio de ancho de banda de transmision BT y SNRO. Ademas, ya que la calidad en PDMy PPM seguıa tambien una relacion cuadratica con el ancho de banda como FM, PCM tambien va a sermucho mas eficiente que la modulacion analogica de pulsos (PAM, PDM y PPM) en lo que se refiere aintercambio de ancho de banda de transmision BT y SNRO.

Tb =1

2nW(9.25)

BT = knW (9.26)

SNRO =324

BTW 4

1k (9.27)

TRANSMISION DIGITAL EN

BANDA BASE.



CONTENIDOS


1. ELEMENTOS DE UN SISTEMA BINARIO EN BANDA BASE. 1

2. FORMA DE LOS PULSOS RECIBIDOS PARA EVITAR ISI. 3

3. FILTROS OPTIMOS DE TRANSMISION Y RECEPCION. 7

4. CODIFICACION CORRELATIVA 134.1. Senalizacion Duobinaria. 134.2. Senalizacion Duobinaria Modificada. 174.3. Forma General de Codificacion Correlativa. 19

5. SISTEMAS BANDA BASE M-ARIOS. 21

6. FILTRO ADAPTADO. 23

7. DIAGRAMA DE OJOS. 29

v

INDICE DE FIGURAS

Capıtulo 1

1.1. Esquema de un sistema binario en banda base basado en PAM. 1

Capıtulo 2

2.1. Espectro del pulso P (f) con forma de coseno alzado para tres valores del factor de roll-offρ. 5

2.2. Forma de p(t) en el dominio del tiempo para el pulso con espectro con forma de cosenoalzado para tres valores del factor de roll-off ρ. 6

Capıtulo 3

Capıtulo 4

4.1. Esquema de un codificador duobinario. 134.2. (a) Respuesta en amplitud y (b) respuesta en fase de la funcion de transferencia global

H(f) en el caso duobinario. 144.3. Respuesta al impulso global h(t) en el caso duobinario. 154.4. Tecnica de precodificacion. 164.5. Esquema del decisor cuando se emplea precodificacion en el transmisor. 164.6. Esquema codificacion duobinaria modificada empleando precodificacion. 174.7. (a) Respuesta en amplitud y (b) respuesta en fase de la funcion de transferencia global

H(f) en el caso duobinario modificado. 184.8. Respuesta al impulso global h(t) en el caso duobinario modificado. 194.9. Esquema general de un codificador correlativo. 20

Capıtulo 5

5.1. Ejemplo de senal PAM M -aria con M = 4. 21

Capıtulo 6

6.1. Esquema de un sistema de transmision limitado por ruido que emplea deteccion mediantefiltro adaptado. 23

6.2. Probabilidad media de error mınima como funcion de la relacion adimensional Eb/N0 enun sistema binario que emplea filtro adaptado. 27

Capıtulo 7

7.1. Detalle de una senal binaria antes del muestreador. 297.2. Diagrama de ojos para la senal de la figura 7.1. 297.3. Parametros de interes del diagrama de ojos. (a) Mejor instante de muestreo. (b) Distorsion

del cruce por cero. (c) La pendiente es la sensibilidad a errores de temporizacion. (d)Margen sobre el ruido. (e) Intervalo temporal en el que se puede muestrear. (f) Distorsionen el instante de muestreo. (g) Perıodo de bit Tb. 30

vii

1ELEMENTOS DE UN SISTEMA BINARIO EN

BANDA BASE.

Vamos a estudiar tecnicas de modulacion de pulsos discretos para la transmision de informacion digitalen banda base. En la modulacion de pulsos discretos la amplitud, la duracion o la posicion de los pulsostransmitidos varıa de acuerdo a los datos digitales de entrada. Sin embargo, para la transmision en bandabase de datos digitales, el uso de modulacion de pulsos en amplitud discreta o PAM es mas eficiente enterminos de utilizacion de potencia y ancho de banda. A partir de ahora vamos a utilizar siempre sistemasbasados en PAM.

En la figura 1.1 podemos ver el diagrama de bloques del transmisor digital banda base basado en PAM.La senal aplicada a la entrada del sistema consiste en una secuencia binaria {bk} con una duracion de bitde Tb segundos. bk en el caso binario es de la forma ∅ o 1. Gracias al bloque generador de pulsos, cadasımbolo bk se representa con un pulso g(t) con diferente amplitud ak dependiendo del sımbolo transmitido,obteniendose la senal x(t) a traves de la ecuacion (1.1). La forma de los pulsos depende de como sea g(t).Este pulso esta normalizado de forma que g(0) = 1.

x(t) =∞∑

k=−∞

akg(t− kTb) (1.1)

La amplitud ak depende de la identidad del bit de entrada bk, pudiendose suponer la codificacion dadapor la ecuacion (1.2).

ak =

+a si la entrada fue bk = 1

−a si la entrada fue bk = ∅(1.2)

La senal PAM x(t) pasa a traves de un filtro de transmision de funcion de transferencia ajustableHT (f). La salida de este filtro es la senal que se transmite a traves del canal de comunicaciones. Esta senaltransmitida se ve modificada de forma determinıstica segun la funcion de transferencia del canal HC(f)que se supone conocida. Ademas el canal introduce ruido aleatorio w(t) blanco y aditivo referido a la

HT(f) HC(f) HR(f)y(t i)

{bk} { b }kt = iTi b

DecisorPulsosGenerador

Reloj

x(t) y(t)

w(t)

CANAL RECEPTORTRANSMISOR

Reloj Umbrales

SimbolosEntrada

SimbolosSalida

Figura 1.1 Esquema de un sistema binario en banda base basado en PAM.

1

2 Capıtulo 1

entrada del receptor. La senal ruidosa pasa a traves de un filtro de recepcion de funcion de transferenciaajustable HR(f) obteniendose la senal y(t). Esta senal se muestrea manteniendo el sincronismo con eltransmisor a una tasa de una muestra por bit. Los instantes de muestreo ti = iTb vienen determinados porun reloj o senal de temporizacion que normalmente se extrae de la propia senal recibida y(t). Finalmente, lasecuencia de muestras y(ti) obtenida se utiliza para reconstruir la senal original utilizando un dispositivodecisor. La amplitud de cada muestra se compara con un umbral. Si la muestra es mayor que el umbralse decide que se transmitio un 1, en caso contrario se decide en favor de ∅, obteniendose la secuencia {bk}.El objetivo es que esta secuencia sea exactamente igual a la original {bk}.

La senal de y(t) viene dada por la ecuacion (1.3), donde Ak es la amplitud de los pulsos recibidos. Debidoa los filtros de transmision HT (f) y recepcion HR(f) y a la funcion de transferencia del canal HC(f), laforma de los pulsos se ha modificado siendo ahora p(t). Las amplitudes Ak pueden ser tales que el pulso enrecepcion tambien este normalizado de forma que p(0) = 1.

y(t) =∞∑

k=−∞

Akp(t− kTb) + n(t) (1.3)

Akp(t) es el pulso que se recibe tras el filtro de recepcion cuando se tiene akg(t) antes del filtro detransmision, por lo que se cumple la ecuacion (1.4), siendo G(f) y P (f) las transformadas de Fourier delos pulsos transmitido g(t) y recibido p(t), respectivamente.

AkP (f) = akG(f)HT (f)HC(f)HR(f) (1.4)

El termino n(t) de la ecuacion (1.3) es el ruido presente a la salida del filtro receptor (el ruido filtrado)debido al ruido blanco y aditivo w(t) presente a lo largo del canal de comunicaciones. Este ruido se suelemodelar ademas como Gaussiano con media cero.

La senal recibida y(t) se muestrea en los instantes ti = iTb, con i entero, obteniendose la ecuacion (1.5),donde Ai es la amplitud del bit i transmitido. El segundo termino de esta ecuacion representa el efectoresidual del resto de bits transmitidos en la deteccion del bit i. Este efecto se denomina interferenciaentre sımbolos o ISI (Inter-Symbol Interference). El ultimo termino representa el ruido muestreado en elinstante ti.

y(ti) =∞∑

k=−∞

Akp[(i− k)Tb] + n(ti) = Ai +∞∑

k=−∞k 6=i

Akp[(i− k)Tb] + n(ti) (1.5)

En ausencia de ISI y ruido la ecuacion (1.5) quedarıa y(ti) = Ai, por lo que el bit i se decodificarıa deforma correcta siempre. La inevitable presencia de ISI y ruido en el sistema va a dar lugar a bits erroneosen la etapa de decision. A la hora de disenar los filtros de transmision HT (f) y recepcion HR(f) habra queminimizar el efecto de la ISI y del ruido para que el decisor cometa el menor numero de errores posible, loque en definitiva aumentara la calidad del sistema.

En lo que sigue vamos a determinar en primer lugar que condiciones tiene que cumplir la forma de lospulsos recibidos p(t) para evitar la ISI y en segundo lugar vamos a disenar los filtros optimos de transmisionHT (f) y recepcion HR(f) para evitar la ISI y minimizar el efecto del ruido.

2FORMA DE LOS PULSOS RECIBIDOS PARA

EVITAR ISI.

Tıpicamente la funcion de transferencia del canal y la forma del pulso vienen dadas de modo que elproblema es determinar la funcion de transferencia del filtro de transmision HT (f) y del filtro de recepcionHR(f) de modo que el receptor reconozca la secuencia de valores Ai en la senal recibida.

Al resolver este problema, debemos evitar la ISI debido al solapamiento de los extremos de los otros pulsosque se suman al pulso de interes Aip(t− iTb) que se observa en el instante iTb. Si esta forma de interferenciaes muy fuerte, el decisor puede cometer errores. El control de la ISI en el sistema se logra controlando en eldominio del tiempo la forma de los pulsos recibidos p(t) o en el dominio de la frecuencia su transformadade Fourier P (f). Una forma de senal que no produce ISI esta definida temporalmente por la funcion sincdada por la ecuacion (2.1) que cumple que en el instante de muestreo del bit de interes esta normalizadavaliendo p(0) = 1 y en los instantes de muestreo del resto de bits se anula, es decir, p(iTb) = 0 para i 6= 0.En la ecuacion (2.1) BT es el ancho de banda de este pulso p(t) que viene relacionado con la duracion delbit Tb a traves de la ecuacion (2.2).

p(t) =sin(2πBT t)

2πBT t= sinc(2BT t) (2.1)

BT =1

2Tb(2.2)

En el dominio de la frecuencia P (f) corresponde a una senal paso bajo ideal de ancho de banda BT dadapor la ecuacion (2.3). Esto significa que no hace falta ninguna componente frecuencial que exceda la mitadde la tasa binaria.

P (f) =1

2BTΠ(

f

2BT

)=

1

2BT|f | < BT

0 en el resto(2.3)

Como ya se ha dicho el pulso p(t) tiene su valor de pico en el origen igual a la unidad y se anula paramultiplos enteros de Tb. Si la senal recibida se muestrea en t = 0,±Tb,±2Tb, . . . los pulsos definidos porAip(t− iTb) con amplitud Ai para i = 0,±1,±2, . . . no interferiran entre sı.

Aunque la eleccion de esta forma de senal para el pulso p(t) minimiza el ancho de banda necesario y selogra evitar la ISI, aparecen dificultades practicas que lo hacen poco apropiado en el diseno del sistema:

1. Requiere que la caracterıstica de P (f) sea plana en frecuencia desde −BT hasta BT y cero fuera. Estoes fısicamente irrealizable y muy difıcil de aproximar en la practica debido a la discontinuidad en ±BT .

3

4 Capıtulo 2

2. La funcion p(t) decrece segun 1/|t| para |t| grande, es decir decrece de forma lenta. Esto es debido a ladiscontinuidad de P (f) en ±BT . No hay posibilidad de un margen de error en los instantes de muestreoen el receptor. Para evaluar el efecto de un error de temporizacion vamos a considerar que la muestrade la senal recibida y(t) del origen se toma en el instante t = ∆t, siendo ∆t el error de temporizacioncometido. El instante correcto de muestreo deberıa haber sido t = 0 en este caso. En ausencia de ruidose tiene la ecuacion (2.4). Como se cumple que 2BT Tb = 1 la ecuacion anterior se puede escribir segunla ecuacion (2.5). Desarrollando ahora el seno del numerador se obtiene la ecuacion (2.6) y, teniendo encuenta que sin(πk) = 0 y que cos(πk) = (−1)k para k entero, se obtiene finalmente la ecuacion (2.7).

y(∆t) =∞∑

k=−∞

Akp(∆t− kTb) =∞∑

k=−∞

Aksin[2πBT (∆t− kTb)]

2πBT (∆t− kTb)(2.4)

y(∆t) =1π

∞∑k=−∞

Aksin(2πBT ∆t− πk)

2BT ∆t− k(2.5)

y(∆t) =1π

∞∑k=−∞

Aksin(2πBT ∆t) cos(πk)− cos(2πBT ∆t) sin(πk)

2BT ∆t− k(2.6)

y(∆t) = A0sinc(2BT ∆t) +sin(2πBT ∆t)

π

∞∑k=−∞

k 6=0

Ak(−1)k

2BT ∆t− k(2.7)

El primer termino de la ecuacion (2.7) define el sımbolo deseado. Si ∆t toma un valor pequeno,sinc(2BT ∆t) es aproximadamente unidad, por lo que el primer termino nos proporciona el bit deseadode amplitud A0. El segundo termino representa la ISI debida al resto de bits que interfieren con el bitde interes debido al error de temporizacion ∆t. Dependiendo de los valores de la amplitud Ak del restode bits, es posible que esta serie no converja a cero, dando lugar a errores en el decisor. Esto es debidoa que la serie

∑1/k tiende a infinito.

Usando el ancho de banda menor posible existen otras soluciones para la forma de p(t) que evitan laISI y permiten salvar los dos inconvenientes anteriores. Una de las soluciones mas interesantes fue descritapor primera vez por Nyquist: la forma de P (f) que posee muchas de las propiedades deseables es elcoseno alzado. Esta caracterıstica en frecuencia consiste en una parte plana a baja frecuencia y otra partedecreciente hasta cero o roll-off siguiendo una funcion coseno. En la ecuacion (2.8) se tiene la expresionanalıtica para P (f). El ancho de banda de este pulso es 2BT − f1 siendo f1 un parametro frecuencial dadopor la ecuacion (2.9). ρ se denomina factor de roll-off y cumple que 0 ≤ ρ ≤ 1. El factor de roll-off esun parametro de diseno del pulso. Usando dicho factor, el ancho de banda Bw del pulso viene dado por laecuacion (2.10).

P (f) =

12BT

|f | < f1

14BT

{1 + cos

[π(|f |−f1)2BT−2f1

]}f1 < |f | < 2BT − f1

0 |f | > 2BT − f1

(2.8)

f1 = BT (1− ρ) (2.9)

FORMA DE LOS PULSOS RECIBIDOS PARA EVITAR ISI. 5

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2 ρ = 0ρ = 0.5ρ = 1

P(f)2B T

TBf

Figura 2.1 Espectro del pulso P (f) con forma de coseno alzado para tres valores del factor de roll-off ρ.

Bw = BT (1 + ρ) (2.10)

En la figura 2.1 podemos ver el espectro P (f) para factor de roll-off ρ = 0, ρ = 0,5 y ρ = 1. El eje defrecuencias esta normalizado con respecto a BT y las amplitudes con respecto al valor en el origen de P (f).Para ρ = 0, se tiene que Bw = BT y f1 = BT . En este caso la ecuacion (2.8) coincide con la ecuacion(2.3) por lo que P (f) es un pulso baso bajo ideal con mınimo ancho de banda de forma que la parte concaıda sinusoidal desaparece, es decir, tenemos el pulso en el dominio del tiempo p(t) con forma de sinc. Siahora ρ = 1, se tiene que Bw = 2BT y f1 = 0. En este caso el ancho de banda es el doble que el pulsoen el dominio del tiempo p(t) con forma de sinc. Ademas la parte plana desaparece puesto que f1 = 0 yel espectro tiene una caıda suave sinusoidal desde el origen hasta 2BT . Para ρ = 0,5 el ancho de bandaBw = 1,5BT y f1 = 0,5BT . En este caso para bajas frecuencias hasta 0,5BT hay una zona plana y de0,5BT hasta 1,5BT tenemos la zona de caıda sinusoidal. P (f) presenta simetrıa impar en la frecuencia BT

en torno al valor 0,5 de amplitud normalizada como se puede apreciar en la figura 2.1.

Tomando transformada inversa de Fourier en la expresion para P (f) dada por la ecuacion (2.8) se puedeobtener la expresion en el dominio del tiempo para p(t) llegando a la ecuacion (2.11). En la figura 2.2 sepuede ver graficamente p(t) para factor de roll-off ρ = 0, ρ = 0,5 y ρ = 1. Cuando ρ = 0 la forma de p(t)es una sinc.

p(t) = sinc(2BT t)2πρBT t

1− 16ρ2B2T t2

(2.11)

La expresion para p(t) dada por la ecuacion (2.11) consiste en el producto de dos factores. Un primerfactor sinc(2BT t) asociado con el pulso con forma de sinc con espectro rectangular y un segundo factor

6 Capıtulo 2

−3 −2 −1 0 1 2 3−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

1

ρ = 0ρ = 0.5ρ = 1

Ttb

p(t)

Figura 2.2 Forma de p(t) en el dominio del tiempo para el pulso con espectro con forma de coseno alzadopara tres valores del factor de roll-off ρ.

que decrece como 1/|t|2 para |t| grande. El primer factor asegura que p(t) pase por cero en los instantes demuestreo del resto de sımbolos para t = iTb con i un entero distinto de cero. El segundo factor reduce eltamano de las colas del pulso considerablemente por debajo del pulso con forma de sinc, ası la transmisionde la senal binaria usando estos pulsos va a ser relativamente insensible a los errores de temporizacion. Dehecho la cantidad de ISI debido a un error de temporizacion decrece segun ρ crece desde 0 hasta 1.

Para el caso especial de ρ = 1, la expresion para p(t) de la ecuacion (2.11) se puede simplificar obte-niendose la ecuacion (2.12).

p(t) =sinc(4BT t)1− 16B2

T t2(2.12)

El pulso dado por la ecuacion (2.12) para ρ = 1 tiene las siguientes propiedades en el dominio del tiempo:

En t = ±Tb

2 = ± 14BT

se cumple que p(t) = 1/2, es decir, el ancho del pulso medido a mitad de amplitudes exactamente Tb.

Hay cruces en t = ±3Tb/2,±5Tb/2, . . ., ademas de los cruces normales en t = ±Tb,±2Tb, . . .

Estas dos propiedades son particularmente utiles a la hora de regenerar la senal de reloj en el receptorpara sincronizacion. Sin embargo, el precio a pagar para el caso ρ = 1 es la necesidad del doble ancho debanda que para el caso ρ = 0 como se puede ver en la figura 2.1.

3FILTROS OPTIMOS DE TRANSMISION Y

RECEPCION.

En el capıtulo 2 hemos visto como disenar la forma del pulso p(t) para reducir la ISI en los instantesde muestreo a cero. El problema que vamos a abordar ahora es el diseno de los filtros de transmision yrecepcion de forma que la probabilidad de error debida al ruido sea mınima. En la ecuacion (3.1), la senaltras el muestreador del receptor, el segundo termino es el debido a la ISI.

y(ti) = Ai +∞∑

k=−∞k 6=i

Akp[(i− k)Tb] + n(ti) (3.1)

Si suponemos que se utiliza un pulso p(t) adecuado para eliminar la ISI en los instantes de muestreo, laamplitud de la muestra a la entrada del decisor en el instante ti = iTb viene dada por la ecuacion (3.2),donde las amplitudes Ai vienen dadas por la ecuacion (3.3). El decisor por tanto debe comparar la amplitudde la muestra con un umbral de 0. Ası si y(ti) > 0 se decide que se transmitio 1, mientras que si y(ti) < 0se decide que se transmitio ∅.

y(ti) = Ai + n(ti) (3.2)

Ai =

+A cuando se transmitio 1

−A cuando se transmision ∅(3.3)

Vamos a suponer que el ruido aditivo w(t) a la entrada del receptor es blanco Gaussiano y de media cerocon densidad espectral de potencia SW (f) constante e igual a N0/2. En la ecuacion (3.2) n(ti) sera unamuestra de una variable aleatoria Gaussiana, de media cero y con varianza dada por la ecuacion (3.4),siendo HR(f) la funcion de transferencia del filtro a la entrada del receptor.

σ2N =

N0

2

∫ ∞

−∞|HR(f)|2df (3.4)

La probabilidad de error promedio del decisor usando un umbral de 0 se puede comprobar que vienedada por la ecuacion (3.5) siendo erfc la funcion de error complementario dada por la ecuacion (3.6).

Pe =12erfc

(A√2σN

)(3.5)

7

8 Capıtulo 3

erfc(u) =2√π

∫ ∞

u

exp(−z2)dz (3.6)

Ya que la funcion erfc es decreciente segun se puede deducir observando la ecuacion (3.6), la probabilidadde error promedio decrecera segun A/σN crece. Para minimizar la probabilidad de error promedio tenemosque disenar los filtros de transmision HT (f) y de recepcion HR(f) para maximizar la relacion A/σN oequivalentemente A2/σ2

N . Esta cantidad se puede considerar como un valor de SNR. Para poder maximizaresta SNR, debemos poner la relacion A2/σ2

N como funcion de HT (f) y de HR(f).

La senal x(t) a la entrada del filtro de transmision viene dada por la ecuacion (3.7), donde g(t) es laforma del pulso transmitido que esta normalizado para que valga 1 en el origen y tiene una duracion igualo menor que la duracion de bit Tb. Las amplitudes ak vienen dadas por la ecuacion (3.8).

x(t) =∞∑

k=−∞

akg(t− kTb) (3.7)

ak =

+a para transmitir 1

−a para transmitir ∅(3.8)

Vamos a suponer que los bits son independientes y equiprobables. La densidad espectral de potencia dela senal x(t) a la entrada del filtro de transmision viene dada por la ecuacion (3.9), donde Ψg(f) es ladensidad espectral de energıa de la forma del pulso transmitido g(t) dada por la ecuacion (3.10), siendoG(f) el espectro de g(t).

SX(f) =a2Ψg(f)

Tb(3.9)

Ψg(f) = |G(f)|2 (3.10)

La senal x(t) se aplica al filtro transmisor dando lugar a la senal z(t). La densidad espectral de potenciade z(t) vendra dada entonces por (3.11), por lo que la potencia transmitida va a venir dada por la ecuacion(3.12).

SZ(f) = |HT (f)|2SX(f) =a2

Tb|HT (f)|2|G(f)|2 (3.11)

P =∫ ∞

−∞SZ(f)df =

a2

Tb

∫ ∞

−∞|HT (f)|2|G(f)|2df (3.12)

Suponiendo que la relacion entre la amplitud de los bits transmitidos ak y la de los bits recibidos Ak

se mantenga constante, podemos escribir la ecuacion (3.13), siendo K la constante de proporcionalidad.Observando las ecuaciones (3.3) y (3.8) se puede escribir de forma equivalente la ecuacion (3.14).

FILTROS OPTIMOS DE TRANSMISION Y RECEPCION. 9

Ak = Kak (3.13)

A = Ka (3.14)

A partir de la ecuacion (3.14), podemos escribir la potencia transmitida dada por la ecuacion (3.12) comofuncion de la amplitud de los bits recibidos A segun la ecuacion (3.15). Despejando A2 de la ecuacion (3.15)se llega a la ecuacion (3.16).

P =A2

K2Tb

∫ ∞

−∞|HT (f)|2|G(f)|2df (3.15)

A2 =K2TbP∫∞

−∞ |HT (f)|2|G(f)|2df(3.16)

Usando las ecuaciones (3.4) y (3.16) se puede obtener la expresion buscada que relaciona la SNR A2/σ2N

con las funciones de transferencia de los filtros de transmision y recepcion obteniendose la ecuacion (3.17),que ahora habra que maximizar con respecto a HT (f) y HR(f).

A2

σ2N

=2K2TbP

N0

1∫∞−∞ |HT (f)|2|G(f)|2df

∫∞−∞ |HR(f)|2df

(3.17)

Teniendo en cuenta la relacion espectral dada por la ecuacion (3.18) vamos a sustituir la dependenciade la ecuacion (3.17) con respecto al espectro G(f) de la forma del pulso antes del filtro de transmision,anadiendo dependencias con respecto a la funcion de transferencia del canal HC(f) y el espectro del pulsoa la entrada del decisor P (f), que se supone conocido puesto que lo hemos disenado como se ha indicadoen el capıtulo 2 para evitar ISI.

AkP (f) = akG(f)HT (f)HC(f)HR(f) (3.18)

Haciendo uso de la ecuacion (3.13), la ecuacion (3.18) se puede poner segun la ecuacion (3.19). DespejandoG(f) en la ecuacion (3.19) y sustituyendolo en la ecuacion (3.17), conseguimos nuestro objetivo obteniendola ecuacion (3.20). Ademas ahora hemos eliminado la dependencia con respecto a la funcion de transferenciadel filtro de transmision HT (f). Habra que maximizar la ecuacion (3.20) con respecto a la funcion detransferencia del filtro de recepcion HR(f).

KP (f) = G(f)HT (f)HC(f)HR(f) (3.19)

A2

σ2N

=2TbP

N0

1∫∞−∞

|P (f)|2|HC(f)|2|HR(f)|2 df

∫∞−∞ |HR(f)|2df

(3.20)

10 Capıtulo 3

Maximizar A2/σ2N dado por la ecuacion (3.20) es equivalente a minimizar la cantidad η dada por la

ecuacion (3.21).

η =∫ ∞

−∞

|P (f)|2

|HC(f)|2|HR(f)|2df

∫ ∞

−∞|HR(f)|2df (3.21)

Para poder resolver el problema de optimizacion planteado vamos a hacer uso de la desigualdad deSchwarz para el caso real. Dadas dos funciones reales U(f) y V (f), se cumple la ecuacion (3.22). El valormınimo de la expresion de la izquierda de la ecuacion (3.22) se alcanzara cuando se cumpla la igualdad endicha ecuacion. Esta igualdad se alcanza cuando las funciones son proporcionales segun la ecuacion (3.23),siendo C una constante real positiva.

∫ ∞

−∞V 2(f)df

∫ ∞

−∞U(f)2df ≥

[∫ ∞

−∞V (f)U(f)df

]2(3.22)

U(f) = CV (f) (3.23)

Para poder usar la desigualdad de Schwarz comparando la expresion de la izquierda de la ecuacion (3.22)con la ecuacion (3.21) se pueden obtener las ecuaciones (3.24) y (3.25).

U(f) = |HR(f)| (3.24)

V (f) =|P (f)|

|HC(f)||HR(f)|(3.25)

Aplicando la desigualdad de Schwarz a la ecuacion (3.21) se tiene que:

1. El valor mınimo de η viene dado por la ecuacion (3.26).

ηmın =[∫ ∞

−∞

|P (f)||HC(f)|

df

]2(3.26)

2. El filtro optimo receptor que da lugar a ese valor mınimo tiene como funcion de transferencia la dadapor la ecuacion (3.27).

|HR,opt(f)|2 =C|P (f)||HC(f)|

(3.27)

3. Usando las ecuaciones (3.27) y (3.19) se puede determinar el filtro optimo de transmision que tienecomo funcion de transferencia la dada por la ecuacion (3.28).

|HT,opt(f)|2 =K2|P (f)|

C|G(f)|2|HC(f)|(3.28)

FILTROS OPTIMOS DE TRANSMISION Y RECEPCION. 11

Las ecuaciones (3.27) y (3.28) definen la respuesta en amplitud al cuadrado de los filtros optimos detransmision y recepcion que maximizan el valor de la SNR A2/σ2

N en los instantes de muestreo parapotencia de transmision P constante. Estos filtros pueden tener una respuesta en fase arbitraria siempreque se compensen mutuamente. El valor maximo de la SNR A2/σ2

N teniendo en cuenta las ecuaciones(3.20), (3.21) y (3.26) vendra dado por la ecuacion (3.29) y el valor mınimo de la probabilidad de errordado por la ecuacion (3.30).

(A2

σ2N

)max

=2TbP

N0

1[∫∞−∞

|P (f)||HC(f)|df

]2 (3.29)

Pe,mın =12erfc

(√12

(A2

σ2N

)max

)=

12erfc

√TbP

N0

1∫∞−∞

|P (f)||HC(f)|df

(3.30)

Un caso particular de especial importancia en la practica ocurre cuando la forma del pulso g(t) antesdel filtro de transmision se elige de forma que su densidad espectral de energıa Ψg(f) dada por la ecuacion(3.10) no cambie significativamente en la banda de frecuencias de interes. Entonces, excepto por un factorde escala, los filtros optimos de transmision y recepcion tienen la misma respuesta en amplitud, segun sededuce observando las ecuaciones (3.27) y (3.28). Si ademas se eligen los filtros de modo que tengan faselineal, serıan identicos, por lo que solo serıa necesario disenar un filtro en lugar de dos. En este caso cadafiltro compensarıa la mitad de la distorsion del canal y construirıa la mitad del espectro del pulso p(t)disenado para evitar la ISI. Una forma sencilla de asegurar que la densidad espectral de energıa Ψg(f) delpulso g(t) sea aproximadamente constante en la banda de interes consiste en hacer que g(t) sea un pulsorectangular de amplitud unidad cuya duracion sea pequena comparada con la duracion de bit Tb.

4CODIFICACION CORRELATIVA O

SENALIZACION CON RESPUESTA PARCIAL.

Hemos tratado la ISI en el capıtulo 2 como un efecto no deseable que da lugar a la degradacion de lasprestaciones del sistema. Su propio nombre indica que es algo a evitar. Sin embargo anadiendo ISI a lasenal transmitida de forma controlada, es posible transmitir una senal de tasa 2BT sımbolos por segundo atraves de un canal de ancho de banda BT Hz. Este procedimiento se denomina codificacion correlativao senalizacion con respuesta parcial. El diseno de estos esquemas se basa en el hecho de que la ISI quese introduce en el transmisor es conocida, por lo que se va a poder interpretar la senal en el receptor deforma adecuada. La codificacion correlativa puede considerarse como una forma de lograr la maxima tasade senalizacion 2BT sımbolos por segundo en un canal de ancho de banda BT Hz, como fue postulado porNyquist, pero usando filtros realizables para los que ademas se permiten ciertas tolerancias.

4.1 SENALIZACION DUOBINARIA.

Vamos a ilustrar la idea basica de codificacion correlativa mediante el caso particular de senalizacionduobinaria, donde duo implica doblar la capacidad de un sistema binario simple.

Sea una secuencia binaria de entrada {bk} consistente en dıgitos binarios incorrelados con duracion debit Tb segundos, con el sımbolo 1 representado con un pulso de amplitud 1 y el sımbolo ∅ representadopor un pulso de amplitud −1. Cuando esta senal se aplica a la entrada de un codificador duobinario, se laconvierte en una senal de salida con tres niveles: −2, 0 y 2. El esquema de este codificador se puede ver enla figura 4.1.

La secuencia {bk} se pasa a traves de un filtro sencillo que contiene un elemento de retardo. Para cadaimpulso unitario de entrada aplicado a este filtro, se tiene a la salida dos impulsos unitarios separados Tb ala salida. Si llamamos ck al sımbolo de salida del codificador esta relacionado con bk a traves de la ecuacion(4.1), es decir, al bit actual le estamos sumando el anterior.

ck = bk + bk−1 (4.1)

HC(f)

Tb

{bk } {ck }Tb

+ Canal Ideal

Retardo

H(f)

SalidaSecuencia

Muestreadort=k

SecuenciaEntrada

Figura 4.1 Esquema de un codificador duobinario.

13

14 Capıtulo 4

BT BT

|H(f)|

f

2

0−

BT

BT

πTb

arg[H(f)]

−

Pendiente

f0

(a) (b)

Figura 4.2 (a) Respuesta en amplitud y (b) respuesta en fase de la funcion de transferencia global H(f)en el caso duobinario.

El efecto de esta codificacion es cambiar la secuencia de entrada {bk} de dıgitos binarios incorreladoscon dos niveles por la secuencia {ck} de dıgitos binarios correlados con tres niveles. Esta correlacion entrelos niveles adyacentes transmitidos puede verse como una ISI introducida por el codificador duobinarioen la senal transmitida. Esta ISI esta bajo el control del disenador y es el fundamento de la codificacioncorrelativa.

Un elemento de retardo Tb segundos ideal, tiene una funcion de transferencia exp(−j2πfTb), de modoque la funcion de transferencia del filtro codificador es 1 + exp(−j2πfTb). La funcion de transferencia delfiltro codificador en cascada con el filtro del canal HC(f) (o en su caso la conexion en cascada del filtro detransmision HT (f), del canal HC(f) y del filtro de recepcion HR(f)) vendra dado por la ecuacion (4.2).

H(f) = HC(f)[1 + exp(−j2πfTb)]

= HC(f)[exp(jπfTb) + exp(−jπfTb)] exp(−jπfTb)

= 2HC(f) cos(πfTb) exp(−jπfTb) (4.2)

Para el caso ideal con 2TbBT = 1 se tiene que HC(f) viene dado por la ecuacion (4.3), entonces la funcionde transferencia global H(f) tiene fase lineal y amplitud con forma de medio coseno segun la ecuacion (4.4).En la figura 4.2 podemos ver la grafica de la respuesta en amplitud y en fase de este filtro.

HC(f) =

1 |f | < 1

2Tb= BT

0 para el resto(4.3)

H(f) =

2 cos(πfTb) exp(−jπfTb) |f | < 1

2Tb= BT


La ventaja fundamental de este filtro es que no presenta discontinuidades y por lo tanto va a poderaproximarse facilmente en la practica. Se puede determinar de forma sencilla la respuesta al impulso globalh(t) correspondiente a la funcion de transferencia global H(f). Salvo un factor de escala viene dada por la

CODIFICACION CORRELATIVA 15

2TbTb 3Tb 4Tb−Tb2Tb

h(t)

1

t0−

Figura 4.3 Respuesta al impulso global h(t) en el caso duobinario.

ecuacion (4.5). En la figura 4.3 se puede ver esta respuesta al impulso graficamente. Como se puede ver endicha figura solo tiene dos valores distintos de cero en los instantes de muestreo ti = iTb correspondientesa t = 0 y t = Tb.

h(t) = sinc(2BT t) + sinc[2BT (t− Tb)]

= sinc(

t

Tb

)+ sinc

(t− Tb

Tb

)=

T 2b sin(2πBT t)πt(Tb − t)

(4.5)

Los datos originales {bk} se pueden extraer de la secuencia duobinaria {ck} restando el dıgito binariorecibido previamente de ck. Si bk es la estimacion hecha por el receptor del dıgito original bk para t = kTb,vendra dada por la ecuacion (4.6).

bk = ck − bk−1 (4.6)

Es evidente que si se ha detectado ck sin error y si la estimacion bk−1 es correcta, el estimador bk

sera correcto. Esta tecnica que estima un sımbolo usando la estimacion del sımbolo anterior se denominadecision realimentada (decission feedback).

El procedimiento de deteccion dado por la ecuacion (4.6) es esencialmente el inverso de la operacionrealizada en el codificador del transmisor dado por la ecuacion (4.1). Un inconveniente de este proceso dedeteccion es que una vez que ocurre un error, este tiende a propagarse. Esto es debido a que la decision enel bit actual depende de la decision del bit anterior.

Una forma practica de evitar esta propagacion de los errores cometidos es utilizar la tecnica de precodi-ficacion de la figura 4.4 previamente al codificador duobinario.

La operacion de precodificacion llevada a cabo en la secuencia de entrada {bk}, la convierte en otrasecuencia binaria {ak} definida por la ecuacion (4.7), donde el sımbolo ⊕ representa la suma modulo 2de los dıgitos bk y ak−1. Esta suma es equivalente a la operacion XOR (OR exclusiva). Si uno de los dos

16 Capıtulo 4

{ck }

Tb

+{bk }

{ak } SalidaSecuencia

Muestreadort=k

CodificadorDuobinario

H(f)

Retardo

Precodificador

SumaModulo 2

SecuenciaEntrada

Tb

Figura 4.4 Tecnica de precodificacion.

{ck } {bk }{|ck |}Rectificador

Umbral

Decisor

Figura 4.5 Esquema del decisor cuando se emplea precodificacion en el transmisor.

operandos y solo uno vale 1, la salida es 1, en caso contrario la salida es ∅. La senal {ak} se aplica alcodificador duobinario, dando lugar a la senal {ck} relacionada siguiendo la ecuacion (4.1), pero en estecaso usando la secuencia {ak} en lugar de {bk}, es decir, se tiene ahora la ecuacion (4.8).

ak = bk ⊕ ak−1 (4.7)

ck = ak + ak−1 (4.8)

Aunque la codificacion duobinaria es una operacion lineal (filtro lineal), la precodificacion mediante XORes una operacion no lineal. Si representamos la secuencia {ak} a la salida del precodificador con un pulsode amplitud 1 para el sımbolo 1 y un pulso de amplitud -1 para el sımbolo ∅, se puede demostrar que secumple la ecuacion (4.9).

ck =

±2 si bk es ∅

0 si bk es 1(4.9)

A partir de la ecuacion (4.9), se puede deducir la regla dada por la ecuacion (4.10) para el decisor delreceptor, que permite estimar el sımbolo bk a partir del sımbolo recibido ck. En la figura 4.5 se puedever el esquema del decisor en este caso. Como se puede ver en esta figura la secuencia {ck} obtenidamuestreando la senal recibida en t = kTb se pasa por un rectificador seguido de un decisor con umbralunitario obteniendose la secuencia {bk}.

bk =

∅ si |ck| > 1

1 si |ck| < 1(4.10)


instante k 0 1 2 3 4 5 6 7

bits {bk} ∅ ∅ 1 ∅ 1 1 ∅

bits {ak} 1 1 1 ∅ ∅ 1 ∅ ∅

amplitudes {ak} 1 1 1 -1 -1 1 -1 -1

amplitudes {ck} 2 2 0 -2 0 0 -2

bits {bk} ∅ ∅ 1 ∅ 1 1 ∅

Tabla 4.1 Ejemplo de funcionamiento de la codificacion duobinaria con precodificacion.

{ak }HC(f)

Tb

{ck }

2Tb

+{bk }

+

Retardo

Canal Ideal

H(f)

Muestreadort=k

SalidaSecuencia

Retardo

Precodificador

SumaModulo 2

+SecuenciaEntrada

2Tb

_

Figura 4.6 Esquema codificacion duobinaria modificada empleando precodificacion.

Una caracterıstica muy importante del decisor de la figura 4.5 es que no es necesario utilizar muestras de-tectadas previamente para poder determinar la actual, como ocurrıa cuando no se empleaba precodificacionsegun se deduce de la ecuacion (4.6). Por tanto no hay propagacion de error.

En la tabla 4.1 podemos ver las diferentes secuencias y senales presentes a lo largo del sistema para cuandola secuencia de entrada es {bk} ≡ ∅∅1∅11∅. En este ejemplo se ha supuesto que el canal no introduce ruidoy que o bien tampoco introduce ISI o bien esta se ha compensado mediante los filtros de transmisiony recepcion como vimos en el capıtulo 3. Se ha supuesto tambien que el bit previo a0 a la salida delprecodificador antes de llegar la secuencia es 1.

4.2 SENALIZACION DUOBINARIA MODIFICADA.

La tecnica duobinaria modificada es muy similar a la duobinaria pero usando correlaciones con el bitanterior al previo, esto es a 2Tb segundos. En este caso se utilizaran retardos de 2Tb segundos en lugar deretardos de Tb segundos. Usando la tecnica de precodificacion el esquema completo se puede ver en la figura4.6.

La ecuacion (4.11) es la que relaciona la secuencia {ck} a la salida del filtro duobinario modificado conla secuencia {ak} a su entrada. En este caso se emplea la resta en lugar de la suma del caso duobinariocomo vimos en la ecuacion (4.8). De nuevo la secuencia {ck} tiene 3 niveles. En este caso, la secuencia {ak}se representa con un pulso de amplitud 1 para el sımbolo 1 y un pulso de amplitud 0 para el sımbolo ∅ ala entrada del filtro duobinario modificado, dando lugar a los niveles -1, 0 y 1 para la secuencia {ck} a lasalida del filtro.

ck = ak − ak−2 (4.11)

18 Capıtulo 4

BT/2BT BT/2 BT

2

f0

|H(f)|

− −

BT

BT

2πTb 2πTb

−f

0

arg[H(f)]

− π/2

π/2Pendiente Pendiente

(a) (b)

Figura 4.7 (a) Respuesta en amplitud y (b) respuesta en fase de la funcion de transferencia global H(f)en el caso duobinario modificado.

La funcion global de transferencia H(f) del filtro duobinario modificado conectado en cascada con HC(f)viene dada por la ecuacion (4.12). Suponiendo que HC(f) sea un filtro ideal con ancho de banda BT , con2TbBT = 1, dado por la ecuacion (4.3), entonces la respuesta global del sistema duobinario modificado es unciclo completo de un seno segun la ecuacion (4.13). En la figura 4.7 podemos ver la grafica de la respuestaen amplitud y en fase de este filtro. Como se puede ver no presenta discontinuidades en frecuencia por loque se va a poder aproximar de forma sencilla.

H(f) = HC(f)[1− exp(−j4πfTb)]

= HC(f)[exp(j2πfTb)− exp(−j2πfTb)] exp(−j2πfTb)

= 2jHC(f) sin(2πfTb) exp(−j2πfTb) (4.12)

H(f) =

2j sin(2πfTb) exp(−j2πfTb) |f | < 1

2Tb= BT


Una propiedad importante del codificador duobinario modificado que lo diferencia del caso duobinarioes que la senal a la salida no presenta componente continua, ya que su respuesta en frecuencia es cero enel origen como puede verse en la figura 4.7. Esta propiedad es importante puesto que de hecho muchoscanales en la practica no puede transmitir componente continua.

Se puede comprobar facilmente que, salvo por un factor de escala, la respuesta al impulso h(t) delsistema global viene dada por la ecuacion (4.14). En la figura 4.8 se puede ver esta respuesta al impulsograficamente. Como se puede ver en dicha figura solo tiene dos valores distintos de cero en los instantes demuestreo ti = iTb correspondientes a t = 0 y t = 2Tb (con amplitud negativa en este segundo caso debidoal signo menos que aparece en la ecuacion (4.11) o en la figura 4.6).

h(t) = sinc(2BT t)− sinc[2BT (t− 2Tb)]

= sinc(

t

Tb

)− sinc

(t− 2Tb

Tb

)=

2T 2b sin(2πBT t)πt(2Tb − t)

(4.14)


T4 bT3 bTbT− bT2 b− T2 b

−1

1

h(t)

t0

Figura 4.8 Respuesta al impulso global h(t) en el caso duobinario modificado.

Al igual que hicimos en el caso duobinario para evitar la propagacion de errores, ahora en el sistemaduobinario modificado podemos usar la misma tecnica de precodificacion. Antes del filtro duobinario modi-ficado usamos la suma modulo 2 o el operador XOR (la suma y la resta modulo 2 son la misma operacion)para determinar la secuencia {ak} a partir de la secuencia de entrada {bk}. En este caso usamos un retar-do de 2Tb como puede verse en la figura 4.6. La ecuacion (4.15) nos relaciona la entrada y la salida delprecodificador en este caso.

ak = bk ⊕ ak−2 (4.15)

En cuanto a la regla del decisor, se puede comprobar que se puede recuperar {bk} a partir de {ck}simplemente eliminando la polaridad de la secuencia {ck}. La regla de decision viene dada entonces por laecuacion (4.16).

bk = |ck| = ck mod 2 (4.16)

4.3 FORMA GENERAL DE CODIFICACIONCORRELATIVA.

Las tecnicas duobinaria y duobinaria modificada tienen ancho de correlacion de 1 y 2 bits, respectiva-mente. De aquı podemos deducir una forma generalizada de este tipo de esquemas de codificacion que sedenominan codificadores correlativos. En la figura 4.9 podemos ver el esquema general de codificadorcorrelativo, donde HC(f) es la respuesta ideal del canal o la conexion en cascada del filtro de transmision,la respuesta del canal y del filtro de recepcion.

Como se puede ver en la figura 4.9, el codificador es fundamentalmente un filtro transversal que tienecomo salida la suma ponderada de versiones retardadas de la entrada. Esta ponderacion viene fijada por unconjunto de pesos w0, w1, . . . , wN−1. La ecuacion (4.17) relaciona la secuencia de salida {ck} con la secuenciade entrada {bk} del codificador correlativo de la figura 4.9. Como se puede ver estamos superponiendo albit actual los N − 1 bits anteriores.

20 Capıtulo 4

HC(f) {ck }Tb

w0

+x{bk }

Tb

x +

w1

Tb

x +

w2

x

wN−1

Tb

Canal Ideal SalidaSecuencia

Muestreadort=k

SecuenciaEntrada

Retardo

Retardo

Retardo

...

Figura 4.9 Esquema general de un codificador correlativo.

ck =N−1∑n=0

wnbk−n (4.17)

Eligiendo los pesos wn de forma adecuada se obtienen los diferentes esquemas concretos de codificacioncorrelativa. En particular:

Para w0 = 1, w1 = 1 y wn = 0 para n > 1 se tiene la codificacion duobinaria.

Para w0 = 1, w1 = 0, w2 = −1 y wn = 0 para n > 2 se tiene la codificacion duobinaria modificada.

5SISTEMAS BANDA BASE M-ARIOS.

En un sistema PAM binario, la senal de salida del generador de pulsos esta formada por pulsos binarios,es decir, con dos valores de amplitud posibles. Por otro lado, en un sistema banda base PAM M -ario, lasalida del generador de pulsos toma uno entre M niveles de amplitud posibles, con M > 2. En la figura5.1 podemos ver un ejemplo de una senal PAM para el caso cuaternario, M = 4. En este caso los bits deentrada se agrupan de dos en dos y a cada par de bits se le asigna un nivel de amplitud determinado comose puede ver en la tabla que aparece en la figura 5.1.

En un sistema M -ario, la fuente de informacion genera una secuencia de sımbolos pertenecientes a unalfabeto de tamano M . Cada nivel de amplitud a la salida del generador de pulsos corresponde a un sımbolodistinto de los M posibles, por lo que habra M niveles de amplitud distintos.

Consideramos un sistema PAM M -ario con un alfabeto de M sımbolos equiprobables e independientes.Sea T la duracion de sımbolo en segundos. La tasa de senalizacion R expresada en sımbolos por segundo obaudios viene dada por la ecuacion (5.1).

R =1T

(5.1)

Vamos a relacionar esta tasa de senalizacion con el sistema PAM binario equivalente para el cual M = 2.Supondremos en el sistema binario que los sımbolos 1 y ∅ son equiprobables e independientes, y con unaduracion de bit de Tb segundos. La tasa Rb de este sistema en bits por segundo (bps) viene dada por laecuacion (5.2).

T=2Tb

00 01 0101

000101

t

Amplitud

−1.5

−0.5

11 11AmplitudBits

11

−1.5−0.5

0.5

1.5

0.51.5

Figura 5.1 Ejemplo de senal PAM M -aria con M = 4.

21

22 Capıtulo 5

Rb =1Tb

(5.2)

Para el ejemplo de la figura 5.1, el sistema era cuaternario, M = 4. En este caso se agrupaban los bits dedos en dos, por lo que un sımbolo era equivalente a dos bits y por tanto 1 baudio equivalıa a 2 bps. Vamosa generalizar este resultado para un caso M -ario general con M arbitrario. Se puede comprobar facilmenteque 1 sımbolo es equivalente a log2 M bits, por lo que 1 baudio equivale a log2 M bps. En particular latasa R y la tasa binaria Rb estan relacionadas a traves de la ecuacion (5.3) y la duracion de sımbolo T yla duracion de bit Tb a traves de la ecuacion (5.4).

R =Rb

log2 M(5.3)

T = Tb log2 M (5.4)

En un canal con un ancho de banda dado, se puede ver, segun la ecuacion (5.3), que pasar de un sistemabinario a un sistema M -ario significa que podemos incrementar la tasa de transmision por un factor delog2 M . Por otro lado, dada una tasa de informacion a transmitir pasar de un sistema binario a otro M -ariosignifica que el ancho de banda necesario se reduce en un factor de log2 M . Sin embargo, en ambos casospara mantener la calidad, esto es, mantener la misma probabilidad media de error, un sistema M -arionecesita una mayor cantidad de potencia de transmitida o equivalentemente tolera una cantidad menor deruido presente en el canal de transmision.

Si M es bastante mayor que 2 y la probabilidad media de error es arbitrariamente pequena comparadacon la unidad, el incremento de potencia transmitida (o equivalentemente la disminucion de potencia deruido introducido por el canal), con respecto al sistema binario, para mantener la calidad viene dadoaproximadamente por la ecuacion (5.5).

M2

log2 M(5.5)

En un sistema M -ario, el generador de pulsos convierte la secuencia de sımbolos emitida por la fuentede informacion (o equivalentemente la secuencia de sımbolos obtenida tras agrupar los bits en grupos delog2 M cuando la fuente es binaria como en el ejemplo analizado en la figura 5.1) en un tren de pulsos con Mniveles. Este tren de pulsos pasa a traves del filtro de transmision y se transmite. El canal introducira ruidoy distorsion (ISI). En el receptor la senal recibida pasa a traves del filtro de recepcion y se muestrea en losinstantes apropiados cada T segundos manteniendo el sincronismo con el transmisor. Finalmente, la senaltras el muestreador se pasa por el decisor que la comparara con M − 1 umbrales (slicing levels), elegidos deforma adecuada para minimizar la probabilidad media de error. La forma de los pulsos antes del muestreadordebera ser similar a la vista en el capıtulo 2 para evitar la ISI. Para ello se deben disenar los filtros detransmision y recepcion de forma adecuada. Estos filtros deben ademas minimizar el efecto del ruidogarantizando una probabilidad media de error mınima como vimos en el capıtulo 3. Estos procedimientosseran similares a los vistos pero extendidos para un valor de M arbitrario. El analisis en detalle de losmismos es mas complicado que el visto para el caso binario, por lo que no se vera aquı, pero la idea dediseno sigue siendo la misma que en el caso binario. Cualquier error de diseno dara lugar a que la ISI, elruido y los errores de sincronizacion empeoren la calidad del sistema, esto es, aumenten la probabilidadmedia de error.

6FILTRO ADAPTADO.

Vamos a ver ahora un analisis alternativo al visto en el capıtulo 3 usando una tecnica conocida conel nombre de filtro adaptado. Esta tecnica permite resolver el problema de la deteccion de un pulsotransmitido con forma conocida a traves de un canal que esta fundamentalmente limitado por el ruido.Supondremos por ahora que el canal no introduce distorsion (ISI). En particular, vamos a considerar unsistema de transmision como el que se puede ver en la figura 6.1. El objetivo va a ser disenar la respuestaal impulso h(t) del filtro adaptado para minimizar el efecto del ruido tras el muestreador (para t = T )cuando se conoce la forma del pulso transmitido g(t). Vamos a suponer que este pulso comienza en t = 0 yque tiene una duracion T . T puede considerarse como el periodo de observacion. El pulso transmitido g(t)representara en general al sımbolo 1 o al sımbolo ∅ en el caso de una transmision binaria.

La senal a la entrada del filtro segun se puede ver en la figura 6.1 viene dada por la ecuacion (6.1). w(t)es la senal ruidosa que se suma a nuestro pulso transmitido a lo largo del canal de comunicaciones. Es unproceso de ruido blanco, con media cero y densidad espectral de potencia N0/2.

x(t) = g(t) + w(t) 0 ≤ t ≤ T (6.1)

Puesto que suponemos que el filtro adaptado es lineal e invariante en el tiempo la senal a su salida y(t) sepuede descomponer en componente de senal y ruido segun la ecuacion (6.2), siendo g0(t) la version filtradadel pulso g(t) y n(t) la version filtrada del ruido w(t). n(t) ya no es un ruido blanco pero sigue teniendomedia cero.

y(t) = g0(t) + n(t) 0 ≤ t ≤ T (6.2)

Segun vimos en el capıtulo 3 minimizar la probabilidad media de error es equivalente a maximizar laSNR tras el muestreador (a la entrada por tanto del decisor). En este caso la SNR (que podrıamos llamarde pico o para t = T ) viene dada por la ecuacion (6.3), donde σ2

N es la varianza o potencia del ruido filtrado

w(t)

g(t)

t = TMuestra en

y(T)y(t)

h(t)

Filtro Adaptadox(t)

Figura 6.1 Esquema de un sistema de transmision limitado por ruido que emplea deteccion mediantefiltro adaptado.

23

24 Capıtulo 6

n(t). El objetivo entonces es determinar aquella respuesta al impulso h(t) que de lugar a un valor de SNRde pico η maximo.

η =|g0(T )|2

σ2N

(6.3)

Sea G(f) la transformada de Fourier del pulso g(t) y H(f) la funcion de transferencia del filtro adaptado.Entonces se cumple la ecuacion (6.4).

g0(t) =∫ ∞

−∞H(f)G(f) exp(j2πft)df (6.4)

Si ahora muestreamos la senal a la salida del filtro en t = T se tiene la ecuacion (6.5).

|g0(T )|2 =∣∣∣∣∫ ∞

−∞H(f)G(f) exp(j2πfT )df

∣∣∣∣2 (6.5)

Ahora con respecto al ruido, la densidad espectral de potencia SN (f) del ruido n(t) a la salida del filtroviene dada por la ecuacion (6.6), por lo que la potencia de ruido (o la varianza) σ2

N viene dada por laecuacion (6.7).

SN (f) =N0

2|H(f)|2 (6.6)

σ2N =

N0

2

∫ ∞

−∞|H(f)|2df (6.7)

Sustituyendo las ecuaciones (6.6) y (6.7) en la ecuacion (6.3), se tiene la ecuacion (6.8) para la SNR depico η.

η =

∣∣∣∫∞−∞ H(f)G(f) exp(j2πfT )df∣∣∣2

N02

∫∞−∞ |H(f)|2df

(6.8)

Nuestro problema ahora es, dado G(f), determinar la funcion de transferencia del filtro adaptado H(f)que maximice la SNR de pico η. Para resolver este problema vamos a utilizar la desigualdad de Schwarz deforma similar a como lo hicimos en el capıtulo 3, pero en este caso usando la version compleja. Sean U(f)y V (f) dos funciones complejas arbitrarias de variable real, entonces se cumple siempre la ecuacion (6.9).En la ecuacion (6.9) el termino de la izquierda siempre es menor o igual que el termino de la derecha, porlo que alcanzara su valor maximo cuando se satisfaga la igualdad, cosa que ocurre cuando se cumple laecuacion (6.10), siendo k una constante arbitraria y donde el asterisco indica conjugacion.

∣∣∣∣∫ ∞

−∞U(f)V (f)df

∣∣∣∣2 ≤ ∫ ∞

−∞|U(f)|2df

∫ ∞

−∞|V (f)|2df (6.9)

FILTRO ADAPTADO. 25

U(f) = kV ∗(f) (6.10)

Si definimos U(f) segun la ecuacion (6.11) y V (f) segun la ecuacion (6.12), entonces la ecuacion (6.9)se transforma en la ecuacion (6.13), por lo que sustituyendo el numerador de la ecuacion (6.8) obtenemosla desigualdad de la ecuacion (6.14) para la SNR de pico η, donde E es la energıa del pulso g(t). Como sepuede ver el termino de la derecha de la ecuacion (6.14) no depende de la funcion de transferencia del filtroadaptado H(f), solo depende de la energıa E del pulso y de la densidad espectral de potencia N0 del ruidodel canal.

U(f) = H(f) (6.11)

V (f) = G(f) exp(j2πfT ) (6.12)

∣∣∣∣∫ ∞

−∞H(f)G(f) exp(j2πfT )df

∣∣∣∣2 ≤ ∫ ∞

−∞|H(f)|2df

∫ ∞

−∞|G(f)|2df (6.13)

η ≤ 2N0

∫ ∞

−∞|G(f)|2df =

2E

N0(6.14)

La SNR η dada por la ecuacion (6.14) alcanzara su valor maximo cuando se cumpla la igualdad en dichaecuacion cosa que ocurrıa cuando se satisfacıa la ecuacion (6.10). Teniendo en cuenta las definiciones hechasa traves de las ecuaciones (6.11) y (6.12), la funcion de transferencia optima Hopt(f) vendra dada por laecuacion (6.15). En este caso la SNR de pico alcanza su valor maximo ηmax por lo que se tiene la ecuacion(6.16).

Hopt(f) = kG∗(f) exp(−j2πfT ) (6.15)

ηmax =2

N0

∫ ∞

−∞|G(f)|2df =

2E

N0(6.16)

La ecuacion (6.15) nos dice que excepto por el factor k exp(−j2πfT ), la funcion de transferencia del filtroadaptado optima viene dada por el conjugado del espectro del pulso, G∗(f). Para determinar la respuestaal impulso optima hopt(t) del filtro adaptado, podemos tomar la transformada inversa de Fourier de laecuacion (6.15) segun la ecuacion (6.17).

hopt(t) = k

∫ ∞

−∞G∗(f) exp[−j2πf(T − t)]df (6.17)

Puesto que el pulso g(t) es real se cumple la propiedad de simetrıa conjugada en frecuencia, G∗(f) =G(−f), por lo que se tiene finalmente la ecuacion (6.18).

26 Capıtulo 6

hopt(t) = k

∫ ∞

−∞G(−f) exp[−j2πf(T − t)]df = kg(T − t) (6.18)

La ecuacion (6.18) nos dice que excepto por la constante k la respuesta al impulso del filtro adaptadoes una version dada la vuelta y retrasada en el tiempo del pulso g(t), esto es, el filtro esta adaptado ala senal, de ahı el nombre que se le da. Para llegar a este resultado la unica suposicion que hemos hechocon respecto al ruido introducido por el canal es que sea estacionario, blanco, aditivo, con media cero ydensidad espectral de potencia N0/2.

El resultado mas importante en los sistemas que emplean la tecnica de filtro adaptado se puede enunciarde la siguiente forma: la SNR de pico a la salida del filtro adaptado solo depende del cocienteentre la energıa de la senal para la que se ha disenado el filtro y la densidad espectral depotencia del ruido blanco a la entrada.

Si G0(f) es la transformada de Fourier de g0(t) vendra dada por la ecuacion (6.19). Tomando la trans-formada inversa de Fourier y para t = T se tiene la ecuacion (6.20), siendo E la energıa del pulso g(t).

G0(f) = Hopt(f)G(f) = kG∗(f)G(f) exp(−j2πfT ) = k|G(f)|2 exp(−j2πfT ) (6.19)

g0(T ) =∫ ∞

−∞G0(f) exp(j2πfT )df = k

∫ ∞

−∞|G(f)|2df = kE (6.20)

Haciendo lo mismo para la varianza del ruido a la salida del filtro, se tiene la ecuacion (6.21).

σ2N =

N0

2

∫ ∞

−∞|Hopt(f)|2df =

k2N0

2

∫ ∞

−∞|G(f)|2df =

k2N0E

2(6.21)

Finalmente, usando la ecuacion (6.3) el valor ηmax viene dado por la ecuacion (6.22). De esta ecuacionse puede ver que el filtro adaptado a eliminado completamente la dependencia con respecto a la forma delpulso g(t). De aquı se puede deducir que todas las senales con igual energıa E son igualmente efectivas decara a combatir el ruido.

ηmax =(kE)2k2N0E

2

=2E

N0(6.22)

La cantidad E/N0 es adimensional y es la que caracteriza la calidad del sistema. Vamos a suponer unsistema binario que emplea la tecnica de filtro adaptado en el receptor. El generador de pulsos envıa unpulso positivo g(t) para representar el sımbolo 1 y un pulso negativo −g(t) para representar el sımbolo ∅.El filtro del receptor esta adaptado al pulso g(t). El valor g0(T ) es segun la ecuacion (6.20) kEb (Eb indicaahora energıa por bit) para cuando se envıa g(t) y sera −kEb cuando se envıa −g(t) por lo que la SNRde pico viene dada en cualquier caso por la ecuacion (6.22). Si tras el muestreador se usa un decisor queemplee como umbral 0, se puede comprobar facilmente que la probabilidad media de error mınima (debidoa que el filtro adaptado es optimo) viene dada por la ecuacion (6.23), por lo que hemos comprobado comoafirmabamos que la calidad del sistema viene fijada por la relacion adimensional Eb/N0. En la figura 6.2podemos ver graficamente esta probabilidad de error como funcion de dicha relacion adimensional. Comose puede ver un ligero incremento de esta relacion va a resultar en la inmunidad de nuestro sistema frenteal ruido.

FILTRO ADAPTADO. 27

4 6 8 10 12 1410

−12

10−11

10−10

10−9

10−8

10−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

Eb/N

0 , dB

Pe

, min

Figura 6.2 Probabilidad media de error mınima como funcion de la relacion adimensional Eb/N0 en unsistema binario que emplea filtro adaptado.

Pe,mın =12erfc

(√12ηmax

)=

12erfc

(√Eb

N0

)(6.23)

7DIAGRAMA DE OJOS.

Un modo practico de estudiar el efecto de la distorsion (ISI) y el ruido en un sistema de transmisiondigital en banda base consiste en aplicar la senal recibida (filtrada) antes del muestreador a las placas dedeflexion vertical de un osciloscopio y una senal con forma de dientes de sierra a la tasa de senalizacionR en sincronismo con la senal recibida a las placas de deflexion horizontal. De esta manera todas lossımbolos recibidos se superponen en la pantalla del osciloscopio en un unico periodo de sımbolo. El diagrama

0 0 0 0

Tb

1 1 1 1

Figura 7.1 Detalle de una senal binaria antes del muestreador.

Tb

Figura 7.2 Diagrama de ojos para la senal de la figura 7.1.

29

30 Capıtulo 7

(a)

(b) (c)

(d)

(e)

(f)(g)

Figura 7.3 Parametros de interes del diagrama de ojos. (a) Mejor instante de muestreo. (b) Distorsiondel cruce por cero. (c) La pendiente es la sensibilidad a errores de temporizacion. (d) Margen sobre el ruido.(e) Intervalo temporal en el que se puede muestrear. (f) Distorsion en el instante de muestreo. (g) Perıodode bit Tb.

observado se denomina diagrama de ojos por su similitud con el ojo humano. La region interior del ojose denomina apertura del ojo y su forma va a condicionar la calidad del sistema.

En la figura 7.1 podemos ver un ejemplo de una senal binaria recibida (los primeros 8 bits) y filtradapara un canal que introduce ruido y distorsion. En la figura 7.2 podemos ver su diagrama de ojos (para 160bits). Dicho diagrama va a permitir determinar entre otras cosas el mejor instante de muestreo, el margensobre el ruido, la distorsion en el instante de muestreo y la sensibilidad frente a errores de temporizacioncomo veremos a continuacion.

Un diagrama de ojos va a proporcionar mucha informacion practica sobre las prestaciones del sistema. Enla figura 7.3 podemos ver esquematicamente un diagrama de ojos con los principales parametros asociados.Los mas interesantes son:

1. El ancho de la apertura del ojo indica el intervalo de tiempo durante el que se puede muestrear sinerror. Como es evidente el mejor instante de muestreo correspondera a aquel instante temporal parael que la apertura del ojo es mayor.

2. La sensibilidad frente a errores de temporizacion se puede determinar por la velocidad (pendiente dela zona interior del ojo) a la que se cierra el ojo segun variamos el instante de muestreo.

3. La altura de la apertura del ojo define el margen sobre el ruido para un valor dado del instante demuestreo.

En la figura 7.3 tambien aparecen definidos otros parametros como son la distorsion en el instante demuestreo y la distorsion del cruce por cero.

Cuando el efecto conjunto de la ISI y del ruido es muy grande, la traza superior e inferior del ojo secruzan, dando como resultado que el ojo se cierre. En esta situacion es imposible evitar errores, por lo queel sistema no sera inmune frente al ruido y la ISI.

DIAGRAMA DE OJOS. 31

En el caso que el sistema sea M -ario con M > 2, se puede realizar el mismo procedimiento que parael caso binario obteniendose un diagrama de ojos con M − 1 ojos dispuestos en posicion vertical. Paraque el sistema pueda tener inmunidad frente al ruido todos los ojos deben estar abiertos. En un sistemaestrictamente lineal y con sımbolos independientes y equiprobables se debe observar una simetrıa de los ojoscon respecto al ojo central. En la practica se suelen observar ciertas asimetrıas debido fundamentalmentea no linealidades del canal.

TRANSMISION DIGITAL PASO

BANDA.



CONTENIDOS


1. MODELO DE UN SISTEMA DE TRANSMISION DIGITAL PASOBANDA. 1

2. PROCEDIMIENTO DE ORTONORMALIZACION DEGRAM-SCHMIDT. 5

3. INTERPRETACION GEOMETRICA DE SENALES. 11

4. RESPUESTA DE UN BANCO DE CORRELADORES AENTRADA RUIDOSA. 13

5. DETECCION COHERENTE DE SENALES EN LA PRESENCIADE RUIDO. 175.1. Decisor Maximo a Posteriori. 185.2. Decisor de Maxima Verosimilitud. 205.3. Probabilidad de Error. 22

6. RECEPTOR CORRELADOR. 23

7. RECEPTOR CON FILTRO ADAPTADO. 257.1. Maximizacion de la Relacion Senal a Ruido a la Salida. 267.2. Propiedades de los Filtros Adaptados. 28

8. TECNICAS DE CODIFICACION COHERENTE. 318.1. BPSK Coherente. 318.2. BFSK Coherente. 358.3. Propiedades Espectrales de BFSK y BPSK. 39

9. TECNICAS DE SENALIZACION M-ARIA. 439.1. MPSK Coherente. 439.2. MFSK Coherente. 44

10. DETECCION DE SENALES CON FASE ALEATORIA 47

11. DETECCION NO COHERENTE DE BFSK. 51

12. COMPARACION DE CALIDAD DE LOS SISTEMAS VISTOS. 55

v

INDICE DE FIGURAS

Capıtulo 1

1.1. Esquema de un sistema de transmision digital paso banda. 11.2. Ejemplo de senales ASK, FSK y PSK para el caso binario. 21.3. Modelo de canal AWGN empleado. 3

Capıtulo 2

2.1. Sıntesis de la senal si(t) a partir de los coeficientes sij . 62.2. Analisis de la senal si(t) para obtener los coeficientes sij . 7

Capıtulo 3

3.1. Ejemplo de representacion geometrica de M = 3 senales en una base con N = 2 funcionesortonormales. 12

Capıtulo 4

Capıtulo 5

5.1. Representacion en el espacio de senal de los puntos de senal transmitida si y recibida x,junto con el vector de ruido w. 18

5.2. Ejemplo de las regiones en las que se divide el espacio de senal para M = 4 sımbolos conigual energıa E y espacio de senal con N = 2 dimensiones. 21

Capıtulo 6

6.1. Detector mediante banco de correladores. 236.2. Receptor de vectores para regla MAP y ML. 24

Capıtulo 7

7.1. Detector mediante banco de filtros adaptados. 267.2. Configuracion empleada para determinar la respuesta al impulso que maximiza la relacion

senal a ruido a la salida. 27

Capıtulo 8

8.1. Regiones en las que queda dividido el espacio de senal para BPSK. 328.2. Esquema del transmisor de BPSK. 348.3. Esquema del receptor de BPSK empleando un correlador. 348.4. Esquema del receptor de BPSK empleando un filtro adaptado. 348.5. Regiones en las que queda dividido el espacio de senal para BFSK. 368.6. Esquema del transmisor de BFSK. 388.7. Esquema del receptor de BFSK empleando correladores. 388.8. Esquema del receptor de BFSK empleando filtros adaptados. 398.9. Densidades espectrales banda base para BPSK y BFSK fase continua. 41

vii

viii TRANSMISION DIGITAL PASO BANDA.

Capıtulo 9

Capıtulo 10

10.1. Detector en cuadratura no coherente que elimina la dependencia con respecto a la fasealeatoria θ en la senal a su salida. 48

10.2. Detector en cuadratura no coherente alternativo que emplea filtros adaptados en lugar decorreladores. 48

10.3. Tercera forma alternativa para el detector en cuadratura no coherente. 49

Capıtulo 11

11.1. Receptor en cuadratura no coherente para BFSK. 51

Capıtulo 12

12.1. Comparacion de la probabilidad de error media para BPSK coherente, BFSK coherente yBFSK no coherente como funcion de Eb/N0. 55

1MODELO DE UN SISTEMA DE TRANSMISION

DIGITAL PASO BANDA.

Cuando se necesita transmitir datos por un canal paso banda es necesario modular los datos medianteuna portadora normalmente sinusoidal con restricciones en frecuencia impuestas por el canal. En cualquiercaso modular de forma digital significa conmutar la amplitud, la frecuencia o la fase de la portadora deacuerdo con los datos. Va a haber tres tecnicas basicas de modulacion: ASK (Amplitude Shift Keying),FSK (Frequency Shift Keying) y PSK (Phase Shift Keying).

FSK y PSK tienen la envolvente constante. Esto hace que funcionen bien frente a no linealidades. Engeneral FSK y PSK se utilizan mucho mas que ASK. Nos centraremos en FSK y PSK. Vamos a estudiarel diseno del receptor de modo que se cometan el menor numero de errores posible y el calculo de laprobabilidad de error medio.

En la figura 1.1 podemos ver el esquema general de un sistema de transmision digital paso banda. Lafuente de informacion emite sımbolos de duracion T segundos. El alfabeto utilizado por esta fuente consisteen M sımbolos denotados por m1,m2, . . . ,mM . En el caso binario estos sımbolos son ∅ y 1. En cualquiercaso se conocen las probabilidades a priori p(m1), p(m2), . . . , p(mM ) que especifican la salida de la fuentede informacion.

Vamos a suponer en principio que los sımbolos emitidos por la fuente son equiprobables, por lo que secumple la ecuacion (1.1).

{s (t)}i

{s (t)}iim{ } s

ComunicacionCanal de

Detector

TransmisorVectorial Modulador

VectorialReceptor

x(t)

x(t)

InformacionFuente de

x Destino de laInformacion

TRANSMISOR

RECEPTOR

i{ }

{ }m

Figura 1.1 Esquema de un sistema de transmision digital paso banda.

1

2 Capıtulo 1

0 01 1 1

ASK

0 01 1 1

FSK

0 01 1 1

PSK

Figura 1.2 Ejemplo de senales ASK, FSK y PSK para el caso binario.

pi = p(mi) =1M

para 1 ≤ i ≤ M (1.1)

La salida de la fuente pasa a traves del transmisor vectorial que genera un vector de numeros reales. Enparticular, cuando el sımbolo de entrada al transmisor vectorial es mi el vector de salida generado si, con1 ≤ i ≤ M , viene dado por la ecuacion (1.2), donde la dimension de este vector cumple que N ≤ M .

si =

si1

si2

...siN

para 1 ≤ i ≤ M (1.2)

A partir de los vectores si generados para los sımbolos mi el modulador construye la senal si(t) deduracion T segundos a su salida. La senal si(t) tiene una energıa Ei finita que va a venir dada por laecuacion (1.3).

MODELO DE UN SISTEMA DE TRANSMISION DIGITAL PASO BANDA. 3

s (t)iΣ

+ x(t)

+

w(t)Ruido

SeñalTransmitida Recibida

Señal

Figura 1.3 Modelo de canal AWGN empleado.

Ei =∫ T

0

s2i (t)dt para 1 ≤ i ≤ M (1.3)

La senal si(t) generada por el modulador es una senal real que se transmite durante T segundos. Lassenales transmitidas cada periodo de sımbolo T dependen unicamente de la entrada proporcionada por lafuente en dicho periodo T y posiblemente de las entradas en los periodos precedentes (o equivalentementede las senales transmitidas en los periodos precedentes).

Para portadora sinusoidal, lo que distingue en el modulador las senales generadas para los diferentessımbolos es la amplitud, la frecuencia o la fase de las mismas. En la figura 1.2, podemos ver un ejemplo desenales ASK, FSK y PSK para el caso binario (M = 2). Como se puede ver en dicha figura sı es posibledistinguir visualmente las senales FSK y PSK a diferencia de los casos analogicos FM y PM que eranvisualmente indistinguibles.

El canal de comunicaciones entre el transmisor y receptor tiene las siguientes caracterısticas:

Es lineal con un ancho de banda suficiente como para acomodar la senal a la salida del modulador, lassenales si(t), sin distorsion o con una distorsion no apreciable.

La senal transmitida viene perturbada a lo largo del canal con un proceso de ruido W (t) que es aditivo,Gaussiano, blanco, de media cero y estacionario. Esta aproximacion simplifica considerablemente loscalculos y se acerca bastante a la realidad.

Este tipo de canal se denomina canal AWGN (Additive White Gaussian Noise).

El proceso aleatorio X(t) que representa a la senal recibida viene dado por la ecuacion (1.4), cuando setransmitio el sımbolo mi. Podrıamos considerar al canal dado por el modelo que se puede ver en la figura1.3.

X(t) = si(t) + W (t) para 1 ≤ i ≤ M y para 0 ≤ t ≤ T (1.4)

Segun se puede ver en la figura 1.1 el receptor tiene encomendada la tarea de observar la funcion muestrax(t) recibida del proceso X(t) durante T segundos de cara a hacer la mejor estimacion de la senal transmitidasi(t) o equivalentemente del sımbolo transmitido mi. Esto se va a hacer en dos etapas:

A partir de la muestra x(t) del proceso recibido X(t) el detector obtiene un vector muestra x, dadopor la ecuacion (1.5), del vector de variables aleatorias X con N componentes.

4 Capıtulo 1

x =

x1

x2

...xN

(1.5)

A partir del vector muestra x y del conocimiento de los vectores transmitidos si para 1 ≤ i ≤ M y delas probabilidades a priori p(mi) para 1 ≤ i ≤ M , el receptor vectorial produce una estimacion m delsımbolo transmitido mi.

Debido a la presencia del ruido a la entrada del receptor se pueden cometer errores durante el procesode decision llevado a cabo en el receptor vectorial. El criterio optimo de diseno del receptor sera entoncesaquel que minimice la presencia de dichos errores, es decir, hay que minimizar la probabilidad de errorpromedio dada por la ecuacion (1.6), siendo mi el sımbolo transmitido. Si seguimos este criterio de disenopodremos decir que el receptor es optimo en el sentido de mınima probabilidad de error promedio.

pe = p(m 6= mi) (1.6)

Vamos a suponer siempre que el receptor esta sincronizado con el transmisor a nivel de sımbolo, loque significa que el receptor sabe los instantes temporales de cambio de sımbolo o cambio de estado demodulacion. En algunos casos tambien se va a suponer que el receptor esta en sincronismo de fase conel transmisor. En este caso se dice que el receptor emplea deteccion coherente y que el receptor escoherente. En caso contrario se dice que la deteccion es no coherente y el receptor sera no coherente.

El modelo descrito nos da la base para poder realizar el diseno del receptor optimo. Vamos a dar acontinuacion una interpretacion geometrica del conjunto de senales {si(t)} usadas por el modulador quesimplifica en gran medida el diseno de receptores optimos.

2PROCEDIMIENTO DE ORTONORMALIZACION

DE GRAM-SCHMIDT.

El proceso por el cual los sımbolos mi se transforman en las senales moduladas si(t) se puede dividir enoperaciones discretas en tiempo y operaciones continuas en tiempo. La justificacion de esta separacion nosla da el procedimiento de ortonormalizacion de Gram-Schmidt, que permite la representacion decualquier conjunto de M senales de energıa {si(t)}, como combinacion de N funciones base ortonormales,con N ≤ M .

Se pueden representar las senales de energıa s1(t), s2(t), . . . , sM (t), todas ellas de duracion T , segun laecuacion (2.1), donde los coeficientes de esta expansion estan definidos por la ecuacion (2.2).

si(t) =N∑

j=1

sijφj(t) para 0 ≤ t ≤ T y para 1 ≤ i ≤ M (2.1)

sij =∫ T

0

si(t)φj(t)dt para 1 ≤ i ≤ M y para 1 ≤ j ≤ N (2.2)

Las funciones reales de energıa φ1(t), φ2(t), . . . , φN (t) tienen duracion T y forman una base ortonormal,es decir, se cumple la ecuacion (2.3).

∫ T

0

φi(t)φj(t)dt ={

1 i = j0 i 6= j

(2.3)

La ecuacion (2.3) nos dice que la energıa de las funciones φj(t) es unidad y ademas que las funcionesφj(t) son ortogonales entre sı en el intervalo 0 ≤ t ≤ T . Dado el conjunto de coeficientes {sij} para1 ≤ j ≤ N como entrada, se pueden obtener las senales si(t) para 1 ≤ i ≤ M usando la ecuacion (2.1) oequivalentemente el esquema de la figura 2.1. La sıntesis de si(t) a partir de los coeficientes sij consiste enN multiplicadores de dos entradas (cada uno de ellos multiplica el coeficiente sij por el elemento de la baseφj(t) correspondiente) y un sumador con N entradas. Este esquema observando la figura 1.1 desempena elpapel del modulador en el transmisor.

Dadas las senales {si(t)} para 1 ≤ i ≤ M como entrada, se pueden calcular los coeficientes {sij} para1 ≤ j ≤ N usando la ecuacion (2.2) o equivalentemente el esquema de la figura 2.2. Este esquema consisteen un banco de N correladores con las funciones base φj(t) con entrada comun si(t) (producto de la senalde entrada si(t) por cada elemento de la base φj(t) e integracion en 0 ≤ t ≤ T ).

El procedimiento de ortonormalizacion de Gram-Schmidt permite determinar la base del conjunto de Nfunciones {φj(t)} a partir del conjunto de las M senales {si(t)}. El procedimiento tiene dos etapas:

5

6 Capıtulo 2

φ (t)N

φ 2(t)

φ 1(t)

s i1

s i2

s iN

·

··

s (t)i

Figura 2.1 Sıntesis de la senal si(t) a partir de los coeficientes sij .

1. Hay que establecer si las senales s1(t), s2(t), . . . , sM (t) son linealmente independientes. En caso con-trario, debe existir un conjunto de coeficientes a1, a2, . . . , aM , no todos nulos, de modo que se puedaescribir la ecuacion (2.4).

a1s1(t) + a2s2(t) + . . . + aMsM (t) = 0 (2.4)

Si suponemos por ejemplo que aM es distinto de cero, podemos poner la senal sM (t) como funcion delas M − 1 restantes segun la ecuacion (2.5).

sM (t) = −[

a1

aMs1(t) +

a2

aMs2(t) + . . . +

aM−1

aMsM−1(t)

](2.5)

Consideremos ahora el conjunto de las M−1 senales restantes. Vamos a comprobar ahora si este nuevoconjunto de senales son o no linealmente independientes. En caso de que no lo sean, debe existir unconjunto de coeficientes b1, b2, . . . , bM−1, no todos nulos, de modo que se pueda escribir la ecuacion(2.6).

b1s1(t) + b2s2(t) + . . . + bM−1sM−1(t) = 0 (2.6)

Si suponemos ahora que por ejemplo bM−1 es distinto de cero, podemos poner la senal sM−1(t) comofuncion de las M − 2 restantes segun la ecuacion (2.7).

sM−1(t) = −[

b1

bM−1s1(t) +

b2

bM−1s2(t) + . . . +

bM−2

bM−1sM−2(t)

](2.7)

Continuando este procedimiento hasta que no encontremos un conjunto de coeficientes, no todos nulos,que haga que la ecuacion similar a la (2.4) en su caso se satisfaga, entonces nos quedara el conjunto de Nsenales s1(t), s2(t), . . . , sN (t) que son linealmente independientes (no podemos poner ninguna de ellascomo combinacion lineal de las demas). Puesto que hemos ido descartando senales, siempre se satisfaceque N ≤ M . Podemos terminar diciendo entonces que todas las M senales del conjunto original

PROCEDIMIENTO DE ORTONORMALIZACION DE GRAM-SCHMIDT. 7

φ (t)N

s i2

φ 2(t)

φ 1(t)

s (t)i

s i1

0

T(·) dt

0

T(·) dt

0

T(·) dt

s iN

·

··

Figura 2.2 Analisis de la senal si(t) para obtener los coeficientes sij .

s1(t), s2(t), . . . , sM (t) se pueden poner como combinacion lineal del conjunto final s1(t), s2(t), . . . , sN (t)con N senales.

2. Ahora vamos a ver que siempre va a ser posible determinar un conjunto de N funciones base ortonorma-les φ1(t), φ2(t), . . . , φN (t) a partir del conjunto de N senales linealmente independientes s1(t), s2(t), . . . ,sN (t). Si esto es ası podremos poner todas las M senales del conjunto original s1(t), s2(t), . . . , sM (t)como combinacion lineal de las N funciones de dicha base.

Como punto de partida vamos a definir la primera de dichas funciones φ1(t) segun la ecuacion (2.8),donde E1 es la energıa de la senal s1(t). Ası conseguimos que φ1(t) tenga la forma de s1(t) y energıaunidad segun la ecuacion (2.9). Los coeficientes s1j con 1 ≤ j ≤ N para la senal s1(t) vienen dadospor la ecuacion (2.10). Tambien podemos escribir la ecuacion (2.11) para obtener de nuevo la senal apartir de sus coeficientes.

φ1(t) =s1(t)√

E1

(2.8)

∫ T

0

φ21(t)dt = 1 (2.9)

s11 =√

E1

s1j = 0 para 2 ≤ j ≤ N(2.10)

s1(t) = s11φ1(t) =√

E1φ1(t) (2.11)

Como ya hemos definido la primera funcion base φ1(t) podemos calcular el coeficiente s21 de la segundasenal s2(t) con respecto a dicha funcion base φ1(t) segun la ecuacion (2.12).

8 Capıtulo 2

s21 =∫ T

0

s2(t)φ1(t)dt (2.12)

Ahora definimos la funcion intermedia g2(t) segun la ecuacion (2.13). Se puede comprobar que estasenal g2(t) es ortogonal tanto a φ1(t) como a s1(t) en el intervalo 0 ≤ t ≤ T , es decir, se cumple laecuacion (2.14).

g2(t) = s2(t)− s21φ1(t) (2.13)

∫ T

0

g2(t)s1(t)dt =∫ T

0

g2(t)φ1(t)dt = 0 (2.14)

La senal g2(t) es ortogonal a φ1(t) segun la ecuacion (2.14), pero su energıa no es unitaria, sino queviene dada por la ecuacion (2.15), donde E2 es la energıa de la senal s2(t). Si ahora dividimos la senalg2(t) entre su energıa dada por la ecuacion (2.15), conseguimos la segunda senal base φ2(t) segun laecuacion (2.16).

∫ T

0

g22(t)dt = E2 − s2

21 (2.15)

φ2(t) =g2(t)√E2 − s2

21

(2.16)

Los coeficientes s2j con 1 ≤ j ≤ N para la senal s2(t) vienen dados por la ecuacion (2.17). Tambienpodemos escribir la ecuacion (2.18) para obtener de nuevo la senal a partir de sus coeficientes.

s21 dado por la ecuacion (2.12)

s22 =√

E2 − s221

s2j = 0 para 3 ≤ j ≤ N

(2.17)

s2(t) = s21φ1(t) + s22φ2(t) = s21φ1(t) +√

E2 − s221φ2(t) (2.18)

Se puede comprobar facilmente que la funcion base φ2(t) ası obtenida es ortogonal a φ1(t) segun laecuacion (2.19) y de energıa unitaria segun la ecuacion (2.20).

∫ T

0

φ2(t)φ1(t)dt = 0 (2.19)

∫ T

0

φ22(t)dt = 1 (2.20)

Procediendo de forma similar se pueden obtener el resto de funciones base. Suponiendo que hayamoscalculado ya las funciones base φ1(t), φ2(t), . . . , φi−1(t) vamos a ver como proceder para determinar lafuncion base φi(t). Los coeficiente sij , con 1 ≤ j ≤ i− 1 para la senal si(t) con respecto a las funcionesbase φ1(t), φ2(t), . . . , φi−1(t) ya determinadas se pueden calcular segun la ecuacion (2.21).

PROCEDIMIENTO DE ORTONORMALIZACION DE GRAM-SCHMIDT. 9

sij =∫ T

0

si(t)φj(t)dt para 1 ≤ j ≤ i− 1 (2.21)

Ahora definimos la funcion intermedia gi(t) segun la ecuacion (2.22). Se puede comprobar que esta senalgi(t) es ortogonal a las funciones base φ1(t), φ2(t), . . . , φi−1(t) y tambien a las senales s1(t), s2(t), . . . ,si−1(t) en el intervalo 0 ≤ t ≤ T , es decir, se cumple la ecuacion (2.23).

gi(t) = si(t)−i−1∑j=1

sijφj(t) (2.22)

∫ T

0

gi(t)sj(t)dt =∫ T

0

gi(t)φj(t)dt = 0 para 1 ≤ j ≤ i− 1 (2.23)

La senal gi(t) es ortogonal a las senales φ1(t), φ2(t), . . . , φi−1(t) segun la ecuacion (2.23), pero su energıano es unitaria, sino que viene dada por la ecuacion (2.24), donde Ei es la energıa de la senal si(t). Siahora dividimos la senal gi(t) entre su energıa dada por la ecuacion (2.24), conseguimos la senal baseφi(t) buscada segun la ecuacion (2.25).

∫ T

0

g2i (t)dt = Ei −

i−1∑j=1

s2ij (2.24)

φi(t) =gi(t)√

Ei −i−1∑j=1

s2ij

(2.25)

Los coeficientes sij con 1 ≤ j ≤ N para la senal si(t) vienen entonces dados por la ecuacion (2.26).Tambien podemos escribir la ecuacion (2.27) para obtener de nuevo la senal a partir de sus coeficientes.

sij dados por la ecuacion (2.21) para 1 ≤ j ≤ i− 1

sii =

√Ei −

i−1∑j=1

s2ij

sij = 0 para i + 1 ≤ j ≤ N

(2.26)

si(t) =i∑

j=1

s2ijφj(t) =

i−1∑j=1

sijφj(t) +

√√√√Ei −i−1∑j=1

s2ijφi(t) (2.27)

Se puede comprobar facilmente que la funcion base φi(t) ası obtenida es ortogonal a las senalesφ1(t), φ2(t), . . . , φi−1(t) segun la ecuacion (2.28) y de energıa unitaria segun la ecuacion (2.29).

∫ T

0

φi(t)φj(t)dt = 0 para 1 ≤ j ≤ i− 1 (2.28)

∫ T

0

φ2i (t)dt = 1 (2.29)

De esta forma continuamos hasta determinar la ultima funcion base cuando i = N .

10 Capıtulo 2

Como hemos mostrado, cada una de las N senales linealmente independientes s1(t), s2(t), . . . , sN (t) sepuede expresar como combinacion lineal de las funciones base ortonormales φ1(t), φ2(t), . . . , φN (t). Entoncespodemos decir que todas las M senales originales s1(t), s2(t), . . . , sM (t) tambien se pueden expresar comocombinacion lineal de las funciones base ortonormales φ1(t), φ2(t), . . . , φN (t). Esto completa el enunciadoy comprobacion del procedimiento de ortonormalizacion de Gram-Schmidt.

La expansion convencional de una senal periodica en serie de Fourier se puede considerar un caso par-ticular de una expansion del tipo descrito. Otro tipo de expansion es el muestreo de una senal limitada enbanda. En el primer caso la base de funciones ortonormales son las exponenciales complejas. En el segun-do la funcion sinc y sus versiones desplazadas un numero entero de muestras. Sin embargo tenemos queconsiderar lo siguiente:

La forma de las funciones base ortonormales φ1(t), φ2(t), . . . , φN (t) no esta en absoluto especificada. Adiferencia de la serie de Fourier para senales periodicas y el muestreo para senales limitadas en banda,el procedimiento de ortonormalizacion de Gram-Schmidt no se restringe a exponenciales complejas nia funciones tipo sinc desplazadas.

La expansion de cada senal si(t) en terminos de un numero finito de N funciones base ortonormalesno es una aproximacion para la cual solo se consideran los primeros terminos o los mas significativos(la serie de Fourier y el muestreo tienen infinitos terminos). La expansion de cada senal si(t) es exactacon N terminos y unicamente con esos N .

3INTERPRETACION GEOMETRICA DE

SENALES.

Una vez que hayamos adoptado un conjunto de funciones base ortonormales {φj(t)} para 1 ≤ j ≤ N ,entonces cada senal del conjunto {si(t)} para 1 ≤ i ≤ M se puede expresar segun la ecuacion (3.1) dondelos coeficientes sij se pueden determinar con la ecuacion (3.2).

si(t) =N∑

j=1

sijφj(t) para 0 ≤ t ≤ T y para 1 ≤ i ≤ M (3.1)

sij =∫ T

0

si(t)φj(t)dt para 1 ≤ i ≤ M y para 1 ≤ j ≤ N (3.2)

Se puede decir que cualquier senal del conjunto {si(t)} viene completamente determinada por el vectorde coeficientes de la ecuacion (3.3).

si =

si1

si2

...siN

para 1 ≤ i ≤ M (3.3)

Al vector si se le denomina vector senal. Si consideramos un espacio Euclıdeo con N dimensiones (porextension del de 2 y 3), se pueden visualizar los vectores senal {si} para 1 ≤ i ≤ M como un conjuntode M puntos en ese espacio Euclıdeo cuyos N ejes mutuamente ortogonales vienen dados por el conjuntode senales base ortonormales {φj(t)} con 1 ≤ j ≤ N . Este espacio Euclıdeo con N dimensiones recibe elnombre de espacio de senal.

Representar el conjunto de senales de energıa {si(t)} para 1 ≤ i ≤ M de forma geometrica es fundamental,ya que va a simplificar en gran medida los calculos. En la figura 3.1 podemos ver un ejemplo de este tipode representacion para N = 2 y M = 3.

En un espacio Euclıdeo de dimension N se pueden definir facilmente longitudes y angulos entre vectores.Por ahora solo nos van a interesar las longitudes o distancias definidas en dicho espacio Euclıdeo. Se sueledenotar la longitud o norma de un vector si como ||si||. La norma de un vector al cuadrado viene definidacomo el producto escalar (o interno) de dicho vector consigo mismo, es decir, se cumple la ecuacion (3.4).

||si||2 =< si, si >=N∑

j=1

s2ij (3.4)

11

12 Capıtulo 3

s 2

s 3

s 1

φ 1

φ 2

4321−2 −1−3−4

1

2

3M = 3N = 2

−1

−2

−3

Figura 3.1 Ejemplo de representacion geometrica de M = 3 senales en una base con N = 2 funcionesortonormales.

Vamos a ver como la norma del vector que representa a una senal si(t) en el espacio Euclıdeo quehemos definido esta relacionada con la energıa de la senal Ei. La senal considerada si(t) tiene duracionT y su energıa viene dada por la ecuacion (3.5). Usando la ecuacion (3.1) se puede escribir el desarrollode la ecuacion (3.6), que nos lleva al resultado de que la norma al cuadrado (el cuadrado de la longitud)del vector que representa nuestra senal en el espacio Euclıdeo definido es igual a la energıa de la senal oequivalentemente la norma (la longitud) del vector es la raız cuadrada de la energıa de la senal segun laecuacion (3.7).

Ei =∫ T

0

s2i (t)dt (3.5)

Ei =∫ T

0

N∑j=1

sijφj(t)

[ N∑k=1

sikφk(t)

]dt =

N∑j=1

N∑k=1

sijsik

∫ T

0

φj(t)φk(t)dt =N∑

j=1

s2ij = ||si||2 (3.6)

||si|| =√

Ei (3.7)

En el caso de un par de senales si(t) y sk(t) representadas respectivamente por si y por sk se tiene laecuacion (3.8), donde ||si−sk|| es la distancia entre los puntos si y sk, es decir, la distancia al cuadrado entredos puntos cualesquiera si y sk del espacio Euclıdeo es igual a la energıa de la senal diferencia si(t)− sk(t).

||si − sk||2 =N∑

j=1

(sij − skj)2 =

∫ T

0

[si(t)− sk(t)]2dt (3.8)

4RESPUESTA DE UN BANCO DE

CORRELADORES A ENTRADA RUIDOSA.

Vamos a considerar el banco de N correladores que vimos en la figura 2.2 pero que a la entrada enlugar de tener la senal transmitida si(t), tenemos el proceso ruidoso recibido X(t) para cuando el canales AWGN. En este caso tenemos para el proceso ruidoso X(t) la ecuacion (4.1), donde W (t) es el procesode ruido que se suma a la senal a lo largo del canal. Es un ruido blanco, Gaussiano, de media cero y dedensidad espectral de potencia constante N0/2.

X(t) = si(t) + W (t) para 0 ≤ t ≤ T y para 1 ≤ i ≤ M (4.1)

La salida de cada correlador j, con 1 ≤ j ≤ N , es una variable aleatoria Xj dada por la ecuacion (4.2).

Xj =∫ T

0

X(t)φj(t)dt = sij + Wj para 1 ≤ j ≤ N (4.2)

El primer sumando sij de la ecuacion (4.2) es una cantidad determinista debida a si(t) segun la ecuacion(4.3).

sij =∫ T

0

si(t)φj(t)dt (4.3)

El segundo sumando Wj de la ecuacion (4.2) es una variable aleatoria debido a la presencia del procesoruidoso W (t). La variable aleatoria Wj viene dada por la ecuacion (4.4).

Wj =∫ T

0

W (t)φj(t)dt (4.4)

Consideremos ahora un nuevo proceso X ′(t) relacionado con el proceso ruidoso recibido X(t) a travesde la ecuacion (4.5). Sustituyendo en la ecuacion (4.5), las ecuaciones (4.1) y (4.2) se puede obtener eldesarrollo de la ecuacion (4.6) que nos permite definir el nuevo proceso de ruido W ′(t). Como se puede vereste proceso W ′(t) solo depende de terminos de ruido y no depende en absoluto de la senal transmitidasi(t).

X ′(t) = X(t)−N∑

j=1

Xjφj(t) (4.5)

13

14 Capıtulo 4

X ′(t) = si(t) + W (t)−N∑

j=1

(sij + Wj)φj(t) = W (t)−N∑

j=1

Wjφj(t) = W ′(t) (4.6)

Juntando las ecuaciones (4.5) y (4.7) se obtiene la ecuacion (4.7). En la ecuacion (4.7), W ′(t) debeconsiderarse como un termino de ruido residual para que se conserve la igualdad, pero que no va a influirpara nada ya que es eliminado por el banco de correladores.

X(t) =N∑

j=1

Xjφj(t) + W ′(t) (4.7)

Vamos a caracterizar el conjunto de variables aleatorias {Xj}, con 1 ≤ j ≤ J , a la salida del banco decorreladores. Como X(t) es un proceso Gaussiano, se puede deducir facilmente que cada variable aleatoriaXj es Gaussiana por lo que marginalmente va a venir caracterizada por su media y su varianza. Consideradaslas variables de forma conjunta habra que estudiar su covarianza.

El proceso de ruido W (t) tiene como hemos dicho media cero, por lo que la variable aleatoria Wj extraıdade W (t) tambien va a tener media cero. Entonces, segun la ecuacion (4.8), la media de la variable Xj solova a depender de sij .

mXj= E[Xj ] = E[sij + Wj ] = sij + E[Wj ] = sij (4.8)

Con respecto a la varianza de Xj se puede llegar a la ecuacion (4.8).

σ2Xj

= V ar[Xj ] = E[(Xj −mXj)2] = E[(Xj − sij)2] = E[W 2

j ] (4.9)

Sustituyendo el valor de Wj dado en la ecuacion (4.4), se puede obtener el desarrollo de la ecuacion (4.10),donde RW (t, u) es la funcion de autocorrelacion del proceso de ruido W (t). Como este proceso RW (t, u)es siempre estacionario, solo va a depender de la diferencia de tiempos t− u. Ademas, como el proceso deruido W (t) es blanco, se cumple la ecuacion (4.11).

σ2Xj

= E

[∫ T

0

W (t)φj(t)dt

∫ T

0

W (u)φj(u)du

]= E

[∫ T

0

∫ T

0

φj(t)φj(u)W (t)W (u)dtdu

]

=∫ T

0

∫ T

0

φj(t)φj(u)E[W (t)W (u)]dtdu =∫ T

0

∫ T

0

φj(t)φj(u)RW (t, u)dtdu (4.10)

RW (t− u) =N0

2δ(t− u) (4.11)

Finalmente sustituyendo el resultado de la ecuacion (4.11) en la ecuacion (4.10) tenemos la ecuacion(4.12). Como se puede ver todas las variables Xj tienen la misma varianza N0/2.

σ2Xj

=N0

2

∫ T

0

∫ T

0

φj(t)φj(u)δ(t− u)dtdu =N0

2

∫ T

0

∫ T

0

φ2j (t)dt =

N0

2(4.12)

RESPUESTA DE UN BANCO DE CORRELADORES A ENTRADA RUIDOSA. 15

Vamos a estudiar ahora la covarianza de las variables Xj y Xk considerandolas de forma conjunta.Podemos poner el desarrollo de la ecuacion (4.13), es decir, es igual a la correlacion de las variables Wj

y Wk. Podemos seguir desarrollando segun la ecuacion (4.14), por lo que para j 6= k, la covarianza de lasvariables Xj y Xk es igual a cero.

Cov[Xj , Xk] = E[(Xj −mXj )(Xk −mXk)] = E[(Xj − sij)(Xk − sik)] = E[WjWk] (4.13)

Cov[Xj , Xk] = Corr[Wj ,Wk] = E[WjWk] = E

[∫ T

0

W (t)φj(t)dt

∫ T

0

W (t)φk(t)dt

]

=∫ T

0

∫ T

0

φj(t)φk(t)RW (t, u)dtdu =N0

2

∫ T

0

∫ T

0

φj(t)φk(t)δ(t− u)dtdu

=N0

2

∫ T

0

φj(t)φk(t)dt = 0 para j 6= k (4.14)

Podemos decir que las variables Xj , para 1 ≤ j ≤ N son mutuamente incorreladas. Ademas, como dichasvariables son Gaussianas, se deduce que son estadısticamente independientes.

Podemos ahora agrupar todas las variables Xj , con 1 ≤ j ≤ N , en un vector X de variables aleatoriassegun la ecuacion (4.15), cuyos elementos son variables Xj Gaussianas, independientes, con media sij yvarianza N0/2.

X =

X1

X2

...XN

(4.15)

Como los elementos de X son estadısticamente independientes, se puede expresar la funcion densidad deprobabilidad del vector X, mediante el producto de las funciones de densidad de cada variable, todo ellosuponiendo que se transmitio el sımbolo mi, por lo que se tiene la ecuacion (4.16), con 1 ≤ i ≤ M , dondeel vector x y el escalar xj son valores muestra de X y Xj , respectivamente.

fX|Mi(x|mi) =

N∏j=1

fXj |Mi(xj |mi) (4.16)

Las funciones fXj |Mi(xj |mi), para cada senal mi se denominan funciones verosimilitud. Estas fun-

ciones son las que van a caracterizar al canal de comunicaciones, por lo que tambien reciben el nombrede funciones de transicion del canal. Un canal cuyas funciones de verosimilitud cumplan la ecuacion(4.16) se dice que es sin memoria.

La funcion densidad de probabilidad de una variable Xj Gaussiana, con media sij y varianza N0/2 vienedada por la ecuacion (4.17), para 1 ≤ i ≤ M y para 1 ≤ j ≤ N .

fXj |Mi(xj |mi) =

1√πN0

exp[− (xj − sij)2

N0

](4.17)

16 Capıtulo 4

La funcion de verosimilitud conjunta para un canal AWGN viene entonces dada por la ecuacion (4.18),para 1 ≤ j ≤ M .

fX|Mi(x|mi) = (πN0)−

N2 exp

− 1N0

N∑j=1

(xj − sij)2

(4.18)

De la ecuacion (4.7), puesto que el vector X caracteriza completamente al primer termino,N∑

j=1

Xjφj(t),

entonces W ′(t) depende unicamente del ruido del canal W (t). Como W (t) es Gaussiano con media cero,W ′(t) tambien va a ser Gaussiano con media cero. Cualquier variable aleatoria W ′(tk) derivada de W ′(t)fijando el tiempo t = tk va a ser ortogonal con Xj segun la ecuacion (4.19), pero como ademas la mediade W ′(t) es cero, va a estar incorrelada con Xj , para 1 ≤ j ≤ N y con 0 ≤ tk ≤ T . Ademas en el casoGaussiano W ′(t) sera independiente de Xj .

E[W ′(tk)Xj ] = 0 (4.19)

Puesto que cualquier variable aleatoria procedente del termino de ruido W ′(t) es independiente de los{Xj} y por tanto independiente de la senal transmitida si(t), la senal ruidosa W ′(t) es completamenteirrelevante a la hora de decidir cual fue el sımbolo transmitido. Las variables {Xj} a la salida del bancode correladores determinadas a partir de la senal X(t) van a ser las unicas necesarias para llevar a cabo elproceso de decision. Podrıamos decir que la senal W ′(t) cae fuera de nuestro espacio de senal.

5DETECCION COHERENTE DE SENALES EN

LA PRESENCIA DE RUIDO.

Vamos a suponer que en cada intervalo temporal de duracion T segundos se transmite una de las Mposibles senales si(t) con probabilidad pi (probabilidades a priori. Entonces para un canal AWGN unaposible realizacion o funcion muestra x(t) del proceso recibido X(t) vendrıa dada por la ecuacion (5.1),para 0 ≤ t ≤ T y 1 ≤ i ≤ M , y donde w(t) es una funcion muestra de un proceso W (t) de ruido blanco,Gaussiano, con media cero y densidad espectral de potencia N0/2.

x(t) = si(t) + w(t) (5.1)

El receptor tiene que observar la senal x(t) y hacer la mejor estimacion de la senal transmitida si(t)o equivalentemente del sımbolo transmitido mi. Hay que tener en cuenta que cuando la senal transmitidasi(t), con 1 ≤ i ≤ M , se aplica a un banco de N correladores definidos a partir de un conjunto apropiado deN funciones base ortonormales que representen al conjunto de senales {si(t)}, la salida de estos correladoresdefinen el vector de senal si, para 1 ≤ i ≤ M . Dado que conocer el vector de senal si es lo mismo queconocer la senal transmitida si(t) y viceversa, se puede representar dicha senal si(t) mediante un punto enel espacio de senal generado por las N funciones base ortonormales. Este espacio de senal sera un espacioEuclıdeo de dimension N ≤ M . Vamos a llamar al punto si que representa a la senal si(t) en este espaciode senal, punto de senal transmitida.

La representacion de la senal recibida x(t) es algo mas complicado debido a la presencia del ruido w(t).Debido a que parte de este ruido w(t) cae fuera de nuestro espacio de senal (es ortogonal al mismo), lo mismoocurre con la senal recibida x(t). Sin embargo, cuando esta senal recibida x(t) se aplica al mismo banco decorreladores, la salida de estos correladores va a definir un vector x que ahora si que va a estar dentro denuestro espacio de senal y se le va a poder representar igualmente mediante un punto en dicho espacio. Aeste punto que representa al vector x en el espacio de senal se le denomina punto de observacion y va aser la proyeccion de la senal recibida x(t) en nuestro espacio de senal.

El vector x difiere de la senal transmitida si en un vector aleatorio de ruido w. Este vector de ruidow estarıa formado por las salidas del mismo banco de correladores cuando a la entrada tuvieramos solola senal de ruido w(t). Se puede entender tambien como la proyeccion de la senal ruidosa w(t) en nuestroespacio de senal. En particular se cumple la ecuacion (5.2).

x = si + w (5.2)

Los vectores x y w son muestras de los vectores aleatorios X y W, respectivamente, segun como sedefinieron en el capıtulo 4. El vector de ruido w viene completamente caracterizado por la senal ruidosaw(t), pero lo contrario no es cierto. Este vector w representa la porcion del ruido w(t) que interfiere en elproceso de deteccion. Sera la parte del ruido que pasa a traves del banco de correladores, el resto del ruido,representado por el proceso W ′(t) en el capıtulo 4, es eliminado por el banco de correladores.

17

18 Capıtulo 5

s i

φ1(t)

φ2(t)

φ3(t)

Vector observacionx

Vector ruido

Vector senal transmitida

~

w

Figura 5.1 Representacion en el espacio de senal de los puntos de senal transmitida si y recibida x, juntocon el vector de ruido w.

Vamos a poder representar en el espacio Euclıdeo de senal tanto el punto de senal transmitida, si, comoel punto de senal recibida o punto de observacion, x. La diferencia entre ambos viene representada por elvector de ruido w como se puede ver en la figura 5.1 para un caso particular en el que N = 3.

Ahora vamos a pasar a abordar el problema de la deteccion que consiste en dado el punto de observacionx, determinar la mejor estimacion m para el sımbolo transmitido mi. Habra que determinar una regla queasigne a cada posible valor de x la estimacion m que haga que la probabilidad media de error sea mınima.Veremos dos tipos de detectores: el detector maximo a posteriori (MAP) y el detector de maximaverosimilitud (ML).

5.1 DECISOR MAXIMO A POSTERIORI.

Vamos a suponer que cuando el vector observacion es x, se hace la decision m = mi. La probabilidad deerror cometida en esta decision Pe(mi,x) viene dada por la ecuacion (5.3).

Pe(mi,x) = Prob(mi no haya sido enviado | x) = 1− Prob(mi fue enviado | x) (5.3)

Como nuestro criterio consiste en minimizar la probabilidad de error cometida en la etapa de decision,la regla de decision va a consistir en la dada por la ecuacion (5.4).

m = mi ⇐⇒ Prob(mi fue enviado | x) ≥ Prob(mk fue enviado | x) para 1 ≤ k ≤ M (5.4)

La regla de decision dada por la ecuacion (5.4) se denomina maxima probabilidad a posteriori oregla MAP. Esta condicion se puede expresar de forma mas explıcita en terminos de las probabilidades

DETECCION COHERENTE DE SENALES EN LA PRESENCIA DE RUIDO. 19

pk a priori y las funciones de verosimilitud fX|Mk(x|mk), definidas en el capıtulo 4, aplicando el teorema

de Bayes. Se obtiene entonces la regla dada por la ecuacion (5.5).

m = mi ⇐⇒pifX|Mi

(x|mi)fX(x)

≥pkfX|Mk

(x|mk)fX(x)

para 1 ≤ k ≤ M (5.5)

Como se puede observar en la ecuacion (5.5), los denominadores no dependen del ındice k, por lo que sepueden eliminar obteniendose como regla MAP la dada por la ecuacion (5.6), es decir, las relaciones entrelas funciones de verosimilitud deben ser mayores que las relaciones inversas de las probabilidades a priori.

m = mi ⇐⇒fX|Mi

(x|mi)fX|Mk

(x|mk)≥ pk

pipara 1 ≤ k ≤ M (5.6)

Para nuestro canal AWGN la funcion de verosimilitud venıa dada por la ecuacion (4.18), por lo quela ecuacion (5.6) se puede volver a escribir, simplificando, segun la ecuacion (5.7). Para poder continuar,podemos eliminar la funcion exponencial tomando logaritmos neperianos. La desigualdad se mantiene yaque el logaritmo neperiano es una funcion monotona creciente, por lo que podemos obtener la ecuacion(5.8).

m = mi ⇐⇒ exp

1N0

N∑j=1

[(xj − skj)2 − (xj − sij)2

] ≥ pk

pipara 1 ≤ k ≤ M (5.7)

m = mi ⇐⇒N∑

j=1

(xj − sij)2 −N0 ln(pi) ≤N∑

j=1

(xj − skj)2 −N0 ln(pk) para 1 ≤ k ≤ M (5.8)

Podemos desarrollar los cuadrado en la ecuacion (5.8) y simplificar, obteniendo la ecuacion (5.9). Ademassabemos que la energıa de cada sımbolo transmitido mk viene dado por la ecuacion (5.10), por lo que laregla quedarıa definitivamente segun la ecuacion (5.11). En definitiva el decisor siguiendo la regla MAP

asignara m = mi cuandoN∑

j=1

Xjskj + N02 ln(pk)− 1

2Ek toma su valor maximo para k = i.

m = mi ⇐⇒N∑

j=1

s2ij − 2

N∑j=1

Xjsij −N0 ln(pi) ≤N∑

j=1

s2kj − 2

N∑j=1

Xjskj −N0 ln(pk) para 1 ≤ k ≤ M (5.9)

Ek =N∑

j=1

s2kj (5.10)

m = mi ⇐⇒N∑

j=1

Xjsij +N0

2ln(pi)−

12Ei ≥

N∑j=1

Xjskj +N0

2ln(pk)− 1

2Ek para 1 ≤ k ≤ M (5.11)

20 Capıtulo 5

5.2 DECISOR DE MAXIMA VEROSIMILITUD.

Vamos a considerar ahora el caso para el que los sımbolos sean equiprobables. En este caso se cumplela ecuacion (5.12), por lo todas las probabilidades a priori son iguales y la relacion entre cualquiera dosde ellas va a ser unidad. En este caso podemos volver a escribir la ecuacion (5.6) segun la ecuacion (5.13).Esta regla de decision se denomina de maxima verosimilitud o regla ML (Maximum Likelihood), ya queasignamos m = mi cuando la verosimilitud es maxima para i.

pk =1M

para 1 ≤ k ≤ M (5.12)

m = mi ⇐⇒ fX|Mi(x|mi) ≥ fX|Mk

(x|mk) para 1 ≤ k ≤ M (5.13)

Debido a que normalmente las funciones de verosimilitud toman una forma exponencial, es practicacomun trabajar con el logaritmo neperiano de la funcion de verosimilitud en lugar de con esta directamente.Ademas debido a que como ya dijimos la funcion logaritmo neperiano es monotona creciente, se mantienenlas desigualdades, o lo que es lo mismo, si la funcion de verosimilitud es maxima para i el logaritmo neperianode dicha funcion tambien lo va a ser. Para un canal sin memoria el logaritmo neperiano de la funcion deverosimilitud se denomina metrica. La regla de maxima verosimilitud decidira por aquel sımbolo mi cuyametrica sea maxima, es decir, ahora la regla viene dada por la ecuacion (5.14).

m = mi ⇐⇒ ln[fX|Mi(x|mi)] ≥ ln[fX|Mk

(x|mk)] para 1 ≤ k ≤ M (5.14)

Es util tener una interpretacion grafica del decisor de maxima verosimilitud. Sea Z el espacio de senal deN dimensiones en el que podemos representar todos los posibles vectores x de senal recibida. Este espacioZ lo podemos denominar espacio de observacion. La regla ML debe establecer m = mi a partir de laobservacion x. Vamos a ver que el criterio ML es equivalente a dividir el espacio de observacion Z en Mregiones Z1, Z2, . . . , ZM de forma que se decida en favor de mi cuando la observacion x caiga en la regionZi. Estas regiones deben ser una particion de todo el espacio de observacion Z, es decir, la union de todasellas debe recubrir el espacio Z. En definitiva podemos escribir la regla ML segun la ecuacion (5.15).

x cae en la region Zi ⇐⇒ ln[fX|Mi(x|mi)] ≥ ln[fX|Mk

(x|mk)] para 1 ≤ k ≤ M (5.15)

En el caso de que el vector de observacion x cayera justamente en la region de separacion entre dosregiones, el decisor optarıa de forma aleatoria entre ambas. La regla no es necesario modificarla debido alsigno de igual que hemos empleado en la ecuacion (5.15).

Para nuestro canal AWGN la funcion de verosimilitud venıa dada por la ecuacion (4.18), por lo que sepuede determinar la metrica segun la ecuacion (5.16).

ln[fX|Mk(x|mk)] = −N

2ln(πN0)−

1N0

exp

N∑j=1

(xj − skj)2

para 1 ≤ k ≤ M (5.16)

Sustituyendo la metrica calculada en la ecuacion (5.16) en la regla dada por la ecuacion (5.15) y simpli-ficando la regla queda ahora segun la ecuacion (5.17).

DETECCION COHERENTE DE SENALES EN LA PRESENCIA DE RUIDO. 21

φ1(t)

φ2(t)

E

E

E E

s 1

s 4 s 2

s 3

Z 1

Z 2

Z 3

Z 4

Figura 5.2 Ejemplo de las regiones en las que se divide el espacio de senal para M = 4 sımbolos conigual energıa E y espacio de senal con N = 2 dimensiones.

x cae en la region Zi ⇐⇒N∑

j=1

(xj − sij)2 ≤N∑

j=1

(xj − skj)2 para 1 ≤ k ≤ M (5.17)

La ecuacion (5.18) nos dice que la regla de decision se puede volver a escribir segun la ecuacion (5.19), esdecir, la regla ML no es mas que elegir m = mi cuando el vector de observacion x este mas cerca (usandola metrica Euclıdea) del punto de senal si que de el resto en el espacio de observacion Z. En este caso laregion Zi se puede determinar como el conjunto de puntos del espacio de senal Z que estan mas cerca (enel sentido Euclıdeo) del punto de senal si que del resto.

||x− sk||2 =N∑

j=1

(xj − skj)2 (5.18)

x cae en la region Zi ⇐⇒ ||x− si|| ≤ ||x− sk|| para 1 ≤ k ≤ M (5.19)

Al igual que hicimos en el caso MAP podemos simplificar la ecuacion (5.17) desarrollando los cuadrados,obteniendose la ecuacion (5.20).

x cae en la region Zi ⇐⇒N∑

j=1

Xjsij −12Ei ≥

N∑j=1

Xjskj −12Ek para 1 ≤ k ≤ M (5.20)

Para un canal AWGN las regiones de decision Zi en el espacio de observacion Z con dimension N usandola regla ML van a estar limitadas por hiperplanos con dimension N − 1. En la figura 5.2 podemos ver unejemplo para el caso M = 4 sımbolos con igual energıa E y dimension del espacio de senal N = 2.

22 Capıtulo 5

5.3 PROBABILIDAD DE ERROR.

Vamos a ver como se determinarıa la probabilidad de error en el caso de la regla ML. Hemos dicho queel espacio de observacion queda dividido en regiones Zi separadas por hiperplanos. Si hemos transmitidoel sımbolo mi y hemos recibido el vector de observacion x el decisor cometera error siempre que x caigafuera de la region Zi asociada al vector de senal si. Promediando para todos los sımbolos tendremos laprobabilidad de error Pe. Ya que los sımbolos son equiprobables como suposicion para la regla ML, se puedeescribir la ecuacion (5.21).

Pe =M∑i=1

pi Prob(x no cae dentro de Zi | mi fue enviado)

=1M

M∑i=1

Prob(x no cae dentro de Zi | mi fue enviado)

= 1− 1M

M∑i=1

Prob(x cae dentro de Zi | mi fue enviado) (5.21)

Haciendo uso de la funcion de verosimilitud, la probabilidad de error se puede poner segun la ecuacion(5.22).

Pe = 1− 1M

M∑i=1

∫Zi

fX|Mi(x|mi)dx (5.22)

Para canales AWGN, dependiendo de la forma de las regiones Zi, es posible encontrar expresiones exactaspara la probabilidad de error solo en ciertos casos. En otros caso solamente va a ser posible determinarcotas superior e inferior para dicha probabilidad de error que van a ser utiles para predecir el valor de SNRque hace que dicha probabilidad de error se mantenga dentro de unos lımites adecuados. Para los casos deespecial interes como son PSK y FSK sı que va a ser posible determinar de forma exacta la probabilidadde error.

6RECEPTOR CORRELADOR.

En el caso de un canal AWGN para cuando se transmiten el conjunto de senales {si(t)} con 1 ≤ i ≤ Mel receptor optimo tiene dos partes:

1. Un banco de N correladores cuyas entradas auxiliares corresponden a las N funciones base ortonormales{φj(t)} con 1 ≤ j ≤ N generadas de forma local en el receptor. A partir de la senal recibida x(t) para0 ≤ t ≤ T se va a obtener el vector observado x usando el esquema que se puede ver en la figura 6.1.

2. La segunda parte se denomina receptor de vectores y va a implementar la forma del detector usandola regla MAP o la regla ML a partir del vector de observacion x obtenido a la salida del banco decorreladores, para obtener la mejor estimacion m del sımbolo transmitido en el sentido de mınimaprobabilidad de error, segun se puede ver en la figura 6.2. Teniendo en cuenta la ecuacion (5.11) parala regla MAP y la ecuacion (5.20) para la regla ML, va a ser necesario en primer lugar multiplicar el

φ (t)N

φ 2(t)

φ 1(t)

0

T(·) dt

0

T(·) dt

0

T(·) dt x1

x2

xN

·

··

x(t)x

Figura 6.1 Detector mediante banco de correladores.

23

24 Capıtulo 6

s M

s 2

s 11k

2k

Mk

m

·

··

x

ACUMULADOR

ACUMULADOR

ACUMULADOR

SELE

CCIO

NA

R EL

MA

XIM

O

+

+

+

Figura 6.2 Receptor de vectores para regla MAP y ML.

vector de observacion x por cada posible vector de senal transmitida si con 1 ≤ i ≤ M y acumular elresultado obteniendo ası los productos escalares (x, si), es decir las proyecciones del vector observacionx en cada una de las posibles senales transmitidas si. Posteriormente se ajusta el resultado mediantelas constantes Ki para compensar las diferencias energeticas de cada senal si en la regla ML y estasdiferencias energeticas y las diferentes probabilidades a priori en la regla MAP.

En particular para la regla MAP, las constantes Ki vienen dadas por la ecuacion (6.1). En el caso ML,debido a que las probabilidades a priori son iguales, las constantes Ki compensan solo las diferenciasenergeticas segun la ecuacion (6.2). Finalmente, en el caso en el que las energıas de las M senales seaniguales las constantes Ki son nulas segun la ecuacion (6.3), por lo que en el esquema de la figura 6.2los sumadores delante del decisor desaparecen. En este caso se decide en favor del sımbolo mi para elque la proyeccion del vector observacion x sobre el vector de senal transmitida si es maxima.

ki =12Ei −

N0

2ln(pi) para 1 ≤ i ≤ M (6.1)

ki =12Ei para 1 ≤ i ≤ M (6.2)

ki = 0 para 1 ≤ i ≤ M (6.3)

Este receptor recibe el nombre de receptor correlador.

7RECEPTOR CON FILTRO ADAPTADO.

Las funciones base ortonormales {φj(t)} para 1 ≤ j ≤ N valen cero fuera del intervalo 0 ≤ t ≤ T . Eluso de multiplicadores se puede evitar en la primera etapa del receptor. Esto es deseable puesto que losmultiplicadores analogicos son difıciles de lograr. Vamos a suponer un filtro lineal e invariante en el tiempocuya respuesta al impulso viene dada por hj(t). Cuando a la entrada de dicho filtro se tiene la senal x(t),la salida resultante yj(t) viene dada por la ecuacion (7.1).

yj(t) =∫ ∞

−∞x(τ)hj(t− τ)dτ (7.1)

Vamos a suponer que disenamos el filtro anterior de forma que se tenga la ecuacion (7.2), entonces lasalida yj(t) vendra dada por la ecuacion (7.3).

hj(t) = φj(T − t) (7.2)

yj(t) =∫ ∞

−∞x(τ)φj(T − t + τ)dτ (7.3)

Muestreando la salida yj(t) en el instante de tiempo t = T se obtiene la ecuacion (7.4) y ademas ya queφj(t) es cero fuera del intervalo 0 ≤ t ≤ T , podemos cambiar los lımites en la ecuacion (7.4) por los de laecuacion (7.5).

yj(T ) =∫ ∞

−∞x(τ)φj(τ)dτ (7.4)

yj(T ) =∫ T

0

x(τ)φj(τ)dτ (7.5)

De la ecuacion (7.5) se deduce que yj(T ) = xj , es decir la salida del correlador de la senal x(t) con lafuncion base φj(t). Por lo tanto un esquema equivalente al banco de correladores de la figura 6.1 es el quese puede ver en la figura 7.1 empleando un banco de N filtros seguidos de muestreadores para t = T .

Un filtro cuya respuesta al impulso es una version invertida en el tiempo y retardada de una senal φj(t)se dice que esta adaptado a la senal φj(t). Un receptor optimo que emplea este tipo de filtros se denominareceptor con filtro adaptado.

25

26 Capıtulo 7

φ 1(T−t)

φ 2(T−t)

φ (T−t)N

x1

x2

xN

x

·

··

x(t) t = T

t = T

t = T

Figura 7.1 Detector mediante banco de filtros adaptados.

Para que un filtro adaptado pueda operar en tiempo real y sea fısicamente realizable, debe ser causal,es decir, su respuesta al impulso debe ser cero para tiempos negativos segun la ecuacion (7.6). Puesto queφj(t) es cero fuera del intervalo temporal 0 ≤ t ≤ T , hj(t) definido por la ecuacion (7.2) tambien es cerofuera de dicho intervalo, por lo que este filtro adaptado siempre va a ser realizable.

hj(t) = 0 para todo t < 0 (7.6)

7.1 MAXIMIZACION DE LA RELACION SENAL A RUIDOA LA SALIDA.

Vamos a profundizar en el funcionamiento del filtro adaptado usando como criterio de optimizacion lamaximizacion de la relacion senal a ruido a la salida o SNRO.

Consideremos un filtro lineal con respuesta al impulso h(t) cuya entrada x(t) es la suma de una senalconocida φ(t) y una componente ruidosa w(t) en la configuracion que se puede ver en la figura 7.2, dondeT es un instante arbitrario de observacion. φ(t) puede ser cualquiera de las funciones base ortonormales.w(t) sera una muestra de un proceso blanco, estacionario, con media cero y densidad espectral de potenciaN0/2. Puesto que el filtro es lineal e invariante en el tiempo, la senal a la salida se puede expresar segun laecuacion (7.7), donde φ0(t) y n(t) son las salidas debidas a las componentes de senal y ruido a la entrada,respectivamente.

y(t) = φ0(t) + n(t) (7.7)

RECEPTOR CON FILTRO ADAPTADO. 27

(t)φt = T

+

+

x(t)

w(t)

y(t)h(t) y(T)

Figura 7.2 Configuracion empleada para determinar la respuesta al impulso que maximiza la relacionsenal a ruido a la salida.

Una forma de describir el requisito de que la senal de salida φ0(t) sea grande comparada con el ruido n(t)es mediante la SNRO de pico en el instante t = T definida como la relacion entre la potencia instantaneade la componente de senal a la salida en dicho instante y la potencia de la componente de ruido. Vamosa maximizar la SNRO definida por la ecuacion (7.8). Vamos a mostrar que la maximizacion de la SNRO

definida por la ecuacion (7.8) ocurre cuando el filtro esta adaptado a φ(t).

SNRO =|φ0(T )|2

E[n2(t)](7.8)

Sea Φ(f) la transformada de Fourier de φ(t) y H(f) la de h(t). Entonces podemos expresar la componentede senal a la salida φ0(t) segun la ecuacion (7.9).

φ0(t) =∫ ∞

−∞H(f)Φ(f) exp(j2πft)df (7.9)

La potencia de pico de la componente de senal a la salida va a venir dada por la ecuacion (7.10).

|φ0(T )|2 =∣∣∣∣∫ ∞

−∞H(f)Φ(f) exp(j2πfT )df

∣∣∣∣2 (7.10)

La densidad espectral de potencia de la componente de ruido a la salida n(t) viene dada por la ecuacion(7.11), por lo que la potencia de ruido es la de la ecuacion (7.12).

SN (f) =N0

2|H(f)|2 (7.11)

E[n2(t)] =∫ ∞

−∞SN (f)df =

N0

2

∫ ∞

−∞|H(f)|2df (7.12)

Usando las ecuaciones (7.10) y (7.12), la SNRO viene dada por la ecuacion (7.13).

SNRO =2∣∣∣∫∞−∞ H(f)Φ(f) exp(j2πfT )df

∣∣∣2N0

∫∞−∞ |H(f)|2df

(7.13)

28 Capıtulo 7

El problema ahora se plantea de la siguiente forma: manteniendo constante Φ(f), determinar la funcionde transferencia H(f) que maximiza la SNRO dada por la ecuacion (7.13). Para hacer esto podemos emplearla desigualdad de Schwarz dada por la ecuacion (7.14) al numerador de la ecuacion (7.13), obteniendose laecuacion (7.15).

∣∣∣∣∫ ∞

−∞H(f)Φ(f) exp(j2πfT )df

∣∣∣∣2 ≤ ∫ ∞

−∞|H(f)|2df

∫ ∞

−∞|Φ(f)|2df (7.14)

SNRO ≤2

N0

∫ ∞

−∞|Φ(f)|2df (7.15)

El termino de la derecha de la desigualdad de la ecuacion (7.15) no depende de H(f). Solo depende dela energıa de la senal φ(t) y de la densidad espectral de ruido. La SNRO sera maxima cuando se cumpla laigualdad segun la ecuacion (7.16). En este caso la funcion de transferencia del filtro H(f) tomara su valoroptimo HOPT(f). Esta funcion de transferencia optima sera aquella que haga que se cumpla la desigualdadde Schwarz con el signo de igual, cosa que ocurre cuando, salvo por un factor de escala, se cumple laecuacion (7.17).

SNRO, max =2

N0

∫ ∞

−∞|Φ(f)|2df (7.16)

HOPT(f) = Φ∗(f) exp(−j2πfT ) (7.17)

Tomando la transformada inversa de Fourier de la ecuacion (7.17) se puede obtener la respuesta alimpulso de dicho filtro optimo, hOPT(t). No es difıcil ver que viene dada por la ecuacion (7.18), que es loque habıamos definido como filtro adaptado a la senal de entrada φ(t): su respuesta al impulso es una versioninvertida en el tiempo y retardada. La unica suposicion necesaria es que el ruido sea blanco, estacionario,con media cero y densidad espectral de potencia N0/2.

hOPT(t) = φ(T − t) (7.18)

7.2 PROPIEDADES DE LOS FILTROS ADAPTADOS.

Hemos visto que un filtro adaptado a una senal φ(t) tiene por respuesta al impulso la dada por la ecuacion(7.18) y por funcion de transferencia la dada por la ecuacion (7.17). Basandonos en estas dos ecuaciones sepuede deducir las siguientes propiedades:

1. El espectro Φ0(f) de la senal de salida φ0(t) de un filtro adaptado a una senal φ(t) cuando a la entradaesta presente dicha senal φ(t) es, excepto por un retardo, proporcional a la densidad espectral deenergıa Ψφ(f) de la senal de entrada. Se cumple la ecuacion (7.19).

Φo(f) = HOPT(f)Φ(f) = Φ∗(f)Φ(f) exp(−j2πfT ) = Ψφ(f) exp(−j2πfT ) (7.19)

RECEPTOR CON FILTRO ADAPTADO. 29

2. La senal de salida φ0(t) de un filtro adaptado a una senal φ(t) cuando a la entrada esta presentedicha senal φ(t) es proporcional a una version desplazada de la autocorrelacion Rφ(τ) de la senalde entrada. Esta propiedad se deduce directamente de la propiedad anterior tomando transformadainversa de Fourier de la ecuacion (7.19) y teniendo en cuenta que la transformada de Fourier de laautocorrelacion es la densidad espectral de energıa. Se cumple entonces la ecuacion (7.20).

φo(t) = Rφ(t− T ) (7.20)

En el punto t = T la ecuacion (7.20) es la autocorrelacion en el origen que es donde la autocorrelaciontoma su valor maximo y es igual la energıa de la senal φ(t), por lo que podemos escribir la ecuacion(7.21). En ausencia de ruido el valor maximo del filtro adaptado cuando a la entrada tenemos φ(t)ocurre en t = T y es proporcional a la energıa E de la senal φ(t).

φo(T ) = Rφ(0) = E (7.21)

3. La SNRO maxima de un filtro adaptado depende solo de la relacion entre la energıa de la senal φ(t) ala que el filtro esta adaptado y la densidad espectral del ruido blanco a la entrada.

Segun la ecuacion (7.21) el valor maximo de la senal a la salida ocurre en t = T para cuando la entradaes φ(t) y es igual a la energıa E de la senal φ(t).

La potencia de ruido viene dada por la ecuacion (7.12). Teniendo en cuenta que la funcion de transfe-rencia del filtro adaptado viene dada por la ecuacion (7.17), se puede escribir la ecuacion (7.22).

E[n2(t)] =N0

2

∫ ∞

−∞|Φ(f)|2df =

N0

2

∫ ∞

−∞Ψφ(f)df =

N0E

2(7.22)

Teniendo en cuenta las ecuaciones (7.21) y (7.22), el valor maximo de la relacion senal a ruido a lasalida viene dado por la ecuacion (7.23).

SNRO, max =2E

N0(7.23)

4. El funcionamiento del filtro adaptado se puede separar en dos condiciones de adaptacion:

a) Adaptacion de fase espectral que da lugar a la maxima salida para t = T .

b) Adaptacion de amplitud espectral que hace que en t = T la SNR a la salida sea maxima.

El espectro Φ(f) de la senal φ(t) a la que se adapta el filtro se puede descomponer en amplitud espectral|Φ(f) y fase espectral θ(f) segun la ecuacion (7.24).

Φ(f) = |Φ(f)| exp[j θ(f)] (7.24)

Un filtro H(f) se dice que esta adaptado en fase espectral a la senal φ(t) si la funcion de transferenciadel filtro viene dada por la ecuacion (7.25), donde T es una constante temporal no negativa.

H(f) = |H(f)| exp[−j θ(f)− j2πfT ] (7.25)

Cuando la entrada de dicho filtro es φ(t) la senal a la salida φ′0(t) viene dada por la ecuacion (7.26).

φ′0(t) =∫ ∞

−∞H(f)Φ(f) exp(j2πft)df =

∫ ∞

−∞|H(f)||Φ(f)| exp[j2πf(t− T )]df (7.26)

30 Capıtulo 7

La adaptacion en t = T asegura que todas las componentes se suman de forma constructiva a la salidadando lugar al maximo en ese instante temporal. Podemos escribir la ecuacion (7.27).

φ′0(t) ≤ φ′0(T ) =∫ ∞

−∞|H(f)||Φ(f)|df (7.27)

Para la adaptacion de amplitud espectral, se elige la respuesta en amplitud |H(f)| para maximizar laSNR a la salida en t=T mediante la ecuacion (7.28). Ahora la ecuacion (7.27) toma el valor maximoigual a la energıa segun la ecuacion (7.29).

|H(f)| = |Φ(f)| (7.28)

φ0(t) ≤ φ0(T ) =∫ ∞

−∞Ψφ(f)df = E (7.29)

Juntando las ecuaciones (7.25) y (7.28), se llega al filtro adaptado habitual segun la ecuacion (7.30).

H(f) = |Φ(f)| exp[−j θ(f)] exp(−j2πfT ) = Φ∗(f) exp(−j2πfT ) (7.30)

8TECNICAS DE CODIFICACION COHERENTE.

Vamos a considerar las tecnicas de codificacion coherentes binarias. En este caso estas tecnicas consistenen conmutar la amplitud, la frecuencia o la fase entre dos posibles valores uno para el ∅ y otro para el 1.Tenemos las siguientes tecnicas:

ASK. Se transmite una portadora sinusoidal con frecuencia y amplitud fijas de duracion Tb para elsımbolo 1 y senal a cero durante Tb segundos para el ∅.

FSK. Consiste en dos senales sinusoidales de igual amplitud pero de diferente frecuencia, ambas conduracion Tb para el ∅ y para el 1, respectivamente.

PSK. Una portadora sinusoidal con frecuencia y amplitud fija representa tanto el ∅ como el 1. Ladiferencia entre ambos es un desfase de 1800, o lo que es lo mismo, una de ellas tiene el signo cambiado.Puesto que cambiar el signo es modificar la amplitud, este tipo de modulacion se puede considerartambien como ASK.

Como podemos ver ASK, PSK y FSK son las versiones discretas de las modulaciones continuas AM, PMy FM. Vamos a analizar con mas detalle a continuacion FSK y PSK con deteccion coherente.

8.1 BPSK COHERENTE.

Como estamos en el caso binario tenemos dos senales s1(t) y s2(t) para representar el sımbolo 1 y elsımbolo ∅ respectivamente. En particular, estas dos senales vienen dadas por las ecuaciones (8.1) y (8.2),donde 0 ≤ t ≤ Tb y Eb es la energıa de senal transmitida por bit.

s1(t) =√

2Eb

Tbcos(2πfct) (8.1)

s2(t) =√

2Eb

Tbcos(2πfct + π) = −

√2Eb

Tbcos(2πfct) (8.2)

Para asegurar que cada bit transmitido contiene un numero entero de ciclos de portadora, la frecuenciafc se elige segun la ecuacion (8.3), donde nc es un numero entero positivo arbitrario. Como se desprendede las ecuaciones (8.1) y (8.2), estas se diferencian exclusivamente en un desfase de 1800, es decir, una deellas tiene el signo cambiado con respecto a la otra.

fc =nc

Tb(8.3)

31

32 Capıtulo 8

φ1(t)s 2 s 1

Z 1Z 2

EbEb

Figura 8.1 Regiones en las que queda dividido el espacio de senal para BPSK.

Es facil de ver que la dimension del espacio de senal es N = 1 en este caso y que la unica funcion baseviene dada por la ecuacion (8.4), para 0 ≤ t ≤ Tb. Entonces como tenemos dos sımbolos o senales, M = 2y podemos escribir las ecuaciones (8.5) y (8.6).

φ1(t) =√

2Tb

cos(2πfct) (8.4)

s1(t) =√

Ebφ1(t) (8.5)

s2(t) = −√

Ebφ1(t) (8.6)

Los vectores de senal transmitida s1 y s2 viene dados por las ecuaciones (8.7) y (8.8).

s1 = (s11) =(√

Eb

)(8.7)

s2 = (s21) =(−√

Eb

)(8.8)

Vamos a suponer que los sımbolos son equiprobables p1 = p2 = 0,5, con lo que se puede aplicar laregla ML para el caso en el que la energıa de los sımbolos es la misma, Eb. En este caso la regla dedecision consistira en dividir el espacio con N = 1 dimensiones en M = 2 regiones. La primera de ellas,Z1, vendra dada por el conjunto de puntos mas cercanos a

√Eb que a −

√Eb y la otra, Z2, por los puntos

mas cercanos a −√

Eb que a√

Eb. Es facil de ver que Z1 son los puntos de la zona del eje positiva y Z2 lospuntos de la zona negativa como se puede ver en la figura 8.1. La frontera de separacion de ambas regioneses un hiperplano con dimensiones N − 1 = 0, que en este caso es un punto: el origen del eje (cuando valecero).

La regla de decision es sencilla: se decide que se transmitio s1(t), sımbolo 1, cuando el punto de senalobservado x caiga en Z1, es decir, x1 sea mayor que cero; y se decide que se transmitio s2(t), sımbolo∅, cuando el punto de senal observado x caiga en la region Z2, es decir, x1 sea menor que cero. Puedenocurrir dos tipos de errores: se transmitio s1(t), sımbolo 1, pero debido al efecto del ruido el punto se senal

TECNICAS DE CODIFICACION COHERENTE. 33

observado x cae en la region Z2 y se decide en favor de s2(t), sımbolo ∅. El segundo tipo de error ocurrecuando se transmitio s2(t), sımbolo ∅, pero debido al efecto del ruido el punto se senal observado x cae enla region Z1 y se decide en favor de s1(t), sımbolo 1.

En el segundo tipo de error, la region Z1 viene dada por la ecuacion (8.9), donde x1 viene dado por laecuacion (8.10).

Z1 : 0 < x1 < ∞ (8.9)

x1 =∫ Tb

0

x(t)φ1(t)dt (8.10)

La funcion de verosimilitud, cuando se transmite s2(t), sımbolo ∅, viene definida por la ecuacion (8.11).

fX1|∅(x1|∅) =1√πN0

exp[− (x1 − s21)2

N0

]=

1√πN0

exp

[−(x1 +

√Eb

)2N0

](8.11)

La probabilidad condicional de decidir por el sımbolo 1 cuando se transmitio el sımbolo ∅ viene dada porla ecuacion (8.12). Haciendo el cambio de variable de la ecuacion (8.13), se llega finalmente al resultadode la ecuacion (8.14), donde la funcion erfc es la funcion error complementario dada por la ecuacion(8.15).

Pe∅ =∫

Z1

fX1|∅(x1|∅)dx1 =1√πN0

∫ ∞

0

exp

[−(x1 +

√Eb

)2N0

]dx1 (8.12)

z =x1 +

√Eb√

N0

(8.13)

Pe∅ =1√π

∫ ∞

EbN0


(√Eb

N0

)(8.14)

erfc(x) =2√π

∫ ∞

x

exp(−z2)dz (8.15)

Si repetimos los calculos para cuando se transmitio el sımbolo 1 y cometemos error decidiendo en favor delsımbolo ∅, obtendrıamos el mismo resultado, es decir, la ecuacion (8.16). Finalmente, la probabilidad mediade error se puede ahora calcular segun la ecuacion (8.17), para la que hemos supuesto que los sımbolos sonequiprobables con lo cual las probabilidades a priori son p1 = p2 = 0,5.

Pe1 =12erfc

(√Eb

N0

)(8.16)

34 Capıtulo 8

φ 1(t)

Senal~BinariaPolar

Senal~BPSK

Figura 8.2 Esquema del transmisor de BPSK.

φ 1(t)

x1 x1 > 01 si

x1 < 00 six(t)

Dispositivode Decision0

(·) dtTb

Figura 8.3 Esquema del receptor de BPSK empleando un correlador.

x1 x1 > 01 si

x1 < 00 si

Dispositivode Decision

x(t)t = Tb

φ 1(T −t)b

Figura 8.4 Esquema del receptor de BPSK empleando un filtro adaptado.

Pe = p1Pe1 + p2Pe∅ =12erfc

(√Eb

N0

)(8.17)

Siempre que las probabilidades a priori sean iguales y las zonas de decision dividan al espacio de ob-servacion en zonas simetricas las probabilidades de error condicionadas y la probabilidad de error mediatoman el mismo valor.

Vamos a ver como generar una senal PSK. Va a ser necesario representar la senal binaria de entrada deforma polar de forma que el sımbolo 1 se represente con un pulso constante de amplitud

√Eb con duracion

Tb y el sımbolo ∅ con un pulso de amplitud −√

Eb de igual duracion. En la figura 8.2 podemos ver elesquema del transmisor. Consiste simplemente el multiplicar la senal polar generada en la forma indicadamas arriba por la funcion base φ1(t) usando por ejemplo un modulador producto. Va a ser necesario que lasenal binaria polar y la senal φ1(t) esten sincronizadas. Para ello debe existir una senal de temporizacionque permita lograr el sincronismo de la portadora φ1(t) con los instantes de cambio de bit. Como se puedever, este tipo de modulacion digital se puede considerar un caso particular de modulacion DSB, para el quela senal moduladora es una senal binaria polar.

En cuando al receptor que debe reconstruir la senal binaria original a partir de la senal recibida ruidosax(t), podemos emplear un esquema usando correladores o filtros adaptados. En la figura 8.3 se puede ver elesquema del receptor empleando en este caso un correlador. Como se puede ver se aplica la senal recibidaruidosa x(t) a un correlador al que se le aplica de forma coherente (en sincronismo de frecuencia y fase) lafuncion base φ1(t), para obtener despues de integrar entre 0 y Tb el vector de senal observada x que en estecaso solo tiene una componente x1. En la etapa de decision se compara x1 con el umbral de separacion delas regiones de decision, que es 0 en este caso: si x1 < 0 se decide por el sımbolo ∅ en caso contrario por elsımbolo 1.

Un esquema alternativo para el de la figura 8.3 es el de la figura 8.4 en el que se ha sustituido el correladorcon φ1(t) por un filtro adaptado a φ1(t).


Para cualquiera de los dos receptores es necesario recuperar la portadora φ1(t). Esta se puede extraer dela senal x(t) empleando un bucle de costas o un bucle cuadratico de forma similar a como se hacıa paramodulacion DSB, sin embargo, vamos a tener una ambiguedad de 1800 en la senal de salida, que referido ala senal binaria podrıa significar que los ceros estan cambiados con los unos. Para solucionar esto se puedeemplear la tecnica de codificacion diferencial en lugar de la binaria polar en la senal aplicada a la entradadel transmisor y decodificar la senal a la salida del receptor tras el decisor.

8.2 BFSK COHERENTE.

En FSK binario los sımbolos 1 y ∅ los vamos a representar mediante dos senales s1(t) y s2(t), respecti-vamente, mediante dos senales sinusoidales con frecuencias diferentes, f1 y f2, pero fijas. Estas senales vana venir dadas por las ecuaciones (8.18) y (8.19), para 0 ≤ t ≤ Tb, donde Eb es la energıa transmitida porbit y las frecuencias fi, con i = 1, 2 cumplen la ecuacion (8.20), siendo nc un entero positivo arbitrario.

s1(t) =√

2Eb

Tbcos(2πf1t) (8.18)

s2(t) =√

2Eb

Tbcos(2πf2t) (8.19)

fi =nc + i

Tbpara i = 1, 2 (8.20)

s1(t) y s2(t) tiene frecuencia distinta por lo que son ortogonales. Ademas tienen la misma energıa Eb. Elespacio de senal en este caso tiene N = 2 dimensiones. Como tenemos dos senales M = 2. Tenemos N = 2funciones base ortonormales en este caso: φ1(t) y φ2(t). La forma mas util de las mismas es la dada por lasecuaciones (8.21) y (8.22).

φ1(t) =√

2Tb

cos(2πf1t) (8.21)

φ2(t) =√

2Tb

cos(2πf2t) (8.22)

Los vectores de senal transmitidos se puede ver que van a venir dados por las ecuaciones (8.23) y (8.24).La distancia entre los sımbolos viene dada por la ecuacion (8.25).

s1 =[

s11

s12

]=[ √

Eb

0

](8.23)

s2 =[

s21

s22

]=[

0√Eb

](8.24)

||s1 − s2|| =√

2Eb (8.25)

36 Capıtulo 8

φ1(t)

φ2(t)

Z 1

Z 2

s 2

s 1

Eb

Eb

Figura 8.5 Regiones en las que queda dividido el espacio de senal para BFSK.

Si x(t) es la senal recibida a la entrada del receptor, el vector de observacion x tendra dos componentesy vendra dado por la ecuacion (8.26). Si se transmitio 1, la senal recibida es x(t) = s1(t) + w(t) y si setransmitio ∅, la senal recibida es x(t) = s2(t) + w(t), donde w(t) es una muestra de un proceso Gaussiano,estacionario, blanco, con media cero y densidad espectral de potencia N0/2.

x =

x1

x2

=

∫ Tb

0x(t)φ1(t)dt∫ Tb

0x(t)φ2(t)dt

(8.26)

Si suponemos que los sımbolos 1 y ∅ son equiprobables, es decir, p1 = p2 = 0,5, podemos aplicar la reglade ML. Ademas, los dos sımbolos tienen la misma energıa Eb como hemos visto. Aplicando la regla MLel espacio de observacion con N = 2 dimensiones va a quedar dividido en M = 2 regiones Z1 y Z2 segunpuede verse en la figura 8.5. Se decide que se transmitio 1 si el vector de observacion x cae en Z1, esto es,si x1 > x2; y se decide que se transmitio ∅ si el vector de observacion x cae en Z2, esto es, si x1 < x2. Lafrontera de las dos regiones corresponde a un hiperplano con N − 1 = 1 dimensiones, que en este caso es lalınea x1 = x2.

Vamos a definir una nueva variable aleatoria Y cuya muestra y va a venir dada por la ecuacion (8.27).

y = x1 − x2 (8.27)

Como las variables X1 y X2 eran Gaussianas, la variable Y tambien lo va a ser, ya que es una combinacionlineal de las dos primeras. Para caracterizar una variable Gaussiana tenemos que calcular su media y suvarianza. El valor medio de Y va a depender de si se transmitio 1 o ∅. Si se transmitio 1, las variables X1

y X2 tienen media√

Eb y 0, respectivamente, por lo que en este caso se puede escribir la ecuacion (8.28).Por otro lado, si se transmitio ∅, las variables X1 y X2 tienen media 0 y

√Eb, respectivamente, por lo que

en este caso se puede escribir la ecuacion (8.29).


E[Y |1] = E[X1 −X2|1] = E[X1|1]− E[X2|1] =√

Eb (8.28)

E[Y |∅] = E[X1 −X2|∅] = E[X1|∅]− E[X2|∅] = −√

Eb (8.29)

Las variables X1 y X2 son independientes y tienen igual varianza, N0/2, independientemente del sımbolotransmitido, por lo que la varianza de la variable Y va a venir dada por la ecuacion (8.30).

V ar[Y ] = V ar[X1 −X2] = V ar[X1] + V ar[X2] = N0 (8.30)

La funcion de verosimilitud cuando se transmitio ∅ va a venir dada por (8.31).

fY |∅(y|∅) =1√

2πN0

exp

[−(y +

√Eb

)22N0

](8.31)

Cuando se transmitio ∅ se cometera error cuando el vector de observacion x caiga en la region Z1, olo que es lo mismo, cuando x1 > x2. Se puede ver que esta condicion corresponde a la condicion y > 0,entonces la probabilidad de error cuando se transmitio ∅ vendra dada por la ecuacion (8.32). Haciendo elcambio de variable de la ecuacion (8.33), se llega finalmente al resultado de la ecuacion (8.34).

Pe∅ = Prob(Y > 0 | ∅) =∫ ∞

0

fY |∅(y|∅)dy =1√

2πN0

∫ ∞

0

exp

[−(x1 +

√Eb

)22N0

]dx1 (8.32)

z =x1 +

√Eb√

2N0

(8.33)

Pe∅ =1√π

∫ ∞

Eb2N0


(√Eb

2N0

)(8.34)

Debido a que las regiones de decision son simetricas, la probabilidad de error cuando se transmitio 1 tomael mismo valor que cuando se transmitio ∅. Ademas si los sımbolos son equiprobables, las probabilidades apriori son iguales, p1 = p2 = 0,5, por lo que la probabilidad media de error Pe se puede escribir segun laecuacion (8.35).

Pe =12erfc

(√Eb

2N0

)(8.35)

Comparandolo con BPSK, para mantener la misma probabilidad media de error, es necesario tener eldoble de relacion Eb/N0 en BFSK que en BPSK. Esto es razonable comparando las figuras 8.1 y 8.5.En BPSK la distancia entre los sımbolos es de 2

√Eb mientras que en BFSK esta distancia es de

√2Eb.

Debido al factor√

2 que diferencia la distancia entre los sımbolos, es necesario duplicar la relacion Eb/N0

38 Capıtulo 8

φ 1(t)

φ 2(t)

Senal~Binaria

Unipolar

Senal~BFSK

Inversor

Figura 8.6 Esquema del transmisor de BFSK.

φ 1(t)

φ 2(t)

x1

x2

0(·) dtTb

0(·) dtTb

x(t)+ Dispositivo

de Decisiony 1 si y > 0

0 si y < 0

Figura 8.7 Esquema del receptor de BFSK empleando correladores.

para mantener la misma tasa de error. Esto se puede generalizar diciendo que en un canal AWGN consımbolos equiprobables e igual energıa por bit Eb, la calidad del sistema solo depende de la distancia entrelas dos senales utilizadas para representar a los sımbolos. Cuanto mayor sea dicha distancia menor sera laprobabilidad de error.

Para generar una senal BFSK se puede utilizar el esquema de la figura 8.6. La senal binaria de entradase representa con un pulso constante de amplitud

√Eb y duracion Tb para el sımbolo 1 y nivel cero con

duracion Tb para el sımbolo ∅, es decir, codigo binario unipolar. El inversor del canal inferior invierte laasignacion representando con un pulso de amplitud

√Eb al ∅ y nivel cero al 1. De esta forma cuando

tenemos un 1, se transmite φ1(t) y cuando tengamos ∅ φ2(t), pero con energıa Eb. Segun se deduce de laecuacion (8.20), las frecuencias f1 y f2 son multiplos enteros de 1/Tb.

En el transmisor de la figura 8.6 se supone que los generadores de las dos funciones base ortonormalesφ1(t) y φ2(t) estan sincronizados de forma que sus salidas satisfagan la condicion de ortonormalidad. Deforma alternativa se puede utilizar un unico oscilador VCO conmutado. En ambos casos la senal va atener fase continua, pero modificando su frecuencia siguiendo a la senal binaria de entrada. Es decir, lacontinuidad de fase se debe mantener siempre, incluidas las transiciones de bits. Este tipo de modulacionse denomina CPFSK (Continuous Phase FSK).

Para recuperar la senal binaria original a partir de la senal recibida ruidosa x(t) podemos emplear elreceptor de la figura 8.7. Este esquema consiste en dos correladores con entrada comun x(t) a los que seaplican las dos funciones base ortonormales φ1(t) y φ2(t) generadas de forma localmente en el receptor deforma coherente. Las salidas de estos correladores seran las componentes, x1 y x2, del vector de observacion


x1

x2

φ 1(T −t)

φ 2(T −t)

+ Dispositivode Decision

y

t = T

x(t)

t = T1 si y > 0

0 si y < 0

b

b

b

b

Figura 8.8 Esquema del receptor de BFSK empleando filtros adaptados.

x, que se restan para generar la variable y. En el decisor se compara y con el umbral de decision cero,decidiendose en favor del sımbolo 1 siempre que y > 0 y en favor del sımbolo ∅ en otro caso.

Alternativamente, podemos emplear el esquema de la figura 8.8, en el que se han reemplazado los correla-dores por filtros adaptados a las funciones base ortonormales φ1(t) y φ2(t). En ambos casos sera importanteque dichas funciones base generadas localmente en el receptor mantengan sincronismo tanto de frecuenciacomo de fase. En este caso, como la senal transmitida tiene componentes espectrales importantes a f1 y f2,se van a poder extraer φ1(t) y φ2(t) aplicando a x(t) dos filtros paso banda con ancho de banda lo menorposible, sintonizados a f1 y f2, respectivamente.

8.3 PROPIEDADES ESPECTRALES DE BFSK Y BPSK.

Las senales BPSK y BFSK son paso banda, por lo que se van a poder expresar en terminos de suenvolvente compleja s(t) segun la ecuacion (8.36), siendo s(t) la transformada de Hilbert de s(t) y fc lafrecuencia central de la senal paso banda (frecuencia portadora).

s(t) = [s(t) + s(t)] exp(−j2πfct) (8.36)

Basandonos en esta representacion, se puede definir una densidad espectral de potencia banda base SB(f)de la senal paso banda s(t) como la potencia de la envolvente compleja s(t) como funcion de la frecuencia.La densidad espectral de potencia SS(f) de la senal paso banda s(t) sera, excepto por un factor de escala,una version desplazada de la densidad espectral SB(f) segun la ecuacion (8.37).

SS(f) =14

[SB(f − fc) + SB(f + fc)] (8.37)

Vamos a concentrarnos en evaluar la densidad espectral de potencia banda base, SB(f). Esta informacionsera util en el diseno del sistema, puesto que nos dara una estimacion para el ancho de banda requerido yla interferencia con otros sistemas. Vamos a comenzar analizando la senal BPSK.

A partir del modulador de la figura 8.2, se puede ver que la envolvente compleja de una senal BPSK esreal, puesto que la componente en cuadratura es cero. Ademas, dependiendo de si el sımbolo transmitidoes 1 o ∅ en el intervalo 0 ≤ t ≤ Tb, se puede ver que la componente en fase toma el valor g(t) o −g(t),respectivamente, donde g(t) viene dado por la ecuacion (8.38).

40 Capıtulo 8

g(t) =

√

2Eb

Tb0 ≤ t ≤ Tb


Si suponemos que los sımbolos de la senal binaria de entrada son equiprobables y que los sımbolos enlos diferentes intervalos temporales Tb estadısticamente independientes, la densidad espectral de potenciabanda base SB(f) sera igual a la densidad espectral de energıa Ψg(f) de g(t) dividida entre Tb, es decir, secumple la ecuacion (8.39). Como se puede ver la densidad espectral Sb(f) decae en frecuencia segun 1/f2.

SB(f) =Ψg(f)

Tb= 2Ebsinc2(Tbf) =

2Eb sin2(πfTb)π2T 2

b f2(8.39)

Vamos a analizar ahora el caso BFSK. Supongamos que las frecuencias f1 y f2 que representan lossımbolos 1 y ∅ respectivamente, se diferencian entre sı 1/Tb, segun la ecuacion (8.20) y que su media es lafrecuencia de la portadora fc. Supondremos que la senal es CPFSK, que tiene continuidad de fase inclusoen los cambios de bit, en este caso la senal s(t) se puede expresar segun la ecuacion (8.40), donde el signomenos representa al sımbolo 1 y el signo menos al sımbolo ∅.

s(t) =

√

2Eb

Tbcos(2πfct± πt

Tb

)0 ≤ t ≤ Tb


Desarrollando el termino coseno de la ecuacion (8.40) se puede obtener la ecuacion (8.41), en donde elsigno mas ahora representa al sımbolo 1 y el signo menos al sımbolo ∅.

s(t) =

√

2Eb

Tbcos(

πtTb

)cos(2πfct)∓

√2Eb

Tbsin(

πtTb

)sin(2πfct) 0 ≤ t ≤ Tb


Vamos a suponer que la senal binaria original es aleatoria, es decir, los sımbolos son equiprobables yestadısticamente independientes. Se pueden hacer las siguientes observaciones:

1. La componente en fase sc(t) es independiente de la senal binaria. Se puede poner la ecuacion (8.42).La densidad espectral de potencia SSC

(f) de la componente en fase sc(t) vendra dada por la ecuacion(8.43)

sc(t) =√

2Eb

Tbcos(

πt

Tb

)(8.42)

SSC(f) =

Eb

2Tb

[δ

(f − 1

2Tb

)+ δ

(f +

12Tb

)](8.43)

2. La componente en cuadratura ss(t) esta directamente relacionada con la senal binaria de entrada enel intervalo 0 ≤ t ≤ Tb. Ademas, dependiendo de si el sımbolo transmitido es 1 o ∅ en el intervalo0 ≤ t ≤ Tb, se puede ver que la componente en fase toma el valor g(t) o −g(t), respectivamente, dondeg(t) viene dado por la ecuacion (8.44).


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

f ·Tb

0.5

S BE b

dB

Densidad Espectral de Potencia para BPSK y BFSK

BPSKBFSK

1/ f 2

1/ f 4

Figura 8.9 Densidades espectrales banda base para BPSK y BFSK fase continua.

g(t) =

−√

2Eb

Tbsin(

πtTb

)0 ≤ t ≤ Tb


No es complicado ver que la densidad espectral de energıa Ψg(f) de la senal g(t) dada por la ecuacion(8.44) viene dada por la ecuacion (8.45). Entonces la densidad espectral de potencia SSS

(f) de lacomponente en cuadratura ss(t) viene dada por la ecuacion (8.46).

Ψg(f) =8EbTb cos2(πTbf)π2(4T 2

b f2 − 1)2(8.45)

SSS(f) =

Ψg(f)Tb

=8Eb cos2(πTbf)π2(4T 2

b f2 − 1)2(8.46)

Se puede ver que las componentes en fase y cuadratura de la senal BFSK son estadısticamente inde-pendientes, por lo que la densidad espectral de potencia banda base SB(f) sera la suma de las densidadesespectrales de potencia de las componentes en fase y cuadratura, obteniendose finalmente la ecuacion (8.47).

SB(f) =Eb

2Tb

[δ

(f − 1

2Tb

)+ δ

(f +

12Tb

)]+

8Eb cos2(πTbf)π2(4T 2

b f2 − 1)2(8.47)

42 Capıtulo 8

El espectro de la senal paso banda tiene deltas en las frecuencias ±f1 y ±f2 cuya potencia total es lamitad de la potencia de la senal BFSK. Estas deltas no llevan ningun tipo de informacion referida a lasenal binaria a transmitir, pero van a permitir recuperar el sincronismo de portadora en el receptor.

La densidad espectral de potencia en el caso BFSK decae con la frecuencia segun 1/f4. Si la senalBFSK tuviera discontinuidad de fase en los cambios de bit (debido por ejemplo a que los generadores a lasfrecuencias f1 y f2 fueran independientes), la densidad espectral de potencia pasarıa a decaer segun 1/f2

igual que en el caso BPSK. CPFSK no produce tanta interferencia fuera de banda como lo produce FSKcon fase discontinua. Podrıamos decir que tiene menor ancho de banda.

En la figura 8.9 podemos ver representadas las densidades espectrales banda base para BPSK y BFSKcon fase continua dadas por las ecuaciones (8.39) y (8.47). La amplitud se ha representado en dB y se hanormalizado con respecto a 2Eb y la frecuencia se ha normalizado con respecto a 1/Tb. Solo se ha dibujadopara frecuencias positivas, pero debido a que ambas densidades espectrales de potencia son pares, serıansimetricas para frecuencias negativas. La diferencia de caıdas en la densidad espectral de potencia dependede la forma del pulso g(t). Cuanto mas suave sea el pulso g(t) mas rapidamente cae la densidad espectralde potencia a cero. En CPFSK el pulso g(t) es mas suave de forma que los lobulos secundarios son menoresque en PSK.

9TECNICAS DE SENALIZACION M-ARIA.

Se utilizan M posibles senales s1(t), s2(t), . . . , sM (t) durante cada intervalo de duracion T . Para la ma-yorıa de las aplicaciones M es una potencia de 2, es decir, M = 2n, con n entero. La duracion del sımbolosera entonces T = nTb, donde Tb es la duracion de bit. Estas senales se generan modificando la amplitud,la frecuencia o la fase de una portadora de forma discreta (M valores). Tendremos MASK, de amplitud;MPSK, de fase; y MFSK, de frecuencia.

Los esquemas M -arios se utilizan cuando es necesario un ahorro del ancho de banda a costa de incrementarla potencia transmitida. En la practica, casi ningun canal de comunicaciones tiene el ancho de bandanecesario para emplear un sistema binario paso banda. Cuando el ancho de banda disponible es menor delnecesario para el caso binario, se emplearan esquemas M -arios para tener mayor eficiencia en ancho debanda. Vamos a ver con mas detalle los casos MPSK y MPSK.

9.1 MPSK COHERENTE.

En un sistema MPSK coherente la fase toma uno de entre M posibles valores θi segun la ecuacion (9.1).Durante el intervalo 0 ≤ t ≤ T las posibles senales {si(t)} vienen dadas por la ecuacion (9.2), donde E esla energıa por sımbolo y fc es la frecuencia portadora dada por la ecuacion (9.3), con nc un numero enteropositivo arbitrario.

θi =2iπ

Mpara 1 ≤ i ≤ M (9.1)

si(t) =

√2E

Tcos(

2πfct +2iπ

M

)(9.2)

fc =nc

T(9.3)

Si la informacion a transmitir consiste en una secuencia binaria con duracion de bit Tb, el ancho de bandanecesario sera proporcional a 1/Tb. Si ahora se agrupan los bits de n en n para transmitir la informacionusando MPSK con M = 2n y T = nTb, el ancho de banda necesario sera proporcional a 1/T = 1/(nTb), loque significa que el ancho de banda necesario se ha reducido en un factor de n al pasar de BPSK a MPSK.

El receptor MPSK consistira en un discriminador de fase cuya salida sea proporcional a la fase de la senalde entrada junto cierto ruido procedente del canal, medido durante un intervalo de duracion T . Suponiendoque los sımbolos sean equiprobables, el decisor usara la regla ML, que para este caso consistira en lo

43

44 Capıtulo 9

Numero de Reduccion IncrementoSımbolos Ancho Banda Potencia Transmitida

4 0,5 0,34 dB8 0,33 3,91 dB16 0,25 8,52 dB32 0,2 13,52 dB

Tabla 9.1 Comparacion de BPSK y MPSK en lo que respecta a la reduccion del ancho de banda y elincremento de potencia necesario para mantener probabilidad de error Pe = 10−4.

siguiente: se decide que se transmitio el sımbolo mi cuando la fase de la senal detectada ruidosa pertenezcaal intervalo (θi − π/M, θi + π/M).

Suponiendo se mantenga constante la probabilidad de error Pe = 10−4, en la tabla 9.1 se puede ver lareduccion del ancho de banda y el incremento de potencia transmitida necesaria con respecto a BPSK paradiferentes valores del numero de sımbolos M . Como se puede ver el mejor compromiso entre la reducciondel ancho de banda y el incremento de potencia necesario para mantener la misma calidad se consiguepara M = 4. 4PSK, tambien denominado QPSK (Quadrature PSK) se utiliza mucho en la practica. ParaM = 8 el incremento de potencia necesaria es excesivo y no compensa la reduccion del ancho de banda porlo que no se utiliza mucho en la practica. Ademas, los sistemas MPSK requieren un transmisor bastantemas complicado que en el caso BPSK.

9.2 MFSK COHERENTE.

En este caso las senales MFSK vienen dadas por la ecuacion (9.4), para el intervalo 0 ≤ t ≤ T . Todas lasM senales tienen energıa E y puesto que las frecuencias estan separadas 1/(2T ), las senales son ortogonales.La frecuencia portadora serıa la media aritmetica de las M frecuencias que viene dada por la ecuacion (9.5).

si(t) =

√2E

Tcos[

π

T

(nc + i− M + 1

2

)t

](9.4)

fc =nc

2T(9.5)

Un sistema MFSK ası definido tiene las siguientes propiedades:

1. Para tasa binaria 1/Tb fija, densidad espectral de ruido N0/2 fija y probabilidad de error Pe fija,incrementar M significa reducir la potencia de transmision necesaria a costa de un incremento delancho de banda de transmision.

2. En el caso lımite de que M → ∞, la probabilidad de error satisface la ecuacion (9.6), donde P es lapotencia de senal a la entrada del receptor y Tb es la duracion de bit.

Pe =

1 si 1

Tb> P

N0log2 e

0 si 1Tb

< PN0

log2 e(9.6)

TECNICAS DE SENALIZACION M-ARIA. 45

La condicion dada por la ecuacion (9.6) nos dice que la maxima tasa de transmision a la que se puedetransmitir sin error viene dada por la ecuacion (9.7). Para lograr alcanzar esa tasa, es necesario que M →∞,con lo cual el ancho de banda serıa tambien infinito, cosa que no es posible en la practica.

1Tb

=P

N0log2 e (9.7)

La capacidad de un canal con ruido AWGN es PN0

log2 e cuando el ancho de banda es infinito, por lo quepodemos decir que si la tasa binaria 1/Tb es menor que la capacidad del canal, la probabilidad de error sepuede hacer arbitrariamente pequena. Un sistema MFSK es capaz de transmitir datos hasta una tasa iguala la capacidad del canal con una probabilidad de error arbitrariamente pequena.

10DETECCION DE SENALES CON FASE

ALEATORIA EN PRESENCIA DE RUIDO.

En la practica en las tecnicas de transmision de datos paso banda ademas de la incertidumbre debida alruido aditivo a la entrada del receptor, existe otro tipo de incertidumbre anadida debido a la aleatoriedadde otro parametro. La causa habitual de esto es la distorsion del medio de transmision. El parametro conmayor aleatoriedad es la fase, especialmente para senales de banda estrecha. Por ejemplo, la transmisionpor una multiplicidad de caminos diferentes, con longitudes diferentes o retardos variando rapidamente enel medio de propagacion del transmisor al receptor, haran que la fase de la senal recibida cambie de modoque el receptor no la pueda seguir. La sincronizacion de fase de la portadora transmitida sera muy costosoy el disenador puede simplemente elegir ignorar la informacion de fase de la senal recibida a expensas dealgo de degradacion de la calidad.

Consideremos un sistema de comunicaciones en el cual la senal transmitida venga dada por la ecuacion(10.1), donde E es la energıa de la senal, T es la duracion del intervalo de sımbolo y fi la frecuencia que sesupone es un multiplo entero de 1/(2T ).

si(t) =

√2E

Tcos(2πfit) para 0 ≤ t ≤ T (10.1)

Cuando no se pretende recuperar la fase para sincronizar el receptor con el transmisor, la senal recibidava a venir dada para un canal AGWN por la ecuacion (10.2), donde w(t) es una muestra de un procesoestocastico ruidoso estacionario, blanco, Gaussiano, con media cero y densidad espectral de potencia N0/2.

x(t) =

√2E

Tcos(2πfit + θ) + w(t) para 0 ≤ t ≤ T (10.2)

La fase θ se desconoce y normalmente se la considera una muestra de una variable aleatoria uniformementedistribuida en el intervalo (0, 2π). Esto significa una perdida de la informacion de fase. Un sistema decomunicaciones digitales ası se denomina no coherente.

Los sistemas de deteccion presentados en los capıtulos precedentes son inadecuados para sistemas nocoherentes, puesto que para una senal de este tipo la salida serıa funcion de la fase desconocida θ. Vamosa ver cuales son las modificaciones necesarias para afrontar esta nueva situacion.

La ecuacion (10.2) se puede expandir desarrollando el termino coseno obteniendose la ecuacion (10.3).

x(t) =

√2E

Tcos(θ) cos(2πfit)−

√2E

Tsin(θ) sin(2πfit) + w(t) para 0 ≤ t ≤ T (10.3)

47

48 Capıtulo 10

0

T(·) dt

0

T(·) dt

xc

xs

(·)

(·)2

(·)2xs

2

xc2

2T

cos(2π f t)i

2T

sin(2π f t)i

yix(t)

Figura 10.1 Detector en cuadratura no coherente que elimina la dependencia con respecto a la fasealeatoria θ en la senal a su salida.

xc

xs

(·)

(·)2

(·)2xs

2

xc22

Tcos(2π f t)i

2T

sin(2π f t)i

yix(t)

t = T

t = T

Figura 10.2 Detector en cuadratura no coherente alternativo que emplea filtros adaptados en lugar decorreladores.

Vamos a suponer que tenemos dos correladores que multiplican la senal x(t) dada por la ecuacion (10.3)por las funciones base ortonormales de la ecuacion (10.4).

√2T cos(2πfit)√2T sin(2πfit)

(10.4)

En ausencia de ruido, la salida de los correladores de la ecuacion (10.4) sera, respectivamente,√

E cos(θ)y −

√E sin(θ), por lo que la dependencia con respecto a la fase θ se puede eliminar sumando los cuadrados

de las salidas de los correladores y tomando la raız cuadrada, obteniendose, cuando el ruido es cero,√

Ecomo salida final, que no depende de la fase θ. Esto nos sugiere que para la deteccion de una senal sinusoidalcon fase arbitraria y con ruido AGWN, se puede utilizar este metodo de deteccion denominado detectoren cuadratura. De hecho este metodo dara lugar al receptor optimo en el sentido de mınima probabilidadde error media. En la figura 10.1 se puede ver el esquema de este metodo de deteccion no coherente.

Vamos a ver otras formas equivalentes al receptor en cuadratura de la figura 10.1. La primer de estasformas consiste en reemplazar los correladores por filtros adaptados, obteniendose el receptor en cuadraturaalternativo de la figura 10.2.

Para obtener la tercera forma alternativa del receptor en cuadratura vamos a considerar una senal segunla ecuacion (10.5). La envolvente de la senal a la salida un filtro adaptado a dicha senal no va a estarafectada por el valor de θ.

DETECCION DE SENALES CON FASE ALEATORIA 49

2T

cos(2π f t)i yix(t)t = TEnvolvente

Detector de

Figura 10.3 Tercera forma alternativa para el detector en cuadratura no coherente.

s(t) =

√2T

cos(2πfit + θ) para 0 ≤ t ≤ T (10.5)

Como no conocemos el valor de θ vamos a suponer que la respuesta al impulso del filtro adaptado vienedada por la ecuacion (10.6).

h(t) =

√2T

cos(2πfit) para 0 ≤ t ≤ T (10.6)

La senal v(t) a salida del filtro adaptado de la ecuacion (10.6) para cuando la senal a la entrada es lasenal ruidosa x(t) a la entrada del receptor viene dada por el desarrollo de la ecuacion (10.7).

v(t) =

√2T

∫ T

0

x(τ) cos[2πfi(t− τ)]dτ

=

√2T

cos(2πfit)∫ T

0

x(τ) cos(2πfiτ)dτ

+

√2T

sin(2πfit)∫ T

0

x(τ) sin(2πfiτ)dτ (10.7)

La y(t) envolvente de la senal v(t) dada por la ecuacion (10.7) viene dada por la ecuacion (10.8), peroesta expresion es justamente la de que se obtendrıa para la salida de los detectores en cuadratura de lasfiguras 10.1 y 10.2. Por lo tanto el esquema de la figura 10.3 sera la tercera forma alternativa del detectoren cuadratura.

y(t) =

√√√√[∫ T

0

x(τ)

√2T

cos(2πfiτ)dτ

]2

+

[∫ T

0

x(τ)

√2T

sin(2πfiτ)dτ

]2

(10.8)

La necesidad del detector de envolvente a la salida del filtro adaptado se puede justificar de la siguienteforma: la salida de un filtro adaptado a un pulso de radiofrecuencia alcanza su valor de pico en t = T , sinembargo, si la fase de la senal no esta adaptada a la senal, dicho valor de pico ocurrira en un instante distintodel de muestreo t = T . Si por ejemplo tuvieramos un desfase de π radianes, tendrıamos un pico negativoen el instante de muestreo. Para evitar el problema de determinar el instante optimo de muestreo, si nosquedamos con la envolvente de la senal a la salida del filtro adaptado, estarıamos evitando el problema dela fase, puesto que la envolvente no depende de la fase θ de la portadora.

11DETECCION NO COHERENTE DE BFSK.

Para ilustrar la teorıa de deteccion no coherente que se explico en el capıtulo 10, vamos a analizar acontinuacion la deteccion no coherente de BFSK con ruido AWGN. Sin tener en cuenta la fase de la senalla implementacion de BFSK es mucho mas sencilla. Esta simplificacion se logra a costa de una degradacionen la calidad.

En BFSK tenemos dos sımbolos 1 y ∅. El sımbolo 1 se representa por la senal s1(t) y el sımbolo ∅ poruna senal s2(t). Estas dos senales estan dadas por la ecuacion (11.1), donde f1 y f2 son dos frecuencias quedeben estar separadas al menos 1/(2Tb) para que s1(t) y s2(t) sean ortogonales. Eb es la energıa por bit yTb la duracion de bit.

si(t) =

√

2Eb

Tbcos(2πfit) 0 ≤ t ≤ Tb


En la figura 11.1 podemos ver el esquema del receptor en cuadratura no coherente empleando la terceraforma alternativa vista en el capıtulo 10. El primer filtro esta adaptado a la senal

√2Tb

cos(2πf1t) y el

segundo a√

2Tb

cos(2πf2t). Las envolventes a la salidas de ambos filtros se muestrean para t = Tb, obte-niendose las variables y1 e y2 que sirven de entrada al decisor. El decisor decide que se transmitio el sımbolo1 cuando y1 > y2 y el sımbolo ∅ cuando y1 < y2.

Si se transmite el sımbolo 1 y y1 > y2, la decision sera la correcta, pero si debido al ruido resulta quey1 < y2 se cometera un error. Vamos a suponer que los sımbolos son equiprobables de forma que se puedaaplicar la regla ML en el decisor. Debido a que los dos sımbolos tienen igual energıa, las regiones de decisionen el espacio de observacion seran simetricas, por lo que las probabilidades de error condicionadas seraniguales. Nos bastara calcular la probabilidad de error cuando se transmitio el sımbolo 1. Para ello vamos adeterminar las de funciones densidad de probabilidad de las variables Y1 e Y2 cuyos valores muestrales sony1 e y2, respectivamente.

2T

cos(2π f t)1

2T

cos(2π f t)2

y1

y2

y1 y21 si >

y1 y20 si <

x(t)

t = TEnvolventeDetector de

t = TEnvolventeDetector de

Decisor

b b

bb

Figura 11.1 Receptor en cuadratura no coherente para BFSK.

51

52 Capıtulo 11

Si suponemos que se transmitio el sımbolo 1, eso significa que se transmitio la frecuencia f1. La senalrecibida x(t) a la entrada del receptor en ausencia de sincronismo de fase vendra dada por la ecuacion(11.2).

x(t) =√

2Eb

Tbcos(2πf1t + θ) + w(t)

=√

2Eb

Tbcos(θ) cos(2πf1t)−

√2Eb

Tbsin(θ) sin(2πf1t) + w(t) (11.2)

Vamos a representar mediante xciy xsi

, dadas por las ecuaciones (11.3) y (11.4), para i = 1, 2, lascoordenadas de la senal recibida x(t).

xci=

∫ Tb

0

x(t)√

2Tb

cos(2πfit)dt (11.3)

xsi =∫ Tb

0

x(t)√

2Tb

sin(2πfit)dt (11.4)

Aunque la senal transmitida si(t) se puede representar mediante puntos de senal en un espacio de 2dimensiones, la presencia de la incertidumbre de la fase θ en el receptor hace necesario utilizar N = 4dimensiones y por tanto N = 4 funciones base ortonormales para representar a la senal recibida x(t).

La senal y1 tras el detector de envolvente del camino superior de la figura 11.1 viene dada por la ecuacion(11.5), donde si se transmitio el sımbolo 1, xc1 y xs1 vienen dados por las ecuaciones (11.6) y (11.7).

y1 =√

x2c1

+ x2s1

(11.5)

xc1 =√

Eb cos(θ) + wc1 (11.6)

xs1 = −√

Eb sin(θ) + ws1 (11.7)

Por otro lado, la senal y2 tras el detector de envolvente del camino inferior de la figura 11.1 viene dadapor la ecuacion (11.8), donde si se transmitio el sımbolo 1, xc2 y xs2 vienen dados por las ecuaciones (11.9)y (11.10).

y2 =√

x2c2

+ x2s2

(11.8)

xc2 = wc2 (11.9)

xs2 = ws2 (11.10)

Los terminos wsi y wsi para i = 1, 2 son terminos que dependen exclusivamente del ruido w(t) segunlas ecuaciones (11.11) y (11.12). Estas variables de ruido son muestras de variables aleatorias Gaussianas,independientes, de media cero y varianza N0/2.

DETECCION NO COHERENTE DE BFSK. 53

wci =∫ Tb

0

w(t)√

2Tb

cos(2πfit)dt (11.11)

wsi =∫ Tb

0

w(t)√

2Tb

sin(2πfit)dt (11.12)

Cuando se transmitio el sımbolo 1, las variables xc2 y xs2 son muestras de dos variables aleatorias Xc2

y Xs2 Gaussianas y estadısticamente independientes, con media cero y varianza N0/2, por lo tanto, y2

sera una muestra de una variable aleatoria Y2 con distribucion Rayleigh. Podremos expresar la funcion dedensidad de probabilidad de dicha variable Y2 cuando se transmitio el sımbolo 1 segun la ecuacion (11.13).

fY2|1(y2|1) =2y2

N0exp

(− y2

2

N0

)u(y2) (11.13)

Si se transmitio el sımbolo 1, xc1 y xs1 son dos muestras de dos variables aleatorias Xc1 y Xs1 Gaussianasy estadısticamente independientes, con medias

√Eb cos(θ) y −

√Eb sin(θ), respectivamente, y varianza N0.

La funcion de densidad de probabilidad conjunta de las variables Xc1 y Xs1 suponiendo que se transmitio elsımbolo 1 viene dada por la ecuacion (11.14).

fXc1 ,Xs1 |1(xc1 , xs1 |1) =1

πN0exp

{− 1

N0

[(xc1 −

√Eb cos θ)2 + (xs1 +

√Eb sin θ)2

]}(11.14)

La envolvente y1 sera una muestra de una variable aleatoria Y1 con distribucion Rician segun la ecuacion(11.15), donde I0(x) es la funcion de Bessel de primera clase y orden cero. Se puede comprobar que ladependencia con respecto a la fase θ ha desaparecido en la funcion de densidad de la envolvente.

fY1|1(y1|1) =2y1

N0u(y1) (11.15)

Si hacemos Eb = 0 en la ecuacion (11.15) teniendo en cuenta que I0(0) = 1 obtendrıamos la distribucionde Rayleigh similar a la de la ecuacion (11.13).

Cuando se transmite 1 se comete error cuando ocurre que y1 < y2, por lo que la probabilidad de errorPe1 se puede obtener integrando la funcion de densidad fY2|1(y2|1) con respecto a y2 desde y1 hasta infinitoy luego promediando en todos los valores de y1, esto es multiplicando por la funcion de densidad fY1|1(y1|1)e integrando con respecto a y1 de cero hasta infinito, es decir, se tiene la ecuacion (11.16).

pe1 = Prob(y2 > y1 | 1) =∫ ∞

0

fY1|1(y1|1)∫ ∞

y1

fY2|1(y2|1)dy2dy1 (11.16)

En la ecuacion (11.16), la integral interior es la probabilidad condicional del error para un valor dado dey1 suponiendo que se transmitio el sımbolo 1 y la integral exterior es el promedio para todos los posiblesvalores de y1. La integral interior de la ecuacion (11.16) se puede se puede resolver segun la ecuacion (11.17).

∫ ∞

y1

fY2|1(y2|1)dy2 =2

N0

∫ ∞

y1

y2 exp(− y2

2

N0

)dy2 =

[− exp

(− y2

2

N0

)]∞y1

= exp(− y2

1

N0

)(11.17)

54 Capıtulo 11

Sustituyendo el resultado de la ecuacion (11.17) en la ecuacion (11.16) se obtiene la ecuacion (11.18).

pe1 =2

N0

∫ ∞

0

y1 exp(−2y2

1 + Eb

N0

)I0

(2y1

√Eb

N0

)dy1 (11.18)

Haciendo en la ecuacion (11.18) los cambios de variable dados por las ecuaciones (11.19) y (11.20), sepuede poner la ecuacion (11.21).

v =2y1√N0

(11.19)

a =√

Eb

N0(11.20)

pe1 =12

exp(− Eb

2N0

)∫ ∞

0

v exp(−v2 + a2

2

)I0(av)dv (11.21)

La integral de la derecha de la ecuacion (11.21) representa el area debajo de la curva de la funcion dedensidad de probabilidad Rician normalizada, por lo que el area es unidad. Se obtiene finalmente para laprobabilidad de error Pe1 cuando se transmitio el sımbolo 1 la ecuacion (11.22).

pe1 =12

exp(− Eb

2N0

)(11.22)

De igual forma se podrıa repetir todo lo anterior para cuando se transmitio el sımbolo ∅, pero porsimetrıa sabemos que se obtendrıa la misma probabilidad. Ademas se ha supuesto que los sımbolos sonequiprobables, la probabilidad media de error Pe viene dada finalmente por la ecuacion (11.23).

pe =12

exp(− Eb

2N0

)(11.23)

12COMPARACION DE CALIDAD DE LOS

SISTEMAS VISTOS.

En la figura 12.1 podemos ver una comparacion de la probabilidad de error media Pe como funcion dela relacion entre la energıa por bit Eb y la densidad espectral de potencia de ruido N0, relacion Eb/N0,en dB, para los sistemas binarios vistos en los capıtulos precedentes: BPSK coherente, BFSK coherente yBFSK no coherente. Las expresiones para la probabilidad de error media Pe para dichos sistemas venıadada respectivamente por las ecuaciones (8.17), (8.35) y (11.23).

−4 −2 0 2 4 6 8 10 1210−4

10−3

10−2

10−1

E

E

b

b

N

N

0

0

dB

P e

Probabilidad de Error como Funcion de

BPSK CoherenteBFSK CoherenteBFSK No Coherente

Figura 12.1 Comparacion de la probabilidad de error media para BPSK coherente, BFSK coherente yBFSK no coherente como funcion de Eb/N0.

55

56 Capıtulo 12

Como se puede ver en la figura 12.1, BPSK es 3 dB mejor que BFSK debido fundamentalmente a quepuntos de senal transmitida estan mas separados en el espacio de senal para BPSK que para BFSK eniguales condiciones de energıa por bit Eb. Para relacion Eb/N0 grande se puede ver que BFSK coherente yBFSK no coherente son bastante parecidos puesto que solo estan separados en torno a 1 dB. Finalmente,podemos ver que todas las curvas decrecen muy rapidamente segun Eb/N0 crece, con lo cual se puedeconsiderar que un sistema que garantice cierto valor de Eb/N0 a la entrada del receptor sera practicamenteinmune frente al ruido, puesto que su probabilidad de error sera arbitrariamente pequena.

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