Fundamentacao Intervalar para Transformada Z

Fabiana T. Santana1, Adriao D. Doria Neto2,1Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia do Rio Grande do Norte, IFRN

Rua Dr. Nilo Bezerra Ramalho, 1692, Tirol, Natal/RN, CEP 59015-3002Depto de Computacao e Automacao, UFRN

Caixa Postal 1524. Campus Universitario Lagoa Nova, Natal/RN, CEP 59072-970E-mail: fabiana.santana@ifrn.edu.br, adriao@dca.ufrn.br

Fagner L. Santana3 , Regivan H. N. Santiago4,Depto de Ciencias Exatas e da Terra, UFRN

3Departamento de Matematica. 4Departamento de Informatica e Matematica AplicadaCaixa Postal 1524. Campus Universitario Lagoa Nova, Natal/RN, CEP 59072-970

E-mail: fagner@ccet.ufrn.br, regivan@dimap.ufrn.br

Palavras-chave: Sinais e Sistemas Intervalares, Transformada Z Intervalar, Convergencia.

Resumo: Neste trabalho e feita a fundamentacao da transformada Z intervalar para sinaiscomplexos intervalares. Para tanto, sao utilizados os conceitos de sinais e sistemas complexosintervalares, a aritmetica de Moore para intervalos e a aritmetica retangular para numeros com-plexos intervalares. E apresentada tambem uma analise das condicoes de convergencia da trans-formada Z intervalar, tomando como base os princıpios de convergencia de Moore.

1 Introducao

O problema da representacao de dados existente em processamento digital de sinais (DSP)motivou a definicao de sinais e sistemas intervalares complexos. A extensao da transformadaZ para o caso intervalar proporciona ao DSP uma alternativa para implementacao de dadosintervalares. Para isso serao utilizados os conceitos de sinais e sistemas intervalares definidos em[3], a aritmetica intervalar proposta por Moore em [2], e a aritmetica retangular proposta porAlefeld em [1].

2 Transformada Z Intervalar

Seja X[n] : Z→ R(C) um sinal complexo intervalar que associa para todo n ∈ Z um numerocomplexo intervalar X[n] = A[n] + iB[n] ∈ R(C), onde A[n] = [a[n], a[n]], B = [b[n], b[n]] ∈ IR.Para um sistema intervalar F : R(C) → R(C), linear e invariante no tempo, como foi definidoem [3], tem-se que Y [n] = F (

∑∞k=−∞X[k]δ[n − k]). Como o sistema e aditivo e homogeneo,

segue que Y [n] =∑∞

k=−∞X[k]F (δ[n − k]). Por outro lado, o sistema e invariante no tempo,entao Y [n] =

∑∞k=−∞X[k]H[n − k]. Fazendo uma mudanca de variaveis, segue que Y [n] =∑∞

k=−∞X[n− k]H[k].Particularmente, para X[n] = zn, z ∈ C, tem-se que Tem-se que, Y [n] = zn

∑∞k=−∞ z

−kH[k].A funcao H(z) =

∑∞k=−∞ z

−kH[k] dara origem a transformada Z intervalar, como acontece nocaso usual.

De [3], todo numero complexo intervalar X[n] = [a[n], a[n]] + i[b[n], b[n]] ∈ R(C) pode serrepresentado pelo intervalo X[n] = [a[n] + ib[n], a[n] + ib[n]]. Utiliza-se essa relacao na definicaoda transformada Z intervalar.

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Definicao 2.1. Seja X[n] = [a[n], a[n]] + i[b[n], b[n]] ∈ R(C). Define-se a transformada Z

intervalar de X[n] por: X (z) =∞∑

n=−∞X[n]z−n = [

∞∑n=−∞

(a[n]+ib[n])z−n,∞∑

n=−∞(a[n]+ib[n])z−n].

2.1 Convergencia da Transformada Z Intervalar

Para se analisar a convergencia de series intervalares deve-se utilizar as nocoes de convergenciade sequencia intervalar introduzidas por Moore em [2].

Definicao 2.2. Seja Xn ∈ IR uma sequencia intervalar real. Xn converge para o intervalo Xse, e somente se, dM (Xn, X) → 0, onde dM e a distancia de Moore definida por dM (X,Y ) =max{|x − y|, |x − y|}, para X = [x, x] e Y = [y, y]. Usaremos a notacao I→ para convergencia

de intervalos e → para convergencia usual. Neste caso, XnI→ X e dM (Xn, X)→ 0.

Teorema 2.1. Sejam Xn, X ∈ IR, tais que Xn = [xn, xn] e X = [x, x]. XnI→ X se, e somente

se, xn → x e xn → x.

Demonstracao: A demonstracao segue das definicoes de convergenia de intervalos e distanciade Moore para intervalos dados na Definicao 2.2.

O Teorema 2.1 mostra que para XnI→ X, uma condicao necessaria e suficiente e que os

extremos de Xn convirjam para os extremos de X, onde Xn, X ∈ IR. Entao, para os casos emque o sinal intervalar nao tem componente imaginaria, a analise da convergencia da transformada

X (z) =∞∑

n=−∞Xnz

−n se reduz a analise da convergencia de∞∑

n=−∞xnz

−n e∞∑

n=−∞xnz

n, onde

Xn = [xn, xn].Sejam A1, A2, B1, B2 ∈ IR e A = A1 + iA2, B = B1 + iB2 ∈ R(C). A distancia intervalar

entre A e B e definida por DM (A,B) = dM (A1, B1) +dM (A2, B2). Para analisar a convergenciade Xn ∈ R(C) utiliza-se a distancia DM .

Definicao 2.3. Dada uma sequencia Xn = An + iBn ∈ R(C), diz-se que Xn converge para X

quando ∀ε > 0,∃n0 ∈ N tal que n ≥ n0 ⇒ DM (Xn, X) < ε. Notacao: XnI→ X.

Notem que XnI→ X ⇔ DM (Xn, X)→ 0. O proximo resultado extende o Teorema 2.1.

Proposicao 2.1. Sejam Xn = An + iBn, X = A + iB ∈ R(C). Entao, XnI→ X ⇔ An

I→ A eBn

I→ B.

Demonstracao: Suponha que XnI→ X. Pela Definicao 2.3, ∀ε > 0,∃n0 ∈ N;n > n0 ⇒

DM (Xn, X) < ε ⇔ dM (An, A) + dM (Bn, B) < ε. Como as parcelas da soma anterior sao naonegativas, segue que dM (An, A) < ε e dM (Bn, B) < ε, isto e, An

I→ A e BnI→ B. Recipro-

camente, suponha que AnI→ A e Bn

I→ B, entao ∀ε > 0,∃n0 ∈ N;n > no ⇒ d(An, A) < ε2 e

dM (Bn, B) < ε2 ⇒ dM (An, A) + dM (Bn, B) < ε⇔ DM (Xn, X) < ε. Portanto, Xn

I→ X.

Seja Xn = An + iBn ∈ R(C), onde An = [an, an] e Bn = [bn, bn] e∞∑n=0

Xn = limN→∞

N∑n=0

Xn.

Assim, se∞∑n=0

Xn = X, onde X = A+ iB, com A = [a, a] e B = [b, b], entao, pelos Teoremas 2.1

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e 2.1, temos X = limN→∞

N∑n=0

Xn =∞∑n=0

Xn =∞∑n=0

(An + iBn) =∞∑n=0

An + i∞∑n=0

Bn =∞∑n=0

[an, an] +

i∞∑n=0

[bn, bn] =

[ ∞∑n=0

an,∞∑n=0

an

]+ i

[ ∞∑n=0

bn,∞∑n=0

bn

].

Isto e, se∞∑n=0

Xn converge, onde Xn = An + iBn, e possıvel analisar a soma∞∑n=0

Xn em cada

extremidade dos intervalos An e Bn. Em seguida, utiliza-se os resultados obtidos anteriormentepara analisar a convergencia da transformada Z intervalar.

Teorema 2.2. Dado o sinal complexo intervalar Xn = An + iBn, onde An = [an, an] e Bn =

[bn, bn], a transformada Z intervalar de Xn converge se∞∑

n=−∞an|z|−n <∞,

∞∑n=−∞

an|z|−n <∞,

∞∑n=−∞

bn|z|−n <∞, e∞∑

n=−∞bn|z|−n <∞.

Demonstracao: A transformada Z intervalar do sinal complexo intervalar Xn, tal que,

Xn = An + iBn, onde An = [an, an] e Bn = [bn, bn], e dada por X (z) =∞∑

n=−∞Znz

−n, onde

z = |z|cosθ + i|z|senθ e z−n = |z|−ncos(nθ) + i|z|−nsen(−nθ). Faca a = |z|−ncos(nθ) e b =|z|−nsen(−nθ). Dessa forma, tem-se que:

X (z) =∞∑

n=−∞(An + iBn)(a+ ib) =

∞∑n=−∞

([an, an] + i[bn, bn])(a+ ib)

=∞∑

n=−∞([an, an] + i[bn, bn])([a, a] + i[b, b])

=∞∑

n=−∞{[an, an][a, a]− [bn, bn][b, b] + i([an, an][b, b] + [bn, bn][a, a])}

=∞∑

n=−∞{[min{ana, ana},max{ana, ana}]− [min{bnb, bnb},max{bnb, bnb}]

+ i([min{anb, anb},max{anb, anb}] + [min{bna, bna},max{bna, bna}])}

=∞∑

n=−∞{[min{ana, ana} −max{bnb, bnb},max{ana, ana} −min{bnb, bnb}]

+ i[min{anb, anb}+ min{bna, bna},max{anb, anb}+ max{bna, bna}]}

= [∞∑

n=−∞(min{ana, ana} −max{bnb, bnb}),

∞∑n=−∞

(max{ana, ana} −min{bnb, bnb})]

+ i[∞∑

n=−∞(min{anb, anb}+ min{bna, bna}),

∞∑n=−∞

(max{anb, anb}+ max{bna, bna})].

Tem-se que X (z) converge se:∞∑

n=−∞ana <∞,

∞∑n=−∞

ana <∞,∞∑

n=−∞bnb <∞,

∞∑n=−∞

bnb <∞,∞∑

n=−∞anb <∞,

∞∑n=−∞

anb <∞,

∞∑n=−∞

bna <∞ e∞∑

n=−∞bna <∞.

Como a = |z|−ncos(nθ) e b = |z|−nsen(−nθ), assim |xna| = |xn|z|−ncos(nθ)| ≤ |xn||z|−n

e |xnb| ≤ |xn||z|−n. Portanto, Z(z) converge, se:∞∑

n=−∞an|z|−n < ∞;

∞∑n=−∞

an|z|−n < ∞;

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∞∑n=−∞

bn|z|−n <∞;∞∑

n=−∞bn|z|−n <∞.

Mais especificamente, para xn,∞∑

n=−∞xn|z|−n, converge se:

∞∑n=0

xn|z|−n <∞ e−1∑

n=−∞xn|z|−n <

∞.Fazendo fn = xn|z|−n, encontra-se as seguintes condicoes de convergencia:

limn→∞

∣∣∣∣fn+1

fn

∣∣∣∣ < 1 e limn→∞

∣∣∣∣fn+1

fn

∣∣∣∣ > 1.

Sendo assim, limn→∞

∣∣∣∣xn+1|z|−n−1

xn|z|−n

∣∣∣∣ = |z|−1 limn→∞

∣∣∣∣xn+1

xn

∣∣∣∣ < 1⇔ |z| > limn→∞

∣∣∣∣xn+1

xn

∣∣∣∣ e limn→−∞

∣∣∣∣xn+1|z|−n−1

xn|z|−n

∣∣∣∣ =

|z|−1 limn→−∞

∣∣∣∣xn+1

xn

∣∣∣∣ > 1⇔ |z| < limn→−∞

∣∣∣∣xn+1

xn

∣∣∣∣.Dessa forma, sejam:

limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = r+1 , limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = r+2 , limn→∞

∣∣∣∣bn+1

bn

∣∣∣∣ = r+3 , limn→∞

∣∣∣∣bn+1

bn

∣∣∣∣ = r+4 , analogamente define-

se r−1 , r−2 , r−3 e r−4 .Com isso, conclui-se que a transformada X (z) converge se: r+1 < |z| < r−1 , r+2 < |z| < r−2 ,

r+3 < |z| < r−3 e r+4 < |z| < r−4 .Para r+ = max{r+1 , r

+2 , r

+3 , r

+4 } e r− = min{r−1 , r

−2 , r

−3 , r

−4 }, entao Z(z) converge se r+ <

|z| < r−.

Exemplo 2.1. Seja Xn = [0.5nu(n), 3nu(−n)]+i[0.3nu(n), 2nu(−n)] ∈ R(C) um sinal complexo

intervalar. A transformada X (z) intervalar converge se: (i)∞∑n=0

0.5n|z|−n < ∞, isto e |z| >

0.5; (ii)−1∑

n=−∞3n|z|−n < ∞, isto e |z| < 3; (iii)

∞∑n=0

0.3n|z|−n < ∞, isto e |z| > 0.3; (iv)

−1∑n=−∞

2n|z|−n < ∞, isto e |z| < 2. Defina r+ = max{0.3, 0.5} e r− = min{2, 3}. Logo, a

transformada X (z) intervalar convege na regiao r+ < |z| < r−, ou seja, 0.5 < z < 2, que e aintersecao das quatro regioes descritas nos itens acima.

3 Conclusao

Os conceitos de sinais e sistemas intervalares, assim como o da transformada Z intervalar podemser aplicados em problemas praticos de DSP como solucao ao problema de representacao dainformacao. A fundamentacao matematica desses conceitos possibilita a investigacao de variasferramentas e algoritmos auto-validaveis para o processamento digital de sinais.

Referencias

[1] G. Alefeld, J. Herzberger. Introduction to Interval Computations. Academic Press. NewYork. 1983.

[2] R. E. Moore. Methods and Applications of Interval Analysis. Studies in AppliedeMathematics-SIAM, Philadelphia. 1979.

[3] F. T. Santana, R. H. N. Santiago, A. D. Doria Neto. Fundamentacao Intervalar Complexapara Sinais e Sistemas. In: Anais do CNMAC, Vol.3, p.1-7, 2010, Agua de Lindoia SP.XXXIII Congresso Nacional de Matematica Aplicada e Computacional, 2010.

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