FUNDACION ELASTICA

Vigas en fundación elástica

J. T. Celigüeta

1

DefiniciónViga conectada en toda su longitud en algún medio material deformable (terreno) que interacciona con ella.

Se transmite fuerza transversal entre la viga y el medio material.La fuerza transmitida es debida a la deformación del terreno.

2

DefiniciónRaíles de ferrocarril, vigas de cimentación, tuberías enterradasPrimeros estudios:

Winkler (1875): viga continua de infinitos vanos muy próximos. Zimmerman (1906) viga continua sobre muelles discretos.

Teoría actualTimoshenko (1915).

3

Comportamiento del terrenoModelo lineal: proporcionalidad entre la presión sobre el terreno y la deformación lateral de la viga.

t

pK

δ=

Kt: Coeficiente de balasto del terreno

Depende fuertemente de la naturaleza del terreno

|Kt| : F/L3 Habitualmente kg/cm3

Determinación: experimental, bibliografía

4

Comportamiento del terreno

2

1 2t

dp K K

dxδ

δ= +

Otros modelos más sofisticados (casos muy especiales)

Terreno Kt (kg/cm3)Arcilla arenosa húmeda 2 - 3Arcilla arenosa seca 6 - 8Grava arenosa fina 8 - 10Grava arenosa seca 15 - 20

Otras fórmulas y valores en la bibliografía

5

Teoría básica (1)Hipótesis de Navier: secciones planas se mantienen perpendiculares a la fibra neutra

Deformación unitaria lineal, proporcional a la curvaturaCurvatura = derivada segunda

Momento flector

Equilibrio de momentos

2

2

d vydx

ε =−

2

2

d vM ydA EI

dxσ≡− =∫

dMQ

dx=−

Se supone comportamiento bidireccional de la fundación (terreno empuja en ambos sentidos)

6

Teoría básica (2)

Ecuación de equilibrio de la viga en fundación elástica

4

4 0t

d vEI K bv qdx

+ + =

Sustituyendo Q y M

Equilibrio vertical tdQ K vbdx qdx= +

tK K b=Coeficiente de balasto de la viga:

4

4 0d v

EI K v qdx

+ + =

7

Solución general de la ecuación homogénea4

4 0d v

EI K vdx

+ =Sin carga exterior

Soluciones del tipo: axv e=

4 0ax axa EIe Ke+ = ( )1/4

1/41K

aEI⎛ ⎞⎟⎜= −⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )1a i β= ± ±

1/4

4KEI

β⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1,4

ia xi

i

v Ae=

= ∑

“Rigidez relativa” viga - terreno

Sustituyendo

Siendo

4 números complejos módulo 1

Solución final

8

Solución general de la ecuación homogénea

1 2 3 4( cos sin ) ( cos sin )x xv e C x C x e C x C xβ ββ β β β−= + + +

Deformación según funciones trigonométricas con amplitud variable de forma exponencial

Sólo válido para tramos de la viga sin cargas

Sustituyendo exponenciales por trigonométricas

Longitud de onda de la respuesta: β

Las magnitudes restantes (M, Q) tendrán variaciones similares, al ser derivadas de la deformada

Hallar las constantes de integración en cada caso particular

“Amortiguamiento” de la respuesta: β

9

Viga infinita con carga puntualAplicable la solución generalde la homogénea, salvo en x=0

Condiciones de contorno

1 20 0x v C C= ∞ = → = =

( ) 3 40 0 0v x C C′ = = → − + =

3( 0) ( 0)2 2P P

Q x EIv x CKβ′′′= =− = = → =−

1 2

3 4

( cos sin )

( cos sin )

x

x

v e C x C x

e C x C x

β

β

β β

β β−

= + +

+

Simetría:

Equilibrio en x=0

Infinito:

(cos sin )2

xPv e x x

Kββ

β β−= − +

10

Viga infinita con carga puntual. Deformada

(cos sin )2

xPv e x x

Kββ

β β−= − +

Deformada oscilante de amplitud decrecienteLa viga se levanta en una serie de tramos.El primer punto está en x=3π/4β.Solución sólo válida si el terreno es bidireccional.En todo caso el error cometido si el terreno no es bidireccional es del orden del 4%, en los casos habituales en ingeniería

11

Viga infinita con carga puntual. Resultados(cos sin )

2xP

v e x xK

βββ β−= − +

2

2(cos sin )

4xd v P

M EI e x xdx

β β ββ

−= = −

3

3cos( )

2xd v P

Q EI e xdx

β β−= − =

1( )2P

v F xKβ

β=−

3( )4P

M F xββ

=

4( )2P

Q F xβ=

12

Funciones típicas

3( ) (cos sin )xF x e x xββ β β−= −

4( ) cosxF x e xββ β−=

1( ) (cos sin )xF x e x xββ β β−= +

2( ) sinxF x e xββ β−=

Aparecen en todos los casos de vigas infinitas…

13

Viga infinita con carga puntual. Influencia de K

max 2P

vKβ

=

max 4P

Mβ

=

3/ 4

1 1 2 2

2 1 2 1

v K Kv K K

ββ

⎛ ⎞⎟⎜= = ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1/4

1 2 2

2 1 1

M KM K

ββ

⎛ ⎞⎟⎜= = ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Misma viga, sobre dos terrenos diferentes

K1

K2

K2>K1

K1

K2

El terreno más duro produce menor deformación y menor momento. El efecto de la fuerza está más concentrado bajo ella.

14

Ejemplo: viga infinita con dos cargas

2 5 4 31.25 m 226 10 cm 10kg/cmtA I K= = ⋅ =

1/ 41

5

15000.003 cm

4 200000 226 10β −⎛ ⎞⎟⎜= =⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⋅ ⋅ ⋅

210 150 1500 kg/cmK = ⋅ =

( )750 cos750 sin750 0.02542 2

A BA A A

P Pv v v e cm

K Kββ β

β β−= + =− − + =−

( )3752 cos 375 sin 375 0.02162

A B AC C C C

Pv v v v e cm

Kββ

β β−= + = =− + =−

20.254 /A Ap Kv kg cm= =

20.216 /C Cp Kv kg cm= =

B Av v=

15

Ejemplo: viga infinita con dos cargas

( )750 6cos750 sin750 1.774 104 4

A BA A A

P PM M M e cmkgβ β β

β β−= + = + − = ⋅

( )375 62 2 cos 375 sin 375 0.637 104

A B AC C C C

PM M M M e cmkgβ β β

β−= + = = − =− ⋅

16

Distancia mínima para no separación del terrenoLa separación de la viga del terreno se produce en x=3π/4βPara que no haya separación en la zona entre las cargas se debe cumplir:

3 4.7124

L Lπβ β

⎛ ⎞⎟⎜< → <⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

17

Viga infinita con momento puntual


1 20 0x v C C= ∞ = → = =

( ) 30 0 0v x C= = → =

20 0

4( 0) ( 0)2M M

M x EIv x CKβ′′= = = = → =−

Antisimetría:

Equilibrio en x=0

Infinito:

20

1 2 3 4( cos sin ) ( cos sin ) sinx x xMv e C x C x e C x C x e x

Kβ β ββ

β β β β β− −−= + + + =

18

Viga infinita con momento puntual2

0 sinxMv e x

Kββ

β−−=

0 cos2

xMM e xβ β−=

( )0 cos sin2

xMQ e x xββ

β β−= +

Flecha máxima en π/4

19

Viga infinita con carga uniforme

Tramo de la derecha

1 2acotada 0dx v C C= ∞ = → = =Infinito:

Solución particular: pd

qv

K=−

( )cos sinxd

qv e A x B x

Kβ β β−= + −

Tramo de la izquierda: sin carga

1 20 0ix v C C= ∞ = → = =Infinito:

( )cos sinxiv e C x D xβ β β−= +

20


Compatibilidad en x=0

0

i d

i d

i d i d

i d i d

v v

v v

v v M M

v v Q Q

=

′ ′= −

′′ ′′= =

′′′ ′′′= − + =

Se obtienen A, B, C, D

21


q/2K

q/K

vq

cos1

2

x

d

q e xv

K

β β−⎛ ⎞⎟⎜= − − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

cos2

xi

qv e x

Kβ β−= −

22

Viga infinita con carga uniforme2 sin

4x

d

qM e xβ β

β−=

2 sin4

xi

qM e xβ β

β−= −

Sólo produce flector la componente antisimétrica(q/2) de la carga:

23

Viga semi infinita con carga puntualAplicable la solución generalde la homogénea, salvo en x=0


1 20 0x v C C= ∞ = → = =

( ) 40 0 0v x C′′ = = → =

3

2( 0) ( 0)

PQ x EIv x P C

Kβ′′′= =− = = → =−

1 2

3 4

( cos sin )

( cos sin )

x

x

v e C x C x

e C x C x

β

β

β β

β β−

= + +

+

Momento nulo en x=0

Cortante=P en x=0

Infinito:

2cosxP

v e xK

βββ−−

=

24

Viga semi infinita con carga puntual2

cosxPv e x

Kββ

β−−=

sinxPM e xβ β

β−=−

( )cos sinxQ Pe x xβ β β−= −

4

2( )

Pv F x

Kβ

β−

=

2( )P

M F xββ

=−

25

Viga semi infinita con momento puntualAplicable la solución generalde la homogénea, salvo en x=0


1 20 0x v C C= ∞ = → = =

( ) ( ) 00 0M x EIv x M′′= = = =

( 0) ( 0) 0Q x EIv x′′′= = − = =

1 2

3 4

( cos sin )

( cos sin )

x

x

v e C x C x

e C x C x

β

β

β β

β β−

= + +

+

Momento en x=0

Cortante nulo en x=0

Infinito:

( )2

02cos sinxM

v e x xK

βββ β−= −

26

Viga semi infinita con momento puntual

( )2

02cos sinxM

v e x xK

βββ β−= −

( )0 cos sinxM M e x xβ β β−= +

02 sinxQ M e xββ β−=

20

3

2( )

Mv F x

Kβ

β=

0 1( )M M F xβ=

27

Fuerza no en el extremo de viga semi infinitaPor superposición de casos conocidos: Real=(1)+(2)+(3)

28

Fuerza no en el extremo de viga semi infinitaCaso (1) ( )1

12F

v F xKβ

β−

=

13( )4B

FM F aβ

β= 1

4( )2B

FQ F aβ=

13( )

4F

M F xββ

=

Con |x| valen también para x<0 por ser simétricas

29

Fuerza no en el extremo de viga semi infinitaCaso (2)

( ) ( )2

2 03 3 3

2( ) ( ) ( )

2M F

v F x a F a F x aK Kβ β

β β β−

= + = +

10 3( )4B

FM M F aβ

β=− =−

( ) ( )20 1 3 1( ) ( ) ( )

4F

M M F x a F a F x aβ β ββ

= + =− +

30

Fuerza no en el extremo de viga semi infinita

Caso (3)

( ) ( )34 4 4

2( ) ( ) ( )

P Fv F x a F a F x a

K Kβ β

β β β=− + =− +

14( )2B

FP Q F aβ≡ =

( ) ( )32 4 2( ) ( ) ( )

2P F

M F x a F a F x aβ β ββ β

=− + =− +

31

Fuerza no en el extremo de viga semi infinitaDeformada: ( ) ( )1 2 3

1 3 3 4 4( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )2F

v v v v F x F a F x a F a F x aKβ

β β β β β⎡ ⎤= + + =− − + − +⎣ ⎦

( ) ( )[ ]3 3 4 4( 0) 1 ( ) 2 ( )2A

Fv v x F a F a F a F a

Kβ

β β β β= = = − − −

-1,5

-1

-0,5

0,5

-500 500 1500 2000 2500

v x (F /2K)

Deformadaa= 500

= 0,0020

1000

32

Fuerza no en el extremo de viga semi infinitaMomento: ( ) ( )1 2 3

3 3 1 4 2( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )4F

M M M M F x F a F x a F a F x aβ β β β ββ⎡ ⎤= + + = − + − +⎣ ⎦

( ) ( )[ ]3 1 4 2( 0) 1 ( ) 2 ( )4A

FM M x F a F a F a F aβ β β β

β= = = − −

33

Vigas de longitud finita.Deformada en un tramo sin cargas aplicadas

1 2 3 4( cos sin ) ( cos sin )x xv e C x C x e C x C xβ ββ β β β−= + + +

Sustituyendo las exponenciales por trigonométricas e hiperbólicas

cos cosh cos sinh sin cosh sin sinhv A x x B x x C x x D x xβ β β β β β β β= + + +

2 2sin cos ' sinh ' cosh 's L c L s L c L H s sβ β β β= = = = = −

Las constantes A, B, C, D se determinan empleando las condiciones de contorno en los 2 extremos, ayudándose para ello de:

2

2

d vM EI

dx=

3

3

d vQ EI

dx=−

Constantes útiles:

34

Viga con carga en el extremo. Deformada


Interesa hallar A, B, C, D en función de las fuerzas en los extremos2

20 2

0

2 0x

x

d vM EI EI D

dxβ=

=

⎛ ⎞⎟⎜= = =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

22

2 2 ( ' ' ' ') 0x L

x L

d vM EI EI Ass Bsc Ccs Dcc

dxβ=

=

⎛ ⎞⎟⎜= =− + − − =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

33

0 30

2 ( )x

x

d vQ EI EI C B P

dxβ=

=

⎛ ⎞⎟⎜= − =− − =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

33

3 2 ( ( ' ') ( ' ') ( ' ') ( ' ')) 0x L

x L

d vQ EI EI A sc cs B ss cc C ss cc D sc cs

dxβ=

=

⎛ ⎞⎟⎜= − = + + + + − + − =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

Resolviendo

Hallar la deformada en función de P

35

Viga con carga en el extremo. Deformada

3

' '2sc s c

A PEI Hβ−

=2

3

'2s

B PEI Hβ

=2

32s

C PEI Hβ

= 0D =

( )2 23 ( ' ')cos cosh ' cos sinh sin cosh

2P

v sc s c x x s x x s x xEI H

β β β β β ββ

= − + +

βL=1 Deformada casi recta. Viga rígida

βL=4 Deformada curva. Viga flexible

Sustituyendo en la expresión de v

Para un mismo β

36

Viga con carga en el extremo. FlectorConociendo la deformada, el flector es:

( )2 2( ' ' )sin sinh ' sin cosh cos sinhP

M s c sc x x s x x s x xH

β β β β β ββ

= − − +

2

2

d vM EI

dx=

37

Vigas de longitud finita. Grados de libertadTramo sin cargas aplicadas 1 2 3 4( cos sin ) ( cos sin )x xv e C x C x e C x C xβ ββ β β β−= + + +

Sustituyendo exponenciales por trigonométricas


Particularizando para los 4 grados de libertad:

0I xv Aδ == = ' ' ' 'J x Lv Acc Bcs Csc Dssδ == = + + +

0

( )Ix

dvB C

dxθ β

=

⎛ ⎞⎟⎜= = +⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( ( ' ') ( ' ') ( ' ') ( ' '))Jx L

dvA cs sc B cc ss C ss cc D sc cs

dxθ β

=

⎛ ⎞⎟⎜= = − + − + + + +⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

sin

cos

' sinh

' cosh

s L

c L

s L

c L

β

β

β

β

=

=

=

=

4 ecuaciones con 4 incógnitas: A, B, C, D

38

Vigas de longitud finita. DeformadaResolviendo: A, B, C, D en función de los grados de libertad

IA δ=

( )21' ( ' ') ( ' ')I J I JB s ss sc s c sc cs

Hβθ θ β δ β δ= − − − + + +

( )21' ' ( ' ') ( ' ')I J I JC s ss sc s c sc cs

Hθ θ β δ β δ

β= + + + − +

( )2 21( ' ') ( ' ') ( ' ) 2 'I J I JD sc s c cs sc s s ss

Hθ θ β δ β δ

β= − + − − + +

2 2'H s s= −


Estas son las 4 constantes en la expresión de la deformada de la viga:

Sustituyendo A, B, C, D se obtiene v en función de los 4 grados de libertad (expresión complicada)

39

Vigas de longitud finita. RigidezEsfuerzos en los extremos, en función de los grados de libertad

3

30

.....I

x

d vP EI

dx =

⎛ ⎞⎟⎜= =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

2

2 .....J

x L

d vM EI

dx =

⎛ ⎞⎟⎜= =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

3

3 .....J

x L

d vP EI

dx =

⎛ ⎞⎟⎜= − =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

( )2

2 22

0

2( ' ') ( ' ') ( ' ) 2 'I I J I J

x

d v EIM EI sc s c cs sc s s ss

dx Hβ

θ θ β δ β δ=

⎛ ⎞ −⎟⎜= − = − + − − + +⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

Resto igual (laborioso)Se obtienen las 4 filas de la matriz de rigidez

40

Viga de longitud finita. Matriz de rigidez

3 2 3 2

2

3 2

4( ' ' ) 2( ' ' ) 4( ' ' ) 4 '

2( ' ' ) 4 ' 2( ' ')

' '4( ' ' ) 2( ' ' )

2( ' ' )

I

I

J

J

P c s cs s s ss cs c s s s

M c s cs ss c s csEI

s s ssP c s cs s s ss

M Simétrica c s cs

β β β β

β β β

β β

β

⎧ ⎫ ⎡⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ + + − +⎪ ⎪ ⎢⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢⎪ ⎪ ⎢⎪ ⎪ − − −⎪ ⎪ ⎢⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢=⎨ ⎬ ⎢⎪ ⎪ −⎪ ⎪ ⎢ + − +⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ −⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣

IY

I

JY

J

δ

θ

δ

θ

⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎥ ⎨ ⎬⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎦ ⎩ ⎭

sin

cos

' sinh

' cosh

s L

c L

s L

c L

β

β

β

β

=

=

=

=

41

Viga de longitud finita. Rigidez

13 133

14 142

24 24

EIk a

LEI

k aLEI

k aL

=

=

=

βL = 0 Mismos coeficientes que la viga convencional βL < 1 Viga sin fundación elástica. Coeficientes similares a la viga convencional βL > 8 Términos de rigidez cruzada son despreciables. Viga infinita1 < βL < 8 Viga de longitud finita

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a13

a14

a22

a24

L

42

Ejemplo: viga libre con carga en el centro

3 2 3

2

3

4( ' ' ) 2( ' ' ) 4( ' ' ) 0

2( ' ' ) 4 ' 0' '

4( ' ' ) 2

A

A

O

c s cs s s ss cs c s

EIc s cs ss

s s ssP

simétrica c s cs

β β β δ

β β θ

β δ

⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪+ + − +⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪− − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭

43

Ejemplo: viga libre con carga en el centro

-0,5

0

0,5

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

L

A 0Rígida InfinitaFlexible

A

0 A=0

44

Ejemplo: viga empotrada con carga uniforme

cos cosh cos sinh sin cosh sin sinhq

v A x x B x x C x x D x xK

β β β β β β β β= + + + −

Solución general + solución particular

Deformaciones en los extremos: todas nulas

0

0

( ) 0Ix

dvB C

dxθ β

=

⎛ ⎞⎟⎜= = + =⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

0 ( ( ' ') ( ' ') ( ' ') ( ' ')) 0Jx L

dvA cs sc B cc ss C ss cc D sc cs

dxθ β

=

⎛ ⎞⎟⎜= = − + − + + + + =⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

00 0I x

qv A

Kδ == = − = 0 ' ' ' ' 0J x L

qv Acc Bcs Csc Dss

Kδ == = + + + − =

Resolviendo se obtienen A, B, C, D en función de la carga q

45

Viga empotrada con carga uniformeq

AK

= ''

c c qB

s s K−

=+

''

c c qC

s s K−

=+

''

s s qD

s s K−

=+

cos cosh cos sinh sin cosh sin sinhq

v A x x B x x C x x D x xK

β β β β β β β β= + + + −

4

( , )384qL

v F L xEI

β β=

46

Viga empotrada con carga uniforme

El momentos flector es:

2 2 2 22 sin( )sinh( ) 2 sin( )cosh( ) 2 cos( ) 2 cos( )cosh( )M A x x B x x C x D x xβ β β β β β β β β β β= − − + +

2

2

d vM EI

dx=

2

2

6 'sin( )sinh( ) sin( )cosh( )

12 ( ) '

' 'cos( )sinh( ) cos( )cosh( )' '

qL c cM x x x x

L s s

c c s sx x x x

s s s s

β β β ββ

β β β β

⎡ −= − −⎢

⎢ +⎣⎤− −

+ + ⎥⎥+ + ⎦

Sustituyendo las constantes se obtiene:

( )2

,12qL

M F L xβ β=

47

Viga empotrada con carga uniformeDiagrama de flectores

-1

-0,5

0

0,5M x (qL2/12)

L: 1

L: 4

L: 6

( )2

,12qL

M F L xβ β=

La función F cuantifica la importancia de la fundación elástica.Si βL<=1 La función F es casi una parábola, vale 1 en x=0 y x=L/2. Viga convencionalSi βL>=6 Momento cero en el centro. Los extremos están desconectados: viga infinita

48

Viga empotrada con carga uniformeLos momentos y cortantes en los dos extremos son:

20

2 20

'2 'I

x

d v q s sM EI

dx s sβ=

⎛ ⎞ −⎟⎜= − =⎟⎜ ⎟⎟⎜ +⎝ ⎠

30

30

''I

x

d v q c cP EI

dx s sβ=

⎛ ⎞ −⎟⎜= =⎟⎜ ⎟⎟⎜ +⎝ ⎠

0 02

'2 'J I

q s sM M

s sβ−

=− =−+

0 0 ''J I

q c cP P

s sβ−

= =+

Son las fuerzas de fase 0 para la carga uniforme sobre una viga en fundación elástica.

49

Ejemplo

2 6 4250000 kg/cm 4.267 10 cmE I= = ⋅3 210 kg/cm 10 100 1000kg/cmTK K= = ⋅ =

1/ 41

6

10000.0039 cm

4 250000 4.26 10β −⎛ ⎞⎟⎜= =⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⋅ ⋅ ⋅

5 m 5 m

321

321A B

5 1.95Lβ β= =

Comportamiento como viga flexible.

Modelo por rigidez con dos elementos viga y 6 grados de libertad

50

Ejemplo. Rigidez

8

0.003 0.377 0.000 0.188

0.377 96.17 0.188 34.7710

0.000 0.188 0.003 0.377

0.188 34.77 0.377 96.17

A B

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥= = ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

K K

8

0.003 0.377 0.000 0.188 0. 0.

0.377 96.17 0.188 34.77 0. 0.

0.000 0.188 0.006 0. 0.000 0.18810

0.188 34.77 0. 192.34 0.188 34.77

0. 0. 0.000 0.188 0.003 0.377

0. 0. 0.188 34.77 0.377 96.17

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

K

{ }1 1 2 2 3 3

T

θ θ θ= Δ Δ ΔΔ

0.929

0.370

' 3.443

' 3.585

s

c

s

c

=

= −

=

=

51

Ejemplo. Fuerzas de fase 0

20 kg/cm

0M1

0P2

0M2P10

A

01

02

'4640 kg

'

4640 kg

A

A

q c cP

s s

P

β−

= =+

=

01 2

02

'377630 cm kg

2 '

377630 cm kg

A

A

q s sM

s s

M

β−

= = ⋅+

=− ⋅

20 kg/cm

0M2

0P3

0M3P20

B

Mismos valores para la barra B

Viga en fundación elástica, biempotrada, con carga uniforme

52

Ejemplo. Fuerzas20 kg/cm

0M1=377630

A

M2=-3776300

P1=46400 0

P2=4640

20 kg/cm

0M2

0P3

0M3P20

B

1

1

2

2

3

3

4640 6000 10640

377630 200000 1

4640 4640 10000

( 377630) 377630 0

4640 8000

( 377630) 400000

F

M

F

M

F

M

⎧ ⎫− −⎧ ⎫ −⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ − −⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ − − −⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬− − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪− − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

F

77630

19270

0

12640

22370

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

Puntuales4 mTn2 mTn

6 Tn10 Tn

8 Tn

1 2 3

53

Ejemplo. Deformaciones

1

1

21

2

3

3

0.0694

0.0002

0.0315

0.0000

0.0909

0.0003

θ

θ

θ

−

⎧ ⎫Δ ⎧ ⎫−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

K FΔ Δ

21 1

22 2

23 3

0.694 kg/cm

0.315 kg/cm

0.909 kg/cm

t

t

t

p K

p K

p K

= Δ =

= Δ =

= Δ =

Presión en el terreno en los nudos

54

Ejemplo. Esfuerzos en las barras

1

1

2

2

4640 60000.0694

377630 2000000.0002

4640 44400.0315

0.0000377630 153610

A

A

A

A

A

P

M

P

M

⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎧ ⎫ ⎧− ⎫⎧− ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬−⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩⎪ ⎪⎩ ⎭

K⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

2

2

3

3

4640 55600.0315

0.0000377630 153610

0.09094640 8000

0.0003377630 400000

B

B

B

B

B

P

M

P

M

⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎧ ⎫ ⎧ − ⎫⎧− ⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ −⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩⎪ ⎪⎩ ⎭

K

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

20 kg/cm

0M1=377630

A

M2=-3776300

P1=46400 0P2=4640

20 kg/cm

200000

A6000

4440

153610

20 kg/cm

400000

B8000

5560

153610

20 kg/cm

0M2

0P3

0M3P20

B

55

Ejemplo. Resumen de resultados

6000 4440 20 500 20440kg+ + ⋅ =

Fuerza total soportada por el terreno

8000 5560 20 500 23560kg+ + ⋅ =

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