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TRIGONOMETRA

VIII. IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS

1. CONCEPTO Son aquellas igualdades entre las razones trigonomtricas de una cierta variable; las cuales se verifican para todo valor de la variable, que no indetermina a la razn trigonomtrica existente en la igualdad

2. WCLASIFICACIN

2.1.- IDENTIDADES RECPROCAS

Senx.Cscx=1; n , n Z Cscx=Senx

1

Cosx.Secx=1;x(2n+1)2

,nZSecx=

Cosx

1

Tanx.Cotx = 1; xn2

, nZ Cotx=

Tanx

1

2.2.-IDENTIDADES T.POR DIVISIN

Tanx = Cosx

Senx; x(2n+1)

2

; nZ

Cotx = Senx

Cosx; x n; nZ

2.3.-IDENTIDADES T. PITAGRICAS Sen2x + Cos2x = 1; x R Sen2x = 1-Cos2x Cos2x =1-Sen2x

Tan2x+1 = Sec2x; x(2n+1) 2

, n R

Sec2x-Tan2x=1 Tan2x = Sec2 x - 1

Cot2x+1 =Csc2x; x n, nR Cot2x = Csc2x-1

PROBLEMAS RESUELTOS 1).- Demuestra que : Tan2x . Cosx . Cscx = Tanx Solucin : En este problema, la idea es Reduce el miembro dela igualdad ms complicado y obtener un resultado igual al otro miembro. Uno de los criterios ms utilizados, es el de colocar la expresin a Reduce, en trminos de senos y/o cosenos; y para ello es bueno recordar:

Cscx = Senx

1; Secx =

Cosx

1

Tanx=Cosx

Senx ; Cotx=

Senx

Cosx

En el problema : Tan2x . Cosx . Cscx = Tanx ; nota que :

Tan2 =

xcos

xsen2

2

xcos

xsen2

2

. Cosx . senx

1 = tanx

Reduciendo :

xtan

xcos

senx = tanx tanx = tanx

2).- Simplifica :

L = tanx . cos2x - cotx . sen2x Solucin : Vamos a colocar la expresin en trminos de senos y cosenos; as : L = tanx . cos2x cotx . sen2x

L = xsen.senx

xcosxcos.xcos

senx 22

Reduciendo : L = senx . cosx cosx . senx

L = 0 3).- Reduce: L = (secx - cosx) (cscx senx) Solucin : Pasando a senos y cosenos:

L =

senx

senx

1xcos

xcos

1

operando :

L =

senx

xsen1

xcos

xcos122

;

pero : 1- cos2x = sen2x 1- sen2x = cos2x reemplazando :

L = senx

xcos.xcosxsen 22 L = senx.cosx

4).- Simplifica :

L = xcotxcosxcsc

senxxsec

Solucin : Vamos a colocar toda la expresin en trminos de senos y cosenos; as :

L= senx

xcos.xcos

senx1

senxxcos

1

xcotxcosxcsc

senxxsec

Operando y ordenando :

L = senx

xcos.

senx

senx.xcos1xcos

xcos.senx1

Reduciendo :

L = xsen

xcos.

senx

1xcos

1

L = senx

xcos.

xcos

senx

L = 1 5).- Reduce : L = (secx + tanx 1) (secx tanx+1) Solucin : Si bien , el pasar a senos y cosenos, es un criterio muy generalizador; no siempre es necesario tales cambios; sino tambin al manejar las otras razones trigonomtricas siempre que tengan relacin. En el problema, por ejemplo : L = (secx + tanx-1) (secx-tanx+1) operando : L = sec2x secx . tanx + secx + tanx . secx tan2x + tanx secx + tanx 1

2tanx reduciendo : L = sec2x - tan2x + 2tanx 1 =1+2tanx 1

1

L = 2tanx

PRCTICA DIRIGIDA N08 1).- Si: Cos2x + Sec2x = 11 Calcula: Cosx + Secx

117

TRIGONOMETRA

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

2).- Reduce: E = Cosx ( xTan1 2 )

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3).- Simplifica: Q =

Sec

Cos

Sen

2

a) Tan2 b) Cot2 c) 1 d) -1 e) 0 4).- Reduce:

Q =

xSec

)CotxTanx(Tanx2

a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 0 5).- Simplifica: Sen4x Cos4x 1

a) 2Cos2x b) 2Cos2x c)2Sen2x d) Sen2x e) Cos2x 6).- Reduce: P = (Secx Cosx) Cscx

a) Tanx b) Cotx c) 1 d) Secx e) N.A. 7).- Reduce: P = (Cscx Senx) Secx

a) Tanx b) Cotx c) 1 d) Secx e) N.A. 8).- Calcula: E = Senx(Senx+Cscx) + Cosx(Cosx+Secx)

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 9).- Reduce:

Q = Cotx

Tanx

Cosx

Secx

a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) N.A.

10).- Reduce:

M = Tanx

Cotx

Senx

Cscx

a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) N.A. 11).- Simplifica:

3

SenxCscx

CosxSecx

a) Senx c) Cosx c) Tanx d) Cotx e) Secx

12).- Si: Tanx Cotx = 5

Halla : Tan2x + Cot2x a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13 13).- Simplifica:

xcos1

senx1senx1B

2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 1/2 e) 1/3 14).- Reduce la expresin : Q = secx - tanx.senx a) senx b) cscx c) cosx d) secx e) N.A.

15).- Si: Senx + Cosx = 3

22

Calcula: 2Senx Cosx

a) 1/9 b) 1/9 c) 2/9 d) 4/9 e) 4/9

16).- Si: Senx Cosx = 3

Calcula: SenxCosx a) -1 b) 1 c) 2 d) 3 e) -2 17).- Si: Tanx + Cotx = 3 Calcula: Tan3x + Cot3x a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19

18).- Si: Senx + Cosx = 2 Calcula: E = Sen4x + Cos4x a) 1 b) 1/2 c) -1 d) -1/2 e) 2 19).- Si: 1 + Tanx = Usecx 1 Tanx = VSecx Halla : U2 + V2 a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 3 e) 1/4 20).- Si: Cosx + Cos2x = 1 Calcula: Sen2x + Sen4x a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 21).- Reduce :

Q = CosxSecx

Tgx

a) 1 b) Senx c) Cosx d) Secx e) Cscx 22).- El equivalente de :

E = Senx

Cosx

1 es :

a) Cscx + Ctgx b) Secx - Tgx c) Cscx + Tgx d) Secx + Ctgx e) Ctgx - Tgx

23).- El equivalente de :

M = Cosx

Cosx

1

1 es :

a) Secx + Tgx b) Cscx + Ctgx c) Cscx Ctgx d) Secx - Tgx e) Cscx - Secx 24).- Simplifica : K = Sen2xCos2x(Sec2x + Csc2x) a) 1 b) 1/2 c) 2 d) Senx e) Cosx 25).- Si : Ctgx Cosx = 4, calcula el valor de :

E = 4 Tgx + Senx a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 8 26).- Cscx Senx = a Secx Cosx = 2 Halla Tgx

a) 2 b) 3 2 c) 2

d) 3 3 e) 1

27).- Si Tgx - Ctgx = 6 Calcula : A = Tg2x + Ctg2x a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 28).- Simplifica :

E = SenxSenxCosx

xSenxCos

44

a) Cosx b) -Cosx c)Senx d) -Senx e) Tgx

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TRIGONOMETRA

29).- Simplifica : P = (Senx + Cosx)(Cosx Secx)(Tgx + Ctgx) a) -1 b) 1 c) 0 d) 2 e) 3 30).- Simplifica :

F = SenxSen

1

1

1

1

a) 2Sec2x b) 2Csc2x c) 2Tg2x d) 2Ctg2x e) 2Sen2x

CLAVES DE RESPUESTAS 1) d 2) a 3) a 4) a 5) b

6) a 7) b 8) c 9) c 10) c

11) c 12) b 13) b 14) c 15) b

16) a 17) d 18) b 19) b 20) a

21) e 22) b 23) b 24) a 25) b

26) b 27) d 28) a 29) b 30) a