FUNCIONES_TRIGONOMETRICA 13

7/29/2019 FUNCIONES_TRIGONOMETRICA 13

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Ingeniera en Alimentos y BiotecnologaMATEMATICA I Ao 2013

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FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMEETTRRIICCAASS

Si un punto P de coordenadas (x,y) recorre, en sentido positivo (sentido antihorario) una

circunferencia de radio r y centro en el origen de sistemas de coordenadas ortogonales irapasando sucesivamente por los cuadrantes 1, 2, 3, 4, 1, 2, etc., sus coordenadas

cartesianas, con la convencin de los signos de la figura irn pasando de positivos anegativos segn el cuadrante.

Observemos que :Los valores numricos de las abscisas oscilan entre +r y r , pasando por el

valor cero.

Los valores numricos de las ordenadas tambin oscilan entre +r y r.Cualquiera sea el punto P, su distancia al origen ( que es el radio) se mantendr constante e

igual a r. Las distancias no cambian de signo y son siempre positivas.La circunferencia que se acaba de describir se denomina trigonomtrica y resulta

apropiada para definir nmeros caractersticos que relacionan ngulos con segmentos..

Observemos en la figura el tringulo formado por POQ , siendo Q el pie de laperpendicular bajada desde P. Este triangulo ser siempre rectngulo, cualquiera sea el

cuadrante en que este P, y siempre tendr por catetos a los segmentos OQ y PQ y por

hipotenusa al radio r.

En todos los cuadrantes ser entonces:r2= OQ

2+ QP

2y como OQ

2= x

2y QP

2= y

2, se tiene r

2= x

2+ y

2

(teorema de Pitgoras en la circunferencia trigonomtrica)Esta relacin fundamental es la llave de todas las funciones trigonomtricas .

Consideremos el caso particular en que r = 1.

P = (x,y) cuadrantes

1 2 3 4

Abscisas (x) + - - +Ordenadas (y) + + - -

y

x

r

-r

r-rO Q

P1 cuad.2 cuad.

3 cuad.

4 cuad.


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Sin embargo la posicin de P, esta determinada por el ngulo que OP forma con elsemieje positivo x.

En consecuencia las coordenadas x e y estn determinadas por el ngulo .

Este ngulo puede medirse en grados o radianes, entendiendo como radian al ngulocentral correspondiente a un arco de longitud igual al

radio de la circunferencia.

Como la longitud de la circunferencia es igual a 2

veces el radio, resulta que el ngulo centralcorrespondiente a la longitud de la circunferencia es 2 radianes. Luego:

Luego los valores de x e y dependen del ngulo que puede ser medido en radianes y los

valores que puede tomar es el de los nmeros reales.

Como a cada valor de le corresponde un nica valor de x y un nico valor de y,llamamos funcin cos( )( coseno de ) a la funcin: R [-1 , 1] que a cada valor de le asocia la coordenada x del punto P (x,y), ya que:

Del mismo modo diremos que y es el sen (seno de ) y escribimossen = y , ya que

360 grados = 2

radianes180 grados = radianes90 grados = /2 radianes1 grado = /180 radianes

Y

X

1

-1

1-1O

P

x

Sea un punto P de la circunferencia, de

coordenadas genricas (x,y) .Cuando P toma diversas posiciones sobre la

circunferencia, las coordenadas x e y varan

entre 1 y -1.

cos : R [-1 , 1]

a)(hipotenusr

adyacente)(catetox)cos(

sen : R [-1 , 1]

a)(hipotenusr

opuesto)(catetoy)( sen


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RREEPPRREESSEENNTTAACCIINN GGRRAAFFIICCAA DDEE LLAASS FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMTTRRIICCAASS..

Grfica de las funciones seno y cosenoRecordemos que para cada longitud de arco t, queda determinado un punto P(x,y) dondeX= sen(t) , y = cos(t)

yy == sseenn (()) -1 sen(( 1 sen() 1

Vemos que el valor mximo de la funcin seno es +1 y el mnimo es -1, pudiendo tomar

todos los valores intermedios, razn por la cual se dice que la funcin es continua.

La curva que resulta ser la representacin grafica de la funcin y = sen ( ) se llamasinusoide.

Notemos que la funcin sen(x) es:

Impar ya que f(-t) = -f(t), es decir sen(-t) = -sen(t)Geomtricamente significa que seno es una funcin simtrica respecto al origen de

coordenadas Es peridica de periodo 2, ya que sen(t+2) = sen(t)

sen

()

0 0

45 0,71

90 1135 0,71

180 0

225 - 0,71

270 -1

315 - 0,71

360 0


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yy == ccooss (())-1 cos(( 1 cos() 1

La curva que resulta ser la representacin grfica de la funcin y = cos se llama

cosinusoide.

Notemos que la funcin cos(x) es: Par ya que f(-t) = f(t), es decir cos(-t) = cos(t)

Geomtricamente significa que coseno es una funcin simtrica respecto al eje

vertical Y Es peridica de periodo 2, ya que cos(t+2) = cos(t)

cos

()

0 1

45 0,71

90 0135 -0,71

180 -1

225 0,71

270 0

315 0,71

360 1


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Definicin: Se llama funcin sinusoidal a f(x) = a.sen(bx+c) donde a se llamaAmplitud, b Frecuencia y c fase inicial, y su periodo es p= 2/b

Donde comienza la onda : en x= -c/b

Sean f(x) = sen(x) ; g(x) = 4.sen(x) , h(x) = sen(4x)

Observemos que :

El dominio es Dom= R

La imagen es Img=[-a,a]


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Grfico de la funcin f(x) = a.sen(bx-c) + h o f(x) = a.cos(bx-c) + hH indica un desplazamiento de la curva h unidades hacia arriba si h >o o hacia abajo si h

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