Funciones

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Leche Café Refresco

¿Cuál es su elección?

Diagrama Conceptual Pares Ordenados Producto Cartesiano Relaciones Funciones

Dominio, Codominio e Imagen Clasificación de Funciones

Algebraicas Trascendentes Suprayectivas Inyectivas Biyectivas Crecientes Decrecientes Pares Impares

Composición de Funciones Función Inversa Álgebra de Funciones Gráficas de Funciones

Func io ne s

Pa re ja sO rd ena d a s

Pro d uc toC a rte sia no

Re la c io ne s

Func io ne s

Do m in io

C o d o m in io Im a g en

Func io ne s Alg e b ra ic a s

Fun c ión C o nsta nteFun c ión Id e ntid a dFun c ión Va lo r Ab so lutoFun c ión Linea lFun c ión C ua d rá tic aFun c ión Po linom ia l

Func io ne s no Alg e b ra ic a s

Fu nc ione s C irc u la re sFu nc ión Exp one nc ia lFu nc ión Lo g a rítm ic aFu nc ione s Hip e rb ó lic a s

Sup ra ye c tiva s Inye c tiva s

Biye c tiva s

C o m p o sic ió n d e Func io ne s

Func ió nInve rsa

Álg eb ra d e Fun c io nes

Su m a d e Fu n c io n e sD ife re n c ia d e Fu nc io n e sPro d u c to d e Fun c io n e sC o c ie n te d e Fu n c io n e s

Producto Cartesiano

Sean los conjuntos A y B, su producto cartesiano A x B es el conjunto de TODOS los pares ordenados cuyo primer elemento pertenece al conjunto A y su segundo elemento pertenece al conjunto B.

A x B={(x,y)|xA, yB}

Representación Geométrica

C e re a l

Sa nd wic h

Hue vo s

C a rne

Le c he

C a fé

Re fre sc o

B

P

1

2

3

1 2 3 4c e re a l sa n d w ic h c a rn e h u e vo s

re fre sc o

c a fé

le c h e

Sistema Coordenado

y

x

1

2

3

1 2 3 40-1-2

-1

-2

c ua d ra nte Ic ua d ra nte II

c ua d ra nte IIIc ua d ra nte IV

e je d e la s o rd e na d a s

eje d e la s a b sc isa s

sem ie je p o sitivose m ie je ne g a tivo

sem

ieje

po

sitiv

ose

mie

je n

ega

tivo

Relaciones y Funciones Se le llama relación del

conjunto A en el conjunto B a un subconjunto R de AxB.

R:AB

Al conjunto A se le llama dominio de R, al conjunto B se le llama codominio de R y al conjunto C de los elementos de B que son segundo componente de los pares ordenados de R se le llama imagen

Se le llama función del conjunto A en el conjunto B a un subconjunto f de AxB con la propiedad de que cada elemento de A es primer componente de un par ordenado y para toda aA se cumple que si (a,b) y (a,c) pertenencen a f, entonces b=c.

Clasificación de funciones Función Suprayectiva. Si todo elemento

del codominio de una función f es imagen de al menos un elemento de su dominio, entonces f es una función suprayectiva.

Función Inyectiva. Una función se llama inyectiva si cualquier para de elementos diferentes del dominio les corresponden imágenes diferentes en el conjunto dominio.

Función Biyectiva. Una función es biyectiva si es, al mismo tiempo, suprayectiva e inyectiva.

Clasificación de Funciones Funciones

Algebraicas Función Constante Función Identidad Función Valor

absoluto Función Lineal Función cuadrática Función polinomial Función Racional

Funciones Trascendentes Función

exponencial Función Logarítmica Funciones

Circulares Funciones

Hiperbólicas

Función Constante Sea f: RR, donde

f(x)=C donde c es cualquier constante numérica en los reales. La función constante no es inyectiva, ni suprayectiva, por lo tanto tampoco es biyectiva, no es creciente ni decreciente.

y

x

1

2

3

1 2 3 40-1-2

-1

-2

f( x)= 2

Función Identidad Sea f: RR, donde

f(x)=x es decir que a cada número real le corresponde el mismo número reales. La función identidad es inyectiva, suprayectiva y, por lo tanto, es biyectiva, la función es creciente.

y

x

1

2

3

1 2 3 40-1-2

-1

-2

f ( x )= x

Función Valor Absoluto Sea f: RR, donde

f(x)=|x| donde |x| se define como el valor absoluto de x. La función no es biyectiva, es decir, no es inyectiva ni suprayectiva, la función tiene un rango de decrecimiento y un rango de crecimiento.

y

x

1

2

3

1 2 3 40-1-2

-1

-2

f(x )= |x|

Función Lineal Sea f: RR, donde

f(x)=Ax+B donde A y B son cualquier constante numérica en los reales. La función es suprayectiva, inyectiva y, por lo tanto, biyectiva. La función es creciente o decreciente dependiendo de los valores de A y B

y

x

1

2

3

1 2 3 40-1-2

-1

-2

f(x )=2x-1

Función Cuadrática Sea f: RR, donde

f(x)=Ax2+Bx+C donde A, B, y C son cualquier constante numérica en los reales. La función no es suprayectiva, no es inyectiva, y, por lo tanto, no es biyectiva. Los rangos en donde la función es creciente o decreciente depende de los valores de las constantes numéricas.

y

x

1

2

3

1 2 3 40-1-2

-1

-2

f(x )= x 2

Función Polinomial La función constante, la lineal y la

cuadrática, son casos particulares de la Función Polinomial de grado cero, uno y dos, respectivamente. En general la función polinomial de grado n se define como f: RR, donde la función se define como:

f(x)=a0xn+ a1xn-1+ a2xn-2+…+ an-1x+ an

donde n es un entero no negativo y a0 0.

Al cociente de dos funciones polinomiales se le denomina función racional.

Composición de Funciones Una función cuya variable independiente es

otra función, es decir, una función de una función se conoce como composición de funciones. Por ejemplo, si tenemos la función f(u)=u2 pero u=g(x)=300+x y sustituimos el valor de u en f(u) obtenemos:

f(g(x))=(300+x)2

A esta función se le llama función composición de f y g, se simboliza como f°g y se lee “g composición f”.

Función Inversa

Sea f:AB, una función biyectiva, la función f-1:BA, donde la regla de correspondencia de esta función es: f-1={(f(x),x)|xA}, se llama función inversa de f.

Álgebra de Funciones Suma. Sean f(x), g(x) dos

funciones reales cuyo dominio es el conjunto Af y Ag respectivamente, entonces (f+g)(x) es una función cuyo dominio es el conjunto Af Ag y regla de correspondencia: (f+g)(x)= f(x)+g(x)

Resta. Sean f(x), g(x) dos funciones reales cuyo dominio es el conjunto Af y Ag respectivamente, entonces (f-g)(x) es una función cuyo dominio es el conjunto Af Ag y regla de correspondencia: (f-g)(x)= f(x)-g(x)

Multiplicación. Sean f(x), g(x) dos funciones reales cuyo dominio es el conjunto Af y Ag respectivamente, entonces (fg)(x) es una función cuyo dominio es el conjunto Af Ag y regla de correspondencia: (fg)(x)= f(x)g(x)

División. Sean f(x), g(x) dos funciones reales cuyo dominio es el conjunto Af y Ag respectivamente, entonces (f/g)(x) es una función cuyo dominio es el conjunto Af Ag y regla de correspondencia: (f/g)(x)= f(x)/ g(x)

Igualdad de Funciones

Sean f(x), g(x) dos funciones reales cuyo dominio es el conjunto Af y Ag respectivamente, entonces f(x)=g(x) si y solo si Af = Ag y la regla de correspondencia es la misma para las dos funciones para todo xAf