funciones.pdf

t e : p £ A ~» pe B. es d e c i r , A C B (1) . Demostración de B C A Sea p £ B). Luego, e x i s t e y £ R t a l que p = b + ye » (a + x Q c ) + ye = n * ( x Q • y ) c £ A, porque X q + y £ R . Hemos demostrado l o s i g u i e n t e : p £ » — > p £ A, es d e c i r , B C A ( 2 ) . Por (1) y ( 2 ) , se deduce que A = B. 2.- a) Encontrar dos conjuntos no vacíos, A y B, t a l e s que A £1 B y

A U B = B. (2 puntos) b) Para a,b £ Q , A y B son conjuntos t a l e s que: B t i , A U B es

a • 2b, b • 1} y A II B s ( a M b , b M - 3«} • Encontrar A (1 8, (3 puntos)

SOLUCION: a) Es fácil comprobar que A U B = B C ^ A C B, porque!

A C A U ! = B, es d e c i r , A C B ( 1 ) ; y s i A C B, entonces A U B C B U B, es d e c i r , A U B C B ( i ) ; además B C A U B ( i i ) (propiedad u n i v e r s a l ) ; por ( i ) y ( i i ) , se deduce que A U B « B. Por l o t a n t o , l o que se pide es h a l l a r dos conjuntos no vacíos, A y B, t a l e s que A £ B y A C B . Por ejemplo, «ean A * { 1 , 2 l y . B '« { l , 2 , {l,2}j= ( i , 2,A } ; en e s t e caso, k i 4 , B i i , A C B y A C B (porque 1 C B y 2 C B). No sólo es p o s i b l e c o n s t r u i r un ejemplo como e l a n t e r i o r ; en r e a l i ^ dad, hay muchos o t r o s ejemplos d e l mismo t i p o , t a l e s como l o s que pueden obtenerse a p a r t i r de dos obje t o s d i f e r e n t e s c u a l e s q u i e r a a y b (a i b ) , donde A = {a,bJ y B * { a , b , { a , b } y s { a , b , A } .

b) Como B i j>, B C A U B y A U B e s u n conjunto u n i t a r i o , entonces B es, también, un conjunto u n i t a r i o y, por l o t a n t o , B » A U B, dado que l o s únicos subconjuntos de un conjunto u n i t a r i o ( t a l como A U B) son él mismo y e l conjunto vacío. Análogamente, como A i ¿, A C A lí B y A U B es un conjunto u n i t a r i o , entonces A es, tambii-n, un conj u n t o u n i t a r i o y, por c o n s i g u i e n t e , A - A U B. es d e o .

i ) | / > » i 4 b , b * l - 3 a } . Luego, a 2 • 2b * b 2 • 1

| . l a , o sea, a 2 • 2b = b 2 • 1 ( 1 ) , b 2 • 1 »

y a • kb * b • 1 - 3a ( 3 ) . De <3) se t i e n e que

a, 3b « 1 - *»a, b = 1 ^ **aK). Reemplazando e l v a -

I.. Ido de ("O, en ( 1 ) , se t i e n e que

• 1(1 - ka) • 1 - 8a + 1 6 a 2 • 9, 9 a 2 • 6 - 2Ha = 10 - 8a + 1 6 a 2 , -16 t V l 6 2 - »(7)CO _ - 16 »Vl62 - 7(16)

" • °» a 2TT5 e 7771 16(16 - 7)' - 16 • hsfc _ - 8 t 2(3) _ - 8 -+ 6 _

" 7t7). t V f T ~ 7 7

I ' 6 . . - 2 2 ,

y 6 « - 2." Puesto que a £ (~2,- j j y {~2» - y }c<5, a s a 1 — Ua

nos una de l a s c o n d i c i o n e s d e l problema. Coeso b » — I , en

b «

1 - »(-2) , 1 + 2 , 3 6

7 8 15 | j — s — j — - n j - m -j . Dado que l a ecuación

(2) también debe v e r i f i c a r s e , es n e c e s a r i o coaprobar s i l o s v a l o r e s de a y b, h a l l a d o s anteriormente, s a t i s f a c e n d i c h a ecuación- Luego,

( a , b ) = (-2,3)=>3 2 • 1 * - 2 • »(3) ( v e r d a d e r a ^

<a,b) = (- 2 , f ) = > ( f ) 2 • 1 • . \ • *C y>. f | • 1 - ,

^ * íy. ( f a l s o ) . Por l o t a n t o , a * -2 y b « 3 F i n a l m e n t e , puesto

que A * A U B y B s A U B , entonces A * B • {-2 • »(3), 3 * 1 -- 3(-2) \ • {-2 • 12, * • 6 }« { lO . luJ s {lo} y, p o r l o t a n t o ,

A n B « B n B = { l 0 } .

- ¿Cuáles de l a s s i g u i e n t e s a f i r m a c i o n e s son verdaderas o f a l s a s , y

por qué? 2 1

a) S i A « { a £ R / para c u a l q u i e r x£ R : ax •» a «a entonces A° r 4 . (1 punto)

i >• > i | •* un conjunto u n i t a r i o o * ' | •• un conjunto vacío. (2 puntos)

I • • P . ' - 2ax + 3 + a es un t r i n o m i o cua-I • 1 imoes A C {» £ 1 I a 3 + 24 = 6 a 2 + 4a } .

(2 puntos) •ni| ni it• M •

• • O C A porque V x £ R : O x + 0 2 « 0 . S i a * 0 , l a 2

v « £ R : ax + a ¡ a es e q u i v a l e n t e a l a proposición i I I I M • 1, dado que a (x + a) = a. l««>x • a = 1; e s t a úl

|| . i U M proposición f a l s a , l o c u a l se demuestra mediante un |rmplo; dado que x es una v a r i a b l e r e a l c u a l q u i e r a , sea

(|->r ejemplo) x = 2 - a; en este caso se cumple que (2 - a) + a * • 1 , 2 = 1 (proposición f a l s a ) . Por l o t a n t o , s i a i 0, entonces a £ A, es d e c i r , a £ A c = { a £ R / a r f o } » R - { o ^ . Como R - {o} i ¿, l a afirmación es FALSA,

b) Para a v e r i g u a r s i A es un conjunto u n i t a r i o , es n e c e s a r i o determi-. nar por extensión e l conjunto A. Luego, x £ At. '.> 1 0 x 2 - 13x + 3

(x£<Q)<*=>10x 2 - 13x-- 3 = 0<==>x = " i V ( - 1 3 ) 2 ^ 4 (10) (-3) .

no

13 ¿Vi69 • 120 13 +V289' 13 + 17 27TÓ1 2(10) " * í7io3

13 + 17 30 3 e _ 2T20T " 2(20) ' i t " 1 j ,

13 - 17 . - 4 . 1 . . . r3 1 I 2(20) - 2(20) _ ~ 10 € - ( 9 ' e s d * c i r » A " t¡r»"T0/

es un conjunto u n i t a r i o . Análogamente, para y £ (R - {0} ) :

y £ B < = $ - y = y" 1 = 1 <=>-y2 = i c = ? y 2 = -1; e s t a última ecuación es un enunciado f a l s o 'porque V y £ ( R - |oJ) : y 2 > 0 > -1 . Por l o t a n t o , B es un conjunto vacío. Finalmente, l a afirmación es VERDADERA porque es l a disyunción de una proposición f a l s a y una proposición verdadera.

c) Sea B = ( a £ Z / a 3 + 24 = 6 a 2 + 4a J . Para x £IR, a £ A<==>a £ R

2 « • 3 es un trinomio cuadrado p e r f e c t o C > (-2a) • o<f=í>4a2 - 4(4)(a + 3) = 0, a 2 - 4(a + 3) - 0,

14a + 4 = 12 + 4, (a - 2 ) 2 = 16, {2 + 4 = 6 ó 2 - 4 = -2. Por l o t a n t o , A = { 6,-2 1.

3 2 .1 iHUaT s i A C B , basta observar que 6 +24 = 6 ( 6 ) + 4(6)

1 • 14 = 6 ( - 2 ) 2 + 4 ( - 2 ) , es d e c i r , A = {6,-2 J C B . La a f i r -

la VERDADERA. iqtando e l cuadrado, r e s o l v e r l a ecuación x • 3Vx = 10

| C R). . ( 2 puntos) n t r a r que para c u a l e s q u i e r a x,y £ (R - {0 j) :

I i f ) 1 = x _ 1 , y _ 1 ( 3 P u n t o s )

111 |nN

, ridente que x 0. Luego, x + 3Vx = 10, (vS ) 2 + 3Vx = 1!

. •' + 3Vx + ( | ) 2 = ( | ) 2 + 10. (Vx- + f ) 2 = f • 10 = ^

= 2. x = 4 (única solución r e a l ) . S i no 2 " I • v'- 2 * • • hubiera t e n i d o en cuen^v/x + j > 0, se hubiera procedido así:

. • ¡) 2 . { i < = > ( V x + § = v V Í + | = V ^ F ) « ^ =

3 1 - 5 v \fx = 7 " 3 = 2 ) < — > x = 4; l a ecuación \/x = Y 2 2

. - 5 <0 no t i e n e solución r e a l porque V x £ 0 :VT^. 0; un e r r o r

muy f r e c u e n t e se comete a l pensar que x = (-5) = 25 y una forma

de comprobar s i x = 25 es una raíz de l a ecuación dada, es reempla

zar dicho v a l o r en ésta :

2S • 3vTs = 10, 25 + 3(5) = 10, 2 5 + 1 5 = 10, 40 = 10 ( f a l s o ) .

1 S i x,y £ ( R - { 0 } ) . entonces x * 0 y y * 0, es d e c i r , xy i 0,

e x i s t e x - 1 y e x i s t e y" 1. Por l o t a n t o , ( x . y > . ( x . y ) _ 1 = 1 = 1.1 =

(x.x-^.íy.y" 1) = x A x ' K i y . y " 1 ) ) = x . í x ^ y ^ . y » • x.ííx^.y" 1).

A . - i

: (x.y> x »y Las pro

kan S}

jva.

& (x.y)

e x i s t e n c i a d e l elemento i n v e r s o m u l t i t i v a y c a n c e l a t i v a .

, 30 de A b r i l de 1981

TEMATICAS I (MA-113) CICLO: 80-2

de l a s preguntas 1,2 y 3. Sólo res_ s preguntas (4 ó 5 ) .

- x • x. - 3x - x ! \ 2

(2 puntos)

+ x - 6 J

(3 puntos)

conjuP

oo)

io

tfi

è1

Sia 3 equi"

2 /

f i a b l e r e a l x es l a s i g u i e n t e : v a l o r e s a d m i s i b l e s (C.V.A) de l a

.eciso recordar aquí que para b ^ 0,

(ce a l a s ecuaciones a = -b ó a = b. ¿j- xj= x«=MJx2 - l | - X =

y )

aií1 /

¡ai! Irti'

(x / (dado 1'

•1> ,1)¡ = 0 4=*> (x+l).(x-l) * 0 > 0 , x + l ¿ . l > o ) .

4i'<

<x > 0 = * 2 x ^ . 0 )<=>(x 2 - i :2

.1 J 2)

,¡s:jl

Jucl

f ente,

+ 2x = 1 v x ' - 2x = 1) ( |x+l|^VÍ" v> |x - l | =\/2 ) Cx « y/l - 1 > 0 v I x - l | * v/T); ¿lente a x .- 1 * - \ f i 6 x - 1 = ^ 2 ,

«scarta esta raíz porque x ^. 0) ó Raíces de l a ecuación J | x 2 - l | -es d e c i r , e l conjunto solución de

« «cuación es [í.x/T- i , v / T • i )

. ,-uolver l a desi g u a l d a d propuesta, es bueno r e c o r d a r que

| l | I l"|<f=*a 2 >y b 2 a 2 - b 2 . 0 (a+b)(a - b) ^ 0 (a y b

„ cuneros r e a l e s ) . Luego, 110 - 3x - x 2 | >y jx + x - 6 j<=»(10 2 2 x*1 • x z + x 6)(10 - 3x - Y.' - X + 6) >. 0, (-2X + 4)

.•' - 4x + 16) > 0, [ -2(x - 2)] [ » 2(x 2 + 2x - 8)] ¿ 0, 4(x -2)

4)(x - 2) > 0, 4(x - 2 ) 2 ( X + 4) ¿ 0 (x 2) ¿Cx • 4) 0 ;

.vï-

2

• ? es una solución de e s t a d e s i g u a l d a d porque (2 - 2) (0 + 4) ¿ 0y x * 2, (x - 2 ) 2 > O y , por l o t a n t o , (x - 2 ) 2 ( x + 4) 0 < >

« • 4 ¿. 0«=*x^. -4, es d e c i r , e l conjunto solución de l a d e s i g u a l

ilnd i n i c i a l es: | I } U ( [4,c*5> - {2J ) = [ í , o o ) • Encontrar e l conjunto solución de l a desi g u a l d a d

2 16

LUCIOH :

« obvio

II (x • 4) T 7 7

x l - 16 x - 3

( 1 ) .

. 8(x * 4) . * — T * 9 - x

x ¿ - 16 x - 3

(5 puntos)

8(x + 4) .

l conjunto de v a l o r e s a d m i s i b l e s de l a ecuación está determinado por

ui desigualdades simultáneas:

. , ¡LOA m + ^ ï 0 . Pero, ,¿ 0 «— T ^ ^ í ' x - 9 >. 0

ü' - 9 «ta desigualdad se r e s u e l v e fácilmente por l a " r e g l a de l o s s i g n o s " ,

«gun e l esquema s i g u i e n t e :

V.A. = (R - {3} ) O {[•'»,-3)' U ( 3 , o o ) ) = [-".- 3^ u ( 3 , c o ) . Como

•I conjunto solución de una desigualdad (C.S.) está contenido en e l

onjunto de v a l o r e s a d m i s i b l e s de l a misma (C.V.A.), es recomendable

• • i.o 1 v e r _ l a d e s i g u a l d a d i n i c i a l tomando_x g C.V.A., para luepo h a l l a r

- 8

C D e l C.S.

Sea x £ C.V.A.; luego, x £ [-"»,-3^ U <3 ,oo), es d e c i r , - l ^ x < - 3 6

3 < x.

Caso a: -¡4 x < -3

Como queremos r e s o l v e r l a desigualdad (1), es p r e c i s o a v e r i g u a r cuál 2

• 'i , ce cumple que 0 < x - 3 < 1

U M 1 y I l (1) se c o n v i e r t e en

2 X 7 < x - 1 6 <. 0 ; por l o t a n t o ,

2

16

9 < x~ < 1 6 , es d e c i r , 2

- 16 x - 3

8(x + 4 )

es e l signo de A 4 ¿ -x > 3)

2

16 (X + 4)(x 4)

X - 3

x • 4

<. 0 . Luego , l i

(b, ) ,

. Luego, -4 x < -3 (-t - 3 v< x-3 < - 3 - 3

es d e c i r ,

x 2 - 16 , x - 3

x - 3 = > - 7 « X - 3 < - 6 < Q A 1 E ^ X > 9 ; pero, 16 ¿ x 2 > 9

2 16 > - 7 ; por l o t a n t o , para x £ [ - 4 , - 3 ) > : x . ~ | f ^ 0

. fB + (x + 3 ) ( x - 4)1 . . , x + 4 f 8 + ( x Z

H I > L x~+~3 J °' 1 x - 3 ' [ x + - 1 2)1

' 1 i >< ¿-+-1 J * ü ' (x - 3 ) 6 : 4 , entonces se cumple l o s i g u i e n t e : 0 < 7 < x+4 < _S,

I i 7 ; es d e c i r , X- >+ **• > 0 y, por l o t a n t o , l a d e s i g u a l d a d

x " 9 2 . . . . . 2

1 2 ) ¿ 0 , ( X * * ) < x " X

16 x -

8(x

x 16

4) x -T~

(x • 4)(x - 4 )

x - 3-La desigualdad (1) se c o n v i e r t e en

8(x +4)

TT ^ 0 ( b 1 ) ; dado

(x-3)(x+3) (x+4)(x -4)

x - 3 8(x + 4 )

4. o 3)<x'+ 3) U t ) j"(x - »)(x • 3)

, X + 4,-vx - r^r )(x - 4 -

x + 3 (x + 4)(x ¿ - x - 20) . n (x • 4)(x

x (x -

i fy ) « 0, » H x 2 - x

mu e q u i v a l e n t e a l a desigualdad x - x

(x x - x yy 4 ,

1 ? 17

y) *^ ; como 3 < x <. 4 , entonces 12 ) 4 o»

(x - 3)(x • 3) - S)(x + 4) . 3)(x + 3) *

( x M n x - 5 )

< 4 1 2

< | < x - | < | ; luego, para x £ < 3 , 4 >

*~ X + 3 | m de l a desig u a l d a d C l ) , para x £ < ^ 3 , 4 ^ > , es Bj « < 3 , * ^ D ( a ) ; "como -4 ¿ x < - 3 , es evidente que x • -4 es una solución de l a de e p^H

2 x > S^~ !-* 1 , es d e c i r , e l conjunto

s i g u a l d a d ( a ) ; para -4 < x < -3, es evidente que 0 < x+4 < 1, es de-2

c i r , 0 < (x+4) < 1 y, por l o t a n t o , l a desigualdad (a) es e q u i v a l e n -t x m c\ .

t e a l a desigualdad ( x_ 3)¿ x+3y 4 0, l a c u a l es s a t i s f e c h a para cada

/ 1 ,oo> = < 3 , 4 > .

necesario comprobar que 2 ¿ 3 porque

17 < 25 .

17 + 1 < 3

(-9 < x-5 < -8 < 0 A 9 < x X 16 ) x £ ( - » . - 3 ) dado que -4 < x < -3 =

—^ < 0=> X^~ 5- <C 0. Por l o t a n t o , para x£^-4,-3^v e l

conjunto solución de l a desigualdad (1) es A * { -4} U <( -4,-3> =

= [ -4 , -3> . ' •-

4 < x ridence que para 4 x, se cumple que 1 £ x - 3 y x - 1 6 0 , es de

- 16 x - 3

^ 0 ; por l o t a n t o , l a desi g u a l d a d ( 1 ) se c o n v i e r t e en

4 1 * 8(x + 4 ) (x + 4 K ( x - 5) 71 T57

t x " , ?• ' - < 0 (b,) ( e l procedinaento x + 3) 2

Caso b: 3 < x Análogamente como en e l casó ( a ) , es p r e c i s o conocer cuál es e l signo

x 2 - 16 . . • a e

x _ 3 » para x > 3. Es obvio que es necesario s u b d i v i d i r en dos

i n t e r v a l o s a l i n t e r v a l o <(3 de l a forma s i g u i e n t e : <.3 = <3 ,4)>

U [«,°°), porque 4 es una raíz d e l polinomio x 2 - 1 6 . E l análisis ante r i o r conduce a dos sub-casos.

Sub-caso b. 3 < x < 4

• I mismo r e a l i z a d o en e l caso ( a ) ) ; es obvio que ? a ? a x } 4 , se cura

LO s i g u i e n t e : x + 4 ^ 8 > 0 , (x + 4 ) 2 £ 64 > 0 ; x 2 >, 1 6 , x 2 - 9 >y 7>

• I d e c i r , l a desigualdad ( b j ) es e q u i v a l e n t e a l a d e s i g u a l d a d

S £ 0<=>x x< 5, para x £ [ t , o o ) . Luego, e l conjunto solución de

• i.-.igualdad ( 1 ) , para x 4 , es B 2 = [ 4 ,oo>H <-e¿>,s] = [<*, S] .

límente, e l conjunto solución de l a de s i g u a l d a d ( 1 ) es A U U B 2=

4 , - 3 > U < 3 , 4 > U [ 4 , 5 ] = [ - " , - 3 > 0 < 3 , 5 ] .

.1) S e a | x , y } £ R. S i x 2 + y 2 = 1 , demostrar que j x + y | -¿ \ / 2 •

- 11 -

b) Sea f a , b , e j e (R - { 0 J- ) . Demostrar que I be ac

b ab c >, I a + b * c (3 puntos)

, i , pnjpiedad ( i ) a l o s números mencionados a n t e r i o r m e n t e ,

Sugerencia•- U t i l i z a r l o s i g u i e n t e V x i 0

SOLUCION : x +

l | | | » » - « >

• I , ? ( 2 ) 1 * 1

a) Es necesario demostrar que (x + y) ^ 2(x + y ), para cualesquiíB | , | | > 2 (3). S i se m u l t i p l i c a a ambos miembros de l a s e c u a c i o |t) ( (2) y (3), por l o s números' p o s i t i v o s | c | , | b l y | c | , r e s 2 2 2 2 r a números r e a l e s x,y. Pero, (x + y) 4 2(x + y ), x + 2xy +

2 2 2 2 2 2 !

+ y 4 2x • 2y c = > 0 v ( x - 2xy + y = (x - y) (propiedad uní- ,,nte, obtenemos l o s i g u i e n t e : 2 2

v e r s a l ) . En e l caso p a r t i c u l a r x + y = 1, se cumple que (x + y ) 2 ¿ 2 ( 1 ) , 0 (x + y)2.£ 2 <=> vA x + y ) 2 ^ s / l e = > |x+y| ¿ \fi. .

2 2 Es i n t e r e s a n t e o b s e r v a r que x + y = 1 es l a ecuación de una c i r c u n f e r e n c i a u n i t a r i a (de r a d i o 1) con centro en e l o r i g e n de coordenadas; s i tomamos x * c o s t , y - sen t , donde t es l a medida en r a d i a n e s d e l ángulo generado por l a rotación d e l r a d i o v e c t o r desde e l punto (1,0) h a s t a e l punto ( x , y ) .

.y

I - I • ! ! ! > > 2 i b i

i M l í h l f l ^ ' M

I c l l f I >,2\c\

i - l | S | * | b | | | | > ^ n

H ^ I T I ^ M

• ^ 2|b

(1)

(2)

(3), o sea,

(1)

(2 )

(3) ,

(1)

(2)

(3) . A continuación, sumamos miembro a

.vembro en l a s desigualdades a n t e r i o r e s y tenemos que: • 2 ( S | | > ^ 2 \ c h 2 M + 2|a|, 2C|£f | • |^|| + | ^ | >•

de t £ CR.

b) Es fácil demostrar (aunque no se pide h a c e r l o ) que para cada x i 0, ^ Resolver l a desigualdad x + ¿ 2

x 2 * >'2 ' 1 X, 2X* ^ >, 2 <=> " 2 +l 2|x/<=*|x|2

- 2|x|+ 1 0 < » C1 x J - 1) >, 0 (propiedad u n i v e r s a l ) 1 b) En e l caso p a r t i c u l a r x > 0, se cumple que x + — . 2 ( i )

Como |a,b,c|c(IR ~ { 0 } ^ > entonces i ^ Ó, b / 0 y c M ; es d e c i r ,

1 * 0 . % * ° y ! * 0; por l o t a n t o , | !|>0, | f | > 0 V | H" | > 0 - I.UCION

(x S i A° = { x £ T | =

(X + 4 ) 3 ( x 3 + 8 x 2 + 4x - 48) • 2(v 3

f" 2

|S£! • 1 ab i

I T I 1 T i a c j I T I b|

- 13x + 12)

ab c

>l*|c| j a • b • c|

} |a • b • c¡.

(3 puntos)

x 2 ^ i s l j , en c o n t r a r A - A C. (2 puntos)

Antes de r e s o l v e r l a desigualdad propuesta, para a l i g e r a r l o s c a l -

- 13 -

c u l o s , es ne c e s a r i o r e c o r d a r que p a r a [ a , b j c a y n £ 2 + , se cumpJ que a b >, 0 . impar). Por l o t a n t o ,

ab >, 0 (se e l i m i n a c u a l q u i e r raíz de índic

V x l ( x - l ) 2 ( x 3 - 13x + 12) 3,. 3 (x + 4 ) J (

( x 2 - l ) ( x - l ) 2 ( x 3 - 1 3 x + l ?

K - l» está determiando por l a desi g u a l d a d x-4 > 0

2 i ' 1..2 l x 2 - 16l x - 5 > 0==> x-4 > 0

• B x ¿ + 4x - 48) ^ ° ( x + 4 ) 3 ( x 3 + 8 x 2 • 4x

A f i n de poder a p l i c a r l a " r e g l a de l o s s i g n o s " , es ne c e s a r i o descomponer en f a c t o r e s l i n e a l e s ( s i es p o s i b l e ) l o s polinomios de grj

2 3 do mayor que 1. Luego, x - l = ( x - l ) ( x * l ) , x - 13x • 12 =

= (x - l ) ( x • 4)(x - 3) y x 3 • 8 x 2 • 4x - 48 = (x • 4) ( x + S)(x-2) Por c o n s i g u i e n t e , l a desigualdad i n i c i a l se c o n v i e r t e en (x - l ) ( x • l ) ( x - l ) 2 ( x - l ) ( x • 4 ) ( x - 3) > Q

(x + 4 ) 3 ( x • 4 ) ( x • 6)(x - 2)

- • 4. Para x > 4, se cumple que x > 16 > 0 , x-2 > 2 > 0 y

ii Luego, l a ecuación i n i c i a l se c o n v i e r t e en

. * ? - » = (x - 4)(x • 4) X 2 =

X - 4 X - 4 - X * 4 , x _ 2 - X * 4 , i« • 4)(x - 2) = x 2 • 2x - B, 2x = 8, x = 4^T<4,ooX F i n a l -A c = j f , es d e c i r , A = ( A c ) c = 4C = IR.

•I i l a función r e a l d e f i n i d a en £-2,4^> por l a r e g l a de c o r r e s I ~ 3 , r • E n c o n t r a r e l rango de f . 1 • | x - 3|

(5 puntos) woidancia f (x)

(x - l ) H ( x + l ) ( x (x.+4) 3(x • 6)(x

3) 2) ^ 0; es ev i d e n t e que x = 1 es una solución

de esta d e s i g u a l d a d ; para x i 1, se cumple que (x - 1 ) " > 0; luego, 4

(x » l ) ( x - 3) (x - l ) - ( x • l ) ( x - 3) ^ (

(x+4) J(x • 6)(x - 2) T. >. o .(x*4) J(x+6)(x-2)

(x » l ) ( x - 3) v " , "• , . . (x+4)(x+6)(x-2) ' 0 < s e e l i m i n a e l exponente impar); por l a " r e g l a de l o s s i g n o s " , e s t a última desi g u a l d a d se r e s u e l v e (para x / 1) mediante e l esquema s i g u i e n t e :

- + + - + - i ~\ % 3

Finalmente, e l conjunto solución de l a desigualdad i n i c i a l es {1} U ( <-6,-4> ü [ - l . l ^ U <1,2> U [3,crO> ) = <-6,V> U [-1,2^>U [ 3 , o ^ . 1 '

b) Es implícito que A es e l complemento de A con respecto a P. Es

•I i" KiH:

• « £^-2,4^ , e x i s t e n -1,3£ £-2,4^> t a l e s que permiten e l i m i n a r

IA| Iwtrrns d e l v a l o r a b s o l u t o .

• 'inveniente e x p r e s a r [ -2, 1*^ como una unión de i n t e r v a l o s en l a

• s i g u i e n t e : [-2,4^ » [- 2'" 1] u <C"1>3/> u \} '

|0, 6e h a l l a e l rango de f c o r r e s p o n d i e n t e a cada s u b i n t e r v a l o y,

...imente, l a unión de estos rangos es e l rango de f sobre [-2, 4y>

HO 1: x£[-2,-l] / 4 x ^ -1==? - l ^ . x M í 0 y -5 x - 3 4 -4 < 0, es d e c i r , • ' i | = - ( x + l ) = ' - x - l y | x - 3 | = - ( x - 3 ) = 3 - x ; luego:

' •» " l 7 3 - x = V - V " ' _ V - ~ x H = • (X •JO . X • 4

X - t

\rm,n demostrado que x £ [ - 2 , - l ] = * y = f<x) X • 4 x - <• 1 • X - 4

A O ( A C ) C = A O A = A. evidente que A - A C

Como A c está determinado mediante una ecuación, es mejor r e s o l v e r d i c h a ecuación. En primer l u g a r , e l conjunto de v a l o r e s a d m i s i b l e s de l a ecuación

8 l'eroi y = 1 • — —

8

y - 1 = x - >»

- U * y - i • 4(1 + y - i ) ¿ - i - 1 ¿

? , 1 - i < 2 , i r < ¡ ¡ - - l . - 2 * y - l 4 •* 3 ¿ 1 ¿ _ | C 0 4 y - 1 •

- 14 -

j * y - i \ - 8/s *-»» i - 1 >y y ^ i 5 1 " T » * >, " 3 /5

y e (1),

Caso 2: -1 < x < 3

-1 < x < 3 = > 0 < x + l < 4 y _n < x - 3 < 0, es d e c i r , j x + 1 = x + 1 y | x - 3 | = 3 - x ; luego: y r f ( x ) « X * 1 ~ 3 = x - 2 . x ~ 7 y I K X > 1 + 3 - X 4 - X -x + 4

y s -1 • 4 - x • y • 1 « 4 - x

= - 1 +

4 - x =

4 - x 2

. Pero:

T T x = 4 -

y • i i

- 1 < 2(2 - y • 1 ) < 3

•> < 2 r r 2 y + 1

1 - 2 < - 1

2 . y + 1 < 2 ¿ ' 2 < y + l ^

f | > y -TT > 1 / 2 *3=*=' 2 / 5 < y + i < 2<=> f - l < y < 2 - i ,

< y < 1 e <-f-, i > ( 2 ) .

= x + 1 y x - 3J= x - 3; luego: y * f(x ) x * 1 - 3 x - 2 l + x - 3 " x - 2

Por l o t a n t o , y £ | l } ( 3 ) ,

Finalmente, uniendo ( l ) , ' ( 2 ) y ( 3 ) :

= 1.

f(x) = X -x - 2 F~^~x

k 1

s i -2 4 x 4 -1

s i -1 < x < 3

. s i 3 4 x < 4

t Lima, 15 -de Mayo de 1981

- 15 -CSWGS F. P0S»rC6->PR?!?0 MÉNDEZ

EXAMEN PARCIAL DE MATEMATICAS I (MA-113) lv«r todas l a s preguntas. i A = { x £ I R / | x 2 - 3 x - 5 | > | 6 + x|j. y

B = {x £ IR /||x - 1| + x j > \ P K j- f

c c 1 n.-'>ntrar A U B . OH:

(5 puntos)

Caso 3: 3 4 x < 4 3 4 x < 4 0 < 4 £ x + l < 5 y 0 ^ x - 3 < 1, es d e c i r , Ix • 11 =

1« l e y de De Morgan: A c U B c = (A O B)° ( l o s complementos son r e -. vos a IR ). ... x £ B<=> j x - l| + x j y \f-x , e l co n j u n t o de v a l o r e s a d m i s i b l e s i.i desigualdad a n t e r i o r está determinado por l a desigualdad -x 0 ,

|«0Ír, x 4 0 ; pero x 4 0 x - 1 4 -1 < 0 , j x - 1¡= - ( x - 1) -1 x ; luego: x £ B <==> x 0 A |l - x • x j ) \£x , (x 0 A 1 )

(x 0 /N 1 >./T) éaag (x4. 0 A -1 < x)¿=* x £ <^-l ,oJ , es Ir, B = < -l,tf¡ -

lueremos e n c o n t r a r A D B y A O B C B = <^-l,oJ , entonces

- 1 (A O B) : x £ B = <C-1>°] • Luego, -1 C x 4 0 < = > 0 < 5 < x+5 4: 6 , 2

|« • CJ= x + 6. Además, x - 3x - 6 = x 9 x 9 9

3 X 4 " 4 c ' r 3,2 6 = (x - -jO -

y -1 < x 4 0

'{ > (x 3,2 9 7> * 4

> -1 25 - 33

7 < - * - 7 4 - 2 -5 . 3 3

7 v /• 3,2 > (x - j ) « > 1 ^ - 3 3 , 0 > - 2 >

3x - 6 \ -6 . j x 2 - 3x - S|< (x - 3x - 6) = - x • 3x + 6,

• Lo t a n t o : x £ (A O B)< (x £ A A x £ B) 1 -x • ,3x • 6 > x + 6

A -1 < x 4 0, x - 2x < 0 A -1 < x 4 0, x ( x - 2) < 0 A -1 < x £ 0, « < 2 A -1 < x ¿. 0, es d e c i r , A O B = ¿ .

• o-

- 1 0 2 1 nte, A° U B C = (A A B)° = ¿ C = JR.

. 1 forma de r e s o l v e r e s t e problema c o n s i s t e en determinar explícita 1 f l o s conjuntos A y B. Como ya hemos demostrado que B = <C,-l,o] ,

1 r e s t a determinar e l conjunto A de l a forma s i g u i e n t e :

- 16 -

x £ A<=* j x 2 - 3 x - 6 | > | 6 + x \ < = > ( x 2 - 3 x - 6 + 6 + x ) ( x 2 - 3 x -- 6 - 6 - x) > O, ( x 2 - 2 x ) ( x 2 - 4x - 12) > C , x(x - 2)(x - 6)(x + 2)>

0 ; por l a r e g l a de l o s signos se demuestra que x £ A <•' »x £ <^00, -2> ; U <0 , 2> U <6 ,C >>

-2. O X •

Por l o t a n t o : A = <(-°°,-2> U <0,2> U < 6 ,oo) . Para h a l l a r A f> B, procedemos gráficamente así:

•4--Z - l O l * Finalmente: A D B = i y (A A B)° = R .

2.- Cuáles de l a s a f i r m a c i o n e s s i g u i e n t e s son verdaderas o f a l s a s y por qué ? . a) S i A : | n £ Z / e x i s t e un numero r e a l x con l a propiedad

sj | x - 1| > «y, entonces A c = £ m £ Z / m e . 0J « | i £ Z / e x i s t e un numero r e a l x con l a propiedad m \J\ 1 - J t | \ .

(2 puntos) b) Sea jx,yj.£ R. Luego, |x| + |y|= |x + yj<=>xy ^ 0.

, . — (1 punto) c) Sea {a.t>| C^- Luego: b~* > 0*=>ab < 0. (2 puntos)

SOLUCION: a) Por l a definición de A, es evidente que cada entero no p o s i t i v o m '

pertenece a A(V a £ Í u { o J : n £ A ) , porque V B € 2 U [ o | ] x = 2£ R (por ejemplo) con l a propiedad\J\ 2 - 1| • 1 > 0 £ m (1 es mayor que c u a l q u i e r entero no p o s i t i v o m). Por o t r o l a d o , también es fácil observar que cada entero p o s i t i v o m pertenece a A(V m £ £ + : m £ A ) , porque para cada entero p o s i t i v o m e x i s t e x = (m • 2) £ R (por ejemplo) con l a propiedad \/|(m2+ 2) - 1| m2 + 1| =ym + l > m < ^ *»!+1 ± > O .

Por l o t a n t o , hemo3 demostrado que V a £ Z : m £ A, es d e c i r , t C A ,

- 17 .

I amo A C 2Z (2 es e l conjunto r e f e r e n c i a l ) , entonces A = U y A c = <f>

fácil observar que £ m £ E / e x i s t e un numero r e a l x con l a pro-i [edad m ^\/|l _ x\-\] \x - 1|} S Z porque para cada entero p o s i t i v o

i ? • - 11 te x = (m + 1) £ R (por ejemplo) con l a pr o p i e d a d I".2 + 1 - l| =\/m2" = | m j = m 4 m. Luego, |m £ 2Z / m 4 0 } U • I e x i s t e un número r e a l x con l a pr o p i e d a d m y \J\l - x j j = (2 U { o|) U Z* = TL * $ - A C . discusión a n t e r i o r prueba que l a afirmación (a) es FALSA. I- l ' | v | z | x • y

>2 ( / x j * / y / ) 2 = |x • y | 2 , | x | 2 + 2 | x j y | * | y | 2

I > • y ) ' x 2 + 2xy + y 2 , x 2 + 2|xy|+ y 2 = x 2 • 2xy • y 2

|| , y | = 2xy |xy|= xy >y 0 . U afirmación (b) es VERDADERA.

( V ^ a > 0 A b > 0) v •( " V - ü C 0 A b <. 0 ) ; pero:

*\/-a > 0 -a > 0« • > 0 ; luego:

a < o y -a < 0 -a C 0

> 0 (a < 0 A b > 0) v ( a > 0 A. b < 0) r - o ab < 0.

1 I afirmación (c) es VERDADERA. ibién se puede demostrar e s t a propiedad u t i l i z a n d o l a propiedad

V ^ a = - A / a • Luego: ( / b) > 0, (- -y/a ) / b) > 0 <== (•^/a / b) < 0<=>(- 3 / I> 0 A b < 0) v C- 3/! < 0 A b > 0) < >

• 0 A b < 0 ) v ( a < 0 A b > 0 ) «—»» ab < 0. >,»r« propiedad es útil para r e s o l v e r algunas d e s i g u a l d a d e s ; por • templo:

"Ú + 1 > 0 " — ' x • 1 > o, (x * 2)(x - 1) x + 1

- Z -1 1 Sean f y g l a s funciones d e f i n i d a s como s i g u e :

18 - - 19

r i x * f (x)

+ 3x - 1 s i -2 < x 4 1

s i 2 C x ¿ 8

f(x) _ x » 3x - 1 gTxT " x - 2

g(x) -8 1 -3 < X 4 O

x + 8

lSx - l j - 15 + 6jx + 2|

3x - 1 s i 1 4 x 6

a) Encontrar e l dominio y l a r e g l a de correspondencia de l a función

f/ g . Luego, e l i m i n a r l a s barras y e l corchete. (2 puntos)

b) Encontrar e l rango de l a función f / g . (4 puntos)

SOLUCION:

a) Es evidente que D f = <¡c2,l] U < 2, sj y D g • f-3,oJ U [ l i f i j . Como D f / g = D f 0 D l / g C D f g = D f 0 V e n t o n c e s D f / g C <-2,0] U { l j U <2,6].

f( 1 ) . 1' KTTT " -

1 ^ 1 + 3(1) - 1 3(1) - 4

3 - 1 -1 = - 2. Finalmente:

x í • 3x - 1 x - 2

-2

x + 8

s i -2 < x ^ 0

s i X - 1

s i 2 < x 4 6 3x - 4

go de l a función f/g es l a unión de l o s rangos correspondiera

lo s conjuntos 2,0 J , { l j . y ^ 2 » 0 '

i x £ < - 2 , o ] 2 . £

=> y ( x - 2) -x 2 + 3x - 1 , x 2 + 3x - 1 z x - 2 ' • L u e g o : y

t i — i r •fe »7 H t-

• 3x - 1, yx - 2y = x 2 + 3x - 1, x 2 + (3 - y ) x + (2y - 1) = 0

(3 - y ) 2 - 4(2y - 1) ^ 0 A

Luego, V x € D f / g : x £ <-2,o] u { l j u ^ 2 , 6 ] .

0 < x + 2 4 2=r>|x • 2|= x .•• 2 Pero: -2 < x 4 0 = * j _ 1 Q < 5 y ^ n ^ _ n <• 4 _ j < Q ^ , 5 x . a ( l

í-í» * g(x) = 1 - Sx - 15 • 6(x + 2) = 1 - Sx - 15 • 6x + 12 =.

= x - 2 € <.-4,-2j (-2 < x 4 0«=». -4 < x - 2 4 -2 <. 0 ) , es d e c i r ,

g(x) i 0 s i x £<-2,u].

g ( l ) * 3(1) - l » - 1 i 0. 2 < x 4 6 «c=>6 < 3x 4 18 . .. , >

. 0 < 2 < 3x - 4 4 14, es d e c i r , g(x) * 3x - 4 i 0 s i x € <^2,6] .

Por l o t a n t o : D f / g = ( D f f \ D g) - { x £ D / g(x) * o|=<-2,o] U { l j -

ü < " ] y r ¿ f e ] • * -x - 2

f ( l ) / g ( l )

v - 3 i V ( 3 - y ) ' - 4(2y - 1) . p e T ^ . g _ 6 y + y 2 _ 8y + 4 ¿ 0 ,

Wy + 13 y y 0, (y - 13)(y - 1) 0 <=> y £ <-oo,l] U [ l 3 , o o ) ,

p l o tanto: y x + 3x - 1 x - 2 y e <C-°°'1] u [ 1 3 ' ° ° ) A

y - 3 + Vv - 14y * 13 2

-2 < x 4 0

4 < y - 3

2 < Y - 3 ^ ULY + 13 . 0 ^

•o-14y + 13 4 0' 1 < t V y 1 ^ "

(y + 1) C -y/y2 - 14y • 13 4 3 - y í a ^ 6 14y + 1 3 4

iv t 1) < \ / y 2 _ I4y + 13 4 3 - y ( a 2 ) .

<£)Cx> = f M

8 g(x)

s i -2 < x 4 0

s i X = 1

" i .aso a. • 1> \ f y- _ 14y + 13 £

x + 8 s i 2 < x 4 6

(y • 1) í. - \ / y 2 - 14y + 13 4 3 - y C= y - 3<=>y + 1 > \ / y 2 - 14y • 13 A \¡y2 •- 14y • 13 ¿ y - 3

3x - 4 Como ya hemos eliminado l a b a r r a , sólo r e s t a e l i m i n a r e l corchete. Luego :

-2 < x 4 0 = Í > 2 > -x ¿ 0 = ^ 4 . > 2 - x £ 2 = > 2 > 2 ~ X ¿ 1

. i conjunto solución de l a desigualdad y + 1 > \fy¿ - + 1 3

i i conjunto solución de l a desigualdad \J y2 - lMy + 13 > Y - 3

- 20 -es < - o o . i j . Luego, e i conjunto solución ds l a s desigualdades

multáneas (a^) es

x 1 13

Sub-caso a-

- (y + 1) C \ / y 2 - I t y + 13 4 3 - y -(y + 1) < \ J y 2 - lUy + 13 A

V y 2 - l l 4 y * 1 3 4 3 - y •

Procediendo análogamente como en e l sub-caso a^, se demuestra que e l

conjunto solución de l a s desigualdades simultáneas (a^) es: , l j .

F inalmente, y = ( x 2 + 3x - 1) / (x - 2)«=^y£ ( l j ü [l3,oo>) Cl

Caso b : x £ <2,6J.

Sea y * • Luego: y = f ^ ^ ^ * = > yC3x - "») = x + 8, 3yx - My =

= x • 8, 3yx - x • t ( y • 2), (3y - l ) x = t ( y + 2), x = ; 2 > € ^ 2 ' 6 ]

9 y - 3 - 2 / - ** > o, 5 - y > o A ? y - 7 > 0 , y - 5 < o A y - 1 >

3 y - l * "* 3y - 1 ^ 3y - 1 * 3y - 1 v íy - 1 *

0 , j < y < 5 A ( y < | v y ¿ l ) •=» y £ [ l , s > .

Finalmente: R f s [ y , i j u {"2} U [ l , S > = [ j . s)> U {-2}.

•».- Sea F l a función de v a r i a b l e r e a l x d e f i n i d a por l a r e g l a de co

rr e s p o n d e n c i a F(x) =\J% - x 2 s g n ^ 2 * x- ) • p x * | J - 1,

a) H a l l a r e l dominio de F. (1 punto)

b) H a l l a r e l rango de F. (2 puntos)

c) D i b u j a r l a gráfica de F. (1 punto)

SOLUCION: a) Por l a r e g l a d e l máximo dominio:

2 ? 9 - x ^ 0 A x + 2 ^ 0 A x * l A x * - 3 , e s d e c i r , 9 . x A X > -2

A x * 1 A x * -3, 3 ^ | X | A X ^ - 2 A X > Í 1 A X * - 3 , x £ [-2»^>

- 21 -

„ D r • Q-2,3] - { l }

h a l l a r e l rango de F es p r e c i s o e l i m i n a r e l corchete y cono-V x + 2

...ti

•1 aigno de

l i l i : x - 1 , para l o c u a l realizamos e l s i g u i e n t e

| | IMIMAC1QN DEL CORCHETE

• i • 5 . -x • x + 3 , entonces

Al , x e D F = í > (-2 4 x é 3 A x i 1) ' * ¡ E 4 T * i > 0 A x * 1)

• 1 0 < l v< x • 3 ^ 6 A 1 • 1 (-1 4

K t 1) • f r H ] - 1

1 - 1 = V T T ^ s g n ( - ^ Ü I )

F(x) =\/<3 - x 2 sgn(

Vx + 2

x • 3 ^ 6 Vx + 2 )

x - 1

intinuación, para x € Dj., hallamos e l signo de

Luego: x •£ D_- , \ /x + 2 , . S S " ( x - 1 > "

-1

0

1

, V i x • 2 4 0

y/x + 2

V x • 2 : (x € [~ 2.l)> " <(l> 3] Y x • i

. | [-2,1> U<1,3] y x - 1

Vx + 2 (• e [-2,i> u (1,3] A Y

X : ; > o) i ii d e f i n i t i v a :

V 9 - x 2 s i -2 < x < 1

0 s i x = - 2

s i 1 < x 4 3

, --y > 0 •

4 Q) <—S -2 < X < 1

<=>x = -2; .

1 < x 4 3 .

F(x) v A ^ x 2

l'nra h a l l a r e l rango de F, procedemos análogamente como en e l pro

Moma a n t e r i o r .

Caso 1: -2 < x < 1 <—> -2 < x < 0 ó 0 ^ x < l

22 -

- V 9 - x 2 « = > (y 4 O A y 2 = 9 - x 2 ) < = £ (y 4 O A x 2 = 9 - y 2)

(y 4 O A | x | = 9 - y 2 ) < = » y N< O A (x = - V9 - y 2 v x = .y/9 - y

2 ) <=> y 4 O . A (-2 < -s/s - y 2 < o v o 4 v/g - y 2 s/9 - y 2 > 0c=>4 > 9 - y 2 > O

< > s < y 2 < 9 < r.VT < |yj < 3, r r | \ A - y 2 <: 1 « 4 « -- y 2 < 1< » 8 < y 2 4 9 e=*2N / 2 < J y | 4 3. Por l o t a n t o : y = -\/9 - x J í = * y ¿ 0 /s (N/? < |y| < 3 v 2 V 7 <Jy/ 4 3) < = » ( V T < - y < : 3 v 2\/T <-y 4. 3 ) < = * <-VS~> y > -3 v - 2 V T > y ^ , -3)<=>y £ ^ - 3 , - V T > U Q3,-2\/2" /)= [-3,-V^"> •

Caso 2: 0 < 1 < x 4 3 i

y «\/9 - x 2 < = > (y 0 A y 2 « 9 - x 2 ) « = * ( y ^ 0 A |x | = N/ 9 - y 2 ) ( y J O A l <\fe - y ? 4 3 ) « = » (y } 0 A l < 9 - y 2 4 9) < = >

(y }, 0 A 0 4 y 2 4. 8)«=*0 4 y < 2V?«=s. y £ [ o , 2 \ / T ^ En d e f i n i t i v a : R f = [-3,-\/í>u {0} U [o,2\/í)« [-3,-\/s) II

[ 0 , 2 N/T). " . c) U t i l i z a n d o l o s r e s u l t a d o s h a l l a d o s en (a) y en ( b ) , l a gráfica

de F es l a s i g u i e n t e :

Lima, 18 de Mayo de 1981

- 53 -

SEXTA PRACTICA CALIFICADA DE MATEMATICAS I (MA-113) P^PXV'r todas l a preguntas.

• i !.ea l a ecuación (x + a ) 2 + (y + b ) 2 s 1, donde ab i 0: U t i l i zando l a derivación implícita, demostrar que: (1 • l¿y-1 2 - 1 d 2 v , 2

( 1 I dx" ) ( — ? 5 • (1* ountos) 1 1 dx I I S i x £ [-4,sJ y f ( x ) = x 3 + 3 x 2 • x • t\ comprobar que se s a

t i s f a c e n l a s hipótesis d e l teorema d e l v a l o r medio y h a l l a r "o £ < C - " ' 5 ^ t a l 9 u e f ( 5 > = f<-*> •* 9 f ( x o ) . (2 puntos)

iyi£X0N:

i.nemos que y es función de x. Luego, derivando implícitamente an ambos miembros de l a ecuación dada, tenemos que:

t [ ( x * a ) 2 • (y • b , 2 ] , : j _ — + y x + i )2

+ a _ ( x , ¿ , r , 0 , •'<- • a) • 2(y • b ) ^ = 0, (x • a) • (y + b) = 0 (1) , • »

( y 4 b '5x = + a ' * 2^* Derivando implícitamente en ambos miembros de ( 1 ) , tenemos que: ^ £<x • a) «• (y • h) d ^-J = 0 *

J¿ü, • a) + f - [ ( y • b ) £ ] - - O . ' l ^ í y • b > . £ • < y •

• 1 • £ • & + ( v • b>^7 = 1 • ' & 2 • ty • • 0 <3>. • dx' d x d x 2 .

m i l i t a n d o (2) y reemplazando en ( 1 ) , tenemos que:

I (y • b)|¿) 2 • (y • b ) 2 = 1, (y • b > 2 | | £ | 2 • (y • b ) 2 = 1,

<v * b ) 2 ( ¡5^1 2 + 1) = I C O . De t 3 ) se t i e n e que:

(y • b) 2 * ! ^ - ^ ) 2 - (1 • | 2 ) 2 ( 5 ) . D i v i d i e n d o miembro a miembro

(M) y ( S ) , obtenemos que

fCx) = x 3 + 3x 2 + x + 1 y x £ [- 4> 5J . entonces f es una fun eión continua sobre £-4,5] y d i f e r e n c i a b l e sobre ^-4 , 5j) , porque

- S i t

es " p o l i n o r a i a l " , es d e c i r , f s a t i s f a c e todas l a s hipótesis del

rema d e l v a l o r medio. Luego, e x i s t e X q £ ^-4,S^> t a l que f(5)

- f ( - 4 ) = (5 - (- 4 ) ) f ' ( x ) , fC5) - f( - 4 ) = 9 f ' ( x o ) . Dado que V x £ <-* ,S> : f ' ( x ) = 3 x 2 + 6x + 1, entonces f ( 5 ) - f ( - 4 ) = 9 ( 3 x 2 + 6x Q + 1),

5 3 + 3 ( 5 ) 2 + S + 1 - ( ( - 4 ) 3 + 3 ( - 4 ) 2 - 4 + 1) : 3 x2 + 6 x + «

9 O O '

1 25 + 75 + 5 + 64 - 48 » 4 , 2 + 2 S „ ^ + +

9 O O O O

3 x 2 + 6x„ - 24 = 0 , 3(x 2 + 2x„ - 8) = 0 , x 2 + 2x - 8 = 0 , 0 0 0 0 o o

(x + 4 ) ( x - 2) = 0 , x = 2 £ (-4,5 \ ( l a raíz x = -4 se dése. | 0 0 o x * o

porque -4 < x < 5). 3 I 2 2

2.- Sea f(x) = V x (x - 16) , donde Df = B. H a l l a r todos l o s extre

mos r e l a t i v o s de l a función f . (4 puntos)

S O L U C I O N :

Para h a l l a r l o s v a l o r e s extremos r e l a t i v o s de l a función f , podemos

comprobar, por ejemplo, s i son a p l i c a b l e s e l " c r i t e r i o de l a primer!

d e r i v a d a " o e l " c r i t e r i o de l a segunda deriv a d a " . 3 / 2 2 2/3 1

Como f (x) = <J x (x - 16), donde x£R, entonces f(x) = x (:<" -,,, 2/3 2 2/3 8/3 , e 2/3 , , 3 ( 8 / 3 ) - l I

- 16) = x .x - 16x = x - 16x . Luego, f ' ( x ) - y x

.,.2 ( 2 / 3 ) - l , 8 5/3 32 -1/3 8 5/3 32 _ 8 x 2 - 32 _ " 1 Í U 3 X ; " 3 X " ST x - 3 X " ^T73 3^173 8(x 2 - 4) 8 (x + 2)(x - 2) , . _ r . i . . . . - — = y — , donde x £ (IR - } 0f), es d e c i r , f es

3 s / x "V x

d i f e r e n c i a b l e en IR - { o } .

Para h a l l a r l o s i n t e r v a l o s a b i e r t o s sobre l o s cuales f es c r e c i e n t e

o d e c r e c i e n t e , es s u f i c i e n t e r e s o l v e r l a desigualdad f ' ( x ) ^ 0 ó

f ' ( x ) < 0 . Luego, f 'Cx) = i ( X * 2 ) ( X - 2 ) > '0 < ^ = > ( ^ 2 ) ( x - 2 ) > 0 , ^(x + 2)(x - 2) > 0 (se e l i m i n a e l índice d e l r a d i c a l cúbico por x ser impar) « = > (por l a r e g l a de l o s signos)

25 CWIGS E, PO»T0C«PRER0 MENDEZ

MI que f ( x ) = (x • 3)* - 3 = y, o sea, x = f * ( y ) =\/y + 3 - 3 .

• 11 1 Imente: '- 6 - N / Ó

f * ( y ) = -f(jr - 1) • S s i y 4 0

V 7 • 3 - 3 s i y > 6 a u t i l i z a r l a notación común)

- 6 4 ) ' • 9 s i x 4 0 f * ( x ) =

l \fx + 3 - 3 s i x > 6.

11 Rráficas de f y f * (en e l mismo plano)

ean g y f l a s f u n c i o n e s d e f i n i d a s por l a s r e g l a s de correspon-

dencia s i g u i e n t e s :

g(x) =

f ( x ) =

|X 3| - 1 2x - 2.

3 - x 4 sgnC-x)

f 1 ( x ' 2- ) 4 1 x • 1

s i _u < x 0

s i 1 4 * «•

s i x 4 -6 ó x > 2

^ sgn(x')

H a l l a r , s i e s que e x i s t e , f o g .

SOLUCION:

s i -1 < x 4 2 (6 puntos)

Antes de comprobar l a e x i s t e n c i a o no de l a función f o g , es mejor e l i

minar "sgn" .

Para x £ {3 J ó | x | > 4 se procede así :

4 sgn(-3) = 4 ( - l ) = -4 | x | > 4 =-:» (x < -4 < 0 ó x > 4 > 0) » (-x > 4 > 0 ó -x < -4 <

0) 1 i i* sgn ( - x ) •

' " • ( l ) = 4 s i X <-4

u ( - l ) = -4 s i X > 4

Para -1 < x 4 2 se procede así:

(-1 <. x 4 2 A . x i 0) = * x 2 > 0 >sgn ( x 2 ) = 1. 2

x = 0 »sgn( 0 ) = sgn(O) = 0.

Después de l a s e l i m i n a c i o n e s a n t e r i o r e s , se obtiene l o s i g u i e n t e :

f | x + 3 | - l s i -« < x ^ 0 gCx) 2x 3 - x

—4

f ( x ) « \ 0 IT 1 x • 1

s i 1 4 x < t y x M

s i X <_ -4 s i x = 3 ó x > 4

s i x < -6 6 x > 2 mi x = o s i -1 < x 4 2 y x ¿ 0 .

U e x i s t e n c i a de f o g se comprueba s i D f O K g , <. l o c u a l es obvio

- 27 -

lOrque 4 £ R g y 4 £ D f (4 > 2) .

I I I M h a l l a r f o g , hay que encontrar Ej.. y su r e g l a de correspondencia.

Cnmo x £ E ^ g * 5 3 5 * x £ D g A g(x) £ D^, se r e a l i z a e l s i g u i e n t e análi-

C f o 1: - 4 < x 4 0 A | x + 3 | - l = g(x) £ < -°<=,-6^ U <^2,00) -

(|K • 3| - 1 <. -6 ó |x + 3 | - l > 2 ) « = > (¡x + 3) < -5 < 0 (no t i e n e

iliciones r e a l e s ) ó |x + 3| > 3 < > |x • 3| > 3 C=a=> (x + 3 < -3 ó

' 3 > 3 ) c = > ( x < -6 ó x > 0).

• !.o: -4 < x 4 0 A (x < -6 v x > 0). De l a s desigualdades a n t e r i o

res se observa que fog no e x i s t e en este caso.

~~1 1 1 1 r-•4 O

S U J O ({-«=,-6^ U <0,oO> ) = <f,

lo.. _ 2 : - 4 < x 4 0 A | x + 3¡-l = 0 . | X + 3J - 1 r O <=>|x + 3| =

1 (x + 3 = - 1 ó x • 3 = 1) « = > x £ {-4,-2 | .

• Ko: {-''.o] H {-1*'-2} = { ~ 2 } y ( f o g H x ) = f ( g ( x ) ) = f ( g ( - 2 ) ) -

)) = 0 . B k U . : -1* < x 4 0 A g(x) = (¡x + 3 { - l ) £ ( < - l , 2 ] - { o J )

l < | x * 3 | - 1 ^ 2 A | x * 3 j - l i í 0 ) « = * -1 < /x • 3|- 1 A \ X • 3J

1 ' 2 A |x + 3|;í 1 . £ -1 < |x + 3|- 1 « = * 0 < "jx • 3 | ¿=>x i -3^

' 3|- 1 4 2 <=>Jx • 3¡ ,¿ 3<=> -3 4 x + 3 4 3 fcrs*. - 6 4 x 4 0 } | • 3| i 1<=> x i -4 A x t -2^ Luego: (-4 < x 4 0 A X * -3 A -6 4

" A x i -4 A x i - 2 ) « = > x £ ( <(-'*,oJ - {-3,-2J) .

1 1 1— -H -J3 -2

• £ (,-<*,-3> U <-3,-2^> U <-2,0j :

K K ) = f ( g ( x ) ) = 1.

- 28 -

Cato 4: (1 4 x ¿ 4 A x * 3 ) A g(*> = 2 * I x £ ( ( " ^ J " 6 ) U ( 2 » ° ° ) >

I'.ira x £ ( [ l , 3 ^ U (3,4} ):

2x - 2 < -6 3 - x

X - 1 • 9 - 3x 3 - x

=» 2C j - f - y + 3) < 0 * = »

0 8 - 2 x / 0 ~2^x ~ 1 0 < 0 C °» 3 - x < °' -(x - 3) S U

= * X ~ ^ ¡ - < 0 2x - 2 ,x - 1

' 3 < x < 4

X - 2 x - 3 < 0 2 < X < J

Luego: x € ( (2,3> U <3,4> ) y (fog)Cx) «f(g(x)) » f ( 2 x ~ 2 > =

= r f 3 - x " 2 \ « i , 2x - 2 - 6 • 2x Hx - 8 . x - 2 1 2 x - 2 j x ¡r ( 2x - 2 • á - x } * r T T T . 1 •* r r r

Caso 5: 1 4 x < 4 A x i 3 A. g(x> « "• 2 » 0

Para x C ([l¿«»>- {3}> : 2 ( x C .V • x s 1 2(x ~_1> X

( f o g ) u ) « f ( g ( i ) > = f ( o ) * o; .

Caso 6 : 1 4 X < > » A X H 3 A g(x) ' Z | ^ { < " 1 ' 2 ] " {°} *'

Para x £ ( [ l , 3 > U <3,4)> ):

< _ 1 * 4 2 A ^3 - x * 0 ) í 1 > 0 A 1 - f - ^ » 0 A

X 1< 1 ^ l x ^ l , 1 > 0 r 2 x ; 2 ! 3 - x > 0

< 0 x • 1 x - 3 • x - 1

1 4 X < 3

> ñ 3 - x - x » 1 . 0 * - 2x v Q

Luego: x € ( [ l , 1 ^ - {3J> H (l,3_>n <1, 2]* (1.2] Y (fog)Cx) = 1, Caso 7: x < -4 A g(x) = 4 6 ^ 2 , oo> ( f o g ) ( x ) = f<4) *

4 4 + 1 10 Caso 8: x £ ( [ 3 J U ( i , 00» A g(x) = -4

g(x) = - 4 Df. No e x i s t e fog en este ce

- 29 -

tor l o tanto:

og)(x) = f ( g ( x ) ) =

inalmente:

og)(x) = f ( g ( x ) ) =

1/10 0 1 x - 2 x + 1 0

1/10 0 1

x - 2 x + 1

s i x e. -°o,-it)

s i x E [ - 2 j

s i x C < r * , - 3 > U <T3.-2_> U<-2,o] s i x E ^2,3^> U < 3,4 > s i x € [ l j s i x e < l , 2 ]

s i x £ < -oo,-4 >

s i x £ {-2,1 j. s i x£(-1,-3) U <-3,-2/> U (-2,0]

U<1,2]

" xTT s i x G < 2 - 3 > u < 3- 4> '

4.- a) Encontrar dos funciones r e a l e s u n i v a l e n t e s cuya suma e x i s t a y no sea u n i v a l e n t e . (2 puntos)

b) Encontrar una función l i n e a l f t a l que f = f * . (2 puntos)

c) S i F es l a función de v a r i a b l e r e a l d e f i n i d a por: F(x) =\/x + £-xj] + x j[x| , demostrar que V x £ Dp: -x £ Dj, y F(-x) = F(x) . (2 puntos)

LUCI0N:

) Por.ejemplo, sean f y g l a s funciones r e a l e s d e f i n i d a s sobre R, respectivamente, por f ( x ) = x - 3 y g(x) = 4 - x; es obvio que f y g son u n i v a l e n t e s ; luego, D f + g = D j . O D g = l R n i R = R y V x E R: (f + g)(x) = f ( x ) + g(x) = (x - 3) + (4 - x) = 1, es d e c i r , f + g

es una función constante sobre (R, l a c u a l , obviamente, no es univa

l e n t e .

•) Es evidente que s i tomamos, por ejemplo, f = I ( donde I es l a fun

ción i d e n t i d a d sobre P ) , entonces f = f * . S i n embargo, es mejor con

l i d e r a r una función l i n e a l f t a l que f = f * .

Sea £a,b|C!R, donde a * 0 y V x £ R . f ( x ) = ax + b. Luego,

• 10 -

r . f * = * (V x e R : fx • b = x-^-b-> i a • b(a • 1) * O = > ( a 2 - 1 = O A b(a + 11

i . A (b > O v a s -1)] ===>[(a = -1 A b •

• i i v (a 3 i A . b * 0)]J===>(a - -1 A b £ S) • r i «) 3 _ ix • b 3 b - x(V x £ R) v f(x) 3 - £ R). Por l o t a n t o , toda función l i n e a l f

• i da l a forma d e s c r i t a anteriormente; geomé* I que l a s gráficas de estas funciones son simé i i« r e c t a de ecuación y » x.

Y

una función de v a r i a b l e r e a l x, por l a " r e g l a d e l máximo

" * Í-XJ >s 0 *==* {[-*]! >, eo»° V x £ R : | - ( 2), entonces £-xJ 3 _ x *==» - » € t < >x 3 _ (_x) £ I ;

i',. « E y V x £ E : F(x) *\Jx + ¡£-xJ • x £xj = \/x + (-x)' • • \/o + x 2 = x 2 . Por l o t a n t o , V x e D r = E : - x £ 2 y ( - x ) 2 = x 2 = F ( x ) .

Lima, 5 de Junio de 1981

- 31

CUARTA PRACTICA CALIFICADA DE MATEMATICAS I (MA-113) CICLO 8 0-?

•IpTA: R e s o l v e r sólo 4 de l a s 5 preguntas propuestas. |.- Sea f l a función d e f i n i d a sobre IR - ( - 5 , - i } por l a r e g l a de c o r r e s

pendencia f ( x ) . x 2 ^ T T 7 - V [ x ¿ =5Jl = J L ^ ^ V | x 2 • 6x • 5 |

de l a función f en e l punto x 3 - i ?. Además, h a l l a r llm f ( x ) 0 x - - 5

«-»•-1 - lím x = ( l l m x2).(lím <s/x + 2 ) - V l L a | x • St - (-1) =

x - * - l x - * - l x — - 1 x-* - - l « ( -1) 2 . KfÜñ (x + 2)' -\Álíia (x + 5) I • 1 • " V - l • 2' -

x -^-1 x — - 1 - + 5' +1 = 1 - 2 * 1 = 0 y lím x/|(x • S H x • 1) | =

x - * - l 3-\/lím i ( x + S)(x + 1)1 =x/í(-l • S ) ( - l • 1) I « 0. Luego, lím f(x)

x — 1 1 ' V l x—-1 es de l a forma indeterminada jj- . Hagamos un cambio de variable: x - (-1) = h, x = h - 1; por l o t a n t o , lím f ( x ) = lím f ( h - 1); pero

x - ~ - l h — o

y / | ( h - 1) • 5||hf

= (h - 1>2 "v^h • 1 - \ / | h + t í - h • 1 .

V j h • *\ | h |

= ( h - 1 ) 2 * * - V l " » M| - h * 1 > Como queremos evaluar

v / i h T T F \/íhT lím f(h - 1 ) , es suficiente elegir h £<(-«»,O^U <0,o=>. Luego, pa h-»o r a h £ ' f'*»0 u ^ 0 » ° ° _ ^ . se cumple que:

- 32 -

f ( h - 1)

( h - 1 ) 2 -jVh+l -Vh+T -h + 1

'h • i»

( h - 1 ) 2 ^ h T i -\/hTk -h + i

'h • 4

a i -4 < h < O

s i O < h

• 1 - V h + 4 • l l N / 7 J

Como lím f ( h - 1) es de l a forma í ,hay que e l i m i n a r h. h—•> o _ _

Para -4 < h < 0, f ( h - 1) » ( n ? - 2 h + l > ^ 1 -Vh"f4 - h + 1 c

V h + 4 \/Ih" = ( " 2 - 2h) - j / h • 1 + -^/h • 1 - V h • 4 . h + 1 .

v/h • i> >yih = 1 |.h(h - 2) ^ / h + 1 _ ti

V h • 4 L v/IÍT vCiT \ / 7

» .* T ~ h ( 2 ~ h ) ^ h * 1 • v / T • ^ h T T - V h ^ + i ] V 5 T T T L V^T V " V^T J

= 7 r = = Í N A < 2 - h ) - V h • i * \ / I h • i / h • i - V h • * • íl

V h - r í L — 7 T J Pero, f a ^ t a todavía e l i m i n a r h d e l c o c i e n t e

-^/h + 1 -VhTü' + 1 , , , , para l o c u a l r e a l i z a m o s l o s s i g u i e n t e s a r -

V-h t i f i c i o s :

h * (,h * 1 \ • 1 " ( x ^ h • 1 ) 3 - 1 3 » c-yírTT - D [ xVíh • D 2

• " V h • 1 • l j .

( i )

'h • 1 - 1 s - i / t h • D 2 •"V'h * 1 • 1

'h + 1 = 1 + - (a) y A / ( h • D 2' • - > V h ~ r r • i

h = (h • 4) - 4 = (-x/h • ) 2 - 2 2 » N / h T 7 - 2 ) ( V h • ? • 2) - >Vh + 4 - 2 = r h • M « 2 • (b)

\A + f * 2 " y T T ? + 2

Reemplazando en ( 1 ) , y u t i l i z a n d o l a s expresiones dadas en (a) y (b ) , tenemos que

f ( h " ^ V h l ? [ V ^ ( 2 - h ) ^ / h • 1 • V^n' •

- 33 -

1 + -s/(h » l ) 2 ' * ~*l/h + 1 + 1

+ 1 - (2 • Vh. + 4 +

i 1 , I V ^ h (2 - h) - N 3 / h • l ' + \£h + V h + 4 L

(h • i ) 2 • V h + 1 + 1 • V h T T + 2 / V^T

• \ / h (2 - h) h • 1 +\/^h +\/^h ( 1

\/h + 4 L V V H • M +

) * 1 + 1 '

y lím f ( h - 1) h-»0~

a 1 f^f-ñ (2 - 0) "^/o • 1 •v'-OW^Ó ( /0 + 4 + 2

- V i o • i ) 2 • -s/o~T~T • i

(h 2-2h+l)^ 3yh+l -Vh+4 - h + 1

= 0.

Para 0 < h, f ( h - l ) = V h • 4' VhT

I ( h 2 - 2 h ) ^ / h • 1 * s / h * 1 - V h • 4 - h • 1 _ V h • L >/h~

t 1 I" h(h - 2)N 3/h » 1 _ +-*S/h • 1 - V h • t' • 1 1 B

V h • H I s/h VÍT V h " J

= 7===W f v h (h - 2) >3/hT7 - ViT + - V T T 7 , 1 1 . x/h + i» |_ v/h J

procediendo análogamente como para ^ h < 0, se comprueba que lím f ( h - 1) = 0. En d e f i n i t i v a , como l o s límites l a t e r a l e s de h-*0 son i g u a l e s , en e l punto x Q • - l ^ D ^ . , entonces e x i s t e lím f ( x ) = 0.

x - t - - l Por o t r o l a d o , como lím ( x 2 ~ ^ / x ~ * ~ 2 -\/¡x * 5j - x) =

x — - 5

= (-5) 2 V - 5 + 2* - V V 5 • 5¡ - (-S) = - 2 S - V 3 * 5 = 5(1 - S - s / I x

<0 y lím \ / \ x 2 + 6x + 5 f = lím \ / \ x • 51 jx • l | = 0, entonces x — -5

lím f ( x ) = - 0 0 M-»-5

x-»--S

- 3» -

a) Sea f l a función d e f i n i d a por l a r e g l a de correspondencia f (x) = | x + 1 | - 2, donde D f = {x£ R isjñ - j l - x 2 | Cx+6-x2) 4 3 l Encontrar todos l o s puntos de acumulación de D. y comprobar que e x i s t e un ünico "a" £ que no es punto de acumulación de Dj.. Luego, demostrar que: para cada £ > 0 e x i s t e <f > 0 t a l que | f ( x ) - f ( a ) | < £ s i x £ D f y |x - a j < ^ .

-, (2 puntos) 3 / ~ S

K-»oO v X + b) H a l l a r lím ( ^ / * » - x ) . (3 puntos)

SOLUCION: a) En primer l u g a r , hay que h a l l a r u t i l i z a n d o l a " r e g l a d e l máxi

mo dominio"; luego, x ^ D f x £ R A \/8 - J l - x 2 | . (x • 6 - x 2 ) ¿ 0 ( 1 ) . E l conjunto de v a l o r e s a dmisibles de l a desigualdad (1) está determinado por l a desigualdad 8 - |l - x2|]£, 0 4= * 8 ^ } x 2 -

- i | < = = > - 8 ^ x 2 - i ¿ ; e 4 5 > - 7 4 x 2 ^ (-74 x 2 A . x 2 ^ 9) (x € R A \x\ 4 3) o - 3 4 x 4 3 , es d e c i r , e l C.V.A. de (1)

es [-3,33 • Es obvio que x - * 3 son s o l u c i o n e s de ( 1 ) ; para x £ ^ - 3 , 3 ^ , se cumple que 8 -|l - x 2 | 0 y, por l o t a n t o : \/8 -|l - x 2|. (x • 6 - x 2 ) 4t 0 & x • B - x 2 £ 0 x 2 - x - 6^0 (x - 3 ) ( x • I ) ^ 0 4 b - 3 ^ x ^-2 .

. Por l o t a n t o ,

D f = £ - 3 , 3 ^ U £ -3,-23 3 L - 3 » - 2 ! U l 3 ^ * 1 x 3 8 P""* 0 3 d e acumulación de f - 3,-2] son todos l o s elementos de £ -3,-2^ , y 3 no es un punto de acumulación de D. porque e x i s t e un i n t e r v a l o a b i e r t o (por ejemp l o , <2,4> ) t a l que < 2 ,<*> fi ( ( f-3 u ( 3 } ) -¡3}) =

<2,"> n [-3,-2] = f!. Luego, e x i s t e un tínico a = 3 que no es

punto de acumulación de Df. Como D f f) (2,1*} = ^G" 3»" 2! u { 3} >

0 <2."«> 3 , entonces l a proposición (x € D f y |x - 3| < 1) es verdadera, porque U ¿ U f A U-3¡ < 1) C x € ( r_ 3, - f] U í 3>;

- 35 -

-1 < x-3 < 1) (x £ ( [-3,-2] U { 3 } ) A x £ <2,«> ) ) , x = 3. Por l o t a n t o , para cada £ > 0 e x i s t e í = 1 > 0 t a l que j f ( x ) - f ( 3 ) | = j f ( 3 ) - f ( 3 ) j =0 s i X £ ( [-3,-2] U ^ 3 J )

y |x - 3|< 1 . 3/x 5 - x 3

b) Hagamos e l cambio de v a r i a b l e x = 1/t. Luego, lía (\ • x) X - » \] x + 1

= lím ( x—» 0 0

x + 1 x—» -o

l i m x (\/ x2

x—> X - 1

i ) =

lím + ¿ ( t-*0

1 ,\3 1 - t 1 " * 1 + t d

j - 1 ) « l i a 1

1 + t t-*0

lím . t-»0

^ T 7 2 - \ 3 / T T ^

t v y r T ^ ( de l a forma indeterminada -¡r )

(1 - t 2 ) - A l * t 2 )

= lím t-*0

= lím

(1 • t 2 ) 2 ^ / ( i - 1 1 ? • ^ y r r ~ - t 2 m * t 2 J +

1 - 1 2 - 1-t 2 : 7 = = _

t \ 3 / T T 7 ( y » - 1 2 ) 2 * > y c i - t 2 ) d • t 2 ) + V3 / W 7 ;

^ _. 2t . .. — = " > ^ ( 7 T ? ) ( > 3 / i - 1 2 ) 2 +f/G - t 2 ) d • t 2 ) + N

3 / 7 I T 7 7 2 ) = o

3.- a) En l a f i g u r a , & es una c i r c u n f e r e n c i a u n i t a r i a cuyo c e n t r o es

e l o r i g e n de coordenadas, g*es l a r e c t a tangente

a £ en e l punto P y 0 < x 4 " l T/2.

H a l l a r lím gy . x-* y

(3 puntos)

- 36 -

b) H a l l a r lím f f ^ W • (2 puntos) x-~¥

SOLUCION:

a) De l a f i g u r a a d j u n t a se deduce que ra L EOP = x y, por l o t a n t o ,

m L OEP = j - x, dado que m L OPE = 1£ (s'es l a r e c t a tangente a ? 0 P O P 1 en e l punto P ) . Luego, sen x = ^ = 0 D + D £ « * e s d e c i r '

D E + 1 1 ien~x" ' D E = ieTrTT " 1 = 1 ¡ además, es evidente I

sen x sen x sen x

que OA = eos x. Por l o t a n t o , lím I r « lía 1 ~ 8 e n x = . OA -rr - senx.cosx

* - T x-c j eos X

• lím 1 ~ ; e " X = lím 1 ' s e n x Cde l a forma i n d e t e r

minada 0/0) . lím ^ x ^ T s e n x ) ^ ' " » c o s ^ l " ! sen x)

= lím eos x _ , cos x c ° 3 2 0 tt - cosx(l+senx) " _ - 1 + sera ~ TT I T T '

x - * T x - £ 1 + E e n 2

b) Haciendo e l cambio de v a r i a b l e x - = h, tenemos que 2 Tr

l í a s e n i 6 x ) _ senCSC-g- 4 h)) sen(4TT • 6h) ^ 3 x - 2 TT 1S« 0 3 (2TT ; h ) _ 2 7 T " £ 2 l r + 3h - 2 TT "

3 3

lím 2e£l(6h2 , 1 Í B 1 sejrUehl , ^ 1 sen(6h) . h - 0 *" h — 0 3 h h - 0 3 6 h

z lía 2 S E ? 5 6 H ) = 2 lím s e ? < 6 h ) = 2. h - 0 5 h h — 0 6 h

U t i l i z a r l a definición de límite para demostrar que: x 2 • 3x - 4

- - 4 • (5 puntos) * - * i \ A - Sx

SOLUCION:

U t i l i z a n d o e l cambio de v a r i a b l e X - 1 = h, tenemos que:

37 -

x' + 3x - 4 . (x + 4)(x - 1) (h + 1 + 4)h l i n — - l l m — r ~ - - lím Í-»>1 V 9 - Sx' - 2 x - * l V9 - Sx' - 2 h-»0 \/9 - 5 (h + l)'-2

l i m h(h • 5) * lím hCh • 5) -*0 V9 - Sh - s' - 2 h-fO V4 - Sh

Cde l a forma i n d e t e r

minada TT ) = lím h(h + S)(v/4 - 5h + 2) s lím h(h+S)( V4-5h • 2) 4-52-1-1*

h-*-0

3 (\A-Sh' - 2 ) ( \ A - 5 h ' + 2) h-»0 (h + S)( - Sh + 2 )

S l í m h(h • 5 ) ( V / ^ - Sh + 2) „ l i n \ Sh h-»0

evidente que 4 - Sh > 0 y h i 0, es d e c i r , h e ( -°o,o} U<(o,|J .

Por l o t a n t o , debemos demostrar l o s i g u i e n t e : (h • 5)(\/4 - 5h • 2) _ l i m

h-*0 4. Sea g(h) (h + S)(VÜ Sh + 2)

20 - (h+5)( V 4-Sh • 2)

Lo primero que debemos hacer es expresar |g(h) - (-4)| en términos de

] h | y una "función de h". Luego,

|g(h> - c-«o 1 » | - ( ^ S X N / T T - S ? ^ + „ j . |

( 1 ) ; pero -Sh = (4 - Sh) - 4 = ( V 4 - 5h' ) 2 - 2 2 = (V4-5h - 2)(vC~Sh* +

+ 2); 5h - 2 = - Sh \/4 - 5h • 2

Sh = 2 - Sh V<* - sb'+ 2

=> V4 5h + 2 Sh V*4 - Sh + 2

( 2 ) ; u t i l i z a n d o (2) y s u s t i t u y e n

do en ( 1 ) , tenemos que | g(h) + 4¡ = {(20 - (h + S)(4 - SJ\ ^ ?j/:

20 - h(4 - Sh A - Sh' + 2

2 5h 5 " 2 0 + J V - ShW 2

h ( 25 N/5 - Sh + 2

5 - 4 + Sh

\/4 - Sh + 2

« h

« h

S 1 • " 5 - Sh • 2 V/4 - 5h' • 2

5 + h - r I (3) "> u t i l i z a n d o l a d e s i g u a l d a d t r i a n g u l a r + 2 5 1

tenemos que V4 - Sh + 2

5 + h

• - t

- Sh' • 2 5 + h

\Jn - Sh + 2

+ - ; además, j- < 1 •

\/4 - 5h* + 2 . 15 > h I |\/4 - Sh + 2 1

Í5 • h l

5 + h V*4 - Sh + 2

5 + h I + Ü = -

l./C" ? x •> I 5 - Sh' + 2

>/4 - Sh' + 2 + 4 ¿ I S * h I

5 v/4 - Sh + 1

+ 2

/n - Sh' > 0 = > v/4 - Sh + 2 X 2 > 0 = > , 1 , ^ ' V u - 5h +

¿ 4 <• i =í>

- 36

SOLUC

a) D« m ej

DI

q*

b) Hac

l i n x

l i n h-»

= U h

t .- Ut

1£ x-

SOLUCI U t i l i z i

39 -

^ 5 * ,h — 4 J 5 + h | 4 s + | h | / ^ 5 »h + 1 4 1 + S + i h l Luago, l a s p o s i b l e s asíntotas v e r t i c a l e s delà gráfica de f - 5h + 2 V4 - Sh + 2 V u - Sh' • 2 ' ' " ' ' " \A h | + 6, es d e c i r , hemos demostrado que S + h

V>* - Sh' + 2 5

luego, (h £ D g A 0 < |h| <d* 1) ==> 6 < | h | + 6 < 6 + 0f

1 =

5 * " Í < | h | + 6 < 6 • oT, * H, o sea, para cada £ > 0 pode \A - Sh' • 2 5 I

mos escoger <f > 0, donde </ = mínimo { c / j , 6 \ ^ J > 0 y cfj e s c u a l - •

¿.jh|+ 6- ' " *'l , l r 1 n a correspondientes a l o s puntos -3,-2,2,3. A continuación, . i i i i mis l o s cálculos s i g u i e n t e s :

Lía f ( x ) = lím fCh - 3) = lía f - ( h - 3) • 1 H-#-3~ h-»0" h — 0 " L

2(h - 3)-

qu i e r número r e a l p o s i t i v o ; por ejemplo, s i tomamos c f j = 2 i entonces

V £ > 0 3 <f* mínimo { 1 , j > 0 t a l que:

( h £ D g A 0 < | h | < c f > ==> |g(h) f < ?5 •

5.- Sea f l a función de v a r i a b l e r e a l x, donde 2x 3

f ( x ) * - X + 1 •

h(h - 3

2(h -

3)(h - 3 + 2)(h - 3 - 2) ,3

r = lím _ [«• - h h — 0

3 > ~\ - I (tomamos x + 3 * 0, o sea, h í 0)

(h - l X h - S) -1

\Jx* - 13x 2 • 36

Encontrar l a s asíntotas y esbozar l a gráfica de f .

SOLUCION:

V h ( h - 6 ) ( h • -oo r » x » - 3 es una asíntota v e r t i c a l por l a i z q u i e r d a .

) lím A f ( x ) » lía . f ( h - 2) = lía f - ( h - 2) • 1 • i-*-0 h — 0 L

3 x — - 2 h-

2(h - 2)*

Es fácil observar que f ( x ) = - x • 1 • 2x

2x J

x • 1 • 2x 3

(5 puntos)

- x + 1 •

lía h

h • \J(.h - 2 • 3)(h - 2 - 3)h(h - 2 - 2)'

>3 "I (tosíamos -2 < x < 2, o sea, 0 < x+2

2(h - 2)'

13x • 36 \/h(h + l ) ( h - S)(h - 4)

• h <1 4) * -oo' x = - 2 es una asíntota v e r t i c a l por l a derecha.

V ( x + 3)( x - 3 ) ( x + 2)(x-2)

Por l a " r e g l a d e l máximo dominio", x £ D , « = > (x + 3)(x + 2)(x-2)(x-3) V U 2 - 9 ) ( x 2 - 4)

> 0. U t i l i z a n d o l a " r e g l a de l o s s i g n o s " , es fácil r e s o l v e r esta de

sig u a l d a d :

- 3 - 2 i 3

Luego, x £ D f<=* x G <v"°°.-3> « <v 2 > 2 ^ 0 ( 3 , ° ° D ' e s d e c i r ,

D f -3 > U <(-2 , 2 y U <3 ,CX3) .

Asíntotas v e r t i c a l e s

Los únicos puntos de acumulación d e l dominio de f que no pertenecen

a éste son: -3, -2,2,3. No exÍ3te ningún punto de acumulación del do-

) lím f ( x ) « lím f ( h • x — 2" h — 0 ~

2(h • 2 ) 3

v/(h • 2 • 3 ) ( h • 2 - 3)(h

# 2(h • 2 ) 3 1

Vh( h • S)(h - l ) ( h + 4)' J

2) = lía ["- (h • 2) • 1 • h-*0" L

1 • lía r • 2 • 2>h J h ~ ° ~ L

1 - h +

(tomamos -2 < x < 2, o sea,

- 4 < . x - 2 = h < 0 ) =°° ==> x - 2 es una asíntota v e r t i c a l por l a

i z q u i e r d a .

• 1 • O lím f ( x ) = lía x — 3 h — 0

2(h • 3)

. f ( h • 3) = lía f - (h • 3) h-*0 L

= lím | - h - 2 + J h-*0 L \/(h • 3 + 3)h(h • 3 + 2)(h + 3 - 2 )

2(h + 3 ) 3

minio de f , que pertenezca a éste y en e l cua l haya una asíntota ver- y/hCh + 6)(h + 5)(h • ÍT (tomamos 3 < x, o sea, 0 í x-3 =h)

- 40 -

X r 3 LLUtotas

asíntota v - I I 2 _ y ^ r t i c a i e s

Para x £ D f , £ ¿ 0 = -

e r t i c a l por a 3 derecha. , l„. I »11 1 +

41 -

2 t 2 ( 1 3 - 3 S t 2 ) ORLOS E. PO370CARRER0 MENDEZ

t V i - 1 3 t 2 + 3 6t*' (1 + V l - 7 4 13t^ + 3St )

1 • 2t(13 - 36t )

V i - 13t' li 3 6t ) (1 + V Í - 1 3 t 2 •

| 1 ii = 1. Por l o t a n t o , y = a x + b = l x + l = x • 1 es una asíntota •u* de l a gráfica de f .

QUINTA PRACTICA CALIFICADA DE MATEMATICAS I (HA - 113)

iTA: Hs o b l i g a t o r i a l a resolución de l a s preguntas 1,2, y 3. Resolver sólo una de l a s dos ultim a s preguntas (4 ó 5 ) . ea f l a función d e f i n i d a por l a r e g l a de c o r r e s p o n d e n c i a :

f (x) = 'i TT -x 2

s i x • 9x s i -3 < x < 0

" - x-11 • 2 J x • |xj] s i 0 -C x ¿ 2 . Comprobar que f es acotada sobre D .. Luego, h a l l a r e l ínfimo y e l supremo de f sobre D ., y l e s puntos donde f t i e n e d i s c o n t i n u i _ dades removible y/o e s e n c i a l . ¿En qué puntos de su dominio, f es

continua?. OI.UCION:

(5 puntos)

2 9) « i ii primer l u g a r , es evidente que x = Sx< » x - 9x = 0, x ( x • 0, x(x + 3)(x - 3) = 0<==>(x = - 3 v x = 0 v x = 3 ) C = > i £ {-3,0, , 3 j > f ( x ) , Para responder a l a s preguntas f o r m u l a d a s , es mej o r e l i m i n a r l a barra y l o s c o r c h e t e s , de t a l modo que l a r e g l a de co rrespondencia de l a función f , sobre su dominio, sea l a r e g l a de correspondencia de alguna función e s p e c i a l (o de algunas f u n c i o n e s espe cíales). Según e l comentario a n t e r i o r , hay que e l i m i n a r l a b a r r a y los core ees de f (x) , donde x £ \0,2 J . Como 1 C <(o,2j, podemos r l i m i n a r l a barra de l a s i g u i e n t e forma:

1 - x s i 0 ( x í 1 |..,|.

X - 1 s i 1 < x 4 2

M2 -

-.01, a)

Luego, para x £ <^0,2j :

p - f . - ^ j . f f J ) . , . . H , . W . „ , ; { , J íl.XJ/ s i 0 < x < l * f ( x ) r

| x 2 - J[x-1*2¡ x+ [[xjj = x 2 - £l+x] x+M= x 2 - ( l + fx})x* [x|«i 14 A continuación, para e l i m i n a r l o a corchetes, observamos que:

¡H -0

>[-x| = - 1

X X 2

- 43 -

ira x £ ^0,1} , sea y = f (x) = (x - l ) 2 - 1. Luego, y - (x - 1) 2-

• l*B»y + 1 * (x - l ) 2 * = > ( y • 1) 0 A J x - l j i V/y + l" ) < >

| -1 A 1 - x r V y T T ) <=> (y -1 A x = 1 - Vy • i) < i-(y V -1 A O < 1 -yjTTT < 1) «=> (y -1 A O <. \Jy * 1 ¿. 1) < O <. \/y • 1 <. 1 c=> O < y • 1 < 1 <=> -1 < y < O « = > y £ (-1»0,)

a) O < x < 1; A -1 < x < O f ( x ) = x :

x 2 o 2 ~ 2x = x - 2x • 1 - a , ( x

= 1 I f(x) -- x2

1 ) ¿ - 1. (1 • D x • 1 - x 2 - 2 x , , .

f ( x ) =

TT -x

(x-1)2 - i (x-1)2

o

- (3 - l )x + O

b) 1 4 x < 2 = > j j x ] = (x - l ) 2 .

c) f(2) = 22 - (1 + [íl ).2 • j[2j = 4 - (1 + 2).2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0. Después de l a s e l i m i n a c i o n e s a n t e r i o r e s , podemos e s c r i b i r que:

s i x £{-3,0,3J s i -3 <. x < 0 s i 0 < x < 1 s i 1 4 x < 2 s i x - 2 . Enseguida hallamos e l rango de f .

Cálculo d e l rango de f

Como D f = [-3,0,3]- U <<-3,o) U ( o , l ) U [ l , 2> U {2}, entonces hay que h a l l a r e l rango de f correspondiente a cada uno de l o s c i n c o subconji tos d i s j u n t o s cuya unión es e l dominio de f .

i ) Rango de f cor r e s p o n d i e n t e a {-3,0,3} ,

Para x E { - 3 , 0 , 3 | , es evidente que e l rango de f es^TT^.

i i ) Ran^o de f co r r e s p o n d i e n t e a {-3,0)

Para x £ (-3,0 > , es ev i d e n t e que e l rango de f e3 ( o , 3 ^ , porque

-3 < x < 0 <=> 3 > -x > 0 ==> f (x) = -x £ (,0,3} . i i i ) Ranpo de f correspondiente a {,0,0

)un

o <. V y • 1 <• u - ' ' - / v «- / n i\ el rango de f es V l » V ,,„. 10 t a n t o , para x £ <0,1> . r a n g

P a r a ^ T ^ T - ^ 7 7 " - " " " " " Para x £ , ¡> <» j

<y > 0 A |x - 1 | = \/y* <=> (y 0 A X - 1 = \/y) « = » (y > 0 A x

»Vy)«==> Cy 0 A 1 ^ 1 • vy" < 2)«5====>(y , 0 A 0 4 x / 7 < 1) C= 0 ¿ y^y"< 1 « > 0 4- y <. 1 < > y E [ o , l ^ . Por l o t a n t o , para x 6 [ l . 2 ^ , e l rango de f es • Rango de f correspondiente a (2} Para x £ { 2 } ' e l r a n S ° de f es { o j . . En reacuñen, R f ={n}v ( o , l } U ^-1.0> U <-1,O) U [O,1> U [ o } =

.<-l,3>ü{TT}

—om

L_ -i

.F ( e j e Y)

Es evide n t e comprobar que R j es un conjunto acotado, es d e c i r , f es acotada sobre D^; además, Infimo de f sobre = ínf( ^ - 1 , 3 ^ U

{TT}) = - 1 y supremo de f sobre D f = sup( (-1,3^ U [ir}) = TT • Para a n a l i z a r l a c o n t i n u i d a d de f , es fácil observar que l o s p o s i b l e s puntos de d i s c o n t i n u i d a d son -3,0,1,2; también hay que o b s e r v a r que como 3 es un punto de acumulación de y 3 £ D ., entonces f es continua en 3. Por c o n s i g u i e n t e , r e a l i z a m o s l o s s i g u i e n t e s cálculos:

i ) lím + f ( x ) = l l m + (-x) * - (-3) • 3 / Tí = f ( _ 3 ) f e S d i s c o n x-»-; x—» - 3 ti.nu.v por l a derecha -3 ( d i s c o n t i n u i d a d removible d e f i n i d a ) l ) 2 -

i i ? ( l i a . x — 0 f ( x ) - lí»

.2 . (0 - 1:

( . x ) . - 0 • 0 A lím c + H x ) = ,,«,1.. e- C A lím f(x) • 0 * H

0 1==í»(f t i e n e i i 3 — = e - x _ 0

- ti) _

* 7 X = f(0))i f¿nida).

f e s d i s c o n t i n u a en a fA • ' ^ c o n t i n u i d a d r e i n o v i b l e d |

f es dis

i i i ) (lía f ( x ) = lía (( x - l ) 2 - 1) = (1 - l ) 2 - 1 = -1 A lía f ( x l X — 1 " x - ~ l ~ x->-l

2 2 . - lía + ( x - 1) = ( 1 - 1 ) = 0) >f no t i e n e l i m i t e en x — 1 d i s c o n t i n u a en 1 ( d i s c o n t i n u i d a d e s e n c i a l d e f i n i d a ) .

i v ) l i r a f ( x ) = lía (x - l ) 2 = (2 - l ) 2 = 1 i 0 = f ( 2 ) ==i x-«-2~ x — 2 ~

con t i n u a por l a i z q u i e r d a en 2 ( d i s c o n t i n u i d a d removible d e f i n i d a ) . De l o hecho anteriormente, se deduce que f es conti n u a sobre -3,0 U <0,1> U <0,2> U {3} .

Finalmente, para i l u s t r a r todo e l análisis r e a l i z a d o , dibujamos l a grá f i c a de f :

Y

, f U I , C i 5 n d e f i " ^ Por i a „ * f « * sup { t 2 - 2 W , ^ — « P - d e n c i a :

s i x = 2 f(x) ï

bx 9 + ÍX-712

sen( S i !<«,<3 «aliar 1 0 3 v a l o r e s r ^ i ores r e a l e s de " a« y n b„ .

' 3 1 f 6 3 c o " t i n u a sobre (0,3]

(5 puntos)

mu ii' i'iHi • .1 <¡o comenzar a analizar l a continuidad de f sobre v(,0,3 , es pre

t - 2tx - 2x / -x < t < 2x |^ 1.. x € ¿0,2> . Luego, como t l - 2tx - 2x2 « t 2 - 2tx • x 2 - x 2 -1 2 2

• (t - x) - 3x , entonces realizamos e l siguiente análisis, e l • 1 •• válido para x £ ^0,2} :

/ « (t - x ) 2 - 3x 2, donde -x C X < 2x. Luego, y « (t - x ) 2 - 3x 2

* • y • 3x 2 « (t - x) 2«r—» (y • 3x 2 0 A Vy • 3x 2 « 11 - x| ) <• > 1 -3x2 A t- " x 1 v y • 3x 2 )«=> (y - 3 x 2 A -x < x ± Vy"*"3x 2 <

<«)«=» (y > - 3 x 2 A -2x < t y/y + 3x 2 < x) <=» [y -3x 2 A (- 2x < -

\ / y • 3x r ¿ x v -2x < Vy • 3x2<. x )] <=> (y -3x 2 A -2x<.-

V Í T T 7 < ) v (y -3x2 A -2x <. V y T l x T < x) (2)] . A contili'"! ion, resolveaos (1) y (2):

K»solucÍ6n de (1)

U desigualdad -2x < -\/y * 3x 2 < x se resuelve así: -2x ¿ -\Jy • 3x2<

4 x<=> 2x > s /y • 3x 2 > -x <=> (2x> • 3x 2 > -x)

• (<*x2. > y • 3x 2 A y > -3x 2(-2 < x <. 0 1) « = > x 2 > y -3x 2 . Por 2 2 2 2 lo tanto, (1) es equivalente a (y ^ -3x A x > y . -3x )•••>•-3x ^

v < y2<=«=> y c [-3x 2,x 2> Hesolucién de (2) -La desigualdad -2x < \/y • 3x 2 < x se resuelve así :

-2xC\/y • 3x 2 C x (-2x < \/Ç • 3 X 2 A , Vy • 3x 2 < x) ««o (y ¿ -3x 2

(-«» < -2x <"0) A y • 3 x 2 ¿ x 2 > « = * ( y ^ - 3 X 2 A . y <. - 2 x 2 ) « = * - 3 x 2 ^

4 y < -2x 2<=> y £ £-3x 2, - 2 x 2 ^ . Por l o tanto, (2) es equivalente a

( y ^ . - 3 x 2 A - 3 x 2 ^ y < - 2 x 2 ) e — » - 3 x 2 < y < -2x 2«==».y£ [ - 3 x 2 , - 2 x 2 \ 2 2 r 2 2\ Hemos demostrado que: y « (t - x) - 3x c » (y £ |_-3x » x / v

y £ [-3x 2,-2x 2) ) e = » y £ ( [ - 3 x 2 , x 2 ^ U [ - 3 x 2 , - 2 x 2 ) ) « [ - 3 x 2 , x 2 ) , es

decir, \-r - 2tx - 2 x 2 / -x < t <. 2 x | * { (t - x ) 2 - 3 x 2 / -x < t < 2x ]

« [ - 3 x 2 , x 2 ^ . Luego, sup | t 2 - 2tx - 2 x 2 / - x C t < 2 x j = x 2 . En de

f i n i t i v a :

f ( x ) =

ax + b + x ' a + b

- *S -

s i O < x < 2

SÍ X r 2 •» « /

bx - 9 + (x-2)2sen(^¿y) s i 2 ¿ x 4 3 .

Como f es c o n t i n u a sobre ^0,3j, entonces f es c o n t i n u a en x * 2, y co

mo 2 es un punto de acumulación de \(p,3j, entonces e x i s t e e l

límite de f en 2, es d e c i r , lím f ( x ) £ R y, por c o n s i g u i e n t e , existen x — 2

límites l a t e r a l e s de f en 2 t a l e s que lím f ( x ) = lím f ( x ) -x — 2 " x — 2 = lím f ( x ) = f ( 2 ) , o sea: x — 2

lím (ax + b • x 2 ) = lím (bx - 9 + (x - 2 ) 2 s e n ( — -x — 2 " x-»2

47 -

n d e ( a 2 n / n £ 2Z+}

. Luego, a 2 n

K n • 1) .

3(2n) • 4 ( - l ) 2 n + 2 ( 2 n ) 2n • ( - l ) * " " * 1

6n • 4 - 2n 2n • 1 • 1

Í T R - m ' 2" e s d e c i r ' { a2n / " " I ' ( 2 / » " , } : { 2 }

i ion de { a 2 n - l / **}

r>) a + b, x - 2 ) ' s e n ( — -x-*-2 x "

2a + b + 4 = lím .(b(2 + h) - 9 + h 2 s e n ( i ) ) = a • b,

2 a + b + u = 2 b - 9 + lím h 2 s e n ( i ) ' a + b; es obvio que V 0 < h t i : h — 0 n

0 ^ I h2sen<¿-) j < h 2 y, por l o t a n t o , lím 0 = lím h 2 = 0 = 1 h — 0 h — 0

lím . h sen(J-) = 0 = > lím . h 2 sen(c) ' 0 = » 2a + b + 4 = + 0 = a + b, 2a «• b + 4 = 7* " 2b - g J 2b - 9 - " - 2b - 9 a f

b> — • (2a • J 3 „ b 2b - 9 A

" • ' • • - « A b . . , , 9 ) = = * ^ a + 1 3 r a + 3 A

3 .. s e a A = / i l l _ L J i ^ L J - i ; n + 2

t a d o v h , , , / 1 y • demostrar que A está h a l l a r í n f ( A ) + s u p ( A ) _ * esta aco-

puntos)

tad° Y h a l l a r í n f , A , . " X ' A ; + S U D Í A I

SOLUCION; ^ _ éV

ÍL_í_Jf-(-l) n +2 P a - c a d a n £ ^ ( s e a £ ,

^ q U e A - 3 t á a c o t a d o ^ n + C - l ) n • j

5 1 n es impar ó

C ° m o ^eremos demos-

[_ 1 s i n es par, entonces es mejor expresar A de l a s i g u i e n t e forma:

A ' { al ' a 2 , a 3 ' a4 ' • • • } = { al , a 3 ' } U { a 2 ' a 4 ' } > es d e c i r , A = { a 2 n / n e 2 * } u { a 2 n . a / n £ Z + } . A continuación, expresamos a ? n y a 2 n en términos de n.

R C 2 - Luego, « 2 n-l

I., 1 • 4 • 2n - 1 .

3(2n - 1) • * - { - D 7 n ~ 1 * 2 l 2 n - 1) . 2n - 1 • ( - l ) 2 1 * " 1 • 1

8n 1» • •»(1 • ín - l ). Además , ' 2n - i 2n - 1 " ' 2n - 1 | i > n ^ 1—«4.2n £ 2 — * 2 n - 1 1> 0

1 • ¿• < 2 — • 4 < 4(1 • g n * ^ ) 4 8; es evidente que para n =

• • i t 1 1 nitiva, como A * {2 } U { ' j n ~ — j / n £ } . entonces A está acó . 1 111 f erioraente por 2 y A está acotado superiormente por'8; además,

• 11 «ate caso, 2 » mínimo (A) € A y 8 = « T Í » » (A ) £ A . Por lo tanto, • ••«••i A i p", y existen el mínimo y e l máximo de A , entonces existen |Bf(A) y Sup ( A ) , donde ínf(A) « mín ( A ) = 2 y sup(A> » mix (A) = 8.

mímente, ínf(A) • sup(A) = 2 * 6 « 10.

«) Sin u t i l i z a r extracción de raíces, hallar un numero racional en trev/To y V l T . (1 punto)

b) Sea f una función real continua sobre [ a , b j , donde a < b, t a l 2

que f(a).f(b) < 0. Demostrar que l a ecuación (a-x) (x-b)f(x) * • 0 tiene, por lo menos, 3 raíces reales diferentes en [a,bj.

(3 puntos) c) Mostrar, mediante un contraejemplo, que l a siguiente afirmación

es f a l s a : Si c £ ÍR es una cota superior de A(A i f y A £ IO , entonces 2c

es, también, una cota superior de A. (2 puntos) SOLUCIOii: a) Es obvio que: 0 < 10 i. 11 < > 0 < VIO <. v T i . Dado que\/10 ¿-

entonces existe un número racional r ( r £ Q) t a l que 0 CN/ÍO C r C

- SO -

x * h * * h r d ' * - ( a n ) - H - r h

h + ( a - 9 ) ( x + h 1 - x - 5-h-> h . ( a - 9 » x r b - - ¿ r > h " h h •

- 1 + f a - 9 u 1 _ J L _ > - 1 + fa-9.,x - l - x - h + l % .

" 1 v h M ( x + h - l ) ( x - I V ' 1 " (x + h - l ) ( x - 1) " _ , . . 9 - a „ f ( x + h) - f ( x ) _ " 1 + (x + h - l ) ( x - l J h

^ M x . h V a W x - » ] ' ^ — 9 - '

" ^ f x ^ l V

Además, como f'C2 - a) = 7/4, entonces 1 + 9 ~ a ,= 7/4, 9 ~ % (2 - a - 1) ( l - a ) ¿

=(7/4) - í « | > 0 (a -í 9 ) , 4(9 - a) = 3(1 - a ) 2 36 - 4a = 3(1 - 2a

+ fl2) \ 3 - 6 a * 3 a ' ' 3 a ' " 2a - 33 = 0, a = 2 * > j j / ( 3 > < ~ 3 3 > " 2 1 V 4 + 3 96 2 íV'400

2TT5 2TT5 =

(x + o - íJTx~^i)

2 + 20 ~ 2 T T T ~

? » 20 . 2 2 11 ^ 3 T " - 2TT) r — < 9

2 ~ 20 - 18 ^ n r ~ - - j n j 1 - 3 < 9 .

Como a £ 2, entonces a = -3 ( l a raíz a = 11/3 se de s c a r t a porque 11/3 ¿ Z ) . ~ 2 Luego, f ( x ) = x " 3 x — (x i 1) y f ' ( x ) = 1 + — ^ .

2 (x - l ) 2

Como l£m f ( x ) = lía _ - — " 3 l ~ 1 0 = c o y lía . f ( x ) = X — l " X-í-f X - 1 x — 1

2 x - 3x - 10

= l i m + -. = - o d , entonces x = 1 es una asíntota v e r t i c a l x — 1 x - J.

de l a gráfica de f (en r e a l i d a d , es l a tínica asíntota v e r t i c a l ) . Dado

que 5 c o r t a a una de l a s asíntotas de l a gráfica de f en e l punto cu

ya a b s c i s a es 5, es o b v i o que dic h a asíntota es no v e r t i c a l . Para ha

l l a r l a asíntota v e r t i c a l , calculamos su pendiente y, luego ( s i es que

ésta e x i s t e ) calculamos l a ordenada de su intersección con i l e j e Y.

- 51 -

,, f ( x ) ( x 2 - 3x - 10)/(x - 1) _ p ,,, . 1 (m = l i m =

lx - 10 .< 1 - (3/x) - (10/x 2) . , „ •fx - 1) Z l l a , 1 - (1/x) 1 y

i " " ' - 3 x - 1 0 - l x ) = lía <*' - 3x - 10 . x ) , x ~ 1 x - ^ - o x " 1

3x - 10 - x(x - 1) _ l í r a x 2 - 3x - 10 - x 2 + x _ x " 1 " x ^ o . * " 1

' 2 x ~ . 1 0 = - 2, es d e c i r , y = r a x + b = l x - 2 = x - 2 e s l a _ X - 1

. iníntota no v e r t i c a l ( o b l i c u a ) de l a gráfica de f . E l punto de luí o t a v e r t i c a l cuya a b s c i s a es 5, t i e n e ordenada y = S - 2 = 3.

• •onsiguiente, (5,3) €. ?T ; además, como P = ( x c , f ( x Q ) ) £ , en-•I P Q - (5,3) = ( x Q , f ( x o ) ) - (5,3) = ( x o - S , f ( x Q ) - 3 ) es p a r a l e l o a l

l a r ( l , f ' ( x o ) ) , es d e c i r , ( 1 , f • ( x o ) ) . ( x Q - 5 , f ( x Q ) - 3 ) A = 0 . (x ) ) . ( 3 - f ( x ), x - 5) s 0, 3 - f ( x ) • ( x n - S ) f * ( x > = 0,

O O O O O - O 2 h + <x„ - s > 1 • — = °« 3 - - h — \ — *

1 2 ( x - 5 ) - ( x ^ - 3 x o - 1 0 ) ( x Q ^ 12(x_ - 5) _ . O 5 + = 0, x - 2 • = j -(x - 1 ) Z 0 ( X - 1) o o

0, (x -2 ) ( x - l ) 2 • 12(x -S) - (x 3 - x 2 - 3 x 2 + 3 x -10x *10) = 0, O O O O O O O O

- 2 ) ( x 2 - 2 x +1) • 12x„ - 60 - x 3 • 4 x 2 • 7x - 10 = 0, x 3 - 2 x 2 • x O O O O O O 0 0 0

o o O O O o O ¿ H

, K . . . 3 2 - 3(3) - 10 . 9 - 9 - 1 0 . , . i = > f ( x o ) = f (3) = 2 = - S -====>

tn » ( 3 , - 5 ) . La gráfica de f es l a s i g u i e n t e :

de J u l i o de 1981

" 79 -

CI'RA FRACTICA CALIFICADA DE MATEMATICAS I (MA-113)

todas l a s preguntas.

«• l a s fun c i o n e s :

• { ( x , x 2 ) / N / X ( X - 1) , 0 1 y

| (x, V 3 - * ) / -1 < x 4 3 } > h a l l a r , s i es que e x i s t e , fog* (4 puntos)

• 1 • - a v e r i g u a r s i e x i s t e l a función f o g * , es p r e c i s o a v e r i g u a r s i

^^^H| l a función g*.

. y • g(x) =^3 - x, donde x £ D = V " 1 ' 3 ] • Luego, y £ R g í = = ^ ( v >,c

/S y 7 = 3 - x) «=r>(y ^ 0 A X = 3 - y 2 ) ; 3 - y 2 = x £ < - l , 3 ] c

I < 3 - y* ¿ 3 0 4 . 7 < t 0 4 |y| < 2; es d e c i r , y £ R < > 0 4 y C 2; por l o t a n t o : R = [ ° > 2 ) • D e l i

•tusción x = 3 - y se observa que para cada y £ R e x i s t e un único

^-1,3^, es d e c i r , g es una función u n i v a l e n t e y per l o tan

to, e x i s t e g*. Por l o t a n t o , V y £ D g 4 = R g = [ ° ' 2 ) : g i ( v ) - 3 - y 2

E l evidente que x £ D f « = > V*" (x - 1) 0 <=í> (x = 0 ó x } 1) <; :>

i . {Oj U [l>°°)> . es d e c i r , D f = [ o j U [ l , 0 0 ) .

= > (x 6 D g i A . g*(x) € D f) <==> (x £ [o,2)>A(3 - x 2 ) Luego , x £ Df

€ D f); pero, 3 - x £ D f (3 - x 2 = 0 ó 1 X 3 - x 2 ) (x 3

^ 2)«=> (|x| =\ZI ó |x| ¿\/7 ); es d e c i r , x € D. *

(0 4 X < 2 (|x| :\/~3 ó | x|^V2))<==> (x = VT ó 0 í x ^ ) x £ [ O . N / I J U [V 3"]- ; por lo tanto:

Como D f o g* = [ 0 . V 2 J U {V3}* fog* existe y (fog*)(x) =

f ( g * ( x ) ) = f ( 3 - x 2 ) = (3 - x 2 ) 2 = ( x 2 - 3 ) 2 .

:.- Sea f l a función d e f i n i d a por l a . r e g l a de c o r r e s p o n d e n c i a :

12x + 27 s i x ¿ -11 f ( x ) =

x + 6x + 6 s i x > 0

Demostrar que f es u n i v a l e n t e ( i n v e c t i v a ) y h a l l a r f * . (4 puntos)

SOLUCION :

Completando e l cuadrado, es evidente que x 2 i 1 2 x f 2 7 , < ¿ , ,

Y x • 6x • 6 * (x • 3 ) 2 . 3. Luego:

f (x) * - V(X • 6 ) 2 - 9

,2

s i x ¿ - l i

(x • 3 ) ' - 3 s i x > 0

Para demostrar que f es u n i v a l e n t e , hay que demostrar que l o es sobn

l o s i n t e r v a l o s <^-eo,-llJ y (o,«»<^, y que l o s rangos (correspondien

t e s a cada uno de estos i n t e r v a l o s ) son d i s j u n t o s .

Caso li x £ <^-«0,-llJ

Sea y - f(x> • 4 -\/(x • 6 ) 2 9 . Luego:

<y - »> 2 « (x • 6 ) 2

• nU'iiéT¿-i.: - V ( x ; s ) 2 . ; 9)

• (y - 4 4 o A

r o (x • 6 ) 2 r ( y . „)2 + 9

( y ¿ " * (X ^ S ) 2 ; r (y - 4) 2 V 9 ) ; p e . <y -.'»)'

* * 6 ^ ~ 5 < °» entonces - ( x • 6) , >/ty*2 9 y como x ^ - u

(6 + \A. * 9 ,

y i y - 4 ) 2 • 9 y, s

1; o sea, y = 4 - v/(x • 6>* - 9 .

4 - y 4 e=> y 4 0 « = > y £ ,oJ .

Hemos demostrado que f es u n i v a l e n t e sobre ^ - * o , - i l J porque ¥ y £ 0

3- x £ -11 t a l que f ( x ) « 4 -\ / ( x • 6 ) 2 - 9 = y, o sea, x * f * ( y )

- S5 -

' . U 2,=«=^ , es d e c i r , f es c r e c i e n t e sobre £"-2,uJ U ^2,co^

e l e m e n t a l , es evidente que f ' ( x ) < 0 => x £ ^_-oo,-2^U

, va d e c i r , f es d e c r e c i e n t e sobre ^-00,-2^ U £ u,2j .

< • i i t e r i o de l a primera d e r i v a d a , es ev i d e n t e que:

I ) * l/(-2)2 ( ( - 2 ) 2 - 16) = 's/T (4 - 16) = - 12 -?N/r4 es un va

. mínimo r e l a t i v o , porque f ' ( x ) ¿-0 p a r a x £ ^-«»,-2^ y f ' ( x )

• D |»»ra x £ (-2,0^ . 3 / 2 2

M U ) z-vyo (O - 16) = O es un v a l o r máximo r e l a t i v o , porque

f>(K) > O para -2 < x < O y f ' ( x ) < O para O < x < 2.

• f(2) = • 3V / 2 T ( 2 2 - 16) = - 12-V*"

es un v a l o r mínimo r e l a t i v o ,

|wrque f ' ( x ) < O para x £ < 0 , 2 < > y f ' ( x ) > O par a x £ <2,oo) .

« h a l l a r l o s i n t e r v a l o s a b i e r t o s sobre l o s c u a l e s l a gráfica de f

• encava h a c i a a r r i b a o cóncava h a c i a a b a j o , es s u f i c i e n t e r e s o l v e r

- i . i i g u a l d a d f ( x ) > O 6 f " ( x ) 4 0. Luego,, f * ( x ) = | j f ' ( x ) = i . 8 x 2 - 4 . 8 2 x . x 1 / 3 - ( l / 3 ) x - ( 2 / 3 ) ( x 2 - 4) .

' .1« 3" x l / 3 J 4/3 X 2 - 4

I " I ? 7 3 " • . 8 6x' -

( x 1 / 3 ) 2

• 8 fi*2 - ¿ 1 * ».

2 . e » - ( o ) >; oo«o x i o = > | * ^ —

5 x 2 > 0

donde

4) + 9 . Caso 2: <0,oo).

• J ( s x 2 • » ) > 2 i > 0

Sea y = f ( x ) - ( .2 .£ - 3. Luego: y . ( x + 3 ) 2 , _ 3

« y + 3 ( y ».-3 A | X ; 3 | y * 3 ); pero x > o 3Í « x • 3;. es d e c i r , y , ( x f 3 ) 2 _ 3

(x • 3 ) Z =

x • 3>5

(y > -3 A X + 3

3 > 0 = V y • 3 ) <=> (y ^ -3 A x =V"y + 3' - 3); x > 0 = > \/y + 3'

>Vy + 3 > 3 > 0 > y + 3 > 9 = > y > 6. Por l o t a n t o , y = (x •

+ 3 ) ' - 3 < > (y -3 A y > 6 ) f ..? y y 6 *=>y £ ^ 6,00^. Hemos de

mostrado que f es un i v a l e n t e sobre {o,o<^) porque V y ^ 6 ^ l x > 0

» n f ( i 2 ) s í d i f e r e n c i 3 b l e en e l l o s .

e S X I J L J L > - ¿ 2

9

entonces l a gráfica de f es cóncava h a c i a a r r i b a sobre R - {°} =

S i n en l u g a r de u t i l i z a r e l c r i t e r i o de l a primera d e r i v a d a , hubiéra

mos deseado u t i l i z a r e l c r i t e r i o de l a segunda d e r i v a d a , éste u l t i m o

sólo podría haberse a p l i c a d o a l o s puntos críticos -2,2; porque f es

^ I f i > 0 — > « • 2) =-12^A" " 8 24 3 2 3 2\3/2

- í>b - - 57 -

v a l o r mínimo r e l a t i v o de f . E l c r i t e r i o de l a segunda d e r i v a d a no ei

a p l i c a b l e a l punto crítico 0, porque f no es d i f e r e n c i a b l e en 0.

Como f ( x ) 0, para x i 0, entonces l a gráfica de f no t i e n e puntoi

de inflexión.

Es importante o b s e r v a r que f es una función par, porque V x £ R:

I .i x £, IR, sea : . 3 T X 3 n 2 TI f TI 3 . - 2 c _ 7I te (——> • TT x 1 « COS l — j -

HéXlar f ( - D . til ION :

¿ 1 , •VjTTií l - 1 * * T I ^ 5 ' (5 puntos)

(-1)' -x £ IR A f (-x) « V ( - x ) 2 ( < - x ) 2 - 16) « S/x' (x* - 16) = f ( x ) y, por 1

tanto l a gráfica de f es simétrica con respecto a l eje Y. B a r a d i b u j a r l a gráfica de f , también es útil h a l l a r ( s i es fácil hac e r l o ) l o s i n t e r v a l o s sobre l o s cuales f es p o s i t i v a o n e g a t i v a , par<

lo c u a l es s u f i c i e n t e r e s o l v e r l a desigualdad f ( x ) > 0 ó f ( x ) ¿. 0.

Lue?o, f ( x ) = ( 3 / x " ) 2 ( x 2 - 16) > 0 C=rr» ( l y / x " ) 2 > 0 A x 2 - 16 > 0)<=

(x i 0 A (x • *><x - ») > 0)<==»(x <- -4 v x > l ) < = > x £ ^-oo,-4> U ^ „ R u n d 0 l u g a r

( ^ ° ° ) ! además, es evidente que f (x) < 0 « = > x E ^-"»,H^ ; es e v i ^ d < go^espondencia

• v i 1

lmer l u g a r , como -É u t i l i z a n d o l a " r e g l a de

«i I

entonces l a cadena", tenemos que: ?

- . l ^ ' í - l » 2 ( - 1 ) '

37T

dente, también, que f ( 0 ) = 0 y f ( - t ) = f(H) s 0 .

Cono f es una función a l g e b r a i c a sobre R, entonces f es c o n t i n u a sobrt

iP y, por c o n s i g u i e n t e , l a gráfica de f no t i e n e asíntotas v e r t i c a l e s .

I ) 3 . 0 ) = 1. ? ( 3 ( - l ) • 0) « j (-3) = - ^ j - . ieremos l a función definí v/|x • l | | x 3 • 3 x 2 - Sx - 7 | , l a c u a l

lucto de dos funciones que no

. / ! ( - ! ) • h • ' h~

i consideremos l a función d e f i n i d a sobre R por l a r e

| x 3 • 3 x 2 - Sx -son d i f e r e n c i a b a en - 1 . F ^ u e :

e l

Fara h a l l a r l a s asíntotas v e r t i c a l e s ( s i es que e x i s t e n ) , calculamos .1 .2 f (x) lím

x-»«

2/3 , 2 x (x 16) i i x l i m — x —«o T7T - 1 " I

0 _ ( " T 7 3 " ~ T 7 3 ) :

•K—°° X X

Jucto de dos runciuuc» M — . v V n • h -T í - \ / i ( - i ) • ií . V \ h T - o . vTh ] .

5/3 15 T73

) = 0 0 ; luego, l a gráfica de f no t i e n e asíntotas • l i a (x

no v e r t i c a l e s .

Finalmente, recogiendo toda l a información a n t e r i o r , dibujamos rápidamente l a gráfica de f :

L

I D

Vh , I ,

7 | - U _ i _ J _ ! _ L ^ - 2 Í Ih 3 - 3h 2 • 3h - 1 + W ¿ J L J ! L ± J 1 J - Í -

Sh

i - 3n 2h 3 • 3h ¿ - 6h

. lili» . 8l -h | h* j l . - h 2 - 8 s i h < o

s i h > 0

lím h—0"

y l i a +

h — 0 ( . | h ' - 8|) « - I" » | " "

Usgo, no es a p l i c a b l e e l teorema r e l a t i v o

h 2 - s|= 1-8 |-

a l producto de dos f u n c i o n e s

58

diferenciables en un punto; sin embargo, es^posible aplicar dicho teo rema,, expresando \/\x * 1¡ j x 3 + 3x2 - Sx - 7 I como el producto de otro dos factores, teniendo en cuenta que -1 es una raíz del polinomio x 3 • 3x 2 - 5x - 7. Luego, como x 3 + 3x 2 - 5x - 7 = (x + l ) ( x 2 + 2x - 7), entonces\/|x + l | |x 3 + 3x 2 - 5x - 7 | = jx + l j 1 / 2 |(x • l ) ( x 2 + 2x -- 7)J == |x • l| 1 / 2 |x • l | | x 2 + 2x -7¡ = |x • l| 3 / 2 |x 2 + 2x - 7 j ; ahora es fácil demostrar que las funciones definidas sobre R por las reglas de correspondencia |x • 1 ¡ 3 / 2 y |x 2 + 2x - 7 j , son diferencia bles en -1, porque:

59

h—o = lim h—0

- lím .h^o

(-h) 3/2 h 3/2

<-h) 1/2 si h < o ,1/2

d_ dx

h

x=-l

i i ) Como (-1)2 + 2(-l) - 7 = 1- 2- 7 = -8 4. 0, entonces ^ x 2 + 2x - 7)1^ = + * " " lx = -l - " <2* + 2 5

= - 2(x + 1) , = 0.

5;=r lo tanto, <.J\x + 1 f | x 3 + 3x 2 - Sx - 7| ) «

= ( | x t l | 3 ^ 2 J x 2 + 2x-7|,| x,. 1 = < y x . l | ^ 2 . | x 2

- 7| • |x f 1| 3 / 2 U 2 • 2x - 4l x.., -0.|(-1) 2 - 2(-l) - 7 | + + 0.0 = 0 + 0 = 0 .

En tercer lugar, utilizando l a "regla de la cadena", tenemos que: i - t - 3 fui.} I - , t 2.ITx, d .,TTx, f dx t g ( — > i x=-i - 3 t g (~¡r}-aí tg(_¡r) lx=-i -. i t„2, TTx. e 2,TTx. 7T I . 2,TT(-1). 2,TT(-1K TT . - 3tg (—).sec (—).¡¡- lx._1 = 3tg (-j¡ ).sec (— ) . ¡j- =

+ 2x -

¡ l R2(-í). Sec 2(-^) = I f c - l ) 2 . ^ ) 2 = 11^(2) = .

inclusión, hemos demostrado que f es diferenciable en -1 y d ,TTx" I ) = -T— COS (—7T~ dx 2 ,| • + ,3/2 'x=-l dx 1 1

l ¥ > x=-i 1 ? * ^ Ix + l | ^ 2 | x 2 + 2 x - 7 | x s _ 1 . t 8 - (

+ 2x - 7 I ) . 3,TT(-1)

{-IT + 2(-l) • dx g 1 4 ' | ? + O.(-l) 3

,3Tj. . r r r 2

3rr latamente, f' (-1) = ^ Unos de los lados de un rectángulo R está contenido en la recta « = 9 y sus otro3 dos vértices pertenecen a l a parábola x + 4y =

2 • y +7. Hallar las dimensiones del rectángulo R de área máxima y hallar ésta. (S puntos)

•ilJI.IJCION: 2

•'fletando los cuadrados en la ecuación x + 4y = y + 7 , tenemos que t My i y 2 + 7, X - 7 = y 2 4y, x - 7 + 4 = y 2 - 4y + 4, (y - 2) 2

3; esta última ecuación representa una parábola cuyo vértice es i i'unto (3,2), cuyo eje focal es paralelo a l eje X y que se abre ha-i la derecha. Es obvio que (y - 2) 2 = x - 3< • » (x 3 A jy - 2¡ = «/a - 3* )<=>( x 3 A. (y - 2 = - Vx - 3' v y - 2 = sfx.

>„ 3 A y - 2 I P = (x,y) un vértice de R que pertenece a l a parábola dada; es ob-Lo que P = (x,2 + Vx - 3 ) ó P = (x, 2 -V* - 3 ); P°r ser R un rec-

I Ingulo, se cumple que: II P = (x,2 *\Jx - 3) es un vértice de R, entonces Q = (x,2 + Vx - 3) •» el otro vértice que pertenece a la parábola.

ie hecho se ilustra en la figura siguiente:

- 61 V

60

| • l d i f e r e n c i a b l e en ' y ^ y 1 £ ^._00>f".^> entonces f es i.ible en 1. Para x < 1, tenemos que f ' ( x ) = p—(*„ * * * 1 )

' 1 ! • ( * + a) - ( x 2 + x + 1).1 . 2 x 2 * 2ax + x + a - x 2 - x - 1 (x • a)

I lax • a - 1

(x • a)

dx x + a a T

(x • a ) ' 3 d 3 • Para 1 <. x < y , tenemos que f ' ( x ) = 3 x ^ x +

Ix • 3) a 3x + 2bx - S. Dado que f es d i f e r e n c i a b l e en 1, en

f ' ( l ) = lím x — l "

i » 2a + a - 1

x + 2 a x + a - l

(1 + a ) '

(x + a ) ' = 3 4- 2b - S, 3a

(a+1)'

lía + ( 3 x • 2bx - 5 ) , es de-x-»l = 2b - 2 = 2(b - 1) ( 1 ) . Ade-

».>•'(» - x ) ( 2 i /x — 3 ) • 2(9 _ > . i — • 3 < x < 9. P a r a o , V " " ' = f ( x > . donde

V Í ^ W l ' h ) . 2 « - 1 > V x ~ r 3 \ - V* - 3 > « 2(- 9-^ x

.orno f es d i f e r e n c i a b l e en 1, entonces f es c o n t i n u a en 1 y, por 2

mto, f ( l ) = lía x — 1 - x + a

, i • b - S • 3, - r V r

lím . (x + bx - Sx • 3 ) , o sea, x-»-l

= b - 1 ( 2 ) . De (1) y (2) se o b t i e -

^_2(x - 3) ) = 3a

- ^ a - H 0 ' a + 1 = 2 , a = 2 a * 2 , a

'x - 3 y x - 3 x > 0 A x > 3) < ft3 < x < S

5 < x C 9. Por e l 5 ) ^ 5 - 3

dimensiones son 4 y 2V2~

v» Por l o t a n t o , ü i z í l > 'x - 3

5 y f ' ( x ) < o fCS) = 2(9 -

es d e c i r , f ' ( x ) >

(a + 1)'

, -x = b - 1, -3 = b - 1, b = -2.

i / que observar que como x i -a s i x <. 1, entonces -a ^ 1, a ^ - 1 . 3 < x ¿ . S i fa.b} C R, lía ax sen(|) = b - l y s u p f x G R / a x + b > x 2 }

^ " e r i o d e l a primera derivada., 1 * x ^ ~ 1 * . H , V 2 r 8 v/? e s l a m á x i m a , • a • 2, h a l l a r a 2 + b 2 . (4 puntos) máxima área de R

L i J M . 23 de J u l i o de 1981

MI),IICI0N:

i i izando e l cambio de v a r i a b l e x = , tenemos.que lía ax sen(|-) =

Lía . a ( i ) sen(f-) = lím . $ sen(at) = lím a - ^ | a s e n ( a t ) = b - 1. Pa-I — 0 t — 0

V 6 r t 0 d a a l a s preguntas. I (MA-113) Resol

2 . P e g l a d e correspondencie

i« h a l l a r e l límite propuesto, debemos a n a l i z a r dos casos. _ _ - f a s e n ( a t ) _ . . • ano 1: a = 0. En este caso, l i m + z - b - l

t — 0 »lím 0 sen(O.t)

x +

S i f

f ( x ) =

es d i f e r

x + x + 1

SI X 

X + b x 2 - S v + 3 . . -i a x * 3 s i 1 ¿ x < 3

^ 2 e n c i a b l e 7^» h a l l a r "a" y "5*

•\- sup [ x £ R / 0.x + 1 > x 2 } = 0 + 2, sup { x € R / x 2 < l } = 2,

}{ x £ R / -1 < x < 1 \ = 2, sup <.-!,!} = 2 , 1 = 2 (proposición f a l s a ) ;

(4 puntos)

62 -

por l o t a n t o , a t 0.

Caso 2: a t 0. En este caso, l£» + a s f n ( a t ) = \ím . a 2 iSSÍSli «

t - o + r t - o + - a t

2 ,.. s e n ( a t ) _ 2 , 2 . , ,, , a l i r a . = a .1 = a = b - 1 11).

t—0 a t

2 2 2 a 2 a 2 Además, x < ax + b < >x - ax x - ax + ¡j— -^ < x C ^ — j ; por l o — • f » / Í K V 2 1 / a -V^a 2 + 4** a + V 5 a 2 + 4 \ t a n t o , sup x £ . R / a x + b > x J = sup 2" » j / /—2" 1 1 « a + V 5 a—Í_JL_ = a + 2 = > a • V s a 2 + 4 = 2(a + 2) = 2a + 4 ===> V 5 a 2 • 4' = a + 4 <=>(a -4 A Sá 2 • 4 = a 2 + 8a • + 16) «==> (a ^ -4

A 4 a 2 - 8a - 12 = 0>«=> (a > -4 A 4 ( a 2 - 2a - 3) = 0)«=> (a }, -4

A (a - 3)Ca • 1) = 0)<=> a € £-1,3 J. Como b » a • • 1, entonces: pa-F i t : - l , b < (-1) 2 + 1 = 2 ; para a = 3, b = 3 2 + 1 = 10.

. . . 2 2 En d e f i n i t i v a , a + b = r 7 7 (-1) • 2* « 5 ó . 3 2 + 1 0 2 = 109 . ~

3.- S i f es l a función d e f i n i d a por l a r e g l a de correspondencia: 2/3 2

f ( x ) = (x + 8) (x + 32), determinar l o s i n t e r v a l o s sobre l o s c u a l e s f es c r e c i e n t e o d e c r e c i e n t e , y h a l l a r todos l o s v a l o r e s e x t r e m o s . r e l a t i v o s de f . (4 puntos)

SOLUCION: Por l a " r e g l a d e l máximo dominio", es evident e que D . = R.

Para h a l l a r l o s i n t e r v a l o s sobre l o s cuales f es c r e c i e n t e o d e c r e c i e n t e , calculamos f ' ( x ) . Luego, f ' ( x ) = ^ [ ( x + 8 ) 2 / 3 ( x 2 + 3 2 ) ] =

= f (x + 8 ) - ( 1 / 3 ) ( x 2 + 32) + 2x (x + 8 ) 2 / 3 = 2 ( * 2 * 3 » , + 2x(x + 8)2/3 = 3(x + 8 ) 1 / 3

- L — 1 7 , f ( x 2 + 32) + 3x(x + 8)1 = 2 ( x ' 4 3 2 * 3 x 2 * 2 " x ) = 3(x • 8 ) 1 / J L J 2

. 2 l M x _ J L J 4 x J L _ 3 2 I m 8 ( x 2 + 6x + 8) . 8 (x + 4 ) ( x + 2) . 3 / . , 4 " 3 ' (x i - 8), 3 V x + 8 3 1 / 7 7 7 V7TT

- 63 -

„ juntos críticos de f son -8, - 4 , - 2 . f l ( x ) - £ (x + 4)(x + 2) > 0 < = í > (x + 4)(x + 2) > „

1 / 7 7 1 V x + 8 [•» 4)(x + 2) o « = ? x £ /-8,-u\ U ¿-2,©«A, entonces f es c r e c i e n

x • 8 ..... ' . -lobre ^ - 8 , - 4 ^ U - 2 , = 0 ^ . Análogamente, f es d e c r e c i e n t e sobre

«0,-8^ u ^ - 4 , - 2 ^ . Por e l c r i t e r i o de l a primera d e r i v a d a , compro-'fi que:

2/3 7

1 l ( - 8 ) = (-8 + 8) / J ( ( - 8 ) + 32) = 0 es un v a l o r mínimo r e l a t i v o de

,1 f ( - 4 ) * (-4 * 8 ) 2 / 3 ( ( - 4 ) 2 + 32) = 4 2 / 3 ( 4 8 ) = 2** / 3(48) = 2 -s/l (48)

es un v a l o r máximo r e l a t i v o de f . • •>) f ( - 2 ) = (* 2 •í)2/3((-2)2»-3^b36-3

v/36 es un v a l o r mínimo r e l a t i v o

de i. Cara h a l l a r l o s puntos de inflexión de l a gráfica de f , obtenemos ,„, , . . d ,,, , d 8 x 2 + 6x + 8 . 8 d x +6x + B . ' (x) . Luego, f " ( x ) = -r- f 1 (x) = 3— T í-TT = T ~AZ TTl~

dx dx 3 ( x * 8 ) l / 3 3 dx ( x + 8 ) l / 3 1 • (2x + 6)(x + 8 ) 1 / 3 - ( l / 3 ) ( x • 8 ) " C 2 / 3 ) ( x 2 • 6x + 8) ._ . u + b ) 2 / 3

2(x + 3)(x + 8 ) 1 / 3 - * 2 " 6 x % » 2 8 3(x + 8 ) Z / J B 6(x+3)(x + 8) - x - 6x - 8 « I ( X + 8 ) 2 / 3 = 3 ~ 3(x + 8 ) " / 3

B 6 ( x 2 • l l x • 24) - x 2 - 6x - 8 _ 8_ 6x 2+66x+144-x 2-6x-8 _

( ^J7T7 )* ( V x * 8 ) H

8 -Sx 2 + 60x + 136 r 8 5 ( x 2 • 12x + 36 - 36) • 136 _ (4/x • 8' )H (V x • 8)**

6 5(x + 6 ) 2 - 180 + 136 8 S(x + 6 ) 2 - 44 . 40 (x+6) 2-(44/5) ' 9

(x i - 8 A (x + 6 ) 2 > SJ) « (x * ~ 8 A |x + 61 > lyfé -

64

!\/55 ( x i ¡ - 8 A ( x + 6<.

i - 8 A (x < -6 - v x > 5

2V /5S v x + 6 > i^Ü„

2(15 +>/!?) 5 • ~ ' ' T 2 ( V 5 5 - 15)

- 6 ) ) , x i - 8 A ( x <

) . Es fácil comprobar que -

• V i l > 20 VS? > 5

2 ( 1 5 ^ Vü) < . 8 < 3 ^ 2 ( 1 5 > 8 < ^ 1 5 +

55 > 25 (proposición verdadera) y

2 > 1 5 7*/» > l < t = = > 1 0 > 1 5 - V I ? > 5

10 > \/55 > >100 > 55 > 15 (proposición verdadera). La gráfica de f es cóncava ha c i a a r r i b a sobre 2 + \/5~F / 2( V TT - 15) „ \ . . . / . 2(15' +VS5) V 1 > ° ° / y e s concava hacia aba]o sobre ^- T Y a 5 ;

>

2< V s i 15)

Los puntos de inflexión de l a gráfica de f son - 2 ( 1 5 ± ^ I l

Por o t r o , es evidente que V x £ IR :

(x + 8 ) 2 / 3 - ( V x + 8 ) 2 ¿, 0 A x 2 + 32 ¿. 32 > 0; por l o t a n t o , V x £ R : f ( x ) ^ 0. También es fácil comprobar que l a gráfica de f no t i e n e asín t o t a s de ningún t i p o . Asimismo, l a gráfica de f no es simétrica con r e s p e c t o a l o r i g e n n i con respecto a l e j e Y.

Finalmente, u t i l i z a n d o toda l a información a n t e r i o r , es fácil d i b u j a r l a gráfica de f . Como si g u e : 3

- as -

S i x £ [l,DC£>y fCx) = x - 2Vx~ , demostrar que f es u n i v a l e n t e ( i n y e c t i v a ) , h a l l a r f é ( y ) y todos l o s puntos donde f * es de-r i v a b l e . (3 puntos)

ULUCIOH: ntmpletando e l cuadrado, es evidente que f u i = cvC* ) 2 _ 2y£ + i -

I * (Vx* - 1 ) 2 - 1, para x 1 -, además, x . 1 ==»Vx 1 «••> V* - 1 >,

0. Sean s,b £ [ l , o o ) . Luego, f ( a ) = f (b) ===>(Va" - l ) 2 - 1 = <Vb - 1 ) 2 = * . (Va*- l ) 2 = (VT- l ) 2 = ¿ > V a ~ - 1 «v/b"- 1 -=»v£" =

a = b. Por l o t a n t o , f es una función u n i v a l e n t e o i n y e c t i -«, Sea y = f ( x ) •= (VjT - l ) 2 - 1; luego, y + 1 = (VÍT- 1) 2 e = > (y } - l

\/x - 1 = v V + l" > <==*' (y V. -1 A x * 11 * Vy * l ) 2 ) c=» . (y y, -1 • Vy + 1 . l)«==»£y -1 A\A> + 1 ' ^ 0 ) e — > ( y ^ - l A y • 1 » 0)

les» y - l < = » y £ {"-l,oo^ , es d e c i r , f * ( y ) = x = (1 • Vy + 1 >2-(t evidente que f * es d i f e r e n c i a b l e sobre -1 ,°©^jdonde ^ f * í y ) =

U i + V y ~ T 7 ) 2 - 2 ( i •vTTI). 1 , = * * ^ E ? • dy* l •

2 y y + í Vy • l" VV * * ilpa forma de r e s o l v e r este problema, c o n s i s t e en r e s o l v e r l a d e s i -,unidad f.'(x)> 0, es d e c i r , 3_(x - 2Vx) > 0, 1 - ^1=- > 0 <====>

1 > y i r <==>,/x > 1 « = > x > 1, es d e c i r , * x > 1 : f' (x) > 0 y, por l o

nito, f es una función u n i v a l e n t e t a l que f * es d i f e r e n c i a b l e sobre

- R • D „ = < - L - > , -., > -i = % f*(y) - F T x i r 7 7 = y^r-

»(y) » X.

I.- a) S i f es una función r e a l dos veces d e r i v a b l e sobre R, F(x) = f(sen2(í*2X-)) y f ' U ) * 1, h a l l a r F - ( l ) . (2.5 puntos)

b) Sí a , b £ R , h a l l a r lím a s e n ( 2 3 c ) % b . (2.5 puntos) X-*-°«=> 1 • X .

LUCION:

Sea g l a función d e f i n i d a sobré R (g : K R) d e f i n i d a por l a

- 66 -

2 TT x regla de la correspondencia g(x) = sen (-L—). Luego, g'(x) =

= ^( s e n t £ x ) ) 2 = 2 sen( ? x ) . 0 - sen{ x) = 2sen(?'x) .eos ( ? x ) . dx ¿ 2 dx i ¿ 2

= j'sen(2(íjx-)) = V sen(TTx), V x £ R. Además, g" es diferencia ble sobre R y g" (x) = j sen(TTx) = ^ ^ sen(TTx) = ™ (TTCOs(!rx)) = cos(TT x), V x £ R. Luego, para cada x £ R :

F'(x) = f(g(x)) = f'(g(x)).g*(x) y F"(x) = ^ [f' (g(x)) .g' (x)]

i f(g(x)).g'(x).g ,(x) + f(g(x)).g"(x) - f"(g(x)). |g'(x) | 2 +

+ f'(g(x)).g"(x). En particular, para x = 1, tenemos que:

• F"(l) = f " (g(l)) . jg '( l) j 2 • f*(g ( l)).g " ( l ) . Como gU) = s e n 2 ( * i i )

t sen 2( ]j¡) - 1 , g ' ( l ) = ^senírT.l) = senCO = o, g " ( i ) =

= ÍIj cos(TT.i) r .TIj. y f (i) = i , entonces F"(l) =

= f"(l).|0¡2 + f l D A - ^ j ) = .

b) Sea g l a función definida- sobre IR (g : R—»-R) por l a regla de

correspondencia g(x) = a sen(2x) + b cos(x 2), donde {a,bj -C R.

Utilizando las propiedades de las funciones circulares básicos ico

seno y seno), tenemos que V x £ R : |sen(2x)| 4 1 y jcosCx 2) j 1.

Por lo tanto, utilizando -la desigualdad triangular, es posible de

mostrar que g es acotada sobre R, puesto que V x £ R :

|a sen(2x) • b cos(x 2) J |a senf 2x) |+ |b cos(x 2) | = |aj |sen(2x)| +

+ |b||cos(x 2)j < |a) + jb|. Además, x £ R = > x 2 y,

1 > n < n / 1 1 > ° = > ° < -»-2 ¿ j _ _ ^ 0 I a sen(2x) • b m . t v 2 , |

• I a— s e"^x> » b co»r»2il | a | » | b | 1 + T 2 * ~ 7 ~ 1 — •==*. lím 0 • H a

i , i . i , , 1 x x — ° o X - ^ c o

x + i y.

1 • X T ' 0

lím a sen(2x) * b cos(x 2) 1 » x

lím I a s e"<?x) » b cos(x 2) I x ^ o o l - 7 7 7 2 ^ | • 0

Liaa, 31 de Julio de 1981.

EXAMEN SUSTITUTORIO DE MATEMATICAS I (HA-113) Con relación a la pregunta 2, escoger 2 sub-preguntas cuya su na de puntajes sea 6. •an los conjuntos A = -£a £ R / R es e l conjunto solución de la

2 2 7 1 desigualdad ax - 6x • a > 2ax - 3 X - 1 >,

B = { x £ R / l x 2 - 2 x 7 x8 . U ! x - 2

é - - ; x | - > x - 1 2 h ¿ ° } y

Mc = A c - ( A C f l B). (Los complementos son relativos a R). • ) Determinar, más explícitamente, los conjuntos A, B y M.

(H puntos) b) Comprobar-que B está acotado y h a l l a r e l óptimo (mínimo o má

ximo) de l a función f, donde D f 1 R y f ( x ) = x2 ínf(B) • x i

• 3x sup(B). . . ( 2 p ^ t o s ) ION:

|) Para determinar, más explícitamente, los conjuntos A, B y M, es ne cesario resolver las desigualdades que los determinan por comprensión. En todo el desarrollo del problema, se supondrá que R es e l conjun to universal. Determinación de A

a £ A «=> R e6 e l conjunto solución de l a desigualdad ax 2 - 6x • • a 2 > 2ax - 3x 2 - 1 «==> V x £ R : ( a • 3 ) x

2 _ 2 ( a • 3)x + ( a 2 •

+ 1) > 0. Aquí es preciso recordar que s i p > 0, entonces (V x £ R : •2 2

px • qx • r > 0) • I q < >»pr ; (completando e l cuadrado) obtene-2 2

mos que: px 2 • qx • r • p(x • 3. • E) , p ( x2 + 9. • 3_ _ 9_ + E)

r , 2 u i P P P H p 2 p P

P , 2 P

> 0 (V x £ R)*=>(x • |) > 3—- **pr ( V x £ R); luego, W x £ IR: 2 " P

( x • 2 > 9 _ r _ ^ E -(eligiendo .'•-'») 0 > sL^SÜ tp* 2 H-p¿

1 2 ' ¿ 9 2 0 > <T - q < '•pr; recíprocamente, q 4 Upr q - "*pr<

- 6e -

2 ¿ o = > 3—rJiPÜ < o 4 (x + f ) 2 (V x £ R) .

U t i l i z a n d o e l r e s u l t a d o a n t e r i o r , es evidente que' a £ A <=> IR es -2 2 2 e l conjunto solución de l a desigualdad ax - 6x + a > 2ax - 3x -

- 1 < >¥ x e Ft : (a + 3 ) x 2 - 2(a+3)x + ( a 2 + l ) > C ( 1 ) . 2 2

Es e v i d e n t e que a = - 3 £ A, porque V x £ IR: 0.x - 2. Ox + (-3) + + 1 > 0, es d e c i r , V x £ P : 1 0 > 0 .

Sea a > -3. Luego, a £ A < = * (teniendo en cuenta que a + 3 > 0)

|-2(a • 3>| 2< U(a • 3 ) ( a 2 + i)<==>u(a + 3 ) 2 < . t ( a + 3 ) ( a 2 + 1)<== 2 2

a + 3 < a + 1 (se e l i m i n a a + 3 > O X i l>a - a - 2 = (a - 2) (a + + 1) > 0<==> (-3 < a < -1 v a > 2)«==±.a £(-2,-1) U ^ 2 , o o ) . Sea a <_ -3. Luego, l a desigualdad (1) se c o n v i e r t e en l a d e s i g u a l dad s i g u i e n t e ( d i v i d i e n d o oor a + 3 < 0 ) :

2 „ 2 V x £ R : x 2 - 2x + a

a * * < 0<==»V x £ R : (x - 1 ) 2 < 1 - a 4

+

- a <• 3 - a 2 - 1 . a 2 - a - 2 . (a - 2)(a + 1) ,. .. u _ _ m m < = > V ~ e K =

1 V a + 3 V x £ ¡R : (a - 2) (a + 1) > o (eliminando a • 3 < o)

(a - 2)(a + 1 ) — ; es t a u l t i o a

1 - ,/ Ca - 2 ) ( a + 1) ' . . f

proposición es f a l s a porque, por ejemplo, e x i s t e x -- 1 + (a - 2)(a -f 1)

3 que no s a t i s f a c e l a desigualdad u l t i m a , es de a c i r , a < -3 *=> a £í A.

Por l o t a n t o , A = { - 3 J U -3 , - 1 ^ U < 2 ,«>) = [-3 , - i ) U <2 , c o ^ . Determinación de 3

Es e v i d e n t e que | x 2 - 2x - "»8 | = |(x 8)(x + 6) ¡ = |x - 8 } ¡x + 6 ¡ . Luego, x £ B ^ > l x ~ * \ ~ 2 x | - | x - 1 2'> < 0 ( 2 ) .

|x - 2 | - 6 E l conjunto de v a l o r e s a d m i s i b l e s de l a desigualdad (2) está deter minado por l a de s i g u a l d a d |x - 2| - 6 i 0; pero, |x - 2|- 6 - 0

•==Z> |x - 2ja 6 <=> (x - 2-- 6 v x - 2 = 6)<í=>(x = - M v x = 6) = > * £ , es d e c i r , C.V.A. » R - {-4,a}. Además, x £ C.S.

69

•==> x i 8 f i x - 8 * 0 <• »jx - 8| > 0 . Como |x - 8 | > 0 , enton-

i c«s Jx - 8 J puede e l i m i n a r s e de ( 2 ) , t e n i e n d o en cuenta que x i 8 .

t i e v i d e nte, también, que x = -6 es una solución de ( 2 ) . Por con-

mguiente, x £ B < = » x £ (-6) v (x i -6 A ——j x2 x* j ( X. 7¿ 1 2 * £ °> •

Pero, 1 x 2 - | xx j T (

l x ¡ 1 2 1 ¿ 0«=*>(|x 2 - 2x|-|x - 1 2 ^ 0 ^

|x - 2|- 6 < 0 ) v (|x 2 - 2x[-|x - 12 J < 0 A |x - 2|- 6 > 0 ) < »

(|x2 - 2x| >y |x - 121 /\|x - 2| < 6) v (|x 2 - 2x | |x - 12 | A | X -

- 21 > 6) <==» ( ( x 2 - 2x + x - 1 2 ) ( x 2 - 2x - x • 12) 0 A -6< x -

- 2 <_ 6) v ( ( x 2 - 2x • x - 1 2 ) ( x 2 - 2x - x + 12) £ 0 A |x - 2| > 6) 1 1§M i ( ( x 2 - x - 1 2 ) ( x 2 - 3x + 12) 0 A - t < x < 8) v ( ( x 2 - x -

- 1 2 ) ( x 2 - 3x • 12) 0 A |x - 2j > 6 ) .

Como V x £ R: x 2 3x • 12 « x 2 - 3x • f - f • 12 = (x - | ) 2 •

39 39

* ~¡T ~¡T entonces puede e l i m i n a r s e de todas l a s d e s i g u a l d a

des a n t e r i o r e s s i n a l t e r a r l o s sentidos n i - e l i m i n a r s o l u c i o n e s de

es t a s . Luego, ( x 2 - x - 1 2 ) ( x ? - fcr • 12) >, 0 « = * ( x - "*)(x + 3) 2 2

. o c = * x 4 -3 v x ; por l o t a n t o , ( ( x - x - 12) (x - 3x •

J y * 12) i 0 A -1» < x < 8) < = » (-<• < x 4 -3 v <* 4 x <. 8) <====>

x £ <>-'*'"3] U D*'8) ; «si^ismo, ( ( x 2 - x - 1 2 ) ( x 2 - 3x • 12) < 0

A |x - 2| > 6 ) < = > ( ( x 2 - x - 1 2 ) 4 0 A | x - 2 | > 6 ) «==> (( x - "O

(x * 3) £ 0 A (x - 2 < -6 Y X - 2 > 6))«—=»(-3 £ x <* * (x < - t

v x > 8))«—» x £ i>. En d e f i n i t i v a , x £ Be==> x £ ^ - 6 | v x € <Xr7«

-3] U [ t , 8 > U ^ ) « = » x £ (-6J U ^-'•.-s} U [**,8)> , es d e c i r ,

Finalmente, M C = A C - ( A C f) B) = A C f) ( A C O B) c = [ A U ( A C H B ) ] c

Í = > M = A U ( A C 0 B) = ( A U A C ) O ( A U B) « R O ( A U B) = A U B.

La determinación de M puede hacerse gráficamente así:

- 70 -

H = {-&} U <-H,-l>U <2,co^

b) Es evident e comprobar que B está acotado i n f e r i o r m e n t e (-6 es una

c o t a i n f e r i o r ) y B está acotado superiormente (8 es una co t a supe

r i o r ) . Como -6 £ B, entonces -6 = mín(B) • ínf(B). Además, sup(B)

= 8, aunque

Por l o t a n t o , f ( x ) = x 2 ( - 6 ) • 3x(8) = - 6 x 2 • 24x = - 6 ( x 2 - >»x), V x £ R . Luego, V x £ R : f ' ( x ) = - 6(2x - l») = - 12(x - 2) A

f " ( x ) - -12 < 0. Por e l c r i t e r i o de l a segunda d e r i v a d a , es fácil comprobar que ( f ' ( 2 ) ¡» 0 A f"(2) = -12< 0) = > f ( 2 ) = - 6 ( 2 2 - 8) = 2« es un v a l o r máximo absoluto de l a función f , porque V x £ R =

= D f : 24 £ - 6 ( x 2 - Hx).

2.- a) Sea f una función c r e c i e n t e d e f i n i d a sobre ^2,°°^ y sea F(x)

• f ( - j - ) , donde x e3 una v a r i a b l e r e a l . Demostrar que F es u n i v a l e n t e y h a l l a r F* en términos de f f i .

Sugerencia: S i f es una función c r e c i e n t e sobre ACA t «5), entonces f es u n i v a l e n t e . (4 puntos)

b) H a l l a r lía sen( ( l - x ^ + x 2 ) ) " " ) . v B u—— . (2 puntos)

x senil/"*)

c) S i D f = R y f ( x ) * x f j x | , h a l l a r { n e Z I f es continua

en n j . (2 puntos) SOLUCION: a) Sea g l a función d e f i n i d a por l a r e g l a de corre s p o n d e n c i a g(x) *

x • i <-l * JTT : P ° r l a " r e g l a d e l máximo dominio", D g = R - {íj.

Luego, F(x) . f ( g ( x „ , ( f o g ) ( x ) > d o n d e x £ ^ ^ a c u e r d o a ^ d ¿

finición de "composición de funci o n e s " , x £ D F<==» (x € D A g(x) x g

x - 2(x - 1) x - 2x • 2 2 - x 0 c = > - ( x - 2 ) > Q x - 1 # u x - 1 * u x - 1 * x - 1 *•

£ ° < = > 1 < x 2 e = > x £ < l . z ] , es d e c i r , V? « < 1 » 2 ] '

Como f es una función r e a l c r e c i e n t e sobre f 2 » 0 0 ^ ! entonces

p < q > f (2) ¿ fCp) <. f ( q ) . Queremos demostrar que f es u n i

v a l e n t e ; sea {p,*}} C D f = 2,oo^> /\ p i q, es d e c i r , ( 2 ^ . p < q

V 2<q í. p ) ; luego (como f es c r e c i e n t e sobre [ 2 , 0 0 ^ ) f(2)£f(p)¿

<.f(q) v f ( 2 ) 4 f ( q ) < f ( p ) , es d e c i r , f ( p ) ¿ f ( q ) ; por l o t a n

t o , f es una función u n i v a l e n t e .

Es evidente que g es una función u n i v a l e n t e . s o b r e R - { l } , porque:

a-1 b-1 a-1 b-1

- 11 » a s b. Como e x i s t e l a función f o g , f es u n i v a l e n t e y g es

u n i v a l e n t e , entonces F = fog es u n i v a l e n t e ( l a composición de f u n

ciones u n i v a l e n t e s es u n i v a l e n t e ) . Sea y = F(x) = f(¿*y). Luego, (como e x i s t e l a función f * ) ,

f* (y> a r h • 1 • r h : * **** - 1 = r h : > * " < « 4 » .

I " ' " ' 1 * f * ( y ) - 1' X = 1 * f * ( y ) - 1 = x " i»(yT- 1 5 d a d ° q U < !

X = F * ( y ) , entonces F*(y) = f * ( * > y ! i » donde f ( y ) = j ^ y £ 2 < = >

l ' f * ( f ( y ) ) > f ( 2 ) , y £ f ( 2 ) . i) Hagamos e l cambio de v a r i a b l e x = 1/t. Luego,

,1 - x 2 r f ^ .,1 - ( 1 / t 2 ) T T , sen( r l i ) sen( = — ) l x ¿ * » « ' = lía + I J L i l Z ^ J . X<e><X> x s e n ( l / x ) t-*0 =_ sen ( t )

... s e n ( % " 1 TT) t 3 s e n ( t , ~ 1 - " ) _ t + 1 _ l f _ t • 1 .

• • S o * 1 sen(t ) " S o *

• o 3 sen(° 2 - 1 T f ) 2 •>• 1 _ 0 sení-TT) . 0

lím . sen(t ) .t-^0' t

I Como D F - R , entonces todo elemento d e l dominio de f es punto de^ acumulación de él. Luego, para n £ Z , f es c o n t i n u a en n s i , y sól o s i , lím f ( x ) - lím + f ( x ) , lía _ < x [ [ x j ) - l í a ^ <x E * J >•

x — n " n x — n

- 72 -

lím _ x.lím _ JxjJ = lím +x.lím + [[x J , n . ( n - l ) = n.n, n 2 - n -x-»n x-fcn x-»n x—~n

= n 2 , - n = u , n = 0 . Por l o t a n t o , £n € Z / f es continua en n j

3,- Sea E l a e l i p s e cuya ecuación es ( j ) 2 + r 1» donde a > b ^ 0

Encontrar un punto P Q € E, en e l pr i m e r cuadrante, t a l que e l seg^ mentó "cuyos extremos son l o s puntos de intersección de l o s ejes coordenados y l a r e c t a tangente a E, en e l punto P Q

n» tenga l o n g i tud mínima. (4 puntos)

SOLUCION:

Sea P * (x ,y ) un punto de E en e l primer cuadrante, es d e c i r , x ? y ? (-|) • (-|) * 1 , 0 < x Q < a y 0 < y o < b .

x 2 2

Como — j * V-x * 1, entonces ( u t i l i z a n d o l a derivación implícita) a b 2 2

^ I 7 n 7 dx- ' I 7 " J dx " ' ~T f l "T ' K 7 ^ 2 * a b a b a b d x b a

a y

Una ecuación de l a r e c t a tangente a l a gráfica de E, en e l punto F , ' .2 b x -

e s : y - y 0 * - 1 ° ( x - x o K

Los puntos de intersección de e s t a r e c t a y l o s ejes coordenados, se obt i e n e n de l a forma s i g u i e n t e :

Intersección con e l e j e X ' v.2 . 2 2 b' x , , - a y Para v = 0. 0 - y = - — 2 _ ( x _ x ) & < y

¿ • b x (x - x ), — -o í O J O O O . í

a y a

b x o a 2 y 2 V x 2 • a 2 y 2 - 2 .2 2

= x - x o , x = x Q + _ i S - . _ - ° £- a V k - - 5- , es d e c i r , b x b x b x o 2 o o o

( — , 0) es uno de l o s extremos d e l segmento de tangente d e s c r i t o . x o i2Í£ rie£ciój Lcon_el^ e Y

7 P * ™ x - 0, y - y . _ b * o _ b 2 x 2

- 73 -

^ y 2 • b 2 x 2 a 2 . 2 b 2 fc2

2y — s — j — « — , es d e c i r , ( 0 , — ) es e l o t r o extremo a y 0 ; a y Q

y o y o

segmento de tangente d e s c r i t o .

l o n g i t u d d e l segmento d e s c r i t o en e l problema es ;

feV • ( £ > 2 ' + ^ - U ^ o * » V > 1 / 2 > O- Como P o es ° ° x„

o -'o

b i t r a r i o , sea f ( x ) = ( a " x ~ 2 + b " y " 2 ) 1 / 2 , donde 0 < x < a , 0 < y<.b

2 x 2 + a 2 y 2 » a 2 b 2 . Por c o n s i g u i e n t e , f » ( x > = ^ ( a " x ~ 2 • b " y " 2 ) 1 / 2

• i'b

i b

fc 1 i * " 2 - j . - 2 . - ( 1 / 2 ) d , 4 -2 . .4 - 2 . _ y (a X • b y ) ' d x + b y ) =

a**(-2x" 3 ) • b " ( - 2 y" 3dy/dx) . - 2(a"x~ 3 • b* ty" 3(dy/dx) ) . nrTi—4~-7 " " m i l

2 Va x 2 • b y

4 ,4 ,.2 4 . 6 . 6 ,b w b x , a b x b x a

"7 " ' 2 4 T T T " ~T x y a y . x a y a y " ÏTxl " — Í U ) x f ( x ) . 6 4 6 4 -b x - a y

— 2 — T ^ * ^6 4 6 4 a* x* * b b "* 6 "* — — x » > y > r ; 3 4~ * — ^ — • P°r e l " c r i t e r i o de l a p r i m e r a de x a x y f ( x )

f ivada" (queden este c a s o , es e l más f á c i l de u t i l i z a r ) , tenemos que

L x ) = b S x U ¡ fl6 y " > 0 <==>b 6x*_- a 6 y " > « « ^ b V > a V < = > • • a x á f ( x )

f ' x 2 > a 3 y 2 « a 3 ( 4 > < a 2 " x ^ = a b 2 ( a 2 - x 2 ) < = > b x 2 > a ( a 2 - x 2 ) =

3 2 . , * . ^ x 2 _ _ 2 ^ „ 2 ^ . 3 , . _2 ^ a 3

a+b a - ax «msa^(a + b)x = bx • ax > a < > x >

* V a • b < . * < * • Además, es o b v i o que f ' (x) < 0 * = » ° < x < a V ^ f ^

' . 2 b 2 , 2 • 2, b 2 2 a 3 . Para x s a y a ^ b > es e v i d e n t e que y = —y Ca - x ) - —yta - ¡^¡jJ a

b 2 2 , . a N . v 2 , a • b - a . . b 3

Por l o t a n t o , f U ^ » . y ^ L ^ ^ ^ - ^ ^ ^ «

^aía + b) • b(a • b) • V*" • >')2 • a • b es l a l o n g i t u d mínima p e d i -

- 7i» -

4.- Sea f ( x ) » ( x 3 • 6 x 2 • 9x + 4 ) a / S , donde D f = [ _ 5 t 0 ] • H a l l a r t o

dos l o s v a l o r e s extremos r e l a t i v o s y absolutos de f sobre £-S,oJ,

así como l o s i n t e r v a l o s sobre l o s c u a l e s f es c r e c i e n t e o decre

c i e n t e . (4 puntos) SOLUCION: ~

Coioo f es una "función a l g e b r a i c a " ' s o b r e £-S,oJ, entonces f es una

función contin u a sobre [-5,0] y, por l o t a n t o , ( u t i l i z a n d o e l "teore

ma de l o s v a l o r e s extremos a b s o l u t o s " ) f a l c a n z a sus v a l o r e s minino

y máximo absolut o s en £-S,oJ . Para h a l l a r todos l o s v a l o r e s extremos

r e l a t i v o s y a b s o l u t o s de f sobre £~5»°J» tenemos que h a l l a r l o s puntos

3 2 críticos de f . En prieser l u g a r , es importante observar que x • 6x + • 9x • 4 = (x • * ) { x 1) . U t i l i z a n d o - oportunamente l a fautorización a n t e r i o r y hallando f ' ( x ) , observamos queí-fí-^ • - '" 3 *• '

• 4 ) - ( 3 / 5 > ( 3 x 2 • 12x • 9) . 1 1±C *H + 3 ) 1

(x + 3)(x + 1 ) (x + 3)(x • 1) 5 <(x •4 )(x • l ) 2 ) 3 / s

(x • Bx^ • 9x + 4 ) 3 / S "

(x + 4 ) * / i ( x • i ) 6 / 5

5 x • 3

(x • 4 ) 1 7 1 (x + 1) • j j j - . Luego, f ' ( x ) a £ (x

x + 3 . n

- ) 3 A ( x • i ? 7 5 > 0

- 75

( x + 4 ) ^ ( x + l ) i / b

> 0< (X t 4) (X • 1)

> 0

-5 -4

e < - 4 , - 3 > U <-l.°>. es d e c i r , f es c r e c i e n t e sobre «(-4,-3). U

(-1,0> ; además, f es d e c r e c i e n t e sobre ^-5,-4) U ^-3,-l> •

B P e l " c r i t e r i o de l a primera d e r i v a d a " , obtenemos l a s i g u i e n t e , i n

ormación: ) f ( - 4 ) * 0 es un mínimo r e l a t i v o . i ) f ( - 3 ) * ( ( - 3 • 4)(-3 • 1 ) 2 ) 2 / 5 = 4 2 / S = \ V 7 s es un máximo r e l a t i v o .

i i ) f ( - l ) = 0 es un mínimo r e l a t i v o . orno f ( - 5 ) x ((-5 • 4 K - S • 1 ) 2 ) 2 / S = ( - 1 6 ) 2 / S =^^256 y f ( 0 ) = ((0 +

4)(0 • 1 ) 2 ) 2 / S = 4 2 / 5 = ^/lT , entonces 0 es e l mínimo ab s o l u t o y

/TU" es e l máximo a b s o l u t o de f sobre £-S,oJ .

kdemás, f " ( x ) « ^ f'Cx) d_ 6 dx 5

x + 3 ((x • 4 ) J ( x • 1)) 175- '

6 d_ 5 dx

x • 3 ((x + 4 ) 3 (x • x r r ~ 7 s

6 ( ( x + 4 ) 3 ( x + l ) ) 1 / 5 - ( l / S ) ( ( x + 4 ) 3 ( x M J ^ * i j l . I S • ((x • 4 ) 3 ( x • D )

,3, 4 „ 1 / S (x*4)Z(3xO»xt4lllllll ( ( x + 4 ) J ( x + D ) - -. i

l (»»» ilx*l)")^ r

5 * ((x • 4 ) 3 ( x • l ) ) " 7 7 1

fv • 4) 3(x"+ 1) - * " 2 [ * S 3 ) ("X * • x * 4 ) 3 ( X • l ) ) 6 ^

1 5 . . ,.,3,„ ^ „ W 5

((x • 4 ) J ( x + 1))

£ i * _ 5

• . ) 2 ( x 2 + 5x • 4 4x 19x - 21) u^rir71MxT7?7r

£ ( ~ 3 x

5 (x • 4) 14x

T7T (x+l) 17) 67?

- I 8 ( x 2 • MU/3)x • C.7/3) ) :

5 ( x l 4 ) H / i (x • I»

18 x2 jf ^i>t/2}x_*_S}Ú¿SXz^^^-^^^

5 c , 1 / 5 ((X + 4 ) (X • -> •

76 -

(x + ( 7 / 3 ) ) ' • (2/9) T37S / o, s i x e ( -s.o) - f-«»,-lV),

0 ((x + U)° (x + 1) )

Como f " ( • * ) < 0 s i (-5 < . x < 0 A x * - 4 A x / - i ) , entonces l a gráfi

ca de f es cóncava h a c i a abajo e n ^ - 5 , - 4 ^ U ¿ - ' • » - 1 ^ U < ( - l , 0^ .

Es e v i d e n t e que l a gráfica de f no t i e n e asíntotas de ningún t i p o n i

goza de ninguna simetría.

Finalmente, resumiendo toda l a información ob t e n i d a d e l análisis he

cho, podemos d i b u j a r l a gráfica de f .

Lima, 11 de Agosto de 1981

ichos reservados. Queda hecho e l r e g i s t r o que determina l a Ley I». ibida l a reproducción t o t a l o p a r c i a l d e l presente t r a b a j o .

(I trabajo se terminó de imprimir e l día 15 de Octubre de 1981, •1 t a l l e r de Publicaciones del Departamento Académico de Materna ,is de l a Universidad Nacional de Ingeniería. Avenida Túpac Araa-, s/n, Lima Perú.

;ONTE!1IDO

Página ( s )

I0LOGO cimera Práctica 1 - 6

igunda Práctica 6 - 14

limen P a r c i a l 15 - 22

peerá Práctica 23 - 30

a r t a Práctica 31 - MI

linta Práctica 41 - 52

txta Práctica 53 - 60

lamen F i n a l 60 - 66

lamen S u s t i t u t o r i o 67 - 76

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