Funciones VectorialesFunciones Vectoriales Example Graﬁque la funci´on vectorial r(t) =...

Funciones Vectoriales

Definicion

Una funcion f : I ⊂ R → Rn cuya regla de correspondencia es

f(t) =(

f1(t), f2(t), . . . , fn(t))

se denomina funcion vectorial de una variable real t.

Calculo Vectorial


Definicion


f(t) =(

f1(t), f2(t), . . . , fn(t))


1 El nombre de funcion vectorial viene dado porque, f asigna a cadat ∈ I un vector en el espacio R

n.

Calculo Vectorial


Definicion


f(t) =(

f1(t), f2(t), . . . , fn(t))


1 El nombre de funcion vectorial viene dado porque, f asigna a cadat ∈ I un vector en el espacio R

n.2 El dominio de la funcion vectorial f es el conjunto

Dom(f) = Dom(f1) ∩ Dom(f2) ∩ . . . ∩ Dom(fn)Calculo Vectorial


Definicion


f(t) =(

f1(t), f2(t), . . . , fn(t))


1 Los puntos(

f1(t), f2(t), . . . , fn(t))

, t ∈ R describen una curva C en

Rn.

Calculo Vectorial


Definicion


f(t) =(

f1(t), f2(t), . . . , fn(t))


1 Los puntos(

f1(t), f2(t), . . . , fn(t))

, t ∈ R describen una curva C en

Rn.

2 f(t) = (f1(t), . . . , fn(t)) es una parametrizacion de la curva C(“cada punto de C se asocia un tiempo t”

Calculo Vectorial


Definicion


f(t) =(

f1(t), f2(t), . . . , fn(t))


1 A las ecuaciones xi = fi (t) se llaman ecuaciones parametricas deuna curva C .

2 f(t) = (f1(t), . . . , fn(t)) es una parametrizacion de la curva C(“cada punto de C se asocia un tiempo t”

Calculo Vectorial


Definicion


f(t) =(

f1(t), f2(t), . . . , fn(t))


1 A las ecuaciones xi = fi (t) se llaman ecuaciones parametricas deuna curva C .

2 El extremo del vector de posicion f(t) traza la trayectoria de la curvaC e indica su orientacion.

Calculo Vectorial


Una curva C en el espacio tridimensional R3, se parametriza por mediode la funcion vectorial

r(t) =(

f (t), g(t), h(t))

= f (t)i+ g(t)j+ h(t)k

Calculo Vectorial


Una curva C en el espacio tridimensional R3, se parametriza por mediode la funcion vectorial

r(t) =(

f (t), g(t), h(t))

= f (t)i+ g(t)j+ h(t)k

r(t) representa la posicion de la partıcula en el instante t. De ahı querecibe el nombre de vector posicion

Calculo Vectorial


Example

Algunos graficos de funciones vectoriales

Calculo Vectorial


Example

Grafique la funcion vectorial r(t) = cos ti+ sin tj+ tk

SOL: No es difıcil ver que las ecuaciones de las coordenadas son

x = cos t, y = sint, z = t

Calculo Vectorial


Example




Como x2+y2 = 1 entonces afirmamos que la curva estasobre un cilindro circular, pero la curva “sube” cuandoel componente en k, z = k aumenta. Adicionalmente,Cada vez que t aumenta en 2π, la curva completa unavuelta, “solo” en en el plano xy . De manera que latrayectoria de esta curva es una Helice

Calculo Vectorial


Example




Calculo Vectorial


Example

** Grafique la curva trazada por la funcion vectorialr(t) = 2 cos ti+ 2sintj+ 3k

Calculo Vectorial


Example

** Grafique la curva trazada por la funcion vectorialr(t) = 2 cos ti+ 2sintj+ 3k

SOL: Las ecuaciones parametricas de la curva son las componentes de lafuncion vectorial son

x = 2 cos t, y = 2sint, z = 3

.

Calculo Vectorial


Example

Determine la funcion vectorial que describe la curva C de interseccion delplano y = 2x y el paraboloide z = 9− x2 − y2

Calculo Vectorial


Example


SOL: Primero parametrizamos la curva C de inter-seccion haciendo, x = t, de donde se deduce quey = 2t y z = 9 − t2 − (2t)2 = 9 − 5t2. Por tantolas ecuaciones parametricas son

x = t, y = 2t, z = 9− 5t2,

Calculo Vectorial


Example


SOL: Primero parametrizamos la curva C de inter-seccion haciendo, x = t, de donde se deduce quey = 2t y z = 9 − t2 − (2t)2 = 9 − 5t2. Por tantolas ecuaciones parametricas son

x = t, y = 2t, z = 9− 5t2,

y por tanto una funcion vectorial que describe el trazodel paraboloide en el plano y = 2x esta dada por

r(t) = ti+ 2tj+ (9− 5t2)k.

Calculo Vectorial


Calculo Vectorial


Si r(t) tiende al vector L cuando t → a, la longitud delvector r(t)− L tiende a 0. Es decir,

‖r(t)− L‖ → 0 Cuando t → a

Calculo Vectorial


Example

** Calcule limt→t0

f(t) (en caso exista) de las siguientes funciones

vectoriales

1 f(t) =

(

1−√t + 1

t + 2,

t

t + 1, 2

)

, para t0 = 0 R/ (0, 0, 2)

2 f(t) =

(

et − e

t − 1,ln t

1− t,sin(t − 1)

t − 1

)

, para t0 = 1 R/ (e,−1, 1)

3 f(t) =

(

1− cos(sint)

sin2t,cos t − cos(sint)

t2,

1

t − π

)

, para t0 = 0 R/

( 12 , 0,1π)

( √ √ )

Calculo Vectorial


La definicion siguiente extiende la nocion de continuidad a funcionesvectoriales.

Definicion

una funcion vectorial f es continua en el numero a si

f(a) esta definido limt→a

f(t) existe limt→a

f(t) = f(a)

Calculo Vectorial


La definicion siguiente extiende la nocion de continuidad a funcionesvectoriales.

Definicion

una funcion vectorial f es continua en el numero a si

f(a) esta definido limt→a

f(t) existe limt→a

f(t) = f(a)

De acuerdo con esta definicion, una funcion vectorial

f(t) =(

f1(t), f2(t)), . . . , fn(t))

es continua en t = a si y solo si las funciones componentes fi , soncontinuas en t = a.

Calculo Vectorial


Example

1 Dada la funcion vectorial f(t) =

(

t2 − 1

t + 1,sin(πt)

cos(πt),ln t + 1

t + 2

)

Determine si la funcion vectorial es continua en t = 1. R/: SI

2 Dada la funcion vectorial f(t) =

(

sint

t,ln(1 + t)

1− t,cos t − 1

t

)

Determine si la funcion vectorial es continua en t = 0. R/: NO

Calculo Vectorial


La definicion de la derivada de una funcion vectorial es paralela a la dadapara funciones reales.

Definicion

La derivada de una funcion vectorial f es

f ′(t) = limt→a

f(t + h)− f(t)

h

para todo t para el cual existe el lımite.

Calculo Vectorial


La definicion de la derivada de una funcion vectorial es paralela a la dadapara funciones reales.

Definicion

La derivada de una funcion vectorial f es

f ′(t) = limt→a

f(t + h)− f(t)

h

para todo t para el cual existe el lımite.

NOTA: Ademas de la notacion f ′(t) otras notaciones para la derivada deuna funcion vectorial son

Dt [f(t)],d

dt[f(t)],

df

dt

Calculo Vectorial

Posicion Velocidad y aceleracion

Si una partıcula se mueve a lo largo de una curva C en el espacio Rn,

tenemos 3 vectores importantes:

f(t) = (f1(t), f2(t), . . . , fn(t))

v(t) = f′(t) =(

f ′1 (t), f′

2 (t), . . . , f′

n(t))

a(t) = v′(t) = f′′(t) =(

f ′′1 (t), f ′′2 (t), . . . , f ′′n (t))

Calculo Vectorial

Posicion Velocidad y aceleracion

Si una partıcula se mueve a lo largo de una curva C en el espacio Rn,

tenemos 3 vectores importantes:

f(t) = (f1(t), f2(t), . . . , fn(t))

v(t) = f′(t) =(

f ′1 (t), f′

2 (t), . . . , f′

n(t))

a(t) = v′(t) = f′′(t) =(

f ′′1 (t), f ′′2 (t), . . . , f ′′n (t))

El vector velocidad v(t) tiene la direccion del vector tangente a la curvaC en el punto f(t) y el vector aceleracion a(t) apunta hacia el ladoconcavo de la curva C (lado hacia donde se doble la curva).

Calculo Vectorial

Reglas de Derivacion de funciones vectoriales

Sean f, g : I → Rn funciones vectoriales derivables de t, c una constante

real y α : I → R una funcion real derivable de t. Entonces se tiene:

1 [f± g]′(t) = f′(t)± g′(t)

2 [cf(t)]′ = cf′(t)

3 [α(t)f (t)] = α′(t)f(t) + α(t)f′(t)

4 [f(t) · g(t)]′ = f′(t) · g(t) + f(t) · g′(t)

5 [f(t)× g(t)]′ = f′(t)× g(t) + f(t)× g′(t), (valido solo en R3)

6 ‖f (t)‖′ = f(t) · f′(t)‖f(t)‖ si f(t) 6= 0)

Calculo Vectorial

Reglas de Derivacion de funciones vectoriales

Example

** Si f(t) = (t, t2; 3 + t), g(t) = (cos t, sint, ln(t + 1)) y α(t) = e−4t ,calcule

(αf)′(0) (f+ g)′(0) (f · g)′(0) (f× g)′(0)

Calculo Vectorial

Funciones de varias variables

En el primer curso de calculo se trabajo con funciones

f : I ⊂ R −→ R

x f (x)

Calculo Vectorial



f : I ⊂ R −→ R

x f (x)

notacion en la que se enfatiza que el dominio de la funcion es elconjunto I de R y que su codominio es R (el rango de la funcion noqueda explıcito en esta notacion).

Calculo Vectorial



f : I ⊂ R −→ R

x f (x)

notacion en la que se enfatiza que el dominio de la funcion es elconjunto I de R y que su codominio es R (el rango de la funcion noqueda explıcito en esta notacion).

Decıamos entonces que f es una funcion real porque las imagenesf (x) son numeros reales de una variable real x ∈ I .

Calculo Vectorial



f : I ⊂ R −→ R

x f (x)

Ahora vamos a considerar funciones

f : U ⊂ Rn −→ R f : U ⊂ R

n −→ R

x f (x) (x1, . . . , xn) f (x1, . . . , xn)

Calculo Vectorial



f : I ⊂ R −→ R

x f (x)


f : U ⊂ Rn −→ R f : U ⊂ R

n −→ R

x f (x) (x1, . . . , xn) f (x1, . . . , xn)

cuyas imagenes f (x) = f (x1, x2, . . . , xn) son tambien numeros reales,pero cuyo dominio sera un subconjunto U del espacio R

n.

Calculo Vectorial



f : I ⊂ R −→ R

x f (x)


f : U ⊂ Rn −→ R f : U ⊂ R

n −→ R

x f (x) (x1, . . . , xn) f (x1, . . . , xn)

cuyas imagenes f (x) = f (x1, x2, . . . , xn) son tambien numeros reales,pero cuyo dominio sera un subconjunto U del espacio R

n.

Estas funciones son llamadas funciones reales de n variables

x1, x2, . . . , xn reales, o bien, funciones reales de variable vectorial

(viendo a los elementos (x1, x2, . . . , xn) = x como vectores).

Calculo Vectorial


Muchos problemas comunes son funciones de dos o mas variables. Porejemplo,

Calculo Vectorial



1 area de un rectangulo A(x , y) = xy

Calculo Vectorial




2 volumen de un cilindro circular V (r , h) = πr2h

Calculo Vectorial





3 volumen de un cono circular V (r , h) = 13πr

2h

Calculo Vectorial






2h

4 perımetro de un rectangulo P(x , y) = 2x + 2y

Calculo Vectorial






2h


5 La altura del paraboloide esta dada por z = x2 + y2, es decir,z = f (x , y) = x2 + y2.

Calculo Vectorial






2h



6 La temperatura T de un punto sobre la superficie terrestre dependede su latitud x y su longitud y , lo que se expresa escribiendoT = f (x , y).

Calculo Vectorial






2h



6 La temperatura T de un punto sobre la superficie terrestre dependede su latitud x y su longitud y , lo que se expresa escribiendoT = f (x , y).

7 El volumen V y el area de la superficie S de una caja rectangularson funciones polinomiales de tres variables:

V (x , y , z) = xyz , S(x , y , z) = 2xy + 2xz + 2yz

Nota: Puesto que se requieren cuatro dimensiones, no es posiblegraficar una funcion de tres variables.

Calculo Vectorial


Definicion

Una funcion de dos variables, definida en el dominio D en el plano, esuna regla f que asocia a cada punto (x , y) en D un numero real unico,denotado por f (x , y).

Calculo Vectorial


Definicion

Una funcion de tres variables, definida en el dominio D en el espacio, esuna regla f que asocia a cada punto (x , y , z) en D un numero real unicof (x , y , z).

Calculo Vectorial


Definicion


1 En la funcion dada por z = f (x , y), x y y son las variablesindependientes y z es la variable dependiente.

Calculo Vectorial


Definicion



2 En caso de que el dominio D de f no se especifique en formaexplıcita, se toma como aquel que consiste en todos los puntos paralos que la formula dada es significativa.

Calculo Vectorial


Definicion




3 Una funcion de dos variables suele escribirse z = f (x , y) y se lee “fde x , y .”

Calculo Vectorial


Definicion




3 Una funcion de dos variables suele escribirse z = f (x , y) y se lee “fde x , y .”

4 Una ecuacion de un plano ax + by + cz = d , c 6= 0, describe unafuncion cuando se escribe como

z =d

c− a

cx − b

cy , f (x , y) =

d

c− a

cx − b

cy

Puesto que z es un polinomio en x y y , el dominio de la funcionconsiste en el plano xy completo.

Calculo Vectorial

Dominios e imagenes

Para funciones f : U ⊂ R2 −→ R, conviene a veces tener una

representacion geometrica del dominio U de f (el dominio es el mayorsubconjunto U del espacio R

2 para el cual la regla f (x , y) tenga sentidocon (x , y) ∈ U.).

Calculo Vectorial

Dominios e imagenes




Example

1 * Dado que f (x , y) = 4 +√

x2 − y2) encuentre f (1, 0), f (5, 3) yf (4,−2).

2 Dibuje el dominio de la funcion.

SOL: (a)

f (1, 0) =

f (5, 3) =

f (4,−2) =

Calculo Vectorial

Dominios e imagenes




Example

1 * Dado que f (x , y) = 4 +√



SOL: (b) Las coordenadas (x , y) debe cumplir x2 − y2 ≥ 0,

Calculo Vectorial

Dominios e imagenes




Example

1 * Dado que f (x , y) = 4 +√



SOL: (b) Las coordenadas (x , y) debe cumplir x2 − y2 ≥ 0, el dominioconsiste en la region sombreada de la figura.

Calculo Vectorial

Dominios e imagenes

Example

Encuentre el dominio de definicion de la funcion cuya formula esf (x , y) = y√

x−y2y encuentre los puntos (x , y) en los que f (x , y) = ±1.

SOL:

Calculo Vectorial

Dominios e imagenes

Example



SOL: Para que f (x , y) este definida, x − y2 > 0 es decir, x > y2.

Calculo Vectorial

Dominios e imagenes

Example



SOL: Para que f (x , y) este definida, x − y2 > 0 es decir, x > y2. Estedominio esta sombreado en la figura. Observe que la parabola en apareceen lınea punteada para indicar que NO esta incluida en el dominio de f .

Calculo Vectorial

Dominios e imagenes

Example



SOL: Para que f (x , y) este definida, x − y2 > 0 es decir, x > y2. Estedominio esta sombreado en la figura. Observe que la parabola en apareceen lınea punteada para indicar que NO esta incluida en el dominio de f .

Por otra parte f (x , y) = ±1 implica que y√x−y2

= ±1, es decir, x = 2y2.

Por lo tanto f (x , y) = ±1 se obtiene en cada punto de la parabolax = 2y2 [(x , y) 6= (0, 0)].

Calculo Vectorial

Dominios e imagenes

Example

Calcule el dominio para las siguientes funciones

1 f (x , y) =√

9− x2 − y2

2 f (x , y) = ln xy

3 f (x , y) =

√x2+y2−9

x

4 g(x , y , z) = x√9−x2

−y2−z2

5 g(x , y , z) = x+y+z√x2+y2+z2

Calculo Vectorial

Dominios e imagenes

Example


1 f (x , y) =√

9− x2 − y2

2 f (x , y) = ln xy

3 f (x , y) =

√x2+y2−9

x

4 g(x , y , z) = x√9−x2

−y2−z2

5 g(x , y , z) = x+y+z√x2+y2+z2

SOL: (1) Dominio: las coordenadas (x , y) deben satisfacer9− x2 − y2 ≥ 0. Es decir, el dominio de f consiste en la circunferenciax2 + y2 = 9 y su interior.

Calculo Vectorial

Dominios e imagenes

Example


1 f (x , y) =√

9− x2 − y2

2 f (x , y) = ln xy

3 f (x , y) =

√x2+y2

−9

x

4 g(x , y , z) = x√9−x2−y2−z2

5 g(x , y , z) = x+y+z√x2+y2+z2

SOL: (1) Dominio: las coordenadas (x , y) deben satisfacer9− x2 − y2 ≥ 0. Es decir, el dominio de f consiste en la circunferenciax2 + y2 = 9 y su interior.

Calculo Vectorial

Dominios e imagenes

Example


1 f (x , y) =√

9− x2 − y2

2 f (x , y) = ln xy

3 f (x , y) =

√x2+y2−9

x

4 g(x , y , z) = x√9−x2

−y2−z2

5 g(x , y , z) = x+y+z√x2+y2+z2

SOL: (2) Dominio: las coordenadas (x , y) deben satisfacer xy ≥ 0. Esdecir, el dominio de f es el primer y tercer cuadrante.

Calculo Vectorial

Dominios e imagenes

Example


1 f (x , y) =√

9− x2 − y2

2 f (x , y) = ln xy

3 f (x , y) =

√x2+y2−9

x

4 g(x , y , z) = x√9−x2

−y2−z2

5 g(x , y , z) = x+y+z√x2+y2+z2

SOL: (3) Dominio: las coordenadas (x , y) de esta funcion debensatisfacer x 6= 0 y x2 + y2 ≥ 9. Es decir, el dominio de f son los puntosque estan en el cırculo x2 + y2 = 9 o en su exterior.

Calculo Vectorial

Dominios e imagenes

Example


1 f (x , y) =√

9− x2 − y2

2 f (x , y) = ln xy

3 f (x , y) =

√x2+y2

−9

x

4 g(x , y , z) = x√9−x2−y2−z2

5 g(x , y , z) = x+y+z√x2+y2+z2

SOL: (3) Dominio: las coordenadas (x , y) de esta funcion debensatisfacer x 6= 0 y x2 + y2 ≥ 9. Es decir, el dominio de f son los puntosque estan en el cırculo x2 + y2 = 9 o en su exterior.

Calculo Vectorial

Dominios e imagenes

Example


1 f (x , y) =√

9− x2 − y2

2 f (x , y) = ln xy

3 f (x , y) =

√x2+y2−9

x

4 g(x , y , z) = x√9−x2

−y2−z2

5 g(x , y , z) = x+y+z√x2+y2+z2

SOL: (4) Dominio: las coordenadas (x , y , z) de esta funcion debensatisfacer x2 + y2 + z2 < 9. Es decir, el dominio se encuentran en elinterior de la esfera de radio 3 centrada en el origen.

Calculo Vectorial

Dominios e imagenes

Example


1 f (x , y) =√

9− x2 − y2

2 f (x , y) = ln xy

3 f (x , y) =

√x2+y2−9

x

4 g(x , y , z) = x√9−x2

−y2−z2

5 g(x , y , z) = x+y+z√x2+y2+z2

SOL: (5) Dominio: las coordenadas (x , y , z) de esta funcion debensatisfacer x2 + y2 + z2 > 0. Es decir, el dominio R

3\(0, 0, 0)

Calculo Vectorial

Geometrıa de las funciones de varias variables

Superficies en el espacio: La grafica de una ecuacion f (x , y) = 0 espor lo general una curva en el plano xy ,

Calculo Vectorial


Superficies en el espacio: La grafica de una ecuacion f (x , y) = 0 espor lo general una curva en el plano xy , la grafica de una ecuacionF (x , y , z) = 0 es generalmente una superficie en el espacio. De maneraque, una funcion F de tres variables asocia un numero real F (x , y , z) concada tercia ordenada (x , y , z) de numeros reales.

Calculo Vectorial


Superficies en el espacio: La grafica de una ecuacion f (x , y) = 0 espor lo general una curva en el plano xy , la grafica de una ecuacionF (x , y , z) = 0 es generalmente una superficie en el espacio. De maneraque, una funcion F de tres variables asocia un numero real F (x , y , z) concada tercia ordenada (x , y , z) de numeros reales. La grafica (dibujo) dela ecuacion

F (x , y , z) = 0

es el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas (x , y , z) satisfacenesta ecuacion y recibe el nombre de superficie.

Calculo Vectorial



F (x , y , z) = 0

es el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas (x , y , z) satisfacenesta ecuacion y recibe el nombre de superficie. Por ejemplo,

Esferas : (x − x0)2 + (y − y0)

2 + (z − z0)2 = r2

Planos : ax + by + cz + d = 0

Calculo Vectorial



F (x , y , z) = 0

es el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas (x , y , z) satisfacenesta ecuacion y recibe el nombre de superficie. Por ejemplo,

Esferas : (x − x0)2 + (y − y0)

2 + (z − z0)2 = r2

Planos : ax + by + cz + d = 0

Un tercer tipo de superficies que estudiaremos en el espacio son lasllamadas superficies cilındricas, superficies cuadraticas..

Calculo Vectorial

Superficies en el espacio

Planos y trazas: Para bosquejar una superficie S , en ocasiones es utilexaminar sus intersecciones con varios planos.

Calculo Vectorial


Planos y trazas: Para bosquejar una superficie S , en ocasiones es utilexaminar sus intersecciones con varios planos.La traza de la superficie S en el plano P es la interseccion de P y S . Porejemplo, si S es una esfera, se puede ver que la traza de S con un planoP es una circunferencia.

Calculo Vectorial


Planos y trazas: Para bosquejar una superficie S , en ocasiones es utilexaminar sus intersecciones con varios planos.La traza de la superficie S en el plano P es la interseccion de P y S . Porejemplo, si S es una esfera, se puede ver que la traza de S con un planoP es una circunferencia.

Cuando queremos visualizar una superficie especıfica en el espacio, sueleser suficiente analizar sus trazas en los planos coordenados yposiblemente unos cuantos planos paralelos a ellos

Calculo Vectorial


Example

Bosqueje el plano con ecuacion 3x + 2y + 2z = 6.

SOL:

Calculo Vectorial


Example


SOL: La traza con el plano coordenado z = 0 es la curva 3x + 2y = 6 enel plano xy .

Calculo Vectorial


Example


SOL: La traza con el plano coordenado z = 0 es la curva 3x + 2y = 6 enel plano xy . De manera similar, con y = 0 obtenemos la recta3x + 2z = 6 en el plano xz .

Calculo Vectorial


Example


SOL: La traza con el plano coordenado z = 0 es la curva 3x + 2y = 6 enel plano xy . De manera similar, con y = 0 obtenemos la recta3x + 2z = 6 en el plano xz . con x = 0 obtenemos la recta y + z = 3 enel plano yz .

Calculo Vectorial


Example


SOL: La traza con el plano coordenado z = 0 es la curva 3x + 2y = 6 enel plano xy . De manera similar, con y = 0 obtenemos la recta3x + 2z = 6 en el plano xz . con x = 0 obtenemos la recta y + z = 3 enel plano yz . Todas juntas dan una buena idea de como esta situado elplano 3x + 2y + 2z = 6 en el espacio.

Calculo Vectorial

Superficies Cilındricas

En R2 la grafica de la ecuacion x2 + y2 = 1 es una circunferencia

centrada en el origen del plano xy .

Calculo Vectorial


En R2 la grafica de la ecuacion x2 + y2 = 1 es una circunferencia

centrada en el origen del plano xy . Sin embargo, en R3 es posible

interpretar la grafica del conjunto

{(x , y , z) : x2 + y2 = 1, z arbitraria}

como una superficie que es el cilindro circular recto ver grafica

Calculo Vectorial


De modo similar, la grafica de una ecuacion tal como y + 2z = 2 es unarecta en el espacio R

2 (el plano yz),

Calculo Vectorial



2 (el plano yz), pero en el espacio tridimensional R3,la grafica

{(x , y , z) : y + 2z = 2, x arbitraria}es el plano perpendicular al plano yz .

Calculo Vectorial



2 (el plano yz), pero en el espacio tridimensional R3,la grafica

{(x , y , z) : y + 2z = 2, x arbitraria}es el plano perpendicular al plano yz .

Las superficies de este tipo reciben un nombre especial cilindros. Usamosel termino cilindro en un sentido mas general que el de un cilindrocircular recto. Especıficamente,

Calculo Vectorial

Superficies Cilindricas

Calculo Vectorial


DEF:si C es una curva en un plano y L es una recta no paralela al plano,entonces el conjunto de todos los puntos (x , y , z) generado al mover unalınea que recorra a C paralela a L se denomina cilindro.

Calculo Vectorial



En palabras mas coloniales, un cilindro se genera al deslizar la curva Cen la misma direccıon de la recta L, donde la recta L es representada porla variable que falta en su ecuacion.

Calculo Vectorial



En palabras mas coloniales, un cilindro se genera al deslizar la curva Cen la misma direccıon de la recta L, donde la recta L es representada porla variable que falta en su ecuacion. La curva C recibe el nombre degeneratriz del cilindro.

Calculo Vectorial


Como sugiere las graficas anteriores, cualquier curva

f (x , y) = c1, plano xy , g(x , z) = c2, plano xz , h(y , z) = c3, plano

definen un cilindro paralelo al eje z , eje y y eje x , respectivamente

Calculo Vectorial




definen un cilindro paralelo al eje z , eje y y eje x , respectivamente cuyaecuacion tambien es f (x , y) = c1, g(x , z) = c2 y h(y , z) = c3.

Calculo Vectorial




definen un cilindro paralelo al eje z , eje y y eje x , respectivamente cuyaecuacion tambien es f (x , y) = c1, g(x , z) = c2 y h(y , z) = c3.

Por tanto, concluimos que una curva en un plano, cuando se considerantres dimensiones, es un cilindro perpendicular a ese plano.

Calculo Vectorial


Example

Cilindros

Calculo Vectorial

Superficies Cuadricas

Calculo Vectorial


La ecuacion de la esfera (x − x0)2 + (y − y0)

2 + (z − z0)2 = r2 solo un

caso particular de la ecuacion general de segundo grado en tres variables

Ax2 + By2Cz2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0, (1)

donde A,B ,C , . . . , J son constantes.

Calculo Vectorial



2 + (z − z0)2 = r2 solo un



donde A,B ,C , . . . , J son constantes. La grafica de una ecuacion desegundo grado de la forma (??) que describe un conjunto real de puntosse dice que es una superficie cuadrica.

Calculo Vectorial



2 + (z − z0)2 = r2 solo un




Por ejemplo, el cilindro elıptico y el cilindro parabolico

x2

4+

y2

9= 1, z = y2

son superficies cuadricas.

Calculo Vectorial



2 + (z − z0)2 = r2 solo un




Por ejemplo, el cilindro elıptico y el cilindro parabolico

x2

4+

y2

9= 1, z = y2

son superficies cuadricas.

Hay seis tipos basicos de superficies cuadricas: elipsoide, hiperboloidede una hoja, hiperboloide de dos hojas, cono elıptico, paraboloide

elıptico y paraboloide hiperbolico.

Calculo Vectorial


*Elipsoide: La grafica de cualquier ecuacion de la forma

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1,

corta a los ejes coordenados en (±a, 0, 0), (0,±b, 0) y (0, 0,±c) losnumeros reales positivos a, b y c se llaman semiejes del elipsoide.

Calculo Vectorial


*Elipsoide: La grafica de cualquier ecuacion de la forma

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1,

corta a los ejes coordenados en (±a, 0, 0), (0,±b, 0) y (0, 0,±c) losnumeros reales positivos a, b y c se llaman semiejes del elipsoide. Lasuperficie es simetrica con respecto a cada uno de los planoscoordenados, ya que en la ecuacion que la define, cada variable estaelevada al cuadrado.

Calculo Vectorial


**Cono elıptico: La grafica de una ecuacion de la forma

x2

a2+

y2

b2=

z2

c2,

recibe el nombre de cono elıptico (o circular si el cono a = b)

Calculo Vectorial


**Paraboloide elıptico: La grafica de una ecuacion de la forma

x2

a2+

y2

b2=

z

c,

es simetrico con respecto a los planos x = 0 y y = 0.

Calculo Vectorial


**Paraboloide elıptico: La grafica de una ecuacion de la forma

x2

a2+

y2

b2=

z

c,

es simetrico con respecto a los planos x = 0 y y = 0. La unicainterseccion con los ejes es el origen. Excepto por este punto, lasuperficie esta completamente por arriba (si c > 0) o completamentedebajo (si c < 0 ) del plano xy , segun el signo de c .

Calculo Vectorial


**Hiperboloide de una hoja La grafica de una ecuacion de la forma

x2

a2+

y2

b2− z2

c2= 1,

se llama hiperboloide de una hoja.

Calculo Vectorial


**Hiperboloide de una hoja La grafica de una ecuacion de la forma

x2

a2+

y2

b2− z2

c2= 1,

se llama hiperboloide de una hoja. En este caso, un plano paralelo alplano xy , corta la superficie en secciones transversales elıpticas (ocirculares si a = b) y es simetrico con respecto a cada uno de los tresplanos coordenados.

Calculo Vectorial


**Hiperboloide de dos hojas La grafica de una ecuacion de la forma

z2

c2− x2

a2− y2

b2= 1,

se llama apropiadamente hiperboloide de dos hojas.

Calculo Vectorial


**Hiperboloide de dos hojas La grafica de una ecuacion de la forma

z2

c2− x2

a2− y2

b2= 1,

se llama apropiadamente hiperboloide de dos hojas. Es simetrico conrespecto a los tres planos coordenados. El plano z = 0 no corta a lasuperficie; de hecho, para que un plano horizontal corte a la superficie,debemos tener |z | ≥ c .

Calculo Vectorial


**Paraboloide hiperbolico: La grafica de una ecuacion de la forma

z

c=

y2

b2− x2

a2,

se conoce como paraboloide hiperbolico y tiene forma de una silla demontar.

Calculo Vectorial


**Paraboloide hiperbolico: La grafica de una ecuacion de la forma

z

c=

y2

b2− x2

a2,

se conoce como paraboloide hiperbolico y tiene forma de una silla demontar. Su traza en el plano horizontal z = z0 es una hiperbola (o dosrectas que se cruzan si z0 = 0).

Calculo Vectorial


Para clasificar una superficie cuadrica, se empieza por escribir la superficieen la forma canonica o estandar. Despues, se determinan varias trazas enlos planos coordenados o en planos paralelos a los planos coordenados.

Calculo Vectorial


Example

Clasificar y dibujar la superficie dada por 4x2 − 3y2 + 12z2 + 12 = 0

SOL:

Calculo Vectorial


Example


SOL: Se empieza por escribir la ecuacion en forma canonica

4x2 − 3y2 + 12z2 + 12 = 0

y2

4− x2

3− z2

1= 1

Calculo Vectorial


Example



4x2 − 3y2 + 12z2 + 12 = 0

y2

4− x2

3− z2

1= 1

se puede concluir que la superficie es un hiperboloide de dos hojas conel eje y como su eje.

Calculo Vectorial


Example



4x2 − 3y2 + 12z2 + 12 = 0

y2

4− x2

3− z2

1= 1

se puede concluir que la superficie es un hiperboloide de dos hojas conel eje y como su eje. Para esbozar la grafica de esta superficie, convienehallar las trazas en los planos coordenados.

Traza xy (z = 0)y2

4− x2

3= 1 Hiperbola

Traza xz (y = 0)x2

3+

z2

1= −1 No hay traza

Traza yz (x = 0)y2

4− z2

1= 1 Hiperbola

Calculo Vectorial


Example



4x2 − 3y2 + 12z2 + 12 = 0

y2

4− x2

3− z2

1= 1

se puede concluir que la superficie es un hiperboloide de dos hojas conel eje y como su eje.

Calculo Vectorial


Example

** Clasificar y dibujar la superficie dada por x − y2 − 4z2 = 0

SOL:

Calculo Vectorial


Example


SOL: La variable mas facil de despejar es x = y2 + 4z2, por ende lasuperficie es

Calculo Vectorial


Example


SOL: La variable mas facil de despejar es x = y2 + 4z2, por ende lasuperficie es un paraboloide que abre en el eje x . Estudiemos algunastrazas,

Traza xy (z = 0) x = y2 Parabola

Traza xz (y = 0) x = 4z2 Parabola

Paralelo al plano yz (x = 4)y2

4+

z2

1= 1 Elipse

Calculo Vectorial


Example


SOL: La variable mas facil de despejar es x = y2 + 4z2, por ende lasuperficie es un paraboloide que abre en el eje x . La superficie es unparaboloide elıptico.

Calculo Vectorial


Example

** Clasificar y dibujar la superficie dada por z = 4− x2 − y2.

SOL:

Calculo Vectorial


Example


SOL: Al escribir la ecuacion como −(z − 4) = x2 + y2. reconocemos laecuacion de un paraboloide.

Calculo Vectorial


Example


SOL: Al escribir la ecuacion como −(z − 4) = x2 + y2. reconocemos laecuacion de un paraboloide. El signo menos enfrente del termino en ellado izquierdo de la igualdad indica que la grafica del paraboloide abrehacia abajo a partir de (0, 0, 4).

Calculo Vectorial


EJERCICIO:Clasificar y dibujar las superficies dadas pora) x2 + 2y2 + z2 − 4x + 4y − 2z + 3 = 0.b) 2x2 − 4y2 + z2 = 0c) −2x2 + 4y2 + z2 = −36

Calculo Vectorial

Graficas

Como en el caso de las funciones de una sola variable, se puede sabermucho acerca del comportamiento de una funcion de dos variablesdibujando su grafica.

Calculo Vectorial

Graficas

Como en el caso de las funciones de una sola variable, se puede sabermucho acerca del comportamiento de una funcion de dos variablesdibujando su grafica. La grafica de una funcion f de dos variables es elconjunto de todos los puntos (x , y , z) para los que z = f (x , y) y (x , y)esta en el dominio de f .

Calculo Vectorial

Graficas


1 La grafica puede interpretarsegeometricamente como una superficie enel espacio.

Calculo Vectorial

Graficas



2 la grafica de z = f (x , y) es una superficiecuya proyeccion sobre el plano xy es D, eldominio de f .

Calculo Vectorial

Graficas



2 la grafica de z = f (x , y) es una superficiecuya proyeccion sobre el plano xy es D, eldominio de f .

3 A cada punto (x , y) en D corresponde unpunto (x , y , z) de la superficie y, viceversa,a cada punto (x , y , z) de la superficie lecorresponde un punto (x , y) en D.

Calculo Vectorial

Graficas

Example

** ¿Cual es el rango de f (x , y) =√

16− 4x2 − y2. Describir la graficade f .

SOL:

Calculo Vectorial

Graficas

Example



SOL: Para que f (x , y) este definida, 16− 4x2 − y2 ≥ 0. Por tanto, eldominio D es el conjunto de todos los puntos que pertenecen o soninteriores a la elipse dada por

x2

4+

y2

16= 1

Calculo Vectorial

Graficas

Example




x2

4+

y2

16= 1

El rango de f esta formado por todos los valoresz = f (x , y) tales que 0 ≤ z ≤ 4.

Calculo Vectorial

Graficas

Example




x2

4+

y2

16= 1

El rango de f esta formado por todos los valoresz = f (x , y) tales que 0 ≤ z ≤ 4. Un punto(x , y , z) esta en la grafica de f si y solo si

z2 = 16−4x2−y2,x2

4+y2

16+z2

16= 1, 0 ≤ z ≤ 4

Por lo tanto, la grafica de f es la mitad superiorde un elipsoide.

Calculo Vectorial

Graficas

Example




x2

4+

y2

16= 1

El rango de f esta formado por todos los valoresz = f (x , y) tales que 0 ≤ z ≤ 4. Un punto(x , y , z) esta en la grafica de f si y solo si

z2 = 16−4x2−y2,x2

4+y2

16+z2

16= 1, 0 ≤ z ≤ 4

Por lo tanto, la grafica de f es la mitad superiorde un elipsoide. Calculo Vectorial

Graficas

Example

** Dibuje la grafica de la funcion f (x , y) = 2− 12x − 1

3y.

SOL: No es difıcil ver que la grafica z = 2− 12x − 1

3y es un plano, y paravisualizarlo usamos las trazas.

Calculo Vectorial

Graficas

Example

** Dibuje la grafica de la funcion f (x , y) = 2− 12x − 1

3y.

SOL: No es difıcil ver que la grafica z = 2− 12x − 1

3y es un plano, y paravisualizarlo usamos las trazas. Es claro que z = 2 si x = y = 0.Asimismo, y = 6 si x = z = 0 y x = 4 si y = z = 0.

Calculo Vectorial

Curvas de nivel

En general, si una funcion de dos variables esta dada por z = f (x , y)entonces el conjunto de puntos (x , y) en el dominio de f dondef (x , y) = c tiene un valor constante es una curva de nivel de f .

Calculo Vectorial

Curvas de nivel

En general, si una funcion de dos variables esta dada por z = f (x , y)entonces el conjunto de puntos (x , y) en el dominio de f dondef (x , y) = c tiene un valor constante es una curva de nivel de f . Elconjunto de todos los puntos (x , y , f (x , y)) en el espacio, para (x , y) enel dominio de f , se llama la grafica de f o tambien se les llama superficiez = f (x , y).

Calculo Vectorial

Curvas de nivel

NOTA: La curva en el espacio donde el plano z = c corta a unasuperficie z = f (x , y) esta formada por los puntos que representan elvalor de la funcion f (x , y) = c . A esta se le llama curva de contorno paradistinguirla de la curva de nivel f (x , y) = c en el dominio de f .

Calculo Vectorial

Curvas de nivel

NOTA: La curva en el espacio donde el plano z = c corta a unasuperficie z = f (x , y) esta formada por los puntos que representan elvalor de la funcion f (x , y) = c . A esta se le llama curva de contorno paradistinguirla de la curva de nivel f (x , y) = c en el dominio de f .

Sin embargo, no todo mundo hace esta distincion; por ejemplo en lamayorıa de los mapas, a las curvas que representan una elevacion (alturasobre el nivel del mar) se les llama contornos, no curvas de nivel.

Calculo Vectorial

Curvas de nivel

Example

* Grafique f (x , y) = 100− x2 − y2 y trace las curvas de nivelf (x , y) = 0, f (x , y) = 51 y f (x , y) = 75 en el dominio de f en el plano.

SOL:

Calculo Vectorial

Curvas de nivel

Example

* Grafique f (x , y) = 100− x2 − y2 y trace las curvas de nivelf (x , y) = 0, f (x , y) = 51 y f (x , y) = 75 en el dominio de f en el plano.

SOL: El dominio de f es , y el rango de f es elconjunto de numeros reales . La grafica es

. La curva de nivel f (x , y) = 0 es claramente, ya que,

las curvas f (x , y) = 51 y f (x , y) = 75 son. Pues,

Calculo Vectorial

Curvas de nivel

Example

** Halle las curvas de nivel de una funcion polinomial f (x , y) = y2 − x2

SOL: las curvas de nivel son dadas por f (x , y) = c es decir, es unafamilia de curvas dadas por y2 − x2 = c .

Calculo Vectorial

Curvas de nivel

Example

** Halle las curvas de nivel de una funcion polinomial f (x , y) = y2 − x2

SOL: las curvas de nivel son dadas por f (x , y) = c es decir, es una familiade curvas dadas por y2 − x2 = c . Observe que si c 6= 0 las curvas sonhiperbolas, pero si c = 0 las curvas son rectas y = x y y = −x .

Calculo Vectorial

Curvas de nivel

Example

* Estudie las curvas de nivel del paraboloide z = 25− x2 − y2

SOL: las curvas de nivel son dadas por f (x , y) = c es decir, curvas dadaspor x2 + y2 = 25− c .

Calculo Vectorial

Curvas de nivel

Example

* Estudie las curvas de nivel del paraboloide z = 25− x2 − y2

SOL: las curvas de nivel son dadas por f (x , y) = c es decir, curvas dadaspor x2 + y2 = 25− c . Por tanto las curvas de nivel son circuferencias.

Calculo Vectorial

Superficies de nivel

Superficies de nivel Para una funcion de tres variables, w = f (x , y , z) lassuperficies definidas por f (x , y , z) = c donde c es una constante, sellaman superficies de nivel de la funcion f .

Calculo Vectorial


Superficies de nivel Para una funcion de tres variables, w = f (x , y , z) lassuperficies definidas por f (x , y , z) = c donde c es una constante, sellaman superficies de nivel de la funcion f . Aquı NO graficamos lafuncion pues

Calculo Vectorial


Superficies de nivel Para una funcion de tres variables, w = f (x , y , z) lassuperficies definidas por f (x , y , z) = c donde c es una constante, sellaman superficies de nivel de la funcion f . Aquı NO graficamos lafuncion pues los puntos (x , y , z , f (x , y , z)) que estan en R

4;

Calculo Vectorial



4; buscamos lassuperficies de nivel porque muestran en que forma cambian los valores dela funcion al movernos por el dominio.

Calculo Vectorial




Example

1 * Las superficies de nivel del polinomio f (x , y , z) = x − 2y + 3z sonuna familia de planos paralelos definidos por x − 2y + 3z = c

Calculo Vectorial




Example


2 *Las superficies de nivel del polinomio f (x , y , z) = x2 + y2 + z2 sonuna familia de esferas concentricas definidas por x2 + y2 + z2 = c.c > 0.

Calculo Vectorial




Example


2 *Las superficies de nivel del polinomio f (x , y , z) = x2 + y2 + z2 sonuna familia de esferas concentricas definidas por x2 + y2 + z2 = c.c > 0.

3 *Las superficies de nivel de una funcion racional f (x , y , z) = x2+y2

z

estan dadas por x2+y2

z= c o x2 + y2 = cz. Es decir, las superficies

de nivel son paraboloides

Calculo Vectorial




Calculo Vectorial


Example

* Estudie las superficies de nivel de la funcion f (x , y) = x2 + y2 − z2

SOL: La superficies de nivel estan dadas por x2 + y2 − z2 = c . Demanera que si c > 0 entonces obtenemos hiperboloides de una hoja,

Calculo Vectorial


Example


SOL: La superficies de nivel estan dadas por x2 + y2 − z2 = c . Demanera que si c > 0 entonces obtenemos hiperboloides de una hoja,mientras que si c < 0, entonces es un hiperboloide de dos hojas.

Calculo Vectorial


Example


SOL: La superficies de nivel estan dadas por x2 + y2 − z2 = c . Demanera que si c > 0 entonces obtenemos hiperboloides de una hoja,mientras que si c < 0, entonces es un hiperboloide de dos hojas. El conox2 + y2 − z2 = 0 se encuentra entre estos dos tipos de hiperboloides.

Calculo Vectorial

Lımites y continuidad

En el caso de funciones de una variable, en muchos casos es factiblehacer un juicio acerca de la existencia de lim

x→af (x) a partir de la grafica

de y = f (x).

Calculo Vectorial




de y = f (x). Tambien se aprovecha que

limx→a

f (x) existe si y solo si limx→a−

f (x), limx→a+

f (x) existe

Calculo Vectorial





limx→a


f (x), limx→a+

f (x) existe

y si limx→a

f (x) = L.

Calculo Vectorial





limx→a


f (x), limx→a+

f (x) existe

y si limx→a

f (x) = L.

En esta seccion veremos que la situacion es mas DIFICIL en laconsideracion de lımites de funciones de dos variables.

Calculo Vectorial





limx→a


f (x), limx→a+

f (x) existe

y si limx→a

f (x) = L.


Conjuntos abiertos y cerrados Utilizando la formula para la distanciaentre dos puntos (x , y) y (x0, y0) en el plano, se puede definir el entornode (x0, y0) como el disco con radio δ > 0 centrado en (x0, y0)

D ={

(x , y) :√

(x − x0)2 + (y − y0)2 < δ}

Calculo Vectorial





limx→a


f (x), limx→a+

f (x) existe

y si limx→a

f (x) = L.



D ={

(x , y) :√

(x − x0)2 + (y − y0)2 < δ}

1 Cuando contine el signo es “menor que”, <, al disco se le llamaabierto,

Calculo Vectorial





limx→a


f (x), limx→a+

f (x) existe

y si limx→a

f (x) = L.



D ={

(x , y) :√

(x − x0)2 + (y − y0)2 < δ}

1 Cuando contine el signo es “menor que”, <, al disco se le llamaabierto,

2 Cuando contiene el signo “menor o igual que”, ≤ al disco se lellama cerrado.

Calculo Vectorial


1 Un punto (x0, y0) en una region R es un punto interior de R siexiste un entorno δ de (x0, y0) que este contenido completamente R .

Calculo Vectorial



2 Si todo punto de R es un punto interior, entonces es una region

abierta.

Calculo Vectorial




abierta.3 Un punto (x0, y0) es un punto frontera de R si todo disco abierto

centrado (x0, y0) contiene puntos dentro de R y puntos fuera de R

Calculo Vectorial





centrado (x0, y0) contiene puntos dentro de R y puntos fuera de R4 Si una region contiene todos sus puntos frontera, la region es

cerrada.

Calculo Vectorial






cerrada.5 Una region que contiene algunos pero no todos sus puntos frontera

no es ni abierta ni cerrada.

Calculo Vectorial






cerrada.5 Una region que contiene algunos pero no todos sus puntos frontera

no es ni abierta ni cerrada.6 La region R esta acotada si puede estar contenida en un rectangulo

o disco suficientemente grande en el plano.

Calculo Vectorial


Las definiciones de interior, frontera, abierta, cerrada, acotada y noacotada para las regiones en el espacio, son similares a las de las regionesen el plano.

Calculo Vectorial


Las definiciones de interior, frontera, abierta, cerrada, acotada y noacotada para las regiones en el espacio, son similares a las de las regionesen el plano. Para considerar la dimension extra, ahora usamos esferassolidas de radio positivo en lugar de discos.

Calculo Vectorial



1 (x0, y0, z0) en una region R del espacio es un punto interior de R , sies el centro de una bola solida que esta completamente dentro de R

Calculo Vectorial




2 (x0, y0, z0) es un punto frontera de R si toda esfera con centro en(x0, y0, z0) contiene puntos que estan fuera de R y puntos que estanen R

Calculo Vectorial





3 El interior de R es el conjunto de puntos interiores de R .

Calculo Vectorial





3 El interior de R es el conjunto de puntos interiores de R .4 La frontera de R es el conjunto de puntos frontera de R .

Calculo Vectorial





3 El interior de R es el conjunto de puntos interiores de R .4 La frontera de R es el conjunto de puntos frontera de R .5 Una region es abierta si consta solo de puntos interiores.

Calculo Vectorial





3 El interior de R es el conjunto de puntos interiores de R .4 La frontera de R es el conjunto de puntos frontera de R .5 Una region es abierta si consta solo de puntos interiores.6 Una region es cerrada si contiene a toda su frontera.

Calculo Vectorial

Lımites de funciones de dos variables

Analizar un lımite dibujando la grafica de z = f (x , y) NO esconveniente ni es una rutina posible para la mayor parte de las funcionesde dos variables.

Calculo Vectorial


Analizar un lımite dibujando la grafica de z = f (x , y) NO esconveniente ni es una rutina posible para la mayor parte de las funcionesde dos variables. Por intuicion sabemos que f tiene un lımite en un punto(a, b) si

lim(x,y)→(a,b)

f (x , y) = L

Calculo Vectorial



lim(x,y)→(a,b)

f (x , y) = L

Para tener un poco mas de precision,los puntos en el espacio (x , y , f (x , y))pueden hacerse arbitrariamente cercanosa (a, b, L) siempre que (x , y) sea suficien-temente cercano a (a, b)

Calculo Vectorial



lim(x,y)→(a,b)

f (x , y) = L

Para tener un poco mas de precision,los puntos en el espacio (x , y , f (x , y))pueden hacerse arbitrariamente cercanosa (a, b, L) siempre que (x , y) sea suficien-temente cercano a (a, b)

La nocion de (x , y) “aproximandose” a unpunto (a, b) no es tan simple como parafunciones de una variable donde x → asignifica que x puede acercarse a a solodesde la izquierda y desde la derecha.

Calculo Vectorial


Calculo Vectorial


En el plano xy hay un numero infinito de maneras de aproximarse alpunto (a, b) para que

lim(x,y)→(a,b)

f (x , y) exista

Calculo Vectorial



lim(x,y)→(a,b)

f (x , y) exista

requerimos ahora que f se aproxime al mismo numero L a lo largo decualquier trayectoria o curva posible que pase por (a, b).

Calculo Vectorial



lim(x,y)→(a,b)

f (x , y) exista


1 Si f (x , y) no se aproxima al mismo numero L por dos trayectoriasdiferentes a (a, b), entonces lim

(x,y)→(a,b)f (x , y) NO existe.

Calculo Vectorial



lim(x,y)→(a,b)

f (x , y) exista


1 Si f (x , y) no se aproxima al mismo numero L por dos trayectoriasdiferentes a (a, b), entonces lim

(x,y)→(a,b)f (x , y) NO existe.

2 En la discusion de lim(x,y)→(a,b)

f (x , y) se supondra que la funcion f

esta definida en todo punto (x , y) en un disco abierto centrado en(a, b) pero no necesariamente en el propio (a, b).

Calculo Vectorial


Example

Demuestre que lim(x,y)→(0,0)

x2 − 3y2

x2 + 2y2NO existe.

SOL:

Calculo Vectorial


Example


x2 − 3y2

x2 + 2y2NO existe.

SOL: El dominio de f es R2\(0, 0).

Calculo Vectorial


Example


x2 − 3y2

x2 + 2y2NO existe.

SOL: El dominio de f es R2\(0, 0). Aproximemos a (0, 0) por el eje x yel eje y .

Calculo Vectorial


Example


x2 − 3y2

x2 + 2y2NO existe.

SOL: El dominio de f es R2\(0, 0). Aproximemos a (0, 0) por el eje x yel eje y . Por tanto,

lim(x,y)→(0,0)

y=0

x2 − 3y2

x2 + 2y2=

lim(x,y)→(0,0)

x=0

x2 − 3y2

x2 + 2y2=

Calculo Vectorial


Example


x2 − 3y2

x2 + 2y2NO existe.


lim(x,y)→(0,0)

y=0

x2 − 3y2

x2 + 2y2= lim

(x,0)→(0,0)

x2

x2= 1

lim(x,y)→(0,0)

x=0

x2 − 3y2

x2 + 2y2=

Calculo Vectorial


Example


x2 − 3y2

x2 + 2y2NO existe.


lim(x,y)→(0,0)

y=0

x2 − 3y2

x2 + 2y2= lim

(x,0)→(0,0)

x2

x2= 1

lim(x,y)→(0,0)

x=0

x2 − 3y2

x2 + 2y2= lim

(0,y)→(0,0)

3y2

2y2= −3

2

Por tanto, el lımite NO existe.

Calculo Vectorial


Example


xy

x2 + y2no existe.

SOL:

Calculo Vectorial


Example


xy

x2 + y2no existe.


Calculo Vectorial


Example


xy

x2 + y2no existe.


lim(x,y)→(0,0)

y=0

xy

x2 + y2=

lim(x,y)→(0,0)

x=0

xy

x2 + y2=

Calculo Vectorial


Example


xy

x2 + y2no existe.


lim(x,y)→(0,0)

y=0

xy

x2 + y2= lim

(x,0)→(0,0)

0

x2= 0

lim(x,y)→(0,0)

x=0

xy

x2 + y2=

Calculo Vectorial


Example


xy

x2 + y2no existe.


lim(x,y)→(0,0)

y=0

xy

x2 + y2= lim

(x,0)→(0,0)

0

x2= 0

lim(x,y)→(0,0)

x=0

xy

x2 + y2= lim

(0,y)→(0,0)

0

y2= 0

Calculo Vectorial


Example


xy

x2 + y2no existe.


lim(x,y)→(0,0)

y=0

xy

x2 + y2= lim

(x,0)→(0,0)

0

x2= 0

lim(x,y)→(0,0)

x=0

xy

x2 + y2= lim

(0,y)→(0,0)

0

y2= 0

Sin embargo, esto NOOOOO significa que lim(x,y)→(0,0)

xy

x2 + y2exista, ya

que no se ha examinado toda trayectoria a (0, 0).

Calculo Vectorial


Example


xy

x2 + y2no existe.


lim(x,y)→(0,0)

y=0

xy

x2 + y2= lim

(x,0)→(0,0)

0

x2= 0

lim(x,y)→(0,0)

x=0

xy

x2 + y2= lim

(0,y)→(0,0)

0

y2= 0


xy

x2 + y2exista, ya

que no se ha examinado toda trayectoria a (0, 0). Ahora, usemos todaslas rectas que pasan por el origen y = mx .

Calculo Vectorial


Example


xy

x2 + y2no existe.


lim(x,y)→(0,0)

y=0

xy

x2 + y2= lim

(x,0)→(0,0)

0

x2= 0

lim(x,y)→(0,0)

x=0

xy

x2 + y2= lim

(0,y)→(0,0)

0

y2= 0


xy

x2 + y2exista, ya


lim(x,y)→(0,0)y=mx

xy

x2 + y2=

Calculo Vectorial


Example


xy

x2 + y2no existe.


lim(x,y)→(0,0)

y=0

xy

x2 + y2= lim

(x,0)→(0,0)

0

x2= 0

lim(x,y)→(0,0)

x=0

xy

x2 + y2= lim

(0,y)→(0,0)

0

y2= 0


xy

x2 + y2exista, ya



xy

x2 + y2= lim

(x,mx)→(0,0)

mx2

x2 +m2x2=

m

1 +m2

Calculo Vectorial


Example


xy

x2 + y2no existe.

SOL: Ahora, usemos todas las rectas que pasan por el origen y = mx .


xy

x2 + y2= lim

(x,mx)→(0,0)

mx2

x2 +m2x2=

m

1 +m2

Ahora el limite depende de la pendiente m de la recta, concluimos que ellımite no existe. Por ejemplo, tomando las rectas y = x y en y = 2xtenemos,

Calculo Vectorial


Example


xy

x2 + y2no existe.

SOL: Ahora, usemos todas las rectas que pasan por el origen y = mx .


xy

x2 + y2= lim

(x,mx)→(0,0)

mx2

x2 +m2x2=

m

1 +m2

Ahora el limite depende de la pendiente m de la recta, concluimos que ellımite no existe. Por ejemplo, tomando las rectas y = x y en y = 2xtenemos,

lim(x,y)→(0,0)

y=x

xy

x2 + y2= lim

(x,x)→(0,0)

x2

x2 + x2=

1

2

lim(x,y)→(0,0)

y=2x

xy

x2 + y2= lim

(x,2x)→(0,0)

2x2

x2 + 4x2=

2

5

Calculo Vectorial


Example

** Demuestre que lim(x,y)→(0,0)

x3y

x6 + y2NO existe.

SOL:

Calculo Vectorial


Example


x3y

x6 + y2NO existe.

SOL: El dominio de f es R2\(0, 0). Aproximemos a (0, 0) por el eje x , eleje y y por rectas y = mx

Calculo Vectorial


Example


x3y

x6 + y2NO existe.


lim(x,y)→(0,0)

y=0

x3y

x6 + y2=

lim(x,y)→(0,0)

x=0

x3y

x6 + y2=


x3y

x6 + y2=

Calculo Vectorial


Example


x3y

x6 + y2NO existe.


lim(x,y)→(0,0)

y=0

x3y

x6 + y2= lim

(x,0)→(0,0)

0

x6= 0

lim(x,y)→(0,0)

x=0

x3y

x6 + y2=


x3y

x6 + y2=

Calculo Vectorial


Example


x3y

x6 + y2NO existe.


lim(x,y)→(0,0)

y=0

x3y

x6 + y2= lim

(x,0)→(0,0)

0

x6= 0

lim(x,y)→(0,0)

x=0

x3y

x6 + y2= lim

(0,y)→(0,0)

0

y2= 0


x3y

x6 + y2=

Calculo Vectorial


Example


x3y

x6 + y2NO existe.


lim(x,y)→(0,0)

y=0

x3y

x6 + y2= lim

(x,0)→(0,0)

0

x6= 0

lim(x,y)→(0,0)

x=0

x3y

x6 + y2= lim

(0,y)→(0,0)

0

y2= 0


x3y

x6 + y2= lim

(x,mx)→(0,0)

mx4

x6 +m2x2= 0

Calculo Vectorial


Example


x3y

x6 + y2NO existe.


lim(x,y)→(0,0)

y=0

x3y

x6 + y2= lim

(x,0)→(0,0)

0

x6= 0

lim(x,y)→(0,0)

x=0

x3y

x6 + y2= lim

(0,y)→(0,0)

0

y2= 0


x3y

x6 + y2= lim

(x,mx)→(0,0)

mx4

x6 +m2x2= 0

Si bien esto constituye verdaderamente un numero infinito de trayectoriasal origen, el lımite sigue sin existir,

Calculo Vectorial


Example


x3y

x6 + y2NO existe.

SOL: ya que tomando la trayectoria dada por y = x3

Calculo Vectorial


Example


x3y

x6 + y2NO existe.

SOL: ya que tomando la trayectoria dada por y = x3

lim(x,y)→(0,0)

y=x3

x3y

x6 + y2= lim

(x,x3)→(0,0)

x6

x6 + x6=

1

2

Por tanto, concluimos que el lımite NO existe.

Calculo Vectorial


Example (Uso de coordenadas polares)

Evalue lim(x,y)→(0,0)

10xy2

x2 + y2.

SOL:

Calculo Vectorial




10xy2

x2 + y2.

SOL: Usando las coordenadas polares x = r cos θ y y = rsinθ tenemos

Calculo Vectorial




10xy2

x2 + y2.


10xy2

x2 + y2=

10r3 cos θsin2θ

r2= 10r cos θ sin2 θ

Calculo Vectorial




10xy2

x2 + y2.


10xy2

x2 + y2=

10r3 cos θsin2θ

r2= 10r cos θ sin2 θ

Por tanto,

lim(x,y)→(0,0)

10xy2

x2 + y2= lim

r→010r cos θ sin2 θ = 0

Calculo Vectorial

Definicion formal de un lımite

Definicion

Suponga que una funcion f de dos variables se define en cualquier puntoen un disco abierto centrado en (a, b) salvo posiblemente en (a, b).Entonces

lim(x,y)→(a,b)

f (x , y) = L

significa que para toda ǫ > 0, existe un numero δ > 0 tal que

|f (x , y)− L| < ǫ, siempre que 0 <√

(x − a)2 + (y − a)2 < δ

Calculo Vectorial


Example


10xy2

x2 + y2= 0.

SOL:

Calculo Vectorial


Example


10xy2

x2 + y2= 0.

SOL: Sea ǫ > 0 fijo, deseamos encontrar un δǫ > 0 tal que si

‖(x , y)− (0, 0)‖ < δǫ ⇒∣

∣

∣f (x , y)− 0

∣

∣

∣< ǫ

Calculo Vectorial


Example


10xy2

x2 + y2= 0.


√

x2 + y2 < δǫ ⇒∣

∣

∣f (x , y)− 0

∣

∣

∣< ǫ

Calculo Vectorial


Example


10xy2

x2 + y2= 0.


√

x2 + y2 < δǫ ⇒∣

∣

∣

10xy2

x2 + y2− 0∣

∣

∣< ǫ

Calculo Vectorial


Example


10xy2

x2 + y2= 0.


√

x2 + y2 < δǫ ⇒∣

∣

∣

10xy2

x2 + y2− 0∣

∣

∣< ǫ

Observe que∣

∣

∣

10xy2

x2 + y2− 0∣

∣

∣= 10|x | y2

x2 + y2

Calculo Vectorial


Example


10xy2

x2 + y2= 0.


√

x2 + y2 < δǫ ⇒∣

∣

∣

10xy2

x2 + y2− 0∣

∣

∣< ǫ

Observe que∣

∣

∣

10xy2

x2 + y2− 0∣

∣

∣= 10|x | y2

x2 + y2

≤ 10|x |y2

y2= 10|x | = 10

√x2

Calculo Vectorial


Example


10xy2

x2 + y2= 0.


√

x2 + y2 < δǫ ⇒∣

∣

∣

10xy2

x2 + y2− 0∣

∣

∣< ǫ

Observe que∣

∣

∣

10xy2

x2 + y2− 0∣

∣

∣= 10|x | y2

x2 + y2

≤ 10|x |y2

y2= 10|x | = 10

√x2 ≤ 10

√

x2 + y2

Calculo Vectorial


Example


10xy2

x2 + y2= 0.


√

x2 + y2 < δǫ ⇒∣

∣

∣

10xy2

x2 + y2− 0∣

∣

∣< ǫ

Observe que∣

∣

∣

10xy2

x2 + y2− 0∣

∣

∣= 10|x | y2

x2 + y2

≤ 10|x |y2

y2= 10|x | = 10

√x2 ≤ 10

√

x2 + y2

< 10δǫ.

Calculo Vectorial


Example


10xy2

x2 + y2= 0.


√

x2 + y2 < δǫ ⇒∣

∣

∣

10xy2

x2 + y2− 0∣

∣

∣< ǫ

Observe que∣

∣

∣

10xy2

x2 + y2− 0∣

∣

∣= 10|x | y2

x2 + y2

≤ 10|x |y2

y2= 10|x | = 10

√x2 ≤ 10

√

x2 + y2

< 10δǫ.

De modo que si se elige δǫ =ǫ

10 , logramos tener∣

∣

∣

10xy2

x2+y2 − 0∣

∣

∣< 10δǫ = ǫ.

Calculo Vectorial


Example


10xy2

x2 + y2= 0.


√

x2 + y2 < δǫ ⇒∣

∣

∣

10xy2

x2 + y2− 0∣

∣

∣< ǫ

Observe que∣

∣

∣

10xy2

x2 + y2− 0∣

∣

∣= 10|x | y2

x2 + y2

≤ 10|x |y2

y2= 10|x | = 10

√x2 ≤ 10

√

x2 + y2

< 10δǫ.

De modo que si se elige δǫ =ǫ

10 , logramos tener∣

∣

∣

10xy2

x2+y2 − 0∣

∣

∣< 10δǫ = ǫ.

Esto demuestra que lim(x,y)→(0,0)

10xy2

x2 + y2= 0

Calculo Vectorial

Continuidad

DEFINICION: Una funcion z = f (x , y) es continua en (a, b) si

lim(x,y)→(a,b)

f (x , y) = f (a, b)

Si f no es continua en (a, b) se afirma que es discontinua.

Calculo Vectorial

Continuidad


lim(x,y)→(a,b)

f (x , y) = f (a, b)


1 La grafica de una funcion continua es una superficie sin quiebres.

Calculo Vectorial

Continuidad


lim(x,y)→(a,b)

f (x , y) = f (a, b)



2 Una funcion z = f (x , y) es continua sobre un region R del planoxy si f es continua en cualquier punto en R .

Calculo Vectorial

Continuidad


lim(x,y)→(a,b)

f (x , y) = f (a, b)




3 La suma y el producto de dos funciones continuas tambien soncontinuas.

Calculo Vectorial

Continuidad


lim(x,y)→(a,b)

f (x , y) = f (a, b)





4 El cociente de dos funciones continuas es continuo, excepto en elpunto donde el denominador es cero.

Calculo Vectorial

Continuidad


lim(x,y)→(a,b)

f (x , y) = f (a, b)





4 El cociente de dos funciones continuas es continuo, excepto en elpunto donde el denominador es cero.

5 Si g es una funcion de dos variables continuas en (a, b) y F es unafuncion de una variable continua en g(a, b) entonces lacomposicion f (x , y) = F ◦ g(x , y) es continua en (a, b).

Calculo Vectorial

Continuidad

Example

Demuestre que la funcion f (x , y) = x4−y4

x2+y2 es discontinua en (0, 0), pero

F (x , y) =

{

x4−y4

x2+y2 (x , y) 6= (0, 0)

0 (x , y) = (0, 0)

es continua en (0, 0).

SOL:

Calculo Vectorial

Continuidad

Example



F (x , y) =

{

x4−y4

x2+y2 (x , y) 6= (0, 0)

0 (x , y) = (0, 0)


SOL: Claramente la funcion f (x , y) es discontinua en (0, 0), ya quef (0, 0) no esta definida.

Calculo Vectorial

Continuidad

Example



F (x , y) =

{

x4−y4

x2+y2 (x , y) 6= (0, 0)

0 (x , y) = (0, 0)


SOL: Claramente la funcion f (x , y) es discontinua en (0, 0), ya quef (0, 0) no esta definida.Por otra parte, F (0, 0) = 0 y

lim(x,y)→(0,0)

x4 − y4

x2 + y2= lim

(x,y)→(0,0)

(x2 − y2)(x2 + y2)

x2 + y2= 0

Calculo Vectorial

Continuidad

Example



F (x , y) =

{

x4−y4

x2+y2 (x , y) 6= (0, 0)

0 (x , y) = (0, 0)


SOL: Claramente la funcion f (x , y) es discontinua en (0, 0), ya quef (0, 0) no esta definida.Por otra parte, F (0, 0) = 0 y

lim(x,y)→(0,0)

x4 − y4

x2 + y2= lim

(x,y)→(0,0)

(x2 − y2)(x2 + y2)

x2 + y2= 0

Por consiguiente, advertimos que lim(x,y)→(0,0)

F (x , y) = F (0, 0). Es decir

F es continua

Calculo Vectorial

Funciones VectorialesFunciones Vectoriales Example Graﬁque la funci´on vectorial r(t) =...

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