Funciones trigonometricas

RECURSO DIDÁCTICO

Trigonometría

Presentación Desarrollada por:Martín Miranda [email protected]

Contenido de la Presentación:

o Función (Ir..)o Función Goniométrica (Ir..)o Función Trigonométrica (Ir..)o Circunferencia Trigonométrica (Ir..

)o Variación de Signos (Ir..)o Rango de Valores (Ir..)o Breve Análisis de las Funciones:

o Seno (Ir..)o Coseno (Ir..)o Tangente (Ir..)

FUNCIONES

Por tanto, una “función” implica: una conexión, una correspondencia, un enlace, vínculo o nexo.. entre dos variables

Es una relación entre dos variablesSi se llama a una función “f” y a dos variables “X” e “Y”, entonces…

La notación de dicha función “f” sería:

YQue se lee: [ f es una función “de X a Y” ]o también: [ f es una función “entre X e Y” ]

¿Qué es una Función?

La función “f” indicaría que la variable “X” está relacionada con la variable “Y”

X

Sino de una Relación donde:

Y¿Qué es una Función?

Pero tampoco se trata de cualquier relación o correspondencia…

XEl valor de la segunda variable “Y”depende del valor de la primera variable “X”

YX “X” da valor a “Y”

“Y” depende de “X”

Entonces si “X” contiene figuras geométricas e “Y” contiene cantidad de lados:


Y dicha Relación o Dependencia es de tal manera que:

Como a cada figura geométrica corresponde un único número de lados…

A cada valor de la primera variable “X” se le asocia un único valor de la segunda variable “Y”

YXƒ:3

4

5

YX

Entonces si “X” contiene figuras geométricas e “Y” contiene cantidad de lados:


Y dicha Relación o Dependencia es de tal manera que:

Se puede decir que:La Cantidad de lados está en “función” de la Figura Geométrica


YXƒ:3

4

5

YX

Porque a cada elemento de “X” se le asocia un único

elemento de “Y”


Tomando otro ejemplo.. La relación de las Raíces Cuadradas y sus Resultados:


Entonces como:

Como a cada raíz cuadrada corresponde uno o dos resultados…

A cada valor de la primera variable “X” se le asocia UN ÚNICO valor de la segunda variable “Y”

YXƒ:2

34

YX

√ 4√9 -3

√16

YXƒ:Tomando otro ejemplo.. La relación de las Raíces Cuadradas y sus Resultados:


Entonces como:

NO se puede decir queel resultado es “función” de la raíz cuadrada

A cada valor de la primera variable “X” se le asocia UN ÚNICO valor de la segunda variable “Y”

¡No es Función! 2

34

YX

Porque a cada elemento de “X” NO se le asocia UN ÚNICO elemento de “Y”

√ 4√9 -3

√16


Volviendo a la Función “f” que relaciona “X” e “Y” se identifica que:

YXƒ:3

4

5

YX

La cantidad variable que representa la función se llama “Variable Dependiente” o “Imagen”

“X” es la:“VariableIndependiente”o“el Argumento” porque le da valor a “Y”

“Y” es la:“Variable

Dependiente”o

“Imagen” porque recibe

valor de “X”

La cantidad variable de la cual depende la función se llama “Variable Independiente” o “Argumento”

Ejemplo de Función:

El Área “A” de un Círculo se halla multiplicando el cuadrado de su Radio “r” por π:

El área del círculo es “función” de su radio, porque depende del valor del radio. Notación: A = ƒ(r)

A = π.r2

Entonces se podría decir que:

para que cambie el Área “A”… debe cambiar primeramente el Radio “r”ya que π es Constante

Área del Círculo “A”

Radio “r”

Ejemplo de Función:

El Área “A” de un Círculo se halla multiplicando el cuadrado de su Radio “r” por π:

El área del círculo es “función” de su radio, porque depende del valor del radio. Notación: A = ƒ(r)

A = π.r2

Entonces se podría decir que:

para que cambie el Área “A”… debe cambiar primeramente el Radio “r”ya que π es Constante

A cada cambio del Radio corresponde un cambio en el Área

Por tanto:el radio es la “variable Independiente” y el área es la “variable Dependiente”

FUNCIONES GONIOMÉTRICAS

¿Qué es una Función Goniométrica?

Como en griego “gonon” significa “ángulo”… se puede deducir que una Función Goniométrica, tendrá algún “ángulo” involucrado

Y efectivamente, las Funciones Goniométricas son aquellas funciones (o relaciones) en que la Variable Independiente es

un Ángulo

Teniendo en cuenta la semirrecta OX (eje positivo X del plano cartesiano), y a partir de ella…

se considera un ángulo α (alfa) determinado por la semirrecta OX’


Como en griego “gonon” significa “ángulo”… se puede deducir que una Función Goniométrica, tendrá algún “ángulo” involucrado

Y efectivamente, las Funciones Goniométricas son aquellas funciones (o relaciones) en que la Variable Independiente es

un Ángulo

Teniendo en cuenta la semirrecta OX (eje positivo X del plano cartesiano), y a partir de ella…

se considera un ángulo α (alfa) determinado por la semirrecta OX’

Si la semirrecta OX’ es móvil y gira sobre el punto de origen O; el ángulo α (alfa) será variable


Si sobre la semirrecta móvil OX’ se toma un punto “P” cualquiera

y se traza el segmento PQ perpendicular a la recta OX que contiene el lado-origen del ángulo α (alfa)

Se tendría lo siguiente:

Punto “P” sobre OX’Segmento PQ a OX


Si sobre la semirrecta móvil OX’ se toma un punto “P” cualquiera

y se traza el segmento PQ perpendicular a la recta OX que contiene el lado-origen del ángulo α (alfa)

Y por tanto, quedan determinados los siguientes tres segmentos notables:

OP representado por “r” y se llama “radio”

OQ representado por “x” y se llama “abscisa”

PQ representado por “y” y se llama “ordenada”


Si la semirrecta móvil OX’ gira alrededor del origen (Punto O):

El ángulo α (alfa) varía

Varían también la abscisa “x” y la ordenada “y”

Pero el radio “r” permanece constante

OP representado por “r” y se llama “radio”

OQ representado por “x” y se llama “abscisa”

PQ representado por “y” y se llama “ordenada”

Entonces se puede decir que:Cuando el ángulo varía, también varían la “Abscisa” y la “Ordenada”

Y por tanto:La “Abscisa” y la “Ordenada” están en Función del Ángulo α

O que: La “Abscisa” y la “Ordenada” dependen del ángulo α (variable independiente)

Ejemplo de Función Goniométrica:

Con la Abscisa, Ordenada y el Radio, se pueden formar únicamente las siguientes seis diferentes razones (proporciones o cocientes):

𝒚𝒓 ;

𝒙𝒓 ;

𝒚𝒙 ;

𝒙𝒚 ;

𝒓𝒙 ;

𝒓𝒚

El radio “r” no cambia de valor... Se mantiene constante durante el giro de OX’ alrededor del punto de origen “O”

Estas razones son Funciones dependientes del ángulo α, ya que al variar el ángulo varían también “X” e “Y”

Y si varían “X” e “Y”, cambian también las razones en que ellas figuran


Aunque es el Punto “P” (sobre la semirrecta móvil OX’) el que determina la longitud del radio, de la abscisa y de la ordenada

Las razones establecidas son Independientes de la posición del punto “P”

Lo cual significa que las razones establecidas son constantes a pesar de variar la longitud del radio, abscisa y ordenada; o la posición del punto “P”

𝒚𝒓 ;

𝒙𝒓 ;

𝒚𝒙 ;

𝒙𝒚 ;

𝒓𝒙 ;

𝒓𝒚




Considerando diferentes posiciones del punto “P” sobre la semirrecta OX’ como “P1”, “P” y “P2”

𝒚𝒓 ;

𝒙𝒓 ;

𝒚𝒙 ;

𝒙𝒚 ;

𝒓𝒙 ;

𝒓𝒚

Y trazando las perpendiculares al eje X a partir de los puntos “P1”, “P” y “P2”

La demostración de que al cambiar las longitudes del radio, la abscisa y la ordenada, no varían las razones establecidas, es la siguiente:




La abscisa, ordenada y radio correspondiente a cada uno de los puntos, forman triángulos rectángulos:

𝒚𝒓 ;

𝒙𝒓 ;

𝒚𝒙 ;

𝒙𝒚 ;

𝒓𝒙 ;

𝒓𝒚

desde “P2” el triángulo P2Q2O

desde “P” el triángulo PQO

desde “P1” el triángulo P1Q1O




Y como los ángulos rectos miden lo mismo y el ángulo α es común a los tres triángulos, entonces los ángulos restantes deben ser complementarios del ángulo α y por tanto medir lo mismo: 90 - α

𝒚𝒓 ;

𝒙𝒓 ;

𝒚𝒙 ;

𝒙𝒚 ;

𝒓𝒙 ;

𝒓𝒚

O también, como las ordenadas son todas perpendiculares al eje X, son paralelas entre sí, y forman “ángulos correspondientes iguales” con la semirrecta OX’ que contiene los radios

abscisas = x

ordenadas = yrad

ios =

r




𝒚𝒓 ;

𝒙𝒓 ;

𝒚𝒙 ;

𝒙𝒚 ;

𝒓𝒙 ;

𝒓𝒚

Y entonces por tener los tres ángulos iguales, los tres triángulos formados son Semejantes

También se pudo haber demostrado la semejanza de los tres triángulos mediante el Teorema de Tales que expresa que:

Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se

obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dadoabscisas = x

ordenadas = yrad

ios =

r




𝒚𝒓 ;

𝒙𝒓 ;

𝒚𝒙 ;

𝒙𝒚 ;

𝒓𝒙 ;

𝒓𝒚

Y por ser triángulos Semejantes sus lados homólogos (o correspondientes) son Proporcionales, y entonces:

𝒚𝒓 =

𝑷𝟏𝑸𝟏

𝑶 𝑷𝟏= 𝑷𝑸𝑶 𝑷=

𝑷 𝟐𝑸𝟐

𝑶𝑷𝟐

𝒙𝒓 =

𝑶𝑸𝟏

𝑶𝑷𝟏=𝑶𝑸𝑶 𝑷=

𝑶𝑸𝟐

𝑶𝑷 𝟐

𝒚𝒙=

𝑷𝟏𝑸𝟏

𝑶𝑸𝟏= 𝑷𝑸𝑶𝑸=

𝑷𝟐𝑸𝟐

𝑶𝑸𝟐… etc.

abscisas = x

ordenadas = yrad

ios =

r


Por tanto, se puede decir que las razones que se pueden formar con la abscisa, la ordenada y el radio:

Son funciones que dependen únicamente de la amplitud del ángulo y no de las longitudes de los segmentos determinados por la ubicación del punto “P”

𝒚𝒓 ;

𝒙𝒓 ;

𝒚𝒙 ;

𝒙𝒚 ;

𝒓𝒙 ;

𝒓𝒚

Entonces se puede concluir que dichas razones, por depender exclusivamente del ángulo α son:

FUNCIONES GONIOMÉTRICAS

abscisas = x

ordenadas = yrad

ios =

r

Gráfico Funciones Goniométricas:𝒚𝒓 ;

𝒙𝒓 ;

𝒚𝒙 ;

𝒙𝒚 ;

𝒓𝒙 ;

𝒓𝒚

FUNCIONES

TRIGONOMÉTRICAS

Función Trigonométrica:Las Funciones Trigonométricas constituyen un caso particular de Funciones Goniométricas:

Y se corresponden con cada una de las seis razones posibles determinadas por el Radio, la Abscisa y la Ordenada:

𝒚𝒓 ;

𝒙𝒓 ;

𝒚𝒙 ;

𝒙𝒚 ;

𝒓𝒙 ;

𝒓𝒚

Recibiendo cada una de las razones un nombre particular:



𝒚𝒓 ;

𝒙𝒓 ;

𝒚𝒙 ;

𝒙𝒚 ;

𝒓𝒙 ;

𝒓𝒚


Función SENO

sen α “Seno de Alfa”

sen α = = Y por definición:



𝒚𝒓 ;

𝒙𝒓 ;

𝒚𝒙 ;

𝒙𝒚 ;

𝒓𝒙 ;

𝒓𝒚


Función COSENO

cos α “Coseno de Alfa”

cos α = = Y por definición:



𝒚𝒓 ;

𝒙𝒓 ;

𝒚𝒙 ;

𝒙𝒚 ;

𝒓𝒙 ;

𝒓𝒚


Función TANGENTE

tg α “Tangente de Alfa”

tg α = = Y por definición:



𝒚𝒓 ;

𝒙𝒓 ;

𝒚𝒙 ;

𝒙𝒚 ;

𝒓𝒙 ;

𝒓𝒚


Función COTANGENTE

cotg α “Cotangente de Alfa”

cotg α = = Y por definición:



𝒚𝒓 ;

𝒙𝒓 ;

𝒚𝒙 ;

𝒙𝒚 ;

𝒓𝒙 ;

𝒓𝒚


Función SECANTE

sec α “Secante de Alfa”

sec α = = Y por definición:



𝒚𝒓 ;

𝒙𝒓 ;

𝒚𝒙 ;

𝒙𝒚 ;

𝒓𝒙 ;

𝒓𝒚


Función COSECANTE

cosec α “Cosecante de Alfa”

cosec α = = Y por definición:

Función Trigonométrica:Las Funciones Trigonométricas son “números abstractos” que relacionan la abscisa, la ordenada y el radio

Se podría deducir que sus nombres derivan de los gráficos que dichas funciones producen respectivamente

A cada ángulo corresponde un único valor determinado para cada una de sus funciones trigonométricas…

Independientemente:

de la longitud del radio adoptado

Función Trigonométrica:Las Funciones Trigonométricas son “números abstractos” que relacionan la abscisa, la ordenada y el radio

Se podría deducir que sus nombres derivan de los gráficos que dichas funciones producen respectivamente


Independientemente:

y, del lado del ángulo que se elija para definirlo


Función Trigonométrica:

Y por tanto, resulta que: dado un ángulo α…


Independientemente:

y, del lado del ángulo que se elija para definirlo


el valor de “sen α” es únicoel valor de “cos α” es únicoel valor de “tg α” es único… etc.

CIRCUNFERENCIA

TRIGONOMÉTRICA

Circunferencia Trigonométrica:

Es la circunferencia de centro en el punto Origen “O”, cuyo radio “r” se adopta como unidad de medida (o sea que “r” = 1)

y cuya semirrecta generadora de ángulos se considera con el origen en el centro de la circunferencia, punto “O”

Haciendo girar dicha semirrecta en el sentido positivo adoptado, quedará determinado un ángulo central α



Entonces como r = 1

sen α = = =

sen α = medida de

cos α = = =

cos α = medida de



Además, si por la intersección de la semirrecta origen con la circunferencia,punto “T”, se traza una perpendicular

a OX, cortará a OX’ en el punto “M”



Además, si por la intersección de la semirrecta origen con la circunferencia,punto “T”, se traza una perpendicular

a OX, cortará a OX’ en el punto “M”

Determinándose los triángulos rectángulos semejantes OQP y OTM con los respectivos lados homólogos

proporcionales



Además, si por la intersección de la semirrecta origen con la circunferencia,

=

punto “T”, se traza una perpendicular a OX, cortará a OX’ en el punto “M”

Determinándose los triángulos rectángulos semejantes OQP y OTM con los respectivos lados homólogos

proporcionales



pero = = tg α

=

luego tg α = ; y como = r = 1

tg α = medida de



tg α = medida de

sen α = medida de

cos α = medida de



tg α = medida de

sen α = medida de

cos α = medida de

La importancia de la circunferencia trigonométrica es la posibilidad de igualar la Abscisa con el Coseno y la Ordenada con el Seno, para simplificar cálculos y demostraciones

Observaciones:

Cuando Aumenta el ángulo α, a partir de 0º: ↑ Aumenta el Seno↑ Aumenta la Tangente↓ Disminuye el Coseno

A mayor ángulo α del primer cuadrante corresponden:↑ Mayor Seno y ↑ Mayor Tangente

“Función Decreciente”

Sin embargo, a mayor ángulo α del primer cuadrante corresponde: ↓ Menor Coseno

Razón por la cual es llamada:

“Funciones Crecientes”Razón por la cual son llamadas:

Observaciones:Los segmentos que representan el Seno y el Coseno, a lo sumo pueden ser iguales al radio “r”

Y por tanto, el máximo valor al que tiende es + y el

mínimo -

El segmento que representa la Tangente es un punto cuando el ángulo es 0º y luego crece indefinidamente tanto positiva como negativamente

Y por tanto, el máximo valor que alcanzan es 1 y el

mínimo es -1

VARIACIÓN DE SIGNOS

Variación de Signos:Los signos de la Abscisa y la Ordenada dependen del cuadrante donde se encuentre el ángulo que las determinan

Se consideran Negativas cuando tienen el sentido opuesto que las de los ángulos agudos (del primer cuadrante)

Se generaliza que:El Radio, que es constante, se considera siempre positivo

La Abscisa y la Ordenada, que son variables:

Se consideran Positivas cuando tienen el mismo sentido que la abscisa y ordenada de los ángulos agudos, es decir, del primer cuadrante

Observación: los signos de la Abscisa y la Ordenada coinciden con los signos de las coordenadas cartesianas de los puntos del cuadrante correspondiente. P(x,y)

Variación de Signos:

Por definición: sen α =

pero el Radio se considera siempre positivo; entonces el signo del Seno está dado por el de la Ordenada

Por definición: cos α =

pero el Radio se considera siempre positivo; entonces el signo del Coseno está dado por el de la Abscisa

Por definición: tg α = entonces el signo de la Tangente depende de si la Abscisa y la Ordenada tienen o no igual signo respectivamente

RANGO de VALORESFunciones

Trigonométricas

Rango de Valores:Si se considera un ángulo α y se determinan el Radio, la Abscisa y la Ordenada correspondientes

Como en todo triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos, resulta que:

que ocurrirá únicamente cuando el ángulo sea igual a 0º; 90º; 180º; 270º; etc.

Queda formado un triángulo rectángulo que tiene:por Catetos a la Abscisa y a la Ordenada

y, por Hipotenusa al Radio

(en valor absoluto)

(en valor absoluto)

Sin embargo, habrá casos especiales en que:

(en valor absoluto)

(en valor absoluto)

Rango de Valores:Si se considera un ángulo α y se determinan el Radio, la Abscisa y la Ordenada correspondientes

Entonces, puede decirse que siempre:

Queda formado un triángulo rectángulo que tiene:por Catetos a la Abscisa y a la Ordenada

y, por Hipotenusa al Radio

(en valor absoluto)

(en valor absoluto)

Y por último, como un cateto puede ser mayor, igual o menor que el otro, se tiene que:

(en valor absoluto), o

(en valor absoluto)

Breve Análisisdel SENO

Breve Análisis: SENO

Teniendo en cuenta que:

Por tanto, el valor absoluto del Seno de un ángulo nunca podrá ser mayor que la unidad

Si se dividen ambos miembros entre “r” se tiene que:

Es decir, que el valor máximo de la función Seno es +1 y el valor mínimo es -1, pudiendo tomar todos los valores intermedios

(en valor absoluto) (en valor absoluto)

Y como: |𝒔𝒆𝒏∝|≤𝟏𝒚𝒓 =𝒔𝒆𝒏∝

O sea, que la función Seno puede tomar únicamente valores comprendidos entre -1 y 1

Breve Análisis: SENO

Considerando la circunferencia trigonométrica, se puede observar el segmento representativo de la función Seno y teniendo en cuenta el signo en cada cuadrante, se deduce:

Primer Cuadrante:• Sen 0º = 0• Cuando aumenta el ángulo aumenta el

Seno (hasta 90º)• Sen 90º = 1 (máximo valor); Seno =

RadioSegundo Cuadrante:• Seno decrece desde 1 hasta 0Tercer Cuadrante:• Seno negativo• Decrece de 0 a -1• Seno 270º = -1 (mínimo valor); Seno =

Radio (en valor absoluto)Cuarto Cuadrante:• Seno negativo• Crece de -1 a 0

|𝒔𝒆𝒏∝|≤𝟏Cada vez que la semirrecta generatriz realice otro giro, la función Seno toma los mismos valores

La función Seno queda definida para cualquier ángulo; y su “dominio” o “campo de definición” es el conjunto de todos los valores angulares

Dado un ángulo cualquiera α si se le suma 2π o un número positivo y exacto de giros “k”, se obtienen ángulos de la forma (α + 2.π.k) cuyos senos son iguales a los de α, es decir: sen α = sen (α + 2.π.k)

Por tanto, el seno es una función “periódica”, de período igual a 2π, que significa que los valores de la función seno se repiten sistemáticamente cada vez que el ángulo varía en 2π

Breve Análisis: SENOSi sobre los ejes cartesianos ortogonales se trazan:

las longitudes de arco expresadas en radianes, sobre la Abscisay los valores correspondientes a la función Seno, sobre la Ordenada

Los valores de la Función Seno se repiten indefinidamente para incrementos de abscisas iguales a ± 2.π y esos valores están comprendidos entre +1 y -1

Se obtiene la curva “Sinusoide” que representa a la Función Seno

Breve Análisisdel COSENO

Breve Análisis: COSENO


Por tanto, el valor absoluto del Coseno de un ángulo nunca podrá ser mayor que la unidad

Si se dividen ambos miembros entre “r” se tiene que:

Es decir, que el valor máximo de la función Coseno es +1 y el valor mínimo es -1, pudiendo tomar todos los valores intermedios

(en valor absoluto) (en valor absoluto)

Y como: |𝒄𝒐𝒔∝|≤𝟏𝒙𝒓 =𝒄𝒐𝒔∝

O sea, que la función Coseno puede tomar únicamente valores comprendidos entre -1 y 1

Breve Análisis: COSENO

Considerando la circunferencia trigonométrica, se puede observar el segmento representativo de la función Coseno y teniendo en cuenta el signo en cada cuadrante, se deduce:

|𝒄𝒐𝒔∝|≤𝟏Primer Cuadrante:• Cos 0º = 1 (máximo valor); Coseno =

Radio• Cuando aumenta el ángulo disminuye el

Coseno (hasta 90º); Cos 90º = 0Segundo Cuadrante:• Coseno negativo• Coseno decrece desde 0 a -1• Cos 180º = -1 (mínimo valor); Coseno =

Radio (en valor absoluto)Tercer Cuadrante:• Coseno negativo• Crece de -1 a 0Cuarto Cuadrante:• Coseno positivo• Crece de 0 a 1

Cada vez que la semirrecta generatriz realice otro giro, la función Coseno toma los mismos valores

La función Coseno queda definida para cualquier ángulo; y su “dominio” o “campo de definición” es el conjunto de todos los valores angulares

Dado un ángulo cualquiera α si se le suma 2π o un número positivo y exacto de giros “k”, se obtienen ángulos de la forma (α + 2.π.k) cuyos Cosenos son iguales a los de α, es decir: cos α = cos (α + 2.π.k)

Por tanto, el coseno es una función “periódica”, de período igual a 2π, que significa que los valores de la función Coseno se repiten sistemáticamente cada vez que el ángulo varía en 2π

Breve Análisis: COSENOSi sobre los ejes cartesianos ortogonales se trazan:

las longitudes de arco expresadas en radianes, sobre la Abscisay los valores correspondientes a la función Coseno, sobre la Ordenada

Los valores de la Función Coseno se repiten indefinidamente para incrementos de abscisas iguales a ± 2.π y esos valores están comprendidos entre +1 y -1

Se obtiene la curva “Cosinusoide” que representa a la Función Coseno

Breve AnálisisDe la TANGENTE

Breve Análisis: TANGENTE


Por tanto, el valor absoluto de la Tangente de un ángulo podrá variar de 0 a

Dividiendo ambos entre “x” se tiene que:

Cuando el denominador “x” es igual a 0, es decir, cuando el ángulo es 90º o 270º, la función Tangente tiende a

1Y como: 𝒚𝒙=𝒕𝒈∝

O sea, que la función Tangente puede tomar cualquier valor positivo o negativo e incluso el cero [-;+]

o, (en valor absoluto)

o, (en valor absoluto)


Primer Cuadrante:• Tg 0º = 0• Cuando aumenta el ángulo aumenta la

Tangente, y a medida que se aproxima a 90º alcanza valores infinitamente grandes

Segundo Cuadrante:• Tangente negativa• Tangente crece desde - a 0• Tg 180º = 0• Toma valores opuestos al 1er. cuadranteTercer Cuadrante:• Tangente positiva• Toma valores iguales al 1er. cuadranteCuarto Cuadrante:• Tangente negativa• Toma valores iguales al 2do. cuadrante

Considerando la circunferencia trigonométrica, se puede observar el segmento representativo de la función Tangente y teniendo en cuenta el signo en cada cuadrante, se deduce:

Cada vez que la semirrecta generatriz realice medio giro, la función Tangente toma los mismos valores

Como tg ; para = 90º (arco ) y para = 270º (arco ) resulta x = 0; por tanto la Tangente no está definida y quedan excluidos del “dominio” de la función los arcos ; y todos los congruentes

Dado un ángulo cualquiera α si se le suma π o un número positivo y exacto de veces π, se obtienen ángulos de la forma (α + π.k) cuyas Tangentes son iguales a las de α, es decir: tg α = tg (α + π.k)

Por tanto, la Tangente es una función “periódica”, de período igual a π, que significa que los valores de la Tangente se repiten cada vez que el ángulo varía en π

1


Si sobre los ejes cartesianos ortogonales se trazan:

las longitudes de arco expresadas en radianes, sobre la Abscisa

y los valores correspondientes a la función Tangente, sobre la Ordenada

Los valores de la Función Tangente se repiten indefinidamente para incrementos de abscisas iguales a ± π y esos valores están comprendidos entre - y +

Se obtiene la curva “Tangente” que representa a la Función

Tangente

Fin de la Presentación

La presentación “Funciones Trigonométricas” se encuentra disponible en:

www.sectormatematica.cl/ppt.htmO puede ser descargada directamente utilizando el código QR:

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Funciones trigonometricas

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