INTEGRACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS

INTEGRACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICASINTEGRANTES:

Dedicatoriaa nuestro profesor de Calculo III por innovar nuestros Conocimientos y por darnos la confianza Acadmica de esforzarnos cada da ms

INTEGRALES TRIGONOMETRICAS

Se demostr que las funciones trigonomtricas son continuas en sus respectivos dominios. En esta clase se demostrara que tambin son diferenciables en sus dominios. Despus se emplearan estos hechos para dibujar de manera formal sus grficas, las cuales se obtuvieron en las clases previos al Clculo aplicando solo consideraciones intuitivas.Definicin:El concepto de integral est asociado al concepto de rea. Cuando una figura plana est acotada por lneas rectas es sencillo calcular su rea. Sin embargo, reas acotadas por curvas son ms difciles de calcular (incluso, de definir). Para entender las demostraciones de las funciones es importante saber :

Recuerda que en la definicin de una antiderivada que, si

Entonces:

Es decir, cada vez cuando tenemos una frmula de diferenciacin, obtenemos una frmula de integracin automaticamente.

FUNCION SENO

Dibujamos la funcin sen(/2, , 3/2, 2)

Para derivar tenemos que tener en cuenta la definicin de derivada, ya mencionada en la introduccin, existen dos mtodos de derivar, lo mostraremos lo siguiente:

Por definicin de derivada:

FUNCION COSENODibujamos la funcin cos(/2, , 3/2, 2)

Para derivar tenemos que tener en cuenta la definicin de derivada, ya mencionada en la introduccin, existen dos mtodos de derivar, lo mostraremos lo siguiente:

Por definicin:

f(x)=cos(x)

FUNCION SECANTEDibujamos la funcin sec(/2, , 3/2, 2)

FUNCION COSECANTE

FUNCION COTAGENTE

FUNCION TANGENTE

Si se sabe que la integral es la inversa de la derivada, explicaremos a continuacin con un cuadro las principales formas :

DerivadasIntegrales

Algunas integrales ms:

Demostrando:

()=

Demostrando

( =

+ C

Demostrando: x

= = senax

Demostrando: x

== cos(ax)

INTEGRALES DE LA FORMA

CASO 1

Cuando m o n sean un numero ENTERO IMPAR POSITIVO, no importa lo que sea el otro exponente.

a) m = impar

m = 2k+1 (impar) para todo k

La integral:

I= se descompone en :I= I=I=

Desarrollando y multiplicando por , obtenemos integrales inmediatos que sern potencias del cosu.

b) n = impar

n= 2k+1 (impar) para todo k

La integral: I= se descompone en:I= I=I=

Desarrollando y multiplicando por , obtenemos integrales inmediatos que sern potencias del senu.

Ejemplo 1 calcular:

I=

Se descompone en

I=

I=

I=

I= - +

Ejemplo 2 Calcular:

I=

Se descompone en

I =

I =

I =

I =

Caso 2

Cuando m y n sean un numero ENTERO PAR POSITIVO, entonces se hace unas transformaciones usando las formulas:

Ejemplo1

Ejemplo 2

ALGUNAS FORMAS DE INTEGRARPara analizar algunas formas de integrar es necesario tener en cuenta algunas transformaciones trigonomtricas siguientes: senAx . cosBx = senAx . senBx = senAx . cosBx = Ejemplo 1 calcular I= I= I= I= senx - sen5x + CEjemplo 2 calcular

INTEGRALES DE LA FORMA o Cuando n es un numero entero positivo, se procede del siguiente modo: el primer paso es descomponer la potencia (o ) los factores, de tal modo que el primer factor debe ser siempre (o )el Segundo paso es usar la sustitucion

El tercer paso es multiplicar e integrarEjemplo 1 Calcular:

Ejemplo 2 Calcular

INTEGRALES DE LA FORMA o Caso 1Si n es un numero entero impar positivo, entonces se recurre a la integracin por partes Caso 2 Si n es un numero entero par positivo, entonces la potencia (ose expresa como el producto de dos factores, de tal caso se expresa en trminos de la identidad trigonomtrica:

Ejemplo1 Calcular

Ejemplo 2

INTEGRALES DE LA FORMA :

CASO 1 Cuando n = 2k es nmero entero positivo par, se procede como las formas = . = ..du

Todas las integrales resultan potencias de tguCASO 2 Cuando m es impar y n es impar o par procede en descomponer en factores, tal que, aparezcan necesariamente junto los factores secu.tagu cscu.ctgu para poder, finalmente integrar como potencias de secu cscu, segn sea la forma

a) = secu.tagu.

Ejemplo 1 calcular:

dx + dx

+ C

Ejemplo 2 calcular

dx + dx

- + C

INTEGRALES TRIGONOMETRICAS INVERSASA partir de las frmulas de las derivadas de las funciones trigonomtricas inversas se obtienen algunas formulas de integracin indefinida. El teorema siguiente proporciona tres de estas frmulas.

Demostracin de los teoremas

Demostracin:

Ejemplo1

Solucin

Ejempo2

Solucin

reemplazando

Demostracin del teorema

Demostracin:

Ejemplo 1

Solucin

Luego

Ejemplo 2

Solucin:

Reemplazando

Demostracin del teorema

Demostracin:

Ejemplo 1:

Solucin:

reemplazando

Ejemplo 2

Solucin

Reemplazando

FUNCIONES HIPERBOLICASA las funciones trigonomtricas a veces se llaman funciones circulares debido a la estrecha relacin que tiene con el crculo En la misma forma ciertas combinaciones de las exponenciales se relaciona con la hiprbola que son: seno hiperblico, coseno hiperblico, tangente hiperblica, cotangente hiperblica, secante hiperblica, cosecante hiperblica y que denotaremos por: respectivamente. 1.- SENO HIPERBOLICOLa funcin seno hiperblico f: RR, se define de la forma siguiente:

Donde Su grafica es:

2.- COSENO HIPERBOLICOLa funcin coseno hiperblico f: RR, se define de la forma siguiente:

Dnde: Su grafica es:

3.- TANGENTE HIPERBOLICA:La funcin tangente hiperblica f: RR, se define de la forma siguiente:

Dnde: Su grafica es:

4.- COTANGENTE HIPERBOLICA:La funcin cotangente hiperblica f: RR, se define de la forma siguiente:

Dnde: Su grafica es:

5.- SECANTE HIPERBOLICA:La funcin secante hiperblica f: RR, se define de la forma siguiente:

Dnde: Su grafica es:

6.- COSECANTE HIPERBOLICA:La funcin cosecante hiperblica f: RR, se define de la forma siguiente:

Dnde: Su grafica es:

IDENTIDADES FUNDAMENTALES DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS:1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

INTEGRACIN DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICASSe cumplen las siguientes formulas:1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Ejercicios aplicativos de las formulas propuestas:Ejemplo 1Calcular la siguiente integral:

Solucin:

Ejemplo 2Calcular la siguiente integral:Solucin:

Ejemplo 3Calcular la siguiente integral:

Solucin:

Ejemplo 4Calcular la siguiente integral:

Solucin:

Ejemplo 5Calcular la siguiente integral:

Solucin:

Ejemplo 6Calcular la siguiente integral:

Solucin:

Ejemplo 7Calcular la siguiente integral:

Solucin:

Ejemplo 8Calcular la siguiente integral:

Solucin:+CEJERCICIOS RESUELTOSEJERCICIO 1Calcular la siguiente integral:

Solucin:Recordemos la siguiente identidad de las funciones hiperblicas:

EJERCICIO 2Calcular la siguiente integral:

Solucin:Este ejercicio lo resolveremos por el mtodo de partes:

Dnde: Por lo tanto:

EJERCICIO 3:Calcular la siguiente integral:

Solucin:Recordemos la siguiente identidad de las funciones hiperblicas:

Por lo tanto:

Resolveremos el A con fracciones parciales:Dnde:

Entonces:

EJERCICIO 4Calcular la siguiente integral:

Solucin:

Recordemos la siguiente identidad de las funciones hiperblicas:

Hallaremos B mediante el mtodo de partes donde: Entonces:

Por lo tanto: