SUBSECRETARIA DE EDUCACIN SUPERIORDIRECCIN GENERAL DE EDUCACIN SUPERIOR TECNOLGICAINSTITUTO TECNOLGICO DE CAMPECHESUBDIRECCIN ACADMICA

CARRRERA:Ingeniera Civil

MATERIA:Calculo diferencial

MAESTRO:Alberto Eliceo Medina Minaya

TRABAJO:Investigacin de unidad 2

FECHA DE ENTREGA:22 de octubre del 2015

ALUMNO:Francisco Mndez Deara

GRUPO:VV1

San Francisco de Campeche, Campeche a 22 de octubre del 2015

FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

RAZONES TRIGONOMTRICAS

Las razones trigonomtricas se utilizan fundamentalmente en la solucin de tringulos rectngulos, recordando que todo tringulo rectngulo tiene un ngulo de 900 y sus ngulos interiores suman 180. La notacin que se acostumbra es la siguiente. + + 90 = 180

Tomamos el ngulo para definir las razones trigonomtricas de la siguiente manera:

Nota: Vase que las razones cot , sec , csc son recprocas de la tan , cos , sen respectivamente.

RESOLUCIN DE TRINGULOS RECTNGULOS

Resolver un tringulo rectngulo implica obtener la medida de todos sus ngulos y de todas las longitudes de sus lados. En donde se utilizan las razones trigonomtricas y el teorema de Pitgoras fundamentalmente, el cual se enuncia as: en todo tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos.

EJEMPLOSDeterminar los lados y ngulos faltantes en cada caso.1) Resolver el siguiente tringulo cuando los catetos miden 3 y 4 unidades.

Para obtener la hipotenusa aplicamos el teorema de Pitgoras

Para calcular los ngulos y , podemos hacerlo de la siguiente manera:Tan = 3/4 = tan1 0.75 = 36.870Y como + + 90 = 180Despejando = 1800 90 36.87 = 53.13Por lo tanto = 36.87; = 53.13 ; c = 5

Calcular , , a

Calcular a, b,

RAZONES TRIGONOMTRICAS EN CUALQUIER CUADRANTE

Un crculo con centro en el origen de coordenadas y de radio la unidad es llamadoCrculo unitario. S sobre este crculo tomamos un punto P(x, y), el radio OP genera un ngulo positivo de magnitud t radianes como se muestra.

Se conviene que se generan ngulos positivos si son medidos a partir del eje x y girando en el sentido contrario a las manecillas del reloj hasta el radio OP como lo marca la flecha y ngulos negativos girando en el sentido de las manecillas del reloj.

Bajando la perpendicular al eje x desde el punto P , se tiene el tringulo rectngulo OPQ, donde podemos definir las razones trigonomtricas sent y cost por ejemplo. Por lo que el punto P(x, y) puede expresarse como P(cos t, sent) como se muestra en la figura.

Recordando que el plano coordenado bidimensional o plano cartesiano est formado por cuatro regiones llamadas cuadrantes I, II, III y IV , en donde a la localizacin de puntos en cada cuadrante le corresponde un determinado signo a cada coordenada, por ejemplo en el cuadrante I se localizan puntos cuyas coordenadas son positivas (+,+), en el II cuadrante (,+), en el III cuadrante (,) y en el IV cuadrante (+,) como se mostr en la figura anterior. Con esta ley de signos en cada cuadrante, podemos determinar el signo de cualquier razn trigonomtrica para ngulos en cualquier cuadrante.

Para obtener radianes conociendo grados o viceversa, podemos aplicar la siguiente proporcin:

Para convertir radianes a grados se despeja la x.Para convertir grados a radianes se despeja la y.Por ejemplo: cuntos radianes son 30, 45, 60, 90, 180?

La construccin de los siguientes tringulos, puede ser una forma de conocer algunas razones trigonomtricas que son solicitadas con frecuencia:

De un cuadrado tenemos:

Tener cuidado con el cuadrante que contiene al ngulo solicitado para determinar correctamente el signo de la razn trigonomtrica solicitada. El conocimiento de la razn trigonomtrica del seno de un ngulo es suficiente para determinar las restantes razones con la aplicacin previa del teorema de Pitgoras para conocer el lado restante. Los valores que toman las razones trigonomtricas, se repiten cada 2 radianes, esto significa por ejemplo que el sen(t + 2 ) = sent y cos(t + 2 ) = cos t , etc., para todo ngulo t , ya que 2 indica una vuelta completa en el crculo unitario. Se recomienda tener presente algunas identidades trigonomtricas como las que se enlistan a continuacin:

LEY DE LOS SENOS Y LEY DE LOS COSENOS

Para resolver tringulos que no son rectngulos (que no tienen un ngulo de 90) se hace uso de las leyes de los senos y/o de los cosenos. Los tringulos con estas caractersticas, se llaman oblicungulos y pueden tener 3 ngulos agudos o dos ngulos agudos y uno obtuso como se muestra:

Resolver un tringulo significa obtener las longitudes de sus lados y la medida de cada uno de sus ngulos. Para lograr esto, es necesario conocer (datos) al menos tres elementos del tringulo y uno de ellos debe ser un lado (L), recordando tambin por geometra elemental que la suma de sus ngulos internos es 180 ( + + = 180).

Las combinaciones de datos pueden ser:1. Conocer dos ngulos y un lado (AAL).2. Conocer dos lados y el ngulo opuesto a uno de ellos (LLA).3. Conocer dos lados y el ngulo comprendido entre ellos (LAL).4. Conocer tres lados (LLL).

Ley de los senos: Dos lados cualesquiera son proporcionales a los senos de los ngulos opuestos.

Se acostumbra escribir como:

Ley de los cosenos: El cuadrado de un lado cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble de su producto por el coseno del ngulo que forman.

EJEMPLOS

Es importante saber qu ley debemos aplicar en la solucin de un tringulo, en los casos (AAL) y (LLA) donde A es opuesto a uno de los lados L, se recomienda la aplicacin de la ley de los senos y en los casos (LAL) donde el ngulo A est comprendido entre los dos lados L y en el caso (LLL), se recomienda la aplicacin de la ley de los cosenos y recuerda como hemos representado esquemticamente el tringulo:

1) Resuelva el tringulo = 60 , = 40 , b = 4SolucinCaso (AAL). Como + + = 180 ; = 180 ( + ) = 180100 = 80

Aplicando la ley de los senos:

2) Resuelva el tringulo a = 2 , b = 3 , = 40SolucinCaso (LLA). Con A opuesto a un L:

Aplicando la ley de los senos:

El lado c puede calcularse con: