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Leonhard Euler

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Introducción

Las funciones

trigonométricas son

funciones muy utilizadas

en las ciencias naturales

para analizar fenómenos

periódicos tales como:

movimiento ondulatorio,

corriente eléctrica

alterna, cuerdas

vibrantes, oscilación de

péndulos, ciclos

comerciales, movimiento periódico de los

planetas, ciclos biológicos, etc.

Las funciones trigonométricas fueron

sistematizadas por Newton y Leibniz, quienes

habían dado expansiones en forma de serie para

las mismas.

0k

1k2

k

x!1k2

1xsen

Pero fue Euler quien dio el tratamiento completo y

sistemático a las funciones trigonométricas. La

periodicidad de estas funciones y la introducción

de la medida de los ángulos por radianes, fue

realizada por Euler en su Introductio in Analysis

Infinitorum en 1748.

Concepto: Las funciones trigonométricas son

funciones reales de variable real cuya variable

dependiente “y” es el valor obtenido al evaluar el

operador trigonométrico en un número real “x”

adecuado.

Ejemplos:

Función seno: senxy ; Rx .

Función tangente:

xtany ;

2

1k2Rx

xcosxsenxcoty 2 ; kRx

Dominio de una función

Es el conjunto de valores que admite la variable

independiente.

NOTACIÓN: Dom, D.

Sugerencias para calcular dominio

a) Para cociente:

xg

kxf ; k constante

Hacemos: 0xg .

Ejemplos: Calcular dominio

* xsecxf .

* xcscxf

Observación:

* ,xtan xsec están definidas para 2

1k2x

, Zk

* xcot , xcsc están definidas para kx ,

Zk .

b) Para radicación

n2 xgxf , Nn

Hacemos: 0xg

Ejemplos: Calcular el dominio

* senxxf

* xcos2

1xf ;

2,

2x

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Observación: Cuando queremos calcular el

dominio de una función tipo:

xg

1xf

Consideramos los Rx tales que 0xg .

Ejemplo: Calcular el dominio de:

senx21

1xg

; ,0x

Rango de una función

Es el conjunto de valores que toma la variable

dependiente.

NOTACIÓN: Ran, Im.

Sugerencias para calcular rango

Obtener el dominio de la función

Simplificar la regla de correspondencia

A partir del dominio construir la regla de correspondencia simplificada.

Ejemplos: Calcular rango

* x2senxsenxcosxf 2222 .

* xcos1

xcos1xh

2

Función par

f es una función par si:

xfxf Domfx,x

Gráficamente una función es par si es

simétrica respecto al eje Y.

Función impar

f es una función par si:

xfxf Domfx,x

Gráficamente una función impar es simétrica

respecto al origen de coordenadas.

Ejemplos: Indicar si es una función par e impar

* ( ) ( ( ))

* ( )

* ( )

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Función Creciente

f es una función creciente si para todo

tal que entonces

( ) ( )

Función Decreciente

f es una función creciente si para todo

tal que entonces

( ) ( )

En la figura se representa la gráfica de la función f

en el intervalo[ ] donde se puede observarse que la función f es:

1.) Creciente en los intervalos ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

2.) Decreciente en los intervalos⟨ ⟩ ⟨ ⟩

Observación:

* Sea ( ) [ ] una función creciente

entonces se tiene:

( ) ( ) ( )

* Sea ( ) [ ] una función

decreciente entonces se tiene:

( ) ( ) ( )

Ejemplos: Calcular el rango de la función

* ( ) ⟨

⟩

Función periódica

f es una función periódica si existe

tal que para todo se cumple:

( ) ( )

Gráficamente se repite cada cierto intervalo de

longitud T

Nota:

Sea ( ) ( )

Donde F. T :

Funciones Exponente Periodo

sen, cos,

sec, csc

Si es

impar

| |

Si es par

| |

tan, cot Para

cualquier

| |

T T T T

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Gráfica de las funciones trigonométricas

Grafica de la función seno

CARACTERISTICAS

Dominio: .

Rango: ( ) [ ]

Periodo:

Es una función impar

Es una función continua en su dominio.

Es una función creciente ⟨

⟩ y es decreciente

⟨

⟩, donde

Puntos de inflexión: nx ; Zn . (En

estos puntos hay un cambio de concavidad1)

Análisis gráfico de las funciones de la forma:

DCBxT.FAxf

Para graficar estas funciones vasta tener en

cuenta:

A>0 ampliación o reducción vertical

A<0 reflexión respecto al eje X

1 Se puede decir un cambio en la curvatura de la

gráfica de la función.

B>0 ampliación o reducción horizontal

B<0 reflexión respecto al eje Y

D desplazamiento vertical

C desplazamiento horizontal

FUNCIONES SINUSOIDALES

Son funciones relacionadas con las funciones

seno y coseno

DCBxcosAxf

DCBxAsenxf ,

o una combinación de ellas.

CARACTERÍSTICAS

Amplitud: A

Periodo de la función: T

El periodicidad de las funciones seno y coseno

juegan un rol importante en la obtención de las

gráficas de estas funciones.

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Cambio de fase o número de fase:

Desplazamiento horizontal

0 Desplazamiento horizontal hacia la

derecha.

0 Desplazamiento horizontal hacia la

izquierda.

Desplazamiento vertical: D

D>0 desplazamiento vertical hacia arriba.

D<0 desplazamiento vertical hacia abajo.

Ejemplos: Graficar:

a) ( )

b) ( ) (

)