FUNCIONES

SEMANA: 1

OBJETIVO:

El alumno reconocerá los tipos de funciones que existen y su respectiva

representación gráfica.

EXPLICACIÓN TEMA

TIPOS DE FUNCIONES

Una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio ) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, rango o ámbito). Tipos de funciones Dependiendo de ciertas características que tome la expresión algebraica o notación de la función f en x, tendremos distintos tipos de funciones. Función constante Una función de la forma f(x) = b, donde b es una constante, se conoce como una función constante. Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor de y) donde el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {3}, por tanto y = 3. La gráfica de abajo muestra que es una recta horizontal.

Función lineal

Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La representación gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones lineales son funciones polinómicas. Ejemplo: F(x) = 2x - 1 Es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, -1). Su gráfica es una recta ascendente.

Para trazar la gráfica de una función lineal solo es necesario conocer dos de sus puntos.

La ecuación matemática que representa a esta función, como ya vimos, es f(x) = ax + b, donde f(x) corresponde al valor de y, entonces y = ax + b Ejemplo: Graficar la siguiente función:

La ordenada al origen (3) me indica que me debo parar sobre el eje y en el 3.

Función polinómica

El dominio de todas estas funciones polinómicas es el conjunto de los números reales (porque el elemento x puede ser cualquier número real).

Función cuadrática

Una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero, se conoce como una función cuadrática. La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0. El vértice de una parábola se determina por la fórmula:

Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas. Ejemplo:

F(x) = x2 representa una parábola que abre hacia arriba con vértice en (0,0).

Función racional

Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. Así es que q es una función racional si para todo x en el dominio, se tiene:

Nota: El dominio de una función polinómica son los números reales; sin embargo, el dominio de una función racional consiste de todos los números reales excepto los ceros del polinomio en el denominador (ya que la división por cero no está definida). Función de potencia Una función de potencia es toda función de la forma f(x) = xr, donde r es cualquier número real. Las funciones f(x) = x4/3 y h(x) = (5x3)/2 son funciones de potencia.

ACTIVIDADES

EJERCICIOS. Tabular y graficar las funciones siguientes: 1.- f(x) = 5X + 3 2.- f(x) = 24x 3. - f(x) = x² − 4x + 3. 4. - f(x) = 2x 2 − 3x − 5 5. - f(x) = 2x3 + 3x2 - 12x 6. - f(x) = -x3 + 3x2 + 9x

FUNCIONES

SEMANA: 2

OBJETIVO:

El alumno reconocerá los intervalos de funciones que existen y su respectiva

representación gráfica.

EXPLICACIÓN TEMA

INTERVALO DE FUNCIONES

FUNCIONES DEFINIDAS POR INTERVALOS Existen funciones que no pueden representarse mediante una única expresión. Por ejemplo si consideramos la función que le asigna a los números negativos el -1 y a los números positivos el 1, no se puede hallar ninguna expresión para dicha función. En estos casos se divide el dominio de la función en partes, de tal forma que para cada parte del dominio, se pueda encontrar una expresión que se ajuste a la función dada. Este tipo de funciones reciben el nombre de funciones definidas por intervalos. En el caso anterior, el dominio quedaría divido en dos partes: los números

negativos, para los cuales corresponde la expresión , y los números

positivos, para los cuales corresponde la expresión . Se escribe:

Nótese como no está definida para el punto , por lo que su dominio es:

Sin embargo, hay funciones que existen para todo valor de pero que no son continuas. Por ejemplo, sea la siguiente función:

Se tienen tres puntos sobre el eje que generan cuatro intervalos.

Ejemplo. Demuestre que la función f(x) = es continua en el intervalo [–3, 3].

La función f(x) = resulta de la composición de las funciones y = 9 –

x2 e . La primera es una función polinomial, definida para todo número real y la segunda es una función cuyo dominio es el conjunto de todos los números reales no negativos. Por lo tanto, el dominio de f(x) es el conjunto de todos los números reales tales que 9 – x2 ³ 0, o sea, todos los números reales pertenecientes al intervalo cerrado [–3, 3].

La gráfica de la función f(x) es la siguiente:

ACTIVIDADES

En cada caso, dibuja la gráfica de la función; respetando los intervalos.

1. F(x) = |2x+1| si x ∈ [-5,5]

2. F(x) =[2x] si x ∈ [-2,2]

3. F(x) = [2

x] si x ∈ [-4,4]

4. F(x) = |3-x| si x ∈ [-5,5]

5. F(x) = [3x] si x ∈ [-1,1]

6. F(x) = [4

x] si x ∈ [-6,6]

FUNCIONES

SEMANA: 3

OBJETIVO:

El alumno interpretara el concepto de dominio y rango y su respectiva aplicación.

EXPLICACIÓN TEMA

DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES.

Las Relaciones y las funciones describen la interacción entre variables que están ligadas. Estas

relaciones incluyen valores independientes y entradas, que son las variables que pueden ser

manipuladas por las circunstancias. También incluyen valores dependientes y salidas, que son las

variables determinadas por los valores independientes. Existe otro par de componentes que

debemos considerar cuando hablamos de relaciones, se llaman dominio y rango. El dominio de una

función o relación es el conjunto de todos los valores independientes posibles que una relación

puede tener. Es la colección de todas las entradas posibles. El rango de una función o relación es el

conjunto de todos los valores dependientes posibles que la relación puede producir. Es la colección

de todas las salidas posibles.

Al poner a todas las entradas y las salidas en grupos separados, el dominio y el rango nos permiten

encontrar y explorar patrones en cada tipo de variable.

Dominio y Rango: Tablas y Conjuntos de Pares Ordenados

Las relaciones también pueden ser mostradas como tablas o como conjuntos de pares ordenados.

Encontrar el dominio y el rango en estas situaciones es simple, siempre y cuando recordemos qué es

lo que significan los términos. Si una relación matemática es dada en una tabla, los valores

independientes generalmente se enlistan en la columna izquierda, mientras que los valores

dependientes normalmente se ponen en la columna derecha.

.

Valor

Independiente

Valor

Dependiente

-1 7

2 -3

5 6

9 4

El dominio se puede encontrar al leer la primera columna {-1, 2, 5, 9}. El rango es todos los valores

de la segunda columna {7, -3, 6, 4}.

Cuando se trata de conjuntos de pares ordenados, simplemente necesitamos separar los pares en

coordenadas x y coordenadas y. Ya que las coordenadas x conforman los valores independientes,

nos dan el dominio. Las coordenadas y son los valores dependientes, lo que significa que son el

rango. Intentémoslo.

En el conjunto de pares ordenados {(-2, 0), (0, 6), (2, 12), (4, 18)}, el dominio es el conjunto de los

primeros números de cada par (esos son las coordenadas x): {-2, 0, 2, 4}. El rango es el conjunto de

los número que conforman el segundo componente de cada par (esos son las coordenadas y): {0, 6,

12, 18}.

{(-2, 0), (0, 6), (2, 12), (4, 18)}

Dominio: {-2, 0, 2, 4}.

Rango: {0, 6, 12, 18}

Dominio y Rango: Gráficas

También podemos representar funciones y relaciones con gráficas. La cantidad independiente

normalmente se grafica en el eje horizontal (x) — lo que significa que los puntos en la

coordenada x son el dominio. Como la cantidad dependiente normalmente se grafica en el eje

vertical (y) , las coordenadas y conforman el rango. Veamos algunas gráficas para entender cómo

funciona esto.

Primero, examina la gráfica de puntos discretos. Los únicos valores que conocemos que satisfacen

la ecuación son los marcados con puntos. Simplemente leemos las coordenadas x, y los colocamos

en un conjunto de valores que representan el dominio. Luego leemos las coordenadas y, y los

ponemos en el rango. Para ésta gráfica, el dominio es {-2, 0, 2, 4}. Y el rango es {0, 6, 12, 18}.

ACTIVIDADES

Determinar el dominio y rango de las funciones siguientes.

a) 9x2 + 6x + 10 = 0

b) 3x2 - 9x = 0

c)-6x 2 + 10 = 0

d) 2x + 3y = 0

e) 5x – 2y = 0

f) 2x -5y = 0

FUNCIONES

SEMANA: 4

OBJETIVO:

El alumno interpretara el concepto de desigualdades y su aplicación en la vida

diaria.

EXPLICACIÓN TEMA

DESIGUALDADES

Resolucion De Desigualdades De Primer Grado Con Una Incognita Y De

Desigualdades Cuadraticas Con Una Incognita

Solución de desigualdades de primer grado

Las desigualdades de primer grado, más conocidas como desigualdades lineales,

son las desigualdades en las que la mayor potencia del pronumeral o variable no

es mayor que 1.

Por ejemplo: x + y> 5 se puede llamar desigualdad lineal. Estas desigualdades se

pueden emplear para resolver muchos de los problemas matemáticos.

La desigualdad lineal difiere de las ecuaciones lineales por el hecho de que las

ecuaciones lineales con una sola variable pueden tener solo una solución que sea

verdadera. Sin embargo, en el caso de las desigualdades lineales puede haber

varias soluciones para una variable que satisfaga la desigualdad correspondiente.

Por ejemplo: la ecuación lineal 5x = 20 tiene que x = 4 es su única solución,

mientras que la desigualdad 5x> 20 puede tener como su solución todos los

números mayores a 4.

Reemplazando ‘=’de la ecuación lineal con mayor que ‘>’, menor que‘<’ , mayor o

igual que ‘ ’ o menor o igual que el símbolo ‘ ‘, las desigualdades lineales pueden

ser obtenidas.

Un sistema de desigualdades lineales consiste en más de una desigualdad que

debe ser satisfecha de forma simultánea. Por tanto, una solución del sistema de

desigualdades lineales significa una solución que satisfará a todas las

desigualdades del sistema, es decir, una solución que es común a todas las

desigualdades del sistema. Del mismo modo, el grupo de todas las soluciones de

la desigualdad se denomina conjunto de soluciones.

Cuando se solucionan desigualdades de primer grado, algunas propiedades

pueden ser muy útiles:

1. En caso que, x < y e y < z, entonces x < z,

2. Si, x < y, entonces x + z < y + z y x - z < y – z Esto es, el curso de una

desigualdad permanece igual si, de ambos lados, un número idéntico es sumado o

restado.

3. Si x < y, entonces: xz < yz cuando z es positivo

xz > yz cuando z es negativo

Es decir la dirección de la desigualdad sigue siendo igual si un número idéntico

positivo es sumado en sus dos lados. Sin embargo, la dirección cambia, si el

mismo número negativo se añade en ambos lados de la desigualdad.

4. Si x < y e z < a, entonces x + z < y + a. Se dice que las desigualdades en la

misma dirección se pueden resumir. 5. Si x < y e ambos x e y son del mismo

signo, entonces > . La dirección de la desigualdad cambia cuando los recíprocos

de ambas partes se toman, en tal caso, ambas partes tienen el mismo signo.

Una comprensión más profunda del concepto se puede obtener con la ayuda de

un ejemplo:

Suponga que la ecuación a resolverse es 6 1 - 4x y 1 - 4x < 9

Por razones de simplificación combinaremos ambas ecuaciones en una, esto es 6

1- 4x < 9

Paso 1: Reste 1 de ambos lados, entonces de acuerdo con la regla 2 citada

anteriormente, obtenemos

6 - 1 −4x < 9 −1 5 −4x < 8

Paso 2: Ahora divida ambos lados con . De acuerdo con la regla 3, las direcciones

de las desigualdades cambiarán, es decir

−5/4 x > −2

Por tanto, el conjunto de soluciones yace en el intervalo de [−5/4, −2).

Desigualdades en la Recta Numérica Una forma de representar desigualdades es usando la recta numérica. En los ejemplos de abajo, los rangos de valores válidos para la desigualdad se muestran en rojo. Un punto abierto se usa para representar relaciones < y >; este símbolo indica que el punto sobre la recta numérica no está incluido dentro del rango de valores posibles de la desigualdad. Un punto cerrado se usa para representar ≤ y ≥, cuando los dos lados de la desigualdad podrían ser iguales. Stan tiene más de $3.50 en su bolsillo.

La temperatura es mayor que -4º y menor que 12º.

t ≤ 19

ACTIVIDADES

. Resuelve las siguientes desigualdades y dibuja en una hoja la gráfica de la solución en la línea recta. i) 2 + x < 9 x + 6 ii) 3x + 5 < -7x + 8 iii) 2 + 3x < 5x + 8 iv) 2x + 3 < 3x + 7 v) 7 < 3x – 2 < 13

FUNCIONES

SEMANA: 5

OBJETIVO:

El alumno interpretara el concepto de límite y su aplicación en la vida diaria.

EXPLICACIÓN TEMA

ACERCAMIENTO INTUITIVO DE LÍMITE.

El límite de una función f(x), cuando x tiende a c, es infinito si y sólo si para todo

R > 0 {\displaystyle R>0} existe un tal que, para todo punto x en el dominio de f, se

cumple 0 < x − c. < δ ⇒ f ( x )

Límite en un punto

El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se

acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan

al valor x0 . Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los

originales tienden a x0.

Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x 2 en el punto

x0 = 2.

x f(x)

1,9 3,61

1,99 3,9601

1,999 3,996001

... ...

↓ ↓

2 4

x f(x)

2,1 4.41

2,01 4,0401

2,001 4,004001

... ...

↓ ↓

2 4

Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las

imágenes se acercan a 4.

Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L ,

cuando x tiende a x0, si fijado un número real positivo ε ,

mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente

de ε , tal que, para todos los valores dex distintos de x0 que

cumplen la condición |x − x0| < δ , se cumple que |f(x) − L| < ε .

También podemos definir el concepto de límite a través de entornos:

si y sólo si, para cualquier entorno de L que

tomemos, por pequeño que sea su radio ε, existe un entorno

de x0, Eδ(x0), cuyos elementos (sin contar x0), tienen sus

imágenes dentro del entorno de L, Eε(L).

Cálculo del límite en un punto

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales,

logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden

las x.

No podemos calcular porque el dominio de definición está en el

intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a −2.

Sin embargo sí podemos calcular , porque aunque 3 no

pertenezca al dominio, D= − {2, 3}, sí podemos tomar valores del dominio

tan próximos a 3 como queramos.

Cálculo del límite en una función definida a trozos

En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión

de los diferentes trozos.

Si coinciden, este es el valor del límite.

Si no coinciden, el límite no existe.

.

En x = −1, los límites laterales son:

Por la izquierda:

Por la derecha:

Como en ambos casos coinciden, el límite existe y vale 1.

En x = 1, los límites laterales son:

Por la izquierda:

Por la derecha:

Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1.

ACTIVIDADES

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

FUNCIONES

SEMANA: 6

OBJETIVO:

El alumno interpretará el concepto de continuidad y su aplicación en la vida diaria.

EXPLICACIÓN TEMA

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO.

Continuidad de Funciones.

Intuitivamente se puede decir que una función es continua cuando en su gráfica no aparecen saltos o cuando el trazo de la gráfica no tiene "huecos". En la figura, aparece la gráfica de tres funciones: dos de ellas no continuas (discontinuas) en el punto x = a de su dominio (fig. (a) y (b)) y la otra (fig. (c)) contínua en todo su dominio.

Al mirar con un poco de cuidado las gráficas de la figura, se pueden deducir intuitivamente, resultados que permitirán comprender con mayor claridad la definición precisa de lo que significa: "ser una función continua en un punto dado de su dominio". En la gráfica de la fig. (a) se tiene:

i. (Existe). ii. f(a) existe.

Pero, . (Por esta razón f es discontinua) ¿Qué le sucede a la gráfica si f(a)= L?

Para la gráfica de la fig. (b) se tiene:

i. No existe. (Por esta razón f es discontinua) ii. f(a) = L1(Existe). Finalmente, para la gráfica de la fig. (c) se tiene:

i. . (Existe). (Por esta razón f es discontinua) ii. f(a) (Existe).

iii. Estas tres condiciones son las que en última instancia, permiten deducir intuitivamente que la función cuya gráfica aparece en la fig. (c) es continua en el punto a. Lo anterior nos permite establecer la siguiente definición. Definición: Una función f es CONTINUA EN x = a, si y solo si se satisfacen las siguientes condiciones: i. f(a) existe.

ii. existe.

iii. Si al menos una de estas tres condiciones deja de cumplirse se dice que f es DISCONTINUA (NO CONTINUA) en x = a. Observaciones:

i. Si en la definición anterior, sustituimos por o por

, se dice entonces que f es continua a la derecha, respectivamente, a la izquierda del punto x = a. ii. Algunos autores adoptan como definición de continuidad en un punto, la condición iii. de la definición anterior, esto es, f es continua en x = a, si y solo si,

. iii. Si en la definición de continuidad se hace: x = a + h; con a y (a + h) en el dominio de f,

se dice entonces, que f es continua en a si y solo si, .

iv. Si f es discontinua en x = a y existe pero es diferente de f(a), se dice que la discontinuidad es REMOVIBLE O EVITABLE. En caso contrario, se dice que la discontinuidad es ESENCIAL. Así por ejemplo, la gráfica de la fig. (a) corresponde a la gráfica de una función con discontinuidad Removible o evitable en x = a. Mientras que la gráfica de la fig. (b) corresponde a la gráfica de una función con discontinuidad ESENCIAL en x = a. v. Cuando una función tiene discontinuidad removible en un punto, se usa la frase "Remover la discontinuidad" para indicar que se puede redefinir la función haciendo que:

y de esta manera obtener una nueva función continua en x = a.

Considere por ejemplo, la función f definida por:

La gráfica de la función aparece en la figura siguiente:

Si se analiza la continuidad de f en el punto x = 0, se tiene:

i. (Existe) ii.f (0) = 3 (Existe)

Pero, ; lo que indica que f es discontinua en x = 0. Ahora, como

, la discontinuidad es evitable. Se puede entonces, "remover" o "evitar" la discontinuidad, redefiniendo una nueva

función de tal forma que . Esto es, redefiniendo a f así:

Esta nueva función es continua en x = 0. Es de anotar que la función f se ha redefinido y por lo tanto, no se trata de la misma función.

¿Por qué?

8.3.1. Teoremas sobre funciones continuas. Los siguientes teoremas, que se enuncian sin demostración, señalan importantes propiedades de las funciones continuas y son al mismo tiempo herramientas útiles que permiten deducir, en muchos casos, la continuidad de una función, sin recurrir directamente al empleo de la definición. TEOREMA 1. (Algebra de funciones continuas)

Sean f, g dos funciones continuas en el punto x = a. Entonces:

i. (f + g) es continua en x = a. (Suma de funciones continuas es continua).

ii. (f – g) es continua en x = a. (Diferencia de funciones continuas es continua).

iii. (f × g) es continua en x = a. (Producto de funciones continuas es continua).

iv. es continua en x = a, si g(a) ¹ 0. (Cociente de funciones continuas es continua).

Consecuencias:

C.C.1. La función polinómica es continua en todo punto del eje real. En efecto, sea

una función polinómica de grado “n”.

Sea a un punto cualquiera del eje real. Al aplicar sucesivamente el teorema 1 en sus partes i., ii. y iii se obtiene que:

y de aquí, Pn (x)es una función continua en todo punto del eje real.

C.C.2. Toda función racional es continua en los puntos que no anulen el denominador de la función.

Demostración: aplicar el teorema 1.

TEOREMA 2. (Límite de la función compuesta)

Sean f y g dos funciones tales que: f es continua en b y .

Entonces: . Algunas consecuencias importantes de este teorema son las siguientes:

C.C.3. Si , entonces, . Cuando n sea par, se debe cumplir además que b > 0.

C.C.4. Si , entonces,

Las consecuencias C.C.3. y C.C.4., se expresan respectivamente en palabras de la siguiente forma: "El límite de la raíz n-sima, es la raíz n-sima del límite y "El límite del valor absoluto, es el valor absoluto del límite".

C.C.5. (Continuidad de la función compuesta). Si g es continua en a y f es continua en g(a), entonces (f o g) (x) = f (g(x)) es continua en a.

8.3.2. Continuidad En Un Intervalo Definiciones: i. Una función f es continua en un INTERVALO ABIERTO si y solo si, f es continua en TODO punto del intervalo.

ii. Una función f es continua en un INTERVALO CERRADO [a, b] si y solo si, f es continua en el intervalo abierto (a, b), continua por la derecha de a y continua por la izquierda de b.

Definiciones similares se establecen para la continuidad de una función en un intervalo semi-abierto de cualquiera de las formas: (a, b] ó [a, b).

Así por ejemplo, la función (mayor entero menor o igual a x), es continua en los

intervalos de la forma ü , ya que en cada uno de estos intervalos, la función es constante. Considere también la función f definida por:

y cuya gráfica aparece en la fig. 8.8.

Se desea analizar la continuidad de f en el intervalo [-1, 3]

fig. 8.8.

1. Continuidad en el intervalo abierto (-1, 3). Se analiza la continuidad sólo en el punto x = 2, ya que en los demás puntos del intervalo f es continua por ser polinómica en cada tramo. Continuidad en x = 2

i. f(2) = 4

ii.

iii. De i., ii., y iii. se concluye que f es continua en x = 2 y por lo tanto f es continua en el intervalo (-1, 3). 2. Continuidad por la derecha del punto x = -1

i. f(-1) = (-1)2 = 1 (Existe)

ii. (Existe)

iii. Luego f es continua por la derecha del punto x = -1. 3. Continuidad por la izquierda del punto x = 3 i. f(3) = 3 + 2 = 5 (Existe)

ii. (Existe)

iii. Así que f es continua por la izquierda del punto x = 3. De 1. 2. y 3. se concluye de acuerdo a la definición, que f es continua en el intervalo cerrado [-1, 3].

ACTIVIDADES

VERIFICA SI SON CONTINUAS LAS SIGUIENTES FUNCIONES EN LOS INTERVALOS INDICADOS.

1.- f(X) 3x + 2 en [0,3)

2.- f(x) = 4

22 −x

x

en (-1,3)

3.- f(x) 42 +x en [-3, 3]

4.- f(x) = x

1

- 3 en (- 3

1

, 3

1

)

FUNCIONES

SEMANA: 7

OBJETIVO:

El alumno interpretará el concepto de razón de cambio y su aplicación en la

derivada.

EXPLICACIÓN TEMA

RAZON DE CAMBIO.

Razón de cambio (de una variable respecto a otra) es la magnitud del cambio de una variable por unidad de cambio de la otra. (También se le llama tasa de cambio.) Si las variables no tienen ninguna dependencia la tasa de cambio es cero. La razón de cambio es la proporción en la que una variable cambia con respecto a otra, de manera más explícita hablamos de la pendiente de una curva en una gráfica, es decir el cambio en el eje "y" entre el cambio del eje "x". A esto se le conoce también como la primera derivada. La razón de cambio instantánea también conocida como la segunda derivada se refiere a la rapidez con que la pendiente de una curva cambia en determinado momento. Por lo tanto hablamos de la razón de cambio de la pendiente en un momento específico.

Ejemplo de razón de cambio en la función f(x) = 3x -2 y en el

intervalo [-2,3).

f(x) = 3x-2

x f(x)

-2 -8

-1 -5

0 -2

1 1

2 4

3 7

Tomamos dos puntos coordenados, por ejemplo el primero y el

segundo; llamamos P1 (-2,-8) y P2 (-1,-5) y aplicamos la fórmula:

x

y

= 12

12

xx

yy

−

−

= 21

85

+−

+−

= 1

3

; lo cual se interpreta que a un cambio

de

una unidad en x hay 3 en y. En ecuaciones de segundo y tercer

grado sucede algo similar

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

1 2 3 4 5 6

f(x)

f(x)

ACTIVIDADES

CALCULA LAS RAZONES DE CAMBIO EN LAS FUNCIONES

SIGUIENTES Y EN LOS INTERVALOS INDICADOS

1.-f(x) = 3+x en [-3,1]

2.-f(x) = 2x-x2 [-3,2]

3.- f(x) = 4x-3 [-3,0]

4.- f(x)= -2x + 3 [0,1]

5.- f(x) = x2-3x+2 [1,4]

Es necesario que tabule y grafique, además de aplicar la formula.

FUNCIONES

SEMANA: 8

OBJETIVO:

El alumno interpretará el concepto de razón de cambio y su aplicación en la

derivada.

EXPLICACIÓN TEMA

INTERPRETACIÓN FÍSICA Y GRAFICA DE LA DERIVADA

Velocidad media

La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y el tiempo transcurrido (Δt).

Velocidad instantánea

Ejemplo La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en

segundos es e(t) = 6t2. Calcular:

1. la velocidad media entre t = 1 y t = 4.

La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo [1, 4].

2. La velocidad instantánea en t = 1.

La velocidad instantánea es la derivada en t = 1.

INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA

Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces

la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y

por tanto el ángulo α tiende a ser β.

La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada

de la función en ese punto.

mt = f'(a)

Ejemplos

Dada la parábola f(x) = x2, hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

La bisectriz del primer cuadrante tiene como ecuación y = x, por tanto su

pendiente es m = 1.

Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:

f'(a) = 1.

Porque la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el

punto x = a.

ACTIVIDADES

Aplicando la definición de límite, probar que:

FUNCIONES

SEMANA: 9

OBJETIVO:

El alumno interpretará el concepto de derivada y su aplicación en la vida diaria

EXPLICACIÓN TEMA

FORMULAS BASICA DE DERIVACION (SUMA, RESTA, PRODUCTO Y

MULTIPLICACION).

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN PRIMITIVA

El concepto de primitiva es el recíproco al de derivada. Se llama función primitiva de otra dada a la original que al derivarla nos da esa otra. “se dice que una función F es una antiderivada o primitiva de f, en un intervalo I si F´(x)=f(x) para todo x en I” Si F es una antiderivada f en un intervalo I, entonces la antiderivada más general de f en I es: F(x) + C

FUNCION PRIMITIVA

Una función primitiva es aquella que después de haber sido derivada pasando por su diferencial y por el proceso de integración no vuelve exactamente a su función original.

FORMULAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN 1.- si y= k entonces y’ = 0

2.- si y = k x entonces y’ = k

3.- si y = xentonces y’ = 1

4.-Si y = x^entonces y’ = ^x^ ¹

EJEMPLO

y=3x2+2x+18 dy/dx=6x+2 dy=6x+2 (dx) Integral=3x”+2x = 3x”+2x+c

CONCLUSIÓN: Si tengo una función primitiva y esta la derivo por la fórmula indicada, posteriormente la integro, entonces vuelvo a tener una función primitiva, aunque no exactamente por qué le tengo que agregar la c, que es la constante de integración, ya que al tener la derivada desconozco el valor de la constante, que puede ser cualquier número. Las siguientes formulas aplican para los casos de este tema y otras. Considera solo las necesarias.

Otros ejemplos de derivadas:

1.- solución:

2.-

Solucion:

3.-

Solucion;

4.-

solucion:

ACTIVIDADES

ACTIVIDAD: REALICE LAS DERIVADAS SIGUIENTES.

1.- 2.-

3.- 4.-

5.- 6.-

7.- 8.-

9.- 10.-

Nota : Apoyarse con las fórmulas de arriba.

FUNCIONES

SEMANA: 10, 11 Y 12

OBJETIVO:

El alumno interpretará el concepto de derivada de funciones trigonometrricas,

logarítmicas y exponenciales y su aplicación en la vida diaria

EXPLICACIÓN TEMA

FORMULAS BASICA DE DERIVACION (FUNCIONES TRIGONOMETRICAS,

LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES)

Las expresiones anteriores son formulas útiles en las derivadas de las

funciones trigonométricas.

Derivada de la función seno

Derivada de la función coseno

Derivada de la función tangente

Derivada de la función cotangente

Derivada de la función secante

Derivada de la función cosecante

Nota: Utilizar para esta semana las formulas del numero X en adelante para guiarse

y resolver funciones trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. La semana

anterior se dieron dos tablas.

Ejemplos

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Ejemplos de derivadas delas funciones exponenciales:

1.

2.

3.

Ejemplos de derivadas de las funciones logarítmicas:

1.

2.

Aplicando las propiedades de los logaritmos obtenemos:

ACTIVIDADES

REALICE LAS DERIVADAS SIGUIENTES.

1) f(x) = 5

cos x

2) f(x) = cos (7-2x)

3) f(x) = sen 4x

4) f(x) = 3 tg 2x

5) f(x) = sen 2

1x

6) f(x) = cos (3x2+x-1)

7) f(x) = tg x

8) f(x) = ctg 4x2

9) f(x) = sec 5x

10) f(x) = ln x3

11) f(x) = ln x

12) f(x<) = log 5x3

13) f(x) = e4x

14) f(x) = earc tg x

15) f(x) = 72x

16) f(x) = 5

2 x+2

17) f(x) = 3x2+5

18) f(x) = x2+8x-7

10

19) f(x) = 6x4+ 3x3- 2x2-7x+15

20) f(x) = cos (x3-2x)

21) f(x)= (2x+5)3

22) f(x) = ln (4x-3)

23) f(x) = 25-x

FUNCIONES

SEMANA: 13

OBJETIVO:

El alumno interpretará el concepto de integral de funciones y su aplicación en la vida

diaria

EXPLICACIÓN TEMA

AREA BAJO LA CURVA (INTEGRAL DEFINIDA)

Área Bajo una Curva

La formulación del área bajo una curva es el primer paso para desarrollar el

concepto de integral. El área bajo la curva formada por el trazo de la función f(x)

y el eje x se puede obtener aproximadamente, dibujando rectángulos de anchura

finita y altura f igual al valor de la función en el centro del intervalo.

Si hacemos más pequeño la anchura del rectángulo, entonces el número N es más

grande y mejor la aproximación al valor del área.

La Integral como Límite del Área

La aproximación al valor del área bajo una curva puede mejorarse tomando

rectángulos de aproximación mas estrechos. La idea de la integral es incrementar

el número de rectángulos N hacia el infinito, tomando el límite cuando el ancho

del rectángulo tiende a cero.

Aunque el concepto de área geométrica es una forma conveniente de visualizar

una integral, la idea de la integración es mucho más general. Cualquier variable

física continua puede ser "troceada" en incrementos infinitesimales

(elementos diferenciales) de modo que, la suma del producto de ese "ancho" por

el valor de la función se acerca a una suma infinita. La integral es una

herramienta poderosa para modelar problemas físicos que impliquen cantidades

que varíen continuamente.

Ejemplos de Integral de Área

Las integrales son útiles para el cálculo del área bajo curvas, que se pueden

obtener de forma aproximada, por medio de métodos gráficos.

Esta es una integral de tipo polinomio que se calcula

sumando las partes integrantes.

ACTIVIDADES

REALICE LAS DIFERENCIALES SIGUIENTES:

1.-Calcular el área del recinto l imitado por la curva y = 4x − x 2 y el eje

OX.

2.-Calcular el área l imitada por la curva y = 6x 2 − 3x3 y el eje de

abscisas.

3.- Hal lar el área l imitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las

ordenadas de x = 2 y x = 8.

FUNCIONES

SEMANA: 14

OBJETIVO:

El alumno interpretará el concepto de integral de funciones y su aplicación en la vida

diaria

EXPLICACIÓN TEMA

CALCULO INTEGRAL (FORMULAS BASICAS)

La integración es fundamental en las matemáticas avanzadas especializadas en los campos del cálculo. Una integral es una ANTIDERIVADA, es decir, la operación inversa a la derivada. Formulas básicas de integración. Recordemos que como en las derivadas, las integrales poseen reglas, propiedades y fórmulas para su procedimiento. Las integrales poseen un signo en su inicio en forma de S alargada y con una terminación de dx, esto las diferencia de otras ecuaciones. Una integral a realizar siempre ira acompañada de una S alargada al inicio y un dx al final. Estas son las formulas básicas de integración.

La integral de “n” numero siempre será nx + C. Ejemplo:

La integral de una constante siempre será constante * variable +C (ax+C)

La integral de X elevado a “n” numero será Xn+1, lo que se haga en la exponenciación

de la X se pondrá también abajo dividiéndola, es una regla establecida. Ejemplo:

La integral que divide arriba sobre una variable abajo será logaritmo natural de

variable más C. La fórmula marca lnX+C porque arriba en dx no tiene constante ni

variable pero sí un 1 imaginario, ejemplo:

La integral de un producto se puede separar siempre y cuando no se altere su

ecuación. De esta forma se integra en partes. No tienen que ser 3 productos

necesariamente para usar la formula ;) Ejemplo:

La integral de un Binomio (V) es parecida a la fórmula 3, solo que acá al sacar la

derivada del binomio (dv) se comprueba que exista la derivada fuera de V, en caso

que no exista, se iguala hasta quedar exacto y se elimina, quedando solo el binomio

(V) más la exponenciación + 1.

Se saca el binomio que es (2+X2)

La derivada del binomio es 2X y se le agrega dx, queda 2Xdx. Se comprueba que

2X coincida con el producto de afuera que es X, como es 2X y tenemos X solamente,

entonces se tiene que igualar a 2X…¿Cómo?, multiplicando 2(X), lo que hagamos

dentro se hace afuera pero en reciproco. Y se elimina la igualdad quedando lo

restante.

Ya que se eliminó el producto de afuera, se procede con la fórmula 3, y el ½ estará

multiplicando al resultado que quede de la formula.

El 2 que está en la división del binomio tiene que desaparecer, no se puede

multiplicar directo con el 2 de afuera. Para eliminarlo se debe multiplicar medios con

medios, extremos con extremos.

En realidad se ven muchos pasos en este último problema, pero al realizarlo apenas

alcanza unas 6 líneas de cuaderno. No son todas las formulas, hay más fórmulas

que son las de exponenciación y las formulas trigonométricas. También

existen identidades trigonométricas y métodos (casos) que hacen de los

problemas complicadísimos más fáciles de entender y solucionar.

ACTIVIDADES

Realizar las siguientes integrales