Funciones para el jueves
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FUNCIONES
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SEGUNDA UNIDAD DE APRENDIZAJE
OBJETIVO
•RECONOCER LAS FUNCIONES .
•DETERMINAR EL DOMINIO Y RANGO DE LAS FUNCIONES.
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En nuestra vida cotidiana tenemos experiencia con relación o correspondencias de magnitudes .
Ejemplos :
• En un almacén , a cada producto le corresponde un precio.
• Para una temperatura expresada en º C le corresponde un equivalente en º F.
• A una profundidad determinada en un líquido le corresponde una presión hidrostática.
• Un gas encerrado en un recipiente tiene una presión especifica.
• El consumo de energía eléctrica se halla relacionado con el costo.
• EL crecimiento poblacional se halla relacionado con el tiempo.
• El cambio de rapidez en el movimiento de un móvil con respecto al tiempo.
• El decaimiento de una sustancia radiactiva en función del tiempo.
• El área de un circulo con el radio.
Funciones
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INTRODUCCIONINTRODUCCION. Tipo especial de relaciones entre elementos de dos . Tipo especial de relaciones entre elementos de dos conjuntos A y B , llamadas funciones de A en B.conjuntos A y B , llamadas funciones de A en B.Una función expresa la idea de una cantidad o magnitud que depende Una función expresa la idea de una cantidad o magnitud que depende de otra u otras , o que está determinada por esta (s). de otra u otras , o que está determinada por esta (s). Ejemplo. La longitud L de una circunferencia depende de su radio “r” Ejemplo. La longitud L de una circunferencia depende de su radio “r”
Se lee:Se lee:“ “ L es función de r. ” o “ L depende de r.”L es función de r. ” o “ L depende de r.”Ejemplo. El volumen V de un cilindro recto depende de su radio (r) y Ejemplo. El volumen V de un cilindro recto depende de su radio (r) y su altura (h).su altura (h).
Se lee:Se lee: “ “ V es función de r y h” o “V depende de r y h”V es función de r y h” o “V depende de r y h”
)(2 rfrL
h)(r, fh r 2 V
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Definición. Una función de A en B es una relación f С (A × B) que hace corresponder a cada elemento x del conjunto A a lo más con un elemento y del conjunto B , denotado por :
También se dice que f es una función definida en A y con valores en B , si a cada elemento x ε A le corresponde un único elemento y ε B
Piense en una función como en una máquina, una máquina de calcular . Ésta toma un número (la entrada) y le produce un resultado ( la salida) . A cada número en la entrada le corresponde un único número como salida, pero puede suceder que varios valores diferentes de entrada den el mismo valor de salida.
y= f (x) ε B
Función : f• ●A BEntrada Salida
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Al conjunto A se le llama conjunto de PARTIDA , y al conjunto B de LLEGADA.
Notación: f : A B
x y=f (x)
Se lee “ f es una función de A en B. ” o
“ f es una función definida en A y con valores en B.”
La notación y=f (x) se lee:
“ y es el valor de la función f evaluada en x. ” o
“ y es la imagen de x mediante f. ”
Además : y=f (x) es equivalente a ( x , f ( x ) ) ε G r (f).
G r (f) : Gráfico de la función
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Domino y Rango de una función
Dominio. Es el conjunto de todos sus primeras componentes o antecedentes de los pares ordenados de f y se le denota por:
Rango. Denominado también recorrido de la función f, al conjunto de las segundas componentes (imágenes o consecuentes) de todos los elementos Avía f ; y se le denota por:
A f(x)y /B ε y / Aεx D f Dom
o
A f ε y) ,x ( /B ε y / Aεx D f Dom
f
f
BByR f f(x)y / Ax /
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●
●
●
●
●
●
●
●●
f
Es una función
●
●
●
●
●
●
●
No es una función
●
●
●
●
●
●
●
●
Es una función
f
A B AA B
BA
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REGLA O LEY DE CORRESPONDENCIA
Es una expresión que permite calcular para cualquier
su correspondiente imagen en el conjunto de llegada
Por ejemplo : ( regla o ley de correspondencia )
al valor de x se le denomina variable independiente, y al valor
se le llama variable dependiente.
Más aún , una función está completamente determinada cuando se especifica su Dominio y Regla o Ley de correspondencia.
Algunos ejemplos más de reglas o leyes de correspondencia.
fDx
)(xfy
1)( 2 xxfy
)(xfy
2x siny 1-2x y x y 4)log(xy
2xy 1-xy e 3y 1-x
2 y
32
21-x
1
83x
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Ejemplo 1. Sea .
Si , entonces y
Ejemplo 2. a) Halle el valor de K para que la relación :
sea una función .
b) Escribe el rango o recorrido.
d , c , b, a B 4 , 3 , 2 , 1 A y
) b , 3 (, ) b, 2 ( , ) a1, ( f 4 , 3 , 2 , 1 f Dom
b , a R f
),(,) 1- k 2 4 1k 2 7, ( , ) k 5 , 2 ( , ) k , 4 ( R 2
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Resolución. Como no pueden existir dos pares ordenados diferentes con la misma primera componente ,para que R sea una función los pares ordenados deben ser iguales , de tal manera que :
a)
Remplazando , tenemos:
b)
Ejemplo3. Dado el conjunto de pares ordenados :
a) Halle los valores de a y b para que f sea una función.
b) Determine el dominio y el recorrido de f.
) 1-2k , 4 () k , 4 (
1k 1-2kk
3) , 7 ( , 5) , 2 ( , 1) , 4 ( f
5 , 3 , 1 R f
2)- , (-1, 2b)-a , (5 , ) a-2b , b -(a, ) ba , (-1 , 7) , 5 ( f 22
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Resolución. Por las consideraciones tomadas en el problema anterior: , entonces se forman
las siguientes ecuaciones :
Al resolver las ecuaciones se obtiene :
a)
Luego la función:
b)
) 2b-a , 5 () 7 , 5 ( y ) 2- , 1- (b)a , (-1
7 2b-a
2 - b a
-3b ; 1a
) 7- , 4 (, 2)- , 1- (, ) 7 , (5 f
,-7 2- , 7 R ; 4 , 1- , 5 Dom ff
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GRÁFICA DE UNA FUNCIÓNGRÁFICA DE UNA FUNCIÓN• Cuando los conjuntos de partida y de llegada A y B de una función f son
conjuntos de números reales, esta función es llama una FUNCIÓN (de valor) REAL DE UNA VARIABLE REAL.
• Una Función Real de una Variable Real es un conjunto de pares ordenados de números reales , y por lo tanto tiene una representación gráfica como conjunto de puntos en el plano (plano XY),
.
La variable (independiente) x se representa en el eje X (eje de abscisas) , mientras que la variable dependiente y=f (x) se representa en el eje Y (eje de ordenadas).
2R
f(x)y D x R /x R ) y,x ( f f ,
R R :f
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Aplicación de A BAplicación de A B a) Una aplicación es un caso particular de una función.
b) Una función f se llama aplicación de A en B si y sólo si Dom f =A.
c) Un subconjunto f C ( A x B) es una aplicación de A en B si y sólo si
Se lee para todo x perteneciente al conjunto A , existe un único elemento y perteneciente al conjunto B ,tal que y=f (x) Notación. f es una aplicación de A en B se denota por:
donde Dom f =A.
f y),(x ó (x) fy /B y , Ax
(x) f x o (x) fx
B f
Ao B A:f
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B
Ejemplo. El conjunto si es una función
de A en B , pues cada elemento x ε A tiene asignado un único
elemento y ε B. Asimismo , vemos que f es también una
aplicación de A en B, pues :
El Rango de la función es:
),4(,),3(,),2(,),1( abbaf
4 , 3 , 2 , 1 Af Dom
A
1
2
3
4
a
b
c
d
e
f
baR f ,
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Haga clic en las ecuaciones que están ubicadas en el recuadro de la derecha, las que Ud. considere que son funciones
¿Por qué algunas de las ecuaciones son Funciones?
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Reconocimiento de una función geométricamente.
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FUNCIÓN LINEAL FUNCIÓN LINEAL
Ecuación de la Recta.
) Horizontal Recta ( )(constante ky
) Vertical Recta ( )(constante kx
a)Segmentari o Canónica Ecuación ( b
y
a
x
) Pendiente Punto ( 0x-(x m 0y-y
)(implícita o Recta) la de general Ecuación ( 0cbyax
)(explícita o ) ónintersecci - Pendiente ( bmxy
1
))(
) Horizontal Recta ( )(constante ky
) Vertical Recta ( )(constante kx
a)Segmentari o Canónica Ecuación ( b
y
a
x
) Pendiente Punto ( 0x-(x m 0y-y
)(implícita o Recta) la de general Ecuación ( 0cbyax
)(explícita o ) ónintersecci - Pendiente ( bmxy
1
))(
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PENDIENTE DE UNA RECTAPENDIENTE DE UNA RECTA
21
21
12
12
x x
y y
x x
y y tg m
x
y
●
●
B
.A
1x 2x
2y
1y
12 x x
12 y y
d
(b)
(a) -mpendiente
0cbyax :recta En
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Distancia entre dos puntos de una Recta (d).
Distancia de un Punto a una Recta.
22 )() 1212 y y x (xd
22
11
b a
c y b x a d
)11 y , (x P ● L
d
Ecuación general de la recta L : a x+ b y+c = 0
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.
Y = f (x) = a x2 + b x + c ; a , b y c ε Reales y a≠0.
Completando cuadrados : y = a ( x- h )2 + k , donde
( h , k ) corresponden a las coordenadas del vértice
de la parábola.
:
Corta al eje x en dos puntos
(dos raíces reales y diferentes)
La ecuación del eje de simetría
(recta vertical) , corresponde a :
x
y
Eje de Simetría
x=h
FUNCIÓN CUADRÁTICA
V : (h ,k)
V =Vértice
x1 x2
Las raíces son x1 y x2.
parábola
El valor mínimo de la función:
También :
Ymin= k
a > 0 = b2- 4 a c > 0
V
h =- (b)/(2a) = ( x1+x2 )/2 ; k = f (h).
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ii) = b2- 4 a c=0 , la parábola corta al eje x en un
punto (dos raíces reales e iguales).
x
y
X =h
iii) =b2-4 a c < 0 , la parábola no corta al eje x.
x
y
Existen dos raíces complejas y conjugadas
No existen soluciones reales
ntediscrimina
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FUNCIÓN CONSTANTE
Sea la recta de ecuación : .Si se
considera , su gráfica es :
0B y 0CByAx
K BC
- y :entonces , 0A
x
yy=k
Dominio : Reales
Rango : { k }
L
0 (B)(0)
- mPendiente
Recta Horizontal
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k
90º
Si en la ecuación se considera :
su gráfica es:
0A y 0CByAx
k A C
-x : entonces , 0B
x
y x=k : Recta Vertical.
No es una función.
L
existe No90º Tg
existe No (0)(A)
-mPendiente
Dominio : { k }
Rango : Reales
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FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
+x
+y
0 x si , (x) -
0x si , 0
0x si , (x)
x
2(x) x : También
, 0 : Rango
Reales : Dominio
x y
Simetría con respecto al eje y (recta: x=0)
(0 ,0)
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FUNCIÓN EXPONENCIAL
+x
+y
y = ax
, 0 : Rango
Reales : Dominio
1 a y 0 a
y = ax
1 a 0 1 a
+x
+y
(0 ,1) (0 ,1)
Las Gráficas no cortan al eje x
Decreciente Creciente
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FUNCIÓN LOGARITMO
+x +x
+y +y
(1,0)
b > 1
(1,0)
0< b <1
1 b y o b ; 0 x
xlogy b
y - : Rango
x 0 : Dominio
Creciente
Decreciente
![Page 28: Funciones para el jueves](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022061212/54953827b47959654d8b4cc5/html5/thumbnails/28.jpg)
FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
+x
+y
0 x ; x y
(0,0)
, 0 : Rango
, 0 : Dominio
Creciente
![Page 29: Funciones para el jueves](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022061212/54953827b47959654d8b4cc5/html5/thumbnails/29.jpg)
FUNCIÓN IDENTIDAD
Dominio: Reales.
Rango : Reales.
Simetría con respecto al origen (Función Impar).
Bisectriz de los cuadrantes
l y lll .
Función Creciente. y=x
Siempre pasa por el punto ( 0,0)
l
lll l y lll :Cuadrantes
Ejemplo
Dominio:[-8,8]
Rango :[-8,8]
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FUNCIÓN CÚBICA
Dominio : Reales.
Rango: Reales.
Función Creciente.
Simetría con respecto
al origen (función impar).
Pasa por (0,0).
Dominio : Reales.
Rango: Reales.
Función Creciente.
Simetría con respecto
al origen (función impar).
Pasa por (0,0).
y=x3
Ejemplo
Dominio:[-3,3]
Rango : [-27,27]
I
III
I y III: Cuadrantes
![Page 31: Funciones para el jueves](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022061212/54953827b47959654d8b4cc5/html5/thumbnails/31.jpg)
FUNCIONES RACIONALES
Es una función de la forma : donde P y Q
son funciones polinomiales y Q no es el polinomio cero. El dominio de una función racional está constituido por todos los números reales excepto aquellos donde el denominador Q es cero.
Ejemplos :
Q(X)P(X)
R(x) Q(X)P(X)
R(x)
1 xx
h) 65x x
3x g)
3)(x1) (x 1) (x
f)
4)-(x x3)-(x 2)(x 1)-(x
e) 9) (x 1)(x
4-d)
1 xx 3x
c) 4 x
x b)
5x 4 2x
a)
4
2
22
23
22
3
24
2
2
1 xx
h) 65x x
3x g)
3)(x1) (x 1) (x
f)
4)-(x x3)-(x 2)(x 1)-(x
e) 9) (x 1)(x
4-d)
1 xx 3x
c) 4 x
x b)
5x 4 2x
a)
4
2
22
23
22
3
24
2
2
![Page 32: Funciones para el jueves](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022061212/54953827b47959654d8b4cc5/html5/thumbnails/32.jpg)
Ejemplo. Graficar .
Operaciones: Función racional propia
1 xx
) (x f y 2
Igualando el denominador a cero:
x2 -1 = 0 , entonces:
x = 1 y x = -1.
Dominio: R - { -1 , 1 }
Rango: Reales.
Función Decreciente.
Asíntota vertical :
x =-1 y x= 1.
Asíntota horizontal: y = 0.
Simetría con respecto al origen (si se cambia x por – x : f (- x ) = - f ( x ) ).
Igualando el denominador a cero:
x2 -1 = 0 , entonces:
x = 1 y x = -1.
Dominio: R - { -1 , 1 }
Rango: Reales.
Función Decreciente.
Asíntota vertical :
x =-1 y x= 1.
Asíntota horizontal: y = 0.
Simetría con respecto al origen (si se cambia x por – x : f (- x ) = - f ( x ) ).
Decreciente
Decreciente
Ejemplo
Decre
cie
nte
y=0
x=-1
x=1
Decre
cie
nte
![Page 33: Funciones para el jueves](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022061212/54953827b47959654d8b4cc5/html5/thumbnails/33.jpg)
Ejemplo. Graficar .
Al dividir obtenemos :
1-x2x
y
e.Decrecient Función
. 2 -R : Rango
. 1 -R : Dominio
vertical. asíntota : 1x
y horizontal asíntota : 2y
donde , 1-x
22
1-x
2xf(x) y
Decreciente
Decrecientex=1
y=2