NIVELACIN MATEMTICA

Manual del alumno: Funciones

INACAP

Ciencias Bsicas

Vicerrectora de Acadmica de Pregrado

2015

2 Nivelacin

PRESENTACIN

Estimado alumno:

Junto con darte la bienvenida a una nueva instancia formativa, te presentamos el manual de nivelacin

matemtica para el alumno Inacapino. ste ser el documento gua del mdulo de nivelacin

correspondiente y te servir como apoyo paralelo a la asignatura que cursas.

En este mdulo trabajaremos la resolucin de problemas de manera transversal, desarrollaremos

habilidades para el manejo algebraico y podrs utilizar la calculadora en toda ocasin.

Adems, en este mdulo revisaremos ejercicios resueltos, te propondremos otros para que realices

grupalmente, otros de manera individual, y te dejaremos notas al margen para que recuerdes los conceptos

y procedimientos ms importantes de la unidad.

Al finalizar este mdulo, esperamos que puedas establecer tu propia estrategia de resolucin de problemas

utilizando operatoria algebraica y, para lograrlo, trabajaremos mediante la estrategia metodolgica de la

solucin de ejercicios y problemas, donde el docente se transforma en un mediador y monitor de tu

aprendizaje.

3 Nivelacin

FUNCIONES

Este mdulo contribuye a que puedas: Representar funciones lineales y cuadrticas en forma tabular, grfica y analtica, describiendo sus caractersticas generales, comunicando sus resultados de acuerdo a la situacin e interlocutores. Aplicar mtodos algebraicos, numricos y grficos en la resolucin de problemas, cuyos modelos correspondan a funciones afines y cuadrticas.

Materiales: Manual de nivelacin para el alumno. Calculadora. Bibliografa.

Tiempo: 10 horas pedaggicas.

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Clase 1

El objetivo de esta clase es que identifiques funciones expresadas de forma analtica, tabular o grfica, a

partir del anlisis de su dominio, recorrido y la aplicacin de la regla de la recta vertical.

1. Mencione las coordenadas de los puntos alfabetizados

Solucin:

1 Paso: Leer y comprender. Cules son los datos del problema? Cul

es la pregunta del problema?

Hay 12 puntos, a los cuales debemos determinar sus coordenadas.

2 Paso: Proponer y fundamentar. Cul ser su estrategia para resolver

el problema? Por qu funcionar su estrategia?

Tomaremos cada uno de los puntos, en orden alfabtico para no

perdernos. Luego, determinaremos sus coordenadas, siguiendo la lnea

punteada que nos lleva al eje de las abscisas y al eje de las ordenadas.

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3 Paso: Resolver y comprobar.

En el Eje Y (ordenadas) entre el tercer y cuarto cuadrante est el punto H Su coordenada es: H = (0,-2) En el primer cuadrante, hay dos puntos, A y G. Sus coordenadas son: A = (4,3) G = (1,2) En el segundo cuadrante encontramos nuevamente dos puntos, D y F. Sus coordenadas son: D = (-2,4) F = (-3,1) En el tercer cuadrante hayamos tres puntos, aquellos son B, I, J. Las coordenas respectivas: B = (-5,-1) I = (-2, -1) J = (-3, -4) Finalmente en el cuarto cuadrante hay ubicados tres puntos, E,K L. las coordenadas son: E = (5,-3) K = (3, -1) L = (2,-3)]

4 Paso: Comunicar.

Como ya hemos ordenado cada par de coordenadas, podemos exponerlos en forma alfabtica. A = (4,3) B = (-5,-1) C = 0, -6) D = (-2,4) E = (5,-3) F = (-3,1) G = (1,2) H = (0,-2) I = (-2, -1) J = (-3, -4) K = (3, -1) L = (2,-3). Finalmente hayamos 12 puntos en este plano cartesiano

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Problema propuesto grupal:

1. El director de una escuela especializada en combate analiza la

matricula de sus estudiantes. En la decada del 90 al momento de fundar

la escuela, inici con 400 luchadores. Desde entonces, el nmero de

inscritos y matriculados fue aumentado en 50 por ao hasta el da de

hoy.

Cmo quedara la funcin que denote el nmero de alumnos

desde que se fund la escuela.

Utilizar la funcin para determinar el nmero de ingresos en un

tiempo de 15 aos.

Solucin:

1 Paso: Leer y comprender. Cules son los datos del problema? Cul

es la pregunta del problema?

2 Paso: Proponer y fundamentar. Cul ser su estrategia para resolver

el problema? Por qu funcionar su estrategia?

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3 Paso: Resolver y comprobar. Resuelvan el problema aplicando su

estrategia. Una vez que lo terminen, verifiquen que el resultado coincide

con las indicaciones del enunciado y da respuesta al problema.

4 Paso: Comunicar. Cuntale a tus compaeros del curso o a tu

profesor(a) cul es la respuesta al problema.

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Problemas propuestos individuales:

Para cada uno de estos ejercicios, debes realizar los pasos que ya has

aprendido y entrenado en esta clase.

Utiliza las tcnicas de subrayado y/o anotaciones al margen para que

puedas ir anotando los conceptos importantes, frmulas o dudas que tengas

al respecto.

1. Determine si los siguientes grficos corresponden a una funcin:

a. b.

c. d.

2. Cules de las siguientes ecuaciones son funciones y por qu?

. = 2 + 7 . 2 = . = 2 2 . 2 + 2 = 16

3. Un conductor de autos de carrera, est en su periodo de entrenamiento

recorriendo una velocidad de 500 kilmetros por hora, siendo esta una

funcin de tiempo recorriendo. Si k representa la distancia en kilmetros y t

es el tiempo en horas, la funcin sera:

4. Los propulsores de un avin ayudan a viajar a una velocidad de 293

m/segundo. Cul es la distancia que recorre en s segundos:

5. Puedes determinar la funcin que representa la siguiente tabla, que

muestra el nmero de cerezas que sacas de un rbol cada cinco minutos.

Si no alcanzas a realizar estos

ejercicios en la clase, puedes

hacerlos en tu casa, como

tarea, y aclarar tus dudas la

prxima clase.

El docente deber entregar

los resultados de los

ejercicios a los alumnos, de

acuerdo a cmo se vaya

realizando la clase.

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10 Nivelacin

Clase 2

El objetivo de esta clase es que grafiques funciones a partir una tabla de valores, analizando dominio y

recorrido de definicin de la funcin.

Ejercicio resuelto

1. Reconocer dominio y recorrido de la siguiente recta y = 2x + 3.

Construya la tabla de valores asociada a ella.

Construiremos una tabla de valores para graficar la funcin, con esto, podremos determinar el dominio y recorrido de la misma. No es necesario graficar para dar respuesta a este problema, pero es aconsejable representar a situacin. La tabla que podemos realizar calculando los valores de x

Tabla de valores de la funcin

x 1 0 -1

y 5 3 1

Por lo tanto, el grfico queda:

t

As vemos, que el dominio y el recorrido de la funcin son todos los

reales.

11 Nivelacin

Ejercicio propuesto grupal

1. Considrese la funcin f(x) = 2 + 1. Encontrar su dominio y Graficar.

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2. Si John es repartidor de volantes publicitarios y por cada hora que est

entregando, gana 10 dlares. Cmo quedara el grfico de ingreso que

tiene John.

Solucin:

1 Paso: Leer y comprender. Cules son los datos del problema? Cul

es la pregunta del problema?

2 Paso: Proponer y fundamentar. Cul ser su estrategia para resolver el

problema? Por qu funcionar su estrategia?

.

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3 Paso: Resolver y comprobar.

4 Paso: Comunicar.

.

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Ejercicios propuestos individuales

1. Una funcin cuadrtica de la forma g(x) = a2 + bx + 1; esta funcin

toma el valor 7 para x = 6 y para x = 1. Determina esta funcin.

2. Si estos son el conjunto de puntos que recorre una funcin, determine

el dominio y recorrido. K(x) = {(2,3);(5,7);(1,8);(4,3)}

3. Mencione cul el dominio y recorrido del siguiente grfico:

4. Mencione cul el dominio y recorrido del siguiente grfico: 5. .h(x) = 2x 1 Existen valores que al remplazar en x no tengan imagen?

Si no alcanzas a realizar estos

ejercicios en la clase, puedes

hacerlos en tu casa, como

tarea, y aclarar tus dudas la

prxima clase.

El docente deber entregar

los resultados de los

ejercicios a los alumnos, de

acuerdo a cmo se vaya

realizando la clase.

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Clase 3

El objetivo de esta clase es que describir ceros, continuidad y monotona de funciones, comunicando sus

resultados de manera efectiva.

Ejercicio resuelto

1. Determine los ceros de la funcin J(x) = x^2 + 3x 10

Los ceros de una funcin se definen como los x para los cuales el

valor de la funcin se hace 0 Por lo tanto, aplicaremos esta

definicin para poder determinarlos.

J(x) = (x + 5)(x 2)

Sabemos que el producto anterior es cero. Por ende, las races de

esta funcin sern x = 5 y x = -2

En este caso, la grfica atraviesa el eje x dos veces.

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Ejercicios propuestos grupales

Determine si el grafico de la funcin es continuo y montono. Explique

sus palabras.

17 Nivelacin

Ejercicios propuestos individuales:

Utiliza las tcnicas de subrayado y/o anotaciones al margen para que

puedas ir anotando los conceptos importantes, frmulas o dudas que tengas

al respecto.

Hallar cero, monotona y continuidad

1. Para la funcin f(x) = 2 1, verifique intervalos de monotona.

2. Para la funcin () = 2 3, donde su domino en los reales es

[4, 4[. Determine ceros, en qu intervalo la funcin es continua y su

monotona.

Si no alcanzas a realizar estos

ejercicios en la clase, puedes

hacerlos en tu casa, como

tarea, y aclarar tus dudas la

prxima clase.

El docente deber entregar

los resultados de los

ejercicios a los alumnos, de

acuerdo a cmo se vaya

realizando la clase.

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3. Con la funcin () = 3 + 5, con su domino en los reales,

verifique si es montona decreciente en el intervalo [2, 5] (de no serlo,

qu monotona tiene) y si es creciente en el intervalo [2, 1].

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Clase 4

El objetivo de esta clase es evales funciones para dar respuesta a un problema contextualizado, analizando

y comunicando sus resultados de acuerdo a la situacin.

Ejercicio resuelto

La ganancia semanal de un negocio de arriendo de juegos de video est en

funcin el nmero de arriendos semanales. La funcin que permite

aproximar la ganancia, en pesos, es f(x)=500x - 50.000. Construya un

grfico que permita visualizar la relacin entre el nmero de arriendos y la

ganancia semanal. Estime la ganancia si en una semana cualquiera se

realizan 350 arriendos de videojuegos.

Primero construiremos una tabla de valores:

x f(x)

0 -50000

100 0

200 50000

Podemos estimar la ganancia para una semana en que se realizaron 350

arriendos, para ellos basta que encontremos en el grfico la coordinada

y, del unto de la recta que tiene abscisa 350.

Si nos fijamos en el grfico, el valor es 125.000.

Verificamos que obtenemos lo mismo s utilizamos la funcin.

f(350)=350*500 -50000 = 125.000

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Ejercicio propuesto grupal

Durante una tormenta se ve el rayo antes de escuchar el trueno, porque la

luz viaja a mayor velocidad que el sonido. La distancia entre una persona y

el centro de la tormenta es directamente proporcional con la longitud del

intervalo de tiempo entre el rayo y el trueno.

Suponga que el trueno de una tormenta cuyo centro est a 1.600 m de

distancia, tarda 8 s en alcanzarla. Determine la constante de

proporcionalidad y escriba la ecuacin de variacin.

Si la longitud del intervalo de tiempo entre el rayo y el trueno ahora es de

5 segundos, Qu tan lejos o cerca est el centro de la tormenta?

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Ejercicios propuestos individuales

1) Un corredor de bolsa cobra $30.000 ms $18 por cada accin

comparada o vendida. La comisin c de este corredor, en pesos, es una

funcin del nmero se acciones a transadas.

a) Determine la funcin.

b) Realice el grfico entre 0 y 10.000 acciones transadas.

c) Calcule el monto de comisin si se compran 1.000 acciones.

d) Calcule la cantidad de acciones mnimas que debera vender el

corredor, para tener una ganancia de $400.000.

2) La funcin que relaciona el costo total de produccin de una industria

de maquinaria pesada, C (en millones de dlares), con un nmero de

unidades fabricadas, x, es:

C=f(x)=x2+2x+1

a) Cunto es el costo de produccin si se fabrican 100 unidades?

b) Determine cuntas unidades se deben producir para que el costo sea

mnimo.

22 Nivelacin

Clase 5

El objetivo de esta clase es que aclares tus ltimas dudas y resuelvas el taller de evaluacin de manera grupal. Aqu, dejamos un espacio para que puedas escribir tus dudas y preguntrselas a tu profesor.