Funciones Fau Lvma[1]

7/28/2019 Funciones Fau Lvma[1]

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIUR

FACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO

TEMA: FUNCIONES

h

h

0,h y 10, y

2,h y

X

Y

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

1. Si se corta la grfica de una funcin y su inversa, debe ocurrir esto en

y x ? Pueden cortarse en cualquier otro punto? Deben cortarse?

2. Dadas las funciones 1

f x xx

y 2 22 2

1F x a x

a x . Hallar g tal que

f g F .

3. Un auto econmico rentado en forma semanal cuesta $ 95.00 la semana.

Los das adicionales cuestan $ 24.00 cada uno hasta que la tasa diaria

excede la tasa semanal, en cuyo caso se aplica esta ltima. Determine el

costo C de renta de un auto econmico como una funcin definida por

partes, dependiendo del nmero x de das utilizados, donde 7 14x .

Haga la grfica de esta funcin. [Nota: Toda fraccin de un da cuenta como

un da completo.]

4. La figura muestra la grfica de 2f x ax bx c . Suponga que los puntos

0,h y

, 10, y y 2,h y estn sobre la grfica. Puede demostrarse que elrea encerrada por la parbola, el eje x y las rectas x h y x h es

22 63

hrea ah c

Demostrar que esta rea tambin puede ser obtenida mediante:

0 1 243

hrea y y y .

5. Si (||||)|| || y


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TEMA: FUNCIONES

[] || . Hallar .6. Sea

() { [] ]

[

a) Demostrar que es inyectiva y hallarb) Hallar , si existe.

7. Si / () ||. Es sobreyectiva?8. Usted ha explorado cmo el completar cuadrado puede transformar

cualquier funcin cuadrtica en la forma ( ) . Se concluye quelas parbolas con tienen el mismo aspecto. Para ver que no secumple lo mismo en el caso de los polinomios cbicos, haga las grficas de

, y la de . En este ejercicio se completar el cubo, paradeterminar cuntas grficas cbicas diferentes hay. Para ver cmo es eso

de completar el cubo, muestre primero que ( ) . Use este resultado para transformar la grfica de en las grficasde a) , y b) . Muestre que nopuede lograr una transformacin simple a . Sinembargo, muestre que se puede obtener de mediante transformaciones bsicas. Muestre que la siguienteafirmacin es verdadera: cualquier cbica ( ) sepuede obtener mediante transformaciones bsicas de paraalguna constante .

9. Construir los grficos de las funciones:

a) ||||

b) ( )

10. Con qu y la funcin tiene inversa y coincide con ella.11. Demuestre que la funcin es invertible. Construir en un mismo

sistema de coordenadas los grficos de la funcin dada y de la inversa.

Hallar los puntos de interseccin.

12. Demuestre que la funcin tiene suinversa y hllela.


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TEMA: FUNCIONES

13. Sea() { [] ] [ c) Demostrar que

es inyectiva y hallar

d) Hallar , si existe.14. Si / () ||. Es sobreyectiva?15. Graficar, luego dar su dominio y rango de la siguiente relacin:

2( , ) / 5 2 6R x y x y .

16. Sea : [ 9, 1f A , dada por3 4

( )3

xf x

x

a. Determinar A .

b. f es biyectiva?

c. Hallar 1f si existe.

17. Si ( ) 2f x x c y 1 2( ) 2 ( )f c f c , encontrar el valor de

a) 1(0) (0)f f b)1

(1)

(1)

f

f

18. Dadas las funciones ( )f x x y 2( )g x x .

d. Hallar 1( )f g si existe.

e. Hallar 1( )g f si existe.

19. Halle el dominio, el rango y los interceptos de las funciones. Trace sus

grficas:

a)4 9y x b) 3 1y x c)

3 8y x

d) 2( ) 5 4f x x x e) 2( ) 4 1f x x f) 4 2( )f x x x

g) ( ) 2 3f x x h)1

( )f xx

i)2( )f x x

20. Hallar" "a para que el conjunto de pares ordenados sea una funcin. Indica

su dominio y su rango. 1,2 , 1, , 2,3 , 1,4 , 3,3f a

21. Hallar " "a y " "b para que f sea una funcin.

3,2 3 , 1,5 , ,3 , 6,7 , 3,4 , 2,2 , 2, 4f a b a b a b


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TEMA: FUNCIONES

22. Hallar los valores de a y b para que uno de los conjuntos de pares

ordenados sea una funcin, y determinar la funcin en cada caso:

2 2 2 21,8 , 2, 3 , 1, , 1, , , , ,f a b a b a b a b a b

2 2 2 2 24,3 , 5, 3 , 4, , 5, , , , ,g a b a b a b a b a b

23. En 1,2,3,4A se definen las funciones 1,1 , 2,3 , 4,2 , 3,3 , 4,f m

y2

( )g x mx bx c si (1) (1); (2) 4f g g Hallar ( )Rang g .

24. Para 1,2,3A , 3,4,5B sean yf gdos aplicaciones de A en B tales

que:

1,3 , 2,4 , ,f a b y 3,3 , 2,4 , ,g c d . Si ,x A f x x ;

,Rang f B y 1 3g . Hallar el valor de: b a c d

25.Evaluacin de funciones.- Para la funcin definida por2

( ) 7f x x ,

calcular:( ) ( )

(3 ), ( 1), , 0f x x f x

f a f b x

x

26. Hallar los valores de a, b y dar la funcin2

( )x b

f xa x

tal que

4 2( 2) , (3/ 2)

3 5f f

27. Hallar las incgnitas a fin de que la funcin est definida:

2

3 2

) ( ) ; ( 2) 3

) ( ) ; (1) 2 (2) 2

) ( ) , (1) 1, ( 1) 1

) ( ) 2, (1) 1, (2) 5

a f x x a f

b f x ax b f f

c f x x bx c f f

d f x x ax bx f f

28. Sea / 0 5A x x , Cuntos de los siguientes conjuntos son

funciones de A en A?


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TEMA: FUNCIONES

1 2

2

3 4

, / 2 , / 2

, / 5 , /

R x y A A x R x y A A y

R x y A A y x R x y A A x y

29. Sean 2,4,6,8,10A y , , , ,B a b c d e , Cules de los siguientes

conjuntos definen funciones de A en B?

2, , 4, , 10, , 8, , 6, 10, , 6, , 2, , 6, , 4,

6, , 4, , 8, , 10, 2, , 4, , 6,

10, , 8, , 4, , 2, , 6,

C a c c e e D a b a e d

E b a a e F b e a

G b b b b b

30.Hallar el dominio y rango de la funcin f y trazar su grfica:

a. ( ) 3 1f x x

b.

1 , 1 1,( )

-1 1,1

xf x

x

c.

1 1( )

1

x xf x

x

d.( ) 2 1f x x x

e. ( ) 2 3f x x

f. ( ) 5 1f x x

g. ( ) 2 1f x x

h. ( ) 3 4f x x

i. ( ) 4 1f x x

j.2

( ) 2 4 2f x x x

k.2

( ) 2 4 2f x x x

l.2

( ) 6 1f x x x

m.2

( ) 4f x x

31. Identifique el rango de las siguientes funciones:

2) 2 ) 5 1 4 ) ) 3 2 -2 x 2a y x b y x x c y x d y x


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TEMA: FUNCIONES

32. Hallar el dominio de las siguientes funciones:

2

2

5 5) ( ) ) 4 7 19 ) ) 5

56 6 7

) f ) ) h)5 9 9 436

a f x b y x x c y d y t

x xx x

e y y g y yx x x x x xx

33.Determine los dominios en las siguientes funciones:

2

2

2 1) ( ) ) 5 2 ) ) 3 12

1 4

xa f x b y x c y d y x

x x

2

3 3 22 4) f ) ) h) 3 12

4 1x x xe y y g y y x

x x x x x

34. Hallar el dominio de las siguientes funciones.

2 2) 2 8 ) 6 5a y x x b y x x

35. Determinar el dominio de las siguientes funciones:

5 2 41) 2) 3)2 5 3

xy y yx x x

3 2 64) 5)4 6 4xy yx x

36. Elabora las grficas de las funciones dadas a continuacin:

1) 4 8 2) 1/ 2 6 3) 2 4 4) 1/ 4 2

5) 3 9 6) 3 7) 5 8) 2

y x y x y x y x

y x y x y x y

2 29) 5 10) 6 9y x y x x 2 211) 2 8 12) 10 25y x x y x x

37. Relacione cada grfica con una de las siguientes funciones:

22 2

2 2

2

) 2 b) 2 c) 2 d) 2 e) 2

f) 2 g) 2 h) 2 i) 2

j) 2 k) 2 l) 2

a y x y x y x y x y x

y x y x y x y x

y x y x y x


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TEMA: FUNCIONES

38. En los problemas del 1 al 8, aparece la grfica de una funcin. Utilice para determinar:

a) Su dominio y su rango, los intervalos donde es creciente, decreciente oconstante.

b) y las intersecciones con los ejes, si existen.


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TEMA: FUNCIONES

39. En los problemas del Bloque I y II, determine si la grfica es una funcin mediante el

criterio de la recta vertical. Si lo es, utilice la grfica para encontrar:

a) Su dominio y su rango.

b) Las intersecciones con los ejes, si existen.


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TEMA: FUNCIONES

c) Cualquier simetra con respecto a los ejes x, y o al origen.

Bloque I


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TEMA: FUNCIONES

Bloque II

40. Graficar las siguientes funciones con varias reglas de correspondencia:


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TEMA: FUNCIONES

1.

2 1 1

( ) 1 -1 1

2 1 x 1

x x

f x x

x

2.

2

11- 1

2

( ) -1 1

2 x 1

x x

f x x x

x

3.

30,3

( )3 3,8

x si xg x

si x

4. 3 4,0( )2 0,5

x si xh xx si x

5.1- , 2

( )2 5,

x si xh x

x si x

6.2

0 3( )

4 3 6

x si xh x

si x

7.3x-2 0 2

( )1-x 2< 5

si xf x

si x

8.

1 si 1,6

( ) 1si 3,0

2

x xf x x

x

9.2x-1 0

( )x 0

si xf x

si x

10. ( ) 4f x x

11. ( ) 3f x x

12. ( ) 3h x x

13.2

1 x


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UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURFACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO

TEMA: FUNCIONES

Lic. Meja Alemn, Luis V Pgina 12

A B

C

2 2,0

2

0, 2 45

4545

41. Hallar la grfica de la funcin4 3 2

2

5 5 5 6( )

4 3

x x x xf x

x x

42. Dada la grfica hallar la regla de correspondencia:

43. Utilice Geogebra o Mathematica y las tcnicas de graficacin para graficar las

siguientes funciones:

a) 3x

y b) 3xy c) / 22xy d) 1 3

3

xy e)

32

xy

d) 5 xy e e) / 22 xy e

44. Resolver los siguientes problemas de aplicacin:

RECUPERACIN DE UNA HERIDA.- La recuperacin normal de una herida

se puede modelar mediante una funcin exponencial. Si 0A representa el

rea original de la herida y A es el rea de la herida despus de n das,

entonces la frmula 0.350nA A e describe el rea de una herida en el n-

simo da despus de la lesin, si no hay infecciones que retarden la

recuperacin. Suponga que una herida tiene un rea inicial de 1 centmetro

cuadrado.

Si hay un proceso de recuperacin,


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TEMA: FUNCIONES


a) Cunto medir el rea de la herida despus de 3 das?

b) Cunto medir despus de 10 das?

ADMINISTRACIN DE MEDICAMENTOS.- La frmula 0.45 hD e sirve para

determinar el nmero de miligramos de cierto medicamento en el flujo

sanguneo de un paciente, h horas despus de su administracin. Cuntos

miligramos estarn presentes despus de 1 hora? Y despus de 6 horas?

45. Si el dominio de2

2

6( )

7 12

x xg x

x x

es , . " "x a b c Calcular a b c

46. Dadas las funciones:2

2

2 1( ) ( ) 3

3

yx x

f x g x x x

x x

, hallar la suma delos valores enteros positivos de ( ) ( )Dom f Ran g

47. Dadas las siguientes funciones de variable real cuya regla de correspondencia

son:1

( ) ; ( ) 3 12

xf x g x x

x

, hallar ( ) ( )Domf x Ran g x 48. Cul es el valor mximo que puede tomar la siguiente funcin:

2( ) 10 21f x x x , de dominio real?

49. Encontrar la funcin lineal tal que: (2) 3 (3) 2 (4)f f f

50. Analizar la siguiente funcin conocida como Diente de Sierra, la cual est

determinada por: 0( ) ; ,( 1) , 0,by f x x na x na n a a n R a

51. Hallar el dominio, rango y trazar la grfica de la funcin definida por:

21, 3

( )3, 3

x xf x

x x

52. Sea f una funcin definida por2

( )x b

f xa x

tal que ( 2) 4/ 3f ,(3 / 2) 2/ 5f . Hallar el dominio, rango y trazar la grfica.


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TEMA: FUNCIONES


53. Dada la funcin2

3 18 36f c

x xx

. Hallar el dominio, rango, trazar la grfica yel valor mnimo de f , sabiendo que f (4)=7

54. Sea la funcin definida por:4 3 2

2

5 5 5 6( )

4 3

x x x x f x

x x

55. Sea 2 3, 4( ) , /3, 4

x xg x x y y

x x

. Hallar el dominio, rango y trazar la grfica

de la funcin g.

56. Graficar la funcin1

( ) sgn2

xf x

x

57. Si el grfico de una funcin est representado en la figura adjunta, hallar suregla de correspondencia.

58. Hallar el rango y trazar la grfica de la funcin definida por:

22 1( ) 9 .sgn , 3,3f

xf x x donde D

x

59. Sea2

4( ) sgn

4

xf x

x

. Hallar las grficas de ( )f x e indicar su dominio yrango.

60. Una isla se encuentra a dos millas del punto ms cercano de una costa recta.

Un poblado est a doce millas desde el punto P.

a) Si una persona puede remar a una velocidad de 3 millas por hora y caminar

5 millas por hora, exprese el tiempo T que tardara en ir de la isla al poblado

como funcin de la distancia x de P hasta donde esa persona deja anclado

el bote en que lleg a la costa.

b) Cunto tiempo tardar la persona en ir de la isla al poblado si deja anclado

el bote a 4 millas de P?

c) Y si lo deja anclado a 8 millas de P?

61. Trace la grfica de la siguiente funcin

36

3

xsix

xsixxf


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TEMA: FUNCIONES


62. Una fbrica de frituras tiene costos fijos diarios de $ 1800. Adems, cuesta 50

centavos producir cada bolsa de frituras. Una bolsa de frituras se vende a $

1.20.

a) Encuentre la regla de la funcin de costo xc que da el costo diario total de

producirx bolsas de frituras.

b) Encuentre la regla de la funcin de ingreso xr que da el ingreso directo

por venderx bolsas de frituras.

c) Encuentre la regla de la funcin de ganancia xp que da la ganancia diaria

al venderx bolsas de frituras.

63. Un servicio de mecanografiado cobra $ 3 ms $ 7 por hora o fraccin de hora.

Trace la grfica de los pares ordenados (horas, costo).

64. Suponga que las ventas de una guitarra elctrica satisfacen la relacin

2000300 xxS , donde xS representa el nmero de guitarras vendidas en

el ao x , con 0x correspondiente al ao 2002.

Encuentre las ventas en cada uno de los siguientes aos.

a) 2010

b) 2020

c) El fabricante necesitaba vender 4000 guitarras para el ao 2008 a fin de

pagar un prstamo. Alcanzaron las ventas esa meta?

d) Encuentre la razn de cambio anual de las ventas.

65. La tasa de natalidad en Estados Unidos fue de 14.0 (por millar) en 1975 y de

16.7 en 1990. Suponga que la tasa de natalidad cambia linealmente.

a) Encuentre una ecuacin para la tasa de natalidad en Estados Unidos como

una funcin lineal de tiempo t, donde t se mida en aos desde 1975.

b) La tasa de natalidad en Israel en 1990 fue de 22.2. En qu ao ser la

tasa en Estados Unidos por lo menos tan grande (suponiendo que contina

la tendencia lineal)?


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TEMA: FUNCIONES


66. El administrador de un edificio con 16 departamentos descubri que cada

incremento de $40 en la renta mensual trae como consecuencia un

departamento vaco. Todos los departamentos se rentarn a $500 mensuales.

Cuntos incrementos de $40 producirn un ingreso mximo mensual para el

edificio?

67. Suponga que el precio y la demanda de un artculo estn relacionados por

2150 6p q , funcin de demanda, donde p es el precio en dlares y q el

nmero de artculos demandados en cientos. El precio y la oferta estn

relacionados 210 2p q q , funcin de oferta, donde q es el nmero de artculos

ofrecidos (en cientos). Encuntrese la demanda y oferta de equilibrio y el

precio de equilibrio.

68. Laura Lpez es la duea de la pastelera Ta Ema. Contrat un consultor para

analizar las operaciones del negocio. El consultor dice que sus ganancias ( )P x

de la venta de x unidades de pasteles, estn dadas por 2( ) 120P x x x

Cuntos pasteles se deben vender para maximizar las ganancias?Cul es la

ganancia mxima?

69. Sandra Lara hace dulces y los vende. Encontr que el costo por caja para

hacerx cajas de dulces est dado por: 2( ) 10 32c x x x .

Cunto cuesta por caja hacer 2 cajas? 4 cajas? 10 cajas?

Trace la grfica de la funcin de costo ( )C x y marque los puntos

correspondientes a 2,4 y 10 cajas.

Qu punto sobre la grfica corresponde al nmero de cajas que har el

costo por caja tan pequeo como sea posible?

Cuntas cajas debe hacer para mantener el costo por caja en un mnimo?Cul es el costo mnimo por caja?

70. Las papas fritas generan una ganancia enorme (150 a 300 %) en muchos

restaurantes de comida rpida. La gerencia desea, por lo tanto, maximizar el

nmero de bolsas vendidas. Suponga que un modelo matemtico que conecta


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TEMA: FUNCIONES


p , la ganancia por da de la venta de papas fritas (en decenas de dlares) y x ,

el precio por bolsa ( en dcimos de dlar), es 22 24 8p x x .

Encuentre el precio por bolsa que conduce a la ganancia mxima.

Cul es la ganancia mxima?

71. El gerente de una tienda de bicicletas ha encontrado que, a un precio (en

dlares) de ( ) 1504

xp x por bicicleta, se venden x bicicletas.

Encuentre la expresin para el ingreso total de la venta de bicicletas.

(Sugerencia: ingreso=demanda x precio.)

Encuentre el nmero de bicicletas vendidas que conduce a un ingreso

mximo.

Encuentre el ingreso mximo.

72. un procedimiento para medir el rendimiento cardaco depende de la

concentracin de una tintura despus de que una cantidad conocida es

inyectada enana vena cerca del corazn. En un corazn normal, la

concentracin de la tintura en el tiempo x (en segundos) est dada por:

4 3 2

( ) 0.006 0.14 0.053 1.79g x x x x x

Encuentre lo siguiente: (0); (1); (2); (3).g g g g

Trace la grfica de ( )g x para x 0

73. Al principio del siglo XX la poblacin de venados en la meseta Kaibab en

Arizona experimento un rpido incremento porque los cazadores haban

reducido el nmero de de predadores naturales. El incremento de la poblacin

agot los recursos alimentarios y caus eventualmente que la poblacin

declinara. Para el perodo de 1905 a 1930, la poblacin de venados estaba

dada aproximadamente por: 5 4( ) 0.125 3.125 4000D x x x donde x es el

tiempo en aos a partir de 1905.

Encuentre lo siguiente: (0); (5); (10); (15); (20); (25).D D D D D D


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TEMA: FUNCIONES


Dibuje con la ayuda del algn programa la grfica de D(x).

De la grfica, En qu periodo de tiempo (entre 1905 y 1930) creci la

poblacin? Cundo era relativamente estable? Y Cundo decreci?

74. La empresa Superstar televisin comenz recientemente a dar servicio a la

ciudad e Megapolis. Con base en experiencias pasadas, se estim que el

nmero ( )N x de subscriptores (en miles) al final de x meses es250

( )6

xN x

x

encuentre el nmero de subscriptores al final de:

6 meses.

18 meses.

Dos aos.

Dibuje la grfica de ( )N x .

Qu parte de la grfica es importante para esta situacin?

Qu es la asntota horizontal de la grfica? Qu sugiere esto acerca del

nmero mximo posible de subscriptores que se tendrn?

75. La falla de varios anillos- O en las juntas de campo fue la causa del fatal

accidente de la nave espacial Challenger en 1986. los datos de la NASA de 24

lanzamientos con xito previos al Challenger sugieren que la falla del los

anillos- O tuvo que ver con la temperatura durante el lanzamiento por medio de

una funcin similar a 600 7

( ) 50 854 100

tN t t

t

donde tes la temperatura (en

F) durante el lanzamiento y N es el nmero aproximado de anillos O que

fallaron. Suponga que esta funcin modela exactamente el nmero de fallas

anillos- O que ocurrirn a temperaturas inferiores de lanzamiento (hiptesis

que la NASA no hizo).

Tiene ( )N t una asntota vertical? A qu valor de tse presenta sta?

Sin dibujarla, Cmo cree que se vera la grfica a la derecha de la asntota

vertical? Qu sugiere esto acerca del nmero de fallas de anillos- O que


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TEMA: FUNCIONES


podran esperarse cerca de esa temperatura? (La temperatura durante el

lanzamiento del Challengerfue de 31F)

Confirme su conjetura trazando la grfica de ( )N t entre la asntota vertical y

85.t

76.Efecto de gravedad en la tierra.-Si cae una roca al suelo desde una altura de

20 metros, su altura H (en metros) despus de x segundos ser

aproximadamente de 2( ) 20 4.9H x x .

Cul ser la altura de la roca para x =1 segundo?, para x = 1.1

segundos?, parax=1.2 segundos? y parax=1.3 segundos?

Cundo golpea la roca el suelo?

77. Resolver las siguientes aplicaciones de la funcin lineal para la administracin,

economa y ciencias sociales.

a) Un electricista cobra $55 por una visita domiciliaria ms $30 por hora de

trabajo adicional. Exprese el Costo C de llamar a un electricista a su

casa Como una funcin del nmero de horas x que dure la visita.

b) Un autor recibe honorarios por $5 000 ms $3.50 por cada libro vendido.

Exprese su ingreso R como funcin del nmero de libros x vendidos.

c) El propietario de un lago para pescar comercialmente abastecido, cobra

$10 por pescar y $0.50 por cada libra de pescado. Exprese el costo de

pescar C como una funcin del nmero de libras de pescado cogidas x.

d) Un artista que hace una exhibicin recibe $175 por cada cuadro vendido

menos $45 por cargo de almacenaje y exhibicin. Represente el ingreso

R que l recibe en funcin del nmero de cuadros vendidos x.

78. Los defensores del medio ambiente han determinado que el nivel promedio de

monxido de carbono en el aire es ( ) 1 0.6Ln x n partes por milln cuando el

nmero de personas es n-miles. Si la poblacin en miles en el momento t es

2( ) 400 30 0.15n t t t .


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TEMA: FUNCIONES


a) Exprese el nivel de monxido de carbono en el aire como una

funcin de tiempo.

b) Calcule el nivel de monxido de carbono en t= 5.

79. La poblacin de ranas F calculada en miles en una regin dada depende de la

poblacin de insectos m en millones; la poblacin de insectos a su vez vara

con la cantidad de lluvia r dada en centmetros.

Si la poblacin de ranas es 65 /8F m y la poblacin de insectos es

( ) 43 7.5m r r .

c) Exprese la funcin de ranas como una funcin de la lluvia.

d) Estime la poblacin de ranas cuando la lluvia es de 1.5 centmetros.

80. El costo de una fbrica es una funcin del nmero de unidades producidas

C(q); su nivel de produccin es una funcin de tiempo q(t). Exprese el costo de

la fbrica como una funcin de tiempo, dado

2

2

1. ( ) 1500 40 ( ) 16 1/ 4

2. ( ) +3q+75 ( ) 8( 1/ 4)

C q q q t t

C q q q t t

81. El nmero de hormigas voladoras ( )A r , en cientos de miles, depende del nivel

de lluvia r en centmetros, dado por 2( ) 8A r r r . Halle el nivel de lluvia que

maximiza la poblacin de hormigas voladoras.

Funciones Fau Lvma[1]

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