FunciOnes Elemental Es

7/17/2019 FunciOnes Elemental Es

http://slidepdf.com/reader/full/funciones-elemental-es 1/19

Indice general

1. FUNCIONES ELEMENTALES 3

1.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1. Definicion de funcion real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2. Definiciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Funciones usuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1. Funcion Escalon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2. Onda Cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.3. Pulso triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.4. Funcion Signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.5. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1. Funcion potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.2. Funcion polinomica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.3. Funcion racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.4. Repaso de Descomposicion en fracciones simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.5. Funcion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.6. Funcion logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.7. Funcion trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.8. Funciones hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4. Operaciones con funciones y funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.1. Funcion Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.2. Inversas para las funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1



2 ´ INDICE GENERAL



Capıtulo 1

FUNCIONES ELEMENTALES

1.1. Definiciones

1.1.1. Definicion de funcion real

Una funcion f en los reales es una regla que asigna a cada numero x un unico numero real f (x):

x → y = f (x)

x: variable independiente, argumento o entrada.y: variable dependiente, valor de la funcion o salida.

1.1.2. Definiciones generales

El dominio de una funcion y = f (x), que denotamos por Domf , es el conjunto de numeros

reales x en los que tiene sentido f (x)

Dom(f ) = {x ∈ R/∃f (x)}

La imagen de f , que denotamos por Imf , es el conjunto de numeros reales y para los que existe

x ∈ R con y = f (x)

Im(f ) = {y ∈ R/∃x\y = f (x)}

Para visualizar una funcion es muy util dibujar su grafica:

Sea f una funcion con dominio D, el conjunto de puntos (x, f (x)) ∈ R2 con x ∈ D forman la grafica

de f .

Sea f : D → R una funcion:

3



4 CAP ITULO 1. FUNCIONES ELEMENTALES

1. f es una funcion inyectiva si x1 = x2 implica que f (x1) = f (x2), o, de manera equivalente, si

f (x1) = f (x2) entonces x1 = x2, esto es, si asigna argumentos distintos a valores distintos.

2. f : D → R se dice sobreyectiva si Im(f ) = R.

Si f : D → B , con B ⊂ R se dice sobreyectiva si Im(f ) = B .

3. f es una funcion biyectiva o uno-a-uno si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.

Una funcion f es periodica de periodo k si f (x + k) = f (x) para todo x ∈ Dom(f ) y decimos que

k es el periodo mınimo de f si k > 0 y no existe ningun otro periodo T de f con 0 < T < k.

Para aprovechar las simetrıas de la grafica de una funcion decimos que una funcion f es par si

f (x) = f (−x) para todo x ∈ Dom(f ). Decimos que la funcion f es impar si f (−x) = −f (x) para

todo x ∈ Dom(f ).

La grafica de una funcion par es simetrica respecto del eje y, mientras que la de una funcion impar

es simetrica respecto del origen.

1.2. Funciones usuales

1.2.1. Funcion Escalon

A continuacion definiremos una funcion que utilizareis muy frecuentemente a lo largo de vuestro

grado.

Definicion. Dado a > 0, definimos la funcion escalon o Heaviside en el origen U a(t)se define

como:

U a(t) =

0 t < a

1 t > a

u(t-a)

1

a t

Figura 1.1: Funcion Escalon



1.2. FUNCIONES USUALES 5

1.2.2. Onda Cuadrada

Las ondas cuadradas se usan para definir tensiones, a intervalos regulares, en un tiempo muy

reducido. Tambien se puede definir como la convolucion de dos funciones reales.

Por ejemplo una onda cuadrada puede expresarse como:

f (t) = u(t − a) − u(t − b)

f(t)

1

a b t

Figura 1.2: Funcion Cuadrada

1.2.3. Pulso triangular

Se define una senal pulso triangular de duracion 2τ y amplitud A centrado en t0 como:

x(t) =

A

1 +

t − t0τ

t0 − τ ≤ t < t0

A

1 − t − t0

τ

t0 ≤ t < t0 + τ

0 caso contrario

x(t)

A

t 0t - 00 t + t

Figura 1.3: Funcion Triangular




1.2.4. Funcion Signo

La funcion de signo obtienen el signo de cualquier numero real que se tome por entrada.

f (t) = sgn(t) =

1 t > 0

0 t = 0

−1 t < 0

La funcion signo es discontinua en 0, y es una funcion impar.

Figura 1.4: Funcion Signo

1.2.5. Valor absoluto

f (x) = |x| =

x si x > 0

x si x ≤ 0

f(t)

1

1-1 t

Figura 1.5: Funcion Valor Absoluto

Esta funcion siempre sera par, mayor o igual que cero .



1.3. FUNCIONES ELEMENTALES 7

1.3. Funciones elementales

1.3.1. Funcion potencial

y = xα, donde α es cualquier numero real.

En general esta funcion esta definida para x > 0, crece monotonamente cuando α > 0 y decrece

monotonamente cuando α < 0

y = x1/2

y = x-3/2

1 2

1

2

x

y

1 2

1

2

x

y

Figura 1.6: Funcion potencial

Casos particulares:

1. Si α es un numero positivo, la funcion y = xα esta definida sobre todo el eje real−∞ < x < +∞.

Para α = 3 y α = 4, las graficas de las funciones estan representadas en la figuras.

2. Si α es un numero negativo entero, la funcion xα esta definida para todos los valores de x,

excepto x = 0.

3. Si α = p

q > 0 es un numero racional, donde q es impar, la funcion xα esta definida sobretodo

el eje real y, cuando q es par, la funcion xα esta definida para x ≥ 0.

1.3.2. Funcion polinomica

y = a0 + a1x + a2x2

+ . . . + anxn

El campo de definicion es toda la recta numerica R




1.3.3. Funcion racional

y = P (x)

Q(x)

donde P (x) y Q(x) son polinomios, el dominio de f (x) viene dado por todos los numeros reales salvo

las raıces del denominador, es decir

Dom(f ) = {x ∈ R/Q(x) = 0}

1.3.4. Repaso de Descomposicion en fracciones simples

Sea f (x) = P (x)

Q(x), una funcion racional, siendo P (x) y Q(x) polinomios.

Si el grado de P (x) es mayor o igual que el grado de Q(x) efectuamos el cociente, obteniendo:

P (x)

Q(x) = C (x) +

R(x)

Q(x)

con C (x) y R(x) polinomios y el grado de R(x) es menor que el grado Q(x). Supongamos en adelante

funciones racionales de la forma P (x)

Q(x) con grado de P (x) menor que el grado de Q(x) , siendo Q(x)

un polinomio de grado n cuyo coeficiente de grado maximo es 1 y a1, a2, · · · , an sus n raıces

Podemos considerar los siguientes casos:

1. Las raıces de Q(x), a1, a2, · · · , an, son reales y distintas. Se puede hacer una descomposicion

de la forma:P (x)

Q(x) =

A1

x − a1+

A2

x − a2+ · · · +

An

x − an

Para determinar Ai, se puede reducir a comun denominador. El mınimo comun multiplo

sera Q(x), e igualando los numeradores se obtiene un sistema de n ecuaciones. En este ca-

so resulta mas comodo para calcular Ai multiplicar ambos terminos por (x − ai) y sustituir x

por ai, de donde:

Ai =

P (x)

(x − a1) · · · (x − ai−1)(x − ai+1) · · · (x − an)

x=ai

Ejemplo: Descomponer en fracciones simples la funcion racional x

x2 − 5x + 6Calculamos las raıces del denominador:

x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0 ⇒ x = 2, x = 3

Por tanto:x

x2 − 5x + 6 =

A1

x − 2 +

A2

x − 3




con

A1 =

x

x − 3

x=2

= −2 A2 =

x

x − 2

x=3

= 3

x

x2

−5x + 6

= −2

x

−2

+ 3

x

−3

Tambienx

x2 − 5x + 6 =

A1

x − 2 +

A2

x − 3 =

A1(x − 3) + A2(x − 2)

(x − 2)(x − 3)

quitando denominadores se obtiene:

x = A1(x − 3) + A2(x − 2)

Sustituyendo x por 2 se obtiene A1 = −2, analogamente sustituyendo x por 3, obtenemos

A2 = 3.

x

x2 − 5x + 6 = −2

x − 2 +

3

x − 3

2. Las raıces de Q(x) son todas reales pero alguna con multiplicidad mayor que 1. Sean a1, a2, · · · , ah

dichas raıces y k1, k2, · · · , kh respectivamente sus multiplicidades. Entonces la descomposicion

de la funcion correspondiente a cada raız ai es. :

Ai1

x − ai+ Ai2

(x − ai)2 + · · · + Aiki

(x − ai)ki

Los coeficientes se calculan reduciendo a comun denominador.

Ejemplo:

Descomponer en fracciones simples la funcion racional x + 1

x2 + 4x + 16Como x2 + 4x + 16 = (x − 4)2, la descomposicion sera:

x + 1

x2 + 4x + 16 =

A

x + 4 +

B

(x + 4)2 =

A(x + 4) + B

(x + 4)2

quitando denominadores se obtiene:

x + 1 = Ax + 4A + B ⇒ A = 1, B = −3

Por tantox + 1

x2 + 4x + 16 =

1

x + 4 +

−3

(x + 4)2

3. Q(x) puede tener raıces complejas simples. Entonces si a + bj es raız de Q(x), tambien sera raız

a − bj.




Trataremos las raıces complejas conjugadas conjuntamente utilizando la expresion Ax + B

(x − a)2 + b.

Ejemplo:

1

(x2 + 4x + 5)(x2 + 1) =

Ax + B

x2 + 4x + 5 +

Cx + D

x2 + 1

1 = (Ax + B) (x2 + 1) + (Cx + D) (x2 + 4x + 5). Donde es necesario plantear un sistema de

cuatro ecuaciones con cuatro incognitas para calcular A, B, C y D:

x0 → 1 = B + 5D

x1 → 0 = A + 5C + 4D

x2 → 0 = B + D + 4C

x3

→ 0 = A + C

⇒ A = 1/8

⇒ B = 3/8

⇒ C = −1/8

⇒ D = 1/8

Con lo cual:

1

(x2 + 4x + 5)(x2 + 1) =

1

8

x + 3

(x + 2)2 + 1

+

1

8

−x + 1

x2 + 1

4. Q(x) tiene raıces complejas multiples.Supongamos que a + bj, y por lo tanto a− bj son raıces

de con multiplicidad k de Q(x).La descomposicion de la funcion correspondiente a las raıces

a + bj y a− bj es:

A1x + B1

(x − a)2 + b2 +

A2x + B2

((x − a)2 + b2)2 + · · · +

Akx + Bk

((x − a)2 + b2)k

Ejemplo: Descomponer en fracciones simples la funcion racional x2 + x + 1

(x2 + 1)2

x2 + x + 1

(x2 + 1)2 =

Ax + B

x2 + 1 +

Cx + D

(x2 + 1)2

Quitando denominadores:

x2 + x + 1 = (Ax + B)(x2 + 1) + Cx + D = Ax3 + Bx2 + (A + C )x + B + C




de donde se deduce A = 0, B = 1, C = 1, D = 0. Por tanto:

x2 + x + 1

(x2 + 1)2 =

1

x2 + 1 +

x

(x2 + 1)2

1.3.5. Funcion exponencial

y = ax (a > 0, a = 1).

El campo de definicion es toda la recta numerica R. El numero a se denomina base del exponente.

Cuando a > 1 esta funcion crece monotonamente y para 0 < a < 1 decrece monotonamente.

y = ax

(a>1)

y = ax

(0<a<1)

-2 -1 1 2 3 4

1

2

3

4

x

y

-2 -1 1 2 3 4

1

2

3

4

x

y

Figura 1.7: Funcion exponencial

Si a > 0 y b, c ∈ R se tiene:

1. a0 = 1

2. a1 = a

3. abac = ab+c

4. ab

ac = ab−c

5. (ab)c = abc

6. c√

a = ab/c

La funcion exponencial de base a > 1 no esta acotada superiormente aunque si lo esta inferi-

ormente en R.




lımx→+∞

ax = +∞, se tiene que lımx→+∞

a−x = lımx→−∞

ax = 0

Si 0 < a < 1 la funcion exponencial de base a no esta acotada superiormente aunque si lo esta

inferiormente en R. Se verifica que:

lımx→+∞

a−x = lımx→−∞

ax = +∞ lımx→+∞

ax = 0

Si 0 < a < b entonces: ax < bx si x > 0 y bx < ax si x < 0

1.3.6. Funcion logarıtmica

y = loga x (a > 0, a = 1).

y = log xa

(a>1)

y = log xa

(0<a<1)

-2 -1 1 2 3 4

1

2

3

4

x

y

-2 -1 1 2 3 4

1

2

3

4

x

y

Figura 1.8: Funcion logarıtmica

El numero a se denomina base de funcion logarıtmica. El campo de definicion es el intervaloinfinito(0, +∞). Cuando a > 1, la funcion logarıtmica crece monotonamente y para 0 < a < 1,

decrece monotonamente.

La funcion logarıtmica y = loga x es funcion inversa de la funcion exponencial y = ax y viceversa. La

funcion logarıtmica de base a = e se denota por ln x y se denomina logarıtmico natural; la funcion

logarıtmica de base a = 10 se denota log x y se denomina logaritmo decimal, es decir,

loge x = ln x, log10 x = log x

Para a, x, y > 0 y c ∈ R:




1. loga 1 = 0.

2. loga = 1.

3. loga x + loga y = loga(xy).

4. loga x − loga y = loga

xy

.

5. loga xc = c loga x.

Para base a > 1 la funcion logarıtmica no esta acotada superior ni inferiormente. De hecho se

tiene:

lımx→+∞

loga x = +∞ lımx→0+

loga x = −∞

Para base 0 < a < 1 la funcion logarıtmica no esta acotada superior ni inferiormente y se tiene:

lımx→+∞

loga x = −∞ lımx→0+

loga x = +∞

Para todo numero real x > 0 se tiene logbx = loga x · logb a, cualesquiera que sean los numeros

reales positivos a y b. Esto permite los cambios de base de los logaritmos, mediante la f ormula:

loga x = logb x

logb a por ejemplo

ln x

ln a =

log x

log a

1.3.7. Funcion trigonometricas

1. Funcion seno y = sen x. El seno (sen x) es la ordenada de un punto de la circunferencia de

radio 1 centrada en el origen que forma un angulo x con el eje horizontal.

y = sen(x)

-3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2

-2

-1

1

2

x

y

Figura 1.9: Funcion seno




La funcion esta definida para todos los x. es periodica con perıodo T = 2π. La grafica del seno

se denomina sinusoide.

2. Funcion coseno y = cos x El coseno de x (cos x) es la abscisa de un punto de la circunferencia

de radio 1 centrada en el origen que forma un angulo x con el eje horizontal.

y = cos(x)

-3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2

-2

-1

1

2

x

y

Figura 1.10: Funcion coseno

La funcion esta definida para todos los x, su perıodo es T = 2π, su grafica tiene la forma.

La grafica de la funcion y = cos x se obtiene de la grafica y = sen x desplazando la ultima en

el segmento π

2 a la izquierda a lo largo del eje 0x.

3. Funcion tangente y = tg x = sen x

cos x

y = tg(x)

-3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

Figura 1.11: Funcion tangente

La funcion esta definida en todos los puntos, excepto los puntos x = (2k + 1) π2

(k =

0,±1,±2,...). Es periodica con perıodo T = π.




4. Funcion cotangente y = cotg x = sen x

cos x La funcion esta definida en todos los puntos, excepto

los puntos x = kπ (k = 0,±1,±2,...). La funcion es periodica, T = π.

5. Funcion secante y = sec x = 1

cos x

6. Funcion cosecante y = cosec x = 1sen x

Se deja como ejercicio para el lector el estudio del

dominio, imagen, periodicidad, etc. de las dos ultimas funciones

Propiedades

1. sen2 x + cos2 x = 1

2. Dom(sen x) = Dom(cos x) = R. Im(sen x) = I m(cos x) = [−

1, 1]

3. Dom(tg x) = R−π

2 + kπ : k ∈ Z

, Im(tg x) = R.

4. Las funciones seno y coseno tienen periodo 2π y la tangente periodo π

5. El coseno es par y el seno y la tangente son impares:

sen(−x) = − sen(x) cos(−x) = cos(x) tg(−x) = − tg(x)

6. sen(π

−x) = sen(x) cos(π

−x) =

−cos(x)

tg(π − x) = − tg(x)

1 + tg2(x) = sec2(x) 1 + cotg2(x) = cosec2(x)

7. Formulas para la suma y diferencia de dos angulos

sen(x + y) = sen(α)cos(β ) + cos(x) sen(β )

sen(x − β ) = sen(x) cos(β ) − cos(x) sen(y)

cos(x + y) = cos(x)cos(y) − sen(x)sen(y)cos(x − y) = cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y)

tg(x + y) = tg x + tg y

1 − tg x tg y

8. Formulas para los angulos dobles

sen(2x) = 2 sen(x) cos(x) ; cos(2x) = cos2(x) − sen2(x)

cos(2x) = 2 cos2(x)

−1 cos(2x) = 1

−2sen2(x), por tanto se cumple la siguiente relacion:

9. sen2 x = 1 − cos2x

2 cos2 x =

1 + cos 2x

2




1.3.8. Funciones hiperbolicas

1. Seno hiperbolico

senh x = ex − e−x

2

Campo de definicion:(−∞, +∞).Campo de valores:(−∞, +∞).

La funcion senh x es impar, puesto que senh (−x) = senh (x), no acotada y creciente.

2. Coseno hiperbolico

cosh x = ex + e−x

2Campo de definicion:[1, +∞).

Campo de valores:(

−∞, +

∞).

La funcion cosh x es par, y no acotada su valor mınimo adquiere cuando x = 0.

y = senh(x)

-2 -1 1 2 3

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

y = cosh(x)

-2 -1 1 2 3

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

Figura 1.12: Funciones seno hiperbolico y coseno hiperbolico

3. Tangente hiperbolico

th x = senh x

cosh x =

ex − e−x

ex + e−x

Campo de definicion:(−∞, +∞).

Campo de valores:(−1, 1)

La funcion y = th x es impar, acotada (|th x| < 1) y creciente.

Se verifican las siguientes relaciones:

a ) cosh2 x − senh2 x = 1



1.4. OPERACIONES CON FUNCIONES Y FUNCIONES INVERSAS 17

y = th(x)

-3 -2 -1 1 2 3

-1

1

2

x

y

Figura 1.13: Funciones tangente hiperbolica

b) senh(x + y) = senh(x)cosh(y) + cosh(x) senh(y)

c ) cosh(x + y) = cosh(x) cosh(y) + senh(x) senh(y)

1.4. Operaciones con funciones y funciones inversas

Podemos realizar las siguientes operaciones combinando funciones:

1. Sumas: (f + g)(x) = f (x) + g(x).

2. Productos: (f g)(x) = f (x)g(x)

3. Traslaciones horizontales: f (x + c), y verticales: f (x) + c, donde c ∈ R.

4. Dilataciones horizontales: f (cx), y verticales: cf (x), c ∈ R.

5. Composicion:se define g compuesto con f como (f ◦ g)(x) = f (g(x)). Para que la composicion

este definida es necesario que Img(g) ∩ Dom(f ) = ∅. El dominio de f ◦ g es {x ∈ Dom(g) :

g(x) ∈ Dom(f )}. Es importante notar que la composicion no es conmutativa, es decir, que por

regla general f ◦ g = g ◦ f .

1.4.1. Funcion Inversa

de una cierta f dada es (si es que existe) otra funcion, llamada f −1, que deshace lo que hace f,

es decir:

(f ◦ f −1)(x) = x = (f −1 ◦ f )(x)

cuando las composiciones tienen sentido. Un ejemplo es ln x frente a ex

:

ln(ex) = x = elnx




Para que exista la inversa de una funcion f es necesario que esta sea inyectiva, como en el ejemplo

anterior . La funcion inversa de una f inyectiva cumple:

Dom(f −1) = I mg(f ) e Im g(f −1) = Dom(f )

Ademas, grafica de f −1 es la curva simetrica de la de f respecto a la recta y = x, que es la bisectriz

del primer y el tercer cuadrante. Pero si f no es inyectiva podemos definir una inversa de la funcion

considerando como dominio de f solamente un trozo donde sı lo sea. Ası f (x) = x2 es inyectiva en

[0, 1), y su inversa allı es √

x .

1.4.2. Inversas para las funciones trigonometricas

Podemos definir ası inversas para las funciones seno, coseno y tangente si reducimos su dominio.

1. Para sen x tomamos [−π/2, π/2], donde es inyectiva, y a su inversa la llamamos arcoseno, que

denotamos por arc sen x;

Dom(arc sen x) = [−1, 1], Img(arc sen x) = [−π/2, π/2]

Figura 1.14: Funcion arcoseno

2. Para cos x tomamos el intervalo [0, π] ya que en el es inyectiva. Su inversa, el arcocoseno ,

que denotamos por arc cos x,

Dom(arc cos x) = [−

1, 1], Img(arc cos x) = [0, π]



1.4. OPERACIONES CON FUNCIONES Y FUNCIONES INVERSAS 19

Figura 1.15: Funcion arcocoseno

3. La tangente tiene inversa, la arcotangente, cuando nos restringimos a (−π/2, π/2). Se denotapor arc tg x, y para ella:

Dom(arc tg x) = R, Img(arc tg x) = (−π/2, π/2)

.

Figura 1.16: Funcion arcotangente

Ası definidas, el arcoseno y el arcotangente son funciones impares; el arcocoseno no es par ni

impar.

FunciOnes Elemental Es

Documents

Transcript of FunciOnes Elemental Es