Funciones de BesselLas funciones de Bessel forman una clase de función de las denominadas funciones especiales que se encuentran en la solución de determinados problemas físicos. Dan la solución a una ecuación diferencial muy importante, la ecuación de Bessel:

Las soluciones para esta ecuación están en la forma de series infinitas, que se llaman funciones de Bessel de primera especie. La expresión para la suma es

Los valores para las funciones de Bessel se pueden encontrar en la mayoría de las colecciones de tablas matemáticas. Las funciones de Bessel se encuentran en situaciones físicas donde hay simetría cilíndrica. Esto ocurre en problemas relacionados con los campos eléctricos, vibraciones, calor por conducción, la difracción óptica y otros.

Otra forma llamada función de Bessel esférica, aparece en una aplicación específica de mecánica cuántica, el pozo de potencial esférico.

Funciones de Bessel EsféricasUna clase específica de las funciones especiales llamadas funciones esféricas de Bessel se plantea en los problemas de simetría esférica, como el pozo de potencial esférico en la mecánica cuántica. Las tres primeras formas son

Las formas de ordenes superiores, se pueden generar a partir de la primera forma mediante la relación

A veces es útil contar con los casos límites de estas funciones para distancias muy grandes o muy pequeñas:

Polinomios de LegendreUna variedad de las funciones especiales que se encuentra en la solución de problemas físicos es la clase de funciones llamadas Polinomios de Legendre. Son la solución a una ecuación diferencial muy importante llamada ecuación de Legendre:

Los polinomios se indican por medio de Pn(x) , llamados polinomio de Legendre de orden n. Los polinomios pueden ser tanto funciones par como impar de x, para ordenes de n par o impar. Abajo se muestran los primeros polinomios.

La forma general de un polinomio de Legendre de orden n está dado por el sumatorio:

De los polinomios de Legendre se pueden generar otra clase importante de

Índice

ReferenciaKreyszigSec 4.3

funciones para los problemas físicos, las funciones de Legendre asociadas.

La ecuación toma su nombre de Adrien Marie Legendre (1752-1833), un matemático francés que fué profesor en París en 1775. Realizó importantes contribuciones a las funciones especiales, integrales elípticas, teoría de números y el cálculo de variaciones. (Kreyszig).  HyperPhysics*****HyperMath*****Cálculo M Olmo R Nave

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Funciones de Legendre AsociadasDe los polinomios de Legendre se pueden derivar una clase importante de funciones especiales, llamadas funciones de Legendre asociadas. La fórmula que los define es

donde Pn(x) es el polinomio de Legendre de orden n. Estas funciones son de gran importancia en la física cuántica, porque aparecen en las soluciones de la ecuación de Schrodinger en coordenadas polares esféricas. En ese contexto, la variable x se reemplaza por cos, donde es el ángulo que forma con la latitud. También en aquel contexto, las funciones de ondas que son soluciones a la ecuación de Schrodinger, necesitan ser normalizadas, de modo que la lista de funciones de abajo, incluirán el factor de normalización

Las funciones normalizadas son de la forma

y aparecen en la función de onda del átomo de hidrógeno. Abajo se listan las primeras pocas funciones de Legendre asociadas.

Las funciones de Legendre asociadas se pueden usar para construir otro conjunto importante de funciones, las armónicas esféricas.

Armónicas EsféricasUna variedad de las funciones especiales que se encuentra en la solución de problemas físicos es la clase de funciones llamadas armónicas esféricas.

Las funciones en esta tabla están colocadas de la forma apropiada para la solución de la ecuación de Schrodinger en el pozo de potencial esférico, pero también ocurren en otros

problemas físicos. La dependencia del ángulo de colatitud en coordenadas polares esféricas es una forma modificada de las funciones de

Pozo de Potencial EsféricoLos potenciales de los pozos cuadrados de tres dimensiones y de una dimensión, de paredes infinitas idealizados, pueden resolverse por la ecuación de Schrödinger, dando niveles de energías cuantizados. Para el caso de un núcleo, una idealización útil es la de un potencial esférico de paredes infinitas. Es decir, se modela el núcleo con un potencial que es cero dentro del radio nuclear, e infinito, fuera de ese radio.

En coordenadas polares esféricas, la ecuación de Schrödinger se puede separar en la forma general (r,,) = R(r)()(), como en el caso de la solución del átomo de hidrógeno. En este caso, con un potencial cero, la separación de las ecuaciones azimutal () y colatitud () requieren

Las soluciones de y , cuando están normalizadas, dan un conjunto estándar de funciones llamadas armónicas esféricas.

La ecuación radial es

y la solución de esta ecuación, se puede expresar en términos de otro conjunto de funciones llamadas funciones Bessel esféricas.