MATEMATICA PRIMER AÑO DE BACHILLERATO

Prof. Rogelio Antonio Alvarenga Figueroa

Alumno(a): _____________________________________ Sección:_____ No.___

FUNCIONES CUADRÁTICAS

I. Una función cuadrática puede expresarse en cualquiera de las siguientes formas:

a, b y c son números Reales siendo a 0

Las coordenadas del vértice son V(h, k) , donde 2a

b - h , )(hfk

Si a > 0 la parábola abre hacia arriba.

Si a < 0 la parábola abre hacia abajo.

El intercepto con el eje yy’ es el punto ( 0, c )

II. Expresa las siguientes funciones cuadrática en la forma f(x) = a(x – h)2 + k

1. f(x) = x2 - 12x + 20

2. f(x) = – x2 + 2x + 3

3. f(x) = 5x2 - 2x - 13

4. f(x) = 3x2 + 4x – 8

5. f(x) = 2x2 - 5x + 6

6. f(x) = 3x2 - 12x +7

7. f(x) = 5x2 - 20x +17

8. f(x) = - x2 + 8x – 6

III. Encontrar las coordenadas del vértice y construir la gráfica de las funciones cuadráticas que cumplen

con las condiciones indicadas.

1. Pasa por los puntos ( -2, -5 ), ( 1, 4 ) y ( 2, 3 ) Res. f(x) = – x2 + 2x + 3

2. Pasa por los puntos ( 2, 3 ), ( -1, - 6 ) y ( 3, 26 ) Res. f(x) = 5x2 - 2x - 13

3. Pasa por los puntos ( 1, -1 ), ( -3, 7 ) y ( -2, -4 ) Res. f(x) = 3x2 + 4x - 8

4. Pasa por los puntos ( 1, 3 ), ( -2, 24 ) y ( 2, 4 ) Res. f(x) = 2x2 - 5x + 6

5. Vértice en ( 2, -5) y pasa por el punto ( 5, 22 ) Res. f(x) = 3x2 - 12x +7

6. Vértice en ( 6, -16) y pasa por el punto ( 3, - 7 ) Res. f(x) = x2 - 12x + 20

7. Vértice en ( 2, -3) y pasa por el punto ( 3, 2 ) Res. f(x) = 5x2 - 20x +17

8. Vértice en ( 4, 10) y pasa por el punto ( -2, -26 ) Res. f(x) = - x2 + 8x - 6

IV. Encontrar las coordenadas de los puntos de intersección de la parábola con la línea recta, en cada

caso, construir las gráficas.

1. y = x2 + 3x -1 , y = 2x – 2

2. y = - 3x2 + 1, y = - 4x

3. y = - x2 – x , y = - 5x + 4

4. y = 2x2 – 5x + 4 , y = 3x – 4

5. y = x2 + 3x – 1 , y = 2x – 2

6. y = - x2 + 4x + 3, y = x + 1

7. La parábola y = x2 + 3x + 3 toca a la línea recta y = m x + 2 . Encontrar el valor de “m”.

f(x) = ax2 + bx + c f(x) = a(x – h)

2 + k

+ c

V. PROBLEMAS DE APLICACIÓN.

8. Una empresa puede vender a $ 180 por unidad toda la producción de cierto artículo. Si se

producen diariamente x unidades, el costo total en dólares de la producción diaria está dado por la

expresión C(x) = x2 + 20x + 900 , determina:

a) ¿Cuántas unidades se deben producir diariamente para que la utilidad sea máxima?

b) El monto de la utilidad máxima. Res. $ 5,500

9. Una empresa puede vender a un precio de $ 240 por unidad todos los artículos que produce. Si se

fabrican x unidades diarias, el monto del costo total en dólares de la producción diaria está dado

por la expresión C(x) = x2 + 80x + 400 , determina:

a) La cantidad de artículos que tiene que producir por día para que la utilidad sea máxima.

Res. 80

b) El monto de la utilidad máxima por día. Res. $ 6,000

10. Una compañía encuentra que el costo de producir x artículos diarios está dado por la expresión

C(x) = 420 – 0.8x + 0.002x2 . ¿Cuántos artículos se deben producir diariamente para que el costo

sea mínimo?

11. La utilidad diaria de una empresa está dada en dólares por la expresión U(x) = - 3x2 + 450x - 875 ,

donde x es el número de artículos producidos diariamente. Encuentra:

a) El número de artículos que deben producir diariamente para que la utilidad sea máxima.

Res. 75

b) El monto de la utilidad máxima. Res. $ 16,000

12. Se lanza verticalmente hacia arriba una pelota con una velocidad inicial de 40 m/s. La altura en

metros a que se encuentra a partir de su punto de lanzamiento está dada por la expresión

h( t ) = - 4.9 t 2 + 40t , donde t representa el tiempo transcurrido en segundos desde que se lanzó la

pelota. Encontrar:

a) El tiempo que tarda la pelota en alcanzar la altura máxima. Res. 4.08 s

b) La altura máxima que alcanza la pelota Res. 81.63 m

13. Supongamos que el costo de un boleto para viajar de Monterrey a Saltillo es de $ 80. Si por cada

pasajero que sea mayor de 30 años, el costo del boleto disminuye en $ 2, encuentra:

a) El número de personas que deben ser mayores de 30 años para que el ingreso sea máximo.

Res. 5

b) El monto del ingreso máximo. Res. $ 2,450

14. La suma de dos números es 24. Encuentra dichos números con la condición de que su producto

sea el máximo.

15. Se necesita formar un rectángulo de tal forma que su perímetro sea de 120 m.

a) Determine la longitud de sus lados para que su área sea máxima.

b) Determine la magnitud del área máxima. Res. 900 m2

16. El gerente de un hotel que tiene 40 habitaciones, sabe que se ocupan todas si el precio de alquiler

de cada una es de $ 300. Además sabe que por cada $ 10 de aumento en el precio de alquiler,

tendrá una habitación vacía. Encuentra:

a) El precio de alquiler de cada habitación para que el ingreso sea máximo. Res. $ 350

b) El monto del ingreso máximo. Res. $ 12,250

c) Si el precio de alquiler de cada habitación es el que genera el ingreso máximo, ¿Cuántas están

alquiladas? Res. 35

17. El propietario de una casa tiene 40 m de alambre y los va a utilizar para cercar un jardín de forma

rectangular. Encuentra:

a) Las dimensiones de dicho jardín para que su área sea máxima.

b) El área máxima. Res. 10 m2

18. Un ganadero desea cercar un área rectangular a lo largo del rio, pero sólo necesita cercar tres

lados ( el lado adyacente al rio, no tendrá cerca ). Calcular:

a) Las dimensiones del rectángulo.

b) El área máxima por cercar