Universidad Centroccidental Lisandro AlvaradoM.Sc. Jorge E. Hernández H.

Contenido.Contenido.

1. Introducción.2. Continuidad en un punto.3. Continuidad en un intervalo.4. Funciones Continuas.5. Ejemplos.

Introducción.Introducción.

La idea intuitiva de lo que conocemos por trazo continuo es el dibujo de una línea sin saltos, es decir, el trazo de un lápiz sin despegar la punta del papel.

Introducción.Introducción.

Esta idea se traspone al gráfico de una función y de esto se deduce la definición de continuidad de una función.

Observemos los siguientes gráficos.

Continuidad en un puntoContinuidad en un punto

Definición:Definición:

Decimos que una función f es continua en un punto x = a, si se cumplen las siguientes condiciones:

( ) existaf a ( ) existax aLim f xﾮ

( ) ( )x aLim f x f aﾮ

=

Continuidad en un puto.Continuidad en un puto.

La primera condición

( ) existaf a

Establece que

la función debe estar definida en el punto donde se requiere la

continuidad, es decir, f(a) debe ser un número

real.

Continuidad en un punto.Continuidad en un punto.

La segunda condición

( ) existax aLim f xﾮ

Establece que

Los valores de la función deben aproximarse a un único número real en la

medida de que x se aproxime a a por la

izquierda y por la derecha.

Continuidad en un punto.Continuidad en un punto.

La tercera condición

Establece que

Los valores de la función deben aproximarse

precisamente al número real f(a) en la medida de que x se aproxime a a por la izquierda y por la

derecha.

( ) ( )x aLim f x f aﾮ

=

Continuidad en un punto.Continuidad en un punto. Ejemplo: La función definida por medio de

es continua en

En efecto,

2)( xxf =

3.x =

93)3( 2 ==f

9 2

3=

xLim

x

2

3 (3) 9

xLim x fﾮ

= =

Continuidad en un Punto.Continuidad en un Punto. En el gráfico siguiente vemos la continuidad de esta función

en el punto indicado:

Continuidad en un puntoContinuidad en un punto. Ejemplo: La función definida por medio de

no es continua en

En efecto, f (1) no existe como valor numérico, puesto que al sustituir x por el número 1 obtenemos una división por cero. Tan solo el hecho que la función no cumpla esta condición hace que no sea continua.

1( )

1f x

x=

-

1.x =

Continuidad en un punto.Continuidad en un punto. Veamos el siguiente gráfico.

Continuidad en un intervalo.Continuidad en un intervalo.

Definición: Decimos que una función

es continua en un intervalo I, si es continua en cada elemento del interior del intervalo. Es decir, si se cumplen las tres condiciones de continuidad en un punto, para cada punto c en int(I).

De la gráfica del ejemplo anterior observamos que la función es continua en cualquier intervalo que no contenga el número 1.

Función Continua.Función Continua.

Definición:

Decimos que una función es continua, cuando ella es continua en todo punto de su dominio.

Ejemplo # 1.Ejemplo # 1.

Determinar si la función

es continua.

Respuesta: Ya que el dominio de esta función es todo el

conjunto de números reales, entonces, debemos probar las tres condiciones de continuidad en cada número real.

53)( 3 = xxf

Ejemplo # 1.Ejemplo # 1.

Para hacer esto escogemos un número arbitrario, es decir, un número a cualquiera, y verificamos las tres condiciones.

( ) existaf a 3( ) 3 5f a a=

( ) existax aLim f xﾮ

3 3 (3 5) 3 5x aLim x aﾮ

=

( ) ( )x aLim f x f aﾮ

=Obviamente los resultados anteriores coinciden, y por lo tanto esta condición se

cumple

Ejemplo # 1.Ejemplo # 1.

La gráfica de esta función es

Ejemplo # 2.Ejemplo # 2.

Determinar si la función

es continua.

Respuesta: Observamos que la función dada posee dos reglas o formas para transformar el argumento x.

=2,53

2,)(

2

xx

xxxf

si

si

Ejemplo # 2.Ejemplo # 2.

la primera de ellas es válida solo cuando el argumento x obtiene sus valores en el intervalo,

la segunda regla es válida solo cuando el argumento x obtiene sus valores en el intervalo

Precisamente, cuando x = 2, hay un cambio de regla.

( , 2]-ﾥ

(2, )ﾥ

Ejemplo # 2.Ejemplo # 2.

Estas observaciones nos ayudaran a determinar la continuidad de la función dada.

Sea x = a en el intervalo

entonces,

( , 2]-ﾥ

2( ) existef a a= 2 2 existex aLim x aﾮ

=Es claro que los

valores anteriores son iguales

Ejemplo # 2.Ejemplo # 2.

Concluimos que la función es continua para los valores de x menores que 2.

Consideremos x = a en el intervalo con valores mayores que 2.

( ) 3 5 existef a a= 3 5 3 5 existex aLim x aﾮ

=

Es claro que los valores anteriores

son iguales

Ejemplo # 2.Ejemplo # 2.

Solo queda estudiar la continuidad cuando x = 2.

2(2) 2 4 existef = =

2 2

2 2 4

xLim x

-ﾮ= =

2 3 5 3.2 5 11

xLim x

ﾮ = =

Los límites laterales son distintos, en consecuencia el

límite no existe

Ejemplo # 2.Ejemplo # 2.

Como consecuencia la segunda condición falla, lo que nos hace concluir que la función no es continua en x = 2. Por lo tanto, la función no es continua. Veamos su gráfica.

Fin de la presentación.Fin de la presentación.

Gracias por la atención prestada.

M.Sc. Jorge e. Hernández H.