FUNCIONES CALCULO

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Diversificación Productiva y del Fortalecimiento de la Educación TEMA: FUNCIONES NOMBRE: CARLOS YAIRTON APELLIDOS: DIANDERAS GONGORA P.PROFESIONAL: INGENIERIA INDUSTRIAL PROFESOR: WALTER PALZA 2015

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Diversificación Productiva y del Fortalecimiento de la Educación

TEMA: FUNCIONES

NOMBRE: CARLOS YAIRTON

APELLIDOS: DIANDERAS GONGORA

P.PROFESIONAL: INGENIERIA INDUSTRIAL

PROFESOR: WALTER PALZA

2015

INTRODUCCION

Una función es un objeto matemático que se utiliza para expresar la dependencia

entre dos magnitudes, y puede presentarse a través de varios aspectos

complementarios.

Para entender el concepto de función es necesario saber el tema relación.

En matemática, Relación es la correspondencia de un primer conjunto,

llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de

manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos

del Recorrido o Rango.

Por su parte, una Función es una relación a la cual se añade la condición de que

a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido.

De las definiciones anteriores podemos deducir que todas

las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.

También debemos agregar que toda ecuación es una Relación, pero no toda

ecuación es una Función.Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano

Cartesiano.

QUE ES FUNCIÓN?

Dados dos conjuntos A y B, l lamamos función a la correspondencia de A en B  en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B , es decir una imagen o ninguna.

Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real.

f : D            x     f(x) = y

El subconjunto en el que se define la función se l lama  dominio o campo existencia de la función . Se designa por D.

El número x  perteneciente al  dominio  de la función recibe el nombre de variable independiente .

Al número, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x) . Luego

y= f(x)

Se denomina recorrido  de una función al  conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x) .

    x         

Conjunto inicial Conjunto final

Dominio  Conjunto imagen o recorrido

El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen.

D = {x ∈    / ∃ f (x)}

El recorrido es el conjunto de elementos que son imágenes.

R = {f (x) / x ∈ D}

la prueba de la línea vertical sirve para determinar si es una función. si solo toca en un punto es función y si toca en más de uno no es función

Una función vista como una caja negra que transforma los valores u objetos de entrada en los valores u

objetos de salida

CARACTERISTICAS DE UNA FUNCION:

Las características de las funciones son aquellos elementos comunes a todas ellas que sirven como señas de identidad. El conjunto de características de una función conforman su estructura y sirven para identificarla y diferenciarla del resto de funciones. Podemos citar como las más importantes el dominio, la imagen, la continuidad, el crecimiento, los extremos o las simetrías. Así, conociendo con exactitud todas las características de una función en concreto, sería muy fácil reconstruir dicha función con un grado muy alto de precisión. Por ejemplo, el dominio y la imagen de una función representan el marco en el que se mueven las variables dependiente e independiente y de alguna forma, son como el ancho y el alto de la imagen gráfica de la función. La continuidad tiene que ver con la posibilidad de dibujar la gráfica de un solo trazo y el crecimiento y los extremos son claves para determinar la forma concreta de la gráfica, donde aumenta o disminuye y sus valles (mínimos) o crestas (máximos). Por último, las simetrías aportan valiosa información acerca de la estructura global de la función en relación con la imagen especular (simetría del eje OY) o con la simetría respecto al origen (simetría central) La mayoría de estas propiedades se pueden estudiar analíticamente a partir de la fórmula de la función, pero es mucho más sencillo e intuitivo hacerlo mediante el análisis de su gráfica. Por ello, es necesario disponer de algún método que permita obtener la gráfica de una función cualquiera a partir de su fórmula, como por ejemplo, algún software gratuito de representación de funcion.

DOMINIO:

CONTINUIDAD:

La definición rigurosa y precisa de continuidad necesita del concepto de límite de funciones, que se escapa del objetivo de este curso. Podemos dar otra definición del concepto de continuidad, más sencilla e intuitiva, pero igual de efectiva.

1. La siguiente función es continua: Su gráfica es de un solo trazo, pues no hay cortes ni interrupciones. Podemos recorrerla de forma continua. Gráfica de f(x) = x2 - 3 -> función continua

CRECIMIENTO Y EXTREMOS

La forma que tiene una función está es parte determinada por sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Hallarlos analíticamente supone utilizar el cálculo diferencial, por lo que en su lugar, lo haremos gráficamente.

Una función es creciente en un intervalo (a,b) si para cualquier pareja de valores x1 y x2 del intervalo tales que x1< f(x2)

Una función es decreciente en un intervalo (a,b) si para cualquier pareja de valores x1 y x2 del intervalo tales que x1 f(x2)

(Notar el cambio de desigualdad en la segunda definición)

Estas propiedades tienen una interpretación geométrica clara que afecta a la forma de la gráfica en los distintos intervalos de crecimiento o decrecimiento: si una función es creciente en un intervalo, su gráfica en ese intervalo va hacia arriba, cuando recorremos el intervalo de izquierda a derecha si una función es decreciente en un intervalo, su gráfica en ese intervalo va hacia abajo, cuando recorremos el intervalo de izquierda a derecha

FORMAS DE EXPRESAR UNA FUNCION:

VERBALMENTE:

Por descripción en palabras

ALGEBRAICAMENTE:

Por una Formula explicita

VISUALMENTE:

Por una grafica

NUMERICAMENTE:

Por una tabla de valores o tabular

Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas

FUNCIONES INYECTIVA NO INYECTIVA

SOBREYECTIVA

Biyectiva

NO SOBREYECTIVA

Se dice que una función f : A → B es inyectiva si las imágenes de elementos distintos son distintas:

o, de modo equivalente, si sólo asigna imágenes idénticas a elementos idénticos:

Una función f : A → B se dice suprayectiva (o sobreyectiva) si su imagen es igual a su codominio:

o, de modo equivalente, si todo elemento del codominio es la imagen de algún elemento del dominio:

TIPOS DE FUNCIONES

FUNCIÓN ALGEBRAICA FUNCIÓN TRASCENDENTE

FUNCIONES ALGEBRAICAS

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

Funciones explícitas

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

f(x) = 5x − 2

Funciones implícitas

Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x − y − 2 = 0

 

1.1 Funciones polinómicas

Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.

f(x) = a0  + a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn

Su dominio es  , es decir, cualquier número real t iene imagen.

1.1.1 Funciones constantes

El criterio viene dado por un número real.

f(x)= k

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

 

1.1.2 Funciones polinómica de primer grado

f(x) = mx + n

Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.

Son funciones de este tipo las siguientes:

Función afín .

La función afín es del t ipo:

y = mx + n

m es la pendiente de la recta.

La pendiente es la incl inación de la recta con respecto al eje de abscisas.

Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.

n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas.

Función lineal .

La función l ineal es del t ipo:

y = mx

Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.

y = 2x

x 0 1 2 3 4

y = 2x 0 2 4 6 8

Función identidad .

f(x) = x

Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

 

1.1.3 Funciones cuadráticas

f(x) = ax² + bx + c

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

 

1.2 Funciones racionales

El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

 

1.3 Funciones radicales

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.

El dominio de una función irracional de índice impar es R.

El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

 1.4 Funciones algebraicas a trozos

Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.

Funciones en valor absoluto .

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

4. Representamos la función resultante.

 

Df = 

Función parte entera de x .

Es una función que a cada número real hace corresponder el número entero inmediatamente inferior.

f(x) = E(x)  

x f(x) = E(x)

0 0

0.5 0

0.9 0

1 1

1.5 1

1.9 1

2 2

Función mantisa .

Función que hace corresponder a cada número el mismo número menos su parte entera f(x) = x - E(x)

x f(x) = x - E(x)

0 0

0.5 0.5

0.9 0.9

1 0

1.5 0.5

1.9 0.9

2 0

Función signo .

f(x) = sgn(x)

     

FUNCIONES TRASCENDENTES

La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la tr igonometría.

 

2.1 Funciones exponenciales

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a x  se l lama función exponencial de base a y exponente x .

 

2.2 Funciones logarítmicas

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

 

2.3 Funciones trigonométricas

Función seno

f(x) = sen x

Función coseno

f(x) = cos x

Función tangente

f(x) = tg x

Función cosecante

f(x) = cosec x

Función secante

f(x) = sec x

Función cotangente

f(x) = cotg x