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FUNCIONES ARITMTICAS

MARA ELIETH LVAREZ ULATE

San Jos, Costa Rica2015

ContenidoINTRODUCCIN4DESARROLLO5FUNCIONES ARITMTICAS5LA FUNCIN TAU ()6Propiedades de la funcin tau6LA FUNCIN SIGMA ()6FUNCIN DE Mbius9Propiedades de la funcin de Mbius9FUNCIN INDICATRIZ DE EULER11Propiedades de la funcin indicatriz de Euler13CONCLUSIN16BIBLIOGRAFA17

INTRODUCCIN

El presente trabajo define las funciones aritmticas, los tipos y sus propiedades. Adems define las funciones aritmticas ms importantes y sus propiedades. Segn Mara Alvarez CuberoLa Matemtica Discreta surge como una disciplina que unifica diversas reas tradicionales de las Matemticas (combinatoria, probabilidad, geometra de polgonos, aritmtica, grafos,...), como consecuencia de, entre otras cosas, su inters en la informtica y las telecomunicaciones: la informacin se manipula y almacena en los ordenadores en forma discreta (palabras formadas por ceros y unos), se necesita contar objetos (unidades de memorias, unidades de tiempo), se precisa estudiar relaciones entre conjuntos finitos (bsquedas en bases de datos), es necesario analizar procesos que incluyan un nmero finito de pasos (algoritmos)...[footnoteRef:1] [1: http://www.escet.urjc.es/~rmunoz/discreta.html]

Las funciones aritmticas son una base importante en el estudio de la teora de nmeros, que es la que estudia la teora de los nmeros enteros. La teora de nmeros en la actualidad dio respuesta a problemas prcticos, que surgieron con el desarrollo de las computadoras.

DESARROLLO

1. Definir las funciones aritmticas y multiplicativas, anotar sus propiedades ms importantes y demostrarlas; proponer dos ejemplos de cada una y efectuarlos paso a paso (22 puntos)

FUNCIONES ARITMTICAS

Tom Apostol define las funciones aritmticas como sucesiones de nmeros reales o complejos Definicin. Una funcin real - o compleja definida sobre los enteros positivos se llama una funcin aritmtica o una funcin de Teora de nmeros. (Apostol, 2002)Hardy & Wright aaden que adems est definida sobre el conjunto de losnmeros naturales, que expresa alguna propiedad aritmtica en funcin den". Murillo y Gonzlez las denominan aritmticas o numricas y las definen sobre el conjunto de los nmeros enteros positivos y de principal importancia para facilitar la demostracin y comprensin de resultados y teoremas en el campo de la teora de nmeros. Daz Roman indica que hay dos tipos de funciones aritmticas: las aditivas y las multiplicativas. Las define:Definicin. Decimos que es una funcin aditiva si , cuando Y es totalmente aditiva si no hay restriccin para y.Definicin. Sea f una funcin numrica tal que , cuando Y si esto es cierto para todo y decimos que es completamente multiplicativa. La expresin de una funcin multiplicativa depende tan solo de sus factores primos y sus exponentes.2. Definir la funcin aritmtica tau y la sigma, anotar sus principales propiedades y demostrarlas; proponer dos ejemplos de cada una y efectuarlos paso a paso (22 puntos)LA FUNCIN TAU ()

Sea un entero positivo, se define la funcin aritmtica tau de n, y se denota con , como el nmero de divisores positivos de n. (Murillo Tsijli & Gonzlez Arguello, 2006)Se define

Propiedades de la funcin tau

La funcin tau cumple las siguientes propiedades:a) es multiplicativab) Si p es un nmero primo c) Como es multiplicativa entonces

d) es impar sii n es un cuadrado perfecto

LA FUNCIN SIGMA ()

Sea un entero positivo, se define la funcin aritmtica sigma de n, y se denota con , como la suma de todos los divisores positivos de n. (Murillo Tsijli & Gonzlez Arguello, 2006).Se define

Propiedades de la funcin sigmaLa funcin cumple las siguientes propiedades:a) es una funcin multiplicativab) Si p es un nmero primo, entonces c) Si p es un nmero primo, entonces

d) Si , entonces

e) Si con entonces es impar.

3. Definir la funcin indicatriz de Euler y la de Mbius, anotar sus principales propiedades y demostrarlas; proponer dos ejemplos de cada una y efectuarlos paso a paso (22 puntos)FUNCIN DE Mbius

Definicin.La funcin de Mbius[footnoteRef:2] se define como sigue: [2: Broder y Digiovani interpretan la funcin (n) como una funcin: definida para todos los nmeros naturales n y toma valores en dependiendo de la factorizacin de n en sus factores primos. Se define como sigue: (n) = 1 si n es libre de cuadrados y tiene un nmero par de factores primos distintos. (n) = -1 si n es libre de cuadrados y tiene un nmero impar de factores primos distintos. (n) = 0 si n es divisible por algn cuadrado.]

a. b. Si , escribimos . Entonces si [footnoteRef:3] [3: Murillo y Gonzlez lo interpretan ]

en otro casoObsrvese que si y solo si, admite un divisor cuadrado > 1. (Apostol, 2002)

Propiedades de la funcin de Mbius

Una de las principales propiedades es una frmula simple, pero notable, relativa a la suma , extendida sobre los divisores positivos de . ( designa el mayor entero menor e igual a .)Teorema 2.1Si tenemos Demostracin:La frmula claramente cierta para . Suponemos, entonces, que y escribimos . En la suma los nicos trminos no nulos proceden de y de los divisores de que son productos de primos distintos. Entonces

Teorema. La funcin de Mbius cumple las siguientes propiedadesa) es multiplicativab) Si es una funcin multiplicativa y la descomposicin prima de n, entonces

c) Si F es una funcin aritmtica y se define como

Entonces

Adems es nicaDemostracin

Se presenta una grfica de los 50 primeros valores de la funcin

FUNCIN INDICATRIZ DE EULER

La funcines importante principalmente porque proporciona el tamao delgrupo multiplicativo de enteros mdulonSea un entero positivo, se denota con el nmero de enteros positivos menores o iguales que y primos relativos con . A la funcin aritmtica se le denomina funcin indicatriz de Euler. Adems, se define . (Murillo Tsijli & Gonzlez Arguello, 2006)Apostol define la indicatrizDefinicin.Si la indicatriz de Euler es el nmero de enteros positivos menores que que son primos con ; as pues, (1)

En donde la () indica que la suma se halla extendida sobre los k primos con .Segn Tom Apostol, la indicatriz de Euler est relacionada con la funcin de Mbius por medio de la frmula que sigue:Teorema 2.3 (Apostol, 2002)Si tenemos Demostracin:La suma (1) que define se puede escribir en la forma

En donde k recorre todos los enteros menores e iguales a n. Ahora utilizaremos el teorema 2.1 substituyendo n por (n,k) y obtenemos

Para un divisor d de n fijo podemos sumar respecto de todos los k tales que que son mltiplos de d. Si escribimos entonces si, y solo si, . Por lo tanto la ltima suma que da se puede escribir

Adems, Tom Apostol expresa la funcin como un producto extendido a los divisores primos de n, distintos.Teorema 2.4 (Apostol, 2002)Para tenemos

Demostracin:Para el producto es vacio puesto que no existe ningn primo que divida a 1. En este caso entendemos que al producto se le asigna el valor 1. Suponemos, entonces, que y que son los divisores primos distintos de . El producto se puede escribir (4)

En el segundo miembro entendemos que en un trmino como se consideran todos los posibles productos de factores primos distintos de n, tomando tres de ellos a un tiempo. Obsrvese que cada uno de los trminos de la derecha de (4) es de la forma , en donde d es u divisor de n que es 1 o un producto de primos distintos El numerador es exactamente . Puesto que si d es divisible por el cuadrado de algn vemos que la suma de (4) es exactamente la misma que

Propiedades de la funcin indicatriz de Euler

Teorema 2.5 (Apostol, 2002)La indicatriz de Euler posee las siguientes propiedades:(a) para primo y (b) en donde (c) si (d) a/b implica (e) es par para . Adems posee r factores primos impares distintos, entonces Demostracin

Se presenta en una grfica los primeros mil valores de

4. Escriba en el espacio indicado la informacin que se le solicita. (12 puntos)

n(n)(n)(n)(n)

p (primo)2P + 1P 1 1

14415403480

360242340960

CONCLUSIN

La investigacin anterior

BIBLIOGRAFA

Apostol, T. M. (2002). Introduccin a la teora analtica de nmeros. Barcelona: Editorial Revert, S.A.Bolaos, B. M. (No identificado). Funciones Multiplicativas. No identificado: No identificado.Broder, . G., & Digiovani, M. (No identificado de No identificado de No identificado). Facultad de Humanidades y Ciencias Universidad Nacional del Litoral. Obtenido de Facultad de Humanidades y Ciencias Universidad Nacional del Litoral: http://www.fhuc.unl.edu.ar/materiales_congresos/CD_matematica%202014/pdf/Posters/poster_BRODER_Digiovani.pdfMurillo Tsijli, M., & Gonzlez Arguello, J. F. (2006). Teora de los nmeros. Cartago: Editorial Tecnolgica de Costa Rica.Roman, M. D. (febrero - mayo de 2010). Funciones Aritmticas I. Obtenido de Revista Escolar de la Olimpiada Iberoamericana de Matemticas: http://www.oei.es/oim/revistaoim/numero38.htm