1. FUNCIONES

1.1. Introducción

Definición de función

Toda regla de correspondencia como los ejemplos anteriores es llamada relación.Ciertos tipos especiales de reglas de correspondencia se llaman funciones.La definición de función se da enseguida.

 Función

Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto.

Al primer conjunto (el conjunto D) se le da el nombre de dominio.Al segundo conjunto (el conjunto C) se le da el nombre de contra dominio o imagen.Una función se puede concebir también como un aparato de cálculo. La entrada es el dominio, los cálculos que haga el aparato con la entrada son en sí la función y la salida sería el contra dominio.Esta forma de concebir la función facilita el encontrar su dominio.

Notación: al número que "entra" a la máquina usualmente lo denotamos con una letra, digamos x o s, o cualquier otra.Al número que "sale" de la máquina lo denotamos con el símbolo f(x) ó f(s).

Ejemplo

f ( x )=x 2+3 x−6

Esta función es una regla de correspondencia que dice lo siguiente: "A cada número en el dominio de f se le relaciona con el cuadrado de ese número más el triple de ese número menos seis".

Enseguida se muestran los valores de f para varios valores de ( ). Es decir, se muestra la "salida" de la "máquina" para varios valores de la "entrada".    El dominio de una función puede ser especificado al momento de definir la función.Por ejemplo, F(x) = 2x en el intervalo [-3,10] es una función cuyo dominio es el intervalo [-3,10]. A menudo no se especifica el dominio de una función definida por una ecuación.

Por ejemplo

g ( x )=3 x3−2x+10

En adelante quedará entendido que:A menos que se especifique explícitamente, el dominio de una función será el conjunto más grande de números reales para los cuales la función nos dé como salida un número real.

Por ejemplo

f ( x )= 1x−3

Para esta función x = 3 no forma parte del dominio, ya que al ingresar dicho valor en la función obtendríamos un diagnóstico de error pues no se puede dividir entre cero. Observa además que la función no puede tomar el valor cero. ¿Porqué? Observa la gráfica.

Funciones y sus gráficas

El concepto de función es de suma importancia en la matemática, debido a esto vamos a estudiar este tema de una manera un poco detallada.Dos conjuntos de números, por ejemplo, pueden estar relacionados de varias maneras mediante alguna regla o fórmula determinada; empero nos interesa una forma particular de relación entre dichos conjuntos, la cual recibe el nombre de función.

Definición de función: Una función, denotada por f, es una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos de tal forma que a cada elemento de un conjunto X se asocia un único elemento de otro conjunto Y.Al conjunto X se llama dominio de la función y al conjunto Y, contradominio o dominio de imágenes de la función.

La notación utilizada para indicar que "f es una función de X en Y " es la siguiente:Funciones de una variableFunciones de dos variables

Estudiar los signos de una función consiste en ver en qué intervalos su gráfica está por encima del eje X y por debajo. Por lo tanto, estos signos hacen referencia a los signos que toma la Y según lo que valga la X.Los intervalos se hallan mediante los puntos de corte con el X (donde la función puede pasar de una Y negativa a otra positiva o viceversa) y mediante las asíntotas verticales cuyo signo puede cambiar a un lado u otro.

Proceso1. Se hallan los puntos de corte con el eje X2. Se hallan las asíntotas verticales de la función3. Se comprueba el signo de la función en cada uno de los intervalos definidos por los puntos anteriores.

Ejemplo

Asíntotas verticales

Por lo tanto la función tiene una asíntota vertical en x=-1 Puntos de corte con el eje X

Por lo que la función tiene un punto de corte con el eje X para x=0. A continuación damos valores en los intervalos para saber el signo que tienen.

Por ejemplo

f (-2)= -f (-0,5)= +f (1)= +

Así pues la función es positiva en el intervalo:

La función es negativa en el intervalo:

Podemos ver que esto es efectivamente así dibujando la gráfica de la función:

Gráfica de una función

En matemática, dada una función f, su gráfica se representa en un sistema de coordenadas cartesianas, donde cada abscisa representa una variable del dominio de la función, y la ordenada representa su conjunto imagen.En particular, para una función de una variable, para todo x donde la función está definida, existe un par ordenado (x,f(x)) en la gráfica. Si la función además es continua, entonces la gráfica formará una curva o superficie.El concepto de gráfica de una función se generaliza a la gráfica de una relación. Notar que si bien una función siempre es identificada con su gráfica, ellas no son lo mismo ya que puede suceder que dos funciones con diferentes condominios pudieran tener la misma gráfica. Por ejemplo, el polinomio cúbico que se menciona luego es una suryectica si su dominio son los números reales y no lo es si su condominio es el campo complejo.

Método para construir una gráfica

Para construir la gráfica de una función f se pueden seguir los pasos siguientes:

1. Buscar el dominio de la función, Dom f(x)

2. Se detectan aquellos valores x reales en que f sea discontinua, es decir, aquellos que no estén definidos en el dominio, y se procede a estudiar los límites cuando x tiene a x por la izquierda y por la derecha. De este modo, si x es un punto aislado y no un intervalo, se puede deducir hacia dónde tiende la función cuando pasa cerca del punto x.

3. Buscar los límites cuando x tiende a infinito o menos infinito, para averiguar cuándo en el eje de abscisas se tiende al resultado del límite.

4. Estudio de la monotonía. Calculando la primera derivada f'(x) e igualándola a cero, se obtienen los posibles candidatos a extremos de la función. Luego se procede a determinar si f(x) es creciente o decreciente entre dos puntos extremos.

5. Se estudia la curvatura de f, igualando a cero esta vez la segunda derivada f(x), obteniéndose los posibles puntos de inflexión. Se estudia el signo en la f(x) en los intervalos, y así, sea x uno de estos puntos:

Si f(x) es negativa, entonces f(x) es cóncavaSi f(x) es positiva, entonces f(x) es convexa.

Ejemplo

La gráfica de la función

Es {(1, a), (2, d), (3, c)}.

La gráfica del polinomio cúbico en la recta real

Es {(x, x3-9x) : donde x es un número real}. Si el conjunto se grafica en un plano cartesiano, el resultado es como el de la imagen.

1.2. Clasificación de funcionesFUNCIÓN INYECTIVA.

Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x, y) pertenecientes a la función, las y no se repiten.

Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no.

Ejemplo

Determinar si la siguiente función es o no inyectiva: f ( x )=x2−2 Primero elaboramos una tabla de pares ordenados y luego graficamos.

x –2 –1 0 1 2

f(x) 2 –1 –2 –1 2

 

FUNCIÓN SOBREYECTIVA.

Sea f una función de A en B, f es una función epiyectiva (también llamada sobreyectiva), si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A, bajo f.A elementos diferentes en un conjunto de partida le corresponden elementos iguales en un conjunto de llegada. Es decir, si todo elemento R es imagen de algún elemento X del dominio.

Ejemplo

La función f ( x )=2 ( x )del conjunto de los números naturales al de los números pares no negativos es sobreyectiva.Sin embargo,f ( x )=2 ( x ) del conjunto de los números naturales a no es sobreyectiva, porque, por ejemplo, ningún elemento de va al 3 por esta función.

FUNCIÓN BIYECTIVA.

Sea f una función de A en B, f es una función biyectiva , si y sólo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez .Si cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A, diremos que la función es Inyectiva. En cambio, la función es Sobreyectiva cuando todo elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Cuando se cumplen simultáneamente las dos condiciones tenemos una función BIYECTIVA.

Ejemplo

La función f ( x )=x2f(x) del conjunto de números reales positivos al mismo conjunto es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva.

FUNCIÓN IMPAR.

Una función f: R!R es impar si se verifica que

“x " R vale f−( x ) =f (−x )=−f ( x )

Si f: R!R es una función impar, entonces su gráfico es simétrico respecto del origen de coordenadas. “Simetría central respecto de un punto”.

En el caso de que f ( x )=−f (−x ) se dice que la función es impar. Muchas funciones reales no son pares ni impares.

Ejemplo

La función y(x)=x es impar ya que: f (−x ) = (−x ) pero comof ( x )=x entonces:f (−x )=−f ( x )

   FUNCIÓN PERIÓDICA

Una función es periódica cuando la función 'repite' los mismos valores. Dicho matemáticamente: f(x+T) = f(x).

La función sen(x) es periódica (periodo 360º) pues sen(x) = sen (x + 360)La aproximación de una función periódica mediante una suma de armónicos es un problema importante en las Matemáticas, la Física y las Ingenierías, baste citar todos los fenómenos vibratorios, ondulatorios que son fundamento de la acústica, de las telecomunicaciones, etc.

f ( t )=a02

+∑i=1

∞

(a1 cos ( i at )+b1sin ( i at ) )

1.3. Algebra de funciones

OPERACIONES ALGEBRAICAS

Las operaciones algebraicas son combinaciones de variables con operaciones; se efectúan con expresiones algebraicas constituidas por términos.Los términos pueden ser:

VARIABLES: Letras que representan números reales. Ejemplo: x, y, a, b.

NUMEROS REALES: Cualquier número real. Ejemplo: 2, 3, 1/4, 3.5.

Clasificación de Expresiones Algebraicas.

MONOMIO: Expresión algebraica que contiene un solo término.

Ejemplos

2 x2,−5 x2 , 7t,3 ,2 xyz

BINOMIO: Expresión que contiene dos términos.

Ejemplos

2 x2+3 ,3 x2,−5y,6 x2 y−5 zt

TRINOMIO: Expresión algebraica que contiene tres términos.

Ejemplos

5 x2+7 x−1,2 x+4 x2−3x,6 y−5 x+ t

POLINOMIO: Expresión algebraica que contiene cuatro o más términos. Ejemplos:7 z2−3 x+2 y−5 z ,3 x2+2 x−7 z+ y+5 z2

Suma y resta

Para sumar dos o más polinomios se agrupan los monomios semejantes. A la resta de dos polinomios la transformamos en suma, sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

Ejemplo

Sumar y restar los siguientes polinomios:

P ( x )=3 x4+12x3−4 x2+ 1

2x+1 Q ( x )=x4−x3+3 x−5

La forma práctica de sumar o restar es ubicando los polinomios uno debajo del otro, de manera que los términos semejantes queden en columna:

Suma

P ( x )=3 x4+12x3−4 x2+ 1

2x+1

Q ( x )=x4−x3+3x−5

P ( x )+Q ( x )=4 x4−12x3−4 x2+ 7

2x−4

Resta

P ( x )=3 x4+12x3−4 x2+ 1

2x+1

−Q ( x )=x4−x3+3 x−5

P ( x )−Q ( x )=2 x4−32x3−4 x2+5

2x−6

Multiplicación

El producto de dos monomios es otro monomio con coeficiente igual al producto de los coeficientes de los factores y el grado es suma de los grados de los factores.

5 x3 ∙ (−2 x2 )=−10 x5

En la multiplicación de un polinomio por un monomio, aplicamos la propiedad distributiva del producto respecto a la suma:

(3 x3−15 x2+5x−2) ∙ 12 x2=32x5− 1

10x4+ 5

2x3−x2

Ahora si, estamos en condiciones de multiplicar polinomios y lo hacemos aplicando reiteradamente la propiedad distributiva, es decir, se multiplica cada término de uno por cada término del otro, así por ejemplo:

(2 x2−x+5 ) ( x+2 )=2x2 ( x+2 )−x ( x+2 )+5 ( x+2 )=2 x3+4 x2−x2−2 x+10=2 x3+3 x2+3 x+10

División

Comenzamos dividiendo monomios:

El cociente de dos monomios, uno de grado m y otro de grado n, con m ≥ n , es otro monomio, cuyo grado es la diferencia de los grados y el coeficiente se obtiene dividiendo los coeficientes de los monomios dados, es decir:

axm/bxn=abxm−n

Recordemos cómo se procede en la división de dos polinomios realizando un ejemplo.

Ejemplo 1 Dividir:

P ( x )=2x3−x+5 x4+1 porQ ( x )=x2−2 x−3

Pasos realizados

1. Ordenamos según las potencias decrecientes el dividendo y el divisor. Completamos el dividendo.

2. Para calcular el primer término del cociente, dividimos el término de mayor grado del dividendo por el término de mayor grado del divisor:

5 x4/ x2=5 x2

3. El producto de 5 x2 por Q(x)(divisor), se coloca bajo el dividendo y se resta.

4. El primer resto parcial es 12 x3+15 x2, bajamos el término: −x , a partir de aquí procedemos a repetir lo realizado en 2 y 3.

5. Detenemos el proceso cuando el grado del resto es menor que el grado del divisor.En nuestro ejemplo tenemos:

C ( x )=5 x2+12x+39 y R (x )=113 x+118

En la división anterior, hemos dividido dos polinomios: el dividendo P(x) y el divisor Q(x), obteniendo dos polinomios: el cociente C(x) y el resto R(x).

El cociente de dos monomios, uno de grado m y otro de grado n, con m ≥ n, es otro monomio, cuyo grado es la diferencia de los grados y el coeficiente se obtiene dividiendo los coeficientes de los monomios dados, es decir:

Una cuestión importante para recordar es que el resto R( x ) , es un polinomio de grado menor que el grado del divisor Q( x ) , o es cero. Según esto, el resultado de la división en general no es un polinomio. Veamos esta afirmación aplicándola en el

Ejemplo

P(x )Q(x)

=5x4+2x3−x+1x2−2 x−3

=5 x2+12x+39+ 113 x+118x2−2 x−3

………………(1)

Observando la expresión (1), vemos que el grado del cociente es la diferencia de los grados del numerador y del denominador, el grado del resto es menor que el del denominador. El último término es una expresión racional que se suma al cociente, luego (1) no es un polinomio.A la división entre polinomios, se le llama división entera, cuando el resto es distinto de cero.

Cuando el resto es cero, la división es exacta.

La siguiente es una división exacta

(6 x5+7 x3−12x2+2 x−8)/ (3 x2+2 )

El cociente es el polinomio 2 x3+x−4 y es resto es cero, por lo tanto

6 x5+7 x3−12 x2+2x−83 x2+2

=2x3+x−4

Podemos afirmar que:Cuando la división es exacta, el cociente es un polinomio

1.4. Composición de funciones

Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)].

(g * f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1(g * f) (1) = 6· 1 + 1 = 7

Dominio

D (g∗f )={x∈ Dff ( x )

∈Dg}Propiedades

Asociativafo (g∗h )= ( f∗g )o

No es conmutativa.f∗g≠g∗f

El elemento neutro es la función identidad, i(x) = x.

i∗i=i∗f =f

Sean las funciones:

a)

f ( x )=3 x+2 g (x )= x+32 x+1

g∗f =g [ f ( x ) ]=g (3x+2 )=3 x+56 x+5

f∗g=f [ g ( x ) ]=f ( x+32 x+1 )=3 ( x+3

2 x+1 )+2=7 x+112x−1

b)

f ( x )= x−22 x+1

g (x )=√x

g∗f =g [ f ( x ) ]=g( x+22x+1 )=√ x+2

2 x+1

f∗g=f [ g ( x ) ]=f (√ x )= √x+22√x+1

c)

f ( x )= 12 x−1

g ( x )=2x−12x+1

h ( x )=1x

g∗f =g [ f ( x ) ]=g( 12x−1 )=

2( 12x−1 )−1

2( 12x−1 )+1

=−2x+32x+1

h∗ j∗f =h [g∗f ( x ) ]=h(−2 x+32 x+1 )= 1−2x+32x+1

= 2x+1−2 x+3

Dos funciones pueden componerse, dado que son relaciones: consideremos el caso particular en que f :B→C , y g :A→B son funciones. Por definición de composición:

f∗g={( x , z ) : ( x , y )∈g , ( y , z )∈ f , para algún y }={( x , y ) : g ( x )= y , f ( y)=Z,

para algúny }={( x , z ) : f (g ( x ) )=z } f∗g Note que es una función, pues si ( x , z ) , (x , z ' )∈ f∗g entonces z=f ¿ .

Por lo anterior, f∗g es el conjunto de parejas de la forma(x , f (g ( x ) ) ). Volviendo a la analogía con las máquinas, si f y g son máquinas, entonces h=f∗ges la máquina que funciona así:

1. recibe un elemento y lo introduce en la máquina gpara obtener c=g (x). 2. introduce a en la máquina fpara obtener f ( c )=g (g ( x )). 3. En resumen, ha transformado a x en h ( x )=f (g ( x )).

En el anterior proceso la máquina hle aplica ga x. Para que esto tenga sentido se requiere que x∈Dom (g )=A . Ahora, si x∈Dom(g) , entonces c=g ( x )∈ℑ (g )⊆B=dom( f ), luego fpuede aplicarse a y h ( x )=f (c ) tiene sentido (está definido). Además, h ( x )=f ¿. Lo anterior nos permite concluir que Dom (f∗g )=A, y que ℑ( f∗g)⊆ c, es decir,

f∗g : A→C

Lo anterior lo resumimos en el siguiente lema (que es prácticamente una definición):

Función Compuesta

En matemática, una función compuesta es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.

Formalmente, dadas dos funciones f: X → Y y g: Y → Z, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g, se define la función composición (g ο f ): X → Z como (g ο f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x de X.

x→ y→zx→ f ( x )→g ( f (x ) )

Ejemplo

Sean las funciones:f ( x )=x2

g ( x )=sin (x)

La función compuesta de g y de f que expresamos:

( f∗g )=f ¿

La interpretación de (f o g) aplicada a la variable x significa que primero tenemos que aplicar g a x, con lo que obtendríamos un valor de paso

z=g ( x )=sin (x)

y después aplicamos f a z para obtener

y=f ( z )=z2=sin2(x )

Función bien definida

La función compuesta está bien definida, pues cumple con las dos condiciones de existencia y unicidad, propias de toda función:

1. Condición de existencia: dado x, conocemos (x, f(x)), puesto que conocemos la función f, y dado cualquier elemento y de B conocemos también (y, g(y), puesto que conocemos la función g. Por tanto, (x, g( f(x)) ) está definido para todo x, y así (g ο f) cumple la condición de existencia.

2. Condición de unicidad: como f y g son funciones bien definidas, para cada x el valor de f(x) es único, y para cada f(x) también lo es el de g( f(x)).

1.5. Funciones inversas

Funciones inversa

Las funciones, han sido utilizadas en la matemática mucho antes de que nosotros estuviésemos aquí. El uso de las funciones es algo básico en las matemáticas, y por eso en esta investigación se analiza y estudia a las funciones. Pero en este especifico caso, nos fijaremos en las funciones inversas, que son también tan básicas como las funciones normales.

FUNCIONES INVERSAS

Sabemos que una función es un conjunto de pares. Se nos puede ocurrir la idea de dar la vuelta a los pares y obtener así una nueva función. Hagámoslo con la función:

f={(1 ,2) ,(2 ,4) ,(3 ,−1) ,(4 ,−2)}y observemos qué pasa llamando g al conjunto resultante:

g={(2,1),(4 ,2) ,(−1 ,3) ,(−2 ,4)}Hemos obtenido una nueva función. Sin embargo, esto no funciona siempre. Tomemos ahora como f el conjunto:

f={(1 ,2) ,(2 ,4) ,(3 ,−1) ,(4 ,2)}y, entonces, g será:

g ¿{(2 ,1) ,(4 ,2) ,(−1 ,3),(2, 4)}que no es una función, pues g(2) no está determinado de forma única; es decir, g no cumple la condición de función. Existen dos pares, (2, 1) y (2, 4), que tienen la misma primera coordenada y la segunda coordenada es distinta.

¿Cuál es la diferencia entre estos dos ejemplos? Sencillamente, que en el segundo ejemplo f(1)=f(4)=2 y al darle la vuelta a los pares, g(2) no está determinado de forma única; con lo cual g no es una función. En el primer ejemplo, para valores diferentes de la "x" se obtienen valores diferentes de la "y". Las funciones que se comportan como la del primer ejemplo se llaman funciones inyectivas o uno a uno.

DEFINICIÓN: Si f es una función inyectiva, llamamos función inversa de f y la representamos por f-1 al conjunto:

f-1 = { (a, b) / (b, a) Î f }

Es decir, f-1 = {(x, y) / x=f(y), si y es del dominio de f } = { (f(y), y) / si y es del dominio de f }

De la definición se sigue inmediatamente que el dominio de la función inversa f-1 es el rango de f y, recíprocamente, el rango de f-1 es el dominio de f. También es fácil observar que f-1(a)=b es equivalente a decir que f(b)=a. Utilizando la "x" y la "y" que tan acostumbrado estamos a usarlas cuando se habla de funciones: f-1(x)=y es equivalente a decir que f(y)=x. Otra forma de decir esto es: f(f-1(x))=x (donde x pertenece al rango de f), o bien, f-1(f(x))=x (donde x pertenece al dominio de f). Utilizando la composición de funciones y llamando I (función Identidad) a la función definida por I(x)=x, podemos escribir:

fof-1 = I y f-1of = I

Salvo que el segundo miembro de estas dos igualdades tendrá un dominio más amplio que el primer miembro si el dominio de f o de f-1 no es todo R.Por cierto, si una función tiene inversa, ¿a qué será igual (f-1)-1, o sea, la función inversa de la función inversa?

La idea de función inversa se ha utilizado muchas veces en los cursos anteriores a este nivel, sólo que no se le ha dado nombre. Recordar cómo se definía raíz cuadrada, cúbica... Para determinar si una función tiene inversa tenemos que observar sus pares y ver si es inyectiva. Esto es muy fácil de hacer cuando la función viene dada por una lista de pares. Cuando la función viene definida por una propiedad, todo se complica y no siempre tendremos suficientes conocimientos matemáticos para determinar tal circunstancia (del mismo modo que nos pasaba cuando queríamos determinar si un determinado conjunto era o no función). La representación gráfica de la función nos permitirá saber si la función tiene inversa o no, al menos en los casos más comunes. Basta observar que la definición de función inyectiva significa, gráficamente, que no hay dos puntos de la función situados sobre la misma recta horizontal. O dicho de otra forma, a partir de la representación gráfica de f, se construye la representación gráfica del conjunto de pares invertidos y se observa si este conjunto es función o no.

EJEMPLOS

La función f definida por

Y=2X−3F={x , y¿ / y=2 x−3 }={(x ,2 x−3)}

tiene inversa y su inversa será

F−1={( y , x)/ y=2x−3 }={(x , y)/ x=2 y−3 }={(2 x−3 , x)} La función g definida por

Y=x 2−2 x−2es decir,

g={(x , y) / y=x2−2x−2 }={(x , x 2−2 x−2)}no tiene inversa.

Funciones inversas

Una función f puede tener el mismo valor para distintos números de su dominio. Por ejemplo, si f(x) = x2, entonces f(2) = 4 y f(- 2) = 4 pero 2 ¹ - 2. Para definir la inversa de una función, es esencial que números diferentes en el dominio produzcan siempre valores distintos de f. A esas fúnciones se les llama funciones biunívoca.

En matemáticas, si f es una aplicación o función que lleva elementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la aplicación f -1 que realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f -1 es la aplicación inversa o recíproca de f.

FUNCIONES INVERSAS

Si f es una función uno a uno con Dominio en X y Rango en Y, y g es una función con Dominio en Y y Rango en X, entonces g es la función inversa de f si y solo si:

(f o g)(x) = x, para toda x en el Dominio de g (g o f)(x) = x, para toda x en el Dominio de f

La función inversa g también se puede denotar como f -1 ¿Cómo saber si dos funciones son inversas observando sus gráficas cartesianas? Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la recta y = x

Ejemplos

¿Por qué una función tiene que ser uno a uno para que tenga inversa?Por no ser uno a uno la función f, al trazar la gráfica simétrica respecto de la recta y=x, resulta que ya no es una función

1.6. Funciones algebraicas1.7. Funciones logarítmicas1.8. La función exponencial

Funciones exponenciales

La función exponencial (propiamente dicha) es una función matemática, que aparece además en muchas ecuaciones de la física. Esta función exponencial se caracteriza porque los valores de la derivada de dicha función son iguales al valor de la propia función (siendo la función exponencial la única función con esta propiedad). Además la función exponencial es la función inversa del logaritmo natural. Esta función se denota equivalentemente como:

x→ex O x→exp (x)Donde e es la base de los logaritmos naturales.En términos generales, una función real F ( x ) es de tipo exponencial si tiene la forma

F ( x )=K .ax

Siendo a , K ϵ R números reales. Se observa en los gráficos que si a>1 la curva será creciente.1

Propiedades

Todas sus propiedades provienen de las propiedades del logaritmo. Se llama (función) exponencial la función definida sobre los reales por x→ex.

La exponencial es la única función que es siempre igual a su derivada (de ahí su especial interés en el análisis, más precisamente para las ecuaciones diferenciales), y que toma el valor 1 cuando la variable vale 0.

La exponencial transforma una suma en una constante de la forma intrínseca del vértice de las siguientes ecuaciones:

Relación adición-multiplicación: ea+b=ea . eb

e−a= 1ea e

a−b= ea

eb

Sus límites en son limx→−∞

e x=0 , limx→+∞

ex=∞ ,

Inversa del logaritmo: y=exp x x=ln y ( y>0)La tangente en x=1 , T1, pasa por el origen. La tangente en x=0 , T 0, pasa por el punto (−1,0).

La exponencial se extiende al cuerpo de los complejos, y satisface la sorprendente relación: Ei . t=cos t+i . sin t

Un caso particular de esta relación es la identidad de Euler, conocida también como la fórmula más importante del mundo. Más generalmente: ea+bi=ea .¿

Descripción

Se llaman funciones exponenciales a las funciones de la forma f ( x )=axo y=ax, donde la base de la potencia "a" es constante (un número) y el exponente la variable x.

Un ejemplo real

Algunos tipos de bacterias se reproducen por "mitosis", dividiéndose la célula en dos espacios de tiempo muy pequeños, en algunos casos cada 15 minutos. ¿Cuántas bacterias se producen en estos casos, a partir de una, en un día?Min: 15, 30, 45, 60,...Bact: 2... 4... 8... 16..... 2x., Siendo x los intervalos de 15 minutos:24=16en una hora, 28=256 en dos horas,... 224 . 4 ¿296=7,9 ·1028 ¡en un día!Esto nos da idea del llamado ¡crecimiento exponencial!, expresión que se utiliza cuando algo crece muy deprisa.Observa la siguiente escena que representa la función exponencial y=ax. Inicialmente el valor de a es 2. Observa los valores que va tomando "y" si se van variando los de x (cambiarlos en la ventana inferior correspondiente).2

Gráfica de la Función Exponencial  En relación con las propiedades 7 y 8, enunciadas en el teorema, es conveniente hacer algunos comentarios adicionales.  En primer lugar, en las figuras 1 y 2, aparecen las gráficas de algunas funciones exponenciales de base a>1 (fig. 1) y de base a<1 (fig. 2).

usando la base a es mayor que 1, la función exponencial y=ax (fig.1) no está acotada superiormente. Es decir, ax crece sin límite al aumentar la variable x. Además, ésta función tiene al cero como extremo inferior. Esto es, ax tiende a cero (0), cuando x toma valores grandes pero negativos.

Igualmente, cuando la base a<1, la función exponencial y=ax(fig.2) no está acotada superiormente, pero su comportamiento para valores grandes de x, en valor absoluto, es diferente. Así, ax crece sin límite, al tomar x valores grandes, pero negativos y ax tiende a cero, cuando la variable x toma valores grandes positivos.

El hecho de ser la función exponencial ax con a>1, estrictamente creciente (estrictamente decreciente cuando 0<a<1), significa que la función exponencial es inyectiva en su dominio. Este hecho y la continuidad de la función son las condiciones que se exigen para garantizar la existencia de la función inversa (función logarítmica).En relación con la propiedad 9, en un sentido, se deduce fácilmente de la definición de función; y, en otro, del hecho de ser la función exponencial inyectiva.

Observación.

Cuando a=e, donde e es el número irracional cuya representación decimal con sus primeras cifras decimales, es e=2.7182818284, la función exponencial ex ,se llama: función exponencial de base e y, frecuentemente, se denota por exp (x)=ex.3

1.9. Las funciones trigonométricas directas e inversas

Funciones trigonométricas directas e indirectas

Las funciones trigonométricas también llamada circular, es aquella que se define por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar expresada en radianes. Existen seis clases de funciones trigonométricas: seno y su inversa, la cosecante; coseno y su inversa, la secante; y tangente y su inversa, la cotangente. Para cada una de ellas pueden también definirse funciones circulares inversas: arco seno, arco coseno, etcétera. Surgen al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo. Primero consideraremos triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, con <B = 60º y <C = 30º. Todos los triángulos que dibujemos con estos ángulos son semejantes, y, por ello, las medidas de sus lados proporcionales:

Esto quiere decir que si calculamos en el primer triángulo AC/BC obtendremos el mismo resultado que si calculamos en el segundo triángulo el cociente A'C'/B'C'. Dibuja triángulos distintos con ángulos 90º, 60º y 30º y calcular los resultados de las divisiones anteriores (el cateto opuesto al ángulo de 60º dividido por la longitud de la hipotenusa) para así comprobar que siempre se obtiene el mismo resultado (aprox. 0.87).

Otra posibilidad es hacer exactamente lo mismo pero dibujando triángulos, midiendo y dividiendo las longitudes con ayuda de algún programa informático (Cabri, Dr.Geo, etc.).

Si realizamos las mismas divisiones en triángulos rectángulos con ángulos distintos a los anteriores (por ejemplo: 90º, 40º, 50º) veremos qué sucede lo mismo: al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se obtiene siempre el mismo resultado (aprox. de 0.64).

A ese valor constante que se obtiene al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se le llama seno de 40º, y se escribe sen. (40º) = 0.64.

La función seno

Se denomina función seno, y se denota porf (x)5 sen x, a la aplicación de la razón trigonométrica seno a una variable independiente x expresada en radianes. La función seno es periódica, acotada y continua, y su dominio de definición es el conjunto de todos los números reales.

Gráfica de la función seno.

La función cosecante puede calcularse como la inversa de la función seno expresada en radianes.

La función coseno La función coseno, que se denota por f (x)=cos x, es la que resulta de aplicar la razón trigonométrica coseno a una variable independiente x expresada en radianes. Esta función es periódica, acotada y continua, y existe para todo el conjunto de los números reales.

Gráfica de la función coseno.

La función secante

Se determina como la inversa de la función coseno para un ángulo dado expresado en radianes.

La función tangente

Se define función tangente de una variable numérica real a la que resulta de aplicar la razón trigonométrica tangente a los distintos valores de dicha variable. Esta función se expresa genéricamente como f (x)=tg x, siendo x la variable independiente expresada en radianes.

Gráfica de la función tangente.

La función cotangente es la inversa de la tangente, para cualquier ángulo indicado en radianes. Propiedades de las funciones trigonométricas Como características importantes y distintivas de las funciones trigonométricas pueden resaltarse las siguientes:

Las funciones seno, coseno y tangente son de naturaleza periódica, de manera que el periodo de las funciones seno y coseno es 2p y el de la función tangente es p

Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números reales. Ambas son funciones continuas (no así la función tangente).

Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos en el intervalo [-1,1]. La función tangente no está acotada.

Las funciones seno y tangente son simétricas respecto al origen, ya que sen (−x )=−sen x ; tg−x=−tg x () . En cambio, la función coseno es simétrica respecto al eje y :cos (−x )=cos x

1.10. Funciones hiperbólicas

FUNCIONES HIPERBÓLICAS

Las funciones hiperbólicas son funciones trigonométricas ordinarias o funciones circulares. Estas son:

seno coseno y tangente

csch, sech y cothEl seno hiperbólico

sinh ( x )= ex−e−x

2El coseno hiperbólico

La tangente hiperbólica

Y otras líneas:

(Cotangente hiperbólica)

(Secante hiperbólica)

En ciertas ocasiones las combinaciones de ex, e-x aparecen frecuentemente. En tales ecuaciones, se acostumbra escribir el modelo matemático que le corresponde utilizando las funciones hiperbólicas definidas como sigue:

La función f: [R! [R, definida por:

f(x) = senh x =, x “R, se denomina función seno hiperbólico.f(x) = cosh x =, x “R, se denomina función coseno hiperbólico.f(x) = tgh x =, x “R, se llama función tangente hiperbólico.f(x) = cotgh x =, x “0, se llama función cotangente hiperbólico.f(x) = sech x =, x “R, se llama función secante hiperbólico.f(x) = cosch x =, x “0, se llama función cosecante hiperbólico.

Se llaman funciones hiperbólicas, porque de alguna manera tienen propiedades similares a las funciones trigonométricas y se relacionan con la hipérbola en la forma en la que las funciones circulares (funciones trigonométricas) se relacionan con el círculo.La siguiente es una lista de algunas relaciones fundamentales entre las funciones hiperbólicas:

Senh (-x) = -senh (x) cosh (-x) = +cosh (x) cosh2x - senh2x = 1sech2x + tanh2x = 1coth2x - cosech2x = 1

Con la ayuda de las derivadas y los límites para hallar los extremos, concavidades y asíntotas, se pueden graficar estas funciones fácilmente. Sus gráficos se muestran en las siguientes figuras

Considerando las definiciones de cada una de las funciones hiperbólicas, se puede mencionar algunas propiedades tales como:

Senh(x) = 0! x = 0, cosh(x) = 1! X Son funciones impares, [f (-x) = - f(x)] y por tanto sus gráficas son simétricas respecto al Origen, las funciones:

f(x) = senh x ; f(x) = tgh x; f(x) = cotgh x; f(x) = cosch xSon funciones pares, [f (-x) = f(x)] y por tanto sus gráficas son simétricas respecto al eje y, las funciones:

f(x) = cosh x; f(x) = sech xDe las definiciones se seno hiperbólico y coseno hiperbólico los valores de estas funciones están relacionados a las coordenadas de los puntos de una hipérbola equilátera, de manera similar a la que los valores de las correspondientes funciones trigonométricas están relacionadas a las coordenadas de los puntos de una circunferencia.

IDENTIDADES HIPERBÓLICAS

Las funciones hiperbólicas, verifican ciertas identidades, similares a las que satisfacen las funciones trigonométricas. Por ejemplo.Cosh² x - senh²x = Esta y otras identidades, son las que a continuación se presenta, dejando al lector la verificación de las mismas.

cosh²x - senh²x = 1sech²x + tgh²x = 1cotgh²x - cosch²x = 1Senh (x ± y) = senh x cosh y ± cosh x senh yCosh (x ± y) = cosh x cosh y ± senh x senh yTgh (x ± y) = Senh (2x) = 2 senh x cosh xCosh (2x) = cosh²h + senh²xSenh a + senh b = 2 senh Cosh a + cosh b = 2 cosh

2senh² = cosh x - 12cosh² = cosh x + 1(senh x + cosh x) n = senh (nx) + cosh (nx), (Fórmula de Moivre)

SERIES DE TAYLOR

Es posible expresar las funciones hiperbólicas utilizando una Serie de Taylor:

INVERSAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS

Las funciones recíprocas de las funciones hiperbólicas son:

Las series de Taylor de las funciones inversas de las funciones hiperbólicas vienen dadas por:

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS

Las fórmulas de derivación para las funciones hiperbólicas se deducen fácilmente aplicando las reglas de derivación de la función exponencial ex.

Por ejemplo

Las derivadas de las funciones hiperbólicas lo resumimos en la siguiente proposición, dejando al lector la verificación correspondiente.

Proposición 1.- Las funciones hiperbólicas son derivables en sus correspondientes dominios y se tiene:

Si f(x) = senh x, entonces, f'(x) = cosh xSi f(x) = cosh x, entonces, f'(x) = senh xSi f (x) = tgh x, entonces, f'(x) sech²xSi f(x) = cotgh x, entonces, f' (x) = - cosch²xSi f(x) = sech x, entonces, f'(x) = - sech x tgh xSi f(x) = cosh x, entonces, f'(x) = - cosch x cotgh x

En virtud de esta proposición y de la regla de la cadena, si u = u(x) es función diferenciable (respecto a la variable x) se obtiene el siguiente corolario:

Corolario 1.- Si u = u(x) es diferenciable, entonces:

Dx (senh u) = cosh u. Dx (u)Dx (cosh u) = senh u. Dx (u)Dx (tgh u) = sech² u. Dx (u)Dx (cotgh u) = - cosch² u. Dx (u)Dx (sech u) = sech u. Tgh u. Dx (u)Dx (cosch u) = - cosch u. cotgh u. Dx (u)

1.11. Funciones especiales (valor absoluto, escalón, unitaria)