111Equation Chapter 1 Section 1INSTITUTO TECNOLÓGICO DE ORIZABA

Estadística

Presenta:

Arellano Hernández Luis Eduardo

Catedrático:

Dr. Mario Leoncio Arrioja Rodríguez

Fecha de entrega:

8 de Marzo de 2015

Función Generatriz de Momentos

Se llamará función generatriz de momentos (f.g.m.) , a la expresión:

Mx(t) = E (etx), cuando este valor esperado existe para -b < t < b ; donde b es número real positivo.

Para el caso de variables discretas se tiene que:

Y para variables continuas, así:

PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN GENERATRIZ DE MOMENTOS

La importancia de la función generadora de momentos, radica en el hecho de que ella es única y determina completamente la distribución de una variable aleatoria, esto es, si dos variables aleatorias tienen una misma función Generatriz de momentos, deben tener igual distribución.

La demostración de esta propiedad omitida en estos apuntes, se basa en la unidad que existe entre la f.g.m . y la función de distribución.

La existencia de la función generatriz de momentos para -b<t<b, donde b es número positivo, garantiza la existencia de las derivadas de cualquier orden en t=0 .

Se utilizará para la obtención de la media, el método de la función generatriz de momentos, a la cual la denominaremos mediante: G(t)

Se define la función generadora de momentos como: El valor esperado de la función

e xt (X es la variable aleatoria considerada y t es una variable auxiliar)

Obtengamos la función generadora de momentos; para ello obtengamos el valor esperado indicado, es decir:

G( t )=E (ext )=∑ ext pqx=p∑ ext qx=p∑ (q . e t )x=p1

1−q . et

Obsérvese que el sumatorio es la suma de una serie geométrica de razón q .e t cuya suma

será:

∑x=0

∞(q . e t )x=1+(q . e t )+(q . e t )2+⋯+( q .e t )x+⋯= 1

1−q .e t Siendo |q .e t|≺ 1

Resultando la siguiente expresión para la función generatriz de momentos:

G( t )= p

1−q . et

Derivando con respecto a la variable auxiliar t, y observando que p y q son constantes que no dependen de t, tendremos que la primera derivada con respecto a t es igual a:

Recordemos que el valor medio de la variable aleatoria X se corresponde con la primera derivada de la función generadora de momentos para t igual a 0 ; por lo tanto, particularizando la expresión anterior para t igual a 0, obtendremos:

G' ( t )=−p .(−qet )

(1−q . e t )2= p . q . e t

(1−q . et )2

mx=G' (0 )= p .q

(1−q )2= p .q

p2= q

p=1−p

p= 1

p−1

m x=qp

= 1p−1

Su representación gráfica será la siguiente: