FUNCIÓN DE BESSEL MATEMÁTICA PARA INGENIEROS III

FUNCIÓN DE BESSEL

En matemática, las funciones de Bessel, primero definidas por el matemático Daniel Bernoulli y más tarde generalizadas por Friedrich Bessel.Las funciones de Bessel se denominan también funciones cilíndricas, o armónicos cilíndricos porque son solución de la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas.

ECUACION DE BESSEL:

Donde   es un número real o complejo.

GRAFICA:

APLICACIONES :

La Ecuación de Bessel aparece cuando se buscan soluciones a la ecuación de Laplace o a la ecuación de Helmholtz por el método de separación de variables en coordenadas cilíndricas o esféricas. Por ello, las funciones de Bessel son especialmente importantes en muchos problemas de propagación de ondas, potenciales estáticos y cualquier otro problema descrito por las ecuaciones de Helmholtz o Laplace en simetrías cilíndricas o esféricas.

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Funciones de Bessel de primera especie, Jα(x), para órdenes enteros ρ =0, 1, 2.

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Por ejemplo: Ondas electromagnéticas en guías de onda cilíndricas. Modos transversales electromagnéticos en guías ópticas. Conducción del calor en objetos cilíndricos. Modos de vibración de una membrana delgada circular (o con forma de anillo). Difusión en una red.

SOLUCION DE LA FUNCION DE BESSEL

Son soluciones canónicas y(x) de la ecuación diferencial de Bessel:

..........(Ecuación de Bessel)

Donde   es un número real o complejo.

El caso más común es cuando   es un entero  , aunque la solución para   no enteros es similar. El número   se denomina orden de las funciones de Bessel asociadas a dicha ecuación.Dado que la ecuación anterior es una ecuación diferencial de segundo orden, tiene dos soluciones linealmente independientes.

Puesto que x = 0 es un punto singular regular, sabemos que existe al menos una solución de la forma

La primera solución, calculando las derivadas se tiene:

d y1dx

=∑n=0

∞

(n+r )Cn Xn+r−1

d2 y1d X2

=∑n=0

∞

(n+r )(n+r−1)Cn Xn+r−2

Ahora reemplazando en la ecuación diferencial de Bessel:

X2∑n=0

∞

(n+r ) (n+r−1 )CnXn+r−2+X∑

n=0

∞

(n+r )Cn Xn+r−1+(X2−ρ2 )∑

n=0

∞

Cn Xn+r=0

∑n=0

∞

(n+r ) (n+r−1 )Cn Xn+r+∑

n=0

∞

(n+r )Cn Xn+r+∑

n=0

∞

Cn Xn+r+2−ρ2∑

n=0

∞

CnXn+r=0

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y ρ1 ( x )=∑n=0

∞cn x

n+r

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∑n=0

∞

((n+r )2−ρ2)Cn Xn+r+∑

n=0

∞

Cn Xn+r+2=0

Poniendo las X en una misma potencia:

∑n=0

∞

((n+r )2−ρ2)Cn Xn+r+∑

n=2

∞

Cn−2 Xn+r=0

Poniendo los inicios iguales:

(r2−ρ2 )C0 Xr+( (1+r )2−ρ2 )C1 X

1+r+∑n=2

∞

((n+r )2−ρ2)CnXn+r+∑

n=2

∞

Cn−2 Xn+ r=0

(r2−ρ2 )C0 Xr+( (1+r )2−ρ2 )C1 X

1+r+∑n=2

∞

¿¿

Aplicando el método de los coeficientes indeterminados:

(r2−ρ2 )C0=0 ………(1)

((1+r )2−ρ2 )C1=0……….(2)

((n+r )¿¿2−ρ2)Cn+Cn−2=0¿………………(3)

Para (1):

r2−ρ2=0 (r−ρ ) (r+ρ )=0 …………(ECUACIÓN INDICIAL)

Donde: r=ρ yr=−ρ

Para (2):

((1+r )2−ρ2 )C1=0 , pero como r=ρ, entonces C1=0

Para (3):

((n+r )¿¿2−ρ2)Cn+Cn−2=0¿ ………………..RELACION DE RECURRENCIA

Cn=−Cn−2

(n+r )2−ρ2,∀n≥2

Para r=ρ Cn=−Cn−2

(n+ρ )2− ρ2=

−Cn−2

n(2ρ+n) , ∀n≥2

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Pero, teniendo en cuenta que C1=0

n=2 , C2=−C0

2 (2 ρ+2)

n=3 , C3=−C1

3(2 ρ+3)=o

n=4 , C4=−C2

4 (2 ρ+4)=

−C0

2.4 (2ρ+2 )(2 ρ+4)

n=5 , C5=−C3

5 (2 ρ+5)=o

n=6 , C6=−C4

6(2 ρ+6)=

−C0

2.4 .6 (2 ρ+2 )(2 ρ+4 )(2 ρ+6)

n=7 , C7=−C5

7(2 ρ+7)=o

n=8 , C8=−C6

8(2 ρ+8)=

−C0

2.4 .6 .8 (2ρ+2 )(2 ρ+4)(2 ρ+6)(2 ρ+8)

n=9 , C7=−C7

9(2 ρ+9)=o

Como vemos: La elección de C1=0 implica C3=C5=C7=C9=o así que para n= 0, 2,

4,…., hacemos un cambio de variable: n =2 K, para K = 1, 2, 3, …, tenemos

C2K=−C2 K−2

2K (2 ρ+2K )=

−C2K−2

22K ( ρ+K )Con eso tenemos que:

C2=−C0

221 (ρ+1 )

C4=−C2

222 ( ρ+2 )=

C0

241.2 ( ρ+1 ) ( ρ+2 )

C6=−C4

223 (ρ+3 )=

−C0

261.2.3 (ρ+1 ) ( ρ+2 ) (ρ+3 )

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C8=−C4

224 (ρ+4 )=

C0

281.2 .3 .4 ( ρ+1 ) (ρ+2 ) (ρ+3 ) ( ρ+4 )

Luego tenemos que:

C2n=(−1)nC0

22nn! ( ρ+1 ) ( ρ+2 ) ( ρ+3 )…. ( ρ+n )

Para n= 1, 2, 3, 4, 5,…

Luego la solución Y1 (X) queda expresado así:

y1 (x )=∑n=0

∞

CnXn+r=∑

n=0

∞ (−1)nC0 . X2n+ρ

22nn! (ρ+1 ) (ρ+2 ) (ρ+3 )…. (ρ+n )

Donde C0 es una constante arbitraria. En particular tomamos: C0=1

2ρ γ (ρ+1)La solución anterior se transforma en la siguiente solución particular.

y1 (x )=∑n=0

∞ (−1)n . X2n+ ρ

22n+ ρn! ( ρ+1 ) ( ρ+2 ) ( ρ+3 )…. ( ρ+n ) γ (ρ+1)

En forma simplificada queda en la forma:

y1 (x )=∑n=0

∞ (−1)n

γ (n+1)γ (n+ ρ+1).¿

La cual se denomina “Función de Bessel de orden ρ de primer tipo, y denotaremos

por J p(x ), es decir:

J p ( x )=∑n=0

∞ (−1)n

γ (n+1)γ (n+ρ+1).¿

CASOS PARTICULARES:

1. Si r=p=0 se tiene

J0 ( x )=∑n=0

∞ (−1 )n

(n! )2( x2)2n

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2. Si r=m=entero nonegativo, nos queda:

Jm ( x )=∑n=0

∞ (−1 )n

n!… (n+m ) !( x2)2n+m

Ahora calculamos la segunda solución Y 2(x ), en este caso debemos tener cuidado en

la solución Y 2(x ),para dar la solución general de la ecuación BESSEL.

1° Caso. Si r1−r2=2 p≠deunentero y P>0 entonces estamos en la parte a) del

teorema anterior por lo tanto una segunda solución se obtiene sustituyendo P por –P, es decir:

J−P ( x )=∑n=0

∞ (−1 )n

Γ (n+1 ) . Γ (n−p+1 )( x2)2n−p

Luego la solución general de la ecuación de BESSEL de orden P es:

Y ( x )=c1 J p ( x )+c2 J−p ( x )

2° Caso. Si r1=r2=p=0 se observa que J p ( x ) y J−p ( x )son iguales.

3° Caso. Cuando r1−r2=2 p es un entero y P es un entero. La segunda solución es

J2 ( x )=J−p ( x ), donde Y p ( x )=cosPπ J p ( x )−J− p ( x )

sin Pπ, y la solución general es:

Y=c1J p ( x )+c2J p ( x )

Nota: A la función Y p ( x )=cosPπ J p ( x )−J−p ( x )

sin Pπ, se denomina funciones de Bessel

de segundo tipo.

EJEMPLOS DE FUNCION DE BESSEL:

Ejemplo 01: Hallar la solución general de la ecuación

x2d2 yd x2

+x dydx

+(x2− 14 ) y=0en0<x<∞Solución:

Identificamos que P2=14P=1

2, P=−1

2Luego la solución general de la ecuación diferencial es:

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Y (x )=c1 J 1/2 ( x )+c2 J−1/2 ( x )

Ejemplo 02: Hallar la solución general de la ecuación:

x2d2 yd x2

+x dydx

+(x2−9 ) y=0

Solución:

Identificamos que P2=9, de donde P=3; la solución general es:

Y (x )=c1 J 3 ( x )+c2Y 3 ( x )

Ejemplo 03: Resolver la ecuación diferencial:

4 x2d2 ydx2

+4 x dydx

+( x−4 ) y=0

Lo transformamos a una ecuación de Bessel mediante la sustitución u=√x→x=u2 mediante la regla de la cadena se tiene:

dydx

=dydu ( dudx )= 1

2u ( dydy ) , d2 ydx2

= ddx ( dydx )= d

du ( dydx )( dudx )d2 ydx2

= ddu ( 12u ( dydu )) 12u=(−12u ( dydu )+ 12u ( d2 ydu )) 12u

d2 ydx2

= −14u3

dydu

+ 14u2

d2 ydu2

Ahora reemplazamos en la ecuación diferencial

4 u4( −14u3

dydu

+ 14u2

d2 yd u2 )+4u2( 12u ( dydu ))+(u2−4 ) y=0

u2d2 yd u2

−udydu

+2u dydu

+ (u2−4 ) y=0

u2d2 yd u2

+u dydu

+(u2−4 ) y=0 , es la ecuación de Bessel de orden 2.

Ahora identificando P2=4 de donde P =2

Luego la solución general de la ecuación es: Y (u )=C1 J 2 (u )+C2 J2 (u )

Y ( x )=C1J 2 (√x )+C2 J2 (√ x )

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ECUACIÓN PARAMÉTRICA DE BESSEL

La ecuación diferencial de la forma:

x2d2 yd x2

+x dydx

+(λ2 x2−p2 ) y=0

se denomina “Ecuación paramétrica de Bessel’’ y la solución general es dado por:

Y ( x )=C1J p ( λx )+C2 J p ( λx )

Ejemplo 1: Resolver la ecuación diferencial:

x2d2 ydx2

+x dydx

+(9 x2−4 ) y=0

Identificamos que λ2=9 y P2=4 de donde λ=3 ,P=2.Luego la solución general es: Y ( x )=C1J 2 (3x )+C2 J2 (3x )

Ejemplo 2: Resolver la ecuación diferencial:

x2d2 ydx2

+x dydx

+(4 x2−19 ) y=0

Identificamos que λ2=4 y P2=19

de donde λ=2 ,P=13.

Luego la solución general es: Y ( x )=C1J 13

(2x )+C2 J 13

(2x )

PROPIEDADES ADICIONALES DE LA FUNCIÓN BEZZEL J p ( x )

Sabemos que:

J p ( x )=∑n=0

∞ (−1)n

γ (n+1)γ (n+ρ+1).¿

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J p ( x )=x p∑n=0

∞ (−1)n x2n

22n+pn! γ (n+ p+1)………(1)

Al multiplicar por x p se tiene:

x p J p ( x )=∑n=0

∞ (−1)n x2n+2p

22n+pn! γ (n+ p+1)………(2)

Al derivar esta expresión y además conociendo que γ ( p+1)=pγ ( p), se obtiene:

(x¿¿ pJ p) '=∑n=0

∞ (−1 )n2 (n+ p ) x2n+2 p−1

22n+pn!γ (n+ p+1)¿

(x¿¿ pJ p) '=xp x p−1∑n=0

∞ (−1 )n x2n

22n+p−1n !γ (n+p )……… (3)¿

Notamos que el segundo miembro de la expresión (3) es igual a x p J p−1 ( x )Con lo que queda demostrada la siguiente propiedad:

ddx

[x¿¿ pJ p ( x )]= xp J p−1 (x )……… (I )¿

De manera similar si multiplicamos la expresión (1) por x−p, derivando y haciendo el

cambio de índice n=s+1, se obiene:

(x¿¿−pJ p) '=∑n=0

∞ (−1 )n x2n−1

22n+p−1(n−1)!γ (n+ p+1)¿

(x¿¿−pJ p) '=∑m=0

∞ (−1 )s+1 x2 s+1

22 s+p+1 s !γ (p+s+2 )……… (4)¿

Notamos que el segundo miembro de la expresión (4) es igual a −x p J p+1 (x )Con lo que se demuestra que

ddx

[x¿¿−pJ p ( x )]=−x−p J p+1 (x )………(II )¿

Al desarrollar las formulas ( I ) y ( II ) y al multiplicar ( II ) por x2 p se obtiene:

p x p−1J p+xp J ' p=x p J p−1………¿

−p x p−1 J p+xp J ' p=−x p J p+1………¿

Al restar ¿ de ¿ y dividir el resultado entre x p obtenemos la Primera Relación de

Recurrencia

J p−1 ( x )+J p+1 ( x )=2 pxJ p(x )

Al sumar ¿ y ¿ y dividir el resultado entre x p obtenemos la Segunda Relación de

Recurrencia

J p−1 ( x )−J p+1 ( x )=2J ' p(x)

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FUNCIONES DE BESSEL ELEMENTALES J p ( x ) con p=±12, ±32,52,…

Las funciones de Bessel J p de órdenes p=±12, ±32,52,… son elementales; pueden

expresarse por un número finito de cosenos y senos y potencias de x

Sabemos que cuando p=12

, entonces:

J1 /2 (x )=√x∑n=0

∞ (−1)n x2n

22n+1

2 n! γ (n+32 )=√ 2x∑n=0

∞ (−1)n x2n+1

22n+1n !γ (n+ 32 )Y conociendo el hecho de que:

γ ( 12 )=√π

Entonces en el denominador se tiene:

γ (n+ 32 )=(n+ 12 )(n−12 )… 32 . 12 γ ( 12 )γ (n+ 32 )=2−(n+1 ) (2n+1 ) (2n−1 )…3.1√π

En el denominador se tiene además

22n+1n!=22n+1n (n−1 )…2 .1=2n+12n (2n−2 )…4 .2

En conjunto el denominador queda como (2n+1)! √π , de donde:

J1 /2 (x )=√ 2πx∑n=0∞ (−1)n x2n+1

(2n+1)!

Esta serie es la conocida serie de Maclaurin de sen x. Por Tanto:

J1 /2 (x )=√ 2πx sen x…… ..(III )

Derivando y por ( I ) con p=12

se llega a la expresión:

[√x J 12 ( x ) ]'=√ 2πx cos x=x1 /2 J−1/2 ( x )

Siendo el resultado el siguiente:

J−1 /2 ( x )=√ 2πx cos x…… ..(IV )

A partir de la Primera Relación de Recurrencia de ( III ) y (IV ) se obtiene:

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J3 /2 ( x )=1xJ1 /2 ( x )−J−1 /2 ( x )=√ 2πx ( senx

x−cos x )

J−3 /2 ( x )=−1xJ−12

( x )−J 12

( x )=−√ 2πx ( cos xx

+sen x)

Y así sucesivamente

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