Minitrminos Para una funcin booleana de n variables x1,...xn, un producto booleano en el que cada una de las n variables aparece una sola vez (negada o sin negar) es llamado minterms. Es decir, un minterms es una expresin lgica de n variables consistente nicamente en el operador conjuncin lgica (AND) y el operador complemento o negacin (NOT). Por ejemplo, abc, ab'c y abc' son ejemplos de minterms para una funcin booleana con las tres variables a, b y c. En general, uno asigna a cada minterm (escribiendo las variables que lo componen en el mismo

orden), un ndice basado en el valorBINARIO del minterm. un trmino negado, como a' es considerado como el numeroBINARIO 0 y el trmino no negado a es considerado como un 1. Por ejemplo, se asociara el nmero 6 con a b c'(1102), y nombraramos la expresin con el nombre m6. Entonces m0 de tres variables es a'b'c'(0002) y m7 debera ser a b c(1112).

Funcin equivalente

Se puede observar que cada minterm solo devuelve 'verdadero' con una sola entrada de las posibles. Por ejemplo, el minterm 5, a b' c, es verdadero solo cuando a y c son ciertos y b es falso - la entrada a = 1, b = 0, c = 1 da resultado 1. Si tenemos una tabla de verdad de una funcin lgica, es posible escribir la funcin como "suma de productos". Por ejemplo, dada la tabla de verdad

a b f(a, b)

0 0 1

0 1 0

1 0 1

1 1 0 Observamos que las filas con resultado 1 son la primera y la tercera, entonces podremos escribir f como la suma de los minterms m0 y m2. Si queremos verificar esto:

f(a,b) = m0 + m2 = (a'b')+(ab') Tendremos que la tabla de verdad de la funcin, calculndola directamente, ser la misma.

Maxitrminos Un maxterm es una expresin lgica de n variables que consiste nicamente en la disyuncin lgica y el operador complemento o negacin. Los maxterms sn una expresin dual de los minterms. En vez de usar operaciones AND utilizamos operaciones OR y procedemos de forma similar. Por ejemplo, los siguientes son maxterms:

a+b'+c

a'+b+c

El complemento de un minterm es su respectivo maxterm. Esto puede ser fcilmente verificado usando la Ley de Morgan. Por ejemplo:

m1' = M1

(a'b)' = a+b' Para indexar maxterms lo haremos justo de la forma contraria a la que seguimos con los minterms.

Se asigna a cada maxterm un ndice basado en el complemento del nmeroBINARIO que representa (otra vez asegurndonos que las variables se escriben en el mismo orden, usualmente

alfabtico). Por ejemplo, podemos asignar M6 (Maxterm 6) al maxterm a'+b'+c. De forma similar M0 de tres variables debera ser a+b+c y M7 esa'+b'+c'.

Funcin equivalente

Se puede ver fcilmente que un maxterm slo da como resultado un cero para una nica entrada de la funcin lgica. Por ejemplo, el maxterm 5, a'+b+c', es falso solo cuando a y cson ciertos y b es falso - la entrada a = 1, b = 0, c = 1 da como resultado un cero. Si tenemos una tabla de verdad de una funcin lgica, es posible escribir la funcin como "producto de sumas". Por ejemplo, dada la tabla de verdad

a b f(a, b)

0 0 1

0 1 0

1 0 1

1 1 0 Observamos que las filas que tiene como salida un 0 son la segunda y la cuarta, entonces podemos escribir f como un producto de maxterms M1 y M3. Si queremos verificar esto:

f(a,b) = M1 M3 = (a+b')(a'+b') Tendremos que la tabla de verdad de la funcin, calculndola directamente, ser la misma.

Mapa de Karnaugh Otra manera de simplificar funciones es representndolas en mapas de Karnaugh. Esto es equivalente a resolver las simplificaciones por teoremas. Sin embargo, mucha gente considera que resulta ms fcil visualizar las simplificaciones si se presentan grficamente.

Los mapas de Karnaugh pueden aplicarse a dos, tres, cuatro y cinco variables. Para msvariables, la simplificacin resulta tan complicada que conviene en ese caso utilizar teoremas mejor. Para efectos de clase, veremos las simplificaciones de dos, tres y cuatro variables.

MTODO DE REDUCCIN DE MAPAS DE KARNAUGH El lgebra de Boole, resuelve problemas que dependiendo del nmero de trminos que tena la funcin cannica, siendo el nmero de compuertas lgicas utilizadas igual al nmero de trminos

obtenidos MS UNO; por lo tanto, los circuitos obtenidos son de dos niveles de conmutacin con un tiempo mnimo de retardo, pero que de ninguna manera es el ms sencillo ni el ms econmico. Los mapas de Karnaugh es uno de los mtodos ms prcticos. Se puede decir que es el ms poderoso, cuando el nmero de variables de entrada es menor o igual a seis; ms all, ya no es tan prctico. En general, el mapa de Karnaugh se considera como la forma grfica de una tabla de verdad o como una extensin del diagrama de Venn. Antes de explicar cmo se utiliza el mapa de Karnaugh en la minimizacin de funciones, veremos cmo se obtiene el mapa. Esto nace de la representacin geomtrica de los nmeros binarios. Un

nmeroBINARIO de n bits, puede representarse por lo que se denomina un punto en un espacio N. Para entender lo que se quiere decir con esto, considrese el conjunto de los nmeros binarios de un bit, es decir 0 o 1. Este conjunto puede representarse por dos puntos en un espacio 1; esto es, por dos puntos unidos por una lnea.

Introduccin de mtodo deQuine-McCluskey

En matemticas las expresiones booleanas se simplifican por numerosas razones: - Una expresin ms simple es ms fcil de entender y tiene menos posibilidades de error a la hora de su interpretacin. - Una expresin simplificada suelen ser ms eficiente y efectiva cuando se implementan en la prctica, como en el caso de circuitos elctricos o en determinados algoritmos.

El mtodo de Quine-McCluskey es particularmente til cuando se tienen funciones con un gran nmero de variables, no es el caso del mtodo de Karnaugh, que se

hace impracticable con ms de cinco variables. En nuestro caso, como el mximo nmero de variables ser cuatro podremos utilizar conjuntamente ambos mtodos.

Una expresin booleana se compone de variables y trminos. Para este mtodo las variables slo podrn tener un valor numrico de cero (el correspondiente al valor de verdad false) ouno (el correspondiente al valor de verdad true) y se designarn mediante una letra. Como notacin se designar x si la variable contiene el valor uno, x en caso deque contenga el valor cero.

Por otra parte, las variables se relacionarn entre s nicamente mediante operaciones lgicas and para formar trminos y mediante or para relacionarse con otros trminos constituyendo una suma de productos. sta debe de ser

cannica, es decir: - Cada variable se usa una vez en cada trmino. A dichos trminos se les llamatrminoscannicos. P.ejemplo f(x,y,j) = xy z +x yz

xy z se representa con 011, donde x = 0, y = 1, z = 1 x yz se representa con 101, donde x = 1, y = 0, z = 1

Circuito Combinacional Un circuito combinacional, como su nombre lo sugiere es un circuito cuya salida depende solamente de la combinacin de sus entradas en el momento que se est realizando la medida en la salida.

Analizando el circuito, con compuertas digitales, que se muestra a continuacin, se puede ver que la salida de cada una de las compuertas que se muestra depende nicamente de sus entradas.

La salida F variar si alguna de las entradas A o B o las dos a la vez cambian.