Fuerza Electrica Clasica2

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Definición[editar ] La presencia de carga eléctrica en una región del espacio modifica las características de dicho espacio dando lugar a un campo eléctrico. Así pues, podemos considerar un campo eléctrico como una región del espacio cuyas propiedades han sido modificadas por la presencia de una carga eléctrica, de tal modo que al introducir en dicho campo eléctrico una nueva carga eléctrica, ésta experimentará una fuerza. El campo eléctrico se representa matemáticamente mediante el vector campo eléctrico, definido como el cociente entre la fuerza eléctrica que experimenta una carga testigo y el valor de esa carga testigo (una carga testigo positiva). La definición más intuitiva del campo eléctrico se la puede dar mediante la ley de Coulomb. Esta ley, una vez generalizada, permite expresar el campo entre distribuciones de carga en reposo relativo. Sin embargo, para cargas en movimiento se requiere una definición más formal y completa, se requiere el uso de cuadrivectores y el principio de mínima acción . A continuación se describen ambas. Debe tenerse presente de todas maneras que desde el punto de vista relativista, la definición de campo eléctrico es relativa y no absoluta, ya que observadores en movimiento relativo entre sí medirán campos eléctricos o "partes eléctricas" del campo electromagnético diferentes, por lo que el campo eléctrico medido dependerá del sistema de referencia escogido. Definición mediante la ley de Coulomb[editar ] Campo eléctrico de una distribución lineal de carga. Una carga puntual P es sometida a una fuerza en dirección radial por una distribución de

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El analisis matmatico de la fuerza electrica en la forma de un lagrangiano esta dada por la siguiente expresion.

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Definición[editar]

La presencia de carga eléctrica en una región del espacio modifica las características de

dicho espacio dando lugar a un campo eléctrico. Así pues, podemos considerar un campo

eléctrico como una región del espacio cuyas propiedades han sido modificadas por la

presencia de una carga eléctrica, de tal modo que al introducir en dicho campo eléctrico

una nueva carga eléctrica, ésta experimentará una fuerza.

El campo eléctrico se representa matemáticamente mediante el vector campo eléctrico,

definido como el cociente entre la fuerza eléctrica que experimenta una carga testigo y el

valor de esa carga testigo (una carga testigo positiva).

La definición más intuitiva del campo eléctrico se la puede dar mediante la ley de Coulomb.

Esta ley, una vez generalizada, permite expresar el campo entre distribuciones de carga

en reposo relativo. Sin embargo, para cargas en movimiento se requiere una definición

más formal y completa, se requiere el uso de cuadrivectores y el principio de mínima

acción. A continuación se describen ambas.

Debe tenerse presente de todas maneras que desde el punto de vista relativista, la

definición de campo eléctrico es relativa y no absoluta, ya que observadores en

movimiento relativo entre sí medirán campos eléctricos o "partes eléctricas" del campo

electromagnético diferentes, por lo que el campo eléctrico medido dependerá del sistema

de referencia escogido.

Definición mediante la ley de Coulomb[editar]

Campo eléctrico de una distribución lineal de carga. Una carga puntual P es sometida a una fuerza

en dirección radial   por una distribución de carga   en forma de diferencial de línea ( ), lo que

produce un campo eléctrico  .

Partiendo de la ley de Coulomb que expresa que la fuerza entre dos cargas en reposo

relativo depende del cuadrado de la distancia, matemáticamente es igual a:1

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Donde:

 es la permitividad eléctrica del vacío, constante definida en el sistema

internacional,

 son las cargas que interactúan,

 es la distancia entre ambas cargas,

, es el vector de posición relativa de la carga 2 respecto a la carga 1.

y   es el unitario en la dirección  . Nótese que en la fórmula se está

usando  , esta es la permitividad en el vacío. Para calcular la interacción

en otro medio es necesario cambiar la permitividad de dicho medio. (

)

La ley anterior presuponía que la posición de una partícula en un instante

dado, hace que su campo eléctrico afecte en el mismo instante a cualquier

otra carga. Ese tipo de interacciones en las que el efecto sobre el resto de

partículas parece depender sólo de la posición de la partícula causante sin

importar la distancia entre las partículas se denomina en físicaacción a

distancia. Si bien la noción de acción a distancia fue aceptada inicialmente

por el propio Newton, experimentos más cuidados a lo largo del siglo XIX

llevaron a desechar dicha noción como no-realista. En ese contexto se

pensó que el campo eléctrico no sólo era un artificio matemático sino un

ente físico que se propaga a una velocidad finita (la velocidad de la luz)

hasta afectar a otras partículas. Esa idea conllevaba modificar la ley de

Coulomb de acuerdo con los requerimientos de la teoría de la relatividad y

dotar de entidad física al campo eléctrico.1 Así, el campo eléctrico es una

distorsión electromagnética que sufre el espacio debido a la presencia de

una carga. Considerando esto se puede obtener una expresión del campo

eléctrico cuando este sólo depende de la distancia entre las cargas:

Donde claramente se tiene que  , la que es una de las definiciones

más conocidas acerca del campo eléctrico. Para una distribución continua

de cargas el campo eléctrico viene dado por:

Definición formal[editar]

La definición más formal de campo eléctrico, válida también para cargas

moviéndose a velocidades cercanas a la de la luz, surge a partir de

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calcular la acción de una partícula cargada en movimiento a través de

un campo electromagnético.2 Este campo forma parte de un único campo

electromagnético tensorial   definido por un potencial cuadrivectorial

de la forma:1

(1)

donde   es el potencial escalar y   es el potencial

vectorial tridimensional. Así, de acuerdo al principio de mínima acción, se

plantea para una partícula en movimiento en un espacio

cuadridimensional:

(2)

donde   es la carga de la partícula,   es su masa y   la velocidad de la

luz. Reemplazando (1) en (2) y conociendo que  ,

donde   es el diferencial de la posición

definida   y   es la velocidad de la partícula,

se obtiene:

(3)

El término dentro de la integral se conoce como el lagrangiano del

sistema; derivando esta expresión con respecto a la velocidad se obtiene

el momento de la partícula, y aplicando las ecuaciones de Euler-

Lagrange se encuentra que la variación temporal de la cantidad de

movimiento de la partícula es:

(4)

De donde se obtiene la fuerza total de la partícula. Los dos primeros

términos son independientes de la velocidad de la partícula, mientras que

el último depende de ella. Entonces a los dos primeros se les asocia el

campo eléctrico y al tercero el campo magnético. Así se encuentra la

definición más general para el campo eléctrico:2

(5)

La ecuación (5) brinda mucha información acerca del campo eléctrico. Por

un lado, el primer término indica que un campo eléctrico es producido por

la variación temporal de un potencial vectorial descrito como   

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donde   es el campo magnético; y por otro, el segundo representa la muy

conocida descripción del campo como el gradiente de un potencial.2

Descripción del campo eléctrico[editar]

Matemáticamente un campo se lo describe mediante dos de sus

propiedades, su divergencia y su rotacional. La ecuación que describe la

divergencia del campo eléctrico se la conoce como ley de Gauss y la de

su rotacional es la ley de Faraday.1

Ley de Gauss[editar]

Artículo principal: Ley de Gauss

Para conocer una de las propiedades del campo eléctrico se estudia qué

ocurre con el flujo de éste al atravesar una superficie. El flujo de un

campo   se obtiene de la siguiente manera:

(8)

donde   es el diferencial de área en dirección normal a la superficie.

Aplicando la ecuación (7) en (8) y analizando el flujo a través de una

superficie cerrada se encuentra que:

(9)

donde   es la carga encerrada en esa superficie. La ecuación (9) es

conocida como la ley integral de Gauss y su forma derivada es:

(10)

donde   es la densidad volumétrica de carga. Esto indica que el campo

eléctrico diverge hacia una distribución de carga; en otras palabras, que el

campo eléctrico comienza en una carga y termina en otra.1

Esta idea puede ser visualizada mediante el concepto de líneas de

campo. Si se tiene una carga en un punto, el campo eléctrico estaría

dirigido hacia la otra carga.

Ley de Faraday[editar]

Artículo principal: Ley de Faraday

En 1821, Michael Faraday realizó una serie de experimentos que lo

llevaron a determinar que los cambios temporales en el campo magnético

inducen un campo eléctrico. Esto se conoce como la ley de Faraday.

La fuerza electromotriz, definida como el rotacional a través de un

diferencial de línea está determinado por:

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(11)

donde el signo menos indica la Ley de Lenz y   es el flujo magnético en

una superficie, determinada por:

(12)

reemplazando (12) en (11) se obtiene la ecuación integral de la ley de

Faraday:

(13)

Aplicando el teorema de Stokes se encuentra la forma diferencial:

(14)

La ecuación (14) completa la descripción del campo eléctrico, indicando

que la variación temporal del campo magnético induce un campo

eléctrico.1

Expresiones del campo eléctrico[editar]

Campo electrostático (cargas en reposo)[editar]

Artículo principal: Campo electrostático

Un caso especial del campo eléctrico es el denominado electrostático. Un

campo electrostático no depende del tiempo, es decir es estacionario.

Para este tipo de campos la Ley de Gauss todavía tiene validez debido a

que esta no tiene ninguna consideración temporal, sin embargo, la Ley de

Faraday debe ser modificada. Si el campo es estacionario, la parte

derecha de la ecuación (13) y (14) no tiene sentido, por lo que se anula:

(15)

Esta ecuación junto con (10) definen un campo electrostático. Además,

por el cálculo diferencial, se sabe que un campo cuyo rotacional es cero

puede ser descrito mediante el gradiente de una función escalar  ,

conocida como potencial eléctrico:

(16)

La importancia de (15) radica en que debido a que el rotacional del campo

eléctrico es cero, se puede aplicar el principio de superposición a este tipo

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de campos. Para varias cargas, se define el campo eléctrico como la

suma vectorial de sus campos individuales:

(17)

entonces

(18)

Líneas de campo[editar]

Líneas de campo eléctrico correspondientes a cargas iguales y opuestas,

respectivamente.

Un campo eléctrico estático puede ser representado geométricamente con

líneas tales que en cada punto el campo vectorial sea tangente a dichas

líneas, a estas líneas se las conoce como "líneas de campo".

Matemáticamente las líneas de campo son las curvas integrales del

campo vectorial. Las líneas de campo se utilizan para crear una

representación gráfica del campo, y pueden ser tantas como sea

necesario visualizar.

Las líneas de campo son líneas perpendiculares a la superficie del cuerpo,

de manera que su tangente geométrica en un punto coincide con la

dirección del campo en ese punto. Esto es una consecuencia directa de la

ley de Gauss, es decir encontramos que la mayor variación direccional en

el campo se dirige perpendicularmente a la carga. Al unir los puntos en los

que el campo eléctrico es de igual magnitud, se obtiene lo que se conoce

como superficies equipotenciales, son aquellas donde el potencial tiene el

mismo valor numérico. En el caso estático al ser el campo eléctrico un

campo irrotacional las líneas de campo nunca serán cerradas (cosa que sí

puede suceder en el caso dinámico, donde el rotacional del campo

eléctrico es igual a la variación temporal del campo magnético cambiada

de signo, por tanto una línea de campo eléctrico cerrado requiere un

campo magnético variable, cosa imposible en el caso estático).

En el caso dinámico pueden definirse igualmente las líneas sólo que el

patrón de líneas variará de un instante a otro del tiempo, es decir, las

líneas de campo al igual que las cargas serán móviles.

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Campo electrodinámico (movimiento uniforme)[editar]

El campo eléctrico creado por una carga puntual

presenta isotropía espacial, en cambio, el campo creado por una carga en

movimiento tiene un campo más intenso en el plano perpendicular a la

velocidad de acuerdo a las predicciones de la teoría de la relatividad. Esto

sucede porque para un observador en reposo respecto a una carga que

se mueve con velocidad uniforme la distancia en la dirección del

movimiento de la carga serán menores que las medidas por un

observador en reposo respecto a la carga, por efecto de lacontracción de

Lorentz, suponiendo que la carga se mueve a lo largo del eje X de

observador tendríamos la siguiente relación de coordenadas entre lo

medido por el observador en movimiento respecto a la carga   y el

observador en reposo respecto a la carga  :

Siendo V la velocidad de la carga respecto al observador, así la distancia

efectiva a la carga medida por el observador en movimiento respecto a la

carga cumplirá que:

Y por tanto el campo eléctrico medido por un observador en movimiento

respecto a la carga será:

(19)

Donde   es el ángulo formado por el vector de posición del punto donde

se mide el campo (respecto a la carga) y la velocidad del movimiento. De

esta última expresión se observa que si se considera una esfera de

radio r alrededor de la carga el campo es más intenso en el "ecuador",

tomando como polos norte y sur la interasección de la esfera con la

trayectoria de la partícula, puede verse que el campo sobre la esfera varía

entre un máximo   y un mínimo   dados por:

(20)

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Esta pérdida de simetría esférica es poco notoria para velocidades

pequeñas comparadas con la velocidad de la luz y se hace muy marcada

a velocidades cercanas a la luz.

Campo electrodinámico (movimiento acelerado)[editar]

El campo de una carga en movimiento respecto a un observador se

complica notablemente respecto al caso de movimiento uniforme si

además de un movimiento relativo la carga presenta un movimiento

acelerado respecto a un observador inercial. A partir de los potenciales de

Lienard-Wiechert se obtiene que el campo creado por una carga en

movimiento viene dado por:

(21)

El primer miembro sólo depende de la velocidad y coincide con el campo

eléctrico provocado por una carga en movimiento uniforme, a grandes

distancias varía según una ley de la inversa del cuadrado 1/R2 y, por tanto,

no supone emisión de energía, el segundo miembro depende de la

aceleración   y tiene una variación 1/R que representa la intensidad

decreciente de una onda esférica de radiación electromagnética, ya que

las cargas en movimiento acelerado emiten radiación.

Energía del campo eléctrico[editar]

Artículo principal: Energía electromagnética

Un campo en general almacena energía y en el caso de cargas

aceleradas puede transmitir también energía (principio aprovechado en

antenas de telecomunicaciones). La densidad volumétrica de energía de

un campo eléctrico está dada por la expresión siguiente:1

(22)

Por lo que la energía total en un volumen V está dada por:

(23)

donde   es el diferencial de volumen.