Fuerza de arrastre viscoso. Puesto que el aire tiene viscosidad existe una fuerza de arrastre de este tipo generada dentro de la capa límite que definiremos a continuación. Se trata de una capa muy delgada de aire que se forma sobre la superficie de los cuerpos en movimiento y en la cual se ha demostrado experimentalmente que la velocidad del aire varía desde el valor cero, sobre la superficie, hasta el valor de la velocidad del flujo de aire libre de obstáculos. Esta capa límite contribuye también a los gradientes de presión cerca de las superficies; es la causante de que los fluidos se separen, se desprendan de los contornos de las superficies generando turbulencia en las partes posteriores, las llamadas estelas. El descubridor del concepto de capa límite fue Prandtl. En la figura 4.9 se hace una definición esquematizada del concepto de capa límite. En la foto 4.10 presentamos un experimento de una placa en el túnel de viento a la cual le llega una traza de humo; se observa claramente una separación en la mitad de la placa. El grosor de la capa límite que es la distancia entre la línea que divide a la sección A de la B, y la placa se le llama

.

Figura 4.9: Definición de capa límite para una placa en un fluido viscoso con velocidad constante. En la región A la velocidad es la del fluido libre; en B la velocidad del fluido

cambia de cero a 0,99V; en la región C hay turbulencia. En el punto c empieza la inversión de la velocidad cerca de la placa.

Figura 4.10: Experimento con una placa en el túnel de viento del Departamento de Física de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Chile.

Una definición útil para las expresiones matemáticas es la de grosor de desplazamiento

; representa al flujo equivalente de la capa límite cuando la velocidad es la velocidad del flujo libre en el lugar donde el grosor de la capa límite es . Consideremos el gráfico 4.11; se define en el punto donde la velocidad más lejana a la placa es 0,99

(velocidad del flujo sin la placa) y se elije de manera que las áreas I y II sean iguales, es decir:

(4.34)

o sea:

(4.35)

luego:

(4.36)

que corresponde a la reducción total del flujo en la capa límite; finalmente tenemos:

(4.37)

Figura 4.11: Definición de y .

Calcularemos ahora, usando un método de Von Kármán, la fuerza de cizalla, , que una placa ejerce sobre la capa límite; supondremos que no hay gradientes de presión a

lo largo de la placa. Para ello tomamos un volumen de control de largo y altura

en la entrada del fluido y en la salida, como presentamos en la figura 4.12. Utilizando la ecuación 3.27 para el comportamiento de las magnitudes físicas en el volumen de control tenemos para la masa:

Figura 4.12: Volumen de control en una capa límite para calcular la fuerza de cizalla de un flujo sobre una placa.

(4.38)

de modo que el cambio de momentum por unidad de tiempo debido al ingreso de masa por la parte superior del volumen de control, a velocidad V, está dado por:

(4.39)

Por otra parte, la ecuación 3.27 para el momentum es:

(4.40)

por lo tanto la fuerza neta sobre la placa debido al roce con la capa límite placa será, para un largo :

(4.41)

Suponiendo constante tenemos:

(4.42)

Siendo muy pequeño tendremos también que la diferencia entre y también lo será y por lo tanto el término de la derecha de (4.43) será una diferencial; en consecuencia escribimos:

 

      

  (4.43)

Introduciremos ahora la ley de Newton para la viscosidad. Esta ley establece una relación entre la viscosidad de un fluido y la cizalla (fuerza de corte) entre sus capas. Consideremos el esquema de la figura 4.13. Una tabla de área A se posa sobre la

superficie de un fluido viscoso y se la desplaza con velocidad uniforme aplicando

una fuerza . El fluido tiene una profundidad . Newton descubrió que la fuerza necesaria para que esto suceda es proporcional a la magnitud de la velocidad y al área

de la tabla, y es inversamente proporcional a . Definiendo y la constante de proporcionalidad, llamada viscosidad,tenemos:

Figura 4.13: Ilustración para la ley de Newton para la viscosidad.

(4.44)

En la práctica la relación entre la velocidad y la profundidad no es lineal y un cambio

diferencial involucra un cambio diferencial como presentamos en la figura 4.14.

Figura 4.14: Relación característica entre la profundidad y la velocidad en un fluido viscoso.

De este modo tenemos la ley de Newton para la viscosidad:

(4.45)

Existen dos causas importantes para la viscosidad: la atracción molecular y la transferencia de momentum entre las moléculas. Nuestro interés es relacionar esta ley con la fuerza de arrastre debida a la capa límite en el régimen laminar. Tenemos:

(4.46)

luego,

(4.47)

Suponiendo que la distribución de la velocidad en función de es la misma a lo largo de toda la placa tomamos:

(4.48)

que sustituida en (4.48) nos da:

(4.49)

definiendo:

   y

(4.50)

tenemos:

(4.51)

luego, integrando:

(4.52)

puesto que en . Tenemos entonces:

(4.53)

y definiendo el número de Reynolds:

(4.54)

tenemos:

(4.55)

La función se puede suponer de distintas formas si bien admite una deducción analítica como la realizada por P.R.H. Blasius. En relación a las formas asumidas está la siguiente debida a Prandtl:

(4.56)

con esta relación se calculan las en (4.51) resultando A=117/840, B=1.5 y =4.64, luego:

(4.57)

Calcularemos a continuación la fuerza de arrastre para la relación (4.57); usando (4.44) tenemos:

(4.58)

que podemos escribir como:

(4.59)

Para la fuerza de cizalla total por unidad de ancho debida a una cara de una placa de longitud , llamada fuerza de piel o arrastre viscoso se tiene:

(4.60)

De manera análoga al arrastre de forma introducimos el coeficiente de fricción de piel

escribiendo:

(4.61)

o sea:

(4.62)

Experimentos han demostrado que la capa límite permanece laminar siempre que

; a partir de allí el flujo es turbulento. Por ejemplo para una placa en un

flujo de aire a se tiene:

(4.63)

o sea el régimen el la capa límite es laminar hasta . El grosor de la capa límite es:

(4.64)

o sea el grosor de la capa límite en el régimen laminar es entre 0 y 2 . Cuando el

flujo es turbulento la función está dada por la ley de Prandtl llamada potencia- , es decir:

(4.65)

con lo cual resulta, haciendo cálculos análogos al caso laminar:

(4.66)

Para la fuerza de arrastre viscoso en el régimen turbulento se tiene:

(4.67)

donde es el número de Reynolds basado en el largo total de la placa. Análogamente al caso laminar definimos un coeficiente de arrastre viscoso para el régimen turbulento por la relación:

(4.68)

o sea:

(4.69)

ahora bien se ha demostrado experimentalmente que la relación (4.70) es válida para

y que para valores mayores del número de Reynolds vale:

Medida del módulo de cizallamiento

Sólido rígido

Estática. ElasticidadMomento de una fuerzaMedida del módulode elasticidadFlexión de una vigaPandeo de una barra

Medida del módulo de cizallamientoCatenaria

Módulo de cizalla

Actividades

 

En una página previa, hemos medido el módulo de elasticidad  Y de un material, es decir,  la respuesta del material cuando sobre él actúa una fuerza que cambia su volumen (aumentando su longitud). Ahora, examinaremos la deformación por cizallamiento en el que no hay cambio de volumen pero si de forma. El módulo de cizalla G es característico de cada material

El dispositivo experimental consta de una varilla de un determinado material cuyo radio y longitud se puede modificar. La varilla se mantiene fija por un extremo y por el otro se conecta al eje de una polea de 7 cm radio que puede girar. Se ata una cuerda a la polea y por su extremo libre se van colgando pesas. Por medio

de una escala angular se mide el ángulo girado para cada momento M aplicado

 

Módulo de cizalla

Sea un cuerpo en forma de paralepípedo de base S y de altura h.

Cuando la fuerza F que actúa sobre el cuerpo es paralela a una de las caras mientras que la otra cara permanece fija, se presenta otro tipo de deformación denominada de cizallamiento en el que no hay cambio de volumen pero si de forma. Si originalmente la sección transversal del cuerpo tiene forma rectangular, bajo un esfuerzo cortante se convierte en un paralelogramo.

Definimos el esfuerzo como F/S la razón entre la fuerza tangencial al área S de la cara sobre la que se aplica. La deformación por cizalla, se define como la razón x/h, donde x es la distancia horizontal que se desplaza la cara sobre la que se aplica la fuerza y h la altura del cuerpo, tal como vemos en la figura. El módulo de cizalla G es una propiedad mecánica de cada material

Siendo pequeños los ángulos de desplazamiento podemos escribir

 

Metal Módulo de cizalla G en 109 N/m2

Cobre estirado en frío 48.0

Aluminio 25.0-26.0

Acero al carbono 8

Acero aleado 80.0

Cinc laminado 31.0

Latón estirado en frío 34.0-36.0

Latón naval laminado 36.0

Bronce de aluminio 41.0

Titanio 44.0

Níquel 79.0

Plata 30.3

Fuente: Koshkin N. I., Shirkévich M.G.. Manual de Física. Editorial Mir (1975)

Sea una barra de material de forma cilíndrica de radio R y longitud L. Un extremo está fijo, y en el extremo libre se le aplica una fuerza con el fin de producir cizallamiento en la barra cilíndrica. Como vemos en la figura, el rectángulo formado por el eje y el radio del cilindro se ha convertido en un paralelogramo tal como indican las líneas de color azul, es el ángulo de deformación.

Una fuerza dF está aplicada paralelamente a la superficie en forma de anillo (en color gris) de radio r y de espesor dr, cuya área es 2 r·dr

El módulo de cizalla es el cociente entre el esfuerzo (fuerza dividido área del anillo) y deformación angular

Como podemos ver en la figura la relación entre el ángulo de deformación y el ángulo de desplazamiento angular en el extremo libre es L =r .

El momento de la fuerza aplicada es

El momento de la fuerza aplicada M es proporcional al ángulo de giro del extremo libre

Esta es la fórmula que nos va a permitir medir el módulo de cizalla G, conociendo la longitud L y el radio R de la barra cilíndrica.

Ejemplo:

Sea una varilla de aluminio

de L=100 cm ó 1.0 m de longitud de R=3.2 mm ó 0.0032 m de radio.

Colgamos del extremo de la cuerda que pasa por la polea, un peso de 1250 g, el ángulo girado es de 11.9 grados. Con estos datos podemos calcular el módulo de cizalla G.

El momento de la fuerza aplicada es M=F·d=1.25·9.8·0.07=0.8575 N·m

El ángulo girado en radianes es =11.9· /180=0.208 rad

 

Actividades

Se introduce

La longitud de la varilla en cm El radio de la varilla en mm El material del que está hecho la varilla El radio de la polea se ha fijado en d=7 cm Se elige el tipo de pesa de 100 g, 250 g ó de 500 g activando el

botón de radio correspondiente

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Se arrastra con el puntero del ratón la pesa seleccionada hasta colgarla en el extremo libre de la cuerda.

Se mide el ángulo girado en la escala angular graduada en grados Se coge otra pesa y se engancha por debajo de la pesa

anteriormente colocada.

En el control área de texto, situado a la izquierda del applet se van recogiendo los pares de datos (masa en kg, ángulo girado en grados). Cuando ya se han recogido suficientes datos se pulsa el botón titulado Gráfica. Se representan los datos "experimentales" y la recta que pasa por dichos puntos.

El programa interactivo muestra el valor la pendiente de la recta en grados/kg, en la parte superior del applet. Calculamos el módulo G a partir de la pendiente a de la recta y de los datos de la barra.

Ejemplo:

Barra de aluminio Longitud L=1.0 m Radio de la sección de la barra R=0.0032 m Radio de la polea d=7 cm=0.07 m Aceleración de la gravedad g=9.8 m/s2

Si la pendiente de la recta es a=9.55 (grados/kg) el valor de G=25.0·109 N/m2

Una vez realizada la "experiencia" se pulsa el botón titulado Respuesta, para comparar el valor del módulo G calculado con el del material seleccionado.

Esfuerzo cortanteDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación, búsqueda

El esfuerzo cortante, de cizalla o de cortadura es el esfuerzo interno o resultante de las tensiones paralelas a la sección transversal de un prisma mecánico como por ejemplo una viga o un pilar. Este tipo de solicitación formado por tensiones paralelas está directamente asociado a la tensión cortante.

Tensión cortanteDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación, búsqueda

Fig 1. Esquema del esfuerzo cortante.

La tensión cortante o tensión de corte es aquella que, fijado un plano, actúa tangente al mismo. Se suele representar con la letra griega tau (Fig 1). En piezas prismáticas, las tensiones cortantes aparecen en caso de aplicación de un esfuerzo cortante o bien de un momento torsor.1 2

En piezas alargadas, como vigas y pilares, el plano de referencia suele ser un paralelo a la sección transversal (i.e., uno perpendicular al eje longitudinal). A diferencia del esfuerzo normal, es más difícil de apreciar en las vigas ya que su efecto es menos evidente.

Contenido[ocultar]

1 Tensión cortante promedio 2 Fórmula de Collignon-Jourawski

o 2.1 Deducción de la fórmula de Collignon 3 Tensión cortante máxima

o 3.1 Sección rectangular o 3.2 Sección circular

4 Referencia o 4.1 Bibliografía

5 Véase también

Tensión cortante promedio [editar]

Fig 2. Esfuerzo cortante sobre tornillos

Un problema que se presenta en su cálculo se debe a que las tensiones no se distribuyen uniformemente sobre un área, si se quiere obtener la tensión media es usada la fórmula:

donde V (letra usada habitualmente para designar esta fuerza) representa la fuerza cortante y A representa el área de la sección sobre la cual se está aplicando. En este caso, el esfuerzo cortante, como su nombre lo indica, corta una pieza. En esta imagen (Fig 2.), el tornillo y el perno presentan esfuerzo cortante al ser cortados por las piezas que unen (línea verde).

Fórmula de Collignon-Jourawski [editar]

Si se requiere encontrar la tensión cortante debida fuerza cortante en un punto específico, lo cual es común en vigas, se usa la siguiente fórmula, conocida como fórmula de Collignon (1877):

donde Vy representa la fuerza cortante, Qy el producto del centroide y el área que se abarca desde un extremo hasta el punto donde se quiere encontrar el esfuerzo, Iz el momento de inercia de la sección total respecto a un eje perpendicular a la dirección del cortante y tz el espesor de la figura a lo largo de un eje perpendicular a la dirección del cortante.

Aunque esta fórmula fue publicada por Collignon en 1877 y se conoce con su nombre, previamente había sido utilizada en 1844 por el ingeniero ruso D. J. Jourawski para calcular tensiones en vigas de madera, publicando esta fórmula en 1856.

Puntos importantes:

El esfuerzo cortante en el cordón superior y el inferior es cero. El esfuerzo cortante en la línea neutra de la pieza (coincidente con el centro de

gravedad) es máximo. El momento de inercia y el centroide de las figuras es con respecto al eje neutro

de la pieza.

Deducción de la fórmula de Collignon [editar]

La fórmula de Collignon anterior no proporciona el valor exacto de la tensión tangencial, sino sólo el promedio a lo largo de una línea que divida en dos la sección transversal. Para comprender ese hecho conviene examinar la deducción de la misma. Para la deducción partiremos de las ecuaciones de equilibrio elástico cuando no existen fuerzas másicas, la primera de ellas para la componente X es igual a:

(1)

Si se presupone que sólo el esfuerzo cortante está dirigido según el eje Y (y que esta dirección coincide con una de las direcciones principales de inercia), y que el eje X coincide con el eje de la pieza y, además, que las tensiones están provocadas únicamente por un esfuerzo normal constante y un momento flector y un esfuerzo cortante variables, tenemos:

Substituyendo estas dos últimas ecuaciones en la ecuación de equilibrio (1), se tiene la relación entre la tensión tangencial y el esfuerzo cortante:

(1')

Integrando directamente esa última ecuación se llega a:

La anterior ecuación resulta incómoda porque depende de la coordenada C(z) situada sobre una vertical donde el cortante se anula (puede comprobarse que coincide que es la coordenada de un punto sobre el contorno de la sección, usando las condiciones de contorno que acompañan a las ecuaciones de equilibrio elástico). Sin embargo, se puede definir la tensión cortante media como:

Esta última coincide (salvo signo) con la fórmula de Collignon usada para calcular la distribución media de tensiones cortantesa lo largo de la sección que se mencionaba en el apartado anterior. Cabe señalar que hemos introducido el llamado primer momento de área parcial definido como:

Tensión cortante máxima [editar]

La anterior ecuación puede usarse para calcular la tensión tangencial máxima para diferentes tipos de sección y comparar su valor con el de la tensión promedio. Puede probarse que para cualquier tipo de sección transversal se cumple que:

Sección rectangular [editar]

Para una sección rectangular de medidas b x h sometida a un esfuerzo cortante paralelo a uno los lados de la misma, la distribución de tensiones cortantes y la tensión cortante máximas vienen dadas por:

Donde es la altura del punto donde se calculan las tensiones respecto al centro de la sección. Eso significa que para las secciones rectangulares

.

Sección circular [editar]

Para una sección circular maciza de radio R sometida a un esfuerzo cortante paralelo a uno los lados de la misma, la distribución de tensiones cortantes y la tensión cortante máximas son:

Eso significa que para las secciones circulares .

Referencia [editar]

1. ↑ Ortiz Berrocal, pp. 196-202 y pp. 553-555 2. ↑ Monleón Cremades, S. pp. 400

Bibliografía [editar]

Hibbeler, R. C. (2005): Mechanics of materials, sexta edición. Prentice Hall. Monleón Cremades, S., Análisis de vigas, arcos, placas y láminas, Ed. UPV,

1999, ISBN 84-7721-769-6. Ortiz Berrocal, L., Elasticidad, McGraw-Hill, 1998, ISBN 84-481-2046-9.