Fubini

Instituto Superior Tecnico

Departamento de Matematica

Seccao de Algebra e Analise

Prof. Gabriel Pires

Teorema de Fubini. Calculo de Integrais

Recordemos que o teorema de Fubini estabelece uma forma expedita de calculo dointegral de uma funcao limitada num intervalo limitado em R

n (cf. [1, 2]), atraves doschamados integrais iterados.

Para maior clareza de exposicao e pela importancia pratica iremos tratar separadamenteos casos de R

2 e de R3. Consideraremos apenas conjuntos limitados por graficos de funcoes

contınuas.

1 Areas em R2

Consideremos o conjunto D1 definido por

D1 = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b ; c(x) ≤ y ≤ d(x)} (1)

em que c, d : [a, b] → R sao duas funcoes contınuas e a < b.

Seja I um intervalo limitado que contem o conjunto D1 e seja χ : I → R a funcaodefinida por

χ(x, y) =

{

1, se (x, y) ∈ D1

0, se (x, y) ∈ I \ D1.

Por definicao, a area de D1 sera dada pelo integral da funcao χ, ou seja,

vol2(D1) =

∫

I

χ.

O calculo deste integral sera feito recorrendo ao teorema de Fubini, ou seja, recorrendoao calculo de integrais iterados. Note-se que D1 pode ser descrito como uma coleccao desegmentos de recta perpendiculares ao eixo Ox. Para cada x ∈ [a, b], temos um segmentode recta entre os pontos (x, c(x)) e (x, d(x)), tal como se ilustra na figura 1.

Cada um destes segmentos de recta e a interseccao de D1 com a recta dada pela equacaox = c, em que c e uma constante.

Ao conjunto D1 ∩ {(x, y) : x = c} chamamos corte em D1 perpendicular ao eixo Ox.

Para cada x = c, temos χ(c, y) = 1 desde que c(x) ≤ y ≤ d(x) e χ(c, y) = 0, casocontrario.

Portanto, teremos,

vol2(D1) =

∫ b

a

(

∫ d(x)

c(x)

dy

)

dx =

∫ b

a

(d(x) − c(x))dx.

1

y = d(x)

y = c(x)

x

y

a b

Figura 1: Teorema de Fubini. Cortes perpendiculares a Ox

Do mesmo modo, a area de um conjunto definido por

D2 = {(x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d ; a(y) ≤ x ≤ b(y)}, (2)

em que c e d sao numeros reais e a, b : R → R sao funcoes contınuas, sera calculada doseguinte modo

vol2(D2) =

∫ d

c

(

∫ b(y)

a(y)

dx

)

dy =

∫ d

c

(b(y) − a(y))dy. (3)

x = b(y)x = a(y)

x

y

c

d

Figura 2: Teorema de Fubini. Cortes perpendiculares a Oy

Neste caso, o conjunto D2 e uma coleccao de segmentos de recta entre os pontos (a(y), y)e (b(y), y), tal como se ilustra na figura 2.

Em geral, o integral de uma funcao limitada f em D ⊂ R2, pode ser calculado descre-

vendo D como uma coleccao de cortes perpendiculares a um dos eixos coordenados.

2

x

y

y = 1 − x2

1

1 x

y

x =√

1 − y

1

1

Figura 3: Cortes no conjunto definido por: x > 0 ; 0 < y < 1 − x2.

1.1 Exemplos

1.1.1 Conjunto limitado por uma parabola

Consideremos o conjunto

D = {(x, y) ∈ R2 : 0 < y < 1 − x2 ; x > 0}.

E claro que sendo, 0 < 1 − x2 e x > 0, entao 0 < x < 1.Assim, D pode ser descrito na forma

D = {(x, y) ∈ R2 : 0 < x < 1 ; 0 < y < 1 − x2},

ou seja, como uma coleccao de cortes perpendiculares ao eixo Ox (cortes verticais), talcomo se representa na figura 3.

Portanto, a respectiva area sera dada pelo integral iterado seguinte

vol2(D) =

∫ 1

0

(

∫ 1−x2

0

dy

)

dx =

∫ 1

0

(1 − x2)dx =2

3.

Dado que 0 < y < 1 − x2, entao, 0 < y < 1 e 0 < x <√

1 − y e, portanto, D pode serdescrito na forma

D = {(x, y) ∈ R2 : 0 < y < 1 ; 0 < x <

√

1 − y},

ou seja, como uma coleccao de cortes perpendiculares ao eixo Oy (cortes horizontais), e arespectiva area sera calculada pelo integral iterado seguinte

vol2(D) =

∫ 1

0

(

∫

√

1−y

0

dx

)

dy =

∫ 1

0

√

1 − y dy =2

3.

3

x

y

12

y = x2 y = 1 − x2

1√

22

x

y

12

x =√

y x =√

1 − y

1

Figura 4: Cortes no conjunto definido por: x > 0 ; 0 < y < x2 ; y < 1 − x2.

1.1.2 Conjunto limitado por duas parabolas


D = {(x, y) ∈ R2 : x > 0 ; 0 < y < x2 ; y < 1 − x2}.

Dado que y < 1 − x2, entao x <√

1 − y e, sendo y > 0, teremos 0 < x < 1.Por outro lado, sendo simultaneamente y < x2 e y < 1 − x2, entao y < x2 desde que

x2 < 1 − x2, ou seja, desde que x <

√2

2.

Do mesmo modo, teremos y < 1 − x2 desde que x >

√2

2.

Portanto, para 0 < x <

√2

2teremos 0 < y < x2 e para

√2

2< x < 1 teremos y < 1−x2.

Assim, o conjunto D e a uniao de dois conjuntos disjuntos D = A ∪ B, da forma (1),em que

A = {(x, y) ∈ R2 : 0 < x <

√2

2; 0 < y < x2}

e

B = {(x, y) ∈ R2 :

√2

2< x < 1 ; 0 < y < 1 − x2},

tal como se representa na figura 4.A area do conjunto D sera entao dada por

vol2(D) = vol2(A) + vol2(B) =

∫

√

2

2

0

(

∫ x2

0

dy

)

dx +

∫ 1

√

2

2

(

∫ 1−x2

0

dy

)

dx

Note-se que, tanto em A como em B teremos y <1

2. Portanto, em D teremos 0 < y <

1

2.

Das inequacoes y < x2 ; y < 1 − x2, obtemos√

y < x <√

1 − y.

4

Podemos entao descrever D na forma (2), ou seja

D = {(x, y) ∈ R2 : 0 < y <

1

2;√

y < x <√

1 − y},

e a respectiva area sera dada por

vol2(D) =

∫ 1

2

0

(

∫

√

1−y

√y

dx

)

dy =

∫ 1

2

0

(√

1 − y −√y)dy =

2 −√

2

3.

1.1.3 Conjunto limitado por uma parabola e uma circunferencia

Consideremos o conjunto definido por

D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1 ; y > x2}

representado na figura 5, limitado por um arco de circunferencia e um arco de parabola.E claro que, sendo x2 + y2 < 1 e y > x2, teremos x2 + x4 < 1, ou seja

x2 <

√5 − 1

2⇔ −

√√5 − 1

2< x <

√√5 − 1

2.

Note-se que a circunferencia e a parabola intersectam-se nos pontos cujas coordenadassao determinadas resolvendo o sistema

{

x2 + y2 = 1

y = x2⇔{

y2 + y − 1 = 0

y = x2,

ou seja, nos pontos (a1, c), (b1, c) em que

a1 = −√

√

5−12

b1 =√

√

5−12

c =√

5−12

.

tal como se ilustra na figura 5.Assim, o conjunto D pode ser descrito na forma

D = {(x, y) ∈ R2 : a1 < x < b1 ; x2 < y <

√1 − x2},

e a respectiva area sera dada pelo integral iterado seguinte

vol2(D) =

∫ b1

a1

(

∫

√

1−x2

x2

dy

)

dx =

∫ b1

a1

(√

1 − x2 − x2)dx.

5

x

y

a1

x2 + y2 = 1

y = x2

b1 x

y

1x2 + y2 = 1

y = x2

c

Figura 5: Cortes no conjunto definido por x2 + y2 < 1 ; y > x2

Do mesmo modo, sendo x2 + y2 < 1, teremos y2 < 1 e, dado que y > x2 ≥ 0, entao0 < y < 1.

Por outro lado, temos x2 < y e x2 < 1 − y2. Assim, ha dois casos a considerar.Teremos x2 < y desde que y < 1 − y2, ou seja, para 0 < y <

√

5−12

.

Portanto, teremos 0 < y <√

5−12

; −√y < x <

√y.

Deveremos ter x2 < 1 − y2 desde que 1 − y2 < y, ou seja, para√

5−12

< y < 1.

Assim, teremos√

5−12

< y < 1 ; −√

1 − y2 < x <√

1 − y2.

Portanto, tal como se ilustra na figura 5, o conjunto D pode ser descrito como a uniaodos dois conjuntos seguintes:

{(x, y) ∈ R2 : 0 < y <

√5 − 1

2; −√

y < x <√

y}

e

{(x, y) ∈ R2 :

√5 − 1

2< y < 1 ; −

√

1 − y2 < x <√

1 − y2}.

A area de D sera entao dada por,

vol2(S) =

∫

√

5−1

2

0

(

∫

√y

−√

y

dx

)

dy +

∫ 1

√

5−1

2

(

∫

√1−y2

−

√1−y2

dx

)

dy.

2 Volumes em R3

Tal como em R2, a nocao de corte sera crucial para o calculo de integrais em R

3.

Note-se que a equacao x = c, em que c e uma cosntante, descreve um plano perpendi-cular ao eixo Ox.

Dado D ⊂ R3, ao conjunto D∩{(x, y, z) : x = c} chamamos corte em D perpendicular

ao eixo Ox. Do mesmo modo teremos cortes perpendiculares ao eixos Oy e Oz.

6

Seja D ⊂ R3 o conjunto definido por

D = {(x, y, z) ∈ R3 : a ≤ x ≤ b ; c(x) ≤ y ≤ d(x) ; 0 ≤ z ≤ f(x, y)},

em que f : R2 → R e uma funcao contınua.

Seja I um intervalo limitado que contem o conjunto D e seja χ : I → R a funcaodefinida por

χ(x, y, z) =

{

1, se (x, y, z) ∈ D

0, se (x, y, z) ∈ I \ D.

Por definicao, o volume de D sera dada pelo integral da funcao χ, ou seja,

vol3(D) =

∫

I

χ.

x = x0

z = f(x, y)

x

y

z

I

z = f(x0, y)

y

z

Figura 6: Cortes perpendiclares ao eixo Ox

Tal como se ilustra na figura 6, o conjunto D pode ser descrito como uma coleccao decortes perpendiculares ao eixo Ox. Para cada x = x0 no intervalo [a, b] o respectivo cortesera o conjunto

{(x0, y, z) ∈ R3 : c ≤ y ≤ d ; 0 ≤ z ≤ f(x0, y)}.

Na figura 6, a = 0 , b , c = 0 e d sao constantes.Note-se que cada um destes cortes pode ser visto como um sub-conjunto de R

2. Dadoque χ(x0, y, z) = 1 desde que c ≤ y ≤ d e 0 ≤ z ≤ f(x, y), teremos

A(x) =

∫ d

c

(

∫ f(x,y)

0

dz

)

dy.

Pelo teorema de Fubini, o volume de D sera entao dado pelo integral

vol3(D) =

∫ b

a

A(x)dx =

∫ b

a

(

∫ d(x)

c(x)

(

∫ f(x,y)

0

dz

)

dy

)

dx.

7

x

y

z

1

1

1

x + y + z = 1

x

y

0 < z = c < 1

x = 1 − z − y

1 − z

1 − z

Figura 7: Cortes perpendiculares a Oz

Nos exemplos veremos como se podem descrever os conjuntos como colecccoes de cortesperpendiculares aos outros eixos.

Em geral, o integral de uma funcao limitada f em D ⊂ R3, pode ser calculado descre-

vendo D como uma coleccao de cortes perpendiculares a um dos eixos coordenados.

2.1 Exemplos

2.1.1 Uma piramide triangular


X = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z < 1 ; x > 0 ; y > 0 ; z > 0}.

• Para o integral iterado da forma∫

(∫

(∫

dx)dy)dz, fixamos 0 < z = c < 1 e obtemoso corte em X perpendicular ao eixo Oz, dado por

X ∩ {z = c} = {(x, y, c) : x + y < 1 − c ; x > 0 ; y > 0}= {(x, y, c) : 0 < y < 1 − c ; 0 < x < 1 − c − y}

e que se encontra representado na figura 7.

Assim, o conjunto X passa a ser descrito como uma coleccao de cortes perpendicularesao eixo Oz, ou seja,

X = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 < z < 1 ; 0 < y < 1 − z ; 0 < x < 1 − z − y}.

8

x

y

z

1

1

1

x + y + z = 1

y

z

0 < x = a < 1

z = 1 − x − y

1 − x

1 − x

Figura 8: Cortes perpendiculares a Ox

Portanto,

vol3(X) =

∫ 1

0

(∫ 1−z

0

(∫ 1−z−y

0

dx

)

dy

)

dz

=

∫ 1

0

(∫ 1−z

0

(1 − z − y)dy

)

dz

=1

2

∫ 1

0

(1 − z)2dz =1

6.


(∫

(∫

dz)dy)dx, fixamos 0 < x = a < 1 e obtemoso correspondente corte em X com o plano x = a

X ∩ {x = a} = {(a, y, z) : y + z < 1 − a ; y > 0 ; z > 0}= {(a, y, z) : 0 < z < 1 − a − y ; 0 < y < 1 − a, }

que se encontra representada na figura 8.

Deste modo o conjunto X passa a ser descrito da forma seguinte

X = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 < x < 1 ; 0 < y < 1 − x ; 0 < z < 1 − x − y},

ou seja, como uma coleccao de cortes perpendiculares ao eixo Ox.

O respectivo volume sera entao dado por

vol3(X) =

∫ 1

0

(∫ 1−x

0

(∫ 1−x−y

0

dz

)

dy

)

dx

9

x y

z

1

11

z = 1 − y2z = 1 − x2

y

z

1

y =√

1 − z

1 − x2


2.1.2 Uma tenda

Consideremos o conjunto definido por

S = {(x, y, z) ∈ R3 : x > 0 ; y > 0 ; z > 0 ; z < 1 − x2 ; z < 1 − y2}.


(∫

(∫

dy)dz)dx, note-se que sendo 0 < z < 1− x2,

e claro que deveremos fixar 0 < x = a < 1. e o corte em S perpendicular ao eixo Ox,

sera dado por{(a, y, z) : 0 < z < 1 − a2 ; 0 < y <

√1 − z}.

Assim, o conjunto S pode ser descrito como uma coleccao de cortes perpendicularesao eixo Ox, ou seja,

S = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 < x < 1 ; 0 < z < 1 − x2 ; 0 < y <

√1 − z},

tal como se representa na figura 9.

Portanto, o volume de S sera dado por

vol3(S) =

∫ 1

0

(

∫ 1−x2

0

(

∫

√

1−z

0

dy

)

dz

)

dx.


(∫

(∫

dy)dx)dz, e claro que deveremos fixar 0 <

z = c < 1. e o corte em S perpendicular ao eixo Oz, sera dado por

{(x, y, c) : 0 < z < 1 ; 0 < y <√

1 − z ; 0 < y <√

1 − z}.

10

x y

z

1

11

z = 1 − y2z = 1 − x2

x

y

√1 − z

√1 − z


Assim, o conjunto S pode ser descrito como uma coleccao de cortes perpendicularesao eixo Oz, ou seja,

S = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 < z < 1 ; 0 < x <

√1 − z ; 0 < y <

√1 − z},

tal como se representa na figura 10.

Portanto, o volume de S sera dado por

vol3(S) =

∫ 1

0

(

∫

√

1−z

0

(

∫

√

1−z

0

dy

)

dx

)

dz =

∫ 1

0

(1 − z)dz =1

2.

2.1.3 Uma piramide quadrangular

Consideremos o subconjunto de R3 definido por

S = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 < x < 1 ;

x

2< y < x ; 0 < z < x}.


(∫

(∫

dz)dy)dx , fixamos 0 < x = a < 1. Na figura11 representa-se o conjunto S e a interseccao de S com o plano x = a, ou seja, ocorte em S perpendicular ao eixo Ox, que se pode descrever da forma seguinte

S ∩ {x = a} = {(a, y, z) :a

2< y < a ; 0 < z < a}.

Note-se que S ja esta descrito na forma adequada para o caculo do integral iteradoda forma

∫

(∫

(∫

dz)dy)dx.

Assim, o volume de S sera dado por

11

= �2

=

=

x

x

x

x

y

y

y

z z

1

1

1x

x

y

z

x2

0 < x = a < 1


vol3(S) =

∫ 1

0

(

∫ x

x

2

(∫ x

0

dz

)

dy

)

dx

=

∫ 1

0

(

∫ x

x

2

xdy

)

dx

=

∫ 1

0

x2

2dx =

1

6.


(∫

(∫

dz)dx)dy , devemos fixar 0 < y = b < 1.

Dado que x2

< y < x, teremos y < x < 2y e como 0 < x < 1 devem ocorrer doiscasos. Ou 2y < 1, ou seja, 0 < y < 1

2ou 2y > 1, ou seja, 1

2< y < 1, tal como se

representa na figura 12.

Para 0 < y = b < 12, a interseccao (corte) de S com o plano y = b e dada por

S ∩ {y = b} = {(x, b, z) : y < x < 2y : 0 < z < x}

e para 12

< y = b < 1 temos,

S ∩ {y = b} = {(x, b, z) : y < x < 1 : 0 < z < x}.

Portanto, S e a uniao dos dois conjuntos seguintes

{(x, y, z) : 0 < y <1

2; y < x < 2y ; 0 < z < x}

e

{(x, y, z) :1

2< y < 1 ; y < x < 1 ; 0 < z < x},

12

x

y

z

x xy

y

y

y

zz

1

1

1

1

2y

2y 12

12

0 < y = b < 12

12

< y = b < 1

z = x

z = x

Figura 12: Cortes perpendiculares a Oy

o que nos permite escrever o volume de S como a soma de dois integrais iterados

vol3(S) =

∫ 1

2

0

(∫ 2y

y

(∫ x

0

dz

)

dx

)

dy +

∫ 1

1

2

(∫ 1

y

(∫ x

0

dz

)

dx

)

dy

• Para o integral da forma∫

(∫

(∫

dx)dz)dy, teremos as inequacoes

{

z < x < 1

y < x < 2y.

Portanto, para 0 < y = b < 12

teremos

{

z < x

y < x < 2y,

e deveremos fixar z em dois intervalos: ou 0 < z < y, ou y < z < 2y.

13

x

y

z

z/2

z/2

xx

y y

z

z

z z

11

1 1

12

12

12

12

0 < z = c < 12

12

< z = c < 1

y = xy = x

y = x2y = x

2


Para 12

< y = b < 1 teremos{

z < x < 1

y < x,

e deveremos fixar z em dois intervalos: ou 0 < z < y, ou y < z < 1.

Assim, o volume de S sera dado pela soma de quatro integrais iterados

vol3(S) =

∫ 1

2

0

(∫ y

0

(∫ 2y

y

dx

)

dz

)

dy +

∫ 1

2

0

(∫ 2y

y

(∫ 2y

z

dx

)

dz

)

dy +

+

∫ 1

1

2

(∫ y

0

(∫ 1

y

dx

)

dz

)

dy +

∫ 1

1

2

(∫ 1

y

(∫ 1

z

dx

)

dz

)

dy


(∫

(∫

dx)dy)dz , fixamos z = c e, tal como serepresenta na figura 13, devem ocorrer dois casos, ou 0 < z = c < 1

2ou 1

2< z = c <

1.

Em qualquer dos casos, o corte em S com o plano z = c sera dado por

S ∩ {z = c} = {(x, y, c) : z < x < 1 ;x

2< y < x}.

De seguida devemos fixar y = b e, de acordo com a figura 13, para cada um dos casosobtemos tres regioes de integracao na variavel x.

Note-se que das inequacoes de definicao de S obtemos

0 < x < 1

y < x < 2y

z < x < 2y

14

e, portanto,{

0 < z < x < 1z2

< y < x < 2y.

Isto quer dizer que depois de fixar z e y teremos x < 1 se 2y > 1, ou seja, se y > 12,

ou teremos x < 2y se y < 12. Por outro lado, teremos x > z se y < z ou x > y se

y > z.

Podemos concluir que, depois de fixar z, para fixar y teremos de considerar os valoresz2, z , 1

2e, portanto, teremos duas situacoes distintas (ver figura 13).

a) Para 0 < z = c < 12, a coordenada y sera fixada em tres intervalos: ou ]z

2, z[, ou

]z, 12[ ou ]1

2, 1[.

b) Para 12

< z = c < 1, a coordenada y sera fixada em tres intervalos: ou ]z2, 1

2[, ou

]12, z[ ou ]z, 1[.

Assim, o volume de S sera dado pela soma de seis integrais iterados

vol3(S) =

∫ 1

2

0

(

∫ z

z

2

(∫ 2y

z

dx

)

dy

)

dz

+

∫ 1

2

0

(

∫ 1

2

z

(∫ 2y

y

dx

)

dy

)

dz

+

∫ 1

2

0

(

∫ 1

1

2

(∫ 1

y

dx

)

dy

)

dz

+

∫ 1

1

2

(

∫ 1

2

z

2

(∫ 2y

z

dx

)

dy

)

dz

+

∫ 1

1

2

(

∫ z

1

2

(∫ 1

z

dx

)

dy

)

dz

+

∫ 1

1

2

(∫ 1

z

(∫ 1

y

dx

)

dy

)

dz

2.1.4 Um cilindro

Consideremos o cilindro vertical de raio um e altura dois dado por

S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 < 1 ; 0 < z < 2}.


(∫

(∫

dx)dy)dz, fixamos 0 < z = c < 2 e obtemos0 corte em S com o plano z = c, que se representa na figura, 14 e dado por

S ∩ {z = c} = {(x, y, c) : x2 + y2 < 1}= {(x, y, c) : −1 < y < 1 ; −

√

1 − y2 < x <√

1 − y2.}

15

x y

z

x

y

0

1

1

−1

0 < z = c < 2

x = −√

1 − y2x =

√

1 − y2


Assim, S pode ser descrito como uma coleccao de cortes perpendiculares a Oz, ouseja,

0 < z < 2 ; −1 < y < 1 ; −√

1 − y2 < x <√

1 − y2

e, portanto,

vol3(S) =

∫ 2

0

(

∫ 1

−1

(

∫

√1−y2

−

√1−y2

dx

)

dy

)

dz


(∫

(∫

dz)dy)dx, fixamos −1 < x = a < 1 e obtemoso correspondente corte em S

S ∩ {x = a} = {(a, y, z) : y2 < 1 − a2 ; 0 < z < 2}= {(a, y, z) : −

√1 − a2 < y <

√1 − a2 ; 0 < z < 2, }

que se representa na figura 15.

Portanto,

vol3(S) =

∫ 1

−1

(

∫ 2

0

(

∫

√

1−x2

−

√

1−x2

dy

)

dz

)

dx

2.1.5 Interseccao de dois cilindros perpendiculares

Consideremos o conjunto que resulta da interseccao de dois cilindros perpendicularesdefinido por

V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 < 1 ; x2 + z2 < 1}.

16

x y

z

y

z

2

0 < x = a < 1

−√

1 − x2

√1 − x2



(∫

(∫

dy)dx)dz, note-se que temos z2 < 1, ou seja,−1 < z < 1. Assim, fixando z = c neste intervalo, o respectivo corte perpendicularao eixo Oz sera dado por

{(x, y, c) ∈ R3 : x2 + y2 < 1 ; −

√1 − z2 < x <

√1 − z2},

e o conjunto V sera descrito como uma coleccao de cortes em z, ou seja

−1 < z < 1 ; −√

1 − z2 < x <√

1 − z2 ; −√

1 − x2 < y <√

1 − x2,

tal como se encontra representado na figura 16.

Portanto, o volume de V sera dado pelo integral iterado seguinte

vol3(V ) =

∫ 1

−1

(

∫

√

1−z2

−

√

1−z2

(

∫

√

1−x2

−

√

1−x2

dy

)

dx

)

dz.


(∫

(∫

dz)dy)dx, note-se que temos x2 < 1, ou seja,−1 < x < 1. Assim, fixando x = a neste intervalo, o respectivo corte perpendicularao eixo Ox sera dado por

{(a, y, z) ∈ R3 : −

√1 − x2 < y <

√1 − x2 ; −

√1 − x2 < z <

√1 − x2},

e o conjunto V sera descrito como uma coleccao de cortes em x, ou seja

−1 < x < 1 ; −√

1 − x2 < y <√

1 − x2 ; −√

1 − x2 < z <√

1 − x2,

tal como se ilustra na figura 17.

Portanto, o volume de V sera dado pelo integral iterado seguinte

vol3(V ) =

∫ 1

−1

(

∫

√

1−x2

−

√

1−x2

(

∫

√

1−x2

−

√

1−x2

dz

)

dy

)

dx = 4

∫ 1

−1

(1 − x2)dx =16

3.

17

x y

z

x

y

√1 − z2

x2 + y2 = 1

Figura 16: Interseccao de dois cilindros perpendiculares. Cortes em z.

2.1.6 Um cone

Consideremos o cone

S = {(x, y, z) ∈ R3 :√

x2 + y2 < z < 1}.


(∫

(∫

dx)dy)dz, fixamos 0 < z = c < 1 e obtemoso respectivo corte

S ∩ {z = c} = {(x, y, c) : x2 + y2 < c2}= {(x, y, c) : −c < y < c ; −

√

c2 − y2 < x <√

c2 − y2, }

que se representa na figura 18.

Portanto,

vol3(S) =

∫ 1

0

(

∫ z

−z

(

∫

√z2

−y2

−

√z2

−y2

dx

)

dy

)

dz


(∫

(∫

dz)dx)dy, fixamos −1 < y = b < 1 e obtemoso correspondente corte

S ∩ {y = b} = {(x, b, z) : x2 + b2 < z2 < 1}= {(x, b, z) : −

√1 − b2 < x <

√1 − b2 ;

√x2 + b2 < z < 1, }

tal como se apresenta na figura 19 e, portanto,

vol3(S) =

∫ 1

−1

(

∫

√1−y2

−

√1−y2

(

∫ 1

√x2+y2

dz

)

dx

)

dy

18

x y

z

y

z

√1 − x2

√1 − x2

Figura 17: Interseccao de dois cilindros perpendiculares. Cortes em x.

x y

z

x

y

0

0 < z = c < 1

x = −√

z2 − y2 x =√

z2 − y2


2.1.7 Um hiperboloide


S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 < z2 + 1; x > 0; y > 0; 0 < z < 1}.

Trata-se de um subconjunto aberto de R3 limitado pelos planos x = 0 ; y = 0 ; z =

0 ; z = 1 e pela superfıcie x2 + y2 = z2 + 1.

• Usando o integral iterado da forma∫

(∫

(∫

dx)dy)dz, fixamos 0 < z = c < 1 e,portanto,

S ∩ {z = c} = {(x, y, c) : x2 + y2 < c2 + 1; x > 0; y > 0}

ou seja, o corte S ∩ {z = c} e um quarto de cırculo centrado na origem e de raio√1 + z2 tal como se representa na figura 20.

19

x y

z

x

z

0

1

|y|

−1 < y = b < 1

z =√

x2 + y2

−√

1 − y2√

1 − y2


x y

z

1

11x2 + y2 = 1 + z2 x

y

0 < z = c < 1

√1 + z2

√1 + z2

x =√

1 − y2 + z2


De seguida fixamos y = b, com 0 < b <√

z2 + 1, e obtemos,

0 < z < 1; 0 < y <√

1 + z2; 0 < x <√

1 + z2 − y2.

Assim,

vol3(S) =

∫ 1

0

(

∫

√

1+z2

0

(

∫

√1+z2

−y2

0

dx

)

dy

)

dz

• Consideremos o integral iterado da forma∫

(∫

(∫

dy)dz)dx. Neste caso fixamos 0 <

x <√

2 e obtemos

S ∩ {x = a} = {(a, y, z) : y2 < z2 − a2 + 1; y > 0; 0 < z < 1}.

Portanto, devemos ter z2 − x2 + 1 > 0, ou seja z2 > x2 − 1.

20

x y

z

1

11x2 + y2 = 1 + z2


y y

z z

1 1

√x2 − 1

0 < x = a < 1 1 < x = a <√

2

y =√

1 + z2 − x2

y =√

1 + z2 − x2


Assim, se x = a < 1 entao z > 0 e 0 < y <√

z2 − x2 + 1.

Se x = a > 1 entao z >√

x2 − 1 e 0 < y <√

z2 − x2 + 1.

Nas figuras 21 e 22 apresentam-se os cortes em S com o plano x = a para os doiscasos acima descritos: 0 < x < 1 e 1 < x <

√2.

Destas figuras obtemos

vol3(S) =

∫ 1

0

(

∫ 1

0

(

∫

√

1+z2−x2

0

dy

)

dz

)

dx +

+

∫

√

2

1

(

∫ 1

√

x2−1

(

∫

√

1+z2−x2

0

dy

)

dz

)

dx.


(∫

(∫

dz)dy)dx, fixamos 0 < x = a <√

2 e obtemos

S ∩ {x = a} = {(a, y, z) : z2 > a2 + y2 − 1; y > 0; 0 < z < 1},

ou seja,

21

PSfrag

y y

z z

1 1

√1 − x2

√2 − x2√

2 − x2

0 < x = a < 1 1 < x = a <√

2

z =√

y2 + x2 − 1

z =√

y2 + x2 − 1


– Se x2 + y2 < 1 entao z > 0.

– Se 1 < x2 + y2 < 2 entao z >√

x2 + y2 − 1.

tal como se apresenta na figura 23.

Assim, temos

– Se x2 + y2 < 1, entao 0 < x < 1 ; y <√

1 − x2 e 0 < z < 1.

– Se x2 + y2 > 1 e 0 < x < 1 entao√

1 − x2 < y <√

2 − x2, e√

x2 + y2 − 1 <

z < 1.

– Se x2 + y2 > 1 e 1 < x <√

2 entao 0 < y <√

2 − x2 e√

x2 + y2 − 1 < z < 1.

Portanto,

vol3(S) =

∫ 1

0

(

∫

√

1−x2

0

(∫ 1

0

dz

)

dy

)

dx +

+

∫ 1

0

(

∫

√

2−x2

√

1−x2

(

∫ 1

√x2+y2

−1

dz

)

dy

)

dx +

+

∫

√

2

1

(

∫

√

2−x2

0

(

∫ 1

√x2+y2−1

dz

)

dy

)

dx

2.1.8 Uma bola

Seja S a bola de raio um e centro na origem em R3,

S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 < 1 }

Devido a simetria esferica de S basta considerar o integral iterado da forma∫

(

∫

(

∫

dx)dy)dz.

22

x y

z

x

y

√1 − z2

−√

1 − z2

√

1 − z2 − y2−√

1 − z2 − y2


Fixando −1 < z = c < 1 obtemos x2 + y2 < 1 − z2, ou seja, um cırculo centrado naorigem e com raio igual a

√1 − z2, tal como se representa na figura 24 e dado por

S ∩ {z = c} = {(x, y, c) : x2 + y2 < 1 − c2}= {(x, y, c) : |y| <

√1 − c2 ; |x| <

√

1 − c2 − y2.}

Portanto,

vol3(S) =

∫ 1

−1

(

∫

√

1−z2

−

√

1−z2

(

∫

√1−z2

−y2

−

√1−z2

−y2

dx

)

dy

)

dz

2.1.9 Parte de um toro

Neste exemplo vamos considerar o solido em R3 limitado por um quarto do toro de raios

R = 3 e r = 1 e pelos planos x = 0 e y = 0.

S = {(x, y, z) ∈ R3 : (

√

x2 + y2 − 3)2 + z2 < 1 ; x > 0 ; y > 0}


(∫

(∫

dx)dy)dz, fixamos −1 < z = c < 1 e obtemos

S ∩ {z = c} = {(x, y, c) : −√

1 − c2 <√

x2 + y2 − 3 <√

1 − c2 ; x > 0 ; y > 0}= {(x, y, c) : 3 −

√1 − c2 <

√

x2 + y2 < 3 +√

1 − c2 ; x > 0 ; y > 0}

tal como se representa na figura 25. De seguida devemos fixar a variavel y. Da figura25 fica claro que, devemos fixar 0 < y = b < 3 −

√1 − z2 ou 3 −

√1 − z2 < y <

3 +√

1 − z2.

23

x

y

z

x

y

−1 < z = c < 1

3 +√

1 − z2

3 −√

1 − z2


Portanto, o volume de S sera expresso pela soma de dois integrais

vol3(S) =

∫ 1

−1

(

∫ 3−√

1−z2

0

(

∫

√(3+

√

1−z2)2−y2

√(3−

√

1−z2)2−y2

dx

)

dy

)

dz

+

∫ 1

−1

(

∫ 3+√

1−z2

3−√

1−z2

(

∫

√(3+

√

1−z2)2−y2

0

dx

)

dy

)

dz.


(∫

(∫

dz)dx)dy, fixamos em primeiro lugar 0 < y =b < 4.

Note-se que para x = 0 temos

(y − 3)2 + z2 < 1

e, portanto 2 < y < 4.

Assim, devemos fixar 0 < y = b < 2 ou 2 < y = b < 4 como se representa na figura 26.Note-se que o caso 2 < y = b < 4 se apresenta subdividido em dois: 2 < y = b < 3e 3 < y = b < 4. Esta subdivisao e relevante para o calculo do integral iterado daforma

∫

(∫

(∫

dx)dz)dy que nao sera considerado nestas notas.

Para 0 < y = b < 2, obtemos√

4 − y2 < x <√

16 − y2

e

−√

1 − (√

x2 + y2 − 3)2 < z <

√

1 − (√

x2 + y2 − 3)2.

Para 2 < y = b < 4, obtemos

0 < x <√

16 − y2

24

x y

z

x xx

zzz 0 < y = b < 2 2 < y = b < 3 3 < y = b < 4

√

4 − y2

√

16 − y2√

16 − y2√

16 − y2


e, tal como anteriormente,

−√

1 − (√

x2 + y2 − 3)2 < z <

√

1 − (√

x2 + y2 − 3)2

Portanto,

vol3(S) =

∫ 2

0

∫

√16−y2

√4−y2

∫

q

1−(√

x2+y2−3)2

−

q

1−(√

x2+y2−3)2

dz

dx

dy +

+

∫ 4

2

∫

√16−y2

0

∫

q

1−(√

x2+y2−3)2

−

q

1−(√

x2+y2−3)2

dz

dx

dy

***

25

Referencias

[1] Tom M. Apostol. Calculus II. Editorial Reverte, SA, 1977.

[2] J. E. Marsden and A. J. Tromba. Vector Calculus. W. H. Freeman and Company, 1998.

26

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