Física Teorica 2

CLASE 13 . TEORIA DE PERTURBACIONES

DEPENDIENTE DEL TIEMPO

J. E. Miraglia

Departamento de Física. Facultad de Ciencias Exactas

y Naturales. Universidad de Buenos Aires. Argentina.

(Dated: June 1, 2017)

Abstract

REPASO. PERTURBACIONES INDEPENDIENTE DEL TIEMPO

PERTURBACIONES DEPENDIENTE DEL TIEMPO. Serie perturbativa. Regla de oro de

Fermi. Generalización.

VIDA MEDIA DE ESTADOS EXCITADOS. Decaimiento radiativo y el ppio de incerteza

SERIE PERTURBATIVA PARA EL CONTINUO DEPENDIENTE DEL TIEMPO

MATERIAL ADICIONAL

APENDICE 1. Resolución del sistema de las ecuac. diferenciales

APENDICE 2. Integral de interés

APPENDICE 3. Depleation

Falta: Debería acortar el Apendice 1 es muy largo! y no introduce nada nuevo. falta ortografía

PACS numbers:

1

I. REPASO. PERTUBACIONES INDEPENDIENTE DEL TIEMPO

Primero resumimos lo que vimos en teoria de perturbaciones independiente del tiempo

Se comenzó considerando el siguiente Hamiltoniano

H = H0 + λW, (1)

donde H0 es un Hamiltoniamo cuyo conjunto completo! de autofunciones{ϕ(0)n

}y au-

tonenergías{E(0)n

}son conocidas; esto implica también el continuo si lo hubiese!. Sabemos

que

H0ϕ(0)n = E(0)

n ϕ(0)n , (2)

y λW = λW (r) es una pequeña distorción (al final se hace λ = 1). Nos propusimos calcular

el conjunto de autofunciones {ϕn} y autonenergías {En} de H, o sea

Hϕn = (H0 + λW )ϕn = Enϕn, (3)

y recurrimos a la serie perturbativa

ϕn = ϕ(0)n + λϕ(1)n + λ2ϕ(2)n + ..., (4)

En = E(0)n + λE(1)

n + λ2E(2)n + ..., (5)

y así obtuvimos los primeros ordenes. La degeneración fué tratada aparte y se la redujo a

la diagonalización dentro del especio degenerado.

II. PERTURBACIONES DEPENDIENTE DEL TIEMPO

Consideremos ahora,

H = H0 +W, W =W (r, t), (6)

donde hicimos directamente λ = 1. Pensamos siempre en una partícula pero su general-

ización a muchas es inmediata.

Notesé la dependencia temporal de W. En ppio será una condición que W (r, t) comience

en t = 0 y termine en t = τ f , o sea

W (r, t) =

= 0, t < 0

�= 0, 0 < t < τ f

= 0, t > τ f

, (7)

2

volveremos sobre este punto.

Definiendo las funciones no perturbadas dependinete del tiempo

ψ(0)n (−→r , t) = e−iωntϕ(0)n (

−→r ), (8)

ωn =E(0)n

�, y (9)

H0ϕ(0)n = E(0)

n ϕ(0)n , con (10)⟨ϕ(0)n |ϕ(0)k

⟩= δn,k. (11)

Las autofunciones ψ(0)n (−→r , t) satisfacen las ecuaciones de Schrodinger dependiente del tiempo

usuales

i�d

dtψ(0)n (

−→r , t) = H0ψ(0)n (−→r , t), con (12)

⟨ψ(0)n |ψ(0)k

⟩= eiωnkt

⟨ϕ(0)n |ϕ(0)k

⟩= δn,k, (13)

⟨ψ(0)n |H0|ψ(0)k

⟩= eiωnkt

⟨ϕ(0)n |H0|ϕ(0)k

⟩= E(0)

n δn,k, (14)

ωnk =E(0)n − E

(0)k

�. (15)

Como anteriormente, pretendemos encontrar la soluciones ψi(−→r , t), tal que sea la solución

de la ecuación de Schrodinger

i�d

dtψi(−→r , t) = Hψi(

−→r , t), con la condición (16)

ψi(−→r , t = 0) = ψ

(0)i (−→r , t = 0). (17)

Notemos que ψi(−→r , t) se desarrolle a partir de ψ

(0)i (−→r , τ i) esa es la razón del subindice

iSeguimos la rutina anterior, proponemos como solución una combinación de estados no

perturbados

ψi(−→r , t) =

∑

j=0

cj(t) ψ(0)j (−→r , t). (18)

Notese que ahora cj(t) son funciones explicitas del tiempo, con la condición

cj(t = 0) = δj,i. (19)

Reemplazando (18) en (16)

∑

j=0

cj(t)

H0ψ(0)j (−→r ,t)

︷ ︸︸ ︷i�

d

dtψ(0)j (−→r , t) +

∑

n=0

i� ψ(0)n (−→r , t)

d

dtcn(t)

=∑

j=0

cj(t) H0ψ(0)j︸ ︷︷ ︸(−→r , t) +

∑

n=0

cn(t)Wψ(0)n (−→r , t). (20)

3

FIG. 1:

Simplificando el 1er termino de la LHS con el 1ro de la RHS,

∑

n=0

i� ψ(0)n (−→r , t)

d

dtcn(t) =

∑

n=0

cn(t)W (−→r , t)ψ(0)n (−→r , t), (21)

pre× por ψ(0)j (−→r , t) e integrando, resulta

i�d

dtcj(t) =

∑

n=0

eiωjntWjn(t) cn(t), con (22)

Wjn =⟨ϕ(0)j |W (r, t)|ϕ(0)n

⟩=Wjn(t), (23)

y este es la solución del problema en la base dada, y debería ser exacto en la medidad que la

Σn sea completa incluyendo el continuo. En definitiva el problema está terminado: numéri-

camente debo resolver un sistema de ecuaciones acopladas de primer orden con condiciones

iniciales conocidas. El problema es que, en ppio, por completitud deberían ser infinitas

ecuaciones. En la práctica se la resuleve en una base finita.

A. Serie perturbativa

Ahora podemos hacer el mismo truco de siempre, proponer una serie en términos de Wn

cn(t) = c(0)n (t) + c(1)n (t) + c(2)n (t) + ....., (24)

4

reemplazando en (22), tenemos en de W ,

W 0) i�d

dtc(0)j (t) = 0, (25)

W 1) i�d

dtc(1)j (t) =

∑

n=0

eiωjntWjn(t) c(0)n (t), (26)

W r) i�d

dtc(r)j (t) =

∑

n=0

eiωjntWjn(t) c(r−1)n (t). (27)

Sabiendo las condiciones iniciales c(0)j (t) = δj,i, entonces el primer orden es simplemente

d

dtc(1)j (t) =

1

i�eiωjitWji (t)× 1, (28)

c(1)j (t) =

1

i�

t∫

0

dt′ eiωjit′

Wji(t′) =

1

i�

t∫

0

dt′ eiωjit′

⟨ϕ(0)j |W (r, t)|ϕ(0)i

⟩, (29)

y el segundo orden

c(2)j (t) =

1

i�

∑

n=0

t∫

0

dt′ eiωjnt′

Wjn(t′)

c(1)n (t)︷ ︸︸ ︷

1

i�

t′∫

0

dt′′ eiωnit′′

Wni(t′′). (30)

Notesé que, c(1)j ∝W 1, c

(2)j ∝W 2, como era de esperar.

En todo momento se define la amplitud Afi(t) y probabilidad de transición Pfi(t)

Afi(t) =⟨ψ(0)f (−→r , t)|ψi(−→r , t)

⟩= eiωfitcf(t), Amplitud, (31)

Pfi(t) = |Afi(t)|2 =∣∣eiωfitcf(t)

∣∣2 = |cf(t)|2 Probabilidad. (32)

La cantidad

limt→∞

Pfi(t) = Pfi(∞), (33)

representa la probabilidad de transición al estado f (luego de apagarse la perturbación ,

esto es para t >> τ f ) cuando originariamente estaba en el estado i en t = 0. Y este es el

resultado de interés.

B. Regla de oro de Fermi

Este tema hay que tratarlo con cuidado. Supongamos por un instante que el término

W (r, t) = W (r) y entonces

Wfi =⟨ϕ(0)f |W (r)|ϕ(0)i

⟩=Wfi, (34)

5

Wfi es independiente del tiempo, y

Pfi(t→∞) = |cf(t→∞)|2 =∣∣∣∣Wji

�

∣∣∣∣2

limt→∞

∣∣∣∣∣∣

t∫

0

dt′ eiωfit′

∣∣∣∣∣∣

2

, (35)

y este limite no existe: diverge! En estas circusntancias uno está interesado en la probabil-

idad de transición por unidad de tiempo que resultará ser constante. Veamosló en primer

orden perturbativo como aplicación sencilla (sale también de la teoría formal en forma ex-

acta)

dPfi(t)

dt=

d

dt

∣∣∣c(1)f (t)∣∣∣2

=d

dt

[c(1)f (t)c

(1)∗f (t)

]= c

(1)f (t)

d

dtc(1)∗

f (t) + c.c., (36)

=

1

i�

t∫

0

dt′ eiωjit′

Wji

︸ ︷︷ ︸c(1)f(t)

(1

−i�e−iωjitW ∗

ji

)

︸ ︷︷ ︸ddtc(1)∗

f

+ c.c., (37)

=

∣∣∣∣Wji

�

∣∣∣∣2

I(t), (38)

I(t) =

t∫

0

dt′ eiωji(t′−t) +

t∫

0

dt′ e−iωji(t′−t), (39)

substituyendo t′′ = t′ − t en la primera integral y t′′ = −t′ + t en la segunda

I(t) =

0∫

−t

dt′′ eiωjit′′

+

t∫

0

dt′′ eiωjit′′

=

t∫

−t

dt′′ eiωjit′′

, (40)

limt→∞

I(t) =

∞∫

−∞

dt′′ eiωjit′′

= 2πδ(ωji), (41)

= 2πδ

(E(0)i −E

(0)j

�

)= 2π� δ

(E(0)i − E(0)

j

), (42)

y así llegamos a la famosísima regla de oro de Fermi

dPfi(t)

dt=2π

�δ(E(0)i − E

(0)j

)|Wji|2 . (43)

Una de las ecuaciónes mas importante de la cuántica.

6

C. Generalización

Es obvio que si tenemos una dependencia en el tiempo del tipo

W (r, t) = W (r) exp(±iωpht), (44)

Wfi(t) =⟨ϕ(0)f |W (r, t)|ϕ(0)i

⟩=

⟨ϕ(0)f |W (r)|ϕ

(0)i

⟩exp(±iωpht), (45)

= Wfi exp(±iωpht), (46)

la regla de oro de Fermi queda

dPfi(t)

dt=2π

�δ

E(0)

i ±Eph︷︸︸︷�ωph −E(0)

j

|Wji|2 . (47)

Que es la expresión que se usa en interacción materia radiación que incluye fenomenos tales

como: efecto fotoelectrico, efecto Compton, decaimiento radiativo, bremsstrahlung, etc, en

donde �ωph = Eph es la energía del photon incidente o saliente, o sea

Eph = ±(E(0)i − E

(0)j ). (48)

La energía del photon Eph = �ωph, en fisica 4 generalmente se escribe en la forma en la cual

la introdujo Einstein: Eph = hν, que sale de hacer

Eph = �ωph = �ckph =h

2π

λ

τ

2π

λ= h

1

τ= hν. (49)

III. VIDA MEDIA DE ESTADOS EXCITADOS (DUMPING PHENOMENA)

Vamos a suponer que la amplitud correspondiente al estado ϕ(0)0 sea

c(0)0 (t) = 0, para t < 0− ǫ, ǫ→ 0

c(0)0 (t) = 1, para t < 0 + ǫ

, (50)

Por alguna razón que aquí no importa, en t = 0 se puebla un estado no perturbado ϕ(0)0

con energía E0. La población del estado ϕ(0)0 pudo haber sido ocacionada por una colisión

o impacto de un laser ultracorto, donde el tiempo de excitación sea muy pequeño; digamos

del orden de 10−16 segundos. Ese estado va a decaer y por lo tanto tendrá una vida media.

En este item vamos a cálcular esa vida media. Tenemos en mente, por ejemplo, un átomo

7

de hidrógeno que originariamente estaba en el estado incial fundamental H(1s), y que por

efecto de una colisión el átomo es excitado a un estado digamos H(2p). Este estado por la

interacción con el campo electromagnético emite un foton y decae al estado fundamental

H(1s). Nos preguntamos: cual es el tiempo de vida del estado 2p?.

Seguimos el formalismo de Heitler (p 163). Partimos de las ecuaciones generales modifi-

cadas

i� ddtc0(t) =

∑

n=0

eiω0ntW0n(t) cn(t) + i�δ(t)

i� ddtcn(t) = eiωn0tWn0(t) c0(t),

, (51)

en donde hemos introducido la δ(t) para explicitar la fuente de excitación en t = 0. Para

chequear que todo esta bién hagamos la integración de la ecuación (51) en el rango {−ǫ,+ǫ}ǫ∫

−ǫ

i�d

dtc0(t) =

ǫ∫

−ǫ

∑

n=0

eiω0ntW0n cn(t) +

ǫ∫

−ǫ

i�δ(t), (52)

i� (c0(+ǫ)− c0(−ǫ)) =∑

n=0

W0n(0) cn(0)2ǫ+ i�1, (53)

cuando ǫ→ 0,

c0(+ǫ)− c0(−ǫ) = 1, =⇒

c0(−ǫ) = 0

c0(+ǫ) = 1, (54)

o sea una step funtion. Con lo cual verificamos que la inclusión det término i�δ(t) satisface

el requerimiento dado por la Eqs. (50), y Eqs. (51), esto es la presencia de la fuente (o sea

hemos modelizado matemáticamente la excitación debido a un proceso externo).

Notemos que approximamos en (51) la repoblación del estado n sólo por el estado n = 0.

Es una aproximación razonable ya que c(0)n (t = ǫ) = δn0, por lo que vale a bajo tiempos.

La solución del sistema de ecuaciones (51) requiere alguna manipulación que la desarrol-

lamos en el APENDICE 1 (es muy largo no vale la pena). De última se reduce a resolver un

simple sistema de ecuaciones en primer orden, que bajo ciertas aproximaciones se pueden

considerar a coeficientes constantes. Otra forma, menos elegante pero mas simple, se pre-

senta en el APPENDICE 3 La solución es

c0(t) ≃ exp[−ℏΓ2t

]= exp

[−ℏΓr + iΓi

2t

], (55)

8

con

Γr ≃ +2π

�

∑

n�=0

δ(E(0)0 − E(0)

n

)|Wn0|2 > 0, (56)

Γi ≃2

�W00. (57)

La probabilidad es la amplitud al cuadrado, entonces

P0(t) = |c0(t)| = exp [−Γrt] = exp[− t

τ

]. (58)

Derivandod

dtP0(t) = −ΓrP0(t) = −

1

τP0(t), (59)

es por esta razón a ℏΓr se llama probabilidad de transicion por unidad de tiempo y a su

inversa τ la vida media ya que [τ ]=seg.

A continuación doy algunos valores para hidrógeno (de BJ p. 183)

H(2p) τ = 0.16× 10−8 segs.H(3s) τ = 16.0× 10−8 segsH(3p) τ = 0.54× 10−8 segsH(3d) τ = 1.56× 10−8 segsH(4s) τ = 23.0× 10−8 segsH(4p) τ = 1.24× 10−8 segsH(4d) τ = 3.65× 10−8 segsH(2s) τ = 1/7 segs

(60)

A. Decaimiento radiativo y el ppio de incerteza

Volvamos a nuestro caso

ψ(0)0 (−→r , t) = e−i

E(0)0�tϕ(0)0 (−→r )× 1, 0 = H(2p), (61)

ψ(0)n (−→r , t) = e−i

E(0)n�tϕ(0)n (

−→r ) e−iǫph

�t

︸ ︷︷ ︸fotón

, n = H(1s), (62)

9

E(0)0 = ε2p = −3.4 eV, estado inicial, (63)

E(0)n = ε1s + ǫph, (64)

εn = ε1s = −13.6 eV estado final mas probable, (65)

ǫph = �ωph = energía del fotón, por lo que, (66)

ω0n =

E(0)0︷︸︸︷

(ǫ2p)−E(0)n︷ ︸︸ ︷

(ǫ1s + Eph)

�. (67)

Haciendo ωn0 = 0, estamos en la conservación de la energía, ya que

ǫ2p︸︷︷︸E0

= ǫ1s + ǫph︸ ︷︷ ︸En

. (68)

En este caso los perfiles en ω (recordar ω = E/ℏ) que será

c̃0(ω) =

∞∫

−∞

dt√2π

e+iωtc0(t) =

∞∫

−∞

dt√2π

e+iωt exp

[−Γ2t

]Θ(t),

=i√2π

1

ω + iΓ2

.

Nos interesa la probabilidad por lo que

|c̃0(ω)|2 =∣∣∣∣∣

i√2π

1

ω + iΓ2

∣∣∣∣∣

2

=1

2π

1(ω + iΓr

2− Γi

2

) 1(ω − iΓr

2− Γi

2

) (69)

=1

2π

1(ω − Γi

2

)2+ Γ2r

4

, (70)

donde hemos separado parte real e imaginaria, o sea Γ = Γr + iΓi. Evaluandolo en la

conservación de la energía

ω = ω0n =

E(0)0︷︸︸︷

(ǫ2p)−E(0)n︷ ︸︸ ︷

(ǫ1s + ǫph)

�

|c̃0(Eph)|2 =�2

2π

1(ǫ2p − ǫ1s − ǫph − ℏΓi

2

)2+ ℏ2Γ2r

4

. (71)

Como Γ es muy pequeño podemos decir que luce como una delta functión centrado en

ǫph ≃ (ǫ2p − ǫ1s) ≃ 10.2eV (72)

Si le damos a Γ una magnitud determinada. entonces el pico no es una delta sino que tiene

un semiancho de ℏΓr/2. Notesé además que en realidad la posición del pico esta corrida

en una cantidad ℏΓi/2: a este término se lo llama autoenergía

10

IV. SERIE PERTURBATIVA PARA EL CONTINUO DEPENDIENTE DEL TIEMPO

Nos queda encontrar una serie para el continuo dependiente del tiempo. Como es usual

en este caso tenemos

i�d

dtΨ−→K(−→r , t) = HΨ−→

K(−→r , t) = (H0 + V (r, t))Ψ−→

K(−→r , t), (73)

H0 = − �2

2µ∇2r, (74)

H0Ψ−→K (−→r , t) = E0Ψ

(0)−→K(−→r , t), (75)

E0 =�2K2

2µ= �ω0, (76)

Ψ(0)−→K,ω0

(−→r , t) =exp(i

−→K · −→r )

(2π)3/2︸ ︷︷ ︸Ψ(0)−→K(−→r )

exp (−iω0t)√2π

. (77)

Vamos al espacio doble Fourier en {r, t} → {k, ω}

˜̃f(−→k , ω) =

∫ +∞

−∞

dt√2π

∫d−→r(2π)3/2

exp(−i−→k .−→r + iωt) f(−→r , t) , y su antitransformada(78)

f(−→r , t) =

∫ +∞

−∞

dω√2π

∫d−→q(2π)3/2

exp(+i−→k .−→r − iωt)

˜̃f(−→q , ω) (79)

Para el caso Ψ(0)−→K,ω0

(−→r , t), resulta

˜̃Ψ(0)−→K,ω0

(−→k , ω) = δ(

−→K −−→k )δ (ω − ω0) . (80)

Entonces la ec. de Lipppman Schwinger queda

˜̃Ψ±

−→K,E0

(−→k , ω) =

˜̃Ψ(0)−→K,E0

(−→k ,ω)

︷ ︸︸ ︷δ(−→K −−→k )δ

(ω − E0

�

)+

1

�ω − �2k2

2µ± iε

, (81)

×∫ ∫ +∞

−∞

d−→k′ dω′

(2π)2˜̃Ψ±

−→K,E0

(−→k′ , ω′)

˜̃V (−→k −

−→k′ , ω − ω′).. (82)

Como es constumbre podemos reciclar˜̃Ψ(0)−→K,E0

y obtener

˜̃Ψ±

−→K,ω0

(−→k , ω) =

˜̃Ψ(0)−→K,ω0

(−→k , ω) +

˜̃Ψ(1)−→K,ω0

(−→k , ω) +

˜̃Ψ(2)−→K,ω0

(−→k , ω) + ....., (83)

11

y en primer orden es simplemente

˜̃Ψ±(1)−→K,ω0

(−→k , ω) =

1

(2π)21

�ω − �2k2

2µ± iε

˜̃V (−→k −−→K,ω − ω0) , (84)

y así suces.

===============================================

MATERIAL ADICIONAL===============================================

V. APPENDICE 1. RESOLUCIÓN DEL SISTEMA DE LAS ECUAC. DIFEREN-

CIALES

Sigo a Heitler (pag 165).Como es usual vamos al espacio Fourier del tiempo y su anti-

transformada

c(t) =

∞∫

−∞

dω′√2π

e−iω′tc̃(ω′)

c̃(ω′) =

∞∫

−∞

dt√2π

e+iω′tc(t)

. (85)

Entonces la Eqs(51) ) queda

i�d

dt

cn(t)︷ ︸︸ ︷∞∫

−∞

dω′√2π

e−iω′tc̃n(ω) = eiωn0tWn0

c0(t)︷ ︸︸ ︷∞∫

−∞

dω′√2π

e−iω′tc̃0(ω

′), (86)

i�

∞∫

−∞

dω′√2π

e−iω′t (−iω′) c̃n(ω

′) =

∞∫

−∞

dω′′√2π

e−iω′′tWn0c̃0(ωn0 + ω′′), (87)

donde hemos hecho una sustitución en la variable de integración de la derecha

ω′′ → ω′ − ωn0. (88)

Como vale para todo tiempo entonces vale la igualdad de los integrandos

c̃n(ω′) =

1

�ω′Wn0c̃0(ωn0 + ω′). (89)

12

La otra ecuación Eq(51) ) queda

i�d

dt

c0(t)︷ ︸︸ ︷∞∫

−∞

dω′√2π

e−iω′tc̃0(ω) =

∑

n=0

eiω0ntW0n

cn(t)︷ ︸︸ ︷∞∫

−∞

dω′√2π

e−iω′tc̃n(ω

′) + i�

δ(t)︷ ︸︸ ︷∞∫

−∞

dω′

2πe−iω

′t, (90)

∞∫

−∞

dω′√2π

e−iω′t

[[i�(−iω′)]c̃0(ω

′)−∑

n=0

W0nc̃n(ω′ + ω0n)−

i�√2π

]= 0. (91)

Analogamente igualando los integrandos podemos escribir y usando el hecho que ω00 = 0,

(�ω′ −W00) c̃0(ω′)−

∑

n�=0

W0nc̃n(ω′ + ω0n) =

i�√2π

, (92)

Usando la expresión de c̃n según la expresión (??)

(�ω′ −W00) c̃0(ω′)−

∑

n�=0

W0n

c̃n(ω′+ω0n)︷ ︸︸ ︷(Wn0c̃0(ωn0 + ω′ + ω0n)

� (ω′ + ωn0)

)=

i�√2π

. (93)

Como ωn0 + ωn0 = 0, luego

c̃0(ω′)

[(�ω′ −W00)−

∑

n�=0

W0nWn0

� (ω′ + ωn0 + iε)

]=

i�√2π

,

donde introducimos el infinitésimo ε→ 0+ para sacar la singularidad

c̃0(ω′) =

i√2π

1

ω′ − W00

�−

∑

n�=0

W0nWn0

�2(ω′+ωn0+iε)

, (94)

=i√2π

1

ω′ + i2

[iW00

�+ i

∑

n�=0

W0nWn0

�2 (ω′ + ωn0 + iε)

]

︸ ︷︷ ︸Γ/2

, (95)

c̃0(ω′) =

i√2π

1

ω′ + iΓ2

, (96)

Γ

2=Γ(ω′)

2= i

W00

�+ i

∑

n�=0

|W0n|2�2 (ω′ + ωn0 + iε)

= Γr + iΓi, (97)

donde hemos hecho W0nWn0 = |W0n|2 . Nos preguntamos cual es la parte real y la parte

imaginaria de Γ. Sabiendo que

1

(ω′ + ωn0 + iε)= PP

(1

ω′ + ωn0

)− iπδ (ω′ + ωn0) , (98)

13

entonces

Γr = +2π

�2

∑

n�=0

δ (ω′ + ωn0) |Wn0|2 , y (99)

Si hacemos ω′ ≃ 0 (alrededor de la conservación de la energía), entonces

Γr ≃∑

n�=0

2π

�2δ

(En −E0

ℏ

)|Wn0|2 , (100)

≃ 2π

�

∑

n�=0

δ (En −E0) |Wn0|2 , (101)

que tiene la misma estructura que la regla de oro de Fermi!.

Por otra parte la parte imaginaria es

Γi ≃2

�W00 +

2

�2

∑

n�=0

PP

(1

ωn0

)|Wn0|2 (102)

≃ 2

�W00 (103)

Como ahora Γ es (aproximadamente) independiente ω′,podemos obtener la amplitud del

estado inicial como función del tiempo

c0(t) ≃∞∫

−∞

dω′√2π

e−iω′t

c̃0(ω′)︷ ︸︸ ︷i√2π

1

ω′ + iΓ2

Θ(t), (104)

y usando la integral del APENDICE 2, nos da

c0(t) ≃ exp[−Γ2t

]= exp

[−Γr + iΓi

2t

], (105)

VI. APPENDICE 2. INTEGRAL DE INTERÉS

Consideremos la siguiente representación integral

1

ω′ + i2(Γr + iΓi)︸ ︷︷ ︸

Γ

=1

ω′ − Γi2+ iΓr

2

= −i

∞∫

0

du exp[−Γr2u+ i(ω′ − Γi

2)u],

14

que resulta válido si Γr2>0. Entonces

I =

∞∫

−∞

dω′√2π

e−iω′t i√2π

1

ω′ − Γi2+ iΓr

2

Θ(t),

=(−i) i

2π

∞∫

0

du exp

[−Γr2u

] ∞∫

−∞

dω′ exp[−iω′t+ i(ω′ − Γi2)u],

=1

2π

∞∫

0

du exp

[−Γr2u− i

Γi2u

] ∞∫

−∞

dω′ exp[−iω′t+ iω′u]

︸ ︷︷ ︸2πδ(t−u)

,

= exp

[−Γ2t

],

VII. APPENDICE 3. DEPLEATION

Como hemos visto, el estado inicial se despuebla (depleation) según la formula c0(t) ≃exp [−Γt/2]. Una forma de derivar mas facilmente esta expresión es usando la master equa-

tion . [o sea despreciamos los elementos de interferencias cuántica: formalmente esto esta

mal! pero nos servirá La master equation fue introducida por Pauli y no deviene de la

mecánica cuántica!, sino de la teoría de la probabilidad como si fuera un proceso estocástico].

La master equation nos dice (usamos unidades atómicas)

d

dtPi(t) =

∑

j �=1

Pj(t)d W+

j→i

dt−

∑

n�=i

Pi(t)d W+

i→n

dt, (106)

donde no hemos tenido en cuenta la autointeracción (j = i, o n = i, por lo que no voy a tener

la autoenergía). Aquí hemos puesto la flecha para recordar el sentido de la transición. La

interpretación es muy simple y lógica, y tiene un gran rango de aplicación. La probabilidad

que crezca la población i, Pi(t) = |ci(t)|2 es directamente proporcional a la probabilidad porunidad de tiempo que la pueblen otros estados j por la población de dichos estados j. A esto

hay que restarle la probabilidad que decrezca la población i ya que puebla otros estados n.

Es la misma ecuación de depredador-depredado. La solución es una suma de exponenciales

que dan lugar a las así llamadas cascadas. En particular si despreciamos la repoblación

15

Pj(t) = 0, y sólo consideramos la despoblación del estado i = 0,queda en nuestra notación

d

dtP0(t) = −P0(t)

∑

n�=i

(d W+

0→n

dt

)

︸ ︷︷ ︸Γ0=cte

= −Γ0P0(t), (107)

que puede resolverse analíticamente dando lugar a la solución

P0(t) = exp(−Γ0t). (108)

Como

P0(t) = |c0(t)|2, (109)

con Γ0 ∈ Re, resulta quec0(t) = exp(−tΓ0/2), (110)

que es lo que usamos. Hemos definido

Γ0 =∑

n

(d W+

0→n

dt

). (111)

Por la regla de oro de Fermi, sabemos que

d W+0→n

dt=2π

�δ(E(0)0 − E(0)

n

)|Wn0|2 , (112)

por lo que

Γ0 =2π

�

∑

n

δ(E(0)0 − E(0)

n

)|Wn0|2 , (113)

que coincie con (101). En esta derivación (muy simple) no sale la autoenergía.

16