1

1

Física 3 – ECyT – UNSAM2015

Introducción al electromagnetismoDocentes:Diego RubíSalvador Gil

www.fisicarecreativa.com/unsam_f3

Clases 3 y 4

Campo y Potencial Eléctrico Ley de Gauss

2

Ley de Gauss

Clase 3� Revisión de los visto� Campo Eléctrico� Concepto de flujo de un campo

vectorial� Ley de Gauss- Ley fundamental� Aplicaciones

3

Leyes básicas

�Ley de Coulomb – Gauss Las cargas eléctricas se atraen o repelen

�Ley de Gauss Magnetismo – No hay polo magnéticos aislados

2

21Fd

qqK

e

⋅=

2

4

Leyes básicas

�Ley de Ampere – Las corrientes generan campos Magnéticos

�A Ley de Inducción de Faraday –Un campo magnético variables (flujos variable) genera un campo eléctrico o tensión

5

Propiedades de las cargasConservación de la carga

Cuantización de la carga

Ley de Coulomb

Principio de superposición

La materia es de naturaleza esencialmente eléctrica, de hecho es la fuerza eléctrica la que liga los electrones al núcleo

2

21

0

2

2112

4

1

d

qq

d

qqkF e

⋅=

⋅=

πε

6

Comparación entre las Fuerzas Eléctricas y Gravitacionales.

� Junto a las fuerzas nucleares (Fuertes y débiles) son las cuatro fuerzas básicas del universo.

� Hay una gran semejanza matemática de la Ley de Coulomb y la Ley de Gravitación Universal de Newton.

� Semejanzas en r2 semejanzas en los productos mAmB y qAqB� Diferencias en las constantes� Diferencias en los signos.

2

21

r

qqkF

ee

⋅= 2

21

r

mmGFe

⋅=

3

7

Comparación entre las Fuerzas Eléctricas y Gravitacionales

Átomo de hidrógeno� K=8.99 109 N/m2c2

� G=6.67 10-11 N/m2kg2

� Me=9.11 10-31 kg

� Mp=1.67 10-27 kg

� e= 1.6 10-19C

2

21

r

qqkFe

⋅=

2

21

r

mmGFe

⋅=

Fe(N)= 8.2 10-8 N

Fg(N)= 3.6 10-47 N

Fe/Fg= 4.4 x 10-40

Las interacciones Eléctricas son Muchísimas más fuertes que las gravitatorias

8

Por lo tanto, la fuerza resultante sobre qa será

..+++= adacaba FFFFrrrr

∑=i

ai

ai

ia rr

qkq r

2

o escrita de la siguiente forma:

∑=i

ai

ai

iaa r

r

qqF

rr

3

04

1

πε

Principio de superposición

Superpoción Lineal de las Fuerzas

∑∑ ==i

i

i

i

i

iTotal rr

qkEE

rrr

3dq

r

rkEdETotal ∫∫ ==

3

rrr

9

CAMPO ELÉCTRICO

Campo Eléctrico;Fuerza por unidad decarga que se ejerce enun punto P de espaciosobre una carga de prueba

q0

CAMPO ELÉCTRICO de UNA CARGA PUNTUALQ0Q

Q0, carga de prueba 0q

FE

rr

=

EqFrr

⋅= 0rr

QE ˆ

4

12

0πε=

r

2

0

04

1

r

qQF

⋅=

πε

4

10

Líneas de Campo Eléctrico

�Idea introducida por Faraday.�Las líneas de campo en cada punto tienen la dirección del campo.

�El número de líneas por unidad de área, es proporcional a la intensidad del campo.

�Dan una idea grafica de la dirección e intensidad del campo

11

Fotocopias e Impresoras LáserFotocopiadora Impresora Láser

Cilindro Fotosensible

�El cilindro se carga

�La imagen reflejada descarga selectivamente

�El tonner se pega en la zona cargada

12

Dos cargas positivas

Dipolo eléctrico

Líneas de campo

Plano simetría

Plano simetría

Plano simetría

5

13

Simetría� Teorema: El Campo eléctrico siempre esta contenido en el plano de simetría de una distribución de cargas

+ +

Plano de simetría

Plano de simetría

E E

+

+ +

14

Líneas de campo en esferas y planos

Esfera con carganegativa

Plano positivo

Simetría esférica Simetría planar

Plano simetría

15

Permite calcular el campo creado por una distribución

de cargasr

r

rdqkr

r

qkE eii

i

ie

rr

r

∫∑ ⋅==→

33

)(

Distribuciones Continuas: densidades de carga :

�Volumétrica ρρρρ =dQ/dV, {C/m3}

�Superficial σσσσ =dQ/dA, {C/m2}

�Linealλλλλ =dQ/dL, {C/m}

Principio de superposición

SUMA

VECTORIAL

6

16

Campo eléctrico sobre el eje de un anillo cargado, Q, a

dE

dExθ

rr

dqEd ˆ

4

12

0πε=

r

2

04

1

r

addE

θλ

πε=

θαλ

πεcos

4

12

0 r

addEx =

αθλ

πε

π

dxa

aEx ∫+

=2

02/322

0 )(

cos

4

12/322

0

2/322

0 )(4

1

)(

cos

2

1

xa

xQ

xa

aEx

+

⋅=

+=

πε

θλ

ε

Simetría

λ=Q/2π.a

17

Campo eléctrico sobre el eje de un disco uniformemente

cargado.

2/322

0 )(4

1

xa

xdQdEx

+

⋅=

πε

2/322

0 )(

2

4

1

xa

xdaadEx

+

⋅⋅⋅⋅=

πσ

πε

+−=

+

⋅⋅= ∫ 22

00 2/322

0

12)(2 xR

x

xa

daaxE

R

xε

σ

ε

σ

σ =Q/πR2

Ex

18

Campo eléctrico sobre el eje de un disco uniformemente

cargado de radios R�∞

+−=

∞→ 220

12 xR

xLimER

xε

σ

Ex

02ε

σ=xE

El campo es contante

7

19

Campo entre dos placas paralelas

++++++++++++++++

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Superposición ï02ε

σ=xE

02ε

σ=xE

El campo uniforme confinado entre las placas

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

++++++++++++++++

0=xE

0=xE

0ε

σ=xE

20

Resumen de Campo Eléctrico

� El Campo Eléctrico es un campo vectorial.

� Líneas de Campo: en cada punto tiene la dirección y sentido de la fuerza eléctrica.

� Simetrías

� Es una propiedad del punto

� Para calcular el campo de una distribución-Superposición

� Densidad de carga: λ,σ, ρ

� Campo de un Dipolo: p=q.d

� Campo de una línea de carga , Anillo, Disco, etc.

eFErr

//

rr

rdqkr

r

qkE eii

i

ie

rr

r∫∑ ⋅==

→

3

)(3

Concepto de Flujo

Flujo ≈≈≈≈ Lat. Fluxus ≈≈≈≈ Fluir, manar.El flujo de un campo de velocidad

está asociado al caudal o volumen del liquido que para en la unidad de tiempo.

vA

v.dt Q=dVdt=

= A.v.dt/dt

Q=A.v.

8

Concepto de FlujoCaudal = volumen del

liquido que para en la unidad de tiempo.

Q=dV/dt=

= A.v.dt/dt

vA

v.dt

v

v.dt

Q=A.v.

A A’θ A=A’.cos θ

Q=A.v=A’.v.cosθ

vAQrr

⋅=

23

FLUJO o descarga de un líquido

AvAvv

rr⋅==Φ ) cos( θ

AvAvv

rr⋅=⋅=Φ

∫ ⋅=Φ Sdvv

rr

dtdAdtvdVv⋅Φ=⋅= ).(

Definición de FlujoCampo Vectorial

� La “cantidad” líneas de campo

que atraviesan una superficie imaginaria S.

� Si tenemos un campo vectorial,

podemos en general definir un flujo que pasa por una

superficie S, asociado a dicho campo, definido por:

∫∫ ⋅=ΦSB

SdBrr

),,( zyxBr

),,( zyxBr

),,( zyxBr

9

Flujo Eléctrico- Ley de Gauss

� Es la cantidad de “líneas de campo que atraviesan las superficie S.”� Unidades de Flujo E= N-m2/C

∫∫ ⋅=ΦSE

SdErr

El flujo eléctrico encerrado por una superficie cerradaes igual a la carga neta encerrada dividida εεεε0

Flujo Eléctrico- Ley de Gauss

� Si la superficie encierra una carga Q0∫∫∫∫∫∫ ==⋅=ΦSS

SE dS

rr

dSSdE

2

0

2

0

1

4

1

4

1

πεπε

rr

El flujo eléctrico encerrado por una superficie cerradaes igual a la carga neta encerrada dividida εεεε0

E

E

E

E Q0

0

02

2

0

0

44

1

επ

πε

Qr

r

QSdE

SE ==⋅=Φ ∫∫

rr

0

0

ε

QSdE

S=⋅∫∫

rr

27

Carl Friedrich Gauss 1777-1855Matemático, astrónomo

y físico alemán.

Contribuyó

significativamente en

muchos campos,

�teoría de números

�análisis matemático,

�geometría diferencial,

� geodesia,

� magnetismo

�óptica.

�"el príncipe de las

matemáticas"

�"el matemático más

grande desde la

antigüedad"

El cálculo de la órbita de Ceres

en 1801, como entretenimiento,

nombrado en 1807 director del

Observatorio Astronómico de

Göttingen

10

28

Flujo de campo

ε0Φ(S1)= +q

netaESqSdE =Φ=⋅∫ 00

εεrr

ε0Φ(S2)= -q

ε0Φ(S3)= 0

29

Ley de Gauss y Conservación de cargas

� Para un campo vectorial A cualquiera

)(sumideros fuentes de Intensidad. ∝∫∫S

SdArr

i=dq/dt ∫∫=s

SdJirr

.Q

Conservación de la carga

∫∫−=s

SdJdt

dQ rr.

J

J

J

J

30

Ley de Gauss del magnetismo

� No hay polos magnéticos aislados� Si B es campo magnético

� Como no hay polos magnéticos aislados

� Esta es ley de Gauss del magnetismo 0. =∫∫S

SdBrr

)(sumideros fuentes de Intensidad. ∝∫∫S

SdBrr

11

La ley de Gauss

La expresión anterior puede generalizarse para cualquier distribución de carga. El valor del la carga de segundo miembro es la carga neta interior a la superficie.

0

.ε

in

E

qSdE∫∫ =≡Φrr

La ley de Gauss y la ley de Coulomb tienen el mismo contenido físico. Sin embrago para caso no estáticos se considera al ley de Gauss como más fundamental. No tiene la implicancia de acción instantánea, implícitas en la ley de Coulomb.

Superficies GaussianasEs una superficie cerrada (imaginaria) que rodea una distribución de cargas.

0

.ε

qSdE

E ∫∫ =≡Φrr

0.∫∫ =≡Φ SdEE

rr

33

Ley de Gauss- Ley de Coulomb

� De la ley de Coulomb sabemos que:

� Por la simetría del problema:

� Ley de Gauss

∫∫∫∫ ⋅=⋅=Φ dSESdESE

rr

rr

qE ˆ

4

12

0πε

=r

ESdrr

//

Sdr

24 rEdSE

E⋅==Φ ∫∫ π

0/ εq

E=Φ

12

34

Ley de Gauss – ¿Cuándo se usa?

Sólo es útil para situaciones donde hay simetría.Hay que usar la simetría para saber dónde E es constante y cuál es su dirección.Hay que seleccionar una superficie cerrada en la cual E sea constante o donde el flujo sea cero (E perpendicular a la superficie).

Cuando conviene usar la ley de Gauss para calcular campos

� La Ley de gauss es de validez universal

� Es “útil” para calcular campo E, cuando por simetría podemos suponer que sobre una dada superficie E =constante y conocemos su dirección.

� Hay que seleccionar una superficie cerrada en la cual E sea constante o donde el flujo sea cero (E perpendicular a la superficie).

Ejemplo- Hilo delgado de cargaEste problema tiene Simetría cilíndrica.

• Tomamos una superficie Gauussina como se

ve el la figura.

• La carga encerrada es q=λλλλl

• Sobre las tapas ΦΦΦΦE=0, pues es

perpendicular a

• Sobre la cara lateral es paralelo a

• Por lo tanto

∫ =⋅⋅==Φ

π

ε

λπ

2

0

2o

rEEdSl

Sdr

dSEr

Er

Sdr

rE

λ

πε0

2

1=

rr

E

o

ˆ2

1 λ

πε=

r

13

37

Ley de Gauss- Campo de una placa plana

o

o

qEA

qAdE

ε

ε

=

=⋅∫∫rr

o

AAE

ε

σ=2

ε

σ

2=E

o

Eε

σ

2=

Ejemplo- Esférica maciza con una distribución uniforme de carga

Radio a

ra

∫∫∫ ==⋅=ΦSSSEdSEdSESdE ..

rr

2)( 4

1

r

QE

o

ar⋅=

> πε

r

a

r > a

0

2/4. επ QrE

E=⋅=Φ

1/r2

Ejemplo- Esférica maciza con una distribución uniforme de carga

Radio a

E

r a

∫∫∫ ==⋅=ΦSSSEdSEdSESdE ..

rr

ra

QE

o

ar 3)(4

1⋅=<

πε

r < a

3

3

0

24.

a

rQrE

E επ =⋅=Φ

2)( 4

1

r

QE

o

ar⋅=

> πε

14

Ejemplo- Placa plana cargadaEsfera cargada uniformemente

E rr a

o

< =ρ

ε3E

a

rr a

o

> =ρ

ε

3

23

Palca plana con distribución

de carga uniforme

E

o

=σ

ε2

41

00

12

ε

σ

ε

σ==E

Dos placas conductoras

cargadas

Conclusiones

� La ley de Gauss es útil para determinar campos cuando hay simetría en el problema

� Ojo, Pero su validez es universal.

15

43

Agradecimiento

Algunas figuras y dispositivas fueron tomadas de:

� Clases de E. y M.de V.H. Ríos – UNT Argentina

� Clases E. y M. del Colegio Dunalastair Ltda. Las Condes, Santiago, Chile

� Ángel López

FIN