FS-415 Electricidad y Magnetismo II UNAH

Universidad Nacional Autónoma de Honduras

Facultad de CienciasEscuela de F́ısica

FS-415 Electricidad y Magnetismo II

Practica No.3: Mapeo de la Inducción Magnética de un Solenoide

1. Objetivos

Comprender el fundamento teórico y aplicabilidad de la Ley de Ampere y la Ley de Biot-Savart paraun solenoide.

Comparar los resultados obtenidos cuando se consideran estos modelos para un solenoide ideal (infinitoy finito) y para un solenoide real.

Comprender mejor la geometŕıa de la inducción magnética producida por un solenoide, no solamente alo largo de su eje axial, sino también radial, tanto dentro como fuera del mismo.

2. Introducción

Plantee el problema y cómo se propone resolverlo en sus propias palabras.

3. Marco Teórico

Explique los siguientes conceptos:

Campo Magnético

Inducción Magnética

Un solenoide consiste de un alambre enrollado N ve-ces en torno a una sección circular de radio a que formaentonces un cilindro de longitud L. De manera riguro-sa, el alambre forma una estructura helicoidal, en elque cada vuelta tiene un ángulo de inclinación.

Figura 1: Solenoide Real

Inducción Magnética de un Solenoide 1

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En el caso del solenoide ideal, esta estructura se simpli-fica modelando el alambre más bien como un conjuntode espiras circulares de radio a, dado que el alambrees muy delgado, el alambre se enrolla de manera muyapretada y el radio a es mucho menor que la longitudL. De esta manera, la inducción magnética del solenoi-de será igual a la sumatoria de todas las contribucionesde estas espiras circulares individuales.

Figura 2: Solenoide Ideal

Solenoide ideal infinito

Para simplificar aún más el caso presentado, es de utilidad estudiar el caso idealizado de un solenoidede longitud infinita. Dado que se consideran espiras circulares sin ángulo de inclinación, el solenoide puedevisualizarse como constituido por una densidad superficial K de carga en torno a un cilindro. Dado queel solenoide es infinito, en lugar de hablar de un número de vueltas N se habla de una densidad de espiras ovueltas por unidad de longitud.

K = nI donde n =N

L(1)

La mejor manera de enfrentar este problema es con la forma integral de Ley de Ampere.

∮C

B · ds = µ0Ienc (2)

Aplique la Ley de Ampere al solenoide ideal infinito discutido para encontrar el valor de la inducciónmagnética en el interior y en el exterior del mismo.

Figura 3: Solenoide Infinito

Con base en este resultado, haga un listado tanto de los factores de los que śı depende la induccióncomo de los que no depende, aśı como también de las suposiciones y condiciones que se deben cumplirpara que este resultado sea aplicable.

Inducción Magnética de un Solenoide 2

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Solenoide ideal finito

Como se mencionó, la inducción magnética en este caso será igual a la sumatoria de la contribución decada espira circular.

A partir de la Ley de Biot-Savart,

B(r) =µ04π

∮C′

I ′ds′ × RR3

(3)

encuentre la inducción magnética de una espira circular. Explique claramente cómo llega al planteamientode la integral y luego utilice Mathematica para resolverla.

Utilizando la sumatoria vectorial de cada una de estas espiras,

B(r) =∑i

µ04π

∮Ci

Iidsi × RiR3i

(4)

encuentre la inducción magnética para el solenoide ideal finito de longitud L. Explique claramente cómollega al planteamiento de la integral y luego utilice Mathematica para resolverla.

Con base en este resultado, haga un listado tanto de los factores de los que śı depende la induccióncomo de los que no depende, aśı como también de las suposiciones y condiciones que se deben cumplirpara que este resultado sea aplicable.

Solenoide real finito

Recuerde que el alambre en un solenoide en realidad no es un conjunto de espiras, sino una estructura enforma de hélice. Sea p la distancia entre dos espiras consecutivas, P0 el punto en el que se desea determinarla inducción, y P el punto de posición variable en la integral curviĺınea.

Figura 4: Solenoide Finito en forma de hélice

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Utilice ParametricPlot3D para graficar el solenoide, a partir de las coordenadas del punto P . Asignevalores para a y p a su discreción y muestre 20 vueltas.

Utilizando Mathematica, encuentre dB a partir de la Ley de Biot-Savart. No resuelva la integral;por ello se le pide dB no B, dado que esta integral solo tiene solución numérica.

Con base en este resultado, haga un listado tanto de los factores de los que śı depende la induccióncomo de los que no depende, aśı como también de las suposiciones y condiciones que se debencumplir para que este resultado sea aplicable.

4. Actividades

Para cada actividad utilice el applet o enlace correspondiente proporcionado por su instructor en la pla-taforma.

Actividad 1: Radio variable

1. Ingrese los siguientes parámetros en el programa:

N = 1740 a1 = 1.40cm L = 100cm I = 1.20A R0 = 0cm

2. Anote en una tabla el valor de la inducción magnética para la posición de z0 correspondiente. Paraello, comience a partir del extremo del solenoide. Tome nota de que la referencia en el applet está enel centro del solenoide, es decir que comenzará a tomar mediciones en z0 = −L/2. Para los primeros10cm, tome los valores a intervalos de 1 cm. A partir de ah́ı tome los datos a cada 5 cm hasta llegar alcentro, z0 = 0.

3. Considerando que la fórmulas deducidas en el marco teórico consideran la referencia z = 0 donde iniciael embobinado del solenoide, anote las coordenadas corregidas.

z0 (cm) z (cm) Bz (mT)−L/2−L/2 + 1−L/2 + 2. . .0

4. Utilizando Mathematica grafique la curva que caracteriza el comportamiento de un solenoide idealinfinito y finito, junto con los puntos encontrados por la simulación.

5. Repita los pasos anteriores ahora para

a2 = 10cm (5)

a3 = 25cm (6)

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Figura 5: Ejemplo de la gráfica del campo a lo largo del eje axial

Actividad 2: Densidad de vueltas variable

1. Ingrese los siguientes parámetros en el programa:

N1 = 1740 a = 1.40cm L = 100cm I = 1.20A z0 = 0cm

2. Anote en una tabla el valor de la inducción magnética para la posición de R0 correspondiente. Paraello, comience a partir del centro del solenoide, R0 = 0cm. Tome los valores a intervalos de 0.1 cm hastallegar a una distancia fuera del solenoide en que B = 0.

Figura 6: Datos a tomar a lo largo del eje radial

R0 (cm) Br (mT) Bz (mT)00.10.2. . .

0 0

3. Utilizando Mathematica muestre en una sola gráfica los puntos encontrados por la simulación, tantopara Br como Bz. Además, incluya la curva del valor esperado de acuerdo a la Ley de Ampere para unsolenoide infintio ideal. Recuerde que todos los parámetros deben estar en unidades estándar.

4. Repita los pasos anteriores ahora para

N2 = 500 (7)

N3 = 100cm (8)

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5. Análisis de resultados

Actividad 1: Radio variable

1. Explique a qué se debe la diferencia entre la inducción magnética de un solenoide infinito y uno finito.¿Cuál es la utilidad de estudiar solenoides infinitos si éstos no existen?

2. ¿Qué pasa con el comportamiento de las gráficas a medida que aumenta el radio del solenoide? ¿Aqué se deben esos cambios?

3. ¿Qué indican estos resultados acerca de la aplicabilidad de cada modelo?

4. ¿Concuerdan sus resultados con lo esperado de acuerdo a las suposiciones y proceso de deducción decada uno de estos modelos?

5. ¿Por qué solo fue necesario hacer un mapeo de la mitad del solenoide? Si esta práctica fuera real (nouna simulación), ¿lo haŕıa de la misma manera? Explique.

Actividad 2: Densidad de vueltas variable

¿Cómo se comporta el campo dentro del solenoide para N1? ¿Qué pasa fuera del solenoide?

Cómo se comporta el campo dentro del solenoide a medida disminuye el número de vueltas? ¿Qué pasafuera del solenoide? Analice ambas componentes, Br y Bz.

¿Qué indican estos resultados acerca de la aplicabilidad de cada modelo?

¿Concuerdan sus resultados con lo esperado de acuerdo a las suposiciones y proceso de deducción decada uno de estos modelos?

¿Por qué solo fue necesario hacer un mapeo de un lado del solenoide? Si esta práctica fuera real (nouna simulación), ¿lo haŕıa de la misma manera? Explique.

6. Conclusiones

Redacte tres conclusiones como mı́nimo, basadas en el problema y objetivos planteados y respaldadas porlos resultados obtenidos. Lo principal es establecer si se resolvió el problema satisfactoriamente.

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