Frecuencia Compleja3
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FRECUENCIA COMPLEJA
FUENTES SINUSOIDALES
Una fuente de tensin sinusoidal (independiente o dependiente)produce una tensin que varia sinusoidalmente con el tiempo.
Una fuente de corriente sinusoidal (independiente o dependiente)
produce una corriente que varia sinusoidalmente con el tiempo.
Figura 1. Tensin sinusoidal
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FRECUENCIA COMPLEJA
FUENTES SINUSOIDALES
Periodo Ttiempo necesario para que la funcin sinusoidal recorratodo su posible rango de valores.
Frecuencia fes el reciproco del periodo T.
Frecuencia angular
Vmamplitud mxima de la tensin sinusoidal
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FRECUENCIA COMPLEJA
FUENTES SINUSOIDALES
Ang ulo de fase ngulo que determina el valor de la funcinsinusoidal en t = 0
Si se cambia el ngulo de fase , la funcin sinusoidal se desplaza a lo
largo del eje temporal. Este desplazamiento no tiene efecto sobre Vm
ni .
Si se reduce a cero, la funcin sinusoidal se desplaza /unidades
de tiempo hacia la derecha.
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FRECUENCIA COMPLEJA
FUENTES SINUSOIDALES
Angulo de fase ngulo que determina el valor de la funcinsinusoidal en t = 0
Si es positivo, la funcin sinusoidal se desplaza hacia la izquierda.
Si es negativo, la funcin sinusoidal se desplaza hacia la derecha.
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FRECUENCIA COMPLEJA
Valor rms
El valor rms de una funcin periodica se define como la raz cuadrada
del valor medio de la funcin al cuadrado.
El valor rms de la tensin sinusoidal solo depende de la amplitud
maxima de v, es decir, de Vm.
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FRECUENCIA COMPLEJA
RESPUESTA SINUSOIDAL
ECUACION DE MALLA
Componente de rgimen permanenteComponente transitoria
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FRECUENCIA COMPLEJA
RESPUESTA SINUSOIDAL
Solucin de rgimen permanente
Seal aplicada o entrada
La solucin de rgimen permanente es una funcin sinusoidalal igual que la seal aplicada.
La frecuencia de la seal de respuesta es idntica a la
frecuencia de la seal aplicada.
La amplitud mxima de la respuesta de rgimen permanente,
difiere de la amplitud mxima de la fuente.
El ngulo de fase de la seal de respuesta, difiere del ngulo de
fase de la fuente.
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FRECUENCIA COMPLEJA
FASORES
Un fasor es un nmero complejo que representa la amplitud y la fase de
una funcin sinusoidal. El concepto de fasor se basa en la identidad de
Euler, que relacional la funcin exponencial con la funcin
trigonomtrica.
Parte real de la funcin exponencial
Parte imaginaria de la funcin exponencial
Tensin sinusoidal de entrada
Si la tensin de entrada es en funcin
del seno entonces hay que
transformarla a funcin coseno.
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FRECUENCIA COMPLEJA
FASORES
Numero complejo que aporta la
informacin de amplitud y de ngulo de
fase de la tensin sinusoidal dada
Fasor correspondiente a Vmcos (t + )
TRANSFORMACION EN FASOR
La transformacin en fasor transfiere la funcin sinusoidal del dominio del tiempo al
dominio de los numeros complejos o dominio de la frecuencia, ya que la respuesta
depende de .
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FRECUENCIA COMPLEJA
FASORES
Forma polar del fasor
Forma rectangular del fasor
Notacin de ngulo del fasor
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FRECUENCIA COMPLEJA
TRANSFORMACION FASORIAL INVERSA
El paso de un fasor a su correspondiente expresin en el dominio del
tiempo se denomina t ransform acin fasorial inversa.
Para encontrar la transformacin fasorial inversa, se multiplica el fasor
por ejty luego se extrae la parte real del producto.
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FRECUENCIA COMPLEJA
FASORES
TRANSFORMACION FASORIAL
TRANSFORMACION FASORIAL INVERSA
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FRECUENCIA COMPLEJA
ELEMENTOS PASIVOS DE UN CIRCUITO EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
Resistor
FASOR
Circuito equivalente en el
dominio del tiempo de un
resistor.
TRANSFORMACION FASORIAL
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FRECUENCIA COMPLEJA
ELEMENTOS PASIVOS DE UN CIRCUITO EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
Resistor
Circuito equivalente en
el dominio de la
frecuencia de un
resistor.
La tensin y la corriente en los terminales de una resistencia
estn en fase.
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FRECUENCIA COMPLEJA
ELEMENTOS PASIVOS DE UN CIRCUITO EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
Bobina
Circuito equivalente en el
dominio del tiempo de una
bobina.
TRANSFORMACION FASORIAL
FASOR
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FRECUENCIA COMPLEJA
ELEMENTOS PASIVOS DE UN CIRCUITO EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
Bobina
Circuito equivalente en el
dominio de la frecuencia de
una bobina. Existe un desfase de 90
entre la tensin y la
corriente.
En una bobina:
La tensin esta
adelantada conrespecto a la corriente
en 90.
La corriente esta
atrasada con respecto
a la tensin en 90
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FRECUENCIA COMPLEJA
ELEMENTOS PASIVOS DE UN CIRCUITO EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
Condensador
Circuito equivalente en el
dominio del tiempo de un
condensador.
FASOR
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FRECUENCIA COMPLEJA
ELEMENTOS PASIVOS DE UN CIRCUITO EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
Condensador
Circuito equivalente en el
dominio de la frecuencia de
un condensador.
Existe un desfase de 90entre la tensin y la
corriente.
En un condensador:
La tensin esta
atrasada con respectoa la corriente en 90.
La corriente esta
adelantada con
respecto a la tensin
en 90
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FRECUENCIA COMPLEJA
CONCEPTO DE IMPEDANCIA
Las relaciones tensiones-corrientes de los elementos pasivos de un
circuito en el dominio de la frecuencia son:
Si expresamos estas relaciones como la razn entre la tensin y la
corriente fasorial tenemos:
De estas e expresiones obtenemos la Ley de Ohm en forma fasorial:
Impedancia
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FRECUENCIA COMPLEJA
CONCEPTO DE IMPEDANCIA
La impedancia Z es una cantidad compleja y se expresa en forma
rectangular como:
La reactancia Xpuede ser positiva o negativa.
Se dice que la reactancia es inductiva cuando Xes positiva.
Se dice que la reactancia es capacitiva cuando Xes negativa.
Resistencia: Parte
real de la
impedancia
Reactancia: Parte
imaginaria de la
impedancia
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FRECUENCIA COMPLEJA
CONCEPTO DE ADMITANCIA
La admitancia Y de un elemento (o circuito) es la razn entre la
corriente fasorial y la tensin fasorial a travs de el. La admitancia Y es
el inverso de la impedancia Z.
Conductancia: Parte
real de la admitancia
Susceptancia: Parte
imaginaria de la
admitancia
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FRECUENCIA COMPLEJA
CONCEPTO DE IMPEDANCA Y ADMITANCIA
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FRECUENCIA COMPLEJA
Pasos en la aplicacin de la Transformacin Fasorial en circuitos
elctricos:
1. Transformar el circuito del dominio del tiempo al dominio de la
frecuencia a travs de la Transformacin Fasorial.
2. Obtener la solucin del circuito en el dominio de la frecuencia
utilizando las diferentes tcnicas de anlisis de circuitos.
3. Transformar la solucin del dominio de la frecuencia al domino deltiempo a travs de la Transformacin Fasorial Inversa.
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FRECUENCIA COMPLEJA
Ejemplos:
Calcular i(t)si Vs=750 cos (5000t + 30) V.
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FRECUENCIA COMPLEJA
Ejemplos:
Calcular v, i1, i2e i3si Is= 8 cos ( 200000t ) V.
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FRECUENCIA COMPLEJA
Ejemplos:
Encuentre el circuito equivalente de Thevenin
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FRECUENCIA COMPLEJA
Frecuencia compleja
Funcin senoidal amortiguada exponencialmente
Si = = 0, entonces
Si = 0, entonces
= cos( + )
= cos = 0 Voltaje constante CD
= cos( + ) Voltaje sinusoidal
es una cantidad
real y negativa.
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FRECUENCIA COMPLEJA
Frecuencia compleja
Funcin senoidal amortiguada exponencialmente
Si = 0, entonces
= cos( + )
Voltaje exponencial
es una cantidad
real y negativa.
= cos = 0
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FRECUENCIA COMPLEJA
Frecuencia compleja
Se define la frecuencia compleja scomo el factor que multiplica a ten
una representacin exponencial compleja.
Caso CD
La frecuencia compleja s de una fuente CD es
s = 0
Fasor
V0 0
= Ky sson constantes complejas
= 0 = 0()
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FRECUENCIA COMPLEJA
Frecuencia compleja
Caso exponencial
La frecuencia compleja s de una fuente exponencial es
s =
Fasor
V0 0
= Ky sson constantes complejas
= 0
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FRECUENCIA COMPLEJA
Frecuencia compleja
Caso senoidal
La frecuencia compleja s de una fuente senoidal es
s = j
Fasor
Vm
= Ky sson constantes complejas
= cos( + )
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FRECUENCIA COMPLEJA
Frecuencia compleja
Caso senoidal amortiguado exponencialmente
La frecuencia compleja s de una fuente senoidal amortiguada
exponencialmente es
s = + jFasor
Vm
=
Ky
sson constantes complejas
= cos( + )
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FRECUENCIA COMPLEJA
Frecuencia compleja
= +
Parte real de s
Frecuencia neperianaNepers por segundo
Parte imaginaria de s
Frecuencia radianRadianes por segundo
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FRECUENCIA COMPLEJA
Impedancia de los elementos pasivos del circuito con la frecuencia
compleja.
Resistencia Inductor Capacitor
=
= =
= =
=
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FRECUENCIA COMPLEJA
Ejemplos:
Calcular i(t)si = +
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FRECUENCIA COMPLEJA
Respuesta natural y el plano s
Funcin de transferencia
Se define la funcin de transferencia H(s)de una red como el cociente
de la respuesta Y(s) a la salida y la excitacin a la entrada, suponiendo
que todas las condiciones iniciales son nulas.
H(s)
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FRECUENCIA COMPLEJA
Respuesta natural y el plano s
Funcin de transferencia
La funcin de transferencia depende de lo que se define como entrada y
salida. Puesto que la entrada y la salida pueden ser la corriente o la
tensin en cualquier lugar del circuito, hay cuatro posibles funciones de
transferencia.
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FRECUENCIA COMPLEJA
Respuesta natural y el plano s
Funcin de transferencia
La funcin de transferencia depende de lo que se define como entrada y
salida. Puesto que la entrada y la salida pueden ser la corriente o la
tensin en cualquier lugar del circuito, hay cuatro posibles funciones de
transferencia.
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FRECUENCIA COMPLEJA
Respuesta natural y el plano s
Funcin de transferencia
La funcin de transferencia debe expresarme como un cociente de dos
polinomios factorizados:
H(s)
Donde Kes una constante.
Las races del polinomio del denominador, es decir p1, p2, pm, se
denominan polos de H(s); son los valores de s para los que H(s)toma un valor infinitamente grande.
Las races del polinomio del numerador, es decir z1, z2, zn, se
denominan ceros de H(s); son los valores de spara los que H(s)se
hace cero.
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FRECUENCIA COMPLEJA
Respuesta natural y el plano s
La respuesta natural del circuito se obtiene de los polos de la funcin detransferencia y va a tener la siguiente forma:
=
+
+ +
=
+
+ +
Tensin
Corriente
H(s)
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FRECUENCIA COMPLEJA
Respuesta natural y el plano s
La respuesta natural del circuito se obtiene de los polos de la funcin detransferencia y va a tener la siguiente forma:
=
+
+ +
=
+
+ +
Tensin
Corriente
H(s)
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FRECUENCIA COMPLEJA
Ejemplos:
Calcular i0n(t)
