FRANKLIN ALBERTO BORDA ÁLVAREZ

MODELACIÓN DE PAVIMENTOS RÍGIDOS CON ELEMENTOS FINITOS APLICACIÓN DE EVERFE

FRANKLIN ALBERTO BORDA ÁLVAREZ

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERÍA

TUNJA 2019

MODELACIÓN DE PAVIMENTOS RÍGIDOS CON ELEMENTOS FINITOS APLICACIÓN DE EVERFE

FRANKLIN ALBERTO BORDA ÁLVAREZ

Trabajo de investigación presentado como requisito parcial para optar el título de: Magister en ingeniería con énfasis en infraestructura vial

Director: Carlos Hernando Higuera Sandoval. MSc.

Línea de Investigación: Geotecnia y Pavimentos

Grupo de Investigación: Grupo de Investigación y Desarrollo en Infraestructura Vial - GRINFRAVIAL

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE POSGRADOS

TUNJA 2019

Nota de aceptación:

______________________________ ______________________________ ______________________________ ______________________________ ______________________________

______________________________ Firma presidente del jurado

______________________________ Firma jurado

______________________________ Firma jurado

______________________________ Ciudad y Fecha (día, mes, año)

La autoridad científica de la Facultad de Ingeniería reside en ella misma, por lo tanto, no responde por las opiniones expresadas en este proyecto de investigación.

Se autoriza su uso y reproducción indicando su origen.

CONTENIDO

pág.

INTRODUCCIÓN 17

1. MARCO TEÓRICO 22 1.1 MECÁNICA DE PAVIMENTOS CON ELEMENTOS FINITOS 22

1.1.1 Programas usados en pavimentos asfálticos 24

1.1.2 Programas especializados en pavimentos rígidos 25

1.1.3 Programa EVERFE 2.25 25

1.1.3.1 Capas de base 27 1.1.3.2 Modelación juntas con dovelas 29 1.1.3.3 Modelación juntas sin dovelas 30

1.2 DESARROLLO DE EVERFE EN EL ANALISIS DE PAVIMENTOS

RIGIDOS 31

2. COMPARACIÓN DEL ANÁLISIS DE WESTERGAARD Y EVERFE PARA EL CALCULO DE ESFUERZOS Y DEFLEXIONES 35

2.1 FÓRMULAS DE WESTERGAARD 35

2.2 CONSIDERACIONES DEL MODELO DE WESTERGAARD 39

2.2.1 Estructuras para modelar 39 2.2.2 Parámetros análisis de WESTERGAARD 40 2.2.3 Parámetros análisis de EVERFE 40

2.3 ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR CARGA EN LA ESQUINA 42

2.4 ANÁLISIS DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS 51

2.5 ANÁLISIS DE DEFLEXIÓN POR CARGA EN LA ESQUINA 52

2.6 ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR CARGA EN EL BORDE 57


2.8 ANÁLISIS DE DEFLEXIÓN POR CARGA EN EL BORDE 67

2.9 ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR CARGA EN EL INTERIOR 71


2.11 ANÁLISIS DE DEFLEXIÓN POR CARGA EN EL INTERIOR DE

LA LOSA 81

3 COMPARACIÓN DE ESFUERZOS POR GRADIENTE DE TEMPERATURA ENTRE EVERFE Y BRADBURY 86

3.1 PARÁMETROS ANÁLISIS DE BRADBURY 86

3.2 PARÁMETROS ANÁLISIS DE EVERFE 86

3.2.1 Esfuerzos de alabeo en losas cuadradas 87

3.2.2 Esfuerzos de alabeo en losas asimétricas 89

3.2.3 Esfuerzos de alabeo para diferentes espesores de losa 91

3.2.4 Esfuerzos de alabeo para diferentes gradientes de temperatura 93

3.2.5 Esfuerzos de alabeo para diferentes coeficientes de dilatación 95

3.2.6 Esfuerzos de alabeo para diferentes módulos de reacción 98

4 ANÁLISIS DE ESFUERZOS Y DEFLEXIONES CON EVERFE Y KENSLABS 101

4.1 PARÁMETROS ENTRADA PROGRAMA EVERFE 101

4.2 PARÁMETROS ENTRADA PROGRAMA KENSLABS 103

4.3 ANÁLISIS PARA CARGA EN LA ESQUINA DE LA LOSA 105


4.5 ANÁLISIS DE DEFLEXIONES POR CARGA EN LA ESQUINA 116

4.6 ANÁLISIS DEL ESFUERZO PARA CARGA EN EL BORDE

DE LA LOSA 120


4.8 ANÁLISIS DE DEFLEXIONES POR CARGA EN EL BORDE 131

4.9 ANÁLISIS DE ESFUERZO PARA CARGA EN EL INTERIOR DE LA

LOSA 135


4.11 ANÁLISIS DE DEFLEXIONES POR CARGA EN EL INTERIOR 146

5 MECÁNICA DE PAVIMENTOS CON ESTRUCTURA MULTICAPA 151 5.1 ESTRUCTURA BICAPA 151

5.2 ESTRUCTURA TRICAPA 152

5.3 ÁREA DE CONTACTO PARA EL EJE EQUIVALENTE EN TUNJA

BOYACÁ 152

5.4 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD ESTRUCTURA BICAPA 157

5.4.1 Esfuerzos y deflexiones en función del espesor de la losa 158

5.4.2 Esfuerzos y deflexiones en función del módulo elástico de la losa 160

5.4.3 Esfuerzos y deflexiones en función de la relación de Poisson del

concreto 162

5.4.4 Esfuerzos y deflexiones en función del espesor de la base 164

5.4.5 Esfuerzos y deflexiones en función del módulo de la base 166

5.4.6 Esfuerzos y deflexiones en función del módulo de reacción de la

subrasante 167

5.5 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD ESTRUCTURA TRICAPA 169

5.5.1 Esfuerzos y deflexiones en función del espesor de la losa 170

5.5.2 Esfuerzos y deflexiones en función del módulo de la losa 172

5.5.3 Esfuerzos y deflexiones en función de la relación de Poisson del

concreto 174

5.5.4 Esfuerzos y deflexiones en función del espesor de la base

estabilizada 176

5.5.5 Esfuerzos y deflexiones en función del módulo de la base

estabilizada 178

5.5.6 Esfuerzos y deflexiones en función del espesor de la base granular 180

5.5.7 Esfuerzos y deflexiones en función del módulo base granular: 182

5.5.8 Esfuerzos y deflexiones en función del módulo de la subrasante 183

6 CONO DE ESFUERZOS EJE SENCILLO, EJE TANDEM Y EJE TRIDEM. 186 6.1 ESTRUCTURA MULTICAPA 187

6.2 CONO DE ESFUERZOS EJE SENCILLO 190

6.2.1 Carga en la esquina de la losa eje sencillo 190

6.2.2 Carga en el borde de la losa eje sencillo 193

6.2.3 Carga en el interior de la losa eje sencillo 195

6.3 CONO DE ESFUERZOS EJE TANDEM 197

6.3.1 Carga en la esquina de la losa eje TANDEM 198

6.3.2 Carga en el borde de la losa eje TANDEM 201

6.3.3 Carga en el interior de la losa eje TANDEM 203

6.4 CONO DE ESFUERZOS EJE TRIDEM 205

6.4.1 Carga en la esquina de la losa eje TRIDEM 206

6.4.2 Carga en el borde de la losa eje TRIDEM 210

6.4.3 Carga en el interior de la losa eje TRIDEM 212

7 ESFUERZOS Y DEFLEXIONES CRÍTICOS PARA EL SEMIEJE SENCILLO DE RUEDA DOBLE 215

7.1 ESTRUCTURA BICAPA 215

7.1.1 Esfuerzos estructura bicapa 216

7.1.2 Deflexiones estructura bicapa 219

7.2 ESTRUCTURA TRICAPA 220

7.2.1 Esfuerzos estructura tricapa 222

7.2.2 Deflexiones estructura tricapa 224

7.3 ESTRUCTURA CUATRICAPA 226

7.3.1 Esfuerzos estructura cuatricapa 228

7.3.2 Deflexiones estructura cuatricapa 230

CONCLUSIONES 233

RECOMENDACIONES 241

REFERENCIAS 242

ANEXOS 244

LISTA DE FIGURAS

pág.

Figura 1. Análisis de una estructura de pavimento rígido 26 Figura 2. Algoritmo multigrid. 28 Figura 3. Análisis multigrid. 28 Figura 4. Modelación con dovelas. 29 Figura 5. Matriz de rigidez de la dovela. 30 Figura 6. Modelación juntas sin dovelas. 31 Figura 7. Esfuerzos por carga en la esquina de la losa. 35 Figura 8. Falla en la losa genera por carga en la esquina. 35 Figura 9. Falla en la losa generada por carga en el borde 37 Figura 10. Falla en la losa generada por caga en el interior. 38 Figura 11. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en la esquina estructura 1. 43 Figura 12. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en la esquina estructura 2. 44 Figura 13. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en la esquina estructura 3. 45 Figura 14. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en la esquina estructura 4. 46 Figura 15. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en la esquina estructura 5. 47 Figura 16. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en la esquina estructura 6. 48 Figura 17. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en la esquina estructura 7. 49 Figura 18. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en la esquina estructura 8. 50 Figura 19. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en la esquina estructura 9. 51 Figura 20. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde estructura 1. 57 Figura 21. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde estructura 2. 58 Figura 22. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde estructura 3. 59 Figura 23. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde estructura 4. 60 Figura 24. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde estructura 5. 61 Figura 25. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde estructura 6. 62 Figura 26. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde estructura 7. 63

Figura 27. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde estructura 8. 64 Figura 28. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde estructura 9. 65 Figura 29. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde estructura 1. 72 Figura 30. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde estructura 2. 73 Figura 31. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde estructura 3. 74 Figura 32. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde estructura 4. 75 Figura 33. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde estructura 5. 76 Figura 34. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde estructura 6. 77 Figura 35. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde estructura 7. 78 Figura 36. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde estructura 8. 79 Figura 37. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde estructura 9. 80 Figura 38. Esfuerzo de alabeo en el interior y borde de losas cuadradas BRADBURY vs EVERFE. 88 Figura 39. Esfuerzo de alabeo en el interior de la losa BRADBURY vs EVERFE. 90 Figura 40. Esfuerzo de alabeo en el borde de la losa BRADBURY vs EVERFE. 91 Figura 41. Esfuerzo de alabeo en el interior de la losa BRADBURY vs EVERFE. 92 Figura 42. Esfuerzo de alabeo en el borde de la losa BRADBURY vs EVERFE. 93 Figura 43. Esfuerzo de alabeo en el interior de la losa BRADBURY vs EVERFE. 94 Figura 44. Esfuerzo de alabeo en el borde de la losa BRADBURY vs EVERFE. 95 Figura 45. Esfuerzo de alabeo en el interior de la losa BRADBURY vs EVERFE. 96 Figura 46. Esfuerzo de alabeo en el borde de la losa BRADBURY vs EVERFE. 97 Figura 47. Esfuerzo de alabeo en el interior de la losa BRADBURY vs EVERFE. 99 Figura 48. Esfuerzo de alabeo en el borde de la losa BRADBURY vs EVERFE. 100 Figura 49. Método de convertir un sistema doble a un área circular. 102 Figura 50. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo estructura 1. 106 Figura 51. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo estructura 2. 107 Figura 52. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo estructura 3. 108 Figura 53. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo estructura 4. 109 Figura 54. relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo estructura 5. 110

Figura 55. una relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo estructura 6. 111 Figura 56. una relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo estructura 7. 112 Figura 57. una relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo estructura 8. 113 Figura 58. una relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo estructura 9. 114 Figura 59. relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo estructura 1. 121 Figura 60. relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo estructura 2. 122 Figura 61. relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo estructura 3. 123 Figura 62. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo estructura 4. 124 Figura 63. relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo estructura 5. 125 Figura 64. relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo calculado para ambos programas estructura 6. 126 Figura 65. relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo calculado para ambos programas estructura 7. 127 Figura 66. relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo calculado para ambos programas estructura 8. 128 Figura 67. relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo calculado para ambos programas estructura 9. 129 Figura 68. relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo calculado para ambos programas estructura 1. 136 Figura 69. relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo calculado para ambos programas estructura 2. 137 Figura 70. una relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo calculado para ambos programas estructura 3. 138 Figura 71. relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo calculado para ambos programas estructura 4. 139 Figura 72. relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo calculado para ambos programas estructura 5. 140 Figura 73. relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo calculado para ambos programas estructura 6. 141 Figura 74. relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo calculado para ambos programas estructura 7. 142 Figura 75. relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo calculado para ambos programas estructura 8. 143 Figura 76. relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo calculado para ambos programas estructura 9. 144 Figura 77. Presión de inflado del neumático. 154 Figura 78. Separación entre centros de rueda. 155

Figura 79. Ancho del neumático. 156 Figura 80. Área de contacto set de dos ruedas 157 Figura 81. Esfuerzos en función del espesor de la losa estructura bicapa. 159 Figura 82. Deflexiones en función del espesor de la losa estructura bicapa. 160 Figura 83. Esfuerzos en función del módulo de la losa estructura bicapa 161 Figura 84. Deflexiones en función del módulo de la losa estructura bicapa 162 Figura 85. Esfuerzos en función de la relación de Poisson. 163 Figura 86. Deflexiones en función de la relación de Poisson. 163 Figura 87. Esfuerzos en función del espesor de la base estructura bicapa. 165 Figura 88. Deflexiones en función del espesor de la base estructura bicapa. 165 Figura 89. Esfuerzos en función del módulo de la base estructura bicapa. 166 Figura 90. Deflexiones en función del módulo de la base estructura bicapa. 167 Figura 91. Esfuerzos en función del módulo de la subrasante estructura bicapa. 168 Figura 92. Deflexiones en función del módulo de la subrasante estructura bicapa. 169 Figura 93. Esfuerzos en función del espesor de la losa estructura tricapa. 171 Figura 94. Deflexiones en función del espesor de la losa estructura tricapa. 172 Figura 95. Esfuerzos en función del módulo de la losa estructura tricapa. 173 Figura 96. Deflexiones en función del módulo de la losa estructura tricapa. 174 Figura 97. Esfuerzos en función de la relación de Poisson estructura tricapa. 175 Figura 98. Deflexiones en función de la relación de Poisson estructura tricapa. 175 Figura 99. Esfuerzos en función del espesor de la base estabilizada. 177 Figura 100.Deflexiones en función del espesor de la base estabilizada. 177 Figura 101. Esfuerzos en función del módulo de la base estabilizada. 179 Figura 102. Deflexiones en función del módulo de la base estabilizada. 179 Figura 103. Esfuerzos en función del espesor de la base granular. 181 Figura 104. Deflexiones en función del espesor de la base granular. 181 Figura 105. Esfuerzos en función del módulo de la base granular. 182 Figura 106. Deflexiones en función del módulo de la base granular. 183 Figura 107. Esfuerzos en función del módulo de la subrasante. 184 Figura 108. Deflexiones en función del módulo de la subrasante. 185 Figura 109. Configuracion geometrica pavimento multicapa. 188 Figura 110. Configuracion de caracterisrticas de material. 189 Figura 111. Configuración de la malla de elementos finitos. 189 Figura 112. Configuración eje sencillo rueda doble de 11 ton. 190 Figura 113. Esfuerzo cara superior eje sencillo – esquina. 190 Figura 114. Esfuerzo cara inferior eje sencillo – esquina. 191 Figura 115. Cono de esfuerzos eje sencillo cara superior. 192 Figura 116. Deflexiones eje sencillo en la esquina. 193 Figura 117. Esfuerzos eje sencillo al borde. 193 Figura 118. Cono de esfuerzos eje sencillo borde. 194 Figura 119. Deflexiones eje sencillo en el borde. 195 Figura 120. Esfuerzos eje sencillo al centro. 196 Figura 121. Cono de esfuerzos eje sencillo interior. 197 Figura 122. Configuración eje tándem rueda doble de 22 ton. 197 Figura 123. Eje Tándem en la esquina. 198 Figura 124. Esfuerzos eje tándem esquina. 199

Figura 125. Esfuerzos eje tándem en la esquina cara superior. 200 Figura 126. Cono de esfuerzos eje tándem esquina. 201 Figura 127. Esfuerzos en el borde de la losa, eje tándem. 202 Figura 128. Cono de esfuerzos eje tándem borde. 203 Figura 129. Esfuerzos en el interior de la losa, eje tándem. 203 Figura 130. Cono de esfuerzos eje tándem interior. 204 Figura 131. Deflexiones por carga en el interior, eje tándem. 205 Figura 132. Configuración eje tridem doble rueda de 24 ton. 205 Figura 133. configuración de eje tridem usando un eje tándem. 206 Figura 134. configuración de eje tridem usando un eje sencillo. 207 Figura 135. Esfuerzos en la esquina de la losa, eje tridem. 208 Figura 136. Esfuerzos en la esquina de la losa, eje tridem, cara superior. 209 Figura 137. Cono de esfuerzos eje tridem, esquina. 210 Figura 138. Deflexiones por carga en la esquina, eje tridem. 210 Figura 139. Esfuerzos en el borde de la losa, eje tridem. 211 Figura 140. Cono de esfuerzos eje tridem, borde. 212 Figura 141. Esfuerzos en el interior de la losa, eje tridem. 213 Figura 142. Cono de esfuerzos eje tridem, interior. 214 Figura 143. Deflexiones por carga en el interior, eje tridem. 214 Figura 144. Área de contacto semieje sencillo rueda doble. 216 Figura 145. Ubicación de cargas a modelar. 216 Figura 146. Esfuerzos set de dos ruedas. 218 Figura 147. Deflexiones set de dos ruedas. 220 Figura 148. Área de contacto semieje sencillo rueda doble. 221 Figura 149. Ubicación de cargas a modelar. 222 Figura 150. Esfuerzos set de dos ruedas. 224 Figura 151. Deflexiones set de dos ruedas estructura tricapa. 226 Figura 152. Área de contacto semieje sencillo rueda doble. 227 Figura 153. Ubicación de cargas a modelar. 228 Figura 154. Esfuerzos set de dos ruedas estructura cuatricapa. 230 Figura 155. Deflexiones set de dos ruedas estructura cuatricapa. 231

LISTA DE TABLAS

pág.

Tabla 1. Programas usados en pavimentos asfálticos. 24 Tabla 2. Programas especializados en pavimentos rígidos. 25 Tabla 3. Datos de entrada fórmulas de WESTERGAARD. 40 Tabla 4. Datos de entrada programa EVERFE. 42 Tabla 5. Esfuerzos de esquina estructura 1 42 Tabla 6. Esfuerzos de esquina estructura 2. 43 Tabla 7. Esfuerzos de esquina estructura 3. 44 Tabla 8. Esfuerzos de esquina estructura 4. 45 Tabla 9. Esfuerzos de esquina estructura 5. 46 Tabla 10. Esfuerzos de esquina estructura 6. 47 Tabla 11. Esfuerzos de esquina estructura 7. 48 Tabla 12. Esfuerzos de esquina estructura 8. 49 Tabla 13. Esfuerzos de esquina estructura 9. 50 Tabla 14. Deflexiones de esquina estructura 1. 53 Tabla 15. Deflexiones de esquina estructura 2. 53 Tabla 16. Deflexiones de esquina estructura 3. 53 Tabla 17. Deflexiones de esquina estructura 4. 54 Tabla 18. Deflexiones de esquina estructura 5. 54 Tabla 19. Deflexiones de esquina estructura 6. 54 Tabla 20. Deflexiones de esquina estructura 7. 55 Tabla 21. Deflexiones de esquina estructura 8. 55 Tabla 22. Deflexiones de esquina estructura 9. 56 Tabla 23. Esfuerzos de borde estructura 1. 57 Tabla 24. Esfuerzos de borde estructura 2. 58 Tabla 25. Esfuerzos de borde estructura 3. 59 Tabla 26. Esfuerzos de borde estructura 4. 60 Tabla 27. Esfuerzos de borde estructura 5. 61 Tabla 28. Esfuerzos de borde estructura 6. 62 Tabla 29. Esfuerzos de borde estructura 7. 63 Tabla 30. Esfuerzos de borde estructura 8. 64 Tabla 31. Esfuerzos de borde estructura 9. 65 Tabla 32. Deflexiones de borde estructura 1. 67 Tabla 33. Deflexiones de borde estructura 2. 67 Tabla 34. Deflexiones de borde estructura 3. 68 Tabla 35. Deflexiones de borde estructura 4. 68 Tabla 36. Deflexiones de borde estructura 5. 69 Tabla 37. Deflexiones de borde estructura 6 69 Tabla 38. Deflexiones de borde estructura 7. 69 Tabla 39. Deflexiones de borde estructura 8. 70 Tabla 40. Deflexiones de borde estructura 9. 70 Tabla 41. Esfuerzos de interior estructura 1. 71 Tabla 42. Esfuerzos de interior estructura 2. 72

Tabla 43. Esfuerzos de interior estructura 3. 73 Tabla 44. Esfuerzos de interior estructura 4. 74 Tabla 45. Esfuerzos de interior estructura 5. 75 Tabla 46. Esfuerzos de interior estructura 6. 76 Tabla 47. Esfuerzos de interior estructura 7. 77 Tabla 48. Esfuerzos de interior estructura 8. 78 Tabla 49. Esfuerzos de interior estructura 9. 79 Tabla 50. Deflexiones de interior estructura 1. 82 Tabla 51. Deflexiones de interior estructura 2. 82 Tabla 52. Deflexiones de interior estructura 3. 82 Tabla 53. Deflexiones de interior estructura 4 83 Tabla 54. Deflexiones de interior estructura 5. 83 Tabla 55. Deflexiones de interior estructura 6. 84 Tabla 56. Deflexiones de interior estructura 7. 84 Tabla 57. Deflexiones de interior estructura 8. 84 Tabla 58. Deflexiones en interior estructura 9. 85 Tabla 59. Datos de entrada fórmulas de BRADBURY. 86 Tabla 60. Datos de entrada programa EVERFE. 87 Tabla 61. Esfuerzos de alabeo en losas cuadradas en función de L. 88 Tabla 62. Esfuerzos de alabeo en el interior de la losa en función de Lx y Ly. 89 Tabla 63. Esfuerzos de alabeo en el borde de la losa en función de Lx y Ly. 90 Tabla 64. Esfuerzos de alabeo en el interior de la losa en función de h. 91 Tabla 65. Esfuerzos de alabeo en el borde de la losa en función de h. 92 Tabla 66. Esfuerzos de alabeo en el interior de la losa en función de ∆t. 94 Tabla 67. Esfuerzos de alabeo en el borde de la losa en función de ∆t. 95 Tabla 68. Esfuerzos de alabeo en el interior de la losa en función de at. 96 Tabla 69. Esfuerzos de alabeo en el borde de la losa en función de at. 97 Tabla 70. Esfuerzos de alabeo en el interior de la losa en función de K. 98 Tabla 71. Esfuerzos de alabeo en el borde de losa en función de K. 99 Tabla 72. Datos de entrada programa EVERFE. 103 Tabla 73. Valor de carga equivalente programas EVERFE y KENSLABS 103 Tabla 74. Malla de elementos finitos programa KENSLABS. 104 Tabla 75. Datos de entrada programa KENSLABS. 105 Tabla 76. Esfuerzos de esquina estructura 1. 105 Tabla 77. Esfuerzos de esquina estructura 2. 106 Tabla 78. Esfuerzos de esquina estructura 3. 107 Tabla 79. Esfuerzos de esquina estructura 4. 108 Tabla 80. Esfuerzos de esquina estructura 5. 109 Tabla 81. Esfuerzos de esquina estructura 6. 110 Tabla 82. Esfuerzos de esquina estructura 7. 111 Tabla 83. Esfuerzos de esquina estructura 8. 112 Tabla 84. Esfuerzos de esquina estructura 9. 113 Tabla 85. Deflexiones de esquina estructura 1. 116 Tabla 86. Deflexiones de esquina estructura 2. 116 Tabla 87. Deflexiones de esquina estructura 3. 117 Tabla 88. Deflexiones de esquina estructura 4. 117

Tabla 89. Deflexiones de esquina estructura 5. 117 Tabla 90. Deflexiones de esquina estructura 6. 118 Tabla 91. Deflexiones de esquina estructura 7. 118 Tabla 92. Deflexiones de esquina estructura 8. 119 Tabla 93. Deflexiones de esquina estructura 9. 119 Tabla 94. Esfuerzos de borde estructura 1. 120 Tabla 95. Esfuerzos de borde estructura 2. 121 Tabla 96. Esfuerzos de borde estructura 3. 122 Tabla 97. Esfuerzos de borde estructura 4. 123 Tabla 98. Esfuerzos de borde estructura 5. 124 Tabla 99. Esfuerzos de bordes estructura 6. 125 Tabla 100. Esfuerzos de borde estructura 7. 126 Tabla 101. Esfuerzos de borde estructura 8. 127 Tabla 102. Esfuerzos de borde estructura 9. 128 Tabla 103. Deflexiones de borde estructura 1. 131 Tabla 104. Deflexiones de borde estructura 2. 131 Tabla 105. Deflexiones de borde estructura 3. 132 Tabla 106. Deflexiones de borde estructura 4. 132 Tabla 107. Deflexiones de borde estructura 5. 133 Tabla 108. Deflexiones de borde estructura 6. 133 Tabla 109. Deflexiones de borde estructura 7. 133 Tabla 110. Deflexiones de borde estructura 8. 134 Tabla 111. Deflexiones de borde estructura 9. 134 Tabla 112. Esfuerzos de interior estructura 1. 135 Tabla 113. Esfuerzos de interior estructura 2. 136 Tabla 114. Esfuerzos de interior estructura 3. 137 Tabla 115. Esfuerzos de interior estructura 4. 138 Tabla 116. Esfuerzos de interior estructura 5. 139 Tabla 117. Esfuerzos de interior estructura 6. 140 Tabla 118. Esfuerzos de interior estructura 7. 141 Tabla 119. Esfuerzos de interior estructura 8. 142 Tabla 120. Esfuerzos de interior estructura 9. 143 Tabla 121. Deflexiones de interior estructura 1. 146 Tabla 122. Deflexiones de interior estructura 2. 146 Tabla 123. Deflexiones de interior estructura 3. 147 Tabla 124. Deflexiones de interior estructura 4. 147 Tabla 125. Deflexiones de interior estructura 5. 148 Tabla 126. Deflexiones de interior estructura 6. 148 Tabla 127. Deflexiones de interior estructura 7. 148 Tabla 128. Deflexiones de interior estructura 8. 149 Tabla 129. Deflexiones de interior estructura 9. 149 Tabla 130. Presión de inflado de los neumáticos. 153 Tabla 131. Separación entre ruedas. 155 Tabla 132. Ancho de neumático. 156 Tabla 133. Esfuerzos y deflexiones en función del espesor de la losa 158 Tabla 134. Esfuerzos y deflexiones en función del módulo de la losa 160

Tabla 135. Esfuerzos y deflexiones en función de la relación de Poisson 162 Tabla 136. Esfuerzos y deflexiones en función del espesor de la base 164 Tabla 137. Esfuerzos y deflexiones en función del módulo de la base. 166 Tabla 138. Esfuerzos y deflexiones en función del módulo la subrasante. 168 Tabla 139. Esfuerzos y deflexiones en función del espesor de la losa. 171 Tabla 140. Esfuerzos y deflexiones en función del módulo de la losa. 173 Tabla 141. Esfuerzos y deflexiones en función de la relación de Poisson. 174 Tabla 142. Esfuerzos y deflexiones en función del espesor de la base estabilizada. 176 Tabla 143. Esfuerzos y deflexiones en función del módulo de la base estabilizada. 178 Tabla 144. Esfuerzos y deflexiones en función del espesor la base granular. 180 Tabla 145. Esfuerzos y deflexiones en función del módulo de la base granular. 182 Tabla 146. Esfuerzos y deflexiones en función del módulo de la subrasante. 184 Tabla 147. Peso Máximo por eje 186 Tabla 148. Esfuerzos set de dos ruedas estructura bicapa. 217 Tabla 149. Deflexiones de dos ruedas estructura bicapa. 219 Tabla 150. Esfuerzos set de dos ruedas estructura tricapa. 223 Tabla 151. Deflexiones set de dos ruedas estructura tricapa. 225 Tabla 152. Esfuerzos set de dos ruedas estructura cuatricapa. 229 Tabla 153. Deflexiones set de dos ruedas estructura cuatricapa. 230

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INTRODUCCIÓN

El diseño y la construcción de vías resulta ser un procedimiento complejo debido a las diversas situaciones de peligro a las que están expuestos los usuarios al momento de transitar por ellas, esto se debe a las posibles fallas que se generan en la etapa de diseño y otras en la etapa de construcción, por lo cual es primordial en la elaboración de un proyecto vial garantizar su calidad y priorizar la seguridad de los actores viales que hagan uso de ella. El proceso de estructuración de un proyecto vial precisa de herramientas aptas para hacer de éste un modelo con resultados óptimos y confiables, como los obtenidos mediante el programa EVERFE 2.25, un software planteado como herramienta que se adapta al diseño sobre cualquier tipo de pavimento rígido, partiendo de un estudio con modelos finitos que es el que se plantea en la presente investigación, debido a que actualmente en Colombia, la modelación de pavimentos se realiza por medio de un software cuyo modelaje es estático e impide la representación de las características reales de las vías para transporte de carga pesada como tractomulas, Transmilenio y buses intermunicipales, entre otros. Ejemplo de esto es el modelo WESTERGAARD aplicado en Colombia, que además de no representar un análisis de esfuerzos y deformaciones bajo las condiciones específicas de nuestra infraestructura de transporte, es aplicado de la misma forma en todo el territorio colombiano haciendo caso omiso de la variación de su geografía, la composición geotécnica, las espectros de cargas, lo cual resulta ser de gran importancia para este tema que al no ser tenido en cuenta afianza la accidentalidad y el deterioro de la infraestructura vial. En Colombia el desconocimiento de herramientas de diseño actualizadas y dinámicas fomenta la inseguridad en las vías y disminuye la calidad en los proyectos haciendo indispensable la implementación de programas como el EVERFE 2.25 que permite analizar con detenimiento el diseño de un pavimento rígido por medio del método de elementos finitos, estructurando el pavimento en múltiples capas con sus características propias y modelando la interacción de las losas con dovelas, teniendo en cuenta los puntos críticos de esfuerzos y deflexión presentes en la esquina, el centro y el borde de cada loza y evaluando los estados tensionales en la totalidad del pavimento, aumentando así las posibilidades de mejora en la calidad de los proyectos y garantizando la seguridad de la vía a transitar, siendo este programa apto para modelar los diversos escenarios de transporte de carga y las condiciones geotécnicas de los terrenos a pavimentar en Colombia. La problemática “se centra en el análisis de esfuerzos y deformaciones en pavimentos rígidos que se empezó a desarrollar mediante la aplicación de fórmulas, gráficos, ábacos que simulan la teoría de un sistema de capas elástico y lineal, inicialmente Boussinesq en 1925”1 represento matemáticamente el esfuerzo de una masa de suelo que soporta una carga concentrada aplicada en un semiespacio lineal, elástico, isótropo y

1 HUANG, Yang. Pavement Analysis and Design. New Jersey: Pearson Prentice Hall, 2004. p. 210.

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homogéneo, más tarde Burmister en 1945, propuso la primera teoría mecanicista para determinar los esfuerzos en pavimentos rígidos, esta teoría evalúa la las características mecánicas de los estratos y las respuesta de estos ante la aplicación de una carga, las investigaciones en esta área de la ingeniería condujeron a una mejor modelación matemática del pavimento en sus condiciones reales como una estructura multicapa con un comportamiento elástico y lineal, representando distintas condiciones de frontera, de acuerdo con WESTERGAARD, Palmer y Barber, Odemark y otros2 ; estos modelos describen el funcionamiento del sistema en el cual, la presión ejercida por un rueda es muy alta para ser soportada por el suelo natural y se requiere de una estructura de pavimento que disipe los esfuerzos para que sean soportados por la subrasante. Finalmente, en la actualidad aparecen los métodos computacionales mediante modelos numéricos y matemáticos que usan procesadores veloces permitiendo a los diseñadores un acercamiento desde el área científica a la mecánica de pavimentos con la modelación bidimensional y tridimensional aplicando elementos finitos y llevando toda la experiencia de la teoría mecanicista a un modelo computacional que represente la reacción de cada una de las capas que conforman el pavimento ante el estímulo de las cargas de tránsito y los factores ambientales. El desarrollo de la Ingeniería Colombiana ha implementado las metodologías de diseño publicadas por las investigaciones de la AASHTO 1993, la PCA 1984 y la metodología ICPC – INVIAS- 2008, estos procedimientos de diseño evalúan la resistencia de las losas de concreto, la magnitud del tránsito, el periodo de diseño y consideran factores ambientales, ambos métodos incorporan el concepto de subrasante liquida o Winkleriana desarrollado por WESTERGAARD representando la subrasante por un conjunto de resortes independientes con una constante de reacción conocida como módulo de reacción de la subrasante K. Estos métodos tradicionales de diseño de pavimentos en concreto han demostrado una alta confiabilidad que se basa en premisas empíricas específicas de Estados Unidos, pero que en las condiciones colombianas no ha sido suficientes para poder predecir el comportamiento de una estructura de pavimento a lo largo de un periodo de diseño soportando un espectro de cargas y desarrollando un modelo de fatiga específico para cada material. Evidencia de esto es el estado actual de la obra de pavimento en concreto más importante y costosa del país, los carriles exclusivos de Transmilenio en Bogotá, construidos sobre la Avenida Norte y la Caracas con más de 8.573 losas de concreto con un periodo de diseño a 20 años. Estas vías fueron puestas en servicio en el año 2000 y al año 2006 ya estaba fallado más del 50% de las losas3.

En Colombia existe la necesidad que el estudiante, el diseñador y el investigador de pavimentos en concreto implemente nuevas herramientas de análisis que complementen los métodos tradicionales de diseño, desarrollando un conocimiento a nivel de profundización de la mecánica de pavimentos en concreto, para asegurar la calidad de

2 Ibid., p. 213 3 BELTRÁN MORENO, Lisandro. Las fallas de los pavimentos de Transmilenio [recurso en línea]. 2004. [consultado el 13 de mayo de 2017]. Disponible en < http://historico.unperiodico.unal.edu.co/ediciones/57/06.htm>

http://historico.unperiodico.unal.edu.co/ediciones/57/06.htm

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sus diseños. “la mecánica de pavimentos es tema de básico conocimiento por parte de los Ingenieros de carreteras, porque de su análisis, se generan los parámetros fundamentales para el diseño de nuevas estructuras de pavimentos o la evaluación de las estructuras existentes” 4 . Como solución a esta problemática este trabajo de investigación propone el desarrollo de la metodología de elementos finitos para modelar pavimentos en concreto implementando el programa computacional EVERFE 2.25. El diseño de pavimentos flexibles incorpora el uso de variados programas de cálculo para esfuerzos y deflexiones como Weslea, Winjulea, Everstress, Pitra, Cedem, entre otros, que permiten modelar estructuras multicapa variando cargas, espesores y resistencia de los materiales asegurando la calidad de los diseños. En el diseño de pavimentos en concreto se cuentan con programas como Kenpave – KENSLABS teniendo la limitación de que son pocos los programas que permiten modelar estructuras multicapa, configuraciones variadas de las carga, espesores y calidad de materiales, para verificar y obtener mayor calidad en los diseños, entre los programas disponibles se tiene a YANG H. HUANG con el programa KENSLABS5 de uso libre, tiene la limitación de que no permite modelar una estructura multicapa, se tiene el programa ISLAB2000 de licencia comercial uso restringido este permite modelar estructuras multicapa y variadas condiciones de carga y adicionalmente existen empresas que diseñan sus propios programas de calculo que son de uso comercial y difícil acceso. El desarrollo e implementación de la herramienta computacional EVERFE 2.25 para el análisis de esfuerzos y deflexiones en pavimentos en concreto es pertinente y coincide con los objetivos científicos que persigue el grupo de investigación y desarrollo en infraestructura vial – GRINFRAVIAL - categorizado en Colciencias. La presente investigación tiene como aporte principal el análisis los esfuerzos y deflexiones de una estructura de pavimento rígido aplicando la metodología de elementos finitos con el programa EVERFE 2.25, validando sus resultados con las metodologías más usadas e implementar su uso en la academia y grupos de investigación de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia, también implementar su uso nivel profesional, para lograr esta meta, en este trabajo se presenta el desarrollo los siguientes objetivos: Objetivo 1: Establecer similitudes y diferencias entre las fórmulas de WESTERGAARD y EVERFE, en el cálculo de esfuerzos y deflexiones. En el capítulo 2 se realizó un análisis comparativo entre la metodología de WESTERGAARD y el programa EVERFE, modelando estructuras con losas delgadas y 4 HIGUERA SANDOVAL, Carlos Hernando. Manuales de mecánica de pavimentos. Escuela de

Transporte y Vías. Facultad de Ingeniería. Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia.

Tunja. 2007. p. 83. 5 BORDA ALVAREZ, Franklin Alberto. Implementación del paquete computacional KENSLABS

para el análisis de esfuerzos y deflexiones en pavimentos rígidos. Tesis de grado. Escuela de

Transporte y Vías. Facultad de Ingeniería. Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia.

Tunja. 2005. p. 11.

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gruesas de 10, 20 y 30 cm de espesor, combinadas con subrasante débiles y fuertes de 100, 200 y 300 Pci de módulo de reacción, obteniendo 9 estructuras, cada una se analizó con un espectro de 10 valores de carga realizando 90 ensayos de modelación para carga en la esquina y de igual manera para carga en el borde e interior de la losa, aportando un estudio muy completo que representa múltiples condiciones reales de los pavimentos, desde estructuras robustas usadas en autopistas principales o aeropuertos y estructuras sencillas usadas en zonas residenciales con trafico liviano, encontrando que las dos metodologías son válidas y presentan resultados muy parecidos para los esfuerzos y deflexiones de la losa. Objetivo 2: Validar los resultados de esfuerzos por gradiente de temperatura entre EVERFE y el modelo determinístico de BRADBURY. En el capítulo 3 se modelo una estructura de pavimento típica con las fórmulas de BRADBURY y el programa EVERFE, se calcularon los esfuerzos de alabeo realizando una análisis de sensibilidad con las siguientes variables, 15 estructuras con losa cuadrada, 10 modelos de losa asimétrica, 10 espesores de losa, 10 gradientes de temperatura, 10 coeficientes de dilatación y 10 módulos de reacción de la subrasante, realizando 65 ensayos de computo que abarcan la mayoría de estructuras tipo robustas de usos industrial y estructuras sencillas para vehículos livianos que se construyen en casos reales, se concluye en el estudio que las dos metodologías son válidas en sus resultados y se puede implementar el programa EVERFE en la academia, la investigación y el área profesional. Objetivo 3: Comparar la modelación de esfuerzos y deflexiones entre KENSLABS y EVERFE para las cargas de borde, centro y esquina de la losa. Este objetivo se desarrolló en el capítulo 4, donde se modelaron 9 estructuras con el programa EVERFE y el programa KENSLAB, cada una con un espectro de 10 valores de carga, similar al procedimiento del objetivo 1, teniendo 90 modelos estructurales para carga de esquina, la carga de borde y la carga en el interior de la losa, los valores obtenidos son similares tanto para esfuerzos y deflexiones, obteniendo valores con EVERFE superiores en los casos de carga en la esquina y carga en el interior de la losa, y valores idénticos para el caso de carga en el borde. Objetivo 4: Realizar un análisis de la mecánica de pavimentos rígidos con estructura bicapa y tricapa a partir de la sensibilidad del espesor de las capas y la resistencia de los materiales, aplicando EVERFE. Para alcanzar este objetivo en el capítulo 5, se modelaron con EVERFE dos estructuras de pavimento rígido, una bicapa y otra tricapa, se desarrolló un análisis de sensibilidad modificando las siguientes variables en cada estructura 15 espesores de losa, 10 módulos elásticos de la losa, 9 relación de Poisson, 10 espesores de la base, 10 módulos elásticos de la base y 10 módulos de reacción de la subrasante, realizando en total 64 modelaciones para calcular el esfuerzo y la deflexión por carga en la esquina, el borde y el interior de la losa, el estudio permitió establecer que para la estructura bicapa la única

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variable que influye sobre los esfuerzos y deflexiones es el espesor de la losa, y para una estructura tricapa la variable más influyente en los esfuerzos y deflexiones es el espesor de la base estabilizada. El aporte significativo en este capítulo es que con EVERFE se logró realizar el análisis al comportamiento de estructuras bicapa y tricapa, que incluyen base granular y base estabilizada, lo cual no se puede hacer con las fórmulas de WESTERGAARD, mostrando que una base estabilizada con mayor módulo influye directamente en los estados de esfuerzos de la losa. Objetivo 5: Determinar el cono de esfuerzos generados por un eje sencillo, un eje tándem y un eje trídem en una losa de concreto, aplicando EVERFE. Para lograr este objetivo en el capito 6 se realiza la modelación de una estructura multicapa compuesta por la losa de concreto, base granular, subbase granular y subrasante, la cual soporta la carga de un eje sencillo con rueda doble en la esquina, el borde y el interior de la losa, para cada caso de carga se determinó la ubicación del esfuerzo máximo y se trazado un eje transversal a la losa que pasara por el punto del esfuerzo máximo, luego se calculó con EVERFE el valor del esfuerzo cada 10 cm sobre el eje trazado hasta cubrir el ancho total de la losa que es de 3.6 m, obteniendo el cono de esfuerzos, este procedimiento se aplicó para el eje tándem doble rueda y el eje tridem doble rueda, logrando aportar un gran avance en el estudio de la mecánica de pavimentos rígidos, al dar a conocer no solo el punto de esfuerzo máximo, sino también como se comporta este esfuerzo a través de la losa, también se logra analizar los diferentes ejes de carga actuando sobre la losa, estos análisis no son posibles con las metodologías de fórmulas que se aplican comúnmente, pero la implementación de EVERFE cambia totalmente estas limitaciones.

Objetivo 6: Hallar la ubicación crítica en la cual un semieje sencillo de rueda doble genera los valores máximos de esfuerzo y deflexión en una losa de pavimento rígido, aplicando EVERFE. En el capítulo 7 se realiza la modelación de una set de dos ruedas ubicado en 21 posiciones diferentes sobre la losa de concreto, este análisis se realiza para una estructura de pavimento bicapa, tricapa y cuatricapa, el resultado del análisis nos aporta un conocimiento sobre el comportamiento de pavimentos multicapa ante un semieje de dos ruedas, las metodologías tradicionales de fórmulas no permiten analizar estructuras multicapa, también se determinó que el esfuerzo más alto es el de carga en el borde de la losa para los modelos bicapa y tricapa, pero para estructuras cuatricapa que incluyen una base estabilizada, el esfuerzo máximo se ubica en la esquina de la losa

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1. MARCO TEÓRICO El desarrollo de los distintos métodos de análisis de esfuerzos y deflexiones en pavimentos rígidos ha buscado brindar las herramientas básicas para que las estructuras de pavimentos se puedan representar a través de fórmulas y cartas de diseño, estos métodos de análisis nacen primeramente en actividades empíricas y con el desarrollo de la tecnología han llegado a los programas computacionales de la actualidad los cuales reúnen toda la experiencia recogida y la colocan a disposición del usuario para procesar la información a grandes velocidades. 1.1 MECÁNICA DE PAVIMENTOS CON ELEMENTOS FINITOS El análisis de esfuerzos y deflexiones en pavimentos rígidos aplicando la metodología de elementos finitos se desarrolla con el objeto de modelar las propiedades mecánicas de los materiales, como módulos de elasticidad, módulos de rigidez, relaciones de Poisson entre otros, dándole un enfoque mecanicistico al diseño de pavimentos, la llegada de los computadores con gran velocidad para desarrollar cálculos numéricos permitió crear programas de elementos finitos bidimensionales y tridimensionales que han aportado a las metodologías vigentes para el diseño de pavimentos. La primera metodología para el diseño de pavimentos rígidos es propuesta por la AASHTO, American Association of State Highway and Transportation Officials, la cual se desarrolló a partir del análisis de los resultados del experimento de carreteras o Aashto Road Test llevado a cabo desde 1950 en Illinois, en 1961 se publicó la primera edición titulada AASHTO Interim Guide for the Design of Rigid and Flexible Pavements, la cual fue actualizada posteriormente en 1972, 1981, 1983 y 1993, en 1998 se publicó una adición complementaria a la norma de 1993 con un método alternativo para el diseño de pavimentos rígidos y el diseño de juntas, que incluye variables mecánicas para los materiales de concreto y la base granular, en el año 2004 se publicó the Mechanistic-Empirical Pavement Design Guide (MEPDG)6 Incorporando características del comportamiento de los materiales en el diseño de los pavimentos, en el año 2008 se publicó la primera actualización de la guía MEPDG, la cual presenta el diseño de pavimentos a partir de la ingeniería mecánica de los materiales, proceso validado ampliamente con los datos obtenidos en los experimentos de carreteras, esta metodología es el mayor cambio que se ha dado en los procesos de diseño de pavimentos7, en 2015 se publicó la segunda edición de la guía MEPDG, a pesar de las nuevas investigaciones y ediciones complementarias, a nivel nacional y latinoamericano la edición más utilizada para el diseño de pavimentos es la guía AASTHO 1993 que se encuentra en su cuarta edición.

6 RAHN, Pete. Mechanistic–Empirical Pavement Design Guide. MEPDG. Estados Unidos. 2008. p. 3. 7 JAÑA ARELLANO, Cristian. Implementación de la guía de diseño mecanístico-empírico AASHTO 2008 en la región Piura. Universidad de Piura. Perú. 2016. p. 7.

https://es.wikipedia.org/wiki/American_Association_of_State_Highway_and_Transportation_Officials

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La metodología de la Aashto se basa en una investigación totalmente empírica, observando el comportamiento de las estructuras del pavimento ante las solicitaciones de las cargas, las variables determinadas por el Aashto Road Test para determinar el espesor de la losa se relacionan en la ecuación Aashto 1993 para pavimentos rígidos. Paralelamente a las publicaciones de la Aashto, la PCA, Portland Cement Association, publico en 1966 una nueva metodología para el diseño de pavimentos rígidos titulada Thickness design for concrete pavements, implementando el concepto de fatiga y los análisis desarrollados por WESTERGAARD para un plato sobre una subrasante densa y liquida, los cuales fueron representados con las cartas de influencia por Pickett and Ray. Esta metodología determinaba el espesor de la losa en función de la repetición de cargas para evitar la fractura por fatiga, los resultados del Aashto Road Test ayudaron a calibrar esta metodología de diseño. El método se siguió mejorando con los aportes de E. J. Yoder, G. Ray, R. Packard, and B. Colley presentados en la primera conferencia internacional de pavimentos de hormigón realizado en la universidad de Purdue en 1977, seguidamente con la invención de los computadores y la metodología de los elementos finitos la PCA amplio el alcance de su metodología de diseño incluyendo el efecto de la dovelas y bermas con pasadores en el espesor de la losa, el procedimiento desarrollado por Darter and Barenberg en 1977 para “la FHWA junto con el procedimiento desarrollado por Tayabji, Colley y Packard ingenieros de la PCA en 1984, constituyeron la nueva metodología presentada por la PCA en 1984, la cual es la metodología vigente para el diseño de pavimentos rígidos”8 La metodología de la PCA evalúa dos criterios de falla para el pavimento, la falla por fatiga, que consiste en la acumulación de esfuerzos y deflexiones los cuales pueden generar La figuración de la losa, el paso de una carga sobre la losa genera un esfuerzo de flexión ya sea en la esquina, en el borde o el interior de la losa, la fatiga se da cuando la losa ha soportado muchos eventos de carga y se agota la resistencia del material presentando una fisura, la PCA utiliza el factor de relación de esfuerzos dividiendo el esfuerzo de flexión sobre el módulo de rotura del concreto para determinar el número de repeticiones del esfuerzo que puede soportar la losa antes de fallar. El segundo criterio es la falla por erosión, esta se da cuando existe perdida de material de la base a través de las juntas conocido como bombeo, el cual es causado debido al paso repetitivo de cargas pesadas que ejercen una presión sobre el agua acumulada bajo la losa, la cual al estar presionada busca salir a la superficie arrastrando material de base y creando espacios vacíos debajo de la losa con la consecuente pérdida de soporte, esto afecta directamente la deflexión de la losa en las esquinas, los bordes y las juntas. El desarrollo de metodologías para el diseño de pavimentos se originó con un enfoque empírico observado resultados en las pruebas de carreteras de la Aashto, e

8 CASTAÑEDA CARDOZA, Milagro; GOMEZ PEREZ, Dennis y MACIAS LEIVA, Michelle. Desarrollo de alternativa de diseño de estructura de pavimento de concreto hidráulico mediante el método mecanicista empírico en el Salvador. Universidad del Salvador. Ciudad Universitaria. 2015. p. 48

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interpretándolas mediante fórmulas y monogramas de diseño, por su parte la PCA enfoco el diseño de pavimentos rígidos en una metodología mecanicista, analizando las características mecánicas de los materiales y su respuesta ante las solicitaciones de tráfico, la metodología mecanicista PCA se ajustó con los resultados empíricos de la Aashto y con el desarrollo de test de carreteras, la metodología Aashto o se mantiene netamente empírica hasta la edición 1993 que es la que se utiliza ampliamente a nivel internacional, actualmente Aashto combina los enfoques empírico y mecanicista, incluyendo programas de computadora en la guía MEPDG. Con el desarrollo de los métodos numéricos se han diseñado variados programas de computadora para el análisis de esfuerzos y deflexiones en pavimentos asfalticos entre ellos tenemos los siguientes: programas usados en pavimentos asfálticos, programas especializados en pavimentos rígidos y programa EVERFE 2.25 1.1.1 Programas usados en pavimentos asfálticos Es importante saber que los pavimentos asfálticos “en general, están constituidos por una capa delgada de mezcla asfáltica construida sobre una capa de base y una capa de sub-base las que usualmente son de material granular”9 Tabla 1. Programas usados en pavimentos asfálticos.

Fuente: Circular EC-118 Algunos programas desarrollados específicamente para el análisis de pavimentos rígidos aplicando la metodología de elementos finitos y que se utilizan ampliamente son:

9 VILLARROEL, Leandro. Propiedades del asfalto. [recurso en línea]. 2016. [consultado el 27 de junio de 2016]. Disponible en: http://propiedadesdelasfalto.blogspot.com/2016/06/propiedades-del-asfalto-losasfaltos-son.html

ProgamaTipo de

Análisis

Número

máximo

de capas

Número

máximo

de cargas

Soporte Técnico

BISAR MLE 5 10 Shell Internacional

ELSY MLW 5 10 HA (USB) - Administración federal de carreteras

PDMAP MLW 5 2 NCHRP - Programa de cooperación nacional en investigación de carreteras

JULEA MLE 5 4 USACE WES - Cuerpo de ingenieros de la armada de los estados unidos

CIRCLY MLE 5+ 100 MINCAD, Australia - Grupo especialista en mecánica computacional

VESYS

MLE ó

MLVE 5 2 FHWA - Administracion federal de carreteras

VEROAD MLVE 5 Universidad tecnologica de Delft

ILLIPAVE FE 15 1 Universidad de Illinois

FENLAP FE 1 Universidad de Nottingham

SAPSIM MLE N capas Múltiple Universidad del estado de Michigan

*MLE -Elástico multicapa

*MLVE - Visco elástico multicapa

*FE - Elementos finitos

http://propiedadesdelasfalto.blogspot.com/2016/06/propiedades-del-asfalto-losasfaltos-son.html


25

1.1.2 Programas especializados en pavimentos rígidos En cuanto a los pavimentos rígidos se tiene que “son aquellos formados por una losa de concreto Portland sobre una base, o directamente sobre la sub-rasante. Transmite directamente los esfuerzos al suelo en una forma minimizada, es auto-resistente, y la cantidad de concreto debe ser controlada”10 Tabla 2. Programas especializados en pavimentos rígidos. Fuente: Apéndice QQ guía MEPDG. ILLI-SLAB fue desarrollado por Tabatabie and Barenberg 1980, incorpora una variedad de modelos para la subrasante que brinda una mejor caracterización del soporte de la losa, fundación Winkleriana o liquido denso, subrasante elástica y paramétrica entre otros. El programa ISLAB2000 es una licencia de pago, fue usado en el desarrollo de la guía MEPDG para determinar los esfuerzos críticos en la superficie del pavimento y los esfuerzos críticos del refuerzo en pavimento continuo, se considera como uno de los programas más avanzado, permite analizar varios tipos de subrasante, condiciones de contacto total y parcial entre capas, gradientes de temperatura lineales y no lineales, juntas discontinuas y fisuras con determinada profundidad, tiene una avanzada interface gráfica para el usuario. 1.1.3 Programa EVERFE 2.25

El programa EVERFE 2.25 fue desarrollado por la Universidad de Maine y la Universidad de Washington con financiación de los Departamentos de Transporte del Estado de Washington y California, es una herramienta computacional que permite la modelación tridimensional de un pavimento en concreto aplicando elementos finitos, es una licencia de uso público aplicada en el campo de la investigación y diseño. El programa EVERFE es una licencia de uso libre, hace parte de los programas usados como una herramienta de análisis de pavimentos rígidos por la guía MEPDG, permite obtener los esfuerzos y deflexiones en la superficie y base del pavimento, modelar

10 CENTENO, Oswaldo. Pavimentos rígidos. [recurso en línea] 2010. [consultado el 20 de abril de 2010]. Disponible en: http://oswaldodavidpavimentosrigidos.blogspot.com/

ProgramaBase

teórica

Número máximo

de capasDesarrollador

ILLI-SLAB FE 2 Universidad de Illinois

ISLAB 2000 FE 10 ARA - Applied research associates

WESLIQID FE 2 Chou 1981

J-SLAB FE 1 Galaxy Scientific Corp

FEACONS-IV FE 1 Choubane and Tia 199

KENSLAB FE 2 Huang 1993

KOLA FE 1 Kok 1990

EVERFE FE 4 Davids, Turkiyyah, and Mahoney 1998

http://oswaldodavidpavimentosrigidos.blogspot.com/

26

gradientes de temperatura lineales y no lineales, losas de concreto con dovelas y barras de transferencia, tiene una potente interface gráfica que permite simular los desplazamientos de la losa y las capas, junto con los esfuerzos generados, el manual de usuario se presenta en el anexo 1 de este trabajo. El programa EVERFE, hace parte de los programas usados como una herramienta de análisis de pavimentos rígidos por la guía MEPDG, permite obtener los esfuerzos y deflexiones en la superficie y base del pavimento, modelar gradientes de temperatura lineales y no lineales, losas de concreto con dovelas y barras de transferencia, tiene una potente interface gráfica que permite simular los desplazamientos de la losa y las capas, junto con los esfuerzos generados. El software permite modelar un pavimento compuesto hasta de 9 losas unidas con dovelas y pasadores, soportadas por 3 capas de material de base sobre una subrasante Winkleriana. Permite modificar variables como resistencia y espesor de las capas de soporte, resistencia, espesor y geometría de las losas de concreto, y resistencia, espaciamiento y ubicación de las dovelas de transferencia de carga. Igualmente, modela 6 configuraciones para cargas de tránsito, una sola rueda, eje sencillo, eje sencillo tándem, eje doble, eje doble tándem y un eje con múltiples ruedas, en la posición que requiera la investigación o el modelo que se analiza. EVERFE implementa la metodología multigrid para la solución de problemas a gran escala con elementos finitos, problemas que abarcan materiales heterogéneos, contactos no lineales y múltiples tipos de elementos. El análisis de una estructura de pavimento rígido cono la mostrada en La figura 1 tiene variables muy complejas como la separación de la losa y las capas de base, los gradientes de temperatura, modelos de juntas combinados con elementos solidos que se doblan y modelación de capas de base con propiedades diferentes. EVERFE realiza una simulación precisa y exhaustiva de este modelo con el uso del modelo tridimensional de elementos finitos, el cual exige un mayor tiempo de cálculo y memoria de los equipos de cómputo. Figura 1. Análisis de una estructura de pavimento rígido Fuente: Autor.

27

1.1.3.1 Capas de base: El sistema de ecuaciones lineales para resolver los desplazamientos de la capa de base se expresa de la siguiente manera: P=KU (1) Donde, P= Vector de fuerzas aplicadas K = matriz de rigidez U= vector de desplazamientos La solución común de este sistema es que la matriz K es construida con matriz triangular, superior e inferior, y la solución del vector U se obtiene con sustitución y retro cálculo, EVERFE aplica un método iterativo de mayor eficiencia llamado multigrid. Si se tiene que U* es la solución exacta para los desplazamientos de la base entonces se puede definir el error como e = U* - U, entonces, el vector residual de fuerzas en los nodos r puede definirse como: r= P – KU o r= Ke (2) Para resolver la Ecuación 1, la metodología multigrid realiza un pequeño número de iteraciones de Gauss-Seidel para un mallado más fino, esta técnica estándar de iteración es llamada suavizado y se aplica para remover la elevada frecuencia de errores en las componentes, para mallados gruesos, la baja frecuencia de errores en los componentes se aproxima de manera directa con una solución sencilla. La figura 2 muestra el algoritmo multigrid y un esquema de dos mallas, una gruesa y una fina. EVERFE se basa en el esquema multigrid ciclo V, donde el vector de fuerzas residuales r esta secuencialmente restringido partiendo de una malla fina a una malla gruesa con una metodología Gauss-Seidel simétrica aplicada en cada paso, continuando con la solución en el mallado grueso, el vector aproximado de errores es secuencialmente interpolado y suavizado desde el mallado grueso al mallado fino. EVERFE aplica el método del gradiente conjugado como condición previa al ciclo V del multigrid, tomando ventaja de la solución simétrica y positiva de la Ecuación 1. Se llega a una solución cuando el análisis converge a la siguiente tolerancia: IIRII / IIPII < 10-5

28

Figura 2. Algoritmo multigrid.

Fuente: Autor. La figura 3 muestra el análisis multigrid, en la cual se refleja el suavizado, la restricción y la interpolación. Figura 3. Análisis multigrid. Fuente: Autor. Una de las principales dificultades en la implementación del análisis multigrid con el ciclo V para secuencias de mallado con dominios no homogéneos, como la que se presenta en fundaciones por capas, es definir de manera apropiada los factores de restricción e interpolación. La restricción puede verse como el cálculo del vector de fuerzas en un mallado grueso que es estáticamente equivalente al vector conocido de fuerzas para un mallado fino. Este proceso se denota matricialmente de la siguiente manera: En la ecuación 2 = rc = Rrf dónde: rc es el vector de fuerzas residuales del mallado grueso, en la ecuación 3 rf el vector de fuerzas conocido del mallado fino y R es el factor de restricción.

29

De manera similar, el proceso de interpolación se define como la aproximación del error en la malla fina para el vector de desplazamientos partiendo del vector de errores conocido para la malla gruesa, usando el factor de interpolación T. En la ecuación 4 = ef = Tec dónde: ef es el error en el vector de desplazamientos para la malla fina, ec el vector de errores conocido del mallado grueso y T es el factor de interpolación. La metodología multigrid usada por EVERFE se basa en la forma de la función del elemento para definir los factores R y T. el proceso de las Ecuaciones 2 y 3 e desarrolla nodo por nodo para determinar por cada nodo de la malla fina que se encuentra dentro de los paramentos conocidos el elemento en la malla gruesa que le corresponde y las coordenadas de dicho elemento. 1.1.3.2 Modelación juntas con dovelas: La técnica de análisis de juntas se basa en un elemento finito embebido con las siguientes características:

La dovela puede estar ubicada sin tener en cuenta el mallado de la losa

La dovela puede estar relativamente suelta respecto a la losa

Los espacios entre la dovela y la losa se pueden modelar usando el enfoque de nodos de contacto.

Para modelar la parte de la dovela embebida en la losa se usa un elemento de biga cuadrática de tres nodos con 18 grados de libertad y para el espacio de la junta se aplica una viga convencional de 2 nodos.

Figura 4. Modelación con dovelas. Fuente: Autor. La función de los desplazamientos nodales en el tramo embebido de la dovela se basa en los desplazamientos nodales del solido en el que se encuentra embebido, pueden existir condiciones de espacios entre la dovela y la losa. Considerando un elemento de dovela con un vector de desplazamientos nodales Ud y matriz de rigidez Kd, el vector de desplazamientos se puede expandir hasta incluir el vector del desplazamiento del elemento solido que contiene a la dovela.En la ecuación 5 Ude = [ Ud / Ue] El nuevo vector

30

de desplazamientos para el elemento embebido de la dovela Ud se puede ser calculado así: en la ecuación 6 Ud = TUde La matriz transformada T incorpora la información de brechas y desunión para cada nodo de la dovela. La matriz de rigidez de la dovela embebida se determina por: en la ecuación 7 Kde = TTKdT La matriz de rigidez tangente Kde incorpora los datos que rompen la linealidad del modelo que se derivan de condiciones nodales como la desunión y las brechas existentes. Figura 5. Matriz de rigidez de la dovela. Fuente: Autor. 1.1.3.3 Modelación juntas sin dovelas: El modelo de EVERFE para la interacción de juntas sin dovelas está basado en los análisis de Walraven para generar una interacción no lineal entre los agregados de las caras de una fisura. La fisura se asume como la frontera de los agregados, donde la partícula de agregado inicia un movimiento de fricción. Walraven asumió que las partículas del agregado presentan una gradación de acuerdo con la distribución de Fuller, siendo los parámetros del modelo el diámetro máximo de la partícula dmax y el porcentaje volumétrico del agregado, pk. Asumiendo un esfuerzo último en el ligante cementoso σpu y un coeficiente de fricción entre el agregado y el cemento de µ, y calculando las áreas de contacto proyectadas Ax y Ay con geometría deformada, para el diámetro de una partícula embebida se pueden calcular las fuerzas requeridas para el equilibrio Fx y Fy con las siguientes ecuaciones. En la ecuación 8 σ = σpu (Ax - µAy) y en la ecuación 9 = σpu (Ax + µAy). Dónde: σpu es el esfuerzo en el ligante cementoso, µ el coeficiente de fricción entre el cemento y el agregado, Ax proyección en x de la suma de las áreas de contacto, Ay

proyección en y de la suma de las áreas de contacto y es el esfuerzo de deslizamiento entre el cemento y el agregado.

31

Figura 6. Modelación juntas sin dovelas.

Fuente: Autor. 1.2 DESARROLLO DE EVERFE EN EL ANALISIS DE PAVIMENTOS RIGIDOS EVERFE es una herramienta computacional que está siendo aplicada ampliamente en Colombia y el resto del mundo para las investigaciones de esfuerzos y deflexiones en pavimentos rígidos, validando su uso y concluyendo que se requiere su implementación para mejorar la calidad en la formación de los profesionales en pavimentos, mejorar las herramientas de los grupos de investigación y dotar a los profesionales con herramientas de calidad y de actualidad tecnológica. Feng Mu y Julie M. Vandenbossche11 de la universidad de Pittsburgh en Estados Unidos, para el año 2016 desarrollaron el estudio titulado “Evaluation of the approach used for modeling the base under jointed plain concrete pavements in the AASHTO Pavement ME Design Guide” donde modelaron el comportamiento tensional del pavimento con diferentes tipos de bases que soportan la losa, siguiendo la metodología de la Guía de Diseño Mecanistico – Empírico de la AASHTO, para esta investigación se usaron los programas de elementos finitos EVERFE y ISLAB 2005, se modelo un conjunto de 6 losas de 20 cm de espesor por 3.6 m de ancho y 5.6 m de largo, sobre una base de 15 cm, el análisis incluyo 3 tipos de base, base estabilizada unida a la losa, base estabilizada sin unión con la losa y base granular sin unión con la losa, se evaluaron dos escenarios de carga, el primero solo con esfuerzos por gradiente de temperatura y el segundo adicionando dos ejes de 80kN uno en cada extremo de la losa actuando simultáneamente con el alabeo de la losa. En la investigación se evidencio que ISLAB 2005 estimo valores de esfuerzo menores para los casos de bases unidas a la losa que para bases sin unión, a diferencia de EVERFE que determino mayores tensiones para bases unidas a la losa excepto cuando predominaban las cargas del eje, concluyendo que EVERFE es más capaz de interpretar los esfuerzos reales cuando se combina el alabeo y las cargas por ejes, también se

11 FENG, Mu y VANDENBOSSCHE, Julie. Evaluation of the approach used for modeling the base under jointed plain concrete pavements in the AASHTO Pavement ME Deign Guide. En: International Journal of Pavement Research and Technology, núm.9, 2016. Pp. 264 – 269.

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1996681416300050#!

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evidencio que en el modelado de diferentes tipos de base la Guía ME de la AASHTO sobre estima los esfuerzos para las bases no unidas y subestima los esfuerzos de las bases unidas a la losa. La investigación realizada en el presente trabajo aporta un mayor alcance al modelar estructuras de pavimento con múltiples espesores de losa combinadas con capas de base y subbase de diferentes calidades, también se presenta la modelación de ejes sencillo, tándem y tridem, abarcando campos que Feng Mu y su equipo no estudiaron. En el 2017 Myriam Rocio Pallares y Julián Andrés Pulecio12 de la Universidad Sur Colombiana de Neiva Huila adelantan el estudio titulado “Análisis por temperatura de losas de concreto hidráulico para pavimentos por el método de elementos finitos” donde se modelo una estructura de pavimento compuesta por una losa de 20 cm de espesor, 3.6 m de ancho y 6 m de largo sobre una subrasante infinita con una interfaz no ligada, se analizaron los esfuerzos por temperatura y sus resultados se validaron con la metodología de Bradbury, se concluye en el estudio que el esfuerzo máximo se presenta en el interior de la losa para las dos metodologías y los valores obtenidos son muy similares, validando los resultados y recomendando aplicar el estudio en estructuras más robustas. Pallares y Pulecio realizan un análisis sencillo para losa de 20 cm, dejando un vacío para losas más delgadas, losas más robustas y losas simétricas, en su investigación recomienda abordar este tipo de estructuras en otros trabajos, como se realizó en la presente investigación al estudiar pavimentos de losas delgadas y losas robustas, variando las características de espesor de las capas y calidad de los materiales. Nikhil A. Maske, Anurag Anandkumar y Abhiranjan Majumder13, integrantes del G. H. Raisoni College of Engineering en la ciudad de Nagpur de la India en el año 2013 desarrollaron la investigación titulada “Analysis of rigid pavement stresses by Finite Element Method & Westergaard’s Method by varying sub-grade soil properties” donde aplicaron el programa EVERFE para modelar los esfuerzos de una losa simple de pavimento rígido de 3.6 m de ancho por 4.6 m de largo y un pequeño rango de 15 a 20 cm de espesor, con una base granular sobre una subrasante Winkleriana, se analizó una carga simple en el interior, borde y esquina de 126 kN, los resultados se compararon con el método de Westergaard concluyendo que este no es el único método para calcular tensiones en pavimentos rígidos, siendo los elementos finitos con EVERFE otro método confiable que describe con mayor detalle los esfuerzos generados por las cargas en la losa, la vida útil del pavimentos se puede prolongar usando el método de elementos finitos y el análisis de fatiga.

12 PALLARES, Myriam y PULECIO, Julián. Análisis por temperatura de losas de concreto hidráulico para pavimentos método de los elementos finitos. En: memorias de la décima sexta conferencia en sistemas cibernética e informática [CISCI], 2017. Pp115 – 119. 13 MASKE. Nikhil, ANANDKUMAR. Anurag y MAJUMDER, Abhiranjan. A. Analysis of rigid pavement stresses by Finite Element Method & Westergaard’s Method by varying sub-grade soil properties. En: International Journal of Engineering Science Invetion, vol. 2 núm. 3, marzo, 2013. Pp. 1-4

33

La investigación desarrollada en el presente trabajo analizo espesores de losas en un rango muy completo de 10 a 30 cm, con modelos de carga que incluyen los ejes sencillos, tándem y tridem, aportando un análisis en campos que no abordaron los ingenieros Nikhil A. Maske, Anurag Anandkumar y Abhiranjan Majumde. Para el año 2015, Jake Patrick Tobler14 de la Universidad de Southern Queensland en Australia desarrolla el trabajo titulado “Evaluation of EverFE Software for Designing Australian Concrete Pavements” al encontrar limitaciones en la guía de diseño para pavimentos rígidos Autroads que muestra como diseñar pavimentos de hormigón para Auatralia y se basa en el método analítico desarrollado por la Portland Cement Association en la década de 1960 el cual no tiene la capacidad de modelar condiciones futuras del tráfico, cambios en la posición de las cargas y esfuerzos por gradientes de temperatura, el autor emplea el programa EVERFE para evaluar las condiciones específicas de carga en Australia, trayectorias de ejes diferentes, esfuerzos por gradientes de temperatura, integrando el método de elementos finitos a la guía de diseño Autroads, se concluye en este trabajo que EVERFE permite proyectar el comportamiento del pavimento ante diferentes condiciones de carga impactando la calidad del diseño y garantizando un periodo de vida más amplio que el que se determina con la guía de diseño y es posible con el programa modelar las condiciones de carga que presenta Australia. Es un objetivo poder implementar el programa EVERFE en el diseño de pavimentos en Colombia, evaluando su desempeño como el trabajo realizado por Jake Patrick Tobler en Australia, implementándolo por la academia, la investigación y culminando en el área profesional, en este trabajo se da un primer paso al modelar las condiciones de los vehículos de carga en Colombia y las estructuras típicas que se construyen en nuestro país. En la universidad del estado de Iowa en Estados Unidos, los ingenieros Sunghwan KIM, Halil CEYLAN y Kasthurirangan Gopalakrishnan15, para el año 2014 desarrollaron la investigación titulada “Finite element modeling of environmental effects on rigid pavement deformation”, donde estudiaron la modelación de la deformación temprana de los pavimentos articulados ente las cargas ambientales con el método de elementos finitos aplicando el programa EVERFE y el programa ISLAB, el estudio realizo la modelación computacional, ensayos de laboratorio y la toma de medidas en pavimentos reales de campo en la ciudad de Iowa concluyendo que los programas tiene resultados similares con modelos de subrasante Winkleriana, se puede determinar un gradiente de temperatura haciendo coincidir la deformación del modelo computacional con la deformación medida en campo, las deformaciones calculadas por los programas son similares a las medidas en campo.

14 TOBLER, Jake Patrick. Evaluation of EverFE Software for Designing Australian Concrete Pavements. (Tesis de grado). University of Southern Queensland – Faculty of Engineering and Surveying. Australia. 2015. 15 KIM. Sunghwan, CEYLAN. Halil y GOPALAKRISHNAN. Kasthurirangan. Finite element modeling of environmental effects on rigid pavement deformation. En: Frontiers of Structural and Civil Engineering Journal, vol. 8, núm. 2. 2014. Pp. 101 – 114.

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En la Universidad Católica de Colombia las ingenieras Maria Monica Prieto Peña y Liz Stephanny Angel Ramos16 desarrollaron el trabajo titulado “Modelación Numérica de Pisos Industriales Considerando la Variabilidad en la Solicitación de Cargas” donde se utilizó el programa EVERFE realizando 15 modelaciones de pavimentos rígidos, se modelo un pavimento articulado en un sistema de losas de 2x2, aplicando tres valores de carga de 100, 200 y 300 kN sobre un pavimento articulado con 5 dimensionamientos diferentes, completando los 15 modelos del estudio, el espesor de las losas fue de 25 cm sobre una base de 15 cm y una subrasante Winkleriana, concluyendo que el programa EVERFE obtiene resultados similares a las metodologías de Westergaard y Bradbury en la modelación de pisos industriales. La investigación realizada por las ingenieras Prieto y Ángel aporta un paso en el conocimiento de EVERFE, pero 15 modelos computacionales no son suficientes para representar las condiciones de pavimentos en Colombia, en esta investigación se aporta un análisis muy completo empezando por las dimensiones de los pavimentos y los modelos de ejes de carga en distintas posiciones que representan la mayoría de las situaciones reales de carga en nuestro país. En el 2018 la ingenieras María Isabel Cogollo y Angie Yurley Silva17 de la universidad Católica de Colombia, para obtener el título de especialistas en ingeniería de pavimentos desarrollan el trabajo de grado titulado “Modelación Numérica de pavimentos Rígidos Mediante Modulación Convencional y de Losas Cortas” donde se aplica el programa EVERFE para modelar estructuras de pavimentos de losas cortas sin pasadores que soportan un eje de carga de 12 toneladas en la esquina, borde e interior de la losa, concluyendo que las losas cortas optimizan el diseño al disminuir notablemente lo esfuerzos, al ser cortas los esfuerzos por temperatura son mínimos y no afectan el diseño Se puede ver que EVERFE es una herramienta tecnológica que se debe implementar y dar a conocer, validándola con las metodologías actualmente utilizadas y desarrollando investigación con las fortalezas que presenta el programa, el aporte principal de esta investigación es presentar esa validación abarcando la mayoría de casos reales de pavimentos livianos y robustos, cargas simples y cargas complejas compuestas por ejes tándem y tridem, análisis de sensibilidad de estructuras bicapa y tricapa, esfuerzos específicos para cada tipo de eje de carga en Colombia, áreas de investigación en las que otros trabajos se han quedado cortos y solo estudian una pequeña parte de casos muy específicos.

16 PRIETO, María Mónica y ÁNGEL, Liz. Modelación numérica de pisos industriales considerando la variabilidad en la solicitación de cargas. (Tesis de grado). Colombia: Universidad Católica de Colombia. Facultad de Ingeniería, Programa de Ingeniería Civil. 2015. 17 COGOLLO, Forero. María Isabel y SILVA, Bernal. Angie Yurley. Modelación numérica de pavimentos rígidos mediante modulación convencional y de losas cortas. (Tesis de grado). Colombia: Universidad Católica de Colombia. Facultad de Ingeniería, programa de especialización en Ingeniería de pavimentos. 2018.

35

2. COMPARACIÓN DEL ANÁLISIS DE WESTERGAARD Y EVERFE PARA EL CALCULO DE ESFUERZOS Y DEFLEXIONES

Westergaar desarrollo un análisis de esfuerzos y deflexiones para una losa sencilla considerada infinita, colocada sobre una subrasante winkleriana y considerando un contacto pleno con la capa de base. 2.1 FÓRMULAS DE WESTERGAARD La metodología más ampliamente usada para el cálculo de esfuerzos y deflexiones en pavimentos rígidos son las fórmulas de WESTERGAARD como se explica a continuación. Carga en la esquina. Este esfuerzo está relacionado con las grietas o falla en la esquina de la losa, la magnitud del esfuerzo depende directamente de la carga aplicada y su configuración, el espesor de la losa, el módulo de reacción de la subrasante y el radio de rigidez de la losa. La fórmula de Goldbeck (1919) ofrece una solución exacta cuando la carga es realmente una carga concentrada muy cerca de la esquina como se muestra las Figuras 7 y 8, en esta última se aprecia la distribución de esfuerzos para este caso, los esfuerzos de la losa son simétricos con respecto a la diagonal, tomando un sección transversal a una distancia x de la esquina, el momento de doblamiento es Px y el ancho de la sección es 2x, cuando el soporte de la subrasante es deficiente se considera que la losa trabaja como una viga cantiléver, el esfuerzo de tensión en la cara superior de la losa es:

2

3

h

Pc (10)

Dónde: c es el esfuerzo de tensión en la cara superior de la losa en Libras/pulgada, P es la carga en lb y h el espesor de la losa en pulgadas. Figura 7. Esfuerzos por carga en la esquina de la losa.

P

Vista en Planta

2xx

A

A

Px

EsfuerzoMaximo

Secciòn

A-A

Vista en Planta

MaximoEsfuerzo

A

Secciòn

A-A

A

a

2.38

al

a2

(a) Carga Concentrada (b) Carga Circular

Fuente: Huang (2004) Figura 8. Falla en la losa genera por carga en la esquina.

36

Fuente: Pavement Interactive WESTERGAARD aplicando el método de aproximaciones sucesivas publico las siguientes ecuaciones para determinar el esfuerzo de tensión por carga en la esquina para un área circular.

6.0

2

21

3

a

h

Pe (11)

288.01.1

2

a

hk

Pe (12)

Dónde: e es el esfuerzo de tensión en la cara superior de la losa en Libras/pulgada2,

e la deflexión en la esquina de la losa en pulgadas, h el espesor de la losa en pulgadas,

a el radio del área circular de carga en pulgadas, P la carga en lb, el radio de rigidez relativa en pulgadas y k el módulo de reacción de la subrasante en Lb/pulg2 , el momento

máximo se encuentra a una distancia de 2.38 a a partir de la esquina de la losa. Carga en el borde. La carga en el borde está asociada a la aparición de grietas transversales en la mitad de la losa, siendo este esfuerzo mucho mayor que el esfuerzo debido a cargas en el interior de la losa, La figura 9 muestra la falla típica que genera esta carga.

37

Figura 9. Falla en la losa generada por carga en el borde

Fuente: ConcreteNetwork.com. (2018) La solución para los esfuerzos por carga “de borde fue presentada por WESTERGAARD (1926, 1933 y 1948) en diferentes publicaciones. En 1948 presentó soluciones generales para el esfuerzo máximo y la deflexión producidas por áreas de carga elípticas y semielipticas colocadas en el borde de la losa”18 según el análisis de Ioannides et al. (1985) son aplicables las ecuaciones 13, 14, 15 y 16.

a

ka

Eh

h

pcirculoc

)21(18.1

2

1

3

484.1

100ln

)3(

)1(3)(

4

3

2

(13)

2

)21(

3

484.3

100ln

)3(

)1(3)(

4

3

2

a

ka

Eh

h

posemicirculc

(14)

a

kEh

Pcirculoc

)4.076.0(1

2.12)(

3

(15)

a

kEh

Posemicirculc

)17.0323.0(1

2.12)(

3

(16)

Dónde: c es el esfuerzo en el borde de la losa en Lb/pulg2, c la deflexión en el borde

de la losa en Lb/pulg2, la relación de Poisson del concreto, h el espesor de la losa en

pulgadas, a el radio del área circular de carga en pulgadas, P la carga en lb, el radio de rigidez relativa en pulgadas, k el módulo de reacción de la subrasante en Lb/pulg3 y E es el módulo de elasticidad del concreto en Lb/pulg2. Carga en el interior. La carga en el interior de las losas de concreto está asociada a la aparición de fisuras transversales, la magnitud del esfuerzo en el interior de la losa es

18 SÁNCHEZ CAMPOS, Pablo. Método de diseños de losas de dimensiones superficiales optimizadas, en pavimentos de concreto hidráulico. Universidad de El Salvador. Ciudad Universitaria. 2014. p. 108.

38

mucho menor que el esfuerzo por la carga en el borde, en La figura 10 se puede apreciar la falla típica que genera la carga en el interior de la losa. Figura 10. Falla en la losa generada por caga en el interior. Fuente: Al-Dabbagh (2014) Las ecuaciones 17, 18, y 19 fueron desarrolladas por WESTERGAARD (1926, 1933 y 1948) para el esfuerzo en el interior de la losa bajo un área circular de radio a.

6159.0ln

2

132 bh

Pi

(17)

b = a cuando: a 1.724h (18)

hhab 675.06.1 22 Cuando a 1.724h (19)

Donde: i es el esfuerzo en el interior de la losa en lb/pul2, la relación de Poisson del

concreto, P la carga en lb, h el espesor de la losa en pulgadas, el radio de rigidez relativa en pulgadas, y a es el radio del área circular de carga en pulgadas. Con una relación de Poisson de 0.15 y con logaritmo base 10, la ecuación es:

069.1log4

316.02 bh

Pi

(20)

La deflexión debida a la carga interior está dada por la ecuación 21.

2

2673.0

2ln

2

11

8

aa

k

Pi

(21)

Dónde: i es la deflexión en el interior de la losa en lb/pulg2, a es el radio del área circular

de carga en pulgadas, k el módulo de reacción de la subrasante en lb/pulg3 y el radio de rigidez relativa en pulgadas.

39

2.2 CONSIDERACIONES DEL MODELO DE WESTERGAARD La metodología de WESTERGAARD es ampliamente utilizada y ha sido aceptada como exacta para el análisis del comportamiento de los pavimentos rígidos, sin embargo, hay varias consideraciones que tratan de representar las condiciones reales de un pavimento pero que no son soluciones exactas de su comportamiento real entre ellas están las siguientes. 1. Todas las capas del pavimento que soportan la losa de concreto se representan por un solo parámetro el módulo de reacción de la subrasante, llamado también coeficiente de balasto. En la realidad un pavimento tiene varias capas bajo la losa, una base y en algunos casos una subbase y finalmente la subrasante, cada capa con espesores diferentes y rigidez diferente, la metodología de WESTERGAARD representa la respuesta del conjunto de capas con único valor de coeficiente de balasto, lo que se aleja de la realidad y disminuye en cierta medida la exactitud de los resultados. 2. WESTERGAARD asumió que la base se comporta como un material isotrópico elástico y lineal. Generalmente los materiales granulares y suelos de subrasante no presentan una reacción totalmente elástico-lineal debido a su composición granular y posición variada de sus partículas, la mayoría son no lineales, su capacidad de reacción cambia a través del tiempo y las condiciones climáticas del medio ambiente. 3. WESTERGAARD asumió la losa está en total contacto con la base en todos los puntos. En la realidad se generan espacios de no contacto entre la losa y la base debido a las deflexiones y ondulaciones que trasmite a la base y a diferenciales de compactación que presenta la subrasante. 4. Estas fórmulas suponen una losa de dimensiones infinitas para el caso de cargas en el interior y de dimensiones semi - infinitas para los casos de carga en el borde y en la esquina. De esta manera se supone que las juntas, grietas y discontinuidades no tienen efecto sobre los esfuerzos y deflexiones, esta condición se aleja de la realidad, ya que por lo general un pavimento rígido no se compone de losas infinitas, son losas estrechas que se ajustan a la dimensión de los carriles y presentan discontinuidades como juntas y grietas. 5. Se considera un espesor de la losa uniforme, lo que hace imposible analizar losas con espesores mayores en los bordes o losas de espesor no uniforme. 2.2.1 Estructuras para modelar Para el análisis comparativo de esfuerzos y deflexiones por la metodología de WESTERGAARD y EVERFE se modelaron 9 estructuras principales de pavimento rígido cada una con 10 combinaciones de carga para un total de 90 estructuras, de acuerdo con los análisis de WESTERGAARD la estructura del pavimento está compuesta por una losa simple, apoyada directamente sobre la subrasante winkleriana y soportando una carga por rueda simple en un área circular.

40

2.2.2 Parámetros análisis de WESTERGAARD Los parámetros de diseño tomados para las 90 estructuras de pavimento corresponden a la combinación de las siguientes características: Espesor de la losa: se considera un rango de 3 espesores que abarcan desde una losa delgada hasta una losa gruesa, utilizando espesores de 10, 20 y 30 cm. Módulo de reacción de la subrasante: se considera un rango de 3 módulos de reacción que abarcan desde una subrasante de mala calidad hasta una de muy buena calidad, utilizando valores de módulo de reacción de 100, 200 y 300 Lb/pulg3. Carga de rueda: para cada estructura se proyectaron un rango de 10 cargas por rueda simple sobre un área circular, los valores utilizados fueron 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60 y 65 kN. Módulo elástico del concreto: se aplica el valor típico de 4.000.000 Lb/pulg2 para todas las estructuras. Relación de Poisson del concreto: Se utilizó el valor típico de 0.15 para todas las estructuras. Radio de contacto: se usó el valor típico de 6 pulgadas en todos los modelos. Las variables de entrada para las 9 estructuras de pavimento rígido que se modelan con las fórmulas de WESTERGAARD se resumen en la tabla 3, cada estructura se modelará con 10 valores de carga. Tabla 3. Datos de entrada fórmulas de WESTERGAARD.

Estructura No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Espesor de la losa, h (Pulg) 4 4 4 8 8 8 12 12 12

Modulo de reacción de la subrasante, K (lb/Pulg3) 100 200 300 100 200 300 100 200 300

Radio área de contacto, a (Pulg) 6 6 6 6 6 6 6 6 6

Modulo elástico del concreto, E (lb/Pulg2) 4xE06 4xE06 4xE06 4xE06 4xE06 4xE06 4xE06 4xE06 4xE06

Relación de Poisson del concreto, u 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15

Datos de entrada formulas de Westergaard

Fuente: Autor 2.2.3 Parámetros análisis de EVERFE Para modelar las estructuras se utilizó el programa EVERFE en unidades métricas para mayor exactitud porque el área de contacto de la carga se puede aproximar al milímetro a diferencia que en unidades inglesas EVERFE permite aproximar a la pulgada, brindando más exactitud la aproximación al milímetro.

41

Los valores de entrada para las fórmulas de WESTERGAARD se convierten de unidades inglesas a unidades métricas aplicando las siguientes equivalencias: Espesor de la losa: 1 pulg = 25.4 mm Módulo de reacción: 1 Lb/pulg3 = 2.77x10-4 MPa/mm Módulo elástico del concreto: 1 Lb/pulg2 = 6.9x10-3 MPa Carga por rueda: 1 Lb = 4.45 N Área de contacto: EVERFE no modela áreas de carga circulares, solo aplica el área de contacto de la rueda en forma rectangular o cuadrada, por lo cual el área circular de WESTERGAARD se convierte a un área cuadrada equivalente. Radio de carga = 6 pulg = 15.24 cm Área circular = πr2 = 729.7 cm2 Lado área cuadrada = 27 cm. El dato de entrada para el área de carga de la rueda será 27 cm de ancho y 27 cm de largo. Dimensiones de la losa: EVERFE modela losas finitas con un largo y un ancho definidos a diferencia de WESTERGAARD que modela losas teóricamente infinitas tanto en su largo como su ancho, para el caso de estudió se asumen dimensiones típicas para un carril de 3.6 m de ancho con una losa de 4.4 m de longitud, esto siguiendo las recomendaciones de la PCA en la cual la relación longitud sobre ancho debe ser menor a 1.25, en el caso de estudio es de 1.22. Malla de elementos finitos: EVERFE trae un dimensionamiento de malla por defecto de 12 elementos en el eje X y 12 elementos en el eje Y, para el caso de estudio se toma una mallado más fino de 24 elementos en el eje X y 24 elementos en el eje Y, el cual mejora la exactitud de los resultados como se explicó en el manual de usuario y eleva el tiempo de cálculo del ejercicio. Igualmente, en el eje Z por defecto trae 2 elementos, manteniendo el aspecto de relación del elemento menor a 5, se asumen 3 elementos en el eje Z. Las variables de entrada para las 9 estructuras de pavimento rígido que se modelan con el programa EVERFE se resumen en La tabla 4.

42

Tabla 4. Datos de entrada programa EVERFE.

Fuente: Autor. Cada estructura se modelará con 10 valores de carga. 2.3 ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR CARGA EN LA ESQUINA Para cada una de las 9 estructuras se calculó el esfuerzo en la esquina con un espectro de 10 cargas, se realizó el cálculo con las fórmulas de WESTERGAARD para un área de carga circular aplicando los parámetros de entrada de la tabla 3 y con el programa EVERFE para un área de carga cuadrada equivalente utilizando los parámetros de entrada mostrados en la tabla 4. A continuación se muestran los resultados del análisis para cada estructura modelada. Para la estructura 1 la tabla 5 muestra que los esfuerzos de esquina calculados por EVERFE son mayores un 11.1 % a los calculados por WESTERGAARD, la figura 11 muestra una relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en la esquina que se presenta en ambas metodologías. Tabla 5. Esfuerzos de esquina estructura 1 Fuente: Autor.

Estructura No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Espesor de la losa, h (mm) 100 100 100 200 200 200 300 300 300

Modulo de reacción de la subrasante, K (Mpa/mm) 0.0277 0.0554 0.0830 0.0277 0.0554 0.0830 0.0277 0.0554 0.0830

Longitud área de carga, L (mm) 270 270 270 270 270 270 270 270 270

Ancho área de carga, W (mm) 270 270 270 270 270 270 270 270 270

Modulo elástico del concreto, E (MPa) 27579 27579 27579 27579 27579 27579 27579 27579 27579

Relación de Poisson del concreto, u 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15

Longitud de la losa, Lx (mm) 4400 4400 4400 4400 4400 4400 4400 4400 4400

Ancho de la losa, Ly (mm) 3600 3600 3600 3600 3600 3600 3600 3600 3600

Mallado número de elementos eje X 24 24 24 24 24 24 24 24 24

Mallado número de elementos eje Y 24 24 24 24 24 24 24 24 24

Mallado número de elementos eje Z 3 3 3 3 3 3 3 3 3

Datos de entrada programa EVERFE

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (kPa) 2553 3192 3830 4468 5107 5745 6383 7022 7660 8298

Everfe (kPa) 2837 3546 4255 4964 5674 6383 7093 7802 8511 9221

Diferencia (kPa) 284 354 425 496 567 638 709 780 851 922

% Diferencia 11.1 11.1 11.1 11.1 11.1 11.1 11.1 11.1 11.1 11.1

Esfuerzos de esquina estructura 01 - Losa 100 mm, K 100 Lb/pulg3

43

Figura 11. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en la esquina estructura 1. Fuente: Autor. Para la estructura 02 La tabla 6 muestra que los esfuerzos de esquina calculados por EVERFE son mayores un 15.3 % a los calculados por WESTERGAARD, La figura 12 muestra una relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en la esquina que se presenta en ambas metodologías. Tabla 6. Esfuerzos de esquina estructura 2. Fuente: Autor.

y = 127.67xR² = 1

y = 141.86x - 0.6745R² = 1

0

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

de

esq

uin

a (k

Pa)

Carga de rueda (kN)

Esfuerzo en la esquina

(Losa 100 mm, K 100 lb/pulg3)

Westergaard Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (kPa) 2175 2719 3263 3807 4351 4894 5438 5982 6526 7070

Everfe (kPa) 2508 3135 3762 4389 5016 5643 6270 6897 7524 8151

Diferencia (kPa) 333 416 499 582 666 749 832 915 998 1082

Diferencia (%) 15.3 15.3 15.3 15.3 15.3 15.3 15.3 15.3 15.3 15.3

Esfuerzos de esquina estructura 02 - losa 100 mm, K 200 Lb/pulg3

44

Figura 12. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en la esquina estructura 2. Fuente: Autor. Para la estructura 03 La tabla 7 muestra que los esfuerzos de esquina calculados por EVERFE son mayores un 19.4 % a los calculados por WESTERGAARD, La figura 13 muestra una relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en la esquina que se presenta en ambas metodologías. Tabla 7. Esfuerzos de esquina estructura 3. Fuente: Autor.

y = 108.76xR² = 1

y = 125.4x + 0.0364R² = 1

0

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

8,000

9,000

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

de

esq

uin

a (k

Pa)

Carga de rueda (kN)


(Losa 100 mm, K 200 Lb/pulg3)

Westergaard Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (kPa) 1935 2419 2903 3387 3870 4354 4838 5322 5806 6289

Everfe (kPa) 2310 2888 3465 4043 4620 5198 5775 6353 6930 7508

Diferencia (kPa) 375 469 562 656 750 843 937 1031 1124 1218

Diferencia (%) 19.4 19.4 19.4 19.4 19.4 19.4 19.4 19.4 19.4 19.4


45

Figura 13. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en la esquina estructura 3.

Fuente: Autor. Para la estructura 04 La tabla 8 Indica que los resultados de los esfuerzos de esquina determinado con EVERFE son mayores un 9.1 % a los calculados por WESTERGAARD, La figura 14 muestra una relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en la esquina que se presenta en ambas metodologías. Tabla 8. Esfuerzos de esquina estructura 4. Fuente: Autor.

y = 96.76x + 6E-12R² = 1

y = 115.5xR² = 1

0

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

8,000

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

de

esq

uin

a (k

Pa)

Carga de rueda (kN)



Westergaard Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (kPa) 870 1087 1304 1522 1739 1956 2174 2391 2609 2826

Everfe (kPa) 949 1190 1420 1660 1900 2140 2370 2610 2850 3090

Diferencia (kPa) 79 103 116 138 161 184 196 219 241 264

Diferencia (%) 9.1 9.5 8.9 9.1 9.3 9.4 9.0 9.2 9.3 9.3


46


Fuente: Autor. La tabla 9 muestra los resultados de los esfuerzos para la estructura 05, siendo los esfuerzos de esquina calculados por EVERFE mayores un 10.3 % a los calculados por WESTERGAARD, en La figura 15 se aprecia una relación lineal entre el esfuerzo de esquina y la carga aplicada en ambas metodologías. Tabla 9. Esfuerzos de esquina estructura 5.

Fuente: Autor.

y = 43.475x - 3E-12R² = 1

y = 47.526x - 1.9576R² = 1

0

500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

de

esq

uin

a (k

Pa)

Carga de rueda (kN)



Westergaard Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (kPa) 800 1000 1200 1401 1601 1801 2001 2201 2401 2601

Everfe (kPa) 883 1100 1320 1540 1770 1990 2210 2430 2650 2870

Diferencia (kPa) 83 100 120 139 169 189 209 229 249 269

Diferencia (%) 10.3 10.0 10.0 10.0 10.6 10.5 10.5 10.4 10.4 10.3


47


Fuente: Autor. Para la estructura 06 La tabla 10 muestra que los esfuerzos de esquina calculados por EVERFE son mayores un 10.6 % a los calculados por WESTERGAARD, La figura 16 muestra la relación lineal entre la carga aplicada y el esfuerzo en la esquina que se presenta en ambas metodologías. Tabla 10. Esfuerzos de esquina estructura 6. Fuente: Autor.

y = 40.016x - 3E-12R² = 1

y = 44.258x - 4.6727R² = 1

0

500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

de

esq

uin

a (k

Pa)

Carga de rueda (kN)


(Losa 200 mm, K 200 Lb/Pulg3)

Westergaard Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (kPa) 756 945 1135 1324 1513 1702 1891 2080 2269 2458

Everfe (kPa) 836 1040 1250 1460 1670 1880 2090 2300 2510 2720

Diferencia (kPa) 80 95 115 136 157 178 199 220 241 262

Diferencia (%) 10.5 10.0 10.2 10.3 10.4 10.5 10.5 10.6 10.6 10.6


48

Figura 16. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en la esquina estructura 6. Fuente: Autor. La tabla 11 muestra el análisis realizado en la estructura 7 siendo los esfuerzos de esquina calculados por EVERFE mayores un 9.4 % a los calculados por WESTERGAARD, en La figura 17 se muestra la relación lineal y proporcional existente entre la carga aplicada y el esfuerzo en la esquina que se presenta en ambas metodologías. Tabla 11. Esfuerzos de esquina estructura 7. Fuente: Autor.

y = 37.819xR² = 1

y = 41.935x - 6.6182R² = 1

0

500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

de

esq

uin

a (k

Pa)

Carga de rueda (kN)



Westergaard Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (kPa) 433 542 650 758 867 975 1083 1191 1300 1408

Everfe (kPa) 474 592 711 829 948 1066 1184 1303 1421 1540

Diferencia (kPa) 41 51 61 71 81 91 101 111 122 132

Diferencia (%) 9.4 9.3 9.4 9.4 9.3 9.4 9.3 9.4 9.3 9.4


49

Figura 17. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en la esquina estructura 7. Fuente: Autor. La tabla 12 resume el análisis de esfuerzos para la estructura 08, donde el esfuerzo de esquina de EVERFE es mayor un 10.8 % del esfuerzo determinado por las fórmulas de WESTERGAARD, la relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en la esquina se presenta La figura 18. Tabla 12. Esfuerzos de esquina estructura 8.

Fuente: Autor.

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (kPa) 408 510 611 713 815 917 1019 1121 1223 1325

Everfe (kPa) 452 565 678 791 903 1016 1129 1242 1355 1468

Diferencia (kPa) 44 55 66 77 88 99 110 121 132 143

Diferencia (%) 10.8 10.8 10.8 10.8 10.8 10.8 10.8 10.8 10.8 10.8


y = 21.663xR² = 1

y = 23.689x + 0.0042R² = 1

0

200

400

600

800

1,000

1,200

1,400

1,600

1,800

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

de

esq

uin

a (k

Pa)

Carga de rueda (kN)



Westergaard Everfe

50

Figura 18. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en la esquina estructura 8. Fuente: Autor. Para la estructura 09 La tabla 13 muestra que los esfuerzos de esquina calculados por EVERFE son mayores un 11.5 % a los calculados por WESTERGAARD, La figura 19 muestra la relación lineal entre la carga aplicada y el esfuerzo en la esquina que se presenta en ambas metodologías. Tabla 13. Esfuerzos de esquina estructura 9. Fuente: Autor.

y = 20.382x + 1E-12R² = 1

y = 22.585x - 0.0164R² = 1

0

200

400

600

800

1,000

1,200

1,400

1,600

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

de

esq

uin

a (k

Pa)

Carga de rueda (kN)



Westergaard Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (kPa) 391 489 587 685 783 881 978 1076 1174 1272

Everfe (kPa) 437 546 655 764 873 982 1091 1201 1310 1419

Diferencia (kPa) 45 56 68 79 90 102 113 124 136 147

Diferencia (%) 11.6 11.5 11.5 11.5 11.5 11.5 11.5 11.5 11.5 11.5


51

Figura 19. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en la esquina estructura 9. Fuente: Autor. La metodología de elementos finitos tridimensionales usada por el programa EVERFE obtiene valores de esfuerzos por carga en la esquina superiores en un 10% a los calculados por las fórmulas de WESTERGAARD, esta diferencia sube de un 15 a 20% en las estructuras 02 y 03 que corresponden a losas delgadas de 10 cm sobre subrasantes fuertes con módulos de 200 y 300 lb/pulg3. La mayor diferencia se encuentra en las estructuras 2 y 3 para losas de 10 cm de espesor, donde el esfuerzo por carga en la esquina es mayor un 15.5 y 19.4 % respectivamente, aumentando la diferencia a medida que mejora la calidad de la subrasante. Para las estructuras 4, 5 y 6 con losas de 20 cm EVERFE determina valores de esfuerzos en la esquina mayores a WESTERGAARD en un 10%. En las estructuras 7, 8 y 9 con losas de 30 cm EVERFE obtiene valores de esfuerzo en la esquina mayores a WESTERGAARD en un 9.3, 10.8 y 11.5% respectivamente. 2.4 ANÁLISIS DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS Aunque los resultados de EVERFE son diferentes en un 10% de los obtenidos por WESTERGAARD, los valores del esfuerzo de esquina proyectados por ambas

y = 19.568x + 1E-12R² = 1

y = 21.827x + 0.0164R² = 1

0

200

400

600

800

1,000

1,200

1,400

1,600

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

de

esq

uin

a (k

Pa)

Carga de rueda (kN)



Westergaard Everfe

52

metodologías tienden a ser aproximados sin presentar grandes diferencias, la diferencia en los resultados depende de la estructura del modelo matemático particular para cada metodología y los procesos de cálculo, como son: Área de carga: las soluciones de WESTERGAARD utilizan un área de carga circular tangente al borde de la losa, EVERFE modela un área de carga cuadrada alineada con el borde de la losa lo cual es más ajustado a las condiciones reales de carga. Ubicación de la carga: Al área circular en la esquina mantiene solo 2 puntos tangenciales al borde de la losa a diferencia del área cuadrada que mantiene 2 lados al borde de la losa, al estar más cargada el área al borde de la losa incide en un valor mayor del esfuerzo de esquina, esta ubicación alineada con los bordes de la losa es más realista que la asunción de WESTERGAARD. Dimensiones de la losa: las fórmulas de WESTERGAARD consideran una losa teóricamente infinita, lo que supone que la longitud y ancho de la losa no influyen sobre los esfuerzos por carga en la esquina, lo cual no se ajusta del todo a la realidad. EVERFE modela losas finitas tanto en su largo como su ancho, considerando la influencia de las dimensiones sobre el esfuerzo de esquina, esta variación de esfuerzos por dimensiones de la losa es muy mínima. Algoritmo de cálculo: WESTERGAARD aplica una metodología determinística con la aplicación de fórmulas matemáticas en la cual se remplaza los valores de las incógnitas y con operaciones directas de divisiones y multiplicaciones se soluciona la formula sin requerir iteraciones ni sistemas de múltiples ecuaciones, EVERFE trabaja con un algoritmo de elementos finitos donde a partir de la geometría y características del pavimento construye una matriz de rigidez para cada elemento y otra matriz de rigidez global para toda la estructura, genera un vector de desplazamientos y esfuerzos, mediante operaciones matriciales resuelve un sistema de ecuaciones múltiples con la técnica multigrid y obtiene los resultados no solo para un punto, si no, para cualquier punto de la losa de concreto. Aunque las metodologías presentan diferencias elementales en sus algoritmos de cálculo los valores obtenidos no presentan mayores diferencias, concluyendo que el programa EVERFE esta validado matemáticamente con las fórmulas de WESTERGAARD para calcular esfuerzos por carga de esquina en la losa sobre una rasante winkleriana, aplicando la metodología de elementos finitos tridimensionales. 2.5 ANÁLISIS DE DEFLEXIÓN POR CARGA EN LA ESQUINA Para el análisis de deflexiones por carga en la esquina se modelaron con las fórmulas de WESTERGAARD las mismas 9 estructuras que indica la tabla 3 con un espectro de 10 valores de cargas cada una, y con EVERFE se modelaron las 9 estructuras de la tabla 4 los resultados y su comparación se muestra en las siguientes tablas:

53

Para la estructura 01 la tabla 14 muestra que las deflexiones por carga en la esquina calculadas por EVERFE son mayores en un 15 a 18% a las calculados por las fórmulas de WESTERGAARD, la diferencia está en el rango de 0.3 a 0.9 mm. Tabla 14. Deflexiones de esquina estructura 1. Fuente: Autor. La tabla 15 muestra las deflexiones por carga en la esquina correspondientes a la estructura 02 donde EVERFE obtiene valores mayores un 17 a 19 % de los calculados por WESTERGAARD, la diferencia oscila de 0.2 a 0.7 mm. Tabla 15. Deflexiones de esquina estructura 2. Fuente: Autor. Para la estructura 03 la tabla 16 muestra que las deflexiones por carga en la esquina calculados por EVERFE son mayores un 19 a 21 % a los calculados por WESTERGAARD, la deflexión se encuentra entre 1 mm y 3.6 mm. Tabla 16. Deflexiones de esquina estructura 3. Fuente: Autor.

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (mm) 1.9 2.3 2.8 3.3 3.8 4.2 4.7 5.2 5.6 6.1

Everfe (mm) 2.2 2.8 3.3 3.8 4.4 4.9 5.4 6.0 6.5 7.0

Diferencia (mm) 0.3 0.4 0.5 0.5 0.6 0.7 0.7 0.8 0.8 0.9

Diferencia (%) 18.1 17.2 16.6 16.1 15.8 15.4 15.3 15.2 15.1 14.9

Deflexiones de esquina estructura 01 - Losa 100 mm, K 100 Lb/pulg3

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (mm) 1.2 1.5 1.8 2.1 2.4 2.7 3.0 3.3 3.6 3.9

Everfe (mm) 1.4 1.8 2.2 2.5 2.9 3.2 3.6 3.9 4.3 4.6

Diferencia (mm) 0.2 0.3 0.3 0.4 0.4 0.5 0.5 0.6 0.6 0.7

Diferencia (%) 19.5 18.8 18.4 18.0 17.8 17.6 17.4 17.3 17.2 17.1

Deflexiones de esquina estructura 02 - losa 100 mm, K 200 Lb/pulg3

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (mm) 0.9 1.2 1.4 1.6 1.9 2.1 2.3 2.5 2.8 3.0

Everfe (mm) 1.1 1.4 1.7 1.9 2.2 2.5 2.8 3.0 3.3 3.6

Diferencia (mm) 0.2 0.2 0.3 0.3 0.4 0.4 0.5 0.5 0.5 0.6

Diferencia (%) 21.3 20.8 20.4 20.1 19.8 19.7 19.5 19.4 19.4 19.3


54

En la tabla 17 se muestra que las deflexiones por carga en la esquina calculados por EVERFE para la estructura 04, los valores son mayores un 19 a 35 % de los calculados por las fórmulas de WESTERGAARD, las diferencias están en el rango de 0.2 a 0.3 mm. Tabla 17. Deflexiones de esquina estructura 4. Fuente: Autor. En la tabla 18 se muestra que las deflexiones por carga en la esquina para la estructura 05, EVERFE supera a WESTERGAARD en un 18 a 29 % a los calculados por WESTERGAARD, la diferencia está entre 0.2 y 0.3 mm. Tabla 18. Deflexiones de esquina estructura 5. Fuente: Autor. Para la estructura 06 se muestra en la tabla 19 las deflexiones por carga en la esquina calculados por EVERFE las cuales son mayores un 18 a 27 % a los calculados por WESTERGAARD, las diferencias en deflexión se encuentran entre 0.1 y 1.2 mm. Tabla 19. Deflexiones de esquina estructura 6. Fuente: Autor.

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (mm) 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6

Everfe (mm) 1.1 1.3 1.5 1.7 2.0 2.2 2.4 2.6 2.9 3.1

Diferencia (mm) 0.3 0.3 0.3 0.4 0.4 0.4 0.4 0.5 0.5 0.5

Diferencia (%) 34.7 30.4 27.6 25.5 24.0 22.8 21.8 21.0 20.4 19.8


Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (mm) 0.5 0.7 0.8 0.9 1.1 1.2 1.3 1.5 1.6 1.7

Everfe (mm) 0.7 0.8 1.0 1.1 1.3 1.4 1.6 1.7 1.9 2.1

Diferencia (mm) 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.3 0.3 0.3 0.3

Diferencia (%) 29.2 26.0 23.9 22.4 21.2 20.4 19.7 19.1 18.6 18.2


Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (mm) 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4

Everfe (mm) 0.5 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.3 1.4 1.5 1.6

Diferencia (mm) 0.1 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2

Diferencia (%) 27.3 24.8 22.9 21.6 20.7 19.9 19.4 18.8 18.4 18.1


55

Encontramos en la tabla 20 las deflexiones por carga en la esquina de la estructura 07, nuevamente EVERFE obtiene valores son mayores un 38 a 77 % a los calculados por WESTERGAARD, la diferencia se encuentra entre 0.4 y 0.6 mm. Tabla 20. Deflexiones de esquina estructura 7. Fuente: Autor. Para la estructura 08 se muestran los resultados en la tabla 21 donde las deflexiones por carga en la esquina calculados por EVERFE son mayores un 28 a 57 % a los calculados por WESTERGAARD, la diferencia se encuentra entre 0.2 y 0.3 mm. Tabla 21. Deflexiones de esquina estructura 8. Fuente: Autor. Para la estructura 09 la tabla 22 muestra que las deflexiones por carga en la esquina calculados por EVERFE son mayores un 26 a 49 % a los calculados por WESTERGAARD, la deflexión se encuentra entre 0.4 mm y 1.0 mm.

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (mm) 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.3 1.4 1.5

Everfe (mm) 0.8 0.9 1.1 1.2 1.4 1.5 1.6 1.8 1.9 2.0

Diferencia (mm) 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.5 0.5 0.5 0.5 0.6

Diferencia (%) 76.8 65.6 58.2 52.9 48.9 45.8 43.3 41.3 39.6 38.1


Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (mm) 0.3 0.4 0.5 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.9 1.0

Everfe (mm) 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3

Diferencia (mm) 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.3 0.3 0.3 0.3

Diferencia (%) 57.0 48.8 43.2 39.4 36.5 34.3 32.5 31.0 29.8 28.8


56

Tabla 22. Deflexiones de esquina estructura 9. Fuente: Autor. Se puede concluir que la metodología de elementos finitos tridimensionales usada por el programa EVERFE obtiene valores de deflexión por carga en la esquina superiores en un 15 a 76 % a los calculados por las fórmulas de WESTERGAARD. La menor diferencia se encuentra en las estructuras 1, 2 y 3 para losas de 10 cm de espesor, donde la deflexión por carga en la esquina es mayor un 15 a un 21%, respectivamente, aumentando la diferencia a medida que mejora la calidad de la subrasante. Para las estructuras 4, 5 y 6 con losas de 20 cm EVERFE determina valores de esfuerzos en la esquina mayores a WESTERGAARD un 20 a 35%, presentando la mayor diferencia en las deflexiones menores a un milímetro, se puede observar que las diferencias en el cálculo de deflexiones están de 1 a 3 décimas de mm, aunque en porcentaje llega al 35% la diferencia numérica es mínima en los resultados. En las estructuras 7, 8 y 9 con losas de 30 cm EVERFE obtiene valores de deflexión en la esquina mayores a WESTERGAARD en un 25 a 76% respectivamente, presentando la mayor diferencia en las deflexiones menores a 1 mm, se puede observar que para subrasantes de 100 Pci las diferencias numéricas en las lecturas esta de 4 a 6 décimas de milímetro, para estructuras con subrasante de 3200 Lb/pulg3 la diferencia esta de 2 a 3 décimas de milímetro, y para subrasantes de 300 Lb/pulg3 la diferencia es de 1 a 2 décimas de milímetro. En los porcentajes mayores las diferencias numéricas en la deflexión son mínimas entre 1 a 3 décimas de milímetro, esto sucede porque en las deflexiones que son pequeñas de 1 a 5 décimas de milímetro, EVERFE obtiene una diferencia de 3 décimas de milímetro que matemáticamente supera el 60%, pero en la práctica es una diferencia mínima. Los valores de deflexión por carga en la esquina calculados por WESTERGAARD y EVERFE presentan diferencias entre 0.1 a 0.3 mm para deflexiones pequeñas, y en deflexiones mayores la diferencia es de un 20%, mostrando que los valores calculados tienden a dar resultados similares por ambas metodologías, estas diferencias que son

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (mm) 0.3 0.3 0.4 0.4 0.5 0.6 0.6 0.7 0.8 0.8

Everfe (mm) 0.4 0.4 0.5 0.6 0.7 0.7 0.8 0.9 1.0 1.0

Diferencia (mm) 0.1 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2

Diferencia (%) 49.2 42.7 38.1 34.9 32.4 30.5 29.0 27.7 26.7 25.9


57

aceptables están dadas por los algoritmos de calculo que tiene cada metodología, la forma de las áreas de contacto modeladas, las condiciones de frontera 2.6 ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR CARGA EN EL BORDE Para el análisis de esfuerzos por carga en el borde se modelaron las 9 estructuras de La tabla 3 con las fórmulas de WESTERGAARD para cargas en el borde con área circular y se modelaron las 9 estructuras de La tabla 4 Con EVERFE con área cuadrada equivalente, a continuación, se muestra los resultados del análisis para cada estructura. Para la estructura 01 la tabla 23 muestra que los esfuerzos de borde calculados por EVERFE son mayores un 1.5 % a los calculados por WESTERGAARD, presentando una diferencia muy mínima, la figura 20 muestra la relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde que se presenta en ambas metodologías. Tabla 23. Esfuerzos de borde estructura 1. Fuente: Autor. Figura 20. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde estructura 1. Fuente: Autor.

y = 189.49xR² = 1

y = 192.34x - 0.1479R² = 1

0

5,000

10,000

15,000

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

de

Bo

rde

(kP

a)

Carga de rueda (kN)

Esfuerzo en el borde


Westergaard Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (kPa) 3790 4737 5685 6632 7580 8527 9474 10422 11369 12317

Everfe (kPa) 3847 4808 5770 6732 7693 8655 9617 10579 11540 12502

Diferencia (kPa) 57 71 85 100 114 128 142 157 171 185

% Diferencia 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5

Esfuerzos de borde estructura 01 - Losa 100 mm, K 100 Lb/pulg3

58

En la tabla 24 se muestra que los esfuerzos de borde calculados por EVERFE son mayores un 1.9 % a los calculados por WESTERGAARD para la estructura 02, la figura 21 muestra una relación lineal entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde que se presenta en ambas metodologías. Tabla 24. Esfuerzos de borde estructura 2. Fuente: Autor. Figura 21. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde estructura 2. Fuente: Autor. Se puede ver en la tabla 25 que los esfuerzos de borde calculados por EVERFE son mayores un 2.1 % a los calculados por WESTERGAARD, para la estructura 3 la figura 22 muestra una relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde que se presenta en ambas metodologías.

y = 168.15xR² = 1

y = 171.31x - 0.2788R² = 1

0

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

de

Bo

rde

(kP

a)

Carga de rueda (kN)



Westergaard Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (kPa) 3363 4204 5045 5885 6726 7567 8408 9248 10089 10930

Everfe (kPa) 3426 4282 5139 5996 6852 7709 8565 9422 10278 11135

Diferencia (kPa) 63 79 94 110 126 142 157 173 189 205

Diferencia (%) 1.9 1.9 1.9 1.9 1.9 1.9 1.9 1.9 1.9 1.9

Esfuerzos de borde estructura 02 - losa 100 mm, K 200 Lb/pulg3

59

Tabla 25. Esfuerzos de borde estructura 3. Fuente: Autor. Figura 22. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde estructura 3. Fuente: Autor. Los esfuerzos de borde de la estructura 04 se resumen en la tabla 26 donde los esfuerzos de borde calculados por EVERFE son menores un 1.7 % a los calculados por WESTERGAARD, en la figura 23 Se aprecia la relación lineal y proporcional entre la carga y el esfuerzo en el borde de la losa.

y = 155.91x - 1E-11R² = 1

y = 159.25x - 0.2503R² = 1

0

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

de

Bo

rde

(kP

a)

Carga de rueda (kN)



Westergaard Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (kPa) 3118 3898 4677 5457 6237 7016 7796 8575 9355 10134

Everfe (kPa) 3185 3981 4777 5574 6370 7166 7962 8759 9555 10351

Diferencia (kPa) 67 83 100 117 133 150 167 183 200 217

Diferencia (%) 2.1 2.1 2.1 2.1 2.1 2.1 2.1 2.1 2.1 2.1


60

Tabla 26. Esfuerzos de borde estructura 4. Fuente: Autor. Figura 23. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde estructura 4.

Fuente: Autor. Para la estructura 05 la tabla 27 muestra que los esfuerzos de borde calculados por EVERFE son menores un 1.6 % a los calculados por WESTERGAARD, la figura 24 Indica una relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde.

y = 63.985x + 6E-12R² = 1

y = 62.905x - 0.3164R² = 1

0

500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

4,000

4,500

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

de

Bo

rde

(kP

a)

Carga de rueda (kN)



Westergaard Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (kPa) 1280 1600 1920 2239 2559 2879 3199 3519 3839 4159

Everfe (kPa) 1258 1572 1887 2201 2516 2830 3145 3460 3774 4089

Diferencia (kPa) -22 -27 -33 -38 -43 -49 -54 -60 -65 -70

Diferencia (%) -1.7 -1.7 -1.7 -1.7 -1.7 -1.7 -1.7 -1.7 -1.7 -1.7


61

Tabla 27. Esfuerzos de borde estructura 5. Fuente: Autor. Figura 24. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde estructura 5. Fuente: Autor. En tabla 28 se muestra que los esfuerzos de borde calculados por EVERFE son menores un 1.7 % a los calculados por WESTERGAARD, para la estructura 6, la figura 25 muestra la relación lineal entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde.

y = 58.362xR² = 1

y = 57.454x - 0.4873R² = 1

0

500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

4,000

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

de

Bo

rde

(kP

a)

Carga de rueda (kN)



Westergaard Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (kPa) 1167 1459 1751 2043 2334 2626 2918 3210 3502 3794

Everfe (kPa) 1149 1436 1723 2010 2298 2585 2872 3160 3447 3734

Diferencia (kPa) -19 -23 -28 -33 -37 -41 -46 -50 -55 -60

Diferencia (%) -1.6 -1.6 -1.6 -1.6 -1.6 -1.6 -1.6 -1.6 -1.6 -1.6


62

Tabla 28. Esfuerzos de borde estructura 6. Fuente: Autor. Figura 25. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde estructura 6. Fuente: Autor. Se puede ver en la tabla 29 de la estructura 07 que los esfuerzos de borde calculados por EVERFE son menores un 8.9 % a los calculados por WESTERGAARD, en la figura 26 se aprecia la relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde en ambas metodologías.

y = 55.109x + 3E-12R² = 1

y = 54.174x - 0.4024R² = 1

0

500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

4,000

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

de

Bo

rde

(kP

a)

Carga de rueda (kN)



Westergaard Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (kPa) 1102 1378 1653 1929 2204 2480 2755 3031 3307 3582

Everfe (kPa) 1083 1354 1625 1896 2167 2437 2708 2979 3250 3521

Diferencia (kPa) -19 -24 -28 -33 -38 -43 -47 -52 -57 -61

Diferencia (%) -1.7 -1.7 -1.7 -1.7 -1.7 -1.7 -1.7 -1.7 -1.7 -1.7


63

Tabla 29. Esfuerzos de borde estructura 7. Fuente: Autor. Figura 26. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde estructura 7. Fuente: Autor. La tabla 30 muestra que los esfuerzos de borde calculados por EVERFE para la estructura 8 son menores un 7.0 % a los calculados por WESTERGAARD, la figura 27 muestra la relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde.

y = 32.892xR² = 1

y = 29.97x - 0.1879R² = 1

0

500

1,000

1,500

2,000

2,500

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

de

Bo

rde

(kP

a)

Carga de rueda (kN)



Westergaard Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (kPa) 658 822 987 1151 1316 1480 1645 1809 1974 2138

Everfe (kPa) 599 749 899 1049 1199 1349 1498 1648 1798 1948

Diferencia (kPa) -59 -73 -88 -102 -117 -132 -146 -161 -176 -190

Diferencia (%) -8.9 -8.9 -8.9 -8.9 -8.9 -8.9 -8.9 -8.9 -8.9 -8.9


64

Tabla 30. Esfuerzos de borde estructura 8. Fuente: Autor. Figura 27. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde estructura 8. Fuente: Autor. Para la estructura 09 la tabla 31 muestra que los esfuerzos de borde determinados por EVERFE son menores un 6.6 % a los calculados por WESTERGAARD, en la figura 28 se puede ver la relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde de la losa.

y = 30.344xR² = 1

y = 28.242x - 0.597R² = 1

0

500

1,000

1,500

2,000

2,500

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

de

Bo

rde

(kP

a)

Carga de rueda (kN)



Westergaard Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (kPa) 607 759 910 1062 1214 1365 1517 1669 1821 1972

Everfe (kPa) 564 706 847 988 1129 1270 1412 1553 1694 1835

Diferencia (kPa) -43 -53 -64 -74 -85 -95 -106 -116 -127 -137

Diferencia (%) -7.1 -7.0 -7.0 -7.0 -7.0 -7.0 -7.0 -7.0 -7.0 -7.0


65

Tabla 31. Esfuerzos de borde estructura 9. Fuente: Autor. Figura 28. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde estructura 9. Fuente: Autor. Se puede concluir que la metodología de elementos finitos tridimensionales usada por el programa EVERFE obtiene valores de esfuerzos por carga en el borde menores en un 2% a los calculados por las fórmulas de WESTERGAARD, para losas de 10 y 20 cm, y para losas de 30 cm EVERFE obtiene valores del 6 al 9% menores que los calculados con las fórmulas de WESTERGAARD. La menor diferencia se encuentra en las estructuras 1, 2, y 3, para losas de 10 cm de espesor, donde el esfuerzo por carga en el borde es mayor de 1.5 a 2.0% respectivamente, siendo valores prácticamente iguales.

y = 28.865x - 1E-12R² = 1

y = 26.986x - 0.4224R² = 1

0

200

400

600

800

1,000

1,200

1,400

1,600

1,800

2,000

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

de

Bo

rde

(kP

a)

Carga de rueda (kN)



Westergaard Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (kPa) 577 722 866 1010 1155 1299 1443 1588 1732 1876

Everfe (kPa) 539 674 809 944 1079 1214 1349 1484 1619 1754

Diferencia (kPa) -38 -47 -57 -66 -76 -85 -94 -104 -113 -123

Diferencia (%) -6.6 -6.6 -6.6 -6.6 -6.5 -6.5 -6.5 -6.5 -6.5 -6.5


66

Para las estructuras 4, 5 y 6 con losas de 20 cm EVERFE determina valores de esfuerzos en el borde menores a WESTERGAARD en un 1.7%, siendo valores con una diferencia numérica muy pequeña. En las estructuras con mayor diferencia son la 7, 8 y 9 con losas de 30 cm, EVERFE obtiene valores de esfuerzo en el borde menores a WESTERGAARD en un 6.5 a 8.9% respectivamente, igualmente no presenta mayores diferencias en el resultado.

Se concluye que los esfuerzos calculados por carga en el borde de la losa con las fórmulas de WESTERGAARD y el programa EVERFE no presentan diferencias superiores al 10% y en algunos casos sus valores son casi idénticos.

2.7 ANÁLISIS DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS

En el análisis de esfuerzos por carga de borde, los resultados obtenidos por EVERFE y las fórmulas de WESTERGAARD no presentan mayores diferencias, siendo muy similares, para losas de 10 cm y obteniendo valores ligeramente inferiores para losas de 20 cm y 30 cm de espesor. Estas mínimas diferencia se pueden generar de acuerdo lo siguiente. Área de carga: las soluciones de WESTERGAARD para carga de borde consideran un área de carga circular al borde de la losa, EVERFE modela un área de carga cuadrada al borde de la losa, lo cual es más realista que la asunción de WESTERGAARD. Ubicación de la carga: Al área circular al borde de la losa tiene 1 punto tangencial al borde de la losa a diferencia del área cuadrada mantiene 1 lado completo al borde de la losa, aunque esto no influye en gran manera porque a diferencia del esfuerzo en la esquina, el esfuerzo de borde se da justamente debajo de la ubicación de la carga. Dimensiones de la losa: las fórmulas de WESTERGAARD consideran una losa teóricamente infinita, lo que supone que la longitud y ancho de la losa no influyen sobre los esfuerzos por carga en la esquina, lo cual no se ajusta del todo a la realidad. EVERFE modela losas finitas tanto en su largo como su ancho, considerando la influencia de las dimensiones sobre el esfuerzo en el borde, esta variación de esfuerzos por dimensiones de la losa es muy mínima. Algoritmo de cálculo: WESTERGAARD aplica una metodología determinística con la aplicación de fórmulas matemáticas en la cual se remplaza los valores de las incógnitas y con operaciones directas de divisiones y multiplicaciones se soluciona la formula sin requerir iteraciones ni sistemas de múltiples ecuaciones, EVERFE trabaja con un algoritmo de elementos finitos donde a partir de la geometría y características del pavimento construye una matriz de rigidez para cada elemento y otra matriz de rigidez global para toda la estructura, genera un vector de desplazamientos y esfuerzos, mediante operaciones matriciales resuelve un sistema de ecuaciones múltiples con la técnica multigrid y obtiene los resultados no solo para un punto, si no, para cualquier punto de la losa de concreto.

67

Los valores obtenidos en los esfuerzos de borde son muy similares, concluyendo que el programa EVERFE esta validado matemáticamente con las fórmulas de WESTERGAARD para calcular esfuerzos por carga en el borde de losa, aplicando la metodología de elementos finitos tridimensionales. 2.8 ANÁLISIS DE DEFLEXIÓN POR CARGA EN EL BORDE Para el análisis de deflexiones por carga en el borde se modelaron las 9 estructuras de La tabla 3 con las fórmulas de WESTERGAARD para cargas en el borde con área circular y se modelaron las 9 estructuras de La tabla 4 con EVERFE con área cuadrada equivalente, las tablas que muestran la comparación de resultados son las siguientes: Para la estructura 01 la tabla 32 muestra que las deflexiones por carga en el borde calculadas por EVERFE son mayores un 6.5 a 13.6 % de las calculadas por WESTERGAARD, la deflexión se encuentra entre 0.9 mm y 2.9 mm y la diferencia máxima que se presenta es de 2 décimas de milímetro. Tabla 32. Deflexiones de borde estructura 1. Fuente: Autor. La tabla 33 indica las deflexiones para la estructura 02 donde las deflexiones por carga calculadas por EVERFE son mayores un 6.1 a 11.5 % de las calculadas por WESTERGAARD, la deflexión se encuentra entre 0.6 mm y 1.9 mm y la diferencia máxima que se presenta es de 1 décima de milímetro. Tabla 33. Deflexiones de borde estructura 2. Fuente: Autor.

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (mm) 0.8 1.0 1.2 1.5 1.7 1.9 2.1 2.3 2.5 2.7

Everfe (mm) 0.9 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.7 2.9

Diferencia (mm) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.2

Diferencia (%) 13.6 11.5 10.1 9.2 8.5 7.8 7.4 7.1 6.7 6.5

Deflexiones de borde estructura 01 - Losa 100 mm, K 100 Lb/pulg3

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (mm) 0.6 0.7 0.8 1.0 1.1 1.2 1.4 1.5 1.7 1.8

Everfe (mm) 0.6 0.8 0.9 1.0 1.2 1.3 1.5 1.6 1.8 1.9

Diferencia (mm) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

Diferencia (%) 11.5 9.8 8.8 8.1 7.6 7.1 6.8 6.5 6.3 6.1


68

Para la estructura 03 la tabla 34 muestra que las deflexiones por carga en el borde calculadas por EVERFE son mayores un 6.6 a 11.2 % de las calculadas por WESTERGAARD, la deflexión se encuentra entre 0.5 mm y 1.5 mm y la diferencia máxima que se presenta es de 1 décima de milímetro. Tabla 34. Deflexiones de borde estructura 3. Fuente: Autor. Se puede ver en la tabla 35 las deflexiones obtenidas por EVERFE que son mayores un 27.6 a 63.3 % de las calculadas por WESTERGAARD para la estructura 4, la deflexión se encuentra entre 0.5 mm y 1.4 mm, la diferencia máxima que se presenta es de 3 décimas de milímetro. Tabla 35. Deflexiones de borde estructura 4. Fuente: Autor. En la tabla 36 se muestra las deflexiones por carga en el borde para la estructura 05 calculadas por EVERFE que son mayores un 19.7 a 45.6 % de las calculadas por WESTERGAARD, la deflexión se encuentra entre 0.3 a y0.9 mm, la diferencia máxima que se presenta es de 1 décima de milímetro.

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (mm) 0.4 0.5 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4

Everfe (mm) 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Diferencia (mm) 0.0 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

Diferencia (%) 11.2 9.7 8.9 8.4 7.8 7.5 7.2 7.0 6.8 6.6


Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (mm) 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1

Everfe (mm) 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4

Diferencia (mm) 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3

Diferencia (%) 63.3 52.9 46.3 41.3 37.6 34.7 32.4 30.5 29.0 27.6


69

Tabla 36. Deflexiones de borde estructura 5. Fuente: Autor. Para la estructura 06 se tiene la tabla 37 donde se muestra que las deflexiones por carga en el borde determinadas por EVERFE son mayores un 16.6 a 38.3 % de las calculadas por WESTERGAARD, la deflexión se encuentra entre 0.3 y 0.7 mm, la diferencia máxima que se presenta es de 1 décima de milímetro. Tabla 37. Deflexiones de borde estructura 6 Fuente: Autor. Para la estructura 07 la tabla 38 muestra que las deflexiones por carga en el borde calculadas por EVERFE son mayores un 74 a 168 % de las calculadas por WESTERGAARD, la deflexión se encuentra entre 0.5 a 1.1 mm y la diferencia máxima que se presenta es de 5 décimas de milímetro. Tabla 38. Deflexiones de borde estructura 7. Fuente: Autor.

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (mm) 0.2 0.3 0.3 0.4 0.5 0.5 0.6 0.6 0.7 0.7

Everfe (mm) 0.3 0.4 0.5 0.5 0.6 0.6 0.7 0.8 0.8 0.9

Diferencia (mm) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

Diferencia (%) 45.6 38.0 33.0 14.0 27.0 24.9 23.2 21.8 20.6 19.7


Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (mm) 0.2 0.2 0.3 0.3 0.4 0.4 0.5 0.5 0.5 0.6

Everfe (mm) 0.3 0.3 0.3 0.4 0.4 0.5 0.5 0.6 0.6 0.7

Diferencia (mm) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

Diferencia (%) 38.3 31.9 28.0 24.9 22.8 21.0 19.5 18.5 17.5 16.6


Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (mm) 0.2 0.2 0.3 0.3 0.4 0.4 0.5 0.5 0.6 0.6

Everfe (mm) 0.5 0.6 0.6 0.7 0.8 0.8 0.9 0.9 1.0 1.1

Diferencia (mm) 0.3 0.3 0.3 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.5

Diferencia (%) 168.7 141.5 123.4 110.4 100.7 93.2 87.1 82.2 77.9 74.4


70

Se muestra en la tabla 39 los esfuerzos de borde correspondientes a la estructura 08 donde los valores determinado por EVERFE son mayores un 49 a 117 % de los calculadas por WESTERGAARD, la deflexión se encuentra entre 0.3 mm y 0.6 mm, la diferencia máxima que se presenta es de 2 décimas de milímetro. Tabla 39. Deflexiones de borde estructura 8. Fuente: Autor. Para la estructura 09 se tiene la tabla 40 donde se muestra que las deflexiones por carga en el borde calculadas por EVERFE son mayores un 40 a 96 % de las calculadas por WESTERGAARD, la deflexión se encuentra entre 0.2 mm y 0.5 mm, la diferencia máxima que se presenta es de 1 décimas de milímetro. Tabla 40. Deflexiones de borde estructura 9. Fuente: Autor. La mayor similitud en el valor de las deflexiones por carga en el borde se encuentra en las estructuras 1, 2 y 3 para losas de 10 cm de espesor, donde la deflexión por carga en el borde calculada con EVERFE es mayor un 15 a un 21%, y la diferencia máxima entre las deflexiones es de 0.2 mm. Para las estructuras 4, 5 y 6 con losas de 20 cm EVERFE determina valores de deflexión por carga en el borde mayor a WESTERGAARD un 16 a 63%, la diferencia máxima que se presenta en los resultados es de 3 décimas de milímetro, presentando la mayor diferencia en porcentajes para las deflexiones menores a un milímetro, aunque en porcentaje llega al 63% la diferencia numérica es un valor despreciable.

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (mm) 0.1 0.2 0.2 0.2 0.3 0.3 0.3 0.4 0.4 0.4

Everfe (mm) 0.3 0.3 0.4 0.4 0.4 0.5 0.5 0.6 0.6 0.6

Diferencia (mm) 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2

Diferencia (%) 117.3 98.0 84.6 75.4 68.2 62.6 58.4 54.7 51.8 49.2


Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (mm) 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.3 0.3 0.3 0.3

Everfe (mm) 0.2 0.2 0.3 0.3 0.3 0.4 0.4 0.4 0.4 0.5

Diferencia (mm) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

Diferencia (%) 96.1 79.9 69.2 61.5 55.7 51.2 47.3 44.4 41.9 39.9


71

En las estructuras 7, 8 y 9 con losas de 30 cm EVERFE obtiene valores de deflexión por carga en el borde mayor a WESTERGAARD en un 40 a 168% respectivamente, presentando la mayor diferencia en los resultados es de 5 décimas de milímetro para subrasantes de 100 Lb/pulg3, de 2 décimas de milímetro para subrasantes de 200 Lb/pulg3 y de 1 decima de milímetro para subrasantes de 300 Lb/pulg3. En los porcentajes mayores las diferencias numéricas en la deflexión son mínimas entre 1 a 3 décimas de milímetro, esto sucede porque en las deflexiones que son pequeñas de 1 décima de milímetro, EVERFE obtiene una diferencia de 1.5 décimas de milímetro que matemáticamente supera el 150%, pero en la práctica es una diferencia mínima por su magnitud tan insignificante. 2.9 ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR CARGA EN EL INTERIOR Para el análisis de esfuerzos por carga en el interior de la losa se modelaron las 9 estructuras de la tabla 3 con las fórmulas de WESTERGAARD para cargas en el interior con área circular y se modelaron las 9 estructuras de la tabla 4 con EVERFE con carga cuadrada equivalente, el análisis comparativo para cada estructura se muestra a continuación. Para la estructura 01 la tabla 41 muestra que los esfuerzos en el interior de la losa calculados por EVERFE son mayores un 10% a los calculados por WESTERGAARD, la figura 29 muestra la relación entre la carga aplicada y el esfuerzo en el interior. Tabla 41. Esfuerzos de interior estructura 1. Fuente: Autor.

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (kPa) 2091 2614 3136 3659 4182 4704 5227 5750 6273 6795

Everfe (kPa) 2301 2877 3452 4027 4603 5178 5753 6329 6904 7480

Diferencia (kPa) 210 263 316 368 421 474 526 579 631 684

% Diferencia 10.1 10.1 10.1 10.1 10.1 10.1 10.1 10.1 10.1 10.1

Esfuerzos de interior estructura 01 - Losa 100 mm, K 100 Lb/pulg3

72

Figura 29. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde estructura 1. Fuente: Autor. En la tabla 42 se muestra los esfuerzos en el interior de la losa para la estructura 02, los valores calculados por EVERFE son mayores un 11% a los calculados por WESTERGAARD, en la figura 30 se muestra una relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde que se presenta en ambas metodologías. Tabla 42. Esfuerzos de interior estructura 2. Fuente: Autor.

y = 104.54x + 1E-11R² = 1

y = 115.07x - 0.3018R² = 1

0

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

8,000

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

en

el I

nte

rio

r (k

Pa)

Carga de rueda (kN)

Esfuerzo en el interior


Westergaard Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (kPa) 1900 2376 2851 3326 3801 4276 4751 5226 5701 6177

Everfe (kPa) 2107 2634 3161 3688 4215 4742 5269 5795 6322 6849

Diferencia (kPa) 207 258 310 362 414 465 517 569 621 672

Diferencia (%) 10.9 10.9 10.9 10.9 10.9 10.9 10.9 10.9 10.9 10.9

Esfuerzos de interior estructura 02 - losa 100 mm, K 200 Lb/pulg3

73

Figura 30. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde estructura 2. Fuente: Autor. En la tabla 43 se resumen los esfuerzos en el interior de la losa para la estructura 03 calculados por EVERFE los cuales son mayores un 11.6% a los calculados por WESTERGAARD, en la figura 31 se tiene la relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el interior de la losa. Tabla 43. Esfuerzos de interior estructura 3.

Fuente: Autor.

y = 95.025x - 1E-11R² = 1

y = 105.37x - 0.2582R² = 1

0

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

8,000

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

en

el I

Nte

rio

r (

kPa)

Carga de rueda (kN)



Westergaard Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (kPa) 1789 2236 2684 3131 3578 4026 4473 4920 5367 5815

Everfe (kPa) 1996 2495 2994 3493 3992 4491 4990 5489 5988 6487

Diferencia (kPa) 207 258 310 362 414 465 517 569 621 673

Diferencia (%) 11.6 11.6 11.6 11.6 11.6 11.6 11.6 11.6 11.6 11.6


74

Figura 31. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde estructura 3. Fuente: Autor. Para la estructura 04 se tiene que en la tabla 44 muestra los esfuerzos en el interior de la losa calculados por EVERFE que son mayores un 7.9% a los calculados por WESTERGAARD, en la figura 32 se muestra una relación lineal la carga aplicada y el esfuerzo. Tabla 44. Esfuerzos de interior estructura 4. Fuente: Autor.

y = 89.456xR² = 1

y = 99.807x - 0.2842R² = 1

0

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

en

el I

nte

rio

r (

kPa)

Carga de rueda (kN)



Westergaard Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (kPa) 678 848 1018 1187 1357 1526 1696 1866 2035 2205

Everfe (kPa) 732 915 1098 1281 1463 1646 1829 2012 2195 2378

Diferencia (kPa) 53 66 80 93 107 120 133 147 160 173

Diferencia (%) 7.8 7.8 7.8 7.9 7.8 7.9 7.9 7.9 7.9 7.9


75

Figura 32. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde estructura 4. Fuente: Autor. Para la estructura 05 la tabla 45 muestra que los esfuerzos en el interior de la losa calculados por EVERFE son mayores un 6% a los calculados por WESTERGAARD, la figura 33 muestra una relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el interior que se presenta en ambas metodologías. Tabla 45. Esfuerzos de interior estructura 5. Fuente: Autor.

y = 33.922x + 3E-12R² = 1

y = 36.593x - 0.3018R² = 1

0

500

1,000

1,500

2,000

2,500

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

en

el I

nte

rio

r (

kPa)

Carga de rueda (kN)



Westergaard Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (kPa) 631 789 946 1104 1262 1419 1577 1735 1893 2050

Everfe (kPa) 669 837 1004 1172 1339 1507 1674 1842 2009 2176

Diferencia (kPa) 39 48 58 68 78 87 97 107 116 126

Diferencia (%) 6.1 6.1 6.1 6.1 6.1 6.1 6.1 6.1 6.1 6.2


76

Figura 33. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde estructura 5. Fuente: Autor. La tabla 46 muestra los esfuerzos en el interior de la losa para la estructura 06 calculados por EVERFE y que son mayores un 5.4% a los calculados por WESTERGAARD, la figura 34 indica una relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde que se presenta en ambas metodologías. Tabla 46. Esfuerzos de interior estructura 6. Fuente: Autor.

y = 31.542x + 3E-12R² = 1

y = 33.488x - 0.3806R² = 1

0

500

1,000

1,500

2,000

2,500

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

en

el I

nte

rio

r (

kPa)

Carga de rueda (kN)



Westergaard Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (kPa) 603 754 905 1055 1206 1357 1508 1658 1809 1960

Everfe (kPa) 636 795 954 1113 1272 1431 1590 1749 1908 2067

Diferencia (kPa) 33 41 49 57 66 74 82 90 99 107

Diferencia (%) 5.4 5.4 5.4 5.4 5.4 5.4 5.4 5.4 5.4 5.5


77

Figura 34. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde estructura 6. Fuente: Autor. Los resultados de esfuerzos en el interior de la losa para la estructura 07 se muestran en la tabla 47 siendo los valores calculados por EVERFE mayores un 6.2% a los calculados por las fórmulas WESTERGAARD, en la figura 35 se tienen la relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el interior de la losa. Tabla 47. Esfuerzos de interior estructura 7. Fuente: Autor.

y = 30.15xR² = 1

y = 31.865x - 1.3818R² = 0.9999

0

500

1,000

1,500

2,000

2,500

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

en

el I

nte

rio

r (

kPa)

Carga de rueda (kN)



Westergaard Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (kPa) 329 412 494 576 659 741 823 906 988 1070

Everfe (kPa) 350 437 525 612 700 787 875 962 1050 1137

Diferencia (kPa) 20 26 31 36 41 46 51 57 62 67

Diferencia (%) 6.2 6.2 6.2 6.2 6.2 6.2 6.2 6.2 6.2 6.2


78

Figura 35. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde estructura 7. Fuente: Autor. Para la estructura 08 la tabla 48 muestra que los esfuerzos en el interior de la losa calculados por EVERFE son mayores un 6.4% a los calculados por WESTERGAARD, la figura 36 muestra una relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde que se presenta en ambas metodologías. Tabla 48. Esfuerzos de interior estructura 8. Fuente: Autor.

y = 16.467xR² = 1

y = 17.497x - 0.1364R² = 1

0

200

400

600

800

1,000

1,200

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

en

el I

nte

rio

r (

kPa)

Carga de rueda (kN)



Westergaard Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (kPa) 308 385 462 539 616 693 770 848 925 1002

Everfe (kPa) 328 409 492 574 656 737 819 901 983 1065

Diferencia (kPa) 19 24 29 34 39 44 49 54 59 64

Diferencia (%) 6.3 6.2 6.3 6.3 6.3 6.3 6.4 6.4 6.4 6.4


79

Figura 36. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde estructura 8. Fuente: Autor. En la tabla 49 se muestra los esfuerzos en el interior de la losa calculados par la estructura 09 por EVERFE los cuales son mayores un 5.6% a los calculados por WESTERGAARD, en la figura 37 se muestra la relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde. Tabla 49. Esfuerzos de interior estructura 9. Fuente: Autor.

y = 15.409x + 7E-13R² = 1

y = 16.397x - 0.4667R² = 1

0

200

400

600

800

1,000

1,200

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

en

el I

nte

rio

r (

kPa)

Carga de rueda (kN)



Westergaard Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (kPa) 296 370 444 518 592 666 740 813 887 961

Everfe (kPa) 312 390 468 547 625 703 781 859 937 1015

Diferencia (kPa) 16 21 25 29 33 37 41 46 50 54

Diferencia (%) 5.5 5.6 5.6 5.6 5.6 5.6 5.6 5.6 5.6 5.6


80

Figura 37. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo en el borde estructura 9. Fuente: Autor. Se puede concluir que la metodología de elementos finitos tridimensionales usada por el programa EVERFE obtiene valores de esfuerzos por carga en el interior de las losas mayores en un 5 a 11% de los calculados por las fórmulas de WESTERGAARD, La mayor diferencia se encuentra en las estructuras 1, 2, y 3, para losas de 10 cm de espesor, donde el esfuerzo por carga en el interior es mayor un 11%, siendo valores con muy poca diferencia numérica. Para las estructuras 4, 5 y 6 con losas de 20 cm EVERFE determina valores de esfuerzos en el interior de la losa mayores a WESTERGAARD en un 8%, obteniendo valores muy cercanos en las dos metodologías. Las estructuras con menor diferencia son las 7, 8 y 9 con losas de 30 cm, EVERFE obtiene valores de esfuerzo en el interior de la losa mayores a WESTERGAARD en un 6.4% respectivamente, igualmente no presenta mayores diferencias en el resultado. 2.10 ANÁLISIS DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS En el análisis de esfuerzos por carga en el interior de la losa, los resultados obtenidos por EVERFE y las fórmulas de WESTERGAARD no presentan mayores diferencias,

y = 14.791xR² = 1

y = 15.627x - 0.3982R² = 1

0

200

400

600

800

1,000

1,200

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

el I

nte

rio

r (

kPa)

Carga de rueda (kN)


(Losa 300 mm, K 300 Lb/pulg3

Westergaard Everfe

81

siendo muy similares, las diferencias que se presentan están dadas por la estructura del modelo de análisis que presenta las siguientes diferencias. Área de carga: las soluciones de WESTERGAARD para carga en el interior de la losa considera un área de carga circular, EVERFE modela un área de carga cuadrada, lo cual es más realista que la asunción de WESTERGAARD. Dimensiones de la losa: las fórmulas de WESTERGAARD consideran una losa teóricamente infinita, lo que supone que la longitud y ancho de la losa no influyen sobre los esfuerzos por carga en el interior de la losa, lo cual no se ajusta del todo a la realidad. EVERFE modela losas finitas tanto en su largo como su ancho, considerando la influencia de las dimensiones sobre el esfuerzo en el interior, esta variación de esfuerzos por dimensiones de la losa es muy mínima. Algoritmo de cálculo: WESTERGAARD aplica una metodología determinística con la aplicación de fórmulas matemáticas en la cual se remplaza los valores de las incógnitas y con operaciones directas de divisiones y multiplicaciones se soluciona la formula sin requerir iteraciones ni sistemas de múltiples ecuaciones, EVERFE trabaja con un algoritmo de elementos finitos donde a partir de la geometría y características del pavimento construye una matriz de rigidez para cada elemento y otra matriz de rigidez global para toda la estructura, genera un vector de desplazamientos y esfuerzos, mediante operaciones matriciales resuelve un sistema de ecuaciones múltiples con la técnica multigrid y obtiene los resultados no solo para un punto, si no, para cualquier punto de la losa de concreto. Aunque las metodologías presentan diferencias elementales en sus algoritmos de cálculo los valores obtenidos son muy similares, concluyendo que el programa EVERFE esta validado matemáticamente con las fórmulas de WESTERGAARD para calcular esfuerzos por carga en el interior de losa, aplicando la metodología de elementos finitos tridimensionales. 2.11 ANÁLISIS DE DEFLEXIÓN POR CARGA EN EL INTERIOR DE LA LOSA Para el análisis de deflexiones por carga en el interior se modelaron las 9 estructuras de la tabla 3 con las fórmulas de WESTERGAARD para cargas en el borde con área circular y se modelaron las 9 estructuras de la tabla 4 con EVERFE, las tablas que muestran la comparación de resultados son las siguientes: Para la estructura 01 la tabla 50 muestra que las deflexiones por carga en el interior de la losa calculadas por EVERFE son mayores un 11.9 a 31.4% de las calculadas por WESTERGAARD, la deflexión se encuentra entre 0.4 mm y 1.1 mm, la diferencia máxima que se presentan las dos metodologías es de 1 décima de milímetro.

82

Tabla 50. Deflexiones de interior estructura 1. Fuente: Autor. En la tabla 51 se muestra las deflexiones por carga en el interior de la losa para la estructura 02, los valores calculados por EVERFE son mayores un 7.8 a 21.8% de los calculadas por WESTERGAARD, la deflexión se encuentra entre 0.3 mm y 0.7 mm, la diferencia máxima que se presentan las dos metodologías es de 1 décima de milímetro. Tabla 51. Deflexiones de interior estructura 2. Fuente: Autor. Para la estructura 03 se obtuvieron los resultados que se indican en la tabla 52 donde deflexiones por carga en el interior de la losa calculadas por EVERFE son mayores un 6.4 a 17.8% de las calculadas por WESTERGAARD, la deflexión se encuentra entre 0.2 mm y 0.6 mm, la diferencia máxima que presentan las dos metodologías es menor a 1 décima de milímetro. Tabla 52. Deflexiones de interior estructura 3. Fuente: Autor.

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (mm) 0.3 0.4 0.5 0.5 0.6 0.7 0.8 0.8 0.9 1.0

Everfe (mm) 0.4 0.5 0.6 0.6 0.7 0.8 0.9 0.9 1.0 1.1

Diferencia (mm) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

Diferencia (%) 31.4 25.8 22.0 19.3 17.2 15.8 14.5 13.5 12.6 11.9

Deflexiones de interior estructura 01 - Losa 100 mm, K 100 Lb/pulg3

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (mm) 0.2 0.3 0.3 0.4 0.4 0.5 0.5 0.6 0.6 0.7

Everfe (mm) 0.3 0.3 0.4 0.4 0.5 0.5 0.6 0.6 0.7 0.7

Diferencia (mm) 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

Diferencia (%) 21.8 17.9 14.9 13.1 11.7 10.6 9.8 9.1 8.3 7.8


Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (mm) 0.2 0.2 0.3 0.3 0.3 0.4 0.4 0.5 0.5 0.6

Everfe (mm) 0.2 0.2 0.3 0.3 0.4 0.4 0.5 0.5 0.6 0.6

Diferencia (mm) 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Diferencia (%) 17.8 14.7 12.3 10.9 9.6 8.8 8.0 7.3 6.9 6.4


83

Para la estructura 04 la tabla 53 muestra que las deflexiones por carga en el interior de la losa calculadas por EVERFE son mayores un 63 a 171% de las calculadas por WESTERGAARD, la deflexión se encuentra entre 0.3 mm y 0.6 mm, la diferencia máxima que presentan las dos metodologías es de 2 décimas de milímetro. Tabla 53. Deflexiones de interior estructura 4 Fuente: Autor. Se puede observar en la tabla 54 para la estructura 05 las deflexiones por carga en el interior de la losa calculadas por EVERFE son mayores un 46 a 122% de las calculadas por WESTERGAARD, la deflexión se encuentra entre 0.2 mm y 0.4 mm, la diferencia máxima que presentan las dos metodologías es de 1 décima de milímetro. Tabla 54. Deflexiones de interior estructura 5. Fuente: Autor. Para la estructura 06 la tabla 55 muestra que las deflexiones por carga en el interior de las losas calculadas por EVERFE son mayores un 38 a 101% de las calculadas por WESTERGAARD, la deflexión se encuentra entre 0.1 mm y 0.3 mm, la diferencia máxima que presentan las dos metodologías es de 1 décima de milímetro.

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (mm) 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.3 0.3 0.3 0.4

Everfe (mm) 0.3 0.3 0.4 0.4 0.4 0.5 0.5 0.5 0.5 0.6

Diferencia (mm) 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2

Diferencia (%) 171.2 140.4 119.2 104.7 93.3 84.8 77.7 72.2 67.3 63.5


Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (mm) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2

Everfe (mm) 0.2 0.2 0.2 0.2 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.4

Diferencia (mm) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

Diferencia (%) 122.6 101.0 85.7 75.5 67.3 61.4 56.2 52.4 48.8 46.2


84

Tabla 55. Deflexiones de interior estructura 6.

Fuente: Autor. La tabla 56 muestra que las deflexiones por carga en el interior de la losa calculadas por EVERFE que son mayores un 161 a 457% de las calculadas por WESTERGAARD, esto para la estructura 07, la deflexión se encuentra entre 0.3 mm y 0.5 mm, aunque los porcentajes son altos, la diferencia máxima que presentan las dos metodologías es de 3 décimas de milímetro. Tabla 56. Deflexiones de interior estructura 7. Fuente: Autor. Los resultados obtenidos para la estructura 08 se muestran en la tabla 57 donde las deflexiones por carga en el interior de la losa calculadas por EVERFE son mayores un 114 a 324% de las calculadas por WESTERGAARD, la deflexión se encuentra entre 0.2 mm y 0.3 mm, aunque los porcentajes son altos, la diferencia máxima que presentan las dos metodologías es de 2 décimas de milímetro. Tabla 57. Deflexiones de interior estructura 8.

Fuente: Autor.

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (mm) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.2

Everfe (mm) 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.3 0.2 0.3 0.3

Diferencia (mm) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

Diferencia (%) 101.6 83.0 70.7 61.8 56.0 50.7 68.3 43.1 40.3 38.3


Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (mm) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2

Everfe (mm) 0.3 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.5 0.5 0.5 0.5

Diferencia (mm) 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3

Diferencia (%) 457.2 371.2 315.0 273.9 243.9 219.8 201.2 185.4 172.2 161.6


Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (mm) 0.0 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

Everfe (mm) 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.3 0.3 0.3 0.3

Diferencia (mm) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2

Diferencia (%) 324.8 262.6 222.8 194.3 172.9 155.3 142.1 130.4 122.3 114.0


85

Para la estructura 09 la tabla 58 muestra que las deflexiones por carga en el interior de la losa calculadas por EVERFE son mayores un 94 a 267% de las calculadas por WESTERGAARD, la deflexión se encuentra entre 0.1 mm y 0.2 mm, aunque los porcentajes son altos, la diferencia máxima que presentan las dos metodologías es de 1 décimas de milímetro. Tabla 58. Deflexiones en interior estructura 9. Fuente: Autor. La menor diferencia se encuentra en las estructuras 1, 2 y 3 para losas de 10 cm de espesor, donde la deflexión por carga en el interior de la losa es mayor un 6.4 a un 31%, respectivamente, disminuyendo la diferencia a medida que mejora la calidad de la subrasante. Para las estructuras 4, 5 y 6 con losas de 20 cm EVERFE determina valores de deflexión por carga en el interior mayor a WESTERGAARD un 38 a 171%, la diferencia máxima que se presenta en los resultados es de 2 décimas de milímetro, presentando la mayor diferencia en porcentajes para las deflexiones menores a un milímetro, aunque en porcentaje llega al 171% la diferencia numérica es mínima en los resultados. En las estructuras 7, 8 y 9 con losas de 30 cm EVERFE obtiene valores de deflexión por carga en el interior mayor a WESTERGAARD en un 94 a 457% respectivamente, presentando la mayor diferencia en los resultados es de 3 décimas de milímetro. En los porcentajes mayores las diferencias numéricas en la deflexión son mínimas entre 1 a 3 décimas de milímetro, esto sucede porque en las deflexiones que son pequeñas de 0.5 décimas de milímetro, EVERFE obtiene una diferencia de 1.5 décimas de milímetro que matemáticamente supera el 300%, pero en la práctica es una diferencia mínima por su magnitud tan insignificante. Aunque las metodologías presentan diferencias elementales en sus algoritmos de cálculo los valores obtenidos son muy similares, concluyendo que el programa EVERFE esta validado matemáticamente con las fórmulas de WESTERGAARD para calcular esfuerzos por carga en el interior de losa, aplicando la metodología de elementos finitos tridimensionales.

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Westergaard (mm) 0.0 0.0 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

Everfe (mm) 0.1 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2

Diferencia (mm) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

Diferencia (%) 267.0 216.9 183.5 159.7 141.8 129.1 117.9 108.7 101.0 94.5


86

3 COMPARACIÓN DE ESFUERZOS POR GRADIENTE DE TEMPERATURA ENTRE EVERFE Y BRADBURY

Para el análisis comparativo de esfuerzos por gradiente de temperatura se modelo una estructura básica realizando un análisis de sensibilidad variando los parámetros principales que inciden directamente sobre los esfuerzos de alabeo, se determina el esfuerzo de alabeo en el interior de la losa para el eje X y el eje Y, igualmente se calcula en el borde para el eje X y el eje Y, de acuerdo con la metodología de BRADBURY. 3.1 PARÁMETROS ANÁLISIS DE BRADBURY El modelo estructural que estudio BRADBURY para esfuerzos por gradiente de temperatura se compone por una losa simple apoyada sobre una subrasante winkleriana, la losa se considera en contacto con la subrasante, para este análisis se planteó el modelo básico que muestra La tabla 59 con valores típicos de dimensiones y calidad de materiales, la losa tiene una relación de esbeltez de 2 lo cual no se ajusta a lo recomendado por la PCA, esto se plantea para probar mejor el programa, ya que con losas que tienden a ser cuadradas los esfuerzos en el interior para el eje X y el eje Y tienden a ser iguales, lo mismo pasa el esfuerzo en el borde de la losa, como se muestra en el análisis de losas cuadradas. El modelo es analizado con las ecuaciones de BRADBURY para esfuerzos de alabeo como se observa en la tabla 59, cuyos parámetros de entrada son los siguientes. Tabla 59. Datos de entrada fórmulas de BRADBURY. Fuente: Autor. 3.2 PARÁMETROS ANÁLISIS DE EVERFE Para modelar la estructura se utilizó el programa EVERFE en unidades inglesas, lo que evita realizar conversiones de unidades y mayor exactitud en los parámetros de entrada.

Estructura No. 1

Espesor de la losa, h (Pulg) 8

Longitud de la losa, Lx (Pulg) 300

Ancho de la losa, Ly (Pulg) 144

Gradiente de temperatura, Δt (°F) 20

Coeficiente de dilatación del concreto, αt (pulg/pulg/°F) 5xE-06

Módulo de reacción de la subrasante, K (lb/Pulg3) 200

Módulo elástico del concreto, E (lb/Pulg2) 4xE06

Relación de Poisson del concreto, u 0,15

Datos de entrada formulas de Bradbury

87

Tabla 60. Datos de entrada programa EVERFE. Fuente: Autor. 3.2.1 Esfuerzos de alabeo en losas cuadradas Se modelo la estructura básica con una losa cuadrada sobre una subrasante Winkleriana en un rango de 20 a 300 pulgadas de lado con una variación de 20 pulgadas como muestra La tabla 61, se determinó que, en ambas metodologías de cálculo, BRADBURY y EVERFE, los esfuerzos en el interior de la losa son iguales en el eje X y en el eje Y, igualmente los esfuerzos en el borde de la los son iguales en el eje X y en el Eje Y, esto se debe a la simetría de la losas, los resultados se resumen en La tabla 61. La tabla 61 muestra que el esfuerzo de alabeo en el interior de la losa calculado por EVERFE es menor al calculado por BRADBURY de un 0 a 16% para losas mayores a 100 pulgadas (2.5 m) de lado, para losas menores a 100 pulgadas se presenta una diferencia de 27 a 95%, aunque en losas pequeñas los resultados son totalmente diferentes, esto se debe a que son valores muy bajos casi despreciables que van de 2 a 33 lb/pulg2, por ejemplo en losas de 40 pulgadas de lado la diferencia es de un 76%, pero la diferencia numérica es de 6 lb/pulg2 Esfuerzo de alabeo en el borde de la losa calculado por EVERFE es menor al calculado por BRADBURY de un 0 a 13% para losas mayores a 100 pulgadas (2.5 m) de lado, para losas menores a 100 pulgadas se presenta una diferencia de 25 a 95%, aunque en losas pequeñas los resultados son totalmente diferentes, esto se debe a que son valores muy bajos casi despreciables como se explica para el esfuerzo del interior.

Estructura No. 1

Espesor de la losa, h (Pulg) 8

Longitud de la losa, Lx (Pulg) 300

Ancho de la losa, Ly (Pulg) 144

Gradiente de temperatura, Δt (°F) 20

Módulo elástico del concreto, E (ksi) 4000

Relación de Poisson del concreto, u 0,15

Coeficiente de dilatación del concreto, αt (pulg/pulg/°F) 5xE-06

Módulo de reacción de la subrasante, K (ksi/in) 0,2

Número de cambios de temperatura 2

Gradiente de temperatura uno, Δt (°F) 20

Gradiente de temperatura dos, Δt (°F) 0

Mallado número de elementos eje X 24

Mallado número de elementos eje Y 24

Mallado número de elementos eje Z 3


88

Se puede observar que para losas cuadradas con lados de 120 a 180 pulgadas (3 a 4 m), el esfuerzo en el interior de la losa presenta una diferencia de 16 al 7% y el esfuerzo en el borde de la losa del 13 al 5%, para losas con lados mayores a 200 pulgadas (5 m) los esfuerzos son prácticamente iguales tanto en el interior como en el borde. Tabla 61. Esfuerzos de alabeo en losas cuadradas en función de L.

Fuente: Autor. La figura 38 muestra que en una losa cuadrada los esfuerzos de alabeo en el interior y borde de la losa calculados por EVERFE son ligeramente menores a los calculados por BRADBURY, y a partir de losas con 220 pulgadas de lado son iguales y tienden a ser constantes, el esfuerzo del interior es un 18% mayor que el esfuerzo de borde para ambas metodologías. Figura 38. Esfuerzo de alabeo en el interior y borde de losas cuadradas BRADBURY vs EVERFE.

Fuente: Autor.

0

50

100

150

200

250

300

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300

Esfu

erzo

(Lb

/pu

lg2

)

Lado de la losa (pulg)

Esfuerzo de alabeo en el interior y borde de losas cuadradasBRADBURY vs EVERFE

Bradbury (σi) Bradbuy (σb) Everfe (σi) Everfe (σb)

Lado (pulg) L 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300

Interior 2 7 16 33 64 111 151 191 224 240 249 254 256 256 254

Borde 2 6 14 28 54 94 128 162 190 204 212 216 218 218 216

Interior 0 2 8 24 53 93 137 176 208 230 245 253 256 257 255

Borde 0 1 7 21 47 82 120 154 181 200 212 218 220 220 218

Interior -95.8 -76.1 -51.4 -27.1 -16.6 -15.9 -9.0 -7.7 -6.9 -4.2 -1.8 -0.4 -0.2 0.2 0.3

Borde -95.0 -78.0 -50.0 -25.0 -13.0 -12.8 -6.2 -4.9 -4.7 -2.0 0.0 0.9 0.9 0.9 0.9

Bradbury (Lb/pulg2)

Everfe (Lb/pulg2)

Diferencia (%)

Esfuerzos de alabeo en losas cuadradas en funcion de L

89

3.2.2 Esfuerzos de alabeo en losas asimétricas Se modelo la estructura básica con losas asimétricas guardando una relación de esbeltez de 2 para buscar que los esfuerzos calculados no sean tan similares como en el caso de las losas cuadradas, se proyectó Lx en un rango de 180 a 360 pulgadas con una variación de 10 pulgadas y L y con un rango de 90 a 180 pulgadas con una variación de 20 pulgadas, los resultados se muestran en la siguiente tabla. Tabla 62. Esfuerzos de alabeo en el interior de la losa en función de Lx y Ly. Fuente: Autor. El esfuerzo en el interior de la losa en el eje X, σx calculado por EVERFE es menor en un 0 a 7% del calculado por BRADBURY, la mayor diferencia se presenta para la losa de 90 x 180 pulgadas con 13 lb/pulg2 siendo un valor mínimo, casi despreciable. El esfuerzo en el interior de la losa en el eje Y, σy calculado por EVERFE es menor en un 5 a 34% del calculado por BRADBURY, la mayor diferencia se presenta para la losa de 90 x 180 pulgadas con 24 lb/pulg2 siendo un valor mínimo, sucede lo mismo que en las losas cuadradas menores a 100 pulgadas de lado donde el porcentaje de diferencia es alto pero la diferencia numérica es mínima e insignificante porque son esfuerzos calculados son muy pequeños. En La figura 39 se aprecia que tanto BRADBURY como EVERFE obtiene valores prácticamente iguales para el esfuerzo en el interior de la losa σx y valores muy similares para σy.

Largo (pulg) Lx 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360

Ancho (pulg) Ly 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180

σx 198 214 227 234 239 243 243 241 243 244

σy 70 86 108 127 149 166 183 196 211 225

σx 185 205 219 229 235 238 240 241 241 241

σy 46 63 83 104 125 146 165 183 199 212

σx -6.8 -4.2 -3.7 -2.3 -1.8 -1.9 -1.4 -0.3 -1.0 -1.4

σy -34.1 -26.8 -23.2 -18.0 -16.3 -12.3 -9.8 -6.7 -5.5 -5.6Diferencia (%)

Esfuerzos de alabeo en el interior de la losa asimetrica en funcion de Lx y Ly

Bradbury (Lb/pulg2)

Everfe (Lb/pulg2)

90

Figura 39. Esfuerzo de alabeo en el interior de la losa BRADBURY vs EVERFE. Fuente: Autor. La tabla 63 muestra que el esfuerzo en el borde de la losa en el eje X calculado por EVERFE es prácticamente igual al calculado por BRADBURY, la mayor diferencia se presenta para la losa de 90 x 180 pulgadas con 7 lb/pulg2 siendo un valor mínimo. El esfuerzo en el borde de la losa en el eje Y calculado por EVERFE es menor en un 4 a 35% del calculado por BRADBURY, la mayor diferencia se presenta para la losa de 90 x 180 pulgadas con 14 lb/pulg2 siendo un valor mínimo. Tabla 63. Esfuerzos de alabeo en el borde de la losa en función de Lx y Ly. Fuente: Autor. En la figura 40 se aprecia que tanto BRADBURY como EVERFE obtiene valores prácticamente iguales para el esfuerzo de alabeo en el eje X para el borde de la losa y valores muy similares para el esfuerzo de alabeo en el eje Y.

0

50

100

150

200

250

300

90 100 110 120 130 140 150 160 170 180Esfu

erzo

(Lb

/pu

lg2

)


Esfuerzo de alabeo en el interior de la losa asimetrica BRADBURY vs EVERFE

Bradbury (σx) Bradbuy (σy) Everfe (σx) Everfe (σy)

Largo (pulg) Lx 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360

Ancho (pulg) Ly 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180

σx 188 201 211 215 217 218 216 212 212 210

σy 40 54 74 92 114 130 147 160 174 188

σx 181 199 210 216 219 219 217 215 212 209

σy 26 40 58 77 97 117 136 153 168 180

σx -3.7 -1.0 -0.6 0.3 0.9 0.6 0.5 1.4 0.1 -0.7

σy -35.0 -25.9 -21.6 -15.9 -14.5 -10.0 -7.2 -4.4 -3.4 -4.3

Esfuerzos de alabeo en el borde de la losa asimetrica en funcion de Lx y Ly

Bradbury (Lb/pulg2)

Everfe (Lb/pulg2)

Diferencia (%)

91

Figura 40. Esfuerzo de alabeo en el borde de la losa BRADBURY vs EVERFE. Fuente: Autor. 3.2.3 Esfuerzos de alabeo para diferentes espesores de losa Se modelo la estructura básica con diferentes espesores de losa en un rango de 4 a 13 pulgadas con variación de 1 pulgada los resultados se muestran en la tabla 64. Tabla 64. Esfuerzos de alabeo en el interior de la losa en función de h. Fuente: Autor. El esfuerzo en el interior de la losa en el eje X, σx calculado por EVERFE es menor en un 0.8 a 3.5% del calculado por BRADBURY, la mayor diferencia se presenta para la losa de 13 pulgadas (33 cm) con 9 lb/pulg2 siendo un valor mínimo, los resultados obtenidos por ambas metodologías son prácticamente iguales. El esfuerzo en el interior de la losa en el eje Y, σy calculado por EVERFE es menor en un 0.2 a 11.6% del calculado por BRADBURY, la mayor diferencia se presenta para la losa de 13 pulgadas (33 cm) con 10 lb/pulg2 siendo un valor mínimo.

0

50

100

150

200

250

90 100 110 120 130 140 150 160 170 180Esfu

erzo

(Lb

/pu

lg2

)


Esfuerzo de alabeo en el borde de la losa asimetrica BRADBURY vs EVERFE


Espesor (pulg) h 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

σx 248 246 243 241 242 240 236 231 227 219

σy 253 243 220 196 172 148 131 115 98 85

σx 246 243 240 239 238 236 232 226 219 210

σy 253 236 210 181 153 129 107 90 75 75

σx -0.8 -1.4 -1.3 -1.1 -1.6 -1.8 -1.7 -2.4 -3.6 -3.8

σy -0.2 -2.9 -4.7 -7.8 -11.2 -12.9 -18.5 -21.5 -23.5 -11.6

Bradbury (Lb/pulg2)

Everfe (Lb/pulg2)

Diferencia (%)

Esfuerzos de alabeo en el interior de la losa en función de h

92

La figura 41 muestra que a medida que aumenta el espesor de la losa el esfuerzo de alabeo en el interior de la losa para el eje X, disminuye levemente, a diferencia del esfuerzo para el eje Y, que disminuye un 70%, se aprecia que las dos metodologías de cálculo, BRADBURY y EVERFE obtienen valores muy similares para el esfuerzo en el interior. Figura 41. Esfuerzo de alabeo en el interior de la losa BRADBURY vs EVERFE. Fuente: Autor. La tabla 65 muestra que el esfuerzo de alabeo en el borde de la losa para el eje X calculado por EVERFE es teóricamente igual al calculado por BRADBURY, presentando diferencias que no superan el 1%. Tabla 65. Esfuerzos de alabeo en el borde de la losa en función de h. Fuente: Autor. El esfuerzo de alabeo en el borde para el eje Y calculado por EVERFE es menor un 0.5 a 23% del calculado por BRADBURY, la mayor diferencia se presenta para la losa con espesor de 13 in (33 cm) con 12 lb/pulg2 siendo un valor mínimo.

0

50

100

150

200

250

300

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Esfu

erzo

(Lb

/pu

lg2

)

Espesor de la losa (pulg)

Esfuerzo de alabeo en el interior de la losa en función de h. BRADBURY vs EVERFE

Bradbury (σx) Everfe (σy) Everfe (σx) Bradbury (σy)

Espesor (pulg) h 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

σx 210 210 210 212 216 218 216 214 212 206

σy 216 206 184 160 136 112 96 80 64 52

σx 209 210 207 213 217 219 218 215 211 210

σy 217 203 179 152 125 101 81 64 51 40

σx -0.5 0.0 -1.4 0.5 0.5 0.5 0.9 0.5 -0.5 1.9

σy 0.5 -1.5 -2.7 -5.0 -8.1 -9.8 -15.6 -20.0 -20.3 -23.1

Esfuerzos de alabeo en el borde de la losa en función de h

Bradbury (Lb/pulg2)

Everfe (Lb/pulg2)

Diferencia (%)

93

La figura 42 muestra que las dos metodologías de cálculo, BRADBURY y EVERFE obtienen valores teóricamente iguales para el esfuerzo por alabeo en el borde de la losa en el eje X, y valores muy similares para para el esfuerzo por alabeo en el borde de la losa en el eje Y, con diferencias muy mínimas. Figura 42. Esfuerzo de alabeo en el borde de la losa BRADBURY vs EVERFE. Fuente: Autor. 3.2.4 Esfuerzos de alabeo para diferentes gradientes de temperatura Se modelo la estructura básica con diferentes gradientes de temperatura en la losa en un rango de 0 a 90 °F con variación de 10 °F los resultados se muestran en la siguiente tabla. La tabla 66 muestra que el esfuerzo de alabeo en el interior de la losa en el eje X, σx calculado por EVERFE es menor en un 1.7% del calculado por BRADBURY, presentando resultados teóricamente iguales, con diferencias despreciables. El esfuerzo de alabeo en el borde para el eje Y calculado por EVERFE es menor un 12% del calculado por BRADBURY, la diferencia permanece constante para todas las estructuras modeladas.

0

50

100

150

200

250

300

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Esfu

erzo

(Lb

/pu

lg2

)

Espesor de la losa (pulg)

Esfuerzo de alabeo en el borde de la losa en función de h.BRADBURY vs EVERFE

Bradbury (σx) Everfe (σy) Everfe (σx) Bradbury (σy)

94

Tabla 66. Esfuerzos de alabeo en el interior de la losa en función de ∆t. Fuente: Autor. La figura 43 muestra que las dos metodologías de cálculo, BRADBURY y EVERFE obtienen valores teóricamente iguales para el esfuerzo por alabeo en el borde de la losa en el eje X, y valores muy similares para para el esfuerzo por alabeo en el borde de la losa en el eje Y, con diferencias muy mínimas. Figura 43. Esfuerzo de alabeo en el interior de la losa BRADBURY vs EVERFE. Fuente: Autor. La tabla 67 muestra que el esfuerzo de alabeo en el borde de la losa para el eje X calculado por EVERFE es teóricamente igual al calculado por BRADBURY, presentando diferencias que no superan el 1%. El esfuerzo de alabeo en el borde para el eje Y calculado por EVERFE es menor un 9.5% del calculado por BRADBURY, manteniéndose constante la diferencia en todas las estructuras modeladas.

0

200

400

600

800

1,000

1,200

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Esfu

erzo

(Lb

/pu

lg2

)

Gradiente de temperatura Δt (°F)

Esfuerzo de alabeo en el interior de la losa en funcion de ∆tBRADBURY vs EVERFE


Gradiente (°F) Δt 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

σx 0 121 242 363 484 605 726 848 969 1090

σy 0 87 174 261 349 436 523 610 697 784

σx 0 119 238 357 476 596 715 834 953 1072

σy 0 77 153 230 307 384 460 537 614 691

σx 0.0 -1.7 -1.7 -1.7 -1.7 -1.5 -1.6 -1.6 -1.6 -1.6

σy 0.0 -11.7 -12.2 -12.0 -11.9 -11.9 -12.0 -12.0 -11.9 -11.9

Esfuerzos de alabeo en el interior de la losa en función de Δt

Bradbury (Lb/pulg2)

Everfe (Lb/pulg2)

Diferencia (%)

95

Tabla 67. Esfuerzos de alabeo en el borde de la losa en función de ∆t. Fuente: Autor. En la figura 44 se aprecia que el esfuerzo de alabeo para el borde de la losa en el eje X es igual para ambas metodologías, y el esfuerzo en el eje Y presenta diferencias muy mínimas. Figura 44. Esfuerzo de alabeo en el borde de la losa BRADBURY vs EVERFE.

Fuente: Autor. 3.2.5 Esfuerzos de alabeo para diferentes coeficientes de dilatación Se modelo la estructura básica para diferentes valores de coeficiente de dilatación en el concreto en un rango de 4x10-6 a 7x10-6 Pulg/pulg/°F con variación de 0.5x10-6 Pulg/pulg/°F los resultados se muestran en La tabla 68.

Gradiente (°F) Δt 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

σx 0 108 216 324 432 540 648 756 864 972

σy 0 69 138 207 276 345 414 483 552 621

σx 0 109 217 326 435 543 652 761 869 978

σy 0 62 125 187 250 312 375 437 500 562

σx 0.0 0.9 0.5 0.6 0.7 0.6 0.6 0.7 0.6 0.6

σy 0.0 -10.1 -9.4 -9.7 -9.4 -9.6 -9.4 -9.5 -9.4 -9.5

Esfuerzos de alabeo en el borde de la losa en función de Δt

Bradbury (Lb/pulg2)

Everfe (Lb/pulg2)

Diferencia (%)

0

200

400

600

800

1,000

1,200

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Esfu

erzo

(Lb

/pu

lg2

)

Gradiente de temperatura Δt (°F)

Esfuerzo de alabeo en el borde de la losa en funcion de ∆tBRADBURY vs EVERFE


96

La tabla 68 muestra que el esfuerzo de alabeo en el interior de la losa en el eje X, σx calculado por EVERFE es menor en un 1.8% del calculado por BRADBURY, presentando resultados teóricamente iguales, con diferencias despreciables. El esfuerzo de alabeo en el interior para el eje Y, σy calculado por EVERFE es menor un 12% del calculado por BRADBURY, la diferencia permanece constante para todas las estructuras modeladas. Tabla 68. Esfuerzos de alabeo en el interior de la losa en función de at.

Fuente: Autor. La figura 45 muestra que las dos metodologías de cálculo, BRADBURY y EVERFE obtienen valores teóricamente iguales para el esfuerzo por alabeo en el interior de la losa en el eje X, y valores muy similares para para el esfuerzo por alabeo en el interior de la losa en el eje Y, con diferencias muy mínimas del 12%. Figura 45. Esfuerzo de alabeo en el interior de la losa BRADBURY vs EVERFE. Fuente: Autor.

0

100

200

300

400

4 4.5 5 5.5 6 6.5 7Esfu

erzo

(Lb

/pu

lg2

)

Coeficiente de Dilatación del concreto (in/in/°F) E-06

Esfuerzo de alabeo en el interior de la losa en funcion de αt

BRADBURY vs EVERFE


Dilatación (in/in/°F) αt 4.0E-06 4.5E-06 5.0E-06 5.3E-06 5.5E-06 5.8E-06 6.0E-06 6.3E-06 6.5E-06 7.0E-06

σx 194 218 242 257 266 281 291 305 315 339

σy 139 157 174 185 192 202 209 220 227 244

σx 191 214 238 252 262 276 286 300 310 334

σy 123 138 153 163 169 178 184 193 199 215

σx -1.4 -1.8 -1.7 -1.8 -1.6 -1.7 -1.6 -1.7 -1.5 -1.5

σy -11.8 -12.0 -12.2 -11.8 -11.9 -12.0 -12.0 -12.1 -12.2 -11.9

Bradbury (Lb/pulg2)

Everfe (Lb/pulg2)

Diferencia (%)

Esfuerzos de alabeo en el interior de la losa en función de αt

97

La tabla 69 muestra que el esfuerzo de alabeo en el borde de la losa para el eje X calculado por EVERFE es teóricamente igual al calculado por BRADBURY, presentando diferencias que no superan el 1%. El esfuerzo de alabeo en el borde para el eje Y calculado por EVERFE es menor un 9.8% del calculado por BRADBURY, manteniéndose constante la diferencia en todas las estructuras modeladas. Tabla 69. Esfuerzos de alabeo en el borde de la losa en función de at.

Fuente: Autor. La figura 46 muestra que las dos metodologías de cálculo, BRADBURY y EVERFE obtienen valores teóricamente iguales para el esfuerzo por alabeo en el borde de la losa en el eje X, y valores muy similares para para el esfuerzo por alabeo en el borde de la losa en el eje Y, con diferencias muy mínimas del 9.8%. Figura 46. Esfuerzo de alabeo en el borde de la losa BRADBURY vs EVERFE. Fuente: Autor.

0

100

200

300

400

4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

Esfu

erzo

(P

si)

Coeficiente de Dilatación del concreto (in/in/°F) E-06

Esfuerzo de alabeo en el borde de la losa en funcion de αt BRADBURY vs EVERFE


Dilatación (in/in/°F) αt 4.0E-06 4.5E-06 5.0E-06 5.3E-06 5.5E-06 5.8E-06 6.0E-06 6.3E-06 6.5E-06 7.0E-06

σx 172.8 194 216 229 238 251 259 272 281 302

σy 110.4 124 138 146 152 160 166 174 179 193

σx 174 196 217 230 239 252 261 274 283 304

σy 100 112 125 132 137 145 150 157 162 175

σx 0.7 0.8 0.5 0.5 0.6 0.6 0.7 0.7 0.8 0.5

σy -9.4 -9.8 -9.4 -9.8 -9.7 -9.4 -9.4 -9.7 -9.7 -9.4

Esfuerzos de alabeo en el borde de la losa en función de αt

Bradbury (Lb/pulg2)

Everfe (Lb/pulg2)

Diferencia (%)

98

3.2.6 Esfuerzos de alabeo para diferentes módulos de reacción Se modelo la estructura básica para diferentes valores de módulo de reacción de la subrasante en un rango de 100 a 550 lb/pulg3 con variación de 50 lb/pulg3 los resultados se muestran en la siguiente tabla. La tabla 70 muestra que el esfuerzo de alabeo en el interior de la losa en el eje X, σx calculado por EVERFE es menor en un 2.8% del calculado por BRADBURY, presentando resultados teóricamente iguales, con diferencias despreciables. El esfuerzo de alabeo en el interior para el eje Y, σy calculado por EVERFE es menor un 5 a 19% del calculado por BRADBURY, la diferencia máxima que presentan las dos metodologías es de 25 lb/pulg2 para subrasantes de 100 lb/pulg3 Se puede apreciar que el esfuerzo para en interior de la losa en el eje X que es el lado largo de la losa, no se ve afectado por el valor del módulo de reacción de la subrasante, manteniendo un valor constante a medida que mejora la calidad de la subrasante, el esfuerzo en el eje Y que es el lado corto de la losa, tiene un aumento a medida que se mejora la calidad de la subrasante. Tabla 70. Esfuerzos de alabeo en el interior de la losa en función de K. Fuente: Autor. De acuerdo con la figura 47 el esfuerzo en el eje x que es el lado largo de la losa, se mantiene en un valor constante sin ser afectado por el mejoramiento de la subrasante, a diferencia del esfuerzo en el eje Y, que va aumentando con la calidad de la subrasante hasta mantenerse constante. La diferencia que presentan las dos metodologías de cálculo es muy mínima.

Modulo reacción (Lb/pulg3) K 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550

σx 238 242 242 242 241 241 242 243 244 244

σy 132 160 176 186 196 206 210 223 227 229

σx 231 236 238 239 239 239 239 238 238 238

σy 106 133 153 169 181 191 200 206 212 217

σx -2.8 -2.5 -1.8 -1.2 -1.0 -0.8 -1.0 -2.2 -2.5 -2.6

σy -19.5 -17.0 -13.2 -9.3 -7.8 -7.3 -4.9 -7.4 -6.4 -5.1

Esfuerzos de alabeo en el interior de la losa en función de K

Bradbury (Lb/pulg2)

Everfe (Lb/pulg2)

Diferencia (%)

99

Figura 47. Esfuerzo de alabeo en el interior de la losa BRADBURY vs EVERFE. Fuente: Autor. La tabla 71 muestra que el esfuerzo de alabeo en el borde de la losa para el eje X calculado por EVERFE es teóricamente igual al calculado por BRADBURY, presentando diferencias que no superan el 2.5%. El esfuerzo de alabeo en el borde para el eje Y calculado por EVERFE es menor un 3.6 a 16.7% del calculado por BRADBURY, presentando una diferencia máxima de 16 lb/pulg2 para subrasantes de 100 lb/pulg3. Tabla 71. Esfuerzos de alabeo en el borde de losa en función de K.

Fuente: Autor. De acuerdo con la figura 48 el esfuerzo en el eje x que es el lado largo de la losa, presenta valores idénticos con ambas metodologías su valor se mantiene en un rango constante sin ser afectado por el mejoramiento de la subrasante, a diferencia del esfuerzo en el eje Y, que va aumentando con la calidad de la subrasante hasta mantenerse constante. La diferencia que presentan las dos metodologías de cálculo es muy mínima.

50

100

150

200

250

300

100 200 300 400 500 600

Esfu

erzo

(Lb

/pu

lg2

)

Modulo de reacción de la subrasante (Lb/pulg3)

Esfuerzo de alabeo en el interior de la losa en función de K BRADBURY vs EVERFE


Modulo reacción (Lb/pulg3) K 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550

σx 218 218 216 214 212 210 210 210 210 210

σy 96 124 140 150 160 170 174 186 190 192

σx 219 219 217 215 213 211 209 207 206 205

σy 80 105 125 140 152 161 169 175 181 185

σx 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 -0.5 -1.4 -1.9 -2.4

σy -16.7 -15.3 -10.7 -6.7 -5.0 -5.3 -2.9 -5.9 -4.7 -3.6

Bradbury (Lb/pulg2)

Everfe (Lb/pulg2)

Diferencia (%)

Esfuerzos de alabeo en el borde de la losa en función de K

100

Figura 48. Esfuerzo de alabeo en el borde de la losa BRADBURY vs EVERFE. Fuente: Autor. Se puede concluir que la metodología de elementos finitos tridimensionales usada por el programa EVERFE obtiene valores de esfuerzos por alabeo en el interior de la losa menores pero muy idénticos a los calculados por las fórmulas de BRADBURY, igualmente sucede con los valores de esfuerzo en el borde de la losa. La mayor diferencia se encuentra en las losas pequeñas con longitudes de 100 pulg, donde los esfuerzos son mínimos, menores a 40 lb/pulg2 Aunque las metodologías presentan diferencias elementales en sus algoritmos de cálculo los valores obtenidos son muy similares, concluyendo que el programa EVERFE esta validado matemáticamente con las fórmulas de BRADBURY para calcular esfuerzos por gradiente de temperatura, aplicando la metodología de elementos finitos tridimensionales.

50

70

90

110

130

150

170

190

210

230

100 200 300 400 500 600

Esfu

erzo

(Lb

/pu

lg2

)

Modulo de reacción de la subrasante (Lb/pulg3)

Esfuerzo de alabeo en el borde de la losa en funcion de K BRADBURY vs EVERFE


101

4 ANÁLISIS DE ESFUERZOS Y DEFLEXIONES CON EVERFE Y KENSLABS Para el análisis comparativo de esfuerzos y deflexiones por el método de EVERFE y KENSLABS se modelaron las mismas estructuras utilizadas en el análisis de WESTERGAARD que se componen de 9 estructuras principales de pavimento rígido cada una con 10 combinaciones de carga para un total de 90 estructuras, con la diferencia que el área de carga no tiene forma cuadrada si no, forma rectangular, ambos programas se trabajaron en unidades métricas. 4.1 PARÁMETROS ENTRADA PROGRAMA EVERFE

Los parámetros de diseño tomados para las 90 estructuras de pavimento corresponden a la combinación de las siguientes características: Espesor de la losa: se considera un rango de 3 espesores que abarcan desde una losa delgada has una losa gruesa, utilizando espesores de 10, 20 y 30 cm. Dimensiones de la losa: EVERFE modela losas finitas con un largo y un ancho definidos al igual que KENSLABS, para el caso de estudió se asumen dimensiones típicas para un carril de 3.6 m de ancho con una losa de 4.4 m de longitud, esto siguiendo las recomendaciones de la PCA en la cual la relación longitud sobre ancho debe ser menor a 1.25, en el caso de estudio es de 1.22. Módulo de reacción de la subrasante: se considera un rango de 3 módulos de reacción que abarcan desde una subrasante de mala calidad hasta una de muy buena calidad, utilizando valores de módulo de 0.0277, 0.0554 y 0.0830 MPa/mm, correspondientes a 100, 200 y 300 Lb/pulg3. Carga de rueda: para cada estructura se proyectaron un rango de 10 cargas por rueda simple sobre un área rectangular, los valores utilizados fueron 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60 y 65 kN. Módulo elástico del concreto: se aplica el valor típico de 28000 MPa para todas las estructuras. Relación de Poisson del concreto: Se utilizó el valor típico de 0.15 para todas las estructuras. Área de contacto: considerando que tanto EVERFE como KENSLABS modelan áreas rectangulares, se toma el área de contacto evaluada con WESTERGAARD con radio de 6 pulg y área de 113,04 pulg2 y se convierte a un área rectangular equivalente que representa la huella de la rueda aplicando las fórmulas para el sistema de ruedas dobles como se muestra en La figura 47.

q

PL d

5227.0 (22)

102

Dónde: Pd es la carga sobre una rueda en lb, q la presión de contacto en Lb/pulg2 y L es la longitud calculada en pulgadas. Figura 49. Método de convertir un sistema doble a un área circular.

0.6L 0.6L

sd

L

0.3L

0.4L

0.3L

sd - 0.6L

Fuente: HUANG, Yang. Pavement análisis and design. New Jersey: Prentice-Hall, 2004. p. 159. Radio de carga = 6 pulg Área de contacto = 113.04 pulg2 Pd = 4499 lb (20 kN) Q = 39.78 lb/pulg2 L = 14.7 pulg. Ancho de la huella = 0.6 x L = 8.82 pulg = 224 mm. Largo de la huella = 113.04 pulg2 / 8.82 pulg = 12.81 pulg = 325 mm. Para todas las estructuras se mantendrá un área de contacto de 325 mm de largo por 224 mm de ancho. Malla de elementos finitos: Para el caso de estudio se cambia el mallado que trae EVERFE por defecto y se asume un mallado de 24 elementos en el eje X y 24 elementos en el eje Y, el cual mejora la exactitud de los resultados, Igualmente, en el eje Z por defecto trae 2 elementos por defecto, manteniendo el aspecto de relación del elemento menor a 5 se asumen 3 elementos en el eje Z. La tabla 72 es idéntica a la tabla 4 la única diferencia son las dimensiones del área de contacto que para este análisis es rectangular.

103

Tabla 72. Datos de entrada programa EVERFE.

Fuente: Autor. 4.2 PARÁMETROS ENTRADA PROGRAMA KENSLABS Los parámetros de diseño tomados para las 90 estructuras de pavimento corresponden a las mismas utilizadas para EVERFE. Espesor de la losa: se considera un rango de 3 espesores que abarcan desde una losa delgada has una losa gruesa, utilizando espesores de 10, 20 y 30 cm. Dimensiones de la losa: EVERFE modela losas finitas con un largo y un ancho definidos al igual que KENSLABS, para el caso de estudió se asumen dimensiones típicas para un carril de 3.6 m de ancho con una losa de 4.4 m de longitud, esto siguiendo las recomendaciones de la PCA en la cual la relación longitud sobre ancho debe ser menor a 1.25, en el caso de estudio es de 1.22. Módulo de reacción de la subrasante: se considera un rango de 3 módulos de reacción que abarcan desde una subrasante de mala calidad hasta una de muy buena calidad, utilizando valores de módulo de 27.13, 54.25 y 81.38 MN/m3, correspondientes a 100, 200 y 300 Lb/pulg3. Carga de rueda: para cada estructura se proyectaron un rango de 10 cargas por rueda simple sobre un área rectangular, los valores utilizados fueron 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60 y 65 kN. Para KENSLABS la carga se introduce como la presión de contacto, la equivalencia en los valores de carga y la presión se presenta en la siguiente tabla. Tabla 73. Valor de carga equivalente programas EVERFE y KENSLABS

Fuente: Autor.

Estructura No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Espesor de la losa, h (mm) 100 100 100 200 200 200 300 300 300

Modulo de reacción de la subrasante, K (Mpa/mm) 0,0277 0,0554 0,0830 0,0277 0,0554 0,0830 0,0277 0,0554 0,0830



Modulo elástico del concreto, E (MPa) 28000 28000 28000 28000 28000 28000 28000 28000 28000

Relación de Poisson del concreto, u 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15

Longitud de la losa, Lx (mm) 4400 4400 4400 4400 4400 4400 4400 4400 4400

Ancho de la losa, Ly (mm) 3600 3600 3600 3600 3600 3600 3600 3600 3600

Mallado número de elementos eje X 24 24 24 24 24 24 24 24 24

Mallado número de elementos eje Y 24 24 24 24 24 24 24 24 24

Mallado número de elementos eje Z 3 3 3 3 3 3 3 3 3


Programa Unidad

Everfe kN 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab kPa 274,29 342,86 411,43 480,00 548,57 617,15 685,72 754,29 822,86 891,43

Valor de carga

104

Módulo elástico del concreto: se aplica el valor típico de 2.8 x 107 kPa para todas las estructuras. Relación de Poisson del concreto: Se utilizó el valor típico de 0.15 para todas las estructuras. Área de contacto: la dimensión de la huella se mantendrá igual para todas las estructuras, un área de contacto de 325 mm de largo por 224 mm de ancho. Malla de elementos finitos: KENSLABS maneja una mallado de elementos finitos que soporta máximo 15 divisiones o nodos por eje en cada losa, los elementos rectangulares que forman el mallado deben tener una relación longitud – ancho menor a 5, de lo contrario KENSLABS no resuelve el problema y muestra un mensaje de error. Para el análisis realizado se colocaron 11 coordenadas en el eje X y 9 coordenadas en el eje Y, igualmente la malla debe ser más fina en los puntos de interés por lo cual se usaron 3 mallados diferentes uno para cada tipo de carga, como lo explica la siguiente tabla. Tabla 74. Malla de elementos finitos programa KENSLABS.

Fuente: Autor. La siguiente tabla muestra el resumen de los parámetros de entrada para el programa KENSLABS.

Nodo X (cm) Y (cm) Nodo X (cm) Y (cm) Nodo X (cm) Y (cm)

1 0 0 1 0 0 1 0 0

2 30 30 2 50 30 2 50 60

3 60 60 3 100 60 3 100 120

4 100 100 4 160 100 4 160 150

5 150 150 5 190 150 5 190 180

6 200 200 6 220 200 6 220 210

7 250 250 7 250 250 7 250 240

8 300 300 8 280 300 8 280 300

9 350 360 9 340 360 9 340 360

10 400 10 400 10 400

11 440 11 440 11 440

Malla para carga en

la esquina

Malla para carga en

el borde

Malla para carga en

el interior

105

Tabla 75. Datos de entrada programa KENSLABS.

Fuente: Autor. 4.3 ANÁLISIS PARA CARGA EN LA ESQUINA DE LA LOSA Para cada una de las 9 estructuras se calculó el esfuerzo en la esquina con un espectro de 10 cargas, se realizó el cálculo con el programa KENSLABS para una carga aplicada sobre un área rectangular, aplicando los parámetros de entrada de la tabla 3 y el mallado para carga en la esquina, igualmente se hicieron los cálculos con el programa EVERFE utilizando los parámetros de entrada mostrados en la tabla 4, las tablas donde se muestran y comparan los resultados son las siguientes. Para la estructura 01, la tabla 76 muestra que el esfuerzo calculado por EVERFE por carga en la esquina de la losa es mayor un 16.4% al calculado por KENSLABS, en La figura 50 se puede apreciar que existe una relación lineal y proporcional entre la carga

aplicada y el esfuerzo generado en ambos programas.

Tabla 76. Esfuerzos de esquina estructura 1. Fuente: Autor.

Estructura No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Espesor de la losa, h (cm) 10 10 10 20 20 20 30 30 30

Modulo de reacción de la subrasante, K (MN/m3) 27,13 54,25 81,38 27,13 54,25 81,38 27,13 54,25 81,38



Modulo elástico del concreto, E (kPa) 2,80E+07 2,80E+07 2,80E+07 2,80E+07 2,80E+07 2,80E+07 2,80E+07 2,80E+07 2,80E+07

Relación de Poisson del concreto, u 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15

Coordenadas en el eje X 11 11 11 11 11 11 11 11 11

Coordenadas en el eje Y 9 9 9 9 9 9 9 9 9

Datos de entrada programa KENSLAB

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (kPa) 2654 3317 3981 4644 5308 5971 6635 7298 7962 8625

Everfe (kPa) 3088 3860 4633 5405 6177 6949 7721 8493 9265 10037

Diferencia (kPa) 435 543 652 760 869 978 1086 1195 1303 1412

% Diferencia 16.4 16.4 16.4 16.4 16.4 16.4 16.4 16.4 16.4 16.4

Esfuerzos de esquina estructura 01 - Losa 100 mm, K 100 Pci

106

Figura 50. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo estructura 1. Fuente: Autor. Para la estructura 02, la tabla 77 muestra que el esfuerzo calculado por EVERFE por carga en la esquina de la losa es mayor un 20.4% al calculado por KENSLABS, en la figura 51 se puede apreciar que existe una relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo generado en ambos programas. Tabla 77. Esfuerzos de esquina estructura 2. Fuente: Autor.

y = 132.69x - 0.0667R² = 1

y = 154.42x + 0.0006R² = 1

0

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

de

esq

uin

a (k

Pa)

Carga de rueda (kN)


(Losa 100 mm, K 100 pci)

Kenslab Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (kPa) 2303 2878 3454 4029 4605 5181 5756 6332 6907 7483

Everfe (kPa) 2772 3465 4158 4851 5544 6236 6929 7622 8315 9008

Diferencia (kPa) 469 587 704 821 939 1056 1173 1291 1408 1525

Diferencia (%) 20.4 20.4 20.4 20.4 20.4 20.4 20.4 20.4 20.4 20.4

Esfuerzos de esquina estructura 02 - losa 100 mm, K 200 Pci

107

Figura 51. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo estructura 2.

Fuente: Autor. Para la estructura 03, la tabla 78 muestra que el esfuerzo calculado por EVERFE por carga en la esquina de la losa es mayor un 23.6% al calculado por KENSLABS, en la figura 52 se puede apreciar que existe una relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo calculado en ambos programas. Tabla 78. Esfuerzos de esquina estructura 3. Fuente: Autor.

y = 115.12x + 0.0212R² = 1

y = 138.59x + 0.0197R² = 1

0

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

8,000

9,000

10,000

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

de

esq

uin

a (k

Pa)

Carga de rueda (kN)



Kenslab Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (kPa) 2078 2597 3116 3636 4155 4675 5194 5713 6233 6752

Everfe (kPa) 2567 3209 3851 4493 5134 5776 6418 7060 7701 8343

Diferencia (kPa) 490 612 734 857 979 1102 1224 1346 1469 1592

Diferencia (%) 23.6 23.6 23.6 23.6 23.6 23.6 23.6 23.6 23.6 23.6


108

Figura 52. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo estructura 3. Fuente: Autor. Para la estructura 04, la tabla 79 muestra que el esfuerzo calculado por EVERFE por carga en la esquina de la losa es mayor un 12.8% al calculado por KENSLABS, en la figura 53 se puede apreciar que existe una relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo determinado en ambos programas. Tabla 79. Esfuerzos de esquina estructura 4. Fuente: Autor.

y = 103.87x + 0.1085R² = 1

y = 128.36x + 0.0261R² = 1

0

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

8,000

9,000

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

de

esq

uin

a (k

Pa)

Carga de rueda (kN)



Kenslab Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (kPa) 882 1103 1323 1544 1764 1985 2205 2426 2647 2867

Everfe (kPa) 995 1244 1493 1741 1990 2239 2488 2736 2985 3234

Diferencia (kPa) 113 141 169 198 226 254 282 311 339 367

Diferencia (%) 12.8 12.8 12.8 12.8 12.8 12.8 12.8 12.8 12.8 12.8


109

Figura 53. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo estructura 4. Fuente: Autor. Para la estructura 05, la tabla 80 muestra que el esfuerzo calculado por EVERFE por carga en la esquina de la losa es mayor un 14.7% al calculado por KENSLABS, en la figura 54 se puede apreciar que existe una relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo hallado en ambos programas. Tabla 80. Esfuerzos de esquina estructura 5. Fuente: Autor.

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (kPa) 812 1015 1218 1421 1624 1827 2030 2233 2435 2638

Everfe (kPa) 931 1164 1397 1630 1863 2095 2328 2561 2794 3027

Diferencia (kPa) 119 149 179 209 239 269 299 328 358 388

Diferencia (%) 14.7 14.7 14.7 14.7 14.7 14.7 14.7 14.7 14.7 14.7


110

Figura 54. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo estructura 5. Fuente: Autor. Para la estructura 06, la tabla 81 muestra que el esfuerzo calculado por EVERFE por carga en la esquina de la losa es mayor un 16.7% al calculado por KENSLABS, en la figura 55 se puede apreciar que existe una relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo determinado en ambos programas. Tabla 81. Esfuerzos de esquina estructura 6. Fuente: Autor.

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (kPa) 766 957 1149 1340 1532 1723 1915 2106 2298 2489

Everfe (kPa) 894 1117 1341 1564 1787 2011 2234 2458 2681 2904

Diferencia (kPa) 128 160 192 224 256 287 319 351 383 415

Diferencia (%) 16.7 16.7 16.7 16.7 16.7 16.7 16.7 16.7 16.7 16.7


111

Figura 55. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo estructura 6. Fuente: Autor. Para la estructura 07, la tabla 82 muestra que el esfuerzo calculado por EVERFE por carga en la esquina de la losa es mayor un 12.4% al calculado por KENSLABS, en la figura 56 se puede apreciar que existe una relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo presentado en ambos programas. Tabla 82. Esfuerzos de esquina estructura 7. Fuente: Autor.

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (kPa) 440 550 660 770 880 990 1100 1210 1320 1430

Everfe (kPa) 495 618 742 866 990 1113 1237 1361 1484 1608

Diferencia (kPa) 55 68 82 96 110 123 137 151 164 178

Diferencia (%) 12.4 12.4 12.4 12.4 12.4 12.4 12.4 12.4 12.4 12.4


112

Figura 56. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo estructura 7. Fuente: Autor. Para la estructura 08, la tabla 83 muestra que el esfuerzo calculado por EVERFE por carga en la esquina de la losa es mayor un 14.9% al calculado por KENSLABS, en la figura 57 se puede apreciar que existe una relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo calculado en ambos programas. Tabla 83. Esfuerzos de esquina estructura 8. Fuente: Autor.

y = 22xR² = 1

y = 24.739x - 0.0636R² = 1

0

200

400

600

800

1,000

1,200

1,400

1,600

1,800

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

de

esq

uin

a (k

Pa)

Carga de rueda (kN)



Kenslab Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (kPa) 414 518 621 725 828 932 1036 1139 1243 1346

Everfe (kPa) 476 595 714 833 952 1071 1190 1309 1427 1546

Diferencia (kPa) 62 77 92 108 123 139 154 170 185 200

Diferencia (%) 14.9 14.9 14.9 14.9 14.9 14.9 14.9 14.9 14.9 14.9


113

Figura 57. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo estructura 8. Fuente: Autor. Para la estructura 09, la tabla 84 muestra que el esfuerzo calculado por EVERFE por carga en la esquina de la losa es mayor un 16.4% al calculado por KENSLABS, en la figura 58 se puede apreciar que existe una relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo hallado en ambos programas. Tabla 84. Esfuerzos de esquina estructura 9. Fuente: Autor.

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (kPa) 397 496 595 694 793 892 992 1091 1190 1289

Everfe (kPa) 462 577 693 808 923 1039 1154 1270 1385 1500

Diferencia (kPa) 65 81 98 114 130 146 163 179 195 211

Diferencia (%) 16.4 16.4 16.4 16.4 16.4 16.4 16.4 16.4 16.4 16.4


114

Figura 58. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo estructura 9. Fuente: Autor. Se puede concluir que la metodología de elementos finitos tridimensionales usada por el programa EVERFE obtiene valores de esfuerzos por carga en la esquina superiores en un 12.4 a 23.6% a los calculados por KENSLABS, de manera similar sucede con las fórmulas de WESTERGAARD donde EVERFE es mayor un 20%. La mayor diferencia se encuentra en las estructuras 1, 2 y 3 para losas de 10 cm de espesor, donde el esfuerzo por carga en la esquina es mayor un 16.4, 20.4 y 23.6 % respectivamente, aumentando la diferencia a medida que mejora la calidad de la subrasante. Para las estructuras 4, 5, 6, 7, 8 y 9 con losas de 10 y 20 cm EVERFE determina valores de esfuerzos en la esquina mayores a KENSLABS en un 12 a 16%. De acuerdo con los resultados donde EVERFE obtiene valores más altos que KENSLABS, se puede apreciar que para esfuerzos de esquina KENSLABS obtiene valores muy similares a WESTERGAARD.

115

4.4 ANÁLISIS DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS Los programas EVERFE y KENSLABS tienen más similitudes que diferencias, ambos trabajan con elementos finitos y pueden modelar de 1 a 6 losas sobre una subrasante winkleriana, los programas presentan las siguientes similitudes y diferencias. Área de carga: Tanto EVERFE como KENSLABS modelan un área de contacto rectangular, con EVERFE hay que especificar la carga en kN y con KENSLABS se especifica con la presión de contacto. Ubicación de la carga: en ambos programas el área de carga se ubica en la esquina de la losa con dos lados tangentes al borde de losa. Dimensiones de la losa: Tanto EVERFE como KENSLABS modelan losas finitas, con un largo y un ancho definido, para EVERFE se indica la longitud y largo en milímetros, para KENSLABS la longitud y ancho se indican con el mallado de elementos finitos, el largo corresponde a la coordenada mayor sobre el eje X y el ancho a la coordenada mayor sobre el eje Y. Mallado de elementos finitos: EVERFE aplica un mallado de elementos finitos tridimensionales, para lo cual se indica el número de elementos en el eje X, Y y Z no tienen un número máximo de elementos se puede trabajar de 12 a 100 elementos en cada eje, el tamaño de un elemento es igual para todos los del eje. El programa KENSLABS trabaja con un mallado de elementos finitos bidimensionales, solo en el eje X y Y, permite un número máximo de 15 elementos por eje, lo que significa una malla máxima de 15x15, los elementos tienen diferente dimensión sobre el eje, esto para hacer más densa la malla en los puntos de interés. Algoritmo de cálculo: EVERFE trabaja con un algoritmo de elementos finitos tridimensionales donde a partir de la geometría y características del pavimento construye una matriz de rigidez para cada elemento y otra matriz de rigidez global para toda la estructura, genera un vector de desplazamientos y esfuerzos, mediante operaciones matriciales resuelve un sistema de ecuaciones múltiples con la técnica multigrid y obtiene los resultados no solo para un punto, si no, para cualquier punto de la losa de concreto a lo largo y a lo ancho, igualmente para cualquier punto dentro del espesor de la losa. KENSLABS desarrolla un proceso de elementos finitos bidimensionales, a partir de la geometría y características la losa genera la matriz de rigidez de la losa, la cual combina con la matriz de rigidez de la subrasante para obtener la matriz general del pavimento, resuelve el sistema de ecuaciones múltiples con la metodología de eliminación de Gauus, obteniendo el resultado para los nodos indicados en la malla de elementos finitos, no obtiene valores en cualquier punto ni en el espesor de la losa. Aunque las metodologías presentan diferencias elementales en sus algoritmos de cálculo siendo uno tridimensional con algoritmo multigrid y el otro bidimensional con eliminación de Gauus los valores obtenidos mantienen una diferencia del 12 al 20% siendo valores

116

que no presentan diferencias muy elevadas, pudiéndose usar cualquiera de los dos programas para el cálculo de esfuerzos por carga en la esquina de la losa. 4.5 ANÁLISIS DE DEFLEXIONES POR CARGA EN LA ESQUINA En el análisis de la deflexión por carga en la esquina se modelaron las mismas 9 estructuras con un espectro de 10 cargas con el programa EVERFE y KENSLABS, las tablas de resultados son las siguientes. En la tabla 85 se puede ver que la deflexión por carga en la esquina calculada con EVERFE es mayor en un 8.4 a 11.6% de la calculada con KENSLABS, para ambos programas la relación carga deflexión es directamente proporcional, por cada 10 kN de carga la deflexión aumenta 1 mm. Tabla 85. Deflexiones de esquina estructura 1. Fuente: Autor. En la tabla 86 se puede ver que la deflexión por carga en la esquina calculada con EVERFE es mayor en un 9.8 a 12.4% de la calculada con KENSLABS, para ambos programas la relación carga deflexión es directamente proporcional, por cada 10 kN de carga la deflexión aumenta 0.7 mm. Tabla 86. Deflexiones de esquina estructura 2. Fuente: Autor. En la tabla 87 se puede ver que la deflexión por carga en la esquina calculada con EVERFE es mayor en un 11.0 a 12.9% de la calculada con KENSLABS, para ambos

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (mm) 2.1 2.6 3.1 3.6 4.1 4.6 5.1 5.7 6.2 6.7

Everfe (mm) 2.3 2.8 3.4 3.9 4.5 5.0 5.6 6.1 6.7 7.2

Diferencia (mm) 0.2 0.3 0.3 0.3 0.4 0.4 0.5 0.5 0.5 0.6

Diferencia % 11.6 10.4 10.0 9.4 9.2 8.8 8.8 8.5 8.4 8.4

Deflexiones de esquina estructura 01 - Losa 100 mm, K 100 Pci

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (mm) 1.3 1.7 2.0 2.4 2.7 3.0 3.4 3.7 4.0 4.4

Everfe (mm) 1.5 1.9 2.2 2.6 3.0 3.3 3.7 4.1 4.4 4.8

Diferencia (mm) 0.2 0.2 0.2 0.3 0.3 0.3 0.3 0.4 0.4 0.4

Diferencia % 12.4 11.4 11.3 10.8 10.4 10.4 10.1 9.9 10.0 9.8

Deflexiones de esquina estructura 02 - losa 100 mm, K 200 Pci

117

programas la relación carga deflexión es directamente proporcional, por cada 10 kN de carga la deflexión aumenta 0.7 mm. Tabla 87. Deflexiones de esquina estructura 3. Fuente: Autor. En la tabla 88 se puede ver que la deflexión por carga en la esquina calculada con EVERFE es mayor en un 11.5 a 25.3% de la calculada con KENSLABS, para ambos programas la relación carga deflexión es directamente proporcional, por cada 10 kN de carga la deflexión aumenta 0.5 mm. Tabla 88. Deflexiones de esquina estructura 4. Fuente: Autor. En la tabla 89 se puede ver que la deflexión por carga en la esquina calculada con EVERFE es mayor en un 11.2 a 21% de la calculada con KENSLABS, para ambos programas la relación carga deflexión es directamente proporcional, por cada 10 kN de carga la deflexión aumenta 0.3 mm. La diferencia mayor es de 2 décimas de milímetro. Tabla 89. Deflexiones de esquina estructura 5. Fuente: Autor.

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (mm) 1.0 1.3 1.6 1.8 2.1 2.3 2.6 2.9 3.1 3.4

Everfe (mm) 1.2 1.5 1.7 2.0 2.3 2.6 2.9 3.2 3.5 3.8

Diferencia (mm) 0.1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.3 0.3 0.3 0.3 0.4

Diferencia % 12.9 12.4 12.0 11.8 11.5 11.4 11.3 11.2 11.1 11.0


Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (mm) 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9 2.2 2.4 2.6 2.8

Everfe (mm) 1.1 1.3 1.5 1.8 2.0 2.2 2.4 2.7 2.9 3.1

Diferencia (mm) 0.2 0.2 0.2 0.2 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3

Diferencia % 25.3 22.0 18.8 16.5 15.5 14.1 13.5 12.5 11.7 11.5


Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (mm) 0.6 0.7 0.9 1.0 1.2 1.3 1.5 1.6 1.7 1.9

Everfe (mm) 0.7 0.9 1.0 1.2 1.3 1.5 1.6 1.8 1.9 2.1

Diferencia (mm) 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2

Diferencia % 21.0 18.9 17.6 15.3 14.7 13.3 12.3 12.1 11.9 11.2


118

En la tabla 90 se puede ver que la deflexión por carga en la esquina calculada con EVERFE es mayor en un 11.3 a 22% de la calculada con KENSLABS, para ambos programas la relación carga deflexión es directamente proporcional, por cada 10 kN de carga la deflexión aumenta 0.2 mm. La diferencia mayor es de 2 décimas de milímetro. Tabla 90. Deflexiones de esquina estructura 6. Fuente: Autor. En la tabla 91 se puede ver que la deflexión por carga en la esquina calculada con EVERFE es mayor en un 19.5 a 53.2% de la calculada con KENSLABS, para ambos programas la relación carga deflexión es directamente proporcional, por cada 10 kN de carga la deflexión aumenta 0.3 mm. La diferencia mayor es de 3 décimas de milímetro. Tabla 91. Deflexiones de esquina estructura 7. Fuente: Autor. En la tabla 92 se puede ver que la deflexión por carga en la esquina calculada con EVERFE es mayor en un 18.1 a 45.6% de la calculada con KENSLABS, para ambos programas la relación carga deflexión es directamente proporcional, por cada 10 kN de carga la deflexión aumenta 0.2 mm. La diferencia mayor es de 2 décimas de milímetro.

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (mm) 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.3 1.4 1.5

Everfe (mm) 0.5 0.7 0.8 0.9 1.0 1.2 1.3 1.4 1.5 1.7

Diferencia (mm) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2

Diferencia % 22.0 17.9 16.9 14.9 14.5 13.1 13.0 12.0 12.0 11.3


Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (mm) 0.5 0.7 0.8 0.9 1.1 1.2 1.3 1.5 1.6 1.7

Everfe (mm) 0.8 1.0 1.1 1.2 1.4 1.5 1.6 1.8 1.9 2.1

Diferencia (mm) 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3

Diferencia % 53.2 44.2 38.1 32.3 29.2 26.8 23.9 22.5 21.2 19.5


119

Tabla 92. Deflexiones de esquina estructura 8. Fuente: Autor. En la tabla 93 se puede ver que la deflexión por carga en la esquina calculada con EVERFE es mayor en un 16.4 a 40% de la calculada con KENSLABS, para ambos programas la relación carga deflexión es directamente proporcional, por cada 10 kN de carga la deflexión aumenta 0.2 mm. La diferencia mayor es de 1 décima de milímetro. Tabla 93. Deflexiones de esquina estructura 9. Fuente: Autor. La menor diferencia se encuentra en las estructuras 1, 2 y 3 para losas de 10 cm de espesor, donde la deflexión por carga en la esquina es mayor un 8.4 a un 25%, respectivamente, aumentando la diferencia a medida que mejora la calidad de la subrasante. Para las estructuras 4, 5 y 6 con losas de 20 cm EVERFE determina valores de esfuerzos en la esquina mayores a KENSLABS un 11.2 a 25.3%, presentando la mayor diferencia en las deflexiones menores a un milímetro, se puede observar que las diferencias en el cálculo de deflexiones están de 1 a 3 décimas de mm, aunque en porcentaje llega al 25.3% la diferencia numérica es mínima en los resultados. En las estructuras 7, 8 y 9 con losas de 30 cm EVERFE obtiene valores de deflexión en la esquina mayores a KENSLABS en un 16.4 a 53.2% respectivamente, presentando la mayor diferencia en las deflexiones menores a 1 mm, se puede observar que para subrasantes de 100 Pci las diferencia numéricas en las lecturas esta de 3 décimas de milímetro, para estructuras con subrasante de 200 Pci la diferencia esta de 2 décimas de milímetro, y para subrasantes de 300 Pci la diferencia es de 1 décima de milímetro.

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (mm) 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.0 1.1

Everfe (mm) 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.0 1.1 1.2 1.3

Diferencia (mm) 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2

Diferencia % 45.6 36.5 30.6 28.5 25.1 22.4 21.7 19.9 18.4 18.1


Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (mm) 0.3 0.3 0.4 0.5 0.5 0.6 0.7 0.8 0.8 0.9

Everfe (mm) 0.4 0.5 0.5 0.6 0.7 0.7 0.8 0.9 1.0 1.0

Diferencia (mm) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

Diferencia % 40.0 32.6 27.8 27.0 24.1 21.8 20.1 18.7 17.4 16.4


120

En los porcentajes mayores las diferencias numéricas en la deflexión son mínimas entre 1 a 2 décimas de milímetro, esto sucede porque en las deflexiones que son pequeñas de 1 a 5 décimas de milímetro, EVERFE obtiene una diferencia de 3 décimas de milímetro que matemáticamente supera el 60%, pero en la práctica es una diferencia mínima. Los valores de deflexión por carga en la esquina calculados por KENSLABS y EVERFE presentan diferencias entre 0.1 a 0.2 mm para deflexiones pequeñas, y en deflexiones mayores la diferencia es de un 20%, mostrando que los valores calculados tienden a dar resultados similares por ambas metodologías. La diferencia en las deflexiones calculadas por los programas radica en los modelos matemáticos propios de cada programa, el algoritmo tridimensional de EVERFE y el algoritmo bidimensional de KENSLABS, lo que lleva a una diferencia en los resultados de decimas de milímetro. Aunque las metodologías presentan diferencias elementales en sus algoritmos de cálculo los valores obtenidos no presentan mayores diferencias, concluyendo que el programa EVERFE obtiene resultados similares a los del programa KENSLABS para calcular las deflexiones por carga de esquina en la losa. 4.6 ANÁLISIS DEL ESFUERZO PARA CARGA EN EL BORDE DE LA LOSA En el análisis para el esfuerzo por carga en el borde de la losa, se modelaron con EVERFE las 9 estructuras de la tabla 3 con un espectro de 10 cargas ubicadas en el borde de la losa, igualmente se modelaron las 9 estructuras que muestra la tabla 4 con el programa KENSLABS y con el mallado para carga en el borde, el análisis de los resultados se presenta a continuación. La tabla 94 muestra que el esfuerzo por carga en el borde calculado por EVERFE es mayor un 3.8% que el calculado por KENSLABS, la figura 59 muestra una relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo calculado para ambos programas. Tabla 94. Esfuerzos de borde estructura 1. Fuente: Autor.

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (kPa) 3943 4929 5914 6900 7886 8872 9857 10843 11829 12814

Everfe (kPa) 4092 5115 6138 7161 8185 9208 10231 11254 12277 13300

Diferencia (kPa) 149 187 224 262 299 336 374 411 448 486

% Diferencia 3.8 3.8 3.8 3.8 3.8 3.8 3.8 3.8 3.8 3.8

Esfuerzos de borde estructura 01 - Losa 100 mm, K 100 Pci

121

Figura 59. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo estructura 1. Fuente: Autor. La tabla 95 muestra que el esfuerzo por carga en el borde calculado por EVERFE es mayor un 3.7% que el calculado por KENSLABS, la figura 60 muestra una relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo calculado para ambos programas. Tabla 95. Esfuerzos de borde estructura 2. Fuente: Autor.

y = 197.14x + 0.0073R² = 1

y = 204.62x - 0.2733R² = 1

0

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

14,000

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

de

Bo

rde

(kP

a)

Carga de rueda (kN)



Westergaard Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (kPa) 3528 4410 5292 6175 7057 7939 8821 9703 10585 11467

Everfe (kPa) 3660 4575 5490 6405 7320 8235 9150 10065 10980 11895

Diferencia (kPa) 131 164 197 230 263 296 329 362 395 428

Diferencia (%) 3.7 3.7 3.7 3.7 3.7 3.7 3.7 3.7 3.7 3.7

Esfuerzos de borde estructura 02 - losa 100 mm, K 200 Pci

122

Figura 60. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo estructura 2. Fuente: Autor. La tabla 96 muestra que el esfuerzo por carga en el borde calculado por EVERFE es mayor un 3.7% que el calculado por KENSLABS, la figura 61 muestra una relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo calculado para ambos programas. Tabla 96. Esfuerzos de borde estructura 3. Fuente: Autor.

y = 176.41x + 0.0788R² = 1

y = 183x - 0.2R² = 1

0

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

14,000

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erz

o d

e B

ord

e (

kP

a)

Carga de rueda (kN)

Esfuerzo en el borde(Losa 100 mm, K 200 pci)

Westergaard EverfeLineal (Westergaard) Lineal (Everfe)

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (kPa) 3290 4112 4935 5757 6580 7402 8225 9047 9870 10692

Everfe (kPa) 3411 4264 5117 5970 6822 7675 8528 9381 10234 11087

Diferencia (kPa) 121 152 182 212 243 273 303 334 364 395

Diferencia (%) 3.7 3.7 3.7 3.7 3.7 3.7 3.7 3.7 3.7 3.7


123

Figura 61. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo estructura 3. Fuente: Autor. La tabla 97 muestra que el esfuerzo por carga en el borde calculado por EVERFE es mayor un 0.2% que el calculado por KENSLABS, son valores prácticamente iguales, la figura 62 muestra una relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo calculado para ambos programas. Tabla 97. Esfuerzos de borde estructura 4. Fuente: Autor.

y = 164.49x + 0.0042R² = 1

y = 170.57x - 0.2764R² = 1

0

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

de

Bo

rde

(kP

a)

Carga de rueda (kN)



Westergaard Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (kPa) 1313 1642 1970 2298 2627 2955 3283 3612 3940 4268

Everfe (kPa) 1316 1645 1974 2304 2633 2962 3291 3620 3949 4278

Diferencia (kPa) 3 4 5 5 6 7 8 9 9 10

Diferencia (%) 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2


124

Figura 62. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo estructura 4. Fuente: Autor. La tabla 98 muestra que el esfuerzo por carga en el borde calculado por EVERFE es mayor un 0.1% que el calculado por KENSLABS, son valores prácticamente iguales, la figura 63 muestra una relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo calculado para ambos programas. Tabla 98. Esfuerzos de borde estructura 5. Fuente: Autor.

y = 65.663x + 0.0113R² = 1

y = 65.823x - 0.2836R² = 1

0

500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

4,000

4,500

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

de

Bo

rde

(kP

a)

Carga de rueda (kN)



Westergaard Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (kPa) 1204 1506 1807 2108 2409 2710 3011 3312 3613 3914

Everfe (kPa) 1206 1507 1809 2110 2412 2713 3015 3316 3618 3919

Diferencia (kPa) 1 2 2 2 3 3 4 4 4 5

Diferencia (%) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1


125

Figura 63. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo estructura 5. Fuente: Autor. La tabla 99 muestra que el esfuerzo por carga en el borde calculado por EVERFE es igual al calculado por KENSLABS, son valores prácticamente iguales, la figura 64 muestra una relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo calculado para ambos programas. Tabla 99. Esfuerzos de bordes estructura 6. Fuente: Autor.

y = 60.223x - 0.0382R² = 1

y = 60.3x - 0.4R² = 1

0

500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

4,000

4,500

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

de

Bo

rde

(kP

a)

Carga de rueda (kN)



Westergaard Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (kPa) 1139 1424 1709 1994 2278 2563 2848 3133 3417 3702

Everfe (kPa) 1139 1424 1709 1993 2278 2563 2848 3133 3418 3702

Diferencia (kPa) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Diferencia (%) 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0


126

Figura 64. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo calculado para ambos programas estructura 6. Fuente: Autor. La tabla 100 muestra que el esfuerzo por carga en el borde calculado por EVERFE es menor un 5% que el calculado por KENSLABS, la figura 65 muestra una relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo calculado para ambos programas. Tabla 100. Esfuerzos de borde estructura 7. Fuente: Autor.

y = 56.958x - 0.0376R² = 1

y = 56.967x - 0.4436R² = 1

0

500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

4,000

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

de

Bo

rde

(kP

a)

Carga de rueda (kN)



Westergaard Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (kPa) 652 815 978 1141 1304 1467 1629 1792 1955 2118

Everfe (kPa) 620 775 930 1085 1239 1394 1549 1704 1859 2014

Diferencia (kPa) -32 -40 -48 -56 -64 -72 -80 -88 -96 -104

Diferencia (%) -4.9 -4.9 -4.9 -4.9 -4.9 -4.9 -4.9 -4.9 -4.9 -4.9


127

Figura 65. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo calculado para ambos programas estructura 7. Fuente: Autor. La tabla 101 muestra que el esfuerzo por carga en el borde calculado por EVERFE es menor un 5.2% que el calculado por KENSLABS, la figura 66 muestra una relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo calculado para ambos programas. Tabla 101. Esfuerzos de borde estructura 8. Fuente: Autor.

y = 32.589x - 0.0315R² = 1

y = 30.99x - 0.1879R² = 1

0

500

1,000

1,500

2,000

2,500

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

de

Bo

rde

(kP

a)

Carga de rueda (kN)



Westergaard Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (kPa) 617 771 925 1079 1233 1387 1542 1696 1850 2004

Everfe (kPa) 584 731 877 1023 1170 1316 1462 1608 1755 1901

Diferencia (kPa) -32 -40 -48 -56 -64 -72 -80 -87 -95 -103

Diferencia (%) -5.2 -5.2 -5.2 -5.2 -5.2 -5.2 -5.2 -5.1 -5.2 -5.1


128

Figura 66. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo calculado para ambos programas estructura 8. Fuente: Autor. La tabla 102 muestra que el esfuerzo por carga en el borde calculado por EVERFE es menor un 5.4% que el calculado por KENSLABS, la figura 67 muestra una relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo calculado para ambos programas. Tabla 102. Esfuerzos de borde estructura 9. Fuente: Autor.

y = 30.83x - 0.0073R² = 1

y = 29.249x - 0.4109R² = 1

0

500

1,000

1,500

2,000

2,500

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

de

Bo

rde

(kP

a)

Carga de rueda (kN)



Westergaard Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (kPa) 592 739 887 1035 1183 1331 1479 1627 1774 1922

Everfe (kPa) 559 699 839 979 1119 1259 1399 1539 1679 1819

Diferencia (kPa) -32 -40 -48 -56 -64 -72 -80 -88 -96 -104

Diferencia (%) -5.4 -5.4 -5.4 -5.4 -5.4 -5.4 -5.4 -5.4 -5.4 -5.4


129

Figura 67. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo calculado para ambos programas estructura 9. Fuente: Autor. Se puede concluir que la metodología de elementos finitos tridimensionales usada por el programa EVERFE obtiene valores de esfuerzos por carga en el borde de la losa con diferencia del 5% a los calculados por KENSLABS. Para las estructuras 1, 2 y 3 con losas de 10 cm de espesor, el esfuerzo por carga en el borde determinado por EVERFE es mayor un 3.8 %, manteniéndose constante la diferencia para las tres estructuras. Para las estructuras 4, 5 y 6 con losas de 20 cm EVERFE determina valores de esfuerzos por carga en el borde iguales a los calculados por KENSLABS, con diferencias que no superan el 0.2%. Para las estructuras 7, 8 y 9 con losas de 30 cm EVERFE determina valores de esfuerzos por carga en el borde menores a los calculados por KENSLABS, con diferencias que no superan el 5.4%. 4.7 ANÁLISIS DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS Los programas EVERFE y KENSLABS realizan procesos de cálculo con elementos finitos, pero con diferentes algoritmos de cálculos, sus características principales son las siguientes.

y = 29.572x + 0.0206R² = 1

y = 27.984x - 0.34R² = 1

0

500

1,000

1,500

2,000

2,500

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

de

Bo

rde

(kP

a)

Carga de rueda (kN)



Westergaard Everfe

130

Área de carga: Tanto EVERFE como KENSLABS modelan un área de contacto rectangular, con EVERFE hay que especificar la carga en kN y con KENSLABS se especifica con la presión de contacto. Ubicación de la carga: en ambos programas el área de carga se ubica en el borde de la losa con un lado tangente al borde de losa. Dimensiones de la losa: Tanto EVERFE como KENSLABS modelan losas finitas, con un largo y un ancho definido, para EVERFE se indica la longitud y largo en milímetros, para KENSLABS la longitud y ancho se indican con el mallado de elementos finitos, el largo corresponde a la coordenada mayor sobre el eje X y el ancho a la coordenada mayor sobre el eje Y. Mallado de elementos finitos: EVERFE aplica un mallado de elementos finitos tridimensionales, para lo cual se indica el número de elementos en el eje X, Y y Z no tienen un número máximo de elementos se puede trabajar de 12 a 100 elementos en cada eje, el tamaño de un elemento es igual para todos los del eje. El programa KENSLABS trabaja con un mallado de elementos finitos bidimensionales, solo en el eje X y Y, permite un número máximo de 15 elementos por eje, lo que significa una malla máxima de 15x15, los elementos tienen diferente dimensión sobre el eje, esto para hacer más densa la malla en los puntos de interés. Algoritmo de cálculo: EVERFE trabaja con un algoritmo de elementos finitos tridimensionales donde a partir de la geometría y características del pavimento construye una matriz de rigidez para cada elemento y otra matriz de rigidez global para toda la estructura, genera un vector de desplazamientos y esfuerzos, mediante operaciones matriciales resuelve un sistema de ecuaciones múltiples con la técnica multigrid y obtiene los resultados no solo para un punto, si no, para cualquier punto de la losa de concreto a lo largo y a lo ancho, igualmente para cualquier punto dentro del espesor de la losa. KENSLABS desarrolla un proceso de elementos finitos bidimensionales, a partir de la geometría y características la losa genera la matriz de rigidez de la losa, la cual combina con la matriz de rigidez de la subrasante para obtener la matriz general del pavimento, resuelve el sistema de ecuaciones múltiples con la metodología de eliminación de Gauus, obteniendo el resultado para los nodos indicados en la malla de elementos finitos, no obtiene valores en cualquier punto ni en el espesor de la losa. Aunque las metodologías presentan diferencias elementales en sus algoritmos de cálculo siendo uno tridimensional con algoritmo multigrid y el otro bidimensional con eliminación de Gauus los valores obtenidos mantienen una diferencia del 5% siendo valores que no presentan diferencias considerables, pudiéndose usar cualquiera de los dos programas para el cálculo de esfuerzos por carga en el bode de la losa.

131

4.8 ANÁLISIS DE DEFLEXIONES POR CARGA EN EL BORDE En el análisis de la deflexión por carga en el borde de la losa se modelaron las mismas 9 estructuras con un espectro de 10 cargas con el programa EVERFE y KENSLABS, las tablas de resultados son las siguientes. En la tabla 103 se puede ver que la deflexión por carga en el borde calculada con EVERFE es mayor en un 12 a 19% de la calculada con KENSLABS, para ambos programas la relación carga deflexión es directamente proporcional, por cada 10 kN de carga la deflexión aumenta 0.4 mm. La mayor diferencia entre los resultados de los dos programas es de 3 décimas de milímetro. Tabla 103. Deflexiones de borde estructura 1. Fuente: Autor. En la tabla 104 se puede ver que la deflexión por carga en el borde calculada con EVERFE es mayor en un 13.7 a 19.3% de la calculada con KENSLABS, para ambos programas la relación carga deflexión es directamente proporcional, por cada 10 kN de carga la deflexión aumenta 0.4 mm. La mayor diferencia entre los resultados de los dos programas es de 2 décimas de milímetro. Tabla 104. Deflexiones de borde estructura 2. Fuente: Autor. En la tabla 105 se puede ver que la deflexión por carga en el borde calculada con EVERFE es mayor en un 14.6 a 19.1% de la calculada con KENSLABS, para ambos programas la relación carga deflexión es directamente proporcional, por cada 10 kN de

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (mm) 0.8 1.0 1.3 1.5 1.7 1.9 2.1 2.3 2.5 2.7

Everfe (mm) 1.0 1.2 1.4 1.7 1.9 2.1 2.3 2.6 2.8 3.0

Diferencia (mm) 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3

Diferencia % 19.3 17.0 15.4 15.1 14.2 13.5 12.9 12.4 12.0 12.1

Deflexiones de borde estructura 01 - Losa 100 mm, K 100 Pci

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (mm) 0.6 0.7 0.8 1.0 1.1 1.2 1.4 1.5 1.7 1.8

Everfe (mm) 0.7 0.8 1.0 1.1 1.3 1.4 1.6 1.7 1.9 2.0

Diferencia (mm) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2

Diferencia % 19.3 17.2 15.9 15.3 15.4 14.7 14.2 13.8 13.4 13.7


132

carga la deflexión aumenta 0.4 mm. La mayor diferencia entre los resultados de los dos programas es de 3 décimas de milímetro. Tabla 105. Deflexiones de borde estructura 3. Fuente: Autor. En la tabla 106 se puede ver que la deflexión por carga en el borde calculada con EVERFE es mayor en un 20 a 37.2% de la calculada con KENSLABS, para ambos programas la relación carga deflexión es directamente proporcional, por cada 10 kN de carga la deflexión aumenta 0.2 mm. La mayor diferencia entre los resultados de los dos programas es de 2 décimas de milímetro. Tabla 106. Deflexiones de borde estructura 4. Fuente: Autor. En la tabla 107 se puede ver que la deflexión por carga en el borde calculada con EVERFE es mayor en un 18 a 42.6% de la calculada con KENSLABS, para ambos programas la relación carga deflexión es directamente proporcional, por cada 10 kN de carga la deflexión aumenta 0.1 mm. La mayor diferencia entre los resultados de los dos programas es de 1 décima de milímetro.

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (mm) 0.4 0.5 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4

Everfe (mm) 0.5 0.6 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.4 1.5 1.6

Diferencia (mm) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2

Diferencia % 19.1 18.3 17.1 16.2 16.9 16.2 15.6 15.2 14.8 14.6


Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (mm) 0.4 0.5 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2

Everfe (mm) 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4

Diferencia (mm) 0.1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2

Diferencia % 37.2 43.1 36.9 32.4 29.0 26.4 24.3 22.6 21.2 19.9


133

Tabla 107. Deflexiones de borde estructura 5. Fuente: Autor. En la tabla 108 se puede ver que la deflexión por carga en el borde calculada con EVERFE es mayor en un 17.7 a 38.7% de la calculada con KENSLABS, para ambos programas la relación carga deflexión es directamente proporcional, por cada 10 kN de carga la deflexión aumenta 0.1 mm. La mayor diferencia entre los resultados de los dos programas es de 1 décima de milímetro. Tabla 108. Deflexiones de borde estructura 6. Fuente: Autor. En la tabla 109 se puede ver que la deflexión por carga en el borde calculada con EVERFE es mayor en un 36.5 a 111.7% de la calculada con KENSLABS, para ambos programas la relación carga deflexión es directamente proporcional, por cada 10 kN de carga la deflexión aumenta 0.1 mm. La mayor diferencia entre los resultados de los dos programas es de 3 décimas de milímetro. Tabla 109. Deflexiones de borde estructura 7. Fuente: Autor.

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (mm) 0.2 0.3 0.4 0.4 0.5 0.5 0.6 0.7 0.7 0.8

Everfe (mm) 0.3 0.4 0.5 0.5 0.6 0.7 0.7 0.8 0.8 0.9

Diferencia (mm) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

Diferencia % 42.6 35.8 31.0 27.5 24.9 22.9 21.3 20.3 18.8 17.9


Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (mm) 0.2 0.2 0.3 0.3 0.4 0.4 0.5 0.5 0.6 0.6

Everfe (mm) 0.3 0.3 0.4 0.4 0.4 0.5 0.6 0.6 0.7 0.7

Diferencia (mm) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.0 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

Diferencia % 38.7 33.2 28.7 25.8 9.1 22.0 20.6 19.6 18.5 17.7


Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (mm) 0.2 0.3 0.4 0.4 0.5 0.6 0.6 0.7 0.7 0.8

Everfe (mm) 0.5 0.6 0.6 0.7 0.8 0.8 0.9 1.0 1.0 1.1

Diferencia (mm) 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3

Diferencia % 111.7 90.3 73.0 66.2 58.5 49.8 45.6 41.9 38.9 36.5


134

En la tabla 110 se puede ver que la deflexión por carga en el borde calculada con EVERFE es mayor en un 33.5 a 90% de la calculada con KENSLABS, para ambos programas la relación carga deflexión es directamente proporcional, por cada 10 kN de carga la deflexión aumenta 0.07 mm. La mayor diferencia entre los resultados de los dos programas es de 2 décimas de milímetro. Tabla 110. Deflexiones de borde estructura 8. Fuente: Autor. En la tabla 111 se puede ver que la deflexión por carga en el borde calculada con EVERFE es mayor en un 30.8 a 89% de la calculada con KENSLABS, para ambos programas la relación carga deflexión es directamente proporcional, por cada 10 kN de carga la deflexión aumenta 0.06 mm. La mayor diferencia entre los resultados de los dos programas es de 1 décima de milímetro. Tabla 111. Deflexiones de borde estructura 9. Fuente: Autor. La menor diferencia se encuentra en las estructuras 1, 2 y 3 para losas de 10 cm de espesor, donde la deflexión por carga en la esquina es mayor un 12 a un 19%, aumentando la diferencia a medida que mejora la calidad de la subrasante. Para las estructuras 4, 5 y 6 con losas de 20 cm EVERFE determina valores de deflexión por carga en el borde mayores a KENSLABS un 17 a 42%, se puede observar que la diferencia máxima entre los resultados para los dos programas es de 2 décimas de milímetro.

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (mm) 0.2 0.2 0.2 0.3 0.3 0.3 0.4 0.4 0.5 0.5

Everfe (mm) 0.3 0.3 0.4 0.4 0.4 0.5 0.5 0.6 0.6 0.6

Diferencia (mm) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2

Diferencia % 90.0 80.6 65.5 55.4 47.7 46.4 41.1 37.1 33.6 33.5


Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (mm) 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.3 0.3 0.3 0.3 0.4

Everfe (mm) 0.2 0.2 0.3 0.3 0.3 0.4 0.4 0.4 0.5 0.5

Diferencia (mm) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

Diferencia % 89.1 70.7 58.2 50.0 43.9 44.8 40.0 36.5 33.5 30.8


135

En las estructuras 7, 8 y 9 con losas de 30 cm EVERFE obtiene valores de deflexión por carga en el borde mayores a KENSLABS en un 30 a 90% respectivamente, presentando la mayor diferencia en las deflexiones menores a 1 mm, se puede observar que para subrasantes de 100 Pci la diferencia numérica en las lecturas esta de 3 décimas de milímetro, para estructuras con subrasante de 200 y 300 Pci la diferencia es de 1 décima de milímetro. En los porcentajes mayores, las diferencias numéricas en la deflexión son mínimas entre 1 a 2 décimas de milímetro, esto sucede porque en las deflexiones que son pequeñas de 1 a 2 décimas de milímetro, EVERFE obtiene una diferencia de 2 décimas de milímetro que matemáticamente supera el 100%, pero en la práctica es una diferencia mínima. 4.9 ANÁLISIS DE ESFUERZO PARA CARGA EN EL INTERIOR DE LA LOSA En el análisis para el esfuerzo por carga en el interior de la losa, se modelaron con EVERFE las 9 estructuras de la tabla 7 con un espectro de 10 cargas ubicadas en el interior de la losa, igualmente se modelaron las 9 estructuras que muestra la tabla 8 con el programa KENSLABS y con el mallado para carga en el interior, el análisis de los resultados se presenta a continuación. La tabla 112 muestra que el esfuerzo por carga en el interior calculado por EVERFE es mayor un 13.7% al calculado por KENSLABS, la figura 68 muestra una relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo calculado para ambos programas. Tabla 112. Esfuerzos de interior estructura 1. Fuente: Autor.

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (kPa) 2087 2608 3130 3652 4174 4695 5217 5739 6260 6782

Everfe (kPa) 2372 2965 3558 4151 4745 5338 5931 6524 7117 7710

Diferencia (kPa) 285 357 428 500 571 642 714 785 857 928

% Diferencia 13.7 13.7 13.7 13.7 13.7 13.7 13.7 13.7 13.7 13.7

Esfuerzos de interior estructura 01 - Losa 100 mm, K 100 Pci

136

Figura 68. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo calculado para ambos programas estructura 1. Fuente: Autor. La tabla 113 muestra que el esfuerzo por carga en el interior calculado por EVERFE es mayor un 14.3% al calculado por KENSLABS, la figura 69 muestra una relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo calculado para ambos programas. Tabla 113. Esfuerzos de interior estructura 2. Fuente: Autor.

y = 104.34x - 0.2279R² = 1

y = 118.62x - 0.3R² = 1

0

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

8,000

9,000

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

en

el I

nte

rio

r (k

Pa)

Carga de rueda (kN)



Kenslab Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (kPa) 1902 2377 2852 3328 3803 4279 4754 5230 5705 6180

Everfe (kPa) 2173 2716 3259 3802 4345 4888 5432 5975 6518 7061

Diferencia (kPa) 271 339 406 474 542 610 678 745 813 881

Diferencia (%) 14.2 14.2 14.2 14.2 14.3 14.3 14.3 14.3 14.3 14.3

Esfuerzos de interior estructura 02 - losa 100 mm, K 200 Pci

137


y = 95.081x - 0.0158R² = 1

y = 108.64x - 0.2612R² = 1

0

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

8,000

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

en

el I

Nte

rio

r (

kPa)

Carga de rueda (kN)



Kenslab Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (kPa) 1797 2246 2696 3145 3594 4044 4493 4942 5391 5841

Everfe (kPa) 2060 2575 3090 3605 4120 4635 5151 5666 6181 6696

Diferencia (kPa) 263 329 395 460 526 592 658 724 789 855

Diferencia (%) 14.6 14.6 14.6 14.6 14.6 14.6 14.6 14.6 14.6 14.6


138


y = 89.855x - 0.0388R² = 1

y = 103.02x - 0.3345R² = 1

0

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

8,000

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

en

el I

nte

rio

r (

kPa)

Carga de rueda (kN)



Kenslab Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (kPa) 669 836 1003 1170 1337 1505 1672 1839 2006 2173

Everfe (kPa) 726 907 1089 1271 1452 1634 1815 1997 2178 2360

Diferencia (kPa) 57 71 86 100 115 129 143 158 172 186

Diferencia (%) 8.5 8.5 8.6 8.6 8.6 8.6 8.6 8.6 8.6 8.6


139


y = 33.437x - 0.0198R² = 1

y = 36.307x - 0.2436R² = 1

0

500

1,000

1,500

2,000

2,500

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

en

el I

nte

rio

r (

kPa)

Carga de rueda (kN)



Kenslab Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (kPa) 622 777 933 1088 1244 1399 1555 1710 1866 2021

Everfe (kPa) 679 849 1018 1188 1358 1528 1698 1867 2037 2207

Diferencia (kPa) 57 71 86 100 114 128 143 157 171 186

Diferencia (%) 9.1 9.2 9.2 9.2 9.2 9.2 9.2 9.2 9.2 9.2


140


y = 31.097x - 0.0164R² = 1

y = 33.957x - 0.3164R² = 1

0

500

1,000

1,500

2,000

2,500

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

en

el I

nte

rio

r (

kPa)

Carga de rueda (kN)



Kenslab Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (kPa) 592 740 888 1036 1184 1333 1481 1629 1776 1925

Everfe (kPa) 648 810 972 1134 1296 1459 1621 1783 1945 2107

Diferencia (kPa) 56 70 84 98 112 126 140 154 169 182

Diferencia (%) 9.4 9.4 9.4 9.4 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5


141

Figura 73. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo calculado para ambos programas estructura 6.

Fuente: Autor. La tabla 118 muestra que el esfuerzo por carga en el interior calculado por EVERFE es mayor un 1.8% al calculado por KENSLABS, la figura 74 muestra una relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo calculado para ambos programas. Tabla 118. Esfuerzos de interior estructura 7. Fuente: Autor.

y = 29.608x + 0.0703R² = 1

y = 32.421x - 0.4461R² = 1

0

500

1,000

1,500

2,000

2,500

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

en

el I

nte

rio

r (

kPa)

Carga de rueda (kN)



Kenslab Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (kPa) 337 421 505 590 674 758 842 927 1011 1095

Everfe (kPa) 343 429 515 601 686 772 858 944 1030 1115

Diferencia (kPa) 6 8 9 11 12 14 16 17 19 20

Diferencia (%) 1.8 1.8 1.8 1.8 1.8 1.8 1.8 1.8 1.8 1.8


142

Figura 74. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo calculado para ambos programas estructura 7. Fuente: Autor. La tabla 119 muestra que el esfuerzo por carga en el interior calculado por EVERFE es mayor un 2% al calculado por KENSLABS, la figura 75 muestra una relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo calculado para ambos programas. Tabla 119. Esfuerzos de interior estructura 8. Fuente: Autor.

y = 16.849x - 0.0315R² = 1

y = 17.162x - 0.1901R² = 1

0

200

400

600

800

1,000

1,200

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

en

el I

nte

rio

r (

kPa)

Carga de rueda (kN)



Kenslab Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (kPa) 315 394 472 551 630 709 787 866 945 1024

Everfe (kPa) 321 401 482 562 642 723 803 883 964 1044

Diferencia (kPa) 6 8 9 11 13 14 16 17 19 21

Diferencia (%) 1.9 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0


143


y = 15.747x - 0.0582R² = 1

y = 16.067x - 0.3036R² = 1

0

200

400

600

800

1,000

1,200

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

en

el I

nte

rio

r (

kPa)

Carga de rueda (kN)



Kenslab Everfe

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (kPa) 300 375 451 526 601 676 751 826 901 976

Everfe (kPa) 307 383 460 537 614 690 767 844 921 997

Diferencia (kPa) 6 8 10 11 13 15 16 18 20 21

Diferencia (%) 2.1 2.1 2.1 2.1 2.2 2.2 2.2 2.2 2.2 2.2


144

Figura 76. Relación lineal y proporcional entre la carga aplicada y el esfuerzo calculado para ambos programas estructura 9. Fuente: Autor. Se puede concluir que la metodología de elementos finitos tridimensionales usada por el programa EVERFE obtiene valores de esfuerzos por carga en el interior de la losa mayores hasta en un 14% de los calculados por KENSLABS. Para las estructuras 1, 2 y 3 con losas de 10 cm de espesor, el esfuerzo por carga en el interior determinado por EVERFE es mayor un 14.6 %, manteniéndose constante la diferencia para las tres estructuras. Para las estructuras 4, 5 y 6 con losas de 20 cm EVERFE determina valores de esfuerzos por carga en el interior mayores un 9.5% a los calculados por KENSLABS. Para las estructuras 7, 8 y 9 con losas de 30 cm EVERFE determina valores de esfuerzos por carga en el interior mayores un 2% a los calculados por KENSLABS. 4.10 ANÁLISIS DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS Para el cálculo de esfuerzos por carga en el interior de la losa EVERFE y KENSLABS obtienen valores muy similares con diferencia máxima de un 14%, las características principales de los programas son las siguientes.

y = 15.017x - 0.0364R² = 1

y = 15.345x - 0.2403R² = 1

0

200

400

600

800

1,000

1,200

10 20 30 40 50 60 70

Esfu

erzo

el I

nte

rio

r (

kPa)

Carga de rueda (kN)



Kenslab Everfe

145

Área de carga: Tanto EVERFE como KENSLABS modelan un área de contacto rectangular, con EVERFE hay que especificar la carga en kN y con KENSLABS se especifica con la presión de contacto. Ubicación de la carga: en ambos programas el área de carga se ubica en el interior de la losa. Dimensiones de la losa: Tanto EVERFE como KENSLABS modelan losas finitas, con un largo y un ancho definido, para EVERFE se indica la longitud y largo en milímetros, para KENSLABS la longitud y ancho se indican con el mallado de elementos finitos, el largo corresponde a la coordenada mayor sobre el eje X y el ancho a la coordenada mayor sobre el eje Y. Mallado de elementos finitos: EVERFE aplica un mallado de elementos finitos tridimensionales, para lo cual se indica el número de elementos en el eje X, Y y Z no tienen un número máximo de elementos se puede trabajar de 12 a 100 elementos en cada eje, el tamaño de un elemento es igual para todos los del eje. El programa KENSLABS trabaja con un mallado de elementos finitos bidimensionales, solo en el eje X y Y, permite un número máximo de 15 elementos por eje, lo que significa una malla máxima de 15x15, los elementos tienen diferente dimensión sobre el eje, esto para hacer más densa la malla en los puntos de interés. Algoritmo de cálculo: EVERFE trabaja con un algoritmo de elementos finitos tridimensionales donde a partir de la geometría y características del pavimento construye una matriz de rigidez para cada elemento y otra matriz de rigidez global para toda la estructura, genera un vector de desplazamientos y esfuerzos, mediante operaciones matriciales resuelve un sistema de ecuaciones múltiples con la técnica multigrid y obtiene los resultados no solo para un punto, si no, para cualquier punto de la losa de concreto a lo largo y a lo ancho, igualmente para cualquier punto dentro del espesor de la losa. KENSLABS desarrolla un proceso de elementos finitos bidimensionales, a partir de la geometría y características la losa genera la matriz de rigidez de la losa, la cual combina con la matriz de rigidez de la subrasante para obtener la matriz general del pavimento, resuelve el sistema de ecuaciones múltiples con la metodología de eliminación de Gauus, obteniendo el resultado para los nodos indicados en la malla de elementos finitos, no obtiene valores en cualquier punto ni en el espesor de la losa. Aunque las metodologías presentan diferencias elementales en sus algoritmos de cálculo siendo uno tridimensional con algoritmo multigrid y el otro bidimensional con eliminación de Gauus los valores obtenidos mantienen una diferencia de la máxima del 14% siendo valores que no presentan diferencias considerables, pudiéndose usar cualquiera de los dos programas para el cálculo de esfuerzos por carga en el interior de la losa.

146

4.11 ANÁLISIS DE DEFLEXIONES POR CARGA EN EL INTERIOR En el análisis de la deflexión por carga en el interior de la losa se modelaron las mismas 9 estructuras con un espectro de 10 cargas con el programa EVERFE y KENSLABS, las tablas de resultados son las siguientes. En la tabla 121 se puede ver que la deflexión por carga en el interior calculada con EVERFE es mayor en un 18.8 a 39% de la calculada con KENSLABS, para ambos programas la relación carga deflexión es directamente proporcional, por cada 10 kN de carga la deflexión aumenta 0.14 mm. La mayor diferencia entre los resultados de los dos programas es de 2 décimas de milímetro. Tabla 121. Deflexiones de interior estructura 1. Fuente: Autor. En la tabla 122 se puede ver que la deflexión por carga en el interior calculada con EVERFE es mayor en un 18.7 a 34.7% de la calculada con KENSLABS, para ambos programas la relación carga deflexión es directamente proporcional, por cada 10 kN de carga la deflexión aumenta 0.09 mm. La mayor diferencia entre los resultados de los dos programas es de 1 décima de milímetro. Tabla 122. Deflexiones de interior estructura 2. Fuente: Autor. En la tabla 123 se puede ver que la deflexión por carga en el interior calculada con EVERFE es mayor en un 20 a 34. % de la calculada con KENSLABS, para ambos programas la relación carga deflexión es directamente proporcional, por cada 10 kN de

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (mm) 0.3 0.4 0.4 0.5 0.6 0.6 0.7 0.8 0.9 0.9

Everfe (mm) 0.4 0.5 0.6 0.6 0.7 0.8 0.9 0.9 1.0 1.1

Diferencia (mm) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.2

Diferencia % 39.1 33.2 31.0 28.2 25.9 22.3 21.1 20.3 19.4 18.8

Deflexiones de interior estructura 01 - Losa 100 mm, K 100 Pci

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (mm) 0.2 0.2 0.3 0.3 0.4 0.4 0.5 0.5 0.6 0.6

Everfe (mm) 0.3 0.3 0.4 0.4 0.5 0.5 0.6 0.6 0.7 0.7

Diferencia (mm) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

Diferencia % 34.7 28.8 29.3 26.1 23.4 21.4 20.0 21.0 19.6 18.7


147

carga la deflexión aumenta 0.08 mm. La mayor diferencia entre los resultados de los dos programas es de 1 décima de milímetro. Tabla 123. Deflexiones de interior estructura 3. Fuente: Autor. En la tabla 124 se puede ver que la deflexión por carga en el interior calculada con EVERFE es mayor en un 48 a 145.8% de la calculada con KENSLABS, para ambos programas la relación carga deflexión es directamente proporcional, por cada 10 kN de carga la deflexión aumenta 0.06 mm. La mayor diferencia entre los resultados de los dos programas es de 2 décimas de milímetro. Tabla 124. Deflexiones de interior estructura 4. Fuente: Autor. En la tabla 125 se puede ver que la deflexión por carga en el interior calculada con EVERFE es mayor en un 39.8 a 112.5% de la calculada con KENSLABS, para ambos programas la relación carga deflexión es directamente proporcional, por cada 10 kN de carga la deflexión aumenta 0.04 mm. La mayor diferencia entre los resultados de los dos programas es de 1 décima de milímetro.

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (mm) 0.2 0.2 0.2 0.3 0.3 0.3 0.4 0.4 0.5 0.5

Everfe (mm) 0.2 0.2 0.3 0.3 0.4 0.4 0.5 0.5 0.5 0.6

Diferencia (mm) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

Diferencia % 34.0 28.4 24.8 26.9 24.3 22.4 20.8 19.5 18.5 20.0


Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (mm) 0.1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.3 0.3 0.3 0.4 0.4

Everfe (mm) 0.3 0.3 0.4 0.4 0.4 0.5 0.5 0.5 0.5 0.6

Diferencia (mm) 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2

Diferencia % 145.8 117.3 98.9 85.2 75.0 67.4 61.0 55.8 51.4 47.9


148

Tabla 125. Deflexiones de interior estructura 5. Fuente: Autor. En la tabla 126 se puede ver que la deflexión por carga en el interior calculada con EVERFE es mayor en un 36.8 a 98.4% de la calculada con KENSLABS, para ambos programas la relación carga deflexión es directamente proporcional, por cada 10 kN de carga la deflexión aumenta 0.03 mm. La mayor diferencia entre los resultados de los dos programas es de 1 décima de milímetro. Tabla 126. Deflexiones de interior estructura 6. Fuente: Autor. En la tabla 127 se puede ver que la deflexión por carga en el interior calculada con EVERFE es mayor en un 105 a 336% de la calculada con KENSLABS, para ambos programas la relación carga deflexión es directamente proporcional, por cada 10 kN de carga la deflexión aumenta 0.03 mm. La mayor diferencia entre los resultados de los dos programas es de 3 décimas de milímetro. Tabla 127. Deflexiones de interior estructura 7. Fuente: Autor.

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (mm) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.3

Everfe (mm) 0.2 0.2 0.2 0.2 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.4

Diferencia (mm) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

Diferencia % 112.5 92.0 77.5 68.3 61.0 54.7 49.7 46.1 42.7 39.8


Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (mm) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.2

Everfe (mm) 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.3 0.3

Diferencia (mm) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

Diferencia % 98.4 82.1 69.1 60.0 53.2 48.9 45.2 41.6 39.4 36.8


Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (mm) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2

Everfe (mm) 0.3 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.5 0.5 0.5

Diferencia (mm) 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3

Diferencia % 336.8 270.5 237.3 200.0 173.3 152.4 148.9 125.0 114.5 104.9


149

En la tabla 128 se puede ver que la deflexión por carga en el interior calculada con EVERFE es mayor en un 84.8 a 270.8% de la calculada con KENSLABS, para ambos programas la relación carga deflexión es directamente proporcional, por cada 10 kN de carga la deflexión aumenta 0.03 mm. La mayor diferencia entre los resultados de los dos programas es de 1 décima de milímetro. Tabla 128. Deflexiones de interior estructura 8. Fuente: Autor. En la tabla 129 se puede ver que la deflexión por carga en el interior calculada con EVERFE es mayor en un 74.2 a 231.6% de la calculada con KENSLABS, para ambos programas la relación carga deflexión es directamente proporcional, por cada 10 kN de carga la deflexión aumenta 0.02 mm. La mayor diferencia entre los resultados de los dos programas es de 1 décima de milímetro. Tabla 129. Deflexiones de interior estructura 9. Fuente: Autor. La menor diferencia se encuentra en las estructuras 1, 2 y 3 para losas de 10 cm de espesor, donde la deflexión por carga en el interior es mayor un 18.7 a un 39%, aumentando la diferencia a medida que mejora la calidad de la subrasante. Para las estructuras 4, 5 y 6 con losas de 20 cm EVERFE determina valores de deflexión por carga en el interior mayores a KENSLABS un 36.8 a 145.8% se puede observar que la diferencia máxima entre los resultados para los dos programas es de 2 décimas de milímetro.

Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (mm) 0.0 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2

Everfe (mm) 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.3 0.3 0.3 0.3

Diferencia (mm) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

Diferencia % 270.8 218.3 179.5 154.1 136.1 122.0 111.7 100.8 91.8 84.8


Carga (kN) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Kenslab (mm) 0.0 0.0 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

Everfe (mm) 0.1 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2

Diferencia (mm) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

Diferencia % 231.6 189.4 156.1 136.4 118.4 107.1 95.8 86.7 80.7 74.2


150

En las estructuras 7, 8 y 9 con losas de 30 cm EVERFE obtiene valores de deflexión por carga en el borde mayores a KENSLABS en un 74.2 a 336.8% respectivamente, presentando la mayor diferencia en las deflexiones menores a 1 mm, se puede observar que para subrasantes de 100 Pci la diferencia numérica en las lecturas esta de 3 décimas de milímetro, para estructuras con subrasante de 200 y 300 Pci la diferencia es de 1 décima de milímetro. En los porcentajes mayores, las diferencias numéricas en la deflexión son mínimas entre 1 a 2 décimas de milímetro, esto sucede porque en las deflexiones que son pequeñas de 1 a 2 décimas de milímetro, EVERFE obtiene una diferencia de 2 décimas de milímetro que matemáticamente supera el 100%, pero en la práctica es una diferencia mínima.

151

5 MECÁNICA DE PAVIMENTOS CON ESTRUCTURA MULTICAPA

En el análisis de una estructura multicapa se aprovechan las ventajas que ofrece el programa EVERFE sobre otras metodología como es la de modelar capas de soporte entre la losa de concreto y la subrasante, calculando el comportamiento particular de cada capa de manera independiente y luego el aporte en conjunto a la estructura del pavimento, esta herramienta de análisis multicapa es superior y más realista que la metodología de las fórmulas de WESTERGAARD en la cual cuando se tiene una estructura de soporte conformada por varias capas con materiales diferente esta se representa como una única capa a través de un único valor de módulo de reacción, ignorando que cada capa presenta un comportamiento diferente definido por su espesor y resistencia, EVEFFE permite analizar el comportamiento de cada capa de material. Para el análisis de la mecánica de un pavimento con estructura multicapa utilizando EVERFE se desarrolla un análisis de sensibilidad con las variables de espesor de las capas y resistencia de los materiales para ver su efecto sobre los esfuerzos y deflexiones en la esquina, borde e interior de la losa. 5.1 ESTRUCTURA BICAPA La estructura bicapa está compuesta por una losa simple soportada por una base granular, la cual se apoya sobre una subrasante Winkleriana, las dimensiones características de las capas son las siguientes. Losa de concreto: Se asumen dimensiones típicas, se modela un carril de 3.6 m de ancho con una longitud de 4.4 m, con una relación des esbeltez longitud – ancho de 1.22 cumpliendo el criterio de la AASTHO, el espesor de la losa será de 20 cm. Modulo del concreto: el módulo del concreto es de 28.000 MPa, (4.000.000 lb/pulg2), con un módulo de rotura de 4.4 MPa. Base granular: Se tiene una base granular de 20 cm de espesor con un módulo de 200 MPa, (29000 lb/pulg2) Subrasante: Se considera una subrasante Winkleriana con un módulo de soporte de 0.0554 MPa/mm (200 lb/pulg3). Carga: El análisis de esfuerzos y deflexiones se realizará para eje equivalente de 8.2 ton (80 Kn), se simulará la carga de un set de dos ruedas el cual soporta 40 Kn. Área de contacto: para representar un set de 2 ruedas EVERFE utiliza dos áreas rectangulares.

152

5.2 ESTRUCTURA TRICAPA La estructura tricapa está compuesta por una losa simple apoyada sobre una base estabilizada con cemento, a su vez, soportada por una base granular, la cual se apoya sobre una subrasante Winkleriana, las características son las mismas de la estructura bicapa solo que se adiciona la base estabilizada con cemento bajo la losa de concreto. Losa de concreto: Se asumen dimensiones típicas, se modela un carril de 3.6 m de ancho con una longitud de 4.4 m, con una relación des esbeltez longitud – ancho de 1.22 cumpliendo el criterio de la AASTHO, el espesor de la losa será de 20 cm. Modulo del concreto: el módulo del concreto es de 28.000 MPa, (4.000.000 lb/pulg2), con un módulo de rotura de 4.4 MPa. Base estabilizada con cemento: Se tiene una base estabilizada de 20 cm de espesor con un módulo de 5000 MPa, (725000 lb/pulg2) Base granular: Se tiene una base granular de 20 cm de espesor con un módulo de 200 MPa, (29000 lb/pulg2) Subrasante: Se considera una subrasante Winkleriana con un módulo de soporte de 0.0554 MPa/mm (200 lb/pulg3). Carga: El análisis de esfuerzos y deflexiones se realizará para eje equivalente de 8.2 ton (80 Kn), se simulará la carga de un set de dos ruedas el cual soporta 40 Kn. Área de contacto: para representar un set de 2 ruedas EVERFE utiliza dos áreas rectangulares. 5.3 ÁREA DE CONTACTO PARA EL EJE EQUIVALENTE EN TUNJA BOYACÁ Para determinar el área de contacto de una rueda correspondiente al eje equivalente de 8.2 Ton (80 kN) (18.000 lb), se realizó un estudio de observación en campo de ejes sencillos con 4 ruedas para camiones de carga en la ciudad de Tunja. La investigación se desarrolló en tres puntos de la ciudad de Tunja con presencia de variedad de vehículos de carga, se observó en los monta llantas ubicados en el terminal, el sector de los Hongos y el parqueadero del barrio la Florida. En la primera visita de campo se observó que el área de contacto de la rueda utiliza todo el ancho de la rueda tanto para vehículos con cargas livianas como pesados, lo que muestra que el ancho del área de contacto para un eje de carga vehicular es igual al ancho del neumático que utiliza el vehículo. En la segunda visita se tomaron medidas a una muestra vehicular compuesta por 15 camiones de carga plenamente distribuidos, la información tomada fue la distribución de

153

ejes y ruedas, y la información de las presiones de inflado que usan los vehículos de carga en su operación normal. Presión de contacto. Considerando que la presión de inflado del neumático es igual a la presión de contacto, y de esto depende el área de contacto de la huella, se realizó un análisis general del efecto de la presión de inflado sobre los esfuerzos en la esquina, el borde y el interior de la losa. Se analizaron las presiones de inflado obtenidas en la investigación de campo hallando el área de contacto para cada una, se consideró un índice de carga de 4000 libras por rueda para un eje sencillo doble rueda típico en la ciudad de Tunja, finalmente se determina el ancho y la longitud de la huella aplicando la ecuación 22, las dos huellas que representan el conjunto de dos ruedas tienen una distancia entre centros de 14 pulg (356 mm). La tabla 130 junto con la figura 77 muestran que la presión de inflado de los neumáticos tiene un leve efecto sobre los esfuerzos calculados, mostrando que la cultura de mantenimiento y operación de los neumáticos en los tracto camiones es una variable que incide en los esfuerzos de la losa, en el rango analizado el esfuerzo de esquina (σe)

aumenta un 7%, el de borde (σb) un 6% y el del interior (σi) un 3%. Tabla 130. Presión de inflado de los neumáticos.

Fuente: Autor.

σ e σb σ i Δ e Δ b Δ i

70 231 159 1720 2214 1221 1.88 0.84 0.41

80 216 149 1758 2255 1233 1.88 0.84 0.41

90 204 141 1787 2287 1242 1.89 0.84 0.41

100 194 133 1813 2317 1250 1.90 0.85 0.41

110 185 127 1833 2342 1257 1.91 0.85 0.41

Deflexiones (mm)Longitud de

huella (mm)

Ancho de

huella (mm)

Presión de inflado

(lb/pulg2)

Esfuerzos (kPa)

154

Figura 77. Presión de inflado del neumático. Fuente: Autor. Para el análisis de sensibilidad se asume una presión de inflado de los neumáticos de 100 lb/pulg2 (7 kg/cm2) por ser la que genera mayores esfuerzos para los vehículos de carga y de acuerdo con la investigación de campo es la más usada para ejes sencillos de 4 ruedas. Separación centro a centro de ruedas. La separación entre centros de ruedas es de 14 pulgadas (356 mm), una medida estándar por la normatividad legal para este tipo de vehículos, y que corresponde con la medida encontrada en la investigación de campo. Para mostrar una de las fortalezas del programa EVERFE se analizó el efecto de la separación entre centros de rueda sobre los esfuerzos principales de la losa, considerando una huella determinada de 194 mm de longitud y 133 mm de ancho, con una presión de contacto de 100 lb/pulg2 (7 kg/cm2).

La tabla 131 junto con la figura 78 muestran que la separación entre centros de rueda para un set de dos ruedas afecta significativamente los esfuerzos calculados, a medida que se reduce la separación aumentan los esfuerzos, para el rango analizado el esfuerzo de esquina aumenta un 20%, el de borde un 18% y el esfuerzo de interior un 24%.

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

2400

2600

60 70 80 90 100 110 120

Esfu

erzo

(kP

a)

Presión de inflado (lb/pulg2)

Esfuerzos vs Presión de inflado

σb

σe

σi

155

Tabla 131. Separación entre ruedas.

Fuente: Autor. Figura 78. Separación entre centros de rueda. Fuente: Autor. Ancho de la rueda. De acuerdo con la visita de campo se asume para este análisis que el ancho de la rueda es igual al ancho del área de contacto, se puede ver que el ancho de los neumáticos para los vehículos de carga estudiados esta entre los 22 cm a 27 cm con una presión de inflado de 70 a 120 lb/pulg2 siendo la más común de 100 lb/pulg2, Considerando que la carga soportada por un neumático del eje equivalente es de 4500 libras, se consultó la carpeta técnica de neumáticos para camión de Good Year con un índice de carga de 129 correspondiente a 4000 libras y una velocidad de operación de 80 km/h, el cual recomienda un ancho de neumático de 22.5 cm.


14 356 1813 2317 1250 1.90 0.85 0.41

13 330 1844 2348 1265 1.92 0.85 0.42

12 305 1883 2386 1304 1.93 0.86 0.42

11 279 1926 2423 1345 1.95 0.87 0.42

10 254 1965 2461 1385 1.97 0.88 0.42

9 229 2006 2510 1423 1.98 0.89 0.42

8 203 2047 2564 1461 2.00 0.89 0.42

7 178 2084 2620 1496 2.02 0.90 0.42

6 152 2133 2688 1529 2.03 0.91 0.42

5 127 2173 2745 1550 2.05 0.92 0.42

Separación entre

ruedas (pulg)

Separación entre

ruedas (mm)

Esfuerzos (kPa) Deflexiones (mm)

1000

1500

2000

2500

3000

100 150 200 250 300 350 400

Esfu

erzo

s (k

Pa)

Separación entre centros de rueda (mm)

Esfuerzos vs Separación de ruedas

σb

σe

σi

156

Se realizó un análisis del efecto del ancho de las ruedas sobre los esfuerzos de esquina, borde e interior de la losa, se considera una carga de 4000 libras de acuerdo al índice de carga del neumático y una presión de inflado de 100 lb/pulg2

Se puede apreciar en la tabla 132 y la figura 79 que el ancho de los neumáticos afecta de manera mínima los esfuerzos calculados, a medida que aumenta el ancho de los neumáticos, los esfuerzos calculados presentan una leve reducción, en el rango analizado, el esfuerzo de esquina se reduce un 1%, el de borde un 5% y el esfuerzo de interior aumenta un 1%. Tabla 132. Ancho de neumático. Fuente: Autor. Figura 79. Ancho del neumático. Fuente: Autor. Como resultado del análisis y la investigación de campo, se asume un ancho de rueda de 22 cm con una longitud de huella de 11.7 cm, por ser la que genera mayores esfuerzos


22 11.7 1832 2177 1275 1.89 0.82 0.42

23 11.2 1831 2158 1274 1.89 0.82 0.42

24 10.8 1826 2137 1274 1.88 0.81 0.42

25 10.3 1821 2118 1277 1.88 0.81 0.42

26 9.9 1816 2098 1280 1.87 0.81 0.42

27 9.6 1811 2078 1282 1.87 0.80 0.41

Ancho de

neumático (cm)

Esfuerzos (kPa) Deflexiones (mm)Longitud de la

huella (cm)

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

2400

21 22 23 24 25 26 27 28

Esfu

erzo

(kP

a)

Ancho del neumático (cm)

Esfuerzo vs Ancho del neumático

σb

σe

σi

157

y corresponde a las condiciones técnicas y operativas que se presentan en campo para la ciudad de Tunja. Especificaciones técnicas del área de contacto. Como conclusión del estudio se determina el área de contacto para el set de ruedas del eje equivalente de acuerdo con las condiciones de operación de vehículos de carga encontradas en la ciudad de Tunja. Cada rueda del eje equivalente soporta 4500 lb de carga con una presión de inflado de 100 lb/pulg2 (7 kg/cm2), se considera el uso de un neumático de 22 cm de ancho y una separación entre centros de rueda de 14 pulg (356 mm), el área de contacto resultante para el set de dos ruedas se muestra en la figura 80. Figura 80. Área de contacto set de dos ruedas

Fuente: Autor. 5.4 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD ESTRUCTURA BICAPA En el análisis de sensibilidad la estructura bicapa se realiza con el eje equivalente de 80 kN, para representar las condiciones reales de operación de los vehículos de carga encontradas en Tunja se considera una presión de inflado de 100 lb/pulg2 y ancho de rueda de 22 cm, se modelo el set de dos ruedas ubicado en la esquina, el borde y el interior de la losa de concreto, utilizando la estructura bicapa. El análisis de sensibilidad se desarrolló con los espesores y resistencia de los materiales de acuerdo con los siguientes rangos: Espesor de la losa: rango de 10 a 50 cm, con incrementos de 2 cm hasta llegar a 30 cm y luego incrementos de 5 cm hasta llegar a 50 cm, representando pavimentos peatonales y pavimentos robustos en aeropuertos. Módulo de elasticidad del concreto: rango de 16000 a 52000 MPa, con incrementos de 4000 MPa, considerando valores de modulo para concretos de alto rendimiento. Relación de Poisson del concreto: rango de 0.10 a 0.26, con incrementos de 0.02. Espesor de la base granular: rango de 10 a 100 cm, con incrementos de 10 cm, se consideran espesores gruesos de base para zonas urbanas donde se cubren las redes

220

132

136 220

356

Area de contacto

Rueda 01

Area de contacto

Rueda 02

132

Unidades en milimetros

158

de alcantarillado con capas gruesas de material granular que sirve de base para las losas de concreto. Módulo elástico de la base granular: rango de 100 MPa a 350 MPa, con incrementos de 50 MPa. Módulo de reacción de la subrasante: rango de 100 a 700 lb/pulg3, con incrementos de 50 lb/pulg3 hasta llegar a 400 lb/pulg3, y luego incrementos de 100 lb/pulg3 hasta llegar a 700 lb/pulg3, considerando suelos muy malos hasta de excelente calidad con CBR del 80%. 5.4.1 Esfuerzos y deflexiones en función del espesor de la losa Se modelo la estructura bicapa variando el espesor de la losa de concreto de 10 hasta 50 cm determinado los esfuerzos y deflexiones para carga de esquina, carga en el de borde y carga en el interior de la losa, los resultados se muestran en la tabla 133. Tabla 133. Esfuerzos y deflexiones en función del espesor de la losa Fuente: Autor. Los resultados de la tabla 133 confirman que para pavimentos rígidos de estructura típica o convencional el esfuerzo mayor se da por carga en el borde (σb), seguido por el esfuerzo por carga en la esquina (σe) y el esfuerzo de menor magnitud es debido a la carga en el interior de la losa (σi).


10 4442 5707 3396 3.73 1.49 0.76

12 3584 4494 2640 3.16 1.31 0.68

14 2917 3622 2115 2.73 1.17 0.63

16 2402 2976 1735 2.40 1.07 0.59

18 2008 2484 1451 2.15 0.99 0.57

20 1695 2099 1232 1.95 0.94 0.55

22 1443 1793 1058 1.79 0.90 0.54

24 1239 1545 923 1.67 0.87 0.54

26 1080 1343 810 1.57 0.85 0.54

28 956 1175 715 1.50 0.85 0.54

30 852 1035 635 1.44 0.84 0.55

35 660 774 482 1.34 0.84 0.57

40 537 602 376 1.29 0.86 0.60

45 450 481 300 1.28 0.89 0.63

50 387 392 245 1.28 0.92 0.67

Esfuerzos (kPa) Deflexiones (mm)Espesor h

(cm)

159

Para los modelos analizados el esfuerzo de borde es un 40% mayor que el esfuerzo en el interior y un 20% mayor que el esfuerzo de esquina, a partir de los 30 cm de espesor de losa el esfuerzo de borde y de esquina tienden a ser iguales. La tabla 133 también permite evidenciar que la mayor deflexión se da para la carga en la esquina Δe, seguida por la deflexión por carga en el borde Δb y la menor deflexión la produce la carga en el interior Δi. Para el caso de análisis la deflexión de esquina es mayor un 40 a 60% de la deflexión de borde y es mayor un 60 a 80% de la deflexión del interior, a medida que aumenta el espesor de la losa las diferencias se reducen. En la figura 81 se muestra que a medida que se aumenta el espesor de la losa los esfuerzos σb, σe y σi empiezan a disminuir drásticamente hasta tender a cero , el esfuerzo de borde que es el mayor con 4442 Kpa se reduce un 62% al aumentar la losa de 10 a 20 cm, y sigue reduciéndose a un 81% al aumentar la losa de 20 cm a 30 cm, los demás esfuerzos pierden magnitudes similares, se deduce que para reducir esfuerzos se puede aumentar el espesor de la losa y el rango más efectivo es hasta los 20 cm para cargas de un eje equivalente, a partir de los 20 cm sigue reduciendo esfuerzos pero con mucha menor efectividad. Figura 81. Esfuerzos en función del espesor de la losa estructura bicapa.

Fuente: Autor. De acuerdo con la figura 82 al aumentar el espesor de la losa se reduce en gran magnitud la deflexión en la esquina, estando de 3.73 mm se reduce un 48% al engrosar la losa de 10 a 20 cm, y a un 62% al pasar la losa de 20 a 30 cm, las deflexiones de borde y de interior de la losa se mantienen constantes con una leve reducción, no se ven afectadas por el espesor de la losa.

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 10 20 30 40 50 60

Esfu

erzo

(kP

a)

Espesor de la losa (cm)

Esfuerzos vs Espesor de la losa

σb

σe

σi

160

Figura 82. Deflexiones en función del espesor de la losa estructura bicapa. Fuente: Autor. 5.4.2 Esfuerzos y deflexiones en función del módulo elástico de la losa Se analizó la estructura bicapa variando el módulo de elasticidad del concreto de 16000 hasta 52000 MPa, la tabla 134 indica los esfuerzos y deflexiones para cada caso de carga. La tabla 134 mantiene la tendencia de que el esfuerzo de borde es un 20% mayor al esfuerzo de esquina y un 40% mayor el esfuerzo del interior de la losa, igualmente la deflexión mayor se da por carga en la esquina, seguida por la deflexión de carga en el borde y finalmente por carga en el interior de la losa. Tabla 134. Esfuerzos y deflexiones en función del módulo de la losa Fuente: Autor.

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

0 10 20 30 40 50 60

Def

lexi

ón

(m

m)


Deflexiones vs Espesor de la losa

Δi

Δb

Δb


16000 1544 1876 1095 2.34 1.07 0.61

20000 1604 1968 1151 2.17 1.02 0.59

24000 1654 2041 1195 2.05 0.97 0.57

28000 1695 2099 1232 1.95 0.94 0.55

32000 1728 2148 1262 1.87 0.91 0.54

36000 1756 2189 1289 1.80 0.89 0.53

40000 1780 2224 1312 1.74 0.87 0.52

44000 1800 2255 1332 1.69 0.85 0.51

48000 1818 2283 1349 1.64 0.84 0.50

52000 1834 2307 1365 1.60 0.83 0.49

Módulo de elasticidad

del concreto (Mpa)


161

Se puede apreciar en la figura 83 que a medida que se aumenta en gran magnitud el módulo elástico del concreto los esfuerzos sufren un leve aumento de qué se puede considerar despreciable, el esfuerzo de borde pasa de 1876 a 2307 kPa aumentando un 20% mientras el módulo del concreto se mejora de 16000 a 52000 MPa, de manera similar sucede para el esfuerzo de esquina y el esfuerzo de borde, se puede concluir que la variación del módulo elástico del concreto no afecta los esfuerzos generados por las cargas. Figura 83. Esfuerzos en función del módulo de la losa estructura bicapa Fuente: Autor. La figura 84 permite ver que las deflexiones por carga en la esquina, por carga en el borde y por carga en el interior de la losa tienden a mantenerse constantes a medida que se aumenta el módulo elástico del concreto, lo que evidencia que prácticamente el módulo elástico de concreto no afecta las deflexiones de la losa.

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

2400

15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000 55000

Esfu

erzo

(kP

a)

Módulo elastico del concreto (MPa)

Esfuerzos vs Módulo de la losa

σi

σe

σb

162

Figura 84. Deflexiones en función del módulo de la losa estructura bicapa Fuente: Autor. 5.4.3 Esfuerzos y deflexiones en función de la relación de Poisson del concreto Se estudió la estructura bicapa en función de la relación de Poisson del concreto, los resultados obtenidos se analizan en la tabla 135. La tabla 135 muestra que el esfuerzo por carga en el borde de la losa es un 20% mayor al esfuerzo por carga en el borde y un 40% mayor al esfuerzo por carga en el interior, tanto esfuerzos como deflexiones se mantienen constantes a medida que aumenta la relación de polisón del concreto. Tabla 135. Esfuerzos y deflexiones en función de la relación de Poisson Fuente: Autor.

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000 55000

Def

lexi

ón

(m

m)

Módulo elastico de concreto (MPa)

Deflexiones vs Módulo de la losa

Δi

Δb

Δe


0.10 1706 1939 1192 1.94 1.01 0.55

0.12 1701 1951 1208 1.94 1.01 0.55

0.14 1697 1963 1224 1.95 1.01 0.55

0.16 1693 1974 1240 1.95 1.02 0.55

0.18 1688 1985 1256 1.95 1.02 0.55

0.20 1684 1995 1272 1.96 1.02 0.55

0.22 1680 2005 1289 1.96 1.03 0.55

0.24 1676 2015 1305 1.96 1.03 0.54

0.26 1672 2024 1322 1.97 1.03 0.54

Relación de

Poisson, u


163

La figura 85 muestra que los esfuerzos se mantienen en magnitudes constantes a medida que aumenta la relación de Poisson del concreto, concluyendo que este parámetro no tiene incidencia sobre la magnitud de los esfuerzos generados por las cargas sobre la losa. Figura 85. Esfuerzos en función de la relación de Poisson. Fuente: Autor. De la figura 86 se concluye que la variación de la relación de Poisson del concreto no afecta las deflexiones que sufre la losa, ya que estas permanecen constantes a medida que aumenta este parámetro. Figura 86. Deflexiones en función de la relación de Poisson. Fuente: Autor.

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

0.09 0.11 0.13 0.15 0.17 0.19 0.21 0.23 0.25 0.27

Esfu

erzo

(kP

a)

Relación de Poisson

Esfuerzos vs Relación de Poisson del concreto

σb

σe

σi

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

0.09 0.11 0.13 0.15 0.17 0.19 0.21 0.23 0.25 0.27

Def

lexi

ón

(m

m)


Deflexiones vs Relación de Poisson del concreto

Δe

Δi

Δb

164

5.4.4 Esfuerzos y deflexiones en función del espesor de la base Se modelo la estructura bicapa para diferentes espesores de base granular que van desde 10 hasta 100 cm, La tabla 136 muestra los resultados obtenidos. En la tabla 136 se confirma que el esfuerzo de borde es un 20% mayor que el esfuerzo de esquina y un 40% mayor que el esfuerzo del interior de la losa, la deflexión principal de la losa se da por la carga en la esquina, seguida por la deflexión en el borde y finalmente la deflexión en el interior de la losa. Tabla 136. Esfuerzos y deflexiones en función del espesor de la base Fuente: Autor. Los esfuerzos de borde, de esquina y de interior de la losa tienden a disminuir levemente a medida que se aumenta el espesor de la base granular como se muestra la figura 87, el esfuerzo de borde de 2146 kPa disminuye un 2% por cada 10 cm que se aumenta la base granular, así cuando se aumenta 50 cm el esfuerzo reduce un 10% y cuando se aumenta a 1 m de espesor el esfuerzo reduce un 20%, algo similar le sucede al esfuerzo en la esquina de la losa. Es claro que tratar de mitigar los esfuerzos de la losa aumentando el espesor de la base granular seria antieconómico y poco eficiente, en la práctica se puede asumir que el espesor de la base granular no afecta los esfuerzos que soporta la losa de concreto.


10 1781 2146 1256 1.93 0.88 0.48

20 1695 2099 1232 1.95 0.94 0.55

30 1589 2045 1206 1.95 0.99 0.62

40 1486 1990 1181 1.94 1.05 0.69

50 1398 1937 1157 1.93 1.10 0.75

60 1325 1888 1135 1.93 1.15 0.82

70 1268 1843 1116 1.94 1.21 0.89

80 1224 1804 1099 1.96 1.27 0.96

90 1191 1771 1084 1.99 1.34 1.03

100 1167 1743 1071 2.03 1.41 1.11

Espesor de la base

granular (cm)


165

Figura 87. Esfuerzos en función del espesor de la base estructura bicapa. Fuente: Autor. La figura 88 muestra que la deflexión por carga en la esquina se mantiene constante a medida que se aumenta el espesor de la base, mientras las deflexiones por carga en el borde y carga en la esquina tienden un leve aumento de 0.5 mm por cada metro de espesor que se aumenta la base granular, concluyendo que en la practica el espesor de la base granular no tiene mayor incidencia en la magnitud de las deflexiones que mantiene la losa. Figura 88. Deflexiones en función del espesor de la base estructura bicapa. Fuente: Autor.

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

2400

0 20 40 60 80 100 120

Esfu

erzo

(kP

a)

Espesor de la base granular (cm)

Esfuerzos vs Espesor de la base

σi

σe

σb

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

0 20 40 60 80 100 120

Def

lexi

ón

(m

m)


Deflexiones vs Espesor de la base

Δi

Δb

Δe

166

5.4.5 Esfuerzos y deflexiones en función del módulo de la base Se analiza el comportamiento del pavimento variando el módulo de la base granular de 100 a 550 MPa, la tabla 137 muestra los resultados para cada caso. Se evidencia nuevamente que el esfuerzo de borde es un 20% mayor que el esfuerzo en la esquina y un 40% mayor que el esfuerzo en el interior de la losa. Tabla 137. Esfuerzos y deflexiones en función del módulo de la base. Fuente: Autor. De acuerdo con la figura 89 a medida que se aumenta el módulo elástico de la base, los esfuerzos de borde, esquina e interior de la losa tienen una leve disminución en su magnitud de un 6% lo que es un valor despreciable, concluyendo que el módulo de la base granular no tiene efectos sobre los esfuerzos de la losa de concreto. Figura 89. Esfuerzos en función del módulo de la base estructura bicapa.

Fuente: Autor.

900

1100

1300

1500

1700

1900

2100

2300

50 100 150 200 250 300 350 400

Esfu

erzo

(K

pa)

Módulo elastico de la base granular (MPa)

Esfuerzos vs Módulo de la base

σi

σe

σb


100 1742 2162 1271 2.00 0.96 0.56

150 1717 2130 1251 1.97 0.95 0.55

200 1695 2099 1232 1.95 0.94 0.55

250 1674 2070 1213 1.94 0.93 0.55

300 1654 2042 1195 1.92 0.93 0.54

350 1635 2014 1178 1.90 0.92 0.54

400 1616 1988 1162 1.89 0.92 0.54

450 1599 1962 1145 1.88 0.92 0.54

500 1581 1937 1130 1.87 0.91 0.53

550 1565 1913 1115 1.86 0.91 0.53

Módulo de la base

granular (MPa)


167

Las deflexiones en la esquina, el borde y el centro de la losa se mantienen constantes mientras se aumenta el módulo de la base granular, concluyendo que este parámetro no tiene influencia en las deflexiones como se muestra en la figura 90. Figura 90. Deflexiones en función del módulo de la base estructura bicapa.

Fuente: Autor. 5.4.6 Esfuerzos y deflexiones en función del módulo de reacción de la subrasante Se evaluó el efecto que tiene la capacidad de soporte de la subrasante analizando el valor del módulo de reacción desde 100 hasta 700 Pci, la tabla 138 resume el resultado de la modelación. Se puede evidenciar una vez más que para un pavimento rígido convencional de una losa simple apoyada sobre una capa granular o una subrasante Winkleriana el esfuerzo principal será el de borde, el secundario será el de esquina y el menor será el del interior de la losa como se muestra en la tabla 138.

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

50 100 150 200 250 300 350 400

Def

lexi

ón

(m

m)

Módulo elastico de la base granular (MPa)

Deflexiones vs Módulo de la base

Δi

Δb

Δe

168

Tabla 138. Esfuerzos y deflexiones en función del módulo la subrasante. Fuente: Autor. De acuerdo con la figura 91 a medida que se aumenta el módulo de reacción de la subrasante los esfuerzos de borde, esquina e interior de la losa presentan una leve reducción, el esfuerzo de borde inicia en 2099 kPa y se reduce un 9% cuando el módulo pasa de 100 a 200 Pci y un 14% cuando el módulo pasa de 200 a 300 Pci, para los valores de módulo de reacción de la subrasante mayores a 300 Pci la magnitud de los esfuerzos se mantiene constante. Se puede concluir que mejorar el módulo de reacción de la subrasante tiene pocos efectos sobre los esfuerzos que sufre la losa para una estructura bicapa. Figura 91. Esfuerzos en función del módulo de la subrasante estructura bicapa.

Fuente: Autor.


100 1695 2099 1232 1.95 0.94 0.55

150 1623 1994 1167 1.51 0.70 0.40

200 1574 1917 1121 1.27 0.57 0.32

250 1534 1857 1087 1.11 0.49 0.27

300 1500 1809 1060 0.99 0.43 0.24

350 1471 1769 1038 0.91 0.39 0.22

400 1445 1735 1020 0.84 0.36 0.20

500 1402 1680 990 0.74 0.31 0.17

600 1366 1637 967 0.66 0.27 0.15

700 1336 1602 949 0.61 0.25 0.13

Módulo de reacción

subrasante (Pci)


500

1000

1500

2000

2500

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Esfu

erzo

(kP

a)

Módulo de reacción subrasante (Pci)

Esfuerzos vs Módulo de la subrasante

σi

σe

σb

169

La figura 92 nos indica que las deflexiones de la losa en la esquina, el borde y el interior tienen una leve reducción de magnitud de 1.0 mm a 0.5 mm cuando se mejora el módulo de reacción de la subrasante de 100 a 300 Pci, a partir de 300 Pci las deflexiones se mantiene constantes. Figura 92. Deflexiones en función del módulo de la subrasante estructura bicapa. Fuente: Autor. 5.5 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD ESTRUCTURA TRICAPA Se realizó un análisis de sensibilidad con la estructura tricapa modelando el semieje eje equivalente de 80 Kn, se modelo el set de dos ruedas ubicado en la esquina, el borde y el interior de la losa de concreto. El análisis de sensibilidad se desarrolló con los espesores y resistencia de los materiales de acuerdo con los siguientes rangos: Espesor de la losa: rango de 10 a 50 cm, con incrementos de 2 cm hasta llegar a 30 cm y luego incrementos de 5 cm hasta llegar a 50 cm. Módulo de elasticidad del concreto: rango de 16000 a 52000 MPa, con incrementos de 4000 MPa. Relación de Poisson del concreto: rango de 0.10 a 0.26, con incrementos de 0.02. Espesor de la base estabilizada: rango de 5 a 50 cm, con incrementos de 5 cm. Módulo elástico de la base estabilizada: rango de 5000 a 15000 MPa, con incrementos de 1000 MPa. Espesor de la base granular: rango de 10 a 100 cm, con incrementos de 10 cm.

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Def

lexi

ón

(m

m)

Módulo de reacción subrasante

Deflexiones vs Módulo de la subrasante

Δi

Δb

Δe

170

Módulo elástico de la base granular: rango de 100 MPa a 550 MPa, con incrementos de 50 MPa. Módulo de reacción de la subrasante: rango de 100 a 700 lb/pulg3, con incrementos de 50 lb/pulg3 hasta llegar a 400 lb/pulg3, y luego incrementos de 100 lb/pulg3 hasta llegar a 700 lb/pulg3. 5.5.1 Esfuerzos y deflexiones en función del espesor de la losa se modelo la estructura tricapa con la carga del set de dos ruedas en la esquina, el borde y el interior de la losa, para cada caso se analizaron 10 espesores de losa diferentes, la tabla 139 muestra los resultados del análisis de sensibilidad. En el modelo tricapa se introdujo una capa de base estabilizada con un módulo de 5000 MPa que es 25 veces superior al de la base granular de 200 MPa, esta condición cambio los estados tensionales de la losa, como se muestra en tabla 139 el esfuerzo de esquina (σe) es superior al esfuerzo de borde (σb) en un 30% y al esfuerzo en el interior dela losa (σi) en un 50%, a diferencia de la estructura bicapa donde el esfuerzo de borde era el mayor de todos. Otra observación que se muestra en la tabla 139 es que para la estructura tricapa los esfuerzos en la losa se reducen considerablemente por el efecto de la base estabilizada al compararlos con la estructura bicapa, el esfuerzo de esquina se reduce a una tercera parte y los esfuerzos de borde e interior se reducen a una décima parte para un espesor de losa de 10 cm, al aumentar el espesor a 20 cm la diferencia disminuye siendo el esfuerzo de esquina muy similar al de la estructura bicapa y el esfuerzo de borde y de interior se reducen a una tercera parte. Para el análisis de deflexiones la tabla 139 muestra que la mayor deflexión se da para la carga en la esquina Δe, seguida por la deflexión por carga en el borde Δb y la menor deflexión la produce la carga en el interior Δi, las deflexiones de borde e interior del modelo tricapa son menores a las calculadas para el modelo bicapa, a excepción de la deflexión en la esquina que es mayor en el modelo tricapa para losas hasta de 20 cm, para espesores mayores la deflexión toma valores inferiores.

171

Tabla 139. Esfuerzos y deflexiones en función del espesor de la losa. Fuente: Autor. La figura 93 indica que a medida que se aumenta el espesor de la losa el esfuerzo de esquina se reduce considerablemente pasando de 1465 a 544 kPa cuando la losa aumenta de 10 a 30 cm de espesor, reduciendo su magnitud en un 65%, mientras los esfuerzos de borde e interior se reducen un 20%, a partir del espesor de 30 cm los tres esfuerzos presentan una leve reducción adicional del 15%. Se puede concluir que elevar el espesor de la losa de concreto de 10 a 50 cm afecta al esfuerzo de esquina reduciéndolo un 80%, y a los esfuerzos de borde e interior de la losa los reduce un 40%. Figura 93. Esfuerzos en función del espesor de la losa estructura tricapa. Fuente: Autor. En el análisis de deflexiones la figura 94 indica que a medida que aumenta el espesor de la losa de 10 a 55 cm las deflexiones de borde y del interior tienen un leve incremento de


10 1465 546 339 1.87 0.93 0.55

15 1095 651 381 1.62 0.88 0.55

20 845 585 357 1.46 0.86 0.56

25 670 501 314 1.37 0.86 0.58

30 544 411 267 1.32 0.88 0.61

35 451 337 225 1.30 0.90 0.65

40 382 279 190 1.30 0.93 0.68

45 329 234 162 1.31 0.97 0.72

50 288 213 138 1.33 1.00 0.76

55 256 185 120 1.36 1.04 0.80

Espesor

losa h (cm)


0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 10 20 30 40 50 60

Esfu

erzo

(kP

a)


Esfuerzos vs Espesor de la losa

σb

σe

σi

172

0.11 y 0.25 mm respectivamente, a diferencia de la deflexión en la esquina que presenta una reducción de 0.52 mm, en la práctica estas magnitudes de decimas de milímetro son despreciables, por lo que se puede concluir para esta estructura que el espesor de la losa no impacta las deflexiones de la losa. Figura 94. Deflexiones en función del espesor de la losa estructura tricapa. Fuente: Autor. 5.5.2 Esfuerzos y deflexiones en función del módulo de la losa Se analizó el comportamiento de la estructura de pavimento tricapa con diferentes módulos elásticos de la losa de concreto que van de 16000 hasta 52000 Mpa, la tabla 140 resume los resultados obtenidos. Nuevamente se muestra en la taba 140 que para el modelo tricapa el esfuerzo de esquina es superior un 30% al esfuerzo de borde y un 40% al esfuerzo en el interior de la losa si se analiza para el caso típico de 28000 MPa de modulo, igualmente la deflexión mayor se presenta en la esquina de la losa, seguida por la deflexión en el borde y la deflexión en el interior.

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

0 10 20 30 40 50 60

Def

lexi

ón

(m

m)


Deflexiones vs Espesor de la losa

Δi

Δb

Δe

173

Tabla 140. Esfuerzos y deflexiones en función del módulo de la losa.

Fuente: Autor. A medida que se aumenta el módulo del concreto aumentan los esfuerzos principales de la losa como se muestra en la figura 95, el esfuerzo de esquina aumenta de 714 a 1046 MPa, el esfuerzo de borde pasa de 307 a 980 MPa y el esfuerzo del interior pasa de 186 a 600 MPa, se puede apreciar que son valores mínimos comparados con el módulo de rotura del concreto que está cerca a los 4.5MPa. Figura 95. Esfuerzos en función del módulo de la losa estructura tricapa. Fuente: Autor. El análisis de deflexiones indica que con un aumento en el módulo de concreto de 1500 a 52000 MPa la deflexión de esquina tiene una leve reducción de 0.7 mm y las deflexiones de borde e interior de la losa permanecen constantes, como se muestra en la figura 96, concluyendo que incrementar el módulo del concreto no tiene mayor impacto en la magnitud de las deflexiones.


16000 714 307 186 1.56 0.89 0.58

20000 762 415 244 1.52 0.88 0.57

24000 806 504 298 1.49 0.87 0.56

28000 845 586 357 1.46 0.86 0.56

32000 881 662 402 1.44 0.85 0.56

36000 915 746 444 1.42 0.84 0.55

40000 951 810 483 1.40 0.84 0.55

44000 984 870 520 1.39 0.83 0.55

48000 1017 927 568 1.37 0.83 0.55

52000 1046 980 600 1.36 0.83 0.55

Módulo de elasticidad del

concreto (Mpa)


0

200

400

600

800

1000

1200

15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000 55000

Esfu

erzo

(kP

a)

Módulo de elasticidad del concreto (MPa)

Esfuerzos vs Módulo de la losa

σe

σb

σi

174

Figura 96. Deflexiones en función del módulo de la losa estructura tricapa. Fuente: Autor. 5.5.3 Esfuerzos y deflexiones en función de la relación de Poisson del concreto Se estudió influencia en los esfuerzos de esquina, borde e interior de la variable de relación de Poisson del concreto en un rango de 0.10 hasta 0.26, la tabla 141 muestra el resumen del análisis. De acuerdo con la tabla 141 el esfuerzo de esquina es superior un 30% al esfuerzo de borde y un 60% al esfuerzo en el interior, la deflexión en la esquina sigue siendo la de mayor valor siendo en un 40% mayor a la deflexión de borde y un 60% mayor a la deflexión del interior de la losa. Tabla 141. Esfuerzos y deflexiones en función de la relación de Poisson. Fuente: Autor

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000 55000

Def

lexi

ón

(m

m)

Módulo de elasticidad del concreto (MPa)

Deflexiones vs Módulo del la losa

Δi

Δb

Δe


0.10 863 579 348 1.46 0.86 0.56

0.12 855 582 351 1.46 0.86 0.56

0.14 848 585 355 1.46 0.86 0.56

0.16 841 587 359 1.46 0.86 0.56

0.18 835 589 363 1.46 0.86 0.56

0.20 828 591 367 1.46 0.86 0.56

0.22 822 593 372 1.46 0.86 0.56

0.24 815 594 377 1.47 0.86 0.56

0.26 811 594 382 1.47 0.86 0.56

Relación de

Poisson, u


175

Se puede apreciar en la figura 97 que a medida que se aumenta la relación de Poisson en el concreto los esfuerzos de borde, esquina e interior de la losa se mantienen constantes confirmando que esta variable no tiene incidencia en la magnitud de los esfuerzos. Figura 97. Esfuerzos en función de la relación de Poisson estructura tricapa. Fuente: Autor De manera similar a la trayectoria de los esfuerzos principales, la magnitud de las deflexiones de esquina, borde e interior de la losa no son afectadas por la relación de Poisson del concreto como lo muestra la figura 98. Figura 98. Deflexiones en función de la relación de Poisson estructura tricapa. Fuente: Autor

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0.09 0.11 0.13 0.15 0.17 0.19 0.21 0.23 0.25 0.27

Esfu

erzo

(kP

a)


Esfuerzos vs Relación de Poisson del concreto

σe

σb

σi

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

0.09 0.11 0.13 0.15 0.17 0.19 0.21 0.23 0.25 0.27

Def

lexi

ón

(m

m)


Deflexiones vs Relación de Poisson del concreto

Δi

Δb

Δe

176

5.5.4 Esfuerzos y deflexiones en función del espesor de la base estabilizada Se desarrolla un estudio del pavimento tricapa que trae incluida una capa rígida de base estabilizada para espesores que van de 5 a 50 cm, la tabla 142 indica los resultados obtenidos. De acuerdo con lo mostrado en la tabla 142 el esfuerzo de esquina se mantiene superior al esfuerzo de borde y al esfuerzo del interior, como ha venido sucediendo para la estructura tricapa, la deflexión de esquina continúa siendo superior a la deflexión de borde y del interior. Tabla 142. Esfuerzos y deflexiones en función del espesor de la base estabilizada. Fuente: Autor. La figura 99 indica que a medida que se aumenta el espesor de la base estabilizada los esfuerzos principales de la losa disminuyen, la mayor reducción se da cuando la losa alcanza los 30 cm de espesor donde el esfuerzo de esquina reduce un 60% y el de borde e interior de la losa un 80%, a partir de ese punto tienden a disminuir levemente.


5 1360 1344 813 1.76 0.90 0.55

10 1058 877 523 1.59 0.87 0.55

15 845 586 357 1.46 0.86 0.56

20 708 426 259 1.37 0.85 0.58

25 611 333 201 1.32 0.86 0.60

30 543 277 165 1.30 0.88 0.62

35 494 244 154 1.28 0.90 0.65

40 457 236 157 1.29 0.92 0.67

45 430 223 159 1.29 0.95 0.70

50 410 214 161 1.31 0.98 0.73

Espesor de la base

estabilizada (cm)


177

Figura 99. Esfuerzos en función del espesor de la base estabilizada. Fuente: Autor. Las deflexiones en el borde y en interior de la losa se mantienen constantes sin importar la variación del espesor de la base estabilizada, a diferencia de la deflexión en la esquina que se reduce un 26% cuando la losa llega a 30 cm de espesor, de ahí en adelante tiende a mantenerse contante como se muestra en la figura 100. Figura 100.Deflexiones en función del espesor de la base estabilizada. Fuente: Autor.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 10 20 30 40 50 60

Esfu

erzo

(M

pa)

Espesor de la base estabilizada (cm)

Esfuerzos vs Espesor de la base estabilizada

σeσb

σi

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

2.00

0 10 20 30 40 50 60

De

fle

xió

n (

mm

)

Espesor de la base estabilizada (cm)

Deflexiones vs Espesor de la base estabilizada

Δi

Δb

Δe

178

5.5.5 Esfuerzos y deflexiones en función del módulo de la base estabilizada Se ejecuta el análisis del pavimento para diferentes valores de módulo de la base estabilizada que van desde 5000 hasta 15000 MPa, la tabla 143 permite apreciar el resumen de los resultados. Para un módulo de base estabilizad de 5000 MPa los esfuerzos de esquina y de borde son similares en magnitud y aproximadamente un 50% superiores al esfuerzo en el interior de la losa, la tabla 143 muestra que para la estructura tricapa los mayores valores los presentan el esfuerzo y la deflexión por carga en la esquina. Tabla 143. Esfuerzos y deflexiones en función del módulo de la base estabilizada. Fuente: Autor. A medida que se incrementa el módulo de la base estabilizada los esfuerzos principales de la losa se reducen, como se indica en la figura 101, el esfuerzo de esquina reduce un 25% y el esfuerzo de borde e interior de la losa un 56% esto sucede cuando el módulo de la losa es incrementa de 5000 a 15000 MPa. En la práctica las bases granulares estabilizadas con cemento alcanzan módulos 7000 MPa, en este punto el esfuerzo de esquina se reduce tan solo un 8% y el de borde e interior de la losa un 20%, lo que hace inviable por costos tratar de reducir los esfuerzos mejorando la calidad de la base estabilizada.


5000 1023 991 590 1.60 0.90 0.59

6000 976 895 533 1.57 0.89 0.58

7000 937 802 484 1.54 0.88 0.57

8000 904 731 442 1.51 0.87 0.57

9000 879 670 406 1.49 0.87 0.57

10000 857 616 375 1.47 0.86 0.56

11000 838 569 347 1.45 0.86 0.56

12000 821 527 322 1.44 0.85 0.56

13000 806 490 300 1.42 0.85 0.55

14000 792 456 280 1.41 0.84 0.55

15000 779 425 262 1.40 0.84 0.55

Módulo de la base

estabilizada (MPa)


179

Figura 101. Esfuerzos en función del módulo de la base estabilizada.

Fuente: Autor. La deflexión de esquina disminuye levemente un 12% a medida que se aumenta el módulo de la base estabilizada a 16000 MPa, la figura 102 indica que las deflexiones de borde y esquina permanecen constantes sin importar el valor del módulo de la base estabilizada. Figura 102. Deflexiones en función del módulo de la base estabilizada. Fuente: Autor.

0

200

400

600

800

1000

1200

4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000

Esfu

erzo

(kP

a)

Módulo de la base estabilizada (MPa)

Esfuerzos vs Módulo de la base estabilizada

σe

σb

σi

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000

Def

lexi

ón

(m

m)

Módulo de la base estabilizada (MPa)

Deflexiones vs Módulo de la base estabilizada

Δi

Δb

Δe

180

5.5.6 Esfuerzos y deflexiones en función del espesor de la base granular Se modelaron las estructuras de pavimento tricapa con un rango de espesores de base granular de 10 a 100 cm para las distintas condiciones de carga, la tabla 144 indica los resultados del análisis. Para la estructura tricapa el esfuerzo y la deflexión de mayor magnitud se dan en la esquina de la losa, la tabla 144 muestra que la reducción de esfuerzos y deflexiones es muy mínima en función del espesor de a base granular. Tabla 144. Esfuerzos y deflexiones en función del espesor la base granular. Fuente: Autor. Los esfuerzos de esquina tienen una reducción del 16% en su valor a medida que se aumenta el espesor de la base granular hasta los 60 cm, de ahí en adelante tienden a permanecer constantes, la figura 103, muestra que los esfuerzos de borde e interior de la losa no son afectados por la variación del espesor de la base granular.


10 877 589 355 1.42 0.79 0.49

20 845 586 357 1.46 0.86 0.56

30 813 583 359 1.50 0.92 0.63

40 783 581 362 1.54 0.99 0.71

50 756 578 365 1.59 1.06 0.78

60 734 576 367 1.64 1.13 0.86

70 716 573 369 1.69 1.20 0.93

80 701 571 370 1.75 1.27 1.01

90 690 568 370 1.81 1.35 1.08

100 681 566 371 1.87 1.43 1.16

Espesor de la base

granular (cm)


181

Figura 103. Esfuerzos en función del espesor de la base granular. Fuente: Autor. Para la estructura tricapa las deflexiones tienden a aumentar proporcionalmente a medida que se aumenta el espesor de la base granular, la figura 104 muestra que el esfuerzo de esquina, de borde e interior aumenta un 32, 80 y 137% respectivamente cundo se aumenta el espesor de la base de 10 a 100 cm. Figura 104. Deflexiones en función del espesor de la base granular. Fuente: Autor.

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 20 40 60 80 100 120

Esfu

erzo

(kP

a)


Esfuerzos vs Espesor de la base granular

σe

σb

σi

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

2.00

0 20 40 60 80 100 120

Def

lexi

ón

(m

m)


Deflexiones vs Espesor de la base granular

Δi

Δb

Δe

182

5.5.7 Esfuerzos y deflexiones en función del módulo base granular: Se realizó el análisis de sensibilidad para el pavimento tricapa con los valores del módulo de la base granular de 100 a 550 MPa, la tabla 145 indica los resultados. Se puede apreciar en la tabla 145 que el esfuerzo de esquina es mayor un 30% al esfuerzo de borde y un 60% al esfuerzo del interior de la losa, de manera similar, la deflexión en la esquina es un 40% mayor a la de borde y un 60% mayor a la del interior de la losa. Tabla 145. Esfuerzos y deflexiones en función del módulo de la base granular. Fuente: Autor. Los esfuerzos en la esquina, el borde y el interior de la losa para la estructura tricapa no sufren mayores afectaciones con la variación del módulo de la base granular, la figura 105 muestra que tienden a mantener su valor constante con una mínima reducción del 6, 8 y 9% respectivamente. Figura 105. Esfuerzos en función del módulo de la base granular.

Fuente: Autor.

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

50 100 150 200 250 300 350 400

Esfu

erzo

(kP

a)

Módulo de la base granular (MPa)

Esfuerzos vs Módulo de la base granular

σe

σb

σi


100 858 598 365 1.48 0.87 0.57

150 851 592 361 1.47 0.86 0.56

200 845 586 357 1.46 0.86 0.56

250 839 580 352 1.45 0.85 0.56

300 833 574 348 1.45 0.85 0.56

350 828 569 345 1.44 0.85 0.56

400 823 563 341 1.43 0.85 0.55

450 817 558 337 1.43 0.85 0.55

500 812 552 334 1.42 0.84 0.55

550 806 547 330 1.42 0.84 0.55

Módulo de la base

granular (MPa)


183

Las deflexiones de borde, esquina e interior de la losa mantienen un valor constante a medida que se aumenta el módulo de la base granular, la figura 106 muestra que esta variable no afecta la magnitud de las deflexiones en la losa. Figura 106. Deflexiones en función del módulo de la base granular.

Fuente: Autor. 5.5.8 Esfuerzos y deflexiones en función del módulo de la subrasante Se estudió el comportamiento del pavimento tricapa ante los distintos valores del módulo de reacción de la subrasante de 100 hasta 700 Pci, la tabla 146 nos enseña los resultados finales. Para la estructura tricapa se mantiene que el valor del esfuerzo de esquina es mayor un 30% al esfuerzo de borde y mayor un 60% al esfuerzo del interior de la losa, igualmente, la tabla 146 muestra que la deflexión de esquina es mayor un 50% de la deflexión de borde y un 70% de la deflexión en el interior de la losa.

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

50 100 150 200 250 300 350 400

Def

lexi

ón

(m

m)

Módulo de la base granular (MPa)

Deflexiones vs Módulo de la base granular

Δi

Δb

Δe

184

Tabla 146. Esfuerzos y deflexiones en función del módulo de la subrasante. Fuente: Autor. Al mejorar el módulo de reacción de la subrasante de 100 a 700 Pci los esfuerzos de esquina, borde e interior de la losa disminuyen levemente su magnitud en un 12, 16 y 15% respectivamente, la figura 107 muestra que los esfuerzos principales de la estructura tricapa no tienen mayores afectaciones por el aumento del módulo de reacción de la subrasante. Figura 107. Esfuerzos en función del módulo de la subrasante.

Fuente: Autor. Las deflexiones principales de la losa disminuyen a medida que se mejora el módulo de reacción de la subrasante, la figura 108, muestra que la mayor disminución se presenta cuando el módulo de reacción alcanza el valor de 300 Pci, donde la deflexión de esquina,


100 845 586 357 1.46 0.86 0.56

150 828 571 347 1.09 0.61 0.40

200 814 558 340 0.90 0.48 0.31

250 803 548 333 0.77 0.41 0.26

300 793 539 328 0.69 0.35 0.22

350 784 531 323 0.62 0.32 0.20

400 776 524 319 0.57 0.29 0.18

500 762 512 312 0.50 0.24 0.15

600 751 503 306 0.45 0.22 0.13

700 742 495 302 0.41 0.19 0.12

Módulo de reacción

subrasante (Pci)


200

300

400

500

600

700

800

900

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Esfu

erzo

(kP

a)

Módulo de reacción de la subrasante (Pci)

Esfuerzos vs Módulo de la subrasante

σe

σb

σi

185

borde e interior se reducen un 53, 59 y 60% respectivamente, a partir del módulo de 300 Pci la variación es mínima. Figura 108. Deflexiones en función del módulo de la subrasante. Fuente: Autor.

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Def

lexi

ón

(m

m)

Módulo de reacción de la subrasante (Pci)

Deflexiones vs Módulo de la subrasante

Δi

Δb

Δe

186

6 CONO DE ESFUERZOS EJE SENCILLO, EJE TANDEM Y EJE TRIDEM. Hasta el momento se ha analizado los esfuerzos y deflexiones generadas ante una carga de una rueda o de un set de dos ruedas en la posición de borde, esquina y centro de la losa, en este capítulo nos saldremos de este esquema de cargas para aprovechar las potencialidades del programa EVERFE que permite modelar ejes de carga completos actuando sobre la losa de concreto en cualquier posición, también es posible modelar el efecto que tienen ejes de carga actuando simultáneamente sobre la losa, como ejes sencillos, tándem y tridem. Esta característica del software permite al ingeniero de pavimentos realizar una modelación real de vehículos de carga sobre la losa, analizar el cono de esfuerzos al que se somete el pavimento ante las solicitaciones que le realice un vehículo de carga tipo C2 camión de 2 ejes como una volqueta sencilla, tipo C3 camión de 3 ejes como una volqueta doble troque y tipo C3S3 camión articulado de 3 ejes en el cabezote y 3 ejes en el tráiler conocidos comúnmente como tractomula. En este capítulo se realizará un análisis de los conos de esfuerzo que genera el eje simple de un vehículo C2, el eje tándem de un vehículo C3 y el eje tridem de un vehículo C3S3, para este análisis se modelaran las cargas máximas por eje permitidas en Colombia de acuerdo con la Resolución 4100 del 2004 emitida por el Ministerio de Transporte por la cual se adoptan los límites de pesos y dimensiones en los vehículos de transporte terrestre automotor de carga por carretera, para su operación normal en la red vial a nivel nacional. Tabla 147. Peso Máximo por eje Fuente: Resolución 4100 de diciembre 28 de 2004, Ministerio de Transporte.

TIPO DE EJEPESO MAXIMO

POR EJE ( Kg)

SENCILLO

Dos Llantas 6.000

Cuatro Llantas 11.000

TANDEM

Cuatro Llantas 11.000

Seis Llantas 17.000

Ocho Llantas 22.000

TRIDEM

Seis Llantas 16.500

Ocho Llantas 19.000

Diez Llantas 21.500

Doce Llantas 24.000

187

6.1 ESTRUCTURA MULTICAPA Para el análisis de conos de esfuerzos utilizaremos las ventajas de EVERFE para modelar pavimentos multicapa, seleccionando una estructura de valores típicos en sus dimensiones y en la calidad de materiales, que sea representativa de este tipo de estructuras a nivel nacional, sobre la cual se aplican las cargas. La estructura multicapa a modelar está compuesta por una losa simple soportada por una base granular y esta a su vez esta soportada por una subbase granular, toda la estructura descansa sobre una subrasante Winkleriana, las características técnicas del modelo multicapa son las siguientes. Losa de concreto: Ancho de 3.6 m con una longitud de 4.4 m, con una relación des esbeltez longitud – ancho de 1.22 cumpliendo el criterio de la AASTHO, el espesor de la losa será de 20 cm con módulo de 28.000 MPa, (4.000.000 lb/pulg2) y relación de Poisson de 0.15. Base granular: Se tiene una base granular de 20 cm de espesor con un módulo de 200 MPa, (29000 lb/pulg2) y relación de Poisson de 0.35. Subbase granular: Se tiene una base granular de 30 cm de espesor con un módulo de 120 MPa, (17400 lb/pulg2) y relación de Poisson de 0.35. Subrasante: Se considera una subrasante Winkleriana con un módulo de soporte de 0.0554 MPa/mm (200 lb/pulg3). Carga: El análisis de conos de esfuerzo se realizará con el eje doble rueda sencillo, tándem y tridem. La configuración del modelo de la estructura se muestra en las figuras 109, 110 y 111.

188

Figura 109. Configuracion geometrica pavimento multicapa.

Fuente: Autor.

189

Figura 110. Configuracion de caracterisrticas de material.

Fuente: Autor. Figura 111. Configuración de la malla de elementos finitos. Fuente: Autor.

190

6.2 CONO DE ESFUERZOS EJE SENCILLO La carga máxima permitida en Colombia para un eje sencillo de cuatro llantas es de 11 ton (107.8 kN) soportando una carga por rueda de 2.75 t (26.95 kN), considerando una presión de inflado en la llanta típica para los vehículos de carga pesada de 100 Lb/pulg2 (7 Kg/cm2) se tiene un área de contacto de 392.8 cm2, para un ancho de neumático de 22 cm que genera mayores esfuerzos y está acorde a las dimensiones de neumáticos en Colombia la huella de cada rueda tendrá 22 cm de ancho por 17.8 cm de largo. Figura 112. Configuración eje sencillo rueda doble de 11 ton.

Fuente: Autor. 6.2.1 Carga en la esquina de la losa eje sencillo Ubicando el eje sencillo rueda doble en la esquina de la losa como se muestra en La figura 113, EVERFE realiza el análisis de esfuerzos obtenido los siguientes resultados. Para la carga en la esquina de la losa el esfuerzo máximo se presenta en la cara superior de la losa, no se ubica bajo las ruedas del vehículo, pero si al lado de ellas como se ve en la figura 113 el esfuerzo máximo se muestra en color rojo llegando a 1.77 MPa, con una trayectoria diagonal que permite entender por qué la falla por carga en la esquina es una fisura diagonal cercana a la esquina. Figura 113. Esfuerzo cara superior eje sencillo – esquina. Fuente: Autor

191

Aprovechando las potencialidades de EVERFE podemos analizar el estado de esfuerzos en ambas caras de la losa, evidenciando que se presenta otro esfuerzo importante bajo el conjunto de ruedas que queda sobre el interior de la losa, valor que alcanza los 1.61 MPa muy similar al esfuerzo de esquina, como muestra la figura 114. Figura 114. Esfuerzo cara inferior eje sencillo – esquina. Fuente: Autor. EVERFE nos permite ver el cono de esfuerzos de la losa mostrando el estado tensional y las áreas donde se concentran los esfuerzos y cuál es su magnitud, esta información es el input requerido para que el diseñador proponga un refuerzo en acero ubicado estratégicamente para proteger la losa de la falla prematura. El programa nos muestra el valor del esfuerzo en cualquier cara de la losa y en planos intermedios que defina el usuario, lo que nos permite trazar un cono de esfuerzos sobre cualquier eje que se trace sobre la losa, para este análisis se tomó el cono de esfuerzos en la cara superior de la losa donde se presenta el esfuerzo máximo, se trazando un eje transversal en el sentido de las ordenadas (Y) a 916 mm del borde y se tomó la lectura de esfuerzos cada 10 cm a lado y lado del centro de la losa, la figura 115 muestra los resultados.

192

Figura 115. Cono de esfuerzos eje sencillo cara superior. Fuente: Autor. El cono de esfuerzos muestra que el esfuerzo máximo se ubica 1.5 m del centro de la losa, la losa tiene 3.6 m de ancho, o sea a 10 cm del borde, cerca de la esquina, luego su magnitud desciende de una manera proporcional hasta llegar al otro borde de la losa, las fórmulas de esfuerzos nos permiten obtener el valor máximo en el punto, EVERFE nos muestra la trayectoria del esfuerzo en la totalidad de la losa. El cono de esfuerzos nos muestra que la losa presenta un esfuerzo superior a los 1.5 MPa desde los 0.5 m a los 1.8 m del lado derecho de la losa, y del lado izquierdo los esfuerzo se disipan a cerca de 1 MPa desde el centro de la losa hasta el borde, esta condición se aprecia en el mapa de esfuerzos de la figura 116. A partir del cono de esfuerzos se puede concluir que un refuerzo en acero en la cara superior para los 1.5 MPa deberá tener una longitud mínima que cubra entre los 0.5 m a los 1.8 del lado de la losa y que se ubique en un eje transversal a 916 mm del borde para este caso de carga, información que no se puede obtener con las fórmulas de WESTERGAARD. Es interesante ver que otra de las fortalezas de EVERFE es la simulación en tres dimensiones de las deflexiones de la losa debidas al cono de esfuerzo que soporta por la carga, lo que lleva al diseñador a una experiencia 3D de la mecánica de pavimentos rígidos, en la siguen te figura se aprecia la simulación para el eje sencillo ubicado en la esquina de la losa.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000

Esfu

erzo

(kP

a)

Ancho de losa (mm)

Esfuerzo Eje Sencillo (Esquina)

Cara Superior

193

Figura 116. Deflexiones eje sencillo en la esquina. Fuente: Autor. 6.2.2 Carga en el borde de la losa eje sencillo Se realizó el análisis del cono de esfuerzos ubicando el eje sencillo de rueda doble en el borde de la losa, el mapa de esfuerzos obtenido por EVERFE es el siguiente. El esfuerzo máximo por carga de borde de un eje sencillo rueda doble se presenta en la cara inferior al borde de la losa bajo las ruedas del vehículo, para este caso llega a los 2.54 MPa, a diferencia de la carga en la esquina, en este caso no hay más esfuerzos de magnitud similar en la losa. Se obtuvo el cono de esfuerzos trazando un eje transversal por la mitad de la losa, exactamente bajo el eje de carga y se tomaron los valores de esfuerzo cada 10 cm de la cara inferior donde se presenta el esfuerzo máximo. Figura 117. Esfuerzos eje sencillo al borde. Fuente: Autor.

194

Al analizar el cono de esfuerzos se puede apreciar la trayectoria de esfuerzos a la que se somete la losa, el esfuerzo máximo inicia al borde de la losa a 1.8 m del centro y desciende proporcionalmente hasta 0.5 m pasando de 2.54 MPa a 0.7 MPa, luego aumenta bajo el segundo par de ruedas alcanzando 1,5 Mpa para finalmente descender proporcionalmente a 0.5 MPa al otro borde de la losa. El cono de esfuerzos nos muestra en que sector de la losa se presentan los mayores esfuerzos, y que estos no son constantes, cambian de magnitud a través del pavimento, se puede determinar por parte de este análisis que un refuerzo en acero para 1.5 MPa estaría ubicado en dos segmentos de la losa, el primero al borde de 1.2 a 1.8 m del centro y el segundo bajo el otro conjunto de ruedas entre los 0.25 a 0.6m del centro de la losa a diferencia de la carga en la esquina que requiere solo un segmento de refuerzo. Se entiende más claramente la mecánica del pavimento al aparecer fisuras en la cara inferior de la losa por carga en el borde, y por el trazado del cono de esfuerzos se esperaría que la falla se presente en un tramo corto al borde de la losa puesto que el esfuerzo disminuye bastante al alejarse del borde. También podemos deducir del cono de esfuerzos que puede presentarse fisuras cerca al centro de la losa bajo el otro par de ruedas ya que los esfuerzos aumentan en este punto. Figura 118. Cono de esfuerzos eje sencillo borde. Fuente: Autor.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000

Esfu

erzo

(kP

a)

Ancho de losa (mm)

Esfuerzos Eje Sencillo (Borde)

Cara Inferior

195

La simulación 3D muestra los dobleces que sufre la losa por efecto de la trayectoria de esfuerzos que soporta, concluyendo que las fisuras por este tipo de carga se presentan en dirección transversal a la losa. Figura 119. Deflexiones eje sencillo en el borde.

Fuente: Autor. 6.2.3 Carga en el interior de la losa eje sencillo En la modelación de esfuerzos sobre la losa se ubica el eje sencillo rueda doble en el centro de la losa, que es la posición más común de los que usan los vehículos de carga, EVERFE muestra los siguientes resultados. El esfuerzo máximo generado por el eje sencillo de rueda doble en el centro de la losa se presenta en la cara inferior de la losa y se ubica bajo las ruedas, la figura 120 muestra que alcanza un valor de 1.66 MPa. Se trazó un eje transversal en la cara inferior de la losa donde se presenta el esfuerzo máximo ubicado debajo de las ruedas del eje de carga, se tomaron las lecturas de esfuerzo cada 10 cm a lado y lado del centro de la losa obteniendo el siguiente cono de esfuerzos. El esfuerzo máximo de 1.66 MPa se presenta en dos áreas puntuales de la losa, exactamente bajo las ruedas del eje de carga, la figura 120 muestra que el valor mínimo de esfuerzo se da en el centro de la losa y en los bordes, la trayectoria del esfuerzo inicia al borde de la losa en 1.8m con 0.9 MPa y aumenta proporcionalmente a medida que se acerca al punto de carga de las ruedas llegando a 1.66 MPa en 1.2 m se mantiene constante en pequeño tramo de la losa y luego vuelve a descender al llegar a la mitad a un valor de 0.8 MPa.

196

Figura 120. Esfuerzos eje sencillo al centro. Fuente: Autor. La figura 121 permite determinar los puntos críticos donde se podría ubicar algún tipo de refuerzo en acero para proteger la losa de fallas o fisuras, en este caso, estaría ubicado de 0,75 a 1,25 m a cada lado de la losa, los sectores del borde de la losa y el centro de la losa presentan esfuerzos de mayores magnitudes. Al igual que los otros casos de carga analizados, el cono de esfuerzos calculado muestra que la magnitud de los esfuerzos varía a través de la losa, siendo importantes en las áreas bajo las ruedas y siendo mínimos en los otros sectores de la losa. Comparando los esfuerzos máximos de los tres casos de carga la cara más solicitada es la parte inferior de la losa con 1.61 MPa por carga en la esquina, 2.54 MPa por carga en el borde y 1.66 MPa por carga en el centro de la losa, particularmente la cara superior de la losa es exigida en la posición de carga en la esquina con 1.77 MPa, el esfuerzo máximo se presenta para la carga de borde y los demás presentan valore similares, de acuerdo con los conos de esfuerzo la carga en la esquina requiere una mayor área de refuerzo en la cara superior a diferencia de los otros esfuerzos que se presentan en sectores más pequeños bajo las ruedas de carga.

197

Figura 121. Cono de esfuerzos eje sencillo interior. Fuente: Autor. 6.3 CONO DE ESFUERZOS EJE TANDEM La carga máxima permitida en Colombia para un eje tándem de ocho llantas es de 22 ton (215.75 kN) soportando una carga por rueda de 2.75 ton (26,95 kN), con una presión de inflado de 100 psi (7 Kg/cm2) se tiene un área de contacto de 392.8 cm2, para un ancho de neumático de 22 cm la huella de cada rueda tendrá 22 cm de ancho por 17.8 cm de largo, similar al área de contacto del eje sencillo de doble rueda.

Figura 122. Configuración eje tándem rueda doble de 22 ton.

Fuente: Autor.

0

500

1000

1500

2000

2500

-2000 -1000 0 1000 2000

Esfu

erzo

(kP

a)

Ancho de losa (mm)

Esfuerzos Eje Sencillo (Interior)

Cara Inferior

198

6.3.1 Carga en la esquina de la losa eje TANDEM Se modela el eje tándem con una carga total de 22 toneladas compuesto por dos ejes de doble rueda, esta configuración de carga se encuentra en la pestaña “Dual Wheel tándem” de EVERFE y se ubica el eje en la esquina de la losa como se muestra en la figura 123.

Figura 123. Eje Tándem en la esquina. Fuente: Autor. La modelación por el método de elementos finitos nos muestra los siguientes resultados. La figura 124 nos muestra que el esfuerzo máximo por carga en la esquina del eje tándem se presenta en la cara superior de la losa bajo el conjunto de ruedas que se ubica cerca al centro de la losa, para el caos de análisis alcanza un valor de 1.72 MPa, es de notar que para esta caso de carga en la esquina el esfuerzo máximo se ubica en la cara inferior de la losa rompiendo con la generalidad que el esfuerzo máximo para este tipo de carga se da en la cara superior.

199

Figura 124. Esfuerzos eje tándem esquina. Fuente: Autor. Al igual que la carga de esquina para el eje sencillo, se presentan esfuerzos similares en ambas caras de la losa, los estados tensionales para la cara superior son los siguientes. El valor de esfuerzo en la cara superior es muy similar al esfuerzo máximo llegando a 1.68 MPa, se puede apreciar en la gráfica que se ubica al borde de la losa y se extiende por un sector considerable, se puede predecir el trazado de una falla de esquina en la losa para este tipo de eje que formaría un triángulo que tendría un lado más largo que el otro, sobre el eje la de carga tendría el lado más largo sentido (X) y entre ejes seria el lado más corto sentido (Y), a diferencia de la falla de esquina por eje sencillo que formaría un triángulo más simétrico. Observando los valores de los esfuerzos máximos en la cara inferior y la cara superior para el eje tándem son de 1.72 Mpa y 1.68 Mpa respectivamente y para el eje sencillo son 1.62 MPa y 1.67 respectivamente, se observa que son similares en magnitud sin presentar mayor diferencia, lo que indica que no incide en los esfuerzos de esquina la presencia de una segunda línea de ruedas.

200

Figura 125. Esfuerzos eje tándem en la esquina cara superior. Fuente: Autor. Trazando una línea bajo cada eje de ruedas, tomamos los valores de esfuerzos cada 10 cm a lo ancho de la losa se construye el cono de esfuerzos que soporta la losa en la cara inferior bajo cada eje se ruedas, el cono de esfuerzos se muestra en la figura 126. El eje1 de color azul, corresponde al ubicado en el borde de la losa, el cono de esfuerzos muestra que el máximo esfuerzo es puntual bajo la rueda externa del eje alcanzando los 1.72 Mpa en los -0.6 m del lado izquierdo de la losa a partir del centro, luego desciende un poco a los 1.5 Mpa a partir de los -0.5 m y descendiendo a un valor casi nulo al centro de la losa, al lado derecho de la losa continua con un magnitud despreciable. El cono de esfuerzos nos muestra la ubicación más adecuada de un refuerzo en acero para proteger a la losa, en este caso un refuerzo para los 1.5 MPa se deberá ubicar en la cara inferior, entre los 0.25 a 0.75 m al lado izquierdo de la losa. El eje 2 de color rojo genera un cono de esfuerzos similar al eje 1, alcanzando un valor máximo de 1 MPa bajo la rueda externa, luego se disipa hacia el centro de la losa llegando a cero y a partir de 1.0 m asciende nuevamente a 1 MPa hacia el borde de la losa, los picos de esfuerzo se encuentran bajo las dos ruedas y son muy puntuales.

201

Figura 126. Cono de esfuerzos eje tándem esquina. Fuente: Autor. 6.3.2 Carga en el borde de la losa eje TANDEM Se modela eje tándem ubicado esta vez en el borde de la losa EVERFE nos permite ver el estado tensional de la losa ante las cargar simultaneas de las dos líneas de ruedas. El esfuerzo máximo para la carga de borde del eje tándem se presenta en la cara inferior de la losa, en el borde, bajo las ruedas que aplican la carga, en este caso alcanza un valor de 2.05 MPa, inferior al presentado por el eje sencillo que es de 2.5 MPa.

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000

Esfu

erzo

(kP

a)

Ancho de losa (mm)

Esfuerzos Eje Tándem (Esquina)

Eje 01 Eje 02

202

Figura 127. Esfuerzos en el borde de la losa, eje tándem.

Fuente: Autor. El cono de esfuerzos muestra el esfuerzo máximo al borde de la losa con un valor de 2.05 Mpa en los 1.8 m, luego desciende proporcionalmente hacia el centro de la losa a un valor de 0.7 MPa en los 0.7 m, y vuelve a ascender a los -0.7 m para alcanzar un valor pico de 1.4 MPa bajo las dos ruedas ubicadas a -0.5 m del centro de la losa, luego desciende a 0.5 MPa a los -1.8 m en el borde izquierdo de la losa. Este cono de esfuerzos es idéntico para ambos ejes de ruedas y en la cara inferior de la losa, se puede apreciar que un refuerzo para los 1.5 MPa se ubicaría de los 1.25 m a los 1.8 m al borde de la losa, se muestra que los esfuerzos no llegan a cero, el mínimo es de 0.5 MPa los picos de esfuerzos no son puntuales. El esfuerzo máximo para el eje tándem es de 2.05 MPa y para el eje sencillo de 2.5 MPa lo que indica que la carga simultanea de otra línea de ruedas tiende a disminuir el esfuerzo de borde en este caso porque ningún eje se ubica exactamente al centro de la losa sino a una distancia equidistante del mismo, a medida que un eje se coloque en el centro causara mayores esfuerzos.

203

Figura 128. Cono de esfuerzos eje tándem borde. Fuente: Autor. 6.3.3 Carga en el interior de la losa eje TANDEM El eje tándem se modelo ubicado simétricamente a interior de la losa como muestra La figura 129, esta posición simula un vehículo transitando por el centro del carril que sería la condición que mayor se presenta en las vías. La carga máxima para el eje tándem ubicado en el interior de la losa se presenta en la cara inferior y se ubica bajo el conjunto de ruedas, alcanza un valor máximo de 1.41 MPa, los estados tensionales se distribuyen en el tercio central de la losa. Figura 129. Esfuerzos en el interior de la losa, eje tándem. Fuente: Autor.

0

500

1000

1500

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2500

3000

-2000 -1000 0 1000 2000

Esfu

erzo

(kP

a)

Ancho de losa (mm)

Esfuerzos Eje Tándem (Borde)

Eje 01 y Eje 02

204

Para obtener el cono de esfuerzos se traza un eje transversal a la losa bajo la línea de ruedas y se toman los valores de esfuerzo cada 10 cm a lo ancho de la losa, como los ejes de ruedas están ubicados simétricamente tanto a lo largo como a lo ancho los conos de esfuerzos son idénticos. La figura 130 muestra que los esfuerzos máximos se presentan bajo las ruedas y disminuyen de manera proporcional hacia el centro y los bordes de la losa, iniciando al borde con un valor de 0.8 MPa y llegando a 1.41 MPa bajo las ruedas en 1.25 m, se mantiene el esfuerzo máximo hasta 0.9 m y luego desciende a 0.6 MPa al centro de la losa. El cono de esfuerzos es similar al cono para el eje sencillo, presenta valores un poco inferiores ya que ningún eje de ruedas se ubica exactamente en la línea central de la losa, se aprecia en que sectores de la losa se presentan los esfuerzos máximos y como se disipan a lo ancho, mostrando que no son puntuales, se mantienen constantes en un área considerable similar al ancho del conjunto de las ruedas. Figura 130. Cono de esfuerzos eje tándem interior. Fuente: Autor. La modelación tridimensional que realiza EVERFE nos permite visualizar la reacción de la losa ante los estados tensionales que genera el eje tándem, en la figura 131 se aprecia la curvatura convexa de la losa lo que nos permite confirmar donde actúan los esfuerzos de tensión y compresión del pavimento, se esperaría una falla que se manifieste con fisuras transversales a la losa en la cara inferior, para este tipo de esfuerzos.

0

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-2000 -1000 0 1000 2000

Esfu

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a)

Ancho de losa (mm)

Esfuerzos Eje Tándem (Interior)

Eje 01 y Eje 02

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Figura 131. Deflexiones por carga en el interior, eje tándem.

Fuente: Autor. 6.4 CONO DE ESFUERZOS EJE TRIDEM La carga máxima permitida en Colombia para un eje tridem de doce llantas es de 24 ton (235.36 kN) soportando una carga por rueda de 2.0 ton (19.6 kN), con una presión de inflado de 100 psi (7 Kg/cm2) se tiene un área de contacto de 285.7 cm2, para un ancho de neumático de 22 cm la huella de cada rueda tendrá 22 cm de ancho por 13 cm de largo, un área de contacto menor a la del eje sencillo y eje tándem ya que el eje trídem soporta una carga inferior por cada rueda. Figura 132. Configuración eje tridem doble rueda de 24 ton. Fuente: Autor

206

6.4.1 Carga en la esquina de la losa eje TRIDEM EVERFE no tiene la configuración para modelar un eje tridem como si la tienen para el eje tándem, por lo cual se puede configurar una representación del eje tridem usando tres ejes sencillos de rueda doble o usando un eje tándem más un eje sencillo como se configuro para este análisis, las figuras 133 y 134 muestran la configuración del eje tridem de 24 toneladas colocado en la esquina de la losa. Figura 133. Configuración de eje tridem usando un eje tándem.

Fuente: Autor.

207

Figura 134. Configuración de eje tridem usando un eje sencillo.

Fuente: Autor. Se modela el eje tridem en la esquina de la losa donde EVERFE mediante su análisis de elementos finitos nos ofrece los siguientes resultados. Para el caso de carga en la esquina de la losa causada por un eje tridem de 24 toneladas, el esfuerzo máximo se presenta en la cara inferior de la losa bajo el conjunto de llantas que se encuentra al borde de la losa y al centro de la misma como muestra la figura 135, con un valor de 1.33 MPa, la ubicación del esfuerzo máximo es similar para el eje tándem, en la figura 136 se identifica otro esfuerzo en la cara inferior que se ubica en el tercer eje bajo las ruedas que están al borde de la losa, alcanzando un valor de 1.1 MPa, esto se debe a que el tercer eje actuaria de forma similar a un eje sencillo ubicado al borde de la losa.

208

Figura 135. Esfuerzos en la esquina de la losa, eje tridem. Fuente: Autor. Al conocer los estados tensionales de la losa se muestra que tiene esfuerzos similares en la cara superior de la losa, igual que los casos de eje sencillo y eje tándem, como muestra la figura 136. El esfuerzo de la cara superior es de 1.26 MPa ligeramente inferior al esfuerzo máximo, se puede concluir que para todo eje de carga que actué en la esquina de la losa ya sea eje sencillo, tándem y tridem se presentan esfuerzos similares e importantes en ambas caras, el esfuerzo de la cara superior se ubica cerca de la esquina a un lado del conjunto de ruedas y el esfuerzo de la cara inferior se da bajo el conjunto de ruedas que se ubica al borde y al centro de la losa. El esfuerzo de la cara superior nos muestra la posible ubicación de la falla, donde se forma un triángulo con la esquina de la losa, teniendo un lado largo en el sentido (X) y un lado corte en el sentido (Y), igualmente se muestra que el esfuerzo máximo llega a ambos bordes de la losa sin tocar el área de las ruedas.

209

Figura 136. Esfuerzos en la esquina de la losa, eje tridem, cara superior. Fuente: Autor. Para dibujar el cono de esfuerzos se trazaron tres líneas una por cada eje tomando los valores de esfuerzos en la cara inferior de la losa, los resultados se muestran a continuación. El cono de esfuerzos permite ver que estos son puntuales y están ubicados bajo el conjunto de ruedas que aplican la carga, para el eje uno su valor máximo de 1.33 MPa se ubica de los -0.3 m a los -0.7 m al lado izquierdo de la losa, luego descienden tendiendo a cero al borde izquierdo y ligeramente superior al lado derecho de la losa alcanzando los 0.5 MPa en los 1.8 m. Para el eje dos el mayor esfuerzo de ubica bajo las ruedas, alcanzando los 0.7 MPa y manteniendo un comportamiento similar al eje uno, se disipa a cero al lado izquierdo de la losa y al borde derecho alcanza los 0.5 MPa. El eje de carga número tres presenta su mayor esfuerzo al borde de la losa de 1.1 MPa, luego desciende proporcionalmente a 0.3 MPa a los 0.5 m del centro de la losa, luego vuelve a aumentar proporcionalmente hasta ubicarse bajo el conjunto de ruedas al interior de la losa con un valor de 0.7 MPa a los -0.5 m lado izquierdo de la losa, similar al eje dos, finalmente desciende proporcionalmente hacia el borde de la losa con un valor de 0.2 MPa. El eje uno y dos presentas esfuerzos en áreas más puntúales, a diferencia del eje tres que tiene mayor área de influencia en su cono de esfuerzos, a medida que el eje de carga se acerca a la esquina los esfuerzos en el borde de la losa disminuyen y aumentan los esfuerzos bajo el conjunto de ruedas que esta al interior.

210

Figura 137. Cono de esfuerzos eje tridem, esquina. Fuente: Autor. EVERFE a través de la modelación tridimensional permite ver al diseñador el comportamiento de la losa ante los conos de esfuerzo que soporta por cada eje de ruedas como muestra la siguiente figura. El eje uno genera dos dobleces en la losa, uno en la esquina y otro bajo el conjunto de dos ruedas, el eje tres dobla la losa en el borde causando esfuerzos importantes, la ubicación esperada de la falla seria en la cara superior esquina de manera diagonal y en la cara inferior en ambos bordes de la losa, una transversal y la otra longitudinal. Figura 138. Deflexiones por carga en la esquina, eje tridem.

Fuente: Autor. 6.4.2 Carga en el borde de la losa eje TRIDEM En esta modelación se ubica el eje tridem de 24 toneladas al borde de la losa como se muestra en la figura 139, los resultados obtenidos por EVERFE son los siguientes.

-500

0

500

1000

1500

2000

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000

Esfu

erzo

(kP

a)

Ancho de losa (mm)

Esfuerzos Eje Tridem (Esquina)

Eje 01 Eje 02 Eje 03

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0

500

1000

1500

2000

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000

Esfu

erzo

(kP

a)

Ancho de losa (mm)

Esfuerzos Eje Tridem (Esquina)

Eje 01 Eje 02 Eje 03

211

El esfuerzo máximo por carga en el borde de la losa para el eje tridem se ubica en la cara inferior al borde de la losa bajo las ruedas de carga de los ejes externos uno y tres en este caso y alcanza un valor de 1.41 MPa, el esfuerzo del eje central llega a 1.25 MPa, ligeramente inferior, los esfuerzos de borde para este eje son inferiores a los generados por el eje sencillo y el eje tándem que son 2.5 MPa y 2.05 MPa respectivamente, esto debido a que las cargas de los ejes anteriores eran de 11 toneladas por eje, y en el eje tridem son de 8 toneladas por eje. Figura 139. Esfuerzos en el borde de la losa, eje tridem. Fuente: Autor. Se dibuja el cono de esfuerzos generado por cada uno de los tres ejes de carga, considerando que la posición del eje uno y eje tres son simétricas tienen el mismo cono de esfuerzos, como muestra la figura 140. El cono de esfuerzos del eje tridem presenta una curva similar a la de los ejes sencillo y tándem para carga de borde, el esfuerzo mayo se da en el borde de la losa a 1.8 m lado derecho para los ejes 1 y 3, luego desciende proporcionalmente a 0.4 MPa en 0.5 m, continúa elevándose nuevamente hasta 1 MPa bajo el conjunto de ruedas a -0.5 m, finalmente desciende a 0,2 MPa al borde de la losa. Para el eje dos que se ubica exactamente en la mita de la losa la trayectoria del cono de esfuerzos es muy similar con una reducción leve en la magnitud de los esfuerzos, el cono de esfuerzos nos ratifica y permite ver que el refuerzo en acero para este tipo de carga va al borde de la losa y bajo el conjunto de dos ruedas. Mientras se respeten los límites de carga cada eje que hace parte de la configuración tridem soporta una carga de 8 toneladas, a diferencia del eje sencillo y tándem donde

212

cada eje soporta 11 toneladas, en este caso el eje tridem es el que menos daño causa a la losa, generando menores esfuerzos y deflexiones. Figura 140. Cono de esfuerzos eje tridem, borde. Fuente: Autor. 6.4.3 Carga en el interior de la losa eje TRIDEM El eje tridem en el centro de la losa representa la posición más usada por los vehículos de carga articulados los resultados obtenidos mediante el análisis de elementos finitos de EVERFE son los siguientes. El esfuerzo máximo para carga en el centro de la losa de un eje tridem se presenta en la cara inferior bajo las ruedas de carga alcanzando los 0.97 MPa, los ejes externos 1 y 3 generan esfuerzos ligeramente superiores a los del eje interno, considerando el esfuerzo similar del eje sencillo de 1.66 MPa y del eje tándem de 1.41 MPa, este esfuerzo de 0.97 MPa es bastante menor ya que cada línea de ruedas soporta 8 toneladas a diferencia de los otros ejes que soporta 11 toneladas.

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500

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-2000 -1000 0 1000 2000

Esfu

erzo

(kP

a)

Ancho de losa (mm)

Esfuerzos Eje Tridem (Borde)

Eje 01 y Eje 03 Eje 02

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Figura 141. Esfuerzos en el interior de la losa, eje tridem. Fuente: Autor. El cono de esfuerzos se obtiene trazando ejes debajo de cada línea de ruedas y midiendo los esfuerzos cada 10 cm a lo ancho de la losa como se puede ver en la figura 142. El cono de esfuerzos es el mismo para el eje 1 y eje 3 ya que están colocados simétricamente tanto a lo largo como a lo ancho de la losa, el eje 2 está ubicado exactamente en el centro de la losa generando esfuerzos ligeramente inferiores a los de los ejes externos. El cono de esfuerzos de eje uno muestra un valor de 0.43 MPa al borde de la losa a 1.8 m del centro, luego aumenta proporcionalmente hasta llegar a 0.97 MPa en 1.2 m y manteniendo un valor constante hasta los 0.9 m, luego desciende alcanzando su valor mínimo en el centro de la losa de 0.34 MPa, la trayectoria del cono de esfuerzos para el eje 2 es similar con esfuerzos ligeréame inferiores. La figura 142 muestra la trayectoria de esfuerzos que soporta la losa de borde a borde, los esfuerzos máximos bajo el conjunto de ruedas no son puntuales, y se van disipando proporcionalmente, el cono de esfuerzos nos permite identificar las áreas donde requiere el refuerzo la losa para mitigar las fallas por este tipo de carga.

214

Figura 142. Cono de esfuerzos eje tridem, interior. Fuente: Autor. La modelación en 3D de EVERFE nos muestra los dobleces que sufre la losa la soportar el cono de esfuerzos generado por el eje de carga y nos aclara más la mecánica del pavimento. Por la carga en el interior la losa forma una curvatura cóncava lo que nos sugiere que si se presentan fallas por este tipo de carga se manifestaran con fisuras transversales a la losa y ubicadas bajo cada grupo de 2 ruedas que soporta la losa. Figura 143. Deflexiones por carga en el interior, eje tridem.

Fuente: Autor.

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500

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(kP

a)

Ancho de losa (mm)

Esfuerzos Eje Tridem (Interior)

Eje 01 y Eje 03 Eje 02

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7 ESFUERZOS Y DEFLEXIONES CRÍTICOS PARA EL SEMIEJE SENCILLO DE RUEDA DOBLE

El programa EVERFE permite realizar un análisis detallado de la mecánica del pavimento rígido mostrando la trayectoria de esfuerzos y deformaciones a través de la losa de concreto, también es posible representar las cargas de los vehículos de una forma más real mediante una rueda simple, un eje sencillo y un tándem, otra característica muy útil es que se pueden colocar las cargas en cualquier lugar de la losa para analizar distintas solicitaciones que soporta la losa en situaciones reales. En este capítulo se realizará un análisis de la mecánica de un pavimento con estructura bicapa, tricapa y cuatricapa ante las solicitaciones de un semieje sencillo de rueda doble, mostrando la trayectoria de esfuerzos y deformaciones que tiene la losa de concreto y determinando cual es la posición en la que el conjunto de dos ruedas induce el mayor esfuerzo y deflexión al pavimento. 7.1 ESTRUCTURA BICAPA La estructura bicapa está compuesta por una losa simple soportada por una base granular, la cual se apoya sobre una subrasante Winkleriana, las características son las siguientes. Losa de concreto: Ancho de 3.6 m con una longitud de 4.4 m, con una relación des esbeltez longitud – ancho de 1.22 cumpliendo el criterio de la AASHTO, el espesor de la losa será de 20 cm con módulo de 28.000 MPa, (4.000.000 lb/pulg2) y relación de Poisson de 0.15. Base granular: Se tiene una base granular de 20 cm de espesor con un módulo de 200 MPa, (29000 lb/pulg2) y relación de Poisson de 0.35. Subrasante: Se considera una subrasante Winkleriana con un módulo de soporte de 0.0554 MPa/mm (200 lb/pulg3). Carga: El análisis de esfuerzos y deflexiones se realizará con el eje equivalente de 8.2 ton (80 Kn), se simulará la carga correspondiente de un set de dos ruedas el cual soporta 40 Kn. Área de contacto: para representar un set de 2 ruedas del eje equivalente se modelan dos áreas rectangulares, cada una con un ancho de la rueda de 220 mm y una longitud de huella de 117 mm, considerando que cada tiene un índice de carga de 4000 Lb para una velocidad de operación de 80 km/h con una presión de inflado de 100 lb/pulg2 (7 kg/cm2). Se modela una separación entre centros de rueda de 14 pulg (356 mm), como se muestra en la figura 144.

216

Figura 144. Área de contacto semieje sencillo rueda doble. Fuente: autor Posición de la carga: para determinar la posición de la carga que genera el mayor esfuerzo y deflexión se modelan todas las posiciones que puede tener el semieje de rueda doble dentro de la losa, por simetría solo se requiere modelar las cargas de una cuarto de losa, en esta investigación se modelan 21 posiciones de carga, 7 sobre el eje central de la losa, 7 sobre el eje de un cuarto de losa y 7 sobre el borde de la losa como se indica en la figura 145. Figura 145. Ubicación de cargas a modelar. Fuente: Autor. 7.1.1 Esfuerzos estructura bicapa Como resultado de la modelación de las 21 posiciones de carga que representan el paso de un semieje sencillo de rueda doble se obtienen los siguientes resultados.

217

Este análisis de la mecánica del pavimento realizado con el programa EVERFE muestran que los mayores esfuerzos son generados por la carga que se ubica al borde de la losa en el lado más largo, en este caso la posición 7 con 1908 KPa. Se aprecia que al igual que las fórmulas de WESTERGAARD para esfuerzos y deformaciones en losas de concreto, la carga que genera los mayores esfuerzos es la que se ubica en el borde de la losa. Analizando la trayectoria de esfuerzos para el borde de la losa que se muestra en La figura 146, EVERFE muestra que los mayores esfuerzos los genera el tránsito de la carga cuando se ubica al borde de la losa, ya sea en el lado largo o el lado corto de la misma, en este caso las posiciones de la columna 1 y las posiciones del borde de la losa de la 1 a la 7. Es de resaltar que el valor del esfuerzo máximo en la carga de borde de la posición 7 de 1908 KPa es ligeramente mayor a los esfuerzos de las posiciones de borde 4, 5 y 6 con 1785, 1873 y 1902 KPa respectivamente, lo que nos indica que el esfuerzo máximo de borde que se da justamente a la mitad del lado largo de la losa se mantiene casi constante en otras posiciones mientras se aleja de la mitad, este esfuerzo critico se genera a partir de la mitad hasta un cuarto de la losa iniciando en la posición 7 y se mantienen en las posiciones 6, 5 y 4. Tabla 148. Esfuerzos set de dos ruedas estructura bicapa. Fuente: Autor.

POSICION 1 2 3 4 5 6 7

Centro 1786 1114 955 1046 1099 1116 1118

Cuarto 1647 1032 948 1081 1141 1158 1160

Borde 1587 1168 1583 1785 1873 1902 1908

Esfuerzos set de dos ruedas estructura bicapa ( Kpa)

218

Figura 146. Esfuerzos set de dos ruedas.

Fuente: Autor. Se puede concluir que el esfuerzo crítico por carga en el borde no se genera en un área puntual, sino que se presenta durante un tramo central de la losa, en este caso en un 50% de la longitud de la losa. Los esfuerzos generados en el centro de la losa y en cuarto de la losa son muy similares y a la vez son menores a los de las cargas de borde en un 60 a 70%, lo que los define como esfuerzos no críticos en este análisis, estos esfuerzos mantienen un valor muy similar en las posiciones de la 2 a la 7, lo que muestra que los esfuerzos generados por cargas en el interior de la losa y cargas en el cuarto de losa se mantienen constantes en una longitud del 80% de la losa. Estos esfuerzos menores aumentan su valor acercándose al esfuerzo critico cuando la carga se ubica al borde de la losa en su lado corto, en este caso la posición 1, lo que ratifica que los esfuerzos críticos en una losa de concreto se presentan en toda carga que se encuentre al borde de la losa. Se observa en la modelación de la estructura que el esfuerzo máximo para cada posición de carga se genera debajo del set de dos ruedas y en la parte inferior de la losa de concreto, con excepción de la carga ubicada en la esquina de la los donde el esfuerzo se ubica distanciado del set de dos ruedas y se genera en la parte superior de la losa.

0

500

1,000

1,500

2,000

2,500

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Esfu

erzo

(kP

a)

Posicion en la losa

Esfuerzos set de dos ruedas

(Estructura Bicapa)

Centro Cuarto Borde

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7.1.2 Deflexiones estructura bicapa La deflexión máxima se presenta exactamente en la esquina de la losa con un valor de 1.282 mm para este caso y se da cuando el set de dos ruedas está ubicado en toda la esquina de la losa, las cargas ubicadas en el borde de la losa generan las mayores deflexiones como se muestra en la tabla 149. Al igual que las fórmulas de WESTERGAARD, la deflexión máxima que presenta una losa se da para la carga de esquina. Las cargas de borde presentan un valor de deflexión similar desde la posición 7 a la posición 3, esta deflexión se presenta bajo las ruedas del vehículo, a diferencia de la deflexión para las posiciones 2 y 1 donde la deflexión máxima se presenta en toda la esquina de la losa. Algo similar pasa con las cargas ubicadas en el centro y en el cuarto de la losa, que mantienen valores de deflexión similares para las posiciones de la 7 a la 3 y la máxima deflexión se genera bajo la carga de las dos ruedas, pero para las posiciones 2 y 1 la máxima deflexión se ubica en el borde de la losa y no bajo la carga del set de ruedas. El valor de las deflexiones medidas para las cargas del centro y el cuarto de losa son muy similares en su magnitud y son inferiores en un 60 a 70% de las medidas para las cargas de borde, un porcentaje proporcional al que tienen los esfuerzos generados para los mismos casos de carga. Es de notar que a diferencia de los esfuerzos máximos causados por las cargas que siempre se ubican bajo el set de dos ruedas, con las deflexiones no se mantiene esta regla para la totalidad de la losa, ya que las cargas de borde que se acercan a una esquina de la losa a una distancia igual o inferior 15% de la longitud de la losa generan la máxima deflexión en la esquina de la losa sin que la carga este ubicada exactamente sobre este punto, como sucede para este caso bicapa en las posiciones 2 y 3. Igualmente pasa para las cargas de centro y de cuarto de la losa, en las posiciones 2 y 3 la deflexión máxima no se genera bajo el set de ruedas, esta se genera al borde de la losa. Tabla 149. Deflexiones de dos ruedas estructura bicapa. Fuente: Autor.

POSICION 1 2 3 4 5 6 7

CENTRO 0.690 0.518 0.380 0.338 0.331 0.330 0.330

CUARTO 0.747 0.553 0.402 0.353 0.344 0.344 0.344

BORDE 1.282 0.966 0.701 0.615 0.590 0.580 0.578

Deflexiones set de dos ruedas estructura bicapa ( mm )

220

Figura 147. Deflexiones set de dos ruedas.

Fuente: Autor. 7.2 ESTRUCTURA TRICAPA La estructura tricapa está compuesta por una losa simple soportada por una base granular y una subbase granular, el conjunto descansa sobre una subrasante Winkleriana, las características son las siguientes. Losa de concreto: Ancho de 3.6 m con una longitud de 4.4 m, con una relación des esbeltez longitud – ancho de 1.22 cumpliendo el criterio de la AASHTO, el espesor de la losa será de 20 cm con módulo de 28000 MPa, (4000000 lb/pulg2) y relación de pisón de 0.15. Base granular: Se tiene una base granular de 20 cm de espesor con un módulo de 200 MPa, (29000 lb/pulg2) y relación de Poisson de 0.35. Subbase granular: Se tiene una subbase granular de 30 cm de espesor con un módulo de 120 MPa, (17400 lb/pulg2) y relación de Poisson de 0.35 Subrasante: Se considera una subrasante Winkleriana con un módulo de soporte de 0.0554 MPa/mm (200 lb/pulg3).

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Def

lexi

on

(m

m)

Posicion en la losa

Deflexiones set de dos ruedas (Estructura Bicapa)

Centro Cuarto Borde

221

Carga: El análisis de esfuerzos y deflexiones se realizará con el eje equivalente de 8.2 ton (80 KN), se simulará la carga correspondiente de un set de dos ruedas el cual soporta 40 KN. Área de contacto: para representar un set de 2 ruedas del eje equivalente se modelan dos áreas rectangulares, cada una con un ancho de la rueda de 220 mm y una longitud de huella de 117 mm, considerando que cada rueda tienen un índice de carga de 4000 Lb para una velocidad de operación de 80 km/h con una presión de inflado de 100 lb/pulg2 (7 kg/cm2). Se modela una separación entre centros de rueda de 14 pulg (356 mm), como se muestra en la figura 148. Figura 148. Área de contacto semieje sencillo rueda doble. Fuente: Autor. Posición de la carga: para determinar la posición de la carga que genera el mayor esfuerzo y deflexión se modelan todas las posiciones que puede tener el semieje de rueda doble dentro de la losa, por simetría solo se requiere modelar las cargas de una cuarto de losa, en esta investigación se modelan 21 posiciones de carga, 7 sobre el eje central de la losa, 7 sobre el eje de un cuarto de losa y 7 sobre el borde de la losa como se indica en la figura 149.

222

Figura 149. Ubicación de cargas a modelar. Fuente: Autor. 7.2.1 Esfuerzos estructura tricapa Para el cálculo de los esfuerzos de la estructura triaca se modelaron las 21 posiciones de carga similares a las estudiadas en el caso bicapa que representan las posiciones que puede tomar el set de dos ruedas sobre la losa, los resultados obtenidos se muestran en la tabla 150. La figura de trayectoria de esfuerzo 150 y la tabla de resultados 150 muestran que el esfuerzo máximo es generado por la carga que se ubica en el borde de la losa en el lado más largo, en este caso la posición 7 con 1857 KPa, respecto a la magnitud del esfuerzo es similar a la del caso bicapa, mostrando que la adición de una capa de 300 cm de subbase granular tiene un efecto casi nulo en la reducción de esfuerzos. Al igual que la metodología de WESTERGAARD para esfuerzos y deformaciones en losas de concreto, la carga que genera los mayores esfuerzos es la que se ubica en el borde de la losa. La trayectoria de esfuerzos para el borde de la losa en la estructura tricapa que se muestra en la figura 150 nos indica que los mayores esfuerzos son generados por la secuencia de cargas que se ubican sobre el borde de la losa, tanto en el lado largo como en el lado corto de la losa, para el modelo tricapa corresponde a las posiciones de la

223

columna 1 y las posiciones del borde de la losa de la 1 a la 7, caso similar con el modelo bicapa. La magnitud del esfuerzo máximo en la carga de borde de la posición 7 de 1857 KPa es similar y ligeramente mayor a los esfuerzos de las posiciones de borde 4, 5 y 6 con 1785, 1873 y 1902 KPa respectivamente, lo que nos indica que el esfuerzo máximo de borde que se da justamente a la mitad del lado largo de la losa se mantiene casi igual en otras posiciones mientras se aleja de la mitad, este esfuerzo critico se genera a partir de la mitad hasta un cuarto de la losa iniciando en la posición 7 y se mantienen en las posiciones 6, 5 y 4. Al igual que en el modelo bicapa, para el modelo tricapa también podemos concluir que el esfuerzo crítico por carga en el borde no se genera en un área puntual, sino que se presenta durante un tramo central correspondiente a un 50% de la longitud de la losa. Tabla 150. Esfuerzos set de dos ruedas estructura tricapa. Fuente: Autor. La figura 150 muestra que los esfuerzos generados por las cargas en el centro de la losa y en cuarto de la losa son muy similares y a la vez son inferiores a los esfuerzos de las cargas de borde en un 60 a 70%, por lo cual no son esfuerzos críticos, estos esfuerzos mantienen un valor muy similar en las posiciones de la 2 a la 7, de manera similar al modelo bicapa en el modelo tricapa los esfuerzos generados por cargas en el interior de la losa y en el cuarto de losa se mantienen constantes en una longitud del 80% de la losa. Estos esfuerzos menores aumentan su valor acercándose al esfuerzo crítico de borde cuando la carga se ubica al borde de la losa en su lado corto, correspondiente a la posición 1, lo que ratifica que los mayores esfuerzos una losa de concreto se presentan cuando la carga que se encuentre en un borde de la losa. EVERFE nos permite observar que el esfuerzo máximo para cada posición de carga generalmente se genera justo debajo del set de dos ruedas y en la parte inferior de la losa de concreto, con excepción de la carga ubicada en la donde el esfuerzo se ubica distanciado del set de dos ruedas y se genera en la parte superior de la losa, situación similar a el caso bicapa.

POSICION 1 2 3 4 5 6 7

CENTRO 1738 1111 963 1048 1096 1113 1117

CUARTO 1619 1042 972 1085 1138 1155 1159

BORDE 1587 1168 1578 1749 1825 1851 1857

Esfuerzos set de dos ruedas estructura tricapa ( Kpa)

224

Figura 150. Esfuerzos set de dos ruedas.

Fuente: Autor. 7.2.2 Deflexiones estructura tricapa Se calcularon las deflexiones que generan en las 21 posiciones de carga para el modelo tricapa, los resultados obtenido se muestran en la tabla 151. Se puede concluir que la deflexión máxima se presenta exactamente en la esquina de la losa con un valor de 1.282 mm para este caso y se da cuando el set de dos ruedas está ubicado en toda la esquina de la losa, las cargas ubicadas en el borde de la losa generan las mayores deflexiones como se muestra en la figura 151. Al igual que en el modelo bicapa. Los resultados obtenidos con el programa EVERFE al igual que las fórmulas de WESTERGAARD coinciden en que la deflexión máxima que presenta una losa se da para la carga de esquina. Las cargas de borde generan un valor de deflexión similar desde la posición 7 a la posición 3, la deflexión se mide bajo las ruedas del vehículo, a diferencia de la deflexión para las posiciones 2 y 1 donde la deflexión máxima se presenta bajo la esquina de la losa.

0

500

1,000

1,500

2,000

2,500

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Esfu

erzo

(kP

a)

Posicion en la losa


(Estructura Tricapa)

Centro Cuarto Borde

225

Se puede ver que para las cargas ubicadas en el centro y en el cuarto de la losa se obtienen valores de deflexión muy similares correspondientes a las posiciones del 7 a la 3 y la cual se ubica bajo la carga de las dos ruedas, pero para las posiciones 2 y 1 la máxima deflexión se ubica en el borde de la losa y no bajo la carga del set de ruedas. El valor de las deflexiones medidas para las cargas del centro y el cuarto de losa son muy similares en su magnitud y son inferiores en un 45 a 50% de las medidas para las cargas de borde, un porcentaje menor a la diferencia al que tienen los esfuerzos generados para los mismos casos de carga. Se puede identificar con el programa EVERFE que los esfuerzos máximos causados por las cargas siempre se ubican bajo el set de dos ruedas a excepción de la carga ubicada en la esquina de la losa, para el caso de las deflexiones las cargas de borde que se acercan a una esquina de la losa a una distancia igual o inferior 15% de la longitud de la losa generan la máxima deflexión en la esquina de la losa sin que la carga este ubicada exactamente sobre este punto, como sucede para las posiciones de carga 2 y 3 correspondientes al borde de la losa. Igualmente pasa para las cargas de centro y de cuarto de la losa, en las posiciones 2 y 3 la deflexión máxima no se genera bajo el set de ruedas, esta se genera al borde de la losa. Tabla 151. Deflexiones set de dos ruedas estructura tricapa. Fuente: Autor.

POSICION 1 2 3 4 5 6 7

CENTRO 0.818 0.649 0.517 0.485 0.478 0.477 0.479

CUARTO 0.863 0.685 0.539 0.498 0.491 0.491 0.491

BORDE 1.282 0.966 0.816 0.742 0.716 0.707 0.705

Deflexiones set de dos ruedas estructura tricapa ( Kpa)

226

Figura 151. Deflexiones set de dos ruedas estructura tricapa.

Fuente: Autor. 7.3 ESTRUCTURA CUATRICAPA La estructura cutricapa está compuesta por una losa simple soportada por una base estabilizad con cemento, una base granular y una subbase granular, el conjunto descansa sobre una subrasante Winkleriana, las características son las siguientes. Losa de concreto: Ancho de 3.6 m con una longitud de 4.4 m, con una relación des esbeltez longitud – ancho de 1.22 cumpliendo el criterio de la AASHTO, el espesor de la losa será de 20 cm con módulo de 28.000 Mpa, (4000000 lb/pulg2) y relación de pisón de 0.15. Base estabilizad con cemento: Se tiene una base granular estabilizada con cemento de 20 cm de espesor con un módulo de 5000 MPa, (725,188 lb/pulg2) y relación de Poisson de 0.15. Base granular: Se tiene una base granular de 20 cm de espesor con un módulo de 200 MPa, (29,000 lb/pulg2) y relación de Poisson de 0.35. Subbase granular: Se tiene una subbase granular de 30 cm de espesor con un módulo de 120 MPa, (17400 lb/pulg2) y relación de Poisson de 0.35.

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Def

lexi

on

(m

m)

Posicion en la losa

Deflexiones set de dos ruedas (Estructura Tricapa)

Centro Cuarto Borde

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Subrasante: Se considera una subrasante Winkleriana con un módulo de soporte de 0.0554 MPa/mm (200 lb/pulg3). Carga: El análisis de esfuerzos y deflexiones se realizará con el eje equivalente de 8.2 ton (80 KN), se simulará la carga correspondiente de un set de dos ruedas el cual soporta 40 KN. Área de contacto: para representar un set de 2 ruedas del eje equivalente se modelan dos áreas rectangulares, cada una con un ancho de la rueda de 220 mm y una longitud de huella de 117 mm, considerando un índice de carga de 4000 Lb a una velocidad de operación de 80 km/h con una presión de inflado de 100 lb/pulg2 (7 kg/cm2). Se modela una separación entre centros de rueda de 14 pulg (356 mm), como se muestra en la figura 152. Figura 152. Área de contacto semieje sencillo rueda doble. Fuente: Autor. Posición de la carga: para determinar la posición de la carga que genera el mayor esfuerzo y deflexión se modelan todas las posiciones que puede tener el semieje de rueda doble dentro de la losa, por simetría solo se requiere modelar las cargas de una cuarto de losa, en esta investigación se modelan 21 posiciones de carga, 7 sobre el eje central de la losa, 7 sobre el eje de un cuarto de losa y 7 sobre el borde de la losa como se indica en la figura 153.

228

Figura 153. Ubicación de cargas a modelar. Fuente: Autor. 7.3.1 Esfuerzos estructura cuatricapa Se realizó el análisis de la trayectoria de esfuerzos para las 21 posiciones de carga distribuida en el cuarto de la losa, se obtuvieron los siguientes resultados. En el análisis de esfuerzos para la estructura cuatricapa se encuentra que el esfuerzo máximo en la losa se genera por la carga en la esquina con un valor de 795 KPa, en este caso la posición 1 de las cargas de borde, la ubicación del esfuerzo se da en la cara superior de la losa y a un lado del set de dos ruedas. Los esfuerzos máximos los siguen generando las cargas que se ubican en el borde de la losa en las posiciones 1 a 7, es notable la reducción de esfuerzos que genera la colocación de una capa rígida de soporte para la losa, en este caso una base estabilizad con cemento, la cual redujo los esfuerzos de borde, el centro y el cuarto de losa entre un 50 a 60%. Esto significa que colocar una capa rígida bajo la losa de concreto genera un aumento en la rigidez del conjunto y la base rígida absorbe y disipa gran parte de los esfuerzos soportados por la losa. En el modelo cuatricapa estudiado no se cumple la premisa de WESTERGAARD para esfuerzos y deformaciones donde la carga que genera los mayores esfuerzos es la que se ubica en el borde de la losa, en este caso se ubica en la esquina de la losa.

229

De manera similar para las estructuras bicapa y tricapa, en el modelo cuatricapa la trayectoria de cargas que se ubican al borde de la losa generan los mayores esfuerzos como indica la figura 154, correspondiente a las posiciones de carga de la 1 a la 7, los esfuerzos generados por las cargas ubicadas en el centro y en el cuarto de losa son similares entre sí y son inferiores en un 50 a 60% de los de borde, confirmando que no son esfuerzos críticos. La magnitud del esfuerzo máximo en la carga de borde posición 1 de 795 KPa es similar y ligeramente mayor a los esfuerzos de las posiciones de borde 4, 5, 6 y 7 con 707, 742, 759 y 765 KPa respectivamente, lo que nos indica que el esfuerzo máximo de borde que se da justamente en la esquina de la losa se mantiene casi igual durante un tramo de la losa, el esfuerzo critico se mantiene en la mitad de la losa hasta un cuarto de la losa iniciando en la posición 1 y se mantienen en las posiciones 4, 5, 6 y 7. Al igual que en los modelos bicapa y tricapa, para el modelo cuatricapa también podemos concluir que el esfuerzo crítico por carga en el borde no se genera en un área puntual, sino que se presenta durante un tramo central correspondiente a un 50% de la longitud de la losa. La figura 154 muestra que los esfuerzos generados por las cargas en el centro de la losa y en cuarto de la losa son muy similares y a la vez son inferiores a los esfuerzos de las cargas de borde en un 50 a 60% y no son esfuerzos críticos, estos esfuerzos mantienen un valor muy similar en las posiciones de la 2 a la 7, de manera similar al modelo bicapa y tricapa, en el modelo cutricapa los esfuerzos generados por cargas en el interior de la losa y en el cuarto de losa se mantienen constantes en una longitud del 80% de la losa. Estos esfuerzos por cargas de centro y cuarto de losa no son críticos, se puede definir como esfuerzos menores, se puede ver en la figura 154 que estos esfuerzos aumentan su valor acercándose al esfuerzo crítico de esquina cuando la carga se ubica al borde de la losa en su lado corto, correspondiente a la posición 1, lo que ratifica que los mayores esfuerzos una losa de concreto se presentan cuando la carga que se encuentre en un borde de la losa. Tabla 152. Esfuerzos set de dos ruedas estructura cuatricapa. Fuente: Autor.

POSICION 1 2 3 4 5 6 7

CENTRO 650 428 398 439 463 477 481

CUARTO 623 413 412 453 478 492 496

BORDE 795 514 647 707 742 759 765

Esfuerzos set de dos ruedas estructura cuatricapa ( Kpa)

230

Figura 154. Esfuerzos set de dos ruedas estructura cuatricapa.

Fuente: Autor.

7.3.2 Deflexiones estructura cuatricapa Para la modelación de las 21 posiciones de carga de la estructura cuatricapa se tomaron las deflexiones para cada caso calculadas por EVERFE, los resultados se muestran en la tabla 153. Tabla 153. Deflexiones set de dos ruedas estructura cuatricapa. Fuente: Autor. La deflexión máxima con un valor de 0,96 mm para el modelo cuatricapa le genera la carga ubicada en la esquina, en este caso al borde de la losa en la posicion1, se puede ver en la figura 155 que las cargas ubicadas en el borde de la losa causan las mayores deflexiones.

0

200

400

600

800

1,000

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Esfu

erzo

(kP

a)

Posicion en la losa


(Estructura Cuatricapa)

Centro Cuarto Borde

POSICION 1 2 3 4 5 6 7

CENTRO 0.627 0.534 0.457 0.414 0.403 0.400 0.399

CUARTO 0.676 0.577 0.495 0.439 0.426 0.422 0.421

BORDE 0.960 0.810 0.680 0.605 0.580 0.570 0.567

Deflexiones set de dos ruedas estructura cuatricapa ( Kpa)

231

Los resultados obtenidos con el programa EVERFE para el modelo cuatricapa al igual que las fórmulas de WESTERGAARD coinciden en que la deflexión máxima que presenta una losa se da para la carga de esquina de la losa. Las cargas de borde generan un valor de deflexión similar desde la posición 7 a la posición 3, la deflexión se mide bajo las ruedas del vehículo, a diferencia de la deflexión para las posiciones 2 y 1 donde la deflexión máxima se presenta bajo la esquina de la losa. De manera similar a los modelos bicapa y tricapa, se puede ver que para el modelo cuatricapa las cargas ubicadas en el centro y en el cuarto de la losa tienen valores de deflexión muy similares correspondientes a las posiciones del 7 a la 3 y la cual se ubica bajo la carga de las dos ruedas, pero para las posiciones 2 y 1 la máxima deflexión se ubica en el borde de la losa y no bajo la carga del set de ruedas. El valor de las deflexiones medidas para las cargas del centro y el cuarto de losa son muy similares en su magnitud y son inferiores en un 30 a 40% de las medidas para las cargas de borde, un porcentaje menor a la diferencia que presentan en los modelos bicapa y tricapa. Figura 155. Deflexiones set de dos ruedas estructura cuatricapa.

Fuente: Autor.

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Def

lexi

on

(m

m)

Posicion en la losa

Deflexiones set de dos ruedas (Estructura Cuatricapa)

Centro Cuarto Borde

232

Generalmente con la metodología de WESTERGAARD y el programa EVERFE se identifica que los esfuerzos máximos se ubican bajo el set de dos ruedas a excepción de la carga ubicada en la esquina de la losa, para el caso de las deflexiones las cargas de borde que se acercan a la esquina de la losa, en este caso a una distancia igual o inferior 15% de la longitud de la losa generan la máxima deflexión en la esquina de la losa sin que la carga este ubicada exactamente sobre este punto, como sucede para las posiciones de carga 2 y3 correspondientes al borde de la losa. Igualmente pasa para las cargas de centro y de cuarto de la losa, en las posiciones 2 y 3 la deflexión máxima no se genera bajo el set de ruedas, esta se genera al borde de la losa. La colocación de una base rígida bajo la losa no afecto significativamente las deflexiones, las cuales se mantienen en valores similares para los tres modelos analizados en esta investigación.

233

CONCLUSIONES

Comparando los resultados de WESTERGAARD y EVERFE en la modelación de esfuerzos por carga en la esquina de la losa se encontró que EVERFE obtiene valores de esfuerzo superiores un 10% a los determinados por WESTERGAARD en losas de 20 y 30 cm de espesor, para losas más delgadas de 10 cm de espesor, la diferencia aumenta de un 15 a 20%, siendo superiores los esfuerzos calculados con EVERFE. En el cálculo de deflexiones por carga en la esquina aplicando la metodología de análisis por elementos finitos tridimensionales de EVERFE se obtienen valores mayores en un 18% a los determinadas por las formula de WESTERGAARD para losas delgadas de 10 cm de espesor, en el caso de losas sea más gruesas de 20 cm, la diferencia se acentúa de 20 a 30% y en la modelación de losas de 30 cm de espesor la diferencia llega de 30 a 50%. En losas delgadas de 10 cm de espesor donde las deflexiones por carga en la esquina son elevadas de 3 a 7 mm, EVERFE y WESTERGAARD presenta su mejor aproximación con mínimas diferencias en sus resultados de 3 a 9 décimas de milímetro. Para losas gruesas de 30 cm de espesor donde las deflexiones por carga en la esquina son muy pequeñas e imperceptibles con magnitudes de 0.2 a 2 mm, la diferencia entre los resultados de EVERFE y WESTERGAARD también es pequeña en magnitud y oscila de 1 a 6 décimas de milímetro, pero en porcentaje representa hasta el 50% por ser deflexiones muy pequeñas. Los valores de esfuerzos y deflexiones por carga en la esquina determinados por el programa EVERFE son consistentes y similares a los calculados por las fórmulas de WESTERGAARD, con pequeñas diferencias debido a los procesos de cálculo y las características propias de cada modelo, después del estudio realizado se concluye que la herramienta EVERFE es válida para calcular esfuerzos y deflexiones por carga en la esquina de la losa en pavimentos rígidos. En el análisis de esfuerzos por carga en el borde de la losa se encontró que EVERFE y WESTERGAARD obtiene resultados casi idénticos para losas delgadas de 10 cm de espesor, siendo EVERFE levemente superior en la dimensión del esfuerzo en un 1 a 2%, para el caso de losas con espesor de 20 cm, los resultados continúan siendo idénticos, pero en este caso WESTERGAARD obtiene esfuerzos levemente superiores en 1.7%, y para el caso de losas gruesas de 30 cm de espesor los resultados de ambas metodologías son similares con una diferencia de 6.5 a 8.9% en la magnitud del esfuerzo. En el cálculo de deflexiones por carga en el borde de la losa se determinó que EVERFE y WESTERGAARD obtienen resultados similares para losas delgadas de 10 cm de espesor con una leve diferencia del 6 al 11% en su magnitud a favor del programa EVERFE, para la losa delgada las deflexiones calculadas se encuentran en el rango de

234

0.4 a 2.7 mm y las diferencias numéricas de resultados no es superior a 2 décimas de milímetro. Para el análisis de deflexiones por carga de borde en losas gruesas de 30 cm de espesor se encontró que EVERFE y WESTERGAARD obtienen diferencias que van del 40 al 168% en la magnitud de la deflexión, las deflexiones calculadas para este caso son muy pequeñas en el rango de 0.1 a 0.6 mm y EVERFE obtiene valores superiores de deflexión con diferencias que van de 0.1 a 0.5 mm. Al realizar el análisis de similitudes y diferencias entre el programa EVERFE y las fórmulas de WESTERGAARD para el cálculo de esfuerzos y deflexiones debido a la carga en el borde de la losa se concluye que EVERFE obtiene valores consistentes y similares a los calculados por WESTERGAARD y se puede implementar su uso para realizar este tipo de cálculo. Comparando los resultados obtenidos en el cálculo de esfuerzos por carga en el interior de la losa se concluye que EVERFE y WESTERGAARD obtienen resultados similares con una diferencia del 5.4 al 11.6 % en la magnitud del esfuerzo, siendo los valores calculados con EVERFE levemente superiores. Estudiando las similitudes de EVERFE y WESTERGAARD en el cálculo de deflexiones por la carga en el interior de la losa, se determinó que para losas delgadas de 10 cm de espesor las dos metodologías presentan diferencias que van desde el 6.4 al 31.4 % en su magnitud, las deflexiones calculadas por WESTERGAARD se encuentran de 0.2 a 1.0 mm y las calculadas con EVERFE son levemente mayores están de 0.2 a 1.1, la diferencia numérica de los resultados no supera la décima de milímetro para cada caso de carga. El cálculo de deflexiones por carga en el interior de la losa realizado por EVERFE y WESTERGAARD para losas de espesores de 200 y 300 cm son consistentes en su magnitud ya presentan diferencias despreciables de 1 a 2 décimas de milímetro para cada caso de carga. Se concluye que el programa EVERFE comparado con las soluciones de WESTERGAARD obtiene valores consistentes y similares en el cálculo de esfuerzos y deflexiones por carga en el interior de la losa, siendo una herramienta válida para su uso en este tipo de cálculos. Una de las grandes ventajas de EVERFE sobre sobre las fórmulas de WESTERGAARD es que permite modelar hasta 3 capas granulares de soporte bajo la losa apoyadas sobre una subrasante Winkleriana, cada capa está caracterizada por su espesor y módulo elástico a diferencia de la metodología de WESTERGAARD que solo modela una estructura básica compuesta por una losa simple apoyada directamente sobre una subrasante Winkleriana.

235

Otra fortaleza de la metodología de elementos finitos tridimensionales aplicada por el programa EVERFE es que permite modelar distintas configuraciones de cargas sobre la losa, como una rueda sencilla, un set de dos ruedas, un eje sencillo, un eje tándem y un eje especial de múltiples ruedas, actuando solos o de manera simultánea sobre cualquier área de la losa, a diferencia de la metodología de WESTERGAARD que solo modela una única carga en un área circular actuando sobre la esquina, borde o centro de la losa. EVERFE es una herramienta que permite obtener un análisis de esfuerzos y deflexiones del pavimento mucho más más completo y extenso que el que permite WESTERGAARD, ya que además de calcular el esfuerzo máximo y la deflexión máxima en la esquina, el borde y el interior de la losa, muestra con mapas de colores como se disipan estos esfuerzos a través de la losa con su área de influencia, muestra los estados tensionales de la losa en la cara superior, en la cara inferior y en las secciones medias que seleccione el usuario permitiendo un diagnóstico completo de la mecánica del pavimento, a diferencia de las fórmulas de WESTERGAARD donde se obtiene el esfuerzo máximo y la deflexión máxima para un punto de la losa. Las principales similitudes entre el análisis de elementos finitos de EVERFE y las fórmulas determinísticas de WESTERGAARD son que ambas metodologías obtienen resultados similares en cuanto al cálculo de esfuerzos y deflexiones, confirmando que ambas metodologías son válidas y coherentes en la modelación de pavimentos rígidos. Otra similitud entre EVERFE y la metodología de WESTERGAARD es que asumen que la subrasante de apoyo es un material isotrópico con un comportamiento elástico lineal y se representa con un solo parámetro, el módulo de reacción de la subrasante. En la modelación de esfuerzos por alabeo en pavimentos rígidos para losas geométricamente cuadradas se determinó que la metodología de análisis por elementos finitos aplicada por EVERFE obtiene resultados idénticos a los calculados por las fórmulas de BRADBURY para losas cuadradas cuyo lado es mayor a 200 pulg (5.0 m), donde BRADBURY obtiene esfuerzos levemente superiores en 1% del valor numérico. EVERFE obtiene resultados similares a las fórmulas de BRADBURY en el cálculo de esfuerzos por alabeo en el interior y en el borde de losas cuadradas cuyo lado mide de 100 a 180 pulg (2.5 a 4.5 m), los resultados presentan mínimas diferencias que están de 4.5 a 16% en la magnitud de los esfuerzos, donde BRADBURY obtiene valores superiores a EVERFE, para este tipo de losas los esfuerzos oscilan de 64 a 224 Lb/pulg2, siendo de magnitudes muy bajas. En el cálculo de esfuerzos de alabeo en el interior de losas asimétricas EVERFE obtiene resultados bastante similares a los determinados por la metodología de BRADBURY con diferencias en su magnitud de 1 a 6.8% para el lado largo de la losa y con diferencias de 5.6 al 34% para el lado corto, las diferencias se acentúan cuan el valor del esfuerzo calculado es muy pequeño, en este caso para el lado corto de la losa son esfuerzos menores a 100 Lb/pulg2

236

Para el análisis de esfuerzos por alabeo en el borde de losas asimétricas EVERFE obtiene resultados iguales a las fórmulas de BRADBURY para los esfuerzos en el eje X, a lo largo de la losa con diferencias menores al 1% en su magnitud y para los esfuerzos en el eje Y transversales a la losa obtiene valores similares con diferencias en su valor que van del 4.3 al 35%, la diferencia se acentúa nuevamente para valores de esfuerzos mínimos en este caso en el rango de 40 a 100 Lb/pulg2

Realizando un análisis de sensibilidad para esfuerzos de alabeo en el interior de la losa con EVERFE y las fórmulas de BRADBURY se determinó que los resultados obtenidos con las dos metodologías para los esfuerzos en el eje X, longitudinales a la losa, son similares con leves diferencias que están del 1 al 3.8% en la magnitud del esfuerzo, las variables analizadas en el estudio fueron espesor de la losa, gradiente de temperatura, coeficiente de dilatación y módulo de reacción de la subrasante. En el análisis de sensibilidad para esfuerzos de alabeo en el interior de la losa se encontró que EVERFE y BRADBURY obtienen resultados similares para los esfuerzos en el eje Y, transversales a la losa, con diferencias en su magnitud de 5 a 20%, las variables analizadas en el estudio fueron espesor de la losa, gradiente de temperatura, coeficiente de dilatación y módulo de reacción de la subrasante. Se desarrolló un análisis de sensibilidad para esfuerzos de alabeo en el borde de la losa ejecutado con el programa EVERFE y las fórmulas BRADBURY, se encontró que para los esfuerzos en el eje X, longitudinales a la losa, las dos metodologías obtienen resultados iguales en magnitud con leves diferencias numéricas que no superan el 2% del valor del esfuerzo, se analizaron cuatro variables, el espesor de la losa, gradiente de temperatura, coeficiente de dilatación y módulo de reacción de la subrasante. Para el estudio de sensibilidad de esfuerzos de alabeo en el borde de la losa se concluyó que tanto EVERFE como BRADBURY obtiene valores de esfuerzo similares en el eje Y, transversales a la losa, con diferencia de un 5 a 20% en su magnitud, la mayor diferencia se obtiene para valores de esfuerzos mínimos del orden de 40 a 100 Lb/pulg2 en el estudio se llevó a cabo analizando cuatro variables, el espesor de la losa, gradiente de temperatura, coeficiente de dilatación y módulo de reacción de la subrasante. Validando los resultados obtenidos por el programa EVERFE y el modelo determinístico de BRADBURY en el cálculo de esfuerzos de alabeo tanto en el interior como en el borde de la losa, se evidencia que para los esfuerzos ubicados en el eje X, a lo largo de la losa, los resultados son numéricamente iguales, con leves diferencias que no superan el 1% del valor de los esfuerzos, en contraste, para el caso de los esfuerzos de alabeo ubicados en el eje Y, transversales a la losa, los valores obtenidos por las dos metodologías son similares con diferencias que van del 5 al 20% en su magnitud. De acuerdo a la investigación realizada se puede concluir que el programa EVERFE obtiene valores coherentes y verídicos con relación al método determinístico de BRADBURY para el cálculo de esfuerzos por alabeo en pavimentos de concreto y se puede utilizar como una herramienta válida para este tipo de estudios.

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En el análisis de esfuerzos por alabeo de la losa, EVERFE tiene ventajas sobre la metodología de BRADBURY ya que permite colocar hasta 4 valores de temperatura a través del ancho de la losa, lo que viabiliza realizar análisis de esfuerzos para gradientes de temperatura que no sean lineales. Otra gran ventaja de EVERFE sobre el modelo determinístico de BRADBURY para los esfuerzos de alabeo es la presentación de resultados, ya que BRADBURY ofrece un valor numérico del esfuerzo en el punto de interés y EVERFE muestra con mapa de colores la trayectoria de los esfuerzos no solo en el punto de interés, si no, en la totalidad de la losa, tanto en la cara superior, como en la cara inferior y a través del ancho, también permite ver al usuario una modelación a escala de la curvatura que toma la losa para el alabeo diurno o el alabeo nocturno. Una herramienta importante que incorpora el programa EVERFE es modelar simultáneamente esfuerzos de alabeo por temperatura y esfuerzos de cargas de tránsito, combinando los dos análisis para obtener resultados de condiciones especiales que se presentan en la realidad operacional de los pavimentos. En el análisis comparativo realizado entre los programas EVERFE y KENSLABS para el cálculo de esfuerzos por carga en la esquina de la losa se encontró que los valores calculados tienden a ser similares presentado diferencias del 16 al 23% en al valor de los esfuerzos, los resultados obtenidos por EVERFE son de mayor magnitud de los calculados por KENSLABS para este tipo de carga. Modelando la carga en el borde de la losa con los programas EVERFE y KENSLABS se encuentra que se obtienen valores muy parecidos en el cálculo del esfuerzo máximo con diferencias que van del 1 al 5.4% en la magnitud del esfuerzo, particularmente para losas de 20 cm de espesor los resultados que se obtienen para el esfuerzo de carga en el borde son iguales con ambos programas. Se determinó que en el cálculo de esfuerzos por carga en el interior de la losa los programas EVERFE y KENSLABS consiguen resultados parecidos con diferencias que oscilan de 8.5 a 14.6% en el valor del esfuerzo, para las estructuras de pavimento con losas de 30 cm de espesor EVERFE y KENSLABS logran la mayor similitud en sus resultados con diferencias mininas del 2% en el valor de los esfuerzos. Comparando los resultados obtenidos por el programa EVERFE con el programa KENSLABS para el cálculo de esfuerzos y deflexiones en pavimentos rígidos, se encuentra que presentan valores consistentes y similares, sin mayores diferencias, lo que hace confiable utilizar ambos programas en el estudio de esfuerzos y deflexiones en pavimentos rígidos. Los programas EVERFE y KENSLABS tienen varias similitudes en sus procesos de cálculo, ambos basan su análisis en la metodología de elementos finitos, EVERFE usa elementos finitos tridimensionales y resuelve su algoritmo con un cálculo multigrid y

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KENSLABS usa elementos finitos bidimensionales y resuelve su algoritmo de cálculo con eliminación de Gauss. Las principales ventajas de EVERFE sobre KENSLABS consisten en la metodología de elementos tridimensionales, que permiten dividir la losa en varios elementos a lo largo del eje Z, siendo posible modelar hasta 3 capas granulares de soporte y cualquier configuración de eje de carga, mientras KENSLABS no modela capas granulares de soporte, la interface usuario de EVERFE es más amigable e intuitiva que la brindada por KENSLABS. En el análisis de la mecánica del pavimento con estructura bicapa desarrollado con EVERFE se concluye que la variable que más impacta los esfuerzos por carga en la esquina, el borde e interior, es el espesor de la losa, a medida que aumenta el espesor de la losa disminuyen los esfuerzos principales, cuando la losa pasa de 10 a 20 cm de espesor la magnitud de los esfuerzos se reduce en más de la mitad, un 62%, cuando la losa pasa de 20 a 30 cm de espesor los esfuerzos continúan reduciéndose en un 81% de su valor inicial. En el estudio realizado para la estructura bicapa de pavimento rígido se encontró que la variable más influyente en las deflexiones es el espesor de la losa de concreto, cuando la losa pasa de 10 a 20 cm de espesor, la deflexión por carga en la esquina se reduce un 48%, la deflexión por carga en el borde se reduce un 37% y la deflexión por carga en el interior se reduce un 28%, cuando la losa pasa de 20 a 30 cm de espesor la deflexión por carga en la esquina se reduce un 61% de su valor inicial, las demás deflexiones tienden a mantenerse constantes. Para la estructura bicapa de pavimento rígido se determinó a través del análisis de sensibilidad realizado con EVERFE que hay variables que no tienen influencia importante en los esfuerzos y deflexiones principales de la losa de concreto, entre ellas están el módulo elástico y la relación de Poisson del concreto, el espesor y el módulo elástico de la base granular y el módulo de reacción de la subrasante. Modelando la estructura tricapa de pavimento rígido con una base granular estabilizada con cemento, aprovechando las herramientas de análisis multicapa de EVERFE, se halló que la variable más sensible para afectar los esfuerzos principales de la losa de concreto es el espesor de la capa de base estabilizada con cemento, a medida que el espesor aumenta los esfuerzos principales se reducen, cundo la capa pasa de 5 a 10 cm, el esfuerzo por carga en la esquina se reduce un 22%, el esfuerzo por carga en el borde se reduce un 35% y el esfuerzo por carga en el interior se reduce un 36%. Cuando la base estabilizada pasa de 10 a 20 cm de espesor, el esfuerzo de esquina se reduce un 48% y los esfuerzos por carga de borde e interior se reducen un 68%. Cuando la base estabilizada pasa de 20 a 30 cm de espesor, el esfuerzo de esquina se disminuye un 60% y los esfuerzos de esquina e interior de la losa se reducen un 80%, a partir de este espesor los esfuerzos tienden a mantenerse constantes.

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Para la estructura tricapa compuesta por una base estabilizada con cemento se determinó que el esfuerzo principal por carga en la esquina de la losa es afectado por el espesor de la losa de concreto, a medida que aumenta el espesor de la losa el esfuerzo disminuye, cuando la losa pasa de 10 a 20 cm, el esfuerzo se reduce un 25% y cuando la losa pasa de 20 a 30 cm de espesor, el esfuerzo se reduce un 63%, los demás esfuerzos principales no se ven afectados. Modelando la estructura tricapa se determinó que hay variables en el estudio que no impactan los esfuerzos y deflexiones en la losa de concreto, entre ellas están el módulo elástico, la relación de Poisson y el espesor de la losa de concreto, el espesor y el módulo de la base granular, y el módulo de reacción de la subrasante. En el capítulo de cono de esfuerzos se modelo con EVERFE los esfuerzos generados en la losa por la totalidad del eje sencillo, encontrando que el esfuerzo crítico por carga en la esquina para el eje sencillo se da en la cara superior de la losa cerca de la esquina con un valor de 1.77 MPa y analizando el cono de esfuerzos generado por EVERFE se encontró que en la cara inferior también se genera un esfuerzo equivalente de 1.61 MPa bajo el otro set de ruedas, quedando la losa con esfuerzos críticos en ambas caras. Los conos de esfuerzos permiten deducir que al colocar el eje tándem doble rueda en la esquina de la losa, el esfuerzo máximo por carga en la esquina se da en la cara inferior de la losa bajo el set de ruedas con un valor de 1.72 MPa y que se genera otro esfuerzo equivalente en la cara superior de la losa cerca de la esquina de 1.68 MPa quedando la losa con esfuerzos principales en ambas caras. De acuerdo al cono de esfuerzos para el eje tridem doble rueda colocado en la esquina de la losa se encuentra que el esfuerzo máximo se genera en la cara inferior de la losa bajo el set de dos ruedas con 1.33 MPa y a la vez se genera un esfuerzo equivalente en la cara superior de la losa cerca de la esquina de 1.26 MPa, el cono de esfuerzos de EVERFE permite ver que el ultimo eje genera otro esfuerzo importante en la cara inferior de la losa de 1.1 MPa, quedando la losa con dos área de esfuerzo importantes en la cara inferior y uno en la cara superior. El análisis de conos de esfuerzo para eje sencillo, eje tándem y eje tridem muestra que el eje sencillo genera el esfuerzo de mayor magnitud con 2.54 MPa cuando se ubica al borde de la losa, seguido del eje tándem con 2.05 MPa al ubicarse también al borde de la losa y finalmente el eje tridem con 1.41 Mpa también en el borde de la losa. Los conos de esfuerzos que se generan en la losa al paso de los ejes completos de cargas vehiculares permiten dimensionar detalladamente las áreas donde actúan los esfuerzos más críticos de la losa, haciendo posible proyectar refuerzos en acero ubicados estratégicamente y contrarrestar las posibles fallas prematuras del pavimento. Se encontró que la posición del set de dos ruedas de un eje equivalente de 8.2 ton que genera el mayor esfuerzo sobre la losa de un pavimento bicapa es en el borde de la losa generando un esfuerzo en la cara inferior de 1.90 MPa, pero también hay otra posición

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que genera un esfuerzo muy similar al crítico, cuando el set de dos ruedas se ubica en el otro borde del lado corto de la losa generando un esfuerzo de con 1.78 MPa en la cara inferior. La posición del set de dos ruedas de un eje equivalente de 8.2 ton que genera el mayor esfuerzo en un pavimento tricapa es cuando se ubica en el borde de la losa con un esfuerzo de 1.85 MPa en la cara inferior bajo las ruedas, la segunda posición más crítica para el mismo set de ruedas es en el otro borde sobre el lado corto de la losa generando un esfuerzo de 1.73 MPa en la cara inferior. El programa EVERFE es una herramienta muy poderosa aplicada al diseño y diagnóstico de patologías en pavimentos rígidos, con grandes ventajas sobre las metodologías tradicionales de WESTERGAARD y BRADBURY, que permite entender la mecánica del pavimento rígido modelando condiciones de carga que se ajustan de mejor manera a la realidad. En este trabajo de investigación se explica cómo funciona el programa EVERFE se validó con las metodologías más usadas para el cálculo de esfuerzos y deflexiones en pavimentos rígidos, se muestran las potencialidades que tiene y se implementa su uso colocándolo a disposición del área académica y profesional. Se aporta la validación del programa EVERFE con las metodologías de Westergaard y Bradbury en una amplia gama de casos reales como pavimentos livianos de zonas urbanas hasta modelos de pavimento robustos en áreas industriales o aeropuertos, algunos trabajos solo presentaban casos específicos para un solo espesor de losas o una sola configuración de carga. Se entrega un análisis completo de la mecánica de pavimentos rígidos multicapa aplicando la metodología de elementos finitos 3D con el programa EVERFE que nos permite optimizar el diseño y procesos constructivos de los pavimentar rígidos. Se modelan condiciones específicas de los ejes de carga para Colombia, como son las cargas máximas autorizadas por el ministerio de transporte y en Tunja las presiones de inflado y los anchos de rueda que se usan en la zona. Con la implementación de EVERFE se aporta al desarrollo académico y de investigación de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia ya que permite el acceso a un sin número de temas de investigación en pavimentos rígidos que antes era imposible abordarlos solo con las fórmulas de Westergaard y Bradbury, temas de investigación que se plantean en las recomendaciones.

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RECOMENDACIONES

Se recomienda como primera medida implementar el programa EVERFE en el área

académica para brindar herramientas tecnológicas al estudiante que potencien su

aprendizaje y le brinden un conocimiento más especializado en la mecánica de

pavimentos rígidos que lo conducirá a realizar diseños de mayor calidad redundando en

infraestructuras viales más seguras con periodos de vida óptimos. También se

recomienda implementarlo a nivel profesional en el área de diseño de pavimentos rígidos

para que los profesionales puedan verificar y asegurar la calidad de los diseños

optimizando los procesos y costos en la construcción de estructuras de pavimento rígido.

El programa EVERFE es una herramienta de mucho potencial para el campo investigativo de los pavimentos rígidos, se recomienda realizar trabajos de investigación bajo la dirección del Grupo de Investigación y Desarrollo en Infraestructura Vial – GRINFRAVIAL sobre los siguientes temas.

Ubicación estratégica de refuerzos en acero para pavimentos rígidos.

Influencia de los esfuerzos de alabeo al actuar simultáneamente con las cargas de tránsito.

Efectos de bases estabilizadas bajo las losas de pavimentos.

Proyección de fisuras y fallas en la losa para ejes sencillos, tándem y tridem.

Esfuerzos y deflexiones en pavimentos rígidos compuestos de losas con dimensiones reducidas.

Esfuerzos y deflexiones de pavimentos rígidos con dovelas.

Desempeño de pavimentos rígidos con losas inclinadas.

Efectos de los esfuerzos por alabeo en losas con dovelas, desarrollo de esfuerzos en pavimentos rígidos con dovelas y losas inclinadas.

Estudio de patologías de pavimentos rígidos aplicando EVERFE.

Diseño simplificado de pavimentos rígidos usando EVERFE y leyes de fatiga del concreto.

Distancias optimas entre dovelas para transferencia de carga aplicando EVERFE.

Aplicación del modelo no lineal para el análisis de esfuerzos y deflexiones en pavimentos rígidos. Proyección de fallas en las losas de concreto por baja eficiencia en las dovelas.

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REFERENCIAS

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ANEXOS Anexo 1. GUÍA DE USUARIO PROGRAMA EVERFE 2.25

El programa EVERFE 2.25 presenta una interface intuitiva y amigable con el usuario, lo que hace muy práctico el manejo del programa. Iniciar el programa EVERFE 2.25 Se hace clic en el archivo ejecutable, sobre el icono EVERFE 2.25 y se abre la pantalla principal del programa.

Figura 1. Pantalla principal programa EVERFE 2.25 Fuente: Autor.

En la pantalla principal se muestra la configuración de una estructura de pavimento rígido que viene cargada por defecto, en la mitad izquierda se muestra la vista en planta de la losa de concreto y abajo la vista en perfil, es una losa de concreto con dimensiones de 4600 mm de largo y 3600 mm de ancho, con un espesor de 250 mm, sobre una capa de base de 150 mm de espesor. Al lado derecho, en la parte superior se tienen 7 pestañas que corresponden al procesamiento de la información, zoom del dibujo, guardar el archivo, cálculos, resultados y ayuda. Procesamiento de la información

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Debajo de estas pestañas se encuentran los módulos para la entrada de información que permiten cargar la información del modelo estructural que se requiere analizar. Módulos entrada de información.

Para el uso del programa se recomienda el siguiente procedimiento. Identificación del proyecto Para iniciar el primer paso es configurar las unidades de medida en que se piensa desarrollar el modelo, EVERFE trae la opción de trabajar en unidades métricas o unidades inglesas.

Se hace clic en la pestaña FILE, se selecciona New, y se hace clic en el sistema de unidades que se va a trabajar, para el ejemplo unidades métricas.

Crear el proyecto

Se hace clic en la pestaña FILE, se selecciona Save as, se muestra la pantalla Select A Project File, se coloca el nombre del proyecto para este caso TUTORIAL y se da ok.

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Figura 2. Crear el proyecto. Fuente: Autor. Adicionalmente la pestaña FILE presenta las opciones Save: Guardar los cambios y configuraciones realizadas Delete: Borrar proyectos existentes Exit: Cerrar y salir de EVERFE Entrada de datos de carga Para configurar los parámetros y configuración del modelo estructural, se utilizan los 6 módulos que trae el programa.

Geometry

Material

Loading

Dowel

Interlok

Meshing GEOMETRÍA DE LAS LOSAS En este módulo configuramos el número de losas y el número de capas de base y subbase del modelo, las dimensiones y los espesores de las capas Dimensionamiento losas de concreto Se hace clic en la pestaña Geometry, aparece la siguiente ventana. Módulo de geometría EVERFE

Figura 3. Dimensionamiento losas de concreto. Fuente: Autor.

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EVERFE permite modelar máximo 9 losas, de acuerdo con las siguientes opciones que presenta el módulo de geometría.

1 row; 1 clumn: 1 fila una columna.

2 rows; 1 clumn: 2 fila una columna.

3 rows; 1 clumn: 3 fila una columna.

1 row; 2 clumns: 1 fila una columna.

2 rows; 2 clumns: 2 fila una columna.


1 row; 3 clumns: 1 fila una columna.


3 rows; 3 clumns: 3 fila una columna. La figura 4 muestra la distribución de las losas para cada combinación. Geometría losas EVERFE 2.25

Figura 4. Distribución de las losas para cada combinación. Fuente: Autor.

Las dimensiones de la losa correspondientes a su longitud, ancho y espesor se configuran en las siguientes opciones: Column 1 Length (X mm): Longitud en milímetros, en el eje X de la columna 1. Row 1 Widh (Y mm): Ancho en milímetros en el eje Y, de la fila 1. Slab Thickness (Z mm): Espesor de la losa en milímetros.

UNA COLUMNA

UNA FILA

DOS FILAS

TRES FILAS

DOS COLUMNAS TRES COLUMNAS

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Fisrt Skew Angle (deg): Primer Angulo de inclinación, en grados. Second Skew Angle (deg): Segundo ángulo de inclinación, en grados El ángulo de inclinación corresponde al que forman las juntas o bordes transversales con el eje X, con esta opción EVERFE permite modelar losas con formas irregulares, de acuerdo con las exigencias del proyecto, La figura 5 muestra algunos ejemplos de geometrías que se pueden obtener con las juntas y los bordes transversales inclinados. Geometría de losas con juntas y bordes transversales inclinados.

Figura 5. Ejemplos de geometrías que se pueden obtener con las juntas y los bordes transversales inclinados. Fuente: Autor. Dimensiones capas de base En la parte inferior del módulo de geometría se configura el número de capas de soporte y el espesor de cada una en milímetros, las capas se encuentran bajo la losa y sobre la subrasante, se pueden tener máximo 3 capas de material, que pueden ser capas rígidas, bases estabilizadas con cemento, base o subbases granulares, si se selecciona la opción de No Layer, EVERFE asume la losa apoyada directamente sobre la subrasante Winkleriana y en completo contacto y unión a esta. Para el caso del ejemplo se tiene una capa de base granular con espesor de 150 milímetros. Dimensionamiento capas de base.

UNA COLUMNA

DOS FILAS

TRES FILAS

DOS COLUMNAS TRES COLUMNAS

UNA FILA

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Figura 6. Dimensionamiento capas de base. Fuente: Autor. ESPECIFICACIONES DE LOS MATERIALES Se hace clic en el módulo Material y aparece la siguiente ventana, la cual trae valores por defecto en la calidad de los materiales. Módulo de material EVERFE

Figura 7. Especificaciones de los materiales. Fuente: Autor. En el módulo material se configura la calidad de los materiales para la losa, las dovelas y pasadores, como para las capas de base que se hayan proyectado. En el recuadro Slab, se tienen 4 casillas E (MPa): Modulo elástico del concreto en Mega pascales. Un: Relación de Poisson del concreto

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Alpha (per deg C): Coeficiente de dilatación térmica del concreto por grados centígrados. Density (kg/m3): Densidad del concreto en Kilogramos por metro cubico. En el recuadro Dowels an ties, se coloca las características del acero que se usara para las dovelas y los pasadores. E (MPa): Modulo elástico del acero en mega pascales. nu: Relación de Poisson de acero. En el recuadro Base se colocan las características de la capa de soporte E (MPa): Modulo elástico de la capa de base nu: Relación de Poisson del material de base. Density (kg/m3): Densidad del material de base en Kilogramos por metro cubico La casilla Slab/Base interface, indica si se considera unión en la interface de la losa y la capa de base, por defecto esta seleccionada, lo que indica que hay un contacto perfecto en la interfase losa – base, como es el caso para el modelo del ejemplo, La figura 14 muestra el desplazamiento de una losa y la base con unión entre las capas.

Figura 8. Alabeo nocturno con unión entre losa y capa de base Fuente: Autor.

En el caso de no seleccionar la casilla Slab/Base interface, EVERFE considera que no hay unión entre la losa y la base, esta condición se puede apreciar en el desplazamiento de la losa y la base con un alabeo nocturno.

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Figura 9. Alabeo nocturno sin unión entre losa y capa de base. Fuente: Autor.

Al no seleccionar la opción de unión se despliega la siguiente ventana con parámetros que controlan la transmisión de esfuerzos y deflexiones en los puntos que queden en contacto.

Figura 10. Parámetros interface losa y capa de base. Fuente: Autor Initial Stiffness (MPa/mm): Rigidez inicial en Mpa/mm Slip Displacement (mm): Desplazamiento horizontal permitido La imagen muestra que, para un valor de rigidez inicial igual a cero, como viene por defecto en EVERFE, no se desarrolla esfuerzo cortante entre la losa y la base, para un valor de rigidez elevado, en las áreas que estén en contacto se presenta trasmisión del esfuerzo cortante. La opción de no contacto entre la losa y la base puede dificultar el cálculo del modelo de elementos finitos para algunas geometrías particulares, ya que quedan estructuras del modelo sin contacto y los resultados de los cálculos pueden no converger a una solución, cuando esto sucede EVERFE no guarda los cálculos realizados. En el recuadro Dense Liquid Subgrade, se configuran los parámetros de la subrasante winkleriana. Tensionless: esta opción viene sin marcar por defecto, indica que el modelo incluye las fuerzas tensionales de soporte en la superficie de la subrasante, si se selecciona esta opción, el modelo matemático no incluirá las tensiones superficiales de soporte.

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K (MPa/mm): módulo de reacción de la subrasante, corresponde al valor K usado en diseño de pavimentos rígidos, en mega pascales sobre milímetro. CONFIGURACIÓN DE LAS CARGAS VEHICULARES Se hace clic en el módulo Loading y aparece la siguiente ventana para configurar las cargas sobre las losas.

Figura 11. Configuración de las cargas vehiculares. Fuente: Autor. El módulo de carga tiene 6 pestañas para configurar varios tipos de cargas vehiculares. Single Wheel: Una sola rueda Single Wheel Axe: Eje sencillo rueda simple Dual Wheel Axle: Eje sencillo rueda doble Single Wheel Tandem: Eje tándem rueda sencilla Dual Wheel Tandem: Eje tándem rueda doble Multi-Wheel Axle: Eje sencillo con múltiples ruedas

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Carga por una sola rueda Se hace clic en la pestaña Single Wheel y aparece la siguiente ventana.

Figura 12. Carga por rueda sencilla. Fuente: Autor. Se tienen las siguientes 5 casillas, donde se introducen los datos específicos del proyecto. Load (kN): Carga de la rueda en kilonewton X (mm): Ubicación del centroide de la huella rectangular sobre el eje X en milimetros, el origen del eje X se ubica en el borde izquierdo de la losa. Y (mm): Ubicación del centroide de la huella rectangular sobre el eje Y en milimetros, el origen del eje Y se ubica en la mitad horizontal de la losa. L (mm): longitud del area de contacto de la rueda W (mm): ancho del area de contacto de la rueda EVERFE permite colocar multiples cargas por una sola rueda en variadas ubicaciones, modela solo un área de contacto rectangular, esta carga se usa para comparar los análisis de WESTERGAARD por una sola carga en el borde, la esquina y el centro de la losa.

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Carga por eje sencillo rueda simple Se hace clic en la pestaña Single Wheel Axle y aparece la siguiente ventana

Figura 13. Carga por eje sencillo rueda simple. Fuente: Autor. Se tienen las siguientes 6 casillas, donde se introducen los datos específicos del proyecto. Load (kN): Carga del eje la rueda en kilonewton X (mm): Ubicación del centroide del eje de carga sobre el eje X en milímetros, el origen del eje X se ubica en el borde izquierdo de la losa. Y (mm): Ubicación del centroide del eje de carga sobre el eje Y en milímetros, el origen del eje Y se ubica en la mitad horizontal de la losa. L (mm): longitud del área de contacto de la rueda W (mm): ancho del área de contacto de la rueda A (mm): Separación entre centros de rueda El área de contacto es la misma para todas las ruedas del eje.

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Carga por eje sencillo rueda doble Se hace clic en la pestaña Dual Wheel Axle y aparece la siguiente ventana

Figura 14. Carga por eje sencillo rueda doble. Fuente: Autor. Se tienen las siguientes 7 casillas, donde se introducen los datos específicos del proyecto. Load (kN): Carga del eje en kilonewton X (mm): Ubicación del centroide del eje de carga sobre el eje X en milímetros, el origen del eje X se ubica en el borde izquierdo de la losa. Y (mm): Ubicación del centroide del eje de carga sobre el eje Y en milímetros, el origen del eje Y se ubica en la mitad horizontal de la losa. L (mm): longitud del área de contacto de la rueda W (mm): ancho del área de contacto de la rueda A (mm): Separación entre los centros de las ruedas internas del eje B (mm): Separación entre los centros de las ruedas externas del eje

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Carga por eje tándem rueda sencilla Se hace clic en la pestaña Dual Wheel Axle y aparece la siguiente ventana

Figura 15. Carga por eje tandem rueda sencilla. Fuente: Autor. Se tienen las siguientes 7 casillas, donde se introducen los datos específicos del proyecto. Load (kN): Carga del eje tándem en kilonewton X (mm): Ubicación del centroide del eje tándem, sobre el eje X en milímetros, el origen del eje X se ubica en el borde izquierdo de la losa. Y (mm): Ubicación del centroide del eje tándem sobre el eje Y, en milímetros, el origen del eje Y se ubica en la mitad horizontal de la losa. L (mm): longitud del área de contacto de la rueda. W (mm): ancho del área de contacto de la rueda. A (mm): Separación entre los centros de las ruedas del primer o segundo eje S (mm): Separación entre ejes, en milímetros.

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Carga por eje tándem rueda doble Se hace clic en la pestaña Dual Wheel Tandem y aparece la siguiente ventana

Figura 16. Carga por eje tándem rueda doble. Fuente: Autor. Se tienen las siguientes 8 casillas, donde se introducen los datos específicos del proyecto. Load (kN): Carga del eje tándem en kilonewton. X (mm): Ubicación del centroide del eje tándem, sobre el eje X en milímetros, el origen del eje X se ubica en el borde izquierdo de la losa. Y (mm): Ubicación del centroide del eje tándem sobre el eje Y en milímetros, el origen del eje Y se ubica en la mitad horizontal de la losa. L (mm): longitud del área de contacto de la rueda W (mm): ancho del área de contacto de la rueda A (mm): Separación entre los centros de las ruedas internas del primer o segundo eje B (mm): Separación entre los centros de las ruedas externas del primer o segundo eje S (mm): Separación entre ejes.

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Carga por eje sencillo con múltiples ruedas. Se hace clic en la pestaña Multi-Wheel Axle y aparece la siguiente ventana

Figura 17. Carga por eje sencillo rueda múltiple. Fuente: Autor. Se tienen las siguientes 7 casillas, donde se introducen los datos específicos del proyecto. Load (kN): Carga del eje sencillo con múltiples ruedas en kilonewton X (mm): Ubicación del dendroide del eje de caga, sobre el eje X en milímetros, el origen del eje X se ubica en el borde izquierdo de la losa. Y (mm): Ubicación del centroide del eje de caga, sobre el eje Y en milímetros, el origen del eje Y se ubica en la mitad horizontal de la losa. L (mm): longitud del área de contacto de la rueda W (mm): ancho del área de contacto de la rueda B (mm): Separación entre los centros de las ruedas # of Wheels: Numero de ruedas. Configuración de múltiples ejes de carga Para colocar el mismo eje de carga varia veces en diferentes ubicaciones, se debe dar clic en la pestaña correspondiente al eje y EVERFE coloca nuevamente el eje seleccionado, el eje de carga se puede repetir las veces que se requiera.

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Para colocar distintos ejes de carga se debe dar clic sobre la pestaña del eje requerido, EVERFE coloca el eje seleccionado, se pueden colocar distintos ejes simultáneamente como lo requiera el proyecto.

Figura 18. Cargas con múltiples ejes. Fuente: Autor. Para modificar los parámetros de un eje existente, se da clic izquierdo sobre el dibujo del eje que se encuentra en la mitad izquierda de la pantalla, EVERFE muestra la pantalla con las casillas para modificar los parámetros del eje de carga. Para ubicar un eje existente, se da clic izquierdo sobre el dibujo del eje que se encuentra en la mitad izquierda de la pantalla y se arrastra el eje a la posición deseada, de manera simultánea EVERFE actualiza automáticamente las casillas de ubicación. Se puede ver que EVERFE modela las cargas de las ruedas con un área cuadrada o rectangular, y que con solo la carga por una rueda simple se podrían configurar los demás ejes, repitiendo la carga y dando las ubicaciones adecuadas.

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CONFIGURACIÓN DE DOVELAS Y PASADORES Este módulo se activa cuando se tienen más de una losa, lo que genera algún tipo de junta transversal o longitudinal, en las juntas longitudinales se ubican las Tie Bar o barras de transferencia y en las juntas transversales las dovelas, para mostrar la configuración de dovelas y pasadores se modela una geometría de 9 losas dispuestas en 3 columnas y 3 filas. Se hace clic en el módulo Dowel y aparece la siguiente ventana

Figura 19. Configuración de dovelas y pasadores. Fuente: Autor. Configuración de las dovelas en juntas transversales En el siguiente cuadro se colocan los datos correspondientes a las dovelas que se colocan en las juntas transversales, EVERFE trae valores por defecto los cuales deben ser modificados de acuerdo con las características del proyecto.

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Figura 20. Dovelas con libertad de movimiento. Fuente: Autor. Las tres casillas superiores corresponden a las dimensiones de las dovelas. Looseness: esta opción se selecciona para modelar dovelas empotradas, por defecto no viene seleccionada, en este caso los esfuerzos y deformaciones de la dovela son controlados por dos parámetros, el módulo de soporte entre la dovela y la losa y el módulo de restricción entre la dovela y la losa. Emb (mm): Longitud embebida de la dovela en la losa de concreto, en milímetros. Diameter (mm): Diámetro de la barra de dovela en milímetros. Dowel-slab support modulus (Mpa): Modulo de soporte entre la dovela y la losa en mega pascales. Dowel-slab restraint modulus: Modulo de restricción entre la dovela y la losa en mega pascales. Módulo de soporte y restricción entre la dovela y la losa. Cuando no se seleccionan la opción de dovelas empotradas, EVERFE considera que hay unos resortes entre la dovela y la losa, al igual que una fundación winkleriana, los módulos caracterizan la matriz de rigidez de la dovela para determinar los esfuerzos y deflexiones, el módulo de soporte actúa en la dirección vertical Z y la dirección transversal Y, el módulo de restricción actúa en la dirección longitudinal de la dovela, la dirección X.

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Un valor alto para el módulo de soporte genera una eficiencia alta en la transferencia de carga a través de la junta, un valor tendiente a cero indica una ineficiencia en la trasferencia de carga, la siguiente tabla es una guía de valores que trae EVERFE Efecto del módulo de soporte de la dovela en la trasferencia de carga.

Tabla 1. Efecto del módulo de soporte de la dovela en la trasferencia de carga. Fuente: Autor. Dovelas empotradas Cuando se selecciona la casilla Looseness, EVERFE asume que la dovela tiene parte de su longitud empotrada en la losa de concreto, la interacción losa y dovela es controlada por los parámetros GapA y GapB.

Figura 21. Dovelas empotradas. Fuente: Autor.

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En La figura se puede observar la explicación del GapA y el GapB, se muestran tres casillas nuevas para colocar los parámetros de las dovelas. Bonded: Unión entre la losa y la dovela, por defecto no está seleccionada, lo que indica que el movimiento horizontal de deslizamiento entre la losa y la dovela es totalmente libre sin restricciones, si se selecciona esta opción EVERFE asume que el deslizamiento horizontal está totalmente restringido, esto se usa para modelar dovelas bloqueadas por daños o corrosión. GapA (mm): Separación entre la dovela y la losa, en la cara de la junta, dada en milímetros. GapB (mm): Distancia en la cual GapA varía parabólicamente hasta llegar a cero, dada en milímetros. Si GapA tiende a cero, esto se refleja en una alta eficiencia en la trasferencia de carga, si es mayor que cero se refleja en deficiencia en la trasferencia de carga, se considera que un GapA de 0.5 mm ya no sigue disminuyendo la trasferencia de carga, EVERFE nos muestra una tabla guía de los valores asumidos para Gap A. Efecto de las dovelas empotradas en la transferencia de carga.

Tabla 2. Efecto de las dovelas empotradas en la transferencia de carga. Fuente: Autor. Ubicación de las dovelas Para dar la ubicación y separación de las dovelas en las juntas transversales se utilizan las opciones que nos muestra la pantalla del módulo Dovelas.

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Figura 22. Módulos dovelas. Fuente: Autor. La ubicación que se da a las dovelas aplica paro todas las juntas transversales que se encuentran en la misma fila de losas, no aplica para las otras filas, por lo cual se pueden tener distribuciones diferentes en cada fila de losas, las opciones que se muestran son las siguientes. First Row Dowels: Seleccionar para configurar primera fila de dovelas Second Row Dovels: Seleccionar para configurar segunda fila de dovelas Third Row Dowels: Seleccionar para configurar tercera fila de dovelas La separación y número de las dovelas en cada junta de la fila se configura seleccionando una de las tres opciones de distribución que trae EVERFE. Even: Dovelas ubicadas uniformemente Wheelpath: Dovelas ubicadas bajo las huellas de la rueda Manual Entry: Entrada manual Al seleccionar la opción Even, aparece la siguiente ventana Ubicación uniforme de dovelas.

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Figura 23. Ubicación uniforme de dovelas. Fuente: Autor. Para la ubicación uniforme se diligencias dos casillas Number: Numero de dovelas Edge 1 (mm): Distancia de la primera dovela al borde de la losa en milímetros. EVERFE toma esta distancia en el borde superior y en el borde inferior, y coloca las dovelas en el sector de la mitad espaciadas uniformemente, como muestra La figura.30 Al seleccionar la opción Wheelpath aparece la siguiente ventana.

Figura 24. Dovelas bajo las huellas de las ruedas. Fuente: Autor. Para la ubicación de las dovelas bajo las huellas de las ruedas se diligencian cuatro casillas. Number: Numero de dovelas Edge 1 (mm): Distancia del borde superior de la losa a la primera dovela, en milímetros. Edge 2 (mm): Distancia del borde inferior de la losa a la primera dovela, en milímetros.

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Interval (mm): distancia entre dovelas, en milímetros. EVERFE toma la distancia 1 desde el borde superior de la losa y seguidamente ubica las dovelas separadas de acuerdo con el intervalo, igualmente toma la distancia 2 desde el borde inferior de la losa y seguidamente ubica las dovelas separadas de acuerdo con el intervalo, en esta opción se pueden configurar distancias diferentes a los bordes de las losas para tratar de ubicar las dovelas bajo las huellas principales de las ruedas, como se muestra en el grafico inferior de La figura 31. Al seleccionar la opción Manual Entry aparece la siguiente ventana Ubicación manual de dovelas.

Figura 25. Ubicación manual de dovelas. Fuente: Autor. Para la ubicación de las dovelas bajo las huellas de las ruedas se diligencian las siguientes casillas. Number: Numero de dovelas. Y-coordínate: Coordenada Y de la dovela, tomando como origen del eje Y, el eje horizontal que divide simétricamente el arreglo de las losas, siendo negativo en sentido norte y positivo en sentido sur. Configuración de pasadores en las juntas longitudinales. La colocación de pasadores se ingresa en la parte inferior del módulo de dovelas, como muestra La figura 32, EVERFE configura los pasadores para el total de la junta longitudinal, como máximo se pueden tener 9 losas en un arreglo de 3 x 3, máximo habrá 2 juntas longitudinales, las cuales se pueden configurar de manera independiente.

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Figura 26. Configuración de pasadores en las juntas longitudinales. Fuente: Autor. Tie joint 1: Incluir pasadores en la junta longitudinal 1 Tie 1: Incluir pasadores en la junta longitudinal 2 Tie-slab Support modulus (MPa): Modulo de soporte entre el pasador y la losa, en mega pascales. Tie-slab estrain modulus (MPa): Modulo de restriccion entre el pasador y la losa. Emb (mm): Longitud embebida del pasador en la losa de concreto, en milímetros. Spacing (mm): Distancia entre los pasadores, en milímetros. Diameter (mm): Diametro de los pasadores, en milímetros. Los conceptos de eficiencia en transferencia de carga y movimiento horizontal entre la dovela y la losa aplican de la misma manera para los pasadores en las juntas longitudinales. INTERACCION DE JUNTAS SIN DOVELAS Este módulo se usa cuando no se tienen dovelas en las juntas transversales, para ver su configuración usaremos un pavimento de 9 losas en un arreglo de 3 filas y 3 columnas sin dovelas. EVERFE tiene dos opciones básicas para modelar el comportamiento de las juntas transversales, un modelo lineal y el modelo no lineal. Modelo lineal para juntas. Se hace clic en el módulo interlook y aparece la siguiente ventana. Módulo interlock

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Figura 27. Modelo lineal para juntas. Fuente: Autor. La opción de modelo lineal requiere especificar la abertura de las juntas transversales y el módulo de rigidez de las juntas. Opening between Column 1 and Column 2 (mm): Abertura de la junta transversal número 1, entre las columnas 1 y 2, dada en milímetros. Opening between Column 2 and Column 3 (mm): Abertura de la junta transversal número2, entre las columnas 2 y 3, dada en milímetros. Joint stiffness (MPa/mm): Modulo de rigidez de la junta en mega pascales sobre milímetros, similar al parámetro K usado para fundaciones winklerianas. La abertura de la junta no tiene influencia en la trasferencia de carga, sin embargo, si se tienen aberturas muy pequeñas puede ocurrir un choque de las caras de la losa sobre todo cuando se modela esfuerzos por gradiente de temperatura. El módulo de rigidez de la junta afecta el desplazamiento de las dos losas adyacentes, un valor mayor brinda una mejor eficiencia en la trasferencia de carga y un valor cercano a cero produce deficiencia en la trasferencia de carga, EVERFE muestra un cuadro guía para los valores de la rigidez en las juntas transversales, aunque los resultados varían de acuerdo con las características de cada proyecto.

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Tabla 3. Efecto de la rigidez de la junta en la transferencia de cargas. Fuente: Autor. Modelo no lineal para juntas. Al seleccionar la opción Nonlinear Model, aparece la siguiente ventana Modelo no lineal

Figura 28. Modelo no lineal. Fuente: Autor. Model Name: permite escoger tres opciones Hard, para un análisis exhaustivo, medium para un análisis de complejidad media, y soft para un análisis poco complejo.

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En el modelo no lineal la abertura de las juntas incide en la eficiencia de la transferencia de carga, EVERFE nos muestra una guía de valores, sin embargo, los resultados varían de acuerdo con la configuración de cada proyecto.

Tabla 4. Efecto de la abertura de la junta en la transferencia de cargas. Fuente: Autor.

MALLA DE ELEMENTOS FINITOS En el módulo Meshing se configura la dimensión de los electos finitos tridimensionales, lo longitud, su largo y su espesor. Se hace clic en el módulo Mashing y aparece la siguiente pantalla

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Figura 29. Malla de elementos finitos. Fuente: Autor. Se configuran el número de elementos para cada columna y cada fila, de acuerdo con las siguientes casillas. Number of elements along X in column 1: Número de elementos en el eje X para la columna 1. Number of elements along X in column 2: Número de elementos en el eje X para la columna 2. Number of elements along X in column 3: Número de elementos en el eje X para la columna 3. Number of elements along Y in Row 1: Número de elementos en el eje Y para la fila 1. Number of elements along Y in Row 2: Número de elementos en el eje Y para la fila 2. Number of elements along Y in Row 3: Número de elementos en el eje Y para la fila 3. Number of elements along Z in Slab: Número de elementos en el eje z en la losa. Number of elements along Z in Subgrade 1: Número de elementos en el eje z en la base 1.

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Number of elements along Z in Subgrade 2: Número de elementos en el eje z en la base 2. Number of elements along Z in Subgrade 3: Número de elementos en el eje z en la base 3. EVERFE muestra la relación de aspecto de cada elemento, la cual debe ser menor a 5 para que el modelo de elementos finitos no presente errores por elementos muy delgados o planos. Por defecto EVERFE trae un modelo de malla de 12 x 12 elementos, la cual se puede doblar a 24 x 24 elementos en la losa de interés. GUARDAR CONFIGURACIÓN Una vez configurados todos los parámetros del proyecto en cada uno de los 6 módulos de EVERFE, como son geometría, material, cagas, dovelas, interaccionen juntas y mallado, se debe hacer clic en la pestaña file y seguidamente en Save y guardar la configuración realizada. PROCESO DE LA INFORMACIÓN Para que EVERFE realice los cálculos del proyecto, se hace clic en la pestaña SOLVE y aparece la siguiente ventana. Run the Shown Analysis: Correr el análisis del proyecto Run Multiple Analyses: Correr el análisis para varios proyectos existentes, puede resolver hasta 30 ejercicios, gasta el mismo tiempo, la ventaja es que los resuelve con una sola orden. VISUALIZACIÓN DE RESULTADOS Para ver los resultados se hace clic en la pestaña VISUALIZE, el programa nos da cuatro tipos de resultado Stresses: Esfuerzos Displacements: Desplazamientos. Results for point: resultados en un punto. Results for dowels: Resultados para dovelas. Visualización de esfuerzos Se selecciona la opción Stresses y aparece la siguiente ventana que permite ver los esfuerzos de la losa en los planos Y-Z, X-Z y el plano X-Y y la opción Horizontal (Slab)

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selecciona el número del plano de la losa que se quiere ver, parte superior, parte inferior, parte media o un plano de la base.

Figura 30. Visualización de esfuerzos. Fuente: Autor. Seleccionando la casilla correspondiente EVERFE nos muestra los siguientes tipos de esfuerzos. Max Principal: Esfuerzos principales máximos Min Principal: Esfuerzos principales mínimos Sxx: Componente de esfuerzos en el eje X. Syy: Componente de esfuerzos en el eje Y. Szz: Componente de esfuerzos en el eje Z. Sxy: Componente de esfuerzos en el plano X-Y. Syz: Componente de esfuerzos en el plano Y-Z. Szx: Componente de esfuerzos en el plano Z-X. En el cuadro Scaling se selecciona la opción Global para ver los esfuerzos comparados con todas las demás losas y la opción Local, para ver los esfuerzos específicamente de la losa seleccionada. En el cuadro Color Mao or Contour, se selección la opción Color Map para ver los esfuerzos en mapa de colores o la opción Contour para ver los esfuerzos como curvas de esfuerzos. Configuradas las opciones se hace clic en el botón View Stresses y EVERFE muestra en una imagen los esfuerzos, esta imagen se puede rotar en cualquier dirección.

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Figura 31. Visualización de esfuerzos en mapa de colores. Fuente: Autor. Figura 32. Visualización de esfuerzos en curvas de esfuerzos. Fuente: Autor. Visualización de desplazamientos Se hace clic en la pestaña VISUALIZE y se selecciona la opción Displacements, se muestra la siguiente ventana.

Figura 33. Visualización de desplazamiento. Fuente: Autor.

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Haciendo clic sobre La figura se selecciona la losa de interés para ver los desplazamientos, la ventana trae 3 opciones. Show all slabs: mostrar todas las losas Show the base: mostrar la base Show undeformed slab and base: Mostar la forma indeformada de la losa y la base Deformation Scale factor: Factor de escala para la deformación que se encuantra de 0 a 1000, por defecto se encuentra en 500. Una vez configurados los parámetros se hace clic en el boton View Displacements Desplazamiento de las losas y la base.

Figura 34. Desplazamiento de las losas y la base. Fuente: Autor. Resultados por puntos Se hace clic en la pestaña VISUALIZE y se selecciona la opción Results for point, se muestra la siguiente ventana.

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Figura 35. Resultados por puntos. Fuente: Autor. EVERFE muestra los resultados de los esfuerzos máximos tensión y mínimos compresión en una matriz de información, para cada losa. En el rescuadro Resul for Points, tra 3 casillas para dar las coordenadas del punto de interés y EVERFE mostrara los esfuerzos principales y las componentes de esfuerzos en esa ubicación. X (mm): Coordenada X en milímetros, el origen del eje X es el borde izquierdo del arreglo como indica La figura. Y (mm): Coordenada Y en milímetros, el origen del eje Y es la mitad horizontal del arreglo, como muestra La figura, siendo negativo hacia el norte y positiva hacia el sur. Z (mm): coordenada Z del punto, el origen del eje Z es la interface losa-base, siendo negativo hacia arriba y positivo hacia abajo. Resultados por dovelas Se hace clic en la pestaña VISUALIZE y se selecciona la opción Results for dowels, se muestra la siguiente ventana.

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Figura 36. Resultados por dovelas. Fuente: Autor. Al seleccionar una dovela sobre la gráfica izquierda, EVERFE muestra en la pantalla el número de la dovela, el momento máximo y la fuerza cortante máxima que soporta, esto se determina incluyendo las componentes de esfuerzo en la dirección Y y Z. En el cuadro Response to select (local), seleccionamos el tipo de esfuerzo que queremos graficar, se tienen 5 opciones. Nq (Axial): Fuerza axial en el eje X. Fr (Shear): Fuerza cortante en el eje Y. Fs (Shear): Fuerza cortante en el eje Z. Mr (Moment): Momento en el eje Y. Ms (Moment: Momento en el eje Z. Luego se hace clic en el botón View Now, y EVERFE muestra las gráficas de la variación del esfuerzo a lo largo de la dovela.

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Figura 37. Fuerza cortante en la dovela. Fuente: Autor.

Figura 38. Fuerza axial en la dovela. Fuente: Autor. AYUDA PARA EL USUARIO En la pestaña HELP se encuentran los manuales de ayuda para el usuario en cualquier tema que se dese profundizar sobre la aplicación del programa EVERFE.

FRANKLIN ALBERTO BORDA ÁLVAREZ

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