Francisco Javier Navarro Izquierdo

ESCUELA DE INGENIERIAS

MARINA, NAUTICA Y RADIOELECTRONICA

AMPLIACION DE MATEMATICAS

Francisco Javier Navarro Izquierdo

Puerto Real, Cadiz, Octubre de 2018

Indice

1 Geometrıa esferica 1

1.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Triangulos esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1 Propiedades de los triangulos esfericos . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Trigonometrıa esferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Resolucion de triangulos esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6 El pentagono de Neper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7 Coordenadas geograficas y rumbo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Ecuaciones diferenciales 15

2.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Ecuaciones diferenciales ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.1 Ecuaciones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.2 Ecuaciones de variables separadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.3 Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.4 Ecuaciones de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior . . . . . . . . . . . . 22

i

Indice

2.5 Sistemas de EDOs de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.6 Resolucion de EDOs con la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . 30

2.7 Ecuaciones en derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Metodos numericos 41

3.1 Metodo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1.1 Interpretacion geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1.2 Resolucion analıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1.3 Localizacion de raices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.1.4 Aplicacion del metodo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2 Polinomio de interpolacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3 Integracion numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3.1 Regla del trapecio simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3.2 Regla de Simpson I simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3.3 Regla de Simpson II simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3.4 Reglas del trapecio, Simpson I y Simpson II compuestas . . . . . . 52

3.3.5 Metodo de Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4 Resolucion numerica de EDOs de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.4.1 Metodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.4.2 Metodos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.5 Algebra matricial. Factorizacion LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.5.1 Aplicacion en distemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.5.2 Aplicacion en calculo de determinantes . . . . . . . . . . . . . . . 65

Bibliografıa recomendada 67

ii

CAPITULO

1Geometrıa esferica

1.1 Introduccion

La geometrıa que nos ensenan en la escuela es la mas clasica, aquella que podemos

elaborar en un papel sobre una mesa. Esta geometrıa se llama plana o Euclıdea.

Sin embargo, esta geometrıa no es util para un navegante, ya que la superficie por la que

se desplaza (la Tierra) no es plana sino “redonda”. Lo mismo ocurre con los astronomos

en su Esfera Celeste. Habrıa que desarrollar una geometrıa que se ajustase a este tipo de

superficie. La geometrıa esferica.

1.2 Conceptos generales

La Geometrıa Esferica se corresponde con aquella que se desarrolla en la superficie bi-

dimensional de una esfera. Es el modelo mas simple de la geometrıa elıptica.

Definicion 1.1. Una circunferencia maxima o geodesica son las obtenidas al cortar lasuperficie esferica por planos que pasan por el centro de la esfera. Del corte por un planoque no pase por el centro resulta una circunferencia menor.

1

1. Geometrıa esferica

El concepto de “recta” de la geometrıa plana, se identifica con las geodesicas de la

geometrıa esferica. Una de las primeras diferencias que encontramos con la geometrıa

plana es que mientras que en esta pueden encontrarse dos rectas paralelas, dos circunfer-

encias maximas nunca pueden ser paralelas, siempre se cortan. Lo que conocemos como

“paralelos” no son circunferencias maximas.

• •

Mientras que en la geometrıa plana el camino mas corto entre dos puntos es una recta, en

la geometrıa plana el camino mas corto entre dos puntos viene dado por la circunferencia

maxima que pasa por ambos y que estarıa determinada por el plano que pasa por ambos

puntos y el centro de la esfera.

Definicion 1.2. La distancia esferica entre dos puntos A y B de la superficie de la esferaes el arco mas pequeno de la circunferencia maxima que los contiene.

Esta distancia (o arco) se expresa generalmente en forma de angulo, y se corresponde

con el angulo que forman las dos rectas que pasan por dichos puntos y el centro de la

circunferencia.

2

1.2 Conceptos generales

•

••

α

AB

Esta es una forma general de dar la longitud de un arco, ya que no depende del radio

de la esfera. Las distancias esfericas estaran siempre comprendidas entre 0o y 180o. La

longitud del arco puede calcularse con la siguiente formula

L =2 · π · r · α

360

siendo α el angulo definido por el arco en grados y r el radio de la esfera.

Definicion 1.3. Dos puntos A y B son diametralmente opuestos o antipodales si la dis-tancia esferica entre ambos es de 180o.

Dos puntos diametralmente opuestos estan alineados con el centro de la esfera. Esto

es, son las dos intersecciones con la esfera de una recta que pasa por su centro. Existen

infinitas circunferencias maximas que pasan por ambos puntos.

Definicion 1.4. El angulo esferico es el angulo que forman dos circunferencias maximasal cortarse en sus dos puntos diametralmente opuestos.

El angulo esferico viene determinado por el angulo que forman los planos que generan

ambas circunferencias maximas.

••α

α

3


Los angulos esfericos estan comprendidos entre entre 0o y 180o. Dos circunferencias

maximas son perpendiculares si el angulo que forman es igual a 90o.

Si tomamos el cırculo maximo perpendicular a los dos cırculos maximos que definen

el angulo esferico, se tiene que dicho angulo coincide con el del arco definido por la in-

terseccion de ambas circunferencias maximas en su perpendicular. Como veremos mas

adelante esto da lugar a una de las propiedades de los triangulos birrectangulos.

•α

α

En otras palabras, dos circunferencias maximas se cortan en dos polos y el angulo que

forman es el mismo que el del arco definido en su ecuador.

Definicion 1.5. Los polos de un cırculomaximo son los dos puntos de la su-perficie esferica cuya distancia esfericaa cualquier punto del cırculo maximo essiempre la misma (90o).

Se dice que el cırculo maximo es elecuador de dichos polos y los semicırculosmaximos que pasan por ellos los meridi-anos.

•

•

•

Polo

Polo

Ecuador

Meridiano

Los polos de un cırculo maximo vienen determinados por la perpendicular al plano que

genera la circunferencia maxima y que pasa por el centro de la esfera.

4

1.3 Triangulos esfericos

En los polos concurren todas las circunferencias maximas perpendiculares a la circun-

ferencia maxima dada.

Por tanto, los polos de una circunferencia maxima pueden determinarse dibujando dos

circunferencias maximas perpendiculares a ella. Los puntos en los cuales se cortan las dos

circunferencias son los polos.

1.3 Triangulos esfericos

La resolucion de triangulos esfericos (y por tanto la trigonometrıa esferica) es funda-

mental a la hora resolver problemas de posicionamiento, rumbo o cambios de husos hor-

arios.

Definicion 1.6. Un triangulo esferico es la figura formada por tres arcos de circunferenciamaxima. Los puntos de corte de las tres circunferencias se llaman vertices del trianguloesferico.

Designaremos con las mayusculas A, B y C a los vertices del triangulo y a los lados con

minusculas a, b, c y con igual letra que su vertice opuesto.

•

C

B

Ac

b

a

En la trigonometrıa esferica los seis elementos del triangulo, 3 lados y 3 angulos, se

miden en grados, minutos y segundos. Podemos encontrar diferentes tipos de triangulos

esfericos:

• Isosceles, equilatero y rectangulo, igual que en trigonometrıa plana.

• Rectilatero, si tiene un lado de 90o.

• Birrectangulo, si tiene dos angulos rectos.

5


• Trirrectangulo u octante si tiene todos los lados y angulos rectos.

Triangulo rectangulo Triangulo birrectangulo Triangulo trirrectangulo

1.3.1 Propiedades de los triangulos esfericos

1. Cada lado y cada angulo es menor que 180o (y mayor que 0o).

2. La suma de los lados de un triangulo es menor que 360o.

3. La suma de los angulos es mayor que 180o y menor 540o.

4. Si a > b entonces A > B. Por tanto, angulo mayor es el opuesto al lado mayor y el

angulo menor es el opuesto al lado menor.

5. En un triangulo birrectangulo el valor de cada angulo coinciden con el valor de su

lado opuesto.

6. En un triangulo rectangulo, los catetos y su angulos opuesto son del mismo tipo.

7. Cualquier lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

1.4 Trigonometrıa esferica

Formulas de Bessel:

• Formula del seno:sen(a)

sen(A)=

sen(b)

sen(B)=

sen(c)

sen(C)

• Formula del coseno del lado

cos(a) = cos(b) cos(c) + sen(b) sen(c) cos(A)

cos(b) = cos(a) cos(c) + sen(a) sen(c) cos(B)

cos(c) = cos(a) cos(b) + sen(a) sen(b) cos(C)

6

1.5 Resolucion de triangulos esfericos

• Formula del coseno del angulo

cos(A) = − cos(B) cos(C) + sen(B) sen(C) cos(a)

cos(B) = − cos(A) cos(C) + sen(A) sen(C) cos(b)

cos(C) = − cos(A) cos(B) + sen(A) sen(B) cos(c)

Analogıas de Neper

tgA+B

2

cotgC

2

=cos

a− b2

cosa+ b

2

tgA−B

2

cotgC

2

=sen

a− b2

sena+ b

2

tga+ b

2

tgc

2

=cos

A−B2

cosA+B

2

tga− b2

tgc

2

=sen

A−B2

senA+B

2

Intercambiando la letra “c” por “a” obtenemos 4 formulas mas y si lo hacemos por “b”

habremos obtenido 12 analogıas en total.

1.5 Resolucion de triangulos esfericos

Resolver un triangulo significa calcular todos sus lados y angulos. Para resolver un

triangulo esferico, unicamente necesitamos conocer tres datos.

1. Dados los tres lados a, b, c, despejamos del el angulo de la formula del coseno del

lado. Por ejemplo para resolver el angulo A tenemos que

cos(A) =cos(a)− cos(b) cos(c)

sen(b) sen(c)

2. Dados los tres angulos A, B, C, despejamos del el lado de la formula del coseno del

angulo. Por ejemplo para resolver el lado a tenemos que

cos(a) =cos(A) + cos(B) cos(C)

sen(B) sen(C)

7


3. Dos lados y el angulo que forman. Por ejemplo, si tenemos a, b, C, resolvemos

primero el lado c con la formula del coseno del lado

cos(c) = cos(a) cos(b) + sen(a) sen(b) cos(C)

y una vez tenemos los tres lados resolvemos el triangulo como en el primer caso.

4. Dos angulos y el lado comun. Por ejemplo, si tenemos A, B, c, resolvemos primero

el angulo C con la formula del coseno del angulo

cos(C) = − cos(A) cos(B) + sen(A) sen(B) cos(c)

y una vez tenemos los tres angulos resolvemos el triangulo como en el segundo caso.

5. Dos lados y un angulo opuesto. Por ejemplo, si tenemos a, b, A, resolvemos primero

el angulo B con la formula del seno

sen(B) =sen(A) sen(b)

sen(a)

y una vez obtenidos dos angulos y sus lados opuestos utilizamos las analogıas de

Neper para obtener los datos restantes (ver final de la seccion).

6. Dos angulos y un lado opuesto. Por ejemplo, si tenemosA,B, a, resolvemos primero

el lado b con la formula del seno

sen(b) =sen(a) sen(B)

sen(A)

y una vez obtenidos dos angulos y sus lados opuestos utilizamos las analogıas de

Neper para obtener los datos restantes (ver final de la seccion).

En estos dos ultimos casos, para calcular B o b hay que aplicar el arcsen lo cual nos

proporciona una ambiguedad ya que obtenemos dos posibles resultados: α y 180o −α. En

estos casos hay que interpretar el problema para decidir cual escoger.

Las analogıas de Neper son utiles a la hora de resolver triangulos esfericos de los cuales

conocemos dos lados y sus angulos opuestos. En tal caso usando las analogıas de Neper

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1.6 El pentagono de Neper

podemos resolver el angulo y lado restante. Por ejemplo, si tenemos A, B, a y b

cotgC

2=

cosa+ b

2tgA+B

2

cosa− b2

; tgc

2=

tga+ b

2cos

A+B

2

cosA−B

2

.

1.6 El pentagono de Neper

Cuando nos encontramos ante un triangulo rectangulo, son necesarios dos datos ademas

del angulo recto que ya conocemos. En este caso, si suponemos que A = 90o, las formulas

de Bessel pueden simplificarse de la siguiente manera:

• Formula del seno: sen(b) = sen(a) sen(B) y sen(c) = sen(a) sen(C).

• Formula del coseno del lado: cos(a) = cos(b) cos(c).

• Formula del coseno del angulo:

cos(a) = cotg(B) cotg(C)

cos(B) = sen(C) cos(b)

cos(C) = sen(B) cos(c)

De forma similar, si el triangulo es rectilatero, por ejemplo a = 90o, obtenemos las

siguientes simplificaciones de las formulas de Bessel:

• Formula del seno: sen(B) = sen(A) sen(b) y sen(C) = sen(A) sen(c).

• Formula del coseno del lado:

− cos(A) = cotg(b) cotg(c)

cos(b) = sen(c) cos(B)

cos(c) = sen(b) cos(C)

• Formula del coseno del angulo: − cos(A) = cos(B) cos(C).

Estas relaciones trigonometricas estan reflejadas en la regla del pentagono de Neper.

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• El coseno de cada vertice es igual al producto de los senos de los vertices opuestos.

• El coseno de cada vertice es igual al producto de las cotangegntes de los vertices

adyacentes.

A = 90

a

C

90− b90− c

B

a = 90

180−A

c

90−B90− C

b

De esta forma, puede utilizarse la formula del coseno del angulo simplificada, en vez

de las analogıas de Neper, para resolver el triangulo rectangulo cuando conocemos dos

angulos y sus lados opuestos. En el caso de que A = 90o, si conocemos a, b y B (ya

sea porque los hemos calculado o porque no los han proporcionado) entonces calculamos

primero C usando la formula del coseno y posteriormente c:

sen(C) =cos(B)

cos(b); cos(c) =

sen(B)

cos(C).

1.7 Coordenadas geograficas y rumbo

Cuando trabajamos en un sistema tridimensional, podemos utilizar varios sistemas de

coordenadas. Los mas conocidos son el sistema de coordenadas cartesianas y el de coorde-

nadas esfericas.

• El sistema de referencia cartesiano se compone de un origen O en el que concurren

tres ejes coordenados perpendiculares entre sı llamados x, y y z. Las coordenadas

(x, y, z) de un punto P son las proyecciones del vector OP sobre cada uno de los

ejes.

• El sistema de referencia esferico se compone de un origenO en el que concurren dos

ejes de giro tambien perpendiculares entre sı. En este caso, las coordenadas (ρ, θ, ϕ)

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de un punto P vienen dadas por la distancia de P al origen y el angulo de giro sobre

cada uno de los ejes.

Relaciones entre ambos sistemas:

x = ρ sen(θ) cos(ϕ)y = ρ sen(θ) sen(ϕ)z = ρ cos(θ)

ρ =√x2 + y2 + z2

θ = arctan(√x2 + y2/z)

ϕ = arctan(y/z)

P

ϕ

θ

ρ

z

yx

•

•

En el cambio de coordenadas cartesianas a esfericas, existe una ambiguedad a la hora

de hacer el arctan que ha de ser resuelta observando el cuadrante en el cual se encuentra

nuestro punto (analıticamente bastarıa con observar los signos de cada una de las compon-

entes).

La superficie terrestre se aproxima a una superficie esferica de radio medioR = 6371km.

Por tanto, tendrıa sentido utilizar las coordenadas esfericas y olvidarnos del radio, ya que

lo supondrıamos como constante, obteniendo un sistema coordenado bi-dimensional.

Las coordenadas geograficas utilizan esta idea. Fijan dos lıneas de referencia, un cırculo

maximo y un meridiano de este: el Ecuador y el meridiano de Greenwich. En tal caso

de forma muy parecida a como se hace en las coordenadas esfericas, podemos expresar la

posicion de un punto en la superficie terrestre mediante longitud y latitud.

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• La latitud de un punto P es la distancia al Ecuador, es decir el arco del meridiano

de P (o meridiano del lugar) que empieza en P y acaba en el Ecuador.

La latitud esta comprendida entre 0o y 90o y anadiremos al valor de la latitud la letra

N o S segun estemos en el hemisferio norte o en el sur respectivamente.

• La longitud de un punto P es el angulo formado por el meridiano de P y el de

Greenwich. Es decir, el arco que determinan ambos meridianos en el Ecuador.

La longitud esta comprendida entre 0o y 180o y anadiremos la letra W o E segun

estemos a la izquierda o a la derecha del meridiano de Greenwich respectivamente.

Podemos prescindir de las letras a la hora de expresar la latitud y la longitud. Basta con

tomar latitud positiva si es N y negativa si es S. Lo mismo ocurre para la longitud, tomamos

longitud positiva si es E y negativa si es W.

•

•P

lon

lat

S

N

EW

z

y

x•

Ecuador

Meridiano deGreenwiwch

Meridiano delLugar

Origen deCoordenadasGeograficas

Para realizar el cambio de coordenadas, simplemente hay que tener en cuenta que el eje

x ha de pasar por el origen de coordenadas geograficas y que ρ = 6371km siempre.

Para determinar el rumbo que llevamos al navegar por una circunferencia maxima (tambien

llamadas ortodromas) necesitamos tener en cuenta el meridiano del lugar en el que nos en-

contramos. El rumbo lo mediremos de 0o a 360o empezando en el meridiano (al norte del

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barco) y girando en sentido horario (sentido E) hasta el arco de la circunferencia maxima

que determina la trayectoria. El rumbo tambien puede tomarse en sentido antihorario pero

en ese caso hay que especificarlo anadiendo la letra W.

Las circunferencia sobre la superficie esferica que siempre mantienen el rumbo constante

se llaman loxodromas, son comodas para navegar pero no son arcos maximos y no las

usaremos en trigonometrıa esferica. Por ejemplo los paralelos (que tienen rumbo constante

de 90 o o de 270 o ) estan prohibidos como lados de un triangulo esferico.

De esta forma, para resolver problemas de navegacion entre dos puntosA yB, planteando

un triangulo esferico formado por dichos puntos y uno de los polos. Obteniendo los lados

a y b a partir de las latitudes (y viceversa), el angulo en el polo a partir de las longitudes (y

viceversa), los angulos A y B a partir de los rumbos (y viceversa) y el lado c a partir de la

distancia que separa A y B.

13

CAPITULO

2Ecuaciones diferenciales

2.1 Introduccion

Supongamos que acabamos de parar un motor, a una temperatura de 70oC, y queremos

conocer la funcion T (t) que determina la temperatura del motor en el instante t. Entonces

T ′(t) sera la variacion de la temperatura en el instante t. La ley de enfriamiento de Newton

describe este proceso mediante la ecuacion diferencial

T ′(t) = −k(T (t)− Tm),

donde k es una constante de proporcionalidad y Tm la temperatura del medio.

Estamos acostumbrados a ecuaciones en las que la incognita es un numero real, pero

ahora se trata de una funcion, en este caso T (t). Como en el caso de la ley del enfriamiento

de Newton, hay comportamientos que se describen a partir de ecuaciones diferenciales, por

lo que en este tema veremos como se resuelven algunas de ellas.

2.2 Ecuaciones diferenciales ordinarias

Una ecuacion diferencial ordinaria (EDO) es una ecuacion que relaciona una funcion

de una variable con sus derivadas. La ecuacion diferencial mas inmediata es aquella que se

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2. Ecuaciones diferenciales

plantea a la hora de calcular la integral de una funcion. Si llamamos

y(x) =

∫G(x)dx

se tiene que y(x) es la solucion de la ecuacion diferencial y′(x) = F (x).

El orden de una ecuacion diferencial ordinaria es el de la derivada mas alta que aparece.

Generalmente, una ecuacion diferencial de orden n puede escribirse de la forma

y(n) = G(x, y(x), y′(x), y′′(x), . . . , y(n−1)(x)).

Una ecuacion diferencial ordinaria tiene multiples soluciones. Pongamos como ejemplo

la ecuacion diferencial y′(x) = 3x2 + 1, entonces las soluciones son

y(x) =

∫3x2 + 1dx = x3 + x+ C

siendo C ∈ R una constante. Sin embargo, si especificamos que la solucion tiene que

verificar que y(0) = 3 entonces necesariamente C = 3. Esto es lo que se conoce como

problema de valores iniciales (PVI). Para una ecuacion diferencial de orden n habrıa que

fijar n condiciones

y(x0) = y0, y′(x1) = y1, . . . , y

(n−1)(xn−1) = yn−1.

Las soluciones de una ecuacion diferencial pueden darse explıcita o implıcitamente. La

solucion explıcita es aquella que muestra directamente la expresion de y(x) respecto de

la variable x. Sin embargo hay veces que no es posible o presenta una gran dificualtad

ecnontrar la expresion de la solucion explıcita y por tanto hay que dar la solucion implıcita,

es decir, en forma de ecuacion que relacione x e y.

En lo que sigue llamaremos a la funcion y(x) simplemente por y para reducir la notacion.

2.3 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

Las ecuaciones diferenciales de primer orden, pueden escribirse de la forma

y′ = G(x, y).

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Lamentablemente, no hay metodo general para resolver ecuaciones diferenciales de primer

orden. Hay muchos tipos de ecuaciones diferenciales y cada uno de ellos tiene una forma

de resolverse.

2.3.1 Ecuaciones exactas

Supongamos queF (x, y) = K. Si derivamos la igualdad obtenemos la siguiente ecuacion

dF (x, y)

dx+dF (x, y)

dyy′ = 0,

que es una ecuacion diferencial cuya solucion viene dada implıcitamente por F (x, y) = K.

Teniendo en cuenta que y′ =dy

dx, si llamamos

P (x, y) =dF (x, y)

dxy Q(x, y) =

dF (x, y)

dy,

podemos escribir la ecuacion diferencial como

P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0.

En realidad toda ecuacion diferencial ordinaria puede transformarse en una expresion de

este tipo. Si ademas se verifica que

dP (x, y)

dy=dQ(x, y)

dx

estaremos ante una ecuacion exacta.

Veamos ahora el procedimiento para calcular la solucion F (x, y) = K de una ecuacion

diferencial exacta.

Resolucion utilizando P (x, y)

Comenzamos integramos P (x, y) respecto de x,

F (x, y) =

∫P (x, y)dx = f(x, y) + C(y)

En el resultado aparece una constante que depende de la variable que no estabamos

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integrando (y). ComodF (x, y)

dy= Q(x, y) planteamos

df(x, y)

dy+ C ′(y) = Q(x, y)

para obtener C ′(y). De esta forma, integrando obtendremos la expresion de C(y) habiendo

hallado entonces F (x, y). La solucion viene dada implıcitamente por F (x, y) = K.

Resolucion utilizando Q(x, y)

El proceso es similar al anterior. Comenzamos integrando Q(x, y) respecto de y ob-

teniendo que

F (x, y) = g(x, y) + C(x)

y por tanto para calcular C(x) plantearıamos

dg(x, y)

dx+ C ′(x) = P (x, y)

para obtener la expresion deC ′(x) e integrarla para obtenerC(x). La resolucion se termina

igual que en el caso anterior.

Ejemplo 2.1. Resolvamos la ecuacion (3x2−2x−y)+(2y−x+3y2)y′ = 0. Observemosque es equivalente a resolver

(3x2 − 2x− y)dx+ (2y − x+ 3y2)dy = 0.

Llamemos P (x, y) = 3x2 − 2x− y y Q(x, y) = 2y − x+ 3y2. Comprobemos primeroque la ecuacion es exacta

P (x, y)

dy=Q(x, y)

dx= −1.

Para resolverla primero integramos P (x, y) respecto de x y obtenemos que

F (x, y) =

∫P (x, y)dx = x3 − x2 − yx+ C(y).

Calculemos C(y). Para ello derivamos F (x, y) respecto de y e igualamos a Q(x, y)

−x+ C ′(y) = 2y − x+ 3y2

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y obtenemos que C ′(y) = 2y + 3y2 por tanto

C(y) =

∫2y + 3y2dy = y2 + y3 + C1

por lo que, tomando K = −C1, la solucion viene dada implıcitamente por

F (x, y) = x3 − x2 − yx+ y2 + y3 = K.

2.3.2 Ecuaciones de variables separadas

Se dice que una ecuacion diferencial ordinaria es de variables separadas si es de la forma

y′ = a(x)b(y).

Teniendo en cuenta que y′ =dy

dxy llamando P (x) = −a(x) y Q(y) =

1

b(y)podemos

“separar las variables” y escribir la ecuacion diferencial como

P (x)dx+Q(y)dy = 0,

que es una ecuacion exacta. Entonces, podemos integrar por separado

p(x) =

∫P (x)dx, q(y) =

∫Q(y)dy

de modo que la solucion de la ecucacion viene dada implicitamente por p(x) + q(y) = C.

Ejemplo 2.2. Resolvamos la ecuacion (x2 + 9)y′ + xy = 0. En primer lugar vamos atratar de separar las variables. Para ello primero despejaremos y′ obteniendo

y′ = − xy

x2 + 9.

Pasando un poco por alto la rigurosidad matematica y teniendo en cuenta que y′ =dy

dx,

podemos obtenerx

x2 + 9dx+

1

ydy = 0.

Integrando ambos miembros tenemos que

ln |x2 + 9|2

+ C1 + ln |y|+ C2 = C3.

19


Llamando C = eC3−C1−C2 , podemos despejar y de la ecuacion anterior obteniendo lasolucion explıcita

y(x) =C√x2 + 9

.

2.3.3 Ecuaciones lineales

Se dice que una ecuacion diferencial ordinaria es lineal si es de la forma

y′ = a(x)y + b(x).

A la ecuacion y′ = a(x)y se le llama ecuacion homogenea asociada a la ecuacion difer-

encial anterior. Para resolver una ecuacion diferencial lineal primero debemos obtener la

solucion de la ecuacion homogenea asociada, que es de variables separadas. Resolviendo

1

ydy = a(x)dx

se tiene que

ln |y|+ C1 =

∫1

ydy =

∫a(x)dx = f(x) + C2.

Tomando C = eC2−C1 tenemos que y = Cef(x). Utilizando la variacion de constantes

de Lagrange en yh(x), tenemos que la solucion general de la ecuacion es

y(x) = C(x)ef(x).

Por tanto, tenemos que sustituir y(x) en la ecuacion original para calcular C(x), ob-

teniendo la siguiente igualdad

C ′(x)ef(x) + C(x)f ′(x)ef(x) = a(x)C(x)ef(x) + b(x).

Despejando C ′(x) obtenemos que

C ′(x) = (a(x)− f ′(x))C(x) + b(x)e−f(x)

que si tenemos en cuenta que f ′(x) = a(x), queda que

C ′(x) = b(x)e−f(x).

20


Calculamos entonces C(x) =∫b(x)e−f(x)dx teniendo la solucion de la ecuacion difer-

encial original

y(x) =(∫

b(x)e−f(x)dx)ef(x).

Ejemplo 2.3. Resolvamos la ecuacion

y′ =1

xy + x2 + 2.

Llamemos a(x) =1

xy b(x) = x2 + 2. Entonces tenemos que

y = Cx

por lo solucion es y(x) = C(x)x. Sustituyendo en la ecuacion original y despejandotenemos que

C ′(x) =x2 + 2

x= x+

2

x.

Por lo tanto, tenemos que C(x) =x2

2+ 2 ln(x) +K. Luego la solucion es

y(x) = x

(x2

2+ 2 ln(x) +K

).

2.3.4 Ecuaciones de Bernoulli

Se dice que una ecuacion diferencial es lineal si es de la forma

y′ = a(x)y + b(x)ym

con m ∈ N \ {1}.

La estrategia para resolver ecuaciones de Bernoulli es transformarlas mediante un cam-

bio de variable en una ecuacion lineal. Tomamos entonces el cambio

y = u1

1−m .

Sustituyendo en la ecuacion de Bernoulli tenemos que

1

1−mu

m1−mu′ = a(x)u

11−m + b(x)u

m1−m ,

21


de donde despejando u′ se tiene que

u′ = (1−m)a(x)u+ (1−m)b(x).

Resolviendo esta ecuacion lineal, obtenemos la expresion de u(x). Finalmente, el cam-

bio de variable se deshace obteniendo la solucion y(x).

Ejemplo 2.4. Resolvamos la ecuacion

y′ =1

−2xy +

x2 + 2

−2y3.

Resolvamos primero

u′ = (−2) 1

−2xu+ (−2)x

2 + 2

−2

=1

xu+ x2 + 2

que es la misma ecuacion lineal del Ejemplo 2.3 con solucion

u(x) = x

(x2

2+ 2 ln(x) +K

)

Si deshacemos el cambio, tenemos que

y(x) =1√

x

(x2

2+ 2 ln(x) +K

) .

2.4 Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior

En este apartado vamos a estudiar la resolucion de ecuaciones diferenciales ordinarias

de orden mayor que uno lineales con coeficientes constantes. La resolucion se compone de

dos pasos fundamentales: calcular primero una solucion yh(x) de la ecuacion homogenea

y posteriormente la solucion general. Esto ultimo puede hacerse

• Utilizando el metodo de variacion de constantes sobre yh(x) tal y como se hacıa en

las EDOs lineales de primer orden. Que no sera el que utilizaremos en esta seccion.

22

2.4 Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior

• Calcular una solucion particular yp(x) de la ecuacion, obteniendo como solucion

general y(x) = yh(x) + yp(x). Que sera el que utilizaremos en esta seccion.

Resolucion de la homogenea

Para evitar dificultades de tratar con un orden arbitrario, vamos a comenzar por las ecua-

ciones de segundo orden, que son la forma

ay′′ + by′ + cy = f(x)

donde a, b, c ∈ R.

Para calcular una solucion de la ecuacion homogenea ay′′ + by′ + cy = 0 utilizaremos

el procedimiento de la ecuacion auxiliar. Esto consiste calcular las soluciones m1 y x2 de

la siguiente ecuacion de segundo grado:

am2 + bm+ c = 0.

Cuando las soluciones m1 y m2 son reales:

• Si m1 6= m2 entonces yh(x) = Aem1x +Bem2x.

• Si m1 = m2 entonces yh(x) = Aem1x +Bxem2x.

Cuando las soluciones son del tipo m1 = α+ βi y m2 = α− βi entonces

yh(x) = Aeαx sen(βx) +Beαx cos(βx).

Ejemplo 2.5. Resolvamos la ecuacion homogenea

y′′ + 2y′ + y = 0

Las soluciones de m2 + 2m+ 1 = 0 son m1 = m2 = −1. Luego

yh(x) = C1e−x + C2xe

−x.

Ante una ecucacion diferencial de orden n, entonces tendrıamos que resolver una

ecuacion anmn+· · ·+a1m+a0 = 0 de grado n. En este caso, yh(x) la generamos sumando

terminos progresivamente fijandonos en las soluciones de anmn + · · ·+ a1m+ a0 = 0.

23


• Si hay una solucion real m repetida r veces entonces sumamos

A1emx +A2xe

mx + · · ·+Arxremx.

• Si un par de soluciones α+ βi y α− βi se repiten r veces entonces

A1eαx sen(βx) +B1e

αx cos(βx) + · · ·+Arxreαx sen(βx) +Brx

reαx cos(βx).

Calcular solucion particular

Existen varios metodos para calcular una solucion particular. En este apartado utiliz-

aremos el metodo de los coeficientes indeterminados, que es bastante sencillo cuando el

termino independiente f(x) de la ecuacion es una funcion lo suficientemente sencilla.

El metodo consiste construir la solucion particular siguiendo el tipo de funcion f(x) de

forma que

f(x) yp(x)

keλx Keλx

knxn + . . . k1x+ k0 Knx

n + . . .K1x+K0

k1 sen(λx) + k2 cos(λx) K1 sen(λx) +K2 cos(λx)

Si f(x) es suma o producto de los casos que se presentan en la tabla entonces yp(x) sera la

suma o producto de los casos correspondientes.

Hay que tener especial cuidado de que yp(x) no sea una solucion particular de yh(x).

Para solucionar este problema, se multiplica por x la solucion aportada por la tabla anterior.

Ejemplo 2.6. Veamos algunos ejemplos:

1. Si yh(x) = Ae2x +Bex y f(x) = e2x entonces yp(x) = Kxe2x.

2. Si yh(x) = Ae2x +Bxe2x y f(x) = e2x entonces yp(x) = Kx2e2x.

3. Si yh(x) = A sen(x) +B cos(x) y f(x) = cos(x) entonces

yp(x) = K1x sen(x) +K2x cos(x).

24

2.5 Sistemas de EDOs de primer orden

Una vez que tenemos la forma de nuestra solucion particular, hay que determinar el valor

de los coeficientes K sustituyendo yp(x) en la ecuacion diferencial original.

Ejemplo 2.7. Resolvamos la ecuacion y′′ + 2y′ + y = x3 + 4.

Primero hemos de resolver la ecuacion homogenea y′′ + 2y′ + y = 0, cuya solucion

yh(x) = C1e2x + C2xe

2x

ya hemos calculado en el Ejemplo 2.5. Ahora hay que calcular una solucion particular.Para ello nos fijamos en el lado derecho de la igualdad. Se trata de un polinomio de grado3, ası que la solucion particular ha de ser del tipo

yp(x) = ax3 + bx2 + cx+ d.

Ahora necesitamos calcular los parametros. Para ello se sustituye yp(x) en la ecuacionoriginal, y′′p + 2y′p + yp = x3 + 4, y tenemos que

ax3 + (6a+ b)x2 + (6a+ 4b+ c)x+ 2b+ 2c+ d = x3 + 4.

Es decir, han de verificarse las siguientes ecuaciones:a = 1

6a+ b = 0

6a+ 4b+ c = 0

2b+ 2c+ d = 4

Resolviendo el sistema se tiene que yp(x) = x3− 6x2 +18x− 20. La solucion general dela ecuacion es entonces y(x) = yh(x) + yp(x), que da lugar a

y(x) = C1e2x + C2xe

2x + x3 − 6x2 + 18x− 20.


En general, un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (de cualquier orden) es un

sistema de ecuaciones que relaciona multiples funciones con sus derivadas, no necesari-

amente de primer orden. Sin embargo, basta con estudiar los sistemas diferenciales de

primer orden, ya que como veremos mas adelante, una ecuacion de grado superior puede

convertirse en un sistema de primer orden.

En general, un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden son de la

25


forma y′1(x) = G1(x, y1, y2, . . . , yn)y′2(x) = G2(x, y1, y2, . . . , yn)

...y′n(x) = Gn(x, y1, y2, . . . , yn)

Al igual que ocurrıa con las ecuaciones diferenciales, no hay un metodo general para

resolver sistemas de ecuaciones lineales de primer orden. De hecho son muy difıciles de

resolver. Solo se disponen de metodos analıticos generales para resolver sistemas lineales

especiales. Debido a la duracion del curso, en esta seccion vamos a centrarnos en estudiar

como se resuelve un sistema lineal de coeficientes constantes, el cual se expresa de la

forma y′1(x) = a11y1(x) + a12y2(x) + · · ·+ a1nyn(x) + b1(x)y′2(x) = a21y1(x) + a22y2(x) + · · ·+ a2nyn(x) + b2(x)

...y′n(x) = an1y1(x) + an2y2(x) + · · ·+ annyn(x) + bn(x)

,

y cuya matriz de coeficientes es diagonalizable.

Si tomamos el vector funcion Y (x) y el vector derivada Y ′(x) como

Y (x) =

y1(x)y2(x)

...yn(x)

Y ′(x) =

y′1(x)y′2(x)

...y′n(x)

y la matriz de coeficientes A y la parte independiente B(x) como

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

......

. . ....

an1 an2 · · · ann

B(x) =

b1(x)b2(x)

...bn(x)

el sistema puede escribirse de forma matricial como

Y ′(x) = AY (x) +B(x)

y un sistema de valores iniciales se escribirıa entonces como{Y ′(x) = AY (x) +B(x)Y (x0) = Y0

26


La estrategia es la misma que cuando se resolvıan ecuaciones del tipo lineal. Hay que

buscar una solucion de la homogenea y obtener la general calculando una solucion partic-

ular por el metodo de los coeficientes indeterminados o utilizando el metodo de variacion

de constantes, que es el que utilizaremos en este apartado.

Calcular la solucion del sistema homogeneo

Es por eso que vamos a comenzar por ver como se resuelve el sistema homogeneo

Y ′(x) = AY (x).

La solucion general de un sistema homogeneo viene dada por Y (x) = CeAx siendo C

un vector de n constantes. Y si existen condiciones iniciales entonces C = Y0e−x0A, esto

es Y (x) = Y0e(x−x0)A.

Sin embargo, la expresion de e elevado a una matrizA es una suma de terminos infinitos.

En el caso que estamos estudiando, tenemos que A es diagonalizable, por lo que podremos

hallar las soluciones del sistema homogeneo de la siguiente forma:

1. Primero hayamos los autovalores y autovectores de A.

2. ComoA es diagonalizable obtendremos n autovectores. De esta forma, calcularemos

una solucion particular del sistema homogeneo

Yi(x) = eλixvi

por cada autovector vi obtenido siendo autobalor λi su autovalor asociado.

3. Una solucion general de la homogenea es

Yh(x) = C1Y1(x) + C2Y2(x) + · · ·+ CnYn(x)

Ejemplo 2.8. El sistema de ecuaciones diferencialesy′1(x) = 3y1(x) + y2(x) + y3(x)

y′2(x) = y1(x) + 3y2(x) + y3(x)

y′3(x) = y1(x) + y2(x) + 3y3(x)

27


tiene como matriz asociada

A =

3 1 1

1 3 1

1 1 3

,

cuyos autovalores son λ1 = 5 con multiplicidad 1 y λ2 = 2 con multiplicidad 2. Paraλ1 = 5 tenemos el autovector v1 = (1, 1, 1) y para λ2 = 2 los autovectores v2 = (1, 0,−1)y v3 = (0, 1,−1). Por tanto, las soluciones particulares asociadas a cada autovector son:

• Para v1 = (1, 1, 1):

Y1(x) = e5x

1

1

1

=

e5x

e5x

e5x

.

• Para v1 = (1, 0,−1):

Y2(x) = e2x

1

0

−1

=

e2x

0

−e2x

.

• Para v1 = (0, 1,−1):

Y3(x) = e2x

0

1

−1

=

0

e2x

−e2x

.

Luego la solucion es y1(x) = C1e

5x − C2e2x

y2(x) = C1e5x + C3e

2x

y3(x) = C1e5x − C2e

2x − C3e2x

Metodo de variacion de constantes

Una vez que tenemos la solucion de la homogenea tenemos que la solucion general del

sistema no homogeneo es

Y (x) = C1(x)Y1(x) + C2(x)Y2(x) + · · ·+ Cn(x)Yn(x)

donde Ci(x) se obtiene resolviendo Y ′(x) = AY (x) +B(x).

28


Observemos que para cada 1 ≤ i ≤ n se tiene que las soluciones Yi(x) que habıamos

calculado para el sistema homogeneo son de la forma

Yi(x) =

y1i(x)y2i(x)

...yni(x)

, tomando Yh(x) =

Y t1 (x)Y t2 (x)

...Y tn(x)

y C(x) =

(C1(x) C2(x) · · · Cn(x)

)podemos escribir Y (x) = C(x)Yh(x). Al sustituir

en el sistema nos queda que

C ′(x)Yh(x) + C(x)Y ′h(x) = AC(x)Yh(x) +B(x)

y como Y ′h(x) = AYh(x), por ser solucion de la homogenea, C ′(x)Yh(x) = B(x). Es

decir C ′1(x)y11(x) + · · ·+ C ′n(x)y1n(x) = b1(x)C ′1(x)y21(x) + · · ·+ C ′n(x)y2n(x) = b2(x)

...C ′1(x)yn1(x) + · · ·+ C ′n(x)ynn(x) = bn(x)

de donde podemos obtener C ′i(x) escalonando el sistema con el metodo de Gauss. Esto es

posible ya que yji(x) es un multiplo de yki(x). Integrando C ′i(x), se calcula Ci(x).

Ejemplo 2.9. El sistema de ecuaciones diferencialesy′1(x) = 3y1(x) + y2(x) + y3(x) + e6x

y′2(x) = y1(x) + 3y2(x) + y3(x)− e2x

y′3(x) = y1(x) + y2(x) + 3y3(x)− e2x

La solucion del sistema homogeneo se calculo en el Ejemplo 2.8, conocemos la solucionde la homogenea. Planteamos el sistema

C ′1(x)e5x − C ′2(x)e2x = e6x

C ′1(x)e5x + C ′3(x)e

2x = −e2x

C ′1(x)e5x − C ′2(x)e2x − C ′3(x)e2x = −e2x

Utilizando el metodo de Gauss se obtiene el siguiente sistema escalonadoC ′1(x)e

5x − C ′2(x)e2x = e6x

C ′2(x)e2x + C ′3(x)e

2x = −e2x − e6x

−C ′3(x)e2x = −e2x + e6x

29


Obteniendo C ′1(x) = −2e−3x + ex, C ′2(x) = −2 y C ′3(x) = 1 − e4x. Finalmente, integ-rando

C1(x) =2e−3x

3+ ex + c1, C2(x) = −2x+ c2 y C3(x) = x− e4x

4+ c3.

Transformacion de EDOs de orden superior a sistemas de primer orden

Una de las formas de resolver ecuaciones de orden superior es transformarla en un sis-

tema de primer orden. Es decir, resolver la ecuacion

y(x)(n) = G(x, y, y′, y′′, . . . , y(n−1))

es equivalente a resolver el sistema

y1(x) = y′0(x)y2(x) = y′1(x)

...yn(x) = y′n−1(x)y′n(x) = G(x, y0, y1, . . . , yn−1)

De esta misma forma, cualquier sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, puede

ser transformado en un sistema de primer orden.

2.6 Resolucion de EDOs con la transformada de Laplace

En esta seccion vamos a estudiar una forma sencilla para resolver problemas de valores

iniciales en el que interviene una ecuacion diferencial lineal de cualquier orden. La idea

consiste en convertir la ecuacion diferencial en una algebraica, en general mas “sencilla”

de resolver. Tras resolver la ecuacion lineal, haremos el proceso inverso, esto es, deshacer

el cambio para obtener la solucion de la ecuacion diferencial.

En esta seccion utilizaremos la transformada de Laplace para para transformar ecua-

ciones diferenciales lineales con coeficientes constantes y resolverlas.

Definicion 2.1 (Transformada de Laplace). Sea f(x) una funcion definida en [0,+∞). Latransformada de Laplace Lf (s) viene dada por

Lf (s) =

∫ +∞

0f(x)e−sxdx.

30


Para reducir notacion cuando hagamos referencia a la transformada de Laplace la denot-

aremos por F (s) = Lf (s). Veamos a continuacion las transformadas de algunas funciones:

f(x) k xn ekx sen(kx) cos(kx) senh(kx) cosh(kx)

F (s)k

s

n!

sn+1

1

s− kk

s2 + k2s

s2 + k2k

s2 − k2s

s2 − k2

Ademas, la transformada de Laplace, cumple las siguientes propiedades:

f(x) xnf(x) e−kxf(x) af(x) + bg(x)

F (s) (−1)nF (n)(s) F (s+ k) aF (s) + bG(s)

La transformada de f (n+1)(x), la derivada n-esima, viene dada por

sn+1F (s)− snf(0)− sn−1f ′(0)− · · · − sf (n−1)(0)− f (n)(0).

Por ejemplo, tenemos que sF (s)− f(0) y s2F (s)− sf(0)− f ′(0) son las transformadas

de f ′(x) y f ′′(x) respectivamente.

Si tenemos en cuenta la tabla de transformadas y las propiedades que se muestran en la

tabla anterior, tenemos que la transformada de f(x) = e−rxxn es

F (s) =n!

(s+ r)n+1.

Ademas, puede construirse la siguiente tabla combinando la transformada anterior con

senos y cosenos:

f(x) x sen(kx) e−rx sen(kx) xe−rx sen(kx)

F (s)2ks

(s2 + k2)2k

(s+ r)2 + k22k(s+ n)

((s+ r)2 + k2)2

f(x) x cos(kx) e−rx cos(kx) xe−rx cos(kx)

F (s)s2 − k2

(s2 + k2)2s+ r

(s+ r)2 + k2(s+ r)2 − k2

((s+ r)2 + k2)2

31


De la misma forma puede obtenerse una tabla similar para las funciones hiperbolicas.

Ejemplo 2.10. Si tenemos el PVI y′′ + y′ − 2y = e−2x sujeto a y(0) = 1 e y′(0) = −3.Tenemos que

s2Y − s+ 3 + sY − 1− 2Y =1

s+ 2

es el sistema equivalente al hacer el cambio con la transformada de Laplace.

Como comentabamos al comienzo de la seccion, la estrategia para resolver ecuaciones

diferenciales es utilizando la transformada de Laplace es sustituir la expresion por su trans-

formada. De este modo, estamos transformando la ecuacion diferencial en una ecuacion

lineal que depende de dos “variables”, s y F (s).

Entonces resolvemos la ecuacion lineal obtenida despejando F (s) en funcion de s y, por

ultimo, se deshace el cambio en sobre F (s) (se calcula la antitransformada de F (s)) para

obtener la solucion de la ecuacion diferencial original.

Definicion 2.2 (Antitransformada). Dada una funcion F (s) se dice que f(x) es la trans-formada de F (s) si F (s) = Lf (s).

Gracias a la tabla de transformadas podemos antitransformar fracciones simples. Por

ejemplo sabemos que la antitransformada de k/s es k. Sin embargo, el problema se

presenta cuando queremos antitransformar fracciones mas complejas. La estrategia sera

descomponer dicha fraccion como suma de otras (mas simples) cuyas antitransformadas

conozcamos.

Recordemos que para descomponer en fracciones simples hay que factorizar el denom-

inador de modo que

• Al factor (s+ a)n le correspondeA

s+ a+

B

(s+ a)2+ · · ·+ C

(s+ a)n.

• Al factor (s2 + as+ b) (si no tiene raıces reales) le correspondeMs+N

s2 + as+ b.

Para calcular las constantes del numerador hay que comparar la suma de todas las frac-

ciones (las de cada uno de los factores) y comparar grado a grado el polinomio numerador

de la fraccion obtenida con el de la original.

Las transformadas de las fracciones del tipo

A

(s+ a)n

32


se obtienen directamente de la tabla de transformadas. Sin embargo a la fraccion

Ms+N

s2 + as+ b

hay que hacerle algunos cambios completando cuadrados en el denominador. De esta

forma, se tiene que

s2 + as+ b =(s+

a

2

)2+ b− a2

4.

Si tomamos r =a

2y k =

√b− a2

4tenemos que

Ms+N

s2 + as+ b=M(s+ r) +N −Mr

(s+ r)2 + k2,

y llamando P =N −Mr

ktenemos que

M(s+ r) +N −Mr

(s+ r)2 + k2=M

s+ r

(s+ r)2 + k2+ P

k

(s+ r)2 + k2

que puede antitransformarse facilmente utilizando la tabla de antitransformadas de senos y

cosenos.

Observemos con el siguiente ejemplo lo sencillo que es resolver un PVI utilizando esta

tecnica. Cojamos el mismo problema que el que se contemplaba en el Ejemplo 2.10.

Ejemplo 2.11. Tenemos el siguiente PVI: y′′ + y′ − 2y = e−2x sujeto a y(0) = 1 ey′(0) = −3, que se transforma en

s2Y − s+ 3 + sY − 1− 2Y =1

s+ 2.

Si despejamos Y de la ecuacion anterior, tenemos que

Y (s) =s2 − 3

(s+ 2)(s2 + s− 2).

Hay que descomponer en fracciones simples. Observemos que las raıces de s2 + s − 2

son −2 y 1. Es decir el denominador se descompone como en (s− 2)2 y s− 1. Entonces

s2 − 3

(s+ 2)(s2 + s− 2)=

A

s+ 2+

B

(s+ 2)2+

C

s− 1.

33


Calculemos A, B y C teniendo en cuenta que ha de verificarse

s2 − 3 = A(s+ 2)(s− 1) +B(s− 1) + C(s+ 2)2,

entonces para s = −2 obtenemos B = −1

3, para s = 1 obtenemos C = −2

9y para s = 0

−3 = −2A+1

3− 8

9,

esto es A =11

9. Por lo tanto hay que hacer la antitransformada de

Y (s) =11

9

1

s+ 2− 1

3

1

(s+ 2)2− 2

9

1

s− 1

obteniendo ası que la solucion del PVI es

y(x) =11

9e−2x − 1

3xe−2x − 2

9ex.

Ya hemos visto un ejemplo en el que hay todos los factores son de la forma (s + a)n.

Intentemos resolver ahora uno en el que haya algun factor de la forma s2 + as+ b que no

tenga raıces reales

Ejemplo 2.12. Tenemos el siguiente PVI: y′′+y′+y = 2e−x sujeto a y(0) = 1 e y′(0) = 3,que se transforma en

s2Y − s− 3 + sY − 1 + Y =2

s+ 1.


Y (s) =s2 + 5s+ 6

(s+ 1)(s2 + s+ 1).

Hay que descomponer en fracciones simples. Observemos que las raıces de s2 + s + 1

no tiene raıces reales. Entonces la fraccion puede descomponerse como

s2 + 5s+ 6

(s+ 1)(s2 + s+ 1)=

A

s+ 1+

Ms+N

s2 + s+ 1.

Calculemos A, M y N teniendo en cuenta que ha de verificarse

s2 + 5s+ 6 = A(s2 + s+ 1) +Ms(s+ 1) +N(s+ 1),

34


entonces para s = −1 obtenemos A = 2. Para s = 0 tenemos que

6 = 2 +N,

esto es N = 4. Y si s = 1 tenemos que

12 = 6 + 2M + 8,

esto es M = −1.

Ahora bien, realizando los cambios necesarios para estos casos (vease la teorıa) tenemosque

−s+ 4

s2 + s+ 1=

s+ 1/2

(s+ 1/2)2 + 3/4+√27

√3/4

(s+ 1/2)2 + 3/4

Por lo tanto hay que hacer la antitransformada de

Y (s) =2

s+ 1+

s+ 0.5

(s+ 0.5)2 + 0.75+√27

√0.75

(s+ 0.5)2 + 0.75


y(x) = 2e−x + e−0.5x cos(√0.75x) +

√27e−0.5x sen(

√0.75x).

En realidad, a la hora de calcular el valor de las constantes de la antitransformadas,

estamos planteando un sistema de ecuaciones. En los ejemplos anteriores, no lo parecıa

porque conseguıamos “aislar” las constantes de modo que obtenıamos ecuaciones en las

que solo intervenıa una de las constantes.

Ejemplo 2.13. Tenemos el siguiente PVI: y′′ + y = 2 sujeto a y(0) = 1 e y′(0) = 3, quese transforma en

s2Y − s− 3 + Y =2

s.


Y (s) =s2 + 3s+ 2

s(s2 + 1).

Hay que descomponer en fracciones simples. Observemos que las raıces de s2 + 1 notiene raıces reales. Entonces la fraccion puede descomponerse como

s2 + 3s+ 2

s(s2 + 1)=A

s+Bs+ C

s2 + 1.

35


Calculemos A, B y C teniendo en cuenta que ha de verificarse

s2 + 3s+ 2 = A(s2 + 1) +Bs2 + Cs,

entonces para s = 0 obtenemos A = 2. La diferencia de este ejemplo con los anterioreses que no es posible aislar el parametro B o el parametro C. Entonces hay que sustituir sdos veces y resolver un sistema de ecuaciones. Esto es, si consideramos s = 1 y s = −1nos queda un sistema en la forma {

6 = 4 +B + C

0 = 4 +B − C

con solucionB = −1 yC = 3. En este caso puede procederse como en el ejemplo anterior,obteniendo

−s+ 3

s2 + 1= − s+ 0

(s+ 0)2 + 12+ 3

1

(s+ 0)2 + 12,

y luego haciendo su transformada. O, de forma equivalente, puede considerarse

−s+ 3

s2 + 1= − s

s2 + 12+ 3

1

s2 + 12,

cuya antitrasnformada sera la misma. Por lo tanto hay que hacer la antitransformada de

Y (s) =2

s− s

s2 + 12+ 3

1

s2 + 12


y(x) = 2− cos(x) + 3 sen(x).

La transformada de Laplace, tambien permite resolver sistemas de ecuaciones lineales

con coeficientes constantes de cualquier orden con condicion inicial. El procedimiento es

el mismo que con las ecuaciones, solo que a la hora de transformar, en vez de obtener una

ecuacion algebraica, tendremos un sistema con tantas transformadas como funciones haya

en el sistema original.

2.7 Ecuaciones en derivadas parciales

Hasta ahora hemos estudiado ecuaciones diferenciales ordinarias, es decir soluciones

cuya solucion era una funcion que dependıa de una unica variable: “y(x)”.

36


Existen problemas en los que la funcion ha de depender de mas de una variable (por

ejemplo, espacio y tiempo, presion y temperatura, etc.) de modo que pudieran aparecer sus

derivadas la ecuacion diferencial. A este tipo de ecuaciones se las denomina Ecuaciones

en Derivadas Parciales (EDP).

En este apartado vamos a centrarnos en un tipo de ecuaciones muy especıficas, las lin-

eales e segundo orden con coeficientes constantes. En concreto, nos centraremos en tres

tipos de ecuaciones:

• La ecuacion unidimensional del calor:

∂u

∂t(x, t) = λ

∂2u

∂x2(x, t)

Esta ecuacion modela el flujo de calor en una varilla (de longitud L) cuyos extremos

se mantienen siempre a cero grados. La funcion u(x, t) representa la temperatura en

la posicion “x” en cada instante “t”.

• La ecuacion unidimensional de onda:

∂2u

∂t2(x, t) = µ2

∂u2

∂x2(x, t)

Esta ecuacion modela las vibraciones transversales de una cuerda extendida (de lon-

gitud L). La funcion u(x, t) representa la distancia en la posicion “x” (respecto del

eje de vibracion) en cada instante “t”.

• La ecuacion bidimensional de Laplace:

∂2u

∂x2(x, y) +

∂u2

∂y2(x, y)

Esta ecuacion modela la distribucion de la temperatura en una placa rectangular. La

funcion u(x, t) representa la temperatura en cada punto “(x, y)” de la placa.

Este tipo de ecuaciones pueden resolverse utilizando el Metodo de Separacion de Vari-

ables, el cual vamos a estudiar sobre un ejemplo.

37


Metodo de separacion de variables

Supongamos que queremos resolver la ecuacion

∂2u

∂x2(x, y) =

∂u

∂y(x, y)

por el metodo de separacion de variables.

En primer lugar hay que suponer que la solucion va a ser de la forma u(x, y) = f(x)g(y),

por lo que bastarıa con calcular f(x) y g(y) para obtener la solucion de la ecuacion. Para

ello, tendremos que sustituir esta solucion en la ecuacion.

Teniendo en cuenta que

∂2u

∂x2(x, y) = f ′′(x)g(y) y

∂u

∂y(x, y) = f(x)g′(y),

la ecuacion diferencial quedarıa de la forma f ′′(x)g(y) = f(x)g′(y).

Una vez tenemos la ecuacion respecto de f(x) y g(y) es posible separar la parte que

depende de x de la que depende de y, quedando

f ′′(x)

f(x)=g′(y)

g(y).

Cada parte de la igualdad depende de una variable distinta. Por tanto, la unica forma de

que se verifique es que ambas sean igual a una constante k, dando lugar a dos ecuaciones

diferenciales ordinarias:f ′′

f= k y

g′

g= k.

Estas ecuaciones son lineales homogeneas de coeficientes constantes,

f ′′ − kf = 0 y g′ − kg = 0,

ası que pueden resolverse utilizando el procedimiento de la ecuacion auxiliar.

1. Resolvamos primero la ecuacion f ′′ − kf = 0.

Calculamos las soluciones de m2 − k = 0, que son m = ±√k. Dependiendo del

valor de k tendremos uno u otro tipo de solucion, por lo que tendremos que distinguir

tres casos diferentes (esto ocurre siempre que la ecuacion sea de segundo orden).

38


• Caso k = 0. En este caso tenemos que m1 = m2 = 0, luego

f(x) = Ae0x +Bxe0x = A+Bx.

• Caso k > 0. En este caso, si tomamos k = c2 con c 6= 0 para reducir la

expresion, tenemos que m1 = c y m2 = −c, luego

f(x) = Aecx +Be−cx

• Caso k < 0. En este caso, si tomamos en este caso k = −c2 con c 6= 0,

tenemos que m1 = ci y m2 = −ci, luego

f(x) = Ae0x sen(cx) +Be0x cos(cx) = A sen(cx) +B cos(cx)

2. Resolvamos ahora la ecuacion g′ − kg = 0.

En este caso hay que resolver m − k = 0, es decir m = k. Luego la solucion es

siempre g(x) = Cekx.

Por lo tanto, podemos calcular u(x, y) = f(x)g(y). Teniendo en cuenta que C va a

multiplicar a las constantes A y B, podemos prescindir de ella de forma que:

• u(x, y) = A+Bx cuando k = 0.

• u(x, y) = (Aecx +Be−cx)ec2x cuando k = c2 > 0.

• u(x, y) = (A sen(cx) +B cos(cx))e−c2x cuando k = −c2 < 0.

39

CAPITULO

3Metodos numericos

La primera inclinacion a la hora de resolver un problema es intentar obtener una solucion

exacta. Sin embargo, en muchos casos no disponemos de las tecnicas suficientes para

obtenerla o las existentes presentan mucha dificultad. De hecho podrıamos preguntarnos

si nos bastarıa con una solucion lo suficientemente precisa, ¿para que queremos saber la

longitud de una pared con precision de milımetros si con decımetros nos basta?.

Es por ello que, en muchos casos, es interesante utilizar tecnicas numericas para obtener

una solucion aproximada de ecuaciones, integrales, ecuaciones diferenciales, etc.

3.1 Metodo de Newton

El metodo de Newton o de la tangente, se trata de un algoritmo que nos permite aproxi-

mar las raıces de funciones, es decir, los valores de x en los que f(x) = 0, y que puede ser

utilizado para el calculo de soluciones aproximadas de sistemas de ecuaciones.

3.1.1 Interpretacion geometrica

La idea geometrica de este metodo consiste en escoger un valor de x, uno que creemos

que este acerca de la solucion, y utilizar la recta tangente a la funcion por dicho punto para

obtener una aproximacion mejor.

41

3. Metodos numericos

Imaginemos que queremos saber por donde corta la funcion f(x) = ex + x al eje x.

Tomamos una primera aproximacion de la solucion, por ejemplo x1 = 1. Trazamos la

tangente a la funcion por el punto (1, f(1)) y miramos por donde corta al eje x y obtenemos

una segunda aproximacion x2 = 0

-2 -1 1 2

-2

2

4

6

Repetimos el proceso para x2 = 0. Tenemos que si trazamos la tangente a f por el

punto (0, f(0)) y calculamos por donde corta al eje x, en este caso obtenemos una tercera

aproximacion x3 = −0.5.

-2 -1 1 2

-2

2

4

6

A medida que iteramos el proceso, siempre que la aproximacion inicial sea adecuada,

nos acercanremos mas al valor que estamos buscando.

De los metodos para buscar raıces de funciones, el metodo de Newton es el que mas

rapido converge. Sin embargo hay que tener en cuenta que no siempre converge, esto

depende de la aproximacion inicial que tomemos. Es por ello que es muy importante el

tomar una primera aproximacion que no se aleje mucho de la solucion. Por ejemplo, si

consideramos f(x) = x4 + 2x3 − x− 1 y comenzamos tomando x1 = 0 observamos que

no converge, que alternativamente obtenemos los valores 0 y −1.

42


-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

3.1.2 Resolucion analıtica

Supongamos que tenemos una funcion f y queremos resolver f(x) = 0. Como bien diji-

mos anteriormente, si tenemos una aproximacion x1 de la solucion, el metodo de Newton

busca una aproximacion mas precisa viendo por donde corta al eje x la tangente a f que

pasa por (x1, f(x1)). En otras palabras trata de resolver

f(x1) + f ′(x1)(x− x1) = 0.

De este modo, despejando de la ecuacion anterior, tenemos que una segunda aproxim-

acion serıa

x2 = x1 −f(x1)

f ′(x1).

Iterando este proceso, si hemos tomado una primera aproximacion suficientemente cer-

cana a la solucion, obtendremos en cada iteracion una aproximacion mas precisa de la

solucion

xn = xn−1 −f(xn−1)

f ′(xn−1).

El error del metodo de Newton es un error cuadratico, es decir, si llamamos α a la

solucion exacta |xn+1 − α| < (xn − α)2. Es decir, el numero de cifras decimales exactas

se duplica en cada iteracion. Si tenemos una solucion que tiene una precision de decimas

(0.1) entonces la aproximacion de la siguiente iteracion tendra una precision de centesimas

(0.01) y la siguiente de diezmilesimas (0.0001).

43


3.1.3 Localizacion de raices

Como hemos comentado anteriormente es importante tener cuidado con la primera aprox-

imacion que se toma para arrancar el algoritmo del metodo de Newton ya que de ello

dependera (de como de buena sea esa aproximacion) si el metodo convergera o no a la

solucion buscada.

El objetivo es determinar un intervalo [a, b], lo suficientemente pequeno, donde se anule

la funcion. La forma de determinarlo es empırica, es decir, tomando dos valores a y b, y

utilizar resultados matematicos para estudiar si entre ellos se encuentra alguna raız y, en su

caso si esta es unica.

Teorema 3.1 (Teorema de Bolzano). Supongamos que f es una funcion continua. Dadoun intervalo [a, b] si f(a)f(b) < 0 entonces existe c ∈ [a, b]tal que f(c) = 0

Graficamente esto significa que si una funcion cambia de signo en a y en b, entonces

tiene que cortar al eje x. Por ejemplo, si consideramos la funcion f(x) = ex + x y los

puntos a = −1 y b = 0 tenemos que en a la funcion es negativa y en b es positiva, luego

en ese intervalo existe al menos una raız.

-2 -1 1 2

-2

2

4

6

El problema es que con el Teorema de Bolzano podemos asegurar que al menos hay una

solucion pero no podemos afirmar que solo hay una solucion. Para ello tendrıamos que

ayudarnos del Teorema de Rolle.

Teorema 3.2 (Teorema de Rolle). Supongamos que f es una funcion continua y derivable.Dado un intervalo [a, b] si f(a) = f(b) entonces existe c ∈ [a, b]tal que f ′(c) = 0

En el siguiente ejemplo (f(x) = x4 + 2x3 − x − 1, a = −1 y b = 0) vemos como la

interpretacion grafica de este resultado.

44


-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Por lo tanto, para poder asegurar que en un intervalo [a, b] existe un unico punto c en el

que la funcion corte al eje x es decir f(c) = 0 basta con ver que f(a)f(b) < 0 (Teorema

de Bolzano) y que la derivada es siempre o positiva o negativa en ese intervalo, ya que por

el Teorema de Rolle podemos asegurar que no hay dos puntos en ese intervalo en el que la

funcion tenga el mismo valor y, por tanto, tampoco en los que se corte al eje x.

3.1.4 Aplicacion del metodo de Newton

El metodo de Newton es util a la hora de encontrar soluciones a ecuaciones. Para ello, lo

unico que hay que hacer es transformar a ecuacion a la forma deseada (f(x) = 0) y aplicar

el metodo. Por ejemplo si queremos resolver

ex = −x

lo unico que necesitamos es despejar para que uno de los terminos de la igualdad se anule,

es decir considerar

ex + x = 0.

Entonces, es claro que para obtener una solucion aproximada de ex = −x bastarıa con

aplicar el metodo a la funcion f(x) = ex + x.

Esto tambien puede aplicarse a la resolucion de sistemas de ecuaciones, para ello lo unico

que habrıa que hacer es transformar todas las ecuaciones en la forma f(x) = 0 y aplicar el

metodo de Newton adaptado para un sistema de ecuaciones.

En el siguiente cuadro se resumen las transformaciones que hay que hacer a la hora de

aplicar Newton a una ecuacion o a un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas (para

n ecuaciones con n incognitas unicamente hay que generalizar la transformacion).

45


Ecuacion / Sistema Transformacion

f(x) = 0 f(x0) + f ′(x0)(x− x0) = 0

f(x, y) = 0 f(x0, y0) +df(x0, y0)

dx(x− x0) +

df(x0, y0)

dy(y − y0) = 0

g(x, y) = 0 g(x0, y0) +dg(x0, y0)

dx(x− x0) +

dg(x0, y0)

dy(y − y0) = 0

Basicamente, el metodo de Newton permite transformar, a partir de una solucion aprox-

imada, un problema no lineal a uno lineal, que puede ser resuelto sin ninguna dificultad,

cuya solucion mejore la precision de la solucion aproximada del problema original que

habıamos escogido anteriormente.

Buscar aproximaciones graficamente

Aunque ya hemos visto como podemos intentar localizar raıces de forma analıtica siempre

podemos tratar de representar graficamente el problema para localizar visualmente la aprox-

imacion inicial. Sin embargo esto es solo recomendable cuando se puede hacer utilizando

funcione elementales cuyas graficas son conocidas. Por ejemplo, supongamos la ecuacion

ex = −x. La idea es ver donde cortan las funciones ex y −x (es decir, donde son iguales).

-2 -1 1 2

-2

2

4

6

Podemos ver que la solucion se encuentra en el intervalo [−1, 0].

En el caso de los sistemas de ecuaciones, lo ideal es representar implıcitamente la grafica.

46

3.2 Polinomio de interpolacion

Por ejemplo, si tenemos el siguiente sistema de ecuaciones{(x− 0.2)2 + (y − 0.2)2 = 1(x+ 0.2)2 + (y + 0.2)2 = 1

tenemos que las ecuaciones son dos circunferencias de radio 1 centradas en el (0.2, 0.2) y

en el (−0.2,−0.2) respectivamente.

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

De esta forma, podemos ver que una solucion se encuentra [−1,−0.5] × [0.5, 1] (recor-

demos que esto significa que hay que escoger x0 en [−1,−0.5] e y0 en el [0.5, 1]) y otra en

[0.5, 1]× [−1,−0.5].


Dados n puntos (x1, y1), (x2, y2) . . . (xn, yn), el polinomio de interpolacion de esos

puntos es el polinomio que pasa por todos ellos. A continuacion se muestra el polinomio

de interpolacion de los puntos (−1, 4), (0, 2), (1, 6) y (2, 4).

-2 -1 1 2 3

-5

5

10

47


El polinomio de interpolacion es muy util a la hora de calcular numericamente la integral

o la derivada de una funcion. La idea es considerar el polinomio que mejor se ajusta a una

funcion para calcular de forma aproximada su integral o su derivada numerica de forma

mas sencilla.

Dada una funcion hay varias formas de construir un polinomio de interpolacion que se

ajuste a ella. La mas sencilla de ellas es la formula de las diferencias divididas de Newton,

que nos ofrece un polinomio de orden n− 1. La idea principal es escoger varios puntos de

nuestra funcion y calcular el polinomio de interpolacion que pasa por ellos.

Imaginemos que hemos tomado 4 puntos (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2) y (x3, y3). Calcu-

lamos la siguiente tabla:

x y Orden 1 Orden 2 Orden 3x0 y0

α1 =y1 − y0x1 − x0

x1 y1 α2 =β1 − α1

x2 − x0β1 =

y2 − y1x2 − x1

α3 =β2 − α2

x3 − x0x2 y2 β2 =

γ1 − β1x3 − x1

γ1 =y3 − y2x3 − x2

x3 y3

El polinomio de interpolacion de grado 3 que obtenemos viene dado por

p(x) = y0 + α1(x− x0) + α2(x− x0)(x− x1) + α3(x− x0)(x− x1)(x− x2).

Hay que destacar que el polinomio de interpolacion por regla general no se ajusta bien

a la funcion a medida que nos alejamos de los puntos escogidos de la funcion. La idea

es que escojamos los puntos dentro del intervalo que nos convenga (el intervalo en el que

estamos integrando o un intervalo en el que se encuentre el punto en el que queremos hallar

la derivada) y de forma que entre dos puntos la funcion no sufra variaciones muy grandes.

Para que el polinomio de interpolacion se ajuste mas uniformemente a la funcion en

el intervalo [a, b] que consideremos, escogeremos valores en la coordenada x igualmente

espaciados. En tal caso, si quisieramos calcular el polinomio de interpolacion de orden n,

48


tomando

h =b− an

,

los puntos a considerar serıan (xi, yi) = (a+ih, f(a+ih)) con 0 ≤ i ≤ n. Si consideramos

el ejemplo anterior quedarıa tenemos que

x y Orden 1 Orden 2 Orden 3x0 y0

y1 − y0h

x1 y1y2 − 2y1 + y0

2h2y2 − y1h

y3 − 3y2 + 3y1 − y03h3

x2 y2y3 − 2y2 + y1

2h2y3 − y1h

x3 y3

Hagamos el siguiente ejemplo practico

Ejemplo 3.1. Polinomio de interpolacion de orden 4 para f(x) =1

x2 + 1en [−2, 2]. En

este caso los puntos serıan(−2, 1

5

),

(−1, 1

2

), (0, 1),

(1,

1

2

),

(2,

1

5

)

y tendrıamos que h =2− (−2)

4= 1. Resolvemos la tabla

x y Orden 1 Orden 2 Orden 3 Orden 4

−2 1/53/10

−1 1/3 1/101/2 −1/5

0 1 −1/2 1/10−1/2 1/5

1 1/2 1/10−3/10

2 1/5

49


El polinomio de interpolacion es

1

5+

3

10(x+ 2) +

1

10(x+ 2)(x+ 1)− 1

5(x+ 2)(x+ 1)x+

1

10(x+ 2)(x+ 1)x(x− 1)

Observemos graficamente como se ajusta a la funcion original

-3 -2 -1 1 2 3

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.3 Integracion numerica

Integrar una funcion en muchas ocasiones es un proceso complicado y, en muchos casos

no disponemos de las herramientas necesarias para calcularla. La integracion numerica son

procedimientos de aproximacion numerica que facilitan el calculo de integrales definidas

en un intervalo.

Las reglas mas conocidas son las del trapecio, Simpson I y Simpson II. La idea es aprox-

imar la funcion a integrar en un intervalo [a, b] por un polinomio de interpolacion, ya que

son sencillos de integrar, obteniendo ası una aproximacion de la integral original.

3.3.1 Regla del trapecio simple

En este caso se trata de aproximar la

funcion mediante el polinomio de inter-

polacion de grado 1 o lo que es lo mismo

una recta formando ası un trapecio. En este

caso, los valores de xi son los extremos

del intervalo, distanciados por h = b − a.

Llamando yi = f(xi), tenemos que el poli-

nomio de interpolacion de orden 1 es

-2 -1 0 1 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

50


p(x) = y0 −y1 − y0h

(x− x0)

obteniendo la regla del trapecio∫ b

af(x)dx ≈

∫ x1

x0

p(x)dx =h

2(y0 + y1).

3.3.2 Regla de Simpson I simple

En este caso se trata de aproximar la

funcion mediante el polinomio de inter-

polacion de grado 2. En este caso, los

valores de xi son los extremos y el punto

medio del intervalo, de forma que la distan-

cia que los separa es h =b− a2

. Tomando

yi = f(xi) tenemos que el polinomio de

interpolacion de orden 2 es

-2 -1 0 1 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

p(x) = y0 −y1 − y0h

(x− x0) +y2 − 2y1 + y0

2h2(x− x0)(x− x1)

se deduce la regla de Simpson I∫ b

af(x)dx ≈

∫ x2

x0

p(x)dx =h

3(y0 + 4y1 + y2).

3.3.3 Regla de Simpson II simple

Simpson II funciona de forma similar a

las reglas anteriores. En este caso se aprox-

ima la funcionpor un polinomio de inter-

polacion de grado 3 tomando 4 puntos xiigualmente espaciados por una distancia de

h =b− a3

. Si llamamos yi = f(xi) y p(x)

al polinomio de interpolacion, tenemos que

la expresion en este caso viene dada por

-2 -1 0 1 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

51


∫ b

af(x)dx ≈

∫ x3

x0

p(x)dx =3h

8(y0 + 3y1 + 3y2 + y3).

3.3.4 Reglas del trapecio, Simpson I y Simpson II compuestas

A medida que incrementamos el grado del polinomio de interpolacion el error que comet-

emos se reduce considerablemente. En el siguiente ejemplo, el error se reduce un 50% al

utilizar Simpson I y al utilizar Simpson II se reduce un 90% respecto a Simpson I.

-2 -1 0 1 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

-2 -1 0 1 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

-2 -1 0 1 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

Trapecio: 1.21 Simpson I: 0.63 Simpson II: 0.06

Siguiendo esa tendencia, podrıamos buscar una regla utilizando un polinomio de un or-

den muy elevado para obtener una precision mucho mayor, sin embargo el esfuerzo que

se requiere respecto con la mejora que se obtiene hace que sea mas interesante utilizar re-

glas compuestas. Esto es, dividir el intervalo de integracion en m partes, en nuestro caso

iguales a una distancia de d =b− am

, aplicar en cada uno de ellos la misma regla (trapecio,

Simpson I o Simpson II) para aproximar el valor Pi de la integral en cada una de ellas y

sumar todos los resultados para obtener el total de forma que el valor de la integral es

I = P1 + P2 + · · ·+ Pm.

Recordemos como calcular en cada parte el valor aproximado de la integral utilizando

las diferentes reglas:

• Trapecio: En este caso cada parte no se

subdivide, por lo que el numero total de

puntos es m y h = d. El valor en cada

parte viene dado por

Pi =h

2(yi−1 + yi).

-2 -1 0 1 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

52


• Simpson I: En este caso en cada parte

se toma tambien el punto medio, por lo

que el numero total de puntos es 2m+1

y h = d/2. El valor en cada parte viene

dado por

Pi =h

3(y2i−2 + 4y2i−1 + y2i). -2 -1 0 1 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

• Simpson II: En este caso en cada parte

se toman dos puntos igualmente espa-

cioados, por lo que el numero total de

puntos es 3m + 1 y h = d/3. El valor

en cada parte viene dado por

Pi =3h

8(y3i−3+3y3i−2+3y3i−1+y3i). -2 -1 0 1 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

Veamos a continuacion un ejemplo de como se resuelven este tipo de problemas.

Ejemplo 3.2. Calculemos la integral

I =

∫ 2

−2

1

x2 + 1dx

dividiendo el intervalo de integracion [−2, 2] en m = 4 partes. Si utilizamos la regla deltrapecio tenemos los siguientes puntos separados por h = 1:

x0 x1 x2 x3 x4

−2 −1 0 1 2

Calculamos el valor de la funcion “yi = f(xi)” en cada punto

y0 = 0.2, y1 = 0.5, y2 = 1, y3 = 0.5, y4 = 0.2.

Calculemos la aproximacion Pi =h

2(yi−1+yi) de la integral en cada uno de esos trozos

P1 =1

2(0.2 + 0.5) = 0.35

P2 =1

2(0.5 + 1.0) = 0.75

P3 =1

2(1.0 + 0.5) = 0.75

P4 =1

2(0.5 + 0.2) = 0.35

53


La aproximacion es la suma de todos los trozos I ≈ 0.35 + 0.75 + 0.75 + 0.35 = 2.2.

Si observamos el ejemlo anterior, tenemos que estamos operando por 1/2 cuatro veces,

cuando podrıamos sacarlo como factor comun y operar al final. Esto ocurre en todos los

metodos, de forma que podemos ahorrar algunas operaciones. Volvamos a repetir el Ejem-

plo 3.2 utilizando Simpson I:

Ejemplo 3.3. Tenemos los siguientes puntos separados por h = 1/2:

x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

Calculamos el valor de la funcion “yi = f(xi)” en cada punto

y0 = y8 = 0.2, y1 = y7 = 0.3, y2 = y6 = 0.5, y3 = y5 = 0.8, y4 = 1.

Calculemos la ahora el valor Si = (y2i−2 + 4yi)

S1 = 0.2 + 4 · 0.3 + 0.5 = 1.9

S2 = 0.5 + 4 · 0.7 + 1.0 = 2.2

S3 = 1.0 + 4 · 0.7 + 0.5 = 2.2

S4 = 0.5 + 4 · 0.3 + 1.0 = 1.9

Tenemos entonces que I ≈ h

3(S1 + S2 + S3 + S4) = 1.37.

Otra forma de expresar las reglas compuestas es unificar todos los terminos en una unica

suma. Para ello simplemente hay que tener en cuenta que hay valores, los que delimitan

cada parte, que se cuentan dos veces, exceptuando y0 e yn. De modo que podemos utilizar:

• Trapecio: I ≈ h

2

(y0 + 2

n−1∑i=1

yi + yn

).

• Simpson I: I ≈ h

3

(y0 + 4

n−1∑i=1,3,...

yi + 2

n−2∑i=2,4,...

yi + yn

).

• Simpson II: I ≈ 3h

8

(y0 + 3

n−2∑i=1,4,...

yi + 3n−1∑

i=2,5,...

yi + 2n−3∑

i=3,6,...

yi + yn

).

54


La convergencia de estas reglas no es uniforme. Podemos asegurar que si incrementamos

suficientemente el numero de divisiones el error se reducira, pero en pequenas variaciones

puede empeorar. Por ejemplo, si pasamos de 2 a 4 trozos podemos asegurar que el error no

va a aumentar. Sin embargo, si pasamos de 2 a 3 trozos no lo podemos asegurar.

-2 -1 0 1 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-2 -1 0 1 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-2 -1 0 1 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Error: 0.035 Error: 0.076 Error: 0.035

Esto se debe a que cuando se divide en 4 trozos el intervalo estamos subdividiendo los

ya existentes. Sin embargo, al dividir en 3 trozos el intervalo la distribucion de estos puede

empeorar a la anterior. De esta forma podemos asegurar que si incrementamos el numero

de trozos el doble el resultados que obtendremos en no empeorara al anterior.

3.3.5 Metodo de Romberg

Es un metodo que utiliza el metodo de los trapecios varias veces cambiando el valor de

h para acelerar la convergencia. La idea basica es fijar un h inicial y realizar el metodo de

los trapecios para divisiones progresivas de h (es decir h, h/2, h/4, etc.) y calcular unas

aproximaciones de forma recursivamente segun la siguiente tabla.

Aprox 1 Aprox 2 Aprox 3 · · ·

A1,1 = Th

A2,2 =4A1,2 −A1,1

3

A1,2 = Th/2 A3,4 =42A2,4 −A2,2

42 − 1

A2,4 =4A1,4 −A1,2

3· · ·

A1,4 = Th/4 A3,8 =42A2,8 −A2,4

42 − 1

A2,8 =4A1,8 −A1,4

3A1,8 = Th/8

......

...

55


En terminos generales, si realizamos el metodo de los trapecios n veces, tenemos que

h varıa en la forma h/(2i) para 0 ≤ i ≤ n − 1, teniendo una tabla con n columnas La

primera columna, esta formada por A1,2i = Th/(2i) que son los valores obtenidos al aplicar

el metodo de los trapecios dividiendo el intervalo de integracion en partes de longitud

h/(2i).

Por regla general, se tiene que

Ai+1,2j =4iAi,2j −Ai,2j−1

4i − 1

y pararemos cuando obtengamos el valor de An−1,2n−1 . Cuanto mas pequeno sea el valor

de h mas rapido convergera el metodo.

Ejemplo 3.4. Si hacemos el metodo de Romberg para calcular∫ 2

−2

1

x2 + 1dx

comenzando con h = 1 y n = 4, tenemos que la tabla queda de la siguiente manera

Trapecio Aprox 1 Aprox 2 Aprox 32.2000

2.2103

2.2077 2.2146

2.2143 2.2143

2.2126 2.2143

2.2143

2.2139

3.4 Resolucion numerica de EDOs de primer orden

No existe un metodo general para resolver ecuaciones diferenciales. Hemos visto como

resolver algunos tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden, pero hay muchos mas

tipos. De hecho, no siempre existe un metodo para resolver una ecuacion diferencial. Es

por ello que existen metodos se resolucion numerica, cuyo objetivo es calcular valores

aproximados de la solucion del problema de valores iniciales{y′(x) = F (x, y(x))y(x0) = y0

56


en un entorno de la condicion inicial x0. De modo que la poligonal definida por dichas

aproximaciones es una aproximacion de la solucion.

0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

1.5

2.0

2.5

3.0

Los metodos de resolucion numerica de ecuaciones diferenciales calculan aproximaciones

de y(x), a partir una ya conocida “y(x0) = y0”, para diferentes valores xi separados por

una distancia constante h, de forma que la precision mejora cuando h disminuye.

Son metodos iterativos, es decir, cada nueva punto (xi+1, yi+1) se calcula a partir de la

anterior (xi, yi). Por tanto, yi+1 es menos preciso que yi, ya que el error se va acumulando.

Habitualmente, cuando se afronta un problema concreto, la estimacion de y(x) se centra

en un intervalo determinado [a, b] con origen (o final) en x0, de forma que

h =b− an

.

En este apartado supondremos que nos alejamos de x0 positivamente ya que la idea de

los metodos que estudiaremos no difiere de cuando nos alejamos negativamente. En tal

caso, bastarıa con aplicar −h en lugar de h en las formulas correspondientes.

3.4.1 Metodo de Euler

El metodo de Euler consiste en aproxi-

mar las soluciones utilizando la recta tan-

gente a la a la solucion del problema de

valores iniciales{y′(x) = F (x, y(x))y(x0) = y0

0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

57


Supongamos tenemos un punto x1 separado a una distancia h de x0, es decir, x1 =

x0 + h, y que queremos hallar una aproximacion de y(x1). Como conocemos y0 = y(x0)

e y′(x0) = F (x0, y0) podemos construir la funcion de la recta que pasa por por el punto

(x0, y0) con pendiente F (x0, y0), es decir, la tangente a y(x) en x0.

f(x) = y0 + F (x0, y0)(x− x0).

Calculamos y1 = f(x1) = y0 + F (x0, y0)(x1 − x0). Repitiendo el proceso podemos

calcular y2 e iterando hasta n habremos obtenido todas las aproximaciones. En general, la

aproximacion i+ 1 se calcula de la forma

yi+1 = yi + F (xi, yi)(xi+1 − xi) = yi + hF (xi, yi).

A continuacion realizaremos un ejemplo practico del metodo de Euler.

Ejemplo 3.5. Aproximar en el intervalo [1, 2] la solucion del problema de valores iniciales{y′ =

y

2xy(1) = 2

Por n = 10 puntos, es decir h =2− 1

10= 0.1

y0 = 2

y1 = y0 + hx02y0

= 2.1

y2 = y1 + hx12y1

= 2.1954

y3 = y2 + hx22y2

= 2.2869

...

1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.4.2 Metodos de Runge-Kutta

Los metodos Runge-Kutta de orden n actuan de forma similar al metodo de Euler. Para

aproximar valor de yi+1 se utiliza una recta que pasa por (xi, yi) con una pendiente

mi =a1k1 + a2k2 + · · ·+ ankn

a1 + a2 + · · ·+ an,

58


que es un promedio de n valores k1, . . . , kn de y′(x) es decir, F (x, y), quedando una

expresion del tipo

yi+1 = yi +mi(xi+1 − xi) = yi +mih.

Para determinar los valores “k” y los pesos “a”, la idea en la que se basan los metodos

de Runge-Kutta clasicos es transformar el problema de resolver{y′(x) = F (x, y(x))y(x0) = y0

en el equivalente de ∫ y

y0

dy =

∫ x

x0

F (x, y(x))dx.

De este modo, tendrıamos que podemos calcular una aproximacion de la funcion a partir

de un valor anterior, es decir

yi+1 = yi +

∫ xi+1

xi

F (x, y(x))dx (3.1)

El objetivo es utilizar metodos de integracion numerica (Trapecio o Simpson I) para

calcular aproximaciones. Los metodos Runge-Kutta, utilizan aproximaciones iniciales de

y(x) obtenidas a partir del metodo de Euler de forman que permiten mejorar su precision.

Runge-Kutta de segundo orden

En este caso, el valor de la integral (3.1) en el intervalo [xi, xi + h] se aproxima por el

metodo del trapecio, necesitando calcular los valores:

k1 = F (xi, yi) y k2 ≈ F(xi + h, y(xi + h)

).

El problema es que no conocemos el

valor y(xi + h) por lo que se aproxima por

el metodo de Euler:

y(xi + h) ≈ yi + hF (xi, yi) = yi + hk1.

De este modo podemos calcular k2 y apli-

car el metodo del trapecio.

Algoritmo RK2

k1 = F (xi, yi),

k2 = F (xi + h, yi + hk1),

yi+1 = yi +h

2(k1 + k2)

59


Runge-Kutta de tercer orden

En este caso, el valor de la integral (3.1) en el intervalo [xi, xi + h] se aproxima por el

metodo de Simpson I, necesitando calcular los valores:

k1 = F (xi, yi), k2 ≈ F(xi + h/2, y(xi + h/2)

)y k3 ≈ F

(xi + h, y(xi + h)

).

El problema nuevamente es que no conocemos y(xi + h/2) e y(xi + h). El primero se

calcula como en el apartado anterior

y(xi + h/2) ≈ yi +h

2F (xi, yi) = yi +

h

2k1.

El valor de y(xi + h) se puede aproximar utilizando Euler a partir del valor yi:

y(xi + h) ≈ yi + hF (xi, yi) = yi + hk1,

o del valor y(xi + h/2) calculado anteriormente,

y(xi + h) ≈ yi +h

2F(xi + h/2, y(xi + h/2)

)= yi +

h

2k2.

Lo que se hace es utilizar una com-

binacion optimizada de ambos valores, ob-

teniendo:

y(xi + h) ≈ yi + h(2k2 − k1).

De este modo podemos calcular k3 y apli-

car el metodo de Simpson I.

Algoritmo RK3

k1 = F (xi, yi),

k2 = F(xi +

h

2, yi +

h

2k1

),

k3 = F(xi + h, yi + h(2k2 − k1)

),

yi+1 = yi +h

6(k1 + 4k2 + k3)

Runge-Kutta de cuarto orden

Nuevamente, se utiliza la regla de Simpson I para calcular la integral (3.1) en el intervalo

[xi, xi+h]. La diferencia principal en este caso, se calculan los tres valores de F (x, y) ne-

cesarios para la regla de Sipson I utilizando el metodo de Euler con multiples estimaciones

de la pendiente.

60

3.5 Algebra matricial. Factorizacion LU

Tal y como se hacıa en los apartados anteriores, tomando k1 = F (xi, yi), calculamos

y(xi + h/2) ≈ yi +h

2F (xi, yi) = yi +

h

2k1,

y, utilizando este valor, calculamos el valor k2 ≈ F(xi + h/2, y(xi + h/2)

).

Observemos que k2 aproxima a la pendiente de y(x) en el punto medio de [xi, xi + h],

por lo que podemos volver a aproximar y(xi + h/2) utilizando esta nueva pendiente, es

decir la pendiente de “llegada” y no la de “salida”

y(xi + h/2) ≈ yi +h

2k2.

Utilizando este valor en calculamos otra aproximacion

k3 ≈ F(xi + h/2, y(xi + h/2)

),

de forma mejoramos la precision haciendo una media de ambos valores,k2 + k3

2.

Por ultimo, calculamos el valor y(xi+h)

a de xi por el metodo de Euler, utilizando

la ultima pendiente obtenida (k3),

y(xi + h) ≈ yi + hk3.

Utilizando este valor, calculamos

k4 = F (xi + h, y(xi + h))

y se aplica el metodo de Simpson I.

Algoritmo RK4

k1 = F (xi, yi),

k2 = F(xi +

h

2, yi +

h

2k1

),

k3 = F(xi +

h

2, yi +

h

2k2

),

k4 = F(xi + h, yi + hk3

),

yi+1 = yi +h

6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)


En las secciones anteriores hemos visto como una serie de algoritmos nos permiten cal-

cular areas, soluciones de ecuaciones, etc. de forma aproximada y a bajo coste, es de-

cir realizando un numero, relativamente pequeno de operaciones sencillas. En el caso del

algebra matricial, los metodos numericos no suelen utilizarse para realizar aproximaciones,

61


sino para reducir el numero de operaciones. En este caso vamos a estudiar la factorizacion

LU (Lower Upper).

A la hora de trabajar en algebra matricial, el uso de matrices triangulares presenta una

gran ventaja ya es muy sencillo realizar calculos con ellas. Por ejemplo el determinante

o resolver un sistema de ecuaciones. La idea de la factorizacion LU es descomponer una

matriz A como el producto de dos matrices triangulares, una triangular inferior L y otra

triangular superior U . De modo que nos quede que

A = LU.

La idea basica para obtener L y U es la eliminacion Gaussiana. En el algoritmo de

eliminacion Gaussiana se permutan filas siempre que sea necesario. Sin embargo, para

hacer la factorizacion LU , hay que suponer que estas permutaciones no son necesarias, ya

que en tal caso mediante eliminacion Gaussiana no conseguirıamos obtener una matriz de

paso P triangular. Mas adelante, cuando veamos las aplicaciones de la factorizacion LU

veremos como afectarıa en el resultado si hubiese que realizar permutaciones.

Recordemos en que consistıa la eliminacion Gaussiana. Esta trata de triangularizar una

matriz utilizando transformaciones elementales. Supongamos que tenemos la matriz

A =

1 3 12 4 33 3 7

Si hacemos la eliminacion Gaussiana sobre esa matriz y replicamos los cambios sobre la

identidad obtendrıamos que

(A|I) =

1 3 1 1 0 02 4 3 0 1 03 3 7 0 0 1

A la segunda fila, le restamos dos veces la primera y a la tercera tres veces la primera.

Es decir, hacemos F2 − 2F1 y F3 − 3F1.

(U1|P1) =

1 3 1 1 0 00 −2 1 −2 1 00 −6 4 −3 0 1

E1 =

1 0 0−2 1 0−3 0 1

62


Observemos que E1 son las transformaciones elementales que hay que hacer sobre A,

replicados en la identidad. Se cumple que E1A = U1.

Si continuamos haciendo eliminacion Gaussiana, ahora hay que restar a la tercera fila

tres veces la segunda. Es decir, hacemos F3 − 3F2.

(U2|P2) =

1 3 1 1 0 00 −2 1 −2 1 00 0 1 3 −3 1

E2 =

1 0 00 1 00 −3 1

Observemos que E2 son las transformaciones elementales que hay que hacer sobre U1,

replicados en la identidad. Se cumple que E1U1 = U2. O lo que es lo mismo, si llamamos

U = U2 y P = P2 tenemos que

PA = E2E1A = U

A la matriz P se le llama Matriz de Paso, ya que permite transformarA en una triangular.

De hecho, la matriz de paso es la composicion de cada uno de los cambios, esto es

P = E2E1

Si llamamos entonces L = P−1 obtenemos que podemos factorizar A como A = LU .

Veamos que calcular la inversa de P es muy sencillo. Por las propiedades de las matrices

se tiene que

P−1 = (E2E1)−1 = E−11 E−12

y calcular E−11 y E−12 es muy sencillo, basta con cambiar de signo los elementos que hay

bajo la diagonal. Es decir

E−11 =

1 0 02 1 03 0 1

E−12 =

1 0 00 1 00 3 1

.

Teniendo esto en cuenta, junto con que:

1. Los valores de las matrices E−1i son 1 en la diagonal y el resto 0 salvo (quizas) los

de la columna i.

2. Vamos a multiplicar las matrices E−1i conservando el orden de las columnas i.

63


Podemos calcular L = E−11 E−12 como

L = I − E1 − E2,

donde I denota a la matriz identidad.

Sıntesis

Para obtener la descomposicion LU de una matriz A, hay que hacer eliminaciones

Gaussianas. La matriz triangular superior que nos queda como resultado es la matriz

U . En cada uno de los pasos, guardamos como Ei a las tranformaciones elementales

que hay que hacer en ese paso (sobre la identidad). Entonces podemos calcular L como

L = (n− 2)I − E1 − E2 − · · · − En−1.

3.5.1 Aplicacion en distemas de ecuaciones

Imaginemos que nos dan la descomposicion LU de una matriz A, y queremos resolver

el sistema

Ax = b.

Esto es exactamente lo mismo que hacer LUx = b. En otras palabras, bastarıa con hacer

Ux = L−1b. Si recordamos que L−1 = P basicamente serıa hacer Ux = Pb. Observemos

que esto tiene sentido. Cuando se resueve un sistema haciendo Gauss, las trasnformaciones

se hacen tanto sobre los coeficientes como sobre el termino independiente b. Por tanto

cuando se hace Gauss nos queda, en efecto, un sistema del tipo Ux = Pb.

Recordemos que estamos suponiendo que nos estan dando tanto L como U , es decir que

no nos dicen P . Podrıamos calcular la inversa, pero es preferible seguir transformando el

sistema para no tener que hacerla.

Si llamamos y = Pb se tiene que P−1y = b es decir que Ly = b. Por tanto resolver el

sistema Ax = b es equivalente a resolver el sistema{Ly = bUx = y

64


lo cual presenta muchas ventajas ya que basta con resolver el sistema Ly = b aplicando el

procedimiento de bajada para obtener y. Una vez obtenido y se resuelve Ux = y aplicando

en este caso el procedimiento de subida.

En este caso, las permutaciones no influyen en el resultado, por lo que no es necesario

tenerlas en cuenta. En el caso de fuese necesario hacerlas, si tenemos una matriz A, la

transformarıamos en otra A′ haciendo las permutaciones necesarias y, posteriormente cal-

cularıamos la descomposicion LU de A′.

3.5.2 Aplicacion en calculo de determinantes

Imaginemos que nos dan la descomposicion LU de una matriz A, y queremos calcular

el determinante de A. Por las propiedades de los determinantes se tiene que

|A| = |L||U |.

Calcular el determinante de una matriz triangular es muy sencillo. Basta con calcular

su traza, es decir, multiplicar todos los elementos de la diagonal. Como los elementos de

la diagonal de L son siempre unos, se tiene que |L| = 1, es decir |A| = |U |. Como el

determinante de U viene dado por

|U | =

u11 u12 · · · u1n0 u22 · · · u2n...

.... . .

...0 0 · · · unn

= u11u22 · · ·unn.

Luego |A| = u11u22 · · ·unn.

En este caso, las permutaciones sı influyen en el resultado, concretamente en el signo

del determinante. En el caso de fuese necesario hacerlas, si tenemos una matriz A, la

transformarıamos en otra A′ haciendo las permutaciones necesarias y, posteriormente cal-

cularıamos la descomposicion LU de A′. De esta forma tendrıamos que el determinante

de A es |A| = (−1)m(u11u22 · · ·unn), siendo m el numero de permutaciones que se han

necesitado para obtener la matriz A′.

65

Bibliografıa recomendada

[1] Marıa Asuncion Iglesias Martın. Trigonometrıa esferica. Teorıa y problemas resueltos.

UPV. Bilbao 2004.

[2] Juan Manuel Nieto Vales. Curso de Trigonometrıa Esferica. UCA 1996.

[3] Manuel Berrocoso [et al.]. Notas y apuntes de trigonometrıa esferica y astronomıa de

posicion. UCA 2003.

[4] William E. Boyce, Richard C. DiPrima. Ecuaciones diferenciales y problemas con

valores en la frontera. Mexico. Limusa Wiley, 2010.

[5] Robert D. Strum, John R. Ward. Transformada de Laplace; solucion de ecuaciones

diferenciales. Mexico. F. Trillas 1970.

[6] Dennis G. Zill. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones. Mexico. Grupo Editorial

Iberoamerica 1998.

[7] Richard L. Burden. Analisis Numerico. Mexico. International Thomson,2002.

[8] Claude Brezinski. Introduction a la pratique du calcul numerique. Dunod. Paris, 1988.

67

Francisco Javier Navarro Izquierdo

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