FRACCIONES PARCIALES

SISTEMAS DE CONTROL / FRACCIONES PARCIALES – MATERIAL DE APOYO

SISTEMAS DE CONTROL - 2015

INGENIERO VAZQUEZ EMMANUEL EDUARDO

FRACCIONES PARCIALES

Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y

obtener sumas de expresiones más simples.

Hay cuatro casos:

1) Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal.

2) Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido.

3) Descomposición en fracciones parciales con un factor cuadrático irreducible.

4) Descomposición en fracciones parciales con factor cuadrático repetido.

Procedimiento para:

Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal

Paso 1:

Siempre me debo de fijar si el grado de la función del numerador es menor que la del

denominador. Si es mayor debo realizar una división larga para bajar el grado de la función del

numerador.

Paso 2:

Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales, px +q, o

factores cuadráticos irreductibles, cbxax ++2

, y agrupar los factores repetidos para que la

función del denominador sea un producto de factores diferentes de la forma ( )mqpx + ,

donde 1≥m o ( )n

cbxax ++2

los números m y n no pueden ser negativos.

Paso 3:

Si son Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o

fracciones parciales con un factor lineal repetido.

...factor factor

++segundo

B

primer

A

Ejemplo 1:

Determinar la descomposición en fracciones parciales de:

xxx

xx

32

9134

23

2

−+

−+

Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no

tengo que hacer una división larga.

Segundo: factorizo el denominador




( ) ( )( )133232223

−+=−+=−+ xxxxxxxxx

Tercero: coloco cada factor obtenido de la siguiente forma

1332

9134

23

2

−+

++=

−+

−+

x

C

x

B

x

A

xxx

xx

Obtengo el mínimo común denominador, lo opero y lo igualo al numerador.

( )( ) ( )( ) ( )( )311391342

++−+−+=−+ xxCxxBxxAxx

Podemos resolverlo por matrices o por el método que más nos convenga:

Opero los paréntesis

( ) ( ) ( )xxCxxBxxAxx 33291342222

++−+−+=−+

Ahora formo mi primera ecuación con los términos al cuadrado así

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ACBAxCBAxxx

ACxBxAxCxBxAxxx

CxCxBxBxAAxAxxx

CxCxBxBxAAxAxxx

xxCxxBxxAxx

3329134

3329134

3329134

3329134

3329134

22

2222

2222

2222

2222

−+−+++=−+

−+−+++=−+

++−+−+=−+

++−+−+=−+

++−+−+=−+

Mis tres ecuaciones son:

4111 =+++ CBA

13312 +=+− CBA

A39 −=−

Tomo la tercera ecuación y encuentro el valor de A

A39 −=−

A

A

=

=−

−

3

3

9

Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones

( )( )

1

34

43

413

4111

=+

−=+

=++

=++

=+++

CB

CB

CB

CB

CBA

Multiplico las letras en los paréntesis

Quito los paréntesis

Los ordeno

Factorizo así




( )( )

73

6133

1336

13332

13312

=+−

−=+−

=+−

=+−

+=+−

CB

CB

CB

CB

CBA

Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo así los valores de B y C

73

1

=+−

=+

CB

CB

2C

84

=

=C

1

21

12

1

−=

−=

=+

=+

B

B

B

CB

Coloco las respuestas en la letra correspondiente

1

2

3

13

1332

9134

23

2

−+

+−=

−+

++=

−+

−+

xxxx

C

x

B

x

A

xxx

xx

Hay otro sistema que se puede usar únicamente cuando los términos son lineales y no

repetidos que es mucho mas fácil.

1332

9134

23

2

−+

++=

−+

−+

x

C

x

B

x

A

xxx

xx

Obtengo el mínimo común denominador, lo opero y lo igualo al numerador.

( )( ) ( )( ) ( )( )311391342


Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fracción parcial

0=x 3

03

−=

=+

x

x

1

01

=

=−

x

x

Ahora sustituyo los valores de x

x = 0

( )( ) ( )( ) ( )( )311391342





( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

A

A

CBA

CBA

=

−=−

++−=−+

++−+−+=−+

3

39

0013900

30010010309013042

x = -3

( )( ) ( )( ) ( )( )311391342


( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

B

B

CBA

CBA

=−

=−

−+−−+−=−−

+−−+−−−+−−+−=−−+−

1

1212

03434093936

33313313339313342

x = 1

( )( ) ( )( ) ( )( )311391342


( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

C

C

CBA

CBA

=

=

++=−+

++−+−+=−+

2

48

4101049134

31111111319113142

Respuesta:

1

2

3

13

1332

9134

23

2

−+

+−=

−+

++=

−+

−+

xxxx

C

x

B

x

A

xxx

xx

EJERCICIOS

1) ( )( )32

18

+−

−

xx

x 2)

( )( )14

29

+−

−

xx

x 3)

124

34

2−−

+

xx

x

4) xx

x

4

125

2−

− 5)

( )( )( )321

11542

−+−

−−

xxx

xx 6)

( )( )52

20192

−+

++

xxx

xx

7) xxx

xx

54

1554

23

2

−−

−− 8)

( )( )651

1137

2+−+

−

xxx




Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido

Ejemplo:

( )2

2

3

3610

−

−+

xx

xx

Notamos en el ejercicio que hay un término lineal repetido que es ( )2

3−x

Entonces lo colocamos así:

( )2

33 −+

−+

x

C

x

B

x

A

Si fuera al cubo el término repetido ( )3

3−x lo pondríamos:

( ) ( )32

333 −+

−+

−+

x

D

x

C

x

B

x

A

Ejemplo resuelto por pasos:

( )2

2

3

3610

−

−+

xx

xx

Primero escribimos en el denominador del término lineal x, luego escribimos en el

denominador el término repetido elevado a la 1 y por último escribimos en el denominador el

término repetido elevado al cuadrado así:

( ) ( )22

2

333

3610

−+

−+=

−

−+

x

C

x

B

x

A

xx

xx

Como tenemos término repetido ya no podemos usar la forma fácil de resolver únicamente

por sistemas de ecuaciones.

Pasos operamos el mínimo común denominador y lo igualamos al numerador.

( ) ( )( ) ( )xCxxBxAxx +−+−=−+ 33361022

Operamos los paréntesis

( ) ( ) ( )xCxxBxxAxx +−++−=−+ 3963610222

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ACBAxBAxxx

ACxBxAxBxAxxx

CxBxBxAAxAxxx

CxBxBxAAxAxxx

9363610

9363610

3963610

3963610

22

222

222

222

++−−++=−+

++−−+=−+

+−++−=−+

+−++−=−+



Los ordeno

Factorizo asi




Formando mis 3 ecuaciones

369

1036

1

−=

=+−−

=+

A

CBA

BA

Resolviendo me queda:

4

369

−=

−=

A

A

Sustituyo valores en la primera ecuación:

5

14

14

1

=

+=

=+−

=+

B

B

B

BA

Sustituyo valores en la segunda ecuación

1

910

109

101524

1036

=

−=

=+

=+−

=+−−

C

C

C

C

CBA

Respuesta:

( ) ( )22

2

3

1

3

54

3

3610

−+

−+

−=

−

−+

xxxxx

xx

EJERCICIOS

9) ( )2

1

32

−

+

x

x 10)

( )2

45

2

2

+

−

xx

x 11)

23

2

53

255019

xx

xx

−

−+

12) 2510

10

2++

−

xx

x 13)

( )( )122

62

−+

−

xx

x 14)

( ) ( )22

2

11

2

+−

+

xx

xx




Descomposición de una fracción parcial que contiene un factor cuadrático irreducible

482

29154

23

23

−+−

−+−

xxx

xxx

Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que

realizar una división larga.

2

48223

−+− xxx 2915 4 23

−+− xxx

8 162423

+−+− xxx

2

x x− 21−

482

212

482

29154

23

2

23

23

−+−

−−+=

−+−

−+−

xxx

xx

xxx

xxx

Factorizo el denominador:

( ) ( ) ( )( )124124124822223

−+=−+−=−+− xxxxxxxx

42

+x es un término cuadrático irreducible por lo que ahora opero así:

124482

21

223

2

−+

+

+=

−+−

−−

x

C

x

BAx

xxx

xx

Operamos el mínimo común denominador

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )CBBAxCAxxx

CBBxAxCxAxxx

CCxBBxAxAxxx

xCxBAxxx

42221

42221

42221

41221

22

222

222

22

+−++−++=−−

+−+−+=−−

++−+−=−−

++−+=−−

Formar las ecuaciones:

214

12

12

−=+−

−=+−

=+

CB

BA

CA

Puedes resolverlo por el método que quieras, en este caso seguiremos practicando la

resolución por matrices

21410

1021

1102

−−

−+−

+++



Los ordeno

Factorizo así




1102

21410

1021

+++

−−+

+−+

1140

21410

1021

−++

−−+

+−+

851700

214 10

1 0 21

−++

−−+

+−+

5

8517

−=

−=

C

C

1

2021

214

=

+−=−

−=+−

B

B

CB

3

21

21

12

=

+=

+=

=−

A

A

BA

BA

Respuesta:

12

5

4

132

1242

482

212

482

29154

2223

2

23

23

−

−+

+

++=

−+

+

++=

−+−

−−+=

−+−

−+−

xx

x

x

C

x

BAx

xxx

xx

xxx

xxx

11RR =−

3312 RRR =+−

1140

1102

2042

−++

+++

−+−

3324 RRR =+

851700

1 140

841640

−+

−++

−−

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