FRACCIONES CON NÚMEROS NATURALES Componente: Numérico – Variacional Estándar: Comprender los diversos significados de los números fraccionarios sus interpretaciones y representaciones. Contenidos: Concepto de Fracción,

Elementos de una fracción, Fracción de un

número, Fracción mixta, Clases de fracciones,

Representación de fracciones en la recta

numérica, Fracciones equivalentes, Relación

de orden en las fracciones, Operaciones con

fracciones

Competencias: Resuelve situaciones de la vida cotidiana aplicando el concepto de fracción mediante las operaciones básicas. Reconoce los diversos significados dados a las fracciones.

Indicadores de desempeño: Relaciona materiales físicos, imágenes y diagramas con conceptos sobre números fraccionarios, sus operaciones y relaciones. Resuelve problemas que surgen en matemáticas y en otros contextos, usando los fraccionarios y las operaciones entre ellos. Respeta la opinión del otro, aunque no la comparta. Saberes previos: Operaciones básicas con números naturales, Teoría de números Pregunta Problematizadora: ¿Qué importancia tiene el uso de fracciones en nuestro diario vivir? Metodología: con ayuda del video beam y computador se les proyectara a los estudiantes los conceptos, para que los anoten en el cuaderno; seguido a eso se

socializara cada uno de ellos con ejemplos. Se dejaran algunos ejercicios para que los estudiantes los trabajen en casa. Para evaluar se realizaran talleres en grupos y exámenes Además toda la información puede ser consultada en: juancarlosmurillorivas.blogspot.com

FRACCIONES Se utilizan para expresar partes de una unidad. Elementos de una fracción:

Una fracción es una expresión 𝑎

𝑏; en donde

𝑎, 𝑏 ∈ 𝑁 y 𝑏 ≠ 0

El número 𝒃 es llamado denominador e indica el número de partes iguales en que se

divide la unidad; el número 𝒂 es llamado numerador e indica el número de partes que se toman de la unidad. Ejemplos Indicar la fracción representada por la región sombreada en cada una de las figuras.

La figura anterior muestra que está dividida en 8 partes iguales, de las cuales se cogieron

3 por tanto la fracción seria 𝟑

𝟖

La fracción que representa la parte

sombreada de la anterior figura es: 𝟓

𝟏𝟓

FRACCIÓN DE UN NÚMERO Para hallar la fracción de un número, se multiplica dicho número con el numerador y el resultado se divide entre el denominador

Por ejemplo, para hallar los 2

3 𝑑𝑒 12 bolas se

realizan los siguientes pasos: Gráficamente Dibujamos 3 bolsas y repartimos en ellas las bolas de manera equitativa. Luego cogemos 2 bolsas las cuales tiene en total 8 bolas. Como muestra la imagen

Matemáticamente

1. Se multiplica 2 × 12 = 24

2. El resultado se divide entre el

denominador 24 ÷ 3 = 8

Entonces 2

3 𝑑𝑒 12 son 8

Ejemplos

Los 3

4 de 100

S/ 3 × 100 = 300; luego 300 ÷ 4 = 75

Los 3

4 de 100 = 75

Actividad extra clase

1. Representa gráficamente cada una de las siguientes facciones.

𝑎.7

10

𝑐.5

9

𝑏.7

12 𝑑.

11

4

2. Escribe la fracción que representa cada una de las siguientes partes sombreadas.

3. Calcular la fracción de cada número

𝑎.3

4 𝑑𝑒 36

𝑐.9

4 𝑑𝑒 120

𝑏.5

3 𝑑𝑒 90 𝑑.

11

12 𝑑𝑒 480

4. En una caja hay 120 lápices, de los cuales 3

4 son negros. ¿Cuántos lápices negros hay?

5. Juan, Lorena y Luis recogieron cada uno dulces en la noche del 31 de octubre. Juan tiene 54 dulces, de los cuales 12 son de chocolates; Lorena tiene 60 dulces, de los cuales 15 son de chocolates y Luis tiene 40 dulces, de los cuales 11 son de chocolates ¿Cuál de los tres niños tiene una cantidad de

dulces de chocolate igual a 1

4 de sus dulces?

6. Entre los animales estudiados por el ser humano, los insectos son los más numerosos.

De las 900,000 especies conocidas, 7

18 son

escarabajos y 1

6 son mariposas y polillas.

¿Cuántas especies hay de escarabajos y mariposas? CLASES DE FRACCIONES Existen dos clases de fracciones las propias y las impropias. Una fracción es propia cuando el numerador es menor que el denominador. Esta fracción

es menor que la unidad. Por ejemplo, 2

7 que

se lee dos séptimo. Una fracción es impropia si tiene el numerador mayor que el denominador. Esta fracción es mayor que la unidad. Por ejemplo 7

3 que se lee siete tercios.

Ejemplos:

FRACCIÓN MIXTOS Es una expresión que tiene parte entera y una parte fraccionaria.

Por ejemplo, para expresar la fracción 5

2

La fracción es igual a dos unidades completas

y 1

2 de unidad por tanto

5

2= 2 +

1

2= 2

1

2

Convertir de fracción a mixto: 1. Se divide el numerador entre el denominador 2. Se determina el cociente y el residuo de la división. 3. Se escribe la fracción como numero mixto, tomando como parte entera el cociente, la parte fraccionara se forma de la siguiente manera: el numerador es el residuo de la división y el denominador el mismo de la fracción original. Ejemplo Convertir en número mixto la siguiente

fracción 25

3

S/ 25 ÷ 3 = 11 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑎𝑛 2 luego, 25

3=

112

3

Convertir de mixto a fracción: 1. Se multiplica la parte entera con el denominador de la fracción 2. El resultado del paso anterior se suma con el numerador de la fracción 3. El resultado obtenido es el numerador de la fracción y el denominador es el mismo de la fracción del número mixto. Ejemplo Convertir en fracción el siguiente número

mixto 23

4

S/ 4 × 2 = 8 + 3 = 11 luego 11

4

Actividad extra clase

1. Escribe la fracción y el número mixto que corresponde a cada representación gráfica.

2. Sigue el camino de las fracciones que se pueden convertir a número mixtos, para que el conejo alcance la zanahoria.

3. Escribe la fracción de cada ingrediente utilizado por David y Lorena para el almuerzo. a. Preparan una libra y media de carne. b. Agregan 2 pocillos de agua, por cada pocillo de arroz. c. Agregan la décima parte de un paquete de lentejas. d. Gastan tres cuartos de naranjas para el jugo. e. Gastan dos cucharaditas y media de esencia de vainilla. REPRESENTACIÓN DE FRACCIONES EN

LA RECTA NUMÉRICA Para representar fracciones en la recta se siguen los siguientes pasos:

1. Se traza la recta numérica

2. Se divide la unidad en tantas partes como lo indique el denominador

3. Se cuentan las partes iniciando de cero que indica el numerador.

Ejemplo Representar cada fracción sobre una recta numérica.

a. 2

3

b. 17

6

FRACCIONES EQUIVALENTES Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad. Para obtener fracciones equivalentes a una fracción, se multiplican o dividen el numerador y el denominador de esa fracción por un mismo número. Ejemplo: Determinar si el par de fracciones son equivalentes. 4

3𝑦

8

6

4

3=

8

6 por que 4 × 6 = 24 𝑦 3 × 8 = 24

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES Simplificar una fracción consiste en encontrar otras fracciones con términos menores a la fracción dada; para ello se divide cada término de la fracción por su mcd. Ejemplo:

Simplificar la siguiente fracción 20

8

S/ el mcd de 20 𝑦 8 𝑒𝑠 4 entonces 20

8÷

4

4=

5

2, por tanto

5

2 es la simplificación de

20

8

RELACIÓN DE ORDEN EN LAS FRACCIONES Cuando se comparan dos fracciones se cumple una y solo una de las siguientes relaciones.

𝑎

𝑏<

𝑐

𝑑 si al representarlos en la recta

𝑎

𝑏 está a

la izquierda de 𝑐

𝑑 es decir

𝑎

𝑏>

𝑐

𝑑 si al representarlos en la recta

𝑎

𝑏 está a

la derecha de 𝑐

𝑑 es decir

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑 si al representarlos en la recta

𝑎

𝑏 y

𝑐

𝑑 les

corresponde el mismo punto es decir

De igual manera, cuando se comparan dos fracciones se pueden presentar los siguientes casos: Fracciones con igual denominador: es mayor aquella que tiene mayor numerador

Ejemplo 8

3>

4

3 por que 8 > 4

Fracciones con igual numerador: es mayor aquella que tiene menor denominador

Ejemplo 10

3>

10

6 por que 3 < 6

Fracciones con diferente numerador y denominador: se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el numerador de la segunda con el denominador de la primera y se establece la relación de orden.

Ejemplo 3

5 𝑦

1

4

3 × 4 = 12 𝑦 1 × 5 = 5 Como 12 > 5

entonces 3

5 >

1

4

Otra forma es reducirlas a común denominador y luego comparar sus numeradores.

Actividad extra clase

1. Representa en la recta numérica las fracciones

𝑎.5

8 𝑏.

15

7 𝑐.

6

4 𝑑.

12

3

2. Completa cada cuadro con la fracción correspondiente.

3. Determina en cada caso cuál de las dos fracciones es la menor, justifica tu respuesta.

𝑎.4

5 𝑦

1

5 𝑏.

4

7 𝑦

4

11 𝑐.

7

4 𝑦

23

5 𝑑.

14

17 𝑦

12

17

4. Dos participantes en levantamiento de pesas compiten por el primer puesto. Si el

pimero levanto 241

2 kilogramos y el segundo

levanto 364

3 kilogramos. ¿Quién gano la

competencia? 5. Tres amigos deciden realizar una prueba ciclistica. la siguiente tabla muestra la distancia recorrida por cada uno en 1 hora.

Nombre Distancia recorrida

Currulao 31

2 km

El tres 22

3 km

Turbo 50

6 km

¿Quién está en la primera posición al cabo de 1 hora?

OPERACIONES CON FRACCIONES

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES

Se presentan dos casos: Adición y sustracción de fracciones homogéneas (con igual denominador) Se suman o se restan los numeradores y se deja el denominador que tienen en común. Ejemplo

Adición y sustracción de fracciones heterogéneas (con diferente denominador) Primero, se obtienen fracciones equivalentes hasta encontrar la igualdad de los denominadores en las dos fracciones, luego se suman los numeradores y se deja el denominador común.

Ejemplo 5

6−

3

8 el mcm (6,8) =24 por lo tanto

busco las fracciones equivalentes donde el denominador en ambas sea 24. 5×4

6×4=

20

24 y

3×3

8×3=

9

24 luego se resuelven las

fracciones 20

24−

9

24=

20−9

24=

11

24

Forma gráfica del ejercicio:

Actividad extra clase 1. Observa, luego completa la operación y la figura

2. Resuelve las siguientes operaciones.

𝑎.2

5+

3

10 𝑏.

4

8+

7

9

𝑐.11

6−

8

9 𝑑.

9

24−

10

36

3. Equilibra la siguiente balanza colocando solo dos pesas.

4. En un almacén de pinturas preparan lacas especiales para carros. Para un pedido, el

vendedor mezclo 1

4 de galón de laca verde,

1

8

de galón de laca azul y 1

16 de galón de laca

amarilla. ¿Cuánta laca preparo el vendedor para el pedido? 5. Una persona con un capital de

12,000,000 decide invertir en la bolsa de

Colombia. En el primer mes pierde 1

6 de su

capital, en el segundo mes gana 5

2 de lo que

quedaba y luego pierde 1

4 de lo que llevaba.

¿Cuánto dinero le queda a la persona?

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES Se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí.

Ejemplo Las dos terceras partes de los estudiantes de un colegio son hombres. De dicha población, las tres cuartas partes viven con sus padres ¿Qué fracción del total de estudiantes son hombres y además viven con sus padres?

S/: los estudiantes hombres son 2

3 y los

hombres que viven con sus padres 3

4

2

3×

3

4=

6

12=

1

2 Luego, la mitad de

estudiantes del colegio son hombres y viven con sus padres.

DIVISIÓN DE FRACCIONES Se multiplica la primera fracción por el inverso multiplicativo de la segunda fracción. Ejemplo ¿Cuántos vasos se pueden llenar con el recipiente que se muestra en la figura?

S/: se divide la jarra entre la cantidad del vaso 16

3÷

2

9=

16

3×

9

2=

144

6= 24, se pueden

servir 24 vasos.

Actividad extra clase 1. Efectúa las siguientes operaciones:

𝑎.1

5×

4

9 𝑏.

15

4×

3

12×

2

8

𝑐.21

5÷

3

10 𝑑. 4

1

3÷

4

15

2. Colorea, con base en la información dada y luego, contesta.

3

4 de los balones son de color naranja

5

9 de los balones son de color naranja, tienen

puntos. ¿Cuántos balones hay de color naranja y tienen líneas? 3. ¿Cuántos vasos se pueden llenar con la botella de gaseosa.

4. Jaime tiene 60 juegos de X-box. Los 3

7 son

de Halo, 2

9 son de FIFA y el resto son de

Kung-fu panda ¿Cuántos juegos tiene de

Halo, FIFA y Kung-fu panda?

5. En la confección de un vestido se necesitan

31

4 m de tela. ¿Cuántos vestidos se pueden

hacer con 223

4?