Fracciones Algebraicas

31
4. FRACCIONES ALGEBRAICAS. 4.1. Definición y clasificación. 4.2. Propiedades. 4.3. Simplificación. 4.4. Multiplicación de fracciones. 4.5. División de fracciones. 4.6. Obtener el mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas 4.7. Suma y resta de fracciones. 4.8. Simplificación de fracciones complejas. El concepto de número entero es uno de los más antiguos en matemáticas. El concepto de los números racionales (llamados así debido a que son razones de los números enteros) se desarrollo mucho después debido a que las tribus iletradas no tenían necesidad de un concepto de esta clase. Los números irracionales evolucionaron durante un largo período, debido a la necesidad de ciertos tipos de medición. Por ejemplo: tomamos una varilla y cortamos dos pedazos iguales. ¿Cuál es la longitud de cada pedazo? Un medio, por supuesto. Si cortamos la misma varilla en cuatro pedazos iguales, entonces cada pedazo tiene un longitud de ¼. Dos estos pedazos tendrán longitud 4 2 , lo que nos dice que deberíamos tener 2 1 4 2 Ideas como éstas condujeron al desarrollo de la aritmética de los números racionales. Durante la Edad de Bronce, las inscripciones de jeroglíficos egipcios muestran los recíprocos de enteros mediante un signo oval alongado. 4.1 DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN Se llama fracción o quebrado al cociente indicado de dos expresiones algebraicas cualesquiera. El dividendo se llama numerador y el divisor se llama denominador y ambos se conocen como términos del quebrado. Así, a/b es una fracción algebraica porque es el cociente indicado de la expresión a (dividendo) entre expresión b (divisor). Fracción algebraica simple Es la que el numerador y denominador son expresiones racionales enteras. Son ejemplos de fracciones simples: 1 2 2 , 4 1 , 1 2 2 2 x x x x x x x . Fracción propia e impropia Una fracción simple se llama propia si el grado del numerador es menor que el grado del denominador; y se llama impropia si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador. Fracciones Algebraicas Capitulo 4

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Page 1: Fracciones Algebraicas

4. FRACCIONES ALGEBRAICAS.

4.1. Definición y clasificación.

4.2. Propiedades.

4.3. Simplificación.

4.4. Multiplicación de fracciones.

4.5. División de fracciones.

4.6. Obtener el mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas

4.7. Suma y resta de fracciones.

4.8. Simplificación de fracciones complejas.

El concepto de número entero es uno de los más antiguos en matemáticas. El concepto de los números

racionales (llamados así debido a que son razones de los números enteros) se desarrollo mucho después

debido a que las tribus iletradas no tenían necesidad de un concepto de esta clase. Los números irracionales

evolucionaron durante un largo período, debido a la necesidad de ciertos tipos de medición. Por ejemplo:

tomamos una varilla y cortamos dos pedazos iguales. ¿Cuál es la longitud de cada pedazo? Un medio, por

supuesto. Si cortamos la misma varilla en cuatro pedazos iguales, entonces cada pedazo tiene un longitud de

¼. Dos estos pedazos tendrán longitud 4

2 , lo que nos dice que deberíamos tener 2

14

2

Ideas como éstas condujeron al desarrollo de la aritmética de los números racionales. Durante la Edad de

Bronce, las inscripciones de jeroglíficos egipcios muestran los recíprocos de enteros mediante un signo oval

alongado.

4.1 DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN Se llama fracción o quebrado al cociente indicado de dos expresiones algebraicas cualesquiera. El dividendo

se llama numerador y el divisor se llama denominador y ambos se conocen como términos del quebrado. Así,

a/b es una fracción algebraica porque es el cociente indicado de la expresión a (dividendo) entre expresión b

(divisor).

Fracción algebraica simple Es la que el numerador y denominador son expresiones racionales enteras. Son ejemplos de fracciones

simples:

1

22 ,

4

1 ,

1

2 2

2

x

xx

xx

x

x.

Fracción propia e impropia Una fracción simple se llama propia si el grado del numerador es menor que el grado del denominador; y se

llama impropia si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador.

Fracciones Algebraicas Capitulo 4

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4- 2

Por ejemplo, 45149

1 ,

36

20263

2

xx

x

yx

xy son fracciones propias, mientras que

1

22 ,

1

22 2

2

2

x

xx

x

xx son

fracciones impropias. Una fracción impropia puede escribirse como la suma de un polinomio y una fracción

propia.

1

1194

1

74322

23

aa

aa

aa

aaa

Fracción compuesta Una fracción compuesta es aquella que contiene una o más fracciones ya sea en su numerador o en su

denominador, o en ambos. Son ejemplos de fracciones compuestas:

12

41

232

2

,

32

52

1

3

4

22

2

2

x

xx

x

xx

x

xx

x

Significados de una fracción

Significado 1.- Una fracción indica una división. Por ejemplo, ¾ quiere decir 3 divido por 4 o bien 34.

Cuando una fracción significa división, el numerador es el dividendo y el denominador es el

divisor.

Significado 2.- Una fracción indica una razón. Por ejemplo, ¾ quiere decir 3 a 4 o bien 3:4. Cuando una

fracción significa razón de dos cantidades, éstas deben estar expresadas en las mismas

unidades. Por ejemplo la razón de 3 días a 2 semanas es 3:14 o bien 3/14. Se ha hecho la

equivalencia de 2 semanas a 14 días eliminándose luego la unidad común.

Significado 3.- Una fracción indica una parte de todo o una parte de un grupo de cosas. Por ejemplo, ¾ puede

expresarse tres cuartos de una moneda o bien 3 monedas de 4 monedas.

Numerador o Denominador Nulo Si el denominador de una fracción es cero, el valor de dicha fracción es nulo siempre que el denominador sea

distinto de cero. Por ejemplo 0/3 = 0. Asimismo, si x/3=0 se deduce que x=0. La fracción3

5x para x = 5

vale cero. Sin embargo 0/0 es indeterminado.

Como la división por cero carece de sentido, una fracción cuyo denominador sea cero es imposible. Por

ejemplo 30 es imposible. O bien 3/0 carece de sentido. Asimismo, si x = 0 la fracción 5x es imposible o

bien 5/x carece de sentido.

4.2 PROPIEDADES Fracciones equivalentes Dos fracciones algebraicas son equivalentes, si tienen el mismo valor cuando se asignan valores específicos a

sus números literales. l valor de una fracción no varía si el numerador y el denominador se multiplican (o

dividen) por una misma cantidad no nula.

bc

ac

c

c

b

a

b

a

b

a

1

Page 3: Fracciones Algebraicas

F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S

4- 3

Ya que la división entre un número es equivalente a la multiplicación por su recíproco, tenemos que:

d

bd

a

db

da

b

a

1

1

Entonces las fracciones equivalentes son aquellas que tienen el mismo valor, pero distintos numerador y

denominador. Por ejemplo x

x

30

20y

30

20,

3

2 son fracciones equivalentes porque

x

x

30

20

30

20

3

2

Para obtener fracciones equivalentes se aplican las siguientes propiedades:

Propiedad 1: Se multiplican numerador y denominador de una fracción por un mismo número distinto de

cero, la fracción no varía.

40

30

4

3 Tanto 3 como 4 se han multiplicado por 10

x

x

7

5

7

5 Tanto 5 como 7 se han multiplicado por x

Propiedad 2: Se dividen numerador y denominador de una fracción por un mismo número, distinto de cero,

la fracción no varía.

5

4

500

400 Tanto 400 como 500 se han divido entre 100

9

7

9

72

2

a

a Tanto 7a

2 como 9a

2 se han divido entre a

2

Fracciones equivalentes multiplicando numerador y denominador por los valores dados:

2 5 x 4x x-3 x2 x

2+x-3

32

6

4

15

10

x

x

3

2

x

x

12

8

93

62

x

x

2

2

3

2

x

x

933

6222

2

xx

xx

7a

14

2a

35

5a

x

ax

7

x

ax

28

4

217

3

x

aax

2

2

7x

ax

2177

32

2

xx

aaxax

x3

x2

6

x5

15

2

3

x

x

24

12

x

x

xx

x

3

932

3

23

x

x

xxx

xx

3

93323

2

Fracciones equivalentes a las dadas dividiendo numerador y denominador:

2 5 x 4x x2 20x

2

2

2

80

20

x

x

2

2

40

10

x

x

2

2

16

4

x

x

x

x

80

20

x

x

20

5

80

20

4

1

2

3

60

40

x

x

2

3

30

20

x

x

2

3

12

8

x

x

x

x

60

40 2

x

x

15

10 2

60

40x

3

2x

El reciproco de un número

El reciproco de un número de un número es igual a la unidad dividido por dicho número. Por ejemplo, el

inverso de 5 es 1/5. Asimismo, el reciproco de 2/3 es 3/2, porque 3/2=12/3

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4- 4

Propiedad 1. Las fracciones a/b y b/a son reciprocas; esto es, el reciproco de una fracción se obtiene

permutando numerador y denominador.

Propiedad 2. El producto de dos recíprocos es la unidad. Por ejemplo 12

3

3

2 , 1

a

b

b

a

Propiedad 3. Para dividir por un número o una fracción se multiplica por el reciproco. Por ejemplo

122

38

3

28 ,

5

7

5

1757

Propiedad 4. Para resolver una ecuación con un coeficiente fraccionario se multiplican los dos miembros por

la fracción reciproca. Por ejemplo para resolver la ecuación 103

2x , se multiplican ambos

miembros por 2

3. Es decir 10

2

3

3

2

2

3 x de donde x = 15

Forma estándar de una fracción

b

a se escribe como

b

a

b

a

se escribe como

b

a

b

a se escribe como

b

a

b

a

se escribe como

b

a

b

a

se escribe como

b

a

b

a

se escribe como

b

a

Las formas b

a y

b

a se llaman formas estándar de una fracción y sirven para escribir respuestas que incluyen

fracciones.

4.3 SIMPLIFICACIÓN Se dice que una fracción está reducida a sus términos más sencillos o totalmente simplificados, cuando no

existe ningún factor común al numerador y denominador. Evidentemente una fracción dada puede reducirse a

sus términos más sencillos dividiendo el numerador y el denominador entre los factores que tengan en

común. Este proceso se llama también cancelación de factores comunes:

Ejemplo

Simplificar la fracción 234

3

1284

22

xxx

xx

SOLUCIÓN: Primeramente factorizaremos el numerador y el denominador y luego cancelaremos los factores

comunes a ellos:

32

1

312

112

324

12

1284

22

12

2

11

22

2

234

3

xx

x

xxx

xxx

xxx

xx

xxx

xx

x

Para reducir una fracción algebraica a expresión algebraica mixta o entera, se divide el numerador entre el

denominador. Si la división es exacta la fracción equivalente es una expresión algebraica entera. Si la

división no es exacta, se prosigue la división hasta que el primer término del resto sea de menor grado que el

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4- 5

primer termino del divisor y al cociente así obtenido se le añada una fracción cuyo numerador es el resto cuyo

denominador es el divisor.

Ejemplo

Reducir a expresión algebraica entera la fracción algebraica xy

xyyxyx 3223 61218

SOLUCIÓN: Dividamos el numerador entre el denominador. Tendremos

3223 61218 xyyxyx xy

-18x3y 22 61218 yxyx

322 612 xyyx

12x2y

2

6xy3

-6xy3

Así pues xy

xyyxyx 3223 61218 = 22 61218 yxyx

Ejemplo

Reducir a expresión algebraica mixta la fracción algebraica x

xxx

2

1682 24

SOLUCIÓN: Dividamos el numerador entre el denominador. Tendremos

1682 24 xxx 2x

-2x4 3x

3-4x-3

-8x2 - 6x +1

8x2

6x +1

-6x +1

1

Como la división no es exacta tendremos x

xxx

xxx

2

134

2

1682 324

Ejemplo

Reducir a expresión algebraica mixta la fracción 1

1232 245

x

xxxx

Page 6: Fracciones Algebraicas

F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S

4- 6

SOLUCIÓN: Dividamos el numerador entre el denominador. Tendremos

22 234 xxxx

1x 12 32 245 xxxx

45 22 xx

12 24 xxx

34 xx

12 23 xxx

23 xx

12 xx

12 x

22 x

-3

Como la división es inexacta. Tendremos 1

1232 245

x

xxxx=

1

322 234

xxxxx

Ejemplo

Reducir a su mínima expresión zyx

zyx32

423

3

27

SOLUCIÓN: El m.c.d. de los dos términos del quebrado es zyx 223 , entonces:y

xz

zyxzyx

zyxzyx 3

2232

224239

33

327

Ejemplo

Reducir a su más simple expresión 22 ba

ba

SOLUCIÓN:

babababa

baba

baba

ba

ba

ba

122

Ejemplo

Reducir a su mínima expresión xxx

xxx

23

623

23

SOLUCIÓN:

1

3

21

23

23

6

23

62

2

23

23

x

x

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

Ejemplo

Reducir a su mínima expresión 22234

4445

abddabaa

bdadbaa

Page 7: Fracciones Algebraicas

F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S

4- 7

SOLUCIÓN:

a

da

daa

dada

ada

da

baada

bada

baadbaa

badbaa

abddabaa

bdadbaa

22

22

2222

23

44

23

44

23

44

22234

4445

Para reducir una expresión algebraica mixta a fracción algebraica, se multiplica la parte entera por el

denominador y el producto resultante se le suma algebraicamente el numerador. El resultado así obtenido es

el numerador de la fracción algebraica. El denominador de la fracción algebraica es el mismo que el de la

expresión algebraica mixta.

Ejemplo

Reducir yx

xyx

2 a fracción algebraica

SOLUCIÓN: Tendremos: xyxyxx 2)(

xyxxyxyx 32 22 Que es el numerador de la fracción algebraica.

Así pues, yx

xyx

yx

xyx

32 2

Ejemplo

Reducir yx

yx

2 a fracción algebraica

SOLUCIÓN: Tendremos: yxyx 22)(2

yxyxyxyxyx 322)(22

Que es el numerador de la fracción algebraica. Así pues, yx

yx

yx

yx

32

Ejemplo

Reducir 2

21

xx a fracción algebraica

SOLUCIÓN: Tendremos: 2)2)(1( 2 xxxx

xxxx 22 22

Que es el numerador de la fracción algebraica. Así pues, 22

21

2

x

xx

xx

Fracciones Irreducibles

Un fracción es irreducible cuando su numerador y denominador no tienen más factores (divisores), comunes

que la unidad.

Page 8: Fracciones Algebraicas

F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S

4- 8

Por ejemplo x

x

7

3 no es irreducible porque x es un factor común al numerador y denominador (es un divisor de

ambos). Eliminando x por división resulta 3/7, que sí es irreducible.

Para hallar la fracción irreducible de una dada.

1.- Descomponer en factores sus términos (numerador y denominador).

2.- Dividir ambos términos por cada factor común.

Ejemplo

Reducir:

dab

cab2

2

3

3

ba

ba

1212

88

ba

ba

55

22 22

Soluciones

dab

cab

1

2

12

3

3

d

c

)(12

)(8

ba

ba

3

2

)(12

)(8

13

12

ba

ba

)(5

))((2

ba

baba

5

)(2

)(5

)()(2

1

1

ba

ba

baba

Propiedad 1: Si dos expresiones son exactamente iguales su cociente es 1

15

5

abc

abc 1

ab

ba, 4

2

8

)5(2

)5(8

1

2

1

2

xx

xx

Propiedad 2: El cociente de dos binomios opuestos es -1.

1

xy

yx,

155

55

xx

xx,

17

7

cab

cba

Reducción de fracciones cuyos términos tienen factores monomios comunes

Ejemplo

rs

rs

52

39

ba

ba2

33

64

32

x

x

15

355

aba

a

714

212

2

14

13

52

39

rs

rs

1

2

2

33

1

64

32

2

ba

ba

ab

x

x

3

1

15

)7(5

)2(7

21

1

3

2

baa

a

a

4

3

2

2ab

x

x

3

7

ba

a

2

3

Page 9: Fracciones Algebraicas

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4- 9

Reducción de fracciones cuyos términos tienen factores binómicos comunes

Ejemplo

aax

x

93

62

x

xx

22

2

22 33

33

xy

yx

abxacx

cb

2)(

)3(3

)3(2

xa

x

)1(2

)1(

x

xx

))((3

)(3

xyxy

yx

)(

))((

bcax

cbcb

1

1

)3(3

)3(2

xa

x )1(2

)1(

x

xx

2

x

)()(3

)(3

1

1

xyxy

yx

1

1

)(

)()(

bcax

cbcb

a3

2

xy

1

ax

cb

Reducción de fracciones cuyos términos tienen factores binómicos opuestos

Ejemplo

a) 3

1

)4(3

)4(

)4(3

)4(

123

4

1

y

y

y

y

y

y b)

ttrt

r

rt

r

trt

r

2

1

2

1

)1(10

)1(5

)1(10

)1(5

1010

55

2

11

c)

2

7

2

71

)7(2

)7()7(

)7(2

)7)(7(

214

49

1

2

dd

d

dd

d

dd

d

d

d)

wx

wx

wx

xw

wx

xw

wxwx

xwxw

wxwx

xwxw

wx

xw

1)(

1

22

2

Fracciones que tienen al menos un término trinómico

Ejemplo

a)

773

3

73

3

2110

3

1

1

2

2

b

b

bb

bb

bb

bb

bb

bb

b)

x

x

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

xx

55

4

45

4

45

4

209

1

2

2

c)

32

5

332

35

332

35

18122

152

1

2

2

y

y

yy

yy

yy

yy

yy

yy

Page 10: Fracciones Algebraicas

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4- 10

Fracciones algebraicas con mínimo común denominador

Reducir fracciones algebraicas al mínimo común denominador consiste en convertirlas en fracciones

equivalentes que tengan el menor denominador posible.

Para reducir fracciones algebraicas al mínimo común denominador se procede del modo siguiente:

a) Se simplifica al máximo las fracciones dadas.

b) Se halla el mínimo común múltiplo de los denominadores, que será el mínimo común denominador

de las fracciones equivalentes.

c) Para hallar los numeradores de las fracciones equivalentes se divide al mínimo común denominador

anteriormente obtenido entre cada uno de los denominadores y los cocientes resultantes se

multiplican por cada uno de los numeradores respectivos.

Ejemplo

Para reducir al mínimo común denominador las fracciones algebraicas:

423 40

7 ,

48

5 ,

32

3

xxx

SOLUCIÓN: Como las fracciones algebraicas dadas ya están simplificadas al máximo, hallaremos el mínimo

común múltiplo de los denominadores. Para ello descomponemos factorialmente los coeficientes

32 2 48 2 40 2 Es decir 32 =25

16 2 24 2 20 2 48 =243

8 2 12 2 10 2 40 =235

4 2 6 2 5 5

2 2 3 3 1 m.c.m.= 2535 =480

1 1

Así pues el mínimo común denominador será: 480x4

A continuación dividiremos el mínimo común denominador entre cada uno de los denominadores.

Tendremos:

480x4 32x

3 = 15x 480x

4 48x

2 = 10x

2 480x

4 40x

4 = 12

Multipliquemos ahora los cocientes anteriores por los numeradores respectivos:

15x 3 = 45x 10x2 5 = 20x

2 12 7 = 84

Por consiguiente: 423 40

7 ,

48

5 ,

32

3

xxx =

44

2

4 480

84 ,

480

50 ,

480

45

xx

x

x

x

Ejemplo

Reducir al mínimo común denominador las fracciones algebraicas:

)(81

4 ,

)(64

3 ,

)(54

522 yxyxyx

SOLUCIÓN: Como las fracciones algebraicas dadas ya están simplificadas al máximo, hallaremos el mínimo

común múltiplo de los denominadores. Para ello, en primer lugar descomponemos factorialmente los

coeficientes.

Page 11: Fracciones Algebraicas

F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S

4- 11

54 2 64 2 81 3 Es decir 54 =233

27 3 32 2 27 3 64 =26

9 3 16 2 9 3 81 =34

3 3 8 2 3 3

1 4 2 1 m.c.m.= 263

4 =5184

2 2

1

Así pues, el mínimo común denominador (m.c.d.) será: 5184(x2-y

2)

Enseguida dividir el m.c.d. entre cada uno de los denominadores:

5184(x2-y

2):54(x+y)=96(x-y) 5184(x

2-y

2) : 64(x

2-y

2) = 81 5184(x

2-y

2):81(x-y)=64(x+y)

Multipliquemos ahora los cocientes anteriores por los numeradores respectivos

96(x-y) 5 = 480(x-y) 81 3 = 243 64 (x+y) 4 = 256 (x+y)

Por consiguiente: )(81

4 ,

)(64

3 ,

)(54

522 yxyxyx

= )(5184

)(256 ,

)(5184

243 ,

)(5184

)(480222222 yx

yx

yxyx

yx

Ejemplo

Reducir al mínimo común denominador las fracciones algebraicas: 22322 64

3 ,

72

5 ,

80

3

zx

y

zy

x

xy

z

SOLUCIÓN: Como las fracciones algebraicas dadas ya están simplificadas al máximo, hallaremos el mínimo

común múltiplo de los denominadores. Para ello, en primer lugar descomponemos factorialmente los

coeficientes.

80 2 72 2 64 2 Es decir 80 =245

40 2 36 2 32 2 72 =233

2

20 2 18 2 16 2 64 =26

10 2 9 3 8 2

5 5 3 3 4 2 m.c.m.= 263

25 =2880

1 1 2 2

1

Así pues, el mínimo común denominador será: 2880(x2y

2z

3)

Se divide el m.c.d. entre cada uno de los denominadores:

2880(x2y

2z

3): 80xy

2 = 36xz

3 2880(x

2y

2z

3) : 72y

2z

3 = 40x

2 2880(x

2y

2z

3): 64x

2z

2 = 45y

2z

Multipliquemos ahora los cocientes anteriores por los numeradores respectivos

36xz3 3z = 108xz

4 40x

2 5x = 200x

3 45y

2z 3y = 135y

3z

Por consiguiente: 22322 64

3 ,

72

5 ,

80

3

zx

y

zy

x

xy

z=

32

3

32

3

32

4

2880

135 ,

2880

200 ,

2880

108

zxy

zy

zxy

x

zxy

xz

Page 12: Fracciones Algebraicas

F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S

4- 12

Ejemplo

Reduce a su mínimo común denominador las siguientes fracciones: 3

3

22

2

15

8 ,

10

7 ,

8

5

de

fb

eb

cd

cd

ab

SOLUCIÓN: El m.c.m. de 322322 12015 ,10 ,18 ebcddeebcd

Ahora : 3422322 7558120 eababcdebcd

2322322 84710120 edccdebebcd

fcdbfbdeebcd 533322 64815120

Por lo tanto las fracciones quedan así: 322

5

322

232

322

34

120

64,

120

84,

120

75

ebcd

fcdb

ebcd

edc

ebcd

eab

Ejemplo

Reduce a su menor común denominador las siguientes fracciones: 1235

6 ,

95

222 xx

x

x

x

SOLUCIÓN: Factorizas primero ambos denominadores

43571235

33595

2

2

xxxx

xxx

m.c.m. de 433351235y 95 22 xxxxxx

Ahora 414233543335 xxxxxxxx

366433543335 xxxxxxxx

Quedando las fracciones de la manera siguiente:

43335

36 ,

43335

414

xxx

xx

xxx

xx

Ejemplo

Reduce a su menor común denominador las siguientes fracciones: 8

,86

,63

53

2

223 a

a

aa

a

aa

SOLUCIÓN: Factorizando los denominadores

4228

4286

2363

23

2

223

aaaa

aaaa

aaaa

m.c.m. de los denominadores: 42423 22 aaaaa

424552342423 2222 aaaaaaaaaa

4234242423 2322 aaaaaaaaaaa

4342242423 42222 aaaaaaaaaaa

Con lo cual los quebrados quedan de la manera siguiente:

42423

43,

42423

423,

42423

424522

4

22

23

22

2

aaaaa

aa

aaaaa

aaa

aaaaa

aaa

Page 13: Fracciones Algebraicas

F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S

4- 13

4.4 MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

Procedimiento para multiplicar fracciones cuyo producto es irreducible

a) Multiplicar los numeradores, obteniéndose el numerador del producto.

b) Multiplicar los denominadores, obteniéndose el denominador del producto.

Ejemplo

a) 55

21

115

73

11

7

5

3 b)

r

x

r

x

r

x

3

5

3

55

3

c)

cad

ac

cad

ca

cad

ca

8

63

24

797

2

9

4 d)

dy

cx

yd

xc

y

xc

d 5

2

5

2

5

2

e)

ab

cxy

ab

cxy

ab

cxy

153535 f)

24

53

24

53

2

53

4

ar

ra

ar

ra

a

r

r

a

Procedimiento para multiplicar fracciones cuyo producto se puede simplificar

1) Descomponer en factores los polinomios que figuran en los numeradores y denominadores.

2) Dividir por los factores comunes del numerador y denominador.

3) Multiplicar los factores restantes.

Ejemplo

a) 112375

117523

2375

117523

675

77103

6

77

7

10

5

3

b) x

x

x

a

a

x

x

a

a

x

x

a

a

x

1

2

17

27

17

27

77

27

c)

bax

ba

baba

x

x

ba

ba

x

1535335

1

1

22

d)

yy

y

yy

y

yy

yy

y

y

y

yy

53

1

55

37

337

15

5

217

637

56

1

1

1

1

22

2

e)

6

2

4

4

212

22

4

42

4

4

4

4

1224

4

4

82

4

4

1

2

16

1

1

11

1

1

22

aa

a

a

a

aa

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

Ejemplo

Calcula el producto de 3

por 96 22

x

x

x

xx

SOLUCIÓN: Multiplicamos entre sí los numeradores y los denominadores. A continuación simplificamos la

fracción que resulte.

Page 14: Fracciones Algebraicas

F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S

4- 14

3

1

3

3

33

3

96

3

96 22222

xx

xx

xx

xxx

xx

xxx

x

x

x

xx

Ejemplo

Calcula el producto de 9

6por

4

62

2

2

2

x

xx

x

xx

SOLUCIÓN:

94

66

9

6

4

622

22

2

2

2

2

xx

xxxx

x

xx

x

xx

11

1

3322

3322

3322

2323

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

Ejemplo

Multiplica 12712

968por

352

4562

2

2

2

xx

xx

xx

xx

SOLUCIÓN:

1

12

1344332

12344332

3443132

32341243

12712352

968456

12712

968

352

45622

22

2

2

2

2

x

x

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xx

xx

xx

xx

4.5 DIVISIÓN DE FRACCIONES

Para dividir una fracción se multiplica por la fracción recíproca

Ejemplo

a) 15

2

53

12

5

1

3

2

1

5

3

25

3

2 b)

aa

a

4

273

4

9

34

9

c) b

a

a

b

b

a

b

a

b

a

b

a

2

2

2

2

d)

xxxxx

6

1

32

7

314

3

714

3

12

14

2

e)

x

x

xxxx

3

2

12

8128

3

1

2

3

2

23 f)

771

7 532

3

2 bbb

bb

g)

45

6

1

5 60422

7

5

42

2

7

5

4

xxy

xyx

y

xy

x

h)

4

105

102

20

8

1010

202

20

8

100

20

202

8

100

1

5

2

1

22

a

a

aa

a

aaa

Page 15: Fracciones Algebraicas

F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S

4- 15

g)

65

1

125

16

66

5

2525

67

36

5

67

2525

36

5

15

11

1

1

2

222

bba

bb

bb

a

aab

bb

b

a

bb

aab

b

a

h)

127

472

39

142

2

2

2

xx

xx

xx

x

x

x

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

x

3

21

3

12

412

43

33

1212

472

127

39

14

11

11

1

1

2

2

2

2

Ejemplo

Dividir 1

62

2

x

xx entre

1

42

x

x

SOLUCIÓN: Como se ha indicado, invertimos el divisor y luego procedemos como en la multiplicación.

21

3

2211

123

41

16

4

1

1

6

1

4

1

622

2

22

22

2

2

xx

x

xxxx

xxx

xx

xxx

x

x

x

xx

x

x

x

xx

4.7 SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

Adición o sustracción de expresiones racionales con denominadores comunes.

Procedimiento

1) Poner el denominador común y sumar algebraicamente los numeradores.

2) Reducir la fracción que resulte.

Al sumar algebraicamente los numeradores encerrar cada polinomio numerador en un paréntesis precedido

del signo que corresponde a su fracción.

Ejemplo

a)

315

5

15

472

15

4

15

7

15

2

3

1

aaaaaaaa

b)

33

33

3

93

3

925

3

92

3

5

a

aaaaaa

c)

12

2

2

57

2

5

2

7

x

x

x

x

x

x

x

Adición o sustracción de expresiones racionales con denominadores distintos.

Para sumar o restar fracciones con denominadores diferentes, primero las convertimos a fracciones que

tengan el mismo denominador. Cuando los denominadores son opuesto multiplicamos una de ellas por 1,

escrito en la forma 1

1

, para obtener un común denominador.

Page 16: Fracciones Algebraicas

F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S

4- 16

Ejemplo

Sumar xy

y

yx

x

SOLUCIÓN:

1

1

1

yx

yx

yx

y

yx

x

xy

y

yx

x

xy

y

yx

x

xy

y

yx

x

Cuando los denominadores de dos o más fracciones son distintos, en ocasiones es necesario multiplicar una o

más fracciones por 1, escrito en la forma adecuada, para obtener un común denominador.

Ejemplo

Sumar yx

43

SOLUCIÓN: xy

xy

xy

x

xy

y

x

x

yy

y

xyx

43434343

Ejemplo

Sumar 2

73

x

SOLUCIÓN:

2

13

2

763

2

7

2

63

2

7

21

23

2

7

1

3

2

73

x

x

x

x

xx

x

xx

x

xx

Ejemplo

Sumar 2

7

2

4

x

x

x

x

SOLUCIÓN:

22

223

22

14784

22

14784

22

147

22

84

22

72

22

24

2

7

2

4

2

2222

22

xx

xx

xx

xxxx

xx

xxxx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

x

x

x

x

Ejemplo

Efectúa la siguiente operación: ab

c

a

b

b

a

322

SOLUCIÓN: El m.c.m. de los denominadores: ab6

cababbbaabaabab 236326326 22

Page 17: Fracciones Algebraicas

F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S

4- 17

entonces: ab

cba

ab

c

ab

b

ab

a

ab

c

a

b

b

a

6

233

6

2

6

3

6

3

322

2222

Ejemplo

Efectúa la siguiente operación: 1

552

2

2

xxx

SOLUCIÓN: Los enteros los convertimos en quebrados poniéndoles a la unidad como denominador:

1

5

1

5

1

2

1 2

2

x

xx

m.c.m. de los denominadores: 12 x

)1(551)1(

)1(221)1(

)1(1)1(

22

22

2222

xx

xxxx

xxxx

1

242

1

55522

1

5

1

15

1

12

1

1

1

5

1

5

1

2

1

2

234

2

2324

22

2

2

2

2

22

2

2

x

xxxx

x

xxxxx

xx

x

x

xx

x

xx

x

xx

Ejemplo

Efectúa la siguiente operación: yx

x

yx

y

yx

xyx

4663

222

3

SOLUCIÓN: Primero factorizaremos los denominadores:

yxyx

yxyx

yxyxyx

44

666

33 22

el m.c.m. de los denominadores es: yxyx 12 . Ahora:

xyxxyxyxyx

yxyyyxyxyx

xyxyxyxyxyxyx

33 412

22 612

842312

2

2

33

luego:

yxyx

xyx

yxyx

yxy

yxyx

xyx

yx

x

yx

y

yx

xyx

12

33

12

22

12

84

4663

2 223

22

3

Page 18: Fracciones Algebraicas

F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S

4- 18

yxyx

yxyxx

yxyx

xyxyxyxyx

12

2334

12

332284

223

223

Ejemplo

Sumar 1

3

12 22

xxx

x

SOLUCIÓN: Factorizamos el denominador y determinados el común denominador:

111

11112

2

22

xxx

xxxxx

El mínimo común denominador 112

xx

A continuación escribimos cada fracción con su denominador en forma factorizada, y convertimos las

fracciones en unas que tengan el denominador común 112

xx . Por último, sumamos las fracciones.

11

34

111

33

111

13

111

1

11

3

111

3

12

2

2

2

22

xx

xx

xxx

xxx

xxx

x

xxx

xx

xxxx

x

xxx

x

Ejemplo

Restar 11

232

1

3 2

xx

xx

x

x

SOLUCIÓN: Factorizamos cada denominador para encontrar el MCD= 11 xx

11

2

11

23233

11

23233

11

232

11

33

11

232

11

31

11

232

1

3

2

222222

22

xx

x

xx

xxxx

xx

xxxx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

x

x

Page 19: Fracciones Algebraicas

F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S

4- 19

Ejemplo

Hacer las operaciones indicadas 2

1

23

1

4

2222

xx

x

xxx

x

SOLUCIÓN: Factorizamos cada denominador para encontrar el MCD= 122 xxx

212

443

212

2222

212

212112

221

21

212

21

122

12

21

1

12

1

22

2

2

1

23

1

4

2

222

222

xxx

xx

xxx

xxxxx

xxx

xxxxx

xxx

xx

xxx

x

xxx

xx

xx

x

xxxx

x

xx

x

xxx

x

En este caso se puede simplificar el resultado final

12

23

212

223

212

443 2

xx

x

xxx

xx

xxx

xx

4.8 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES COMPLEJAS

Se le llama fracción compleja o compuesta, a cualquier forma fraccionaria que tenga fracciones en el

numerador o el denominador. Con frecuencia es necesario representar una fracción compleja en la forma de

fracción simple

Se entiende por simplificación de una fracción compleja su transformación a una fracción simple, reducida en

términos a sus términos más sencillos, que sea equivalente a ella. Pueden usarse dos métodos.

Uno: Consiste en transformar el numerador y denominador en fracciones simples (si es necesario) y luego

proceder como en la división de fracciones.

Otro: Que generalmente es más sencillo, consiste en obtener una fracción simple multiplicando el numerador

y el denominador originales por el menor denominador común de todas las fracciones.

Ejemplo

Simplificar

32

52

1

3

1

2

2

2

xx

x

xx

x

SOLUCIÓN: Utilizaremos el primer método, o sea la división de una fracción simple entre otra:

13

52

11

13

1

2

32

52

1

3

1

22

2

2

xx

x

xx

x

x

x

xx

x

xx

x

Page 20: Fracciones Algebraicas

F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S

4- 20

13

52

11

14

13

52

11

33

1

22

xx

x

xx

x

xx

x

xx

x

x

x

532

3114

521

314

52

13

11

14

2

2

1

1

xx

xx

xx

xx

x

xx

xx

x

Ejemplo

Simplificar la misma fracción compleja

32

52

1

3

1

2

2

2

xx

x

xx

x

SOLUCIÓN: Utilizaremos ahora el segundo método. Multiplicaremos el numerador y denominador por el

denominador común de todas las fracciones:

Factorizamos los denominadores de la fracción

13

52

1

3

11

2

32

52

1

3

1

2

2

2

xx

x

xxx

x

xx

x

xx

x

m.c.d. (denominadores): (x+1)(x-1)(x+3)

13

52

1

3

11

2

311

311

xx

x

xxx

x

xxx

xxx

11

11

1

1

11

11

13

52311

1

3311

11

2311

xx

xxxx

x

xxx

xx

xxxx

532

3114

532

96365

521

33123

2

2

2

22

xx

xx

xx

xxxx

xx

xxxx

Page 21: Fracciones Algebraicas

F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S

4- 21

Ejemplo

Simplificar

12

41

232

22

x

xx

x

SOLUCIÓN: Ahora aplicaremos el segundo método.

Como 2x2 - 3x - 2 = (2x + 1)(x - 2), resulta que el menor denominador común de las fracciones del numerador

y el denominador es (2x + 1)(x - 2), tenemos

12

41

212

2

212

212

12

41

212

2

12

41

232

22

x

xx

x

xx

xx

x

xx

x

x

xx

x

672

2

84232

2

24212

2

12

4212212

212

2212

22

xx

x

xxx

x

xxx

x

x

xxxx

xx

xxx

Ejemplo

Simplificar

x

x1

1

11

2

SOLUCIÓN: Multiplicamos por x2 el numerador y el denominador, por ser el m.c.m. de las fracciones incluidas

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

x

xxx

xxx

xx

xx

1

1

11

1

11

1

11

11

11

11

1

1

2

2

22

2

22

2

2

2

Ejemplo

Simplificar

a

b

b

aa

b

b

a

2

SOLUCIÓN: Multiplicamos por el m.c.m. de los denominadores =

Page 22: Fracciones Algebraicas

F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S

4- 22

22

22

222baba

ba

a

babab

b

aab

a

bab

b

aab

a

b

b

aab

a

b

b

aab

ba

ba

baba

baba

ba

baba

1

1

2

Ejemplo

Simplificar

2

2

443

6113

xx

xx

SOLUCIÓN: Multiplicamos por el m.c.m. de los denominadores = x2

2

222

2

222

2

2

2

2

443

6113

443

6113

xx

xxx

xx

xxx

xxx

xxx

2

3

223

323

443

6113

443

6113

2

2

2

222

2

222

x

x

xx

xx

xx

xx

x

x

x

xx

x

x

x

xx

Ejemplo

Simplificar

1

42

2

xx

x

SOLUCIÓN: Multiplicamos por el m.c.m. de los denominadores = x-1

421

21

1

4121

21

1

421

21

xx

xx

x

xxx

xx

xxx

xx

3

1

23

21

6

21

42

2122

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

xx

Ejemplo

Simplificar

4

185

4

63

xx

xx

SOLUCIÓN: Multiplicamos por el m.c.m. de los denominadores = x-4

Page 23: Fracciones Algebraicas

F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S

4- 23

1854

634

4

18454

4

6434

4

1854

4

634

xx

xx

x

xxx

x

xxx

xxx

xxx

1

3

12

23

2

6

1820

6122

2

2

2

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

xx

Ejemplo

Simplificar

32

52

1

3

1

2

2

2

xx

x

xx

x

SOLUCIÓN: Dividimos una fracción simple entre otra

521

314

52

13

11

14

13

52

11

14

13

52

11

332

13

52

11

13

11

2

13

52

11

13

1

2

32

52

1

3

1

22

2

2

xx

xx

x

xx

xx

x

xx

x

xx

x

xx

x

xx

xx

xx

x

xx

x

xx

x

xx

x

xx

x

x

x

xx

x

xx

x

Ejemplo

Simplificar la fracción

12

41

232

22

x

xx

x

SOLUCIÓN: Obtenemos una fracción simple multiplicando el numerador y el denominador originales por el

menor denominador común de todas las fracciones. Como 212232 2 xxxx , resulta que el menor

denominador común de las fracciones del numerador y denominador es 212 xx . Por tanto,

multiplicando el numerador y denominador por 212 xx , tenemos:

322

2

24212

2

12

21242121

212

2122

12

41

232

22

xx

x

xxx

x

x

xxxx

xx

xxx

x

xx

x

Page 24: Fracciones Algebraicas

F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S

4- 24

E J E R C I C I O S 4 .1 :

Multiplica o divide las siguientes expresiones y simplifica:

1.-

4

32 2x

x

2.-

2

2

6

3

x

x

3.- 2

3

6

5

a a

4.-

2

12

4

3

2

32

x

x

x

xx

5.-

ab a b

a b a b

2 2

2 3 2 2 2

3

2

( )

6.- 3

6

3

2 2 2

ab

a b

7.- x

a

a

x

1

2

3

2

8.-

3

3

1 3 2 2

2 2

a b

ab

9.-

1

2321

31

2

)5(

3

3

5

ab

ba

ba

ab

Page 25: Fracciones Algebraicas

F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S

4- 25

E J E R C I C I O S 4 .2 :

Resuelve las siguientes expresiones y simplifica:

1.-

22

2

ba

aba

2.-

33

22

yx

yx

3.-

23

23

32

xx

xxx

4.-

cbabcca

bdbcadac22 44

422

5.-

32

342

2

xx

xx

6.-

223

2

nmnnmm

mnm

En cada uno de los ejercicios 7 y 8, expresar la fracción impropia dada como la suma de un

polinomio y una fracción propia.

7.-

1

1242

23

x

xxx 8.-

1

23

x

x

Cada una de los ejercicios 9 y 10 transformar la expresión dada en una fracción impropia.

9.-

1

212

xxx 10.-

2

722

2

2

x

xxx

En cada uno de los ejercicios 11-20, efectuar la suma algebraica indicada.

11.-

1

1

1

11

xxx

12.-

1

2

11 2mm

m

m

m

13.-

4

3

2

1

2

12x

x

x

x

x

x

14.-

1

1

1

22 aa

a

a

15.-

1

1

1

12

1

1224

3

2 aa

a

aa

a

aa

a

16.-

bccabacbcaba

111

17.-

bcac

c

abcb

b

caba

a

18.-

cbca

c

abcb

b

caba

a 222

Page 26: Fracciones Algebraicas

F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S

4- 26

19.-

zyyx

xz

yxxz

zy

xzzy

yx

20.-

222222 bac

ba

acb

ac

cba

cb

En cada uno de los ejercicios 21-28, efectuar la operación indicada y simplificar, si es posible,

el resultado.

21.- 2

2

2

2

10

9

3

5

xy

ba

ab

yx

22.-

x

a

a

x

xa

ax

23.-

6

65

65

34

2

2

2

2

xx

xx

xx

xx

24.-

xxx

xx

xx

x

xxx

x

6

1

2

1

32

1

23

2

223

3

25.-

22

2

22

22

2

zyx

yzyxy

yzx

x

zyx

xzxyx

26.-

22

2

3

2

4

2

ba

x

x

a

27.-

yx

yx

yx

xx

32

9422

22

28.-

ba

a

ba

11

2

29.-

22

2

3

2

ba

x

x

ba

30.-

xx

x9

31

31.-

x

yx

y

1

12

2

32.-

y

x

x

y

yx

11

33.-

x

y

y

x

x

y

y

x2

34.-

bba

b

aba

a

2

2

35.-

2

2

2

222

m

m

m

mm

m

m

m

Page 27: Fracciones Algebraicas

F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S

4- 27

R E S U L T A D O S D E L O S E J E R C I C I O S 4 .1 :

Multiplica o divide las siguientes expresiones y simplifica:

1.-

2

3

4

32

4

32

2

2

1

1

2 xx

x

x

x

x

2.-

3

1

3

1

2

1

3

2 3

32

6

32

6

3

3

xx

x

x

x

x

x

3.-

9

5

6

5

3

2

6

5

3

2

5

6

3

2

3

1

a

a

a

aaa

4.-

xx

x

x

x

x

x

x

x

xx

x

932

32

2

32 2

2

1

12

1

4

1

4

1

2

12

4

3

5.-

35

2

1

22222

2

22232

22

2

3

2

3

2

)(3

babbabababa

baabab

baba

baab

aaa

6.-

3333

3

33

1

22

22 3

1

318

6

3

2

6

3

2

3

6

3ba

bababaab

ba

ab

7.- xaaxaxx

a

a

x 552321

2

3

2

1

8.-

68686242642

224

462

22

2231

729333

3

3

3bababa

ba

ba

ab

ba

9.-

125125

1

1

1

1

1

1

64

3

2

3

11

2

15

111

642

31

2

1

2321

31

2

753255

3

3

5

5

3

3

5

)5(

3

3

5

9532

bababa

ba

ba

ba

ba

ba

ba

ab

ab

ba

ba

ab

bab

Page 28: Fracciones Algebraicas

F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S

4- 28

R E S U L T A D O S D E L O S E J E R C I C I O S 4 .2 :

Resuelve las siguientes expresiones y simplifica:

1.-

ba

a

baba

baa

ba

aba

1

1

22

2

2.-

2222

1

1

33

22

22 yxyx

yx

yxyxyx

yxyx

yx

yx

3.- x

x

xx

xxx

123

23

32

4.-

bac

dc

babac

badc

cbabcca

bdbcadac

2

2

22

22

44

422

1

1

22

5.-

1

1

13

13

13

13

32

34

1

1

2

2

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

xx

6.- 2

1

2

1

223

2

mn

m

nmmn

nmm

nmnnmm

mnm

7.- 1

334

1

12422

23

x

xx

x

xxx

8.-

1

23

x

x

9.- 1

1

1

21

32

x

x

xxx

Page 29: Fracciones Algebraicas

F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S

4- 29

10.- 2

332

2

722

2

34

2

2

x

xxx

x

xxx

11.- 1

13

11

13

1

1

1

112

22

xx

x

xxx

x

xxx

12.- 1

12

1

2

11 22

m

mm

mm

m

m

m

13.- 4

34

3

2

1

2

122

x

x

x

x

x

x

x

x

14.- 11

123

1

1

1

22

2

2

aaa

aa

aa

a

a

15.- 11

121

1

1

1

12

1

122

2

224

3

2

aaaa

aa

aa

a

aa

a

aa

a

16.-

0111

bccabacbcaba

17.-

0

bcac

c

abcb

b

caba

a

18.-

1222

cbca

c

abcb

b

caba

a

19.-

0

zyyx

xz

yxxz

zy

xzzy

yx

20.-

0222222

bac

ba

acb

ac

cba

cb

21.-

by

ax

xy

ba

ab

yx

xy

ba

ab

yx

y

a

b

x

2

3

10

9

3

5

10

9

3

5

2

2

3

2

2

2

2

2

2

2

Page 30: Fracciones Algebraicas

F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S

4- 30

22.-

ax

xa

axax

xa

ax

xa

ax

xa

ax

x

a

a

x

xa

ax

1

1

1

1

22

23.-

2

1

3

1

2

31

3

2

31

32

332

32

331

32

32

32

31

62

652

65

2

342

x

x

xx

xx

x

x

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

m.c.m.=(x+3)

24.- 32

61

6

1

2

1

32

1

2

2

23

2

223

3

xx

xxxx

xxx

xx

xx

x

xxx

x

m.c.m. = x(x-1)(x+3)(x+2)(x2-x+6)

25.-

y

zyx

zyx

yzyxy

yzx

x

zyx

xzxyx2

22

2

22

22

2

m.c.m. = (z+x-y)(z+x+y)(x+y-z)(x-y-z)

26.-

22

2

22

2

3

2

4

2

4

2

bax

a

ba

x

x

a

27.- yxyx

x

yx

yx

yx

xx

325

32

94222

22

m.c.m.= (x+y)(x-y)

Page 31: Fracciones Algebraicas

F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S

4- 31

28.-

bab

ba

babab

ba

bab

ab

bba

bba

aba

a

bbaaab

baab

a

baab

ba

a

ba

1

122

11

32

11

2

11

2

11

2

29.-

bax

ba

ba

x

x

ba

22

2

3

2

30.- 3

1

9

31

x

xx

x

31.- x

yx

x

yx

y

1

12

2

32.- xy

y

x

x

y

yx

1

11

33.- yx

yx

x

y

y

x

x

y

y

x

2

34.- 12

2

ba

ba

ba

ba

bba

b

aba

a

35.- 2

1

2

2

2

222

m

m

m

mm

m

m

m