SERIES DE FOURIER YPROBELMA DE LA

CUERDA VIBRANTE

Complementos de análisis.

I.P.A.T

rabajo final

Profesor: Federico de

Olivera

César RoquetaFebrero de 2009

Índice

1. Definición de serie de Fourier de una funciónDefinición de polinomios trigonométricos………………………………… 2Coeficientes de un polinomio trigonométrico……………………………... 3Período de una función…………………………………………………….. 3Integración de funciones periódicas……………………………………….. 4Coeficientes de Fouriery serie de Fourier de una función………………… 4Propiedades de los coeficientes de Fourier de una función……………….. 5

2. Convergencia de la serie de Fourier de una función

Núcleo de Dirichlet………………………………………………………… 6

Propiedades del núcleo de Dirichlet……………………………………….. 7Principio de localización de Riemann……………………………………… 9Convergencia puntual de la serie de Fourier………………………………. 10Aplicación a series numéricas……………………………………………... 12Medias de Cesaro………………………………………………………….. 13Núcleo de Fejer……………………………………………………………. 14Propiedades de núcleo de Fejer……………………………………………. 14Teorema de Fejer...............................................................................……… 16

3. Integración y derivación de la serie de Fourier de una función

Integración de la serie de Fourier de una función…………………………. 18Derivación de la serie de Fourier de una función………………………….. 19

4. Desarrollo en series de senos y cosenos

Funciones de período arbitrario……………………………………………. 20

Desarrollo en serie de cosenos y en series de senos……………………….. 20

5. Ecuación de la cuerda vibrante

Planteamiento del problema………………………………………..………. 22Solución de la ecuación por el método de separación de variables………... 23

1

Introducción.“Detrás de una imagen que vemos en nuestro televisor, de un sonido que

escuchamos por la radio, detrás de la cabeza del bebé que vemos en el seno materno

mediante una ecografía, del hallazgo del petróleo que consumimos o de la detección de

un cardumen de peces con los que nos alimentaremos y detrás de muchas aplicaciones

más se encuentran los principios que Fourier utilizó para plantear sus series y resolver

con ella la ecuación diferencial que es satisfecha por la función de difusión del calor

que la propia serie representa”.1

La motivación principal del trabajo es hacer un primer contacto con un área de la

matemática que presente aplicaciones en varios campos del conocimiento. Sin lugar a

dudas el análisis de Fourier es una de ellas, sus aplicaciones las podemos encontrar en

diversas disciplinas como la física y la propia matemática. Los cimientos de esta rama

de la matemática son las series de Fourier cuyo nombre hace honor al matemático

frances Jean Baptiste Joseph Fourier, quien les dio origen en sus investigaciones sobre

la difusión del calor. La idea básica de estas series es que toda función periódica puede

ser expresada como la suma infinita de senos y cosenos.

Este trabajo cuenta de cinco partes. Primero se introduce la definición de serie

de Fourier y la de sus coeficientes, partiendo de la definición de polinomios

trigonométricos. En la segunda parte se estudia el comportamiento de dichas series

buscando principalmente condiciones suficientes para que una función periódica pueda

efectivamente ser expresada como una suma infinita de senos y cosenos. En la tercera se

muestran dos resultados que nos permiten derivar e integrar término a término la serie

de Fourier de algunas funciones. En la cuarta se explica el desarrollo en series de

cosenos y en series de senos de una función; para luego en la quinta parte poder dar una

solución al problema de la cuerda vibrante.

Para terminar ésta introducción quiero dejar en claro que este trabajo es una

primera exploración dentro de un campo, que como se muestra en la cita inicial, parece

ser muy amplio. Con este trabajo solo se pretende abrir una ventana y dar un vistazo

inicial.

1 Cristóbal R. Santa María

n

a

2

1. Definición de serie de Fourier de una función. Antes de comenzar el desarrollo de la teoría se enuncia una proposición que será de

utilidad en esta primera parte.

Proposición 1.1

Sean p y k dos números naturales positivos, entonces:

0 si p qi) sen px sen kx dx si p q

ii) cos px cos kx dx0 si p q si p q

iii) cos px sen kx dx 0 para todo p y k

Las integrales anteriores se calculan utilizando las siguientes propiedades:

sen( x)sen( y)

cos( x)cos( y)

1 cos x y

2

1 cos x y

2

cos

cos

x y en i

x y en ii

sen2 ( x)1

1 cos(2 x)2

en iii

Polinomios trigonométricos.

Definición 1.2

Un polinomio trigonométrico es una función de R en R de la siguiente forma

k k 0 1 n 1 n

(1.1) P( x) 0

2 k 1

a cos kx b senkx con a , a ,..., a , b ,... y b

números reales

Definición 1.3

Si P es un polinomio trigonométrico, el grado de P es el mayor natural para el cual

ak 0 ó bk 0 .

k

3

Proposición 1.4

Si P es un polinomio trigonométrico entonces:

1i) a0

ii) ak

iii) bk

P( x)dx

1 P( x) cos kxdx

1 P( x) s enkxdx

Demostración:

a n linealidad a n k k k k i. P( x)dx 0 a cos kx b senkx dx 0 dx a cos kxdx b senkxdx

2 k 1 2 k 1

Calculando la suma anterior se obtiene que P( x)dx2 a 0

2a0 , ya que para todo k la

integral de las funciones senkx y cos kx es cero en el intervalo , .

ii. Sea k ℕ, entonces

linealidad a n k k P( x) cos

kxdx0 cos kxdx a cos jx cos kxdx

bcos jxsenkxdx

2 j 1 Aplicando la proposición 1.1 resulta que P( x) cos kxdx ak cos2 kxdx a .

Análogamente se prueba la propiedad iii.

Período de una función.

Definición 1.5

Sea f : ℝ ℝ una función. Decimos que f es periódica cuando existe un número real

T; no nulo; tal que f x T f x para todo x ℝ. En este caso se dice que T es un

período para f .

Ob s e rv a c i ón : Si T es un período para f entonces

períodos para f .

T , 2T ,...,

nT , ... también son

2

4

Definición 1.5.1

Sea f : ℝ ℝ una función periódica. El período fundamental de f se define como

T0 inf T 0;T es un príodo para f

Desde ahora en adelante al hablar de período se hará referencia al período fundamental;

a no ser previas aclaraciones.

Proposición 1.8

Sea f : ℝ ℝ una función de período T. Si f es integrable sobre un intervalo de

longitud T entonces f es integrable sobre cualquier intervalo de longitud T y para

T a T

cualquier número real a se tiene que;

Demostración:

f ( x)dxa

f ( x)dx0

Consideremos el siguiente cambio de variable: u x T x u T

Luego al ser T período de f se cumple que f x T f x T f x

0 T T T

Entonces f ( x)dx f (u T )du f (u)du f ( x)dxa T a T a T a

T a o T a T T a T

Finalmente f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dxrenglón f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx .

a a 0 anterior T a 0 0

Serie de Fourier de una función.

Definición 1.9Sea f : ℝ ℝ una función de período 2 ; integrable en el intervalo ; .

Los coeficientes de Fourier de f son:

(1.2) a0

1 f ( x)dx (1.3) ak

1 f ( x) cos kxdx (1.4) bk

1 f ( x) s enkxdx

La serie Fourier de f es:

(1.5)a0 a cos kx b senkx donde a k ℕ y b k

*

ℕ son los coeficientes de Fourier de f .

k k k k

k 1

n

b

5

No t ac i ón :

Sn f x representa la suma parcial n-ésima de la serie de Fourier de f para x ; ;

es decir que Sn f ( x)a0 2 k 1

ak cos kx bk senkx . (1.6)

Proposición 1.10 (Propiedades de los coeficientes de Fourier de una función)i) ak k ℕ

yk k ℕ* son sucesiones acotadas.

ii) ak f g ak f ak g y bk f g bk f bk g (Linealidad)

iii) Si f ´ existe y es continua; ak fbk f ´

ky bk f

ak f ´ ℕ*

k

n

2 2

n

6

2. Convergencia de la serie de Fourier de una función. Hasta aquí hemos visto como dada una función periódica e integrable, se puede

descomponer en su serie de Fourier. Ahora debemos preguntarnos qué relación existe

entre una función y su serie, si es posible recuperar la función a partir de su serie de

Fourier. Cómo veremos a continuación en algunos casos bastará con sumar, en otros

habrá que realizar otros procedimientos y en otros no será posible.

Núcleo de Dirichlet

Conviene representar la suma parcial de una serie de Fourier de manera que

facilite algunos cálculos que se harán más adelante.

Recordemos que Sn f ( x)a0 2 k 1

ak cos kx bk senkx

Al sustituir en esta expresión los coeficientes por la formulas (1.2), (1.3)y (1.4)

se obtiene:

Sn f ( x) 1 2 f t dt

n 1 f tk 1

cos kt cos kx senktsenkx dt1

n n 1 f t

1 cos kt cos kx senktsenkx dt 1

f t 1 cos k x t dt

k 1

2 k 1

En 1 se aplico linealidad por tratarse de una suma finita de funciones integrables.En 2 se aplico la fórmula trigonométrica cos x y cos x cos y ∓ senxseny .

Sea Dn t1 2 k 1

cos kt1

cos t2

cos 2t ... cos nt

t t t t t luego 2sin Dn t sin 2sin cos t 2sin cos 2t ... 2sin cos nt

2 2 2 2 2

Aplicando formulas trigonométricas

2sin t

cos kt sin t

kt

sin t

kt

sin 1

k t sin

1k

t sin

k

1 t sin

1k

t

2

2

2

2

2

2

2

Por lo tanto

2sin t

D t sin 1

t sin 1

t sin 3

t sin 3

t sin 5

t... sin n

1 t sin

1n

t

2 n

2

2

2

2

2

2

2

n

7

sin 1

nt Operando adecuadamente se obtiene la igualdad,

Dn t 2

t;sin

t 0

t2sin 2

Definición 2.1

Se llama núcleo de Dirichlet a la sucesión de funciones de finida por

2

sin 1

n t (2.1) Dn t

2

t; sin t 0t2sin 2

2

Observaciónes:

Por la deducción anterior también es válido definir el núcleo de Dirichlet

como sigue; Dn t1 2 k 1

cos kt1

cos t2

cos 2t ... cos nt (2.2)

Proposición 2.2 (propiedades del núcleo de Dirichlet)

i. Dn (t) es una función períodica de período 2 .

ii. Dn (t) es par, D

n (t

)D

n ( t)

iii. 1

Dn (t )dt 1

A partir de (2.1) y observando que la función seno tiene período 2 se demuestra la

propiedad i. Además, al ser senx una función par ( senx sen( x) ), partiendo también

de (2.1) se llega a que

función par.

Dn (t ) Dn ( t ) lo que prueba que el núcleo de Dirichlet es una

Por último calculemos la integral de la propiedad iii partiendo de (2.2). 1 Dn (t)dt 1 1 2 cos t cos 2t ... cos ntdt

1 2 1

* 2

En (*) se usa que cos ntdt 0, n ℕ* , además de linealidad.

8

Antes de continuar busquemos expresiones para las sumas parciales de la serie de

Fourier de una función que serán usadas más adelante.

Por la definición de núcleo de Dirichlet, tenemos que

(2.3) Sn f ( x) 1

f t Dn x t dt

Mediante el cambio de variable x t u en la formula anterior, se obtiene la igualdadx x

S f ( x)

1 f x u D u du

1f x u D u du

1

f x u D u du al ser f y Dn n n n n

x x

funciones con período 2

Luego obtenemos la formula

(2.4) Sn f ( x) 1

f x u Dn u du

Por otra parte si el cambio de variable es x t u se obtiene Sn f ( x)

1 f x u Dn u du y

teniendo encuenta que Des par resulta S f ( x)

1

f x u D u du.n n n

Partiendo de esta última igualdad y haciendo u u en , 0 resulta que

1 1 1 0

Sn f ( x) f x u Dn u du f x u Dn0

u du f x u Dn u du y como Dn

es par 1

f x u f x u D u du. n0

Finalmente obtenemos las formulas

(2.5) Sn f ( x) 1

f x u Dn u du

(2.7) S f x

1 f x u f x u D u du

n n0

2

9

A continuación se enuncia un lema que es fundamental para estudiar el comportamiento

de la serie de Fourier de una función.

Lema de Riemann-Lebesgue

Sea f : ℝ ℝ una función integrable.

b b

Entonces; lim f x sen x dx lim f x cos x dx 0a a

Como hemos visto en 1.9 los coeficientes de Fourier se obtienen por medio de

integrales en un período. Luego si dos funciones coinciden en el entorno de un punto,

pero no en el resto del período sus coeficientes y series no tienen porque ser iguales.

Esto podría implicar que el comportamiento de ambas series puede ser distinto en dicho

punto. Sin embargo como se demuestra en la siguiente proposición no es así ya que

ambas series tienen el mismo comportamiento.

Proposición 2.3 (Principio de localización de Riemann).

i. Sea f una función integrable con período 2 , y x0 un elemento de su dominio.

Si f x =0 para x x0

; x0 y algún >0 entonces,

lim Sn f x0 0.n

ii. Si f y g son dos funciones integrables con período 2 tales que f x g x para

x x0

, x0

, entonces existe lim Sn

f x0

, existe lim Sn g x

0y ambos son iguales;

n n

o no existe ninguno de los dos.

Demostración:

i. Recordemos que Sn f x0

1 f x0 t Dn t dt , luego aplicando la hipótesis

resulta queS f x

1 f x t D t dt

def. núcleoDirichlet 1

f x

0 t

sen n1 t dt .

n 0 0 n t t t 2 sin 2

Observemos que la función sin t

es continua y no se anula para todo valor de t que

cumpla t .

101

f x0 t si t t Luego al ser f x0 t integrable la función g t sen es 2

integrable.

0 si t

Ahora nos encontramos en las hipótesis del Lema de Riemann- Lebesgue lo que nosasegura que Sn f x0 0 como se quería probar.

n

ii. Para demostrar debemos observar que Sn ( f g )( x0 ) 0 (*) por parte 1.n

Como para todo n natural Sn ( f g )( x

0 ) = Sn f

x0

- Sn g x0 , entonces si existe el

lim Sn f x0n, debe existir y ser el mismo el lim Sn g x0n

por (*).

Ahora si no existe lim Sn f x0ntampoco existe lim Sn g x0n

, ya que de existir

tendríamos al ser la resta de ambos límites igual a cero entonces despejando llegaríamosa la igualdad lim Sn g x0 lim Sn f x0 lo que es absurdo.

n n

El siguiente teorema da una condición suficiente para la convergencia puntual de la

serie de Fourier.

Proposición 2.4

Sea f una función integrable en , que tiene derivadas laterales en el punto x0

en el sentido mencionado. Entonces la serie de Fourier de f converge en x0

a

Demostración:

f x0 f x0 .2

Sea x ℝ . Consideremos ahora la sucesión de sumas parciales de la serie de Fourier de

f ; entonces Sn f x 1 f x t Dn t dt

2 22 0

111

Probemos que Sn f xf x f x

2 n0 utilizando el Lema Riemann-Lebesgue.

f x f x 1 f x f x 0

Sn f x 2 f x t Dn t dt Dn0

t dt Dn t dt

1 1 0

f x t f x Dn0

t dt f x t f x Dn t dt

1 f x t f x

sin t

sen n 1 t dt1

0 f x t f x

2 sin

t sen n 1 t dt (*)

Recordemos que el objetivo era probar que Sn f xf x f x

2 n0 , para lo que

se demuestra que cada uno de los términos de la suma (*) tiende a cero.

f x t f xAhora para t 0, , sea g t

t .

sen2

Múltiplicando y dividiendo por t resulta, g tf x t f x t

t sen

t

2

que es

f x t f x tintegrable ya que por hipótesis lim y la discontinuidad de

t 0 t sen t

2en 0 es evitable. Luego existe el lim g t y entonces g es integrable en 0, .

t 0

aplicando el lema Riemann- Lebesgue se prueba que el primer término tiende a 0.

32 52 72

1 1 1

32 52

2

72

2

2

121

Analogamente se prueba que el segundo termino tiende a 0 lo que permite afirmar que

f x f xla serie de Fourier de f converge puntualmente a en x.

2No es menor observar que si a las hipótesis le agregamos la continuidad de f en x la serie de

Fourier converge puntualmente a f x en x.

Como se muestra en siguiente ejemplo la proposición anterior es una herramienta para

calcular series numéricas.

Ejemplo 2.4:

Clasifiquemos la serie numérica i 0

1

2i 1

Sea la función g : , ℝ; g x x , luego su serie de Fourier es

4 cos x

cos 3 x cos 5 x

cos 7 x ...

y por el teorema anterior converge

2

32 52 72

puntualmente a g en , y podemos escribir

Evaluando en cero queda 0 4

1 1 1 1

...

y despejando concluimos que 2 2

1 ...8

1Luego la serie es convergente y i 0 2i 1 8

131

Si nos detenemos a pensar un instante sobre el teorema anterior podría surgir la

pregunta, al menos parece haber sucedido tiempo atrás, sobre si la continuidad de una

función es suficiente para asegurar la convergencia puntual de su serie de Fourier a ella.

Cómo dice Javier Duoandikoetxea en sus notas:

“Una cuestión a la que durante mucho tiempo se trató de responder fue la de si la

continuidad de la función era condición suficiente para la convergencia de la serie de

Fourier hacia la función. Los indicios parecían sugerir una respuesta positiva, de modo

que se puede considerar que fue una sorpresa entre los matemáticos el resultado que P.

du Bois-Reymond demostró en 1873.”

El enunciado del teorema que demostró P. du Bois Reymond es el siguiente:

“Existe una función continua cuya serie de Fourier diverge en un punto”2

En el contexto descrito anteriormente el resultado que sigue (Teorema de Fejer) cobra

un valor significativo, ya que demuestra como mediante un cambio en el procedimiento

de asignar a la serie un valor suma, se puede ampliar la clase de funciones continuas que

se recuperan conociendo su serie de Fourier y además con convergencia uniforme.

Pero antes del teorema es necesario caminar un poco más.

Definición 2.5

Sea 0 , 1 ,... una sucesión de números reales. La sucesión de las medias de Cesaro, o

0 1 ... nmedias aritméticas, de la sucesión n n ℕ es la sucesión n : n

n 1 .

Sea f : ℝ ℝ una función de período 2 ; integrable en el intervalo ; y sea

Sn n ℕ la sucesión de sumas parciales de las serie de Fourier de f .

Consideremos sus medias de Cesaro para x , .

(2.7) x S 0 x S1 x ... S n x

n n 1

2 En la pág. 29 de las notas de Javier Duoandikotxea se encuentra una demostración del teorema.

141

De la formula (2.5) se deduce

(2.8)x

1

f x t

D0 t D1 t ... Dn t dt

n n 1

Definición 2.6

El núcleo de Fejer es la sucesión de funciones Kn n ℕ definida por

(2.9) K tD0 t D 1 t ... D n t donde D es el núcleo de Dirichlet.n

n 1 n n ℕ

Observación:

Al sustituir (2.9) En (2.8) se obtiene la fórmula

(2.10) 1

n x f x t Kn t dt

Proposición 2.7 (Propiedades de núcleo de Fejer)

Sea Kn n ℕ el núcleo de Fejer. Entonces:

i. 1

Kn t dt 1

n 21 t

ii. K t sen

1 2 n

2 n 1 sen t

2

iii. Kn t 0 y es par.

Demostración:i. Es inmediato ya que Dn t 1; n ℕ*.

2 2

151

sin 1

n t sin

t sin

1n

t ii. sabemos que t / sin

t 0 Dn t

2 = 2 2 1 cos kt

cos k 1 t

2

2sin t

2 sin 2 t 2 1 cos t

n2

1 t

de donde, K tD0 t D1 t ... Dn t 1 1 cos n 1 t

sin 1 2

n n 1 2 n 1

1 cos t

2 n 1 t sin

2

iii. De la propiedad ii se deduce que Kn

pares.

es positivo y es par por ser el promedio de funciones

*

n

161

Ahora si veamos el teorema al que me referí antes.

Teorema de Fejer 2.8Sea f : ℝ ℝ una función continua de período 2 , sea n n ℕ

la sucesión de las

medias de Cesaro de las sumas parciales de la serie de Fourier de f . Entonces n

converge uniformemente a f en ℝ .

Demostración:

Sea 0

f es continua por lo tanto es uniformemente continua y acotada en , por tratarse

de un intervalo compacto. Entonces existe M 0 tal que f x M para todo x ℝ y por

la continuidad uniforme para dado; existe 0 tal que f x f x´ ;2

si x, x´ ℝ y x x´ .

Ahora sea x ℝ , entonces

x f x

1 f x t K t dt

f x K t dt

1

f x t f x K t dtn n Kn n

n 0

1 f x t f x Kn t dt

1 1 1f x t f x K

c.u.

t dt f x t f x Kn t dt f x t f x Kn t dt

2

2 Kn t dt2M Kn t dt

2M Kn t dt

Fejer es positivo y sen2t 1

K t dt2M 1

dt 2M

t

1 t

dt

Fejer es par 2M 1

t dt

2 n

2 (n 1) 2 2 (n 1) 2 2 (n 1) 2sen sen sen

2 2 2

En * se utilizo (2.9) y la propiedad i del núcleo de Fejer.

171

Hasta aquí tenemos que

2 2

2 2 2

2

2

2 2

181

x f x 2 M 1

dtn 2 (n 1) sen2 t

2

Observemos que sen2 tes creciente si 0 t , entonces

1 1 si 0< t

2 sen2 t

sen2

Luego 1 dt

1

sen2 t sen2 sen2

Por lo tanto n x f x 2 M 2 M

y observemos que la cota

encontrada no depende de x.

2 (n 1) sen2

(n 1)sen2

Como lim 2 M

0, existe j ℕ tal que si n j entonces 2 M

n

n 1 sen2 n 1 sen2 2

En síntesis,dado 0; j ℕ tal que n j n x f x x

2 2ℝ lo que implica que n

converge uniformemente a f en ℝ.

Nota: Observemos que lo que se ha probado es que la continuidad es condición

suficiente para que las medias de Cesaro de las sumas parciales de la serie de Fourier de

una función periódica converja uniformemente a la función en R. Lo que no quiere decir

que la serie de Fourier converja a la función. Como antes se mencionó existen

contraejemplos que prueban lo contrario.

2 dt

2 dt

2 dt

x

2

191

3. Integración y derivación de la serie de Fourier

de una función.

Proposición 3.1

Sea f : ℝ ℝ una función de período 2 ; continua en 0, 2 con serie de Fourier

f ( x)a 0

2 ak cos kx bk senkxk 1

Entonces para a y b ℝ, se cumple queb

a a senkb senka b cos kb cos ka f t dt 0 b a k k

a 2 k 1 k

Antes de demostrar esta propiedad observaremos que dado un intervalo I ℝ cerrado

y acotado, y una función f : I ℝ continua, entonces la función

F : Iℝ; F x

x

f t dtx0

(con x0 I ) es continua y derivable en I . Además F es

primitiva de f .

Demostración:

Sea F : F x

f t

ao dtque tiene período 2 ya que por la proposición 1.8

0 2

x 2 a

x a

x 2 a F x 2

2

f t0

a

0 f t 0

2

0 f t 0

x

2 0

F x f t 0 dt F x f t dt a F x0 0

Además por la observación anterior es continua y derivable en 0, 2 , lo que

permite aplicar la proposición 2.5 para afirmar que la serie de Fourier de F converge

puntualmente a la dicha función en ℝ .

Ahora si la serie de Fouirier de F es A0 A cos kx B senkx calculemos sus k k

k 1

coeficientes integrando por partes si k 1 .

2

2

202

A 1

F ( x) cos

kxdx

1 F x

senkx 1 f x

a0 senkxdxbk

k

Análogamente se llega Bk

Por lo tanto

k 0 2 k

ak .

k

F x A0 ak s e n k x b k c o s k x

x

lo que implica f t dta0 x A 0 a k s e n kx b k c o s k x 2 k 1 k 0 2 2 k 1 k

para obtener el resultado evaluamos la fórmula anterior en x b , en x a y restamos

aplicando linealidad de series.

Antes de continuar observemos que en el teorema anterior la convergencia de la serie

de Fourier de F no depende del comportamiento de la de f ; además de que el

resultado implica que la serie de Fourier se puede integrar término a término.

Proposición 3.2

Sea f : ℝ ℝ una función derivable de período 2 ; con serie de Fourier

a0 a cos kx b senkx k k

k 1

Si f ' es continua a trozos, entonces la serie de Fourier de f ' es

bk cos kx ak senkxk 1

Es decir, que la serie de Fourier de una función se deriva término a término.

Demostración:

Sean ak ´ y bk ´ los coeficientes de Fourier de f ´.2 es

1 1 período de f

Luego, a0 ´ f ´ t dt f f 0

a ´ 1

f ´ t cos ktdt

1 f x cos kx k

1

f t senktdt kbk k

Analogamente se prueba que bk ´ kak .

Una ves que calculados los coeficientes se puede escribir la serie de Fourier de f ´

212

que es k 1

bk cos kx ak senkx , lo que demuestra la proposición.

L

L L

L L

k

L

L

L

L

L

4. Desarrollo en series de senos y cosenos.

Funciones de período arbitrario.

Sea f : ℝ ℝ una función de período 2L L 0 , si definimos

: ℝ ℝ tal quex f

L x , entonces tiene período 2 .

Este cambio de variable permite trasladar los resultados antes estudiados para funciones

de período 2 a funciones de período 2L .

La serie de Fourier de una función de período 2L e integrable es de la forma:a n k x k x 0 a cos bk sen 2 k 1 L L

Donde (4.1)a

1 f ( x) cos

k x dx,

kℕ. y

k L

L

L

(4.2)b

1 f ( x) s en

k x dx,

kℕ* .

k L

Desarrollo en serie de cosenos y en series de senos.

Sea f : ℝ ℝ una función de período 2L L 0 , integrable en el intervalo 0, 2L ,

a n k x k x con serie de Fourier: 0 akcos bk sen 2

Ahora si f es par por ¿?

k 1 L L

1 L

k xc.v. x xen L ,0 1

Lk x k x f es par

bk L

L

f ( x) s en dx

L f ( x) s en0

f ( x) s en dxL

1 f ( x)

s en

k x s en k x

dx0, k

ℕ* .

L 0 L L

Por otra parte,

c.v. x x f y cos son

1 L

k x en L ,0 1 L

k x k x funciones par

ak L

L

f ( x) cos dx

L f ( x) cos0

f ( x) cos dxL

2 k x f ( x) cos dx

k ℕ.L

0 L

L

L

L

L

Resumiendo si f es una función de período 2L L 0 , integrable en el intervalo

0, 2L y además es par sus coeficientes de Fourier son:

(4.3) b 0, kℕ* y a

2 L

f ( x) cos k x

dxk ℕ.

k k 0

Ahora bien, si partimos de las hipótesis anteriores cambiando el hecho de que f sea

una función par por el de que sea impar, mediante un razonamiento análogo se prueba

que

(4.4) b

2 L

f ( x)sen k x

dx , k ℕ* y a 0, k ℕ.

k k0

Supongamos entonces que tenemos una función f integrable definida en un intervalo

0, L para algún L mayor que cero.Si definimos

f x , si x 0, Lg : g x f x , si x L, 0

entonces g es una extensión par de f al intervalo L, L .

Luego, siguiendo lo antes analizado la serie de Fourier de g sólo tiene cosenos y se

llama serie de Fourier de cosenos de f o desarrollo en serie de cosenos de f y sus

coeficientes se calculan con la formula (4.3).

Por otro lado si definimos

h : h x f x

, si x 0, Lentonces h es una extensión impar de f al intervalo L, L .

f x , si x L, 0

En este caso la serie de Fourier de g sólo tiene senos y se llama serie de Fourier de

cosenos de f o desarrollo en serie de senos de f y sus coeficientes se calculan con la

formula (4

Se considera la ecuación de la cuerda vibrante y la ecuación del calor en dos situaciones

sencillas y se resuelven con el método de separación de variables combinado con el

método de expansión en series trigonométricas.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.

Consideremos una cuerda de longitud L , fija en sus extremos y que vibra en un plano

xu libre de fuerzas externas. Además la longitud de la cuerda es lo suficientemente

pequeña como para considerar que cada punto de la misma se mueve en solamente en

dirección vertical y su posición de equilibrio queda a lo largo del eje x . Entonces

este

movimiento se puede describir mediante una función de dos variables u x, t . Esta

función expresa el desplazamiento del punto de la abscisa x en el instante t ; es decir

que si fijamos t y consideramos el gráfico de la función u x (pues ahora solo depende

de la variable x ), resulta que su gráfico es la forma de la cuerda en el instante t .

u (x, t)

u(x ,t2) u(x ,t1)

0 L x

Luego la función u x, t , que describe el movimiento de la cuerda, satisface la ecuaciónen derivadas parciales

(.1)2u 1 2u

,x2 a2 t 2

donde a es una constante positiva, que depende de la tensión y otras

características físicas de la cuerda.

La solución de la ecuación (5.1) se hará sujeta a las siguientes condiciones de borde:

u 0, t u L, t

; t 0 (significa que los extremos de la cuerda siempra están fijos)

u x, 0 f (x) (significa que la forma inicial de la cuerda es conocida y está dada por el gráfico de f )

u x, 0

tg x (también se conoce la velocidad inicial en cada punto de la cuerda y está dada por g)

Solución de la ecuación por el método de separación de variables.

Comencemos buscando soluciones no triviales de la ecuación (5.1) que tengan la forma

u x, t v x p ty que cumplan u 0, t u L,

tpara t 0.

Observemos entonces que si derivamos primero según x y luego según t obtenemos las

2 2

siguientes igualdades u

x2v '' x p t y

u t 2

v x p '' t .

Al sustituir en (5.1) resulta v '' x p t 1

v x p '' t a2

que equivale a la ecuación

(5.3)v '' x 1 p '' t

v x a2 p t

Si prestamos atención a la ecuación (5.3) podemos ver que uno de los miembros depende

x mientras que el otro depende de t por lo que ambos cocientes deben ser igual a una

constante a la que llamaremos obteniendo el siguiente sistema de ecuaciones

diferenciales que equivale a la ecuación (5.3)

(5.4)

v ''

p ''

x v x 0

t a2 p t 0

Primero analicemos la ecuación v '' x v x 0 (4.5)

Recordemos que pedimos que u 0, t u L, t

para t 0 lo que implica que

v 0 v L 0 (*)

Ahora discutamos la solución de (5.5) según el signo de .

1 2

k k

C a so 1 : Si 0

En este caso (5.5) es v '' x 0 y su solución general es v x C1 C2 x , con C1 y C2 ℝ ,

pero por (*) C1

y C2 deben ser 0; obteniendo así solo la solución trivial.

C as o 2 : Si 0

En este caso la solución general de (5.5) es v x C e x C e x, con C1

y C2 ℝ , pero

nuevamente por (*) C1

y C2 deben ser 0; obteniendo así solo la solución trivial.

C a so 3 : Si 0

En este caso la solución general de (5.5) es(5.6) v ( x)

=C1cos

x +C

2sen

x , con C1 y C2 ℝ .

Como v 0 0 debe ser C1 0 y como v L 0 debe ser C

2 sen L 0 , lo que implica

que para que la solución no sea trivial se debe cumplir sen L 0 , de donde

k 2 2

, siendo k un entero positivo.L2

De la solución general (5.6) obtenemos que para cada entero positivo k , la función

vk : vk x h sen k

x , con h una constante real, es una solución de la ecuación (5.5)

L

Luego podemos sustituir el valor de hallado en la segunda ecuación del sistema (5.4)

obteniendo la ecuación diferencial p '' tk 2 2

a2 p tL2 0 , cuya solución general es de la

k k forma pk (t) k cos at k sen at , donde k y k son constantes reales. L L

Finalmente para cada entero positivo k , tenemos una solución de la ecuación (5.1) de la

forma k k k u

k ( x,

t) Ak cos

L at B

k sen

L at sen

Lx , donde A

ky B

kson constantes reales.

Hasta aquí hemos encontrado un solución para la ecuación (5.1) sujeta a la primer

condición de las tres que se piden (5.2), faltaría considerar las últimas dos.

Ahora bien, supongamos que la solución de la ecuación (5.1) sujeta a las condiciones (5.2)

se puede expresar como sigue u x, t

a término.

Luego por (5.2) tendríamos que

k

uk k 1

x, t y que es posible derivar la serie término

uk x, 0 f x Ak sen

L x f x

k 1 k 1 x , 0

g x

k aB sen

k x

g x

k k 1 t k 1 L L

Finalmente por el desarrollo en serie y cosenos tendríamos que

2 L

k 2 L k Ak y Bk Ak

L f x sen

Lx dx y Bk

k a g x sen

Lx dx

0 0

Una ves que hallamos un valor de Ak

y Bk se podría decir que encontramos una solución

de la ecuación (5.1) sujeta a las condiciones (5.2); pero faltaría probar que nuestras

suposiciones son ciertas y para ello enunciaremos el siguiente teorema.3

Proposición.

Sea L un número real positivo y sean f , g : 0, L ℝ funciones tales que

i. f , f ', f '' son continuas en 0, L y f 0 f '' 0 f L f '' L 0

ii. g y g ' son continuas en 0, L y g 0 g L 0

L L

Lugo si k 1, A

2 f x sen

k x

dx y B

2 g x sen

k x

dx

se cumplek

L

L k

k a

L

0

k

0

k

k que la serie uk x, t Ak cos

L at Bk sen

L at sen

L x converge

k 1

uniformemente y absolutamente a una solución de la ecuación2u 1 2u

x2 a2 t 2

3 Se puede ver una demostración del teorema en D. Kreider, R. Kuller, D. Otsberg y F. Perkins.Introducción al Análisis Lineal, Parte 2. Fondo Educativo Interamericano, 1971. 54, 57.

Observemos que si pensamos en nuestro problema, al estar los extremos de la cuerda fijos

la hipótesis i de la proposición anterior se cumple y por la misma razón la velocidad inicial

en x 0 y x L es 0 y por lo tanto la hipótesis ii también se cumple.

Quizás ahora, después de chequear ciertas condiciones y con un cronómetro en mano

te animes a hacer acrobacias en una cuerda.

Bibliografía

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marzo 2003. h tt p :// e u l er . c i e ns.u c v.v e /

Carl B. Boyer. “Historia de la matemática”. Versión de Mariano Martínez Pérez.

Alianza Editorial.

Cristóbal R Santa María. “Series de Fourier. Aspectos Históricos” UNLAM

Buenos Aires. (Material bajado de Internet).

de Olivera, Federico. “Notas del curso de Análisis I”. IPA 2008

Duoandikoetxea Javier. “Lecciones sobre las series y transformadas de Fourier”.

UNAN-Managua, 2003

Tom M. Apostol. “Calculus” Volumen I y II segunda edición. Reverté, s.a.