Fourier paper
-
Upload
wilson-monar -
Category
Documents
-
view
218 -
download
0
Transcript of Fourier paper
-
7/25/2019 Fourier paper
1/4
1
Modelamiento de Notas Musicales en el dominio de
la FrecuenciaXimena Trujillo,xf [email protected]
Cristian Monar,c [email protected]
AbstractEl presente artculo, trata de la estrecha relacionentre las matematicas y la teora musical. Partiendo desde losprincipios pitagoricos de las escalas, la estandarizacion de laescala templada y finalmente, haciendo especial enfasis en elanalisis frecuencial, mediante la utilizacion de la trasformada
de Fourier, que sirve para el analisis de las frecuencias, a partirde sus respectivas funciones en el tiempo. Para demostrar que,la escala de armonicos naturales, se relaciona con la respuestade frecuencia de una senal obtenida, mediante la trasformadadiscreta de Fourier a partir de una aplicacion desarrollada enMATLAB. ademas se comprara los resultados con instrumentosde cuerda e instrumentos de viento.
Index TermsTrasformada de Fourier, Escala de armonicosnaturales, MATLAB
I. INTRODUCCI ON
Desde la epoca de Pitagoras, grandes pensadores, filosofos,
cientficos y, a traves de los tiempos, se han intrigado de la
estructura matematica de la musica. Se hablara acerca de lasobservaciones realizadas por Pitagoras; luego se analizara las
modificaciones presentadas por J. S. Bach y su correspondiente
analisis mediante el uso de funciones logartmicas; tambien,
se comprobara que, la escala de armonicos naturales, guarda
estrecha relacion con la trasformada de Fourier que, cambia
una senal representada en el dominio del tiempo, al dominio
de la frecuencia; pero, sin alterar su contenido de informacion,
solo es una forma diferente de representarla. Para calcular los
resultados, se utilizara un programa desarrollado en MATLAB.
Como se trabaja con senales en tiempo real, solo se debe
trabajar con modelos discretos y finitos.
II . TEO RIA M USICAL
A. Escala Pitagorica
Pitagoras, fue uno de los primeros en estudiar las
propiedades matematicas de los sonidos, por ejemplo: al
mover la altura de un sonido (mas agudo o mas grave),
llega un momento en que, se repite el mismo sonido con
las mismas caractersticas; pero, en otra frecuencia (esto se
conoce como octava). Se puede ver en el Tabla 1 que, cada
nota musical duplica su frecuencia cada vez que, avanza una
octava; por lo tanto, el LA5 es el doble que el LA4 y as
sucesivamente.[1] En el rango de las frecuencias audibles.El
odo humano percibe aproximadamente desde 20 Hz hasta 20kHz en promedio. A partir de los conocimientos de la octava,
mediante el uso de relaciones de proporcion, tanto aritmeticas
como geometricas y armonicas. Se pueden obtener dentro de
la octava notas adicionales; aunque, estas no estan definidas
TABLE INOTAS MUSICALES Y SUS FRECUENCIAS
Nota Musical Frecuencia(Hz)
Do 261.63Re 293.66Mi 329.63Fa 349.23
Sol 392La 440Si 493.88
Do 523.25
en u extension actual, para ello es importante el aporte echo
Por los musicologos siglos despues de Pitagoras.
B. La escala templada
En el siglo XVII Johann Sebastian Bach(1685-1750), im-plemento ciertas modificaciones en su obra el Clave bien tem-
perad; fundamentales a la escala musical.[2] Que es escala que,
usamos en la actualidad, en esta escala existen 11 frecuencias
una nota y su octava superior. Las doce frecuencias de la escala
templada son.
dodo#rere#mifafa#solsol#lala#siLa figura.1 muestra la representacion musical actual, usando
Fig. 1. Representacion musical
un pentagrama y sus respectivas correspondencias en un piano,observandose, as que, cumplen lo ya establecido en la ley de
crculo de sonidos y en la escala templada. Todos los sonidos
sucesivos de la escala templada, estan separados entre s, a
una distancia de un semitono; es decir que, entre dos notas
-
7/25/2019 Fourier paper
2/4
2
de la escala templada existen siempre exactamente el mismo
intervalo. En la escala las frecuencias fn y fn+1 se verifica
con la siguiente relacion
fm= f0Km ; m= 0, 1, 2, 3,... (1)
Esta ecuacion muestra la relacion entre las diferentes frecuen-
cias de la escala templada. Donde f0 es la frecuencia de la
nota menor o nota tonica; y La Constante K vale.
K=1.059
Si la nota fundamental es Do entonces
f0 = 261
Aplicando la ecuacion (1) en un intervalo m = 12 es decir suoctava tenemos
fDO
= 261 (1.059)12
El valor de la octava de do es
K=519.25
Que es una buena aproximacion, en el siglo XVII fue posible
la realizacion de estos calculos, gracias al uso de la funcion
logartmica. Descubrimiento realizado por John Neper 2 siglos
antes.[3]
C. Ley de Armonicos naturales
La ley de armonicos, se fundamenta en la serie de armonicos
naturales que, genera un sonido; es decir, cuando se toca un
sonido determinado, se generan dentro sonidos que, son menos
audibles, a los cuales, se los conoce como armonicos que,
son multiplos enteros de la fundamental (sonido Generador).Se
llama fundamental a la frecuencia mas grave y audible de la
serie de armonicos.. La figura 2 muestra la serie de armonicos
moldeados al pentagrama, tomando como referencia la nota
DO. Que siguen una regla preestablecida, conocida Ley de
Armonicos naturales para el presente artculo, solo es nece-
sario considerar las 8 primeras notas de la escala de armonicos
naturales.[4]
Fig. 2. Escala de Armonicos naturales
D. Formacion de acordes
Al grupo de notas musicales superpuestas, se las conoce
como acordes. Los acordes son fundamentales para la com-
posicion; ya que, en base de ellos se crea musica agradable
para el odo. A esto se le conoce como armona musical,
en la seccion anterior, se hablaba de la serie de armonicos
naturales, si consideramos los armonicos 4, 5 y 6 se formaun acorde mayor. Como se observa en la figura. 3(a) y si
incluimos el armonico 7 se forma un acorde de 7 de dominante
figura 3(b) ambos acordes son parte fundamental de la armona
tradicional.
(a) (b)
Fig. 3. (a) Acorde Do Mayor (b) Acorde de Do mayor septimo
III . TRASFORMADA DE F OURIER
La serie de Fourier es la suma de funciones trigonometricas
con coeficientes especficos para la funcion de modelado.Es una suma de funciones continuas, que pueden converger
puntual a una funcion discontinua, donde cada suma parcial
sera una funcion continua. Se puede utilizar para resolver
y modelar funciones complicadas, y es una solucio n a la
ecuacion de onda, que es una ecuacion diferencial. La serie
puede modelar cualquier funcion periodica, pero tambien se
puede utilizar con otras funciones. El concepto de sumas de
funciones trigonometricas para modelar otras funciones no
era nueva en el tiempo de Fourier: Bernhard Riemann hizo
algunos trabajos con funciones trigonometricas para modelar
otras funciones, al igual que Bernoulli. La trasformada de
Fourier[5,6], es una trasformacion matematica que, relacionasenales en el dominio del tiempo y las convierte al dominio
de la frecuencia, facilitando su analisis frecuencial, igualmente
es posible revertir el proceso y convertirla a su senal original.
Viene dado por la ecuacion (2).
X(f) =
x(t)ej2ft dt (2)
Esta expresion, nos permite calcular la funcion X(f) (do-
minio del frecuencia) a partir de x(t) (dominio del tiempo).
El uso de la ecuacion 2, es exclusivo para analisis de
modelos matematicos, haciendo casi imposible, utilizar la
misma ecuacion para el analisis de senales en tiempo real.La Transformada de Fourier, es una herramienta muy util,
cuando se trabaja con modelos matematicos; pero, si se quiere
trabajar con senales reales fsicas y procesarlas mediante un
computador se debe trabajar con modelos finitos y discretos.
La Transformada discreta de Fourier[7-9] se define como:
G nNT
=
N1k=1
g(kT)ejnK
N , n= 0,...,N 1 (3)
donde nNT
es la frecuencia de estudio, g(kT) es el valor decada muestra, T es el perodo de muestreo de la senal original
y N es el numero de puntos que se toman (incluyendo los
ceros).
-
7/25/2019 Fourier paper
3/4
3
IV. DESCRIPCION DE LA APLICACION DESARROLLADA
En la actualidad se dispone de herramientas de software que
permiten realizar calculos complejos tales como: el analisis
de frecuencias musicales descritas en el presente artculo Lafigura. 4 muestra detalladamente el proceso realizado para la
graficacion tanto en el dominio del tiempo como en el dominio
de la frecuencia.
Fig. 4. Diagrama de bloques de la aplicacion
A. Grabacion de datos
Para el presente articulo se ha considerado dos muestra de
audio la primera muestra fue grabada conectando directamente
a un bajo electrico a la computadora la segunda muestra corre-
spondiente a un trombon. fue grabada mediante un microfono.estas diferencias pueden afectar directamente a la amplitud de
cada muestra.
B. Captura de datos del programa
El programa implementado, toma su frecuencia de muestreo
del audio con formatos WAV. Previamente, se grabo una nota
musical con una guitarra LA2. El programa grafica la senal en
el tiempo como se puede observar en la figura. 5 [10,11] Luego
Fig. 5. Do2 En el dominio del tiempo con bajo electrico.
se realiza una trasformada discreta de Fourier a el componentevectorial del tiempo, fft()[12,13] , Solo se tiene que, considerar
la parte positiva; por lo tanto, a la salida de la funcion en
frecuencia se debe aplicar el valor absoluto luego se grafica
su senal Figura 6. en el dominio de la frecuencia. La grafica
Fig. 6. Do2 En el dominio de la frecuencia con bajo electrico.
de la senal del trombon en el dominio del tiempo se muestra
en la figura 7.
Fig. 7. Do2 En el dominio del tiempo con trombon.
Se realizo el mismo proceso similar para la senal del trombon
como se muestra en la Figura. 8 a diferencia de la grafica en
frecuencia anterior se puede observar que tanto los armonicos
pares como la fundamental tienen una baja ganancia.
Fig. 8. Do2 En el dominio de la frecuencia con trombon.
-
7/25/2019 Fourier paper
4/4
4
V. COMPARACI ON DE RESULTADOS
A. Comparacion de resultados experimentales con los resul-
tados teoricos
En la Tabla 2 y 3 se muestran los valores de frecuencia
obtenidos de un bajo electrico y un trombon correspondien-
temente. se puede ver que los valores de frecuencia de cada
armonico descrito en la ley de armonicos naturales Generado a
partir de Do2 se aproxima con la frecuencia de cada armonico
resultante de la senal original como se puede observar en la
Figura 6 y 8 comprobando de esta manera que, los resultados
son los esperados.
TABLE II
COMPARACION ENTREF RECUENCIAS DE LA ESCALA DE A RM ONICOS
NATURALES YE L RESULTADO DE L A TRASFORMADA DISCRETA DEFOURIER TOMANDO COMO SONIDO GENERADOR D O2 UTILIZANDO UN
BAJO ELECTRICO.
Posicion Nota Frecuencias Teoricas Frecuencias Resultantes(Hz) (Hz)
1 Do2 65.406 64.832 Do3 130.81 129.93 Sol3 196 1954 Do4 261.63 260.55 Mi4 329.63 325.36 Sol4 392 389.67 Sib4 466.16 455.5
TABLE IIICOMPARACION ENTRE F RECUENCIAS DE LA ESCALA DE A RM ONICOS
NATURALES YE L RESULTADO DE L A TRASFORMADA DISCRETA DE
FOURIER TOMANDO COMO SONIDO GENERADOR D O2 UTILIZANDO UNTROMBON .
Posicion Nota Frecuencias Teoricas Frecuencias Resultantes(Hz) (Hz)
1 Do2 65.406 67.162 Do3 130.81 133.73 Sol3 196 2004 Do4 261.63 2685 Mi4 329.63 3336 Sol4 392 4007 Sib4 466.16 465.5
B. Comparacion de los patrones de frecuencia
Al comparar tanto la senal en un instrumento de cuerda
y un instrumento de viento sus frecuencias son aproximadas
pero la ganancia de las cada frecuencia de La serie armonica
afecta el timbre, ya que cada tipo de instrumento produce un
patron distintivo de matices fuertes y suaves. Ademas a medida
que avanzamos mas lejos del tono fundamental, los armonicos
tienen una tendencia a atenuarse. Los tres primeros armonicos
en el bajo son muy fuertes, pero los armonicos restantes sondebiles. Esto es lo que da al bajo su caracterstico timbre este
tipo de patron es caracterstico de instrumentos de cuerda. En
el trombon, la fundamental y los armonicos pares son bastante
debiles. Este modelo da su correspondiente timbre al trombon.
TABLE IVCOMPARACION ENTRE I NSTRUMENTOS DE CUERDA Y DE VIENTO.
# Nota Cuerda Potencia Viento Potencia
(Hz) (dB) (Hz) (dB)1 Do2 64.83 109.8 67.16 41.552 Do3 129.9 103.5 133.7 108.63 Sol3 195 109 200 36.924 Do4 260.5 75.08 268 99.685 Mi4 325.3 74.29 333 27.626 Sol4 389.6 70.97 400 91.827 Sib4 455.5 74.81 465.5 32.73
V I. CONCLUSION
De lo expuesto en el presente artculo, se puede; decir
que, desde el punto vista matematico la musica presenta una
estructura logica y muy regular que, puede ser interpretada a
traves de varias herramientas matematicas.
REFERENCES
[1] K. S. Guthrie , The Pythagorean Sourcebook and Library, 1st ed. ,Ed.Phanes Press. ,Michigan, 1987.
[2] H. Martin , Las matem aticas y la musica, 3ra ed. ,EUDEBA, BuenosAires, 1976.
[3] Charles H. Lehmann , College Algebra, 1st ed. , John Wiley & SonsInc, New York , 1962.
[4] Dave J. Benson, Music: A Mathematical Offering, 1st ed. , CambridgeUniversity Press, New York , 2006.
[5] J. W. Cooley and J. W. Tukey An algorithm for the machine calculationof complex Fourier series, Math. of Comput., vol. 19, pp.297 -301 1965
[6] F. Auger & P. Flandrin, Then Why and How of Time Frequency Re-assignment, IEEE Symp. On Time-Frequency and Time-ScaleAnalysis,octubre 1994, pp. 197-200.
[7] E. O. Brigham, The Fast Fourier Transform and its; Applications,Prentice-Hall, Gran Bretana, 1988.
[8] W. M. Gentleman and G. Sande Fast Fourier transforms for fun andprofit, 1966 Fall Joint Computer Conf. AFIPS Proc., vol. 29, pp.563-578 1966
[9] J. W. Cooley Applications of the fast Fourier transform method, Proc.of the IBM Scientific Computing Symp., 1966
[10] M. Muller , Daniel P. W. Ellis, Anssi Klapuri , Gael Richard, SignalProcessing for Music Analysis IEEE Trans. Audio, Speech, Lang.Process., VOL. 0, NO. 0, 2011
[11] R C. Gonzalez & P. Wintz, Digital Image Processing, Addison-Wesley,EE.UU., 1987.
[12] The MathWorks, Inc. Embedded MATLAB R. Getting Started Guide.2010.
[13] The MathWorks, Inc. Embedded MATLABR. Users Guide. 2010.