Fourier

Tema 7

Series de Fourier

Nuestro principal objetivo es introducir las series de Fourier. Estas surgieron historicamenteal resolver por el metodo de separacion de variables un problema de contorno de ecuacionesen derivadas parciales.

Cuando estas formulas fueron propuestas por Daniel Bernouilli en 1.753, muchosmatematicos pensaron que era imposible expresar una funcion f(x) cualquiera como sumade senos y cosenos. Fue un ingeniero, Joseph Fourier, el que se encargo de recopilar datospara convencer al mundo cientıfico de tal posibilidad.

7.1 Series de Fourier

Definicion 7.1 (Serie de Fourier)

Se llama serie de Fourier de una funcion f(x) en el intervalo [−π, π] a:

f(x) =a0

2+

∞∑

n=1

(an cos nx + bn sen nx) (∗)

A los coeficientes a0, a1, · · · , an, b0, b1, · · · , bn se les llama coeficientes de Fourier def(x) en [−π, π].

Debido a que

∫ π

−πsen mx sen nx dx =

{0 si n 6= m6= 0 si n = m

∫ π

−πcos nx dx = 0

∫ π

−πsen nx dx = 0

1

2 Tema 7. Series de Fourier

∫ π

−πcos mx cos nx dx =

{0 si n 6= m6= 0 si n = m

∫ π

−πsen mx cos nx dx = 0

e integrando termino a termino en la igualdad (∗) obtenemos:

∫ π

−πf(x) cos nx dx = an

∫ π

−πcos2 x dx = anπ ⇒ an =

1

π

∫ π

−πf(x) cos nx dx

∫ π

−πf(x) dx =

a0

22π ⇒ a0 =

1

π

∫ π

−πf(x) dx

∫ π

−πf(x) sen nx dx = bn

∫ π

−πsen2 x dx = bnπ ⇒ bn =

1

π

∫ π

−πf(x) sen nx dx

Las anteriores propiedades de las funciones sen nx, cos mx se pueden resumir en queel sistema

{1, sen x, sen 2x, · · · , cos x, cos 2x · · ·}es un sistema ortogonal de funciones respecto del producto escalar

(f(x), g(x)) =∫ π

−πf(x)g(x) dx y la serie de Fourier no es mas que la expresion de un

vector f(x) como combinacion lineal de los vectores de la anterior base ortogonal.

Definicion 7.2 Se llama serie de Fourier de una funcion f(x) en el intervalo [−L,L]a:

f(x) ∼ a0

2+

∞∑

n=1

(an cos

nπ

Lx + bn sen

nπ

Lx

)

donde a0 =1

L

∫ L

−Lf(x) dx an =

1

L

∫ L

−Lf(x) cos

nπ

Lx dx

bn =1

L

∫ L

−Lf(x) sen

nπ

Lx dx

Este hecho se basa en que el sistema de vectores{1, sen

πx

L, sen

2πx

L, · · · , cos

πx

L, cos

2πx

L, · · ·

}

es un sistema ortogonal de funciones respecto del producto escalar

(f(x), g(x)) =∫ L

−Lf(x)g(x) dx

Analogamente se puede definir la serie de Fourier de una funcion f(x) definida en un

intervalo [a, b] haciendo una traslacion del punto medioa + b

2al origen.

7.1. Series de Fourier 3

Tomo L = b− a + b

2=

b− a

2− L = a− a + b

2=

a− b

2

Definicion 7.3 Se llama serie de Fourier de una funcion f(x) en el intervalo [a, b] a

f(x) =a0

2+

∞∑

n=1

(an cos

nπb−a2

x + bn sennπb−a2

x

)

donde a0 =2

b− a

∫ b

af(x) dx an =

2

b− a

∫ b

af(x) cos

2nπ

b− ax dx

bn =2

b− a

∫ b

af(x) sen

2nπ

b− ax dx

Las series anteriores tambien se podrıan haber escrito de la forma:

f(x) ∼ C0 +∞∑

n=1

Cn cos(nω0t− θn)

donde Cn =√

a2n + b2

n, cos θn =an√

a2n + b2

n

sen θn =bn√

a2n + b2

n

θn = arctangbn

an

siendo ω0 = 1,π

L,

2π

b− asegun hayamos utilizado una de las tres formulas anteriores.

La componente sinusoidal de frecuencia ωn = nω0 se denomina la enesima armonicade la funcion periodica. La primera armonica se conoce comunmente con el nombre de

fundamental porque tiene el mismo periodo que la funcion y ω0 =2π

Tse conoce con

el nombre de frecuencia angular fundamental. Los coeficientes Cn y los angulos θn seconocen como amplitudes armonicas y angulos de fase, respectivamente. En Musica, a laprimera armonica, segunda armonica, etc. se le suele llamar fundamental, primer tono,segundo tono, etc.

Quedan muchas cuestiones por resolver:

• ¿ Que debe cumplir f(x) para que su serie de Fourier converja?

• Si converge, ¿ lo hace a f(x)?

• ¿ Es posible integrar termino a termino?. ¿ Y derivar?

Estas preguntas las responderemos con los siguientes teoremas.


7.1.1 Convergencia de las series de Fourier

Teorema 7.1 (Teorema de convergencia puntual para series de Fourier)

Si f(x) y f ’(x) son continuas a trozos en [−L,L], entonces ∀x ∈ (−L,L) se verifica:

a0

2+

∞∑

n=1

(an cos

nπ

Lx + bn sen

nπ

Lx

)=

1

2

[f(x+) + f(x−)

]

Para x = ±L la serie de Fourier converge a1

2

[f(−L+) + f(L−)

].

Teorema 7.2 (Teorema de convergencia uniforme de series de Fourier)

Sea f(x) una funcion continua en (−∞,∞) y con periodo 2L. Si f ’(x) es continua atrozos en [−L,L], entonces la serie de Fourier de f(x) converge uniformemente a f(x) en[−L,L] y por consiguiente en cualquier intervalo.

7.1.2 Diferenciacion de series de Fourier

Teorema 7.3 Sea f(x) una funcion continua en (−∞,∞) y con periodo 2L. Sean f’(x),f”(x) continuas por segmentos en [−L,L]. Entonces la serie de Fourier de f ’(x) se puedeobtener de la serie de Fourier de f(x) mediante diferenciacion termino a termino. Enparticular, si

f(x) =a0

2+

∞∑

n=1

(an cos

nπ

Lx + bn sen

nπ

Lx

)

entonces

f ′(x) =∞∑

n=1

nπ

L

(−an sen

nπ

Lx + bn cos

nπ

Lx

)

7.1.3 Integracion de series de Fourier

Teorema 7.4 Sea f(x) continua a trozos en [−L,L] con serie de Fourier

f(x) ∼ a0

2+

∞∑

n=1

(an cos

nπ

Lx + bn sen

nπ

Lx

)

entonces ∀x ∈ [−L,L] se verifica:

∫ x

−Lf(t) dt =

∫ x

−L

a0

2+

∞∑

n+1

∫ x

−L

(an cos

nπ

Lt + bn sen

nπ

Lt)

dt

7.2. Formula de Parseval 5

7.2 Formula de Parseval

Los tres resultados teoricos mas importantes para el manejo de las series de Fourierson: el teorema de convergencia, el teorema de unicidad, segun el cual todo desarrollo enserie trigonometrica, de una funcion, es su desarrollo de Fourier, y la formula de Parseval.

Teorema 7.5 (Formula de Parseval)

Sea f una funcion continua a trozos en el intervalo [−π, π]. Sean a0, an y bn loscoeficientes del desarrollo de Fourier de f. Entonces se verifica:

1

π

∫ π

−π[f(x)]2 dx =

1

2a2

0 +∞∑

n=1

(a2

n + b2n

)

Demostracion Aunque esta formula es valida para todas las funciones continuas atrozos, nos limitaremos, por comodidad, a probarla en el caso en que la serie de Fourierconverge uniformemente a f en el intervalo [−π, π].

Partiendo de la relacion: f(x) =a0

2+

∞∑

n=1

(an cos nx + bn sen nx) − π < x < π

uniformemente. Multiplicando por f(x) se obtiene:

[f(x)]2 =a0

2f(x) +

∞∑

n=1

(anf(x) cos nx + bnf(x) sen nx) − π < x < π

uniformemente. Por tanto, al integrar termino a termino, se obtiene:

∫ π

−π[f(x)]2 dx =

1

2a2

0π +∞∑

n=1

(a2

nπ + b2nπ

)

de donde, dividiendo por π, obtenemos el resultado deseado.

7.3 Funciones pares e impares

Definicion 7.4 (Funcion par, funcion impar)

Decimos que una funcion f(x) es par si f(-x) = f(x).

Decimos que una funcion f(x) es impar si f(-x) = - f(x).


Propiedades

• El producto de dos funciones pares es par.

• El producto de dos funciones impares es par.

• El producto de una funcion par por una impar es impar.

• Si f(x) es par ⇒∫ a

−af(x) dx = 2

∫ a

0f(x) dx

• Si f(x) es impar ⇒∫ a

−af(x) dx = 0

Desarrollo en serie de Fourier de una funcion par

Sea f(x) una funcion par. Vamos a calcularle su serie de Fourier en el intervalo [−L, L].

a0 =1

L

∫ L

−Lf(x) dx = [por ser f par] =

2

L

∫ L

0f(x) dx

an =1

L

∫ L

−Lf(x) cos

nπ

Lx dx =

2

L

∫ L

0f(x) cos

nπ

Lx dx por ser f(x) y cos x fun-

ciones pares con lo que su producto es tambien una funcion par.

bn =1

L

∫ L

−Lf(x) sen

nπ

Lx dx = 0 por ser el producto de una funcion par (f(x)) por

una impar (sen x) una funcion impar.

Luego

f(x) ∼ a0

2+

∞∑

n=1

an cosnπ

L

Es decir, la serie de Fourier de una funcion par en el intervalo [−L,L] es una serie enla que solo aparecen cosenos.

Desarrollo en serie de Fourier de una funcion impar

Haciendo calculos analogos se obtiene a0 = an = 0

Es decir, la serie de Fourier de una funcion impar en el intervalo [−L,L] es una serieen la que solo aparecen senos.

f(x) ∼∞∑

n=1

an sennπ

L

7.4. Desarrollos para funciones definidas en medio intervalo 7

7.4 Desarrollos para funciones definidas en medio in-

tervalo

Supongamos que tenemos una funcion definida en el intervalo [0, L]. Para hallar sudesarrollo en serie de Fourier podemos optar por definirla en el intervalo [−L, 0] de lassiguientes tres formas y obtener distintos desarrollos de Fourier.

Caso I

Extendemos f(x) al intervalo [−L, 0] de forma que obtenga una funcion par.

Obtenemos ası un desarrollo en serie de cosenos.

Caso II

Extendemos f(x) al intervalo [−L, 0] de forma que obtenga una funcion impar.

Obtenemos ası un desarrollo en serie de senos.

Caso III

Extendemos f(x) al intervalo [−L, 0] de forma que obtenga una funcion periodica deperiodo L.

Obtenemos ası un desarrollo en serie de cosenos y senos.

7.5 Forma compleja de la Serie de Fourier

En muchas aplicaciones de las series de Fourier, es conveniente expresar estas seriesen terminos de los exponenciales complejos e±jnω0t.

Si se considera la serie de Fourier de una funcion periodica f(t),como

f(t) =1

2a0 +

∞∑

n=1

(an cos nω0t + bn sen ω0t)

donde ω0 =2π

T.


Sabemos que :

cos nω0t =1

2

(ejnω0t + e−jnω0t

)

sen nω0t =1

2j

(ejnω0t − e−jnω0t

)

Sustituyendo estas expresiones en la anterior de la serie de Fourier:

f(t) =1

2a0 +

∞∑

n=1

[an

1

2

(ejnω0t + e−jnω0t

)− bn

j

2

(ejnω0t − e−jnω0t

)]

Como1

j= −j , podemos expresar f(t) como

f(t) =1

2a0 +

∞∑

n=1

[1

2(an − jbn) ejnω0t +

1

2(an + jbn) e−jnω0t

]

LLamando c0 =1

2a0, cn =

1

2(an − jbn) , c−n =

1

2(an + jbn) , entonces:

f(t)=c0 +∞∑

n=1

(cne

jnω0t + c−ne−jnω0t)

=

=c0 +∞∑

n=1

cnejnω0t +

−∞∑

n=−1

cne−jnω0t =

∞∑

n=−∞cnejnω0t

Esta ultima ecuacion se denomina serie compleja de Fourier de f(t).

Los coeficientes de Fourier se pueden evaluar facilmente en terminos de an y bn, loscuales ya los conocemos:

c0 =1

2a0 =

1

T

∫ T/2

−T/2f(t) dt

cn =1

2(an − jbn) = [desarrollando] =

1

T

∫ T/2

−T/2f(t)e−jnω0t dt

c−n =1

2(an + jbn) = [desarrollando] =

1

T

∫ T/2

−T/2f(t)ejnω0t dt

donde |cn| = 1

2

√a2

n + b2n

7.5. Forma compleja de la Serie de Fourier 9

Definicion 7.5 (Producto escalar en lC)

Dadas dos funciones complejas f(t) y g(t) definimos su producto escalar complejo enel intervalo [a, b] como

(f(t), g(t)) = f(t) · g(t) =∫ b

af(t)g∗(t) dt

donde g∗(t) representa el conjugado complejo de g(t).

Definicion 7.6 ( Sistema ortogonal en lC)

un conjunto de funciones complejas {f1(t), f2(t), · · · , fn(t)} se dicen que es un sistemaortogonal en el intervalo [a, b] si

∫ b

afm(t)f ∗k (t) dt =

{0 para k 6= mrk para k = m

Proposicion 7.1 El conjunto de funciones complejas de la serie de Fourier {ejnω0t} ,n = 0,±1,±2, · · ·, forman un sistema de funciones ortogonales.

Definicion 7.7 (Espectros de frecuencia compleja)

La grafica de la magnitud de los coeficientes complejos cn de la serie de Fourier∞∑

n=−∞cne

jnω0t frente a (versus) la frecuencia ω (frecuencia angular) se denomina es-

pectro de amplitud de la funcion periodica f(t).

La grafica del angulo de fase ϕn de cn = |cn|e−jϕn frente a ω se denomina espectrode fase de f(t).

Como el ıdice n toma solamente valores enteros, los espectros de amplitud y fase noson curvas continuas sino que aparecen en la variable discreta nω0; por consiguiente, seles denomina espectros de frecuencia discreta o espectros de lıneas.

La representacion de los coeficientes complejos cn frente a la variable discreta nω0,especifica la funcion periodica f(t) en el diminio de la frecuencia, ası como f(t) versus tespecifica la funcion en el dominio del tiempo.

Proposicion 7.2 El desplazamiento en el tiempo de una funcion periodica no tiene efectosobre el espectro de amplitud, pero modifica el espectro de fase en una cantidad de −nω0τradianes para la componente de frecuencia nω0 si el desplazamiento en el tiempo es τ .


7.6 Filtrado de series de Fourier

Supongamos que deseamos obtener la tension (o corriente) de salida de un sistemalineal y sabemos que la entrada es una senal periodica no lineal. Utilizando la seriede Fourier para descomponer la senal de entrada, en sus componentes senoidales, pode-mos hacer pasar separadamente cada componente a traves del sistema. (Se pueden usarmetodos conocidos para operar con entradas senoidales: fasores, impedancias, etc.). Porsuperposicion, sabemos que la senal de salida total es la suma de todas las salidas de lascomponentes senoidales.

Esta onda de salida total es la salida estacionaria debida a la senal de entrada nosenoidal. Es la respuesta particular del sistema a la senal de entrada no senoidal.Es decir, esta entrada ha estado excitando al sistema durante el tiempo suficiente paraque haya desaparecido cualquier respuesta transitoria (respuesta natural debida a lascondiciones iniciales que pudieran haber estado presentes al principio de haber aplicadola senal de entrada).

Un filtro pasa-bajos ideal (no realizable) tiene una funcion de transferencia H(jω)de las siguientes caracterısticas:

/H(jω) = 0 |H(jω)| ={

1 −ωc < ω < +ωc

0 otros valores

}

Esto significa que si una senal periodica no senoidal se aplica al filtro, la salida es-tara formada por aquellas componentes senoidales de Fourier aplicadas a la entrada cuyafrecuencia angular sea inferior a ωc.

Para que una onda periodica de forma arbitraria pase sin distorsion a traves de unsistema lineal , llamada transmision sin distorsion (por ejemplo, un amplificador dealta fidelidad), cualquier desplazamiento de fase introducido por el sistema debe ser pro-porcional al numero del armonico (a la frecuencia). Es decir, resulta necesario que elangulo de la funcion de transferencia del sistema /H(jω) , sea una funcion lineal de lafrecuencia.

7.7 Series finitas de Fourier

Supongamos que, dada una funcion periodica, intentamos obtener una serie aproxi-mada utilizando solo un numero finito n de terminos armonicos. Designemos esta aprox-

7.7. Series finitas de Fourier 11

imacion de n terminos por fn(t):

fn(t) =n∑

k=−n

αkejkω0t (7.1)

donde el valor numerico αk tiene que ser calculado. Si para evaluar los terminos de laecuacion ( 7.1), tomamos especıficamente

αk =1

T

∫ t0+T

t0f(t)e−jkω0t dt

podemos llamar a nuestra aproximacion serie de Fourier truncada.

En cualquier instante de tiempo, la diferencia entre una aproximacion fn(t) y la ondareal f(t) es el error en(t)

en(t) = f(t)− fn(t)

Este error puede ser positivo o negativo. Para dar una medida de mayor calidad en laaproximacion vamos a elegir el error cuadratico medio, definido por

e2n(t) =

1

T

∫ t0+T

t0e2

n(t) dt

Desarrollando

e2n(t) =

1

T

∫ t0+T

t0[f(t)− fn(t)]2 dt =

1

T

∫ t0+T

t0

f(t)−

n∑

k=−n

αkejkω0t

2

dt

Buscamos el conjunto de coeficientes αk que minimizan este error cuadratico medio.

Para ello, se debe verificar∂e2

n(t)

∂αk

= 0 ∀k

Consideremos el coeficiente m-esimo:

∂e2n(t)

∂αm

=∂

∂αm

1

T

∫ t0+T

t0

f(t)−

n∑

k=−n

αkejkω0t

2

dt

= 0

Es decir

1

T

∫ t0+T

t02

f(t)−

n∑

k=−n

αkejkω0t

[−ejmω0t] dt = 0


o

− 2

T

∫ t0+T

t0f(t)ejmω0t dt +

2

T

∫ t0+T

t0

n∑

k=−n

αkej(k+m)ω0t dt = 0 (7.2)

La integral del segundo termino es suma de integrales particulares. Teniendo en cuentala propiedad de ortogonalidad, todas son nulas excepto en la que k = −m.

Para k = −m la ecuacion ( 7.2) se puede expresar como

−∫ t0+T

t0f(t)ejmω0t dt +

∫ t0+T

t0α−m dt = −

∫ t0+T

t0f(t)ejmω0t dt + α−m(t0 + T − t0) = 0

de donde

α−m=1

T

∫ t0+T

t0f(t)ejmω0t dt

o

αk=1

T

∫ t0+T

t0f(t)e−jkω0t dt

que es la definicion de los coeficientes de Fourier.

En consecuencia, los coeficientes de Fourier minimizan el error cuadratico medio entrela funcion real f(t) y cualquier serie armonica aproximada de longitud finita.

Evidentemente, cuantos mas armonicos tomemos en la serie, mayor sera la aproxi-macion y, en consecuencia, menor sera el error cuadratico medio. Sin embargo, aunutilizando un numero infinito de terminos, si la funcion tiene alguna discontinuidad (porejemplo la funcion de onda cuadrada), nunca podremos lograr una replica perfecta de laoriginal f(t). Cualquier discontinuidad producira un transitorio que sobrepasa la ondapor la parte superior e inferior de cada discontinuidad. Cada uno de estos transitoriostiene una elongacion maxima de aproximadamente el 9% de la altura de la respectivadiscontinuidad. Este efecto, observado por J. W. Gibbs, se llama efecto Gibbs.

Ademas, cualquier aproximacion de terminos finitos de Fourier corta a cada discon-tinuidad por su valor medio (mitad entre el valor superior e inferior).

Fourier

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