Fot onica · de los cuerpos; la electrodin amica de Maxwell explicaba los fen omenos re-lacionados...

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Centro de Investigaciones en Optica A.C.

Fotonica:

Para estudiantes de ciencias e ingenierıa

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Prefacio

Este texto constituye la compilacion de mis notas de clase de los cursode Fotonica y Optoelectronica para la Maestrıa en Optomecatronica y dela Maestrıa y el Doctorado en Ciencias (Optica) impartida en el Centro deInvestigaciones en Optica. Durante la preparacion de mis clases encontre queestos cursos cubren un espectro muy amplio de temas y que, al menos hastadonde tengo conocimiento, no se cuenta con un libro en lengua Espanolaque los cubra todos. La intencion de editar estas notas de curso es subsanarla falta de un texto en este tema.

Dado que este texto tiene como potenciales usuarios estudiantes de post-grado con formaciones diversas en ingenierıa y ciencias (principalmente fısi-cos). Asume una formacion mas o menos solida en temas de matematicas (al-gebra superior[1], algebra lineal[2], calculo de una variable[3] y vectorial[4],ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales[5] y al menos familiaridad conla idea de tensor) al igual que con conceptos de mecanica clasica[6], se reco-mienda al lector que no este familiarizado con estos conceptos que se refieraa los libros citados.

Indice general

1. Tres fracasos de la fısica clasica 1

1.1. La catastrofe ultravioleta: El cuerpo negro . . . . . . . . . . . 2

1.2. El atomo de hidrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Efecto fotoelectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Una nueva teorıa: Mecanica cuantica 11

2.1. Ecuacion de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1. Espacios de Hilbert, Operadores y Observables . . . . 12

2.2. El pozo de potencial cuadrado infinito . . . . . . . . . . . . . 15

2.3. El pozo de de potencial cuadrado finito . . . . . . . . . . . . 18

2.4. El oscilador armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5. Momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.6. El atomo de hidrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.7. Teorıa de conduccion en solidos . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.7.1. Potenciales periodicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.7.2. Teorıa de bandas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.8. Optica cuantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.8.1. Coeficientes de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.8.2. Transiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3. Fuentes de luz 27

3.1. Laseres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2. LEDs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3. Heterojunturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4. Deteccion de luz 29

4.1. Radiometrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

iii

iv INDICE GENERAL

4.2. Fotometıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5. Fibras Opticas 315.1. Apertura numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2. Propagacion de ondas en fibras opticas . . . . . . . . . . . . . 335.3. Comentarios finales sobre fibras opticas . . . . . . . . . . . . 375.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6. Optica de materiales 396.1. Optica de dielectricos isotropicos . . . . . . . . . . . . . . . . 396.2. Optica de materiales conductores . . . . . . . . . . . . . . . . 426.3. Optica de cristales anisotropicos . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.3.1. Birefringencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.3.2. Actividad optica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7. Electrooptica y Magnetooptica 537.1. Efecto Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537.2. Efecto Pockels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547.3. Efecto Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

8. Optica no lineal 558.1. Mas alla de la aproximacion armonica . . . . . . . . . . . . . 558.2. Efectos de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558.3. Efectos de tercer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

9. Otros temas de interes 579.1. Recubrimientos dielectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579.2. Cristales fotonicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579.3. Plasmones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579.4. Metamateriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579.5. Optica ultrarrapida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579.6. Terahertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

A. Ecuaciones de Maxwell 59

Capıtulo 1

Tres fracasos de la fısicaclasica

Hacia mediados del siglo XIX la comunidad cientıfica (particularmentela fısica) se encontraba confiada que era cuestion de unos anos el poder des-cifrar todos los secretos de la fısica y poder finalmente escribir “el libro de lafısica” en el que se contendrıa la totalidad de las leyes que gobiernan nues-tro universo. La mecanica de Newton explicaba con precision el movimientode los cuerpos; la electrodinamica de Maxwell explicaba los fenomenos re-lacionados con el magnetismo y la electricidad incluida, por supuesto, laradiacion. De igual forma la termodinamica explicaba todo lo que tenıa quever con el calor. Aunque habıa un punado de experimentos aislados que nopodıan ser explicados con precision pero que tampoco contradecıan de ma-nera fundamental a las leyes conocidas, existıa cierto consenso de que erasolo cuestion de tiempo para que los modelos adecuados emergieran o de quelos calculos pudieran hacerse para poder explicar todo en la fısica. Si a casohabrıa modificaciones menores a las leyes hasta entonces conocidas que norepresentarıan un cambio conceptual en la vision que se tenıa del universoen aquel tiempo.

Fue entonces, durante la segunda mitad del siglo XIX, cuando la arro-gancia de los fısicos de aquellos tiempos se empezo a desmoronar. Un buennumero de fenomenos fısicos no podıan ser abordados usando las teorıasclasicas de manera autoconsistente y otros aun cuando podıan ser aborda-dos la solucion diferıa fundamentalmente de las mediciones experimentales.En este capıtulo abordaremos tres de estos problemas usando la vision clasi-ca, discutiremos las soluciones que algunas mentes brillantes del sigo XXdieron a estos problemas y como la construccion de dichas soluciones con-

1

2 CAPITULO 1. TRES FRACASOS DE LA FISICA CLASICA

Figura 1.1: a) Un tıpico ejemplo de un sistema real que se aproxima aun cuerpo negro es un agujero en la pared una caja. b) Otro ejemplo es elgrafito que es un material con una absorbancia muy alta para casi todas laslongitudes de onda.

dujo a la inevitable conclusion de que la fısica clasica tiene limitacionesfundamentales que solo pueden ser subsanadas con una nueva vision de lafısica.

1.1. La catastrofe ultravioleta: El cuerpo negro

El cuerpo negro es un objeto teorico cuya caracterıstica es que la radia-cion electromagnetica que incide sobre el es completamente absorbida sinimportar su longitud de onda. Es tambien un objeto que tiene emisividadigual a 1. Sistemas reales que se aproximen al cuerpo negro son por ejemplouna pequena abertura en una cavidad metalica, la ventana de un horno, yalgunos materiales como el grafito y ciertas clases de nanotubos.

Historicamente los primeros intentos por entender el cuerpo negro halla-ron dificultades rapidamente. Para la segunda mitad del siglo XIX la ley deStefan-Boltzman era bien conocida, esta estipula que la densidad de energıaradiada (por unida de area) de un objeto esta dada por

u =4

cσT 4, (1.1)

donde σ es la constante de Stefan-Boltzman. Sin embargo la teorıa era inca-

1.1. LA CATASTROFE ULTRAVIOLETA: EL CUERPO NEGRO 3

0 50 100 150 200 250 3000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Frequencia (THz)

Inte

nsi

dad

(U

. Arb

.)

Figura 1.2: Las curvas muestran la medicion experimental (cırculos), la dis-tribucion de Rayleigh-Jeans (punteada) y la distribucion de Plank (contınua)a T =300 K.

paz de predecir correctamente la distribucion espectral de esta radiacion, esdecir, que no se habıa podido deducir una expresion para la funcion ρ(ω, T )tal que

u =

∫ ∞0

ρ(ω, T ) dω. (1.2)

Dada la universalidad de la ecuacion de Stephan-Boltzman, y que las pro-piedades de un cuerpo negro deben ser independientes de su composicion,los primeros intentos de predecir su espectro de emision se hicieron asumien-do, por simplicidad, que sus paredes estaban formadas por un conjunto deosciladores armonicos simples acoplados en equilibrio con la radiacion elec-tromagnetica en su entorno. En este caso la energıa media del conjunto deosciladores estarıa dada por

E =π2c3

ω2ρ(ω, T ), (1.3)

utilizando el principio de equiparticion de la energıa, la energıa media tam-bien estarıa dada por

E =n

2kT, (1.4)

donde k es la constante de Boltzman y n es el numero de grados de libertad


de cada oscilador 1. Igualando 1.3 y 1.4 obtenemos que

ρ(ω, T ) =ω2

π2c3kT, (1.5)

que es conocida como la distribucion de Rayleigh-Jeans. Si utilizamos estadistribucion para hallar la densidad de energıa radiada obtenemos

u =

∫ ∞0

kT

π2c3ω dω →∞ ! ! !. (1.6)

La aparicion de esta divergencia obviamente constituye una contradiccioncon la ley de Stephan-Boltzman, pero sobre todo, un absurdo, dado que enterminos fısicos lo que esta ecuacion nos dice es que la cantidad total deenergıa radiada por un cuerpo negro es infinita. La incapacidad de predeciruna distribucion consistente con la realidad es conocida como la “catastrofeultravioleta”, debido a que la distribucion conocida experimentalmente yla de Rayleigh-Jeans diferıan fuertemente en la region de altas frecuencias(ultravioleta) como se muestra en la figura 1.2. La catastrofe ultravioleta fueuno de los primeros fracasos de la fısica clasica y que encendio algunos “focosrojos” entre la comunidad cientıfica de finales del siglo XIX y principios delXX apuntando en la direccion de la necesidad de revisar a fondo las teorıasfısicas.

En en ano 1900 Max Planck introdujo una revolucionaria hipotesis ad-hoc2 para dar solucion al problema de la catastrofe ultravioleta. Esta hipote-sis consistio en imponer solo un numero discreto de energıas en los oscilado-res armonicos que conforman al cuerpo negro capaces de emitir o absorberradiacion electromagnetica, de tal forma que las energıas de cada osciladorsolo podrıan pasar entre los valores En = nE0 (con n = 1, 2, ...) por emisiono absorcion de paquetes enteros de energıa, estos paquetes serıan llamados“cuantos”. La imposicion de la hipotesis de Planck nos lleva a

ρ(ω, T ) =ω2

π2c3E1

eE1/kT − 1. (1.7)

Esta distribucion espectral combinada con la ley de Wein, que en aquellostiempos ya era bien conocida, que dice que la distribucion espectral deberıaser de la forma ρ(ω, T ) = ω3f(ω/T ) donde f es una funcion que no se habıapodido determinar. Para que la ecuacion 1.7 satisfaga la ley de Wein, Planck

1Por simplicidad en la notacion y dado que no afecta de forma alguna este argumento,asumiremos n = 2.

2Lease “cuchareo” las ecuaciones adecuadamente para llegar al resultado experimental.

1.2. EL ATOMO DE HIDROGENO 5

nuevamente manipulo de manera adecuada las ecuaciones3 imponiendo E1 =~ω donde ~ es una constante que despues fue nombrada como la Constantede Planck. Esta segunda hipotesis transforma a la ecuacion 1.7 en

ρ(ω, T ) =~ω3

π2c31

e~ω/kT − 1, (1.8)

que al ser integrada resulta en

u(T ) =

∫ ∞0

ρ(ω, T ) dω =π2k4

15c3~3T 4, (1.9)

lo que es consistente con la ley de Stephan-Boltzman y que a su vez remuevela divergencia que dio lugar a la catastrofe ultravioleta.

Es muy importante resaltar en este momento que a pesar de dar un resul-tado correcto, las dos hipotesis impuestas por Planck eran no solo atrevidas,sino injustificables en el marco de la fısica clasica que prevalecıa en aquellostiempos, la necesidad de imponer una hipotesis que saliera tan drasticamen-te de las teorıas aceptadas fue uno de los primeros indicadores de que algoandaba mal en la teorıa clasica.

1.2. El atomo de hidrogeno

Para el ano 1909 Hasn Geiger y Ernest Marsden bajo la direccion deErnest Rutherford realizaron un experimento para tratar de entender me-jor la estructura atomica. Para aquel tiempo era posible conseguir fuentesradioactivas emisoras de partıculas alfa y tambien era posible detectarlasusando sulfuro de zinc que emitıa luz cuando una partıcula alfa lo golpea-ba. El experimento consistıa en hacer incidir un haz de estas partıculas alfasobre una lamina delgada de oro (vease Fig.1.3). Con ello esperaban poderobtener informacion sobre la distribucion de carga en el atomo. En aque-llos tiempos el modelo mas aceptado del atomo era el de una esfera dondelas cargas positivas estaban distribuidas mas o menos de forma homogeneaaglutinadas por un “continuo” de cargas negativas, tal como las pasas seencuentran en un panque, por lo que este es conocido como el modelo delpanque de pasas (o del budın de pasas).

Lo observado por Rutherford y su equipo los sorprendio. Hallaron quecasi todas las partıculas atravesaban la laminilla de oro, que era de espe-rarse, pero aproximadamente una de cada 8000 rebotaban a angulos mucho

3Lease “cuchareo” las ecuaciones para llegar al resultado experimental ... ¡de nuevo!


Figura 1.3: El experimento de Rutherford y su grupo consistio en hacer in-cidir partıculas α sobre una lamina delgada de oro. Se hallo que la mayorıade las partıculas atravesaban el oro sin interactuar, mientras que aproxi-madamente una de cada 8000 sufrıa una deflexion cercana a los 180 grados(flecha).

mayores a 90. Esto es totalmente contradictorio con la idea del panque depasas y sugerıa la idea de un nucleo muy pesado con carga positiva, pro-bablemente concentrando casi toda la masa del atomo, rodeado de cargasnegativas de masa casi despreciable. La combinacion de su gran masa y lacarga positiva lo harıan capaz de desviar significativamente a las partıculasalfa de su trayectoria. Mas aun, usando un argumento muy simple, que acontinuacion se describe, fueron capaces de dar una cota superior para eltamano del nucleo.

Asumamos que la partıcula alfa se mueve en una trayectoria rectilıneatal que encontrarıa al nucleo atomico de frente. Si la partıcula alfa lleva unacierta energıa cinetica, la fuerza de repulsion electrostatica entre el nucleofrenara a la partıcula alfa por completo cuando la totalidad de esta energıacinetica se haya convertido en energıa potencial. Igualando estas dos energıasobtenemos

1

2mαv

2α =

1

4πε0

qAuqαr

, (1.10)

donde mα y vα son la masa y la velocidad inicial de la partıcula alfa, qAu yqα son las cargas del nucleo de oro y de la partıcula alfa y r es la distancia

1.2. EL ATOMO DE HIDROGENO 7

de mınima aproximacion, por lo que

r =1

2πε0

qAuqαmαv2α

. (1.11)

La velocidad de emision de las partıculas alfa de la fuente radioactiva erade v = 2 × 107 m/s, la carga de las partıculas alfa es de 2 veces la cargaelemental (es decir 2× 1,6× 10−19 C, la carga positiva del atomo de oro esde 79 veces la carga elemental (es decir 79 × 1,6 × 10−19 C), la masa de lapartıcula alfa es de 6,7×10−27 Kg, por tanto se estima que r = 2,7×10−14 m,que el grupo de Rutherford dio como una cota superior para el tamano delnucleo de oro (en realidad el tamano del nucleo de oro es de 0,73× 10−14).

El hallazgo del grupo de Rutherford no solo era inesperado, sino queplanteaba una profunda contradiccion. La conclusion inmediata es que elmodelo del panque de pasas era erroneo y que la estructura atomica seasemejaba mas bien a un sistema planetario, lo cual era imposible segun lateorıa electromagnetica clasica. Un atomo donde las cargas negativas ligerasse encontraban en orbita al rededor del nucleo positivo y pesado perderıaenergıa rapidamente emitiendo radiacion electromagnetica y colapsando enuna fraccion de segundo como se muestra en la Fig.1.4, al igual que en el casodel cuerpo negro, la teorıa mostraba fuertes discrepancias con lo observadoexperimentalmente.

Ademas del experimento de Rutherford, en los primeros anos del sigloXX se contaba con otro resultado inexplicable, los espectros de emision devarios gases se conocıan experimentalmente. Estos consistıan en una colec-cion de lıneas discretas, lo que no tenıa una explicacion clara en terminosde la teorıa clasica. Fue entonces cuando Niels Bohr tratando de explicarambos resultados sugirio otra hipotesis aventurada. Bohr postulo que losatomos solo podrıan ganar o perder energıa del campo electromagnetico en-tre un conjunto discreto de orbitas “permitidas” e impuso4 que el momentoangular del sistema tendrıa que ser de la forma L = n~ con n = 1, 2, ... . Ladiscretizacion de las orbitas evitarıa la perdida continua de energıa y portanto el colapso del atomo “planetario”. Para que una orbita sea estaciona-ria es necesario que la fuerza centrıpeta y la atraccion Coulombiana estenequilibradas, por lo que en el caso del de hidrogeno5

mv2

r=

1

4πε0

e2

r2, (1.12)

4Lease “cuchareo” las ecuaciones para llegar al resultado experimental ... ¡Otra vez!5Que al ser formado solo por un proton y un electron es el mas simple y que por tanto

estudiaremos con detalle.


Figura 1.4: El modelo planetario del atomo esta en franca contradiccioncon el electromagnetismo clasico que predice que este colapsara debido a laperdida de energıa que tendrıa el electron al radiar.

donde m y v son la masa y velocidad del electron, e es la carga elemental yr es el radio de la orbita. De la expresion anterior obtenemos

v =

√e2

4πε0mr. (1.13)

Si calculamos la energıa total del atomo de hidrogeno, estara dada por lasuma de la energıa cinetica y potencial E = mv2/2−e2/4πε0r, sustituyendov de la ecuacion 1.13 tenemos que la energıa total del sistema sera

E = − e2

8πε0r. (1.14)

Por otro lado tenemos que el momento angular es Ln = mvnr = n~ lo queimplica que vn = n~/mr que combinado con 1.13 implica

rn = −4πε0~2

e2mn2, (1.15)

que para n = 1 tiene un valor de ∼ 0,5 × 10−10 m y que es conocido comoel Radio de Bohr. Sustituyendo de la expresion anterior obtenemos que lasenergıas del atomo de hidrogeno estaran dadas por

En = −(

1

4πε0

)2 e4m

2~21

n2= −13,6 eV

n2. (1.16)

1.3. EFECTO FOTOELECTRICO 9

Esta expresion, combinada con la ecuacion E = ~ω dada por Planck pararesolver el problema del cuerpo negro, logro predecir correctamente las fre-cuencias de las lıneas de emision del hidrogeno. Al igual que la discretizacionde los estados del oscilador armonico, el postulado de las orbitas permitidasimpuesto por Bohr quedaba totalmente fuera del esquema de las teorıas dela fısica clasica y dio un elemento mas para sospechar que algo fundamentalestaba mal en las teorıas que hasta entonces prevalecıan.

1.3. Efecto fotoelectrico

Un tercer fenomeno que se conocıa experimentalmente y cuya explica-cion no habıa podido ser dada por la fısica clasica es el llamado efecto foto-electrico. Cuando radiacion electromagnetica de longitud de onda adecuadaincide sobre un material, particularmente sobre ciertos metales, electronesson emitidos de este. Las observaciones experimentales mostraron que:

La energıa de los electrones emitidos es independiente de la intensidadluminosa.

La energıa de los electrones emitidos aumenta con la frecuencia de laonda luminosa.

El numero de electrones emitidos depende de la intensidad.

Para cada material existe una frecuencia de corte tal que por abajo deella no se emiten electrones sin importar la intensidad.

Siguiendo la misma logica de Planck y Bohr, si el material solo puede o bien,absorber un “paquete” de energıa ~ω o no absorber nada, se tiene que laenergıa cinetica de los electrones emitidos es

1

2mv2 = ~ω −W, (1.17)

donde W es una cantidad que depende de cada material conocida como lafuncion de trabajo del material. Esta logica tambien implica que el numerode electrones emitidos sera proporcional al numero de “paquetes” de energıaabsorbidos. De igual forma este razonamiento implica que habra una frecuen-cia mınima

ωmin =W

~(1.18)

por debajo de la cual los “paquetes” no contaran con suficiente energıapara “arrancar” electrones del material. Al observar esto, Albert Einstein


hizo una hipotesis aun mas aventurada que las de Planck y Bohr. Einsteinpostulo que lo que estaba mal no era nuestro modelo del atomo o del osci-lador armonico, sino las teorıas de la fısica y postulo la cuantizacion de laenergıa como un fenomeno universal. Es decir, que en vez de que se vea ala discretizacion como una consecuencia del mecanismo de intercambio deenergıa entre el sistema y el campo electromagnetico, este debe ser vistocomo un principio fundamental, donde los posibles valores de la energıa deun sistema, como puede ser un oscilador armonico, un atomo de hidrogenoo el campo electromagnetico en si mismo, se encuentran cuantizados, lo cualimplica una nueva vision del mundo fısico.

La idea de Einstein de que radiacion electromagnetica viaja en “paque-tes”, que ahora llamamos fotones, estos deben tener un caracter corpusculary por tanto, ademas de ser capaces de transferir energıa, deben poder trans-ferir momento (p) a pesar de carecer de masa. Usando la famosa ecuacionde Einstein

E2 = m2c4 + p2c2 (1.19)

reemplazamos la masa (m = 0) y la energıa (E = ~ω = hν) del fotonobteniendo E = hν = pc por lo que

p =hν

c. (1.20)

Sabemos tambien que para una onda electromagnetica λν = c donde λ es lalongitud de onda, por lo que

p =h

λ, (1.21)

o bienp = ~k, (1.22)

donde k es el vector de onda.La gran aportacion que hizo Einstein al explicar el efecto fotoelectrico

y postular la cuantizacion de la energıa como un fenomeno universal tu-vo profundas implicaciones en la fısica, al punto que una nueva teorıa, lamecanica cuantica, fue desarrollada en las primeras dos y media decadasdel siglo XX. La mecanica cuantica nos dio una vision fundamentalmentedistinta del universo, y ha permitido el desarrollo de un gran numero decomponentes electronicos y optoelectronicos que incluyen al transistor, eldiodo emisor de luz, varios tipos de fotodetectores, el laser entre muchosotros.

Capıtulo 2

Una nueva teorıa: Mecanicacuantica

A lo largo de este seccion se dara una breve introduccion a la mecanicacuantica. Esta introduccion no pretende reemplazar un texto de mecanicacuantica, sino dar una introduccion suficiente para el resto del curso defotonica. Se recomienda al lector interesado consultar textos especializadosen el tema como [7].

2.1. Ecuacion de Schrodinger

Tras el postulado de Einstein de que las ondas electromagneticas tie-nen tambien propiedades corpusculares es necesario hallar una ecuacion querija el comportamiento de estos sistemas onda-partıcula. Iniciemos con laecuacion de onda clasica

∇2ψ − 1

v2∂2ψ

∂t2= 0, (2.1)

sı asumimos que la onda es estacionaria y monocromatica (es decir mono-energetica ya que E = ~ω) tenemos que ψ(r, t) = e−iωtϕ(r) tenemos queψ = −ω2ψ por lo que sustituyendo en 2.1 tenemos

∇2ϕ+ω2

v2ϕ = 0. (2.2)

Sabemos que v = λν = λω/2π por tanto

∇2ϕ+4π2

λ2ϕ = 0, (2.3)

11

12 CAPITULO 2. UNA NUEVA TEORIA: MECANICA CUANTICA

utilizando la ecuacion 1.21 tenemos que

∇2ϕ+p2

~2ϕ = 0. (2.4)

Por otro lado sabemos de la mecanica clasica que la energıa total es la sumade la energıa cinetica mas la potencial V por lo que

E =p2

2m+ V (r), (2.5)

de donde obtenemosp2 = 2m(E − V (r)), (2.6)

sustituyendo en 2.4 tenemos que

− ~2

2m∇2ϕ+ V (r)ϕ = Eϕ. (2.7)

Multiplicando ambos lados de la ecuacion anterior por e−iωt obtenemos

− ~2

2m∇2ψ + V (r)ψ = Eψ, (2.8)

esta ecuacion es conocida como la Ecuacion de Schrodinger, sus soluciones ψpara un potencial dado V representan los estados en los que se podra hallaral sistema, ψ es conocida como la funcion de onda. El modulo cuadrado dela funcion de onda ρ(r) = ψ(r)ψ∗(r) representa la probabilidad de hallar a“la partıcula” en la posicion r, siempre y cuando este normalizada, es decir,sı se cumple ∫

ψ(r)ψ∗(r) d3r = 1, (2.9)

donde la integral se hace sobre todo el espacio.

2.1.1. Espacios de Hilbert, Operadores y Observables

Espacios de Hilbert

Los espacios vectoriales son estructuras algebraicas que se definen comoun conjunto de objetos (vectores) asociado a un campo numerico (escalares)sobre los cuales esta definida una operacion de suma entre vectores y unproducto por escalares, donde estas dos operaciones deben obedecer cier-tos axiomas (vease [2]). Sucede que los espacios de funciones con la sumahabitual de funciones y la multiplicacion por numeros reales o complejos

2.1. ECUACION DE SCHRODINGER 13

cumplen todos estos axiomas, y por tanto forman un espacio vectorial. Deforma totalmente analoga a los espacios vectoriales “tradicionales”, es con-veniente definir bases de vectores que nos permitan escribir a todos los otroselementos del espacio vectorial en terminos de los elementos de la base. Porejemplo, el espacio de las funciones periodicas (de perıodo 2π) tienen co-mo base natural el conjunto 1, cosx, senx, cos 2x, sen 2x, .... El teorema deFourier garantiza que cualquier funcion f(x) de periodicidad 2π puede serescrita como serie de Fourier, es decir

f(x) = A0 +

∞∑n=1

[An cosnx+Bn sennx] . (2.10)

Notese que a diferencia de los espacios vectoriales “tradicionales”, en estecaso, la base tiene un numero infinito de elementos, y por tanto la dimen-sion de este espacio es infinita. Otro ejemplo de espacios y bases de funcio-nes son el espacio de las funciones real-analıticas1 generado por el conjunto1, x, x2, x3, ....

En el caso de los espacios R2 y R3 se puede dar de manera intuitiva unsignificado geometrico a los vectores, esta nocion geometrica puede ser ex-tendida a los espacios Rn (con n > 3) gracias a que en todos estos espacios sepuede definir un producto interior. La existencia de un producto interior nospermite, en general, hablar de las magnitudes de los vectores y de los angulosformados entre ellos sin necesidad de que se encuentren necesariamente enel plano o el espacio tridimensional. En particular el producto interior nosprovee de un metodo simple para hablar de ortogonalidad entre vectores.De tal forma que para poder dar una “geometrıa” o al menos tener ciertasnociones geometricas en los espacios de funciones, sera necesario definir unproducto interior.

En general el producto interior 〈f |g〉 entre dos funciones esta definidocomo

〈f |g〉 =

∫ +∞

−∞f(x)g(x)w(x) dx, (2.11)

donde w(x) se conoce como la funcion de peso, y que depende de la familiaparticular de funciones con que se este trabajando. En muchos casos sim-plemente w(x) = 1. Usando esta definicion es posible normalizar funciones,hallar funciones ortogonales y hallar “proyecciones” de una funcion en otratal como se hace con vectores “tradicionales”.

1Es decir las funciones que se pueden escribir como serie de Taylor


Estos nuevos espacios vectoriales generalizados con un producto interiordefinido son conocidos como Espacios de Hilbert2.

Operadores

Al igual que dentro de los espacios vectoriales “tradicionales” se defi-nen transformaciones lineales representadas por matrices, en los espacios defunciones es posible definir operadores. Para propositos de este texto defi-niremos un operador O como una funcion O : F → F de un espacio defunciones arbitrario F en si mismo, es decir, es un objeto que se aplica auna funcion y devuelve otra funcion. La derivada D es un operador, de talforma que aplicada, por ejemplo, a la funcion f(x) = senx obtenemos

Df(x) =d

dxsenx = cosx, (2.12)

que es otra funcion. Diremos que un operador O es lineal si sucede queO(f + g) = Of + Og y O(cf) = cOf donde f y g son funciones y c es unescalar. Debido a que en la mecanica cuantica solo los operadores lineales sonde interes, desde este punto en adelante cuando nos refiramos a un operadorse obviara que este es lineal.

Es claro que en el lado izquierdo de la ecuacion 2.8 formalmente ψ noes factorizable, ya que ∇2 no es un numero o una funcion, sin embargoabusando de la notacion podemos, por conveniencia, reescribir la ecuacioncomo [

− ~2

2m∇2 + V (r)

]ψ = Eψ, (2.13)

donde la parte que se encuentra entre corchetes del lado izquierdo puede servisto como un operador

H = − ~2

2m∇2 + V (r) (2.14)

que “opera” sobre la funcion ψ. Este operador H es conocido en la mecanicacuantica como el operador Hamiltoniano u operador de energıa, en analogıaal Hamiltoniano usado en la mecanica analıtica clasica (vease [9]). De talforma que la ecuacion 2.8 queda reescrita como

Hψ = Eψ. (2.15)

2Estrictamente, ademas de la existencia del producto interior, hace falta pedir que elespacio sea completo (vea [8]) para poder ser considerado un espacio de Hilbert, esto vamas alla de la discusion de este texto, pero se recomienda al lector interesado revisar lacita anterior.

2.2. EL POZO DE POTENCIAL CUADRADO INFINITO 15

Si las funciones como ψ han adquirido el caracter de vectores y los ope-radores como H el de matrices, la ecuacion que acabamos de escribir serıael analogo a una ecuacion de valores y vectores propios del operador H.Recordemos que la solucion (o soluciones) de la ecuacion de Shrodinger re-presenta un estado estacionario y monoenergetico del sistema. Al reescribiresta ecuacion como un problema de vectores y valores propios tenemos quelos posibles valores de la energıa seran los valores propios del operador y losposibles estados del sistema estaran asociados a las funciones propias. En lamecanica cuantica las observables, es decir las variables que son susceptiblesde ser medidas a traves de un experimento, tienen asociado un operador, talcomo la energıa total del sistema tiene asociado al operador Hamiltoniano.Tenemos pues que resolver un problema de mecanica cuantica se convierteen un problema de funciones propias y valores propios de un operador quecorresponde a una observable. Las funciones propias del operador formanuna base que genera el espacio completo de posibles soluciones a la ecuacionde valores y vectores propios. Dado que las funciones propias son invariantes(salvo por un factor escalar) ante la aplicacion del operador, estas represen-tan los estados para los que la observable tiene un valor bien definido y estevalor es el valor propio asociado.

Debido a que este no es un libro de mecanica cuantica solo menciona-remos, sin mayor justificacion, operadores asociados a algunas observablesque seran utiles en el resto del texto. El lector interesado puede consultarlibros de mecanica cuantica para ver los detalles. El operador asociado almomento lineal es p = i~∇ de tal forma que el operador de energıa cineticaesta dado por (−~2/2m)∇2 consistente con que el operador Hamiltonianode energıa total sea como fue definido en la ecuacion 2.14.

2.2. El pozo de potencial cuadrado infinito

El primer problema de mecanica cuantica que resolveremos es el pozoinfinito de potencial. A pesar de ser un problema meramente teorico nospermitira empezar a tener nocion sobre fenomenos cuanticos que no tienenanalogıa ni explicacion clasica. Resolvamos pues la ecuacion de Schrodingerunidimensional para el potencial

V (x) =

0 para 0 < x < aV0 para x < 0 o x > a

, (2.16)

donde V0 > 0 es un numero que haremos tender a infinito. Podemos dividirel dominio en tres regiones, x < 0, 0 < x < a y x > a de tal forma que las


ecuaciones de Schrodinger en cada una de las tres regiones seran

− ~2

2m

d2ψIdx2

+ V0ψI = EψI , (2.17)

− ~2

2m

d2ψIIdx2

= EψII , (2.18)

y

− ~2

2m

d2ψIIIdx2

+ V0ψIII = EψIII . (2.19)

Sean q2 = 2m(V0−E)/~2 y k2 = 2m(E)/~2. Tenemos que q2 > 0 si E < V0y k2 > 0 para E > 0, las ecuaciones anteriores se pueden reescribir enterminos de estas constantes

d2ψIdx2

− q2ψI = 0, (2.20)

d2ψIIdx2

+ k2ψII = 0 (2.21)

yd2ψIII

dx2− q2ψIII = 0. (2.22)

Debido a que q2 > 0 tenemos que las soluciones en las regiones I y III estandadas por

ψI(x) = AIeqx +BIe

−qx (2.23)

y

ψIII(x) = AIIIeqx +BIIIe

−qx, (2.24)

de igual forma dado que k2 > 0 tenemos que en la region II la solucion sera

ψII(x) = AII cos kx+BII sen kx. (2.25)

Debido a que la funcion completa debe ser normalizable para poder serinterpretada como probabilidad tenemos que BI = AIII = 0. Tomando ellimite V0 → ∞ tenemos que q → −∞ y por tanto ψI(x) = ψIII(x) ≡ 0.Imponiendo continuidad entre ψI y ψII en x = 0 tenemos que AII = 0 eimponeindo continuidad entre ψII y ψIII en x = a tenemos que k solo puedetomar valores de la forma nπ/a con n = 1, 2, ... por lo que

En =π2~2

2ma2n2 con n = 1, 2, ... (2.26)

2.2. EL POZO DE POTENCIAL CUADRADO INFINITO 17

0 1 2 3 4 5 6

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura de prueba, Reemplazar!!!

Equis

Ye

Figura 2.1: Se muestran de manera esquematica los valores propios delHamiltoniano del poso infinito y las funciones asociadas a cada uno de estosestados.

son los valores permitidos de la energıa en el sistema. Para que la funcionde onda se pueda interpretar como una probabilidad, es necesario que∫ +∞

−∞ψ(x)ψ∗(x) dx = 1, (2.27)

de esta condicion de normalizacion se puede demostrar facilmente que

BII =

√2

a(2.28)

para toda n, con lo que tanto las funciones como los valores propios delsistema quedan determinados.

En la figura 2.1 podemos observar graficamente los valores propios dela energıa En, las funciones de onda ψn(x) asociadas a cada uno de losvalores de la energıa y las distribuciones de probabilidad ρn = |ψn(x)|2. Esinteresante notar varias cosas:

La energıa total del sistema esta restringida a tomar los valores Ensolamente, ya que estos son los unicos que corresponden a solucionesde la ecuacion de Schrodinger, es decir, todos los valores intermediosde la energıa estan prohibidos.


La probabilidad de hallar a la partıcula justamente en la frontera dela caja es exactamente cero para todos los estados ψn. Ademas parael estado ψ2 existe un punto en el centro de la caja donde la proba-bilidad de hallar a la partıcula es tambien cero, de tal forma que lapartıcula se halla con mayor probabilidad en las regiones alrededor dea/3 y 2a/3. De manera analoga para ψ3 existen dos puntos de pro-babilidad cero en a/3 y 2a/3 de tal forma que la partıcula se puedeencontrar principalmente en las regiones cercanas a a/4, a/2 y 3a/4 yası sucesivamente.

La energıa del sistema incluso en el estado de mınima energıa ψ1 noes igual a cero, es decir, la mecanica cuantica prohıbe a este sistema(y a cualquier otro) tener energıa cinetica nula. Este punto es muyimportante, y tiene profundas implicaciones en la fısica, explica el porque la temperatura de un sistema no puede llegar a 0 K, lo que enmecanica estadıstica implicarıa que, por ejemplo, todos los atomosde un material se encontrarıan en reposo. Tambien tiene importantesimplicaciones en terminos de la optica cuantica que discutiremos endetalle en la Seccion 2.8.

2.3. El pozo de de potencial cuadrado finito

En esta seccion trataremos un problema muy similar al anterior. Porconveniencia cambiaremos las definiciones un poco. Tomemos el potencial

V (x) =

0 para x < −a

2 o x > a2

−V0 para − a2 < x < a

2

, (2.29)

donde V0 > 0 es la profundidad de un pozo de potencial en −a/2 < x <a/2. Por conveniencia tomemos k2 = 2m|E|/~2 y q2 = 2m(V0 − |E|)/~2 ydividamos de nuevo el problema en las regiones I para x < −a/2, II para−a/2 < x < a/2 y III para x > a/2, de tal forma que en cada una de lasregiones las soluciones a la ecuacion de Schrodinger para −V0 < E < 0 estandadas por

ψI(x) = AIeqx +BIe

−qx, (2.30)

ψII(x) = AII cos kx+BII sen kx (2.31)

yψIII(x) = AIIIe

qx +BIIIe−qx (2.32)

donde BI = AIII = 0 debido a que la funcion de onda tiene que ser norma-lizable. Ahora tendremos que imponer la continuidad de la funcion de onda

2.3. EL POZO DE DE POTENCIAL CUADRADO FINITO 19

y su derivada en los puntos x = ±a/2. de donde obtenemos el siguientesistema de ecuaciones simultaneas

AIeak/2 = BII cos

1

2aq −AII sen

1

2aq, (2.33)

BIIIe−ak/2 = BII cos

1

2aq +AII sen

1

2aq, (2.34)

kAIe−ak/2 = q

(AII cos

1

2aq +BII sen

1

2aq

), (2.35)

−kBIIIe−ak/2 = q

(AII cos

1

2aq −BII sen

1

2aq

). (2.36)

Combinando 2.33 con 2.35 y 2.34 con 2.36 obtenemos

q

(AII cos

1

2aq +BII sen

1

2aq

)= k

(BII cos

1

2aq −AII sen

1

2aq

), (2.37)

q

(AII cos

1

2aq −BII sen

1

2aq

)= −k

(BII cos

1

2aq +AII sen

1

2aq

),

(2.38)para que estas dos ecuaciones tengan solucion es necesario que AIIBII = 0por lo que tenemos dos familias de soluciones. Analizemos primero el casoAII = 0, de donde tenemos que

q sen1

2aq = k cos

1

2aq. (2.39)

Sean X = aq/2 y Y =√

2ma2V0/2~. Tenemos pues que 2.39 se puedereescribir

tanX =

√X2 − Y 2

X2, (2.40)

los dos lados de esta ecuacion se muestran en la figura 2.2. En ella se observaque hay tan solo una cantidad finita de soluciones a la ecuacion. A pesar deque no podemos calcular de manera analıtica los valores de las soluciones seobserva que el numero de soluciones depende de Y que a su vez es funcionde m, a y V0 que estan determinadas por el sistema y no por su estado.La coleccion de soluciones Xn de la ecuacion dan origen a una coleccion devalores qn = 2Xn/a de tal forma que las energıas En = 4~2X2

n/2ma2 − V0

quedan nuevamente cuantizadas dando lugar a y una coleccion de funciones

ψn =

AIe

qnx x < −a2

BII sen(knx) − a2 < x < a

2BIIIe

−qnx x > a2

(2.41)


0 1 2 3 4 5 6

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Equis

Ye

Figura 2.2: Grafica de los dos lados de la ecuacion 2.40. Se muestran lasintersecciones de las dos curvas que representan las soluciones en X.

con kn =√

2m|En|/~.

De manera totalmente analoga se puede encontrar una segunda familiade soluciones con sus valores de la energıa y funciones propias para el casoBII = 0. En las funciones de onda de esta segunda familia la funcion cosenoes la que aparece en la region de pozo. Ambas familias de funciones soncomplementarias y sus energıas tienen valores intercalados. Es importantenotar que estas dos familias de funciones de onda agrupan a funciones parese impares respectivamente, que en mecanica cuantica se designan simetricasy antisimetricas. Es importante notar que las funciones no se anulan fuerade la caja, donde estan definidas como una exponencial. Fuera de la cajaclasicamente estarıa prohibido hallar a la partıcula sin embargo en el con-texto cuantico hay una probabilidad distinta de cero de hallar a la partıculapara todos los estados propios ψn de la energıa. Esta es una diferencia fun-damental entre las dos teorıas. Otro detalle de importancia es el hecho deque la energıa mınima del sistema es distinta del potencial mınimo, es decir,que incluso en el estado de energıa mas baja, el sistema tiene una cantidadno nula de energıa cinetica.

2.4. EL OSCILADOR ARMONICO 21

0 1 2 3 4 5 6

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Equis

Ye

Figura 2.3: Parabola y aproximaciones de una parabola a un mınimo arbi-trario

2.4. El oscilador armonico

En esta seccion abordaremos uno de los sistemas mas importantes enel fısica desde el punto de vista cuantico. El oscilador armonico simple esun sistema modelo dentro de la fısica por varias razones. Primeramentees un sistema que puede ser resuelto de manera analıtica exacta, es decir,sin aproximaciones. Segundo, el potencial que corresponde a un osciladorarmonico corresponde a una parabola, lo que implica que cualquier potencialque presente un mınimo, local o global, “suave” puede ser aproximado almenos localmente por una parabola como se muestra en la figura 2.3.

El potencial de un oscilador armonico simple unidimensional esta dadopor V (x) = mω2x2/2 donde m es la masa del oscilador y ω es la frecuencianatural de oscilacion (clasica), de tal forma que la ecuacion de Schrodingerpara este problema es(

− ~2

2m

d2

dx2+

1

2mω2x2

)ψ = Eψ. (2.42)

La ecuacion anterior se puede reescribir como

~2

2mψ′′ +

1

2mω2x2ψ = Eψ. (2.43)

Sea x = α0ξ donde α0 es una constante que se definira mas adelante y ξes una variable auxiliar. Si multiplicamos la ecuacion anterior por 2mα0/~2


obtenemos

−d2ψ

dξ2+m2α4

0ω2

~2ξ2ψ =

2m

~2α20Eψ. (2.44)

Sea α20 = ~/mω, con lo que tenemos que la ecuacion se reduce a

−d2ψ

dξ2+ ξ2ψ =

2E

~ωψ. (2.45)

Propongamos el cambio de variable ψ = e−ξ2/2u(ξ), lo cual nos lleva a

reescribir la ecuacion como

u′′(ξ)− 2ξu′(ξ) + (ε− 1)u(ξ) = 0, (2.46)

donde ε = 2E/~ω. Esta es una ecuacion de Hermite, cuyas soluciones existenpara los casos en que ε−1 = 2n, con n = 0, 1, ... . Por tanto la solucion corres-ponde a u(ξ) = Hn(ξ) y por tanto la solucion a la ecuacion de Schrodingeresta dada por ψn(ξ) = Cne

−ξ2/2Hn(ξ) y tenemos que En = ~ω(n+ 1/2).

Notemos que del calculo anterior se desprende que E0 = ~ω/2 6= 0

2.5. Momento angular

2.6. El atomo de hidrogeno

2.7. Teorıa de conduccion en solidos

Antes de entrar al formalismo cuantico de de conduccion en solidos espertinente mencionar algunos detalles sobre los solidos y la vision pre-cuanti-ca de sus propiedades electricas. Primeramente hace falta definir con preci-sion que es un solido. En el contexto de la fısica un solido, o un cristal, esaquel material que presenta periodicidad en su estructura atomica, es decir,es una sustancia en la que los atomos se encuentran acomodados en un arre-glo que se repite en el espacio. La mayorıa de los metales y muchas otrassustancias son solidos en condiciones de presion y temperatura ambiente, sinembargo muchos materiales que a los que coloquialmente nos referimos comosolidos no lo son, como el vidrio, cuya estructura atomica es desordenada.

De los elementos de la tabla periodica aproximadamente 2/3 son metales,estos se agrupan del lado izquierdo de la tabla y como dijimos anteriormentetienden a formar estructuras cristalinas.

2.8. OPTICA CUANTICA 23

2.7.1. Potenciales periodicos

2.7.2. Teorıa de bandas

2.8. Optica cuantica

2.8.1. Coeficientes de Einstein

2.8.2. Transiciones


2.9. Problemas

1. Encuentre las soluciones a la ecuacion de Laplace ∇2φ = 0 con lassiguientes condiciones:

En una caja cuadrada bidimensional de lado L con condicion defrontera f(x) en el lado inferior (con f(0) = f(L) = 0) y cero paralos otros cuatro lados.

En una esfera de radio 1 centrada en el orıgen con condiciones defrontera φ(θ, ϕ) = f(θ).

2. Resuelva la ecuacion de onda c2∇2φ− ∂2φ/∂t2 = 0 en:

una membrana cuadrada de lado L para una condicion inicialφ(x, y, t = 0) = f(x, y) y φ(x, y, t = 0) = 0.

en una membrana circular de radio r para una condicion inicialφ(r, θ, t = 0) = f(r, θ) y φ(r, θ, t = 0) = g(r, θ).

en ambos casos la membrana esta fija en los bordes.

3. Resuelva la ecuacion de Schrodinger con el potencial V = V0 > 0 para0 < x < a y V = 0 fuera de este intervalo. El problema se llama labarrera rectangular de potencial. De una interpretacion fısica de lassoluciones.

4. Resuelva la ecuacion de Schrodinger para el potencial V = 0 parax ∈ [0, a]∪[a+b, 2a+b], V = V0 > 0 para x ∈ (a, a+b) y “V =∞” fuerade estos intervalos. Este problema se llama el doble pozo simetricorectangular. De una interpretacion fısica de las soluciones.

5. Para vectores recıprocos justifique la expresion:

A1 =2π(a2 × a3)

a1 · (a2 × a3), (2.47)

halle expresiones analogas para A2 y A3 permutando indices y calculeel volumen de la primera zona de Brillouin en terminos de a1, a2 y a3,sabiendo que V = A1 ·A2 ×A3.

6. Calcule la velocidad de recule de un atomo de 198Hg que ha emitidoun foton de energıa 4.88 eV. Compare esto con la velocidad mediacuadratica termica a temperatura ambiente T = 300 K.

2.9. PROBLEMAS 25

7. Calcule el voltaje necesario para acelerar un electron de tal forma quetenga la misma energıa cinetica que un foton de longitud de onda870 nm. ¿Como se compara el momento de ambas partıculas?

8. Si un haz que se propaga en la direccion z (con longitude de onda λ0)tiene una intensidad que varıa de manera transversal como I(x, y) =I0 exp

[−(x2 + y2)1/2/r0

]calcule la probabilidad de que un foton caiga

dentro del cırculo de radio r0 centrado en 0.

9. Calcule el tamano maximo L de una cavidad cubica de con paredes deoro (Φ = 5,1 eV) que sea capaz de contener fotones de su primer modopero no de los armonicos superiores debido al efecto fotoelectrico. ¿Deque energıa son los fotones en la cavidad?

Capıtulo 3

Fuentes de luz

3.1. Laseres

3.2. LEDs

3.3. Heterojunturas

3.4. Problemas

1. Calcule la constante de ganancia de un medio laser con las siguientescaracterısticas: Inversion de poblacion 1017 m−3, λ=700 nm, ancho debanda 1 nm, constante de emision espontanea 10−4 s.

2. Halle todos los posibles tamanos de un resonador adecuado para armarun laser que utiliza la transicion entre el estado n = 4 y n = 2 delatomo de hidrogeno.

3. Las energıas de “bandgap” estan dadas por la formula: E(T ) = E0 −αT 2/(T + β) con E0 = 1,17 eV, α = 4,73× 10−4 eV K−1 y β = 636 Kpara el silicio y E0 = 1,51 eV, α = 5,4×10−4 eV K−1 y β = 204 K paraGaAs. Calcule el “bandgap” de ambos para T = 100 K y T = 600 K.

4. * Un pulso laser ultracorto con energıa total Ep = 1 mJ con longitud deonda central λ0 = 800 nm, cuyo campo electrico tiene forma de ondadada por E = E0 cos(2πct/λ0) exp(−t2/τ2) con τ = 10 fs incide sobreuna superficie de GaAs a temperatura ambiente. Calcule el numero defotones contenidos en el pulso y el numero de portadores generados en

27

28 CAPITULO 3. FUENTES DE LUZ

el material (asuma que no hay perdidas en las interfaces), recuerde losresultados del problema 5.

Capıtulo 4

Deteccion de luz

4.1. Radiometrıa

4.2. Fotometıa

4.3. Problemas

1. Una celda de Golay con volumen interior de 1 cm3 esta rellena de “gasideal monoatomico”. Como la membrana metalica es delgada asumaque el gas se encuentra a presion constante (atmosferica). Calcule elcambio de volumen inducido por un pulso de 1 mJ en la aproximacionadiabatica.

2. Un experimento de fotoluminiscencia consiste en hacer incidir un pul-so de luz sobre un material y observar emision producida por la re-combinacion del sistema al relajarse de nuevo. Suponga que un pulsocuasi-monocromatico de 1µJ a 600 nm se hace incidir sobre un pedazode GaAs de 1 g. ¿cuanto se calienta la muestra?, ¿de que longitud deonda es la fotoluminiscencia?

3. La eficiencia cuantica de un cierto fotodiodo esta dada por η(λ) ≈2 × 10−6nm−2λ2 + 0,003nm−1λ + 0,88 para 450 nm< λ < 1000 nm.Calcule la corriente generada por un haz de 1 mW como funcion de λ.

4. La funcion de trabajo de un cierto metal es de 1.5 eV. Si este materialse usa para fabricar un tubo fotomultiplicador (de 4 placas) calculela longitud de onda mınima de deteccion. Calcule el voltaje mınimoaplicado al tubo para que haya multiplicacion.

29

30 CAPITULO 4. DETECCION DE LUZ

Capıtulo 5

Fibras Opticas

Las fibras opticas representan uno de los avances tecnologicos recientes demayor impacto en las telecomunicaciones. La importancia de este desarrolloha sido de tal magnitud que el Premio Nobel de Fısica 2009 le fue otorgadoa Charles Kao por sus “contribuciones en la transmision de luz a traves defibras para telecomunicaciones opticas”. En este capıtulo daremos una breveintroduccion a la fısica detras de las fibras opticas.

5.1. Apertura numerica

Las fibras opticas se valen de la reflexion interna total que sufre la luzal incidir en la interfase entre un un medio de ındice de refraccion alto (n1)y uno de ındice mas bajo (n2). La reflexion interna total ocurre cuando elangulo de incidencia de la luz es mayor o igual a un angulo crıtico θc dadopor la condicion

n1senθc = n2senπ

2= n2, (5.1)

es decirsenθc =

n2n1. (5.2)

Supongamos que tenemos un cilindro de un material dielectrico de ındicede refraccion n1 y radio a, que llamaremos el nucleo de la fibra, rodeadode un recubrimiento cilındrico coaxial de material dielectrico con ındice derefraccion n2 como se muestra en la figura 5.1 (n1 > n2) al cual llamaremosel recubrimiento. Si un rayo de luz incide sobre la cara frontal del cilindrointerior, este se refractara y dependiendo del angulo de incidencia sobre lainterfase de los dielectricos este puede o no reflejarse totalmente. Es facilver que de ese momento en adelante que si el rayo es reflejado totalmente

31

32 CAPITULO 5. FIBRAS OPTICAS

0 1 2 3 4 5 6

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Equis

Ye

Figura 5.1: Se muestran de manera esquematica un rayo que sufre refracciony uno que sufre reflexion interna total en una interfase de n1 > n2.

este seguira “rebotando” hasta alcanzar el otro extremo de la fibra, como semuestra en la figura 5.1, en este caso decimos que el rayo queda guiado porla fibra.

Por conveniencia definimos el numero

∆ =n1 − n2n1

(5.3)

que nos servira en el desarrollo siguiente. El angulo θa que corresponde a lainclinacion del haz que despues de ser refractado en la primera cara de lafibra incide sobre la interfaz en un angulo θc cumple la condicion

senθa = n1senθ1 (5.4)

sabemos que sen2θ1 + cos2 θ1 = 1, ademas, como se observa en la figura 5.1,el angulo θ1 es suplementario de θc por lo que

senθa = n1(1− cos2 θ1

)= n1

(1− sen2θc

)= n1

[1−

(n2n1

)2]1/2

, (5.5)

tenemos pues quesenθa = (n21 − n22)1/2, (5.6)

que es conocido como el angulo de aceptacion y define el cono que separa alos rayos que son guiados en la fibra de los que escapan. Por conveniencia se

5.2. PROPAGACION DE ONDAS EN FIBRAS OPTICAS 33

define el parametro

NA = (n21 − n22)1/2 ≈ n1(2∆)2, (5.7)

llamado apertura numerica.

5.2. Propagacion de ondas en fibras opticas

Para entender la propagacion de la luz en una fibra optica hace falta en-tenderla desde el punto de vista electromagnetico. Por tanto comenzaremospor plantear la ecuacion de onda

∇2u− 1

c2∂2u

∂t2= 0. (5.8)

Asumiendo una onda monocromatica con una dependencia temporal eiωt encoordenadas cilındricas se reduce a

∂2u

∂r2+

1

r

∂u

∂r+

1

r2∂2u

∂ϕ2+∂2u

∂z2+ n2k2u = 0, (5.9)

aplicando separacion de variables tenemos que u = R(r)e−ilϕe−iβz con l =0,±1,±2, . . .. Sustituyendo obtenemos la ecuacion

R′′ +1

rR′ +

(n2k20 − β2 −

l

r2

)R = 0, (5.10)

que es una Ecuacion de Bessel cuyas soluciones son las funciones de Bessel

R(r) =

Jl(kT r), r < aKl(γr), r > a

, (5.11)

con k2T = n21k20 − β2 y γ2 = β2− n22k20. Notese que para ondas guiadas tanto

kT como γ son numeros reales. En r = 0 las soluciones Kl tienen una singu-laridad, por lo que estas no pueden ser soluciones en el nucleo de la fibra. Deigual forma, las soluciones tienen que decaer rapida y monotonamente a ceroal encontrarnos en la region de la cubierta ya que ahı solo se encontrara elcampo evanescente, por lo que en esta region la solucion no puede ser Jlque tiene un comportamiento oscilatorio. En la figura 5.2 se muestran lassoluciones para l = 0 y l = 3.

Sean X = kTa y Y = γa dos variables, definimos V 2 = X2 + Y 2, noteseque V 2 = a2(k2T + γ2) = (n21 − n22)k20a2 = NA2k0 es una constante para unafibra y una longitud de onda dada. El parametro V esta dado por

V = NAk0a = 2πa

λ0NA, (5.12)


0 1 2 3 4 5 6

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Equis

Ye

Figura 5.2: Se muestran un par de soluciones de la ecuacion onda en la fibraoptica.

y es una caracterıstica de la fibra para una longitud de onda λ0 dada. Im-poniendo la continuidad de la funcion de onda y su derivada en la interfazdel nucleo y el recubrimiento tenemos que

Jl(kTa) = Kl(γa), (5.13)

y

kTJ′l (kTa) = γK ′l(γa). (5.14)

Multiplicando la segunda ecuacion por a y dividiendo las dos ecuacionesobtenemos

kTaJ′l (kTa)

Jl(kTa)=γaK ′l(γa)

Kl(γa). (5.15)

Usando las relaciones conocidas entre las funciones de Bessel y sus derivadasJ ′l (x) = ±Jl∓1(x)∓ lJl(x)/x y K ′l(x) = −Kl∓1(x)∓ lKl(x)/x tenemos que

XJl+1(X)

Jl(X)= ±Y Kl+1(Y )

Kl(Y ). (5.16)

Sustituyendo Y =√V 2 −X2 tenemos que

XJl+1(X)

Jl(X)= ±√V 2 −X2Kl+1(

√V 2 −X2)

Kl(√V 2 −X2)

, (5.17)

5.2. PROPAGACION DE ONDAS EN FIBRAS OPTICAS 35

0 1 2 3 4 5 6

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Equis

Ye

Figura 5.3: Se muestra la grafica de ambos lados de la ecuacion 5.17, lasintersecciones representan las soluciones de la ecuacion.

ambos lados de esta ecuacion para l = 0 estan graficados en la figura 5.3, lassoluciones de la ecuacion son los puntos de interseccion de ambas curvas. Esimportante hacer notar que la primera solucion siempre existe incluso paravalores de V arbitrariamente pequenos debido a que X = 0 es un cero dela funcion XJ1(X)/J0(X). El numero de soluciones adicionales esta deter-minado por la cantidad de ceros αlm de las funciones Jl que caen por abajodel valor V para l = 1, 2, . . .. Llamaremos modos a cada una de las posiblessoluciones, cada modo sera etiquetado por la combinacion (l,m). Es impor-tante notar que la αlm mas pequena distinta de cero es α11 ≈ 2,405, lo cualimplica que si el valor V es menor que 2,405 solo habra un modo permitidoen la fibra, por lo que en este caso diremos que la fibra es monomodo. Sinos encontramos en el caso en que V > 2,405 entonces mas de un modoestara permitido en la fibra en cuyo caso diremos que la fibra es multimodo.

Sea M el numero de modos permitidos en la fibra, de la figura 5.3 esclaro que M crecera de manera discontinua como funcion de V , sin embargopara M 1 esta crece de manera “cuasicontinua” y de hecho se puededemostrar que M ≈ 4V 2/π2. De hecho para m grande es posible demostrartambien que

αlm ≈(l + 2m− 1

2± 1

)π

2≈ (l + 2m)

π

2. (5.18)

Dada la definicion de X en terminos de kT y de γ y por tanto de β, esto


implica que para una combinacion de l y m tenemos

βlm =

√n21k

20 −

α2lm

a2, (5.19)

que usando la ecuacion 5.18 queda aproximado como

βlm =

√n21k

20 − (l + 2m)2

π2

4a2. (5.20)

Por otro lado tenemos que

M ≈ 4

π2V 2 =

4

π2NA2a2k20 ≈

4

π2(2n21∆)k20a

2 (5.21)

usando esta aproximacion obtenemos

βlm ≈ n1k0

√1− 2

(l + 2m)2

M∆, (5.22)

en caso que ∆ sea pequena podemos hacer la aproximacion de Taylor (1 +δ)1/2 ≈ 1 + δ/2 por lo que

βlm ≈ n1k0[1− (l + 2m)2

M∆

]. (5.23)

Las velocidades de grupo para los distintos modos estan dados por

vlm =dω

dβlm, (5.24)

dado que l + 2m varıa de 2 a ≈ 2V/π =√M , n1k0 = ω − c1 tenemos que

M ≈ 8a2ω2∆/(π2c21). Suponiendo que ∆ y c1 son independientes de ω

vlm ≈ c1[1 +

(l + 2m)2

M∆

]−1, (5.25)

si tomamos la aproximacion de Taylor (1 + δ)−1 ≈ 1 − δ para δ pequenaobtenemos

vlm ≈ c1[1− (l + 2m)2

M∆

]. (5.26)

De la ecuacion anterior tenemos que la velocidad de grupo varıa de c1 ac1(1−∆) = c1n2/n1 dependiendo del modo. Notese que ∆ define el numerode modos y que una ∆ grande no solo implica un numero grande de modos,

5.3. COMENTARIOS FINALES SOBRE FIBRAS OPTICAS 37

sino que habra una gran dispersion entre ellos, por otro lado ∆ pequenaimplica que NA sera pequena y por tanto la aceptacion de luz sera pequena.

La dispersion entre los modos puede tener consecuencias catastroficaspara la transmision de informacion en la fibra ya que un pulso en la fibrapuede terminar viajando en varios modos, la dispersion tendrıa pues el efectode alargar los pulsos durante su transito por la fibra lo que limita la cantidadde pulsos, y por tanto de informacion, que se puede enviar por unidad detiempo. Por el contrario angulos de aceptacion muy pequenos implican quela cantidad de luz que se puede acoplar a la fibra es limitada, lo que a su veztiene como consecuencia un nivel de senal bajo. Tenemos pues un compro-miso entre la intensidad de la senal y el ancho de banda de la informacionque puede ser transmitida por una fibra optica.

Finalmente el lector debe tomar en cuenta que la polarizacion de la luzno ha sido incluida, por lo que en realidad existen el doble de modos de losque calculamos anteriormente que corresponden a dos estados de polariza-cion lineal mutuamente ortogonales. Para una l y m dadas, ambos estadosde polarizacion tendran la misma βlm, en ocasiones esto no es deseable paraevitar el intercambio de energıas entre dos pulsos de polarizacion ortogo-nal, para ello se han creado fibras opticas cuya seccion transversal no escircular sino elıptica que pueden ser utilizadas para transmitir informacionindependiente en dos canales correspondientes a las dos polarizaciones.

5.3. Comentarios finales sobre fibras opticas

Ademas de las fibras de escalon existen muchos otros tipos de fibrasopticas. En particular se han fabricado fibras cuyo ındice de refraccion esuna funcion continua de la posicion radial y que son conocidas como fibrasde ındice graduado o GRIN por sus siglas en Ingles. Ademas existen fibrashuecas, cuyo nucleo es de aire (n1 = 1) y finalmente las fibras de cristalfotonico en las que un arreglo con cierta simetrıa cilındrica de huecos ydielectrico son utilizados para contener la luz en el nucleo de la fibra. Esteultimo tipo de fibras han dado lugar a muchos y muy importantes avancestecnologicos recientemente.

5.4. Problemas

1. Una fibra optica esta hecha con un nucleo de radio 100µm e ındice derefraccion 1.45 y una cubierta de ındice de refraccion 1.40. Calcule el


angulo de aceptacion. ¿Es esta fibra monomodo o multimodo a 800nm?(recuerde que V = 2πaNA/λ0).

Capıtulo 6

Optica de materiales

El entender la propagacion de la luz a traves de materiales es funda-mental para poder aprovechar sus propiedades en la optica. En este capıtulodeduciremos de primeros principios el concepto de ındice de refraccion paramateriales dielectricos isotropicos y anisotropicos al igual que para materia-les conductores. Tambien se hara una introduccion a los efectos electroopti-cos y a la optica no lineal.

6.1. Optica de dielectricos isotropicos

Cuando se establece un campo electrico en un material dielectrico lasnubes electronicas de los atomos que forman el material se deforman dandolugar a la formacion de pequenos dipolos electricos en el material hasta quela superposicion del campo electrico externo y el de los dipolos resulta en uncampo neto igual a cero. La polarizacion1 del dielectrico P es una cantidadmacroscopica que esta dada por el momento dipolar −er multiplicada porel numero de dipolos por unidad de volumen N

P = −Ner (6.1)

donde r es el desplazamiento promedio de los electrones respecto a su po-sicion de equilibrio en la ausencia de campo externo aplicado. La fuerzarestitutiva que mantiene un electron alrededor de un atomo esta dada porla derivada del potencial atomico (vease ecuacion FALTA !!! ATOMO DEHIDROGENO). Este potencial puede ser aproximado en la vecindad delmınimo como un potencial armonico, es decir podemos aproximar la fuerza

1Ojo, no confundir la polarizacion del dielectrico con la polarizacion de la luz.

39

40 CAPITULO 6. OPTICA DE MATERIALES

0 1 2 3 4 5 6

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Equis

Ye

Figura 6.1: a) Se muestra el potencial atomico y como este puede ser apro-ximado por un potencial armonico (parabolico). b) Se muestra la represen-tacion grafica de la aproximacion armonica para un electron.

restitutiva electrostatica por un resorte como se muestra en la figura 6.1 portanto tenemos que el electron siente una fuerza restitutiva “de Hook” y ladel campo electrico externo que se equilibran

−eE = Kr (6.2)

donde K es la constante del resorte. Combinando las ecuaciones 6.1 y 6.2obtenemos

P =Ne2

KE. (6.3)

Si el campo electrico no es estatico tenemos que la ecuacion de movi-miento del electron esta dada por

md2r

dt2+mγ

dr

dt+Kr = −eE (6.4)

donde m es la masa del electron, y γ es una constante disipativa que da lugaral termino de amortiguamiento. Sea E = E0e

−iωt una onda monocromatica,en este caso proponemos la solucion r = r0e

−iωt que sustituyendo en laecuacion diferencial resulta en

(−mω2 − iωmγ +K)r = −eE, (6.5)

6.1. OPTICA DE DIELECTRICOS ISOTROPICOS 41

de donde obtenemos que

P =Ne2

−mω2 − iωmγ +KE. (6.6)

Sea ω0 =√K/m la frecuencia natural de oscilacion del oscilador armonico

asociado a cada electron. En este caso tenemos que la ecuacion anterior sereescribe

P =Ne2/m

ω20 − ω2 − iωγ

E. (6.7)

Tenemos pues que la ecuacion de onda generalizada se escribe

∇× (∇×E) = − 1

c2∂2E

∂t2− µ0Ne

2

m

(1

ω20 − ω2 − iγω

)∂2E

∂t2. (6.8)

Asumiendo una solucion de la forma E = E0ei(Kz−ωt) obtenemos que

K2 =ω2

c2

(1 +

Ne2

mε0

1

ω20 − ω2 − iγω

). (6.9)

Si γ 6= 0 esto implica que K es un numero complejo K = k + iα, lo quequiere decir que el ındice de refraccion es en realidad un numero complejon = n+ iκ donde

K =ω

cn. (6.10)

Es importante hacer notar que n no solo es un numero complejo, sino queademas es funcion de ω, es decir, el ındice de refraccion varıa como funcionde la frecuencia o bien de la longitud de onda.

La solucion de la ecuacion de onda (6.8) esta dada por

E = E0e−αzei(kz−ωt), (6.11)

donde α = κω/c. Notese que la onda decaera en amplitud exponencialmen-te al entrar al material siempre que α > 0. Tanto la parte real como laimaginaria del ındice de refraccion se muestran en la figura 6.2, al presen-cia de la resonancia de los osciladores armonicos tiene varias implicacionesimportantes. Primero tenemos que ambas componentes complejas son unafuncion de la frecuencia lo que implica que el medio es dispersivo, es decirque la velocidad de propagacion es distinto para distintas frecuencias y queel dielectrico presenta un espectro de absorcion con un pico bien definidoque decae asintoticamente a cero, por lo que para frecuencias lejos de laresonancia el material sera practicamente transparente.


0 1 2 3 4 5 6

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Equis

Ye

Figura 6.2: a) Onda al propagarse en un material que experimenta absorcionpor la resonancia de los dipolos. Parte real (b) e imeginaria (c) del ındice derefraccion tıpico para un material con una resonancia armonica.

Para finalizar esta seccion es importante hacer notar que los materialessuelen ser compuestos de varios atomos y que estos, salvo por el hidrogeno,tienen varios electrones en distintos estados, por lo que en un material realexiste una coleccion de electrones que se encuentran mas o menos ligados alos nucleos dependiendo de su estado cuantico, por ello es importante incluiruna resonancia distinta por cada uno de los estados electronicos distintosque se encuentran en el material, lo cual a su vez da lugar a un ındice derefraccion con una coleccion de resonancias

n =Ne2

mε0

∑j

fjω2j − ω2 − iγjω

, (6.12)

donde N es la densidad de atomos o moleculas en el material, fj es el deelectrones en cada estado distinto por atomo o molecula, ωj es la frecuenciade resonancia que corresponde a cada uno de esos estados y γj es la constantede amortiguamiento para cada resonancia.

6.2. Optica de materiales conductores

A diferencia de los dielectricos, los materiales conductores, como los me-tales, no tienen sus electrones ligados, por lo que en este caso no hay una

6.2. OPTICA DE MATERIALES CONDUCTORES 43

fuerza elastica que mantenga a los portadores cerca de una posicion de equi-librio. Esto implica que la presencia de un campo electrico E en el materialproducira una corriente hasta que el campo externo sea anulado. En estecaso los electrones siguen la siguiente ecuacion de movimiento

mdv

dt+mτ−1v = −eE, (6.13)

donde m es la masa del electron, v es su velocidad y τ es el tiempo me-dio entre colisiones de los electrones con los nucleos (vease seccion 2.7). Ladensidad de corriente J esta dada por

J = Nev. (6.14)

Sustituyendo esta expresion en la ecuacion 6.13 obtenemos

dJ

dt+ τ−1J =

Ne2

mE. (6.15)

En el caso de una corriente transitoria, es decir despues de “apagar” abrup-tamente el campo electrico, la ecuacion anterior se reduce a

dJ

dt+ τ−1J = 0, (6.16)

la cual tiene por solucion J = J0e−t/τ , es decir, la corriente decaera ex-

ponencialmente con una constante de tiempo τ . En el caso estacionario laecuacion 6.15 da lugar a la siguiente solucion

τ−1J =Ne2

mE. (6.17)

Es bien conocido que en el caso estacionario la densidad de corriente y elcampo electrico siguen la relacion J = σE por lo que σ = Ne2τ/m.

Supongamos ahora que ambos J y E son ondas armonicas de frecuenciaω, es decir que tienen una dependencia temporal de la forma eiωt. Sustitu-yendo en la ecuacion 6.15 tenemos

(−iω + τ−1)J = τ−1σE, (6.18)

de donde tenemos que

J =σ

1− iωτE, (6.19)


lo cual es consistente con que para ω = 0 tenemos que J = σE. Si ahorasustituimos la expresion 6.19 en la ecuacion generalizada de onda obtenemos

∇2E =1

c2∂2E

∂t2+

µ0σ

1− iωτ∂E

∂t. (6.20)

Supongamos que esta ecuacion tiene una solucion plana E = E0ei(Kz−ωt) lo

cual implica que

K2 =ω2

c2+

iωµ0σ

1− iωτ. (6.21)

Note que si ω es pequena entonces K2 ≈ iωµ0σ por lo que K ≈√iωµ0σ =

(1+i)√ωµ0σ/2 lo que implica que las partes real e imaginaria de K = k+iα

son aproximadamente iguales

k ≈ α ≈√ωµ0σ

2(6.22)

lo cual a su vez implica que las partes real e imaginaria del ındice de refrac-cion seran

n ≈ κ ≈√

σ

2ωε0. (6.23)

Observe que al igual que en el caso de un dielectrico resulta que para losmetales el ındice de refraccion es un numero complejo que depende de lafrecuencia. La llamada profundidad de piel del conductor esta dada por

δ =1

α=

√2

ωσµ0=

√λ0

2πσµ0. (6.24)

El ındice de refraccion cumple

n2 = 1−ω2p

ω2 − iωτ−1, (6.25)

donde

ωp =

√Ne2

mε0=

√µ0σc2

τ. (6.26)

Ambas componentes del ındice de refraccion se muestran en la figura 6.3.Se observa que para ω < ωp tenemos que κ > n y viceversa, ademas κ→ 0para ωp →∞ lo cual quiere decir que los materiales conductores se vuelventransparentes a frecuencias suficientemente grandes. Esto se observa experi-mentalmente al usar rayos X que atraviesan sin problema la mayorıa de losmetales.

6.3. OPTICA DE CRISTALES ANISOTROPICOS 45

0 1 2 3 4 5 6

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Equis

Ye

Figura 6.3: Partes real e imaginaria del ındice de refraccion de un metal.

Finalmente vale la pena senalar que los materiales semiconductores tie-nen propiedades que caen entre los dielectricos y los metales, por lo tantopara estos materiales es de esperarse que el ındice de refraccion tenga uncomponente dielectrico (ecuacion 6.12) y uno metalico (ecuacion 6.25, porlo que su ındice de refraccion estara dado por

n2 = 1−ω2p

ω2 − iωτ−1+Ne2

mε0

∑j

fjω2j − ω2 − iγjω

. (6.27)

6.3. Optica de cristales anisotropicos

Como ya se discutio en la seccion 2.7, los cristales son materiales que adiferencia de los gases, los lıquidos y los mal llamados “solidos amorfos”2

tienen una estructura atomica ordenada y periodica. Es posible demostrarque existen 16 formas tridimensionales periodicas para acomodar objetos demanera periodica. Estas 16 formas son conocidas como las Redes de Bravais.Dependiendo de la periodicidad particular de un material puede ser que estepresente distintas propiedades opticas.

2En realidad los solidos amorfos, como los vidrios, mas bien son lıquidos cuya viscosidades tan alta que dan la impresion de ser solidos.


6.3.1. Birefringencia

Es de esperarse que un cristal cuya distancia interatomica en la direccionx sea diferente de la correspondiente distancia interatomica en la direcciony presente propiedades opticas muy diferentes dependiendo de si la luz queincide en este tiene su campo electrico orientado en la direccion x o y.

En el caso de un medio cristal la polarizacion esta dada por PxPyPz

= ε0

χ11 χ12 χ13

χ21 χ22 χ23

χ31 χ32 χ33

ExEyEz

, (6.28)

que de manera abreviada se puede escribir

P = ε0χE, (6.29)

donde χ se llama el tensor de suceptibilidad. Para cristales ordinarios noabsorbentes el tensor χ es simetrico, por lo que existe un sistema coordenadoen el cual

χ =

χ11 0 00 χ22 00 0 χ33

. (6.30)

Esta es llamada la representacion de ejes principales y las tres χii se conocencomo las suceptibilidades principales. Ademas los valores εii dados por ε =ε0(1− χ) se conocen como las constantes dielectricas principales.

La ecuacion generalizada de onda se puede escribir como

∇× (∇×E) +1

c2∂2E

∂t2= − 1

c2χ∂2E

∂t2, (6.31)

suponiendo que la solucion es una onda plana de la forma ei(k·r−ωt) la ecua-cion anterior se reduce a

k× (k×E) +ω2

c2E = −ω

2

c2χE, (6.32)

que explıcitamente se escribe como el siguiente sistema de ecuaciones(−k2y − k2z +

ω2

c2

)Ex + kxkyEy + kxkzEz = −ω

2

c2χ11Ex, (6.33)

kykxEx +

(−k2x − k2z +

ω2

c2

)Ey + kykzEz = −ω

2

c2χ22Ey, (6.34)

kzkxEx + kzkyEy +

(−k2x − k2y +

ω2

c2

)Ez = −ω

2

c2χ33Ez. (6.35)


Si tomamos, sin perdida de generalidad, k = kx y ky = kz = 0 tenemos queel sistema se reduce a

ω2

c2Ex = −ω

2

c2χ11Ex, (6.36)(

−k2 +ω2

c2

)Ey = −ω

2

c2χ22Ey, (6.37)(

−k2 +ω2

c2

)Ez = −ω

2

c2χ33Ez. (6.38)

De estas ecuaciones se sigue que

Ex = 0, (6.39)

k =ω

c

√1 + χ22, (6.40)

k =ω

c

√1 + χ33, (6.41)

lo cual podrıa parecer una contradiccion, ya que de 6.40 y 6.41 se tendrıandos valores distintos para el numero k, sin embargo cuando se analiza condetalle es claro que no hay tal contradiccion, ya que cada uno de los valoresde k corresponde a los numeros de onda para ondas cuyo campo electricoesta polarizado3 en la direccion y y z respectivamente. Ello implica queexistiran dos ındices de refraccion distintos para esta onda. Sean

n1 =√

1 + χ11, (6.42)

n2 =√

1 + χ22, (6.43)

n3 =√

1 + χ33, (6.44)

los ındices de refraccion principales.

Imponiendo la condicion para que el sistema formado por las ecuaciones6.33, 6.34 y 6.35 tenga solucion unica en Ex, Ey y Ez tenemos que∣∣∣∣∣∣∣

(n1ωc

)2 − k2y − k2z kxky kxkz

kykx(n2ωc

)2 − k2x − k2z kykz

kzkx kzky(n3ωc

)2 − k2x − k2y∣∣∣∣∣∣∣ = 0. (6.45)

Sin perdida de generalidad asumamos que el vector k se encuentra en unplano, digamos x, y, por lo que kz = 0. En este caso el determinante se

3Ojo, no confundir polarizacion del campo electrico con polarizacion de un dielectrico


reduce a[(n3ωc

)2− k2x − x2y

][(n1ωc

)2− k2y

] [(n2ωc

)2− k2x

]− k2x − k2y

= 0.

(6.46)Por lo que uno de los dos multiplicandos debe ser cero. Analizando los doscasos, obtenemos las siguientes ecuaciones

k2x + k2y =(n3ω

c

)2, (6.47)

k2x(n2ω/c)2

+k2y

(n1ω/c)2= 1, (6.48)

que son las ecuaciones de un cırculo y una elipse. Las combinaciones de kxy ky que cumplan alguna de las dos ecuaciones determinan las magnitudespermitidas para el vector de onda y por tanto los dos ındices de refraccionque aparecen para cada direccion de propagacion en el plano x, y como semuestra en la figura 6.4. Note que dependiendo de los parametros de la elipsey el cırculo es posible que estos se toquen tangencialmente con lo cual solohabra una direccion en la cual existe un unico valor para la magnitud delvector k, o bien el circulo y la elipse se pueden cruzar, en cuyo caso habra dosdirecciones distintas en las que el valor de la magnitud de k es unico. Lao las direcciones en las que esto sucede se les conoce como eje optico y loscristales en los que existe solo un eje optico son conocidos como uniaxiales,mientras que aquellos en los que hay dos ejes opticos son conocidos comobiaxiales.

Finalmente es importante aclarar que la forma del tensor χ depende dela simetrıa del cristal, tıpicamente los materiales isotropicos, como los quetienen un arreglo atomico cubico, tienen un tensor dielectrico de la forma

χ =

χ 0 00 χ 00 0 χ

. (6.49)

Para cristales uniaxiales, cuya simetrıa cristalografica suele ser trigonal, te-tragonal o hexagonal, el tensor dielectrico tiene la forma

χ =

χ11 0 00 χ11 00 0 χ33

. (6.50)


0 1 2 3 4 5 6

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Equis

Ye

Figura 6.4: Dado un plano sobre el cual se propaga una onda luminosa enun cristal se demuestra que existen dos posibles magnitudes del vector kpara cada direccion particular de propagacion. Los dos posibles valores caenen un circulo y una elipse respectivamente. Existen tres casos de interes quedeterminan si el cristal es biaxial (con dos ejes opticos) o uniaxial (con uneje optico) positivo o negativo.


Para los cristales biaxiales, con simetrıas triclınicas, monoclınicas u or-totomicas, el tensor tiene la forma

χ =

χ11 0 00 χ22 00 0 χ33

. (6.51)

6.3.2. Actividad optica

La actividad optica es una forma diferente de birefringencia en la que losdos estados de polarizacion que se propagan a distintas velocidades son losestados circulares levogiro (izquierdo) y dextrogiro (derecho). Es posible de-mostrar que el tensor de susceptibilidad de un material optimamente activotiene la forma

χ =

χ11 iχ12 0−iχ12 χ11 0

0 0 χ33

. (6.52)

donde las χij son numeros reales. Usando la ecuacion 6.32 asumiendo quetenemos una onda que se propaga en la direccion z con numero de onda ktenemos que

− k2Ex +ω2

c2Ex = −ω

2

c2(χ11Ex + iχ12Ey), (6.53)

−k2Ey +ω2

c2Ey = −ω

2

c2(−iχ12Ex + χ11Ey), (6.54)

ω2

c2Ez = −ω

2

c2χ33Ez. (6.55)

La ultima de estas ecuaciones implica que Ez = 0, lo cual es de esperarse da-do el caracter transverso de las ondas electromagneticas. Por otro lado, paraque las primeras dos ecuaciones tengan una solucion no trivial es necesarioque ∣∣∣∣∣ −k2 + ω2

c2(1 + χ11) iω

2

c2χ12

−iω2

c2χ12 −k2 + ω2

c2(1 + χ11)

∣∣∣∣∣ = 0, (6.56)

por lo que k debe cumplir

k =ω

c

√1 + χ11 ± χ12. (6.57)

Sustituyendo estos dos valores de k en las ecuaciones 6.53 y 6.54 obtenemosEx = ±iEy. De aquı que los dos estados de polarizacion con valores de k

6.4. PROBLEMAS 51

distintos corresponden a los estados dextrogiro y levogiro. De aquı que susdos ındices de refraccion estan dados por

nR =√

1 + χ11 + χ12, (6.58)

nL =√

1 + χ11 − χ12. (6.59)

Los materiales opticamente activos tienen el efecto de rotar el angulo depolarizacion de la luz linealmente polarizada que pasa a traves de ellos. Lapotencia rotatoria se define como

δ = (nR − nL)π

λ≈ πχ12

noλ, (6.60)

por lo que la la potencia rotatoria es, aproximadamente, proporcional a lacomponente imaginaria χ12 del tensor de susceptibilidad que se encuentrafuera de la diagonal.

6.4. Problemas

1. Un metal tiene una frecuencia de plasma de ωp = 1015 Hz y un tiempode relajacion τ = 10−13 s. Halle las partes real e imaginaria de su indicede refraccion a las frecuencias ωp, 2ωp y ωp/2.

2. La reflectancia de una material es 80 % a incidencia normal. Si su κ = 4calcule la parte real de su indice de refraccion.

3. La conductividad de la plata es 6,8× 107 Ω−1m−1. Asumiendo que ladensidad de portadores de carga (electrones) es 1,5×1028 m−3, calcule:La frecuencia de plasma, el tiempo de relajacion, las partes real eimaginaria de su ındice de refraccion y la reflectancia a λ = 1µm.

4. Para el aluminio a λ = 500 nm se tiene que n = 1,5 + 3,2i. Halle lareflectancia a incidencia normal y el cambio de fase.

5. Tome un cristal uniaxial con indices de refraccion no y ne cortado detal forma que el eje optico se encuentra perpendicular a la superficie.Demuestre que para un rayo que incide desde afuera a un angulo θ, elangulo de refraccion extraordinario φe cumple:

tanφe =none

sin θ√n2e − sin2 θ

. (6.61)

Capıtulo 7

Electrooptica yMagnetooptica

En muchos casos la aplicacion de un campo electrico o magnetico estaticoen un material dielectrico puede perturbar la dinamica de los electrones queahı se encuentran que son a su vez, como se vio en el capıtulo anterior, res-ponsables por las propiedades opticas del material. Por tanto es de esperarseque la aplicacion de dicho campo externo pueda modificar las propiedadesopticas del material.

7.1. Efecto Kerr

Cuando un campo electrico es aplicado sobre un material ya sea isotropi-co o anisotropico este induce dipolos en el material en la direccion paralelaal campo aplicado. Esto a su vez rompe la simetrıa del material induciendobirefringencia, este fenomeno es conocido como el Efecto Kerr. Cada ma-terial tiene una constante llamada constante de Kerr que nos relaciona ladiferencia entre los ındices de refraccion paralelo n‖ y perpendicular n⊥ alcampo aplicado de la siguiente manera

n‖ − n⊥ = KE2λ0, (7.1)

donde λ0 es la longitud de onda en el vacıo y E la magnitud del campoaplicado. Debido a su dependencia cuadratica en E es conocido tambien elefecto electrooptico cuadratico. El efecto Kerr combinado con un par de po-larizadores cruzados se puede usar para producir moduladores de intensidadluminosa como se describira en la siguiente seccion.

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54 CAPITULO 7. ELECTROOPTICA Y MAGNETOOPTICA

7.2. Efecto Pockels

7.3. Efecto Faraday

7.4. Problemas

1. Un cristal de KD2PO4 cuyo coeficiente electrooptico es de 26,8 ×10−12 m/V y con indice de refraccion no = 1,50 (a 546 nm) es utilizadopara fabricar una celda Pockels. Si el cristal mide 10 mm, calcule elvoltage que se necesita aplicar para producir una rotacion de 90 (esdecir un desfase de π entre las componentes).

Capıtulo 8

Optica no lineal

8.1. Mas alla de la aproximacion armonica

8.2. Efectos de segundo orden

8.3. Efectos de tercer orden

8.4. Problemas

1. En un cristal generador de segundo armonico se hace incidir radiacionde 1000 nm (n = 1,5) determine la distancia optima del cristal si elındice de refraccion a 500 nm es n = 1,48.

55

56 CAPITULO 8. OPTICA NO LINEAL

Capıtulo 9

Otros temas de interes

9.1. Recubrimientos dielectricos

9.2. Cristales fotonicos

9.3. Plasmones

9.4. Metamateriales

9.5. Optica ultrarrapida

9.6. Terahertz

9.7. Problemas

1. Si un substrato de vidrio (n = 1,4) es recubierto con una pelıculadelgada con espesor 200 nm de un material de ındice de refraccion 1.18,calcule la reflexion a incidencia normal como funcion de la longitud deonda.

2. Calcule el espectro de un pulso gausiano con longitud de onda central800 nm y desviacion standard 50 fs.

57

58 CAPITULO 9. OTROS TEMAS DE INTERES

Apendice A

Ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell en el espacio son

∇ ·E =ρ

ε0, (A.1)

∇ ·B = 0, (A.2)

∇×E = −∂B

∂t, (A.3)

∇×B =1

c2∂E

∂t+ µ0J, (A.4)

donde ρ es la densidad de carga, ...

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60 APENDICE A. ECUACIONES DE MAXWELL

Bibliografıa

[1] Luis Cardenas and Tomas Raggi. Algebra superior. Editorial Trillas,1997. (document)

[2] S. Lang. Introduction to linear algebra. Springer, 1986. (document),2.1.1

[3] M. Kline. Calculus: an intuitive and physical approach. Dover Pubns,1998. (document)

[4] JE Marsden and AJ Tromba. Calculo vectorial. Addison Wesley, 1998.(document)

[5] W.E. Boyce and R.C. DiPrima. Elementary differential equations andboundary value problems. Wiley New York, 2001. (document)

[6] D. Halliday, R. Resnick, and J. Walker. Fundamentals of physics. Wiley,2010. (document)

[7] Luis de la Pena. Introduccion a la mecanica cuantica. Fondon de CulturaEconomica, 1991. 2

[8] AN Kolmogorov, SV Fomin, and JL Safko. Introductory Real Analysis.Dover, 1975. 2

[9] H Goldstein, CP Poole, and JL Safko. Classical Mechanics. AddisonWesley, 2001. 2.1.1

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62 BIBLIOGRAFIA

Fot onica · de los cuerpos; la electrodin amica de Maxwell explicaba los fen omenos re-lacionados...

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