Formulario de Matemáticas completo..

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Formulario de Preclculo. a1. Los N meros. um n m+n n

5. Leyes de los logaritmos. a) loga (P Q) = loga (P ) + loga (Q) b) loga P Q = loga (P ) loga (Q)

1. Leyes de los exponentes y radicales. a) a a = a d) a bn

c) loga (Qn ) = n loga (Q)n n n

b) (a ) = am

m n

mn

c) (ab) = a b f ) an = i) am/n l)m

d ) aloga (x) = x e) loga (ax ) = x f ) loga (1) = 0 g) aloga (a) = 1 h) log(x) = log10 (x) i) ln(x) = loge (x)

g) a1/n j)

a bn = na =

n n ab = n a b

a = amn an h) am/n = n am n a a k) n = n b b e)

1 an m = ( n a)mn

n

a=

a

2. Productos Notables. a) Binomios Conjugados: (x + y)(x y) = x y2 2 2 2 2

b) Binomio al Cuadrado: (x y) = x 2xy + y2

j ) Cambio de base:

loga (Q) =

logb (Q) logb (a)

d ) (x + y) = x2 + 2 xy + y 2 e) (x y) = x2 2 xy + y 23 3 2

c) Binomio al Cubo: (x y)3 = x3 3x2 y + 3xy 2 y 3

2. Soluciones Exactas de ecuaciones Algebraicas6. Soluciones Exactas de Ecuaciones Algebraicas. a) La Ecuacin Cuadrtica: ax2 + bx + c = 0 tiene o a soluciones: b b2 4ac x= 2a 2 El n mero b 4ac se llama discriminante de la ecuau cin. o i) Si b2 4ac > 0 las ra son reales y diferentes. ces ii) Si b2 4ac = 0 las ra son reales e iguales. ces iii) Si b2 4ac < 0 las ra son complejas conjugaces das. b) Para la Ecuacin C bica: x3 + ax2 + bx + c = 0 o u sean: Q= S=3

f ) (x + y) = x3 + 3 x2 y + 3 xy 2 + y 34

h) (x + y) = x4 + 4 x3 y + 6 x2 y 2 + 4 xy 3 + y 4 j ) (x + y) = x5 + 5 x4 y + 10 x3y 2 + 10 x2y 3 + 5 xy 4 + y 5 k ) (x y)5 = x5 5 x4 y + 10 x3y 2 10 x2y 3 + 5 xy 4 y 5 3. Teorema del Binomio. Sea n N, entonces:n

g) (x y) = x3 3 x2 y + 3 xy 2 y 3

i) (x y)4 = x4 4 x3 y + 6 x2 y 2 4 xy 3 + y 45

(x + y)n =r=0

n nr r x y r

Nota:

n r

= n Cr =

n! r!(n r)!

4. Factores Notables. a) Diferencia de Cuadrados: x2 y 2 = (x + y)(x y) b) Suma de Cubos: x3 + y 3 = (x + y)(x2 xy + y 2 )3 3 2

3b a2 , 9

R=

9ab 27c 2a3 54 T =3

R+

Q3 + R 2 ,

d ) Trinomio Cuadrado Perfecto: x2 2xy+y 2 = (xy)2 e) x y = (x y) (x + y)3 3 2 2 2

c) Diferencia de Cubos: x y = (x y)(x + xy + y )

2

h) x y = (x y) (x + y) x + y

g) x3 + y 3 = (x + y) x2 xy + y 24 4 2

f ) x y = (x y) x + xy + y

2

Entonces las soluciones son: a x1 =S + T 3 S+T a x2 = + + 2 3 x3 = S+T a + 2 3

R

Q3 + R 2

2

(S T ) 3 2 (S T ) 3 2

i i

k ) x6 y 6 = (x y) (x + y) x2 + xy + y 2 l ) x4 + x2 y 2 + y 4 = x2 + xy + y 2 m) x4 + 4 y 4 = x2 2 xy + 2 y 2

j ) x5 + y 5 = (x + y) x4 x3 y + x2 y 2 xy 3 + y 4

i) x5 y 5 = (x y) x4 + x3 y + x2 y 2 + xy 3 + y 4 x2 xy + y 2

x2 + 2 xy + 2 y 2 1

x2 xy + y 2

El n mero Q3 +R2 se llama discriminante de la ecuau cin. o i) Si Q3 + R2 > 0, hay una ra real y dos son comz plejas conjugadas. ii) Si Q3 + R2 = 0, las ra son reales y por lo meces nos dos son iguales. iii) Si Q3 + R2 < 0, las ra son reales y diferentes. ces


3.3.1.

Funciones Trigonomtricas. eRelaciones nomtricas. ecsc(A) = 1 sen(A)

cos3 (A) =

3 4

cos(A) +

1 4

cos(3A)

entre

Funciones

3 1 1 4 Trigo- sen (A) = 8 2 cos(2A) + 8 cos(4A)

cos4 (A) = sen2 (A) + cos2 (A) = 1 sen5 (A) = cos5 (A) = sec (A) tan (A) = 1 csc2 (A) cot2 (A) = 12 2

3 8 5 8 5 8

+

1 2

cos(2A) +5 16 5 16

1 8

cos(4A)1 16 1 16

sen(A) cos(A) +

sen(3A) + cos(3A) +

sen(5A) cos(5A)

1 sec(A) = cos(A) tan(A) = sen(A) cos(A)

3.3.

Suma, Diferencia y Producto las Funciones Trigonomtricas. eA+B 2 AB 2 A+B 2 A+B 2

sen(A) + sen(B) = 2 sen sen(A) sen(B) = 2 sen cos(A) + cos(B) = 2 cos cos(A) cos(B) = 2 sen sen(A) sen(B) =1 2 1 2 1 2

cos cos cos sen

AB 2 A+B 2 AB 2 BA 2

cos(A) 1 = cot(A) = sen(A) tan(A)

3.2.2

Potencias de Funciones Trigonomtricas. e1 2 1 2 3 4

sen (A) = cos2 (A) = sen3 (A) =

+

1 2 1 2

cos(2A) cos(A) cos(B) = cos(2A)1 4

cos(A B) cos(A + B) cos(A B) + cos(A + B) sen(A B) + sen(A + B)

sen(A)

sen(3A)

sen(A) cos(B) =

4.

Funciones Hiperblicas. oex ex 2 ex + ex 2 ex ex ex + ex Cosecante hiperblica de x = csch(x) = o Secante hiperblica de x = sech(x) = o 2 ex ex

Seno hiperblico de x = senh(x) = o

Coseno hiperblico de x = cosh(x) = o

2 ex + ex ex + ex ex ex

Tangente hiperblica de x = tanh(x) = o

Cotangente hiperblica de x = coth(x) = o

4.1.

Relacin entre las Funciones Hiperblicas. o osenh(x) cosh(x) 1 cosh(x) = tanh(x) senh(x) sech(x) = 1 cosh(x) cosh2 (x) senh2 (x) = 1 sech2 (x) + tanh2 (x) = 1 coth2 (x) csch2 (x) = 1

tanh(x) =

coth(x) =

1 csch(x) = senh(x)

2


Formulario de Clculo. a Derivadas.En este formulario: k, c R son constantes reales, f = f (x), u = u(x) y v = v(x) son funciones que dependen de x. Frmulas Bsicas: o a Funcin: o f =k Su Derivada: f = 0

Funciones Trigonomtricas: e Funcin: o f = sen(u) f = cos(u) f = tan(u) f = csc(u) f = sec(u) f = cot(u) Su Derivada: f = cos(u) u f = sen(u) u f = sec2 (u) u f = csc(u) cot(u) u f = sec(u) tan(u) u f = csc2 (u) u

Linealidad de la derivada: f =ku f =uv f =kucv Regla del Producto: f =uv Regla del Cociente: u f= v v u u v f = v2 f = arccsc(u) f = u v + v u f = k u f = u v f =ku cv

Funciones Trigonomtricas Inversas: e Funcin: o f = arc sen(u) Su Derivada: u f = ; |u| < 1 1 u2 u ; f = 1 u2 f = u 1 + u2 |u| < 1

f = arc cos(u)

f = arctan(u)

u f = u u2 1 u ; f = u u2 1 f = u ; 1 + u2 |u| > 1 |u| > 1

Regla de la Cadena (Composicin de funciones) o f = u(x) v(x) Regla de la Potencia: f = vn f = k vn f = n v n1 v f = k n v n1 v f = [u(v(x))] v (x)

f = arcsec(u)

f = arccot(u)

Funciones Hiperblicas: o Funcin: o f = senh(u) f = cosh(u) f = tanh(u) f = csch(u) f = sech(u) f = coth(u) Su Derivada: f = cosh(u) u f = senh(u) u f = sech2 (u) u f = csch(u) coth(u) u f = sech(u) tanh(u) u f = csch2 (u) u

Funciones Exponenciales: f = eu f = au f = eu u f = au ln(a) u

Funciones Logar tmicas: f = ln(u) f = loga (u) u f = u

f =

u u ln(a) v u u 3

Una Funcin elevada a otra Funcin: o o f = uv f = uv v ln(u) +

Sugerencias, comentarios y/o aportaciones al correo: [email protected] Hiperblicas Inversas: o Funcin: o f = arcsenh(u) Su Derivada: u f = 1 + u2 u f = ; u2 1 f = u ; 1 u2

17) 18) 19) 20) |u| > 1 |u| < 1 u=0 21) 22)

tan2 udu = tan u u cot2 udu = cot u u sen2 udu = cos2 udu =u 2 u 2

+

sen 2u 4 sen 2u 4

= 1 [u sen u cos u] 2 = 1 [u + sen u cos u] 2

f = arccosh(u)

sec u tan udu = sec u csc u cot udu = csc u

f = arctanh(u) f = arccsch(u)

Hiperblicas. o23) 24) senh udu = cosh u cosh udu = senh u tanh udu = ln[cosh u] coth udu = ln[senh u] sechudu = sen1 [tanh u] = 2 tan1 [eu ] cschudu = ln tanh u = 2 coth1 [eu ] 2 sech2 udu = tanh u csch2 udu = coth u tanh2 udu = u tanh u coth2 udu = u coth u senh2 udu = cosh2 udu =senh 2u 4 senh 2u 4

f =

u ; |u| 1 + u2

f = arcsech(u)

u f = ; u 1 u2 u f = ; 1 u2

0 0

senh(at) a

eat

cosh(at)

tn1 eat (n 1)! tn1 eat (n) sen(at) a

ebt senh(at) a

con n > 0

ebt cosh(at)

s2

ebt eat ba

con a = b

12


f (s)s (s a)(s b) 1 (s2 + a2 )2

F (t)bebt aeat ba

f (s)s5 + a2 )3

F (t)(8 a2 t2 ) cos(at) 7at sen(at) 8 t2 sen(at) 2a

con a = b

(s2

sen(at) at cos(at) 2a3 t sen(at) 2a

3s2 a2 (s2 + a2 )3 s3 3a2 s (s2 + a2 )3 s4 6a2 s + a4 (s2 + a2 )4 s3 a2 s (s2 + a2 )4

s (s2 + a2 )2 s2 (s2 + a2 )2 s3 (s2 + a2 )2 s2 a2 (s2 + a2 )2 1 (s2 a2 )2 s (s2 a2 )2 s2 a2 )2 s3 a2 )2

1 2 t 2

cos(at)

sen(at) + at cos(at) 2a

1 3 t 6

cos(at)

1 cos(at) 2 at sen(at)

t3 sen(at) 24a (3 + a2 t2 ) senh(at) 3at cosh(at) 8a5 at2 cosh(at) t senh(at) 8a3 at cosh(at) + (a2 t2 1) senh(at) 8a3 3t senh(at) + at2 cosh(at) 8a (3 + a2 t2 ) senh(at) + 5at cosh(at) 8a (8 + a2 t2 ) cosh(at) + 7at senh(at) 8 t2 senh(at) 2a

t cos(at)

(s2

1 a2 )3 s a2 )3 s2 a2 )3 s3 a2 )3 s4 a2 )3 s5 a2 )3

at cosh(at) sinh(at) 2a3 t senh(at) 2a

(s2

(s2

(s2

senh(at) + at cosh(at) 2a

(s2

(s2

cosh(at) + 1 at senh(at) 2

(s2

s2 + a2 (s2 a2 )2 1 + a2 )3

t cosh(at)

(s2

(s2

(3 a2 t2 ) sen(at) 3at cos(at) 8a5 t sen(at) at2 cos(at) 8a3 (1 + a2 t2 ) sen(at) at cos(at) 8a3 3t sen(at) + at2 cos(at) 8a (3 a2 t2 ) sen(at) + 5at cos(at) 8a

3s2 + a2 (s2 a2 )3 s3 + 3a2 s (s2 a2 )3 s4 + 6a2 s + a4 (s2 a2 )4 s3 + a2 s (s2 a2 )4 1 s3 + a3

(s2

s + a2 )3 s2 + a2 )3 s3 + a2 )3 s4 + a2 )a3

1 2 t 2

cosh(at)

(s2

1 3 t 6

cosh(at)

(s2

t3 senh(at) 24a

(s2

eat/2 3a2

3 sen

3at cos 2

3at + e3at/2 2

13

Sugerencias, comentarios y/o aportaciones al correo: [email protected] (s) F (t)eat/2 3a

f (s)s s4 a4 s2 s4 a4 s3 a4

F (t)1 2a2

s s3 + a3

cos

3at + 3 sen 2 3at 2

3at e3at/2 2

cosh(at) cos(at)

s2 s3 + a3

1 3

eat

+

2eat/2 cos

1 senh(at) + sen(at) 2a 1 cosh(at) + cos(at) 2

1 s3 a3 s s3 a3 s2 3 a3 s 1 s4 + 4a4 s s4 + 4a4 s2 s4 + 4a4 s3 s4 + 4a4 1 s4 a4

eat/2 3a2

e3at/2 cos

3at 3 sen 2

3at 2

s4

eat/2 3a

3 sen

3at cos 2 3at 2

3at + e3at/2 2

1 s+a+ s+b

ebt eat 2(b a) t3 fer at a eat fer at a 1 2 beb t fcer b t t

1 s s+a

1 3

eat

+

2eat/2 cos

1 4a3 sen(at) cosh(at) cos(at) senh(at)

1 s(s a) 1 sa+b 1 s2 + a2 1 s2 a2

eat

sen(at) senh(at) 2a2 1 sen(at) cosh(at) + cos(at) senh(at) 2a

J0 (at)

cos(at) cosh(at)

I0 (at)

1 2a3

senh(at) sen(at)

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A en grados 0 15o 30o 45o 60o 75o 90o 105o 120o 135o 150o 165o 180o 195o 210o 225o 240o 255o 270o 285o 300o 315o 330o 345o 360o

A en radianes 0 /12 /6 /4 /3 5/12 /2 7/12 2/3 3/4 5/6 11/12 13/12 7/6 5/4 4/3 17/12 3/2 19/12 5/3 7/4 11/6 23/12 2

sen A 0 1 6 2 4 1 2 1 2 2 1 3 2 1 6+ 2 4 1 1 6+ 2 4 1 3 2 1 2 2 1 2 1 6 2 4 0 1 6 2 4 1 2

cos A 1 1 6+ 2 4 1 3 2 1 2 2 1 2 1 6 2 4 0 1 6 2 4 1 2

tan A 0 2 3

cot A 2+ 3 3

sec A 1 6 2

csc A 6+ 2 2 2

1 3 3 1 2+ 3 3

2 3 3 2

1 1 3 3 2 3

2 6+ 2

2 3 3 6 1 2 6 2 2

2+ 3

0 2 3

6+ 2 2 3 2 3 3 6 1 3 6 2 2

3 1 1 3 3 3

1 3 3 1

2 3 3 2

1 2 2 1 3 2

3 2+

2 6+ 2

1 6+ 2 4 1 1 6+ 2 4 1 3 2 1 2 2 1 2

2 0 2

3 2+ 3

6+ 2 2 2 2 3 3 6 1 2 6 2 2 2

1 3 3 1 2+ 3 3

2 3 3

1 2 2 1 3 2

1 1 3 3 2 3

2 2 6+

1 6+ 2 4 1 1 6+ 2 4 1 3 2 1 2 2 1 2

1 6 2 4 0

2+ 3

0 2 3

6+ 2 2

1 6 2 4 1 2 1 2 2 1 3 2 1 6+ 2 4 1

3 1 1 3 3 3

1 3 3 1

2 3 3

2 2 2 6+ 2

3 2+ 3

2 3 3 6 1

1 6 2 4 0

2 0

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Sugerencias, comentarios y/o aportaciones al correo: [email protected] 1. Ecuacin en Variables Separadas. o o Consideremos la ecuacin con forma estndar: o a M (x)dx + N (y)dy = 0 La solucin se obtiene integrando directamente: o M (x)dx + N (y)dy = C (1)

Denicin 2. Ecuacin en Variables Separables. o o Las siguientes dos ecuaciones, son ecuaciones en variables separables.

M1 (x)N1 (y)dx + M2 (x)N2 (y)dy = 0

(2)

dy = f (x)g(y) dx

(3)

Para determinar la solucin de la Ec.(2), se divide o la ecuacin entre: M2 (x)N1 (y), para reducirla a la o ecuacin en variables separadas: o M1 (x) N2 (y) dx + dy = 0 M2 (x) N1 (y) ahora slo se integra directamente: o M1 (x) dx + M2 (x) N2 (y) dy = C N1 (y)

La solucin de la Ec.(3), se obtiene al dividir entre o g(y) y multiplicar por dx, para reducirla a la ecuacin en variables separadas: o 1 dy = f (x)dx g(y) ahora slo se integra directamente: o 1 dy = g(y) f (x)dx + C

Denicin 3. Ecuacin Lineal. o o La ecuacin lineal tiene la forma general: o a(x)y + b(x)y = g(x) a(x), se llama coeciente principal. La Ec.(4) se tiene que dividir entre a(x) para obtener la forma estndar: a y + P (x)y = Q(x) La Ec.(5) tiene a 1 como coeciente principal y a partir de aqu se obtiene la solucin de la Ec.(4), La solucion es: o y(x) = e Si Q(x) = 0, la solucin es: o y(x) = Ce El termino eP (x)dx P (x)dx P (x)dx

(4)

(5)

e

P (x)dx

Q(x)dx + C

se llama Factor Integrante de la ecuacin. o

Denicin 4. Ecuacin de Bernoulli. o o Tiene la forma: y + P (x)y = Q(x)y n (6)

con n = 0 y n = 1, n puede ser positivo o negativo. Con el cambio de variable z = y n+1 , la ecuacin de Bernoulli se reduce a o la ecuacin lineal: o z + (n + 1)P (x)z = (n + 1)Q(x) al resolver la Ec.(7), se obtiene que la solucion de la Ec.(6) de Bernoulli es: y n+1 = e (n+1)P (x)dx

(7)

(n + 1)

e

(n+1)P (x)dx

Q(x)dx + C

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Sugerencias, comentarios y/o aportaciones al correo: [email protected] 5. Ecuaciones Exactas o en Diferenciales Totales. o Consideramos la ecuacin: o M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 donde se cumple: My = Nx . La solucin se obtiene de calcular: o i) ii) u= M (x, y)dx, iii) iv) v = [N (x, y) uy ]dy La solucin general impl o cita es: u + v = C (8)

calculamos: uy

Denicin 6. Factor Integrante. o Consideremos la ecuacin: o M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 donde My = Nx . Para determinar la solucin de esta ecuacin, se tiene que reducir a una ecuacin exacta; as que o o o debe calcular uno de los dos posibles factores integrantes: (9)

primero se

1) (x) = e

My Nx dx N

2) (y) = eM (x, y)dx + N (x, y)dy = 0

Nx My dy M

segundo se multiplica la Ec.(9) por el factor integrante que exista y se obtiene la ecuacin exacta: o(10)

la solucin de la Ec.(10), que ya se sabe resolver, es la solucin de la Ec.(9). o o Denicin 7. Funcin Homognea. o o e Se dice que una funcin f (x, y) es una funcin homognea de grado n respecto a las variables x e y, si para cualquier valor o o e real se cumple la propiedad: f (x, y) = n f (x, y) donde n R. En particular, cuando n = 0 se tiene una funcin homognea de grado cero, se cumple que: o e f (x, y) = f (x, y) Denicin 8. Ecuaciones Homogneas de Grado Cero. o e Consideremos las ecuaciones: M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 dy = f (x, y) dx (11) (12)

Se dice que la Ec.(11) es homognea de grado cero, si tanto M (x, y) y N (x, y) son funciones homogneas del mismo grado. e e La Ec.(12) ser homognea si f (x, y) es una funcin homognea de grado cero. Las Ecs.(11) y (12) se transforman en ecuaciones a e o e y en variables separadas al utilizar los cambios de variables: u = x y v = x . y y Si N es algebraicamente ms sencilla que M , se elige u = x . a Si M es algebraicamente ms sencilla que N , se elige v = x . a y A) Con el cambio de variable u = y . x La Ec.(11) se reduce a la ecuacin en variables separadas: o dx N (1, u) + du = 0 x M (1, u) + uN (1, u) la cual se integra directamentey x

dx + x

N (1, u) du = C M (1, u) + uN (1, u)

la solucin de la Ec.(11) se obtiene al sustituir nuevamente u por o La Ec.(12) se reduce a la ecuacin en variables separadas: o du dx = f (1, u) u x la cual se integra directamente

en el resultado de la integral.

du = f (1, u) uy x

dx +C x

la solucin de la Ec.(12) se obtiene al sustituir nuevamente u por o


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Sugerencias, comentarios y/o aportaciones al correo: [email protected]) Con el cambio de variable v = x . y La Ec.(11) se reduce a la ecuacin en variables separadas: o dy M (v, 1) + dv = 0 y N (v, 1) + vM (v, 1) la cual se integra directamentex y

dy + y

M (v, 1) dv = C N (v, 1) + vM (v, 1)

la solucin de la Ec.(11) se obtiene al sustituir nuevamente v por o La Ec.(12) se reduce a la ecuacin en variables separadas: o dv1 f (v,1)


v

=

dy y

la cual se integra directamentex y

dv1 f (v,1)

v

=

dy +C y

la solucin de la Ec.(12) se obtiene al sustituir nuevamente v por o I. Wronskiano.y1 y1 W [y1 , y2 , . . . , yn ] = y1 . . . y1(n1)


y2 y2 y2 . . . y2(n1)

. . .

yn yn yn . . . yn(n1)

Rengln de las funciones. o Primera derivada de las funciones. Segunda derivada de las funciones. . . . Derivada de orden n 1 de las funciones.

Si el W [y1 , y2 , . . . , yn ] = 0, entonces, el conjunto de funciones {y1 , y2 , . . . , yn } es linealmente dependiente (LD). Si el W [y1 , y2 , . . . , yn ] = 0, entonces, el conjunto de funciones {y1 , y2 , . . . , yn } es linealmente independiente (LI). (1) Calculo de yh (x). Ecuacin Auxiliar. o Primero. Dada la ecuacin: o an y (n) + an1 y (n1) + + a2 y + a1 y + a0 y = g(x) establecer la ecuacin homognea asociada: o e an y (n) + an1 y (n1) + + a2 y + a1 y + a0 y = 0 (14) (13)

Segundo. Establecer la ecuacin auxiliar : oan mn + an1 mn1 + + a2 m2 + a1 m + a0 = 0 la Ec.(15) es un polinomio de grado n, en la variable m. Al resolver este polinomio se pueden tener: ra reales y diferentes ces ra reales repetidas ces ra conjugadas complejas, y ces ra conjugadas complejas repetidas ces (15)

Por esta razn yh (x) consta de cuatro partes: yh (x) = y1 (x) + y2 (x) + y3 (x) + y4 (x), no necesariamente existen los o cuatro casos !! Caso i. Ra Reales y Diferentes, y1 (x). ces Sean m1 , m2 , m3 , . . . las ra reales y diferentes de (15), entonces, una parte de yh (x) se escribe como: ces y1 (x) = C1 em1 x + C2 em2 x + C3 em3 x + (16)

Caso ii. Ra Reales Repetidas, y2 (x). ces Sean m = m1 = m2 = m3 = m4 las ra reales repetidas de (15), entonces, otra parte de yh (x) se escribe como: ces y2 (x) = C1 emx + C2 xemx + C3 x2 emx + C4 x3 emx + (17)

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Sugerencias, comentarios y/o aportaciones al correo: [email protected] iii. Ra Conjugadas Complejas, y3 (x). ces Sean m1 = 1 1 i, m2 = 2 2 i, m3 = 3 3 i, . . . las ra complejas conjugadas de (15), entonces, otra parte ces de yh (x) se escribe como: y3 (x) = e1 x C1 cos(1 x) + C2 sen(1 x) + e2 x C3 cos(2 x) + C4 sen(2 x) + e3 x C5 cos(3 x) + C6 sen(3 x) + (18) Nota: Obsrvese que se toma el valor positivo de en todos las casos. e Caso iv. Ra Conjugadas Complejas Repetidas, y4 (x). ces Sean m1 = i = m2 = i = m3 = i = las ra conjugadas complejas repetidas de (15), entonces, ces otra parte de yh (x) se escribe como: y4 (x) = ex C1 cos(x) + C2 sen(x) + xex C3 cos(x) + C4 sen(x) + x2 ex C5 cos(x) + C6 sen(x) + (19) Nota: Obsrvese que se toma el valor positivo de en todos las casos. e Conjunto Fundamental de Soluciones (CFS). Sean y1 , y2 , . . . , yn , n soluciones LI de la Ec.(14). Entonces el conjunto {y1 , y2 , . . . , yn } se llama Conjunto Fundamental de Soluciones para la Ec.(14). (2) Calculo de soluciones particulares yp (x) para la Ec.(13).

Primer Mtodo:Coecientes Indeterminados. eLa solucin yp (x) depende de la forma que tiene g(x). Por esta razn se utiliza la siguiente tabla: o osi g(x) es k cte an xn + an1 xn1 + + a2 x2 + a1 x + a0 cos(ax) sen(ax) eax entonces yp (x) se propone como A An xn + An1 xn1 + + A2 x2 + A1 x + A0 A cos(ax) + B sen(ax) A cos(ax) + B sen(ax) Aeax

Si g(x) es una multiplicacin de las anteriores formas, yp (x) se propone como una multiplicacin de las o o respectivas yp (x).

Una vez propuesta yp (x), se debe calcular la solucin general homognea yh (x) y vericar que los trminos de yp (x) no o e e aparezcan en yh (x); pero si alg n trmino de yp (x) aparecen en yh (x), entonces, se deber multiplicar dicho trmino u e a e por x o x2 o x3 . . . o por alguna potencia xn , hasta que dicho trmino de la solucin particular yp (x) no aparezcan e o en la solucin yh (x). Despus yp (x) debe derivarse seg n las derivadas que aparecen en la Ec.(13); ya calculadas las o e u derivadas, se sustituyen en la Ec.(13) para comparar coecientes y determinar sus respectivos valores.

Segundo Mtodo:Variacin de Parmetros. e o aCuando el trmino independiente g(x) no tiene la forma de alguno de los de la tabla de coecientes indeterminados, e es cuando se utiliza variacin de parmetros. o a Se debe determinar el conjunto fundamental de soluciones (CFS) de la ecuacin homognea asociada (14). En general, o e una manera de determinar un CFS para la Ec.(14), es a partir de la solucin general homognea yh (x) = C1 y1 (x) + o e C2 y2 (x) + C3 y3 (x) + + Ck yk (x), el CFS es: {y1 (x), y2 (x), y3 (x), . . . , yk (x)}

Primero.Slo se trabajar con EDO-LOS de segundo y tercer orden. Entonces se deben determinar los conjuntos o afundamentales de soluciones {y1 (x), y2 (x)} o { y1 (x), y2 (x), y3 (x) }, seg n se trate de una EDO de segundo o tercer u orden respectivamente.

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Sugerencias, comentarios y/o aportaciones al correo: [email protected] i. Ecuacin de segundo orden. o La solucin particular tiene la forma: o yp (x) = u1 y1 + u2 y2 donde: u = 1 u = 2 Caso ii. Ecuacin de tercer orden. o La solucin particular tiene la forma: o yp (x) = u1 y1 + u2 y2 + u3 y3 donde: u = 1 u = 2 u 3 g(x)[y2 y3 y3 y2 ] , W [y1 , y2 , y3 ]

g(x)y2 , W [y1 , y2 ] g(x)y1 , W [y1 , y2 ]

u1 = u2 =

g(x)y2 dx W [y1 , y2 ] g(x)y1 dx W [y1 , y2 ]

u1 =

g(x)[y2 y3 y3 y2 ] dx W [y1 , y2 , y3 ] g(x)[y1 y3 + y3 y1 ] dx W [y1 , y2 , y3 ] g(x)[y1 y2 y2 y1 ] dx W [y1 , y2 , y3 ]

g(x)[y1 y3 + y3 y1 ] , W [y1 , y2 , y3 ] g(x)[y1 y2 y2 y1 ] = , W [y1 , y2 , y3 ]

u2 =

u3 =

Finalmente la solucin general de la Ec.(13) se obtiene de sumar yh (x) y las yp (x) obtenidas por coecientes indeterminados o y/o por variacin de parmetros. o a II. Transformada de Laplace L . La transformada de Laplace de una funcin f (t) existe si f (t) es seccionalmente (por tramos) continua en [0, ) y es de o orden exponencial. L {f (t)} = 0

est f (t)dt

una vez calculada la integral, representamos por F (s) a L {f (t)}. Y en general: L {g(t)} = G(s), L {h(t)} = H(s), . . . Propiedades de la Transformada de Laplace. La transformada de Laplace es lineal porque: L {k1 f (t) + k2 g(t)} donde: k, k1 y k2 son constantes. Transformada de una Derivada. L {y } = L {y } = L {y} =

L {kf (t)} = kL {f (t)}

= k1 L {f (t)} + k2 L {g(t)}

Y (s) sY (s) y(0) s2 Y (s) sy(0) y (0)

L {y } = . . . (n) L {y } =

s3 Y (s) s2 y(0) sy (0) y (0) sn Y (s) sn1 y(0) sn2 y (0) sy (n2) (0) y (n1) (0)

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Sugerencias, comentarios y/o aportaciones al correo: [email protected] Primer Teorema de Traslacin o de Desplazamiento: o L {eat f (t)} = F (s a) Primero identicamos el valor de a y se calcula L {f (t)} = F (s). Segundo se calcula F (s) L {eat f (t)} = F (s a). Funcin Escaln Unitario de Heaviside, denotada como U (t a) o H(t a). o o H(t a) = U (t a) = 0, 0 t a; 1, t a.s=sa

, y as se cumple que

Funcin por partes en trminos la funcin escaln unitario. Sea o e o o f1 (t) 0 t a f2 (t) a t < b f (t) = f3 (t) b t < c f4 (t) t c entonces: Segundo Teorema de Traslacin: o

f (t) = f1 (t)U (t) + f2 (t) f1 (t) U (t a) + f3 (t) f2 (t) U (t b) + f4 (t) f3 (t) U (t c) L {f (t)U (t a)} = eas L f (t)

t=t+a

Primero se identica el valor de a y f (t). Segundo, se calcula f (t) que L {f (t)U a} = eas L f (t)t=t+a

t=t+a

. Tercero se calcula L f (t)

t=t+a

. Y as se tiene

III. Transformada Inversa de Laplace L 1 . Sea F (s) la transformada de Laplace de alguna funcin f (t). Entonces, se dice que f (t) es la transformada inversa de o Laplace de F (s), y se denota con L 1 {F (s)} = f (t). La Transformada Inversa de Laplace es Lineal porque: L 1 {kF (s)} = L 1 {k1 F (s) + k2 G(s)} = donde: k, k1 y k2 son constantes. Propiedades de la Transformada Inversa de Laplace. Forma Inversa del Primer Teorema de Traslacin. o L 1 {F (s a)} = eat f (t) Forma Inversa del Segundo Teorema de Traslacin. o L 1 {eas F (s)} = f (t)t=ta

kL 1 {F (s)} k1 L 1 {F (s)} + k2 L 1 {G(s)}

Uat=ta

Primero identicar el valor de a y F (s). Segundo calcular L 1 {F (s)} = f (t). Tercero evaluar f (t) L 1 {eas F (s)} = f (t) t=ta U a.

y as se tiene que

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