Formulario de calculo vectorial

FORMULARIO DE CÁLCULO VECTORIAL

Licenciado: Julio Cesar Barreto García 1 Materia: Matemática III

VECTORES:

Norma de un vector:

uuu nu

22

2

2

1

Vector unitario:

u

u

Producto punto o producto escalar:

n

i

nnii vuvuvuvuvu1

2211

Cosenos directores:

1)(cos)(cos)(cos

;)cos(,)cos(,)cos(

222

321

u

u

u

u

u

u

Angulo entre dos

vectores:

vu

vu )cos(

Componente de v a lo largo de u:

)cos()cos( vu

vu

u

vuvcompu

Producto cruz o producto vectorial:

2222)(

)(

vuvuvu

senvuvu

Área del paralelogramo generado

por u y v: vuA

Área del triángulo

es la mitad del área

del paralelogramo

generado por u y v

Producto cruz o producto vectorial:

)()()( 212131313232

321

321

uvvukuvvujuvvui

vvv

uuu

kji

vu

Triple producto escalar:

321

321

321

)(

www

vvv

uuu

wvu

Volumen del paralelepípedo generado por u, v, w:

)( wvuV

Volumen de la pirámide inscrita es 1/6 del volumen

del paralelepípedo generado por u, v y w.

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO:

Ecuación vectorial de la recta: tvrr 0 : donde v es el

vector dirección, r0=(x0,y0,z0) y t es un escalar.

Ecuaciones simétricas de la recta:

0; 321

3

0

2

0

1

0

vvvconv

zz

v

yy

v

xx

Ecuaciones paramétricas de la recta:

30

20

10

tvzz

tvyy

tvxx

Ecuación vectorial del plano: 0)( 0 rrn donde n es

el vector normal al plano, r0 =(x0,y0,z0) y r =(x,y,z).

Ecuación escalar del plano que pasa por

P0=(x0,y0,z0) y tiene como vector normal a

n =(a,b,c):

0)()()( 000 zzcyybxxa .

Ecuaciones paramétricas del plano:

330

220

110

sutvzz

sutvyy

sutvxx

Distancia de un punto Q a un plano:

222

000)(

cba

dczbyax

n

nPQ

PQcompD n

Distancia de un punto Q a una recta L está dada por: u

uPQ

D

, donde P es un punto cualquiera de la recta.

SUPERFICIES:

Una superficie de revolución tiene la

ecuación:

x2 + y

2 = [r(z)]

2 girando en torno al eje z

y2 + z

2 = [r(x)]

2 girando en torno al eje x

x2 + z

2 = [r(y)]

2 girando en torno al eje y

Superficies cuadráticas:

Ax2 + By

2 + Cz

2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + K = 0

Se clasifican en esferas, elipsoides, hiperboloides de una

hoja, hiperboloides de 2 hojas, cilindro elíptico o circular

recto, cilindro hiperbólico recto, cono recto, paraboloide

elíptico, paraboloide hiperbólico.



DERIVADAS PARCIALES:

Derivadas parciales de orden superior:

xyxyxy

yyyxxx

ffyx

f

yyxf

xyff

xy

f

xyxf

yx

ffyy

f

yyxf

yff

xx

f

xyxf

x

),(;),(

),(;),(

22

2

2

2

2

Gradiente de z=f(x,y) ),(),( yx ffyxf .

Gradiente de w=f(x,y,z) ),,(),,( zyx fffzyxf

Si F(x,y,z)= z – f(x,y)= 0, entonces un vector

normal a la superficie z está dado por: ),,(),,( zyx FFFzyxF

La derivada direccional de una función z=f(x,y), en la

dirección del vector unitario u=(u1,u2) en el punto (x0,y0)

está dada por: )),(),,((),(

),(),(

000021

0000

yxfyxfuu

yxfuyxfD

yx

u

Si la función z=f(x,y), es diferenciable en el

punto (x0,y0) entonces:

dyyxfdxyxfdzz yx ),(),( 0000

La ecuación del plano tangente a la superficie F(x,y,z)=

0 en el punto P=(x0,y0,z0) está dada por:

0,,),,( 000000 zzyyxxzyxF

Si la superficie es z=f(x,y), la ecuación del plano

tangente en el punto P=(x0,y0,z0) es: 0,,)1),,(),,(( 0000000 zzyyxxyxfyxf yx

La ecuación de la recta normal a la superficie

F(x,y,z)= 0 en el punto P=(x0,y0,z0) está dada por:

tzyxFzztzyxFyytzyxFxx zyx ),,(;),,(;),,( 000000000000

Si la superficie es z=f(x,y), la ecuación de la

recta normal en el punto P=(x0,y0,z0) es:

tzztyxfyytyxfxx yx 0000000 ;),(;),(

Para la superficie z=f(x,y), la diferencial total de z es:

dyy

zdx

x

zdz

REGLA DE LA CADENA (1ª. Versión) Si z=f(x,y) en donde x=x(t); y=y(t), entonces:

dt

dy

y

z

dt

dx

x

z

dt

dz

REGLA DE LA CADENA (2ª. Versión)

Si z=f(x,y) en donde x=g1(s,t); y=g2(s,t), entonces:

t

y

y

z

t

x

x

z

t

z

s

y

y

z

s

x

x

z

s

z

;

DERIVACIÓN IMPLÍCITA. Si F(x,y,z)= 0, en

donde z=f(x,y), entonces:

z

F

y

F

F

F

y

z

z

Fx

F

F

F

x

z

z

y

z

x

;

CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARA PUNTOS CRÍTICOS DE FUNCIONES z=f(x,y).

Sea D= fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)- f2xy(x0,y0), donde (x0,y0) es un punto crítico de z=f(x,y), entonces:

1. f(x0,y0) Es un valor máximo relativo de z=f(x,y) si D>0 y fxx(x0,y0)<0

2. f(x0,y0) Es un valor mínimo relativo de z=f(x,y) si D>0 y fxx(x0,y0)>0

3. f(x0,y0) Es un punto silla de z=f(x,y) si D<0 4. EL CRITERIO NO DECIDE SI D=0

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE. Sea z=f(x,y) y h(x,y)=c una función restricción. Para maximizar

(minimizar) a z sujeta a la restricción h, se deberá resolver el sistema: 0;0;0

)),((),(),,(

H

y

H

x

H

cyxhyxfyxHSEA

COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS:

20;0

0,0)(tan2

0)(tan

0,0)(tan

;;;)(;)cos(

),,(

1

1

1

222

r

yxsixy

xsixy

yxsixy

ryxzzrsenyrx

zrSCILINDRICA

0,0)(tan2

0)(tan

0,0)(tan

);/(cos;

0;20,0);cos();()();cos()(

),,(

1

1

1

1222

yxsixy

xsixy

yxsixy

zzyx

zsensenysenx

ESFERICAS



CAMBIO DE VARIABLE:

θdφdρ)dφsen(ρ))φcos(ρ),θ)sen(φsen(ρ),θ)cos(φsen(ρf(z)dxdydzy,f(x,:ESFERICAS

dzθdrdrz)),θrsen(),θf(rcos(z)dxdydzy,f(x,:SCILINDRICA

θdrdr))θrsen(),θf(rcos(y)dxdyf(x,POLARES

2

QS

R Q

R Q

SEA C UNA CURVA (EN EL PLANO O EN EL ESPACIO) DADA POR:

.

)(

)()(

)('

)('')('

)('

)('

)(),(''

''''''

)(

'1

''

)(

)()()()()(

)(

)()()()(

)()()(

)('

)(')(

)('

)(')(

)()()('')(

)(')(

)(')(

:,ˆ)(ˆ)(ˆ)()(

ˆ)(ˆ)()(

2

3

2322

23

2

2

22

2

2

ESPACIOELEN

CURVASAAPLICANSESOLOSVECTORIALEPRODUCTOSCONFORMULASLASQUERECUERDE

tv

tNtaK

tr

trtr

tr

tTK

ESPACIOELENOPLANOELENCURVATURALAPARAFORMULAS

tyytxxPORDADACyx

xyyxK

xfyPORDADAC

y

yK

PLANOELENCURVATURALAPARAFORMULAS

dt

dsK

tv

tatvatatNtaaNACELERACIOLADESCOMPONENTE

dt

sd

tv

tatvtTtaaNACELERACIOLADESCOMPONENTE

tNtTtBBINORMALVECTOR

tT

tTtNUNITARIOPRINCIPALNORMALVECTOR

tr

trtTUNITARIOTANGENTEVECTOR

tNatTatrtaNACELERACIOVECTOR

trdt

dstvRAPIDEZ

trtvVELOCIDADVECTOR

ENTONCESESPACIOELENCURVAktzjtyitxtr

PLANOELENCURVAjtyitxtr

TN

T

NT

R R

yx dAyxfyxfdS

SUPERFICIELADEAREA

22),(),(1

LONGITUD DE ARCO

b

a

b

a

dttztytxdttrs222

)(')(')(')('

INTEGRAL DE LÍNEA DE UN CAMPO VECTORIAL (TRABAJO

REALIZADO)

CC

CC

b

aCC

PdzNdyMdxdrFENTONCESktzjtyitxtr

PORDADAVIENECYkPjNiMzyxFFORMALADEVECTORIALCAMPOUNESFSI

NdyMdxdrFENTONCESjtyitxtr

PORDADAVIENECYjNiMyxFFORMALADEVECTORIALCAMPOUNESFSI

dttrtztytxFTdsFdrF

ˆ)(ˆ)(ˆ)()(

ˆˆˆ),,(

ˆ)(ˆ)()(

ˆˆ),(

)('))(),(),((



INTEGRAL DE LÍNEA

C

b

a

C

b

a

dttztytxtztytxfdszyxf

ktzjtyitxtrPORDADAESTACSI

dtjtytxtytxfdsyxf

jtyitxtrPORDADAESTACSI

222

22

)(')(')('))(),(),((),,(

ˆ)(ˆ)(ˆ)()(

)(')('))(),((),(

ˆ)(ˆ)()(

Sea F(x,y)=Mi + Nj un campo vectorial, F es

CONSERVATIVO si x

N

y

M

SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk un campo vectorial, F es

CONSERVATIVO si el ROTOR (O ROTACIONAL) es

nulo, es decir:

0ˆˆˆ

ˆˆˆ

)(

y

M

x

Nk

z

M

x

Pj

z

N

y

Pi

PNMzyx

kji

Frot

Sea F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk un campo

vectorial. las siguientes conclusiones son

equivalentes:

C

C

CERRADACCURVATODAPARAdrF

CAMINODELNTEINDEPENDIEESdrF

fALGUNAPARAfFESESTOVOCONSERVATIESF

0.3

.2

..1

ÁREA DE UNA SUPERFICIE

PARAMETRICA.

kv

zj

v

yi

v

xrk

u

zj

u

yi

u

xrDONDE

dArrdSSUPERFICELADEAREA

vu

S D

vu

ˆˆˆ,ˆˆˆ:

Sea F(x,y)= Mi + Nj un campo vectorial, si F es

CONSERVATIVO, entonces

))(),(())(),(( ayaxfbybxfdrfdrFCC

donde

F(x,y) es una función potencial de F, es decir:

),(),( yxfyxF

Sea F(x,y)= Mi + Nj un campo vectorial, la

DIVERGENCIA de F es y

N

x

MyxdivF

),(

Sea F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk un campo vectorial, la

DIVERGENCIA de F es z

P

y

N

x

MzyxdivF

),,(

TEOREMA DE GREEN

(O DE GREEN-RIEMAN)

Relaciona una integral doble

extendida a un dominio del plano

con una integral curvilínea sobre

la curva cerrada frontera de ese

dominio.

RC

RRC

RC

dAFdivdsNF

dAkFrotdAy

M

x

NdrF

dAy

M

x

NNdyMdx

)(

ˆ)(

TEOREMA DE LA

DIVERGENCIA (DE GAUSS-

OSTROGRADSKI).

Relaciona una integral triple

sobre una región sólida Q, con

una integral de superficie sobre la

superficie de Q

QS

dVFdivdSNF )(

INTEGRALES DE SUPERFICIE

R

vu

S

S D

R

yx

S

S R

yx

yx

vectorialFormadArrFdSNF

escalarFormadSvuzvuyvuxfdSzyxf

aparamétricForma

arribahacianormalvectorialFormadAkjyxgiyxgFdSNF

escalarFormadAyxgyxgyxgyxfdSzyxf

dAyxgyxgds

yxgz

)),(),,(),,((),,(

)(ˆˆ),(ˆ),(

),(),(1)),(,,(),,(

),(),(1

),(

22

22

TEOREMA DE STOKES (O DEL ROTOR).Establece la relación

entre la integral de superficie sobre una superficie orientada S y la

integral de línea sobre una curva espacial cerrada que constituye el

borde de S. SC

dSNFrotdrF ))((

GRADIENTE

nx

xf

x

xfxfgrad 0

1

00 ,,

LAPLACIANO:

2

2

2

1

2

nx

f

x

ff

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