Tercer Congreso Argentino de Ingeniería Mecánica

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APORTES DEL ANALISIS MATEMÁTICO II A LA MODELIZACION Y ESTUDIO DEL MOVIMIENTO DE BRAZOS ROBÓTICOS

Riccomi, Humberto1, Pacini, Carina 2, Sacco, Lucía3, Desperés, Juan Pablo4

1-2-3-4

Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional San Nicolás Colón 332 – (2900) San Nicolás – Pcia de Buenos Aires.

Info@frsn.utn.edu.ar

1hriccomi@peeirr.com.ar ,

2carinapacini@yahoo.com.ar,

3lcsacco@gmail.com,

4juan.desperes@gmail.com

RESUMEN

La cátedra de Análisis Matemático II de la Facultad Regional San Nicolás, dependiente de la Universidad Tecnológica Nacional, implementa estrategias de enseñanza con el propósito de mejorar el proceso de aprendizaje de los alumnos. Una de ellas consiste en plantear el desarrollo de cada contenido a partir de la resolución de problemas específicos de ingeniería. Se cree firmemente en el reposicionamiento que debe tener la especialidad mecánica dentro de las Ingenierías, para lo cual, desde nuestra visión, debe ésta vincularse a la automatización, lo que implica un mayor bagaje de conocimientos matemáticos. Los movimientos que presentan las distintas máquinas que se encuentran en una fábrica, nos abren distintas posibilidades para el abordaje de la modelización matemática y el correspondiente tratamiento teórico. Nos hemos propuesto, como docentes, brindarle al alumno de ingeniería mecánica las herramientas necesarias que aporta el Análisis Matemático II para que pueda desarrollar nuevos campos de aplicación del conocimiento, como por ejemplo, en la mecatrónica. Por tal motivo, en este trabajo, a modo de ejemplo, se presenta la modelización y el estudio de los movimientos de un brazo robótico de tres grados de libertad, a través de la utilización de las fórmulas de Frenet [1] y [2]. Se considera que la herramienta matemática para el abordaje del tema aporta una mirada diferente ya que, generalmente, se utilizan los conceptos de rototraslación complementados con un análisis matricial [3]. Para realizar esta propuesta de enseñanza, se ha confeccionado material didáctico con representaciones y cálculos realizados con varios software. Esta estrategia de trabajo permite iniciar a los alumnos en la investigación de temas de su especialidad, teniendo en cuenta tópicos de otras disciplinas, vinculadas horizontal y verticalmente, que aportan a los mismos, como Ingeniería Mecánica II y Mecánica Racional.

Palabras Claves: Investigación. Resolución de Problemas. Modelización. Curvas en el espacio.

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1. INTRODUCCIÓN

1.1. La resolución de problemas Las funciones más habituales de los ingenieros son el desarrollo, el diseño, la producción, la evaluación y el control. Cada una de estas funciones requiere de procesos de identificación, búsqueda de alternativas, establecimiento de criterios, análisis y resolución de problemas, entre otras competencias. Referirnos a competencias, en particular a las profesionales, es hablar del conjunto de aptitudes que permiten al ingeniero resolver problemas de distinta complejidad, de manera flexible y autónoma, permitiendo la transferencia del conocimiento adquirido en situaciones nuevas [4]. Se cree firmemente en el reposicionamiento que debe tener la especialidad mecánica dentro de las ingenierías, para lo cual, desde nuestra visión, debe ésta vincularse a la automatización, lo que implica un mayor bagaje de conocimientos matemáticos y una formación en la investigación, siendo éste uno de los requerimientos de la CONEAU para la formación del ingeniero [5]. Cuando se hace referencia a formación en investigación, se centra la atención en investigación como proceso organizado y objetivo, cuyo propósito es responder a un interrogante. Es una actividad sistemática dirigida a obtener nuevos conocimientos que se necesitan para ampliar los diversos campos de la ciencia y la tecnología, mediante observación y experimentación. Se puede definir, también, como la acción y el efecto de realizar actividades intelectuales de modo sistemático, con el propósito de aumentar los conocimientos sobre una determinada materia, en este caso de Análisis Matemático. En el ciclo básico de Ingeniería, el Análisis Matemático cumple funciones fundamentales en dos aspectos. Por un lado, un aspecto cognitivo porque promueve el aprendizaje de conocimientos básicos necesarios para la formación del estudiante y por otro, un aspecto formativo porque genera el desarrollo de actitudes y capacidades para su futuro desempeño profesional. La cátedra de Análisis Matemático II, de la Facultad Regional San Nicolás dependiente de la Universidad Tecnológica Nacional, ha iniciado, desde el año 2007, un proceso de implementación de distintas estrategias didácticas con el propósito de mejorar la enseñanza y el aprendizaje de esta asignatura, y así potenciar las actitudes y capacidades esperadas en el estudiante de ingeniería. Entre dichas estrategias, se pueden mencionar: - el diseño e implementación de material didáctico impreso propio que integra teoría y práctica,

utilizado como instrumento para el desarrollo de las clases, que incluye problemas como disparadores de los contenidos a ser abordados en cada unidad didáctica;

- la utilización de la plataforma Moodle como recurso tecnológico para la visualización e interpretación de recintos en R

2 y R

3,

- la reformulación de problemas extraídos de bibliografía específica y - la formulación de problemas propios, que permitan el desarrollo de los conceptos con su

correspondiente adecuación a la especialidad Mecánica y al año en que se desarrolla la materia.

Con respecto a estas dos últimas estrategias, se considera que la propuesta y resolución de problemas constituye una línea de investigación y de desarrollo didáctico cuyas implicancias en el aprendizaje de cualquier disciplina son relevantes. Para resolver problemas se requiere conocimientos de Matemática, Física, Química y ciencias específicas de la Ingeniería, y saber cómo éstos deben ser usados para reducir el problema real, a uno de forma tal que el conocimiento científico pueda ser utilizado para solucionarlo. Para este proceso es necesario que el alumno adquiera la habilidad de modelizar. La modelización matemática supone reconocer las relaciones más notables sobre las que se va a operar, los símbolos que se van a utilizar para representarlas, los elementos en los que es posible afirmarse para aceptar la eficacia del modelo que se está utilizando, las propiedades que permiten justificar los procedimientos utilizados y la reinterpretación de los resultados obtenidos en el problema planteado [6]. Este trabajo, a modo de ejemplo, presenta la modelización y el estudio de los movimientos de un brazo robótico de tres grados de libertad, a través de la utilización de las fórmulas que son trabajadas en la materia. Además, se considera que la herramienta matemática, para el abordaje del tema, aporta una mirada diferente para la resolución del problema.

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1.2. Objetivos y propósitos Se plantean los siguientes objetivos:

Mostrar los resultados de la primera etapa de investigación llevada a cabo durante el presente año, por alumnos y docentes de la cátedra, en torno a un problema específico de mecánica, utilizando contenidos desarrollados en la asignatura.

Desarrollar una propuesta de trabajo que permita a los futuros ingenieros: - el desarrollo de competencias específicas (precisión y claridad en el lenguaje,

creatividad, análisis e interpretación de problemas reales, modelización) y transversales (autonomía en el aprendizaje y habilidades cognitivas) [7].

- la iniciación en proyectos de investigación de temas de su especialidad, teniendo en cuenta tópicos de otras disciplinas, vinculadas horizontal y verticalmente, que aportan a los mismos, como Ingeniería Mecánica II y Mecánica Racional, entre otras.

Desde el punto de vista de los docentes, la formulación de este problema, y el análisis de la factibilidad de resolución con el aporte de AMII, tiene el propósito, por un lado, de incluir propuestas interesantes en la cátedra que lleve a los alumnos a investigar un tema a fin a su especialidad, y por otro lado, la formación de alumnos investigadores que puedan luego sumarse a grupos de investigación de la Facultad Regional San Nicolás. 2. ESTUDIO DEL PROBLEMA El problema al que se refiere este trabajo, surge como uno de los problemas propios, formulado y propuesto en la cátedra, para iniciar a los alumnos en la investigación. El enunciado se presenta durante el desarrollo de la Unidad Didáctica Nº6 “Límite, continuidad y derivada direccional de funciones de R

n en R

m” de la planificación de Análisis Matemático II.

Para su resolución se utilizan conceptos desarrollados en la asignatura, como son curvas en el espacio, versores y Triedro de Frenet. La implementación en el aula, ha permitido abrir otras líneas de investigación sumamente interesantes, más allá de lo planteado en un principio por la cátedra. Es así que, a partir de los resultados obtenidos, por alumnos y docentes, se inicia otra etapa de investigación, también en forma conjunta, en la que se compara y analiza la solución obtenida, con la explicitada en bibliografía específica. Para la interpretación, estudio y resolución del problema se utilizan dos software como recursos tecnológicos. Por un lado, Maxima como sistema computacional de cálculo simbólico, el cual permite la manipulación de expresiones algebraicas complejas y la realización de las operaciones de cálculo. Y por otro, Autocad, con el cual se diseña el brazo del robot y se construyen figuras para el análisis de su geometría. A continuación se presenta, en primer lugar su resolución utilizando el marco teórico de curvas en el espacio definido en la asignatura, y en segundo lugar, la comparación del resultado obtenido con otros dos caminos de resolución hasta el presente realizados, uno utilizando conceptos de trigonometría y otro, a través del uso de conceptos de rototraslación. 2.1. Enunciado: Dado el siguiente brazo robótico (Figura 1), encontrar las ecuaciones que describen el movimiento del punto P con respecto al origen de coordenadas O del sistema básico de referencia (versores i, j y k). Sugerencias para la resolución del problema:

a) Escriba las ecuaciones del movimiento del punto 1O (origen de coordenadas del sistema

de versores ortonormales 1T , 1N y 1B ) en función de R (constante), h (constante) y 1

(variable).

b) Calcular 1T , 1N y 1B

c) Escriba las ecuaciones del movimiento del punto 2O (origen de coordenadas del sistema

de versores ortonormales 2T , 2N y 2B ) en función de 1R (constante) y 2 (variable),

utilizando como sistema de referencia a los versores 1T , 1N y 1B

d) Calcular 2T , 2N y 2B

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e) Escriba las ecuaciones del movimiento del punto P en función de 2R (constante) y 3

(variable), utilizando como sistema de referencia a los versores 2T , 2N y 2B

f) Resolver lo pedido en el enunciado.

Figura 1: Brazo robótico de tres grados de libertad

2.2. Descripción del brazo robótico “Un robot es cualquier estructura mecánica que opera con un cierto grado de autonomía, bajo el control de un computador, para la realización de una tarea, y que dispone de un sistema sensorial más o menos evolucionado para obtener información de su entorno” [8]. El estudio del problema, a partir de elementos de la robótica, lleva a investigar conceptos referidos a la cinemática del mismo, la cual estudia el movimiento del brazo con respecto a un sistema de referencia, conociendo el número de articulaciones y los parámetros geométricos que lo describen [9, 10]. El brazo del robot en estudio, mecánicamente está formado por tres elementos o eslabones unidos mediante articulaciones que permiten un movimiento entre cada dos eslabones consecutivos. El movimiento posible para las articulaciones es el de giro (articulaciones de rotación o de revolución). Cada uno de los movimientos independientes que puede realizar cada articulación, con respecto a la anterior, se denomina grados de libertad. El problema más básico a resolver es obtener un modelo de la estructura mecánica que permita relacionar los tres grados de libertad con las coordenadas de todos y cada uno de los puntos que constituyen el robot. Este trabajo se posiciona en utilizar herramientas matemáticas básicas de Análisis Matemático II, diferentes a las que se utilizan en robótica para resolver este tipo de problemas, las cuales permiten describir el movimiento del punto P con respecto al origen de coordenadas O del sistema básico de referencia (versores i, j y k). Se adopto para el estudio, dentro de la gran variedad de robots que existen para las distintas aplicaciones, un robot Puma 560, acotando el problema a 3 grados de libertad e introduciendo algunas modificaciones respecto a la separación de los elementos en movimiento. 2.3. Resolución del problema desde Análisis Matemático II 2.3.1 Aportes de Análisis Matemático II A continuación se presenta brevemente, los conceptos de curvas en el espacio utilizados en la resolución del problema. Los mismos se incluyen en una propuesta de trabajo en clase, que integra teoría y práctica.

Curva paramétrica: la terna ))(),(,,( rItrbaC donde ba, intervalo paramétrico (dominio),

ktzjtyitxtr

)()()()( parametrización de la curva e )(rI soporte (conjunto imagen).

Curva regular: curva dada por )(tr en un intervalo I se llama suave o regular si )(' tr es

continua en I y 0)(' tr . En ese caso, sus puntos son regulares. Un arco de curva es

seccionalmente regular si no es regular a lo sumo en un número finito de puntos.

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Versor Tangente a una curva:

Se define el Versor Tangente a la curva en 0r , a )('

)(')(

0

00

tr

trtT

Versor Normal a una curva:

Se define el Versor Normal a la curva en 0r , a )´(

)´()(

0

0

0

tT

tTtN

Versor Binormal a una curva:

Se define el Vector Binormal a la curva en 0r , a )()()( 000 tNtTtB

Triedro de Frenet: los tres versores T , N y B forman el llamado triedro principal o triedro de

Frenet.

Los planos que determinan son el plano osculador, formado por T y N , el plano normal formado

por N y B y el plano rectificante formado por T y B .

Cada uno de los versores determina una recta, la cual lleva el mismo nombre del versor que la direcciona. 2.3.2 Propuesta de resolución con curvas en el espacio Para la resolución del problema se propone, como bien lo indica el enunciado, el estudio del

movimiento de tres puntos 1O , 2O y P , definiendo variables y constantes con las cuales se

trabaja (Figura 2):

Figura 2: Sistemas de coordenadas en los puntos O, O1, O2 y P

- Movimiento del punto 1O (origen de coordenadas del sistema de versores ortonormales

1T , 1N y 1B ), la variable generalizada 1 (ángulo de giro con respecto al versor i

) y

R (longitud del eslabón) y h (altura) constantes.

- Movimiento del punto 2O (origen de coordenadas del sistema de versores ortonormales

2T , 2N y 2B ), la variable generalizada 2 (ángulo de giro con respecto al versor 1T ) y

1R (longitud del eslabón) constante.

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- Movimiento del punto P (efecto final del movimiento del brazo robótico), la variable

generalizada 3 (ángulo de giro con respecto al versor 2N ) y 2R (longitud del

eslabón) constante. Una vez definidas las variables del problema se inicia la resolución de los ítems a) a e), utilizando lápiz y papel, como también, los software seleccionados.

A continuación se muestran las ecuaciones de movimiento de los puntos 1O , 2O y P, utilizando

únicamente los conceptos de Análisis Matemático II antes mencionados y el software Maxima.

Movimiento del punto 1O :

Este punto gira un ángulo 1 , a una altura h y a una distancia R, alrededor del eje z, como

muestra la Figura 3.

Figura 3 Movimiento de O1

Las ecuaciones de movimiento del punto 1O , con respecto al origen de coordenadas O, sistema

básico de referencia (versores i, j y k), son sencillas de obtener pudiendo expresarlas a través de la parametrización, según ecuación (1):

khjsenRiRr

111 cos (1)

A partir de ella se obtienen los valores de los tres versores ortonormales 1T , 1N y 1B , según

ecuaciones (2, 3 y 4), que permiten obtener la ecuación de movimiento del punto 2O con respecto

al sistema determinado por dichos versores:

jisenT

111 cos (2)

jseniN

111 cos (3)

kB

1 (4)

Movimiento del punto 2O :

Este punto gira un ángulo 2 , a distancia R1 de 1O , como muestra la Figura 4, vista desde la

dirección de 1N .

x

y

z

O

O1 R

h

i

j

k

1

)( 11 r

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Figura 4 Movimiento de O2

La ecuación (5) describe el movimiento de 2O con respecto al origen de coordenadas del sistema

de versores ortonormales 1T , 1N y 1B :

1211212 cos BsenRTRr

(5)

Reemplazando 1T y 1B en (5), resulta:

ksenRjRisenRr

211211212 cos.cos.cos (6)

De igual forma, a partir de la ecuación (5) se obtiene:

12122 cos BTsenT (7)

12122 cos BsenTN (8)

12 NB (9)

Movimiento del punto P:

Este punto gira un ángulo 3 , a distancia R2 de 2O , como muestra la Figura 5, vista desde la

dirección de 2B .

Figura 5 Movimiento de P

La ecuación (10) describe el movimiento de P con respecto al origen 2O :

2322323 cos TsenRNRr (10)

Si reemplazamos (2), (4), (7) y (8) en (10), resulta:

ksenRjRisenRr

)()(cos.cos).cos(. 322321232123 (11)

Por último, las ecuaciones que describen el movimiento del punto P (efecto final del movimiento del brazo robótico), con respecto al origen de coordenadas O del sistema básico de referencia (versores i, j y k), se realiza la suma vectorial de las ecuaciones (1), (6) y (11), obteniendo la ecuación (12):

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ksenRsenRh

jRRsenR

isenRsenRRr

])([

])(cos.coscos.cos[

])(cos..coscos[

32221

32121211

32121211

(12)

Con dicha expresión queda resuelto el problema, utilizando los aportes de Análisis Matemático II. 2.4 Resolución del problema de otras formas El objetivo de esta parte del trabajo, es mostrar, a los alumnos, que en su vida profesional el ingeniero puede encontrarse con problemas que no tienen una única forma de resolución, más aún, que se pueden presentar distintas alternativas de solución. Por otra parte, no existirá la figura del profesor para corregir lo que está mal sino que tendrán que ser sus propios evaluadores. Por ello se busca comparar este resultado con otras alternativas de resolución. 2.4.1 Resultados obtenidos utilizando elementos de trigonometría Observando la Figura 2 y representando una vista superior, desde el eje z, se obtiene la Figura 6.

De ella puede observarse que la componente en la dirección del versor i

, al aplicar relaciones

trigonométricas elementales, se obtiene la ecuación (13):

)(cos..coscos 32121211 senRsenRR (13)

De igual forma, la componente en la dirección del versor j

resulta la ecuación (14):

)(cos.coscos.cos 32121211 RRsenR (14)

Ambas ecuaciones (13) y (14) coinciden con las componentes indicadas en la expresión (12).

Figura 6 Vista superior del dispositivo

Para la verificación de la componente según el versor k

, basta mirar la Figura 2, para ver que se

puede escribir como la ecuación (15):

)( 32221 senRsenRh (15)

Con lo que comprobamos el resultado obtenido empleando curvas en el espacio por otro método.

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2.4.2 Resultados obtenidos utilizando el algoritmo de Denavit - Hartenberg Otro enfoque para resolver este problema, sería la utilización del algoritmo de Denavit y Hartenberg, quienes propusieron un método matricial para describir y representar la geometría espacial de los elementos de una cadena cinemática, y en particular de un robot, con respecto a un sistema de referencia fijo [8 -10]. La representación de Denavit-Hartenberg (D-H) establece que es necesario seleccionar adecuadamente los sistemas de coordenadas asociados a cada articulación para pasar de uno al siguiente. En nuestro caso ello se realizaría mediante 4 transformaciones básicas que dependen de las características geométricas de la articulación.

Estas transformaciones que permiten relacionar el sistema de referencia del elemento i con

respecto al sistema del elemento 1i son una rotación alrededor del eje 1iz un ángulo i , una

traslación a lo largo de 1iz una distancia id , una traslación a lo largo de ix una distancia ia y

rotación alrededor del eje ix un ángulo i .

Resultando la ecuación (16) como la matriz D-H de transformación homogénea para cada articulación:

),()0,0,(),0,0(),(1 iiii

i

i xTaTdTzTA (16)

Por último, la ecuación (17) corresponde a la matriz de transformación que relaciona el sistema coordenado de la base con el sistema coordenado del extremo del robot:

n

i

i

i

n AAT1

10 (17)

Para la aplicación de este algoritmo, se plantea la Figura 7 para la obtención de los parámetros D-H, de acuerdo a los pasos propuestos para la obtención de las distintas matrices que relaciona los distintos puntos de articulación.

Figura 7 Posición de ejes en cada enlace

Por tratarse de un algoritmo se propuso, en un primer momento, verificar el movimiento del punto

2O , para ello se construyo la Tabla 1 que muestra los parámetros D-H:

Tabla 1 Parámetros de Denavit y Hartenberg del brazo en O1 y en O2

Articulación/ parámetro

1 2

i º90 º0

ia R 1R

i 1 2

id h 0

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Con estos parámetros se construyen las matrices de transformación homogéneas para las articulaciones 1 y 2, obteniendo la matriz (18) de transformación que relaciona el sistema

coordenado de la base con el sistema coordenado ubicado en 2O

1000

sin0cossin

sincossincossinsincossin

coscoscossinsincoscoscos

1222

112112121

112112121

2

0hR

RR

RR

AT

(18)

Donde los tres elementos 14a , 24a y 34a de la matriz obtenida deberían darnos el valor de la

posición de 2O con respecto a O . Se observa que este no coincide con los cálculos obtenidos

anteriormente, lo que hace suponer que existen diferencias en los valores de los giros considerados en cada articulación. Esta cuestión, resulta un motivo de futuras investigaciones. 3. PROPUESTA DE TRABAJO En el ámbito de la enseñanza es muy frecuente la resolución de ejercicios repetitivos, que si bien su resolución es importante en el aspecto formativo para consolidar habilidades instrumentales básicas, no debe confundirse esto con la resolución de problemas, que implica el uso de estrategias, la toma de decisiones sobre el proceso de solución que debe seguirse, etc. Es posible interpretar que la realización de ejercicios se basa en el uso de destrezas o técnicas aprendidas, es decir, convertidas en rutinas automatizadas como consecuencia de una práctica continuada. Lo grave es que la enseñanza quede sólo en la resolución de estos ejercicios y que la evaluación también. La cátedra de Análisis Matemático II considera que una propuesta de trabajo en torno a problemas, como el que se presenta en este trabajo, permite a los estudiantes, futuros ingenieros, el desarrollo de competencias específicas en cuanto a la resolución de problemas, tarea concreta de su rol profesional. Se considera que una de las formas más completas para promover en los alumnos esta capacidad es el Trabajo por Proyectos

1.

Esta es una metodología de fundamental importancia porque el alumno aprende haciendo, se involucra y se compromete. Cuando se habla de proyecto se hace referencia a la sistematización de actividades y recursos que deben realizarse a fin de producir ya sea bienes o servicios, capaces de satisfacer necesidades o bien de resolver problemas [11]. El trabajar con proyectos puede cambiar las relaciones entre los docentes y los estudiantes, reducir la competencia entre los alumnos y promover el trabajo colaborativo entre ellos. Además, los proyectos pueden cambiar el enfoque del aprendizaje ya que los puede llevar de la simple memorización de hechos a la exploración de ideas. Una propuesta de este tipo permite el desarrollo de las siguientes competencias en los alumnos:

Desde el punto de vista de la ingeniería: - adquirir la habilidad para analizar una situación problemática real, modelizarla y hallar

posibles soluciones, - estimular el hábito de utilización de todas las fuentes de información y el análisis

comparativo de sus contenidos, a fin de forjar en él un espíritu crítico, una manera de pensar independiente y desarrollar su capacidad de análisis e impulsar su creatividad.

- generar la capacidad de actuar en forma interdisciplinaria, para la ejecución de tareas, imprescindible en la actividad profesional de hoy.

Desde el punto de vista de la comunicación oral: - el uso adecuado del léxico profesional.

1 Riccomi – Schivo – Pacini – Sacco (2009): “Trabajo por proyectos en Análisis Matemático II” presentado en el “III

Congreso Internacional de Educación: Construcciones y perspectivas. Miradas desde y hacia América Latina”.

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Desde el punto de vista de la comunicación escrita: - adquirir la competencia de elaborar un informe adecuado a las necesidades de la

oportunidad. Existen algunas características que facilitan el manejo del método de proyectos [12]:

1. Un planteamiento que se basa en un problema real y que involucra distintas áreas. 2. Oportunidades para que los estudiantes realicen investigaciones que les permitan

aprender nuevos conceptos, aplicar la información y representar su conocimiento de diversas formas.

3. Colaboración entre los estudiantes, docentes y otras personas involucradas con el fin de que el conocimiento sea compartido y distribuido entre los miembros de la “comunidad de aprendizaje”.

4. El uso de herramientas cognitivas y ambientes de aprendizaje que motiven al estudiante a representar sus ideas. Estas herramientas pueden ser: laboratorios computacionales, hipermedios, aplicaciones gráficas y telecomunicaciones.

Es importante destacar que los pasos de este método coinciden con las etapas del trabajo profesional del ingeniero, planteo del problema, justificación del proyecto que se llevará a cabo y conceptos esenciales que lo sustentan, formulación de hipótesis de trabajo, experimentación, desarrollo de partes y condiciones para la ejecución. 3.1 Organización de la propuesta De acuerdo a la cantidad de alumnos interesados en la propuesta, y también a la cantidad de problemas básicos posibles, se divide el curso en equipos de investigación y trabajo, de no más de tres integrantes cada uno.

- Se propone a cada equipo un problema básico.

- Se establece un cronograma de actividades, de consultas y presentación de “avances” del proyecto, que no es absolutamente rígido sino que se flexibiliza en función de la diversidad que presentan los diferentes equipos de estudiantes.

Actividades del docente/s: La función de los docentes de la cátedra es inducir a los alumnos a definir y resolver los problemas que se le van presentando, y guiarlos hacia las posibles fuentes de información. Además, evaluar en forma continua las propuestas de los grupos de trabajo. Actividades de los alumnos: La tarea de los alumnos es la confección del Proyecto, que comprende una serie de pasos detallados, donde ellos asumen el rol de un profesional y defensa del mismo ante el tribunal evaluador. Material didáctico: Como material didáctico cuentan con amplia bibliografía sugerida desde la cátedra, que actúa como guía para el desarrollo de las tareas. 3.2 Evaluación de la propuesta La evaluación de los avances de la investigación, iniciada en torno al estudio del movimiento del brazo de un robot, utilizando la metodología de trabajo por proyectos en la cátedra de Análisis Matemático II, asume las siguientes características:

- Cualitativa, puesto que el objeto de estudio, el estudio del problema a través de la implementación del método de proyectos, ha sido tenido en cuenta desde el punto de vista de su diseño.

- Exploratoria, en tanto se pretende recoger y analizar información que sirva para diseñar y orientar futuras propuestas de investigación en torno a problemas específicos.

- Descriptiva, generando informes narrativos y material didáctico a partir de la investigación de campo realizada.

Se considera que la propuesta ha producido gran motivación y resulta un disparador para que los alumnos comiencen a investigar. 3.3 Continuidad de la propuesta Se resalta que el inicio de esta propuesta de trabajo en la cátedra ha comenzado el presente año y los resultados presentados son los que hasta el momento se han obtenido. Durante el segundo cuatrimestre se considera realizar un segundo relevamiento de nuevos avances.

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El interés y entusiasmo que ha producido el estudio de este problema, ya sea por parte de los alumnos como de los miembros de la cátedra, ha llevado a éstos últimos, pensar en futuras investigaciones y en el planteo de nuevos brazos robóticos. 4. CONCLUSIONES Es posible analizar el valor agregado de este tipo de trabajo en una asignatura como es Análisis Matemático II de segundo año del ciclo básico, y descubrir, implícitamente, su implicancia en la Ingeniería. Por un lado, al incentivar a los alumnos a llevar a cabo trabajos de investigación respecto a temas de interés para su formación profesional, lo que lleve a adquirir la habilidad para tomar decisiones acertadas en el momento oportuno, con una postura de reflexión permanente ante cambios posibles de la realidad que lo rodea, a transferir conocimiento a situaciones nuevas y a construir una postura que integre los aspectos cognitivos, las habilidades y el pensamiento crítico necesario para investigar la realidad. Por otro lado a los docentes, reflexionar en cuanto al proceso educativo, a las estrategia de enseñanza y actividades de aprendizaje, las cuales estén direccionadas a desarrollar competencias profesionales y lograr un conjunto de aptitudes que permitan, a cada uno de los estudiantes, resolver situaciones problemáticas de interés a la especialidad, en diversos contextos, de manera independiente y flexible. 5. REFERENCIAS [1] Stewart, J. (2006). “Cálculo – Conceptos y contextos”. Tercera edición. Editorial Thomson.

Capítulo 10. México. [2] Muller San Cruz, H. C. (2002). “Análisis vectorial y Tensorial”. Departamento de

Matemáticas, UMSS. Texto guía para las materias de Análisis de Vectorial y Tensorial de

la UMSS. Primera edición. Bolivia.

[3] Barrientos, A. (2008). “Fundamentos de Robótica”. México. Mc Graw Hill.

[4] Programa de Mejoramiento de la Enseñanza de la Ingeniería (2007). PROMEI. Documentos

de trabajo.

[5] Resolución ME 1232/01ANEXO IV. CONEAU. [6] Chevallard, Y, Gascón, J. y Bosch, M. (1997). “Estudiar Matemática”. Barcelona: Horsori. [7] Pacini, C., Riccomi, H., Sacco, L., Schivo, M. E. (2008). “Acortando distancias entre la

Matemática y la Ingeniería. Una propuesta didáctica diferente”. VI CAEDI. “Formando al Ingeniero del Siglo XXI”.

[8] Acosta Sanchez, Sigut Saavedra. (2005). Curso Interuniversitario “Sociedad, Ciencia, Tecnología y Matemáticas”. Universidad de La Laguna. España.

[9] Ottaviano E., Husty M., Ceccarelli M. (2004). A Cartesian Representation for the BoundaryWorkspace of 3R Manipulators, On Advances in Robot Kinematics, Sestri Levante, Kluwer, Dordrecht, pp. 247-254, 2004.

[10] Ollero Baturone, A. (2001). Robótica: Manipuladores y robots móviles. Marcombo. España. [11] UTN Rectorado – Secretaría Académica, Mayo 1997. Materias Integradoras. Observaciones

y recomendaciones para 1997. [12] Blumenfeld, P. C., Soloway, E., Marx, R. W., Krajcik, J. S., Guzdial, M., & Palincsar, A.

(1991). Motivating project-based learning: Sustaining the doing, supporting the learning. Educational Psychologist, 26 (3 & 4).

Agradecimientos Los autores de este trabajo desean agradecer al profesor Jorge Mansur por su constante apoyo y confianza y por las enseñanzas brindadas a los miembros de la cátedra de Análisis Matemático II de la Facultad Regional San Nicolás.