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Algebra Lineal

Formas cuadraticas

Jose Antonio Abia Vian

Dpto. de Matematica Aplicada a la Tecnica.

E.U.P. — Universidad de Valladolid

Septiembre de 1997

Capıtulo 1

Formas cuadraticas.

Aunque, pueda parecernos que vamos a estudiar un nuevo concepto, un caso particularde las formas cudraticas ya ha sido estudiado, pues la norma de un vector no es mas queuna forma cuadratica. Aquı, las veremos de forma general.

Definicion 1.- Sea V un espacio vectorial real de dimension finita n, y sea B una baseV . Se denomina forma cuadratica sobre V a toda “funcion polinomica” Q: V −→ IRde la forma

Q(x) =n∑

i,j=1

aijxixj

donde [x]B =

x1...

xn

y aij ∈ IR. Es decir, una forma cuadratica es un polinomio ho-

mogeneo de segundo grado y n variables.

Expresion matricial.

Toda forma cuadratica Q sobre V , se puede expresar matricialmente como:

Q(x) =n∑

i,j=1

aijxixj =(

x1 x2 · · · xn

)

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...an1 an2 · · · ann

x1

x2...

xn

.

De hecho, tenemos el siguiente resultado

Teorema 2.- Toda forma cuadratica Q sobre V , se puede expresar matricialmente como

Q(x) = [x]tBA[x]B

donde A es una matriz simetrica.

Demostracion:

Si en la expresion de la forma cuadratica, Q(x) =n∑

i,j=1

aijxixj, consideramos los pares

de sumandos de la forma aijxixj y ajixjxi, se tiene que

aijxixj + ajixjxi = (aij + aji)xixj =aij + aji

2xixj +

aij + aji

2xjxi

Algebra Lineal. 1

1.1 Diagonalizacion de una forma cuadratica. ma t

Por lo que la expresion matricial de Q, es tambien

Q(x) =(

x1 x2 · · · xn

)

a11a12+a21

2· · · a1n+an1

2a12+a21

2a22 · · · a2n+an2

2...

.... . .

...a1n+an1

2a2n+an2

2· · · ann

x1

x2...

xn

= [x]tBA[x]B,

siendo A una matriz simetrica.

La matriz simetrica A, se denomina matriz asociada a la forma cuadratica Q en labase B.

Veamos como afecta, el cambio de base, a la matriz de una forma cuadratica.

Cambio de base.

Sea B′ base de V distinta de B, si P es la matriz de paso de B′ a B, PB′→B, se cumpleque

[x]B = P [x]B′

para todo x de V , luego, sustituyendo en Q, tenemos que

Q(x) = [x]tBA[x]B = (P [x]B′)tA(P [x]B′) = [x]tB′(P

tAP )[x]B′

con lo cual, la nueva matriz asociada a la forma cuadratica Q en la base B′, y quedenominaremos A′, viene dada por A′ = P tAP –que es tambien simetrica–.

Definicion 3.- Dos matrices simetricas se dice que son congruentes cuando son matri-ces asociadas a la misma forma cuadratica en distintas bases.

Es decir, A y A′ simetricas son congruentes, si existe P inversible tal que A′ = P tAP .

1.1 Diagonalizacion de una forma cuadratica.

Puesto que la matriz asociada a una forma cuadratica es simetrica, y una matriz simetricaes diagonalizable ortogonalmente, veamos que siempre podemos obtener una matriz con-gruente con la inicial que sea diagonal.

1.1.1 Diagonalizacion ortogonal.

Sea B una base de V y Q(x) = [x]tBA[x]B la expresion matricial de una forma cuadraticasobre V .

Puesto que A es simetrica admite diagonalizacion ortogonal, es decir, A es semejantea una matriz diagonal D, luego existe una base B′ tal que la matriz PB′→B es ortogonaly D = P−1AP . Ahora bien, como P es ortogonal, P−1 = P t, y se tiene que

D = P−1AP = P tAP,

es decir, que D y A son congruentes.

Algebra Lineal. 2


En la nueva base, B′, la forma cuadratica puede expresarse como una suma de cua-drados, pues

Q(x) = [x]tB′(PtAP )[x]B′ = [x]tB′D[x]B′ = λ1y

21 + . . . + λny

2n,

donde [x]B′ =

y1...

yn

y λ1, . . . , λn son los valores caracterısticos de la matriz A.

Ejemplo.- 4.- Reducir a suma de cuadrados la forma cuadratica Q(x) = xy + yz.Solucion:

La matriz asociada a Q es A =

0 12

012

0 12

0 12

0

.

Los valores caracterısticos de A son las raices del polinomio caracterıstico

|λI − A| =∣∣∣∣∣∣∣

λ −12

0−1

2λ −1

2

0 −12

λ

∣∣∣∣∣∣∣= λ3 − 1

2λ = (λ2 − 1

2)λ = (λ− 1√

2)(λ +

1√2)λ,

es decir, 1√2, −1√

2y 0. Luego A es congruente con la matriz diagonal D =

1√2

0 0

0 −1√2

0

0 0 0

, y

existira, por tanto, una base en la cual Q(x) se expresa de la forma

1√2x2 − 1√

2y2.

1.1.2 Completar cuadrados.

La diagonalizacion ortogonal, propuesta para hallar una matriz asociada a la formacuadratica que sea diagonal, es en ocasiones dificil de llevar a cabo pues supone encontrarlas raices de un polinomio, lo que no siempre es posible. Para solventar este problemadaremos otros dos metodos de encontrar una matriz diagonal. El primero de ellos, queveremos a continuacion, se basa en realizar operaciones con la expresion de Q intentandoconseguir que dicha expresion quede como una suma de cuadrados.

Este metodo, debido a Gauss, para reducir a suma de cuadrados una forma cuadraticasin necesidad de la diagonalizacion ortogonal, consiste en completar cuadrados , es decir,en reunir todos los terminos en cuadrados. Para ello se sigue el siguiente proceso

1. En el caso de que la forma cuadratica tenga algun termino cuadrado, o sea, dela forma aix

2i , se reunen con este todos los demas terminos donde aparezca xi y se

completa el cuadrado –anadiendo terminos en las otras variables si es necesario–. Serepite el proceso con las otras variables, hasta que todos los terminos sean cuadradoso no haya ningun otro termino cuadrado.

Algebra Lineal. 3


2. Si no hay ningun termino cuadrado, existira un termino de la forma aijxixj, yentonces puede efectuarse el siguiente tipo de cambio de variable:

x1 = u1...

...xi = ui + uj...

...xj = ui − uj...

...xn = un

que convierte el producto xixj en los terminos cuadrados u2i − u2

j , recayendo ası enel caso anterior.

La matriz del cambio de base se obtiene deshaciendo los cambios realizados.

Esto ultimo se aclara perfectamente en ejemplo siguiente, a la vez que se ilustra elmetodo.

Ejemplo.- 5.- Reducir a suma de cuadrados las siguentes formas cuadraticas

1. Q(x) = x2 + 2xy + 2y2 + 4yz + 5z2.

Solucion:

La matriz asociada a Q es, A =

1 1 01 2 20 2 5

, los valores caracterısticos de esta matriz

no son sencillos de obtener por tanto usaremos el metodo de completar cuadradosde Gauss.

Q(x) = (x2 + 2xy + y2) + y2 + 4yz + 5z2 = (x + y)2 + y2 + 4yz + 5z2

= x2∗ + (y2 + 4yz + 4z2) + z2 = x2

∗ + (y + 2z)2 + z2 = x2∗ + y2

∗ + z2∗ ,

donde

x∗ = x + yy∗ = y + 2zz∗ = z.

La matriz de cambio de base, P , que hemos realizado debe llevar las coordenadasdel vector en la nueva base en las coordenadas del vector en la base inicial, es decir,

con la notacion usada aquı,

xyz

= P

x∗y∗z∗

. Como

x∗ = x + yy∗ = y + 2zz∗ = z

, tenemos que

x∗y∗z∗

=

1 1 00 1 20 0 1

xyz

= P−1

xyz

.

Luego P =

1 1 00 1 20 0 1

−1

=

1 −1 20 1 −20 0 1

.

Algebra Lineal. 4


2. Q(x) = xy + yz.

Solucion:

Como Q no tiene ningun termino cuadrado, efectuamos el cambio

x = u + vy = u− vz = w

,

con lo que

Q(x) = (u + v)(u− v) + (u− v)w = u2 − v2 + uw − vw

= (u +w

2)2 − w2

4− (u +

w

2)2 + +

w2

4= (u +

w

2)2 − (v +

w

2)2 = x2

∗ − y2∗,

donde, x∗ = u + w2, y∗ = v + w

2y z∗ = w.

Ademas, es

x∗ = u + w2

= x+y2

+ z2

y∗ = v + w2

= x−y2

+ z2

z∗ = w = z, luego P =

12

12

12

12−1

212

0 0 1

−1

.

Nota: El metodo de completar cuadrados y el metodo que veremos a continuacion, aligual que lo hace el metodo de diagonalizacion ortogonal, buscan matrices congruentesdiagonales, es decir, tales que existe P inversible tal que D = P tAP . Sin embargo,mientras que en el caso de la diagonalizacion ortogonal, la conguencia de las matricesse obtiene mediante la semejanza, es decir, D = P−1AP , que a la postre resulta serD = P tAP por ser P ortogonal, en los otros dos metodos no sucede ası y en generalP t 6= P−1, es decir, P no sera ortogonal, (como puede verse en el doble ejemplo 5anterior y en el ejemplo 7 que haremos posteriormente).

1.1.3 Diagonalizacion mediante operaciones elementales.

El segundo metodo a que haciamos referencia en el apartado anterior, y que veremosahora, trata de encontrar una matriz diagonal que sea congruente con la inicial, haciendooperaciones elementales sobre la matriz.

Es decir, vamos a demostrar aquı que si A es la matriz asociada a una forma cuadraticaQ, mediante operaciones elementales en las filas y en las columnas de A podemos llegara la obtencion de una matriz diagonal D, congruente con A. Ademas encontraremos unmetodo practico para obtener, simultaneamente, D y P , la matriz del cambio de base.

No es difıcil probar los siguientes resultados:

1. Sea A una matriz n×n y Af (resp. Ac) la matriz que se obtiene al efectuar una solaoperacion elemental en las filas (resp. columnas) de A. Sea Ef (resp. Ec) la matrizque resulta de efectuar la misma operacion elemental en las filas (resp. columnas)de la identidad n× n. Entonces

Af = EfA (resp. Ac = AEc).

2. Si Ef y Ec son, respectivamente, las matrices elementales obtenidas al efectuar lamisma operacion elemental en las filas y en las columnas de la matriz identidad,entonces Ef = Et

c.

Algebra Lineal. 5


Por tanto si realizamos en una matriz simetrica A una operacion elemental en sus filasy la misma operacion elemental en sus columnas para obtener Afc, la matriz ası obtenidaes congruente con A y simetrica.

En efecto:Afc = AfEc = EfAEc = Et

cAEc,

luego Afc es simetrica por serlo A. Como Ef = Etc es una matriz elemental, es inversible,

y por tanto A y Afc son congruentes.

Teorema 6.- Para cualquier matriz simetrica A, existe una sucesion finita de operacioneselementales, tales que la matriz obtenida a partir de A, D, efectuando cada operacionelemental primero en las filas y a continuacion la misma en las columnas, es diagonal ycongruente con A.

Demostracion:Mediante un numero finito de operaciones elementales sobre las filas de A podemos

obtener una matriz triangular superior, luego si en cada paso vamos realizando las mismasoperaciones elementales sobre las columnas de A, por ser A simetrica, llegaremos a unamatriz diagonal D. Esto es:

A → A(fc)1 ⇒A(fc)1 = Etc1

AEc1

A(fc)1 → A(fc)2 ⇒A(fc)2 = Etc2

A(fc)1Ec2...

...A(fc)k−1

→ A(fc)k⇒A(fc)k

= Etck

A(fc)k−1Eck

= D

Por lo tanto, tenemos que

D = A(fc)k= Et

ck· · ·Et

c1AEc1 · · ·Eck

= (Ec1 · · ·Eck)tA(Ec1 · · ·Eck

) = P tAP

y como las matrices elementales son inversibles, P es una matriz inversible, por lo que Ay D son congruentes.

Podemos utilizar el siguiente procedimiento para diagonalizar la matriz A y obtenerla matriz del cambio de base simultaneamente.

Metodo practico.

Se situa a la derecha de A la matriz I del mismo orden que A, (A|I) y efectuamos en Alas mismas operaciones elementales en sus filas y en sus columnas y en la matriz identidadsolo en sus columnas, al cabo de un numero finito de pasos obtendremos (D|P ).

Ejemplo.- 7.- Se considera Q(x) = 2x2 + 2xy + 2yz + 3z2 una forma cuadratica sobreIR3, reducir Q a suma de cuadrados y hallar la matriz del cambio de base.Solucion:

La matriz asociada a Q en la base canonica es A =

2 1 01 0 10 1 3

, si x = (x, y, z).

Algebra Lineal. 6

1.2 Rango y signatura de una forma cuadratica. ma t

Hagamos el proceso de (A|I) → (D|P ), detallando inicialmente los pasos dados encada operacion, para despues globalizarlos.

(A|I) =

2 1 0 |1 0 01 0 1 |0 1 00 1 3 |0 0 1

→

{FA

2 − 12FA

1

}→

2 1 0 |1 0 00 −1

21 |0 1 0

0 1 3 |0 0 1

(operacion elemental para las filas de A)

2 1 0 |1 0 00 −1

21 |0 1 0

0 1 3 |0 0 1

→

{CA

2 − 12CA

1

}→

2 0 0 |1 0 00 −1

21 |0 1 0

0 1 3 |0 0 1

(la misma operacion elemental para las columnas de A)

2 0 0 |1 0 00 −1

21 |0 1 0

0 1 3 |0 0 1

→

{CI

2 − 12CI

1

}→

2 0 0 |1 −12

00 −1

21 |0 1 0

0 1 3 |0 0 1

(la misma operacion elemental para las columnas de I.)

2 0 0 |1 −12

00 −1

21 |0 1 0

0 1 3 |0 0 1

→

FA3 + 2FA

2

CA3 + 2CA

2

CI3 + 2CI

2

→

2 0 0 |1 −12−1

0 −12

0 |0 1 20 0 5 |0 0 1

= (D|P )

Hemos obtenido ası la matriz diagonal, D =

2 0 00 −1

20

0 0 5

, y la matriz de transicion de la

base B′ = {(1, 0, 0), (−12, 1, 0), (−1, 2, 1)} a la canonica, P =

1 −12−1

0 1 20 0 1

, verificandose

queP tAP = D.

Por tanto, si [x]B′ =

x∗y∗z∗

, se tiene que Q(x) = 2x2

∗ − 12y2∗ + 5z2

∗ .

1.2 Rango y signatura de una forma cuadratica.

Hemos visto distintos metodos de encontrar matrices diagonales asociadas a una formacuadratica, por lo que existiran tambien distintas matrices diagonales (en los ejemplos 4 y5, hemos encontrado matrices diagonales distintas para la misma forma cuadratica). Sinembargo, todas ellas tienen algunas cosas en comun: tienen el mismo numero de elementosdistintos de cero en la diagonal (el mismo rango) y tienen el mismo numero de elementospositivos y de elementos negativos en la diagonal (la misma signatura).

En este capıtulo veremos como estos valores permanecen invariantes para cualquierdiagonalizacion que hagamos, lo que nos permitira, posteriormente, dar una clasificacionde las formas cuadraticas.

Algebra Lineal. 7


Teorema 8.- Dos matrices congruentes tienen el mismo rango.

Demostracion:Veamos, previamente, el siguiente resultado

Lema 9.- Si Am×n y Bn×p son dos matrices, entonces

rg(AB) ≤ min(rg(A), rg(B)).

Demostracion:

Las columnas de AB estan en el espacio de las columnas de A, pues si cj esla columna j-esima de AB, entonces

cj = A

b1j...

bnj

=

a11b1j + . . . + a1nbnj...

am1b1j + . . . + amnbnj

= b1j

a11...

am1

+ . . . + bnj

a1n...

amn

luego cj esta en el espacio de las columnas de A, para todo j, por ser combi-nacion lineal de dichas columnas.

Como el rango de una matriz es la dimension del espacio de las filas o de lascolumnas de la matriz, se tiene que la dimension del espacio de las columnasde AB es menor o igual que la dimension del espacio de las columnas de A,es decir

rg(AB) ≤ rg(A).

Analogamente se demuestra que las filas de AB estan en el espacio de las filasde B, con lo cual

rg(AB) ≤ rg(B)

Por tanto,rg(AB) ≤ min{rg(A), rg(B)}

Completemos ahora la prueba del teorema:Sean, ahora, A y B dos matrices congruentes de orden n. Existira una matriz P

inversible tal que P tAP = B, luego, aplicando el Lema anterior reiteradamente, se tieneque

rg(B)≤min{rg(P t), rg(AP )} = min{n, rg(AP )} = rg(AP )

≤min{rg(A), rg(P )} = min{rg(A), n} = rg(A)

(al ser P inversible es rg(P t) = rg(P ) = n, y al ser AP y A matrices de orden n se tieneque rg(AP ) ≤ n y rg(A) ≤ n).

Reciprocamente, si tomamos Q = P−1 se tiene que A = QtBQ y de forma analoga alo realizado en el caso anterior se obtiene que

rg(A) ≤ rg(B)

Por tanto rg(A) = rg(B).

Algebra Lineal. 8


Definicion 10.- Llamaremos rango de una forma cuadratica, al rango de cualquier ma-triz simetrica asociada en una base a la forma cuadratica.

Observacion:Del teorema anterior, se deduce entonces que dos cualesquiera matrices diagonales aso-ciadas a la misma forma cuadratica tienen el mismo numero de elementos en la diagonaldistintos de cero, –pues este numero es el rango de la matriz diagonal–.

Teorema de Sylvester o Ley de inercia 11.- Si una forma cuadratica se reduce a lasuma de cuadrados en dos bases diferentes, el numero de terminos que aparecen concoeficientes positivos, ası como el numero de terminos con coeficientes negativos es elmismo en ambos casos.

Demostracion:Supongamos que respecto a una base B = {b1, b2, . . . , bn} la expresion de la forma

cuadratica es

Q(x) = a1x21 + · · ·+ apx

2p − ap+1x

2p+1 − · · · − ap+p′x

2p+p′ ,

con ai > 0 para todo i, y x = x1b1 + · · ·+ xpbp + · · ·+ xp+p′bp+p′ + · · ·+ xnbn, esto es, lamatriz diagonal asociada sera

D =

a1

. . .

ap

−ap+1

. . .

−ap+p′

0. . .

0

y que respecto a la otra base B′ = {b′1, . . . , b′n} se tiene

Q(x) = c1y21 + · · ·+ cqy

2q − cq+1 − · · · − cq+q′y

2q+q′ ,

con cj > 0, para todo j, y x = y1b′1 + · · ·+yq′bq′ + · · ·+yq+q′ + · · ·+ynb

′n, siendo entonces

su matriz asociada

D′ =

c1

. . .

cq

−cq+1

. . .

−cq+q′

0. . .

0

Algebra Lineal. 9

1.3 Clasificacion de las formas cuadraticas. ma t

Por el teorema 8 anterior, sabemos que rg(D) = rg(D′), luego p + p′ = q + q′. Veamosque p = q, con lo que tendremos tambien que p′ = q′.

Supongamos que p > q y consideremos los subespacios vectoriales S = lin {b1, . . . , bp}y T = lin {b′

q+1, . . . , b′n}. Si p > q, el valor dim(S) + dim(T ) = p + (n− q) > n y por lo

tanto dim(S ∩ T ) > 0.Sea entonces x ∈ S ∩ T distinto del vector 0. Por ser de S, se tiene que x puede

escribirse de la formax = x1b1 + · · ·+ xpbp

y el valor de la forma cuadratica sera

Q(x) = a1x21 + . . . + apx

2p > 0 pues x 6= 0.

Por ser de T , puede escribirse en la forma

x = yq+1b′q+1 + . . . + ynb′

n′ ,

y el valor de Q(x) es entonces

Q(x) = −cq+1y2q+1 − . . .− cq+q′y

2q+q′ ≤ 0

lo que es una contradiccion, luego necesariamente p ≤ q.Reciprocamente, se obtendrıa que q ≤ p, luego p = q.

Definicion 12.- Sea Q una forma cuadratica y D una matriz diagonal asociada a laforma cuadratica en una base. Se define como signatura de Q al par Sig(Q) = (p, q)donde p es el numero de elementos positivos de la diagonal de D y q es el numero deelementos negativos de la misma.

1.3 Clasificacion de las formas cuadraticas.

Definicion 13.- Se dice que una forma cuadratica Q es

a) Nula si y solo si Q(x) = 0 para todo x.

b) Definida positiva si y solo si Q(x) > 0, para todo x no nulo.

c) Semidefinida positiva si y solo si Q(x) ≥ 0, para todo x y Q no es nula ni definidapositiva.

d) Definida negativa si y solo si Q(x) < 0, para todo x no nulo.

e) Semidefinida negativa si y solo si Q(x) ≤ 0, para todo x y Q no es nula nidefinida negativa.

f) Indefinida si y solo si Q(x) alcanza tanto valores positivos como negativos, es decir,si ∃x1 6= 0 tal que Q(x1) > 0 y ∃x2 6= 0 tal que Q(x2) < 0

Para las formas cuadraticas sobre IR2, podemos dar una representacion de ellas usandosuperficies en IR3, es decir, asignando a z el valor de la forma cuadratica en el punto (x, y).Con estas premisas, hemos realizado la siguiente figura.

Algebra Lineal. 10


Fig. 1.1: Graficas de las formas cudraticas de IR2: definida positiva, definida negativa, indefinida,semidefinida positiva, semidefinida negativa y nula

Teorema de clasificacion 14.- Sea Q una forma cuadratica en un espacio vectorial dedimension n. Se verifica:

a) Q es nula ⇔ Sig(Q) = (0, 0)

b) Q es definida positiva ⇔ Sig(Q) = (n, 0).

c) Q es semidefinida positiva ⇔ Sig(Q) = (p, 0) con 0 < p < n.

d) Q es definida negativa ⇔ Sig(Q) = (0, n).

e) Q es semidefinida negativa ⇔ Sig(Q) = (0, q) con 0 < q < n.

f) Q es indefinida ⇔ Sig(Q) = (p, q) con 0 < p, q.

Demostracion:Sea B = {v1, . . . , vn} una base en la cual, la expresion de Q es de la forma

Q(x) = d1x21 + d2x

22 + · · ·+ dnx

2n

donde [x]B =

x1...

xn

. Ademas, en dicha base se tiene que

[v1]B =

10...0

, · · · , [vn]B =

00...1

.

Algebra Lineal. 11


y, por tanto, que Q(vi) = di, para todo i = 1, . . . , n. Entonces:

a) Si Q(x) = 0, para todo x, se tiene que di = Q(vi) = 0, para todo i, luego Sig(Q) =(0, 0).

Reciprocamente, si di = 0 para todo i, entonces Q(x) = 0 para todo x.

b) Si Q(x) > 0 para todo x 6= 0, se tiene que di = (vi) > 0, para todo i, luegoSig(Q) = (n, 0).

Recıprocamente, si di > 0 para todo i, entonces Q(x) > 0 para todo x 6= 0.

c) Si Q(x) ≥ 0 para todo x 6= 0, es di = Q(vi) ≥ 0 para todo i. Como no esnula existe algun dj > 0 y como no es definida positiva existe algun dk = 0, luegoSig(Q) = (p, 0) con 0 < p < n.

Recıprocamente, si di ≥ 0 para todo i, con algun dj > 0 y algun dk = 0, se tieneque Q(x) ≥ 0 para todo x, que Q(vj) = dj > 0, por lo que no es nula, y queQ(vk) = dk = 0, por lo que no es definida positiva.

d) Analogo al caso definida positiva.

e) Analogo al caso semidefinida positiva.

f) Por ser indefinida, Q(x) 6≥ 0 para todo x, luego di 6≥ 0 para todo i, por lo queexistira un dj < 0 y Q(x) 6≤ 0 para todo x, luego di 6≤ 0 para todo i por lo queexistira un dk > 0. En consecuencia, Sig(Q) = (p, q) con p, q > 0.

Recıprocamente, si existe dj < 0 y dk > 0, seran Q(vj) = dj < 0 y Q(vk) = dk > 0,luego es indefinida.

Para finalizar –y aunque puede obtenerse sin mucho coste la matriz diagonal– damos,sin demostracion, dos teoremas que pueden ser utiles por su version practica. El primerode ellos engloba varios resultados para clasificar una forma cuadratica usando la matrizinicial y el segundo, el Teorema de Descartes, para conocer la signatura sin encontrar laraices del polinomio caracterıstico.

Teorema 15.- Sea Q una forma cuadratica y A su matriz asociada. Sea ∆k el k-esimomenor principal de A, con 1 ≤ k ≤ n. Entonces:

a) Q es definida positiva si, y solo si, ∆k > 0, para 1 ≤ k ≤ n.

b) Q es definida negativa si, y solo si, (−1)k∆k > 0, para 1 ≤ k ≤ n.

c) Si ∆n = det(A) 6= 0 y no se esta en alguno de los casos anteriores, entonces Q esindefinida.

d) Si existe i tal que aii ≤ 0 (resp. aii ≥ 0 ), entonces Q no es definida positiva (resp.no es definida negativa).

e) Si existen i y j, con i 6= j, tales que aii = 0 y aij 6= 0, entonces Q es indefinida.

Algebra Lineal. 12


Teorema de Descartes 16.- Sea a0 + a1X + · · · + an−1Xn−1 + anXn un polinomio de

grado n con coeficientes reales, con an 6= 0 y a0 6= 0, del que se sabe que tiene todas susraices reales. Si en la sucesion de terminos

a0 − a1 a2 · · · (−1)n−1an−1 (−1)nan

consideramos en cada lugar de la sucesion en signo del termino correspondiente –si alguntermino es 0 se elige signo + o − indistintamente–, obtenemos una sucesion de signos.Entonces, llamando p al numero se permanencias de signo en la sucesion, v al numero devariaciones de signo en la sucesion, n+ al numero de raices positivas y n− al numero deraices negativas del polinomio, se tiene que

p− v = n+ − n−.

En consecuencia, como n+ +n− = n, los valores n+ y n− son las soluciones del sistema

{n+ − n− = p− vn+ + n− = n

=⇒{

n+ = n+(p−v)2

n− = n−(p−v)2

.

Algebra Lineal. 13

Capıtulo 2

Conicas en IR2.

Una de las aplicaciones de las formas cuadraticas, se da en el estudio de las conicas ycuadricas, de las que nos ocuparemos en estos dos Capıtulos.

2.1 Introduccion.

Algunas conicas como la elipse, la hiperbola y la parabola son ya conocidas, reconocemossu grafica

Fig. 2.1: Elipse, hiperbola y parabola.

y las expresiones analıticas de las ecuaciones que las generan

x2

a2+

y2

b2= 1 o b2x2 + a2y2 − a2b2 = 0

x2

a2− y2

b2= ±1 o b2x2 − a2y2 ± a2b2 = 0

x2 = 2py o x2 − 2py = 0

Sin embargo, en el caso de la ecuacion el reconocimiento se limita a las elipses e hiperbolascentradas en (0, 0) o las parabolas que tienen en (0, 0) su vertice –como es el caso de lasecuaciones expuestas arriba–, o pocas variaciones respecto a estos casos.

En este capıtulo, haremos un estudio general de las conicas que nos permita recono-cerlas aunque en principio la ecuacion no sea similar a una de las anteriores. De hecho, yaunque las propiedades geometricas de las conicas mencionadas anteriormente hacen que

Algebra Lineal. 14

2.1 Introduccion. ma t

estos tres tipos de conicas sean los mas interesantes, el estudio que haremos sera bastantecompleto.

Definicion 17.- Sea O un punto de IR2 y B = {e1, e2} una base ortonormal del mismo.Dado un punto P ∈ IR2, llamaremos coordenadas de P en la referencia R = {O; e1, e2}, al

par (x, y) tal que−→OP = xe1 + ye2. El punto O decimos que es el origen de coordenadas .

Definicion 18.- Se define conica en IR2 como el lugar geometrico de los puntos P , cuyascoordenadas (x, y) verifican una ecuacion de la forma:

a00 + 2a01x + 2a02y + a11x2 + 2a12xy + a22y

2 = 0 〈2.1〉

donde a11, a12, y a22 no son simultaneamente nulos.

En la ecuacion anterior podemos distinguir tres partes.

a) El termino independiente, a00.

b) Una forma lineal, 2a01x + 2a02y.

c) Una forma cuadratica, a11x2 + 2a12xy + a22y

2.

Ecuacion matricial.

A tenor de las tres partes comentadas, la ecuacion 〈2.1〉 anterior puede expresarse enforma matricial de la forma

0 = a00 + 2(

a01 a02

) (xy

)+

(x y

) (a11 a12

a12 a22

) (xy

)

= a00 + 2AL

(xy

)+

(x y

)AC

(xy

)〈2.2〉

Si bien es cierto que un punto en IR2 tiene unicamente dos coordenadas, usando de unpequeno truquito puede escribirse matricialmente con la expresion mas sencilla

0 =(

1 x y)

a00 a01 a02

a01 a11 a12

a02 a12 a22

1xy

=

(1 x y

)A

1xy

= X tAX, 〈2.3〉

Las dos expresiones matriciales son utiles para el estudio de las conicas. Usando laexpresion 〈2.3〉 se compone un cuadro de la clasificacion de las conicas mediante invarian-tes, que mostramos al final del capıtulo, y operando sobre la ecuacion 〈2.2〉 obtendremosla ecuacion reducida de la conica que nos permita identificarla.

En el estudio siguiente realizaremos este ultimo proceso.

Algebra Lineal. 15

2.2 Ecuacion reducida de una conica. ma t

2.2 Ecuacion reducida de una conica.

2.2.1 Calculo de la ecuacion reducida.

Diagonalizacion de AC.

En la ecuacion general de la conica

a00 + 2AL

(xy

)+

(x y

)AC

(xy

)= 0

vemos que AC es la matriz asociada a una forma cuadratica, luego puede obtenerse unamatriz diagonal congruente con ella obtenida diagonalizando ortogonalmente. Es decir,

existe PB′→B inversible tal que P tAP = D =

(λ1 00 λ2

), donde P

(x∗y∗

)=

(xy

)y

P−1 = P t. Por tanto, la ecuacion queda

0 = a00 + 2ALP

(x∗y∗

)+

(x∗ y∗

)P tAP

(x∗y∗

)

= a00 + 2ALP

(x∗y∗

)+

(x∗ y∗

)D

(x∗y∗

)

Llamando ALP = BL =(

b01 b02

)y usando la expresion de D nos queda

0 = a00 + 2b01x∗ + 2b02y∗ + λ1x2∗ + λ2y

2∗. 〈2.4〉

Observacion.- 19.- La matriz P ortogonal obtenida en la diagonalizacion representaun cambio de base ortogonal y, por tanto, si en la eleccion de P exigimos ademas quedet(P ) = 1 (±1 son las unicas posibilidades para una matriz ortogonal) el cambio de basenos representara un giro de los ejes en el plano.

Es decir, los vectores de la nueva base apareceran girados un cierto angulo α respectoa los de la base inicial y

P =

(p11 p12

p21 p22

)=

(cos α − sen αsen α cos α

)

para α tal que tg α = p21

p11.

Observese tambien que la matriz P , valida para efectuar el giro, no es unica, existenexactamente cuatro opciones para elegir las columnas de P , (los giros de angulos α, α+ π

2,

α + π y α + 3π2

)Si tomamos det(P ) = −1 se produce ademas del giro una reflexion, es decir, en uno

de los nuevos ejes se intercambia la parte positiva con la negativa.

Observacion.- 20.- Puesto que la matriz AC es la matriz asociada a una forma cuadratica,puede conseguirse una matriz diagonal sin hacer la diagonalizacion ortogonal. Sin em-bargo, al no ser el cambio de base ortogonal los vectores de la nueva base no formaranun angulo recto y tendran distintas longitudes, por lo que la expresion que obtenemosnos representara una conica del mismo tipo aunque deformada, es decir, una elipse puedepasar a ser una circunferencia, o una parabola sera mas abierta o cerrada que la original.Por ejemplo:

Algebra Lineal. 16


La conica dada por x2 + 2xy + 2y2 = 1.

a) Diagonalizando ortogonalmente obtenemos λ1 = 3+√

52

y λ2 = 3−√52

, de

donde, la ecuacion queda 3+√

52

x2∗+

3−√52

y2∗ = 1, que representa una elipse

centrada en (0, 0), de semiejes√

23+√

5y

√2

3−√5.

b) Completando cuadrados, obtendremos que x2 + 2xy + 2y2 − 1 = (x +y)2 + y2 − 1 = x2

∗ + y2∗ − 1 = 0, que es la ecuacion de una circunferencia

de radio 1.

Este segundo resultado nos puede llevar a pensar que la conica inicial tambienes una circunferencia, cuando sabemos que no es ası.

Para evitar este tipo de problemas, siempre usaremos para encontrar la matriz diagonalla diagonalizacion ortogonal.

Completar cuadrados.

La expresion simplificada, 〈2.4〉, obtenida de la ecuacion de la conica al diagonalizar AC ,puede simplificarse aun mas mediante el metodo de completar cuadrados.

Como los valores a11, a12 y a22 no son simultaneamente nulos, la matriz AC no es lanula y D tampoco. Luego λ1 y λ2 no pueden ser los dos nulos. Esto nos proporciona doscasos en el proceso a seguir

Caso 1: λ1 6= 0 y λ2 6= 0. Podemos, en este caso, agrupar los dos terminos cuadrados,con lo que 〈2.4〉 nos queda

0 = a00 − b201

λ1

− b202

λ2

+ λ1

(x∗ +

b01

λ1

)2

+ λ2

(y∗ +

b02

λ2

)2

= K1 + λ1x2∗∗ + λ2y

2∗∗

donde

{x∗∗ = x∗ + b01

λ1

y∗∗ = y∗ + b02λ2

y K1 = a00 − b201λ1− b202

λ2.

Caso 2: λ1 6= 0 y λ2 = 0. (De manera analoga si λ1 = 0 y λ2 6= 0.)En este caso la ecuacion de la conica queda

0 = a00 + 2b01x∗ + 2b02y∗ + λ1x2∗,

en la cual podemos completar el cuadrado en x∗ y nos queda

0 =

(a00 − b2

01

λ1

)+ λ1

(x∗ +

b01

λ1

)2

+ 2b02y∗ = K2 + λ1x2∗∗ + 2b02y∗, 〈2.5〉

donde hemos hecho x∗∗ = x∗ + b01λ1

y K2 = a00 − b201λ1

.La ecuacion anterior, 〈2.5〉, se simplifica segun exista o no el termino en y∗, es decir,

si b02 6= 0 o b02 = 0.

Algebra Lineal. 17


Caso 2.1: b02 6= 0. En este caso se puede agrupar el termino en y∗ con el terminoindependiente, es decir

0 = K2 + 2b02y∗ + λ1x2∗∗ = 2b02

(y∗ +

K2

2b02

)+ λ1x

2∗∗ = 2b02y∗∗ + λ1x

2∗∗.

donde y∗∗ = y∗ + K2

2b02.

Caso 2.2: b02 = 0. En este caso la ecuacion queda

0 = K2 + λ1x2∗∗.

Observacion.- 21.- Geometricamente, completar cuadrados equivale a una translacion,es decir, se translada el origen de coordenadas a un nuevo punto.

Hemos completado ası el estudio de la ecuacion reducida de la conica. El resultado loreunimos en el siguiente cuadro.

2.2.2 Clasificacion mediante la ecuacion reducida.

Mediante los giros y translaciones de los ejes de coordenadas, detallados en el apartadoanterior, se ha podido reducir la ecuacion a uno de los casos siguientes:

Caso 1. λ1x2∗∗ + λ2y

2∗∗ + K1 = 0, con λ1 y λ2 no nulos.

a) Si K1 6= 0 y el signo de λ1 es igual al de λ2 y contrario al de K1, la ecuacionrepresenta una elipse.

b) Si K1 6= 0 y λ1, λ2 y K1 poseen el mismo signo, no se obtiene ningun puntoreal. (La expresion se dice que representa una elipse imaginaria.)

c) Si K1 6= 0 y el signo de λ1 es contrario al de λ2, la ecuacion representa unahiperbola.

d) Si K1 = 0 y λ1 y λ2 tienen signos contrarios, estamos ante dos rectas que secortan.

e) Si K1 = 0 y λ1 y λ2 poseen el mismo signo, estamos representando un unicopunto. (La conica se dice que esta formada por dos rectas imaginarias cuyainterseccion es un punto real.)

Caso 2.1 x2∗∗ = 2py∗∗, con p = − b02

λ16= 0, o y2

∗∗ = 2px∗∗, con p = − b01λ2

6= 0,representan parabolas.

Caso 2.2 x2∗∗ = c, con c = −K2

λ1, o y2

∗∗ = c, con c = −K2

λ2.

a) Si c = 0 tenemos una recta doble.

b) Si c > 0, dos rectas paralelas.

c) Si c < 0 ningun punto. (La conica se dice que la forman dos rectas imaginariasparalelas.)

Algebra Lineal. 18


Observacion.- 22.- Para recuperar la ecuacion inicial, basta con deshacer los cambiosrealizados. Es decir, en el Caso 1, tener en cuenta que

{x∗∗ = x∗ + b01

λ1

y∗∗ = y∗ + b02λ2

y que

{x∗ = p11x + p12yy∗ = p21x + p22y

en el Caso 2.1 que

{x∗∗ = x∗ + b01

λ1

y∗∗ = y∗ + K2

2b02

(o

{x∗∗ = x∗ + K2

2b01

y∗∗ = y∗ + b02λ2

)y que

{x∗ = p11x + p12yy∗ = p21x + p22y

y en el Caso 2.2 que

{x∗∗ = x∗ + b01

λ1

y∗∗ = y∗

(o

{x∗∗ = x∗y∗∗ = y∗ + b02

λ2

)y que

{x∗ = p11x + p12yy∗ = p21x + p22y.

Ejemplo.- 23.- Encontrar la ecuacion reducida de la conica de IR2 dada por la expresionx2 + 2xy + y2 + 2x− 2 = 0Solucion:

La ecuacion puede escribirse como

0 = −2 + 2(

1 0) (

xy

)+

(x y

) (1 11 1

) (xy

).

Diagonalizamos la matriz AC =

(1 11 1

).

|λI − AC | =∣∣∣∣∣λ− 1 −1−1 λ− 1

∣∣∣∣∣ = λ2 − 2λ = λ(λ− 2) = 0

con autovalores λ1 = 0 y λ2 = 2.Los vectores propios asociados al autovalor λ1 = 0, son las soluciones del sistema(−1 −1−1 −1

)x = 0, luego (1,−1) forma una base del espacio caracterıstico. Como la

diagonalizacion ha de ser ortogonal, ortonormalizamos la base, lo que en este caso equivalea normalizar el vector (1,−1); es decir, el vector ( 1√

2, −1√

2). Tenemos por tanto que p11 = 1√

2

y p21 = −1√2).

Para λ2 = 2 tenemos como solucion del sistema

(1 −1−1 1

)x = 0 el vector (1, 1),

que normalizado se convierte en ( 1√2, 1√

2). Luego D =

(0 00 2

)y P =

( 1√2

1√2−1√

21√2

). Como

det(P ) = 1, esta matriz P es la buscada y la ecuacion queda

0 =−2 + 2(

1√2

1√2

) (x∗y∗

)+

(x∗ y∗

) (0 00 2

) (x∗y∗

)

=−2 + 21√2x∗ + 2

1√2y∗ + 2y2

∗

Algebra Lineal. 19

2.3 Invariantes. ma t

donde

{x∗ = x√

2− y√

2

y∗ = x√2

+ y√2

Completando el cuadrado y, a continuacion, agrupando el termino

en x∗ con el termino independiente, tenemos

0 =−2− 1

4+

2√2x∗ + 2(y∗ +

1

2√

2)2 = −9

4+

2√2x∗ + 2y2

∗∗

=2√2(x∗ − 9

√2

8) + 2y2

∗∗ =2√2x∗∗ + 2y2

∗∗

donde

{x∗∗ = x∗ − 9

√2

8

y∗∗ = y∗ + 12√

2

. Es decir, la parabola

x∗∗ = −√

2y2∗∗ o y2

∗∗ =−1√

2x∗∗.

El proceso geometrico realizado puede observarse en la siguiente figura.

α

y

x

y" x"

y’ x’

Nota: Al realizar el ejercicio hemos hecho una serie de elecciones que nos determinan lamatriz P . En primer lugar hemos optado por que sea λ1 = 0 y λ2 = 2, en lugar deλ1 = 2 y λ2 = 0, que tambien es posible. A continuacion, al buscar las filas de P hemosoptado por el vector (1,−1) como base del espacio caracterıstico de λ1 = 0 en lugar delvector (−1, 1) tambien posible, y el vector (1, 1) para λ2 = 2 en lugar de (−1,−1). Estasposibilidades de eleccion son las que determinan las cuatro posibles matrices para P .

Compruebe el lector, que realizando las otras elecciones se llega a las ecuaciones redu-cidas y2

∗∗ = 1√2x∗∗, x2

∗∗ = 1√2y∗∗ y x2

∗∗ = −1√2y∗∗.

2.3 Invariantes.

Tomemos ahora la expresion matricial de la conica, 〈2.3〉,

0 =(

1 x y)

a00 a01 a02

a01 a11 a12

a02 a12 a22

1xy

= X tAX

Algebra Lineal. 20


y consideremos la matriz P =

1 0 00 p11 p12

0 p21 p22

, donde P =

(p11 p12

p21 p22

)es la matriz que

diagonaliza AC . Se tiene que P es una matriz ortogonal que verifica que

X =

1xy

= P

1x∗y∗

= P X∗

Sustituyendo en la ecuacion se obtiene

0 = X tAX = X t∗P

tAPX∗ = X t∗

a00 b01 b02

b01 λ1 0b02 0 λ2

X∗ = X t

∗BX∗, 〈2.6〉

que da la ecuacion de la conica tras el giro.

A la vista del resultado obtenido, no es dificil probar que

Teorema 24.- Con el cambio de matriz permanecen invariantes los valores

a) det A,

b) A00,

c) a11 + a22 y

d) A11 + A22.

Es decir, estos valores permanecen igual si sustituimos A por B.

Nota: Por Aij denotamos el menor correspondiente al elemento aij , es decir, el determinante dela matriz que nos queda al eliminar la fila y la columna del elemento aij .

Demostracion:

a) A y B son semejantes, luego |A| = |B|.b) Como A00 es el determinante de la matriz AC , B00 es el determinante de la matriz

D y AC y D son semejantes, A00 = |AC | = |D| = B00.

c) Por ser AC y D semejantes, tienen el mismo polinomio caracterıstico, es decir,|λI − AC | = |λI −D|. Luego

λ2 − (a11 + a22)λ + |AC | = |λI − AC | = |λI −D| = λ2 − (λ1 + λ2)λ + |D|,y por tanto a11 + a22 = λ1 + λ2.

d) A11 + A22 = (a00a22 − a202) + (a00a11 − a2

01) = a00(a11 + a22)− (a201 + a2

02)

B11 + B22 = (a00λ2 − b202) + (a00λ1 − b2

01) = a00(λ1 + λ2)− (b201 + b2

02)

Los dos primeros sumandos son iguales por el apartado c) y

b201 + b2

02 = (a01p11 + a02p12)2 + (a01p21 + a02p22)

2

= a201(p

211 + p2

21) + a202(p

212 + p2

22) + 2a01a02(p11p12 + p21p22) = a201 + a2

02

por ser P una matriz ortogonal.

Algebra Lineal. 21


Observacion.- 25.- Puede observarse en la prueba del teorema que los valores que apa-recen son invariantes, precisamente, porque la diagonalizacion es ortogonal. Si obtenemosla matriz diagonal por otro metodo, estos valores no son invarinates.

Para introducir como operaciones matriciales la translacion que efectuabamos a con-tinuacion del giro, basta tener en cuenta que el sistema

{x∗∗ = x∗ + hy∗∗ = y∗ + k

puede escribirse como

1x∗∗y∗∗

=

1 0 0h 1 0k 0 1

1x∗y∗

.

Si resolvemos el sistema en funcion de x∗ e y∗, tenemos que

X∗ =

1x∗y∗

=

1 0 0−h 1 0−k 0 1

1x∗∗y∗∗

= TX∗∗

y sustituyendo en la ecuacion de la conica

0 = X t∗∗T

tBTX∗∗ = X t∗∗CX∗∗

La matriz C obtenida es la que nos da la ecuacion reducida, luego sera:

• C =

K1 0 00 λ1 00 0 λ2

para el Caso 1.

• C =

0 0 b02

0 λ1 0b02 0 0

o C =

0 b01 0b01 0 00 0 λ2

para el Caso 2.1.

• C =

K2 0 00 λ1 00 0 0

o C =

K2 0 00 0 00 0 λ2

para el Caso 2.2.

donde los elementos que aparecen en las matrices son los calculados antes.

Nota: En el caso particular de K2, tener presente que sera K2 = a00 − b01λ1

o K2 =

a00 − b02λ2

, segun sea λ2 = 0 o λ1 = 0.

Y la matrices T que nos dan las translaciones seran:

• T =

1 0 0− b01

λ11 0

− b02λ2

0 1

para el Caso 1.

• T =

1 0 0− b01

λ11 0

− K2

2b020 1

o T =

1 0 0− K2

2b011 0

− b02λ2

0 1

para el Caso 2.1.

• T =

1 0 0− b01

λ11 0

0 0 1

o T =

1 0 00 1 0

− b02λ2

0 1

para el Caso 2.2.

Algebra Lineal. 22


con los mismos comentarios que antes sobre K2.

Teorema 26.- Con los cambios de matriz permanecen invariantes los valores

a) det A,

b) A00,

c) a11 + a22 y

d) A11 + A22, cuando A00 = 0 y |A| = 0 (Caso 2.2).

Demostracion:Hemos visto en el Teorema 24 que los valores permanecen invariantes cuando pasamos

de A a B. Veamos que tambien se verifican cuando pasamos de B a C.

a) Como C = T tBT y det(T ) = 1, |C| = |B|.b) Es clara, pues la matriz BC = D es la misma en C.

c) Cierta por lo anterior.

d) C11 + C22 = K2λ1 = a00λ1 − b201 o C11 + C22 = K2λ2 = a00λ2 − b2

02

B11 + B22 = a00(λ1 + λ2)− (b201 + b2

02)

Al ser B00 = 0, entonces λ1 = 0 o λ2 = 0.

Si λ1 = 0, como 0 = |B| = −λ2b201, ha de ser b01 = 0, en cuyo caso B11 + B22 =

a00λ2 − b202.

Si λ2 = 0, como 0 = |B| = −λ1b202, ha de ser b02 = 0, en cuyo caso B11 + B22 =

a00λ1 − b201.

Lo que completa la demostracion.

2.3.1 Clasificacion por invariantes.

Teniendo en cuenta los invariantes, obtenemos la siguiente clasificacion de las conicas

A00 6= 0

A00 > 0

|A| 6= 0

{|A|(a11 + a22) < 0 ELIPSE|A|(a11 + a22) > 0 Elipse imaginaria

|A| = 0 PUNTO; Rectas secantes imaginarias

A00 < 0

{|A| 6= 0 HIPERBOLA|A| = 0 RECTAS SECANTES

A00 = 0

|A| 6= 0 PARABOLA

|A| = 0

A11 + A22 < 0 RECTAS PARALELASA11 + A22 > 0 Rectas paralelas imaginariasA11 + A22 = 0 RECTAS COINCIDENTES

A las conicas que verifican que A00 6= 0 de las denomina conicas con centro y a lasque verifican que A00 = 0 conicas sin centro.

Algebra Lineal. 23


Ejemplo.- 27.- Clasificar la conica dada por x2 + 2xy + y2 + 2x− 2 = 0.Solucion:

La ecuacion puede escribirse como

0 =(

1 x y)

−2 1 01 1 10 1 1

1xy

= X tAX

Veamos los invariantes:

A00 =

∣∣∣∣∣1 11 1

∣∣∣∣∣ = 0, luego es una de las llamadas conicas sin centro.

|A| =∣∣∣∣∣∣∣

−2 1 01 1 10 1 1

∣∣∣∣∣∣∣= −2 + 2− 1 = −1 6= 0, luego la conica es una parabola.

2.3.2 Calculo de la ecuacion reducida.

• C =

K1 0 00 λ1 00 0 λ2

.

Sabemos que λ1 y λ2 son las raices del polinomio caracterıstico, es decir las solucionasde la ecuacion

|λI − Ac| =∣∣∣∣∣λ− a11 −a12

−a12 λ− a22

∣∣∣∣∣ = λ2 − (a11 + a22)λ + A00 = 0

Como |A| = |C| = K1λ1λ2 y A00 = C00 = λ1λ2, se tiene que K1 =|A|A00

.

• C =

0 0 b02

0 λ1 0b02 0 0

o C =

0 b01 0b01 0 00 0 λ2

.

Lo hacemos para la primera y la otra es similar.

Por ser A00 = 0 y a11 + a22 = λ1 + λ2, tenemos que λ1 = a11 + a22 y λ2 = 0.

Como |A| = |C| = −b202λ1 tenemos que b02 =

√−|A|

a11 + a22

.

• C =

K2 0 00 λ1 00 0 0

o C =

K2 0 00 0 00 0 λ2

.

Al igual que en el caso anterior λ1 = a11 + a22 y λ2 = 0.

Como A11 + A22 = C11 + C22 = K2λ1 tenemos que K2 =A11 + A22

a11 + a22

.

Ejemplo.- 28.- Hallar la ecuacion reducida de la parabola dada por la ecuacion x2 +2xy + y2 + 2x− 2 = 0.Solucion:

Algebra Lineal. 24

2.4 Lugares geometricos. ma t

Por el ejemplo 27, sabemos que A00 = 0 y |A| = −1 6= 0, luego λ2 = a11 + a22 = 2,

λ1 = 0 y b01 =√−(−1)

2= 1√

2y nos queda

21√2x∗∗ + 2y2

∗∗ = 0 o y2∗∗ = − 1√

2x∗∗

2.4 Lugares geometricos.

A la elipse, hiperbola y parabola, se las denomina en algunos libros conicas no degeneradas,es decir, son propiamente conicas por contraposicion a las conicas formadas por rectas.

Las tres se obtienen, de forma geometrica, como el lugar geometrico de los puntos queverifican una cierta condicion. Veamoslas.

2.4.1 Elipse.

Dados dos puntos F1 y F2, el lugar gometrico de los puntos P que verifican que la distanciade P a F1 mas la distancia de P a F2 es constante, forma una elipse.

Es decir, los puntos P tales que d(P, F1) + d(P, F2) = 2a, con 2a > d(F1, F2), estansobre una elipse.

La mitad del valor de la constante nos proporciona el semieje mayor, es decir a. Lamitad de la distancia focal, d(F1, F2) = 2c. El semieje menor, b, el semieje mayor, a, y cverifican que a2 = b2 + c2.

A los puntos F1 y F2 se les denomina focos de la elipse, y el centro de la elipse seencuentra en el punto medio de los focos. A los puntos de la elipse que se encuentransobre la recta que une los focos y los que se encuentran sobre la perpendicular que pasapor el centro, se los denomina vertices de la elipse.

La mitad del valor de la constante, a, que nos proporciona el semieje mayor, la mitadde la distancia focal, d(F1, F2) = 2c, y el semieje menor, b, verifican que a2 = b2 + c2.

Si F1 = F2, la elipse es una circunferencia

2.4.2 Hiperbola.

Dados dos puntos F1 y F2, el lugar gometrico de los puntos P que verifican que el valorabsoluto de la distancia de P a F1 menos la distancia de P a F2 es constante, forma unahiperbola.

Algebra Lineal. 25


Es decir, los puntos P tales que |d(P, F1)− d(P, F2)| = 2k, con 2k < d(F1, F2), estansobre una hiperbola.

A los puntos F1 y F2 se les denomina focos , y el centro de la hiperbola se encuentraen el punto medio de los focos. A los puntos de la hiperbola que se encuentran sobre larecta que une los focos se los denomina vertices de la hiperbola.

La mitad del valor de la constante, a, que es la distancia de cada vertice al centro y lamitad de la distancia focal, d(F1, F2) = 2c, nos permiten obtener el valor b =

√c2 − a2,

necesario para encontrar las asıntotas de la hiperbola.Estas dos asıntotas que pasan por el centro y forman con el eje focal un angulo α de

valores tg α = ba

y tg α = −ba

, para cada una de ellas.

2.4.3 Parabola.

Dados un punto F y una recta r, el lugar gometrico de los puntos P que verifican que ladistancia de P a F es igual a la distancia de P a r, forma una parabola.

Es decir, los puntos P tales que d(P, F ) = d(P, r), con P 6∈ r, estan sobre una parabola.

Al punto F se les denomina foco, y a la recta r directriz de la parabola. Al punto dela parabola que se encuentran entre el foco y la directriz se le denomina vertice.

En las parabolas, precisamente gracias a esta construccion geometrica, se verifica unapropiedad muy interesante: “Si consideramos la parabola como un espejo, cualquier rayoque incida sobre la parabola perpendicularmente a la directriz sale reflejado hacia el foco, yviceversa, cualquier rayo emitido desde el foco sale reflejado perpendicular a la directriz”.Esta propiedad se usa en las antenas parabolicas y en los focos de luz.

Algebra Lineal. 26


2.4.4 Centro y vertice de las conicas.

Calculo del centro.

En las conicas con centro, a la vista de la ecuacion reducida

λ1x2∗∗ + λ2y

2∗∗ + K1 = 0

podemos asegurar que el centro esta en el punto de coordenadas x∗∗ = 0 e y∗∗ = 0. Bastapues deshacer los cambios.

{x∗∗ = x∗ + b01

λ1

y∗∗ = y∗ + b02λ2

luego

{x∗ = x∗∗ − b01

λ1

y∗ = y∗∗ − b02λ2

y (x∗y∗

)= P

(xy

)luego

(xy

)= P t

(x∗y∗

)= P t

(x∗∗ − b01

λ1

y∗∗ − b02λ2

)

haciendo x∗∗ = 0 e y∗∗ = 0, nos queda(

xy

)=

(p11 p21

p12 p22

) ( − b01λ1

− b02λ2

)luego

{x = −p11

b01λ1− p21

b02λ2

y = −p12b01λ1− p22

b02λ2

Calculo del vertice.

Para una parabola, de ecuacion reducida

λ1x2∗∗ = −2b02y∗∗,

el vertice esta en el punto de coordenadas x∗∗ = 0 e y∗∗ = 0. Basta, como antes, condeshacer los cambios.

{x∗∗ = x∗ + b01

λ1

y∗∗ = y∗ + K2

2b02

luego

{x∗ = x∗∗ − b01

λ1= − b01

λ1

y∗ = y∗∗ − K2

2b02= − K2

2b02

y (xy

)= P t

(x∗y∗

)= P t

( − b01λ1− K2

2b02

)luego

{x = −p11

b01λ1− p21

K2

2b02

y = −p12b01λ1− p22

K2

2b02.

Ejemplo.- 29.- Hallar el vertice de la parabola dada por x2 + 2xy + y2 + 2x− 2 = 0Solucion:

Sabemos por el ejemplo 23 que la ecuacion reducida de la conica nos queda y2∗∗ =

−12√

2x∗∗, siendo P =

( 1√2

1√2−1√

21√2

)la matriz que diagonaliza AC y

{x∗∗ = x∗ − 9

√2

4

y∗∗ = y∗ + 12√

2

las

sustituciones que agupan los terminos. Entonces, como el vertice se encuentra en el puntode coordenadas x∗∗ = 0 e y∗∗ = 0, el vertice se encontrara en el punto de coordenadas

{x∗ = +9

√2

8

y∗ = − 12√

2

y llevandolo a las coordenadas iniciales

x = 9√

28

1√2− 1

2√

2−1√

2= 11

8

y = 9√

28

1√2− 1

2√

21√2

= 78.

Algebra Lineal. 27

Capıtulo 3

Cuadricas en IR3.

3.1 Introduccin.

Definicion 30.- Sea O un punto de IR3 y B = {e1, e2, e3} una base ortonormal delmismo. Dado un punto P ∈ IR3, llamaremos coordenadas de P en la referencia R ={O; e1, e2, e3}, a la terna (x, y, z) tal que

−→OP = xe1 + ye2 + ze3. El punto O decimos que

es el origen de coordenadas .

Definicion 31.- Se define cuadrica en IR3 como el lugar geometrico de los puntos P ,cuyas coordenadas (x, y, z) verifican una ecuacion de la forma:

a00 + 2a01x + 2a02y + 2a03z + a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a13xz + 2a23yz + a33z2 = 0 〈3.1〉

donde a11, a12, a13, a22, a23 y a33 no son simultaneamente nulos.

Como para las cnicas, en la ecuacion anterior podemos distinguir tres partes.

a) El termino independiente, a00.

b) Una forma lineal, 2a01x + 2a02y + 2a03z.

c) Una forma cuadratica, a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a13xz + 2a23yz + a33z2.

Ecuacion matricial.

A tenor de las tres partes comentadas, la ecuacion 〈3.1〉 anterior puede expresarse enforma matricial de la forma

0 = a00 + 2(

a01 a02 a03

)

xyz

+

(x y z

)

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

xyx

= a00 + 2ALX + X tACX 〈3.2〉Y tambin en la forma

0 =(

1 x y z)

a00 a01 a02 a03

a01 a11 a12 a13

a02 a12 a22 a23

a03 a13 a23 a33

1xyz

= X tAX, 〈3.3〉

Algebra Lineal. 28

3.2 Ecuacion reducida de una cudrica. ma t

3.2 Ecuacion reducida de una cudrica.

Para el clculo de la ecuacin reducida de las cudricas, se sigue el mismo proceso que paralas cnicas, por lo que no lo detallaremos.

3.2.1 Clculo de la ecuacin reducida.

Diagonalizacion de AC.

La matriz AC es diagonalizable ortogonalmente, luego existe P ortogonal tal que D =

P tACP , donde D =

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

.

Como AC = (P t)tDP t, la ecuacin queda

0 = a00 + 2ALX + X t(P t)tDP tX = a00 + 2ALPX∗ + X t∗DX∗

donde X∗ =

x∗y∗z∗

= P tX.

Llamando ALP = BL =(

b01 b02 b03

)y usando la expresin de D nos queda

0 = a00 + 2b01x∗ + 2b02y∗ + 2b03z∗ + λ1x2∗ + λ2y

2∗ + λ3z

2∗ . 〈3.4〉

Diagonalizacin que representa, como en el caso de las cnicas un giro en IR3.

Completar cuadrados.

La expresin simplificada, 〈3.4〉, obtenida puede simplificarse completando cuadrados.

Caso 1: λ1 6= 0, λ2 6= 0 y λ3 6= 0. Completando los tres cuadrados, se tiene

0 = a00 − b201

λ1

− b202

λ2

− b203

λ3

+ λ1

(x∗ +

b01

λ1

)2

+ λ2

(y∗ +

b02

λ2

)2

+ λ3

(z∗ +

b02

λ3

)2

= K1 + λ1x2∗∗ + λ2y

2∗∗ + λ3z

2∗∗

donde

x∗∗ = x∗ + b01λ1

y∗∗ = y∗ + b02λ2

z∗∗ = z∗ + b03λ3

.

Caso 2: λ1 6= 0, λ2 6= 0 y λ3 = 0. (De manera anloga si son λ1 = 0 o λ2 = 0.)En este caso podemos completar los cuadrados para x∗ e y∗, obteniendo

0 =

(a00 − b2

01

λ1

− b202

λ2

)+ 2b03z∗ + λ1x

2∗∗ + λ2y

2∗∗ = K2 + 2b03z∗ + λ1x

2∗∗ + λ2y

2∗∗ 〈3.5〉

donde hemos hecho x∗∗ = x∗ + b01λ1

y y∗∗ = y∗ + b02λ2

.La ecuacin anterior, 〈3.5〉, se simplifica segn exista o n el trmino en z∗.

Algebra Lineal. 29


Caso 2.1: b03 6= 0. En este caso

0 = 2b03

(z∗ +

K2

2b03

)+ λ1x

2∗∗ + λ2y

2∗∗ = 2b02z∗∗ + λ1x

2∗∗ + λ2y

2∗∗

donde z∗∗ = z∗ + K2

2b03.

Caso 2.2: b03 = 0. En este caso la ecuacin queda

0 = K2 + λ1x2∗∗ + λ2y

2∗∗.

Caso 3: λ1 6= 0, λ2 = 0 y λ3 = 0. (De manera anloga si son λ2 6= 0 o λ3 6= 0.)De la ecuacin, 〈3.4〉, completando el cuadrado en x∗, de obtiene

0 = K3 + 2b02y∗ + 2b03z∗ + λ1x2∗∗, 〈3.6〉

donde x∗∗ = x∗ + b01λ1

y K3 = a00 − b201λ1

.Nos aparecen nuevos casos, segn que existan o no los trminos en y∗ y z∗. En concreto,

segn que el mdulo del vector (b02, b03), M = ‖(b02, b03‖ =√

b202 + b2

03 = 0 M 6= 0.

Caso 3.1: ‖(b02, b03)‖ 6= 0. Los trminos en y∗ y z∗ se pueden agrupar en uno solo,mediante el cambio {

y∗∗ = b02M

y∗ + b03M

z∗z∗∗ = − b03

My∗ + b02

Mz∗

.

Con esto la ecuacin 〈3.6〉 queda

0 = K3 + 2b02y∗ + 2b03z∗ + λ1x2∗∗ = K3 + 2My∗∗ + λ1x

2∗∗.

Agrupando y∗∗ con el trmino independiente,

0 = 2M(y∗∗ +

K3

2M

)+ λ1x

2∗∗ = 2My∗∗∗ + λ1x

2∗∗.

(Si b02 o b03 son cero, se pueden agrupar los trminos de forma ms sencilla, pero el resultadoque hemos visto engloba este caso.)

Observese, que este cambio pruduce un giro en los ejes y∗ y z∗ (de ah la divisin por‖(b02, b03‖), para que los vectores sean ortonormales), permaneciendo el eje x∗∗ sin girar.

Caso 3.2: b02 = 0 y b03 = 0. La ecuacin 〈3.6〉 queda

0 = K3 + λ1x2∗∗.

3.2.2 Clasificacin mediante la ecuacin reducida.

Para simplificar la casustica, en las ecuaciones reducidas sutituiremos las constantes porel valor 1 o −1 cuando importa el signo, ±1 cuando no importe el signo o 0 cuando losea. Con estas salvedades las ecuaciones reducidas presentan los siguientes casos:

Caso 1. ax2 + by2 + cz2 + d = 0, con a, b y c no nulos.

Algebra Lineal. 30


a) x2 + y2 + z2 − 1 = 0, la ecuacin representa un elipsoide.

b) x2 + y2 + z2 + 1 = 0, representa un elipsoide imaginario.

c) x2 + y2 − z2 − 1 = 0, un hiperboloide de una hoja.

d) x2 + y2 − z2 + 1 = 0, un hiperboloide de dos hojas.

e) x2 + y2 + z2 = 0, un cono imaginario.

Algebra Lineal. 31


f) x2 + y2 − z2 = 0, un cono real.

Caso 2.1. ax2 + by2 + cz = 0, con a, b y c no nulos.

a) x2 + y2 ± z = 0, un paraboloide elptico.

b) x2 − y2 ± z = 0, un paraboloide hiperblico.

Algebra Lineal. 32


Caso 2.2. ax2 + by2 + d = 0, con a y b no nulos.

a) x2 + y2 − 1 = 0, un cilindro elptico.

b) x2 + y2 + 1 = 0, un cilindro imaginario.

c) x2 − y2 ± 1 = 0, un cilindro hiperblico.

d) x2 − y2 = 0, un planos secantes.

e) x2 + y2 = 0, un planos secantes imaginarios.

Algebra Lineal. 33


Caso 3.1. ax2 + by = 0, con a y b no nulos. Un cilindro parablico.

Caso 3.2. ax2 + d = 0, con a no nulo.

a) x2 − 1 = 0, planos paralelos.

b) x2 + 1 = 0, planos paralelos imaginarios.

c) x2 = 0, planos coincidentes.

Ejemplo.- 32.- Encontrar la ecuacin reducida de la cudrica de IR3 dada por xy = z.Solucion:

La ecuacin puede escribirse como xy − z = 0, luego matricialmente ser

0 = 2(

0 0 −12

)

xyz

+

(x y z

)

0 12

012

0 00 0 0

xyz

.

Diagonalizamos la matriz AC =

0 12

012

0 00 0 0

.

|λI − AC | =∣∣∣∣∣∣∣

λ −12

0−1

2λ 0

0 0 λ

∣∣∣∣∣∣∣= λ3 − 1

4λ = (λ− 1

2)(λ +

1

2)λ = 0

con autovalores λ1 = 12, λ2 = −1

2y λ3 = 0.

Los vectores propios asociados a los autovalores son las soluciones de los sistemas

12−1

20

−12

12

00 0 1

2

x = 0 =⇒

x2− y

2= 0

−x2

+ y2

= 0z2

= 0=⇒ x =

110

Algebra Lineal. 34


−1

2−1

20

−12−1

20

0 0 −12

x = 0 =⇒

−x2− y

2= 0

−x2− y

2= 0

− z2

= 0=⇒ x =

−110

0 −12

0−1

20 0

0 0 0

x = 0 =⇒

−y2

= 0−x

2= 0

0 = 0=⇒ x =

001

La matriz de paso ortogonal que tomamos es P =

1√2− 1√

20

1√2

1√2

0

0 0 1

, y la ecuacin queda

0 = 2(

0 0 −12

)

x∗y∗z∗

+

(x∗ y∗ z∗

)

12

0 00 −1

20

0 0 0

x∗y∗z∗

= −z∗ +

1

2x2∗ −

1

2y2∗

donde

x∗ = x√2

+ y√2

y∗ = − x√2

+ y√2

z∗ = z.

A la vista de la ecuacin reducida, 12x2 − 1

2y2 = z, la cuadrca es un paraboloide

hiperblico.

3.3 Invariantes.

Tomemos ahora la expresin matricial de la cuadrica, 〈3.3〉,

0 =(

1 x y z)

a00 a01 a02 a03

a01 a11 a12 a13

a02 a12 a22 a23

a03 a13 a23 a33

1xyz

= X tAX

En el caso de las cudricas, el estudio de los invariantes es ms complejo, por lo que noslimitaremos a enunciarlos. En este caso, son:

• det(A).

• A00.

Algebra Lineal. 35


• J =

∣∣∣∣∣a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣a11 a13

a31 a33

∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣.

• K = a11 + a22 + a33.

• L = A11 + A22 + A33.

• M =

∣∣∣∣∣a00 a01

a10 a11

∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣a00 a02

a20 a22

∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣a00 a03

a30 a33

∣∣∣∣∣.

• Consideramos la siguente ordenacin de los valores

A00 J K 1

y llamamos s = |(permanencias de signo)− (variaciones de signo)|.Este ltimo invariante se llama en ocasiones signatura de la sucesin.

Nota: Si en el estudio de la signatura, J K son cero, no importa el signo que le pongamos+ −, que la signatura de la sucesin obtenida no cambia.

Esto es debido a que los valores que intervienen en la sucesin estn relacionados de talforma, que J y K no pueden ser cero a la vez y que si uno de ellos es cero el otro tiene,necesariamente, signo contrario al de A00 –en el cuadro siguiente vemos que la signaturaslo se utiliza para el caso A00 6= 0–.

(Para comprobar estos asertos tener en cuenta que, por ser invariantes, A00 = λ1λ2λ3,J = λ2λ3 + λ1λ3 + λ1λ2 y K = λ1 + λ2 + λ3, con los λi 6= 0 –pues A00 6= 0–, y hacer unestudio de la casustica que aparece segn los signos de los autovalores λi.)

3.3.1 Clasificacin por invariantes.

Teniendo en cuenta los invariantes, obtenemos la siguiente clasificacion de las cudricas:

A00 6= 0

s = 3

|A| < 0 ELIPSOIDE

|A| > 0 Elipsoide imaginario

|A| = 0 Cono imaginario

s = 1

|A| < 0 HIPERBOLOIDE de dos hojas

|A| > 0 HIPERBOLOIDE de una hoja

|A| = 0 CONO REAL

A00 = 0

|A| 6= 0

{J > 0 PARABOLOIDE ELIPTICO

J < 0 PARABOLOIDE HIPERBOLICO

|A| = 0

J 6= 0

L 6= 0

J > 0

{K · L < 0 CILINDRO ELIPTICO

K · L > 0 Cilindro imaginario

J < 0 CILINDRO HIPERBOLICO

L = 0

{J < 0 PLANOS SECANTES

J > 0 Planos secantes imaginarios

J = 0

L 6= 0 CILINDRO PARABOLICO

L = 0

M < 0 PLANOS PARALELOS

M > 0 Planos paralelos imaginarios

M = 0 PLANOS COINCIDENTES

A las cudricas que verifican que A00 6= 0 de las denomina cudricas con centro y a lasque verifican que A00 = 0 cudricas sin centro.

Algebra Lineal. 36


Ejemplo.- 33.- Clasificar la cudrica dada por x2 + 2xy + y2 + 2yz + 2x + 1 = 0.Solucion:

La ecuacin puede escribirse como

0 =(

1 x y z)

1 1 0 01 1 1 00 1 1 10 0 1 0

1xyz

= X tAX

Veamos los invariantes:

A00 =

∣∣∣∣∣∣∣

1 1 01 1 10 1 0

∣∣∣∣∣∣∣= −1.

Luego es una de las llamadas cudrica con centro.Para seguir la clasificacin necesitamos encontrar el valor de s y, por tanto, debemos

encontrar los valores de los invariantes J y K, puesto que el valor de A00 ya lo conocemos.

J =

∣∣∣∣∣1 11 0

∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣1 00 0

∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣1 11 1

∣∣∣∣∣ = −1 + 0 + 0 = −1

K = 1 + 1 + 0 = 2

Ahora slo necesitamos encontrar las permanencias y variaciones de signo de la sucesinde invariantes, como recogemos en el siguiente cuadro:

Invariante A00 J K 1Valor −1 −1 2 1Signo − − + +Perm. p pVar. v

Luego el valor buscado es s = |p− v| = |2− 1| = 1.Es suficiente para terminar, con encontrar el signo del |A|.

|A| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 0 01 1 1 00 1 1 10 0 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 1

∣∣∣∣∣∣∣

1 1 01 1 10 0 1

∣∣∣∣∣∣∣= 1− 1 = 0,

y la cudrica es por tanto un cono real.

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-15-10-50510

Algebra Lineal. 37

Contenido

1 Formas cuadraticas. 11.1 Diagonalizacion de una forma cuadratica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Diagonalizacion ortogonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Completar cuadrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3 Diagonalizacion mediante operaciones elementales. . . . . . . . . . . 5

1.2 Rango y signatura de una forma cuadratica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Clasificacion de las formas cuadraticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Conicas en IR2. 142.1 Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Ecuacion reducida de una conica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1 Calculo de la ecuacion reducida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.2 Clasificacion mediante la ecuacion reducida. . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Invariantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.1 Clasificacion por invariantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.2 Calculo de la ecuacion reducida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 Lugares geometricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4.1 Elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4.2 Hiperbola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4.3 Parabola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4.4 Centro y vertice de las conicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Cuadricas en IR3. 283.1 Introduccin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2 Ecuacion reducida de una cudrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.1 Clculo de la ecuacin reducida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.2 Clasificacin mediante la ecuacin reducida. . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 Invariantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3.1 Clasificacin por invariantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Algebra Lineal. 38

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