Formas bilineales y cuadráticas

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Tabla de contenido1. Forma bilineal..............................................................................................................3

1.1. Definición......................................................................................................................3

1.2. Propiedades.................................................................................................................3

1.3. Forma bilineal simétrica.............................................................................................4

1.4. Forma bilineal anti simétrica......................................................................................4

1.5. Matriz de una forma bilineal.......................................................................................4

1.6. Cambio de base..........................................................................................................5

2. Forma cuadrática........................................................................................................7

2.1. Definición......................................................................................................................7

2.2. Expresión matricial de una forma cuadrática..........................................................7

2.3. Conjugación.................................................................................................................8

2.3.1. Vectores conjugados...............................................................................................8

2.3.2. Subespacios conjugados........................................................................................9

2.4. Núcleo de una forma cuadrática...............................................................................9

2.5. Rango y signatura de una forma cuadrática.........................................................10

2.6. Clasificación de las formas cuadráticas.................................................................11

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1. Forma bilineal

En álgebra, una forma bilineal sobre un espacio vectorial es una aplicación que asocia un escalar a cada par de vectores, tal que es lineal en cada uno de sus argumentos por separado.

1.1. Definición

Sea V un K-espacio vectorial sobre el cuerpo K. Una aplicación ,

se dice que es una forma bilineal si , y verifica:

Observaciones: El término “bilineal” indica que f es lineal respecto de las dos variables. El uso del término “forma” en vez de “aplicación” indica que la imagen es un escalar del cuerpo K y no un elemento de un espacio vectorial.

1.2. Propiedades

De la definición se tienen las siguientes propiedades:

para todo y

Notación: f(x,y) = ρ ∈ IR

Ejemplo 1.1. Dado R2, la aplicación f : R2 ×R2 →R definida por

f : R2 ×R2 → R

((x1,x2),(y1,y2)) → x1.y2

es una forma bilineal, ya que para todo (x1,x2),(y1,y2),(z1,z2)∈R2 y α,β ∈K se tiene que

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f(α(x1,x2) + β(y1,y2),(z1,z2)) = f((αx1 + βy1,αx2 + βy2),(z1,z2)) = (αx1 + βy1)z2,

αf((x1,x2),(z1,z2)) + βf((y1,y2),(z1,z2)) = α(x1.z2) + β(y1.z2)

1.3. Forma bilineal simétrica

Se dice que la forma bilineal f de V × V en IR es simétrica, si:

∀x, y ∈ V se cumple f(x, y) = f(y, x).

1.4. Forma bilineal anti simétrica

Una forma bilineal antisimétrica es aquella en la que el intercambio de argumentos provoca un cambio de signo:

en particular se tiene que

1.5. Matriz de una forma bilineal

Sea B = {v1, v2,…, vn} una base de V. Tomemos ‘x’ e ‘y’ vectores de coordenadas (xi) e (yi) respectivamente. Esto es,

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Así siendo . A es la matriz de f respecto de la base B.

Ejemplo: Calcular las matrices asociadas a la forma bilineal f : R2×R2 →R definida por f((x1,x2),(y1,y2)) = x1y2 +x2y1 en la base canónica y en la base B ={(1,−1)(−1,0)}

f()((1,0),(1,0)) = 0

f((1,0),(0,1)) = 1 =⇒ MBcf =

f((0,1),(1,0)) = 1

f((0,1),(0,1)) = 0

f((1,−1),(1,−1)) =−2

f((1,−1),(−1,0)) = 1 =⇒ MBf =

f((−1,0),(1,−1)) = 1

f((−1,0),(−1,0)) = 0

1.6. Cambio de base

Si √❑

B’ = {v’1, v’2,…, v’n} es otra base y P es la matriz del cambio de base de B’ a B,

, se tiene que para x e y de coordenadas (xi) e (yi) en la base B y coordenadas (x’1) e (y’1) en la base B’

Ejemplo 3.1. Sea f : R2 ×R2 →R definida por f((x1,x2),(y1,y2)) = x1y2 + x2y1, B la base can´onica y B’ ={(1,−1)(−1,0)}. Entonces:

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Rango de una forma bilineal Definicion 4.1. Sea f : V ×V → K una forma bilineal, dimV = n, se define el rango de una forma bilineal como el rango de la matriz MBf siendo B una base cualquiera de V.

Ejemplo: ¿Cuál es el rango de f en los siguientes casos?

1. f : R2 ×R2 → R definida por f(x,y) = 3x1y1 + x2y1 + x1y2 + 2x2y2. La matriz de f asociada a la base canónica es

y por tanto el rg(f) = 2.

2. f : R3×R3 →R definida por f((x1,x2,x3),(y1,y2,y3)) = x1y1−x3y3+x1y2. La matriz de f asociada a la base canónica es

y por tanto el rg(f) = 2

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2. Forma cuadrática

Una forma cuadrática o forma bilineal simétrica es una aplicación matemática que asigna a cada elemento de un espacio vectorial x, un número real, de una manera que generaliza la operación ax² un espacio vectorial de dimensión superior a 1.

2.1. Definición

Una aplicación es una forma cuadrática, si ocurre que

1. , , .

2. La aplicación definida como

es una forma bilineal simétrica fq se denomina la forma polar asociada a la forma cuadrática q.

Se pueden definir formas cuadráticas asociadas a formas bilineales no simétricas aunque nosotros sólo estudiaremos el caso de las formas cuadráticas asociadas a formas bilineales simétricas.

Ejemplos Calcular la forma cuadrática asociada a las siguientes formas bilineales

1. Sea f : R2×R2 →R definida por f(x,y) = f((x1,x2),(y1,y2)) = x1y2 +x2y1 entonces

Qf(x) = f ((x1, x2), (x1, x2)) = 2x1x2

2. f : R2 ×R2 →R definida por f(x,y) = 3x1y1 + x2y1 + x1y2 + 2x2y2 entonces

Qf(x) = f ((x1, x2), (x1, x2)) = 3(x1)² + 2x1x2 + 2(x2)²

2.2. Expresión matricial de una forma cuadrática.

Consideremos Q: V → K una forma cuadrática asociada a la forma bilineal simétrica

f: V ×V →K. Sea B ={v1,...,vn} base de V, como f es simétrica tenemos que

f(vi,vj) =f (vj,vi). Por tanto

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Ejemplo Hallar la matriz asociada a Q : R4 → R con

Q(x1,x2,x3,x4) = (x1)² −2x1x2 + 2x1x3 + 2x1x4 + (x2)² −2x2x3 + 2x2x4 –(x3)² + 2x3x4 –(x4)² en la base canónica.

2.3. Conjugación.

2.3.1. Vectores conjugados.

Definición: Sea ω : U → IK una forma cuadrática y f su forma polar. Dos vectores x, y ∈ U se dicen conjugados respecto de ω o f si:

f(x, y) = 0.

Está claro que el vector nulo 0 es conjugado a todos los vectores del espacio vectorial:

f(x,0) = 0 para cualquier x ∈ U.

Definición: Dada ω: U → IK una forma cuadrática, se dice que un vector x ∈ U es autoconjugado si está conjugado consigo mismo:

ω(x) = 0

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2.3.2. Subespacios conjugados.

Definición: Sea ω: U → IK una forma cuadrática. Sea A un subconjunto de U, se llama conjugado de A y se denota por conj(A) al conjunto de todos los vectores conjugados respecto ω a todos los elementos de A:

conj(A) = {x ∈ U|f(x, a) = 0 para todo a ∈ A}.

Propiedades

1. El conjunto conj(A) es un subespacio vectorial.

Prueba:

Esta´ claro que 0 ∈ conj(A), porque el vector nulo está conjugado con cualquier vector. Además sean x, y ∈ conj(A) y α,β ∈ IK. Entonces para cualquier a ∈ A se tiene: f(αx + βy,a) = αf(x,a) + βf(y,a) = ¯ 0

x, y ∈ conj(A) ⇒ f(x,a) = f(y,a) = 0. Y por tanto αx + βy ∈ conj(A).

2. A ⊂ B ⇒ conj(B) ⊂ conj(A).

Prueba:

x ∈ conj(B) ⇒ f(x,b) = 0, ∀b ∈ B ⇒

⇒ f(x,a) = 0, ∀a ∈ A ⊂ B ⇒ x ∈ conj(A)

2.4. Núcleo de una forma cuadrática.

Definición: Dada una forma cuadrática ω: U → IK definimos su núcleo como el conjunto de todos los vectores conjugados a todos los del espacio vectorial:

ker (ω) = {x ∈ U|f(x, y) = 0, ∀y ∈ U} = conj(U)

donde f es la forma polar asociada a ω.

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Propiedades

1. El núcleo es un subespacio vectorial.

2. Dada una base B de U: ker(ω) = {x ∈ U|(x)FB = (0)}.

Prueba: Basta tener en cuenta que:

f(x, y) = 0, ∀y ∈ U ⇐⇒ (x)FB{y} = 0, ∀y ∈ U ⇐⇒ (x)FB = (0).

3. Todos los vectores del núcleo son autoconjugados. El reciproco no es cierto. 4. dim (ker(ω)) = dim(U)−rango(ω). Prueba: Se deduce si tenemos en cuenta que la dimensión de la solución de un sistema es la dimensión del espacio vectorial menos el número de ecuaciones independientes. Aplicando esto a: ker(ω) = {x ∈ U|(x)FB = (0)} se obtiene la relación indicada.

2.5. Rango y signatura de una forma cuadrática.

Teorema: Dos matrices congruentes tienen el mismo rango.

Demostración:

Sea A una matriz simétrica de rango n y A’ = PtAP con P inversible. Consideremos la aplicación lineal f:IRn −→IRn dada por f(x) = Ax, luego A es la matriz de f en la base canónica, Bc. Como P es inversible, sus columnas forman una base B’ de IRn y P es la matriz de cambio de base de B’ a Bc; y como (Pt)−1 es inversible, sus columnas forman una base B00 de IRn y (Pt)−1 es la matriz de cambio de base de B’’ a Bc, por lo que Pt es la matriz de paso de Bc a B00.

Entonces, la matriz A’ = PtAP es la matriz de la aplicación f asociada a las bases B’ y B’’, pues

A’[x]B’ = PtAP[x]B’ = PtA[x]Bc = Pt[f(x)]Bc = [f(x)]B’’

por lo que A0 y A son matrices asociadas a la misma aplicación lineal, luego rg(A) = rg(A’).

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2.6. Clasificación de las formas cuadráticas

Definición: Se dice que una forma cuadrática Q es:

a) Nula si Q(x) = 0 para todo x.

b) Definida positiva si Q(x) > 0, para todo x no nulo.

c) Semidefinida positiva si Q(x)≥0, para todo x y Q no es nula ni definida positiva.

d) Definida negativa si Q(x) < 0, para todo x no nulo.

e) Semidefinida negativa si Q(x)≤0, para todo x y Q no es nula ni definida negativa.

f) Indefinida si Q(x) alcanza tanto valores positivos como negativos, es decir, si ∃x1 6= 0 tal que Q(x1) > 0 y ∃x2 6= 0 tal que Q(x2) < 0.

Para las formas cuadr´aticas sobre IR2, podemos dar una representaci´on de ellas usando superficies en IR3 asignando a z el valor de la forma cuadr´atica en (x,y), es decir, haciendo z = d1x2+d2y2.

Teorema de clasificación:

Sea Q una forma cuadrática en un espacio vectorial de dimensión n. Se verifica:

a) Q es nula ⇐⇒ Sig(Q) = (0,0)

b) Q es definida positiva ⇐⇒ Sig(Q) = (n,0).

c) Q es semidefinida positiva ⇐⇒ Sig(Q) = (p,0) con 0 < p < n.

d) Q es definida negativa ⇐⇒ Sig(Q) = (0,n).

e) Q es semidefinida negativa ⇐⇒ Sig(Q) = (0,q) con 0 < q < n.

f) Q es indefinida ⇐⇒ Sig(Q) = (p,q) con 0 < p,q.

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